历年中考数学压轴题及答案
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目录第一部分函数图象中点的存在性问题1.1 因动点产生的相似三角形问题例1 2010年义乌市中考第24题1.2 因动点产生的等腰三角形问题例2 2012年扬州市中考第27题1.3 因动点产生的直角三角形问题例3 2012年杭州市中考第22题1.4 因动点产生的平行四边形问题例4 2011年上海市中考第24题1.5 因动点产生的梯形问题例5 2011年义乌市中考第24题例6 2010年杭州市中考第24题1.6 因动点产生的面积问题例7 2012年河南省中考第23题1.7 因动点产生的相切问题例8 2012年无锡市中考第28题1.8 因动点产生的线段和差问题例9 2013年天津市中考第25题第二部分图形运动中的函数关系问题2.1 由比例线段产生的函数关系问题例1 2013年宁波市中考第26题2.2 由面积公式产生的函数关系问题例2 2012年广东省中考第22题第三部分图形运动中的计算说理问题3.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题例1 2013年南昌市中考第25题3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题例2 2013年江西省中考第24题第一部分 函数图象中点的存在性问题1.1 因动点产生的相似三角形问题例1 2010年义乌市中考第24题如图1，已知梯形OABC ，抛物线分别过点O （0，0）、A （2，0）、B （6，3）． （1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M 的坐标； （2）将图1中梯形OABC 的上下底边所在的直线OA 、CB 以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O 1、A 1、C 1、B 1，得到如图2的梯形O 1A 1B 1C 1．设梯形O 1A 1B 1C 1的面积为S ，A 1、 B 1的坐标分别为 (x 1，y 1)、(x 2，y 2)．用含S 的代数式表示x 2－x 1，并求出当S =36时点A 1的坐标；（3）在图1中，设点D 的坐标为(1，3)，动点P 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC 运动，动点Q 从点D 出发，以与点P 相同的速度沿着线段DM 运动．P 、Q 两点同时出发，当点Q 到达点M 时，P 、Q 两点同时停止运动．设P 、Q 两点的运动时间为t ，是否存在某一时刻t ，使得直线PQ 、直线AB 、x 轴围成的三角形与直线PQ 、直线AB 、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“10义乌24”，拖动点I 上下运动，观察图形和图象，可以体验到，x 2－x 1随S 的增大而减小．双击按钮“第（3）题”，拖动点Q 在DM 上运动，可以体验到，如果∠GAF ＝∠GQE ，那么△GAF 与△GQE 相似．思路点拨1．第（2）题用含S 的代数式表示x 2－x 1，我们反其道而行之，用x 1，x 2表示S ．再注意平移过程中梯形的高保持不变，即y 2－y 1＝3．通过代数变形就可以了．2．第（3）题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的位置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证．3．第（3）题的示意图，不变的关系是：直线AB 与x 轴的夹角不变，直线AB 与抛物线的对称轴的夹角不变．变化的直线PQ 的斜率，因此假设直线PQ 与AB 的交点G 在x 轴的下方，或者假设交点G 在x 轴的上方．满分解答（1）抛物线的对称轴为直线1x =，解析式为21184y x x =-，顶点为M （1，18-）． （2） 梯形O 1A 1B 1C 1的面积12122(11)3()62x x S x x -+-⨯3==+-，由此得到122 3sx x+=+．由于213y y-=，所以22212211111138484y y x x x x-=--+=．整理，得212111()()384x x x x⎡⎤-+-=⎢⎥⎣⎦．因此得到2172x xS-=．当S=36时，212114,2.x xx x+=⎧⎨-=⎩解得126,8.xx=⎧⎨=⎩此时点A1的坐标为（6，3）．（3）设直线AB与PQ交于点G，直线AB与抛物线的对称轴交于点E，直线PQ与x 轴交于点F，那么要探求相似的△GAF与△GQE，有一个公共角∠G．在△GEQ中，∠GEQ是直线AB与抛物线对称轴的夹角，为定值．在△GAF中，∠GAF是直线AB与x轴的夹角，也为定值，而且∠GEQ≠∠GAF．因此只存在∠GQE＝∠GAF的可能，△GQE∽△GAF．这时∠GAF＝∠GQE＝∠PQD．由于3tan4GAF∠=，tan5DQ tPQDQP t∠==-，所以345tt=-．解得207t=．图3 图4考点伸展第（3）题是否存在点G在x轴上方的情况？如图4，假如存在，说理过程相同，求得的t的值也是相同的．事实上，图3和图4都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图3．1.2 因动点产生的等腰三角形例2 2011年盐城市中考第28题如图1，已知一次函数y ＝－x ＋7与正比例函数43y x =的图象交于点A ，且与x 轴交于点B ．（1）求点A 和点B 的坐标； （2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l //y 轴．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长的速度，沿O —C —A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R ，交线段BA 或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时，点P 和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒．①当t 为何值时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“11盐城28”，拖动点R 由B 向O 运动，从图象中可以看到，△APR 的面积有一个时刻等于8．观察△APQ ，可以体验到，P 在OC 上时，只存在AP ＝AQ 的情况；P 在CA 上时，有三个时刻，△APQ 是等腰三角形．思路点拨1．把图1复制若干个，在每一个图形中解决一个问题．2．求△APR 的面积等于8，按照点P 的位置分两种情况讨论．事实上，P 在CA 上运动时，高是定值4，最大面积为6，因此不存在面积为8的可能．3．讨论等腰三角形APQ ，按照点P 的位置分两种情况讨论，点P 的每一种位置又要讨论三种情况．满分解答（1）解方程组7,4,3y x y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩得3,4.x y =⎧⎨=⎩ 所以点A 的坐标是(3，4)．令70y x =-+=，得7x =．所以点B 的坐标是(7，0)．（2）①如图2，当P 在OC 上运动时，0≤t ＜4．由8APR ACP POR CORA S S S S =--=△△△梯形，得1113+7)44(4)(7)8222t t t t -⨯-⨯⨯--⨯-=（．整理，得28120t t -+=．解得t ＝2或t ＝6（舍去）．如图3，当P 在CA 上运动时，△APR 的最大面积为6．因此，当t ＝2时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8．图2 图3 图4②我们先讨论P 在OC 上运动时的情形，0≤t ＜4． 如图1，在△AOB 中，∠B ＝45°，∠AOB ＞45°，OB ＝7，42AB =，所以OB ＞AB ．因此∠OAB ＞∠AOB ＞∠B ．如图4，点P 由O 向C 运动的过程中，OP ＝BR ＝RQ ，所以PQ //x 轴．因此∠AQP ＝45°保持不变，∠P AQ 越来越大，所以只存在∠APQ ＝∠AQP 的情况． 此时点A 在PQ 的垂直平分线上，OR ＝2CA ＝6．所以BR ＝1，t ＝1． 我们再来讨论P 在CA 上运动时的情形，4≤t ＜7．在△APQ 中， 3cos 5A ∠=为定值，7AP t =-，5520333AQ OA OQ OA OR t =-=-=-．如图5，当AP ＝AQ 时，解方程520733t t -=-，得418t =．如图6，当QP ＝QA 时，点Q 在P A 的垂直平分线上，AP ＝2(OR －OP )．解方程72[(7)(4)]t t t -=---，得5t =．如7，当P A ＝PQ 时，那么12cos AQ A AP∠=．因此2cos AQ AP A =⋅∠．解方程52032(7)335t t -=-⨯，得22643t =． 综上所述，t ＝1或418或5或22643时，△APQ 是等腰三角形．图5 图6 图7考点伸展当P 在CA 上，QP ＝QA 时，也可以用2cos AP AQ A =⋅∠来求解．1.3 因动点产生的直角三角形问题例3 2012年杭州市中考第22题在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y ＝k (x 2＋x －1)的图象交于点A (1,k )和点B(－1,－k )．（1）当k ＝－2时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数与二次函数都是y 随x 增大而增大，求k 应满足的条件以及x 的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q ，当△ABQ 是以AB 为斜边的直角三角形时，求k 的值．动感体验请打开几何画板文件名“12杭州22”，拖动表示实数k 的点在y 轴上运动，可以体验到，当k ＜0并且在抛物线的对称轴左侧，反比例函数与二次函数都是y 随x 增大而增大．观察抛物线的顶点Q 与⊙O 的位置关系，可以体验到，点Q 有两次可以落在圆上．请打开超级画板文件名“12杭州22”，拖动表示实数k 的点在y 轴上运动，可以体验到，当k ＜0并且在抛物线的对称轴左侧，反比例函数与二次函数都是y 随x 增大而增大．观察抛物线的顶点Q 与⊙O 的位置关系，可以体验到，点Q 有两次可以落在圆上．思路点拨1．由点A (1,k )或点B (－1,－k )的坐标可以知道，反比例函数的解析式就是ky x=．题目中的k 都是一致的．2．由点A (1,k )或点B (－1,－k )的坐标还可以知道，A 、B 关于原点O 对称，以AB 为直径的圆的圆心就是O ．3．根据直径所对的圆周角是直角，当Q 落在⊙O 上是，△ABQ 是以AB 为直径的直角三角形．满分解答（1）因为反比例函数的图象过点A (1,k )，所以反比例函数的解析式是k y x=． 当k ＝－2时，反比例函数的解析式是2y x=-．（2）在反比例函数ky x=中，如果y 随x 增大而增大，那么k ＜0．当k ＜0时，抛物线的开口向下，在对称轴左侧，y 随x 增大而增大．抛物线y ＝k (x 2＋x ＋1)＝215()24k x k +-的对称轴是直线12x =-． 图1所以当k ＜0且12x <-时，反比例函数与二次函数都是y 随x 增大而增大．（3）抛物线的顶点Q 的坐标是15(,)24k --，A 、B 关于原点O 中心对称，当OQ ＝OA ＝OB 时，△ABQ 是以AB 为直径的直角三角形．由OQ 2＝OA 2，得222215()()124k k -+-=+．解得1233k =（如图2），2233k =-（如图3）．图2 图3考点伸展如图4，已知经过原点O 的两条直线AB 与CD 分别与双曲线ky x=（k ＞0）交于A 、B 和C 、D ，那么AB 与CD 互相平分，所以四边形ACBD 是平行四边形．问平行四边形ABCD 能否成为矩形？能否成为正方形？如图5，当A 、C 关于直线y ＝x 对称时，AB 与CD 互相平分且相等，四边形ABCD 是矩形．因为A 、C 可以无限接近坐标系但是不能落在坐标轴上，所以OA 与OC 无法垂直，因此四边形ABCD 不能成为正方形．图4 图51.4 因动点产生的平行四边形问题例4 2011年上海市中考第24题已知平面直角坐标系xOy（如图1），一次函数334y x=+的图象与y轴交于点A，点M在正比例函数32y x=的图象上，且MO＝MA．二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点A、M．（1）求线段AM的长；（2）求这个二次函数的解析式；（3）如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图象上，点D在一次函数334y x=+的图象上，且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“11上海24”，拖动点B在y轴上点A下方运动，四边形ABCD 保持菱形的形状，可以体验到，菱形的顶点C有一次机会落在抛物线上．思路点拨1．本题最大的障碍是没有图形，准确画出两条直线是基本要求，抛物线可以不画出来，但是对抛物线的位置要心中有数．2．根据MO＝MA确定点M在OA的垂直平分线上，并且求得点M的坐标，是整个题目成败的一个决定性步骤．3．第（3）题求点C的坐标，先根据菱形的边长、直线的斜率，用待定字母m表示点C的坐标，再代入抛物线的解析式求待定的字母m．满分解答（1）当x＝0时，3334y x=+=，所以点A的坐标为(0，3)，OA＝3．如图2，因为MO＝MA，所以点M在OA的垂直平分线上，点M的纵坐标为32．将32y=代入32y x=，得x＝1．所以点M的坐标为3(1,)2．因此13AM=．（2）因为抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(0，3)、M3(1,)2，所以3,31.2cb c=⎧⎪⎨++=⎪⎩解得52b=-，3c=．所以二次函数的解析式为253 2y x x=-+．（3）如图3，设四边形ABCD为菱形，过点A作AE⊥CD，垂足为E．在Rt△ADE中，设AE＝4m，DE＝3m，那么AD＝5m．因此点C的坐标可以表示为(4m，3－2m)．将点C(4m，3－2m)代入253 2y x x=-+，得23216103m m m-=-+．解得12m=或者m＝0（舍去）．因此点C的坐标为（2，2）．图2 图3考点伸展如果第（3）题中，把“四边形ABCD是菱形”改为“以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形”，那么还存在另一种情况：如图4，点C的坐标为727 (,) 416．图41.5 因动点产生的梯形问题例 5 2011年义乌市中考第24题已知二次函数的图象经过A （2，0）、C (0，12) 两点，且对称轴为直线x ＝4，设顶点为点P ，与x 轴的另一交点为点B ．（1）求二次函数的解析式及顶点P 的坐标；（2）如图1，在直线 y ＝2x 上是否存在点D ，使四边形OPBD 为等腰梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，点M 是线段OP 上的一个动点（O 、P 两点除外），以每秒2个单位长度的速度由点P 向点O 运动，过点M 作直线MN //x 轴，交PB 于点N ． 将△PMN 沿直线MN 对折，得到△P 1MN ． 在动点M 的运动过程中，设△P 1MN 与梯形OMNB 的重叠部分的面积为S ，运动时间为t 秒，求S 关于t 的函数关系式．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“11义乌24”，拖动点M 从P 向O 运动，可以体验到，M 在到达PO 的中点前，重叠部分是三角形；经过中点以后，重叠部分是梯形．思路点拨1．第（2）题可以根据对边相等列方程，也可以根据对角线相等列方程，但是方程的解都要排除平行四边形的情况．2．第（3）题重叠部分的形状分为三角形和梯形两个阶段，临界点是PO 的中点．满分解答（1）设抛物线的解析式为2(4)y a x k =-+，代入A （2，0）、C (0，12) 两点，得40,1612.a k a k +=⎧⎨+=⎩ 解得1,4.a k =⎧⎨=-⎩所以二次函数的解析式为22(4)4812y x x x =--=-+，顶点P 的坐标为（4，－4）． （2）由2812(2)(6)y x x x x =-+=--，知点B 的坐标为（6，0）． 假设在等腰梯形OPBD ，那么DP ＝OB ＝6．设点D 的坐标为(x ，2x )．由两点间的距离公式，得22(4)(24)36x x -++=．解得25x =或x ＝－2．如图3，当x ＝－2时，四边形ODPB 是平行四边形． 所以，当点D 的坐标为(52，54)时，四边形OPBD 为等腰梯形．图3 图4 图5（3）设△PMN 与△POB 的高分别为PH 、PG ．在Rt △PMH 中，2PM t =，PH MH t ==．所以'24P G t =-．在Rt △PNH 中，PH t =，1122NH PH t ==．所以32MN t =．① 如图4，当0＜t ≤2时，重叠部分的面积等于△PMN 的面积．此时2133224S t t t =⨯⋅=．②如图5，当2＜t ＜4时，重叠部分是梯形，面积等于△PMN 的面积减去△P ′DC 的面积．由于2''P DC PMN S P G S PH ⎛⎫= ⎪⎝⎭△△，所以222'2433(24)44P DC t S t t t -⎛⎫=⨯=- ⎪⎝⎭△． 此时222339(24)1212444S t t t t =--=-+-．考点伸展第（2）题最好的解题策略就是拿起尺、规画图：方法一，按照对角线相等画圆．以P 为圆心，OB 长为半径画圆，与直线y ＝2x 有两个交点，一个是等腰梯形的顶点，一个是平行四边形的顶点．方法二，按照对边相等画圆．以B 为圆心，OP 长为半径画圆，与直线y ＝2x 有两个交点，一个是等腰梯形的顶点，一个是平行四边形的顶点．例6 2010年杭州市中考第24题如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的解析式是y ＝2114x +，点C 的坐标为(–4，0)，平行四边形OABC 的顶点A ，B 在抛物线上，AB 与y 轴交于点M ，已知点Q (x ，y )在抛物线上，点P (t ，0)在x 轴上．(1) 写出点M 的坐标；(2) 当四边形CMQP 是以MQ ，PC 为腰的梯形时． ① 求t 关于x 的函数解析式和自变量x 的取值范围；② 当梯形CMQP 的两底的长度之比为1∶2时，求t 的值．图1动感体验请打开几何画板文件名“10杭州24”，拖动点Q 在抛物线上运动，从t 随x 变化的图象可以看到，t 是x 的二次函数，抛物线的开口向下．还可以感受到，PQ ∶CM ＝1∶2只有一种情况，此时Q 在y 轴上；CM ∶PQ ＝1∶2有两种情况．思路点拨1．第（1）题求点M 的坐标以后，Rt △OCM 的两条直角边的比为1∶2，这是本题的基本背景图．2．第（2）题中，不变的关系是由平行得到的等角的正切值相等，根据数形结合，列关于t 与x 的比例式，从而得到t 关于x 的函数关系．3．探求自变量x 的取值范围，要考虑梯形不存在的情况，排除平行四边形的情况． 4．梯形的两底的长度之比为1∶2，要分两种情况讨论．把两底的长度比转化为QH 与MO 的长度比．满分解答(1)因为AB ＝OC ＝ 4，A 、B 关于y 轴对称，所以点A 的横坐标为2．将x ＝2代入y ＝2114x +，得y ＝2．所以点M 的坐标为（0，2）． (2) ① 如图2，过点Q 作QH ⊥ x 轴，设垂足为H ，则HQ ＝y 2114x =+，HP ＝x – t ． 因为CM //PQ ，所以∠QPH ＝∠MCO ．因此tan ∠QPH ＝tan ∠MCO ，即12HQ OM HP OC ==．所以2111()42x x t +=-．整理，得2122t x x =-+-． 如图3，当P 与C 重合时，4t =-，解方程21422x x -=-+-，得15x =±．如图4，当Q 与B 或A 重合时，四边形为平行四边形，此时，x ＝± 2． 因此自变量x 的取值范围是15x ≠±，且x ≠± 2的所有实数．图2 图3 图4②因为sin ∠QPH ＝sin ∠MCO ，所以HQ OM PQ CM =，即PQ HQCM OM=． 当12PQ HQ CM OM ==时，112HQ OM ==．解方程21114x +=，得0x =（如图5）．此时2t =-．当2PQ HQ CM OM==时，24HQ OM ==．解方程21144x +=，得23x =±．如图6，当23x =时，823t =-+；如图6，当23x =-时，823t =--．图5 图6 图7考点伸展本题情境下，以Q 为圆心、QM 为半径的动圆与x 轴有怎样的位置关系呢？设点Q 的坐标为21,14x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，那么222222111144QM x x x ⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．而点Q 到x 轴的距离为2114x +．因此圆Q 的半径QM 等于圆心Q 到x 轴的距离，圆Q 与x 轴相切．1.6 因动点产生的面积问题例 7 2012年河南省中考第23题如图1，在平面直角坐标系中，直线112y x =+与抛物线y ＝ax 2＋bx －3交于A 、B 两点，点A 在x 轴上，点B 的纵坐标为3．点P 是直线AB 下方的抛物线上的一动点（不与点A 、B 重合），过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点C ，作PD ⊥AB 于点D ．（1）求a 、b 及sin ∠ACP 的值； （2）设点P 的横坐标为m ．①用含m 的代数式表示线段PD 的长，并求出线段PD 长的最大值；②连结PB ，线段PC 把△PDB 分成两个三角形，是否存在适合的m 的值，使这两个三角形的面积比为9∶10？若存在，直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“12河南23”，拖动点P 在直线AB 下方的抛物线上运动，可以体验到，PD 随点P 运动的图象是开口向下的抛物线的一部分，当C 是AB 的中点时，PD 达到最大值．观察面积比的度量值，可以体验到，左右两个三角形的面积比可以是9∶10，也可以是10∶9．思路点拨1．第（1）题由于CP //y 轴，把∠ACP 转化为它的同位角．2．第（2）题中，PD ＝PC sin ∠ACP ，第（1）题已经做好了铺垫．3．△PCD 与△PCB 是同底边PC 的两个三角形，面积比等于对应高DN 与BM 的比． 4．两个三角形的面积比为9∶10，要分两种情况讨论．满分解答（1）设直线112y x =+与y 轴交于点E ，那么A (－2,0)，B (4,3)，E (0,1)． 在Rt △AEO 中，OA ＝2，OE ＝1，所以5AE =25sin AEO ∠=．因为PC //EO ，所以∠ACP ＝∠AEO ．因此25sin ACP ∠=将A (－2,0)、B (4,3)分别代入y ＝ax 2＋bx －3，得4230,1643 3.a b a b --=⎧⎨+-=⎩解得12a =，12b =-．（2）由211(,3)22P m m m --，1(,1)2C m m +，得221111(1)(3)42222PC m m m m m =+---=-++．所以2225251595sin 4)1)2PD PC ACP m m m =∠==-++=-+． 所以PD 95．（3）当S △PCD ∶S △PCB ＝9∶10时，52m =；当S △PCD ∶S △PCB ＝10∶9时，329m =．图2考点伸展第（3）题的思路是：△PCD 与△PCB 是同底边PC 的两个三角形，面积比等于对应高DN 与BM 的比．而252511cos cos (4)(2)(4)25DN PD PDN PD ACP m m m m =∠=∠=⨯-++=-+-， BM ＝4－m ．①当S △PCD ∶S △PCB ＝9∶10时，19(2)(4)(4)510m m m -+-=-．解得52m =．②当S △PCD ∶S △PCB ＝10∶9时，110(2)(4)(4)59m m m -+-=-．解得329m =．1.7 因动点产生的相切问题例8 2012年无锡市中考模拟第28题如图1，菱形ABCD 的边长为2厘米，∠DAB ＝60°．点P 从A 出发，以每秒3厘米的速度沿AC 向C 作匀速运动；与此同时，点Q 也从点A 出发，以每秒1厘米的速度沿射线作匀速运动．当点P 到达点C 时，P 、Q 都停止运动．设点P 运动的时间为t 秒．（1）当P 异于A 、C 时，请说明PQ //BC ；（2）以P 为圆心、PQ 长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t 为怎样的值时，⊙P 与边BC 分别有1个公共点和2个公共点？ 图一动感体验请打开几何画板文件名“12无锡28”，拖动点P 由A 向C 运动，可以体验到，⊙P 与线段BC 的位置关系依次是相离没有公共点，相切只有1个公共点，相交有2个公共点，相交只有1个公共点，线段在圆的内部没有公共点．请打开超级画板文件名“12无锡28”，拖动点P 由A 向C 运动，可以体验到，⊙P 与线段BC 的位置关系依次是相离没有公共点，相切只有1个公共点，相交有2个公共点，相交只有1个公共点，线段在圆的内部没有公共点．答案 （1）因为2AQ tAB =，3223AP t t AC ==，所以AQ AP AB AC=．因此PQ //BC ．（2）如图2，由PQ ＝PH ＝12PC ，得1(233)2t t =-．解得436t =-．如图3，由PQ ＝PB ，得等边三角形PBQ ．所以Q 是AB 的中点，t ＝1． 如图4，由PQ ＝PC ，得233t t =-．解得33t =-． 如图5，当P 、C 重合时，t ＝2．因此，当436t =-或1＜t ≤33-或t ＝2时，⊙P 与边BC 有1个公共点． 当436-＜t ≤1时，⊙P 与边BC 有2个公共点．图2 图3 图4 图51.8 因动点产生的线段和差问题例9 2013年天津市中考第25题在平面直角坐标系中，已知点A (－2,0)，B (0,4)，点E 在OB 上，且∠OAE ＝∠OBA ． （1）如图1，求点E 的坐标；（2）如图2，将△AEO 沿x 轴向右平移得到△AE ′O ′，连结A ′B 、BE ′．①设AA ′＝m ，其中0＜m ＜2，使用含m 的式子表示A ′B 2＋BE ′2，并求出使A ′B 2＋BE ′2取得最小值时点E ′的坐标；②当A ′B ＋BE ′取得最小值时，求点E ′的坐标（直接写出结果即可）．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“13天津25”，拖动点A′在线段AO上运动，可以体验到，当A′运动到AO的中点时，A′B2＋BE′2取得最小值．当A′、B、E′′三点共线时，A′B＋BE′取得最小值．请打开超级画板文件名“13天津25”，拖动点A′在线段AO上运动，可以体验到，当A′运动到AO的中点时，A′B2＋BE′2取得最小值．当A′、B、E′′三点共线时，A′B＋BE′取得最小值．思路点拨1．图形在平移的过程中，对应点的连线平行且相等，EE′＝AA′＝m．2．求A′B2＋BE′2的最小值，第一感觉是用勾股定理列关于m的式子．3．求A′B＋BE′的最小值，第一感觉是典型的“牛喝水”问题——轴对称，两点之间线段最短．满分解答（1）由∠OAE＝∠OBA，∠AOE＝∠BOA，得△AOE∽△BOA．所以AO BOOE OA=．因此242OE=．解得OE＝1．所以E(0,1)．（2）①如图3，在Rt△A′OB中，OB＝4，OA′＝2－m，所以A′B2＝16＋(2－m)2．在Rt△BEE′中，BE＝3，EE′＝m，所以BE′2＝9＋m2．所以A′B2＋BE′2＝16＋(2－m)2＋9＋m2＝2(m－1)2＋27．所以当m＝1时，A′B2＋BE′2取得最小值，最小值为27．此时点A′是AO的中点，点E′向右平移了1个单位，所以E′(1,1)．②如图4，当A′B＋BE′取得最小值时，求点E′的坐标为8(,1) 7．图3 图4考点伸展第（2）②题这样解：如图4，过点B作y轴的垂线l，作点E′关于直线l的对称点E′′，所以A′B＋BE′＝A′B＋BE′′．当A′、B、E′′三点共线时，A′B＋BE′′取得最小值，最小值为线段A′E′′．在Rt△A′O′E′′中，A′O′＝2，O′E′′＝7，所以A′E′′＝53．当A′、B、E′′三点共线时，''''''A O A OBO E O=．所以247m=．解得87m=．此时8'(,1)7E．第二部分函数图象中点的存在性问题2.1 由比例线段产生的函数关系问题例1 2013年宁波市中考第26题如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(0,4)，点B的坐标为(4,0)，点C的坐标为(－4,0)，点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P、D、B三点作⊙Q，与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于F，连结EF、BF．（1）求直线AB的函数解析式；（2）当点P在线段AB（不包括A、B两点）上时．①求证：∠BDE ＝∠ADP ；②设DE ＝x ，DF ＝y ，请求出y 关于x 的函数解析式；（3）请你探究：点P 在运动过程中，是否存在以B 、D 、F 为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2∶1？如果存在，求出此时点P 的坐标；如果不存在，请说明理由． 图1动感体验请打开几何画板文件名“13宁波26”，拖动点P 在射线AB 上运动，可以体验到，△DEF 保持等腰直角三角形的形状，y 是x 的一次函数．观察BD ∶BF 的度量值，可以体验到，BD ∶BF 可以等于2，也可以等于0.5．请打开超级画板文件名“13宁波26”，拖动点P 在射线AB 上运动，可以体验到，△DEF 保持等腰直角三角形的形状．观察BD ∶BF 的度量值，可以体验到，BD ∶BF 可以等于2，也可以等于0.5．答案（1）直线AB 的函数解析式为y ＝－x ＋4． （2）①如图2，∠BDE ＝∠CDE ＝∠ADP ；②如图3，∠ADP ＝∠DEP ＋∠DPE ，如图4，∠BDE ＝∠DBP ＋∠A ， 因为∠DEP ＝∠DBP ，所以∠DPE ＝∠A ＝45°．所以∠DFE ＝∠DPE ＝45°．因此△DEF 是等腰直角三角形．于是得到2y x =．图2 图3 图4（3）①如图5，当BD ∶BF ＝2∶1时，P (2,2)．思路如下： 由△DMB ∽△BNF ，知122BN DM ==． 设OD ＝2m ，FN ＝m ，由DE ＝EF ，可得2m ＋2＝4－m ．解得23m =． 因此4(0,)3D ．再由直线CD 与直线AB 求得交点P (2,2)． ②如图6，当BD ∶BF ＝1∶2时，P (8,－4)．思路同上．图5 图62.2 由面积产生的函数关系问题例2 2012年广东省中考第22题如图1，抛物线213922y x x =--与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，联结BC 、AC ．（1）求AB 和OC 的长；（2）点E 从点A 出发，沿x 轴向点B 运动（点E 与点A 、B 不重合），过点E 作BC 的平行线交AC 于点D ．设AE 的长为m ，△ADE 的面积为s ，求s 关于m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（3）在（2）的条件下，联结CE ，求△CDE 面积的最大值；此时，求出以点E 为圆心，与BC 相切的圆的面积（结果保留π）．图 1动感体验请打开几何画板文件名“12广东22”，拖动点E 由A 向B 运动，观察图象，可以体验到，△ADE 的面积随m 的增大而增大，△CDE 的面积随m 变化的图象是开口向下的抛物线的一部分，E 在AB 的中点时，△CDE 的面积最大．思路点拨1．△ADE 与△ACB 相似，面积比等于对应边的比的平方．2．△CDE 与△ADE 是同高三角形，面积比等于对应底边的比．满分解答（1）由21319(3)(6)222y x x x x =--=+-，得A (－3,0)、B (6,0)、C (0,－9)． 所以AB ＝9，OC ＝9．（2）如图2，因为DE //CB ，所以△ADE ∽△ACB ．所以2()ADE ACB S AE S AB∆∆=．而18122ACB S AB OC ∆=⋅=，AE ＝m ，所以222811()()922ADE ACB AE m s S S m AB ∆∆==⨯=⨯=．m 的取值范围是0＜m ＜9．图2 图3（3）如图2，因为DE //CB ，所以9CD BE mAD AE m-==． 因为△CDE 与△ADE 是同高三角形，所以9CDE ADE S CD mS AD m∆∆-==． 所以22291191981()222228CDE m S m m m m m ∆-=⨯=-+=--+．当92m =时，△CDE 的面积最大，最大值为818．此时E 是AB 的中点，92BE =．如图3，作EH ⊥CB ，垂足为H ．在Rt △BOC 中，OB ＝6，OC ＝9，所以sinB ==在Rt △BEH 中，9sin 2EH BE B =⋅==． 当⊙E 与BC 相切时，r EH =．所以272952S r ππ==．考点伸展在本题中，△CDE 与△BEC 能否相似？如图2，虽然∠CED ＝∠BCE ，但是∠B ＞∠BCA ≥∠ECD ，所以△CDE 与△BEC 不能相似．第三部分图形运动中的计算说理问题3.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题例1 2013年南昌市中考第25题已知抛物线y n ＝－(x －a n )2＋a n （n 为正整数，且0＜a 1＜a 2＜…＜a n ）与x 轴的交点为A n －1(b n －1,0)和A n (b n ,0)．当n ＝1时，第1条抛物线y 1＝－(x －a 1)2＋a 1与x 轴的交点为A 0(0,0)和A 1(b 1,0)，其他依此类推（1）求a 、b 的值及抛物线y 2的解析式；（2）抛物线y 3的顶点坐标为(_____，_____)；依此类推第n 条抛物线y n 的顶点坐标为(_____，_____)（用含n 的式子表示）； 所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是________________； （3）探究下列结论：①若用A n －1 A n 表示第n 条抛物线被x 轴截得的线段的长，直接写出A 0A 1的值，并求出A n －1 A n ；②是否存在经过点A(2,0)的直线和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等？若存在，直接写出直线的表达式；若不存在，请说明理由．备用图（仅供草稿使用）动感体验请打开几何画板文件名“13南昌25”，拖动抛物线的顶点P在射线y＝x(x＞0)上运动，可以体验到，经过点(2,0)与这条射线平行的直线截抛物线所得的线段都相等．请打开超级画板文件名“13南昌25”，拖动抛物线的顶点P在射线y＝x(x＞0)上运动，可以体验到，经过点(2,0)与这条射线平行的直线截抛物线所得的线段都相等．思路点拨1．本题写在卷面的文字很少很少，可是卷外是大量的运算．2．最大的纠结莫过于对字母意义的理解，这道题的复杂性就体现在数形结合上．3．这个备用图怎么用？边画边算，边算边画．满分解答（1）将A0(0,0)代入y1＝－(x－a1)2＋a1，得－a12＋a1＝0．所以符合题意的a1＝1．此时y1＝－(x－1)2＋1＝－x(x－2)．所以A1的坐标为(2,0)，b1＝2．将A1(2,0)代入y2＝－(x－a2)2＋a2，得－(2－a2)2＋a2＝0．所以符合题意的a2＝4．此时y2＝－(x－4)2＋4＝－(x－2)(x－6)．（2）抛物线y3的顶点坐标为(9，9)；第n条抛物线y n的顶点坐标为(n2，n2)；所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是y＝x．（3）①如图1，A0A1＝2．由第（2）题得到，第n条抛物线y n＝－(x－a n)2＋a n的顶点坐标为(n2，n2)．所以y n＝－(x－n2)2＋n2＝n2－(x－n2)2＝(n－x＋n2)(n＋x－n2)．所以第n条抛物线与x轴的交点坐标为A n－1(n2－n,0)和A n(n2＋n,0)．所以A n－1 A n＝(n2＋n)－(n2－n)＝2n．②如图1，直线y＝x－2和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等．图1考点伸展我们一起来梳理一下这道题目的备用图怎么用．第一步，由y n＝－(x－a n)2＋a n，得抛物线的顶点坐标为(a n, a n)．顶点的横坐标和纵坐标相等，而且已知a n＞0，因此先画出顶点所在的射线y＝x(x＞0)．第二步，计算出y1，画抛物线y1的顶点、与x轴的右交点．第三步，计算出y2，画抛物线y2的顶点、与x轴的右交点．3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题例2 2013年江西省中考第24题某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：（1）操作发现：在等腰△ABC中，AB＝AC，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连结MD和ME，则下列结论正确的是__________（填序号即可）．。
(完整)中考数学压轴题精选及答案
一、解答题1．如图，已知抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴相交于A （﹣1，0），B （m ，0）两点，与y 轴相交于点C （0，﹣3），抛物线的顶点为D ．(1)求抛物线的解析式；(2)若点E 在x 轴上，且∠ECB ＝∠CBD ，求点E 的坐标．(3)若P 是直线BC 下方抛物线上任意一点，过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，与BC 交于点M ． ①求线段PM 长度的最大值．②在①的条件下，若F 为y 轴上一动点，求PH +HFCF 的最小值．2．如图1，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点B 作BE CD ⊥，交AC 于点H ，交CD 于点E ．过点C 作//CF BD ，交BE 的延长线于点F ，过点F 作//FG BC ，交BD 的延长线于点G ．（1）若8AC =，6BD =，求BE 的长；（2）如图2，连接AF ，交BG 于点K ，若GFA BFC ∠=∠，求证：2BF BC CD -． （3）如图3，当点D 与点G 重合时，若9AB =，将BOH 沿射线BC 方向平移，当点B 到达点C 时停止平移．当平移结束后（即点B 到达点C 时），将BOH 绕点B 顺时针旋转一个角度()0360αα<<︒，O 的对应点'O ，H 的对应点'H ，直线'CH 与直线BF 的交点为M ，直线''O H 与直线BF 的交点为N ，在旋转过程中，当'MNH △是直角三角形，且'90MNH ∠=︒时，直接写出'MNH △的面积．3．如图1，在菱形ABCD 中，∠D ＝120°，AB ＝8，点M 从A 开始，以每秒1个单位的速度向点B 运动；点N 从C 出发，沿C →D →A 方向，以每秒2个单位的速度向点A 运动，若M 、N 同时出发，其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t 秒，过点N 作NQ ⊥DC ，交AC 于点Q ． （1）当t ＝2时，求线段NQ 的长；（2）设△AMQ 的面积为S ，直接写出S 与t 的函数关系式及t 的取值范围；（3）在点M 、N 运动过程中，是否存在t 值，使得△AMQ 为等腰三角形？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．4．如图，已知抛物线2-2y ax bx =+经过A （4，0），B （1，0）． （1）求抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上一动点（P 不与点A ，B ，C 重合），过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为M 是否存在点P ，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与△OAC 相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标，若不存在，请说明理由．5．如图1，矩形ABCD 中，点E 是CD 边上的动点（点E 不与点C 、D 重合），连接AE ，过点A 作AF ⊥AE 交CB 延长线于点F ，连接EF ，点G 为EF 的中点，连接BG ． （1）如图2，若四边形ABCD 为正方形，其面积为S ，四边形BCEG 的面积为S 1，当S 1＝14S 时，求DE DC 的值．（2）如图1，若AB ＝20，AD ＝10，设DE ＝x ，点G 到直线BC 的距离为y ，求出y 与x 的关系式；当EC BG ＝2413时，求x 的值．6．综合与探究如图，在平面直角坐标系中，点()0,10A ，点B 是x 轴的正半轴上的一个动点，连接AB ，取AB 的中点M ，将线段MB 绕着点B 按顺时针方向旋转90°，得到线段BC ．过点B 作x 轴的垂线交直线AC 于点D ．设点B 坐标是(),0t （1）当6t =时，点M 的坐标是 ； （2）用含t 的代数式表示点C 的坐标；（3）是否存在点B ，使四边形AOBD 为矩形？若存在，请求出点B 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）在点B 的运动过程中，平面内是否存在一点N ，使得以A 、B 、N 、D 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N 的纵坐标（不必要写横坐标）；若不存在，请说明理由．7．如图1，在ABC 中，90,ACB CD ∠=︒平分ACB ∠，且AD BD ⊥于点D ．（1）判断ABD △的形状；（2）如图2，在（1）的结论下，若22,3,75BQ DQ BQD ==∠=︒，求AQ 的长； （3）如图3，在（1）的结论下，若将DB 绕着点D 顺时针旋转()090αα︒<<︒得到DP ，连接BP ，作DE BP ⊥交AP 于点F ．试探究AF 与DE 的数量关系，并说明理由． 8．等腰直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，AE 为BAC ∠的角平分线，交BC 于点E ，点D 为AB 的中点，连结CD 交AE 于点G ，过点C 作CF AE ⊥，垂足为点F ，交AB 于点H ．（1）如图1，AG 与CH 的数量关系为__________；CFAG的值为__________； （2）如图2，以点C 为位似中心，将CAE 做位似变换，得到CA E ''△，使CA E ''△与CAE 的相似比为()01k k <<，A E ''与CD 、CH 的交点分别为G '，F '，隐去线段AE ，试求'''CF A G 的值； （3）如图3，将（2）中的等腰直角三角形改为等腰三角形，30B ∠=︒，且其他条件不变， ①CF A G '''的值为__________； ②若'3CF =，直接写出A G C ''△的面积．9．有一边长为6cm 的正方形ABCD 和等腰直角PQR ，PQ ＝PR ，QR ＝8cm ．点B ，C ，Q ，R 在同一条直线l 上．当C ，Q 两点重合时，等腰直角PQR 以1cm/秒的速度沿直线l按箭头所示方向开始匀速运动，t 秒后正方形ABCD 与等腰直角PQR 重合部分的面积为S cm 2．解答下列问题．（1）当t ＝3秒时，求S 的值；当t ＝6秒时，求S 的值； （2）当6秒≤t ≤8秒时，求s 与t 的函数关系式． （3）若重合部分的面积为152cm 时，求t 的值．10．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝12x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线y ＝a 2x ＋bx ＋c 的对称轴是直线x ＝﹣32且经过A ，C 两点，与x 轴的另一交点为点B ．(1)求抛物线解析式；(2)在第四象限的抛物线上找一点M ，过点M 作MN 垂直x 轴于点N ．若△AMN 与△ABC 相似，求点M 的坐标；(3)如图2，P 为抛物线上一点，横坐标为p ，直线EF 交抛物线于E ，F 两点，其中∠EPF 为直角，当p 为定值时，直线EF 过定点D ，求随着p 的值发生变化时，D 点移动时形成的图象解析式．11．如图，已知正方形ABCD ，直线BC 上任意一点E ，连接AE ，将△ABE 绕点A 逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△AFG ，直线BF 、EG 交于点M ．（1）如图1，当点E 在线段BC 上，α＝90°时，求证：M 为GE 的中点； （2）如图2，当点E 在射线BC 上，（1）中的结论是否发生变化，说明理由． （3）当AB ＝4，BE ＝5，BM ＝41时，求DM 的长（直接写出结果）．12．已知顶点为A 的抛物线交y 轴于点()0,2B ，且与直线l 交于不同的两点M 、N （M 、N 不与点A 重合)． (1)求抛物线的解析式； (2)若，①试说明：直线l 必过定点；②过点A 作，垂足为点E ，求点B 到点E 的最短距离．13．综合与探究．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋1与x 轴交于A ，C 两点，点A （﹣1，0），C （3，0），与y 轴交于点B ，抛物线的顶点为D ，直线l 经过B ，C 两点．(1)求抛物线的函数解析式；(2)若P 为抛物线上一点，横坐标为m ，过点P 作PM ⊥y 轴于点M ，交线段BC 于点N ，当N 是线段BC 的黄金分割点时，求点P 到x 轴的距离；(3)若将抛物线向上平移个单位长度，点D 的对应点为D ′，坐标轴上是否存在点Q ，使∠BD ′Q ＝30°？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，抛物线21=-++2y x bx c 的图象经过点C (0，2)，交x 轴于点A (﹣1，0)和B ，连接BC ，直线y ＝kx +1与y 轴交于点D ，与BC 上方的抛物线交于点E ，与BC 交于点F ．(1)求抛物线的表达式及点B 的坐标； (2)求EFDF的最大值及此时点E 的坐标；(3)在（2）的条件下，若点M 为直线DE 上一点，点N 为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M 和点N ，使得以点B 、D 、M 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．15．抛物线2y x 2x 3=-++交x 轴于点A ，B （A 在B 的左边），交y 轴于点C ，顶点为M ，对称轴MD 交x 轴于点D ，E 是线段MD 上一动点，以OB ，BE 为邻边作平行四边形OBEF ，EF 交抛物线于点P ，G （P 在G 的左边），交y 轴于点H ．(1)求点A ，B ，C 的坐标；(2)如图1，当EG FP =时，求DE 的长； (3)如图2，当1DE =时，①求直线FC 的解析式，并判断点M 是否落在该直线上．②连接CG ，MG ，CP ，MP ，记CGM △的面积为1S ，CPM △的面积为2S ，则12S S =__________． 16．问题提出（1）如图①，折叠矩形ABCD ，使点D 落在BC 边上的点F 处，折痕为A ．若4CF =，3EC =，求ABF 的面积；问题解决（2）如图②，某生态农庄计划建造一个形状为矩形ABCD 的休闲区域，并在矩形区域内规划出一个AMN 区域开发成垂钓中心，其余区域开发成休息区，使点M ，N 分别在CD 、BC 上（点N 可与端点重合），AM MN ⊥，3BC MC =，400AB =米．根据设计需求，要使AMN 的面积尽可能的小，请问，是否存在符合设计要求的面积最小的AMN ？若存在，求AMN 面积的最小值并求此时DM 的长；若不存在，请说明理由．17．在平面直角坐标系中，抛物线y12=-x22x+3与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，过点B作BC的垂线，交对称轴于E．(1)如图1，点P为第一象限内的抛物线上一动点，当△PAE面积最大时，在对称轴上找一点M，在y轴上找一点N，使得OM+MN+NP最小，求此时点M的坐标及OM+MN+NP 的最小值；(2)如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点D在射线AD上移动，点D平移后的对应点为D'，点A的对应点A'，设原抛物线的对称轴与x轴交于点F，将△FBC沿BC翻折，使点F 落在点F′处，在平面上找一点G，使得以A'、D'、F'、G为顶点的四边形为菱形．直接写出D′的坐标．18．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AE平分∠BAC，交BC于点E，点D在AC上，以AD为直径的⊙O经过点E，点F在⊙O上，且EF平分∠AED，交AC于点G，连接DF．(1)求证：△DEF∽△GDF：(2)求证：BC是⊙O的切线：(3)若cos∠CAE ＝32，DF ＝102，求线段GF 的长． 19．如图，抛物线与x 轴交于A 、B 两点（ 点A 在点B 的左侧），点B 坐标()3,0，抛物线与y 轴交于点()0,3C -，点D 为抛物线顶点，对称轴1x =与x 轴交于点E ，连接BC 、EC ．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是BC 下方异于点D 的抛物线上一动点，若PBCEBCS S=，求此时点P 的坐标；(3)点Q 是抛物线上一动点，点M 是平面上一点，若以点B 、C 、Q 、M 为顶点的四边形为矩形，直接写出满足条件的点Q 的横坐标．20．我们把方程（x ﹣m ）2＋（y ﹣n ）2＝r 2称为圆心为（m ，n ）、半径长为r 的圆的标准方程．例如，圆心为（1，﹣2）、半径长为3的圆的标准方程是（x ﹣1）2＋（y ＋2）2＝9．如图，在平面直角坐标系中，⊙C 与x 轴交于A ，B 两点，且点B 的坐标为（8，0），与y 轴相切于点D （0，4），过点A ，B ，D 的抛物线的顶点为E ．(1)求⊙C 的标准方程；(2)试判断直线AE 与⊙C 的位置关系，并说明理由； (3)连接CE ，求sin∠AEC 的值．【参考答案】**科目模拟测试一、解答题1．(1)y＝x2﹣2x﹣3(2)点E的坐标是（32，0）或（6，0）(3)①PM有最大值为94；②PH+HF CF的最小值是【解析】【分析】（1）根据待定系数法求解析式即可；（2）根据（1）的结论化为顶点式，即可求得顶点D的坐标，进而令0y=，求得B的坐标，连接BD，求得BD所在直线的解析式为：y＝2x﹣6，由已知可得CE∥BD，即可求得CE的直线解析式，将C点坐标代入函数解析式，得b＝﹣3，当点E在点B的右侧时，取点，过点F作与点G，证明BCD△是直角三角形，根据，即可点E的坐标是（6，0）；（3）①根据题意求得BC的解析式为：y＝x﹣3，设P（x，x2﹣2x﹣3），则M（x，x﹣3），表示出PM，根据二次函数的性质求得PM的最大值，②在x轴的负半轴了取一点K，使∠OCK＝45°，过F作FN⊥CK于N，当N、F、H三点共线时，PH+NH最小，即PH+HF CF的值最小，由Rt△KNH中，∠KHN＝45°，可得PH+HF CF的最小值是PH+NH．(1)把A（﹣1，0），点C（0，﹣3）代入抛物线y＝x2+bx+c中得：，解得：23bc=-⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；(2)∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4∴顶点D（1，﹣4），当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，（x﹣3）（x+1）＝0，x＝3或﹣1，∴B（3，0）；如图1，连接BD，设BD所在直线的解析式为：y＝k（x﹣3），将D点坐标代入函数解析式，得﹣2k＝﹣4，解得k＝2，故BD所在直线的解析式为：y＝2x﹣6，∵∠ECB＝∠CBD，∴CE∥BD，设CE所在直线的解析式为：y＝2x+b，将C点坐标代入函数解析式，得b＝﹣3，故CE所在直线的解析式为：y＝2x﹣3，当y＝0时，x32 ．当点E在点B的右侧时，如图，取点，过点F作与点G，，，是直角三角形，则1OF=∠ECB＝∠CBD，是等腰直角三角形，设则解得或a>则点E的坐标是（6，0）．∴综上所述，点E的坐标是（32，0）或（6，0）；(3)①如图2，∵B（3，0），C（0，﹣3），设BC的解析式为：y＝kx+b，则，解得：，BC的解析式为：y＝x﹣3，设P（x，x2﹣2x﹣3），则M（x，x﹣3），∴PM＝（x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x＝﹣（x32-）294+，当x32=时，PM有最大值为94；②当PM有最大值，P（32，154-），在x轴的负半轴了取一点K，使∠OCK＝45°，过F作FN⊥CK于N，∴FN2=，当N、F、H三点共线时，PH+NH最小，即PH+HF CF的值最小，Rt△OCK中，OC＝3，∴OK＝3，∵OH32 =，∴KH392 =，Rt△KNH中，∠KHN＝45°，∴KN2=，∴NH＝KN，∴PH+HF CF的最小值是PH+NH．【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，一次函数图象的平移，根据二次函数的性质求最值，两点之间线段最短，掌握二次函数的性质，在（3）②中线段转换是解题的关键．2．（1）245；（2）见解析；（3）815434+或543814- 【解析】【分析】（1）由菱形的对角线互相垂直平分，得到直角三角形及其两条直角边的长，再由勾股定理求出边CD 的长，利用菱形的面积列方程即可求解；（2）延长AD 交BF 于点L ，根据平行四边形的判定和性质及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、菱形的每条对角线平分一组对角等，可得：45BLA BAL ∠=∠=︒，进而得出2BF BC CD -=；（3）在0360α<<︒范围内，O H BF ''⊥即90MNH ∠='︒的情况有两种，准确的画出相应图形进行求解即可．【详解】解：（1）如图1，∵四边形ABCD 是菱形，∴90COD ∠=︒，118422OC AC ==⨯=，116322OD BD ==⨯=， ∴22435CD =+=，∴15862BE =⨯⨯， 解得245BE =．（2）如图2，延长AD 交BF 于点L ．∵//CF BD ，//FG BC ，∴四边形BCFG 是平行四边形，∵90ABF DEF ∠=∠=︒，90AOB ∠=︒，∴90GBF ABO BAC DAC ∠=︒-∠=∠=∠，∵////FG BC AD ，GFA BFC ∠=∠，∴LAF GFA BFC ∠=∠=∠，∵BFC GBF ∠=∠，∴GFA BFC LAF BAC DAC ∠=∠=∠=∠=∠，设GFA BFC LAF BAC DAC β∠=∠=∠=∠=∠=，∵AKD FKG ∠=∠，DAK GFK ∠=∠，FG AD =，∴()AKD FKG AAS ≅△△，∴AK FK =， ∴12BK AF AK ==， ∴3KAB KBA GBC GFC β∠=∠=∠=∠=，∴LFA LAF β∠==∠，∵90LFA LAF BAC DAC ∠+∠+∠+∠=︒，∴45LFA LAF BAC DAC ∠=∠=∠=∠=︒，∴LF LA =，45BLA BAL ∠=∠=︒，∴22LA AB LB ==，∵BC AB BL ==，∴2BF BC BF BL LF LA AB -=-===，∵AB CD =，∴2BF BC CD -=．（3）当点D 与点G 重合时，则四边形ABCD 和四边形BCFD 都是菱形，∴60ADB BDC CDF ∠=∠=∠=︒，30DAO ∠=︒，∵9AD AB ==，∴1922BO DO AD ===，9332AO CO DO ===． 当0180α<≤︒，且'90MNH ∠=︒时，如图3， ∵9'2EN CO BO ===，932ME CO ==， ∴993993222MN +=+=， ∵'30NMH ∠=︒， ∴9933339'tan 30232NH MN ++=⋅︒=⨯=， ∴'1993339815432224MNH S +++=⨯⨯=△．当180360α︒<<︒，且'90MNH ∠=︒时，如图4，则9399392MN -==， 9393933'tan 30NH MN --=⋅︒== ∴'1939933543812MNH S ---==△．综上所述，'MNH△81543+54381-．81543+54381-【点睛】题目主要考查平行四边形的判定和性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及全等三角形的性质和判定、二次根式和化简等知识点，综合运用这些知识点是解题关键．3．（143；（2）S=()()22330434348t tt⎧+≤≤⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩＜；（3）存在，当t=247s或（32-3s或163s时，△AMQ为等腰三角形．【解析】【分析】（1）首先求得CN的长，在直角△CNQ中利用三角函数即可求得NQ的长；（2）当0≤t≤4时，N在CD上，首先求得CQ，则AQ长即可求得，再根据△CAB=30°，AM=t，据此即可求得△AMQ的长；当4＜t≤8时，利用相似求得AQ的长，进而求得△AMQ的面积，得到函数解析式；（3）分三种情形讨论求解即可．【详解】解：（1）当t=2时，CN=2×2=4，∵在△ACD中，AD=DC，∴∠DCA=1801202︒-︒=30°，在直角△CNQ中，NQ=CN•tan343（2）由题意得，AM=t，当0≤t≤4时，CN=2t，∵∠D=120°，AB=CD=8，∴∠DCA=30°，连接BD，与AC相交于点定O，过点Q作QG⊥AB于点G，∴OC=CD•cos30︒=43，则AC=83，∴在Rt△CNQ中，NQ=233t，CQ=433t，∴AQ=AC-CQ=83-433t，QG=12AQ，∴S=12AM• QG =23233t t-+，当4＜t≤8时，延长QN，交AB于G，交CD延长线于H，如图：ND=2t-8，∠HDN=60°，∴HD=12ND=t-4，∴CH=t-4+8=t+4，∴CQ=23cos30CH=︒(t+4)，∴AQ=AC-CQ323t+4)，QG=12AQ，S=12•AM• QG2343=．综上，S =()()223230433434863t t t t t t ⎧-+≤≤⎪⎪⎨⎪-+≤⎪⎩＜； （3）①当0＜t ≤4时，只有MA =MQ 符合条件，过点M 作ME ⊥AC 于点E ，则AE =EQ =AM •cos30︒=32t ， ∴AQ =3t ，由（2）知AQ 343， 3433， 解得t =247； ②当4＜t ≤8时，由（2）知AQ 323t +4)， AQ =AM 时，)23834t +=t ， 解得t 3AQ =MQ 时，AM 3， t )233834t ⎤+⎥⎦， 解得t =163． 综上所述，当t =247s 或（3s 或163s 时，△AMQ 为等腰三角形． 【点睛】本题考查了菱形的性质以及三角函数，正确进行分请情况进行讨论是关键．4．（1）215222y x x =-+-；（2）存在，符合条件的点P 为（2，1）或（5，-2）或（-3，-14）【解析】【分析】（1）根据待定系数法求抛物线解析式，把点坐标代入解析式组成方程组，解方程组即可；（2）分三种情况，当1<m <4，m <1， m >4时，由∠PMA =∠COA =90°，根据两边成比例，夹角相等判定定理可得12PM OC AM OA ==或PM OA AM OC =2列方程求解即可． 【详解】解：（1）把A （4，0），B （1，0）代入2-2y ax bx =+， 得，1642020a b a b +-=⎧⎨+-=⎩， 解得，1252a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴抛物线的解析式得，215222y x x =-+- （2）由（1）知215222y x x =-+-， 当x =0时，y =-2，∴C (-2，0)，OA =4，OC =2设P (m ，215222m m ) 当1<m <4时，AM =4-m ，PM =215222m m -+- PM ⊥x 轴，∴∠PMA =∠COA =90°当12PM OC AM OA ==， 则△PAM ∽△CAO ， 即2152(2)422m m m ． 解得，m =2或m =4（舍去）PMOA AM OC=2， 则△PAM ∽△ACO ，即215222m m -+-=2（4-m ） 解得，m =4或m =5（均不合题意，舍去）∴当1<m <4时，P （2，1）．当m <1时，AM =4-m ，PM =215222m m -+ 由PMOA AM OC=2， ()2152=2422m m m -+- 解得34m m =-=，舍去解得，P （-3，-14）．由AMOA PM OC=2， 21522=422m m m ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭解得m =0或m =4均舍去m >4时，AM =m-4 ，PM =215222m m -+由PMOA AM OC =2， ()2152=2-422m m m -+ 解得m =5或m =4舍去解得，P （5，-2）．由AMOA PM OC=2， 21522=-422m m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭解得m =2或m =4均舍去综合上述，符合条件的点P为（2，1）或（5，-2）或（-3，-14）【点睛】本题考查的知识点是二次函数综合，相似三角形判定与性质，解题的关键是熟练的掌握二次函数综合题，与相似三角形的判定方法与性质的应用．5．（1）CEDE51-；（2）x的值为22029或2019．【解析】【分析】（1）如图，连接BE，根据正方形的性质可得∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AD=AB=BC=CD，利用角的和差关系可得∠DAE=∠BAF，利用SAS可证明△DAE≌△BAF，可得DE=BF，根据中点的性质可得S△FGB=S△EGB=12S△FBE，根据S1＝14S，S△FCE=S△FBG+S1即可得答案；（2）如图，过点G作GH⊥BC于H，根据点G为EF中点可得GH为△FCE的中位线，可得GH=12EC，由DE=x可得EC=20-x，即可得出y与x的关系式，根据ECBG＝2413可得BG=1324EC，利用勾股定理可得BH=5(20)24x-，根据∠DAE=∠BAF，∠D=∠ABF可证明△DAE∽△BAF，根据相似三角形的性质可得BF=2x，分点H在点B左侧和右侧两种情况，根据FH=CH列方程求出x的值即可得答案．【详解】（1）如图，连接BE，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AD=AB=BC=CD，∴∠DAE+∠BAE=90°，∠ABF=90°，∵AF⊥AE，∴∠BAF+∠BAE=90°，∴∠DAE=∠BAF，在△DAE和△BAF中，DAE BAF AD ABD ABF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△DAE ≌△BAF ，∴DE =BF ，∵点G 为EF 的中点，∴S △FGB =S △EGB =12S △FBE ， ∵S 1＝14S ，S △FCE =S △FBG +S 1， ∴S △FCE -S △FBG =14S 正方形ABCD ， ∴12FC ·CE -12×12BF ·CE =14BC 2， ∵FC =BC +BF ，BC =CD =CE +DE ，∴2（CE +2DE ）CE-DE ·CE =（CE +DE ）2，整理得：CE 2+DE ·CE -DE 2=0， ∵DE ≠0， ∴2()10CE CE DE DE+-=， 解得：CE DE =512-或CE DE =512--（舍去）， ∴CE DE 的值为512-．（2）如图，过点G 作GH ⊥BC 于H ，∵∠C=∠ABF=90°，∴GH //CD ，∵点G 为EF 中点，∴GH 为△CFE 的中位线，∴GH =12CE ，∵DE =x ，GH =y ，CD =20，∴EC =CD -DE =20-x ，∴GH =12（CD -DE ），即y =12（20-x ），∴y 与x 的关系式为：y =12-x +10， ∵EC BG ＝2413，∴BG =1324EC ， 在Rt △GHB 中，BH =22GB GH -=22131()()242EC EC -=524EC =5(20)24x -， ∵∠DAE +∠BAE =90°，∠BAF +∠BAE =90°，∴∠DAE =∠BAF ，∵∠D =∠ABF =90°，∴△DAE ∽△BAF ，∴2010BF AB DE AD ==， ∴BF =2DE =2x ，当点H 在点B 左侧时，∵FH =CH ，∴BF -BH =BC +BH ，即2x -5(20)24x -=10+5(20)24x - 解得：x =22029，如图，当点H 在点B 右侧时，∵FH =CH ，∴BF +BH =BC -BH ，即2x +5(20)24x -=10-5(20)24x -， 解得：x =2019，综上所述：x 的值为22029或2019． 【点睛】 本题考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、中位线的性质及勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定定理并灵活运用分类讨论的思想是解题关键．6．（1）(3,5)M ，（2）1(5,)2C t t +；（3）(20,0)B ；（4）154或10． 【解析】【分析】（1）利用中点坐标公式计算即可．（2）如图1中，作ME OB ⊥于E ，CF x ⊥轴于F ．证明()MEB BFC AAS ∆≅∆，利用全等三角形的性质即可解决问题． （3）如图2中，存在．由题意当CF OA =时，可证四边形AOBD 是矩形，构建方程即可解决问题．（4）分三种情形：①如图3中，当AD BD =时，以AB 为对角线可得菱形ADBN ，此时点N 在y 轴上．②如图4中，当AD AB =时，以BD 为对角线可得菱形ABND ．此时点N 的纵坐标为6．③因为BD AB ≠，所以不存在以AD 为对角线的菱形．【详解】解：（1）如图1中，(0,10)A ，(6,0)B ，AM BM =，(3,5)M ∴，（2）如图1中，作ME OB ⊥于E ，CF x ⊥轴于F ．//ME OA ，AM BM =，12OE EB t ∴==，152ME OA ==， 90MEB CFB CBM ∠=∠=∠=︒，90MBE CBF ∴∠+∠=︒，90MBE BME ∠+∠=︒，BME CBF ∴∠=∠，BM BC =，()MEB BFC AAS ∴∆≅∆，5BF ME ∴==，12CF BE t ==， 5OF OB BF t ∴=+=+，1(5,)2C t t ∴+．（3）存在．如图2中，作ME OB ⊥于E ，CF x ⊥轴于F ．理由：由题意当=10CF OA =时，//OA CF ，∴四边形AOFC 是平行四边形，90AOF ∠=︒，∴四边形AOFC 是矩形，90DAO AOB DBO ∴∠=∠=∠=︒，∴四边形AOBD 是矩形，又∵由（2）得12CF BE t ==，即：1102t =，解得：20t =．(20,0)B ∴． （4）①如图3中，当AD BD =时，以AB 为对角线可得菱形ADBN ，此时点N 在y 轴上．AD BD =，BAD ABD ∴∠=∠，//BD y 轴，OAB ABD ∴∠=∠，OAB BAD ∴∠=∠．tan tan OAB BAD ∴∠=∠，∴12OB BC OA BA ==，即1102t =，5t ∴=，5OB ∴=，设AN NB m ==，在Rt OBN △中，则有2225(10)m m =+-， 解得254m =， 25151044ON OA AN ∴=-=-=， ∴点N 的纵坐标为154． ②如图4中，当AD AB =时，以BD 为对角线可得菱形ABND ．此时点N 的纵坐标为10．③BD AB ≠，∴不存在以AD 为对角线的菱形．综上所述，满足条件的点N 的纵坐标为154或10． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，翻折变换，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．7．（1）ABD △是等腰直角三角形，证明见解析；（2383）2,AF DE =证明见解析【解析】【分析】（1）先求解45,ACD BCD ∠=∠=︒取AB 的中点,G 连接,,CG DG 再证明,,,A C B D 在以G 为圆心，GC 为半径的同一个圆上，从而可得答案.（2）如图， 把ADQ △顺时针旋转90︒得到,BDQ ' 连接,QQ ' 过Q '作,Q F BQ '⊥ 交BQ 的延长线于,F 证明45,32,DQQ QQ ∠=︒='' 证明120,60,BQQ FQQ ∠=︒∠='︒' 求解3236·cos 60?sin 60QF QQ FQ QQ =︒=︒=''' 再利用勾股定理可得答案； （3）如图，连接,BF 证明 ,DPE ABF ∽ 可得,DP DE AB AF = 结合（1）问的结论可得答案. 【详解】解：（1） 90,ACB CD ∠=︒平分ACB ∠，45,ACD BCD ∴∠=∠=︒取AB 的中点,G 连接,,CG DG90,ACB ADB ∠=∠=︒,CG AG BG DG ∴===,,,A C B D ∴在以G 为圆心，GC 为半径的同一个圆上，45,ABD ACD ∴∠=∠=︒ABD ∴为等腰直角三角形.（2）如图，,90,AD BD ADB =∠=︒把ADQ △顺时针旋转90︒得到,BDQ ' 连接,QQ ' 过Q '作,Q F BQ '⊥ 交BQ 的延长线于,F3,90,,DQ DQ QDQ AQ BQ ''∴∠=︒='==2245,3332,DQQ QQ ''∴∠=︒=+=75,BQD ∠=︒120,60,BQQ FQQ ∴∠=︒∠='︒' 3236·cos 60,?sin 60,22QF QQ FQ QQ ∴=︒==︒=''' 327222,22BF BQ QF ∴=+=+= 22723638,22BQ ⎛⎫⎛⎫∴=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭' 38.AQ BQ '∴==（3）2,AF DE =理由如下：如图，连接,BF2,90,45,BD AD BD ADB ABD BAD AB =∠=︒∠=∠=︒= ,,,DB DP BDP DE BP α=∠=⊥ 11,,90,,22BE PE BDE PDE DBE FB FP αα∴=∠=∠=∠=︒-= ,90,AD DP ADP α=∠=︒+145,2DAP DPA α∴∠=∠=︒- 114545,22BAP PDE αα⎛⎫∴∠=︒-︒-==∠ ⎪⎝⎭ 11180459045,22APB αα⎛⎫∴∠=︒--︒-︒-=︒ ⎪⎝⎭,FB FP =45,90,FBP FPB BFP BFA ∴∠=∠=︒∠=︒=∠90,BFA DEP ∴∠=∠=︒,DPE ABF ∴∽,DP DE AB AF∴=DE DB AF AB ∴== 即.AF = 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的判定与性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，圆的确定，圆周角定理的应用，是典型的综合题，熟练的运用图形的性质，作出恰当的辅助线是解本题的关键.8．（1）AG =CH ；12；（2）'''CF A G 的值为12；（3【解析】【分析】（1）由已知条件ASA 推论出CDH ADG ≅△△，得出AG =CH ；再推论出ACF AHF ≅△△，得出CF HF =，因为12CF CH =，所以12CF AG =； （2）过点A '作//A B AB ''，同（1）理得：CH AG '='' 所以12CF A G '=''； （3）①由已知条件推论出CD H A D G '''''△△，得出CH CD A G A D ''=''''，因为30B ∠=︒，推出CH A G '=''，由12CF CH '='可转化得，CF A G '=''；②由CF A G '=''，'CF 6AG ''=，由面积公式得到12A G C S A G CF ''='''=△ 【详解】解：（1）AC AB = 90ACB ∠=︒ 点D 为AB 的中点CD AB ∴⊥ AD DB CD ==90DCH CHD ∴∠+∠=︒CF AE ⊥90GAD CHD ∴∠+∠=︒DCH GAD ∴∠=∠在CDH △和ADG 中90DCH GAD CD AD CDH ADG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩CDH ADG ∴≅△△ CH AG ∴=AE ∵为BAC ∠的角平分线 CF AE ⊥CAF HAF CFA AFH ∴∠=∠∠=∠在ACF 和AHF △中 CAF HAF AF AFCFA AFH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ACF AHF ∴≅△△CF HF ∴=12CF CH ∴= 12CF AG ∴= （2）过点A '作//A B AB ''，交CD 于D '，CH 于H '，CB 于B ′在CA B ''△中A E '为CAB ∠''的角平分线 CF A E ⊥''同（1）理得：CH AG '='' 12CF A G '∴='' '''CF A G ∴的值为12； （3）过点A '作//A B AB ''，交CD 于D '，CH 于H '，CB 于B ′①AC AB = 30ABC ∠=︒ 点D 为AB 的中点CD AB ∴⊥ //A B AB ''CD A B ∴⊥'' 30A B C ABC ∠''=∠=︒ 30CA B CAB ∠''=∠=︒ 90D CH CH D ∴∠''+∠''=︒ 60AC D ∠'''=︒ CF A E '⊥''90G A D CH D ∴∠'''+∠''=︒ D CH G A D ∴∠''=∠''' 90CD H G D A ∠''=∠'''=︒ CD H A D G ∴'''''△△CH CD A G A D ''∴=''''tan 30CD A D '︒==''CH CD A G A D ''∴=='''CH A G ∴'='' 由题意知A E ''为B AC ∠''的角平分线 CF A E '⊥''CA F H A F CF A A F H ∴∠''=∠'''∠''=∠'''在A CF ''△和A H F '''△中 CA F H A F A F A F CF A A F H ∠''=∠'''⎧⎪''=''⎨⎪∠''=∠'''⎩ACF A H F ∴''≅'''△△ CF H F ∴'=''12CF CH '∴='12=CF A G '∴=''②CF A G '='''CF =6A G ∴''===11633322A G C S A G CF ''∴='''=⨯⨯=△ 【点睛】本题是相似形的综合题目，考察了等腰三角形、直角三角形以及全等三角形的判定和性质、和相似三角形判定和性质等知识；本题难度较大，综合性强．9．（1）92cm 2，14cm 2；（2）21434S t t =-+-；（3）7【解析】 【分析】（1）当3t =时，3CQ =，过P 作PE QR ⊥于E ，易求得PE 的长和QPE ∆的面积，设PQ 交CD 于G ，由于//CG PE ，证明出Rt QGC 为等腰直角三角形，可得到S 的值；当6t =时，Q 、B 重合，线段PR 与CD 相交，设PR 与CD 相交于G ，利用相似的方法求得RCG ∆的面积，从而由RPQ ∆、RCG ∆的面积差求得阴影部分的面积．（2）当68t ≤≤时，AB 与PQ 相交，RP 与CD 相交，仿照（2）的方法，可求得正方形外部的两个小三角形的面积，进而可参照（2）的方法求得阴影部分的面积表达式，由此可得到关于S 、t 的函数关系式；（3）由（2）中的解析式，令2143415S t t =-+-=，求解即可． 【详解】：（1）作PE QR ⊥，E 为垂足．PQ PR =，22264PQ QR ∴==， 2PQ PR ∴==142QE RE QR ∴===，在Rt PEQ 中，45PQE ∠=︒，4PE QE ∴==，当3t =时，3QC =，设PQ 与DC 交于点G ，45,90GQC GCQ ∠=︒∠=︒， Rt QGC ∴为等腰直角三角形， 3GC QC ∴==，11933222S QC GC ∴=⨯⨯=⨯⨯=cm 2；当6t =时，2CR =， 设PR 与DC 交于G ，2CG =，所以，12222RCG S ∆=⨯⨯=cm 2，1842142S =⨯⨯-=cm 2． （2）当68t ≤≤时，6QB t =-，8RC t =-，设PQ 交AB 于点H ，,Q Q QBH QEP ∠=∠∠=∠，QBH QEP ∴∆∆∽，4EQ =， :(6):4BQ EQ t ∴=-，22:(6):4BQH PEQ S S t ∆∆∴=-，又14482PEQ S ∆=⨯⨯=， 212(6)BQH S t ∆∴=-，由RCG REP ∆∆∽，同理得212(8)RCG S t ∆=-，2216(6)(8)1122S t t ∴=----，即21434S t t =-+-，（3）若重合部分的面积为152cm 时，2143415S t t =-+-=，解题：7t =． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、图形面积的求法等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质（相似三角形的面积比等于相似比的平方）．10．(1)213222y x x =--+(2)M （2，﹣3）或（5，﹣18） (3)【解析】 【分析】(1) 利用函数的对称轴确定点B 的坐标，再用待定系数法求解即可．(2) 利用勾股定理的逆定理判定三角形ABC 是直角三角形，根据三角形相似，对应边不确定时，分类求解即可． (3) 设E （，），F （，），P （p ，），过P 作y 轴平行线l ，分别过E ，F 作直线l 的垂线，垂足分别为M ，N ，构造一线三直角相似模型，证明相似，再构造方程组，转化为一元二次方程的根与系数关系定理，求解即可 ． (1) ∵直线y ＝12x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，当x ＝0时，y ＝2，即C （0，2）， 当y ＝0时，12x ＋2=0，解得x ＝﹣4，即A （﹣4，0）． 由A 、B 关于对称轴x ＝﹣32对称，得 B （1，0）．将A 、B 、C 点坐标代入函数解析式，得，解得，∴抛物线的解析式为213222y x x =--+．(2) 连接BC ，设M（m，），则N（m，0）．AN＝m+4，MN＝．由勾股定理，得AC＝，BC＝，AB=1-(-4)=5，∴，∴∠ACB＝90°，①当△ANM∽△ACB时，∠CAB＝∠MAN，∵tan∠CAB＝tan∠MAN，tan∠CAB＝，∴tan∠MAN＝，整理，得，解得：＝﹣4（舍去），＝2，∴M（2，﹣3），②当△ANM′∽△BCA时，∠CBA＝∠MAN，∵tan∠CBA＝tan∠MAN，tan∠CBA＝，∴tan∠MAN＝，整理，得，解得：＝﹣4（舍去），＝5，∴M（5，﹣18），综上，点M的坐标是M（2，﹣3）或（5，﹣18）．(3)设E（，），F（，），P（p，），过P作y轴平行线l，分别过E，F作直线l的垂线，垂足分别为M，N，∵∠EPF 为直角， ∴∠MPE +∠NPF ＝90°， ∵∠PFN +∠NPF ＝90°， ∴∠MPE ＝∠NPF ， ∵∠PME ＝∠FPN ＝90°， ∴△PME ∽△FNP ， ∴，∴ME •NF ＝PM •PN ，（，），F （，），P （p ，），∴（﹣p ）（﹣p ）＝（﹣）（﹣）①， ∵﹣＝＝﹣（﹣p ）（+p +3），﹣＝＝（﹣p ）（+p +3），代入①式得•+（p +3）（+）++6p ＝﹣13②，设直线EF 的解析式为y ＝kx +m ，联立213222y x x =--+得，∴，∴、是该方程的两个根， ∴+＝﹣2k ﹣3，•＝2m ﹣4，代入②，整理，得 ∴m ＝（p +3）k ﹣，则直线EF 的解析式为y ＝kx +（p +3）k ﹣，∴当p 为定值时，直线EF 过定点D （﹣p ﹣3，﹣），∴x=﹣p﹣3，y=﹣，∴，∴随着p的值发生变化时，D点移动时形成的图象解析式为．【点睛】本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式，勾股定理，三角函数，三角形相似的判定和性质，一元二次方程根与系数关系定理，定点的意义，熟练运用待定系数法，灵活用三角形的相似，一元二次方程根与系数关系定理是解题的关键．11．（1）见解析；（2）不发生变化，理由见解析；（3）1【解析】【分析】（1）将△ABE绕点A逆时针旋转α得到△AFG，当点E在线段BC上，α＝90°时，过E 作EH BC⊥，证明四边形HEDG是平行四边形，即可得M是GE的中点；（2）过点E作//EN GF,交BM的延长线于点N，连接GN,EF，方法同（1）证明四边形FEGN是平行四边形即可；（3）根据勾股定理求得AE，①当E在射线BC上时，根据（2）的结论，取AE的中点BP MP，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形中位线定理，可P，连接,得AE BM=，进而证明ABEM是矩形，进而求得DM，②当E在射线CB上时，可得此情况不符合题意，综合①②可得结果．【详解】（1）过E作EH BC⊥,如图，四边形ABCD是正方形，AB CD∴∠=︒//45DBC∴∠=︒45BHE∴=EH EB将△ABE绕点A逆时针旋转α得到△AFG，,∴=BE GD∴=HE GD⊥⊥GF AD AD DC,G D C∴三点共线,,∴⊥GC BC∴//GD HE∴四边形HEDG是平行四边形∴为GE的中点；M（2）（1）中的结论，M是GE的中点，仍然成立，理由如下：如图，过点E作//EN GF,交BM的延长线于点N，连接GN,EF将△ABE绕点A逆时针旋转α得到△AFG，,=AB AF∴=,BE FG∠=设ABFβ∴∠=∠=ABF AFBβ四边形ABCD是正方形，∴∠=∠=︒ABC AFG90∠=︒-∠-∠=︒-GFN AFB AFGβ∴∠=︒-,1809090EBNβEN GF//90∴∠=∠=︒-BNE GFNβ∴∠=∠EBN ENBBE FG = FG EN ∴=∴四边形FEGN 是平行四边形 ∴M 是GE 的中点（3）AB ＝4，BE ＝5，BM ＝41 四边形ABCD 是正方形，90ABC AFG ∴∠=∠=︒,4AD AB BC === Rt ABE △中，22224541AE AB BE =+=+= AE BM ∴=将△ABE 绕点A 逆时针旋转α得到△AFG ,AB AF ∴=,BE FG =,AE AG =①当E 在射线BC 上时，如图，取AE 的中点P ，连接,BP MP 则PA PE =∴114122BP AE ==由（2）可知M 为GE 的中点， ∴114122PM AG == BP PM ∴= PA PE =∴四边形ABEM 是平行四边形 41BP PM AE BM ∴+===即AE BM =∴四边形ABEM 是矩形即,,B P M 三点共线，如图，541DM AM AD BE BC ∴=-=-=-=②当E在射线CB上时，，由已知，AE41BM41由题意，AE≠BM故此情况不存在综上所述，1DM【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质与判定，矩形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质，等边对等角，三线合一，旋转的性质，综合运用以上知识，并能正确的添加辅助线是解题的关键．12．(1)(2)①见解析；②【解析】【分析】（1）用待定系数法求解即可；（2）①依题意可设A（x1，y1），B（x2，y2），y1y2≠0，过点M、N向x轴作垂线，垂足分别为P、Q，顶点A的坐标为（2，0），判定△APM∽△NQA，可得比例式，用x1，x2表示出y1y2；设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），将其与抛物线解析式联立，解方程组，用k和b表示出x1+x2和y1y2，从而可得关于k和b的方程，解得k与b的关系，则可得结论；②由题意可得点E在以DA为直径的圆上，由勾股定理求得BG的值，在△BEG中，由三角形的三边关系可得答案．(1)解：把点B（0，2）代入y=a（x-2）2，得：4a=2，，∴a=12∴抛物线的解析式为；(2)①证明：依题意可设M（x1，y1），N（x2，y2），y1y2≠0，过点M、N向x轴作垂线，垂足分别为P、Q，顶点A坐标为（2，0），∴∠APM=∠AQN=90°，∵∠MAN=90°，∴∠MAP+∠NAQ=90°．∠MAP+∠AMP=90°，∴∠AMP=∠NAQ，∴△APM∽△NQA，∴，即，∴y1y2=2（x1+x2）-x1x2-4．设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），，得x2-（2k+4）x+（4-2b）=0，∴△=（2k+4）2-4（4-2b）=4k2+16k+8b＞0，∴x1+x2=2k+4，x1x2=4-2b，∴y1y2=2（2k+4）-（4-2b）-4=4k+2b=2（2k+b），∵抛物线与直线l交于不同的两点M、N（M、N不与点A重合），∴2k+b≠0，∵y1y2=（kx1+b）（kx2+b）=k2x1x2+kb（x1+x2）+b2=k2（4-2b）+kb（2k+4）+b2=4k2+4kb+b2=（2k+b）2，∴（2k+b）2=2（2k+b），∴（2k+b）（2k+b-2）=0，∴2k+b=0（不合题意，舍去），或2k+b-2=0，当2k+b-2=0，即b=2-2k时，y=kx+2-2k=k（x-2）+2，令x-2=0，则y=2，∴直线l必过定点（2，2）；②∵点A（2，0），点D（2，2），点B（0，2），∴AD=2，∵AE⊥l，∴点E在以AD为直径的圆上，设圆心为G，则点G（2，1），∴BG=，如图，连接BG、EG，则BE≥|BG-EG|=，当且仅当点E在线段BG上时，上式取“=“，∴BE的最小值为，即点B到点E的最短距离是．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，直线与抛物线的交点坐标、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理及三角形的三边关系等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．13．(1)。
(完整)中考数学压轴题精选含答案
一、解答题1．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AP交x轴于点P（p，0），与y轴交于点A （0，a），且a、p满足+（p﹣1）2＝0．(1)求直线AP的解析式；(2)如图1，直线x＝﹣2与x轴交于点N，点M在x轴上方且在直线x＝﹣2上，若△MAP 的面积等于6，请求出点M的坐标；(3)如图2，已知点C（﹣2，4），若点B为射线AP上一动点，连接BC，在坐标轴上是否存在点Q，使△BCQ是以BC为底边的等腰直角三角形，直角顶点为Q，若存在，请求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．2．已知：如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+b（b＞0）交x轴于点A，交y轴于点C，以OA，OC为边作矩形ABCO，矩形ABCO的面积是36．（1）求直线AC的解析式．（2）点P为线段AB上一点，点Q为第一象限内一点，连接PO，PQ，∠OPQ＝90°，且OP＝PQ，设AP的长为t，点Q的横坐标为d，求d与t的函数关系式．（不要求写出自变量t的取值范围）（3）在（2）的条件下，过点Q作QE∥PO交AB的延长线于点E，作∠POC的平分线OF交PE于点F，交PQ于点K，若KQ＝2EF，求点Q的坐标．3．如图1，ΔABC中，AB=AC，点D在BA的延长线上，点E在BC上，DE=DC，点F是DE与AC的交点．（1）求证：∠BDE=∠ACD；（2）若DE=2DF，过点E作EG//AC交AB于点G，求证：AB=2AG；（3）将“点D在BA的延长线上，点E在BC上”改为“点D在AB上，点E在CB的延长线上”，“点F是DE与AC的交点”改为“点F是ED的延长线与AC的交点”，其它条件不变，如图2．①求证：AB·BE=AD·BC；②若DE=4DF，请直接写出SΔABC:SΔDEC的值．4．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于点A和线段BC，给出如下定义：若将线段BC绕点A旋转可以得到⊙O的弦B′C′（B′，C′分别是B，C的对应点），则称线段BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”．（1）如图，点A，B1，C1，B2，C2，B3，C3的横、纵坐标都是整数．在线段B1C1，B2C2，B3C3中，⊙O的以点A为中心的“关联线段”是；（2）△ABC是边长为1的等边三角形，点A（0，t），其中t≠0．若BC是⊙O的以点A 为中心的“关联线段”，求t的值；（3）在△ABC中，AB＝1，AC＝2．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，直接写出OA的最小值和最大值，以及相应的BC长．5．综合与探究如图，在平面直角坐标系中，点()0,10A ，点B 是x 轴的正半轴上的一个动点，连接AB ，取AB 的中点M ，将线段MB 绕着点B 按顺时针方向旋转90°，得到线段BC ．过点B 作x 轴的垂线交直线AC 于点D ．设点B 坐标是(),0t（1）当6t =时，点M 的坐标是 ；（2）用含t 的代数式表示点C 的坐标；（3）是否存在点B ，使四边形AOBD 为矩形？若存在，请求出点B 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）在点B 的运动过程中，平面内是否存在一点N ，使得以A 、B 、N 、D 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N 的纵坐标（不必要写横坐标）；若不存在，请说明理由．6．抛物线1C ：211211y x t x t ---≠＝（）（）（）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧）（1）若2t -＝，求线段AB 的长；（2）猜想：随着t 的变化，A 、B 两点是否会有一定点？若会，请求出该定点的坐标；若不会，请说明理由；（3）求线段AB 的长（用t 表示）（4）若1t ＞，将抛物线1C 经过适当平移后，得到抛物线2C ：221y x t t --＝（）＋，A 、B 的对应点分别为D m （、n ），2E m （＋、n ）； ①求抛物线2C 的解析式；②将抛物线2C 位于直线DE 下方的部分沿直线DE 向上翻折，连同G 在DE 上方的部分组成一个新图形，记为图形G ，若直线132y x b b -＝＋（＜）与圆形G 有且只有两个公共点，求b 的取值范围．7．如图1，直线l 1：y ＝kx 与直线l 2：y ＝﹣12x ＋b 相交于点A （4，3），直线l 2：y ＝﹣12x ＋b 与x 轴交于点B ，点E 为线段AB 上一动点，过点E 作EF ∥y 轴交直线l 1于点F ，连接BF ．（1）求k、b的值；（2）如图2，若点F坐标为（8，6），∠OFE的角平分线交x轴于点M．①求线段OM的长；②点N在直线l1的上方，当△OFN和△OFM全等时，直接写出点N的坐标．8．如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，将CA绕点C顺时针旋转至CD，连接AD，E为直线CD上一点，连接AE；（1）如图1，若∠BAC＝60°，∠ACD＝90°，E为CD中点，23AB=，求△BCE的面积；（2）如图2，若∠ACD＝90°，点E在线段CD上且∠DAE＋∠ABC＝90°，AE的延长线与BC的延长线交于点F，连接DF，求证：2=；BC DF（3）如图3，AB＝1，∠BAC＝90°，∠ACD＝105°，若BE恰好平分∠AEC，点P为线段AE上的动点，点E′与点E关于直线DP对称，AE′与CD交于点Q，连接CE′，当'+-''的值最小时，直接写出CQ的值．2CE AE CE9．如图1，已知数轴上的点A、B对应的数分别是﹣5和1．（1）若P到点A、B的距离相等，求点P对应的数；（2）动点P从点A出发，以2个单位/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒，问：是否存在某个时刻t，恰好使得P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由；（3）如图2在数轴上的点M和点N处各竖立一个挡板（点M在原点左侧，点N在原点右侧且OM＞ON），数轴上甲、乙两个弹珠同时从原点出发，甲弹珠以2个单位/秒的速度沿数轴向右运动，乙弹珠以5个单位/秒的速度沿数轴向左运动．当弹珠遇到挡板后立即以原速度向反方向运动，若甲、乙两个弹珠相遇的位置恰好到点M和点N的距离相等，试探究点M对应的数m与点N对应的数n是否满足某种数量关系，请写出它们的关系式，并说明理由．10．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0）和点B（5，0）．对于线段AB和直线AB外的一点C，给出如下定义：点C到线段AB两个端点的连线所构成的夹角∠ACB叫做线段AB关于点C的可视角，其中点C叫做线段AB的可视点．(1)在点D（-2，2）、E（1，4）、F（3，-2）中，使得线段AB的可视角为45°的可视点是；(2)⊙P为经过A，B两点的圆，点M是⊙P上线段AB的一个可视点.① 当AB为⊙P的直径时，线段AB的可视角∠AMB为度；② 当⊙P的半径为4时，线段AB的可视角∠AMB为度；(3)已知点N为y轴上的一个动点，当线段AB的可视角∠ANB最大时，求点N的坐标．11．图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，在研究三角形的旋转过程中，发现下列问题：如图1，在ABC中，AB AC∠=，MN分别为AB、BC边上一=，BACα点，连接MN，且MN AC∥，将ABC绕点B在平面内旋转．(1)观察猜想 ABC 绕点B 旋转到如图2所示的位置，若60α=︒，则AM CN 的值为______． (2)类比探究 若90α=︒，将ABC 绕点B 旋转到如图3所示的位置，求AM CN 的值． (3)拓展应用若90α=︒，M 为AB 的中点，4AB =，当AM BN ⊥时，请直接写出CN 的值．12．如图1，抛物线y 14=-x 2+bx +c 经过点C （6，0），顶点为B ，对称轴x ＝2与x 轴相交于点A ，D 为线段BC 的中点．(1)求抛物线的解析式；(2)P 为线段BC 上任意一点，M 为x 轴上一动点，连接MP ，以点M 为中心，将△MPC 逆时针旋转90°，记点P 的对应点为E ，点C 的对应点为F ．当直线EF 与抛物线y 14=-x 2+bx +c 只有一个交点时，求点M 的坐标．(3)△MPC 在（2）的旋转变换下，若PC 2=2）．①求证：EA ＝ED ．②当点E 在（1）所求的抛物线上时，求线段CM 的长．13．如图1，在平面直角坐标系中，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°，B (4，0)，C (8，0)，tan∠ACB ＝2，抛物线y ＝ax 2+bx 经过A ，C 两点．(1)求点A的坐标及抛物线的解析式；(2)如图2，过点A作AD⊥AB交BC的垂线于点D，动点P从点A出发，沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，过点P作PE⊥AB交AC于点E．①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G．当t为何值时，线段EG取得最大值？最大值是多少？②连接EQ，在点P，Q运动过程中，t为何值时，使得△CEQ与△ABC相似？14．在平面直角坐标系中，抛物线：与x轴交于点A，B（点B 在点A的右侧）．抛物线顶点为C点，△ABC为等腰直角三角形．(1)求此抛物线解析式．(2)若直线与抛物线有两个交点，且这两个交点与抛物线的顶点所围成的三角形面积等于6，求k的值．(3)若点，且点E，D关于点C对称，过点D作直线2l交抛物线于点M，N，过点E作直线轴，过点N作于点F，求证：点M，C，F三点共线．15．如图1：抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于点A、B，连接AC、BC，tan∠ABC＝1，tan∠BAC＝4．(1)抛物线的解析式为；(2)点P在第三象限的抛物线上，连接PC、PA，若点P横坐标为t，△PAC的面积为S，求S与t的函数关系式；(3)如图2，在（2）的条件下，当S＝6时，点G为第四象限抛物线上一点，连接PG，CH ⊥PG 于点H ，连接OH ，若tan∠OHG 34=，求GH 的长． 16．已知抛物线24y ax bx =++（a ≠0）与x 轴交于点A （3-，0）、B （2，0），与y 轴交于点C ，直线y mx n =+经过两点A 、C ．(1)求a ，b 的值；(2)如图1，点Р在已知抛物线上，且位于第二象限，当四边形PABC 的面积最大时，求点P 的坐标．(3)如图2，将已知抛物线向左平移12个单位，再向下平移2个单位．记平移后的抛物线为'y ，若抛物线'y 与原抛物线的对称轴交于点Q ．点E 是新抛物线'y 的对称轴上一动点，在（2）的条件下，当△PQE 是等腰三角形时，请直接写出点E 的坐标．17．如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，直径DF 交BC 于点G ．(1)如图1，求证：∠BAD －∠BCF ＝90°；(2)如图2，连接AC ，当∠BAC ＝∠CFD ＋∠ACD 时，求证：CA ＝CB ；(3)如图3，在（2）的条件下，AC 交DF 于点H ，∠BAC ＝∠DGB ，45CG BG =，AC ＝9，求△CDH 的面积．18．同学们学过正方形与等腰三角形发现它们都是轴对称图形，它们之间有很多相似，在正边形ABCD 中，E 是对角线AC 上一点（不与点A 、C 重合），以AD 、AE 为邻边作平行四边形AEGD ，GE 交CD 于点M ，连接CG ．(1)如图1，当12AE AC <时，过点E 作EF BE ⊥交CD 于点F ，连接GF 并延长交AC 于点H ．求证：EB EF =；(2)在ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒．过点A 作直线AP ，点C 关于直线AP 的对称点为点D ，连接BD ，CD 直线BD 交直线AP 于点E ．如图2，①依题意补全图形；②请用等式表示线段EB ，ED ，BC 之间的数量关系，并予以证明．19．已知抛物线y 14=-kx 212-（k ﹣2）x +2与y 轴交于点A ，与x 轴交于B 、C （点B 在点C 的左边）．(1)直接写出点B 的坐标；(2)当k ＝1时（如图），求：①在直线AC 上方的抛物线上一点M ，求点M 到直线AC 的最大距离及此时点M 的坐标；②将线段OA 绕x 轴上的动点P （m ，0）顺时针旋转90°得到线段O ′A ′，若线段O ′A ′与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m 的取值范围．20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线1x =，且与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点()0,3C -，OB OC =．（1）求抛物线的解析式．（2）在抛物线上是否存在点Q，使得BCQ△是以BC为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（3）设抛物线上的一点P的横坐标为m，且在直线BC的下方，求使BCP的面积为最大整数时点P的坐标．【参考答案】**科目模拟测试一、解答题1．(1)y=3x-3；(2)（-2，3）；(3)Q的坐标为（-72，0）或（0，74）或（0，132）【解析】【分析】（1）根据算术平方根的非负性及偶次方的非负性得到a+3=0，p-1=0，求出a，p，得到点P，A的坐标，设直线AP的解析式为y=kx+b，利用待定系数法求出函数解析式；（2）过M作MD交x轴于D，连接AD，由MD，△MAP的面积等于6，顶点△DAP的面积等于6，求出DP，得到点D坐标，求出直线DM的解析式，即可求出M的坐标；（3）设B（t，3t-3），分三种情况，①当点Q在轴负半轴时，过B作BE⊥x轴于E，证明△BEQ≌△QNC（AAS），得到O Q=QE-OE=ON+QN，即4-t=2+3-3t，求出t值即可；②当Q在y轴正半轴上时，过C作CF⊥y轴于F，过B作BG⊥y轴于G，证明△CQF≌△QBG（AAS），得到O Q=OG-QG=OF-QF，即3t-3-2=4-t，求出t即可；③当Q在y轴正半轴上时，过点C作CF⊥y轴于F，过B作BT⊥y轴于T，同②可证△CFQ≌△QTB（AAS），得到OQ=OT+QT=OF+QF，即3t-3+2=4+t，求出t值即可．(1)解：∵+（p﹣1）2＝0．∴a+3=0，p-1=0，解得a=-3，p=1，∴P(1,0)，A(0,-3)，设直线AP的解析式为y=kx+b，∴，解得，∴直线AP的解析式为y=3x-3；(2)解：过M作MD交x轴于D，连接AD，∵MD，△MAP的面积等于6，∴△DAP的面积等于6，∴，即，∴DP=4，∴D（-3，0）设直线DM的解析式为y=3x+c，则，∴c=9，∴直线DM的解析式为y=3x+9，令x=-2，得y=3，∴M（-2，3）；(3)解：存在设B（t，3t-3），①当点Q在x轴负半轴时，过B作BE⊥x轴于E，如图，∴OE=t，BE=3-3t，∵△BCQ是以BC为底边的等腰直角三角形，∴BQ=CQ，∠BQC=90°，∴∠BQE=90°-∠NQC=∠QCN，又∵∠BEQ=∠QN C，∴△BEQ≌△QNC（AAS），∴QN=BE=3-3t，QE=CN=4，∴OQ=QE-OE=ON+QN，即4-t=2+3-3t，∴t=12，∴OQ=72，∴Q（-72，0）；②当Q在y轴正半轴上时，过C作CF⊥y轴于F，过B作BG⊥y轴于G，如图，∴BG=t，OG=3t-3，∵△BCQ是以BC为底边的等腰直角三角形，∴BQ=CQ，∠BCQ=90°，∴∠CQF=90°-∠BQG=∠GBQ，又∵∠CFQ=∠BGQ=90°，∴△CQF≌△QBG（AAS），∴CF=QG=2，QF=BG=t，∴O Q=OG-QG=OF-QF，即3t-3-2=4-t，∴t=94，∴OQ=4-t=74，∴Q（0，74）；③当Q在y轴正半轴上时，过点C作CF⊥y轴于F，过B作BT⊥y轴于T，如图，∴BT=t，OT=3t-3，同②可证△CFQ≌△QTB（AAS），∴CF=BT=t，QF=CF=2，∴O Q=OT+QT=OF+QF，即3t-3+2=4+t，∴t=52，∴OQ=4+t=132，∴Q（0，132）；综上，Q的坐标为（-72，0）或（0，74）或（0，132）．【点睛】此题是一次函数与图形的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定即性质，等腰直角三角形的性质，算术平方根的非负性及偶次方的非负性，熟记全等三角形的判定即性质是解题的关键．2．（1）直线AC的解析式为y＝﹣x+6；（2）d=4-t；（3）Q（212，1）．【解析】【分析】（1）先由解析式求出得A、C点的坐标，得OA=OC，得四边形ABCO为正方形，再根据正方形的面积求得边长，便可得b的值；（2）过点Q作QG⊥AB交AB延长沿于点G，证明Rt△AOP≌Rt△GPQ（AAS），得到AP=GQ，进而求得结论便可；（3）过点P作PH⊥OF于点H，延长PH交EQ的延长线于点R，EQ的延长线与x轴交于点N，过Q作QM⊥x轴于点M．证明Rt△AOP≌Rt△GPQ（CCS），得PK=QR，∠R=∠OKP，再证明∠R=∠FPR，得EP=ER，再证FE=NR，设FE=NR=k，NQ=m，在Rt△PQE中，由勾股定理列出方程，得到k与m的关系，解Rt△PQE得tan∠PEQ，进而把这个函数值运用到△OAP中，求得t的值，再运用（2）中结论得Q的纵坐标d的值，再运用到△QNM中求得NM，NQ的值，进而求得ON，便可得Q的横坐标的值．【详解】解：（1）∵直线y＝﹣x+b（b＞0）交x轴于点A，交y轴于点C，A b C b，∴(,0),(0,)∴OA=OC=b，∴矩形ABCO为正方形，∵矩形ABCO的面积是36．∴b=6，即直线AC的解析式为y＝﹣x+6；（2）如图，过点Q作QG⊥AB交AB延长沿于点G，∵∠OPQ=90°，∴∠APO+∠GPQ=90°，∵∠APO+∠AOP=90°，∴∠AOP=∠GPQ，∵在矩形ABCO，∠OAP=90°，QG⊥AB,∴∠QGP=∠OAP=90°，∵PQ=OP，∴Rt△AOP≌Rt△GPQ（AAS），∴AP=GQ，∵AP=t，∴GQ=t，∴d=4-t；（2）过点P 作PH ⊥OF 于点H ，延长PH 交EQ 的延长线于点R ，EQ 的延长线与y 轴交于点N ，过Q 作QM ⊥y 轴于点M ．则AP =t ，QM =d ，且d =6-t ．∵OF 平分∠POC ，∴∠POF =∠COF =∠PFO ，∴PF =PO ，∵PH ⊥OF ，∠OPQ ＝90°，∴∠OPH =∠FPH ，∠KPH =∠POH ，在△OPK 和△PQR 中，90OPK PQR PO QP POK QPR ∠∠︒⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝＝， ∴△OPK ≌△PQR （ASA ），∴PK =QR ，∠R =∠OKP ，∵∠OKP +∠POK =∠POK +∠OPH =90°，∴∠OKP =∠OPH ，∴∠R =∠OPH ，∵PO =PF ，PH ⊥OF ，∴∠OPH =∠FPH ，∴∠R =∠FPR ，∴EP =ER ，∵PE ∥ON ，OP ∥EN ，∴四边形OPEN 是平行四边形，∴EN =PO =PF ，∴PE -PF =ER -EN ，∴FE =NR ，设FE=NR=k，则KQ=2FE=2k，又设NQ=m，∴PK=QR=m+k，∴PQ=m+3k，∴PO=EN=PF=m+3k，∴QE=EN-QR=m+3k-m=3k，PE=PF+FE=4k+m，在Rt△PQE中，∵PE2=PQ2+QE2，∴（4k+m）2=（3k+m）2+（3k）2，∴k1=0（舍去），k2=m，∴PQ=4m，QE=3m，∴tan∠PEN=43 PQQE=，∵OP∥EN，∴∠OPA=∠PEN，∴tan∠APO=43，∵AO=6，∴AP=4.5，∴t=4.5，∴QM=d=6-t=1.5，∵PE∥OC，∴∠QNM=∠PEN，∴tan∠QNM=tan∠PEN=43，∴NM=9 tan8QMQNM=∠，∴m=NQ158 =，∴PE=ON=4k+m=5m=758，∴OM=ON+NM=212，∴Q（212，1）．【点睛】本题是一次函数与四边形的综合题，主要考查了一次函数的图象与性质，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，旋转的性质，解直角三角形的应用，等腰三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，是一道综合性极强的题目，解决这类问题常用到数形结合、方程和转化等数学思想方法．构造全等三角形是解题的关键，也是问题的突破口．3．（1）见解析；（2）见解析；（3）①见解析；②16:15．【解析】【分析】（1）运用等腰三角形的性质及三角形的外角性质就可解决问题．（2）如图1，证明△DCA ≌△EDG （AAS ），得AD =EG ，根据等腰三角形的判定得：DG =AB ，由平行线分线段成比例定理得：2DE DG DF AD ==，由此可得结论； （3）①如图2，作辅助线，构建三角形全等，证明△DCA ≌△EDG （AAS ），得DA =EG ，再证明△ACB ∽△GEB ，列比例式可得结论；②如图3，作辅助线，构建△ABC 和△DCE 的高线，先得14AF AD EG DG ==，设AF =a ，则EG =AD =4a ，DG =16a ，根据AH ∥PD ，得123164PD BD a AH AB a ===，设PD =3h ，AH =4h ，根据EG ∥AC ，同理得41164BG BE a AB BC a ===，设BE =y ，BC =4y ，利用三角形面积公式代入可得结论．【详解】（1）证明：∵AC =AB ，∴∠ACB =∠B ，∵DC =DE ，∴∠DCE =∠DEC ，∴∠ACD +∠ACB =∠B +∠BDE ，∴∠BDE =∠ACD ；（2）证明：如图1，∵EG ∥AC ，∴∠DAC =∠DGE ，∠BEG =∠ACB ，由（1）知：∠DCA =∠BDE ，∵DC =DE ，∴△DCA ≌△EDG （AAS ），∴AD =EG ，∵∠B =∠ACB =∠BEG ，∴EG =BG =AD ，∵DE =2DF ，AF ∥EG ， ∴2DE DG DF AD==， ∴DG =2AD =2AG ，∴AB =DG =2AG ；（3）解：①如图2，过点E 作EG ∥AC ，交AB 的延长线于点G ，则有∠A =∠G ，∵AB =AC ，CD =DE ，∴∠ACB =∠ABC ，∠DCE =∠DEC ，∴∠ACD +∠DCE =∠EDG +∠DEC ，∴∠ACD =∠EDG ，在△DCA 和△EDG 中，∵ACD EDG A G CD DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△DCA ≌△EDG （AAS ）．∴DA =EG ，∵AC ∥EG ，∴△ACB ∽△GEB ，∴AC BC EG BE=， ∵EG =AD ，AC =AB ，∴AB •BE =AD •BC ；②如图3，过A 作AH ⊥BC 于H ，过D 作DP ⊥BC 于P ，则AH ∥PD ，∴AF AD DF EG DG DE==，∵DE=4DF，∴14 AF ADEG DG==，设AF=a，则EG=AD=4a，DG=16a，∵∠ACB=∠ABC，∴∠GBE=∠BEG，∴BG=EG=4a，∴BD=12a，∵AH∥PD，∴123164 PD BD aAH AB a===，设PD=3h，AH=4h，∵EG∥AC，∴41164 BG BE aAB BC a===，设BE=y，BC=4y，∴S△ABC=12BC•AH=4?42y h=162yh=8yh，S△DCE=12CE•PD=5?32y h=152yh，∴S△ABC：S△DEC=8yh：152yh=16：15．【点睛】本题是三角形的综合题，考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、等腰三角形的性质和判定等知识，第三问有难度，利用参数表示各线段的长是本题的关键，综合性较强．4．（1）B2C2；（23）OA最小值为1，相应的BC=OA最大值为2，相应的BC=【解析】【分析】（1）结合题意，根据旋转和圆的性质分析，即可得到答案；（2）根据题意，分B C''在x轴上方和x轴上方两种情况；根据等边三角形、勾股定理、全等三角形的性质，得AD OD==（3）结合题意，得当AC'为⊙O的直径时，OA取最小值；当A、B'、O三点共线时，OA 取最大值；根据勾股定理、等腰三角形的性质计算，即可得到答案．【详解】（1）线段B 1C 1绕点A 旋转得到的11B C ''，均不能成为⊙O 的弦∴线段B 1C 1不是⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”；线段B 2C 2绕点A 旋转得到的22B C ''，如下图：∴线段B 2C 2是⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”；线段B 3C 3绕点A 旋转得到的33B C ''，均不能成为⊙O 的弦∴线段B 3C 3不是⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”；故答案为：B 2C 2；（2）∵△ABC 是边长为1的等边三角形，点A （0，t ），⊙O 的半径为1 ∴//B C x ''轴分B C ''在x 轴上方和x 轴上方两种情况：当B C ''在x 轴上方时，B C ''与y 轴相交于点D ，见下图：∵1OB OC ''== ∴1122B D B C '''==∴2232OD OB B D ''=-= ∵△ABC 是边长为1的等边三角形，即△AB C ''是边长为1的等边三角形，∴AC D OC D ''∠=∠，AD B C ''⊥∴AC D OC D ''△≌△∴32AD OD == ∴3AO AD OD =+=∴3t =；当B C ''在x 轴上方时，B C ''与y 轴相交于点D ，见下图：同理，3AO AD OD =+=∴()0,3A -；∴t 3=-；∴3t =或3-；（3）当AC '为⊙O 的直径时，OA 取最小值，如下图：∴OA 最小值为1，90AB C ''∠=︒∴223BC B C AC AB ''''==-=当A 、B '、O 三点共线时，OA 取最大值，2OA AC '== ，如下图：作AE OC '⊥交OC '于点E ，作C F AO '⊥交AO 于点F ，如下图∵2OA AC '== ∴1122OE OC '== ∴2215AE AO OE - ∵11222AE OC OB C F '''⨯=⨯⨯ ∴1152C F AE '== ∴2214OF OC C F ''=-= ∴34B F OB OF ''=-= ∴26BC B C C F B F ''''==+=∴OA 最小值为1，相应的3BC =；OA 最大值为2，相应的62BC =． 【点睛】 本题考查了旋转、圆、等边三角形、勾股定理、全等三角形、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握旋转、圆周角、等腰三角形三线合一、勾股定理的性质，从而完成求解．5．（1）(3,5)M ，（2）1(5,)2C t t +；（3）(20,0)B ；（4）154或10． 【解析】【分析】（1）利用中点坐标公式计算即可．（2）如图1中，作ME OB ⊥于E ，CF x ⊥轴于F ．证明()MEB BFC AAS ∆≅∆，利用全等三角形的性质即可解决问题．（3）如图2中，存在．由题意当CF OA =时，可证四边形AOBD 是矩形，构建方程即可解决问题．（4）分三种情形：①如图3中，当AD BD =时，以AB 为对角线可得菱形ADBN ，此时点N 在y 轴上．②如图4中，当AD AB =时，以BD 为对角线可得菱形ABND ．此时点N 的纵坐标为6．③因为BD AB ≠，所以不存在以AD 为对角线的菱形．【详解】解：（1）如图1中，(0,10)A ，(6,0)B ，AM BM =，(3,5)M ∴，（2）如图1中，作ME OB ⊥于E ，CF x ⊥轴于F ．//ME OA ，AM BM =，12OE EB t ∴==，152ME OA ==， 90MEB CFB CBM ∠=∠=∠=︒，90MBE CBF ∴∠+∠=︒，90MBE BME ∠+∠=︒，BME CBF ∴∠=∠，BM BC =，()MEB BFC AAS ∴∆≅∆，5BF ME ∴==，12CF BE t ==， 5OF OB BF t ∴=+=+，1(5,)2C t t ∴+． （3）存在．如图2中，作ME OB ⊥于E ，CF x ⊥轴于F ．理由：由题意当=10CF OA =时，//OA CF ，∴四边形AOFC 是平行四边形，90AOF ∠=︒，∴四边形AOFC 是矩形，90DAO AOB DBO ∴∠=∠=∠=︒，∴四边形AOBD 是矩形，又∵由（2）得12CF BE t ==，即：1102t =，解得：20t =．(20,0)B ∴． （4）①如图3中，当AD BD =时，以AB 为对角线可得菱形ADBN ，此时点N 在y 轴上．AD BD =，BAD ABD ∴∠=∠，//BD y 轴，OAB ABD ∴∠=∠，OAB BAD ∴∠=∠．tan tan OAB BAD ∴∠=∠， ∴12OB BC OA BA ==，即1102t =， 5t ∴=，5OB ∴=，设AN NB m ==，在Rt OBN △中，则有2225(10)m m =+-，解得254m =， 25151044ON OA AN ∴=-=-=， ∴点N 的纵坐标为154． ②如图4中，当AD AB =时，以BD 为对角线可得菱形ABND ．此时点N 的纵坐标为10．③BD AB ≠，∴不存在以AD 为对角线的菱形．综上所述，满足条件的点N 的纵坐标为154或10． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，翻折变换，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．6．（1）6；（2）会，（1，0）；（3）22t -；（4）①y 2=（x -2）2+1；②52＜b ＜3． 【解析】【分析】（1）根据题意令y 1=0，解得x ，即AB 点的横坐标，进而即可求得AB 的长；（2）由题意可知当x =1时，y 1=0，进而可以得出该定点的坐标；（3）由（1）可知AB 点的横坐标，进而即可用t 表示线段AB 的长；（4）①由题意可知t ＞1时，点A 、B 的坐标分别为：（1，0），（2t -1，0），进而依据AB =DE ，即可求解；②根据题意将点D 、E 的坐标代入抛物线表达式得：m =1，故点D 、E 的坐标为：（1，2）、（3，2），当直线过点D 时，2=-12×1+b ，解得：b =52，同理直线过点E 时，b =72，而b ＜3，即可求解． 【详解】解：（1）令y 1=0，解得：x =1或2t -1，当t =-2，则x =1或-5，所以线段AB =1-（2t -1）=2-2t =6； （2）会有一定点，理由如下：当x =1时，y 1=0，所以会有一定点（1，0）；（3）由（1）可知当y 1=0，解得：x =1或2t -1，所以线段AB 的长为：1(21)22t t --=-；（4）①t ＞1时，点A 、B 的坐标分别为：（1，0），（2t -1，0），因为平移距离相等可得AB =DE ，即2t -1-1=m +2-m =2，解得：t =2，所以点B （3，1），把t =2，代入221y x t t --＝（）＋， 可得抛物线C 2的解析式为：y 2=（x -2）2+1；②将点D 、E 的坐标代入抛物线表达式得：n =（m -2）2+1=（m +2-2）2+1，解得：m =1，故点D 、E 的坐标为：（1，2）、（3，2）；图象G 如下图所示，当直线过点D 时，2=-12×1+b ，解得：b =52， 同理直线过点E 时，b =72，而b ＜3， 所以b 的取值范围为：52＜b ＜3． 【点睛】 本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形过定点等，其中（3），要注意分类讨论避免遗漏．7．（1）34k =，5b =；（2）①OM =5；②()3,6N 或724,55N ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）分别将将(4,3)A 代入y kx =和12y x b =-+中，求解即可； （2）①设直线AB 与y 轴交与点C ，与FM 交于点D ,证明△AFD ≌△EFD ，得到AD =ED ，利用中点坐标公式求得点D 坐标，用待定系数法求得直线FD 的函数表达式，令0y =,即可求得点M 的坐标，从而求得OM ；②点N 在直线l 1的上方，当△OFN 和△OFM 全等时，满足题意的点N 有两个，分别画出相关的图形，分类讨论求解即可．【详解】解：（1）∵直线l 1：y kx =和直线l 2：12y x b =-+相交于点A ∴将(4,3)A 代入y kx =中，得：43k =解得：34k = ∴将(4,3)A 代入12y x b =-+中，得：1432b -⨯+= 解得：5b =∴3,54k b == （2）① 设直线AB 与y 轴交与点C ，与FM 交于点D ,如下图：∵34k =，5b = ∴直线l 1的函数表达式为34y x =，直线l 2的函数表达式为152y x =-+ ∵(4,3)A∴22345OA +设直线AB 与y 轴交与点C ，与FM 交于点D则()0,5C∴5OC =∴5OA OC ==∴∠OCA =∠OAC∵//FE y 轴∴∠OCA =∠FEA又∵∠OAC =∠FAE∴∠FAE =∠FEA∴FA =FE又∵FM 是∠OFE 的角平分线∴∠AFM =∠EFM又∵FD =FD∴△AFD ≌△EFD∴AD =ED∴点D 为AE 的中点∵//FE y 轴∴点F 和点E 的横坐标相同将8x =代入152y x =-+中，得1y = ∴()8,1E∵(4,3)A ，()8,1E∴()6,2D设线段FM 所在的直线函数表达式为()0y ax b a =+≠将()()8,6,6,2F D 代入y ax b =+中，得：8662k b k b +=⎧⎨+=⎩解得：210k b =⎧⎨=-⎩∴线段FM 所在的直线函数表达式为210y x =-令0y =，得2100x -=解得：5x =∴()5,0M∴OM =5② 当,OFN FOM 全等时，有两种情况，情况一，如下图所示：∵OFN FOM ≅△△∴∠OFN =∠FOM ，FN =OM ,ON =FM∴//FN OM∵OM =5∴FN =5,8F x =∴853N x =-=,6N F y y ==∴()3,6N情况二，当△OMF 和△ONF 关于直线l 1对称时，如下图所示：∵OFN FOM ≅△△∴ON =OM =5，∠NOF =∠MOF∵OP =OP∴△NOP ≌△MOP∴PN =PM∵()8,6F ∴226810OF + 又∵1122OMF F S OM y OF PM =⋅=⋅ ∴F OM y OF PM ⋅=⋅ ∴56==310PM ⨯ ∴MN =2PM =6，OP 2222534OM PM -- ∵1122OMN N S MN OP OM y =⋅=⋅△ ∴642455N y ⨯== ∴2222247555N N x ON y ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭∴724,55N ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 综上所述，满足题意点有两个，分别是：()3,6N 或724,55N ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【点睛】本题考查用待定系数法求一次函数表达式，三角形全等的性质和证明，两条直角交点的求法以及三角形的等面积法等知识点，牢记相关内容并能灵活应用数形结合思想解题是本题的关键．8．（1）32；（2）见解析；（3）222- 【解析】【分析】（1）过点,,A E D 分别作BC 的垂线，垂足分别为,,H I G ，连接BE ，证明Rt AHC Rt CGD △≌△，根据含30度角的直角三角形的性质求得CE ,进而求得EI ,根据三角形的面积公式求解即可；（2）过点,A D 分别作BC 的垂线，交BC 及BC 的延长线于点,H G ，证明Rt AHC Rt CGD △≌△，进而可得HAF △是等腰直角三角形，DGF 是等腰直角三角形，即可证明2222DF DG HC BC ===，即2BC DF =； （3）延长,EA EC ，过点B 分别作,BN EN BM CM ⊥⊥，垂足分别为,N N ，解直角三角形Rt ABN △可得45ABN ∠=︒，进而可得30AEC NEM ∠=∠=︒，进求得DE 的长度，由点P 为线段AE 上的动点，点E ′与点E 关于直线DP 对称，AE ′与CD 交于点Q ，连接CE ′，构造相似三角形，在线段DC 上截取322DF =-,连接E F '，则CDE E DF ''△∽△，求得目标等量关系()21E F CE ''=-，根据()221CE AE CE CE AE E F AE AF '''''+-=-+=+≥''则当,,A E F '三点共线时，取得最小值，此时Q 点与F 点重合，根据CQ CF CD FD ==-即可求得答案．【详解】（1）如图，过点,,A E D 分别作BC 的垂线，垂足分别为,,H I G ，连接BE ，AB ＝AC ，将CA 绕点C 顺时针旋转至CD ，AC CD ∴=∠BAC ＝60°，ABC ∴是等边三角形，AC CD ∴=，60BAC ∠=︒AH BC ⊥ 1302CAH CAB ∴∠=∠=︒ ,AH HC DG GC ⊥⊥，∠ACD ＝90°，90AHC CGD ∴∠=∠=︒90ACH DCG ACH HAC ∴∠+∠=∠+∠=︒DCG HAC ∴∠=∠Rt AHC Rt CGD ∴△≌△HC GD ∴=,30CAH DCG ∠=∠=︒ E 为CD 中点，23AB =， 11322CE CD AB ∴=== 在Rt CEI △中，30ECI ∠=︒1322EI CE ∴== 1133232222BCE S BC EI ∴=⋅⋅=⨯⨯=△ （2）如图，过点,A D 分别作BC 的垂线，交BC 及BC 的延长线于点,H G ，,AH HC DG GC ⊥⊥，∠ACD ＝90°，90AHC CGD ∴∠=∠=︒90ACH DCG ACH HAC ∴∠+∠=∠+∠=︒DCG HAC ∴∠=∠Rt AHC Rt CGD ∴△≌△AH CG ∴=,DG HC =AC CD =， AH BC ⊥∴BAH HAC ∠=∠，90ABC BAH ∠+∠=︒∠DAE ＋∠ABC ＝90°，DAE HAC DCG ∴∠=∠=∠AC CD =，∠ACD ＝90°，45DAC ∴∠=︒DAE EAC CAH EAC ∴∠+∠=∠+∠45HAF =∠=︒即45HAF ∠=︒HAF ∴△是等腰直角三角形AH HF ∴=CG HF ∴=CG CF HF CF ∴-=-即HC FG =又DG HC =FG DG ∴= ∴DGF 是等腰直角三角形 2222DF DG HC BC ∴=== 即2BC DF =（3）如图，延长,EA EC ，过点B 分别作,BN EN BM CM ⊥⊥，垂足分别为,N N ，BE 恰好平分∠AEC ，BM BN ∴=∠BAC ＝90°，∠ACD ＝105°，AB ＝AC ，AB ＝1，在Rt ABC 中，2BC 45ABC ACB ∴∠=∠=︒150BCE ACB ACE ∴∠=∠+∠=︒30BCM ∴∠=︒60CBM ∴∠=︒22BM ∴= 2BN BM ∴==在Rt ABN △中21,AB BN ==2cos BN ABN AB ∴∠==45ABN ∴∠=︒90NBC ∴∠=︒9060150NBM NBC CBM ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒在四边形ENBM 中，90,150M N NBM ∠=∠=︒∠=︒30AEC NEM ∴∠=∠=︒ 1152BEC AEC ∴∠==︒ 又30BCM BEC CBE ∠=∠+∠=︒15CBE CEB ∴∠=∠=︒CB CE ∴=2= 1CD CA AB ===21DE CE CD ∴=-=-如图，点P 为线段AE 上的动点，点E ′与点E 关于直线DP 对称，AE ′与CD 交于点Q ，连接CE ′， ∴21DE DE '==-211DE CD '-= 若211DF E D -='，则322DF =- 在线段DC 上截取322DF =-,连接E F '，则DF ED E D CD'='，又E DF CDE ''∠=∠ CDE E DF ''∴△∽△ 21CE CD E F E D '∴==''-()21E F CE ''= ∴()221CE AE CE CE AE E F AE AF '''''+-=+=+≥'' 则当,,A E F '三点共线时，取得最小值，此时Q 点与F 点重合，此时1(322)22CQ CF CD FD ==-=--=【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，相似三角形的性质与判定，角平分线的性质，解直角三角形，第三问是阿氏圆模型，找到点F 的位置是解题的关键．9．（1）点P 对应的数为-2；（2）当t =2或6时，恰好使得P 到点A 的距离是点P 到点B 的距离的2倍；（3）m +13n =0．【解析】【分析】（1）设点P 对应的数为x ，表示出BP 与PA ，根据BP =PA 求出x 的值，即可确定出点P 对应的数；（2）表示出点P 对应的数，进而表示出PA 与PB ，根据PA =2PB 求出t 的值即可；（3）因为OM ＞ON ，只有甲乙均反弹之后在中点相遇一种情况，设点M 对应的数为m ，点N 对应的数为n ，时间为t ，则M 、N 的中点对应的数为2m n +，根据甲、乙两个弹珠相遇的位置恰好到点M 和点N 的距离相等列出关系式即可．【详解】解：（1）点A 、B 对应的数分别是﹣5和1，设点P 对应的数为x ，则BP =1-x ，PA =x +5，∵BP =PA ，∴1-x =x +5，解得：x =-2，∴点P 对应的数为-2；（2）P 对应的数为-5+2t ，∴PA =2t ，PB =|-5+2t -1|=|2t -6|，∵PA =2PB ，∴2t =2|2t -6|，当t =2t -6时，t =6；当t +2t -6=0时，t =2；答：当t =2或6时，恰好使得P 到点A 的距离是点P 到点B 的距离的2倍；（3）设点M 对应的数为m ，点N 对应的数为n ，时间为t ，则M 、N 的中点对应的数为2m n +， ∴MN =n -m ，OM =-m ，ON =n ，∴()()252502t t n m m n t m m ⎧+=-⎪+⎨⎛⎫=-+- ⎪⎪⎝⎭⎩，即()()351073352t n m n m t ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩， 化简得m +13n =0．【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，数轴，两点间的距离，运用分类讨论思想、方程思想及数形结合思想是解题的关键．10．(1)点E(2)① 90；② 30或150(3)N（00，【解析】【分析】（1）AE、BE、AB满足勾股定理，且AE=AB，可知ABE△为等腰直角三角形，则∠AEB=45°，故E点可使线段AB的可视角为45°．（2）①由半径所对的圆周角为90°即可得出∠AMB为90°．②连接AP、BP，即可得出ABP△为等边三角形，由圆周角定理即可求得∠AMB为30°或150°．（3）以AB为弦作圆M且过点N，由圆周角定理可得出当圆心角AMB最大时，圆周角ANB最大，由直线与圆的位置关系得出当y轴与圆M相切时圆心角AMB最大，进而可求得N点坐标．(1)连接AE，BE∵AE=4，AB=4，AE⊥AB∴ABE△为等腰直角三角形∴∠AEB=45°．故使得线段AB的可视角为45°的可视点是点E．(2)①有题意可知，此时AB为⊙P直径由半径所对的圆周角为90°可知∠AMB为90°②当⊙P的半径为4时，AB为⊙P一条弦，连接AP，BP∵BP=AP=4，AB=4∴ABP△为等边三角形∴∠APB=60°当点M在圆心一侧由圆周角定理知∠AMB=当点M不在圆心一侧由内切四边形性质可知∠AMB=180°-30°=150°。
2024年中考数学压轴题
2024年中考数学压轴题一、若一个正方形的对角线长为10，则其面积为多少？A. 25B. 50C. 75D. 100（答案）A解析：正方形的对角线将正方形分为两个等腰直角三角形，根据勾股定理，若对角线长为10，则正方形边长为对角线长除以根号2，即5根号2。
面积为边长的平方，即(5根号2)的平方等于50，但因为是两个三角形，所以正方形面积为50的一半，即25。
二、函数y=2x+1与y=3x-2的交点坐标是？A. (1,3)B. (3,1)C. (-1,3)D. (3,-1)（答案）D解析：联立两个方程2x+1=3x-2，解得x=3，将x=3代入任一方程得y=7，所以交点坐标为(3,-1)。
三、若一个等差数列的首项为2，公差为3，第10项是多少？A. 17B. 29C. 32D. 41（答案）B解析：等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
代入a1=2，d=3，n=10，得a10=2+(10-1)*3=29。
四、一个圆的半径为r，其内接正方形的面积为？A. r的平方B. 2r的平方C. 4r的平方D. 无法确定（答案）B解析：圆内接正方形的对角线等于圆的直径，即2r。
正方形的面积等于对角线长度的平方的一半，即(2r)的平方除以2，等于2r的平方。
五、若一个三角形的两边长分别为5和8，则第三边的长度可能是？A. 2B. 3C. 12D. 14（答案）C解析：根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的原则，第三边的长度应在8-5=3和8+5=13之间，所以只有选项C的12满足条件。
六、一个长方体的长、宽、高分别为3、4、5，其体积为？A. 30B. 45C. 60D. 90（答案）C解析：长方体的体积等于长、宽、高的乘积，即345=60。
七、若一个数的平方等于16，则这个数是？A. 4B. -4C. 4或-4D. 无法确定（答案）C解析：一个数的平方等于16，意味着这个数可以是4或-4，因为4的平方和-4的平方都等于16。
中考数学压轴题集锦精选100题(含答案)
中考数学压轴题集锦精选100题（含答案）一、中考压轴题1．如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，以AB为直径的⊙O经过点C．过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P．点D为圆上一点，且＝，弦AD的延长线交切线PC于点E，连接BC．（1）判断OB和BP的数量关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为2，求AE的长．【分析】（1）首先连接OC，由PC切⊙O于点C，可得∠OCP＝90°，又由∠BAC＝30°，即可求得∠COP＝60°，∠P＝30°，然后根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，证得OB＝BP；（2）由（1）可得OB＝OP，即可求得AP的长，又由＝，即可得∠CAD＝∠BAC＝30°，继而求得∠E＝90°，继而在Rt△AEP中求得答案．【解答】解：（1）OB＝BP．理由：连接OC，∵PC切⊙O于点C，∴∠OCP＝90°，∵OA＝OC，∠OAC＝30°，∴∠OAC＝∠OCA＝30°，∴∠COP＝60°，∴∠P＝30°，在Rt△OCP中，OC＝OP＝OB＝BP；（2）由（1）得OB＝OP，∵⊙O的半径是2，∴AP＝3OB＝3×2＝6，∵＝，∴∠CAD＝∠BAC＝30°，∴∠BAD＝60°，∵∠P＝30°，∴∠E＝90°，在Rt△AEP中，AE＝AP＝×6＝3．【点评】此题考查了切线的性质、直角三角形的性质以及圆周角定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．2．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点P、Q分别是AB边和CD边上的动点，点P从点A向点B运动，点Q从点C向点D运动，且保持AP＝CQ．设AP＝x．（1）当PQ∥AD时，求x的值；（2）当线段PQ的垂直平分线与BC边相交时，求x的取值范围；（3）当线段PQ的垂直平分线与BC相交时，设交点为E，连接EP、EQ，设△EPQ的面积为S，求S关于x的函数关系式，并写出S的取值范围．【分析】（1）根据已知条件，证明四边形APQD是矩形，再根据矩形的性质和AP＝CQ 求x即可；（2）连接EP、EQ，则EP＝EQ，设BE＝y，列出等式（8﹣x）2+y2＝（6﹣y）2+x2然后根据函数的性质来求x的取值范围；（3）由图形的等量关系列出方程，再根据函数的性质来求最值．【解答】解：（1）当PQ∥AD时，则∠A＝∠APQ＝90°，∠D＝∠DQP＝90°，又∵AB∥CD，∴四边形APQD是矩形，∴AP＝QD，∵AP＝CQ，AP＝CD＝，∴x＝4．（2）如图，连接EP、EQ，则EP＝EQ，设BE＝y．∴（8﹣x）2+y2＝（6﹣y）2+x2，∴y＝．∵0≤y≤6，∴0≤≤6，∴≤x≤．（3）S△BPE＝•BE•BP＝••（8﹣x）＝，S△ECQ＝＝•（6﹣）•x＝，∵AP＝CQ，∴S BPQC＝，∴S＝S BPQC﹣S△BPE﹣S△ECQ＝24﹣﹣，整理得：S＝＝（x﹣4）2+12（），∴当x＝4时，S有最小值12，当x＝或x＝时，S有最大值．∴12≤S≤．【点评】解答本题时，涉及到了矩形的判定、矩形的性质、勾股定理以及二次函数的最值等知识点，这是一道综合性比较强的题目，所以在解答题目时，一定要把各个知识点融会贯通，这样解题时才会少走弯路．3．汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设．某汽车销售公司2005年盈利1500万元，到2007年盈利2160万元，且从2005年到2007年，每年盈利的年增长率相同．（1）该公司2006年盈利多少万元？（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2008年盈利多少万元？【分析】（1）需先算出从2005年到2007年，每年盈利的年增长率，然后根据2005年的盈利，算出2006年的利润；（2）相等关系是：2008年盈利＝2007年盈利×每年盈利的年增长率．【解答】解：（1）设每年盈利的年增长率为x，根据题意得1500（1+x）2＝2160解得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）∴1500（1+x）＝1500（1+0.2）＝1800答：2006年该公司盈利1800万元．（2）2160（1+0.2）＝2592答：预计2008年该公司盈利2592万元．【点评】本题的关键是需求出从2005年到2007年，每年盈利的年增长率．等量关系为：2005年盈利×（1+年增长率）2＝2160．4．如图，已知直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点，点B、C把三等分，连接PC并延长PC交y轴于点D（0，3）．（1）求证：△POD≌△ABO；（2）若直线l：y＝kx+b经过圆心P和D，求直线l的解析式．【分析】（1）首先连接PB，由直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点，点B、C把三等分，可求得∠APB＝∠DPO＝60°，∠ABO＝∠POD＝90°，即可得△P AB是等边三角形，可得AB＝OP，然后由ASA，即可判定：△POD≌△ABO；（2）易求得∠PDO＝30°，由OP＝OD•tan30°，即可求得点P的坐标，然后利用待定系数法，即可求得直线l的解析式．【解答】（1）证明：连接PB，∵直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点，点B、C把三等分，∴∠APB＝∠DPO＝×180°＝60°，∠ABO＝∠POD＝90°，∵P A＝PB，∴△P AB是等边三角形，∴AB＝P A，∠BAO＝60°，∴AB＝OP，∠BAO＝∠OPD，在△POD和△ABO中，∴△POD≌△ABO（ASA）；（2）解：由（1）得△POD≌△ABO，∴∠PDO＝∠AOB，∵∠AOB＝∠APB＝×60°＝30°，∴∠PDO＝30°，∴OP＝OD•tan30°＝3×＝，∴点P的坐标为：（﹣，0）∴，解得：，∴直线l的解析式为：y＝x+3．【点评】此题考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质以及待定系数法求一次函数的解析式．此题综合性较强，难度适中，注意准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．5．广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售．（1）求平均每次下调的百分率．（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？【分析】（1）根据题意设平均每次下调的百分率为x，列出一元二次方程，解方程即可得出答案；（2）分别计算两种方案的优惠价格，比较后发现方案①更优惠．【解答】解：（1）设平均每次下调的百分率为x，则6000（1﹣x）2＝4860，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（舍去），故平均每次下调的百分率为10%；（2）方案①购房优惠：4860×100×（1﹣0.98）＝9720（元）；方案②可优惠：80×100＝8000（元）．故选择方案①更优惠．【点评】本题主要考查一元二次方程的实际应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，属于中档题．6．用两种方法解答：已知m、n是关于x的方程x2+（p﹣2）x+1＝0两个实数根，求代数式（m2+mp+1）（n2+np+1）的值．【分析】本题主要是利用韦达定理来计算．已知m、n是关于x的方程x2+（p﹣2）x+1＝0两个实数根，有四个等式可供使用：m+n＝2﹣p①，mn＝1②，m2+（p﹣2）m+1＝0③，n2+（p﹣2）n+1＝0④．通过变形方法，合理地选择解题方法．【解答】解：∵m、n是x2+（p﹣2）x+1＝0的根，∴m+n＝2﹣p，mn＝1．方法一：m2+（p﹣2）m+1＝0，n2+（p﹣2）n+1＝0．即m2+pm+1＝2m，n2+pn+1＝2n．原式＝2m×2n＝4mn＝4．方法二：（m2+mp+1）（n2+np+1）＝（m2+mp）（n2+np）+m2+mp+n2+np+1＝m2n2+m2np+mpn2+mnp2+m2+mp+n2+np+1＝1+mp+np+p2+m2+n2+mp+np+1＝2+p2+m2+n2+2（m+n）p＝2+p2+m2+n2+2（2﹣p）p＝2+p2+m2+n2+4p﹣2p2＝2+（m+n）2﹣2mn+4p﹣2p2+p2＝2+（2﹣p）2﹣2+4p﹣2p2+p2＝4﹣4p+p2+4p﹣p2＝4．【点评】本题主要是通过根与系数的关系来求值．注意把所求的代数式转化成m+n＝2﹣p，mn＝1的形式，正确对所求式子进行变形是解题的关键．7．如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，AB＝2，M、N分别是边AB、AC的中点，直线MN交⊙O于E、F两点，BD∥AC交直线MN于点D．求出图中线段DM上已有的一条线段的长．【分析】连接OA交MN于点G，则OA⊥BC，由三角形的中位线的性质可得MN的长，易证得△BMD≌△AMN，有DM＝MN，由相交弦定理得ME•MF＝MA•MB，就可求得EM，DE的值．【解答】解：∵M，N分别是边AB，AC的中点∴MN∥BC，MN＝BC＝1又∵BD∥AC∴∠DBA＝∠A＝60°∵BM＝AM，∠BMD＝∠AMN∴△BMD≌△AMN∴DM＝MN＝1连接OA交MN于点G，则OA⊥BC∴OA⊥EF∴EG＝FG，MG＝FN由相交弦定理得：ME•MF＝MA•MB∴EM（EM+1）＝1解得EM＝（EM＝不合题意，舍去）∴DE＝DM﹣EM＝∴DE（3﹣DE）＝1解得DE＝（DE＝不合题意，舍去）．【点评】本题利用了三角形的中位线的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，一元二次方程的解法求解．8．如图，已知△BEC是等边三角形，∠AEB＝∠DEC＝90°，AE＝DE，AC，BD的交点为O．（1）求证：△AEC≌△DEB；（2）若∠ABC＝∠DCB＝90°，AB＝2 cm，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）在△AEC和△DEB中，已知AE＝DE，BE＝CE，且夹角相等，根据边角边可证全等．（2）由图可知，在连接EO并延长EO交BC于点F，连接AD之后，整个图形是一个以EF所在直线对称的图形．即△AEO和△DEO面积相等，只要求出其中一个即可，而三角形AEO面积＝•OE•FB，所以解题中心即为求出OE和FB，有（1）中结论和已知条件即可求解．【解答】（1）证明：∵∠AEB＝∠DEC＝90°，∴∠AEB+∠BEC＝∠DEC+∠BEC，即∠AEC＝∠DEB，∵△BEC是等边三角形，∴CE＝BE，又AE＝DE，∴△AEC≌△DEB．（2）解：连接EO并延长EO交BC于点F，连接AD．由（1）知AC＝BD．∵∠ABC＝∠DCB＝90°，∴∠ABC+∠DCB＝180°，∴AB∥DC，AB＝＝CD，∴四边形ABCD为平行四边形且是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD，又∵BE＝CE，∴OE所在直线垂直平分线段BC，∴BF＝FC，∠EFB＝90°．∴OF＝AB＝×2＝1，∵△BEC是等边三角形，∴∠EBC＝60°．在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝90°﹣60°＝30°，∴BE＝AB•cos30°＝，在Rt△BFE中，∠BFE＝90°，∠EBF＝60°，∴BF＝BE•cos60°＝，EF＝BE•sin60°＝，∴OE＝EF﹣OF＝＝，∵AE＝ED，OE＝OE，AO＝DO，∴△AOE≌△DOE．∴S△AOE＝S△DOE∴S阴影＝2S△AOE＝2וEO•BF＝2×××＝（cm2）．【点评】考查综合应用等边三角形、等腰三角形、解直角三角形、直角三角形性质，进行逻辑推理能力和运算能力．9．如图，有一直径MN＝4的半圆形纸片，其圆心为点P，从初始位置Ⅰ开始，在无滑动的情况下沿数轴向右翻滚至位置Ⅴ，其中，位置Ⅰ中的MN平行于数轴，且半⊙P与数轴相切于原点O；位置Ⅱ和位置Ⅳ中的MN垂直于数轴；位置Ⅲ中的MN在数轴上；位置Ⅴ中的点N到数轴的距离为3，且半⊙P与数轴相切于点A．解答下列问题：（1）位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为2；位置Ⅱ中的半⊙P与数轴的位置关系是相切；（2）求位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数；（3）纸片半⊙P从位置Ⅲ翻滚到位置Ⅳ时，求点N所经过路径长及该纸片所扫过图形的面积；（4）求OA的长．[（2），（3），（4）中的结果保留π]．【分析】（1）先求出圆的半径，再根据切线的性质进行解答；（2）根据位置Ⅰ中的长与数轴上线段ON相等求出的长，再根据弧长公式求出的长，进而可得出结论；（3）作NC垂直数轴于点C，作PH⊥NC于点H，连接P A，则四边形PHCA为矩形，在Rt△NPH中，根据sin∠NPH＝＝即可∠NPH、∠MP A的度数，进而可得出的长，【解答】解：（1）∵⊙P的直径＝4，∴⊙P的半径＝2，∵⊙P与直线有一个交点，∴位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为2；位置Ⅱ中的半⊙P与数轴的位置关系是相切；故答案为：2，相切；（2）位置Ⅰ中的长与数轴上线段ON相等，∵的长为＝π，NP＝2，∴位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数为π+2．（3）点N所经过路径长为＝2π，S半圆＝＝2π，S扇形＝＝4π，半⊙P所扫过图形的面积为2π+4π＝6π．（4）如图，作NC垂直数轴于点C，作PH⊥NC于点H，连接P A，则四边形PHCA为矩形．在Rt△NPH中，PN＝2，NH＝NC﹣HC＝NC﹣P A＝1，于是sin∠NPH＝＝，∴∠NPH＝30°．∴∠MP A＝60°．从而的长为＝，于是OA的长为π+4+π＝π+4．【点评】本题考查的是直线与圆的关系、弧长的计算、扇形的面积公式，在解答此题时要注意Ⅰ中的长与数轴上线段ON相等的数量关系．10．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝6，AC＝4，D是AB边上一点，P是优弧BAC的中点，连接P A、PB、PC、PD．（1）当BD的长度为多少时，△P AD是以AD为底边的等腰三角形？并证明；（2）在（1）的条件下，若cos∠PCB＝，求P A的长．【分析】（1）根据等弧对等弦以及全等三角形的判定和性质进行求解；（2）过点P作PE⊥AD于E．根据锐角三角函数的知识和垂径定理进行求解．【解答】解：（1）当BD＝AC＝4时，△P AD是以AD为底边的等腰三角形．∵P是优弧BAC的中点，∴＝．∴PB＝PC．又∵∠PBD＝∠PCA（圆周角定理），∴当BD＝AC＝4，△PBD≌△PCA．∴P A＝PD，即△P AD是以AD为底边的等腰三角形．（2）过点P作PE⊥AD于E，由（1）可知，当BD＝4时，PD＝P A，AD＝AB﹣BD＝6﹣4＝2，则AE＝AD＝1．∵∠PCB＝∠P AD（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），∴cos∠P AD＝cos∠PCB＝，∴P A＝．【点评】综合运用了等弧对等弦的性质、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数的知识以及垂径定理．11．在△ABC中，AB＝BC，将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转得△A1B1C1，使点C1落在直线BC上（点C1与点C不重合），（1）如图，当∠C＞60°时，写出边AB1与边CB的位置关系，并加以证明；（2）当∠C＝60°时，写出边AB1与边CB的位置关系（不要求证明）；（3）当∠C＜60°时，请你在如图中用尺规作图法作出△AB1C1（保留作图痕迹，不写作法），再猜想你在（1）、（2）中得出的结论是否还成立并说明理由．【分析】（1）AB1∥BC．因为等腰三角形，两底角相等，再根据平行线的判定，内错角相等两直线平行，可证明两直线平行．（2）当∠C＝60°时，写出边AB1与边CB的位置关系也是平行，证明方法同（1）题．（3）成立，根据旋转变换的性质画出图形．利用三角形全等即可证明．【解答】解：（1）AB1∥BC．证明：由已知得△ABC≌△AB1C1，∴∠BAC＝∠B1AC1，∠B1AB＝∠C1AC，∵AC1＝AC，∴∠AC1C＝∠ACC1，∵∠C1AC+∠AC1C+∠ACC1＝180°，∴∠C1AC＝180°﹣2∠ACC1，同理，在△ABC中，∵BA＝BC，∴∠ABC＝180°﹣2∠ACC1，∴∠ABC＝∠C1AC＝∠B1AB，∴AB1∥BC．（5分）（2）如图1，∠C＝60°时，AB1∥BC．（7分）（3）如图，当∠C＜60°时，（1）、（2）中的结论还成立．证明：显然△ABC≌△AB1C1，∴∠BAC＝∠B1AC1，∴∠B1AB＝∠C1AC，∵AC1＝AC，∴∠AC1C＝∠ACC1，∵∠C1AC+∠AC1C+∠ACC1＝180°，∴∠C1AC＝180°﹣2∠ACC1，同理，在△ABC中，∵BA＝BC，∴∠ABC＝180°﹣2∠ACC1，∴∠ABC＝∠C1AC＝∠B1AB，∴AB1∥BC．（13分）【点评】考查图形的旋转，等腰三角形的性质，平行线的判定．本题实质是考查对图形旋转特征的理解，旋转前后的图形是全等的．12．九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD＝3m，标杆与旗杆的水平距离BD＝15m，人的眼睛与地面的高度EF＝1.6m，人与标杆CD的水平距离DF＝2m，求旗杆AB的高度．【分析】利用三角形相似中的比例关系，首先由题目和图形可看出，求AB的长度分成了2个部分，AH和HB部分，其中HB＝EF＝1.6m，剩下的问题就是求AH的长度，利用△CGE∽△AHE，得出，把相关条件代入即可求得AH＝11.9，所以AB＝AH+HB＝AH+EF＝13.5m．【解答】解：∵CD⊥FB，AB⊥FB，∴CD∥AB∴△CGE∽△AHE∴即：∴∴AH＝11.9∴AB＝AH+HB＝AH+EF＝11.9+1.6＝13.5（m）．【点评】主要用到的解题思想是把梯形问题转化成三角形问题，利用三角形相似比列方程来求未知线段的长度．13．一个不透明的口袋里有红、黄、绿三种颜色的球（除颜色外其余都相同），其中红球有2个，黄球有1个，任意摸出一个黄球的概率为．（1）试求口袋里绿球的个数；（2）若第一次从口袋中任意摸出一球（不放回），第二次任意摸出一球，请你用树状图或列表法，求出两次都摸到红球的概率．【分析】（1）根据概率的求解方法，利用方程求得绿球个数；（2）此题需要两步完成，所以采用树状图法或者列表法都比较简单，解题时要注意是放回实验还是不放回实验，此题为不放回实验．【解答】解：（1）设口袋里绿球有x个，则，解得x＝1．故口袋里绿球有1个．（2）红一红二黄绿红一红二，红一黄，红一绿，红一红二红一，红二黄，红一绿，红二黄红一，黄红二，黄绿，黄绿红一，绿红二，绿黄，绿故，P（两次都摸到红球）＝．【点评】（1）解题时要注意应用方程思想；（2）列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．14．已知：y关于x的函数y＝（k﹣1）x2﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点．（1）求k的取值范围；（2）若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足（k﹣1）x12+2kx2+k+2＝4x1x2．①求k的值；②当k≤x≤k+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最小值．【分析】（1）分两种情况讨论，当k＝1时，可求出函数为一次函数，必与x轴有一交点；当k≠1时，函数为二次函数，若与x轴有交点，则△≥0．（2）①根据（k﹣1）x12+2kx2+k+2＝4x1x2及根与系数的关系，建立关于k的方程，求出k 的值；②充分利用图象，直接得出y的最大值和最小值．【解答】解：（1）当k＝1时，函数为一次函数y＝﹣2x+3，其图象与x轴有一个交点．当k≠1时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点，令y＝0得（k﹣1）x2﹣2kx+k+2＝0．△＝（﹣2k）2﹣4（k﹣1）（k+2）≥0，解得k≤2．即k≤2且k≠1．综上所述，k的取值范围是k≤2．（2）①∵x1≠x2，由（1）知k＜2且k≠1，函数图象与x轴两个交点，∴k＜2，且k≠1．由题意得（k﹣1）x12+（k+2）＝2kx1①，将①代入（k﹣1）x12+2kx2+k+2＝4x1x2中得：2k（x1+x2）＝4x1x2．又∵x1+x2＝，x1x2＝，∴2k•＝4•．解得：k1＝﹣1，k2＝2（不合题意，舍去）．∴所求k值为﹣1．②如图，∵k1＝﹣1，y＝﹣2x2+2x+1＝﹣2（x﹣）2+．且﹣1≤x≤1．由图象知：当x＝﹣1时，y最小＝﹣3；当x＝时，y最大＝．∴y的最大值为，最小值为﹣3．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、一次函数的定义、二次函数的最值，充分利用图象是解题的关键．15．如图①，有四张编号为1、2、3、4的卡片，卡片的背面完全相同．现将它们搅匀并正面朝下放置在桌面上．（1）从中随机抽取一张，抽到的卡片是眼睛的概率是多少？（2）从四张卡片中随机抽取一张贴在如图②所示的大头娃娃的左眼处，然后再随机抽取一张贴在大头娃娃的右眼处，用树状图或列表法求贴法正确的概率．【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：（1）所求概率为；（2）方法①（树状图法）共有12种可能的结果：（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3）∵其中有两种结果（1，2），（2，1）是符合条件的，∴贴法正确的概率为，方法②（列表法）1 2 3 4第一次抽取第二次抽取1（2，1）（3，1）（4，1）2（1，2）（3，2）（4，2）3（1，3）（2，3）（4，3）4（1，4）（2，4）（3，4）共有12种可能的结果：（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），∵其中有两种结果（1，2），（2，1）是符合条件的，∴贴法正确的概率为．【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．16．经统计分析，某市跨河大桥上的车流速度v（千米/小时）是车流密度x（辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到220辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为80千米/小时，研究表明：当20≤x≤220时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（1）求大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度；（2）在交通高峰时段，为使大桥上的车流速度大于40千米/小时且小于60千米/小时，应控制大桥上的车流密度在什么范围内？（3）车流量（辆/小时）是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量＝车流速度×车流密度．求大桥上车流量y的最大值．【分析】（1）当20≤x≤220时，设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v＝kx+b，根据题意的数量关系建立方程组求出其解即可；（2）由（1）的解析式建立不等式组求出其解即可；（3）设车流量y与x之间的关系式为y＝vx，当x＜20和20≤x≤220时分别表示出函数关系由函数的性质就可以求出结论．【解答】解：（1）设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v＝kx+b，由题意，得，解得：，∴当20≤x≤220时，v＝﹣x+88，当x＝100时，v＝﹣×100+88＝48（千米/小时）；（2）由题意，得，解得：70＜x＜120．∴应控制大桥上的车流密度在70＜x＜120范围内；（3）设车流量y与x之间的关系式为y＝vx，当0≤x≤20时y＝80x，∴k＝80＞0，∴y随x的增大而增大，∴x＝20时，y最大＝1600；当20≤x≤220时y＝（﹣x+88）x＝﹣（x﹣110）2+4840，∴当x＝110时，y最大＝4840．∵4840＞1600，∴当车流密度是110辆/千米，车流量y取得最大值是每小时4840辆．【点评】本题考查了车流量＝车流速度×车流密度的运用，一次函数的解析式的运用，一元一次不等式组的运用，二次函数的性质的运用，解答时求出函数的解析式是关键．17．如图，反比例函数的图象经过点A（4，b），过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB 的面积为2．（1）求k和b的值；（2）若一次函数y＝ax﹣3的图象经过点A，求这个一次函数的解析式．【分析】（1）由△AOB的面积为2，根据反比例函数的比例系数k的几何意义，可知k的值，得出反比例函数的解析式，然后把x＝4代入，即可求出b的值；（2）把点A的坐标代入y＝ax﹣3，即可求出这个一次函数的解析式．【解答】解：（1）∵反比例函数的图象经过点A，AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为2，A（4，b），∴OB×AB＝2，×4×b＝2，∴AB＝b＝1，∴A（4，1），∴k＝xy＝4，∴反比例函数的解析式为y＝，即k＝4，b＝1．（2）∵A（4，1）在一次函数y＝ax﹣3的图象上，∴1＝4a﹣3，∴a＝1．∴这个一次函数的解析式为y＝x﹣3．【点评】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式和反比例函数中k的几何意义．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．18．图（1）是一个10×10格点正方形组成的网格．△ABC是格点三角形（顶点在网格交点处），请你完成下面的两个问题：（1）在图（1）中画出与△ABC相似的格点△A1B1C1和△A2B2C2，且△A1B1C1与△ABC的相似比是2，△A2B2C2与△ABC的相似比是；（2）在图（2）中用与△ABC，△A1B1C1，△A2B2C2全等的格点三角形（每个三角形至少使用一次），拼出一个你熟悉的图案，并为你设计的图案配一句贴切的解说词．【分析】（1）△A1B1C1与△ABC的相似比是2，则让△ABC的各边都扩大2倍就可．△A2B2C2与△ABC的相似比是；△ABC的直角边是2，所以△A2B2C2与的直角边是即一个对角线的长度．斜边为2．依此画图即可；（2）拼图有审美意义即可，答案不唯一．【解答】解：【点评】本题主要考查了相似图形的画法，做这类题时根据的是相似图形的性质，即相似比相等．对应角相等．19．如图，矩形ABCD的边AD、AB分别与⊙O相切于点E、F，（1）求的长；（2）若，直线MN分别交射线DA、DC于点M、N，∠DMN＝60°，将直线MN沿射线DA方向平移，设点D到直线的距离为d，当时1≤d≤4，请判断直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由．【分析】（1）连接OE、OF，利用相切证明四边形AFOE是正方形，再根据弧长公式求弧长；（2）先求出直线M1N1与圆相切时d的值，结合1≤d≤4，划分d的范围，分类讨论．【解答】解：（1）连接OE、OF，∵矩形ABCD的边AD、AB分别与⊙O相切于点E、F，∴∠A＝90°，∠OEA＝∠OF A＝90°∴四边形AFOE是正方形∴∠EOF＝90°，OE＝AE＝∴的长＝＝π．（2）如图，将直线MN沿射线DA方向平移，当其与⊙O相切时，记为M1N1，切点为R，交AD于M1，交BC于N1，连接OM1、OR，∵M1N1∥MN∴∠DM1N1＝∠DMN＝60°∴∠EM1N1＝120°∵MA、M1N1切⊙O于点E、R∴∠EM1O＝∠EM1N1＝60°在Rt△EM1O中，EM1＝＝＝1∴DM1＝AD﹣AE﹣EM1＝+5﹣﹣1＝4．过点D作DK⊥M1N1于K在Rt△DM1K中DK＝DM1×sin∠DM1K＝4×sin∠60°＝2即d＝2，∴当d＝2时，直线MN与⊙O相切，当1≤d＜2时，直线MN与⊙O相离，当直线MN平移到过圆心O时，记为M2N2，点D到M2N2的距离d＝DK+OR＝2+＝3＞4，∴当2＜d≤4时，MN直线与⊙O相交．【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d 与圆半径大小关系完成判定．20．如图所示，AB＝AC，AB为⊙O的直径，AC、BC分别交⊙O于E、D，连接ED、BE．（1）试判断DE与BD是否相等，并说明理由；（2）如果BC＝6，AB＝5，求BE的长．【分析】（1）可通过连接AD，AD就是等腰三角形ABC底边上的高，根据等腰三角形三线合一的特点，可得出∠CAD＝∠BAD，根据圆周角定理即可得出∠DEB＝∠DBE，便可证得DE＝DB．（2）本题中由于BE⊥AC，那么BE就是三角形ABC中AC边上的高，可用面积的不同表示方法得出AC•BE＝CB•AD．进而求出BE的长．【解答】解：（1）DE＝BD证明：连接AD，则AD⊥BC，在等腰三角形ABC中，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAD（等腰三角形三线合一），∴＝，∴DE＝BD；（2）∵AB＝5，BD＝BC＝3，∴AD＝4，∴S△ABC＝•AC•BE＝•CB•AD，∴BE＝4.8．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，圆周角定理等知识点的运用，用等腰三角形三线合一的特点得出圆周角相等是解题的关键．21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，Rt△BAP中，∠BAP＝90°，已知∠CBO＝∠ABP，BP交AC于点O，E为AC上一点，且AE＝OC．（1）求证：AP＝AO；（2）求证：PE⊥AO；（3）当AE＝AC，AB＝10时，求线段BO的长度．【分析】（1）根据等角的余角相等证明即可；（2）过点O作OD⊥AB于D，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CO＝DO，利用“SAS”证明△APE和△OAD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AEP＝∠ADO＝90°，从而得证；（3）设C0＝3k，AC＝8k，表示出AE＝CO＝3k，AO＝AP＝5k，然后利用勾股定理列式求出PE＝4k，BC＝BD＝10﹣4k，再根据相似三角形对应边成比例列式求出k＝1然后在Rt △BDO中，利用勾股定理列式求解即可．【解答】（1）证明：∵∠C＝90°，∠BAP＝90°∴∠CBO+∠BOC＝90°，∠ABP+∠APB＝90°，又∵∠CBO＝∠ABP，∴∠BOC＝∠APB，∵∠BOC＝∠AOP，∴∠AOP＝∠APB，∴AP＝AO；（2）证明：如图，过点O作OD⊥AB于D，∵∠CBO＝∠ABP，∵AE＝OC，∴AE＝OD，∵∠AOD+∠OAD＝90°，∠P AE+∠OAD＝90°，∴∠AOD＝∠P AE，在△AOD和△P AE中，，∴△AOD≌△P AE（SAS），∴∠AEP＝∠ADO＝90°∴PE⊥AO；（3）解：设AE＝OC＝3k，∵AE＝AC，∴AC＝8k，∴OE＝AC﹣AE﹣OC＝2k，∴OA＝OE+AE＝5k．由（1）可知，AP＝AO＝5k．如图，过点O作OD⊥AB于点D，∵∠CBO＝∠ABP，∴OD＝OC＝3k．在Rt△AOD中，AD＝＝＝4k．∴BD＝AB﹣AD＝10﹣4k．∵OD∥AP，∴，即解得k＝1，∵AB＝10，PE＝AD，∴PE＝AD＝4K，BD＝AB﹣AD＝10﹣4k＝6，OD＝3在Rt△BDO中，由勾股定理得：BO＝＝＝3．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，（2）作辅助线构造出过渡线段DO并得到全等三角形是解题的关键，（3）利用相似三角形对应边成比例求出k＝1是解题的关键．22．如图，AD是⊙O的直径．（1）如图①，垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2把圆周4等分，则∠B1的度数是22.5°，∠B2的度数是67.5°；（2）如图②，垂直于AD的三条弦B1C1，B2C2，B3C3把圆周6等分，分别求∠B1，∠B2，∠B3的度数；（3）如图③，垂直于AD的n条弦B1C1，B2C2，B3C3，…，B n∁n把圆周2n等分，请你用含n的代数式表示∠B n的度数（只需直接写出答案）．【分析】根据条件可以先求出圆的各段弧的度数，根据圆周角等于所对弧的度数的一半，就可以求出圆周角的度数．【解答】解：（1）垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2把圆周4等分，则是圆的，因而度数是45°，因而∠B1的度数是22.5°，同理的度数是135度，因而，∠B2的度数是67.5°；（2）∵圆周被6等分∴＝＝＝360°÷6＝60°∵直径AD⊥B1C1∴＝＝30°，∴∠B1＝＝15°∠B2＝＝×（30°+60°）＝45°∠B3＝＝×（30°+60°+60°）＝75°；（3）B n∁n把圆周2n等分，则弧BnD的度数是：，则∠B n AD＝，在直角△AB n D中，．【点评】本题是把求圆周角的度数的问题转化为求弧的度数的问题，依据是圆周角等于所对弧的度数的一半．23．今年，我国政府为减轻农民负担，决定在5年内免去农业税．某乡今年人均上缴农业税25元，若两年后人均上缴农业税为16元，假设这两年降低的百分率相同．（1）求降低的百分率；（2）若小红家有4人，明年小红家减少多少农业税？（3）小红所在的乡约有16000农民，问该乡农民明年减少多少农业税？【分析】（1）设降低的百分率为x，则降低一次后的数额是25（1﹣x），再在这个数的基础上降低x，则变成25（1﹣x）（1﹣x）即25（1﹣x）2，据此即可列方程求解；（2）每人减少的税额是25x，则4个人的就是4×25x，代入（1）中求得的x的值，即可求解；（3）每个人减少的税额是25x，乘以总人数16000即可求解．【解答】解：（1）设降低的百分率为x，依题意有，25（1﹣x）2＝16，解得，x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（舍去）；（2）小红全家少上缴税25×20%×4＝20（元）；（3）全乡少上缴税16000×25×20%＝80 000（元）．答：降低的增长率是20%，明年小红家减少的农业税是20元，该乡农民明年减少的农业税是80 000元．【点评】本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．24．在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，由D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．设DE＝a，DF＝b，且实数a，b满足9a2﹣24ab+16b2＝0，并有＝2566，∠A使得方程x2﹣x•sin A+sin A﹣＝0有两个相等的实数根．（1）试求实数a，b的值；（2）试求线段BC的长．【分析】（1）由题意可知：2a2b＝2566，则2a2b＝248，则a2b＝48．化简9a2﹣24ab+16b2＝0得：（3a﹣4b）2＝0，则3a﹣4b＝0，即3a＝4b，则根据，可求得a与b的值；（2）要求BC的长需求出BD和CD的长，知BD、CD分别是直角三角形BDE和直角三角形CDF中的斜边．又知在△ABC中，AB＝AC，则∠B＝∠C，则根据三角函数只要知道∠B或∠C的读数即可，要求∠B或∠C的读数需求的∠A的读数，根据判别式可以求得∠A的读数．【解答】解：（1）由条件有，解得；（2）又由关于x的方程的判别式△＝sin2A﹣sin A+＝（sin A﹣）2＝0，则sin A＝，而∠A为三角形的一个内角，所以∠A1＝60°或∠A2＝120° 2分当∠A＝60°时，△ABC为正三角形，∠B＝∠C＝60°于是分别在Rt△BDE和Rt△CDF中有BD＝，CD＝所以BC＝BD+DC＝．当∠A＝120°时，△ABC为等腰三角形，∠B＝∠C＝30°同上方法可得BC＝14． 3分所以线段BC的长应为或14．【点评】考查了解直角三角形以及判别式的应用．25．某市城建部门经过长期市场调查发现，该市年新建商品房面积P（万平方米）与市场新房均价x（千元/平方米）存在函数关系P＝25x；年新房销售面积Q（万平方米）与市场新房均价x（千元/平方米）的函数关系为Q＝﹣10；（1）如果年新建商品房的面积与年新房销售面积相等，求市场新房均价和年新房销售总额；（2）在（1）的基础上，如果市场新房均价上涨1千元，那么该市年新房销售总额是增加还是减少？变化了多少？结合年新房销售总额和积压面积的变化情况，请你提出一条合理。
几何最值问题-2023年中考数学压轴题专项训练(全国通用)(解析版)
12023年中考数学压轴题专项训练1.几何最值问题一、压轴题速练1一、单选题1(2023·山东烟台·模拟预测)如图，在矩形ABCD 中，AB =8，AD =4，点E 是矩形ABCD 内部一动点，且∠BEC =90°，点P 是AB 边上一动点，连接PD 、PE ，则PD +PE 的最小值为()A.8 B.45 C.10 D.45-2【答案】A【分析】根据∠BEC =90°得到点的运动轨迹，利用“将军饮马”模型将PE 进行转化即可求解．【详解】解：如图，设点O 为BC 的中点，由题意可知，点E 在以BC 为直径的半圆O 上运动，作半圆O 关于AB 的对称图形(半圆O ')，点E 的对称点为E 1，连接O 'E 1,则PE =PE 1，∴当点D 、P 、E 1、O '共线时，PD +PE 的值最小，最小值为DE 1的长，如图所示，在Rt △DCO '中，CD =8，CO '=6，∴DO '=82+62=10，又∵O 'E 1=2，∴DE 1=DO '-O 'E 1=8，即PD +PE 的最小值为8，故选：A ．【点睛】本题考查线段和最短问题、轴对称的性质、勾股定理及圆周角定理，利用“将军饮马”模型将PE 进行转化时解题的关键．2(2023·安徽黄山·校考模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y =32x 2-32x -3的图象与x 轴交于点A ，C 两点，与y 轴交于点B ，对称轴与x 轴交于点D ，若P 为y 轴上的一个动点，连接PD ，则12PB +PD 的最小值为()2A.334B.32C.3D.543【答案】A【分析】作射线BA ，作PE ⊥BA 于E ，作DF ⊥BA 于F ，交y 轴于P ，可求得∠ABO =30°，从而得出PE =12PB ，进而得出PD +12PB =PD +EP ，进一步得出结果．【详解】解：如图，作射线BA ，作PE ⊥BA 于E ，作DF ⊥BA 于F ，交y 轴于P ，抛物线的对称轴为直线x =--322×32=12，∴OD =12，当x =0时，y =-3，∴OB =3，当y =0时，32x 2-32x -3=0，∴x 1=-1，x 2=2，∴A (-1,0)，∴OA =1，∵tan ∠ABO =OA OB =13=33，∴∠ABO =30°，∴PE =12PB ，∴12PB +PD =PD +PE ≥DF ，当点P 在P 时，PD +PE 最小，最大值等于DF ，在Rt △ADF 中，∠DAF =90°-∠ABO =60°，AD =OD +PA =12+1=32，∴DF =AD ⋅sin ∠DAE =32×32-334，∴12PB +PD 最小=DF =334，故选：A ．【点睛】本题以二次函数为背景，考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，解直角三角形等知识，解决问题的关键是用三角函数构造12PB ．3(2023秋·浙江金华·九年级统考期末)如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 是正方形ABCD 内的动点，点P 是BC 边上的动点，且∠EAB =∠EBC ．连结AE ，BE ，PD ，PE ，则PD +PE 的最小值为()3A.213-2B.45-2C.43-2D.215-2【答案】A【分析】先证明∠AEB =90°，即可得点E 在以AB 为直径的半圆上移动，设AB 的中点为O ，作正方形ABCD 关于直线BC 对称的正方形CFGB ，则点D 的对应点是F ，连接FO 交BC 于P ，交半圆O 于E ，根据对称性有：PD =PF ，则有：PE +PD =PE +PF ，则线段EF 的长即为PE +PD 的长度最小值，问题随之得解．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC =90°，∴∠ABE +∠EBC =90°，∵∠EAB =∠EBC ，∴∠EAB +∠EBA =90°，∴∠AEB =90°，∴点E 在以AB 为直径的半圆上移动，如图，设AB 的中点为O ，作正方形ABCD 关于直线BC 对称的正方形CFGB ，则点D 的对应点是F ，连接FO 交BC 于P ，交半圆O 于E ，根据对称性有：PD =PF ，则有：PE +PD =PE +PF ，则线段EF 的长即为PE +PD 的长度最小值，E∵∠G =90°，FG =BG =AB =4，∴OG =6，OA =OB =OE =2，∴OF =FG 2+OG 2=213，∴EF =OF -OE =213-2，故PE +PD 的长度最小值为213-2，故选：A ．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线，得出点E 的运动路线是解题的关键．4(2022秋·安徽池州·九年级统考期末)如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =3，点P 为AC 边上的动点，过点P 作PD ⊥AB 于点D ，则PB +PD 的最小值为()4 A.154 B.245 C.5 D.203【答案】B【分析】作点B 关于AC 的对称点B ，过点B 作B D ⊥AB 于点D ，交AC 于点P ，点P 即为所求作的点，此时PB +PD 有最小值，连接AB ，根据对称性的性质，可知：BP =B P ，△ABC ≅△AB C ，根据S △ABB =S △ABC +S △AB C =2S △ABC ，即可求出PB +PD 的最小值．【详解】解：如下图，作点B 关于AC 的对称点B ，过点B 作B D ⊥AB 于点D ，交AC 于点P ，连接AB ，点P 即为所求作的点，此时PB +PD 有最小值，根据对称性的性质，可知：BP =B P ，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°,AC =4,BC =3，∴AB =AC 2+BC 2=5，根据对称性的性质，可知：△ABC ≅△AB C ，∴S △ABB =S △ABC +S △ABC =2S △ABC ，即12×AB ⋅B D =2×12BC ⋅AC ，∴5B D =24，∴B D =245，故选：B ．【点睛】本题考查了轴对称一最短路线问题，解题的关键是掌握轴对称的性质．5(2023秋·甘肃定西·八年级校考期末)如图所示，在△ABC 中，∠ABC =68°，BD 平分∠ABC ，P 为线段BD 上一动点，Q 为 边AB 上一动点，当AP +PQ 的值最小时，∠APB 的度数是()A.118°B.125°C.136°D.124°【答案】D【分析】先在BC 上截取BE =BQ ，连接PE ，证明△PBQ ≌△PBE SAS ，得出PE =PQ ，说明AP +PQ =AP +PE ，找出当A 、P 、E 在同一直线上，且AE ⊥BC 时，AP +PE 最小，即AP +PQ 最小，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，交BD 于点P ，根据三角形外角的性质可得答案．【详解】解：在BC 上截取BE =BQ ，连接PE ，如图：∵BD 平分∠ABC ，∠ABC =68°，∴∠ABD =∠CBD =12∠ABC =34°，∵BP =BP ，∴△PBQ ≌△PBE SAS ，∴PE =PQ ，∴AP +PQ =AP +PE ，∴当A 、P 、E 在同一直线上，且AE ⊥BC 时，AP +PE 最小，即AP +PQ最小，过点A作AE ⊥BC 于点E ，交BD 于点P ，如图：∵∠AEB =90°，∠CBD =34°，∴∠APB =∠AEB +∠CBD =124°．故选：D ．5【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，三角形内角和定理与三角形的外角的性质，解题的关键是找出使AP +PQ 最小时点P 的位置．6(2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆市凤鸣山中学校联考期末)如图，E 为正方形ABCD 边AD 上一点，AE =1，DE =3，P 为对角线BD 上一个动点，则PA +PE 的最小值为()A.5B.42C.210D.10【答案】A【分析】连接EC 交BD 于P 点，根据“两点之间线段最短”，可知PA +PE 的最小值即为线段EC 的长，求出EC 的长即可.【详解】连接EC ，交BD 于P 点∵四边形ABCD 为正方形∴A 点和C 点关于BD 对称∴PA =PC∴PA +PE =PC +PE =EC根据“两点之间线段最短”，可知PA +PE 的最小值即为线段EC 的长.∵AE =1，DE =3∴AD =4∴DC =4∴CE =DE 2+CD 2=32+42=5∴PA +PE 的最小值为5故选：A【点睛】本题主要考查了正方形的性质和两点之间线段最短，这是一个将军饮马模型.熟练掌握正方形的性质并且能够识别出将军饮马模型是解题的关键.7(2023春·湖南张家界·八年级统考期中)如图，正方形ABCD 的边长为4，点M 在DC 上，且DM =1，N 是AC 上一动点，则DN +MN 的最小值为()A.4B.42C.25D.5【答案】D【分析】由正方形的对称性可知点B 与D 关于直线AC 对称，连接BM 交AC 于N ′，N ′即为所求在Rt △BCM 中利用勾股定理即可求出BM 的长即可．【详解】∵四边形ABCD 是正方形，∴点B 与D 关于直线AC 对称，6连接BD ，BM 交AC 于N ′，连接DN ′，∴当B 、N 、M 共线时，DN +MN 有最小值，则BM 的长即为DN +MN 的最小值，∴AC 是线段BD 的垂直平分线，又∵CD =4，DM =1∴CM =CD -DM =4-1=3，在Rt △BCM 中，BM =CM 2+BC 2=32+42=5故DN +MN 的最小值是5．故选：D ．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题及正方形的性质，先作出D 关于直线AC 的对称点，由轴对称及正方形的性质判断出D 的对称点是点B 是解答此题的关键．8(2022秋·浙江杭州·九年级杭州外国语学校校考开学考试)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y =-x 2+bx +3的图像与x 轴交于A 、C 两点，与x 轴交于点C (3,0)，若P 是x 轴上一动点，点D 的坐标为(0,-1)，连接PD ，则2PD +PC 的最小值是()A.4B.2+22C.22D.32+232【答案】A【分析】过点P 作PJ ⊥BC 于J ，过点D 作DH ⊥BC 于H ，根据2PD +PC =2PD +22PC =2PD +PJ ，求出DP +PJ 的最小值即可解决问题．【详解】解：连接BC ，过点P 作PJ ⊥BC 于J ，过点D 作DH ⊥BC 于H ．∵二次函数y =-x 2+bx +3的图像与x 轴交于点C (3,0)，∴b =2，∴二次函数的解析式为y =-x 2+2x +3，令y =0，-x 2+2x +3=0，解得x =-1或3，∴A (-1，0)，令x =0，y =3，∴B (0，3)，∴OB =OC =3，∵∠BOC =90°，∴∠OBC =∠OCB =45°，∵D(0，-1)，∴OD =1，BD =4，∵DH ⊥BC ，∴∠DHB =90°，设DH =x ，则BH =x ,∵DH 2+BH 2=BD 2，7∴x =22，∴DH =22，∵PJ ⊥CB ，∴∠PJC =90°，∴PJ =22PC ，∴2PD +PC =2PD +22PC =2PD +PJ ，∵DP +PJ ≥DH ，∴DP +PJ ≥22，∴DP +PJ 的最小值为22，∴2PD +PC 的最小值为4．故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，得到∠OBC =∠OCB =45°，PJ =22PC 是解题的关键．9(2022·山东泰安·统考中考真题)如图，四边形ABCD 为矩形，AB =3，BC =4．点P 是线段BC 上一动点，点M 为线段AP 上一点．∠ADM =∠BAP ，则BM 的最小值为()A.52 B.125 C.13-32 D.13-2【答案】D【分析】证明∠AMD =90°，得出点M 在O 点为圆心，以AO 为半径的圆上，从而计算出答案．【详解】设AD 的中点为O ，以O 点为圆心，AO 为半径画圆∵四边形ABCD 为矩形∴∠BAP +∠MAD =90°∵∠ADM =∠BAP∴∠MAD +∠ADM =90°∴∠AMD =90°∴点M 在O 点为圆心，以AO 为半径的圆上连接OB 交圆O 与点N∵点B 为圆O 外一点∴当直线BM 过圆心O 时，BM 最短∵BO 2=AB 2+AO 2，AO =12AD =2∴BO 2=9+4=13∴BO =13∵BN =BO -AO =13-2故选：D ．【点睛】本题考查直角三角形、圆的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识．810(2022·河南·校联考三模)如图1，正方形ABCD 中，点E 是BC 的中点，点P 是对角线AC 上的一个动点，设AP =x ，PB +PE =y ，当点P 从A 向点C 运动时，y 与x 的函数关系如图2所示，其中点M 是函数图象的最低点，则点M 的坐标是()A.42，35B.22,35C.35,22D.35,42【答案】A【分析】根据图像，当P 与C 重合时，PB +PE =9即CB +CE =9，从而确定正方形的边长为6，根据将军饮马河原理，连接DE 交AC 于点G ，当点P 与点G 重合时，PE +PB 最小，且为DE 的长即点M 的纵坐标，利用相似三角形，计算AG 的长即为横坐标．【详解】如图，根据图像，当P 与C 重合时，PB +PE =9即CB +CE =9，∵点E 是BC 的中点，∴BC =6，连接DE 交AC 于点G ，当点P 与点G 重合时，PE +PB 最小，且为DE 的长即点M 的纵坐标，∵四边形ABCD 是正方形，AB =6，∴CE ∥AD ，AC =62+62=62，DE =62+32=35，∴△CGE ∽△AGD ，∴CG AG =CE AD =12，∴AC AG=32，∴AG =42，故点M 的坐标为(42，35)，故A 正确．故选：A ．【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形相似的判定和性质，函数图像信息的获取，将军饮马河原理，熟练掌握正方形的性质，灵活运用三角形相似，构造将军饮马河模型求解是解题的关键．2二、填空题11(2023春·江苏宿迁·九年级校联考阶段练习)如图，矩形ABCD ，AB =4，BC =8，E 为AB 中点，F 为直线BC 上动点，B 、G 关于EF 对称，连接AG ，点P 为平面上的动点，满足∠APB =12∠AGB ，则DP 的最小值．【答案】210-22【分析】由题意可知，∠AGB =90°，可得∠APB =12∠AGB =45°，可知点P 在以AB 为弦，圆周角∠APB =45°的9圆上，(要使DP 最小，则点P 要靠近蒂点D ，即点P 在AB 的右侧)，设圆心为O ，连接OA ，OB ，OE ，OP ，OD ，过点O 作OQ ⊥AD ，可知△AOB 为等腰直角三角形，求得OA =22AB =22=OP ，AQ =OQ =22OA =2，QD =AD -AQ =6，OD =OQ 2+QD 2=210，再由三角形三边关系可得：DP ≥OD -OP =210-22，当点P 在线段OD 上时去等号，即可求得DP 的最小值．【详解】解：∵B 、G 关于EF 对称，∴BH =GH ，且EF ⊥BG∵E 为AB 中点，则EH 为△ABG 的中位线，∴EH ∥AG ，∴∠AGB =90°，∵∠APB =12∠AGB ，即∠APB =12∠AGB =45°，∴点P 在以AB 为弦，圆周角∠APB =45°的圆上，(要使DP 最小，则点P 要靠近蒂点D ，即点P 在AB 的右侧)设圆心为O ，连接OA ，OB ，OE ，OP ，OD ，过点O 作OQ ⊥AD ，则OA =OB =OP ，∵∠APB =45°，∴∠AOB =90°，则△AOB 为等腰直角三角形，∴OA =22AB =22=OP ，又∵E 为AB 中点，∴OE ⊥AB ，OE =12AB =AE =BE ，又∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD =90°，AD =BC =8，∴四边形AEOQ 是正方形，∴AQ =OQ =22OA =2，QD =AD -AQ =6，∴OD =OQ 2+QD 2=210，由三角形三边关系可得：DP ≥OD-OP =210-22，当点P 在线段OD 上时去等号，∴DP 的最小值为210-22，故答案为：210-22．【点睛】本题考查轴对称的性质，矩形的性质，隐形圆，三角形三边关系，正方形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质，根据∠APB =12∠AGB =45°得知点P 在以AB 为弦，圆周角∠APB =45°的圆上是解决问题的关键．12(2023春·江苏连云港·八年级期中)如图，在边长为8的正方形ABCD 中，点G 是BC 边的中点，E 、F 分别是AD 和CD 边上的点，则四边形BEFG 周长的最小值为．【答案】2410【分析】作点G 关于CD 的对称点G ，作点B 关于AD 的对称点B ，连接B G ，根据两点之间线段最短即可解决问题．【详解】作点G 关于CD 的对称点G ，作点B 关于AD 的对称点B ，连接B G∵EB =EB ,FG =FG ，∴BE +EF +FG +BG =B E +EF +FG +BG ，∵EB +EF +FG ≥B G ，∴四边形BEFG 的周长的最小值=BG +B G ，∵正方形ABCD 的边长为8∴BG =4，BB =16，BG =12，∴B G =162+122=20，∴四边形BEFG 的周长的最小值为=4+20=24．故答案为：24．【点睛】本题考查轴对称求线段和的最短问题，正方形的性质，勾股定理，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．13(2022·湖南湘潭·校考模拟预测)如图，菱形草地ABCD 中，沿对角线修建60米和80米两条道路AC <BD ，M 、N 分别是草地边BC 、CD 的中点，在线段BD 上有一个流动饮水点P ，若要使PM +PN 的距离最短，则最短距离是米．【答案】50【分析】作M 关于BD 的对称点Q ，连接NQ ，交BD 于P ，连接MP ，当P 点与P 重合时，MP +NP =MP +NP =NQ 的值最小，根据菱形的性质和勾股定理求出BC 长，即可得出答案．【详解】解：作M 关于BD 的对称点Q ，连接NQ ，交BD 于P ，连接MP ，当P 点与P 重合时，MP +NP =MP +NP =NQ 的值最小，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∠QBP =∠MBP ，即Q 在AB 上，∵MQ ⊥BD ，∴AC ∥MQ ，∴M 为BC 中点，∴Q 为AB 中点，∵N 为CD 中点，四边形ABCD 是菱形，∴BQ ∥CD ，BQ =CN ，∴四边形BQNC 是平行四边形，∴NQ =BC ，设AC 与BD 的交点为点O ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD，OC =12AC =30米，OB =12BD =40米，∴BC =OB 2+OC 2=50米，∴PM +PN 的最小值是50米．故答案为：50．11【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能根据轴对称找出P 的位置．14(2023春·江苏·九年级校考阶段练习)如图，正方形ABCD 的边长为4，⊙B 的半径为2，P 为⊙B 上的动点，则2PC -PD 的最大值是．【答案】2【分析】解法1，如图：以PD 为斜边构造等腰直角三角形△PDM ，连接MC ，BD ，连接PM 、DM ，推得2PC -PD=2PC -22PD =2PC -PM ，因为PC -PM ≤MC ，求出MC 即可求出答案．解法2：如图：连接BD 、BP 、PC ，在BD 上做点M ，使BM BP =24，连接MP ，证明△BMP ∼△BPD ，在BC 上做点N ，使BN BP=12，连接NP ，证明△BNP ∼△BPC ，接着推导出2PC -PD =22MN ，最后证明△BMN ∼△BCD ，即可求解．【详解】解法1如图：以PD 为斜边构造等腰直角三角形△PDM ，连接MC ，BD ，∴∠PDM =45，DM =PM =22PD ，∵四边形ABCD 正方形∴∠BDC =45°，DB DC=2又∵∠PDM =∠PDB +MDB ，∠BDC =∠MDB +MDC∴∠PDB =∠MDC在△BPD 与△MPC 中∠PDB =∠MDC ，DB DC=DP DM =2∴△BPD ∼△MPC∴PB MC=2∵BP =2∴MC =2∵2PC -PD =2PC-22PD =2PC -PM ∵PC -PM ≤MC ∴2PC -PD =2PC -PM ≤2MC =2故答案为：2．解法2如图：连接BD 、BP 、PC根据题意正方形ABCD 的边长为4，⊙B 的半径为2∴BP =2，BD =BC 2+CD 2=42+42=42∵BP BD =242=2412在BD 上做点M ，使BM BP=24，则BM =22，连接MP 在△BMP 与△BPD 中∠MBP =∠PBD ，BP BD =BM BP∴△BMP ∼△BPD∴PM PD =24，则PD =22PM ∵BP BC =24=12在BC 上做点N ，使BN BP=12，则BN =1，连接NP 在△BNP 与△BPC 中∠NBP =∠PBC ，BN BP =BP PC∴△BNP ∼△BPC∴PN PC=12，则PC =2PN ∴如图所示连接NM ∴2PC -PD =2×2PN -22PM =22PN -PM ∵PN -PM ≤NM ∴2PC -PD =22PN -PM ≤22NM在△BMN 与△BCD 中∠NBM=∠DBC ，BM BC =224=28，BN BD =142=28∴BM BC=BN BD ∴△BMN ∼△BCD∴MN CD=28∵CD =4∴MN =22∴22MN =22×22=2∴2PC -PD ≤22NM =2故答案为：2．【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形，勾股定理等知识，难度较大，熟悉以上知识点运用是解题关键．15(2023秋·广东广州·九年级统考期末)如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AC ⊥BC ，∠DAB =60°，AD =CD =4，点M 是四边形ABCD 内的一个动点，满足∠AMD =90°，则△MBC 面积的最小值为．【答案】63-4【分析】取AD 的中点O ，连接OM ，过点M 作ME ⊥BC 交BC 的延长线于点E ，过点O 作OF ⊥BC 于F ，交CD 于G ，则OM +ME ≥OF ，通过计算得出当O ,M ,E 三点共线时，ME 有最小值，求出最小值即可．【详解】解：如图，取AD 的中点O ，连接OM ，过点M 作ME ⊥BC 交BC 的延长线于点E ，过点O 作OF ⊥BC 于F ，交CD 于G ，则13OM +ME ≥OF ，∵AB ∥CD ，∠DAB =60°，AD =CD =4，∴∠ADC =120°，∵AD =CD ，∴∠DAC =30°，∴∠CAB =30°，∵AC ⊥BC ，∴∠ACB =90°∴∠B =90°-30°=60°，∴∠B =∠DAB ，∴四边形ABCD 为等腰梯形，∴BC =AD =4，∵∠AMD =90°，AD =4，OA =OD ，∴OM =12AD =2，∴点M 在以点O 为圆心，2为半径的圆上，∵AB ∥CD ，∴∠GCF =∠B =60°，∴∠DGO =∠CGF =30°，∵OF ⊥BC ，AC ⊥BC ，∴∠DOG =∠DAC =30°=∠DGO ，∴DG =DO =2，∴OG =2OD ⋅cos30°=23，GF =3，OF =33，∴ME ≥OF -OM =33-2，∴当O ,M ,E 三点共线时，ME 有最小值33-2，∴△MBC 面积的最小值为=12×4×33-2 =63-4．【点睛】本题考查了解直角三角形、隐圆、直角三角形的性质等知识点，点M 位置的确定是解题关键．16(2023春·全国·八年级专题练习)如图，在等边△ABC 中，BD ⊥AC 于D ，AD =3cm ．点P ,Q 分别为AB,AD 上的两个定点且BP =AQ =1cm ，点M 为线段BD 上一动点，连接PM ,QM ，则PM +QM 的最小值为cm ．【答案】5【分析】如图所示，作点P 关于BD 的对称点P ，且点P 在BC 上，则PM +QM =P M+QM ，当P ,M ,Q 在同一条直线上时，有最小值，证明四边形PP QA 是平行四边形，P Q =AP =AB -BP ，由此即可求解．【详解】解：如图所示，作点P 关于BD 的对称点P ，∵△ABC 是等边三角形，BD ⊥AC ，∴∠ABD =∠DBC =12∠ABC =12×60°=30°，14∴点P 在BC 上，∴P M =PM ，则PM +QM =P M +QM ，当P ,M ,Q 在同一条直线上时，有最小值，∵点P 关于BD 的对称点P ，∠ABD =∠DBC =30°，∴PP ⊥BM ，BP =BP =1cm ，∴∠BP P =60°，∴△BPP 是等边三角形，即∠BP P =∠C =60°，∴PP ∥AC ，且PP =AQ =1cm ，∴四边形PP QA 是平行四边形，∴P Q =AP =AB -BP ，在Rt △ABD 中，∠ABD =30°，AD =3，∴AB =2AD =2×3=6，∴AP =P Q =P M +QM =PM +QM =AB -BP =6-1=5，故答案为：5．【点睛】本题主要考查动点与等边三角形，对称-最短路径，平行四边形的判定和性质的综合，理解并掌握等边三角形得性质，对称-最短路径的计算方法，平行四边形的判定和性质是解题的关键．17(2022秋·山东菏泽·九年级校考阶段练习)如图，在周长为12的菱形ABCD 中，DE =1，DF =2，若P 为对角线AC 上一动点，则EP +FP 的最小值为．【答案】3【分析】作F 点关于BD 的对称点F ，连接EF 交BD 于点P ，则PF =PF ，由两点之间线段最短可知当E 、P 、F 在一条直线上时，EP +FP 有最小值，然后求得EF 的长度即可．【详解】解：作F 点关于BD 的对称点F ，则PF =PF ，连接EF '交BD 于点P ．∴EP +FP =EP +F P ．由两点之间线段最短可知：当E 、P 、F '在一条直线上时，EP +FP 的值最小，此时EP +FP =EP +F P =EF ．∵四边形ABCD 为菱形，周长为12，∴AB =BC =CD =DA =3，AB ∥CD ，∵AF =2，AE =1，∴DF =AE =1，∴四边形AEF D 是平行四边形，∴EF =AD =3．∴EP +FP 的最小值为3．故答案为：3．【点睛】本题主要考查的是菱形的性质、轴对称--路径最短问题，明确当E 、P 、F 在一条直线上时EP +FP 有最小值是解题的关键．18(2023春·上海·八年级专题练习)如图，直线y =x +4与x 轴，y 轴分别交于A和B ，点C 、D 分别为线段AB 、OB 的中点，P 为OA 上一动点，当PC +PD 的值最小时，点P 的坐标为．15【答案】(-1,0)【分析】直线y =x +4与x 轴，y 轴分别交于A 和B ，可求出点A ，B 的坐标，点C 、D 分别为线段AB 、OB 的中点，可求出点C 、D 的坐标，作点C 关于x 轴的对称点C ，连接C D 与x 轴的交点就是所求点P 的坐标．【详解】解：直线y =x +4与x 轴，y 轴分别交于A 和B ，∴当y =0，x =-4，即A (-4,0)；当x =0，y =4，即B (0,4)，∵点C 、D 分别为线段AB 、OB 的中点，∴C (-2,2)，D (0,2)，如图所示，过点C 关于x 轴的对称点C，∴C (-2,-2)，∴直线C D 的解析式为：y =2x +2，当y =0，x =-1，即P (-1,0)，故答案为：(-1,0)．【点睛】本题主要考查一次函数与最短线段的综合，掌握对称中最短线段的解题方法是解题的关键．19(2023秋·黑龙江鸡西·九年级统考期末)如图，抛物线y =x 2-4x +3与x 轴分别交于A ,B两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，在其对称轴上有一动点M ，连接MA ,MC ,AC ，则△MAC 周长的最小值是．【答案】32+10【分析】根据“将军饮马”模型，先求出A 1,0 ,B 3,0 ,C 0,3 ，由二次函数对称性，A ,B 关于对称轴对称，从而C △MAC =CA +CM +MA =CA +CM +MB ，AC =OA 2+OC 2=10，则△MAC 周长的最小值就是CM +MB 的最小值，根据两点之间线段最短即可得到CM +MB 的最小值为C ,M ,B 三点共线时线段CB 长，从而得到CB =OC 2+OB 2=32，即可得到答案．【详解】解：∵抛物线y =x 2-4x +3与x 轴分别交于A ,B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，16∴当y =0时，0=x 2-4x +3解得x =1或x =3，即A 1,0 ,B 3,0 ；当x =0时，y =3，即C 0,3 ，由二次函数对称性，A ,B 关于对称轴对称，即MA =MB ，∴C △MAC =CA +CM +MA =CA +CM +MB ，∵AC =OA 2+OC 2=10，∴△MAC 周长的最小值就是CM +MB 的最小值，根据两点之间线段最短即可得到CM +MB 的最小值为C ,M ,B 三点共线时线段CB 长，∵CB =OC 2+OB 2=32，∴△MAC 周长的最小值为CA +CB =32+10，故答案为：32+10．【点睛】本题考查动点最值问题与二次函数综合，涉及“将军饮马”模型求最值、二次函数图像与性质、解一元二次方程、勾股定理求线段长等知识，熟练掌握动点最值的常见模型是解决问题的关键．20(2023秋·浙江温州·九年级校考期末)如图所示，∠ACB =60°，半径为2的圆O 内切于∠ACB．P 为圆O 上一动点，过点P 作PM 、PN 分别垂直于∠ACB 的两边，垂足为M 、N ，则PM +2PN 的取值范围为．【答案】6-23≤PM +2PN ≤6+23【分析】根据题意，本题属于动点最值问题-“阿氏圆”模型，首先作MH ⊥NP 于H ，作MF ⊥BC 于F ，如图所示，通过代换，将PM +2PN 转化为PN +12PM =PN +HP =NH ，得到当MP 与⊙O 相切时，MF 取得最大值和最小值，分两种情况，作出图形，数形结合解直角三角形即可得到相应最值，进而得到取值范围．【详解】解：作MH ⊥NP 于H ，作MF ⊥BC 于F ，如图所示：∵PM ⊥AC ，PN ⊥CB ，∴∠PMC =∠PNC =90°，∴∠MPN =360°-∠PMC -∠PNC -∠C =120°，∴∠MPH =180°-∠MPN =60°，∴HP =PM ⋅cos ∠MPH =PM ⋅cos60°=12PM ，∴PN +12PM =PN +HP =NH ，∵MF =NH ，∴当MP 与⊙O 相切时，MF 取得最大和最小，①连接OP ，OG ，OC ，如图1所示：可得：四边形OPMG 是正方形，∴MG =OP =2，在Rt △COG 中，CG =OG ⋅tan60°=23，∴CM =CG +GM =2+23，在Rt △CMF 中，MF =CM ⋅sin60°=3+3，∴HN =MF =3+3，即PM +2PN =212PM +PN =2HN =6+23；②连接OP ，OG ，OC ，如图2所示：可得：四边形OPMG 是正方形，17∴MG =OP =2，由上同理可知：在Rt △COG 中，CG =OG ⋅tan60°=23，∴CM =CG -GM =23-2，在Rt △CMF 中，MF =CM ⋅sin60°=3-3，∴HN =MF =3-3，即PM +2PN =212PM +PN =2HN =6-23，∴6-23≤PM +2PN ≤6+23．故答案为：6-23≤PM +2PN ≤6+23．【点睛】本题考查动点最值模型-“阿氏圆”，难度较大，掌握解决动点最值问题的方法，熟记相关几何知识，尤其是圆的相关知识是解决问题的关键．3三、解答题21(2022春·江苏·九年级专题练习)综合与探究如图，已知抛物线y =ax 2+bx +4经过A -1,0 ，B 4,0 两点，交y 轴于点C ．(1)求抛物线的解析式，连接BC ，并求出直线BC 的解析式；(2)请在抛物线的对称轴上找一点P ，使AP +PC 的值最小，此时点P 的坐标是；(3)点Q 在第一象限的抛物线上，连接CQ ，BQ ，求出△BCQ 面积的最大值．【答案】(1)y =-x 2+3x +4；y =-x +4(2)32,52(3)8【分析】(1)将A -1,0 ，B 4,0 两点，代入抛物线解析式，可得到抛物线解析式，从而得到C 0,4 ，再设直线BC 的解析式为y =kx +b k ≠0 ，把点B 、C 的坐标代入，即可求解；(2)连接BC ，PB ，根据题意可得A 、B 关于抛物线的对称轴直线x =32对称，从而得到当P 在直线AB 上三点共线时，AP +CP 的值最小，把x =32代入直线BC 的解析式，即可求解；(3)过Q 作QD ⊥x 轴，交BC 于D ，设Q d ,-d 2+3d +4 ，其中0≤d ≤4，则D d ,-d +4 ，可得QD =-d 2+4d ，从而得到S ΔBCQ =12OB ×QD =-2d -2 2+8，即可求解；【详解】(1)解：(1)∵抛物线y =ax 2+bx +4经过A -1,0 ，B 4,0 两点，∴a -b +4=016a +4b +4=0，解得：a =-1b =3 ，18∴抛物线的解析式为y =-x 2+3x +4；∵抛物线与y 轴的交点为C ，∴C 0,4 ，设直线BC 的解析式为y =kx +b k ≠0 ，把点B 、C 的坐标代入得：4k +b =0b =4 ，解得：k =-1b =4 ，∴直线BC 的解析式为y =-x +4；(2)如图，连接BC ，PB ，∵y =-x 2+3x +4=-x -32 2+74，∴抛物线的对称轴为直线x =32，根据题意得：A 、B 关于抛物线的对称轴直线x =32对称，∴AP =BP ，∴AP +CP =BP +CP ≥BC ，即当P 在直线AB 上时，AP +CP 的值最小，∴当x =32时，y =-32+4=52，∴P 32,52 ，故答案是：32,52 ；(3)过Q 作QD ⊥x 轴，交BC 于D ，设Q d ,-d 2+3d +4 ，其中0≤d ≤4，则D d ,-d +4 ，∴QD =-d 2+3d +4 --d +4 =-d 2+4d ，∵B 4,0 ，∴OB =4，∴S ΔBCQ =12OB ×QD =-2d 2+8d =-2d -2 2+8，当d =2时，S ΔBCQ 取最大值，最大值为8，∴△BCQ 的最大面积为8；【点睛】本题主要考查了二次函数的图像和性质，利用数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键．22(2023秋·江苏淮安·八年级统考期末)如图1，直线AB :y =-x +6分别与x ,y 轴交于A ,B 两点，过点B 的直线交x 轴负半轴于点C -3,0 ．(1)请直接写出直线BC 的关系式：(2)在直线BC 上是否存在点D，使得S △ABD =S △AOD 若存在，求出点D 坐标：若不存请说明理由；(3)如图2，D 11,0 ，P 为x 轴正半轴上的一动点，以P 为直角顶点、BP 为腰在第一象限内作等腰直角三角形△BPQ ，连接QA ,QD ．请直接写出QB -QD 的最大值：．19【答案】(1)y =2x +6(2)当D 185,665 或D -185,-65时，S △ABD =S △AOD (3)37【分析】(1)根据直线AB 与y 轴的交点，可求出点B 的坐标，再用待定系数法即可求解；(2)设D (a ,2a +6)，分别用含a 的式子表示出出S △AOD ,S △ABD ，由此即可求解；(3)△BPQ 是等腰直角三角形，设P (m ,0)(m >0)，可表示出QB ，再证Rt △BOP ≌Rt △PTQ (AAS )，如图所示，当点B ,R ,Q 在一条直线上时，QB -QD 的值最大，最大值为BR 的值，可求得点R 的坐标，根据勾股定理即可求解．【详解】(1)解：∵直线AB :y =-x +6分别与x ,y 轴交于A ,B 两点，令x =0，则y =6，∴B (0,6)，且C -3,0 ，设直线BC 的解析式为y =kx +b ，∴b =6-3k +b =0，解得，k =2b =6 ，∴直线BC 的解析式为y =2x +6，故答案为：y =2x +6．(2)解：由(1)可知直线BC 的解析式为y =2x +6，直线AB 的解析式为y =-x +6，∴A (6,0),B (0,6),C (-3,0)，∴OA =6,BO =6,OC =3，如图所示，点D 在直线BC 上，过点D 作DE ⊥x 轴于E ，∴设D (a ,2a +6)，E (a ,0)，∴S △ABC =12AC ·OB =12×(6+3)×6=27，S △ADC =12AC ·DE =12×(6+3)×a =92a ，S △AOD =12OA ·DE =12×6×a =3a ，∴S △ABD =S △ABC -S △ADC =27-92a ，若S △ABD =S △AOD ，则27-92a =3a ，当a >0时，27-92a =3a ，解得，a =185，即D 185,665 ；当a <0时，27+92a =-3a ，解得，a =-185，即D -185,-65 ；综上所述，当D 185,665 或D -185,-65时，S △ABD =S △AOD ．(3)解：已知A (6,0),B (0,6),D (11,0)，设P (m ,0)(m >0)，∴在Rt △BOP 中，OB =6,OP =m ，∵△BPQ 是等腰直角三角形，∠BPQ =90°，∴BP =QP ；如图所示，过点Q 作QT ⊥x 轴于T ，20在Rt △BOP ,Rt △PTQ 中，∠BOP =∠PTQ =90°，∠BPO +∠QPA =∠QPA +∠PQT =90°，∴∠BPO =∠PQT ，∴∠BPO =∠PQT∠BOP =∠PTQ BP =QP，∴Rt △BOP ≌Rt △PTQ (AAS )，∴OP =TQ =m ，OB =PT =6，∴AT =OP +PT -OA =m +6-6=m ，∴AT =QT ，且QT ⊥x 轴，∴△ATQ 是等腰直角三角形，∠QAT =45°，则点Q 的轨迹在射线AQ 上，如图所示，作点D 关于直线AQ 的对称点R，连接QR ,BR ,AR ，A (6,0)，B (0,6)，D (11,0)，∵△ATQ 是等腰直角三角形，即∠QAT =45°，根据对称性质，∴∠QAR =45°，∴RA ⊥x 轴，且△DQA ≌△RQA ，∴AR =AD =11-6=5，则R (6,5)，如图所示，当点B ,R ,Q 在一条直线上时，QB -QD 的值最大，最大值为BR 的值；∴由勾股定理得：BR =62+(6-5)2=37，故答案为：37．【点睛】本题主要考查一次函数，几何的综合，掌握待定系数法求解析式，将军饮马问题，等腰直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键．23(2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习)△ABC 中，∠B =60°．(1)如图1，若AC >BC ，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，且AD =3BD ．证明：∠A =30°；(2)如图2，若AC <BC ，取AC 中点E ，将CE 绕点C 逆时针旋转60°至CF ，连接BF 并延长至G ，使BF =FG ，猜想线段AB 、BC 、CG 之间存在的数量关系，并证明你的猜想；(3)如图3，若AC =BC ，P 为平面内一点，将△ABP 沿直线AB 翻折至△ABQ ，当3AQ +2BQ +13CQ 取得最小值时，直接写出BPCQ的值．【答案】(1)见解析(2)BC =AB +CG ，理由见解析(3)213+33913【分析】(1)过点D 分别作BC ，AC 的垂线，垂足为E ，F ，易得DE =DF ，由∠B =60°，可得DE =DF =32BD ，由AD =3BD ，求得sin A =DE AD=12，可证得∠A =30°；(2)延长BA ，使得BH =BC ，连接EH ，CH ，易证△BCH 为等边三角形，进而可证△BCF ≌△HCE SAS ，可得BF =HE ，∠BFC =∠HEC ，可知∠AEH =∠CFG ，易证得△AEH ≌△CFG SAS ，可得AH =CG ，由BC =BH =AB +AH =AB +CG 可得结论；(3)由题意可知△ABC 是等边三角形，如图，作CM ⊥CA ，且CM =32CA ，作CN ⊥CQ ，且CN =32CQ ，可得CM CA=CN CQ =32，QN =CQ 2+CN 2=132CQ ，可知△ACQ ∽△MCN ，可得MN =32AQ ，由3AQ +2BQ +13CQ =232AQ +BQ +132CQ =2MN +BQ +QN ≥2BM 可知点Q ，N 都在线段BM 上时，3AQ +2BQ+13CQ 有最小值，过点C 作CR ⊥BM ，过点M 作MT ⊥BC 交BC 延长线于T ，可得CR =CQ ⋅sin ∠CQN =313CQ ，QR =CQ ⋅cos ∠CQN =213CQ ，可证△CBR ∽△MBT ，得BR CR =BT MT ，设BC =a 由等边三角形的性质，可得CM =32a ，进而可得CT =CM ⋅cos30°=334a ，MT =CM ⋅sin30°=34a ，结合BR CR=BTMT 可得：BQ +213CQ 313CQ =a +334a 34a ，可得BQ CQ =213+33913，由翻折可知，BP =BQ ，可求得BP CQ的值．【详解】(1)证明：过点D 分别作BC ，AC 的垂线，垂足为E ，F ，∵CD 平分∠ACB ，DE ⊥BC ，DF ⊥AC ，∴DE =DF ，又∵∠B =60°，∴DE =BD ⋅sin60°=32BD ，则DE =DF =32BD ，又∵AD =3BD ，∴sin A =DE AD =32BD3BD=12，∴∠A =30°；(2)BC =AB +CG ，理由如下：延长BA ，使得BH =BC ，连接EH ，CH ，∵∠ABC =60°，BH =BC ，∴△BCH 为等边三角形，∴CB =CH ，∠BCH =60°，∵CE 绕点C 逆时针旋转60°至CF ，∴CE =CF ，∠ECF =60°，则∠BCH -∠ACB =∠ECF -∠ACB ，∴∠ECH =∠FCB ，∴△BCF ≌△HCE SAS ，∴BF =HE ，∠BFC =∠HEC ，则∠AEH =∠CFG ，∵BF =FG ，∴BF =HE =FG ，又∵E 为AC 中点，∴AE =CE =CF ，∴△AEH ≌△CFG SAS ，∴AH =CG ，∴BC =BH =AB +AH =AB +CG ；(3)∵∠ABC =60°，AC =BC ，∴△ABC 是等边三角形，如图，作CM ⊥CA ，且CM =32CA ，作CN ⊥CQ ，且CN =32CQ ，则CM CA=CN CQ =32，QN =CQ 2+CN 2=132CQ ，∴sin ∠CQN =CN QN =313，cos ∠CQN =CQ QN =213，则∠ACM =∠QCN =90°，∴∠ACM -∠ACN =∠QCN -∠ACN ，则∠ACQ =∠MCN∴△ACQ ∽△MCN ，∴MN AQ =CM CA=32，即：MN =32AQ ，∴3AQ +2BQ +13CQ =232AQ +BQ +132CQ =2MN +BQ +QN ≥2BM即：点Q ，N 都在线段BM 上时，3AQ +2BQ +13CQ 有最小值，如下图，过点C 作CR ⊥BM ，过点M 作MT ⊥BC 交BC 延长线于T ，则∠BRC =∠BTM =90°，CR =CQ ⋅sin ∠CQN =313CQ ，QR =CQ ⋅cos ∠CQN =213CQ ，又∵∠CBR =∠MBT ，∴△CBR ∽△MBT ，∴BR CR=BT MT ，∵△ABC 是等边三角形，设BC =a ∴∠ACB =60°，AC =BC =a ，则CM =32a ，∵∠ACM =90°，∴∠MCT =30°，则CT =CM ⋅cos30°=334a ，MT =CM ⋅sin30°=34a ，则由BR CR=BT MT 可得：BQ +213CQ 313CQ =a +334a34a ，整理得：133BQ CQ +23=4+333，得BQ CQ=213+33913，由翻折可知，BP =BQ ，∴BP CQ =BQ CQ=213+33913．【点睛】本题属于几何综合，考查了解直角三角形，等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，旋转的性质以及费马点问题，掌握费马点问题的解决方法，添加辅助线构造全等三角形和相似三角形是解决问题的关键．24(2023春·江苏·八年级专题练习)定义：既相等又垂直的两条线段称为“等垂线段”，如图1，在Rt △ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AD =AE ，连接DE 、DC ，点M 、P 、N 分别为DE 、DC 、BC 的中点，且连接PM 、PN ．(1)观察猜想线段PM 与PN 填(“是”或“不是”)“等垂线段”．(2)△ADE 绕点A 按逆时针方向旋转到图2所示的位置，连接BD ，CE ，试判断PM 与PN 是否为“等垂线段”，并说明理由．(3)拓展延伸把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若DE =2，BC =4，请直接写出PM 与PN 的积的最大值．。
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一、解答题1．在ABC中，AB AC=，D是边AC上一点，F是边AB上一点，连接BD、CF交于点E，连接AE，且．(1)如图1，若90∠=︒，，，求点B到AE的距离；BAC(2)如图2，若E为BD中点，连接FD，FD平分，G为CF上一点，且，求证：；(3)如图3，若，12△沿着AB翻折得，点H为的BC=，将ABD中点，连接HA、HC，当周长最小时，请直接写出的值．x－5与x轴、y轴分别交于B、C两点，点A为y轴正半轴上一2．如图1，直线y＝12S＝75．点，且ABC（1）请直接写出点B、C的坐标及直线AB的解析式：、、；（2）如图2，点P为线段OB上一点，若∠BCP＝45°，请写出点P的坐标：，并简要写出解答过程；（3）如图3，点D是AB的中点，M是OA上一点，连接DM，过点D作DN⊥DM交OB 于点N，连接BM，若∠OBM＝2∠ADM，请写出点M的坐标，并简要写出解答过程．3．已知有理数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，其中b是最小的正整数，a，c满足()2++-=．a c250a______，b=______，c=______；（1）填空：=（2）点A，B，C分别以每秒4个单位长度，1个单位长度，1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为t 秒． ①当AC 长为6时，求t 的值；②当点A 在点C 左侧时（不考虑点A 与B ，C 重合的情况），是否存在一个常数m 使得2AC m AB +⋅的值在某段运动过程中不随t 的改变而改变？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．4．在平面直角坐标系中，直线24y x =-+与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，C 为AB 的中点，点D 在线段OB 上（BD OD <），连接CD ，将BCD △绕点C 逆时针旋转得到B CD ''△，旋转角为()0180αα︒<<︒，连接BB '，B D '．（1）求tan OBA ∠的值；（2）如图，当点D '恰好落在y 轴上时，B C '交y 轴于点E ，求证：BEB CED ''△△； （3）当点D 的坐标为(0,3)，且ODB OBA ∠'=∠时，求点B ′的坐标．5．已知如图，在ABCD 中，点E 是AD 边上一点，连接,,,BE CE BE CE BE CE =⊥，点F 是EC 上一动点，连接BF ．（1）如图1，当BF AB ⊥时，连接DF ，延长,BE CD 交于点K ，求证：FD DK =； （2）如图2，以BF 为直角边作等腰,90Rt FBG FBG ∠=︒△，连接GE ，若2,5DE CD ==，当点F 在运动过程中，求BEG 周长的最小值．6．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B ＝90°，AB ＝4，BC ＝8，CD ＝2m （m ＞2），P为CD中点，以P为圆心，CP为半径作半圆P，交线段AC于点E，交线段AD于点F．（1）当E为CA中点时，①求证：E是弧CF的中点．②求此时m的值．（2）连结PF，若PF平行△ABC的某一边时求出满足条件的m值．（3）连结PE，将PE绕着点E顺时针旋转90°得到EP'，连结AP'，当AP'⊥AC时，求此时CE的长．7．如图，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于A（2，0），B（8，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上一动点，当∠PCB12=∠BCO时，求点P的横坐标．8．等腰直角三角形ABC中，90ACB∠=︒，AE为BAC∠的角平分线，交BC于点E，点D 为AB的中点，连结CD交AE于点G，过点C作CF AE⊥，垂足为点F，交AB于点H．（1）如图1，AG 与CH 的数量关系为__________；CFAG的值为__________； （2）如图2，以点C 为位似中心，将CAE 做位似变换，得到CA E ''△，使CA E ''△与CAE 的相似比为()01k k <<，A E ''与CD 、CH 的交点分别为G '，F '，隐去线段AE ，试求'''CF A G 的值； （3）如图3，将（2）中的等腰直角三角形改为等腰三角形，30B ∠=︒，且其他条件不变， ①CF A G '''的值为__________； ②若'3CF =，直接写出A G C ''△的面积．9．平面直角坐标系xOy 中，抛物线231y ax ax =-+与y 轴交于点A ． （1）求点A 的坐标及抛物线的对称轴；（2）当12x -≤≤时，y 的最大值为3，求a 的值；（3）已知点(0,2)P ，(1,1)Q a +．若线段PQ 与抛物线只有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．10．如图，菱形ABCD ，，点E 为平面内一点，连接AE ．(1)如图1，点E 在BC 的延长线上，将AE 绕点A 顺时针旋转60°得AF ，连接EF 交AB 延长线于点H ，若∠AEB ＝15°，，求AE 的长；(2)如图2，点E 在CA 的延长线上，将AE 绕点A 逆时针旋转60°得AF ，点M 为CE 的中点，连接BM ，证明：FM 3；(3)如图3，将AB 沿AS 翻折得AE （∠BAE ＜120°），连DE 交AS 于点S ，当DS 取得最大值时，连接TD ，若，AD =6，求TD ﹣TE 的最大值．11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，3OA OC ==，顶点为D ，对称轴交x 轴于点E ． （1）求抛物线的解析式、对称轴及顶点D 的坐标．（2）点P 在抛物线上，直线AP 与y 轴交于点F ，若AOF 与BOC 全等，求出点P 的坐标．（3）点P 在抛物线上，直线AP 与y 轴交于点T ，若tan 2:3PAB ∠=，求出点P 的坐标．（4）在线段AC上是否存在点M，使得AOM与ABC相似，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．PQ y轴，PO与AC相交于点Q，连（5）第三象限内的抛物线上有一动点P，过点P作//△与ABC相似，若存在，求出点P的坐接BC．请问抛物线上是否存在点P，使得PCQ标；若不存在，请说明理由．（6）x轴下方的抛物线上有一动点P，过点P作PF x轴于点F，PF与AC相交于点G．请问抛物线上是否存在点P，使得AFG与CPG△相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．⊥于点Q，连接BC和PC．请问抛物线上是（7）抛物线上有一动点P，过点P作PQ AC△与BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理否存在点P，使得PCQ由．（8）在抛物线上是否存在点P，过点P作PH x⊥轴于点H，使得PAH与BOC相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（9）抛物线的顶点为点D，连接AD，CD，在抛物线上有一动点M，过点M作MN x轴于点N．请问抛物线上是否存在点M，使得AMN与ACD△相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．12．（1）回归教材：北师大七年级下册P44，如图1所示，点P是直线m外一点，，点O是垂足，点A、B、C在直线m上，比较线段PO，PA，PB，PC的长短，你发现了什么？最短线段是______，于是，小明这样总结：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，______．（2）小试牛刀：如图2所示，Rt ABC △中，AB c =，，．则点P 为AB 边上一动点，则CP 的最小值为______．（3）尝试应用：如图3所示ABC 是边长为4的等边三角形，其中点P 为高AD 上的一个动点，连接BP ，将BP 绕点B 顺时针旋转60°得到BE ，连接PE 、DE 、CE ．①请直接写出DE 的最小值． ②在①的条件下求的面积．（4）拓展提高：如图4，顶点F 在矩形ABCD 的对角线AC 上运动，连接AE ．．3AB =，4BC =，请求出AE 的最小值．13．如图，已知抛物线23y ax bx =++（a 、b 为常数，且a ≠0）与x 轴交于点A （-1，0）和点B ，与y 轴交于点C ，其对称轴是直线x =1，顶点为P ，连接BP ，CP ．(1)求抛物线的表达式；(2)判断△BCP的形状，并说明理由；(3)该抛物线上是否存在点Q，使得∠QBC=∠ACO？若存在，请直接写出满足条件的所有点Q是坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，在平面直角坐标系中抛物线y＝ax2＋bx＋c经过原点，且与直线y＝﹣kx＋6交于则A（6，3）、B（﹣4，8）两点．(1)求直线和抛物线的解析式；(2)点P在抛物线上，解决下列问题：①在直线AB下方的抛物线上求点P，使得△PAB的面积等于20；②连接OA，OB，OP，作PC⊥x轴于点C，若△POC和△ABO相似，请直接写出点P的坐标．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋2与直线y＝x﹣2交于点A（m，0）和点B（﹣2，n），与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)若向下平移抛物线，使顶点D落在x轴上，原来的抛物线上的点P平移后的对应点为P ，若，求点P的坐标；(3)在抛物线上是否存在点Q，使△QAB的面积是△ABC面积的一半？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．16．我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”．如图所示，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为（0，﹣3），AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为（1，0），半圆半径为2．(1)求“蛋圆”抛物线部分的解析式及“蛋圆”的弦CD的长；(2)已知点E是“蛋圆”上的一点（不与点A，点B重合），点E关于x轴的对称点是点F，若点F也在“蛋圆”上，求点E坐标；(3)点P是“蛋圆”外一点，满足∠BPC＝60°，当BP最大时，直接写出点P的坐标．17．如图，在平面直角坐标系中，一抛物线的对称轴为直线x＝1，且该抛物线与y轴负半轴交于C点，与x轴交于A，B两点，其中B点的坐标为（3，0），且OB＝OC．(1)求此抛物线的函数表达式；(2)若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点（其中点M在点N的右侧），在x轴上是否存在点Q，使△MNQ是以MN为一直角边的等腰直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．18．已知二次函数经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）．(1)求该抛物线解析式；(2)如图1，点M 为抛物线上第二象限内一动点，BM 交y 轴于点N ，当BM 将四边形ABCM 的面积分为1：2两部分时，求点M 的坐标；(3)如图2，点P 为对称轴上D 点下方一动点，点Q 为直线y ＝x 第一象限上的动点，且DP ＝2OQ ，求BP +2BQ 的最小值并求此时点P 的坐标．19．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数图像222(1)2y x a x a a =-+++的顶点为P ，点B 39(2,)16- 是一次函数5119216y x =+上一点．(1)当a ＝0时，求顶点P 坐标；(2)若a ＞0，且一次函数2y x b =-+的图象与此抛物线没有交点，请你写出一个符合条件的一次函数关系式（只需写一个，不必写出过程）； (3)作直线OC ：12y x =与一次函数5119216y x =+交于点C ．连结OB ，当抛物线与△OBC 的边有两个交点时，求a 的取值范围．20．在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1．对于线段AB ，给出如下定义：若线段AB 沿着某条直线l 对称可以得到⊙O 的弦A ′B ′，则称线段AB 是⊙O 的以直线l 为对称轴的“反射线段”，直线l 称为“反射轴”．（1）如图，线段CD ，EF ，GH 中是⊙O 的以直线l 为对称轴的“反射线段”有 ； （2）已知A 点坐标为（0，2），B 点坐标为（1，1），①若线段AB 是⊙O 的以直线l 为对称轴的“反射线段”，求反射轴l 与y 轴的交点M 的坐标．②若将“反射线段”AB 沿直线y ＝x 的方向向上平移一段距离S ，其反射轴l 与y 轴的交点的纵坐标yM 的取值范围为12≤yM 136≤，求S ． （3）已知点M ，N 是在以原点为圆心，半径为2的圆上的两个动点，且满足MN ＝1，若MN 是⊙O 的以直线l 为对称轴的“反射线段”，当M 点在圆上运动一周时，求反射轴l 未经过的区域的面积．（4）已知点M ，N 是在以（2，013MN 2=MN 是⊙O 的以直线l 为对称轴的“反射线段”，当M 点在圆上运动一周时，请直接写出反射轴l 与y 轴交点的纵坐标的取值范围．【参考答案】参考答案**科目模拟测试一、解答题31．(2)证明见解析(3)【解析】【分析】（1）如图所示，过点B作BG⊥AE交AE延长线于G，先证明∠ACF=∠GAB，即可证明△ABG≌△CAE得到BG=AE，由勾股定理得，再由，得到，则点B到AE的距离为（2）如图所示，延长AE到H使得，AE=HE，连接DH，CH，先证明△AEB≌△HED得到AB=HD=AC，∠ABE=∠HDE，则∠HCD=∠HDC，AB∥DH，从而推出∠BAC=∠HDC=∠HCD，再证明CE是AH的垂直平分线，得到AC=HC，则∠ACE=∠HCE，即∠HCA=2∠ACE，然后推出∠FGD=∠HCD=∠HDC=∠FAC=2∠GCD，GD=GC，即可证明△AFD≌△GFD（AAS），得到AF=GF，则CF=GF+CG=AF+DG；（3）如图所示，连接，延长交BC于F，作直线BE⊥BC，由翻折的性质可知，，，，然后证明，得到，则点D在线段BC的垂直平分线上，即AF⊥BC，求出，由H是的中点，得到直线A关于点H的对称点A'在直线BE上，则要使△AHC的周长最小，则要最小，即最小，即当A'、C、H、三点共线时有最小值，如图所示，连接交于，交AF于P，连接BP，先证明，得到，由平行线之间的间距相等，得到，然后求出，再证明，求出，由此求解即可．(1)解：如图所示，过点B作BG⊥AE交AE延长线于G，∵AE⊥CF，AG⊥BG，∴∠BAC=∠AGB=∠AEF=∠AEC=90°，∠AFC+∠ACF=90°，∴∠FAE+∠AFE=90°，∴∠ACF=∠GAB，又∵AB=CA，∴△ABG≌△CAE（AAS），∴BG=AE，在直角△AFC中，由勾股定理得，∵，∴，∴点B到AE的距离为32；(2)解：如图所示，延长AE到H使得，AE=HE，连接DH，CH，∵FD平分∠AFC，∴∠AFD=∠CFD，∵E是BD的中点，∴BE=DE，又∵AE=HE，∠AEB=∠HED，∴△AEB≌△HED（SAS），∴AB=HD=AC，∠ABE=∠HDE，∴∠HCD=∠HDC，∴∠BAC=∠HDC=∠HCD，∴∠ACE=∠HCE，即∠HCA=2∠ACE，∵∠GDC=∠GCD，∠FGD=∠GDC+∠GCD，∴∠FGD=∠HCD=∠HDC=∠FAC=2∠GCD，GD=GC，又∵FD=FD，∠AFD=∠GFD，∴△AFD≌△GFD（AAS），∴AF=GF，∴CF=GF+CG=AF+DG；(3)解：如图所示，连接，延长交BC于F，作直线BE⊥BC，由翻折的性质可知，，，，∴，又∵AB=AC，，∴，∴，∴点D在线段BC的垂直平分线上，即AF⊥BC，∴，∵H是的中点，∴直线A关于点H的对称点A'在直线BE上，∴，∴要使△AHC的周长最小，则要最小，即最小，∴当A'、C、H、三点共线时有最小值，如图所示，连接交于，交AF于P，连接BP，∵BE⊥BC，AF⊥BC，∴，∴，，又∵，∴，∴， ∵，BC ⊥BE ， ∴,∵平行线之间的间距相等，∴∵AB =AC ，∠BAC =120°， ∴∠ABC =∠ACB =30°， ∴AB =2AF ， ∴， ∴，∴，∵P 在线段BC 的垂直平分线上， ∴PB =PC ， ∴∠PBC =∠PCB ， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴，∴，∴【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，平行线的性质与判定等等，熟练掌握相关知识是解题的关键．2．（1）()()10,0,0,5B C -，10y x =-+；（2）5(,0)3；（3）15(0,)2【解析】 【分析】（1）分别令,0x y =进而求得直线与坐标轴的交点，根据已知条件待定系数法求解析式即可；（2）过点B 作BQ CP ⊥于点Q ，过B 点作ED x ⊥轴，过,C Q 分别作,CD QE 平行于x 轴，交ED 于点,E D ，证明CBD ≌BQE △，可得,CD BE BD QE ==，根据图形与坐标的关系，即可求得(10,10),(5,10)E Q ，设直线CQ 的直线解析式为y mx n =+，待定系数法求解析式即可，令0y =，进而求得P 点的坐标；（3）连接OD ，证明DMN 是等腰直角三角形，设DO 交MN 于点E ,设ADM α∠=,则2MBO α∠=过点N 作SN x ⊥轴，作OBM ∠的角平分线BS 交NS 于点S ，过点S 作,ST SR分别垂直于,MO MB ，垂足分别为,T R ，连接MS ，证明SNB NOM △≌△，SRB △≌SNB △，进而证明Rt STM △≌Rt SRM △，设ON x =，则,10,,AM x BN x SN ON x ==-==在Rt MOB 中，222MB MO OB =+，勾股定理列出方程，求得AM ，进而求得MO ，从而求得M 的坐标． 【详解】 （1）直线y ＝12x －5与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，令0x =，则5y =-，令0y =，则10x =，()()10,0,0,5B C ∴- 10,5OB OC ∴== 75ABC S =△1752AC OB ∴⋅⨯= 15AC ∴=点A 为y 轴正半轴上一点，AC AO CO =+10AO(0,10)A ∴设直线AB 的解析式为y kx b =+，将(0,10)A ，()10,0B 代入，得10100b k b =⎧⎨+=⎩解得110k b =-⎧⎨=⎩∴直线AB 的解析式为10y x =-+故答案为：()()10,0,0,5B C -，10y x =-+（2）如图，过点B 作BQ CP ⊥于点Q ，过B 点作ED x ⊥轴，过,C Q 分别作,CD QE 平行于x 轴，交ED 于点,E D ，45,BCP BQ BC ∠=︒⊥45BQC ∴∠=︒BCQ ∴△是等腰直角三角形 BC BQ ∴=，90CBD QBE ∴∠+∠=︒ED x ⊥轴，//CD x 轴，//QE x 轴，,CD ED QE DE ∴⊥⊥90CBD BCD ∴∠+∠=︒，90D E ∠=∠=︒BCD QBE ∴∠=∠在CBD 与BQE △中D E BCD QBE CB QB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴CBD ≌BQE △ ,CD BE BD QE ∴== (10,0),(0,5)B C - 10,5CD BD ∴==5QE BD ∴==，10BE CD == (10,10),(5,10)E Q ∴设直线CQ 的直线解析式为y mx n =+，将(0,5)C -,(5,10)Q 代入，则5510n m n =-⎧⎨+=⎩解得35m n =⎧⎨=-⎩直线CQ 的直线解析式为35y x =- 令0y =，则53x =即5 (,0) 3P故答案为：5 (,0) 3（3）如图，连接OD，(0,10)A，()10,0BOA OB∴=90AOB∠=︒AOB∴是等腰直角三角形DN DM⊥90MDN∴∠=︒D点是AB的中点，AD DB OD∴==，OD AD⊥45DON DAM∴∠=∠=︒ODN ODM ODM ADM∴∠+=∠+∠ODN ADM∴∠=∠DAM DON∴△≌△AM ON∴=，DM DN=,ODN ADM∠=∠DMN∴是等腰直角三角形，设DO 交MN 于点E ,设ADM α∠=,则2MBO α∠=45EOM ∠=︒，45DNM ∠=︒MOE MND ∴∠=∠MEO NED ∠=∠OMN ODN ADM α∴∠=∠=∠=过点N 作SN x ⊥轴，作OBM ∠的角平分线BS 交NS 于点S ，过点S 作,ST SR 分别垂直于,MO MB ，垂足分别为,T R ，连接MS ，如图，22OBM ADM α∠=∠=，BS 平分OBM ∠SBN SBR α∴∠==∠OA OB =,AM ON =OM NB ∴=又90,MON BNS OMN SBN α∠=∠=︒∠=∠=SNB NOM ∴△≌△ST SN ∴=∴四边形STON 是正方形在SRB △与SNB △中90SBN SBR SB SBSRB SNB α∠=∠=⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩∴SRB △≌SNB △NB RB ∴=，SR SN =SR ST ∴=,ST OA SR MB ⊥⊥90STM SRM ∴∠=∠=︒在Rt STM △和Rt SRM △中MS MS ST SR =⎧⎨=⎩∴Rt STM △≌Rt SRM △MT MR ∴=设ON x =，则,10,,AM x BN x SN ON x ==-==102MT MO TO AO AM TO x MR =-=--=-=，10NB OB ON x BR =-=-=在Rt MOB 中，222MB MO OB =+即()222MR RB OB OM +=+()()22210210=1010x x x ∴-+-+- 整理得2225500x x -+=即()()25100x x --= 解得125,102x x ==（舍） 52AM ON ∴== 5151022MO ∴=-= 15(0,)2M ∴ 【点睛】本题考查了一次函数，坐标与图形，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形全等的性质与判定，角平分线的定义，解一元二次方程，添加辅助线是解题的关键．3．（1）2,1,5-；（2）①13或133；②存在，m 的值为2-或2． 【解析】【分析】（1）根据正整数的定义、绝对值的非负性、偶次方的非负性分别可求出,,b a c 的值；（2）①先求出运动t 秒后，点,A C 所表示的数，再分点A 在点C 左侧和点A 在点C 右侧两种情况，然后根据数轴的定义建立方程，解方程即可得；②先求出运动t 秒后，点,,A B C 所表示的数，从而可得AC 的长，再分点A 在点B 左侧和点A 在点B 右侧两种情况，分别求出AB 的值，代入化简，然后根据整式的无关型问题求解即可得．【详解】解：（1）b 是最小的正整数，1b ∴=，()2250a c ++-=，20,50a c ∴+=-=， 解得2,5a c =-=，故答案为：2,1,5-；（2）①由题意，运动t 后，点A 所表示的数是42t -，点C 所表示的数是5t +， 当点A 在点C 左侧时，5(42)6AC t t =+--=，解得13t =， 当点A 在点C 右侧时，42(5)6AC t t =--+=，解得133t =， 综上，t 的值为13或133； ②由题意，运动t 后，点A 所表示的数是42t -，点B 所表示的数是1t +，点C 所表示的数是5t +， 当421t t -=+时，13t =， 当425t t -=+时，73t =， 因为点A 在点C 左侧，所以5(42)73AC t t t =+--=-，当点A 在点B 左侧，即01t <<时，1(42)33AB t t t =+--=-，则22(73)(33)314(36)AC m AB t m t m m t +⋅=-+-=+-+，由360m +=得：2m =-，即在01t <<运动时间内，当2m =-时，2AC m AB +⋅的值不随t 的改变而改变；当点A 在点B 右侧，即713t <<时，42(1)33AB t t t =--+=-， 则22(73)(33)143(36)AC m AB t m t m m t +⋅=-+-=-+-，由360m -=得：2m =， 即在713t <<运动时间内，当2m =时，2AC m AB +⋅的值不随t 的改变而改变； 综上，存在一个常数m 使得2AC m AB +⋅的值在某段运动过程中不随t 的改变而改变，m 的值为2-或2．【点睛】本题考查了数轴、一元一次方程的应用、绝对值和偶次方的非负性、整式等知识点，较难的是题（2）②，正确分两种情况讨论是解题关键．4．（1）12；（2）证明见解析；（3）B ′的坐标为(1,1)-或． 【解析】【分析】（1）利用一次函数的解析式先求解,A B 的坐标，再求解,OA OB 的长度，再利用正切的定义可得答案；（2）由旋转的性质可得CBD CB D ∠=∠''，证明BEC B ED ∽ ，可得BE B E EC ED ''=，结合BEB CED ，从而可得结论；（3）当B '在y 轴左边，过点B '作B M y '⊥轴于点M ，过点C 作CNB M ，交B M '的延长线于点N ，先利用等角正切相等可得：1.32ab 可得32,b a 再利用勾股定理可得222(1)(2)a b -+-=，再解方程组即可，当B '在y 轴右边时，同理可得B '点坐标．【详解】解：（1）直线24y x =-+与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，令0,x = 则4,y =令0,y = 则2,x =(2,0)A ∴，(0,4)B ，即2OA =，4OB =，AB ∴= 21tan .42OAOBA OB （2）由旋转的性质可得CBD CB D ∠=∠''，又BEC B ED ∠=∠''，BEC ∴∆∽△B ED ''，∴BE EC B E ED =''，∴BE B E EC ED ''=， 又BEB CED ∠=∠''，BEB CED ∆'∴∆'∽；（3）2,0,0,4,A B C 为AB 的中点，152BC B C AB ∴==='，(1,2)C ， 设(,)B a b '，①当B '在y 轴左侧时，如图，此时0a <，过点B '作B M y '⊥轴于点M ，过点C 作CN B M ，交B M '的延长线于点N ，ODB OBA ∠'=∠，tan tan ODB OBA ∴='∠∠， ∴12B M OA DM OB ='=， ∴132a b -=-， 32b a ∴=+，①1,2,C (,)B a b '，1B N a ∴'=-，2CN b =-，由勾股定理，得222B N CN B C '='+，即222(1)(2)(5)a b -+-=，②联立①②，解得11a b =-⎧⎨=⎩或35{215a b ==， 0a <，(1,1)B ∴-'；②当B '在y 轴右侧时，如图，此时0a >，过点B '作B M y '⊥轴于点M ，过点C 作CN B M 于点N ，同理可得：12B M OA DM OB ='=， ∴132a b =-， 32b a ∴=-，①(1,2)C ，(,)B a b '， 1B N a ∴'=-，2CN b =-，由勾股定理，得222B N CN B C '='+， 即222(1)(2)(5)a b -+-=，② 联立①②，解得326{946a b +=-326{946a b -+=，0a >， 326(B '+∴946-； 综上，B ′的坐标为(1,1)-或326(+946-． 【点睛】本题主要考查一次函数的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，一元二次方程的解法，锐角三角函数的应用等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质以及勾股定理等知识是解题的关键．5．（1）证明见解析；（2）353【解析】【分析】（1）通过证明△CEK≌△BEF及△KED≌△FED即可证明FD DK=；（2）延长CE到点P，使EP＝CE，先证明点G在过点P且与CE垂直的直线PN上运动，再作点E关于点P的对称点Q，连接BQ交PN于点G，此时△BEG的周长最小，求出此时GE+GB+BE的值即可．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB CD∥，∴∠K＝∠ABE，∵BF⊥AB，,⊥BE CEBEF CEK∴∠ABF＝90°，90,∴∠ABE＝90°﹣∠EBF＝∠BFE，∴∠K＝∠BFE，∵BE＝CE，∴△CEK≌△BEF（AAS），∴CK＝BF，EK＝EF，∵AD BC∥，∴∠KED＝∠EBC，∠FED＝∠ECB，∵BE＝CE，∴∠EBC＝∠ECB，∴∠KED＝∠FED，∴ED＝ED，∴△KED≌△FED（SAS），∴DK＝DF，（2）如图，作BN⊥BE，GN⊥BN于点N，延长NG交射线CE于点P，则∠EBN＝∠FBG＝90°，∴∠NBG＝∠EBF＝90°﹣∠GBE，∵∠N＝∠BEF＝90°，BG＝BF，∴△BNG ≌△BEF （AAS ），∴BN ＝BE ；∵∠EBN ＝∠N ＝∠BEP ＝90°，∴四边形BEPN 是正方形，∴PE ＝BE ＝CE ，∴当点F 在CE 上运动时，点G 在PN 上运动；延长EP 到点Q ，使PQ ＝PE ，连接BQ 交PN 于点G ，∵PN 垂直平分EQ ，∴点Q 与点E 关于直线PN 对称，∵两点之间，线段最短，∴此时GE +GB ＝GQ +GB ＝BQ 最小，∵BE 为定值，∴此时GE +GB +BE 最小，即△BEG 的周长最小；作DH ⊥CE 于点H ，则∠DHE ＝∠DHC ＝90°，∵∠ECB ＝∠EBC ＝45°，∴∠HED ＝∠ECB ＝45°，∴∠HDE ＝45°＝∠HED ，∴DH ＝EH ，∴DH 2+EH 2＝2DH 2＝DE 2＝2， ∴DH ＝EH ＝1；∴CH 2222512DH ，∴BE ＝CE ＝EH +CH ＝1+2＝3，∴EQ ＝2PE ＝2BE ＝6，∵∠BEQ ＝90°，∴BQ =∴GE +GB +BE ＝3，∴△BEG 周长的最小值为3．【点睛】本题重点考查平行四边形的性质、正方形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、以及运用轴对称的性质求线段和的最小值问题的求解等知识与方法，深入探究与挖掘题中的隐含条件并且正确地作出辅助线是解题的关键，此题综合性强，难度大，属于考试压轴题．6．（1）①见解析；②5m =；（2）m 的值为6；（3）CE =【解析】【分析】（1）①连接DE ，证明ADC ∆是等腰三角形，根据“三线合一”的性质可得ADE CDE ∠=∠，证得EC EF =，从而可得结论；②根据勾股定理得到AC 45=，由E 为AC 中点得EC 25=，再证明DEC CBA ，由相似三角形的性质列出比例式，求出m 的值即可；（2）分PF //AC 和PF //BC 两种情况求解即可； （3）设CE =x ，作PG ⊥AC ，则2x GE =，45AE x =- 证明PGE EAP '≅得AP GE '=，再证明AP EBAC '，列比例式求出x 的值即可．【详解】解：（1）如图，连接DE∵CD 是圆P 的直径，∴∠DEC =90°，即DE ⊥AC∵E 为CA 中点 ∴AE =CE∴AD =CD∴ADE CDE ∠=∠∴EC EF =∴E 是CF 的中点；②在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝4，BC ＝8， ∴22224845AC AB BC +=+∵E 是AC 的中点 ∴11452522EC AC ==⨯= ∵AB //CD ，90B ∠=︒∴90B DCB ∠+∠=︒∴90DCB ∠=︒，即90DCE BCA ∠+∠=︒∵90CDE DCE ∠+∠=︒∴CDE BCA ∠=∠又90B DEC ∠=∠=︒∴DEC CBA ∆∆∽∴CE DC AB AC =2545解得，5m =；（2）分两种情况：①当PF//AC时，如图，则有PDF CDA∆∆∴PF PDAC CD=，即245PF mm=∴25=PF∴25m=②当PF//BC时，如图，过点A作AH⊥DC，垂足为H，则四边形AHCB是矩形，∴AH//BC，HC=AB=4，AH=BC=8∴PF//AH∵90DCB∠=︒∴90FPD∠=︒∴45PDF PFD∠=∠=︒∴45HAD HDA∠=∠=︒∴DH=AH，即248m-=解得，6m=综上，m的值为256；（3）过点P作PG AC⊥于点G，如图，∵PE =PC∴1,2GE CE EPG CPG =∠=∠∵90PEP '∠=︒ ∴90P EA PEG '∠+∠=︒ 又90PEG GPE ∠+∠=︒ ∴P EA EPG '∠=∠又90P AE PGE '∠=∠=︒，PE P E '= ∴P AE EPG '∆≅∆ ∴AP GE '=设CE x =，则45,2x AE x GE AP '===∵90,90BCA DCA GPC PCH ∠+∠=︒∠+∠=︒ ∴GPC BCA ∠=∠ ∴EPG BCP ∠=∠ ∴P EA BCA '∠=∠ 又90P AE B '∠=∠=︒ ∴AP EBAC '∆∆∴AP ABAE BC'=42825x= ∴5x =25CE =【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，圆的基本概念，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线以及进行分类讨论是解答本题的关键．7．（1）2315684y x x =-+；（2）143x =或34633x =【解析】 【分析】（1）由题意代入A （2，0），B （8，0）两点求出a 、b 的值，即可得出抛物线的解析式；（2）根据题意分点P 在BC 下方的抛物线上和点P 在BC 上方的抛物线上两种情况，结合全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质进行分析即可得出答案. 【详解】解：（1）由题意代入A （2，0），B （8，0）两点，可得： 042606486a b a b =++⎧⎨=++⎩，解得：38154a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 所以抛物线的解析式为：2315684y x x =-+；（2）当点P 在BC 下方的抛物线上时，此时∠PCB 12=∠BCO 即CP 平分∠BCO ，如图，作CP 平分∠BCO ，交x 轴于点D ，过D 作DE BC ⊥垂足为E ， ∵CP 平分∠BCO ，DE BC ⊥， ∴OD DE =，DCO DCE ∠=∠，∵OD DE =，DCO DCE ∠=∠，90COD CED ︒∠=∠=, ∴,6,DOC DEC CO CE ≅==∴22226810,4BC CO BO BE BC CE ++=-=, 设OD DE m ==，8BD m =-,勾股定理可得：222DE B D E B +=,即2224(8)m m +=-, 解得：3m =,即3OD DE ==，D 的坐标为（3，0）， 设CD 的解析式为：(0)y kx b k =+≠，代入C 、D 可得：603b k b =⎧⎨=+⎩，解得：26k b =-⎧⎨=⎩，所以CD 的解析式为：26y x =-+， ∵P 为直线CD 与抛物线的交点，84解得：0x =（舍去）或143x =，即P 的横坐标为143x =， 当点P 在BC 上方的抛物线上时，此时∠PCB 12=∠BCO ，如图， 作∠PCB 12=∠BCO 交抛物线于点P ，延长DE 交CP 于点F ，过E 作EH ⊥x 轴交于点H ，∵∠PCB 12=∠BCO ，DCB DCO ∠=∠， ∴,PCB DCB ∠=∠∵,,PCB DCB CE CE DEC FEC ∠=∠=∠=∠, ∴,DEC FEC DE DF ≅=,∵,90CBO EBH COB EHB ︒∠=∠∠=∠=, ∴EHB COB ∽, ∴4,1068BE EH BH EH BHBC CO BO ====, 可得121624,,555EH BH OH BO BH ===-=, ∴2412(,)55E , 设F 为(,)m n ，由DE DF =可得324012,2525m n ++==，解得：3324,55m n ==， 即F 为3324(,)55， 设CF 的解析式为：(0)y kx b k =+≠，代入C 、F 可得：6243355b k b =⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得：2116k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，所以CD 的解析式为：2611y x =-+， ∵P 为直线CF 与抛物线的交点，1184解得：0x =（舍去）或34633x =，即P 的横坐标为34633x =， 综上所述P 的横坐标为143x =或34633x =.【点睛】本题考查二次函数的综合问题，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式和全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质和角平分线性质是解题的关键.8．（1）AG =CH ；12；（2）'''CF A G 的值为12；（3【解析】 【分析】（1）由已知条件ASA 推论出CDH ADG ≅△△，得出AG =CH ；再推论出ACF AHF ≅△△，得出CF HF =，因为12CF CH =，所以12CF AG =； （2）过点A '作//A B AB ''，同（1）理得：CH AG '='' 所以 12CF A G '=''； （3）①由已知条件推论出CD H A D G '''''△△，得出CH CD A G A D ''=''''，因为30B ∠=︒，推出CH A G '=''，由12CF CH '='可转化得，CF A G '=''；②由CF A G '=''，'CF 6AG ''=，由面积公式得到12A G C S A G CF ''='''=△ 【详解】解：（1）AC AB = 90ACB ∠=︒ 点D 为AB 的中点CD AB ∴⊥ AD DB CD == 90DCH CHD ∴∠+∠=︒ CF AE ⊥90GAD CHD ∴∠+∠=︒ DCH GAD ∴∠=∠在CDH △和ADG 中90DCH GADCD AD CDH ADG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩CDH ADG ∴≅△△ CH AG ∴=AE ∵为BAC ∠的角平分线 CF AE ⊥CAF HAF CFA AFH ∴∠=∠∠=∠在ACF 和AHF △中 CAF HAF AF AFCFA AFH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ACF AHF ∴≅△△CF HF ∴=12CF CH ∴= 12CF AG ∴= （2）过点A '作//A B AB ''，交CD 于D '，CH 于H '，CB 于B ′在CA B ''△中A E '为CAB ∠''的角平分线 CF A E ⊥''同（1）理得：CH AG '='' 12CF A G '∴='' '''CF A G ∴的值为12； （3）过点A '作//A B AB ''，交CD 于D '，CH 于H '，CB 于B ′①AC AB = 30ABC ∠=︒ 点D 为AB 的中点CD AB ∴⊥ //A B AB ''CD A B ∴⊥'' 30A B C ABC ∠''=∠=︒ 30CA B CAB ∠''=∠=︒ 90D CH CH D ∴∠''+∠''=︒ 60AC D ∠'''=︒ CF A E '⊥''90G A D CH D ∴∠'''+∠''=︒ D CH G A D ∴∠''=∠''' 90CD H G D A ∠''=∠'''=︒ CD H A D G ∴'''''△△CH CD A G A D ''∴=''''tan 30CD A D '︒==''CH CD A G A D ''∴=='''CH A G ∴'='' 由题意知A E ''为B AC ∠''的角平分线 CF A E '⊥''CA F H A F CF A A F H ∴∠''=∠'''∠''=∠'''在A CF ''△和A H F '''△中 CA F H A F A F A F CF A A F H ∠''=∠'''⎧⎪''=''⎨⎪∠''=∠'''⎩ACF A H F ∴''≅'''△△ CF H F ∴'=''12CF CH '∴='12=CF A G '∴=''②CF A G '='''CF =6A G ∴''===11622A G C S A G CF ''∴='''=⨯=△【点睛】本题是相似形的综合题目，考察了等腰三角形、直角三角形以及全等三角形的判定和性质、和相似三角形判定和性质等知识；本题难度较大，综合性强．9．（1）(0,1)A ，32x =；（2）12a =或89a =-；（3）10a -<或2a ． 【解析】 【分析】（1）把0x =代入抛物线的解析式求解抛物线与y 轴的交点坐标即可，再利用抛物线的对称轴方程2bx a=-求解抛物线的对称轴即可； （2）分两种情况讨论，①当0a >时，抛物线的开口向上，12x -≤≤且()353112,2222--=>-= 此时1x =-，y 取最大值；②当0a <时，抛物线的开口向下，12x -≤≤且()353112,2222--=>-=此时32x =，y 取最大值，再分别列方程求解a 即可；（3）分两种情况分别画出符合题意的图形，①当0a >时，如图，当点Q 在点A 的左侧（包括点)A 或点Q 在点B 的右侧（包括点)B 时，线段PQ 与抛物线只有一个公共点；②当0a <时，如图，当Q 在点A 与点B 之间（包括点A ，不包括点)B 时，线段PQ 与抛物线只有一个公共点，再根据点的位置列不等式即可得到答案. 【详解】解：（1）令0x =，则1y =．(0,1)A ． 抛物线的对称轴为3322a x a -=-=． （2）2234931()24ay ax ax a x -=-+=-+， 抛物线的对称轴为32x =． ①当0a >时，抛物线的开口向上，12x -≤≤且()353112,2222--=>-= 此时1x =-，y 取最大值. ∴()213(1)13a a --⨯-+= ∴12a =. ②当0a <时，抛物线的开口向下，12x -≤≤且()353112,2222--=>-= ∴ 此时32x =，y取最大值. ∴233()31322a a -⨯+= ∴89a =-.综上所述，12a =或89a =-． （3）∵抛物线231y ax ax =-+的对称轴为32x =．设点A 关于对称轴的对称点为点B ，(3,1)B ∴.(1,1)Q a +， ∴点,,Q A B 都在直线1y =上．①当0a >时，如图，当点Q 在点A 的左侧（包括点)A 或点Q 在点B 的右侧（包括点)B 时，线段PQ 与抛物线只有一个公共点．10a ∴+或13a +．1a ∴-（不合题意，舍去）或2a∴ 2a .②当0a <时，如图，当Q 在点A 与点B 之间（包括点A ，不包括点)B 时，线段PQ 与抛物线只有一个公共点．013a ∴+<． 12a ∴-<．又0a <，10a ∴-<综上所述，a 的取值范围为10a -<或2a ． 【点睛】本题考查的是抛物线与坐标轴的交点问题，求解抛物线的对称轴方程，抛物线的最值问题，抛物线与线段的交点问题，掌握数形结合的方法，清晰的分类讨论是解题的关键.10．(1)43； (2)见解析 (3)−3√6+3√2【解析】 【分析】（1）过点H 作HL ⊥EF ，交AF 于L ，根据菱形ABCD ，，得出∠DAB =180°-，AD ∥BC ，可得∠DAE =∠AEB ，可求∠DAE =15°，先证△AEF 为等边三角形，得出∠F=60°，根据余角性质可求∠HLF=90°-∠F=30°，利用30°直角三角形性质可求LF=2HF=2×4=8，根据勾股定理，再证∠AHL=∠HAF，得出AL=LH=（2）过B作BL⊥AC于L，过F作FK⊥AE于K，设AE=m，AC=n，将AE绕点A逆时针旋转60°得AF，得出△AEF为等边三角形，可得AF=EF，可求∠AFK=∠EFK=30°，AK=EK=，根据勾股定理在Rt△AKF中，，根据菱形ABCD，可求AL=CL=,∠CBL=∠ABL=60°，进而可求∠LCB=90°-∠CBL=30°，利用30°直角三角形性质得出BC=2BL，在Rt△BCL中，根据勾股定理，得出，根据点M为CE中点，可得CM=EM=，得出MK=ME-KE=，M L=MC-CL=，再利用勾股定理股定理即可；（3）连结SB，过E作TL⊥DE，，过G作GI⊥AD于I，过T作TJ⊥AB于J，在TD上截取TE′=TE，根据将AB沿AS翻折得，∠BAS=∠EAS，AB=AE，可证△ABS≌△AES（SAS），可得∠ABS=∠AES，根据四边形ABCD为菱形，证明A、S、B、D 四点共圆，得出点S在△ABD的外接圆劣弧AB上运动，当AS⊥AB时，DS长最大，∠ADH=90°-∠DAH=30°，AH=3，DH=，点T在以点A为圆3为半径的圆上运动，当点A关于TJ直线的对称点在∠ADH的角平分线DT上时，的值最大，设点A的对称点为G， Rt△AIG中，根据勾股定理即，解得，在Rt△DGH中，根据勾股定理求得DG，可求DT，再证四边形JTLH为矩形，可得JH=TL=，在DL上截取DN=TN，可得∠NDT=∠NTD=15°，得出∠FNL=∠NDT+∠NTD=30°可求DN=TN=2TL，根据在Rt△TNL 中，根据勾股定理NL=，在Rt△AHE中，∠EAH=60°，根据DE=sin60°×AEDE LE=DE-DL=TL求出TE即可．(1)解：过点H作HL⊥EF，交AF于L，∵菱形ABCD，∴∠DAB=180°-，AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∵，∴∠DAE=15°，∵AE绕点A顺时针旋转60°得AF，∴△AEF为等边三角形，∴∠F=60°，∵HL⊥EF，∴∠HLF=90°-∠F=30°，∴LF=2HF=2×4=8，根据勾股定理，∵∠DAE+∠EAH=∠EAH+∠HAF=60°∴∠DAE=∠HAF=15°，∵∠HLF为△AHL的外角，∴∠AHL=∠HLF-∠HAF=30°-15°=15°，∴∠AHL=∠HAF，∴AL=LH=43，∴AE=AF=AL+LF=43+8；(2)证明：过B作BL⊥AC于L，过F作FK⊥AE于K，设AE=m，AC=n，∵将AE绕点A逆时针旋转60°得AF，∴AE=AF=m，∠EAF=60°，∴△AEF为等边三角形，∴AF=EF，∵FK⊥AE，∴∠AFK=∠EFK=30°，AK=EK=，在Rt△AKF中，，∵菱形ABCD，，BL⊥AC，∴AL=CL=,∠CBL=∠ABL=60°，。
中考数学几何压轴题(有关三角形、四边形)的综合专题(含答案解析)
中考数学几何压轴题（有关三角形、四边形）的综合专题1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，（1）求证：CF＝BG；（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF；（3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长．2、[问题背景]如图1所示，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．[问题初探]如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF⊥BC 交直线BC于F，如图2所示，通过证明△DEF≌△，可推证△CEF是三角形，从而求得∠DCE＝．[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE的度数．[拓展延伸]连接BE，当点D在直线BC上运动时，若AB＝，请直接写出BE的最小值．3、（2019秋•锦江区校级期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线．（1）如图1，求证：AD＝2DC．（2）如图2，作∠CBD的角平分线交线段CD于点M，若CM＝1，求△DBM的面积；（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，点N是线段AC上一点（不与C、D重合），以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G，试探究线段ND，DG与AD之间的数量关系，并说明理由．4、（2019•镇平县三模）如图1，已知直角三角形ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D是AC边上一点，过D作DE⊥AB于点E，连接BD，点F是BD中点，连接EF，CF．（1）发现问题：线段EF，CF之间的数量关系为；∠EFC的度数为；（2）拓展与探究：若将△AED绕点A按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜30°），如图2所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）拓展与运用：如图3所示，若△AED绕点A旋转的过程中，当点D落到AB边上时，AB边上另有一点G，AD＝DG＝GB，BC＝3，连接EG，请直接写出EG的长度．5、（2017春•西城区校级期末）如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点P是线段AB的中点，点E是线段CB延长线上一点，且PE＝PC，将线段PC绕点P顺时针旋转α得到PD，连接BD．（1）如图2，若α＝60°，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段BD和BC之间的数量关系，并说明理由．（2）如图3，若α＝90°，其他条件不变，探究线段BP、BD和BC之间的等量关系，并说明理由．6、【发现问题】如图1，已知△ABC，以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE．请你以A为直角顶点、AC为腰，向△ABC外作等腰直角△ACD（不写作法，保留作图痕迹）．连接BD、CE．那么BD与CE的数量关系是BD＝CE．【拓展探究】如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD，连接BD、CE，试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由．【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD，∠ADC＝60°，BC＝15，AB＝8，AD＝CD，求BD的最大值．7、（1）如图1，点C为线段AB外一个动点，已知AB＝a，AC＝b．当点C位于BA的延长线上时，线段BC取得最大值，则最大值为（用含a，b的式子表示）；（2）如图2，点C为线段AB外一个动点，若AB＝10，AC＝3，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，DB．①求证：AE＝DB；②请直接写出线段AE的最大值；（3）如图3，AB＝6，点M为线段AB外一个动点，且AM＝2，MB＝MN，∠BMN＝90°，请直接写出线段AN的最大值．8、【初步探索】（1）如图1：在四边形ABC中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF ＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；【灵活运用】（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．9、（2018•大东区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系．（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝45°，AC＝，请直接写出BQ的长．10、模型发现：同学们知道，三角形的两边之和大于第三边，即如图1，在△ABC中，AB+AC＞BC．对于图1，若把点C看作是线段AB外一动点，且AB＝c，AC＝b，则线段BC的长会因为点C的位置的不同而发生变化．因为AB、AC的长度固定，所以当∠BAC越大时，BC边越长．特别的，当点C位于时，线段BC的长取得最大值，且最大值为（用含b，c的式子表示）（直接填空）.模型应用：点C为线段AB外一动点，且AB＝3，AC＝2，如图2所示，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD 和等边三角形BCE，连接BD，AE．（1）求证：BD＝AE．（2）线段AE长的最大值为．模型拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上的一动点，点B是x轴正半轴上的一动点，且AB ＝8．若AC⊥AB，AC＝3，试求OC长的最大值．11、已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）如图1，点D在BC的延长线上，连AD，过B作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD＝BF；（2）如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE＝AD，连BE交AC于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；（3）如图3，点D在CB延长线上，AE＝AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC ＝3MC，请直接写出的值．12、已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．①求证：∠1＝∠2；②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求的值．13、已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，E为边AC任意一点，连接BE．（1）如图1，若∠ABE＝15°，O为BE中点，连接AO，且AO＝1，求BC的长；（2）如图2，F也为AC上一点，且满足AE＝CF，过A作AD⊥BE交BE于点H，交BC于点D，连接DF交BE于点G，连接AG；①若AG平分∠CAD，求证：AH＝AC；②如图3，当G落在△ABC外时，若将△EFG沿EF边翻折，点G刚好落在AB边上点P，直接写出AG与EF的数量关系．14、如图所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，连接CD；（1）如图1，求证：AB＝2CD；（2）如图2，作CF⊥AB交AB于F，点G为CF上一点，点H为DE延长线上一点，分别连接AH、GH，若∠AHG＝2∠B，求证：AH＝GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，且有DE＝BF，∠EDG＝90°，若AC＝6，求AH的长度．15、【问题情境】一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图：已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E、F分别在A和BC上，∠1＝∠2，FG⊥AB于点G，求证：△CDE≌△EGF．（1）阅读理解，完成解答本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写这道练习题的证明过程；（2）特殊位置，证明结论若CE平分∠ACD，其余条件不变，求证：AE＝BF；（3）知识迁移，探究发现如图，已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若点E是DB的中点，点F在直线CB上且满足EC＝EF，请直接写出AE与BF的数量关系．（不必写解答过程）16、在正方形ABCD和等腰直角△BGF中，∠BGF＝90°，P是DF的中点，连接PG、PC．（1）如图1，当点G在BC边上时，延长GP交DC于点E．求证：PG＝PC；（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请证明你的结论；（3）如图3，若四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，△BGF为等边三角形，点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的数量关系，请直接写出你的结论，并画出论证过程中需要添加的辅助线．17、在△ABC中，∠BAC＝60°，点D、E分别在边AC、AB上，AD＝AE，连接CE、BD相交于点F，且∠BEC＝∠ADF，连接AF．（1）如图1，连接ED，求证：∠ABD＝∠CED；（2）如图2，求证：EF+FD＝AF；（3）如图3，取BC的中点G，连接AG交BD于点H，若∠GAC＝3∠ABD，BH＝7，求△ABH的面积．18、点D，E分别在△ABC的边AC，BD上，BD，CE交于点F，连接AF，∠F AE＝∠F AD，FE＝FD．（1）如图1，若∠AEF＝∠ADF，求证：AE＝AD；（2）如图2，若∠AEF≠∠ADF，FB平分∠ABC，求∠BAC的度数；（3）在（2）的条件下，如图3，点G在BE上，∠CFG＝∠AFB若AG＝6，△ABC的周长为20，求BC长．中考数学几何压轴题（有关三角形、四边形）的综合专题参考答案1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，（1）求证：CF＝BG；（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF；（3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长．证明：（1）如图1，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°，∵CG平分∠ACB，∴∠ACG＝∠BCG＝45°，∴∠A＝∠BCG，在△BCG和△CAF中，∵，∴△BCG≌△CAF（ASA），∴CF＝BG；（2）如图2，∵PC∥AG，∴∠PCA＝∠CAG，∵AC＝BC，∠ACG＝∠BCG，CG＝CG，∴△ACG≌△BCG，∴∠CAG＝∠CBE，∵∠PCG＝∠PCA+∠ACG＝∠CAG+45°＝∠CBE+45°，∠PGC＝∠GCB+∠CBE＝∠CBE+45°，∴∠PCG＝∠PGC，∴PC＝PG，∵PB＝BG+PG，BG＝CF，∴PB＝CF+CP；（3）解法一：如图3，过E作EM⊥AG，交AG于M，∵S△AEG＝AG•EM＝3，由（2）得：△ACG≌△BCG，∴BG＝AG＝6，∴×6×EM＝3，EM＝，设∠FCH＝x°，则∠GAC＝2x°，∴∠ACF＝∠EBC＝∠GAC＝2x°，∵∠ACH＝45°，∴2x+x＝45，x＝15，∴∠ACF＝∠GAC＝30°，在Rt△AEM中，AE＝2EM＝2，AM＝＝3，∴M是AG的中点，∴AE＝EG＝2，∴BE＝BG+EG＝6+2，在Rt△ECB中，∠EBC＝30°，∴CE＝BE＝3+，∴AC＝AE+EC＝2+3+＝3+3．解法二：同理得：∠CAG＝30°，AG＝BG＝6，如图4，过G作GM⊥AC于M，在Rt△AGM中，GM＝3，AM＝＝＝3，∵∠ACG＝45°，∠MGC＝90°，∴GM＝CM＝3，∴AC＝AM+CM＝3+3．2、[问题背景]如图1所示，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．[问题初探]如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF⊥BC 交直线BC于F，如图2所示，通过证明△DEF≌△ADB，可推证△CEF是等腰直角三角形，从而求得∠DCE＝135°．[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE的度数．[拓展延伸]连接BE，当点D在直线BC上运动时，若AB＝，请直接写出BE的最小值．解：[问题初探]如图2，过点E作EF⊥BC交直线BC于F，∴∠DFE＝90°＝∠ABD，∴∠EDF+∠DEF＝90°，由旋转知，AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴△ABD≌△DFE（AAS），∴BD＝EF，DF＝AB，∵AB＝BC，∴BC＝DF，∴BD＝CF，∴EF＝CF，∴△CEG是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，∴∠DCE＝135°，故答案为：ADB，等腰直角，135；[继续探究]如图3，过点E作EF⊥BC于F，∴∠DFE＝90°＝∠ABD，∴∠EDF+∠DEF＝90°，由旋转知，AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴△ABD≌△DFE（AAS），∴BD＝EF，DF＝AB，∵AB＝BC，∴BC＝DF，∴BD＝CF，∴EF＝CF，∴△CEG是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，∴∠DCE＝45°；[拓展延伸]如图4，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，∴∠ACB＝45°当点D在射线BC上时，由[问题初探]知，∠BCM＝135°，∴∠ACM＝∠BCM﹣∠ACB＝90°，当点D在线段CB的延长线上时，由[继续探究]知，∠BCE＝45°，∴∠ACN＝∠ACB+∠BCM＝90°，∴点E是过点C垂直于AC的直线上的点，∴当BE⊥MN时，BE最小，∵∠BCE＝45°，∴∠CBE＝45°＝∠BCE，∴BE＝CE，∴BE最小＝BC＝，即：BE的最小值为．3、在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线．（1）如图1，求证：AD＝2DC．（2）如图2，作∠CBD的角平分线交线段CD于点M，若CM＝1，求△DBM的面积；（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，点N是线段AC上一点（不与C、D重合），以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G，试探究线段ND，DG与AD之间的数量关系，并说明理由．证明：（1）如图1，过点D作DE⊥AB，∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠ACB＝90°，∴DC＝DE，∵∠A＝30°，DE⊥AB，∴AD＝2DE，∴AD＝2DC；（2）如图2，过点M作ME∥BD，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC＝30°，∵BM平分∠CBD，∴∠CBM＝15°＝∠DBM，∵ME∥BD，∴∠MEC＝∠CBD＝30°，∠EMB＝∠DBM＝∠MBE，∴ME＝BE，∵∠MEC＝30°，∠C＝90°∴CE＝MC＝，ME＝2MC＝2＝BE，∴BC＝+2，∵∠CBD＝30°，∠C＝90°，∴BC＝CD，∴CD＝1+，∴DM＝，∴△DBM的面积＝××（+2）＝1+；（3）若点N在CD上时，AD＝DG+DN，理由如下：如图3所示：延长ED使得DW＝DN，连接NW，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，∴∠ADE＝∠BDE＝60°，AD＝BD，∵DN＝DW，且∠WDN＝60°∴△WDN是等边三角形，∴NW＝DN，∠W＝∠WND＝∠BNG＝∠BDN＝60°，∴∠WNG＝∠BND，在△WGN和△DBN中，∴△WGN≌△DBN（SAS），∴BD＝WG＝DG+DN，∴AD＝DG+DN．（3）若点N在AD上时，AD＝DG﹣DN，理由如下：如图4，延长BD至H，使得DH＝DN，连接HN，由（1）得DA＝DB，∠A＝30°．∵DE⊥AB于点E．∴∠2＝∠3＝60°．∴∠4＝∠5＝60°．∴△NDH是等边三角形．∴NH＝ND，∠H＝∠6＝60°．∴∠H＝∠2．∵∠BNG＝60°，∴∠BNG+∠7＝∠6+∠7．即∠DNG＝∠HNB．在△DNG和△HNB中，∴△DNG≌△HNB（ASA）．∴DG＝HB．∵HB＝HD+DB＝ND+AD，∴DG＝ND+AD．∴AD＝DG﹣ND．4、如图1，已知直角三角形ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D是AC边上一点，过D作DE⊥AB于点E，连接BD，点F是BD中点，连接EF，CF．（1）发现问题：线段EF，CF之间的数量关系为EF＝CF；∠EFC的度数为120°；（2）拓展与探究：若将△AED绕点A按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜30°），如图2所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）拓展与运用：如图3所示，若△AED绕点A旋转的过程中，当点D落到AB边上时，AB边上另有一点G，AD＝DG＝GB，BC＝3，连接EG，请直接写出EG的长度．解：（1）如图1中，∵DE⊥AB，∴∠BED＝90°，∵∠BCD＝90°，BF＝DF，∴FE＝FB＝FD＝CF，∴∠FBE＝∠FEB，∠FBC＝∠FCB，∴∠EFC＝∠EFD+∠CFD＝∠FBE+∠FEB+∠FBC+∠FCB＝2（∠FBE+∠FBC）＝2∠ABC＝120°，故答案为：EF＝CF，120°．（2）结论成立．理由：如图2中，取AB的中点M，AD的中点N，连接MC，MF，ED，EN，FN．∵BM＝MA，BF＝FD，∴MF∥AD，MF＝AD，∵AN＝ND，∴MF＝AN，MF∥AN，∴四边形MFNA是平行四边形，∴NF＝AM，∠FMA＝∠ANF，在Rt△ADE中，∵AN＝ND，∠AED＝90°，∴EN＝AD＝AN＝ND，同理CM＝AB＝AM＝MB，在△AEN和△ACM中，∠AEN＝∠EAN，∠MCA＝∠MAC，∵∠MAC＝∠EAN，∴∠AMC＝∠ANE，又∵∠FMA＝∠ANF，∴∠ENF＝∠FMC，在△MFC和△NEF中，，∴△MFC≌△NEF（SAS），∴FE＝FC，∠NFE＝∠MCF，∵NF∥AB，∴∠NFD＝∠ABD，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°，△BMC是等边三角形，∠MCB＝60°∴∠EFC＝∠EFN+∠NFD+∠DFC＝∠MCF+∠ABD+∠FBC+∠FCB＝∠ABC+∠MCB＝60°+60°＝120°．（3）如图3中，作EH⊥AB于H．在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，BC＝3，∴AB＝2BC＝6，在Rt△AED中，∠DAE＝30°，AD＝2，∴DE＝AD＝1，在Rt△DEH中，∵∠EDH＝60°，DE＝1，∴EH＝ED•sin60°＝，DH＝ED•cos60°＝，在Rt△EHG中，EG＝＝．5、如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点P是线段AB的中点，点E是线段CB延长线上一点，且PE＝PC，将线段PC绕点P顺时针旋转α得到PD，连接BD．（1）如图2，若α＝60°，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段BD和BC之间的数量关系，并说明理由．（2）如图3，若α＝90°，其他条件不变，探究线段BP、BD和BC之间的等量关系，并说明理由．解：（1）BC＝2BD，理由：如图2，连接CD，由旋转可得，CP＝DP，∠CPD＝60°，∴△CDP是等边三角形，∴∠CDP＝60°＝∠PCD，又∵P是AB的中点，AB＝AC，∠A＝60°，∴等边三角形ABC中，∠PCB＝30°，CP⊥AB，∴∠BCD＝30°，即BC平分∠PCD，∴BC垂直平分PD，∴∠BDC＝∠BPC＝90°，∴Rt△BCD中，BC＝2BD．（2）如图3，取BC中点F，连接PF，∵∠A＝90°，AB＝AC，∴△ABC是等腰直角三角形，∵P是AB的中点，F是BC的中点，∴PF是△ABC的中位线，∴PF∥AC，∴∠PFB＝∠ACB＝45°，∠BPF＝∠A＝90°，∴△BPF是等腰直角三角形，∴BF＝BP，BP＝PF，∵∠DPC＝∠BPF＝90°，∴∠BPD＝∠FPC，又∵PD＝PC，∴△BDP≌△FCP，∴BD＝CF，∵BC＝BF+FC，∴BC＝BD+BP．6、【发现问题】如图1，已知△ABC，以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE．请你以A为直角顶点、AC为腰，向△ABC外作等腰直角△ACD（不写作法，保留作图痕迹）．连接BD、CE．那么BD与CE的数量关系是BD＝CE．【拓展探究】如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD，连接BD、CE，试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由．【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD，∠ADC＝60°，BC＝15，AB＝8，AD＝CD，求BD的最大值．【发现问题】解：延长CA到M，作∠MAC的平分线AN，在AN上截取AD＝AC，连接CD，即可得到等腰直角△ACD；连接BD、CE，如图1所示：∵△ABE与△ACD都是等腰直角三角形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE，【拓展探究】解：BD＝CE；理由如下：∵四边形AEFB与四边形ACGD都是正方形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE；【解决问题】解：以AB为边向外作等边三角形ABE，连接CE，如图3所示：则∠BAE＝60°，BE＝AB＝AE＝8，∵AD＝CD，∠ADC＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠CAD＝60°，AC＝AD，∴∠CAD+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE；当C、B、E三点共线时，CE最大＝BC+BE＝15+8＝23，∴BD的最大值为23．7、如图1，点C为线段AB外一个动点，已知AB＝a，AC＝b．当点C位于BA的延长线上时，线段BC取得最大值，则最大值为a+b（用含a，b的式子表示）；（2）如图2，点C为线段AB外一个动点，若AB＝10，AC＝3，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，DB．①求证：AE＝DB；②请直接写出线段AE的最大值；（3）如图3，AB＝6，点M为线段AB外一个动点，且AM＝2，MB＝MN，∠BMN＝90°，请直接写出线段AN的最大值．（1）解：∵点C为线段AB外一动点，且AC＝b，AB＝a，∴当点C位于BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，且最大值为AC+AB＝a+b，（2）①证明：如图2中，∵△ACD与△BCE是等边三角形，∴CD＝AC，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠DCB＝∠ACE，在△CAD与△EAB中，，∴△CAD≌△EAB（SAS），∴AE＝BD．②∵线段AE长的最大值＝线段BD的最大值，由（1）知，当线段BD的长取得最大值时，点D在BA的延长线上，∴最大值为AD+AB＝3+10＝13；（3）如图3中，连接BN，∵将△AMN绕着点M顺时针旋转90°得到△PBM，连接AP，则△APM是等腰直角三角形，∴MA＝MP＝2，BP＝AN，∴P A＝2，∵AB＝6，∴线段AN长的最大值＝线段BP长的最大值，∴当P在线段BA的延长线时，线段BP取得最大值最大值＝AB+AP＝6+2．8、【初步探索】（1）如图1：在四边形ABC中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF ＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是∠BAE+∠F AD＝∠EAF；【灵活运用】（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．解：（1）∠BAE+∠F AD＝∠EAF．理由：如图1，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，根据SAS可判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，再根据SSS可判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF．故答案为：∠BAE+∠F AD＝∠EAF；（2）仍成立，理由：如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，∵∠B+∠ADF＝180°，∠ADG+∠ADF＝180°，∴∠B＝∠ADG，又∵AB＝AD，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF；（3）∠EAF＝180°﹣∠DAB．证明：如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG＝BE，连接AG，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°，∴∠ADC＝∠ABE，又∵AB＝AD，∴△ADG≌△ABE（SAS），∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠F AE＝∠F AG，∵∠F AE+∠F AG+∠GAE＝360°，∴2∠F AE+（∠GAB+∠BAE）＝360°，∴2∠F AE+（∠GAB+∠DAG）＝360°，即2∠F AE+∠DAB＝360°，∴∠EAF＝180°﹣∠DAB．9、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系．（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝45°，AC＝，请直接写出BQ的长．解：（1）CP＝BQ，理由：如图1，连接OQ，由旋转知，PQ＝OP，∠OPQ＝60°⊅∴△POQ是等边三角形，∴OP＝OQ，∠POQ＝60°，在Rt△ABC中，O是AB中点，∴OC＝OA＝OB，∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ，∴∠COP＝∠BOQ，在△COP和△BOQ中，，∴△COP≌△BOQ（SAS），∴CP＝BQ，（2）CP＝BQ，理由：如图2，连接OQ，由旋转知，PQ＝OP，∠OPQ＝60°∴△POQ是等边三角形，∴OP＝OQ，∠POQ＝60°，在Rt△ABC中，O是AB中点，∴OC＝OA＝OB，∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ，∴∠COP＝∠BOQ，在△COP和△BOQ中，，∴△COP≌△BOQ（SAS），∴CP＝BQ，（3）如图3，在Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝，∴BC＝AC•tan∠A＝，过点O作OH⊥BC，∴∠OHB＝90°＝∠BCA，∴OH∥AB，∵O是AB中点，∴CH＝BC＝，OH＝AC＝，∵∠BPQ＝45°，∠OHP＝90°，∴∠BPQ＝∠PQH，∴PH＝OH＝，∴CP＝PH﹣CH＝﹣＝，连接BQ，同（1）的方法得，BQ＝CP＝．10、模型发现：同学们知道，三角形的两边之和大于第三边，即如图1，在△ABC中，AB+AC＞BC．对于图1，若把点C看作是线段AB外一动点，且AB＝c，AC＝b，则线段BC的长会因为点C的位置的不同而发生变化．因为AB、AC的长度固定，所以当∠BAC越大时，BC边越长．特别的，当点C位于线段BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，且最大值为b+c（用含b，c的式子表示）（直接填空）模型应用：点C为线段AB外一动点，且AB＝3，AC＝2，如图2所示，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD 和等边三角形BCE，连接BD，AE．（1）求证：BD＝AE．（2）线段AE长的最大值为5．模型拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上的一动点，点B是x轴正半轴上的一动点，且AB ＝8．若AC⊥AB，AC＝3，试求OC长的最大值．解：当点C位于线段BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，最大值为b+c，故答案为：线段BA的延长线上；b+c；模型应用：（1）证明：∵△ACD、△BCE都是等边三角形，∴CD＝CA＝AD，CB＝CE，∠ACD＝60°，∠BCE＝60°，∴∠DCB＝∠ACE，在△DCB和△ACE中，，∴△DCB≌△ACE（SAS）∴BD＝AE；（2）当点D位于线段BA的延长线上时，线段BD的长取得最大值，最大值为AB+AD＝AB+AC＝3+2＝5，∵AE＝BD，∴线段AE长的最大值为5，模型拓展：取AB的中点G，连接OG、CG，在Rt△AOB中，G为AB的中点，∴OG＝AB＝4，在Rt△CAG中，CG＝＝＝5，当点O、G、C在同一条直线上时，OC最大，最大值为4+5＝9．11、已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）如图1，点D在BC的延长线上，连AD，过B作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD＝BF；（2）如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE＝AD，连BE交AC于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；（3）如图3，点D在CB延长线上，AE＝AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC ＝3MC，请直接写出的值．（1）证明：如图1中，∵BE⊥AD于E，∴∠AEF＝∠BCF＝90°，∵∠AFE＝∠CFB，∴∠DAC＝∠CBF，∵BC＝CA，∴△BCF≌△ACD，∴BF＝AD．（2）结论：BD＝2CF．理由：如图2中，作EH⊥AC于H．∵∠AHE＝∠ACD＝∠DAE＝90°，∴∠DAC+∠ADC＝90°，∠DAC+∠EAH＝90°，∴∠DAC＝∠AEH，∵AD＝AE，∴△ACD≌△EHA，∴CD＝AH，EH＝AC＝BC，∵CB＝CA，∴BD＝CH，∵∠EHF＝∠BCF＝90°，∠EFH＝∠BFC，EH＝BC，∴△EHF≌△BCF，∴FH＝CF，∴BD＝CH＝2CF．（3）如图3中，同法可证BD＝2CM．∵AC＝3CM，设CM＝a，则AC＝CB＝3a，BD＝2a，∴＝＝．12、已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．①求证：∠1＝∠2；②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求的值．（1）①证明：如图1中，∵AB＝AC，∠ABC＝60°∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AD⊥BN，∴∠ADB＝90°，∵∠MBN＝30°，∠BFD＝60°＝∠1+∠BAF＝∠2+∠BAF，∴∠1＝∠2②证明：如图2中，在Rt△BFD中，∵∠FBD＝30°，∴BF＝2DF，∵BF＝2AF，∴BF＝AD，∵∠BAE＝∠FBC，AB＝BC，∴△BFC≌△ADB，∴∠BFC＝∠ADB＝90°，∴BF⊥CF（2）在BF上截取BK＝AF，连接AK．∵∠BFE＝∠2+∠BAF，∠CFE＝∠4+∠1，∴∠CFB＝∠2+∠4+∠BAC，∵∠BFE＝∠BAC＝2∠EFC，∴∠1+∠4＝∠2+∠4∴∠1＝∠2，∵AB＝AC，∴△ABK≌CAF，∴∠3＝∠4，S△ABK＝S△AFC，∵∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠CFE＝∠AKB，∠BAC＝2∠CEF，∴∠KAF＝∠1+∠3＝∠AKF，∴AF＝FK＝BK，∴S△ABK＝S△AFK，∴＝2．13、已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，E为边AC任意一点，连接BE．（1）如图1，若∠ABE＝15°，O为BE中点，连接AO，且AO＝1，求BC的长；（2）如图2，F也为AC上一点，且满足AE＝CF，过A作AD⊥BE交BE于点H，交BC于点D，连接DF交BE于点G，连接AG；①若AG平分∠CAD，求证：AH＝AC；②如图3，当G落在△ABC外时，若将△EFG沿EF边翻折，点G刚好落在AB边上点P，直接写出AG与EF的数量关系．（1）解：如图1中，在AB上取一点M，使得BM＝ME，连接ME．在Rt△ABE中，∵OB＝OE，∴BE＝2OA＝2，∵MB＝ME，∴∠MBE＝∠MEB＝15°，∴∠AME＝∠MBE+∠MEB＝30°，设AE＝x，则ME＝BM＝2x，AM＝x，∵AB2+AE2＝BE2，∴（2x+x）2+x2＝22，∴x＝（负根已经舍弃），∴AB＝AC＝（2+）•，∴BC＝AB＝+1．方法二：作EH⊥BC于H，求出BH，CH即可解决问题．（2）证明：如图2中，作CP⊥AC，交AD的延长线于P，GM⊥AC于M．∵BE⊥AP，∴∠AHB＝90°，∴∠ABH+∠BAH＝90°，∵∠BAH+∠P AC＝90°，∴∠ABE＝∠P AC，在△ABE和△CAP中，，∴△ABE≌△CAP，∴AE＝CP＝CF，∠AEB＝∠P，在△DCF和△DCP中，，∴△DCF≌△DCP，∴∠DFC＝∠P，∴∠GFE＝∠GEF，∴GE＝GF，∵GM⊥EF，∴FM＝ME，∵AE＝CF，∴AF＝CE，∴AM＝CM，在△GAH和△GAM中，，∴△AGH≌△AGM，∴AH＝AM＝CM＝AC（3）解：结论：AG＝EF．理由：如图3中，作CM⊥AC交AD的延长线于M，连接PG交AC于点O．由（2）可知△ACM≌△BAE，△CDF≌△CDM，∴∠AEB＝∠M＝∠GEF，∠M＝∠CFD＝∠GFE，AE＝CM＝CF，∴∠GEF＝∠GFE，∴GE＝GF，∵△EFP是由△EFG翻折得到，∴EG＝EP＝GF＝PF，∴四边形EGFP是菱形，∴PG⊥AC，OE＝OF，∵AE＝CF，∴AO＝OC，∵AB∥OP，∴BP＝PC，∵PF∥BE，∴EF＝CF＝AE，∵PB＝PC，AO＝OC，∴PO＝OG＝AB，∴AB＝PG，AB∥PG，∴四边形ABPG是平行四边形，∴AG∥BC，∴∠GAO＝∠ACB＝45°，设EO＝OF＝a，则OA＝OG＝3a，AG＝3a，∴＝＝，∴AG＝EF14、如图所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，连接CD；（1）如图1，求证：AB＝2CD；（2）如图2，作CF⊥AB交AB于F，点G为CF上一点，点H为DE延长线上一点，分别连接AH、GH，若∠AHG＝2∠B，求证：AH＝GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，且有DE＝BF，∠EDG＝90°，若AC＝6，求AH的长度．解：（1）∵E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，∴AD＝CD，∵∠ACB＝90°，∴BC∥DE，∴AD＝BD，∴CD＝BD，∴AB＝2CD；（2）如图2，连接CH，∵点E是AC的中点，∴AE＝CE，∵DE⊥AC，∴CH＝AH，∴∠ACH＝∠CAH，∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠BAC＝90°，∵CF⊥AB，∴∠BAC+∠ACF＝90°，∴∠ACF＝∠B，∴∠HCG＝∠ACH+∠ACF＝∠CAH+∠B，∠AHG＝2∠B∴在四边形AHGF中，∠AFG+∠FGH+∠AHG+∠F AH＝360°，∴∠FGH＝360°﹣（∠AFG+∠AHG+∠F AH）＝360°﹣（90°+2∠B+∠CAH+∠BAC）＝360°﹣（90°+2∠B+∠CAH+90°﹣∠B）＝360°﹣（180°+∠B+∠CAH）＝180°﹣（∠B+∠CAH），∵∠CGH＝180°﹣∠FGH＝∠B+∠CAH＝∠HCG，∴CH＝GH，∵CH＝AH，∴AH＝GH；（3）如图3，由（1）知，DE∥BC，∴∠B＝∠ADE，在△BFC和△DEA中，，∴△BFC≌△DEA，∴BC＝AD，∵AD＝BD＝CD，∴BC＝BD＝CD，∴△BCD是等边三角形，∴∠B＝60°，在Rt△ABC中，AC＝6，∴BC＝2，AB＝4，∵CF⊥BD，∴DF＝，CF＝3，∵∠BAC＝30°，∴∠ADE＝60°，∵∠EDG＝90°，∠FDG＝30°，在Rt△DFG中，DF＝，∴FG＝1，DG＝2，∴CG＝CF﹣FG＝2过点H作HN⊥CF，由（2）知，CH＝GH，∴NG＝CG＝1，∴FN＝NG+FG＝2，过点H作HM⊥AB，∴∠FMH＝∠NFM＝∠HNF＝90°，∴四边形NFMH是矩形，∴HM＝FN＝2，在Rt△DMH中，∠ADE＝60°，HM＝2，∴DH＝，在Rt△HDG中，根据勾股定理得，HG＝＝．15、【问题情境】一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图：已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E、F分别在A和BC上，∠1＝∠2，FG⊥AB于点G，求证：△CDE≌△EGF．（1）阅读理解，完成解答本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写这道练习题的证明过程；（2）特殊位置，证明结论若CE平分∠ACD，其余条件不变，求证：AE＝BF；（3）知识迁移，探究发现如图，已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若点E是DB的中点，点F在直线CB上且满足EC＝EF，请直接写出AE与BF的数量关系．（不必写解答过程）（1）证明：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠B＝45°，∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴∠DCB＝45°，∵∠ECF＝∠DCB+∠1＝45°+∠1，∠EFC＝∠B+∠2＝45°+∠2，∠1＝∠2，∴∠ECF＝∠EFC，∴CE＝EF，∵CD⊥AB，FG⊥AB，∴∠CDE＝∠EGF＝90°，在△CDE和△EGF中，，∴△CDE≌△EGF（AAS）；（2）证明：由（1）得：CE＝EF，∠A＝∠B，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠1，∵∠1＝∠2，∴∠ACE＝∠2，在△ACE和△BEF中，，∴△ACE≌△BEF（AAS），∴AE＝BF；（3）AE＝BF，作EH⊥BC与H，如图3所示：设DE＝x，根据题意得：BE＝DE＝x，AD＝BD＝2x，CD＝AD＝2x，AE＝3x，根据勾股定理得：BC＝AC＝2x，∵∠ABC＝45°，EH⊥BC，∴BH＝x，∴CH＝BC﹣BH＝x，∵EC＝EF，∴FH＝CH＝x，∴BF＝x﹣x＝x，∴＝，∴AE＝．16、在正方形ABCD和等腰直角△BGF中，∠BGF＝90°，P是DF的中点，连接PG、PC．（1）如图1，当点G在BC边上时，延长GP交DC于点E．求证：PG＝PC；（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请证明你的结论；（3）如图3，若四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，△BGF为等边三角形，点F在CB的延长线。
(完整)中考数学压轴题精选含答案
一、解答题1．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B ＝90°，AB ＝4，BC ＝8，CD ＝2m （m ＞2），P 为CD 中点，以P 为圆心，CP 为半径作半圆P ，交线段AC 于点E ，交线段AD 于点F ．（1）当E 为CA 中点时，①求证：E 是弧CF 的中点．②求此时m 的值．（2）连结PF ，若PF 平行△ABC 的某一边时求出满足条件的m 值．（3）连结PE ，将PE 绕着点E 顺时针旋转90°得到EP '，连结AP '，当AP '⊥AC 时，求此时CE 的长．2．如图1，在菱形ABCD 中，∠D ＝120°，AB ＝8，点M 从A 开始，以每秒1个单位的速度向点B 运动；点N 从C 出发，沿C →D →A 方向，以每秒2个单位的速度向点A 运动，若M 、N 同时出发，其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t 秒，过点N 作NQ ⊥DC ，交AC 于点Q ．（1）当t ＝2时，求线段NQ 的长；（2）设△AMQ 的面积为S ，直接写出S 与t 的函数关系式及t 的取值范围；（3）在点M 、N 运动过程中，是否存在t 值，使得△AMQ 为等腰三角形？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++，与y 轴交于点A 与x 轴交于点E 、B ．且点()0,5A ，()5,0B ，点P 为抛物线上的一动点．（1）求二次函数的解析式；（2）如图1，过点A 作AC 平行于x 轴，交抛物线于点C ，若点P 在AC 的上方，作PD 平行于y 轴交AB 于点D ，连接PA ，PC ，当245AOE APCD S S ∆=四边形时，求点P 坐标； （3）设抛物线的对称轴与AB 交于点M ，点Q 在直线AB 上，当以点M 、E 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点Q 的坐标．4．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，OA =1，OB =OC =3．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，点D 为第一象限抛物线上一动点，连接DC ，DB ，BC ，设点D 的横坐标为m ，△BCD 的面积为S ，求S 的最大值；（3）如图2，点P (0，n )是线段OC 上一点(不与点O 、C 重合)，连接PB ，将线段PB 以点P 为中心，旋转90°得到线段PQ ，是否存在n 的值，使点Q 落在抛物线上？若存在，请求出满足条件的n 的值，若不存在，请说明理由．5．如图，抛物线223y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点．（1）在第二象限内的抛物线上确定一点P ，使四边形PBOC 的面积最大．求出点P 的坐标．（2）点M 为抛物线上一动点，x 轴上是否存在一点Q ，使点B 、C 、M 、Q 的顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．6．已知抛物线经过()30A -,，()1,0B ，52,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭三点，其对称轴交x 轴于点H ，一次函数()0y kx b k =+≠的图象经过点C ，与抛物线交于另一点D （点D 在点C 的左边），与抛物线的对称轴交于点E ． （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点F ，使得点A 、B 、E 、F 构成的四边形是平行四边形，如果存在，求出点F 的坐标，若不存在请说明理由（3）设∠CEH=α，∠EAH =β，当αβ>时，直接写出k 的取值范围7．如图1，直线l 1：y ＝kx 与直线l 2：y ＝﹣12x ＋b 相交于点A （4，3），直线l 2：y ＝﹣12x ＋b 与x 轴交于点B ，点E 为线段AB 上一动点，过点E 作EF ∥y 轴交直线l 1于点F ，连接BF ．（1）求k、b的值；（2）如图2，若点F坐标为（8，6），∠OFE的角平分线交x轴于点M．①求线段OM的长；②点N在直线l1的上方，当△OFN和△OFM全等时，直接写出点N的坐标．8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为（4，3）．（1）求抛物线的解析式与直线l的解析式；（2）若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接PA、PD，求当△PAD面积最大时点P 的坐标及该面积的最大值；（3）若点Q是y轴上的点，且∠ADQ＝45°，求点Q的坐标．9．如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙是△ABC的外接圆，连接BO并延长交边AC于点D．（1）如图1，求证：∠BAC＝2∠ABD；（2）如图2，过点B作BH⊥AC于点H，延长BH交⊙O于点G，连接OC，CG，OC交BG于点F，求证：BF＝2HG；（3）如图3，在（2）的条件下，若AD＝2，CD＝3，求线段BF的长．10．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+154x+c与x轴负半轴相交于点A（﹣20，0），与y轴相交于点B（0，﹣15）．（1）求抛物线的函数表达式及直线AB的函数表达式；（2）如图2，点C是第三象限内抛物线上的一个动点，连接AC、BC，直线OC与直线AB 相交于点D，当△ABC的面积最大时，求此时△ABC面积的最大值及点C的坐标；（3）在（2）的条件下，点E为线段OD上的一个动点，点E从点O开始沿OD以每秒10个单位长度的速度向点D运动（运动到点D时停止），以OE为边，在OD的左侧做正方形OEFG，设正方形OEFG与△OAD重叠的面积为S，运动时间为t秒．当t＞3时，请直接写出S与t之间的函数关系式为（不必写出t的取值范围）．11．在平面直角坐标系xOy中，点A(a，b)和点B(c，d)．给出如下定义：以AB为边，作等边三角形ABC，按照逆时针方向排列A，B，C三个顶点，则称等边三角形ABC为点A，B的逆序等边三角形．例如，当1,0,3,0a b c d=-===时，点A，B的逆序等边三角形ABC如图①所示．(1)已知点A(-1，0)，B(3，0)，则点C的坐标为___；请在图①中画出点C，B的逆序等边三角形CBD，点D的坐标为___．(2)图②中，点B(3，0)，点A在以点M(-2，0)为圆心1为半径的圆上，求点A，B的逆序等边三角形ABC的顶点C的横坐标取值范围．(3)图③中，点A在以点M(-2，0)为圆心1为半径的圆上，点B在以N(3，0)为圆心2为半径的圆上，且点B的纵坐标0d>，点A，B的逆序等边三角形ABC如图③所示．若点C 恰好落在直线y x t=+上，直接写出t的取值范围．12．已知：如图1，一次函数y＝mx＋5m的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，与函数y＝－23x的图像交于点C，点C的横坐标为－3．（1）求点B的坐标；（2）若点Q为直线OC上一点，且S△QAC＝2S△AOC，求点Q的坐标；（3）如图2，点D为线段OA上一点，∠ACD＝∠AOC．点P为x轴负半轴上一点，且点P到直线CD和直线CO的距离相等．①在图2中，只利用圆规．．．．．作图找到点P的位置； (保留作图痕迹，不得在图2中作无关元素．)②求点P的坐标．13．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于线段AB，给出如下定义：若线段AB沿着某条直线l对称可以得到⊙O的弦A′B′，则称线段AB是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，直线l称为“反射轴”．（1）如图，线段CD，EF，GH中是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”有；（2）已知A点坐标为（0，2），B点坐标为（1，1），①若线段AB是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，求反射轴l与y轴的交点M的坐标．②若将“反射线段”AB沿直线y＝x的方向向上平移一段距离S，其反射轴l与y轴的交点的纵坐标yM的取值范围为12≤yM136≤，求S．（3）已知点M，N是在以原点为圆心，半径为2的圆上的两个动点，且满足MN＝1，若MN是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，当M点在圆上运动一周时，求反射轴l未经过的区域的面积．（4）已知点M，N是在以（2，013MN2=MN是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，当M点在圆上运动一周时，请直接写出反射轴l与y轴交点的纵坐标的取值范围．14．△ABC为等边三角形，AB=4，AD⊥BC于点D，点E为AD的中点．(1)如图1，将AE绕点A顺时针旋转60°至AF，连接EF交AB于点G，求证：G为EF中点．(2)如图2，在（1）的条件下，将△AEF绕点A顺时针旋转，旋转角为α，连接BE，H为BE的中点，连接DH，GH．当30°＜α＜120°时，猜想∠DHG的大小是否为定值，并证明你的结论．(3)在△AEF绕点A顺时针旋转过程中，H为BE的中点，连接CH，问线段CH何时取得最大值，请说明理由，并直接写出此时△ADH的面积．15．在ABC中，AB AC=，D是边AC上一点，F是边AB上一点，连接BD、CF交于点E，连接AE，且．(1)如图1，若90BAC∠=︒，，，求点B到AE的距离；(2)如图2，若E为BD中点，连接FD，FD平分，G为CF上一点，且，求证：；(3)如图3，若，12BC=，将ABD△沿着AB翻折得，点H为的中点，连接HA、HC，当周长最小时，请直接写出的值．16．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，D为抛物线顶点．(1)连接AD，交y轴于点E，P是抛物线上的一个动点．①如图一，点P是第一象限的抛物线上的一点，连接PD交x轴于F，连接，若，求点P的坐标．②如图二，点P在第四象限的抛物线上，连接AP、BE交于点G，若，则w有最大值还是最小值？w的最值是多少？(2)如图三，点P是第四象限抛物线上的一点，过A、B、P三点作圆N，过点P作PM x⊥轴，垂足为I，交圆N于点M，点P在运动过程中，线段是否变化？若有变化，求出MI的取值范围；若不变，求出其定值．(3)点Q是抛物线对称轴上一动点，连接OQ、AQ，设AOQ外接圆圆心为H，当的值最大时，请直接写出点H的坐标．17．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC，点A在y轴上，点C在x轴上，其中B（﹣2，3），已知抛物线y＝﹣34x2＋bx＋c经过点A和点B．(1)求抛物线解析式；(2)如图1，点D （﹣2，﹣1）在直线BC 上，点E 为y 轴右侧抛物线上一点，连接BE 、AE ，DE ，若S △BDE ＝4S △ABE ，求E 点坐标；(3)如图2，在（2）的条件下，P 为射线DB 上一点，作PQ ⊥直线DE 于点Q ，连接AP ，AQ ，PQ ，若△APQ 为直角三角形，请直接写出P 点坐标．18．如图1，点A ，点B 的坐标分别（a ，0），（0，b ），且b ＝+4，将线段BA 绕点B 逆时针旋转90°得到线段BC ．(1)直接写出a ＝ ，b ＝ ，点C 的坐标为 ；(2)如图2，作CD ⊥x 轴于点D ，点M 是BD 的中点，点N 在△OBD 内部，ON ⊥DN ，求2+ON ＝DN ．(3)如图3，点P 是第二象限内的一个动点，若∠OPB ＝90°，求线段CP 的最大值．19．如图1，已知抛物线)(3343y x x =+-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，(1)写出A 、B 、C 三点的坐标．(2)若点P 为OBC 内一点，求OP BP CP ++的最小值．(3)如图2，点Q 为对称轴左侧抛物线上一动点，点()4,0D ，直线DQ 分别与y 轴、直线AC 交于E 、F 两点，当CEF △为等腰三角形时，请直接写出CE 的长．20．已知等边△ABC ，M 在边BC 上，MN ⊥AC 于N ，交AB 于点P ．（1）求证：BP ＝BM ；（2）若MC ＝2BM ，求证：MP ＝MN ．（3）若E ，F 分别在AB 、AC 上，且△MEF 为等边三角形，当MEF ABC S S ∆∆的值最小时，BM BC＝ ．【参考答案】**科目模拟测试 一、解答题 1．（1）①见解析；②5m =；（2）m 的值为25或6；（3）25CE =【解析】【分析】（1）①连接DE ，证明ADC ∆是等腰三角形，根据“三线合一”的性质可得ADE CDE ∠=∠，证得EC EF =，从而可得结论；②根据勾股定理得到AC 45=，由E 为AC 中点得EC 25=，再证明DEC CBA ，由相似三角形的性质列出比例式，求出m 的值即可；（2）分PF //AC 和PF //BC 两种情况求解即可； （3）设CE =x ，作PG ⊥AC ，则2x GE =，45AE x =- 证明PGE EAP '≅得AP GE '=，再证明AP EBAC '，列比例式求出x 的值即可．【详解】解：（1）如图，连接DE∵CD 是圆P 的直径，∴∠DEC =90°，即DE ⊥AC∵E 为CA 中点∴AE =CE∴AD =CD∴ADE CDE ∠=∠∴EC EF =∴E 是CF 的中点；②在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝4，BC ＝8，∴22224845AC AB BC +=+∵E 是AC 的中点∴11452522EC AC ==⨯= ∵AB //CD ，90B ∠=︒∴90B DCB ∠+∠=︒∴90DCB∠=︒，即90DCE BCA∠+∠=︒∵90CDE DCE∠+∠=︒∴CDE BCA∠=∠又90B DEC∠=∠=︒∴DEC CBA∆∆∽∴CE DCAB AC=，即252=445m解得，5m=；（2）分两种情况：①当PF//AC时，如图，则有PDF CDA∆∆∴PF PDAC CD=，即245PF mm=∴25=PF∴25m=②当PF//BC时，如图，过点A作AH⊥DC，垂足为H，则四边形AHCB是矩形，∴AH//BC，HC=AB=4，AH=BC=8∴PF//AH∵90DCB∠=︒∴90FPD∠=︒∴45PDF PFD∠=∠=︒∴45HAD HDA∠=∠=︒∴DH=AH，即248m-=解得，6m=综上，m的值为256；（3）过点P 作PG AC ⊥于点G ，如图，∵PE =PC ∴1,2GE CE EPG CPG =∠=∠ ∵90PEP '∠=︒∴90P EA PEG '∠+∠=︒又90PEG GPE ∠+∠=︒∴P EA EPG '∠=∠又90P AE PGE '∠=∠=︒，PE P E '=∴P AE EPG '∆≅∆∴AP GE '=设CE x =，则45,2x AE x GE AP '=== ∵90,90BCA DCA GPC PCH ∠+∠=︒∠+∠=︒∴GPC BCA ∠=∠∴EPG BCP ∠=∠∴P EA BCA '∠=∠又90P AE B '∠=∠=︒∴AP E BAC '∆∆ ∴AP AB AE BC '=42825x = ∴5x =25CE =【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，圆的基本概念，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线以及进行分类讨论是解答本题的关键．2．（143；（2）S =()()22330434348t t t ⎧+≤≤⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩＜；（3）存在，当t =247s 或（32-163）s或163s时，△AMQ为等腰三角形．【解析】【分析】（1）首先求得CN的长，在直角△CNQ中利用三角函数即可求得NQ的长；（2）当0≤t≤4时，N在CD上，首先求得CQ，则AQ长即可求得，再根据△CAB=30°，AM=t，据此即可求得△AMQ的长；当4＜t≤8时，利用相似求得AQ的长，进而求得△AMQ的面积，得到函数解析式；（3）分三种情形讨论求解即可．【详解】解：（1）当t=2时，CN=2×2=4，∵在△ACD中，AD=DC，∴∠DCA=1801202︒-︒=30°，在直角△CNQ中，NQ=CN•tan30°=4×33=433；（2）由题意得，AM=t，当0≤t≤4时，CN=2t，∵∠D=120°，AB=CD=8，∴∠DCA=30°，连接BD，与AC相交于点定O，过点Q作QG⊥AB于点G，∴OC=CD•cos30︒3AC3∴在Rt△CNQ中，NQ23t，CQ43t，∴AQ=AC-CQ343，QG=12AQ，∴S=12AM• QG =233t+，当4＜t≤8时，延长QN，交AB于G，交CD延长线于H，如图：ND =2t -8，∠HDN =60°，∴HD =12ND =t -4， ∴CH =t -4+8=t +4，∴CQ =23cos303CH =︒(t +4)， ∴AQ =AC -CQ =83-233(t +4)，QG =12AQ ， S =12•AM • QG 234363t t =-+． 综上，S =()()223230433434863t t t t t t ⎧-+≤≤⎪⎪⎨⎪-+≤⎪⎩＜； （3）①当0＜t ≤4时，只有MA =MQ 符合条件，过点M 作ME ⊥AC 于点E ，则AE =EQ =AM •cos30︒=32t ， ∴AQ =3t ，由（2）知AQ 343， 3433， 解得t =247； ②当4＜t ≤8时，由（2）知AQ 323t +4)，AQ =AM 时，)4t +=t ，解得tAQ =MQ 时，AM ，t )4t ⎤+⎥⎦， 解得t =163．综上所述，当t =247s 或（s 或163s 时，△AMQ 为等腰三角形． 【点睛】本题考查了菱形的性质以及三角函数，正确进行分请情况进行讨论是关键．3．（1）245y x x =-++；（2）1(2,9)P ，2(3,8)P ；（3）1(9,4)Q -，2(0,5)Q ，3(1,6)Q -，4(5,10)Q -【解析】【分析】（1）直接将(0,5)A ，(5,0)B 代入2y x bx c =-++，求解即可；（2）先求出AB 的解析式，设点P 的横坐标为t ，则()2,45P t t t -++，(,5)D t t -+，用t 表示出PD ，最后利用245AOE APCD S S ∆=四边形求出结果； （3）分三种情况讨论解答：①当EM 为平行四边形的对角线时；②当EP 为对角线时；③当EQ 为对角线时．【详解】（1）将点(0,5)A ，(5,0)B 分别代入2y x bx c =-++得25505b c c -++=⎧⎨=⎩， 45b c =⎧∴⎨=⎩， ∴二次函数的解析式为245y x x =-++；（2）//AC x 轴，点()0,5A ，∴当5y =时，2455x x -++=，10x ∴=，24x =，()4,5C ∴，4AC ∴=，设直线AB 的解析式为y mx n =+，将(0,5)A ，(5,0)B 分别代入得505n m n =⎧⎨=+⎩， 解得：1m =-，5n =∴直线AB 的解析式为5y x =-+；设点P 的横坐标为t ，则()2,45P t t t -++，(,5)D t t -+()2245(5)5PD t t t t t ∴=-++--+=-+，4AC =，()22114521022APCD S AC PD t t t t ∴=⨯=⨯⨯-+=-+四边形 函数245y x x =-++，当0y =时，有2450x x -++=，11x ∴=-，25x =，(1,0)E ∴-，1OE ∴=，又5OA =，11515222AOE S OE OA ∆∴=⨯⨯=⨯⨯=， 245AOE APCD S S ∆=四边形， 22452101252t t ∴-+=⨯=， 解得：12t =，23t =，∴点1(2,9)P ，2(3,8)P ；（3）∵2(2)9y x =--+，∴当x =2时，y =-2+5=3，∴M (2,3),设P (m ，2(2)9m --+，(,5)Q n n -+，而E (-1，0)，①当EM 为平行四边形的对角线时，(平行四边形的对角线互相平分)得：21222(2)950322m n m n +-+⎧=⎪⎪⎨--+-++⎪=⎪⎩， 解得121261,52m m n n ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩ (舍)， ∴点Q 的坐标为（-5,10）；②当EP 为对角线时，212220(2)93522m m m n -++⎧=⎪⎪⎨--+-+⎪=⎪⎩，解得121223,10m m n n ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩， ∴点Q 的坐标为（-1,6）或（0,5）；③当EQ 为对角线时，21222053(2)922n m n m -++⎧=⎪⎪⎨-+--+⎪=⎪⎩， 解得121261,92m m n n ==-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩（舍）， 点Q 的坐标为（9,-4），综上所得：1(9,4)Q -，2(0,5)Q ，3(1,6)Q -，4(5,10)Q -．【点睛】本题考查了待定系数法求函数关系式，平行四边形的性质和判定，解本题的关键是分类思想的运用．4．（1）2y x 2x 3=-++；（2）278；（3）存在，n =1或n 3+33- 【解析】【分析】（1）通过待定系数法求解函数解析式即可；（2）作DF ⊥x 轴于点F ，交BC 于点E ，根据12S DE OB =⋅求得S 关于m 的解析式，根据二次函数的性质求解即可；（3）过点P 作PB 的垂线，交抛物线于点1Q 和2Q ，作1Q M y ⊥轴于点M ，2Q N y ⊥轴于点N ，利用全等三角形的性质求解即可．【详解】解：(1)设函数关系式为2y ax bx c =++由题意，得A (－1，0)，B (3，0)，C (0，3)∴(1)(3)y a x x =+-把C (0，3)代入得，1a =-∴2y x 2x 3=-++(2)作DF ⊥x 轴于点F ，交BC 于点E设直线BC 关系式为y =kx ＋b ，代入(3，0)，(0，3)得k =－1，b =3，∴y =－x ＋3∵点D 的横坐标为m ，则DF =223m m -++，EF =－m ＋3∴DE =23m m -+22133327(3)()22228S DE OB m m m =⋅=-+=--+ ∵302-<，∴S 的最大值是278(3)过点P 作PB 的垂线，交抛物线于点1Q 和2Q ，作1Q M y ⊥轴于点M ，2Q N y ⊥轴于点N∴1290Q MP Q NP BOP ∠=∠=∠=︒∵1190Q PM PQ M ∠+∠=︒，190Q PM BPO ∠+∠=︒，∴1PQ M BPO ∠=∠又∵1BP PQ =，∴1Q PM PBO △≌△∴1MQ OP n ==，3MP OB ==，∴1()3Q n n +，代入抛物线，得2323n n n +=-++解得11n =，20n =(舍去)同理，2PN Q PBO ≌，∴2Q (－n ，n －3)代入抛物线，得2323n n n =-+－－ 解得13+33n -=2333n --=舍去) 综上，存在n 的值，n =1或n 3+33-【点睛】 此题考查了二次函数与几何的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，二次函数的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数以及全等三角形的判定与性质．5．（1）315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）Q 1（-5,0），Q 2（-1,0），Q 3 ()720，，Q 4)720，． 【解析】【分析】（1）分别求出点B 、C 的坐标，连接PB ，PC ，PO ，设点P 坐标为()2,23m m m --+，四边形PBOC 的面积为S ，根据=BOP COP S S S +△△得到S 关于m 的二次函数解析式，根据二次函数的性质即可求解；（2）分点M 在x 轴上方或点M 在x 轴下方两种情况讨论，分别求出点M 的坐标，根据平行四边形的性质即可求出点Q 的坐标． 【详解】解：（1）把0x =代入223y x x =--+得y =3， ∴点C 坐标为（0,3）；把y =0代入223y x x =--+得2x 2x 30--+=， 解得123,1x x =-=， ∵点B 在x 轴负半轴上， ∴点B 坐标为（-3,0）； 如图1，连接PB ，PC ，PO ，∵点P 在第二象限抛物线223y x x =--+上，∴设点P 坐标为()2,23m m m --+（-3＜m ＜0），设四边形PBOC 的面积为S ， ∴=BOP COP S S S +△△2211232m m OB O m C =--++ ()()2332223m m m +=+--- 2399222m m =--+， ∵302-＜，∴当322b m a =-=-时，S 有最大值， 此时，215234m m --+=， ∴当点P 坐标为315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭时，四边形PBOC 的面积最大；（2）存在，如图2，分点M 在x 轴上方或点M 在x 轴下方两种情况讨论． ①当点M 在x 轴上方时，点M 与点C 纵坐标相等，∴2233x x --+=， 解得122,0x x =-=， ∴CM 1=2，∵四边形BQCM 1是平行四边形， ∴CM =BQ =2，∴满足条件的点Q 有两个，分别是Q 1（-5,0），Q 2（-1,0）； ②当点M 在x 轴下方时，点M 与点C 纵坐标互为相反数， ∴2233x x --+=-， 解得1271,71x x =--=-，∴点M 2坐标为()713---，，点M 3坐标为()713--，，由平行四边形的性质得点B 向右平移3个单位，向上平移3个单位得到点C ，∴点M 2向右平移3个单位，向上平移3个单位得到点Q 3，点M 3向右平移3个单位，向上平移3个单位得到点Q 4，∴Q 3的坐标为()720-+，，Q 4的坐标为()720+，；综上所述，满足条件的点Q 的坐标有四个，分别是Q 1（-5,0），Q 2（-1,0），Q 3()720-+，，Q 4()720+，．【点睛】本题为二次函数综合题，难度较大，解决第（1）步，关键是理解函数图象上点的坐标特点，将四边形分割为两个三角形，分别表示出三角形面积，得到函数解析式，并利用二次函数性质求解；解决第（2）步关键是理解平行四边形的性质，利用分类讨论思想求解，注意要充分考虑各种情况，不要漏解．6．（1）y ＝12x 2＋x −32；（2）（3，6）或（-5，6）或（−1，-2）；（3）−12＜k ＜56且k≠0或56＜k＜43【解析】【分析】（1）把A（−3，0），B（1，0），52,2C⎛⎫⎪⎝⎭代入y＝ax2＋bx＋c，解方程组即可；（2）把C点坐标代入直线CD，得2k＋b＝52，分两种情况：①若AB为平行四边形的边时，②若AB为平行四边形的对角线时，得关于k、b的方程组，解方程组即可求解；（3）分两种情况：①当E点在x轴上方时，②E点在x轴下方时，根据当α＝β时，列方程，可求出k的值，进而求出k的取值范围．【详解】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，∵抛物线经过A（−3，0），B（1，0），C（2，52）三点，∴9305 422a b ca b ca b c⎧⎪-+=⎪++=⎨⎪⎪++=⎩，∴12132abc⎧⎪⎪⎨⎪⎪-⎩＝＝＝，∴抛物线的解析式为y＝12x2＋x−32；（2）如图1所示，将C点坐标代入直线CD，得2k＋b＝52，当x＝−1时，y＝−k＋b，即E（−1，−k＋b）．①若AB为平行四边形的边时，则F（-1+4，−k＋b）或F（-1-4，−k＋b），即：F（3，−k ＋b ）或F （-5，−k ＋b ）， 把F （3，−k ＋b ）代入y ＝12x 2＋x −32，得−k ＋b =6， 把F （-5，−k ＋b ），代入y ＝12x 2＋x −32，得−k ＋b =6， 又∵2k ＋b ＝52， ∴k =76-，b =296∴F （3，6）或（-5，6）；②若AB 为平行四边形的对角线时，则F 和E 关于x 轴对称， ∴F （−1，k -b ）， ∴k -b =-2， 又∵2k ＋b ＝52， ∴k =16，b =136，∴F （−1，-2），综上所述：F 的坐标为（3，6）或（-5，6）或（−1，-2）； （3）如图2所示，①当E 点在x 轴上方时，如图2所示，当α＝β时，∵∠EHA ＝90°， ∴∠AEC ＝90°， ∴∠AEH =∠EGH ， ∵∠AHF =∠FHG =90°， ∴AHF FHG ∽， ∴AE AHEG EH=， ∵A （−3，0），E （−1，−k ＋b ），G （bk-，0），∴()()2222221k bk bbk bk+-+=-+⎛⎫-++-+⎪⎝⎭，∴k2−bk−2＝0，联立方程220522k bkk b⎧--=⎪⎨+=⎪⎩，解得k＝−12（k＝43舍去），随着E点向下移动，∠CEH的度数越来越大，∠EAH的度数越来越小，当E点和H点重合时（如图3所示），α和β均等于0，此时联立方程522k bk b⎧+⎪⎨⎪-+⎩＝＝，解得5656kb⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因此当−12＜k＜56且k≠0时，α＞β；②E点在x轴下方时，如图4所示，当α＝β时，∵∠EHA＝90°，∴∠AEC＝90°，根据①可得此时k＝43（k＝−12舍去），随着E点向下移动，∠CEH的度数越来越小，∠EAH的度数越来越大，因此当56＜k ＜43时，α＞β．综上所述可得，当α＞β时，k 取值范围为−12＜k ＜56且k ≠0或56＜k ＜43．【点睛】本题考查的是一次函数、二次函数和相似三角形的判定和性质的综合应用，掌握待定系数法求函数解析式和数形结合思想方法是解题的关键．7．（1）34k =，5b =；（2）①OM =5；②()3,6N 或724,55N ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）分别将将(4,3)A 代入y kx =和12y x b =-+中，求解即可；（2）①设直线AB 与y 轴交与点C ，与FM 交于点D ,证明△AFD ≌△EFD ，得到AD =ED ，利用中点坐标公式求得点D 坐标，用待定系数法求得直线FD 的函数表达式，令0y =,即可求得点M 的坐标，从而求得OM ；②点N 在直线l 1的上方，当△OFN 和△OFM 全等时，满足题意的点N 有两个，分别画出相关的图形，分类讨论求解即可． 【详解】解：（1）∵直线l 1：y kx =和直线l 2：12y x b =-+相交于点A∴将(4,3)A 代入y kx =中，得：43k = 解得：34k =∴将(4,3)A 代入12y x b =-+中，得：1432b -⨯+=解得：5b =∴3,54k b == （2）① 设直线AB 与y 轴交与点C ，与FM 交于点D ,如下图：∵34k =，5b = ∴直线l 1的函数表达式为34y x =，直线l 2的函数表达式为152y x =-+∵(4,3)A ∴22345OA +设直线AB 与y 轴交与点C ，与FM 交于点D 则()0,5C ∴5OC = ∴5OA OC == ∴∠OCA =∠OAC ∵//FE y 轴 ∴∠OCA =∠FEA 又∵∠OAC =∠FAE ∴∠FAE =∠FEA ∴FA =FE又∵FM 是∠OFE 的角平分线 ∴∠AFM =∠EFM 又∵FD =FD ∴△AFD ≌△EFD ∴AD =ED ∴点D 为AE 的中点 ∵//FE y 轴∴点F 和点E 的横坐标相同 将8x =代入152y x =-+中，得1y =∴()8,1E ∵(4,3)A ，()8,1E ∴()6,2D设线段FM 所在的直线函数表达式为()0y ax b a =+≠将()()8,6,6,2F D 代入y ax b =+中，得：8662k b k b +=⎧⎨+=⎩解得：210k b =⎧⎨=-⎩∴线段FM 所在的直线函数表达式为210y x =- 令0y =，得2100x -= 解得：5x = ∴()5,0M ∴OM =5② 当,OFN FOM 全等时，有两种情况，情况一，如下图所示：∵OFN FOM ≅△△∴∠OFN =∠FOM ，FN =OM ,ON =FM ∴//FN OM ∵OM =5 ∴FN =5,8F x =∴853N x =-=,6N F y y == ∴()3,6N情况二，当△OMF 和△ONF 关于直线l 1对称时，如下图所示：∵OFN FOM ≅△△∴ON =OM =5，∠NOF =∠MOF ∵OP =OP ∴△NOP ≌△MOP ∴PN =PM ∵()8,6F∴10OF 又∵1122OMFF SOM y OF PM =⋅=⋅ ∴F OM y OF PM ⋅=⋅ ∴56==310PM ⨯∴MN =2PM =6，OP 4 ∵1122OMN N S MN OP OM y =⋅=⋅△ ∴642455N y ⨯==∴75N x ==∴724,55N ⎛⎫⎪⎝⎭综上所述，满足题意点有两个，分别是：()3,6N 或724,55N ⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题考查用待定系数法求一次函数表达式，三角形全等的性质和证明，两条直角交点的求法以及三角形的等面积法等知识点，牢记相关内容并能灵活应用数形结合思想解题是本题的关键．8．（1）y 14=-x 2+x +3；y 12=x +1；（2）△PAD 的面积的最大值为274，P （1，154）；（3）点Q 的坐标为（0，133）或（0，﹣9） 【解析】 【分析】（1）由A （﹣2，0）、B （6，0）设抛物线的解析式为y ＝a （x +2）（x ﹣6），把D （4，3）的代入解析式解方程即可，再利用待定系数法求解一次函数的解析式； （2）如图1中，过点P 作PT y ∥轴交AD 于点T ．设P （m ，14- m 2+m +3），则T（m，12m+1），再利用面积列函数关系式，再利用二次函数的性质求解最值即可；（3）如图2中，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AT，则T（﹣5，6），设DT交y轴于点Q，则∠ADQ＝45°，再求解直线DT的解析式为y13=-x133+，作点T关于AD的对称点T′（1，﹣6），求解直线DT′的解析式为y＝3x﹣9，设DQ′交y轴于点Q′，则∠ADQ′＝45°，从而可得答案．【详解】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，∴设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣6），∵D（4，3）在抛物线上，∴3＝a（4+2）×（4﹣6），解得a14 =-，∴抛物线的解析式为y14=-（x+2）（x﹣6）14=-x2+x+3，∵直线l经过A（﹣2，0）、D（4，3），设直线l的解析式为y＝kx+m（k≠0），则2043k mk m-+=⎧⎨+=⎩，解得，121km⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线l的解析式为y12=x+1；（2）如图1中，过点P作PT y∥轴交AD于点T．设P（m，14-m2+m+3），则T（m，12m+1）．∵S△PAD12=•（xD﹣xA）•PT＝3PT，∴PT的值最大值时，△PAD的面积最大，∵PT14=-m2+m+312-m﹣114=-m212+m+214=-（m﹣1）294+，∵14-<0，抛物线开口向下，∴m＝1时，PT的值最大，最大值为94，此时△PAD的面积的最大值为274，P（1，154）．（3）如图2中，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AT，过D作DM x⊥轴于,M过T作TN x轴于,N90,,TNA AMD TAD AD AT90,TAN ATN TAN DAM,ATN DAM,ATN DAM≌6,3,235,TN AM AN DM ON∴T（﹣5，6），设DT交y轴于点Q，则∠ADQ＝45°，∵D（4，3），∴直线DT的解析式为y13=-x133+，∴Q（0，133），作点T关于AD的对称点T'，同理可得T'（1，﹣6），则直线DT′的解析式为y＝3x﹣9，设DQ′交y轴于点Q′，则∠ADQ′＝45°，∴Q′（0，﹣9），综上所述，满足条件的点Q的坐标为（0，133）或（0，﹣9）．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建二次函数解决最值问题，学会构造特殊三角形解决问题，属于中考压轴题．二次函数综合题中面积问题的解题通法:（1）直角坐标系中图形面积的求法，以“S三角形=12×水平底×铅直高”为基础求解.（2）图形面积的数量关系：①找出所求图形的顶点，其中动点的坐标根据函数关系式用含未知数的代数式表示出来；②结合图形作辅助线，并将关键线段的长度用含未知数的代数式表示出来；③利用面积公式用含未知数的代数式表示出图形的面积；④列方程求解.（3）图形面积的最值,解题思路跟（1）中的前三步相同，然后利用函数的增减性求解.9．（1）证明见解析；（2）证明见解析，（3）15714BF=．【解析】【分析】（1）连接OA并延长AO交BC于E，证明∠BAC=2∠BAE和∠ABD=∠BAE即可得结论，（2）利用直角三角形两锐角互余、圆周角定理进行导角，得出MCG△和△FCG是等腰三角形，得出BM=MC=FG=CG，MH=HG，进而由BF=BM+MH-FH=FG-FH+HG，得出结论；（3）过O点作OP⊥AC，由垂径定理得出12PD=，再由52ABOADOS AB BOS AD OD===和平行线分线段成比例定理求出7724DH DP==，由勾股定理进而可求BH，再利用相似三角形对应边成比例求出HG，即可得BF长．【详解】解：（1）连接OA并延长AO交BC于E，∵AB=AC，∴AB AC=，∵AE过圆心O，∴AE BC⊥，BE EC=，∴∠BAC=2∠BAE，∵OA=OB，∴∠ABD=∠BAE，∴∠BAC=2∠ABD；（2）如解图（2），连接OA并延长AO交BC于E，AE交BF于M，连接MC，设2BACα∠=，则ABD BAE EACα∠=∠=∠=∵AE =EC ，AE ⊥BC ，∴BM =MC ，∴∠MBC =∠MCB ，∵BG ⊥AC ，AE ⊥BC ，∴∠EAC +∠ACE =90°，∠HBC +∠ACE =90°，∴EAC HBC MCB α∠=∠=∠=，∴2CMG MBC MCB α∠=∠+∠=，∵BC BC =，∴2G BAC α∠=∠=，∴∠G =∠CMG ，∴CG =CM =BM ，∵AC ⊥BG ，∴MH =HG ，∵OA =OC ，∴ACO EAC α∠=∠=∴9090CFG ACO α∠=︒-∠=︒-，∵180FCG CFG G ∠=︒-∠-∠，即180(90)290FCG ααα∠=︒-︒--=︒-，∴FCG CFG ∠=∠，∴FG =CG ，∴BM =MC =FG =CG ，又∵MH =HG ，∴BF =BM +MH -FH =FG -FH +HG ，∴BF =2HG ．（3）过O 点作OP ⊥AC ，如解图（3）∵AO 是∠BAC 的角平分线，∴点O 到AB 、AC 的距离相等， ∴ABO ADO SAB BO S AD OD==， ∵AD =2，CD =3，∴AB =AC =5， ∴5=2BO OD ，即：2=7OD BD ， ∵OP ⊥AC ，∴52AP PC ==，12PD =， ∵BH AC ⊥， ∴OP //BH ，∴27DP OP OD DH BH BD ===， ∴7724DH DP ==， ∴154AH AD DH =+=，5-4HC DC DH ==，∵在Rt ABH中，BH == ∵BAH G ∠=∠，AHB GHC ∠=∠， ∴AHB GHC △△，∴AH BH HG CH = 即：AH HC BHHG =， 51544=⨯， ∴HG =， 由（2）得BF =2HG ，∴BF = 【点睛】 本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，涉及了相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识点，解题关键是利用同弧或等弧所对圆周角相等、直角三角形的两锐角相等找出图中角之间的关系，从而利用相似或勾股定理解题．10．（1）291515404y x x =+-，y ＝﹣34x ﹣15；（2）面积最大值225，C （﹣10，﹣30）；（3）S ＝﹣2553t +160t ﹣240． 【解析】【分析】（1）利用待定系数法将点A （﹣20，0），B （0，﹣15）代入抛物线y ＝ax 2+154x +c 即可求出抛物线的函数表达式；设AB 的函数表达式是y ＝kx +b ，然后利用待定系数法将点A （﹣20，0），B （0，﹣15）代入y ＝kx +b 即可求出直线AB 的函数表达式；（2）作CE ⊥OA 于E ，交AB 于F ，设C （a ，940a 2+154a ﹣15），F （a ，﹣34a ﹣15），根据题意表示出CF 的长度，进而表示出ABC S ∆，然后利用二次函数的性质求解即可；（3）作AN ⊥OD 于N ，AD 与FG 交于点I ，首先根据题意求出OC 的解析式，然后联立33154y x y x =⎧⎪⎨=--⎪⎩求出点D 的坐标，然后求出AD OD =，利用等腰三角形三线合一性质求出ON 的长度，进而利用勾股定理求出AN 的长度，表示出S △AON ，然后证明出△GFI ∽△OGH ∽△ANO ，利用相似三角形的性质表示出S △IJF ＝803（t ﹣3）2，S △GOH ＝253t ，最后利用面积之间的关系即可求出S 与t 之间的函数关系式．【详解】解：（1）由题意得，将点A （﹣20，0），B （0，﹣15）代入抛物线y ＝ax 2+154x +c 得， 21515(20)(20)04c a c =-⎧⎪⎨-+⨯-+=⎪⎩， ∴15940c a =-⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴291515404y x x =+-， 设AB 的函数表达式是y ＝kx +b ，将点A （﹣20，0），B （0，﹣15）代入y ＝kx +b 得，∴15200b k b =-⎧⎨-+=⎩， ∴1534b k =-⎧⎪⎨=-⎪⎩， ∴y ＝﹣34x ﹣15； （2）如图1，作CE ⊥OA 于E ，交AB 于F ，设C （a ，940a 2+154a ﹣15），F （a ，﹣34a ﹣15）， ∴FC ＝（﹣315)4a -﹣（2940a +154a ﹣15）＝﹣2940a ﹣92a ， ∴ABC S ∆＝12CF •AO ＝12（﹣2940a ﹣92a ）×20＝﹣94（a +10）2+225， ∴当a ＝﹣10时，ABC S ∆＝225， 当a ＝﹣10时，y ＝29(10)40⨯-+()15104⨯-﹣15＝﹣30， ∴C （﹣10，﹣30）；（3）如图2，作AN ⊥OD 于N ，∵C （﹣10，﹣30），∴OC 的解析式是：y ＝3x ，由33154y x y x =⎧⎪⎨=--⎪⎩得， 412x y =-⎧⎨=-⎩， ∴D （﹣4，﹣12），∵A （﹣20，0），OD 22412+10∴AD ()2220412-++=20，∴AD OD=，又∵AN⊥OD，∴ON＝12OD=AN=S△AON＝1160 22AN ON=⨯=，∵OE，OD＝，∴DE＝，∴JE＝3（），∴FJ＝EF﹣JEt﹣3（t）＝（t﹣3），∵OG AN FJ∥∥，∴GOH OAN DAN AJF∠=∠=∠=∠，又∵90G ANO F∠=∠=∠=︒，∴△GFI∽△OGH∽△ANO，∴IJFAONSS∆∆＝（FJAN）2＝2，GOHAONSS∆∆＝（OGAN）2）2，∴S△IJF＝803（t﹣3）2，S△GOH＝253t，∴S＝S正方形OEFG﹣S△IJF﹣S△GOH＝10t2﹣53t2﹣803（t﹣3）2＝﹣2553t+160t﹣240，故答案是：S＝﹣2553t+160t﹣240．【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数和一次函数表达式，二次函数与一次函数综合问题，相似三角形的性质和判定，二次函数中最大面积问题等知识，解题的关键是正确分析题目中的条件，设出点的坐标，根据相似三角形的性质以及勾股定理表示出相应的线段和面积．11．(1)(1,，图见解析(2)1322Cx-≤≤1122t<≤【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质，勾股定理求解即可；（2）根据题意以MB为边作等边三角形MM B'，以M'为圆心1为半径作M'，根据线段中点坐标公式求解即可；（3）在（2）的基础上，先求得最小值，再确定2个圆心，第1个是A 点运动点C 对应的圆心P '，第2个是点B 的运动时点C 轨迹的对应的圆心P ，进而根据线段和最大，当,,P P Q '共线时候，t 最大，根据（2）的方法求解即可．(1)过点C 作CE x ⊥轴于点E ，作出点C ，B 的逆序等边三角形CBD ，如图1，()()1,03,0A B -,，ABC 是等边三角形()1131222AE BE AB ∴===--=，33CE AE ==()1,0E ∴，(1,3C ,ABC BCD 是等边三角形∴60DCB ABC ∠=∠=︒，AB AC BC CD BD ====,CD AB CD AB ∴=∥(5,23D ∴ 故答案为：(1,23，(5,23(2)如图2，以MB 为边作等边三角形MM B '，以M '为圆心1为半径作M '， 点B (3，0)，点A 在以点M (-2，0)为圆心1为半径的圆上， ∴点A ，B 的逆序等边三角形ABC 的顶点C 在M '23122M x '-+∴== M '的半径为1∴111122C x -≤≤+ 即1322C x -≤≤(3)如图3，设N 与x 轴交于点G ，以GM 为边向上作等边三角形MGH ，以点H 为圆心1为半径，作H ，设直线y x =为1l ，y x t =+为2l ，过点H 作1HJ l ⊥，交x 轴于点J ，交1l 于点S ，交2l 于点L ，过点H ，作HI x ⊥轴于点I ，设2l 与x 轴的交点为T ，则OT t =根据题意，当C 点在第二象限时，能找到t 的最小值，根据定义可知，B 点与G 点重合时，A 点在M 上运动，则C 点在H 上运动，当2l 与H 相切时，t 最小， ()2,0M -,()3,0N ，M 的半径为1，N 的半径为2， 2,321OM OG ∴==-=3MG ∴=33HI ∴=1322MI MG == 1,02I ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭ 1332H ⎛∴- ⎝⎭1l 与x 轴的夹角为45°，1HJ l ⊥，HI x ⊥轴， HIJ ∴是等腰直角三角形 HI IJ ∴=HJ ∴===12OI =12OJ ∴1,02J ⎫∴⎪⎪⎝⎭1LJ HJ HL ∴=-=12l l ∥ LTJ ∴是等腰直角三角形1TJ ∴===⎝3122OJ =1122TO TJ JO ⎫=-==⎪⎪⎝⎭即t 12， B 的纵坐标0d >，则12t > 如图4，作,M N 的逆序等边三角形MNP '，以P '为圆心，1为半径作P '，则1PP AM '==，连接,AM PP ',ANP MNP '是等边三角形，,,60AN NP MN NP ANP MNP ''∴==∠=∠=︒PNP ANM '∴∠=∠PP N AMN '≌∴当,,P P Q '共线时候，t 最大以P 为圆心，2为半径作半圆P ，当直线y x t =+与半圆P 相切时，设切点为Q ，当C 点与Q 点重合时，即可取得t 的最大值，最大值即为T O '的长，()()2,0,3,0M N - ∴1532P ⎛' ⎝⎭过点P '作P P x '''⊥轴于点P ''，如图，。
江西省历届中考数学压轴题汇总及答案
江西省历届中考数学压轴题汇总及答案2015年24题.(本小题满分12分)我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”.例如图1,图2,图3中,,AF BE 是ABC △的中线,AF BE ⊥,垂足为P ,像ABC △这样的三角形均为“中垂三角形”.设BC a =,AC b =,AB c =.特例探索(1)如图1,当45ABE ∠=,22c =时,a = ,b = ； 如图2,当30ABE ∠=,4c =时,a = ,b = ；归纳证明(2)请你观察(1)中的计算结果,猜想222,,a b c 三者之间的关系,用等式表示出来,并利用图3证明你发现的关系式；拓展应用(3)如图4,在□ABCD 中,点,,E F G 分别是,,AD BC CD 的中点,BE EG ⊥,25AD =,3AB =.求AF 的长.2016年23题.(本小题满分12分)设抛物线的解析式为2y ax =,过点1(1,0)B 作x 轴的垂线,交抛物线于点1)(1,2A ；过点21()2,0B 作x 轴的垂线,交抛物线于点2A ；…；过点11((),0)2n n B -(n 为正整数)作x 轴的垂线,交抛物线于点n A ,连接n A 1n B +,得1Rt n n n A B B +△. (1)求a 的值；(2)直接写出线段n A n B ,n B 1n B +的长(用含n 的式子表示)； (3)在系列1Rt n n n A B B +△中,探究下列问题： ①当n 为何值时,1Rt n n n A B B +△是等腰直角三角形？②设1k m n ≤＜≤(,k m 均为正整数),问：是否存在1Rt k k k A B B +△与1Rt m m m A B B +△相似？若存在,求出其相似比；若不存在,说明理由.x2017年23题.(本小题满分12分)我们定义：如图1,在ABC △中,把AB 绕点A 顺时针旋转(0180)αα＜＜得到AB ',把AC 绕点A 逆时针旋转β得到AC ',连接B C ''.当180αβ+=时,我们称AB C ''△是ABC △的“旋补三角形”,AB C ''△边B C ''上的中线AD 叫做ABC △的“旋补中线”,点A 叫做“旋补中心”. 特例感知(1)在图2,图3中,AB C ''△是ABC △的“旋补三角形”,AD 是ABC △的“旋补中线”. ①如图2,当ABC △为等边三角形时,AD 与BC 的数量关系为AD = BC ；②如图3,当90BAC =∠,8BC =时,则AD 长为 . 猜想论证(2)在图1中,当ABC △为任意三角形时,猜想AD 与BC 的数量关系,并给予证明.拓展应用(3)如图4,在四边形ABCD 中,90C =∠,150D =∠,12BC =,23CD =,6DA =.在四边形内部是否存在点P ,使PDC △是PAB △的“旋补三角形”？若存在,给予证明,并求PAB △的“旋补中线”长；若不存在,请说明理由.2018年23题.(本小题满分12分)小贤与小杰在探究某类二次函数问题时,经历了如下过程： 求解体验(1)已知抛物线23y x bx =-+-经过点()1,0-,则b = ,顶点坐标为 ,该抛物线关于点(0,1）成中心对称的抛物线表达式是 ； 抽象感悟我们定义：对于抛物线()20y ax bx c a =++≠,以y 轴上的点()0,M m 为中心,作该抛物线关于点M 对称的抛物线y ',则我们又称抛物线y ′为抛物线y 的“衍生抛物线”,点M 为“衍生中心”.(2)已知抛物线225y x x =--+关于点(0,)m 的衍生抛物线为y ',若这两条抛物线有交点,求m 的取值范围； 问题解决(3)已知抛物线22(0)y ax ax b a =+-≠.①若抛物线y 的衍生抛物线为222(0)y bx bx a b '=-+≠,两抛物线有两个交点,且恰好是它们的顶点,求a ,b 的值及衍生中心的坐标；②若抛物线y 关于点2(01)k +，的衍生抛物线为1y ,其顶点为1A ；关于点2(0,2)k +的衍生抛物线为2y ,其顶点为2A ；…；关于点2(0,)k n +的衍生抛物线为n y ,其顶点为n A ；…(n 为正整数).求()1n n A A +的长(用含n 的式子表示).2019年23.特例感知（1）如图1，对于抛物线13,12,1232221+--=+--=+--=x x y x x y x x y ，下列结论正确的序号是________； ①抛物线321,,y y y 都经过点C （0，1）；②抛物线32,y y 的对称轴由抛物线1y 的对称轴依次向左平移12个单位得到； 形成概念（2）把满足21n y x nx =--+（n 为正整数）的抛物线称为“系列平移抛物线”.知识应用在（2）中，如图2.①“系列平移抛物线”的顶点依次为n P P P P ,,,,321⋯，用含n 的代数式表示顶点n P 的坐标，并写出该顶点纵坐标y 与横坐标x 之间的关系式；②“系列平移抛物线”存在“系列整数点（横纵坐标均为整数的点）”：n C C C C ,,,,321⋯，其横坐标分别为n k k k k --⋯------,,3,2,1（k 为正整数），判断相邻两点之间的距离是否相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由.③在②中，直线1y =分别交“系列平移抛物线”于点123n,,,A A A A ⋯，，连接,,11--n n n n A C A C 判断11,,n n n n C A C A --是否平行？并说明理由.2020年23题.某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积1S ，2S ，3S 之间的关系问题”进行了以下探究：图1图2 图3类比探究（1）如图2，在Rt ABC △中，BC 为斜边，分别以AB ，AC ，BC 为斜边向外侧作Rt ABD △，Rt ACE △，Rt BCF △，若123∠=∠=∠，则面积1S ，2S ，3S 之间的关系式为________； 推广验证（2）如图3，在Rt ABC △中，BC 为斜边，分别以AB ，AC ，BC 为边向外侧作任意ABD △，ACE △，BCF △，满足123∠=∠=∠，D E F ∠=∠=∠，则（1）中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由； 拓展应用（3）如图4，在五边形ABCDE 中，105A E C ∠=∠=∠=︒，90ABC ∠=︒，23AB =，2DE =，点P 在AE 上，30ABP ∠=︒，2PE =，求五边形ABCDE 的面积．图42015年24.【答案】（1）∵AH BE ⊥，45ABE ∠=︒，∴22AP BP AB ===， ∵AF ，BE 是△ABC 的中线，∴EF AB ∥，12EF AB ==∴45PFE PEF ∠=∠=︒， ∴1PE PF ==，在Rt △FPB 和Rt △PEA 中，AE BF ===，∴AC BC ==∴a b ==， 如图2，连接EF ，同理可得：1422EF =⨯=， ∵EF AB ∥，∴PEF ABP △∽△， ∴12PF PE EF AP PB AB ===， 在Rt △ABP 中，4AB =，30ABP ∠=︒，∴2AP =，PB =，∴1PF =，PE =，在Rt △APE 和Rt △BPF 中，AE =BF =∴a =b =（2）猜想：2225a b c +=，如图3，连接EF ，设ABP α∠=，∴AP csin α=，PB ccos α=，由（1）同理可得，1sin 22c PF PA α==，1cos 22c PE PB α==，2222222cos sin 4c AE AP PE c αα=+=+，2222222sin cos 4c BF PB PF c αα=+=+， ∴22222cos sin 24b c c αα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，22222sin cos 24a c c αα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ∴2222222222sin cos cos sin 4444a a c c c c αααα+=+++，∴2225abc +=； （3）如图4，连接AC ，EF 交于H ，AC 与BE 交于点Q ，设BE 与AF 的交点为P ，∵点E 、G 分别是AD ，CD 的中点， ∴EF AC ∥， ∵BE EG ⊥， ∴BE AC ⊥，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，AD BC == ∴EAH FCH ∠=∠，∵E ，F 分别是AD ，BC 的中点，∴12AE AD =，12BF BC =，∴12AE BF CF AD ===∵AE BF ∥，∴四边形ABFE 是平行四边形， ∴3EF AB ==，AP PF =， 在△AEH 和△CFH 中，=EAH FCH AHE FHC AE CF =⎧⎪⎨⎪=⎩∠∠∠∠， ∴AEH CFH △≌△， ∴EH FH =，∴EH ，AH 分别是△AFE 的中线， 由（2）的结论得：2225AF EF AE +=，∴222516A EF F -==，∴4AF =。
(完整)中考数学压轴题精选及答案
一、解答题1．将矩形ABCD 绕着点C 按顺时针方向旋转得到矩形FECG ，其中点E 与点B ，点G 与点D 分别是对应点，连接BG ．(1)如图，若点A ，E ，D 第一次在同一直线上，BG 与CE 交于点H ，连接BE ． ①求证：BE 平分∠AEC ．②取BC 的中点P ，连接PH ，求证：PH ∥CG ． ③若BC ＝2AB ＝2，求BG 的长．(2)若点A ，E ，D 第二次在同一直线上，BC ＝2AB ＝4，直接写出点D 到BG 的距离． 2．四边形ABCD 中，DA DC =，连接BD ．（1）如图1，若BD 平分ABC ∠，求证：180A C ∠+∠=︒． （2）如图2，若BD BC =，150=︒∠BAD ，求证：2DBC ABD ∠=∠．（3）如图3，在（2）的条件下，作AE BC ⊥于点E ，连接DE ，若DA DC ⊥，2BC =，求DE 的长度．3．如图，抛物线顶点(1,4)P ，与y 轴交于点(0,3)C ，与x 轴交于点A ，B ．（1）求抛物线的解析式；（2）Q 是抛物线上除点P 外一点，BCQ △与BCP 的面积相等，求点Q 的坐标：（3）M 是线段BC 上方抛物线上一个动点，过点M 作x 轴的垂线，交线段BC 于点D ，再过点M 做MN //x 轴交抛物线于点N ，连结DN ，请问是否存在点M 使MDN △为等腰直角三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．4．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：观察与猜想（1）①如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，AD 上的两点，连接DE ，CF ，DE CF ⊥，则DECF的值为 ； ②如图2，在矩形ABCD 中，7AD =，4CD =，点E 是AD 上的一点，连接CE ，BD ，且CE BD ⊥，则CEBD的值为 ； 类比探究（2）如图3，在四边形ABCD 中，90A B ∠=∠=︒，点E 为AB 上一点，连接DE ，过点C 作DE 的垂线交ED 的延长线于点G ，交AD 的延长线于点F ，求证：DE AB CF AD ⋅=⋅；拓展延伸（3）如图4，在Rt ABD △中，90BAD ∠=︒，3AB =，9AD =，将Rt ABD △沿BD 翻折，点A 落在点C 处得CBD ，点E ，F 分别在边AB ，AD 上，连接DE ，CF ，DE CF ⊥．请问DECF是定值吗？若是求出其值，若不是说明理由； 5．如图，在平面直角坐标系中，ABC 的边AB 在x 轴上，且OB OA >，以AB 为直径的圆过点C ．若点C 的坐标为()0,4，10AB =，（1）求抛物线的解析式；（2）点P为该函数在第一象限内的图象上一点（不与BC重合)，过点P作PQ BC⊥，垂足为点Q，连接PC．若以点P、C、Q为顶点的三角形与COA相似，求点P的坐标；（3）若ACB∠平分线所在的直线l交x轴与点E，过点E任作一直线l'分别交射线CA，CB（点C除外）于点M，N．则11CM CN+的是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．6．在平面直角坐标系xOy中，规定：抛物线y＝a（x﹣h）2+k的“伴随直线”为y＝a（x﹣h）+k．例如：抛物线y＝2（x+1）2﹣3的“伴随直线”为y＝2（x+1）﹣3，即y＝2x﹣1．（1）在上面规定下，抛物线y＝（x+1）2﹣5的顶点坐标为_____，“伴随直线”为_____．（2）如图，顶点在第一象限的抛物线y＝a（x﹣1）2﹣4a（a≠0）与其“伴随直线”相交于点A，B（点A在点B的左侧），与x轴交于点C，D．①若△ABC为等腰三角形时，求a的值；②如果点P（x，y）是直线BC上方抛物线上的一个动点，△PBC的面积记为S，当S取得最大值274时，求a的值．7．如图1，抛物线y＝ax2﹣94x+c与x轴交于A（﹣1，0）和B两点，与y轴交于C（0，﹣3），E为抛物线顶点，抛物线的对称轴交x轴于点H．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点3(0,2)2F，点P在对称轴右侧的抛物线上运动，连接PO，PO与对称轴交于点D，连接DF．当DF平分∠ODE时，求点P的坐标；（3）如图2，平移对称轴EH交抛物线于M，交直线BC于N．以N为圆心，NM为半径作⊙N．当⊙N与坐标轴相切时，请直接写出⊙N的半径长．8．等腰Rt△ABC，CA＝CB，D在AB上，CD＝CE，CD⊥CE．（1）如图1，连接BE，求证：AD＝BE．（2）如图2，连接AE，CF⊥AE交AB于F，T为垂足，①求证：FD＝FB；②如图3，若AE交BC于N，O为AB中点，连接OC，交AN于M，连FM、FN，当S OF2+BF2的最小值．52FMN9．如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙是△ABC的外接圆，连接BO并延长交边AC于点D．（1）如图1，求证：∠BAC＝2∠ABD；（2）如图2，过点B作BH⊥AC于点H，延长BH交⊙O于点G，连接OC，CG，OC交BG于点F，求证：BF＝2HG；（3）如图3，在（2）的条件下，若AD＝2，CD＝3，求线段BF的长．10．问题背景如图（1），△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，直线l 绕着点A 顺时针旋转，过B ，C 两点分别向直线l 作垂线BD ，CE ，垂足为D ，E ，此时△ABD 可以由△CAE 通过旋转变换得到，请写出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小（取最小旋转角度）． 尝试应用如图（2），△ABC 为等边三角形，直线l 绕着点A 顺时针旋转，D 、E 为直线l 上两点，∠BDA ＝∠AEC ＝60°．△ABD 可以由△CAE 通过旋转变换得到吗？若可以，请指出旋转中心O 的位置并说明理由；拓展创新如图（3）在问题背景的条件下，若AB ＝2，连接DC ，直接写出CD 的长的取值范围．11．如图1，菱形ABCD 绕点A 顺时针旋转()0180αα︒<<︒，得到菱形AEFG ，连接AC ，AF 、分别与BD ，EG 相交于点O ，O '．射线BD ，GE 交于点P ，BPG β∠=．（1）当90α=︒时，四边形AOPO '的形状为 ． （2）求α与β的数量关系．（3）如图2．连接PA ，若42BAD ∠=°，PA PB =，求α的值．（4）如图3，连接PC ，PF ，若5AB =，4BD =，四边形AFPC 能否为菱形？若能，直接写出α的值和AP 的长；若不能，请说明理由．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AP交x轴于点P（p，0），与y轴交于点A （0，a），且a、p满足+（p﹣1）2＝0．(1)求直线AP的解析式；(2)如图1，直线x＝﹣2与x轴交于点N，点M在x轴上方且在直线x＝﹣2上，若△MAP 的面积等于6，请求出点M的坐标；(3)如图2，已知点C（﹣2，4），若点B为射线AP上一动点，连接BC，在坐标轴上是否存在点Q，使△BCQ是以BC为底边的等腰直角三角形，直角顶点为Q，若存在，请求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．13．我们把方程（x﹣m）2＋（y﹣n）2＝r2称为圆心为（m，n）、半径长为r的圆的标准方程．例如，圆心为（1，﹣2）、半径长为3的圆的标准方程是（x﹣1）2＋（y＋2）2＝9．如图，在平面直角坐标系中，⊙C与x轴交于A，B两点，且点B的坐标为（8，0），与y轴相切于点D（0，4），过点A，B，D的抛物线的顶点为E．(1)求⊙C的标准方程；(2)试判断直线AE 与⊙C 的位置关系，并说明理由； (3)连接CE ，求sin∠AEC 的值．14．如图，ABC 为O 的内接三角形，AB 为O 的直径，过点A 作O 的切线交BC 的延长线干点D ．(1)求证：ABC ∽；(2)若E 为AD 上一点，使得，连接OE ，求证：OE 平分；(3)若点F 为直径AB 下方半圆的中点，连接CF 交AB 于点G ，且，2AB =，求CG的长．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2与直线y ＝x ﹣2交于点A （m ，0）和点B （﹣2，n ），与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；(2)若向下平移抛物线，使顶点D 落在x 轴上，原来的抛物线上的点P 平移后的对应点为P '，若，求点P 的坐标；(3)在抛物线上是否存在点Q ，使△QAB 的面积是△ABC 面积的一半？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．16．已知抛物线24y ax bx =++（a ≠0）与x 轴交于点A （3-，0）、B （2，0），与y 轴交于点C ，直线y mx n =+经过两点A 、C ．(1)求a，b的值；(2)如图1，点Р在已知抛物线上，且位于第二象限，当四边形PABC的面积最大时，求点P的坐标．(3)如图2，将已知抛物线向左平移12个单位，再向下平移2个单位．记平移后的抛物线为'y，若抛物线'y与原抛物线的对称轴交于点Q．点E是新抛物线'y的对称轴上一动点，在（2）的条件下，当△PQE是等腰三角形时，请直接写出点E的坐标．17．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，直径DF交BC于点G．(1)如图1，求证：∠BAD－∠BCF＝90°；(2)如图2，连接AC，当∠BAC＝∠CFD＋∠ACD时，求证：CA＝CB；(3)如图3，在（2）的条件下，AC交DF于点H，∠BAC＝∠DGB，45CGBG，AC＝9，求△CDH的面积．18．设抛物线y=ax2+bx-2与x轴交于两个不同的点A（-1，0）、B（m，0），与y轴交于点C．且∠ACB=90度．(1)求m 的值；(2)求抛物线的解析式，并验证点D （1，﹣3）是否在抛物线上；(3)已知过点A 的直线y =x +1交抛物线于另一点E ．问：在x 轴上是否存在点P ，使以点P 、B 、D 为顶点的三角形与△AEB 相似？若存在，请求出所有符合要求的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．19．图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，在研究三角形的旋转过程中，发现下列问题：如图1，在ABC 中，AB AC =，BAC α∠=，MN 分别为AB 、BC 边上一点，连接MN ，且MN AC ∥，将ABC 绕点B 在平面内旋转．(1)观察猜想ABC 绕点B 旋转到如图2所示的位置，若60α=︒，则AMCN的值为______． (2)类比探究若90α=︒，将ABC 绕点B 旋转到如图3所示的位置，求AMCN的值． (3)拓展应用若90α=︒，M 为AB 的中点，4AB =，当AM BN ⊥时，请直接写出CN 的值． 20．如图1，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC ＝16，BD ＝12． （1）求菱形ABCD 的面积及周长；（2）点M 是射线DA 上一个动点，作射线BM ，交射线CA 于点E ．将射线BM 绕点B 逆时针旋转后交射线CA 于点N ，旋转角为∠MBN ，且∠MBN ＝12BAD ∠，连接MN ．①如图2，当点N 与点O 重合时，求△AMN 的周长；②当AE ＝BE 时，请直接写出AM 的长为 ； ③BN ＝35时，请直接写出AM 的长为 ．【参考答案】**科目模拟测试一、解答题1．(1)7 57221【解析】 【分析】（1）①根据旋转的性质得到CB CE =，求得EBC BEC ∠=∠，根据平行线的性质得到EBC BEA ∠=∠，于是得到结论；②如图1，过点B 作CE 的垂线BQ ，根据角平分线的性质得到AB BQ =，求得=CG BQ ，根据全等三角形的性质得到BH GH =，根据三角形的中位线定理即可得到结论； ③如图2，过点G 作BC 的垂线GM ，解直角三角形即可得到结论．（2）如图3，连接DB ，DG ，过G 作GP BC ⊥交BC 的延长线于P ，GN DC ⊥交DC 的延长线于N ，根据旋转的性质得到4==CE BC ，2CD AB ==，解直角三角形得到1NG =，3PG =(1)解：①证明：矩形ABCD 绕着点C 按顺时针方向旋转得到矩形FECG ，CB CE ∴=，EBC BEC ∴∠=∠，又//AD BC ，EBC BEA ∴∠=∠，BEA BEC ∴∠=∠，BE ∴平分AEC ∠；②证明：如图1，过点B 作CE 的垂线BQ ，BE 平分AEC ∠，BA AE ⊥，BQ CE ⊥，AB BQ ∴=，CG BQ ∴=，90BQH GCH ∠=∠=︒，BQ AB CG ==，BHQ GHC ∠=∠，()BHQ GHC AAS ∴∆≅∆，BH GH ∴=，即点H 是BG 中点， 又点P 是BC 中点，//PH CG ∴；③解：如图2，过点G 作BC 的垂线GM ，22BC AB ==，1BQ ∴=，30BCQ ∴∠=︒，90ECG ∠=︒，60GCM ∴∠=︒，1CG AB CD ===，3GM ∴12CM =，222253()()722BG BM MG ∴=+=+=； (2)解：如图3，连接DB ，DG ，过G 作GP BC ⊥交BC 的延长线于P ，GN DC ⊥交DC 的延长线于N ，24BC AB ==，2AB ∴=，将矩形ABCD 绕着点C 按顺时针方向旋转得到矩形FECG ，4CE BC ∴==，2CD AB ==，点A ，E ，D 第二次在同一直线上，90CDE ，12CD CE ∴=， 30DEC ∴∠=︒，60DCE ∴∠=︒，30NCG ∴∠=︒，2CG =，1NG ∴=，3PG =523DBG DBC DCG BCG S S S S ∆∆∆∆∴=++=+2227BG BP PG +257221DBG S DM BG ∆∴= 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，解直角三角形，解题的关键是正确地作出辅助线．2．（1）见解析；（2）见解析；（32【解析】【分析】（1）过点D 分别作DF BC ⊥于点F ，DE BA ⊥交BA 的延长线于点E ，根据角平分线的性质可得ED FD =，结合已知条件HL 证明Rt DAE ≌Rt DCF △，继而可得C EAD ∠=∠，根据平角的定义以及等量代换即可证明180BAD BCD ∠+∠=︒；（2）过点D 分别作DF BC ⊥于点F ，DE BA ⊥交BA 的延长线于点E ，过点B 作BG DC ⊥，根据含30度角的直角三角形的性质可得12ED AD =，根据三线合一，可得12DG DC =，进而可得DE DG =，根据角平分线的判定定理可推出12ABD DBG DBC ∠=∠=∠，进而即可证明2DBC ABD ∠=∠； （3）先证明四边形DMEF 是矩形，证明△MAD ≌FCD ，进而证明四边形DMEF 是正方形，设ABD α∠=，根据（2）的结论以及三角形内角和定理，求得15α=︒，进而求得30DBC ∠=︒，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求得EF ，进而在Rt DEF △中，勾股定理即可求得DE 的长．【详解】（1）如图，过点D 分别作DF BC ⊥于点F ，DE BA ⊥交BA 的延长线于点E ，BD 平分ABC ∠，ED FD ∴=DA DC =，在Rt DAE 与Rt DCF △中AD DC ED FD =⎧⎨=⎩∴Rt DAE ≌Rt DCF △（HL ）C EAD ∴∠=∠180DAB EAD DAB C ∴∠+∠=∠+∠=︒即180BAD BCD ∠+∠=︒（2）如图，过点D 作DE BA ⊥交BA 的延长线于点E ，过点B 作BG DC ⊥，BD BC = 11,22DG GC DC DBG CBG DBC ∴==∠=∠=∠ 150=︒∠BAD ，18015030EAD ∴∠=︒-︒=︒12ED AD ∴= DA DC =ED DG ∴=,ED BE DG BG ⊥⊥EBD GBD ∴∠=∠12ABD DBC ∴∠=∠ 即2DBC ABD ∠=∠（3）如图，过点D 分别作DF BC ⊥于点F ，DM EA ⊥交EA 的延长线于点M ，AE BC ⊥，,DM ME DF FE ⊥⊥∴四边形DMEF 是矩形90MDF ∴∠=︒90MDA ADF ∴∠+∠=︒DA DC⊥90ADC∴∠=︒90ADF FDC∴∠+∠=︒FDC MDA∴∠=∠在△MAD与FCD中MDA FDCDMA DFCDA DC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△MAD≌FCDDM DF∴=，MDA FDC∠=∠∴四边形DMEF是正方形DF EF∴=设ABDα∠=∴22DBC ABDα∠=∠=BD BC=()11802902BDC BCDαα∴∠=∠=︒-=-90MDA FDC BCDα∴∠=∠=︒-∠=90DAE M MDAα∴∠=∠+∠=︒+150BAD∠=︒60BAEα∴∠=-在BAE中9030ABE BAEα∠=︒-∠=︒+23ABE ABD DBCααα∠=∠+∠=+=15α∴=︒230DBCα∴∠==︒2BD =112122DF BD∴==⨯=在Rt DEF△中，1EF DF==DE∴==【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，角平分线的性质与判定，三角形内角和定理，三角形的外角性质，勾股定理，正方形的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键．3．（1）2y x 2x 3=-++；（2）1(2,3)Q ，2317117(,)22Q +--，3317117(,)22Q --+；（3）存在，(2,3)M 或5175317(,)22--+ 【解析】【分析】 （1）设2(1)4(0)y a x a =-+≠，把C(0,3)代入求出a ，即可得出答案；（2）①过P 作PQ //BC ，交抛物线于点Q ，如图1所示；②求出点G 坐标，可得2PG GH ==，过H 作直线23Q Q //BC ，交x 轴于点H ，分别求出Q 的坐标即可；（3）MDN △为等腰直角三角形，则MN MD =，求出MN 、MD 的长度即可列出等量关系式，从而得出答案．【详解】（1）设2(1)4(0)y a x a =-+≠，把C(0,3)代入抛物线解析式得：43a +=，即1a =-，则抛物线解析式为22(1)423 y x x x =--+=-++；（2）由(3,0)B ，C(0,3)，得到直线BC 解析式为3y x =-+，①过P 作1PQ //BC ，交抛物线于点1Q ，如图1所示，(1,4)P ，∴直线PQ 解析式为5y x =-+，联立得：2235y x x y x ⎧=-++⎨=-+⎩， 解得：14x y =⎧⎨=⎩或23x y =⎧⎨=⎩， 即1(2,3)Q ；②过P 作PH x ⊥轴，交BC 于点G ，交x 轴于点H ，令1x =，代入3y x =-+，得2y =，(1,2)G ∴，2PG GH ∴==，过H 作直线23Q Q //BC ，则直线23Q Q 解析式为1y x =-+，联立得：2231y x x y x ⎧=-++⎨=-+⎩，解得：x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或x y ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2Q ∴，3Q ， 综上所述：点Q 的坐标为1(2,3)Q，2Q，3Q ； （3）MDN △为等腰直角三角形，则MN MD =，点()2,23M m m m -++，令x m =，代入3y x =-+得：3y m =-+，(,3)D m m ∴-+，函数的对称轴为：1x =，则点N 的横坐标为：2m -，则|22|MN m =-，2223(3)3MD m m m m m =-++--+=-+，2223m m m ∴-=-+，2223m m m -=-+或2223m m m -+=-+，解得：12m =或21m =-（舍）或3m =4m = 当2m =时，2233m m -++=，当m =223m m -++= 故点M 的坐标为：(2,3)或． 【点睛】 本题考查了二次函数综合题，设计知识有：用待定系数法求函数解析式、同底等高的面积计算、等腰直角三角形的性质，一次函数与二次函数交点问题，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键．4．（1）①1；②47；②见解析；（3）是定值，53 【解析】【分析】（1）①如图1，设DE 与CF 交于点G ，由正方形的性质得出∠A =∠FDC =90°，AD =CD ，可证明△AED ≌△DFC （AAS ），由全等三角形的性质得出DE =CF ，则可得出结论；②如图2，设DB 与CE 交于点G ，根据矩形性质得出∠A =∠EDC =90°，由直角三角形的性质证出∠ECD =∠ADB ，由相似三角形的判定定理证出△DEC ∽△ABD 即可；（2）如图3，过点C 作CH ⊥AF 交AF 的延长线于点H ，证明△DEA ∽△CFH ，由相似三角形的性质得出DE AD CF CH =，则可得出结论； （3）过点C 作CG ⊥AD 于点G ，连接AC 交BD 于点H ，CG 与DE 相交于点O ，根据等积关系可得AH 、DH 和CG 的长，，再证明△DEA ∽△CFG ，得出比例线段DE AD CF CG=则可求出答案．【详解】解：（1）①如图1，设DE 与CF 交于点G ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A =∠FDC =90°，AD =CD ，∵DE ⊥CF ，∴∠DGF =90°，∴∠ADE +∠CFD =90°，∠ADE +∠AED =90°，∴∠CFD =∠AED ，在△AED 和△DFC 中，A FDC CFD AED AD CD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△AED ≌△DFC （AAS ），∴DE =CF ，∴DE CF=1 故答案为：1；②如图2，设DB 与CE 交于点G ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A=∠EDC=90°，∵CE⊥BD，∴∠DGC=90°，∴∠CDG+∠ECD=90°，∠ADB+∠CDG=90°，∴∠ECD=∠ADB，∵∠CDE=∠A，∴△DEC∽△ABD，∴4,7 CE DCBD AD==，故答案为：47．（2）证明：如图3，过点C作CH⊥AF交AF的延长线于点H，∵CG⊥EG，∴∠G=∠H=∠A=∠B=90°，∴四边形ABCH为矩形，∴AB=CH，∠FCH+∠CFH=∠DFG+∠FDG=90°，∴∠FCH=∠FDG=∠ADE，∠A=∠H=90°，∴△DEA∽△CFH，∴DE AD CF CH=，∴DE AD CF AB=，∴DE•AB=CF•AD；（3）是定值，如图4，过点C作CG⊥AD于点G，连接AC交BD于点H，CG与DE相交于点O，则AC BD ⊥于H∵CF ⊥DE ，GC ⊥AD ，∴∠FCG +∠CFG =∠CFG +∠ADE =90°，∴∠FCG =∠ADE ，∠BAD =∠CGF =90°，∴△DEA ∽△CFG ， ∴DE AD CF CG=， 在Rt △ABD 中，AD =9，AB =3， ∴222293310BD AB AD ++ 又1122AD AB BD AH = ∴93910310AD AB AH BD ⨯=== ∴AC =2AH 91052222910279()101010DH AD AH =-=- ∵1122ADC S AC DH AD CG ∆=⋅=⋅， ∴192711010925102CG =⨯， ∴CG =275，由（1）可得，ADE GCF ∆∆∴952735DE AD CF CG ===【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判断和性质，三角形的面积，解本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．5．（1）213442y x x =-++；（2）点P 的坐标为：（6，4171，2172）；（3）11NC MC += 【解析】【分析】（1）根据题意，先证明AOC ∆∽COB ∆，得到AO OC CO OB=，求出点A 、B 的坐标，然后利用待定系数法，即可求出抛物线解析式；（2）根据题意，可分为两种情况：AOC ∆∽PQC ∆或AOC ∆∽CQP ∆，结合解一元二次方程，相似三角形的判定和性质，分别求出点P 的坐标，即可得到答案；（3）过点E 作EI ⊥AC 于I ，EJ ⊥CN 于J ，然后由角平分线的性质定理，得到EI =EJ ，再证明△MEI ∽△MNC ，△NEJ ∽△NMC ，得到111NC MC EI +=，然后求出EI 一个定值，即可进行判断．【详解】解：（1）∵以AB 为直径的圆过点C ，∴∠ACB =90°，∵点C 的坐标为()0,4，∴CO ⊥AB ，∴∠AOC =∠COB =90°，∴∠ACO +∠OCB =∠ACO +∠OAC =90°，∴∠OCB =∠OAC ,∴AOC ∆∽COB ∆， ∴AO OC CO OB =， ∵4CO =，10AO BO AB +==，∴10AO OB =-， ∴1044OB OB-=， 解得：2OB =或8OB =，经检验，满足题意，∵OB OA >，∴8OB =，∴点A 为（2-，0），点B 为（8，0）．设抛物线的解析式为2y ax bx c =++，把点A 、B 、C 三点的坐标代入，有44206480c a b c a b c =⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩，解得：14324a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，∴抛物线的解析式为213442y x x =-++； （2）根据题意，如图：当AOC ∆∽PQC ∆时，∴ACO PCQ ∠=∠，∵90ACO OCB ∠+∠=︒，∴90PCQ OCB ∠+∠=︒， ∴PC ⊥OC ，∴点P 的纵坐标为4，当4y =时，有2134442x x -++=， 解得：16x =或20x =（舍去）；∴点P 的坐标为（6，4）；当AOC ∆∽CQP ∆时，则此时BC 垂直平分OP ，作PG ⊥y 轴，垂足为G ，如上图， ∴90CQP AOC ∠=∠=︒，∴AC ∥OP ，∴∠ACO =∠POG ，∵90PGO AOC ∠=∠=︒，∴AOC ∆∽PGO ∆，∴AO OC PG GO=， 设点P 为（x ，213442x x -++）， ∴PG x =，213442GO x x =-++， ∴22413442x x x =-++， 解得：171x =， ∵点P 在第一象限， ∴171x =，∴2134217242x x -++=，∴点P 的坐标为（171-，2172-）；综合上述，点P 的坐标为：（6，4）或（171-，2172-）；（3）过点E 作EI ⊥AC 于I ，EJ ⊥CN 于J ，如图：∵CE 是∠ACB 的角平分线，∴EI =EJ ， ∵EI ∥CN ，EJ ∥CM ，∴△MEI ∽△MNC ，△NEJ ∽△NMC ，∴EI ME NC MN =，EJ NE MC MN =， ∴1EI EJ ME NE NC MC MN MN +=+=， ∴1EI EI NC MC +=， ∴111NC MC EI+=， ∵△ACO ∽△AEI ， ∴12AI AO EI CO ==， ∵222425AC =+∵AC AI IC AI EI =+=+，2512EI -=， 解得：45EI =∴11135NC MC EI +== ∴11NC MC+是一个定值． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，求二次函数的解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是熟练掌握题意，正确的作出辅助线，运用数形结合的思想进行解题．6．（1）（﹣1，﹣5），y ＝x ﹣4；（2）①a 的值为a ＝﹣2． 【解析】【分析】（1）由“伴随直线”的定义即可求解； （2）①先求y ＝a （x −1）2−4a 的伴随直线为y ＝ax −5a ，再联立方程组2(1)45y a x a y ax a ⎧=--⎨=-⎩，求出A （1，−4a ），B （2，−3a ），C （−1，0），D （3，0），由于当△ABC 为等腰三角形时，只存在一种可能为AC ＝BC ，即可求a 的值；②先求直线BC 解析式为y ＝−ax −a ，过P 作x 轴的垂线交BC 于点Q ，设点P 的横坐标为x ，则P [x ，a （x −1）2−4a ]，Q （x ，−ax −a ），23127()228PBC S a x a ∆=--，即可求面积的最大值，进而求a 的值．【详解】（1）∵抛物线y ＝（x +1）2﹣5，∴顶点坐标为（﹣1，﹣5），“伴随直线”为y ＝x ﹣4，故答案为：（﹣1，﹣5），y ＝x ﹣4；（2）①由“伴随直线”定义可得：y ＝a （x ﹣1）2﹣4a 的伴随直线为y ＝ax ﹣5a ， 联立2(1)45y a x a y ax a ⎧=--⎨=-⎩， 解得14x y a =⎧⎨=-⎩或23x y a =⎧⎨=-⎩， ∴A （1，﹣4a ），B （2，﹣3a ），在y ＝a （x ﹣1）2﹣4a 中，令y ＝0可解得x ＝﹣1或x ＝3，∴C （﹣1，0），D （3，0），∴AC 2＝4+16a 2，BC 2＝9+9a 2，∵当△ABC 为等腰三角形时，只存在一种可能为AC ＝BC ，∴AC 2＝BC 2，即4+16a 2＝9+9a 2，解得=a ∵抛物线开口向下，∴a =∴若△ABC 为等腰三角形时，a 的值为 ②设直线BC 的解析式为y ＝kx +b ，∵B （2，﹣3a ），C （﹣1，0），∴200k b k b +=⎧⎨-+=⎩，解得k a b a =-⎧⎨=-⎩，∴直线BC 解析式为y ＝﹣ax ﹣a ，如图，过P 作x 轴的垂线交BC 于点Q ，设点P 的横坐标为x ，∴P [x ，a （x ﹣1）2﹣4a ]，Q （x ，﹣ax ﹣a ），∵P 是直线BC 上方抛物线上的一个动点， ∴22219(1)4(2)()24PQ a x a ax a a x x a x ⎡⎤=--++=--=--⎢⎥⎣⎦， ∴23127()228PBC S a x a ∆=--， ∴当12x =时，△PBC 的面积有最大值278-a ， ∴S 取得最大值274时，即272784-=a ，解得a ＝﹣2．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解新定义，将所求问题转化为直线与抛物线的知识是解题的关键．7．（1）y ＝239344x x --；（2）点P 的坐标为：13313-13313-或(3，3)；（3）⊙N 的半径为163或83或1． 【解析】【分析】（1）代入点A 、C 的坐标求出解析式；（2）先求出直线OD 的解析式，再和二次函数为的解析式y ＝239344x x -+联立即可求解；（3）先求出直线BC 的解析式，设N (m ，3m 34-)，则M (m ，239344m m --)，求出MN 的距离，最后利用“当⊙N 与y 轴相切时，MN =m ”，得出结果．【详解】解：（1）将点A （-1，0），C （0，3）代入抛物线的解析式得，9043a c c ⎧++=⎪⎨⎪=-⎩， 解得343a c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， 故二次函数的解析式为y ＝239344x x --； （2）∵抛物线y ＝239344x x --=23325()423x --， ∴抛物线的顶点E 的坐标为(325,23-)， ∵DF 平分∠ODE ，∴∠ODF =∠FDE ，∵EH ∥y 轴，∴∠FDE =∠OFD ，∴OD =OF ，∵(0,F ， ∴OD =OF设D (32，m )，则OD ²=223()2m +，即2(=223()2m +，解得：m =-32或32， ∴D (32，32-)或(32，32)， 设直线OD 的解析式为y =kx ， ∴32-=32k 或32=32k ，解得：k =-1或k =1， ∴直线OD 的解析式为：y =x 或y =－x ， 联立239344y x y x x =⎧⎪⎨=--⎪⎩或239344y x y x x =-⎧⎪⎨=--⎪⎩， 解得：x舍去)；或x =3或43-(舍去)； ∴y3， ∴点P 的坐标为：或(3，3)；（3）由（1）得二次函数为：y ＝239344x x --， 当y =0时，239344x x --=0，解得：121,4x x =-=， ∴B (4，0)，设直线BC 为：y =kx +b ，经过点C (0，-3)，则有043k b b =+⎧⎨=-⎩， 解得：343k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ， ∴直线BC 为：y=334x -， 设N (m ，3m 34-)，则M (m ，239344m m --)， ∴MN =M N y y -=239333444m m m ---+=2334m m - 当⊙N 与y 轴相切时，MN =m ， ∴2334m m -=m ， 解2334m m -=m ，得m =163或0(舍去)， 解2334m m -=-m ，得m =83或0(舍去)， ∴⊙N 的半径为163或83； 当⊙N 与x 轴相切时，MN =334m -+， ∴2334m m -=334m -+，解2334m m -=334m -+，得m =4(舍去)或-1(舍去)， 解2334m m -=3m 34-，得m =4(舍去)或1， ∴⊙N 的半径为1；综上，⊙N 的半径为163或83或1．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数及一次函数的解析式，两点之间的距离公式，圆的切线的性质，解本题的关键用方程的思想解决问题．8．（1）见解析；（2）①见解析；②202【解析】【分析】（1）利用SAS 证明△ACD ≌△BCE ，从而利用全等三角形的性质即可得出结论；（2）①过点D 作DH ⊥CF 于H ，过点B 作BG ⊥CF ，交CF 的延长线于G ，首先证明△ACT ≌△BCG 及△DCH ≌△ECT ，得到CT ＝BG ，CT ＝DH ，通过等量代换得出DH ＝BG ，再证明△DHF ≌△BGF ，则可证明结论；②首先利用等腰三角形的性质和ASA 证明△AOM ≌△COF ，则有OM ＝OF ，然后利用等腰直角三角形的性质得出FK 2，然后利用三角形的面积得出OF×BF ＝2，最后利用平方的非负性和完全平方公式求解即可．【详解】证明：（1）∵△ABC 是等腰直角三角形，AC =BC ，∴∠ACB =90°，∵CD ⊥CE ，∴∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∴∠ACD +∠BCD =∠BCE +∠BCD ，即∠ACD ＝∠BCE ，在△ACD 和△BCE 中，AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴AD ＝BE ；（2）①如图2，过点D 作DH ⊥CF 于H ，过点B 作BG ⊥CF ，交CF 的延长线于G ，∵CF ⊥AE ，∴∠ATC =∠ATF =90°，∴∠ACT +∠CAT ＝90°，又∵∠ACT +∠BCG ＝90°，∴∠CAT ＝∠BCG ，在△ACT 和△CBG 中，90CAT BCG ATC CGB AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ∴△ACT ≌△CBG （AAS ），∴CT ＝BG ，同理可证△DCH ≌△ECT ，∴CT ＝DH ，∴DH ＝BG ，在△DHF 和△BGF 中，90DFH BFG DHF BGF DH BG ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ∴△DHF ≌△BGF （AAS ），∴DF ＝BF ；②如图3，过点F 作FK ⊥BC 于K ， ∵等腰Rt △ABC ，CA ＝CB ，点O 是AB 的中点， ∴AO ＝CO ＝BO ，CO ⊥AB ，∠ABC ＝45°， ∴∠OCF +∠OFC ＝90°，∵AT ⊥CF ，∴∠ATF =90°，∴∠OFC +∠FAT ＝90°，∴∠FAT ＝∠OCF ，在△AOM 和△COF 中，90MAO FCO OA OCAOM COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∴△AOM ≌△COF （ASA ），∴OM ＝OF ，又∵CO ⊥AO ，∴∠OFM ＝∠OMF ＝45°，222MF OF OM =+， ∴∠OFM ＝∠ABC ，MF， ∴MF //BC ，∴∠MFK =∠BKF =90°，∵∠ABC ＝45°，FK ⊥BC ，∴∠ABC ＝∠BFK ＝45°，∴FK ＝BK ，∵222BF FK BK =+，∴FK＝22BF，∵S△FMN＝52，∴12×MF×FK＝52，∴2OF×22BF＝102，∴OF×BF＝102，∵（BF﹣OF）2≥0，∴BF2+OF2﹣2BF×OF≥0，∴BF2+OF22＝2∴BF2+OF2的最小值为2．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，三角形面积，完全平方公式等等，掌握等腰直角三角形的性质与判定和全等三角形的判定方法及性质是解题的关键．9．（1）证明见解析；（2）证明见解析，（3）157 BF=【解析】【分析】（1）连接OA并延长AO交BC于E，证明∠BAC=2∠BAE和∠ABD=∠BAE即可得结论，（2）利用直角三角形两锐角互余、圆周角定理进行导角，得出MCG△和△FCG是等腰三角形，得出BM=MC=FG=CG，MH=HG，进而由BF=BM+MH-FH=FG-FH+HG，得出结论；（3）过O点作OP⊥AC，由垂径定理得出12PD=，再由52ABOADOS AB BOS AD OD===和平行线分线段成比例定理求出7724DH DP==，由勾股定理进而可求BH，再利用相似三角形对应边成比例求出HG，即可得BF长．【详解】解：（1）连接OA并延长AO交BC于E，∵AB=AC，∴AB AC=，∵AE过圆心O，∴AE BC⊥，BE EC=，∴∠BAC=2∠BAE，∵OA=OB，∴∠ABD=∠BAE，∴∠BAC=2∠ABD；（2）如解图（2），连接OA并延长AO交BC于E，AE交BF于M，连接MC，设2BACα∠=，则ABD BAE EACα∠=∠=∠=∵AE=EC，AE⊥BC，∴BM=MC，∴∠MBC=∠MCB，∵BG⊥AC，AE⊥BC，∴∠EAC+∠ACE=90°，∠HBC+∠ACE=90°，∴EAC HBC MCBα∠=∠=∠=，∴2CMG MBC MCBα∠=∠+∠=，∵BC BC=，∴2G BACα∠=∠=，∴∠G=∠CMG，∴CG =CM =BM ，∵AC ⊥BG ，∴MH =HG ，∵OA =OC ，∴ACO EAC α∠=∠=∴9090CFG ACO α∠=︒-∠=︒-，∵180FCG CFG G ∠=︒-∠-∠，即180(90)290FCG ααα∠=︒-︒--=︒-，∴FCG CFG ∠=∠，∴FG =CG ，∴BM =MC =FG =CG ，又∵MH =HG ，∴BF =BM +MH -FH =FG -FH +HG ，∴BF =2HG ．（3）过O 点作OP ⊥AC ，如解图（3）∵AO 是∠BAC 的角平分线，∴点O 到AB 、AC 的距离相等， ∴ABO ADO SAB BO S AD OD==， ∵AD =2，CD =3，∴AB =AC =5， ∴5=2BO OD ，即：2=7OD BD ， ∵OP ⊥AC ， ∴52AP PC ==，12PD =， ∵BH AC ⊥， ∴OP //BH ，∴27DP OP OD DH BH BD ===， ∴7724DH DP ==， ∴154AH AD DH =+=，5-4HC DC DH ==，∵在Rt ABH中，BH==∵BAH G∠=∠，AHB GHC∠=∠，∴AHB GHC△△，∴AH BHHG CH=即：AH HC BH HG=，51544=⨯，∴HG=，由（2）得BF=2HG，∴BF=【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，涉及了相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识点，解题关键是利用同弧或等弧所对圆周角相等、直角三角形的两锐角相等找出图中角之间的关系，从而利用相似或勾股定理解题．10．（1）旋转中心为BC边的中点O，旋转方向为逆时针，旋转角度为90°；（2）可以，旋转中心为为等边△ABC三边垂直平分线的交点O，理由见解析；（3）11CD≤≤【解析】【分析】问题背景（1）根据等腰直角三角形的性质，以及旋转的性质确定即可；尝试应用（2）首先通过证明△ABD和△CAE全等说明点A和点B对应，点C和点A对应，从而作AB和AC的垂直平分线，其交点即为旋转中点；拓展创新（3）首先确定出D点的运动轨迹，然后结合点与圆的位置关系，分别讨论出CD 最长和最短时的情况，并结合勾股定理进行求解即可．【详解】解：问题背景（1）如图所示，作AO⊥BC，交BC于点O，由等腰直角三角形的性质可知：∠AOC=90°，OA=OC，∴点A是由点C绕点O逆时针旋转90°得到，同理可得，点B是由点A绕点O逆时针旋转90°得到，点D是由点E绕点O逆时针旋转90°得到，∴△ABD可以由△CAE通过旋转变换得到，旋转中心为BC边的中点O，旋转方向为逆时针，旋转角度为90°；尝试应用（2）∵△ABC 为等边三角形，∴AB =AC ，∠BAC =60°，∵∠DAC =∠DAB +∠BAC =∠AEC +∠EAC ，∠BAC =∠AEC =60°，∴∠DAB =∠ECA ，在△ABD 和△CAE 中，BDA AEC DAB ECA AB CA ∠⎪∠⎧=∠∠=⎪⎨⎩= ∴△ABD ≌△CAE (AAS )，∴△ABD 的A 、B 、D 三点的对应点分别为△CAE 的C 、A 、E 三点，则AC 、AB 分别视作两组对应点的连线，此时，如图所示，作AC 和AB 的垂直平分线交于点O ，∵△ABC 为等边三角形，∴由等边三角形的性质可知，OC =OA =OB ，∠AOC =120°，∴△ABD 可以由△CAE 通过旋转变换得到，旋转中心为为等边△ABC 三边垂直平分线的交点O ；拓展创新（3）由（1）知，在直线l 旋转的过程中，总有∠ADB =90°，∴点D 的运动轨迹为以AB 为直径的圆，如图，取AB 的中点P ，连接CP ，交⊙P 于点Q ，则当点D 在CP 的延长线时，CD 的长度最大，当点D 与Q 点重合时，CD 的长度最小，即CQ 的长度，∵AB =AC ，AB =2，∴AP =1，AC =2，在Rt △APC 中，225CP AP AC =+=，由圆的性质，PD =AP =1，∴PD =PQ =1，∴51CD CP PD =+=+，51CQ CP PQ =-=-，∴CD 的长的取值范围为：5151CD -≤≤+．【点睛】本题主要考查旋转三要素的确定，以及旋转的性质，主要涉及等腰直角三角形和等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及动点最值问题，掌握旋转的性质，确定出动点的轨迹，熟练运用圆的相关知识点是解题关键．11．（1）正方形；（2）α+β=180°；（3）α=96°；（4）能，α的值为120°，AP 的长为221．【解析】【分析】（1）由旋转的性质得到AO =AO ′，∠OAO ′=90°，由菱形的性质得到∠POA =∠AO ′P =90°，可以推出四边形AOPO ′为正方形；（2）利用旋转的性质推出∠AEP +∠AEG =∠AEP +∠ABD =180°，再结合四边形的内角和即可推出结论；（3）结合已知条件可分别先求出各部分角度，然后结合旋转的性质推出∠BPG 的度数，再结合（2）的结论求解即可；（4）利用勾股定理即可求得AO 的长，根据菱形的性质推出BD 是AC 的垂直平分线，证明△PAC 是等边三角形，即可求解．【详解】：（1）当α=90°时，四边形AOPO ′的形状为正方形．∵菱形AEFG 是菱形ABCD 旋转得到的，且点O ，O ′是对角线的交点，∴AO=AO′，∠OAO′=90°，∠POA=∠AO′P=90°，∴四边形AOPO′为正方形，故答案为：正方形；（2）由题意△BAD≌△EAG，∴∠ABD=∠AEG，∵射线BD，GE交于点P，∴∠AEP+∠AEG=∠AEP+∠ABD=180°，在四边形ABPE中，∠BAE+∠BPG=360°-（∠AEP+∠ABD）=180°，∴∠BAE=a，∠BPG=β，∴α+β=180°；（3）由菱形的性质知，AB=AD，△ABD为等腰三角形，∴当∠BAD=42°时，∠ABD=∠ADB=69°，∵PA=PB，∴∠ABP=∠BAP=69°，∴∠BPA=42°，∵AO=AO′，∴PA平分∠BPG，即：∠BPA=∠GPA=42°，∴∠BPG=84°，即：β=84°，由①知：α +β=180°，∴α=180°-84°=96°；（4）能，理由如下：连接PA，∵四边形ABCD 是菱形，且对角线交点为O ，AB =5，BD =4，∴BO =DO =2，AO =CO ，∠BOA =90°，∴AO =CO 2221AB BO -=∴AC 21 同理：21,AF 由旋转对称性可得,PC PF =∴ 当30CPB ∠=︒时，2221,PC CO PF ===∴ 四边形AFPC 是菱形，∵四边形ABCD 是菱形，∴BD 是AC 的垂直平分线，∴PC =PA ，∴△PAC 是等边三角形，∴PA =PC 21PAC =60°，∴∠CAF =120°，即α的值为120°，AP 的长为21【点睛】本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质等，解答时灵活运用菱形的性质和旋转变化的性质是解题关键．12．(1)y =3x -3；(2)（-2，3）；(3)Q 的坐标为（-72，0）或（0，74）或（0，132） 【解析】【分析】（1）根据算术平方根的非负性及偶次方的非负性得到a +3=0，p -1=0，求出a ，p ，得到点P ，A 的坐标，设直线AP 的解析式为y=kx+b ，利用待定系数法求出函数解析式；（2）过M 作MD交x 轴于D ，连接AD ，由MD ，△MAP 的面积等于6，顶点△DAP 的面积等于6，求出DP ，得到点D 坐标，求出直线DM 的解析式，即可求出M 的坐标；（3）设B （t ，3t -3），分三种情况，①当点Q 在轴负半轴时，过B 作BE ⊥x 轴于E ，证明△BEQ ≌△QNC （AAS ），得到O Q=QE-OE=ON+QN ，即4-t =2+3-3t ，求出t 值即可；②当Q在y轴正半轴上时，过C作CF⊥y轴于F，过B作BG⊥y轴于G，证明△CQF≌△QBG（AAS），得到O Q=OG-QG=OF-QF，即3t-3-2=4-t，求出t即可；③当Q在y轴正半轴上时，过点C作CF⊥y轴于F，过B作BT⊥y轴于T，同②可证△CFQ≌△QTB（AAS），得到OQ=OT+QT=OF+QF，即3t-3+2=4+t，求出t值即可．(1)解：∵+（p﹣1）2＝0．∴a+3=0，p-1=0，解得a=-3，p=1，∴P(1,0)，A(0,-3)，设直线AP的解析式为y=kx+b，∴，解得，∴直线AP的解析式为y=3x-3；(2)解：过M作MD交x轴于D，连接AD，∵MD，△MAP的面积等于6，∴△DAP的面积等于6，∴，即，∴DP=4，∴D（-3，0）设直线DM的解析式为y=3x+c，则，∴c=9，∴直线DM的解析式为y=3x+9，令x=-2，得y=3，∴M（-2，3）；(3)解：存在设B（t，3t-3），。
初三中考数学压轴题精选100题(含答案)
初三中考数学压轴题精选100题（含答案）一、中考压轴题1．在△ABC中，AB＝BC，将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转得△A1B1C1，使点C1落在直线BC上（点C1与点C不重合），（1）如图，当∠C＞60°时，写出边AB1与边CB的位置关系，并加以证明；（2）当∠C＝60°时，写出边AB1与边CB的位置关系（不要求证明）；（3）当∠C＜60°时，请你在如图中用尺规作图法作出△AB1C1（保留作图痕迹，不写作法），再猜想你在（1）、（2）中得出的结论是否还成立并说明理由．【分析】（1）AB1∥BC．因为等腰三角形，两底角相等，再根据平行线的判定，内错角相等两直线平行，可证明两直线平行．（2）当∠C＝60°时，写出边AB1与边CB的位置关系也是平行，证明方法同（1）题．（3）成立，根据旋转变换的性质画出图形．利用三角形全等即可证明．【解答】解：（1）AB1∥BC．证明：由已知得△ABC≌△AB1C1，∴∠BAC＝∠B1AC1，∠B1AB＝∠C1AC，∵AC1＝AC，∴∠AC1C＝∠ACC1，∵∠C1AC+∠AC1C+∠ACC1＝180°，∴∠C1AC＝180°﹣2∠ACC1，同理，在△ABC中，∵BA＝BC，∴∠ABC＝180°﹣2∠ACC1，∴∠ABC＝∠C1AC＝∠B1AB，∴AB1∥BC．（5分）（2）如图1，∠C＝60°时，AB1∥BC．（7分）（3）如图，当∠C＜60°时，（1）、（2）中的结论还成立．证明：显然△ABC≌△AB1C1，∴∠BAC＝∠B1AC1，∴∠B1AB＝∠C1AC，∵AC1＝AC，∴∠AC1C＝∠ACC1，∵∠C1AC+∠AC1C+∠ACC1＝180°，∴∠C1AC＝180°﹣2∠ACC1，同理，在△ABC中，∵BA＝BC，∴∠ABC＝180°﹣2∠ACC1，∴∠ABC＝∠C1AC＝∠B1AB，∴AB1∥BC．（13分）【点评】考查图形的旋转，等腰三角形的性质，平行线的判定．本题实质是考查对图形旋转特征的理解，旋转前后的图形是全等的．2．我们学习了利用函数图象求方程的近似解，例如：把方程2x﹣1＝3﹣x的解看成函数y ＝2x﹣1的图象与函数y＝3﹣x的图象交点的横坐标．如图，已画出反比例函数y＝在第一象限内的图象，请你按照上述方法，利用此图象求方程x2﹣x﹣1＝0的正数解．（要求画出相应函数的图象；求出的解精确到0.1）【分析】根据题意可知，方程x2﹣x﹣1＝0的解可看做是函数y＝和y＝x﹣1的交点坐标，所以根据图象可知方程x2﹣x﹣1＝0的正数解约为1.1．【解答】解：∵x≠0，∴将x2﹣x﹣1＝0两边同时除以x，得x﹣1﹣＝0，即＝x﹣1，把x2﹣x﹣1＝0的正根视为由函数y＝与函数y＝x﹣1的图象在第一象限交点的横坐标．如图：∴正数解约为1.1．【点评】主要考查了反比例函数和一元二次方程之间的关系．一元二次方程的解都可化为一个反比例函数和一次函数的交点问题求解．3．汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设．某汽车销售公司2005年盈利1500万元，到2007年盈利2160万元，且从2005年到2007年，每年盈利的年增长率相同．（1）该公司2006年盈利多少万元？（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2008年盈利多少万元？【分析】（1）需先算出从2005年到2007年，每年盈利的年增长率，然后根据2005年的盈利，算出2006年的利润；（2）相等关系是：2008年盈利＝2007年盈利×每年盈利的年增长率．【解答】解：（1）设每年盈利的年增长率为x，根据题意得1500（1+x）2＝2160解得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）∴1500（1+x）＝1500（1+0.2）＝1800答：2006年该公司盈利1800万元．（2）2160（1+0.2）＝2592答：预计2008年该公司盈利2592万元．【点评】本题的关键是需求出从2005年到2007年，每年盈利的年增长率．等量关系为：2005年盈利×（1+年增长率）2＝2160．4．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝6，AC＝4，D是AB边上一点，P是优弧BAC的中点，连接P A、PB、PC、PD．（1）当BD的长度为多少时，△P AD是以AD为底边的等腰三角形？并证明；（2）在（1）的条件下，若cos∠PCB＝，求P A的长．【分析】（1）根据等弧对等弦以及全等三角形的判定和性质进行求解；（2）过点P作PE⊥AD于E．根据锐角三角函数的知识和垂径定理进行求解．【解答】解：（1）当BD＝AC＝4时，△P AD是以AD为底边的等腰三角形．∵P是优弧BAC的中点，∴＝．∴PB＝PC．又∵∠PBD＝∠PCA（圆周角定理），∴当BD＝AC＝4，△PBD≌△PCA．∴P A＝PD，即△P AD是以AD为底边的等腰三角形．（2）过点P作PE⊥AD于E，由（1）可知，当BD＝4时，PD＝P A，AD＝AB﹣BD＝6﹣4＝2，则AE＝AD＝1．∵∠PCB＝∠P AD（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），∴cos∠P AD＝cos∠PCB＝，∴P A＝．【点评】综合运用了等弧对等弦的性质、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数的知识以及垂径定理．5．广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售．（1）求平均每次下调的百分率．（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？【分析】（1）根据题意设平均每次下调的百分率为x，列出一元二次方程，解方程即可得出答案；（2）分别计算两种方案的优惠价格，比较后发现方案①更优惠．【解答】解：（1）设平均每次下调的百分率为x，则6000（1﹣x）2＝4860，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（舍去），故平均每次下调的百分率为10%；（2）方案①购房优惠：4860×100×（1﹣0.98）＝9720（元）；方案②可优惠：80×100＝8000（元）．故选择方案①更优惠．【点评】本题主要考查一元二次方程的实际应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，属于中档题．6．如图，已知直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点，点B、C把三等分，连接PC并延长PC交y轴于点D（0，3）．（1）求证：△POD≌△ABO；（2）若直线l：y＝kx+b经过圆心P和D，求直线l的解析式．【分析】（1）首先连接PB，由直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点，点B、C把三等分，可求得∠APB＝∠DPO＝60°，∠ABO＝∠POD＝90°，即可得△P AB是等边三角形，可得AB＝OP，然后由ASA，即可判定：△POD≌△ABO；（2）易求得∠PDO＝30°，由OP＝OD•tan30°，即可求得点P的坐标，然后利用待定系数法，即可求得直线l的解析式．【解答】（1）证明：连接PB，∵直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点，点B、C把三等分，∴∠APB＝∠DPO＝×180°＝60°，∠ABO＝∠POD＝90°，∵P A＝PB，∴△P AB是等边三角形，∴AB＝P A，∠BAO＝60°，∴AB＝OP，∠BAO＝∠OPD，在△POD和△ABO中，∴△POD≌△ABO（ASA）；（2）解：由（1）得△POD≌△ABO，∴∠PDO＝∠AOB，∵∠AOB＝∠APB＝×60°＝30°，∴∠PDO＝30°，∴OP＝OD•tan30°＝3×＝，∴点P的坐标为：（﹣，0）∴，解得：，∴直线l的解析式为：y＝x+3．【点评】此题考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质以及待定系数法求一次函数的解析式．此题综合性较强，难度适中，注意准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．7．如图1，在直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以OA为边在第四象限内作等边△AOB，点C为x轴的正半轴上一动点（OC＞1），连接BC，以BC为边在第四象限内作等边△CBD，直线DA交y轴于点E．（1）试问△OBC与△ABD全等吗？并证明你的结论；（2）随着点C位置的变化，点E的位置是否会发生变化？若没有变化，求出点E的坐标；若有变化，请说明理由；（3）如图2，以OC为直径作圆，与直线DE分别交于点F、G，设AC＝m，AF＝n，用含n的代数式表示m．【分析】（1）由等边三角形的性质知，OBA＝∠CBD＝60°，易得∠OBC＝∠ABD，又有OB＝AB，BC＝BD故有△OBC≌△ABD；（2）由1知，△OBC≌△ABD⇒∠BAD＝∠BOC＝60°，可得∠OAE＝60°，在Rt△EOA 中，有EO＝OA•tan60°＝，即可求得点E的坐标；（3）由相交弦定理知1•m＝n•AG，即AG＝，由切割线定理知，OE2＝EG•EF，在Rt△EOA中，由勾股定理知，AE＝＝2，故建立方程：（）2＝（2﹣）（2+n），就可求得m与n关系．【解答】解：（1）两个三角形全等．∵△AOB、△CBD都是等边三角形，∴OBA＝∠CBD＝60°，∴∠OBA+∠ABC＝∠CBD+∠ABC，即∠OBC＝∠ABD；∵OB＝AB，BC＝BD，△OBC≌△ABD；（2）点E位置不变．∵△OBC≌△ABD，∴∠BAD＝∠BOC＝60°，∠OAE＝180°﹣60°﹣60°＝60°；在Rt△EOA中，EO＝OA•tan60°＝，或∠AEO＝30°，得AE＝2，∴OE＝∴点E的坐标为（0，）；（3）∵AC＝m，AF＝n，由相交弦定理知1•m＝n•AG，即AG＝；又∵OC是直径，∴OE是圆的切线，OE2＝EG•EF，在Rt△EOA中，AE＝＝2，（）2＝（2﹣）（2+n）即2n2+n﹣2m﹣mn＝0解得m＝．【点评】命题立意：考查圆的相交弦定理、切线定理、三角形全等等知识，并且将这些知识与坐标系联系在一起，考查综合分析、解决问题的能力．8．我国年人均用纸量约为28公斤，每个初中毕业生离校时大约有10公斤废纸；用1吨废纸造出的再生好纸，所能节约的造纸木材相当于18棵大树，而平均每亩森林只有50至80棵这样的大树．（1）若我市2005年4万名初中毕业生能把自己离校时的全部废纸送到回收站使之制造为再生好纸，那么最少可使多少亩森林免遭砍伐？（2）我市从2000年初开始实施天然林保护工程，大力倡导废纸回收再生，如今成效显著，森林面积大约由2003年初的50万亩增加到2005年初的60.5万亩．假设我市年用纸量的20%可以作为废纸回收、森林面积年均增长率保持不变，请你按全市总人口约为1000万计算：在从2005年初到2006年初这一年度内，我市因回收废纸所能保护的最大森林面积相当于新增加的森林面积的百分之几？（精确到1%）【分析】（1）因为每个初中毕业生离校时大约有10公斤废纸，用1吨废纸造出的再生好纸，所能节约的造纸木材相当于18棵大树，而平均每亩森林只有50至80棵这样的大树，所以有40000×10÷1000×18÷80，计算出即可求出答案；（2）森林面积大约由2003年初的50万亩增加到2005年初的60.5万亩，可先求出森林面积年均增长率，进而求出2005到2006年新增加的森林面积，而因回收废纸所能保护的最大森林面积＝1000×10000×28×20%÷1000×18÷50，然后进行简单的计算即可求出答案．【解答】解：（1）4×104×10÷1000×18÷80＝90（亩）．答：若我市2005年4万名初中毕业生能把自己离校时的全部废纸送到回收站使之制造为再生好纸，那么最少可使90亩森林免遭砍伐．（2）设我市森林面积年平均增长率为x，依题意列方程得50（1+x）2＝60.5，解得x1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去），1000×104×28×20%÷1000×18÷50＝20160，20160÷（605000×10%）≈33%．答：在从2005年初到2006年初这一年度内，我市因回收废纸所能保护的最大森林面积相当于新增加的森林面积的33%．【点评】本题以保护环境为主题，考查了增长率问题，阅读理解题意，并从题目中提炼出平均增长率的数学模型并解答的能力；解答时需仔细分析题意，利用方程即可解决问题．9．一个不透明的口袋里有红、黄、绿三种颜色的球（除颜色外其余都相同），其中红球有2个，黄球有1个，任意摸出一个黄球的概率为．（1）试求口袋里绿球的个数；（2）若第一次从口袋中任意摸出一球（不放回），第二次任意摸出一球，请你用树状图或列表法，求出两次都摸到红球的概率．【分析】（1）根据概率的求解方法，利用方程求得绿球个数；（2）此题需要两步完成，所以采用树状图法或者列表法都比较简单，解题时要注意是放回实验还是不放回实验，此题为不放回实验．【解答】解：（1）设口袋里绿球有x个，则，解得x＝1．故口袋里绿球有1个．（2）红一红二黄绿红一红二，红一黄，红一绿，红一红二红一，红二黄，红一绿，红二黄红一，黄红二，黄绿，黄绿红一，绿红二，绿黄，绿故，P（两次都摸到红球）＝．【点评】（1）解题时要注意应用方程思想；（2）列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．10．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点P、Q分别是AB边和CD边上的动点，点P从点A向点B运动，点Q从点C向点D运动，且保持AP＝CQ．设AP＝x．（1）当PQ∥AD时，求x的值；（2）当线段PQ的垂直平分线与BC边相交时，求x的取值范围；（3）当线段PQ的垂直平分线与BC相交时，设交点为E，连接EP、EQ，设△EPQ的面积为S，求S关于x的函数关系式，并写出S的取值范围．【分析】（1）根据已知条件，证明四边形APQD是矩形，再根据矩形的性质和AP＝CQ 求x即可；（2）连接EP、EQ，则EP＝EQ，设BE＝y，列出等式（8﹣x）2+y2＝（6﹣y）2+x2然后根据函数的性质来求x的取值范围；（3）由图形的等量关系列出方程，再根据函数的性质来求最值．【解答】解：（1）当PQ∥AD时，则∠A＝∠APQ＝90°，∠D＝∠DQP＝90°，又∵AB∥CD，∴四边形APQD是矩形，∴AP＝QD，∵AP＝CQ，AP＝CD＝，∴x＝4．（2）如图，连接EP、EQ，则EP＝EQ，设BE＝y．∴（8﹣x）2+y2＝（6﹣y）2+x2，∴y＝．∵0≤y≤6，∴0≤≤6，∴≤x≤．（3）S△BPE＝•BE•BP＝••（8﹣x）＝，S△ECQ＝＝•（6﹣）•x＝，∵AP＝CQ，∴S BPQC＝，∴S＝S BPQC﹣S△BPE﹣S△ECQ＝24﹣﹣，整理得：S＝＝（x﹣4）2+12（），∴当x＝4时，S有最小值12，当x＝或x＝时，S有最大值．∴12≤S≤．【点评】解答本题时，涉及到了矩形的判定、矩形的性质、勾股定理以及二次函数的最值等知识点，这是一道综合性比较强的题目，所以在解答题目时，一定要把各个知识点融会贯通，这样解题时才会少走弯路．11．某公司经营杨梅业务，以3万元/吨的价格向农户收购杨梅后，分拣成A、B两类，A 类杨梅包装后直接销售；B类杨梅深加工后再销售．A类杨梅的包装成本为1万元/吨，根据市场调查，它的平均销售价格y（单位：万元/吨）与销售数量x（x≥2）之间的函数关系如图；B类杨梅深加工总费用s（单位：万元）与加工数量t（单位：吨）之间的函数关系是s＝12+3t，平均销售价格为9万元/吨．（1）直接写出A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式；（2）第一次，该公司收购了20吨杨梅，其中A类杨梅有x吨，经营这批杨梅所获得的毛利润为w万元（毛利润＝销售总收入﹣经营总成本）．①求w关于x的函数关系式；②若该公司获得了30万元毛利润，问：用于直销的A类杨梅有多少吨？（3）第二次，该公司准备投入132万元资金，请设计一种经营方案，使公司获得最大毛利润，并求出最大毛利润．【分析】（1）这是一个分段函数，分别求出其函数关系式；（2）①当2≤x＜8时及当x≥8时，分别求出w关于x的表达式．注意w＝销售总收入﹣经营总成本＝w A+w B﹣3×20；②若该公司获得了30万元毛利润，将30万元代入①中求得的表达式，求出A类杨梅的数（3）本问是方案设计问题，总投入为132万元，这笔132万元包括购买杨梅的费用+A类杨梅加工成本+B类杨梅加工成本．共购买了m吨杨梅，其中A类杨梅为x吨，B类杨梅为（m﹣x）吨，分别求出当2≤x＜8时及当x≥8时w关于x的表达式，并分别求出其最大值．【解答】解：（1）①当2≤x＜8时，如图，设直线AB解析式为：y＝kx+b，将A（2，12）、B（8，6）代入得：，解得，∴y＝﹣x+14；②当x≥8时，y＝6．所以A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式为：y＝；（2）设销售A类杨梅x吨，则销售B类杨梅（20﹣x）吨．①当2≤x＜8时，w A＝x（﹣x+14）﹣x＝﹣x2+13x；w B＝9（20﹣x）﹣[12+3（20﹣x）]＝108﹣6x∴w＝w A+w B﹣3×20＝（﹣x2+13x）+（108﹣6x）﹣60＝﹣x2+7x+48；当x≥8时，w A＝6x﹣x＝5x；w B＝9（20﹣x）﹣[12+3（20﹣x）]＝108﹣6x∴w＝w A+w B﹣3×20＝（5x）+（108﹣6x）﹣60＝﹣x+48．∴w关于x的函数关系式为：w＝．②当2≤x＜8时，﹣x2+7x+48＝30，解得x1＝9，x2＝﹣2，均不合题意；当x≥8时，﹣x+48＝30，解得x＝18．∴当毛利润达到30万元时，直接销售的A类杨梅有18吨．（3）设该公司用132万元共购买了m吨杨梅，其中A类杨梅为x吨，B类杨梅为（m﹣x）吨，则购买费用为3m万元，A类杨梅加工成本为x万元，B类杨梅加工成本为[12+3（m﹣x）]∴3m+x+[12+3（m﹣x）]＝132，化简得：x＝3m﹣60．①当2≤x＜8时，w A＝x（﹣x+14）﹣x＝﹣x2+13x；w B＝9（m﹣x）﹣[12+3（m﹣x）]＝6m﹣6x﹣12∴w＝w A+w B﹣3×m＝（﹣x2+13x）+（6m﹣6x﹣12）﹣3m＝﹣x2+7x+3m﹣12．将3m＝x+60代入得：w＝﹣x2+8x+48＝﹣（x﹣4）2+64∴当x＝4时，有最大毛利润64万元，此时m＝，m﹣x＝；②当x≥8时，w A＝6x﹣x＝5x；w B＝9（m﹣x）﹣[12+3（m﹣x）]＝6m﹣6x﹣12∴w＝w A+w B﹣3×m＝（5x）+（6m﹣6x﹣12）﹣3m＝﹣x+3m﹣12．将3m＝x+60代入得：w＝48∴当x＞8时，有最大毛利润48万元．综上所述，购买杨梅共吨，其中A类杨梅4吨，B类吨，公司能够获得最大毛利润，最大毛利润为64万元．【点评】本题是二次函数、一次函数的综合应用题，难度较大．解题关键是理清售价、成本、利润三者之间的关系．涉及到分段函数时，注意要分类讨论．12．⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，如图（1），连接O2O1并延长交⊙O1于P点，连接P A、PB并分别延长交⊙O2于C、D两点，连接CO2并延长交⊙O2于E点．已知⊙O2的半径为R，设∠CAD＝α．（1）求CD的长（用含R、α的式子表示）；（2）试判断CD与PO1的位置关系，并说明理由；（3）设点P’为⊙O1上（⊙O2外）的动点，连接P’A、P’B并分别延长交⊙O2于C’、D’，请你探究∠C’AD’是否等于α？C’D’与P’O1的位置关系如何？并说明（注：图（2）与图（3）中⊙O1和⊙O2的大小及位置关系与图（1）完全相同，若你感到继续在图（1）中探究问题（3），图形太复杂，不便于观察，可以选择图（2）或图（3）中的一图说明理由）．【分析】（1）作⊙O2的直径CE，连接DE．根据圆周角定理的推论，得∠E＝∠CAD＝α，再利用解直角三角形的知识求解；（2）连接AB，延长PO1与⊙O1相交于点E，连接AE．根据圆内接四边形的性质，得∠ABP′＝∠C′，根据圆周角定理的推论，得∠ABP′＝∠E，∠EAP′＝90°，从而证明∠AP′E+∠C′＝90°，则CD与PO1的位置关系是互相垂直；（3）根据同弧所对的圆周角相等，则说明∠C’AD’等于α；根据（2）中的证明过程，则可以证明C’D’与P’O1的位置关系是互相垂直．【解答】解：（1）连接DE．根据圆周角定理的推论，得∠E＝∠CAD＝α．∵CE是直径，∴∠CDE＝90°．∴CD＝CE•sin E＝2R sinα；（2）CD与PO1的位置关系是互相垂直．理由如下：连接AB，延长PO1与⊙O1相交于点E，连接AE．∵四边形BAC′D′是圆内接四边形，∴∠ABP′＝∠C′．∵P′E是直径，∴∠EAP′＝90°，∴∠AP′E+∠E＝90°．又∠ABP′＝∠E，∴∠AP′E+∠C′＝90°，即CD与PO1的位置关系是互相垂直；（3）根据同弧所对的圆周角相等，则说明∠C’AD’等于α；根据（2）中的证明过程，则可以证明C’D’与P’O1的位置关系是互相垂直．【点评】此题综合运用了圆周角定理及其推论、直角三角形的性质、圆内接四边形的性质．注意：连接两圆的公共弦、构造直径所对的圆周角都是圆中常见的辅助线．13．已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，点O1在⊙O2上，C为⊙O2上一点（不与A，B，O1重合），直线CB与⊙O1交于另一点D．（1）如图（1），若AD是⊙O1的直径，AC是⊙O2的直径，求证：AC＝CD；（2）如图（2），若C是⊙O1外一点，求证：O1C丄AD；（3）如图（3），若C是⊙O1内的一点，判断（2）中的结论是否成立？【分析】（1）连接C01，利用直径所对圆周角等于90度，以及垂直平分线的性质得出即可；（2）根据已知得出四边形AEDB内接于⊙O1，得出∠ABC＝∠E，再利用＝，得出∠E＝∠AO1C，进而得出CO1∥ED即可求出；（3）根据已知得出∠B＝∠EO1C，又∠E＝∠B，即可得出∠EO1C＝∠E，得出CO1∥ED，即可求出．【解答】（1）证明：连接C01∵AC为⊙O2直径∴∠AO1C＝90°即CO1⊥AD，∵AO1＝DO1∴DC＝AC（垂直平分线的性质）；（2）证明：连接AO1，连接AB，延长AO1交⊙O1于点E，连接ED，∵四边形AEDB内接于⊙O1，∴∠E+∠ABD＝180°，∵∠ABC+∠ABD＝180°，∴∠ABC＝∠E，又∵＝，∴∠ABC＝∠AO1C，∴∠E＝∠AO1C，∴CO1∥ED，又AE为⊙O1的直径，∴ED⊥AD，∴O1C⊥AD，（3）（2）中的结论仍然成立．证明：连接AO1，连接AB，延长AO1交⊙O1于点E，连接ED，∵∠B+∠AO1C＝180°，∠EO1C+∠AO1C═180°，∴∠B＝∠EO1C，又∵∠E＝∠B，∴∠EO1C＝∠E，∴CO1∥ED，又ED⊥AD，∴CO1⊥AD．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及相交两圆的性质和圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形的性质得出对应角之间的关系是解决问题的关键．14．如图，已知△BEC是等边三角形，∠AEB＝∠DEC＝90°，AE＝DE，AC，BD的交点为O．（1）求证：△AEC≌△DEB；（2）若∠ABC＝∠DCB＝90°，AB＝2 cm，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）在△AEC和△DEB中，已知AE＝DE，BE＝CE，且夹角相等，根据边角边可证全等．（2）由图可知，在连接EO并延长EO交BC于点F，连接AD之后，整个图形是一个以EF所在直线对称的图形．即△AEO和△DEO面积相等，只要求出其中一个即可，而三角形AEO面积＝•OE•FB，所以解题中心即为求出OE和FB，有（1）中结论和已知条件即可求解．【解答】（1）证明：∵∠AEB＝∠DEC＝90°，∴∠AEB+∠BEC＝∠DEC+∠BEC，即∠AEC＝∠DEB，∵△BEC是等边三角形，∴CE＝BE，又AE＝DE，∴△AEC≌△DEB．（2）解：连接EO并延长EO交BC于点F，连接AD．由（1）知AC＝BD．∵∠ABC＝∠DCB＝90°，∴∠ABC+∠DCB＝180°，∴AB∥DC，AB＝＝CD，∴四边形ABCD为平行四边形且是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD，又∵BE＝CE，∴OE所在直线垂直平分线段BC，∴BF＝FC，∠EFB＝90°．∴OF＝AB＝×2＝1，∵△BEC是等边三角形，∴∠EBC＝60°．在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝90°﹣60°＝30°，∴BE＝AB•cos30°＝，在Rt△BFE中，∠BFE＝90°，∠EBF＝60°，∴BF＝BE•cos60°＝，EF＝BE•sin60°＝，∴OE＝EF﹣OF＝＝，∵AE＝ED，OE＝OE，AO＝DO，∴△AOE≌△DOE．∴S△AOE＝S△DOE∴S阴影＝2S△AOE＝2וEO•BF＝2×××＝（cm2）．【点评】考查综合应用等边三角形、等腰三角形、解直角三角形、直角三角形性质，进行逻辑推理能力和运算能力．15．经统计分析，某市跨河大桥上的车流速度v（千米/小时）是车流密度x（辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到220辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为80千米/小时，研究表明：当20≤x≤220时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（1）求大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度；（2）在交通高峰时段，为使大桥上的车流速度大于40千米/小时且小于60千米/小时，应控制大桥上的车流密度在什么范围内？（3）车流量（辆/小时）是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量＝车流速度×车流密度．求大桥上车流量y的最大值．【分析】（1）当20≤x≤220时，设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v＝kx+b，根据题意的数量关系建立方程组求出其解即可；（2）由（1）的解析式建立不等式组求出其解即可；（3）设车流量y与x之间的关系式为y＝vx，当x＜20和20≤x≤220时分别表示出函数关系由函数的性质就可以求出结论．【解答】解：（1）设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v＝kx+b，由题意，得，解得：，∴当20≤x≤220时，v＝﹣x+88，当x＝100时，v＝﹣×100+88＝48（千米/小时）；（2）由题意，得，解得：70＜x＜120．∴应控制大桥上的车流密度在70＜x＜120范围内；（3）设车流量y与x之间的关系式为y＝vx，当0≤x≤20时y＝80x，∴k＝80＞0，∴y随x的增大而增大，∴x＝20时，y最大＝1600；当20≤x≤220时y＝（﹣x+88）x＝﹣（x﹣110）2+4840，∴当x＝110时，y最大＝4840．∵4840＞1600，∴当车流密度是110辆/千米，车流量y取得最大值是每小时4840辆．【点评】本题考查了车流量＝车流速度×车流密度的运用，一次函数的解析式的运用，一元一次不等式组的运用，二次函数的性质的运用，解答时求出函数的解析式是关键．16．如图，菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”．在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等．（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为m°和n°，将菱形的“接近度”定义为|m﹣n|，于是|m﹣n|越小，菱形越接近于正方形．①若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于40；②当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形．（2）设矩形相邻两条边长分别是a和b（a≤b），将矩形的“接近度”定义为|a﹣b|，于是|a﹣b|越小，矩形越接近于正方形．你认为这种说法是否合理？若不合理，给出矩形的“接近度”一个合理定义．【分析】（1）根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，相似图形的“接近度”相等．所以若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于|m﹣n|；当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形；（2）不合理，举例进行说明．【解答】解：（1）①∵内角为70°，∴与它相邻内角的度数为110°．∴菱形的“接近度”＝|m﹣n|＝|110﹣70|＝40．②当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形．（2）不合理．例如，对两个相似而不全等的矩形来说，它们接近正方形的程度是相同的，但|a﹣b|却不相等．合理定义方法不唯一．如定义为，越接近1，矩形越接近于正方形；越大，矩形与正方形的形状差异越大；当时，矩形就变成了正方形，即只有矩形的越接近1，矩形才越接近正方形．【点评】正确理解“接近度”的意思，矩形的“接近度”|a﹣b|越小，矩形越接近于正方形．这是解决问题的关键．17．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1，0）①画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；②画出将△ABC绕原点O按逆时针旋转90°所得的△A2B2C2；③△A1B1C1与△A2B2C2成轴对称图形吗？若成轴对称图形，画出所有的对称轴；④△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称图形吗？若成中心对称图形，写出所有的对称中心的坐标．【分析】（1）将三角形的各顶点，向x轴作垂线并延长相同长度得到三点的对应点，顺次连接；（2）将三角形的各顶点，绕原点O按逆时针旋转90°得到三点的对应点．顺次连接各对应点得△A2B2C2；（3）从图中可发现成轴对称图形，根据轴对称图形的性质画出对称轴即连接两对应点的线段，做它的垂直平分线；（4）成中心对称图形，画出两条对应点的连线，交点就是对称中心．【解答】解：如下图所示：（3）成轴对称图形，根据轴对称图形的性质画出对称轴即连接两对应点的线段，作它的垂直平分线，或连接A1C1，A2C2的中点的连线为对称轴．（4）成中心对称，对称中心为线段BB2的中点P，坐标是（，）．【点评】本题综合考查了图形的变换，在图形的变换中，关键是找到图形的对应点．18．如图，矩形ABCD的边AD、AB分别与⊙O相切于点E、F，（1）求的长；（2）若，直线MN分别交射线DA、DC于点M、N，∠DMN＝60°，将直线MN沿射线DA方向平移，设点D到直线的距离为d，当时1≤d≤4，请判断直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由．【分析】（1）连接OE、OF，利用相切证明四边形AFOE是正方形，再根据弧长公式求弧长；（2）先求出直线M1N1与圆相切时d的值，结合1≤d≤4，划分d的范围，分类讨论．【解答】解：（1）连接OE、OF，∵矩形ABCD的边AD、AB分别与⊙O相切于点E、F，∴∠A＝90°，∠OEA＝∠OF A＝90°∴四边形AFOE是正方形∴∠EOF＝90°，OE＝AE＝∴的长＝＝π．（2）如图，将直线MN沿射线DA方向平移，当其与⊙O相切时，记为M1N1，切点为R，交AD于M1，交BC于N1，连接OM1、OR，∵M1N1∥MN∴∠DM1N1＝∠DMN＝60°∴∠EM1N1＝120°∵MA、M1N1切⊙O于点E、R∴∠EM1O＝∠EM1N1＝60°在Rt△EM1O中，EM1＝＝＝1∴DM1＝AD﹣AE﹣EM1＝+5﹣﹣1＝4．过点D作DK⊥M1N1于K在Rt△DM1K中DK＝DM1×sin∠DM1K＝4×sin∠60°＝2即d＝2，∴当d＝2时，直线MN与⊙O相切，当1≤d＜2时，直线MN与⊙O相离，当直线MN平移到过圆心O时，记为M2N2，点D到M2N2的距离d＝DK+OR＝2+＝3＞4，∴当2＜d≤4时，MN直线与⊙O相交．【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d 与圆半径大小关系完成判定．19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，Rt△BAP中，∠BAP＝90°，已知∠CBO＝∠ABP，BP交AC于点O，E为AC上一点，且AE＝OC．（1）求证：AP＝AO；（2）求证：PE⊥AO；（3）当AE＝AC，AB＝10时，求线段BO的长度．【分析】（1）根据等角的余角相等证明即可；（2）过点O作OD⊥AB于D，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CO＝DO，利用“SAS”证明△APE和△OAD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AEP＝∠ADO＝90°，从而得证；（3）设C0＝3k，AC＝8k，表示出AE＝CO＝3k，AO＝AP＝5k，然后利用勾股定理列式求出PE＝4k，BC＝BD＝10﹣4k，再根据相似三角形对应边成比例列式求出k＝1然后在Rt △BDO中，利用勾股定理列式求解即可．【解答】（1）证明：∵∠C＝90°，∠BAP＝90°∴∠CBO+∠BOC＝90°，∠ABP+∠APB＝90°，又∵∠CBO＝∠ABP，∴∠BOC＝∠APB，∵∠BOC＝∠AOP，∴∠AOP＝∠APB，∴AP＝AO；（2）证明：如图，过点O作OD⊥AB于D，∵∠CBO＝∠ABP，∴CO＝DO，∵AE＝OC，∴AE＝OD，∵∠AOD+∠OAD＝90°，∠P AE+∠OAD＝90°，∴∠AOD＝∠P AE，在△AOD和△P AE中，，∴△AOD≌△P AE（SAS），∴∠AEP＝∠ADO＝90°∴PE⊥AO；（3）解：设AE＝OC＝3k，∵AE＝AC，∴AC＝8k，∴OE＝AC﹣AE﹣OC＝2k，∴OA＝OE+AE＝5k．由（1）可知，AP＝AO＝5k．如图，过点O作OD⊥AB于点D，∵∠CBO＝∠ABP，∴OD＝OC＝3k．在Rt△AOD中，AD＝＝＝4k．∴BD＝AB﹣AD＝10﹣4k．∵OD∥AP，∴，即解得k＝1，∵AB＝10，PE＝AD，∴PE＝AD＝4K，BD＝AB﹣AD＝10﹣4k＝6，OD＝3在Rt△BDO中，由勾股定理得：BO＝＝＝3．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，（2）作辅助线构造出过渡线段DO并得到全等三角形是解题的关键，（3）利用相似三角形对应边成比例求出k＝1是解题的关键．20．下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批改．题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室内，沿前侧内墙保留3m的空地，其他三侧内墙各保留1m的通道，当温室的长与宽各为多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2？解：设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm，根据题意，得x•2x＝288．解这个方程，得x1＝﹣12（不合题意，舍去），x2＝12所以温室的长为2×12+3+1＝28（m），宽为12+1+1＝14（m）答：当温室的长为28m，宽为14m时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2．我的结果也正确！小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中画了一条横线，并打了一个？．结果为何正确呢？（1）请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程：变化一下会怎样…（2）如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部，AB∥A′B′，AD∥A′D′，且AD：AB＝2：1，设AB与A′B′、BC与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，a、b、c、d应满足什么条件？请说明理由．。
(完整)中考数学压轴题精选及答案
一、解答题1．在△ABC中，AB = BC，∠ABC=90°．(1)如图1，已知DE⊥BC，垂足为D，若∠DBE=60°，AC=22，BD=3，求线段AE的长；(2)如图2，若点D在△ABC内部，点F是CD的中点，且∠BAD=∠CBF，求证：∠DBF=45°；(3)如图3，点A与点'A关于直线BC对称，点D是△'A AC内部一动点，∠ADC=90°．若AC=4，则线段'A D的长是否有最小值，如果有，请直接写出这个最小值；如果没有，请说明理由．2．如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙是△ABC的外接圆，连接BO并延长交边AC于点D．（1）如图1，求证：∠BAC＝2∠ABD；（2）如图2，过点B作BH⊥AC于点H，延长BH交⊙O于点G，连接OC，CG，OC交BG于点F，求证：BF＝2HG；（3）如图3，在（2）的条件下，若AD＝2，CD＝3，求线段BF的长．3．在等腰Rt ABC中，AB AC∠=︒．=，90BAC（1）如图1，D，E是等腰Rt ABC斜边BC上两动点，且45DAE∠=︒，在等腰Rt ABC 外侧作CAF BAE≅△△，连接DF．问：①DCF∠=__________度．②AED与AFD是否全等？请说明理由；③当3BE=，7CE=时，求DE的长；（2）如图2，点D是等腰Rt ABC斜边BC所在射线CB上的一动点，连接AD，以点A为直角顶点作等腰Rt ADE△（点E在点D的顺时针方向上），当4BD=，12BC=时，直接可出DE的长．4．直线y＝﹣x+6与x轴、y轴分别交于点A，点B．点P为线段AB上一动点（与点A，B不重合）．过点P作PM⊥OA于点M，以OB，OM为邻边作矩形BOMN．点Q在直线BN上，且PQ⊥OP．（1）如图1，①判断△APM的形状，并说明理由；②求证：△PNQ≌△OMP；③若∠PQN＝22.5°，直接写出点P的坐标．（2）作射线OQ交直线AB于点K，∠OPQ的角平分线交边OB于点G．若BGOG＝35，①当∠PKQ为钝角时，直接写出线段PK的长；②当∠PKQ为锐角时，直接写出BK2+AP2的值．5．在矩形ABCD中，3OA=，6AB=．分别以OA，OC边所在的直线为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系．（1）如图1，将OAC 沿对角线AC 翻折，交AB 于点P ，求点P 的坐标； （2）如图2，已知H 是AB 上一点，且32HBC S =△，OG CH ⊥于点P ，求四边形OAHP 的面积；（3）如图3，点()0,5D ，点E 是OB 上一点，且2OE BE =，M 是直线DE 上的一个动点，在x 轴上方的平面内是否存在另一个点N ，使以O 、D 、M 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，AB 是ABC 的外接圆O 的直径，点D 在半圆上，DC 与AB 交于点E ，过点C 作CF ⊥DC 交DB 的延长线于点F ，交圆O 于点G ．（1）求证：ABC ∽DCF ；（2）当∠1＝∠2，DF ＝105，AE ：EC ＝1：2时，求圆O 的半径．（3）在（2）的条件下，连接DG 交BC 于点M ，则OMB DGF S S =：△△ （直接写出答案）．7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣x 2＋bx ＋c 经过点A （4，0）、B （0，4）、C ．其对称轴l 交x 轴于点D ，交直线AB 于点F ，交抛物线于点E ．(1)求抛物线的解析式；(2)点P为直线l上的动点，求△PBC周长的最小值；(3)点N为直线AB上的一点（点N不与点F重合），在抛物线上是否存在一点M，使以点E、F、N、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于两点与y轴交于点C，点M是抛物线的顶点，抛物线的对称轴l与BC交于点D，与x轴交于点E．(1)求抛物线的对称轴及B点的坐标(2)如果，求抛物线的表达式；(3)在（2）的条件下，已知点F是该抛物线对称轴上一点，且在线段BC的下方，，求点F的坐标9．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝10，CD＝45，动点P从点A沿着A－B－C 运动，同时点Q从点D沿着D－A运动，它们同时到达终点，设点P运动的路程为x，AQ的长度为y，且2163y x=-+．（1）求AD，BC的长和四边形ABCD的面积．（2）连接PQ，设△APQ的面积为S，在P，Q的运动过程中，S是否存在最大值，若存在，求出S的最大值；若不存在，请说明理由．（3）当PQ与四边形ABCD其中一边垂直时，求所有满足要求的x的值．10．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC，点A在y轴上，点C在x轴上，其中B（﹣2，3），已知抛物线y＝﹣34x2＋bx＋c经过点A和点B．(1)求抛物线解析式；(2)如图1，点D（﹣2，﹣1）在直线BC上，点E为y轴右侧抛物线上一点，连接BE、AE，DE，若S△BDE＝4S△ABE，求E点坐标；(3)如图2，在（2）的条件下，P为射线DB上一点，作PQ⊥直线DE于点Q，连接AP，AQ，PQ，若△APQ为直角三角形，请直接写出P点坐标．11．在矩形ABCD中，点E是AD边上一点，连接BE，且∠ABE＝30°，BE＝DE，连接BD．点P从点E出发沿射线ED运动，过点P作PQ∥BD交直线BE于点Q．（1）当点P在线段ED上时（如图1），求证：BE＝PD 3；（2）若BC＝6，设PQ长为x，以P、Q、D三点为顶点所构成的三角形面积为y，求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；（3）在②的条件下，当点P运动到线段ED的中点时，连接QC，过点P作PF⊥QC，垂足为F，PF交对角线BD于点G（如图2），求线段PF的长．12．已知抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C （0，﹣3），顶点D 坐标为（1，﹣4）．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，抛物线在第四象限的图象上有一点M ，求四边形ABMC 面积的最大值及此时点M 的坐标；(3)如图2，直线CD 交x 轴于点E ，若点P 是线段EC 上的一个动点，是否存在以点P 、E 、O 为顶点的三角形与ABC ∆相似．若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，已知抛物线23y ax bx =++经过点1,0A 和点()3,0B ，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的表达式；(2)若P 是直线BC 下方的抛物线上一个动点，（不点B ，C 重合），过点P 作y 轴的平行线交直线BC 于点D ， ①求线段PD 长度的最大值．②若PBD △为直角三角形，求出P 点坐标(3)点E 为y 轴上一动点，连接AE ，BE ，形成AEB ∠，当AEB ∠的度数最大时，求点E 的坐标．14．已知等边△ABC 边长为6，D 为边AB 上一点，E 为直线AC 上一点，连接DE ，将DE 绕点D 顺时针旋转90°得到线段DF ．(1)如图1，若∠AED ＝90°，过点F 作FG ⊥AC 于点G ，求AFFG的值； (2)若AD ＝x ，AF 的最小值为y ， ①若x ＝4，求y 的值； ②直接写出y 与x 的关系式．15．如图①，Rt ABC 和Rt BDE 重叠放置在一起，∠ABC ＝∠DBE ＝90°，且AB ＝2BC ，BD ＝2BE ．(1)观察猜想：图①中线段AD 与CE 的数量关系是 ，位置关系是 ；(2)探究证明：把BDE 绕点B 顺时针旋转到图②的位置，连接AD ，CE ，判断线段AD 与CE 的数量关系和位置关系如何，并说明理由；(3)拓展延伸：若BC 5BE ＝1，当旋转角α＝∠ACB 时，请直接写出线段AD 的长度． 16．如图，抛物线与x 轴交于A 、B 两点（ 点A 在点B 的左侧），点B 坐标()3,0，抛物线与y 轴交于点()0,3C -，点D 为抛物线顶点，对称轴1x =与x 轴交于点E ，连接BC 、EC ．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是BC 下方异于点D 的抛物线上一动点，若PBCEBCS S=，求此时点P 的坐标；(3)点Q 是抛物线上一动点，点M 是平面上一点，若以点B 、C 、Q 、M 为顶点的四边形为矩形，直接写出满足条件的点Q 的横坐标．17．如图（1），ABC 中，90ABC ∠=︒，AB BC =，点D 是AC 的中点，点E 在CD 上（点E 不与点D 和点C 重合），AG BE ⊥于点G ，交BD 于点F ，连接DG ．(1)求证：ADF BDE △≌△；(2)设GF a =，GE b =，GD c =，证明：2a b c +=；(3)如图（2），延长AG 交BC 于点M ，若点M 是BC 中点，点N 是AB 的中点，请证明点N 、F 、C 三点共线．18．已知，如图1，Rt△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D 为△ABC 外一点，且∠ADC ＝90°，E 为BC 中点，AF ∥BC ，连接EF 交AD 于点G ，且EF ⊥ED 交AC 于点H ，AF ＝1．(1)若13AHCH，求EF的长；(2)在（1）的条件下，求CD的值；(3)如图2，连接BD，BG，若BD＝AC，求证：BG⊥AD．19．如图1，抛物线y＝ax2﹣2ax＋3与x轴交于A、B两点，且B（3，0），与y轴交于点C，一次函数y＝kx＋b的图象l与抛物线在第一象限交于点P．(1)直接写出抛物线的解析式；(2)若∠PCB＝∠ACO，求P点的坐标；(3)如图2，若b＝1，直线l与抛物线的另一个交点为D，过点D作DE∥y轴交直线PC于E，请说明点E一定在某条确定的直线上运动，求出这条直线的解析式．20．如图，抛物线y＝ax2＋bx过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．(1)求抛物线的表达式；(2)直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；(3)若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，是否存在以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出其值；若不存在，请说明理由．【参考答案】**科目模拟测试一、解答题 1．(1)27 (2)见解析 (3)252- 【解析】 【分析】（1）如图1中，过点E 作EQ AB ⊥，交AB 延长线于点Q ，则四边形BQED 是矩形，解直角三角形求出AQ ，QE 即可解决问题．（2）如图2中，在BF 上取一点M ，使得BM AD =，并且延长MF 至点H ，使MF FH =，连接CM ，DH ．利用全等三角形的性质证明H FMC DBH ∠=∠=∠，再证明290DBH ∠=︒即可解决问题．（3）如图3中，取AC 的中点F ，连接A F '，DF ，过点F 作FT AB ⊥于T ．解直角三角形求出DF ，FA '，判断出当A '，D ，F 共线时，DA '的值最小于是得到结论． (1)解：如图1中，过点E 作EQ AB ⊥，交AB 延长线于点Q ，则四边形BQED 是矩形，3BD QE ∴==在Rt BQE ∆中，30QBE ∠=︒，223BE BD ∴==，33BQ QE ==，在Rt ABC ∆中，22AB BC ===，5AQ ∴=，在中，；(2)如图2中，在BF 上取一点M ，使得BM AD =，并且延长MF 至点H ，使MF FH =，连接CM ，DH ．在和中，，，，，是CD 的中点，，在和中，，，，， ，H FMC DBH ∠=∠=∠，又是的外角，，，，；(3)如图3中，取AC 的中点F ，连接A F '，DF ，过点F 作FT AB ⊥于T ．，90ABC∠=︒，4AC=，，，，FT AB⊥，，，，，，，AF CF=，，，，∴当A'，D，F共线时，DA'的值最小，此时，故线段的长最小值是52．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形或全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．2．（1）证明见解析；（2）证明见解析，（3）157 BF=【解析】【分析】（1）连接OA并延长AO交BC于E，证明∠BAC=2∠BAE和∠ABD=∠BAE即可得结论，（2）利用直角三角形两锐角互余、圆周角定理进行导角，得出MCG△和△FCG是等腰三角形，得出BM=MC=FG=CG，MH=HG，进而由BF=BM+MH-FH=FG-FH+HG，得出结论；（3）过O点作OP⊥AC，由垂径定理得出12 PD=，再由52ABOADOS AB BOS AD OD===和平行线分线段成比例定理求出7724DH DP==，由勾股定理进而可求BH，再利用相似三角形对应边成比例求出HG，即可得BF长．【详解】解：（1）连接OA并延长AO交BC于E，∵AB=AC，∴AB AC=，∵AE过圆心O，∴AE BC⊥，BE EC=，∴∠BAC=2∠BAE，∵OA=OB，∴∠ABD=∠BAE，∴∠BAC=2∠ABD；（2）如解图（2），连接OA并延长AO交BC于E，AE交BF于M，连接MC，设2BACα∠=，则ABD BAE EACα∠=∠=∠=∵AE=EC，AE⊥BC，∴BM=MC，∴∠MBC=∠MCB，∵BG⊥AC，AE⊥BC，∴∠EAC+∠ACE=90°，∠HBC+∠ACE=90°，∴EAC HBC MCBα∠=∠=∠=，∴2CMG MBC MCBα∠=∠+∠=，∵BC BC=，∴2G BAC α∠=∠=，∴∠G =∠CMG ，∴CG =CM =BM ，∵AC ⊥BG ，∴MH =HG ，∵OA =OC ，∴ACO EAC α∠=∠=∴9090CFG ACO α∠=︒-∠=︒-，∵180FCG CFG G ∠=︒-∠-∠，即180(90)290FCG ααα∠=︒-︒--=︒-，∴FCG CFG ∠=∠，∴FG =CG ，∴BM =MC =FG =CG ，又∵MH =HG ，∴BF =BM +MH -FH =FG -FH +HG ，∴BF =2HG ．（3）过O 点作OP ⊥AC ，如解图（3）∵AO 是∠BAC 的角平分线，∴点O 到AB 、AC 的距离相等， ∴ABO ADO SAB BO S AD OD==， ∵AD =2，CD =3，∴AB =AC =5， ∴5=2BO OD ，即：2=7OD BD ， ∵OP ⊥AC ，∴52AP PC ==，12PD =， ∵BH AC ⊥， ∴OP //BH ，∴27DP OP OD DH BH BD ===， ∴7724DH DP ==，∴154AH AD DH =+=，5-4HC DC DH ==，∵在Rt ABH 中，BH == ∵BAH G ∠=∠，AHB GHC ∠=∠，∴AHB GHC △△， ∴AH BH HG CH = 即：AH HC BH HG =，51544=⨯，∴HG =， 由（2）得BF =2HG ，∴BF = 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，涉及了相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识点，解题关键是利用同弧或等弧所对圆周角相等、直角三角形的两锐角相等找出图中角之间的关系，从而利用相似或勾股定理解题．3．（1）①90︒；②全等，证明见解析；③29=7DE ；（2）DE 的值为 【解析】【分析】（1）①先由等腰直角三角形的性质得∠B =∠ACB =45°，再由全等三角形的性质得∠ACF =∠B =45°，即可得出答案； ②先证出∠DAE =∠DAF ，再由DA =DA ，AE =AF ，即可得出结论； ③设DE =x ，则CD =7-x ．在Rt △DCF 中，由勾股定理得DF 2=CD 2+CF 2，则x 2=（7-x ）2+32，解方程即可；（2）分两种情形：①当点D 在线段BC 上时，连接BE ，由△EAD ≌△ADC ，推出∠ABE =∠C =45°，BE =CD =8，推出∠EBD =90°，由勾股定理即可得出答案； ②当点D 在CB 的延长线上时，同法可得DE 的长．【详解】解：（1）①∵AB =AC ，∠BAC =90°，∴∠B =∠ACB =45°，∵△CAF ≌△BAE ，∴∠ACF =∠B =45°，∴∠DCF =∠ACB +∠ACF =45°+45°=90°，故答案为：90；②△AED ≌△AFD ，理由如下：∵△CAF≌△BAE，∴AF=AE，∠CAF=∠BAE，∵∠BAC=90°，∴∠CAE+∠BAE=∠CAE+∠CAF=∠BAC=90°，∵∠DAE=45°，∴∠DAF=90°-45°=45°，∴∠DAE=∠DAF，又∵DA=DA，AE=AF，∴△AED≌△AFD（SAS）；③∵△CAF≌△BAE，∴CF=BE=3，设DE=x，则CD=7-x，由①得：∠DCF=90°，由②得：△AED≌△AFD，∴DE=DF=x，在Rt△DCF中，由勾股定理得：DF2=CD2+CF2，即x2=（7-x）2+32，∴297x，∴29=7 DE；（2）①当点D在线段BC上时，连接BE，如图2所示：∵△ADE是等腰直角三角形，∠EAD=90°，∴AE=AD，∠BAC=∠EAD，∴∠EAB=∠DAC，∵AE=AD，AB=AC，∴△EAB≌△DAC（SAS），∴∠ABE=∠C=45°，BE=CD=BC-BD=12-4=8，∴∠EBD=90°，∴22228445DE BE BD+=+②当点D在CB的延长线上时，连接BE，如图3所示：同①得：△EAB≌△DAC（SAS），∠EBD=90°，∴BE=CD=BC+BD=12+4=16，∴2222164417DE BE BD=++=综上所述，DE的值为45417【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的判定、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．4．（1）①等腰直角三角形，理由见解析，②证明见解析，③(63232)-，，（2）52，②225 2【解析】【分析】（1）①求出直线y＝﹣x+6与x轴、y轴交点坐标，得出∠BAO＝45°即可证明；②由①得出BN＝PN＝OM，再根据PQ⊥OP得出∠PQB=∠OPM，即可证明△PNQ≌△OMP；③∠PQN＝22.5°，可得BQ＝PB，设点P坐标为（a，-a+6），列出关于a的方程求解即可；（2）①证△OPG∽△OBP，求出OP长，得出P点坐标，再证△OPB∽△KPO，求出PK 的长即可；②类似①得出P点坐标，求出PK的长即可．【详解】解：（1）①△APM是等腰直角三角形，理由如下：y＝﹣x+6与x轴、y轴分别交于点A，点B．当x＝0时，y＝6，当y＝0时，x＝6，则点A（6，0）点B（0，6）；∴OA =OB ，∴∠BAO ＝45°，∵PM ⊥OA ，∴∠BAO ＝∠MPA ＝45°，∴PM ＝PA ，∴△APM 是等腰直角三角形；②由①同理可得BN ＝PN ，∵BN ＝OM ，∴PN ＝OM ，∵PQ ⊥OP ，∴∠QPN +∠OPM ＝90°，∵∠POM +∠OPM ＝90°，∴∠POM ＝∠QPN ，∵∠PMO ＝∠PNQ ＝90°，∴△PNQ ≌△OMP ；③设点P 坐标为（a ，-a +6），∵∠PQN ＝22.5°，∠PBN ＝45°，∴∠PQN ＝∠BPQ ＝22.5°，∴BQ ＝PB ，∵△PNQ ≌△OMP ；∴QN ＝PM=-a +6，6a a +=-+，解得，6a =-则点P 坐标为(6-；（2）∵BG OG ＝35，OB =6， ∴94BG =，154OG =， ①∵∠OPQ 的角平分线交边OB 于点G ,∴∠OPG ＝∠OBA ＝45°，∵∠PGO ＝45°+∠BPG ，∠BPO ＝45°+∠BPG ，∴∠PGO ＝∠BPO ，∴△OPG ∽△OBP ，∴OP OG OB OP =，即1546OP OP=，解得OP = 设点P 坐标为（a ，-a +6），222(6)a a +-+=，解得，132a =，292a =； 当∠PKQ 为钝角时，92a =，P 坐标为93()22，， 则32AP =，92BP =， ∵∠POK ＝∠OBA ＝45°，∠BPO ＝∠BPO ，∴△OPB ∽△KPO ， ∴OP PB KP OP =，即3109222310KP =，解得52KP =；②当∠PKQ 为锐角时，32a =，P 坐标为39()22，， 则92AP =32BP = 由①得，310OP =OP PB KP OP =即3103222310KP ，152KP = 1523262BK == BK 2+AP 2=22922252+=2（））．【点睛】本题考查了一次函数与图形，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用相关定理进行推理证明．5．（1）153,4P ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）11110；（3）存在，(125,5N -，()24,8N ，355,2N ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【解析】【分析】（1）根据翻折的性质得出△BCP ≌△O 'AP ，再利用勾股定理得出结论；（2）先求出直线CH 和OG 的解析式，联立解得H 的坐标，再根据OCP OAHP OAHC S S S =-四边形梯形得出结果；（3）分三种情况讨论：①当OD =DM =MN =NO =5时，②当OD =DN =MN =MO =5时，③当OM =MD =DN =NO =5时．【详解】（1）∵四边形OABC 是矩形，∴OA =BC =3，OC =AB =6，由翻折得3OA OA ，∠O '=∠AOC =90°，在△BCP 与△O 'AP 中，∠B =90°，∠BPC =∠O 'PA ，BC =O 'A =2，∴△BCP ≌△O 'AP ，∴BP =O 'P ，设BP =O 'P =x ，则AP =AB -BP ＝6-x ，在Rt △AP O '中，222O P O A AP ''+=，则2223(6)x x +=-，解得94x =， ∴AP =6-x =6-94=154，则15(3,)4P ； （2）1133222HBCSBC BH BH BH =⋅=⨯⨯=,则3322BH =, ∴BH =1，AH =AB -BH =6-1=5， ∴H (3，5)， ∵(0,6),(3,5)C H ，∴设直线CH 为：y mx n =+，过点(0,6),(3,5)C H ，∴6053n m n =+⎧⎨=+⎩，解得：136m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线CH 为：163y x =-+，∵OG ⊥CH ，且13CH K =-，∴3OG K =，∴直线OG 为：3y x =，联立3163y xy x =⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得95x =， 当95x =时，275y = ，∴927(,)55H ，∵33()22OAHC S AH OC OA =+⋅÷=梯形，OCPOAHP OAHC S S S =-四边形梯形，∴33271112510OAHP S =-=四边形；（3）设DM 与AB 交于F ，与x 轴交于H ， ∵OD ∥AB ，∴△ODE ∽△BFE ， ∴OE ODBE BF =， ∴2=ODBF， ∵D (0，5)， ∴OD =5， ∴BF=522OD =， ∴AF =AB -BF =6-52=72， ∴F (3，72)； 设直线DF ：y kx b =+，过点D (0，5)，F (3，72)， ∴50732b k b =+⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得512b k =⎧⎪⎨=-⎪⎩，∴直线DF :152y x =-+，当OD =DM =MN =NO =5时，如图，作MP ⊥y 轴交于点P ，则MP ∥x 轴， ∴△MPD ∽△FOD ， ∴MP PD MDOF OD FD==， 直线DF ：152y x =-+，当y =0时，x =10，∴H (10，0)，则DH =10，FD =222251055OD DF +=+=，则10555MP PD ==， ∴MP =25，PD =5， ∴(25,55)M -+，∴25N M x x ==-，555N M y y MN =-=+-=5， ∴(25,5)N -；②当OD =DN =MN =MO =5时，如图，延长MN 交x 轴于点P ，则MP ⊥x 轴， ∵M 在152y x =-+上，∴设M (a ，15)2a -+，在Rt △DPM 中，222OP PM OM +=，∴2221(5)52a a +-+=，解得124,0a a ==(舍去)，∴M (4，3)，∴MP =3+MN =3+5=8， ∴N (4，8)；③当OM =MD =DN =NO =5时，如图，连接NM ，交OD 于点P ，则MN 垂直平分OD ， ∴52M N y y OP ===，则15522M x -+=， ∴5M x =， ∴5N M x x -=，∴5(5,)2N -；综上所述：N 点的坐标为(25,5)-，(4，8)，5(5,)2-．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质及一次函数的性质，解题的关键是灵活运用这些性质．6．（1）证明见解析；（2）254；（3）544【解析】【分析】（1）证明90ACB DCF，结合,A CDF从而可得答案；（2）连接OD，先证明△AEC∽△DCF，可得DC＝10，DE＝CE＝5，AE＝52，设⊙O的半径为r，则OE＝52r，OD＝r，根据勾股定理列方程可解答；（3）如图，连接BG，根据圆周角定理可得DG是⊙O的直径，根据勾股定理计算CG的长，得FG的长，知FG＝DG，根据等腰三角形三线合一的性质得BD＝BF，证明△OBM∽△GCM，得OD：OM：MG＝11：5：6，根据同高三角形面积的关系可得结论．【详解】（1）证明：∵AB是△ABC的外接圆⊙O的直径，,CF DC∴90,ACB DCF,A CDF∴ABC∽DCF；（2）解：如图，连接OD，∵12,∠=∠∴AD AC=，∴AB⊥CD，∴∠AEC＝90°，∵DC⊥CF，∴∠DCF＝90°，∴∠AEC＝∠DCF，∵∠A＝∠ADB，∴△AEC∽△DCF，∴AE CE DC CF，∵AE：EC＝1：2，∴DC：CF＝1：2，∵DF＝52222105,DC DC∴DC＝10，（负根舍去）20,CF∵OA⊥CD，∴DE＝CE＝5，AE＝52，设⊙O的半径为r，则OE＝52r，OD＝r，在Rt△ODE中，由勾股定理得：OD2＝DE2+OE2，∴222552r r，解得：254r=，答：圆O的半径为254；（3）解：如图，连接BG，∵∠DCG＝90°，∴DG是⊙O的直径，∴∠DBG＝90°，由（2）知：CD＝10，DG＝252，由勾股定理得：222225151022 CG DG CD，∴FG＝CF﹣CG＝15252022DG，∵90,DCG∴90,DBG∠=︒ BG⊥DF，∴BD＝BF，∴S△DBG＝S△BGF，∵S △DGF＝12FG•CD＝12512510222，∴S△DGB＝1254，∵∠DEB＝∠DCG＝90°，∴OB CG∥，∴△OBM ∽△GCM ， ∴25541562OM OB MG CG， ∴OD ：OM ：MG ＝11：5：6， ∴S △OMB ＝512562522488， ∴S △OMB ：S △DGF ＝62588：1255244． 故答案为：544． 【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理，相似三角形的性质和判定，三角形面积，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形和等腰三角形解决问题，属于中考常考题型．7．(1)234y x x =-++ (2)(3)存在，（52，）或（，-）或（，-）【解析】 【分析】（1）把点A （4，0）、B （0，4）代入抛物线y =-x 2+bx +c 中，求得b 和c 即可； （2）作点B 关于直线l 的对称轴B ′，连接B ′C 交l 于一点P ，点P 即为使△PBC 周长最小的点，由对称可知，PB ′=PB ，即△PBC 周长的最小值为：BC +CB ′；（3）设M （m ，-m 2+3m +4），①当EF 为边时，则EF ∥MN ，则N （m ，-m +4），所以NM =EF =，即|-m 2+3m +4-（-m +4）|=，求出m 的值，代入即可；②当EF 为对角线时，EF 的中点为（32，），由中点坐标公式可求得点N 的坐标，再由点N 是直线AB上一点，可知-3+m +4=m 2-3m +，解得m 的值即可．(1)解：把点A （4，0）、B （0，4）代入抛物线y =-x 2+bx +c 中， 得，，解得，∴抛物线的解析式为：y =-x 2+3x +4； (2)解：由抛物线解析式可知，对称轴直线l ：x =32，∵点A（4，0），∴点C（-1，0），如图，作点B关于直线l的对称轴B′，连接B′C交l于一点P，点P即为使△PBC周长最小的点，此时B′（3，4），设直线B′C的解析式为y=kx+b1，∴，解得：，∴直线B′C的解析式为：y=x+1，把x=32代入得：y=32+1=52，∴P（32，52），∵B（0，4），C（-1，0），B′（3，4），∴BC=，CB′=2∴△PBC周长的最小值为：；(3)解：存在，以点E、F、N、M为顶点的四边形为平行四边形的点M的坐标为（52，）或（，-）或（，-）．理由如下：由抛物线解析式可知，E（32，），∵A（4，0）、B（0，4），∴直线AB的解析式为：y=-x+4，∴F（32，52）．∴EF=．设M（m，-m2+3m+4），①当EF为边时，则EF∥MN，∴N（m，-m+4），∴NM=EF=，即|-m2+3m+4-（-m+4）|=，解得m=32（舍）或52或或，∴M（52，）或（，-）或（，-）．②当EF为对角线时，EF的中点为（32，），∴点N的坐标为（3-m，m2-3m+），∴-3+m+4=m2-3m+，解得m=32（舍），m=52，∴M（52，）．综上，满足以点E、F、N、M为顶点的四边形为平行四边形的点M的坐标为（52，）或（，-）或（，-）．【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，平行四边形存在性问题，解题过程中注意需要分类讨论．8．(1)对称轴是，B(4，0)(2)y=(3)F(32，-5)【解析】【分析】（1）根据二次函数抛物线的性质，可求出对称轴，即可得B点的坐标；（2）二次函数的y轴平行于对称轴，根据平行线分线段成比例用含a的代数式表示DE的长，MD=158，可表示M的纵坐标，然后把M的横坐标代入y=ax2−3ax−4a，可得到关于a的方程，求出a的值，即可得答案；（3）先证△AOC∽△COB，得∠BCO=∠CAO，再求出∠CAO=∠CFB，得△AGC∽△FGB，根据相似三角形对于高的比等于相似比，可得答案．(1)解：∵二次函数y=ax2−3ax−4a，∴对称轴是 ，∵A (−1，0)， ∵1+1.5=2.5， ∴1.5+2.5=4， ∴B (4，0)； (2)∵二次函数y =ax 2−3ax −4a ，C 在y 轴上，∴C 的横坐标是0，纵坐标是−4a ， ∵y 轴平行于对称轴， ∴ ， ∴， ∵ ， ∵MD =158， ∵M 的纵坐标是+158∵M 的横坐标是对称轴x ， ∴ ，∴+158=，解这个方程组得：12a =- ，∴y =ax 2−3ax −4a =12- x 2-3×（12-）x -4×（12-）=；(3)假设F 点在如图所示的位置上，连接AC 、CF 、BF ，CF 与AB 相交于点G ，由（2）可知：AO=1，CO=2，BO=4，∴，∴，∵∠AOC=∠COB=90°，∴△AOC∽△COB，∴∠BCO=∠CAO，∵∠CFB=∠BCO，∴∠CAO=∠CFB，∵∠AGC=∠FGB，∴△AGC∽△FGB，∴，设EF=x，∵BF2=BE2+EF2=，AC2=22+12=5，CO2=22=4，∴=，解这个方程组得：x1=5，x2=-5，∵点F在线段BC的下方，∴x1=5（舍去），∴F（32，-5）．【点睛】本题考查了二次函数的性质、平行线分线段成比例、一元一次方程的解法、一元二次方程方程的解法、相似三角形的判定与性质，做题的关键是相似三角形的判定与性质的灵活运用．9．（1）120；（2）存在，最大值为1123；（3）24043x=或487x=或12x=【解析】【分析】（1）当x＝0时，当y＝0时，分别求解得出对应线段的长度，过点B作BM⊥AD，过点D 作DN⊥BC，求出高，即可求解；（2）分情况讨论（点P在线段AB上、当P在BC上时），得出△APQ的面积的函数表达式，根据函数性质求解即可；（3）分三种情况讨论，利用三角形相似的性质求解即可．【详解】解（1）：由题意：∵P，Q两点同时到达终点，所以，当x＝0时，y＝16，即AD＝16；当y＝0时，x＝24，所以BC＝14过点B作BM⊥AD，过点D作DN⊥BC，如下图：又∵AD∥BC，可知四边形BMDN为矩形设AM＝m，∴MD＝16－m，即BN＝16－m，∴CN＝m－2，根据BM＝DN，可得：102－m2＝2(45)－（m－2）2，解得m＝6．即BM＝8，4CN=∴四边形ABCD的面积为：（16＋14）×8÷2＝120（2）当点P在线段AB上时，010x<≤，作PE AD⊥，如下图，则//PE BM，∴APE ABM△∽△∴AP PE AEAB BM AM==，即45PE x=，35AE x=21124432(16)2235155 APQS AQ PE x x x x=⨯=-+⨯=-+△对称轴为12x=，0a<又∵010x<≤∴10x=时，APQS最大，为1123当P在BC上时，1024x≤≤，186423APQS AQ BM x=⨯=-+△k<，APQS随x的增大而减小，综上所述，APQS的最大值为1123（3）当PQ AB⊥时，如下图：∴APQ AMB△∽△∴AP AQAM AB=，即2163610xx-+=，解得487x=当PQ BC⊥时，可得BP MQ=，即2101663x x-=-+-解得12x=当PQ CD⊥时，如下图：∵//AD BC，∴C QDH∠=∠又∵90H CND PEQ∠=∠=∠=︒，PQE DQH∠=∠∴PEQ DHQ CND△∽△∽△∴PE CN EQ DN=由（1）（2）得45PE x=，35AE x=，4CN=，8DN=∴231635 EQ x x =-+-∴4452381635xx x=-+-，解得24043x=综上所得24043x=或487x=或12x=【点睛】本题考查了一次函数图象和性质，二次函数最值问题，三角形面积，勾股定理，相似三角形的判定和性质等，是一道关于四边形的综合题，解题关键是熟练掌握并运用二次函数性质、相似三角形的判定和性质等相关知识，并应用数形结合思想、方程思想和分类讨论思想解决问题．10．(1)(2)E（23，53）(3)（﹣2，1）或（﹣2，3）或（﹣2，9）【解析】【分析】（1）由矩形的性质及已知，易得点A的坐标，把A、B两点的坐标代入解析式中可得关于b、c的方程组，解方程组即可；（2）设E（m，﹣34m2﹣32m+3），由题意易得BD、AB的长，则可把△BDE、△ABE的面积表示出来，由S△BDE＝4S△ABE得关于m的方程，解方程即可；（3）用待定系数法可求得直线DE的解析式；分三种情况：当P、B重合时，易得△APQ 是等腰直角三角形，从而问题解决；当点P在线段DB的延长线，且AP⊥AQ时，过点Q 作QM⊥AB交BA的延长线于点M，易证△PAB∽△AQM，设P（﹣2，t），由相似三角形的性质可得关于t的方程，解方程即可求得t；当PQ⊥AQ时，易得AP∥DE，则可求得直线AP的解析式，易得点P的坐标．(1)∵B（﹣2，3），矩形OABC，∴A（0，3），∵抛物线y＝﹣34x2+bx+c经过点A和点B，∴，∴，∴y＝﹣34x2﹣32x+3；(2)∵D（﹣2，﹣1），∴BD＝4，设E（m，﹣34m2﹣32m+3），∴S△BDE＝12×4×（m+2）＝2（m+2），∵AB＝2，∴，∵S△BDE＝4S△ABE，∴2（m+2）＝4（），解得m＝﹣2或m＝23，∵E点在y轴由侧，∴m＝23，∴E；(3)∵E，D（﹣2，﹣1），设直线DE的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴y＝x+1，∴直线与y轴的交点为（0，1），如图1，当P点与B点重合，Q点为（0，1），此时△APQ为等腰直角三角形，∴P（﹣2，3）；如图2，过点Q作QM⊥AB交BA的延长线于点M，∵∠PAQ＝90°，∠PBA＝90°，∠QME＝90°，∴∠PAB＝∠AQM，∴△PAB∽△AQM，∴＝，设P（﹣2，t），∵直线DE的解析式为y＝x+1，PQ⊥DE，∴∠PDQ＝45°，∴Q（，），∴PB＝t﹣3，AB＝2，AM＝，QM＝﹣3＝，∴，∴t ＝9， ∴P （﹣2，9）；如图3，当PQ ⊥AP 时，∵∠PAQ +∠AQP ＝90°，∠AQP +∠AQE ＝90°，∴∠APQ ＝∠AQE ，∴AP //DE ，∴直线AP 的解析式为y ＝x +3，∴P （﹣2，1）；综上所述：P 点的坐标为（﹣2，1）或（﹣2，3）或（﹣2，9）．【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解一元二次方程，三角形面积等知识，涉及分类讨论思想、方程思想．11．（1）见解析；（2）23y x =-；（3421【解析】【分析】（1）过点E 作EM ⊥QP 垂足为M ；在Rt △EQP 中，易得∠EBD =∠EDB =30°；进而可得PE 3，且BE =DE ．故可证得BE =PD 3． （2）点P 从点E 出发沿射线ED 运动，所以分当点P 在线段ED 上时与当点P 在线段ED 的延长线上时两种情况讨论，根据所作的辅助线，可得y 与x 的关系；（3）连接PC 交BD 于点N ，可得∠QPC =90°，进而可得△PNG ∽△QPC ，可得PG PNQC PQ，解可得PG的长，再证明△PNG∽△PFC，利用相似三角形的性质即可求解．【详解】（1）证明：∵∠A=90°，∠ABE=30°，∴∠AEB=60°．∵EB=ED，∴∠EBD=∠EDB=30°．∵PQ∥BD，∴∠EQP=∠EBD．∠EPQ=∠EDB．∴∠EPQ=∠EQP=30°，∴EQ=EP．过点E作EM⊥QP垂足为M．则PQ=2PM．∵∠EPM=30°，∴PM=3PE，PE=3PQ．∵BE=DE=PD+PE，∴BE=PD+3PQ．（2）解：由题意知AE=12BE，∴DE=BE=2AE．∵AD=BC=6，∴2AE=DE=BE=4．当点P在线段ED上时（如图1），过点Q作QH⊥AD于点H，则QH=12PQ=12x．由（1）得PD=BE 3，即PD3．∴y=12PD•QH=−32+x．当点P在线段ED的延长线上时（如图2），过点Q作QH′⊥DA交DA延长线于点H′，∴QH′=12x．过点E作EM′⊥PQ于点M′，同理可得EP=EQ=3PQ，∴BE=3PQ-PD，∴PD=3x-4，∴y=12PD•QH′=3x2−x．（3）解：连接PC交BD于点N（如图3）．∵点P是线段ED中点，∴EP=PD=2，PQ3∵DC=AB=AE•tan3∴PC22PD DC+．∴cos∠DPC=12 PDPC=．∴∠DPC=60°．∴∠QPC=180°-∠EPQ-∠DPC=90°．∵PQ∥BD，∴∠PND=∠QPC=90°．∴PN=12PD=1．QC22PQ PC+7．∵∠PGN=90°-∠FPC，∠PCF=90°-∠FPC，∴∠PGN=∠PCF．∵∠PNG=∠QPC=90°，∴△PNG ∽△QPC ， ∴PG PN QC PQ=， ∴PG∵∠PNG =∠PFC =90°，∠NPG =∠FPC ，∴△PNG ∽△PFC ， ∴PF PC PN PG =，即1PF =， ∴PF【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形，注意某个图形无法解答时，常常放到其他图形中，利用图形间的角、边关系求解．12．(1)抛物线表达式为：2(1)4y x =--；(2)点M 坐标3(2，15)4时，四边形ABMC 面积的最大值758； (3)当点P 坐标为(1,2)--或3(4-，9)4-时，点P 、E 、O 为顶点的三角形与ABC ∆相似【解析】【分析】（1）利用二次函数的顶点式求解；（2）将四边形ABMC 进行分割，分成ABC ∆，∆CMN ，BMN ∆的和，ABC ∆的面积是定值，求出直线BC 的表达式，当点M 在移动时，表示出线段MN 的长度，从而计算出∆CMN ，BMN ∆面积和的最大值，进而求解；（3）利用三角形相似的判定条件，两边对应成比例且夹角相等进行求解，通过求直线CD 的表达式，得到E 点的坐标，从而求出OEC OBC ∠=∠，分情况讨论两边成比例的情况，进而求出点EP 的长度，再借助解直角三角形进行求解．(1)解：设抛物线的表达式为2(1)4y a x =--，∴将点(0,3)C -代入得：43a -=-，解得1a =，∴抛物线表达式为：()214y x =--；(2)解：连接BC ，作MN y ∥轴交BC 于点N ，作BE MN ⊥，CF MN ⊥，如图所示：由（1）知，抛物线表达式为22(1)423y x x x =--=--， 令0y =，可解得11x =-，23x =， ∴点A 坐标(1,0)-，点B 坐标(3,0)，设直线BC 的表达式为y kx b =+，将点B (3,0)，(0,3)C -代入得：303k b b +=⎧⎨=-⎩， ∴直线BC 表达式为3y x =-， 设M 点2(,23)m m m --，则点(,3)N m m -，222393(23)3()24N M MN y y m m m m m m =-=----=-+=--+， ΔΔABC BCM ABMC S S S ∴=+四边形ΔΔΔABC CMN BMN S S S =++111222AB OC MN CF MN BE =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 1143()22MN CF BE =⨯⨯+⨯⨯+ 1632MN =+⨯⨯ 23375()228m =--+， 当32m =时，即点M 坐标3(2，15)4时，四边形ABMC 面积的最大值758； (3) 解：如图所示，作PQ 垂直x 轴，设直线:CD y px q =+，将点C ，D 分别代入得，4{3p q q +=-=-，解得1{3p q =-=-， ∴直线:3CD y x =--，当0y =时，解得3x =-，∴点E 坐标为(3,0)-，3OE OC OB ===，45OEC OBC ∴∠=∠=︒，在Rt OBC ∆中，223332BC +=①当ΔΔBAC EPO ∽时，AB EP BC EO=332EP =，解得22EP = 在Rt ΔEPQ 中，45OEC ∠=︒，sin 45PQ EP∴︒=，解得2PQ =， 2EQ PQ ∴==，此时点P 坐标(1,2)--； ②当ΔΔBAC EOP ∽时，BA EO BC EP =332EP =，解得92EP = 在Rt ΔEPQ 中，45OEC ∠=︒，sin 45PQ EP ∴︒=，解得94PQ =， 94EQ PQ ∴==，此时点P 坐标3(4-，9)4-； 综上所述，当点P 坐标为()1,2--或39,44⎛⎫-- ⎪⎝⎭时，点P 、E 、O 为顶点的三角形与ABC ∆相似．【点睛】本题是二次函数的综合应用题，主要考查了待定系数法求函数解析式，直角坐标系内多边形面积的求法，三角形相似的判定．第2问的解题关键是能够将四边形面积进行分割计算，并且能够表示出线段MN 的长度，从而建立函数关系进行求解，第3问的解题关键是利用三角形相似求出线段EP 的长度，再借助解直角三角形进行求解．13．(1)y =x 2-4x +3(2)①94；②（1，0）；(3)0（或0（， 【解析】【分析】（1）用待定系数法求解析式即可；（2）①根据抛物线解析式设出P 点坐标，用待定系数法求出直线BC 的解析式，确定D 点的坐标，根据二次函数的性质得出PD 的最大值即可；②分情况讨论求出P 点的坐标即可；（3）作△ABE 的外接圆，根据圆心在抛物线的对称轴上，且当半径最小时∠AEB 有最大值，即外接圆与y 轴相切时，求出此时的E 点坐标即可．(1)解：（1）∵抛物线y =ax 2+bx +3经过点A （1，0）和点B （3，0）， ∴30,9330a b a b ++=⎧⎨++=⎩解得14a b =⎧⎨=-⎩∴抛物线的解析式为：y =x 2-4x +3；(2)①设P （m ，m 2-4m +3），由抛物线解析式知，C （0，3），设直线BC 的解析式为y =sx +t ， 将点B 、C 坐标代入得30,3s t t +=⎧⎨=⎩解得13s t =-⎧⎨=⎩∴直线BC 的解析式为y =-x +3，∴D （m ，-m +3），∴PD =（-m +3）-（m 2-4m +3）=-m 2+3m =239(),24m =-+ ∴当32m =时，PD 有最大值为9;4(3) ②若△PBD 为直角三角形，则存在以下两种情况：（Ⅰ）如下图，当P 点与A 点重合时△PBD 为直角三角形，即P（1，0），（Ⅱ）如下图，当∠DBP=90°时，∵OB=OC=3，∴∠DBO=45°，∴此时△BPD为等腰直角三角形，由（Ⅰ）知PD=-m2+3m，且BD=BP，∴-m2+3m=2（3-m），且|-m2-4m+3|=-m+3此时无解，∴P点坐标为（1，0）；（3）如下图，作△ABE的外接圆M，则圆心M在AB的垂直平分线上，即抛物线的对称轴上，AB长度不变，要使∠AEB最大则当⊙M半径最小时，即⊙M与y轴相切时，设E（0，e），则M（2，e），且AM=EM=2，||e ∴∴E 点的坐标为0（或0（， 【点睛】本题主要考查二次函数的综合知识，熟练掌握二次函数的性质及分类讨论思想是解题的关键．14．(2)①2；②(()11062y x x =< 【解析】【分析】（1）设AD =2a ，解直角三角形ADE ，表示AE 和DE ，可得四边形DEGF 是正方形，解直角三角形AGF ，表示出AF ，即可得出结果；（2）①作DG ⊥AB ，截取DG =AD ，作直线GF 交AC 于M ，交直线AB 于H ，可以证明ADE GDF ≌，从而得出60DGF A ∠=∠=︒，得出点F 的运动轨迹，然后解直角三角形DGH ，再解直角三角形AHM ，即可得出结果；②由①得，点F 的运动轨迹，然后解直角三角形DGH ，再解直角三角形AHM ，进而得出y 与x 的函数关系式．(1)设AD =2a ， ABC 是等边三角形，60CAB ∴∠=︒，90AED ∠=︒，sin 2sin 60DE AD ABC a ∴=⋅∠=⨯︒=，12AE AD a ==， FG AC ⊥，90FGE ∴∠=︒，90DEG EDF ∠=∠=︒，∴四边形DEGF 是矩形，DE DF =，∴矩形DEFG 是正方形，∴GE FG DE ===，AG AE EG a ∴=+=，在Rt△AFG 中，由勾股定理得，AF=。
中考数学压轴题100题附答案
中考数学压轴题100题附答案一、中考压轴题1．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝6，AC＝4，D是AB边上一点，P是优弧BAC的中点，连接P A、PB、PC、PD．（1）当BD的长度为多少时，△P AD是以AD为底边的等腰三角形？并证明；（2）在（1）的条件下，若cos∠PCB＝，求P A的长．【分析】（1）根据等弧对等弦以及全等三角形的判定和性质进行求解；（2）过点P作PE⊥AD于E．根据锐角三角函数的知识和垂径定理进行求解．【解答】解：（1）当BD＝AC＝4时，△P AD是以AD为底边的等腰三角形．∵P是优弧BAC的中点，∴＝．∴PB＝PC．又∵∠PBD＝∠PCA（圆周角定理），∴当BD＝AC＝4，△PBD≌△PCA．∴P A＝PD，即△P AD是以AD为底边的等腰三角形．（2）过点P作PE⊥AD于E，由（1）可知，当BD＝4时，PD＝P A，AD＝AB﹣BD＝6﹣4＝2，则AE＝AD＝1．∵∠PCB＝∠P AD（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），∴cos∠P AD＝cos∠PCB＝，∴P A＝．【点评】综合运用了等弧对等弦的性质、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数的知识以及垂径定理．2．我国年人均用纸量约为28公斤，每个初中毕业生离校时大约有10公斤废纸；用1吨废纸造出的再生好纸，所能节约的造纸木材相当于18棵大树，而平均每亩森林只有50至80棵这样的大树．（1）若我市2005年4万名初中毕业生能把自己离校时的全部废纸送到回收站使之制造为再生好纸，那么最少可使多少亩森林免遭砍伐？（2）我市从2000年初开始实施天然林保护工程，大力倡导废纸回收再生，如今成效显著，森林面积大约由2003年初的50万亩增加到2005年初的60.5万亩．假设我市年用纸量的20%可以作为废纸回收、森林面积年均增长率保持不变，请你按全市总人口约为1000万计算：在从2005年初到2006年初这一年度内，我市因回收废纸所能保护的最大森林面积相当于新增加的森林面积的百分之几？（精确到1%）【分析】（1）因为每个初中毕业生离校时大约有10公斤废纸，用1吨废纸造出的再生好纸，所能节约的造纸木材相当于18棵大树，而平均每亩森林只有50至80棵这样的大树，所以有40000×10÷1000×18÷80，计算出即可求出答案；（2）森林面积大约由2003年初的50万亩增加到2005年初的60.5万亩，可先求出森林面积年均增长率，进而求出2005到2006年新增加的森林面积，而因回收废纸所能保护的最大森林面积＝1000×10000×28×20%÷1000×18÷50，然后进行简单的计算即可求出答案．【解答】解：（1）4×104×10÷1000×18÷80＝90（亩）．答：若我市2005年4万名初中毕业生能把自己离校时的全部废纸送到回收站使之制造为再生好纸，那么最少可使90亩森林免遭砍伐．（2）设我市森林面积年平均增长率为x，依题意列方程得50（1+x）2＝60.5，解得x1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去），1000×104×28×20%÷1000×18÷50＝20160，20160÷（605000×10%）≈33%．答：在从2005年初到2006年初这一年度内，我市因回收废纸所能保护的最大森林面积相当于新增加的森林面积的33%．【点评】本题以保护环境为主题，考查了增长率问题，阅读理解题意，并从题目中提炼出平均增长率的数学模型并解答的能力；解答时需仔细分析题意，利用方程即可解决问题．3．如图①，有四张编号为1、2、3、4的卡片，卡片的背面完全相同．现将它们搅匀并正面朝下放置在桌面上．（1）从中随机抽取一张，抽到的卡片是眼睛的概率是多少？（2）从四张卡片中随机抽取一张贴在如图②所示的大头娃娃的左眼处，然后再随机抽取一张贴在大头娃娃的右眼处，用树状图或列表法求贴法正确的概率．【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：（1）所求概率为；（2）方法①（树状图法）共有12种可能的结果：（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3）∵其中有两种结果（1，2），（2，1）是符合条件的，∴贴法正确的概率为，方法②（列表法）1 2 3 4第一次抽取第二次抽取1（2，1）（3，1）（4，1）2（1，2）（3，2）（4，2）3（1，3）（2，3）（4，3）4（1，4）（2，4）（3，4）共有12种可能的结果：（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），∵其中有两种结果（1，2），（2，1）是符合条件的，∴贴法正确的概率为．【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．4．汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设．某汽车销售公司2005年盈利1500万元，到2007年盈利2160万元，且从2005年到2007年，每年盈利的年增长率相同．（1）该公司2006年盈利多少万元？（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2008年盈利多少万元？【分析】（1）需先算出从2005年到2007年，每年盈利的年增长率，然后根据2005年的盈利，算出2006年的利润；（2）相等关系是：2008年盈利＝2007年盈利×每年盈利的年增长率．【解答】解：（1）设每年盈利的年增长率为x，根据题意得1500（1+x）2＝2160解得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）∴1500（1+x）＝1500（1+0.2）＝1800答：2006年该公司盈利1800万元．（2）2160（1+0.2）＝2592答：预计2008年该公司盈利2592万元．【点评】本题的关键是需求出从2005年到2007年，每年盈利的年增长率．等量关系为：2005年盈利×（1+年增长率）2＝2160．5．一个不透明的口袋里有红、黄、绿三种颜色的球（除颜色外其余都相同），其中红球有2个，黄球有1个，任意摸出一个黄球的概率为．（1）试求口袋里绿球的个数；（2）若第一次从口袋中任意摸出一球（不放回），第二次任意摸出一球，请你用树状图或列表法，求出两次都摸到红球的概率．【分析】（1）根据概率的求解方法，利用方程求得绿球个数；（2）此题需要两步完成，所以采用树状图法或者列表法都比较简单，解题时要注意是放回实验还是不放回实验，此题为不放回实验．【解答】解：（1）设口袋里绿球有x个，则，解得x＝1．故口袋里绿球有1个．（2）红一红二黄绿红一红二，红一黄，红一绿，红一红二红一，红二黄，红一绿，红二黄红一，黄红二，黄绿，黄绿红一，绿红二，绿黄，绿故，P（两次都摸到红球）＝．【点评】（1）解题时要注意应用方程思想；（2）列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．6．如果将点P绕定点M旋转180°后与点Q重合，那么称点P与点Q关于点M对称，定点M叫做对称中心．此时，M是线段PQ的中点．如图，在直角坐标系中，△ABO的顶点A，B，O的坐标分别为（1，0），（0，1），（0，0）．点列P1，P2，P3，…中的相邻两点都关于△ABO的一个顶点对称：点P1与点P2关于点A对称，点P2与点P3关于点B对称，点P3与点P4关于点O对称，点P4与点P5关于点A对称，点P5与点P6关于点B对称，点P6与点P7关于点O对称…对称中心分别是A，B，O，A，B，O，…，且这些对称中心依次循环．已知点P1的坐标是（1，1），试求出点P2，P7，P100的坐标．【分析】通过作图可知6个点一个循环，那么P7的坐标和P1的坐标相同，P100的坐标与P4的坐标一样，通过图中的点可很快求出．【解答】解：P2的坐标是（1，﹣1），P7的坐标是（1，1），P100的坐标是（1，﹣3）．理由：作P1关于A点的对称点，即可得到P2（1，﹣1），分析题意，知6个点一个循环，故P7的坐标与P1的坐标一样，P100的坐标与P4的坐标一样，所以P7的坐标等同于P1的坐标为（1，1），P100的坐标等同于P4的坐标为（1，﹣3）．【点评】解决本题的关键是读懂题意，画出图形，仔细观察，分析，得到相应的规律．7．广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售．（1）求平均每次下调的百分率．（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？【分析】（1）根据题意设平均每次下调的百分率为x，列出一元二次方程，解方程即可得出答案；（2）分别计算两种方案的优惠价格，比较后发现方案①更优惠．【解答】解：（1）设平均每次下调的百分率为x，则6000（1﹣x）2＝4860，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（舍去），故平均每次下调的百分率为10%；（2）方案①购房优惠：4860×100×（1﹣0.98）＝9720（元）；方案②可优惠：80×100＝8000（元）．故选择方案①更优惠．【点评】本题主要考查一元二次方程的实际应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，属于中档题．8．用两种方法解答：已知m、n是关于x的方程x2+（p﹣2）x+1＝0两个实数根，求代数式（m2+mp+1）（n2+np+1）的值．【分析】本题主要是利用韦达定理来计算．已知m、n是关于x的方程x2+（p﹣2）x+1＝0两个实数根，有四个等式可供使用：m+n＝2﹣p①，mn＝1②，m2+（p﹣2）m+1＝0③，n2+（p﹣2）n+1＝0④．通过变形方法，合理地选择解题方法．【解答】解：∵m、n是x2+（p﹣2）x+1＝0的根，∴m+n＝2﹣p，mn＝1．方法一：m2+（p﹣2）m+1＝0，n2+（p﹣2）n+1＝0．即m2+pm+1＝2m，n2+pn+1＝2n．原式＝2m×2n＝4mn＝4．方法二：（m2+mp+1）（n2+np+1）＝（m2+mp）（n2+np）+m2+mp+n2+np+1＝m2n2+m2np+mpn2+mnp2+m2+mp+n2+np+1＝1+mp+np+p2+m2+n2+mp+np+1＝2+p2+m2+n2+2（m+n）p＝2+p2+m2+n2+2（2﹣p）p＝2+p2+m2+n2+4p﹣2p2＝2+（m+n）2﹣2mn+4p﹣2p2+p2＝2+（2﹣p）2﹣2+4p﹣2p2+p2＝4﹣4p+p2+4p﹣p2＝4．【点评】本题主要是通过根与系数的关系来求值．注意把所求的代数式转化成m+n＝2﹣p，mn＝1的形式，正确对所求式子进行变形是解题的关键．9．如图，有一直径MN＝4的半圆形纸片，其圆心为点P，从初始位置Ⅰ开始，在无滑动的情况下沿数轴向右翻滚至位置Ⅴ，其中，位置Ⅰ中的MN平行于数轴，且半⊙P与数轴相切于原点O；位置Ⅱ和位置Ⅳ中的MN垂直于数轴；位置Ⅲ中的MN在数轴上；位置Ⅴ中的点N到数轴的距离为3，且半⊙P与数轴相切于点A．解答下列问题：（1）位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为2；位置Ⅱ中的半⊙P与数轴的位置关系是相切；（2）求位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数；（3）纸片半⊙P从位置Ⅲ翻滚到位置Ⅳ时，求点N所经过路径长及该纸片所扫过图形的面积；（4）求OA的长．[（2），（3），（4）中的结果保留π]．【分析】（1）先求出圆的半径，再根据切线的性质进行解答；（2）根据位置Ⅰ中的长与数轴上线段ON相等求出的长，再根据弧长公式求出的长，进而可得出结论；（3）作NC垂直数轴于点C，作PH⊥NC于点H，连接P A，则四边形PHCA为矩形，在Rt△NPH中，根据sin∠NPH＝＝即可∠NPH、∠MP A的度数，进而可得出的长，【解答】解：（1）∵⊙P的直径＝4，∴⊙P的半径＝2，∵⊙P与直线有一个交点，∴位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为2；位置Ⅱ中的半⊙P与数轴的位置关系是相切；故答案为：2，相切；（2）位置Ⅰ中的长与数轴上线段ON相等，∵的长为＝π，NP＝2，∴位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数为π+2．（3）点N所经过路径长为＝2π，S半圆＝＝2π，S扇形＝＝4π，半⊙P所扫过图形的面积为2π+4π＝6π．（4）如图，作NC垂直数轴于点C，作PH⊥NC于点H，连接P A，则四边形PHCA为矩形．在Rt△NPH中，PN＝2，NH＝NC﹣HC＝NC﹣P A＝1，于是sin∠NPH＝＝，∴∠NPH＝30°．∴∠MP A＝60°．从而的长为＝，于是OA的长为π+4+π＝π+4．【点评】本题考查的是直线与圆的关系、弧长的计算、扇形的面积公式，在解答此题时要注意Ⅰ中的长与数轴上线段ON相等的数量关系．10．⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，如图（1），连接O2O1并延长交⊙O1于P点，连接P A、PB并分别延长交⊙O2于C、D两点，连接CO2并延长交⊙O2于E点．已知⊙O2的半径为R，设∠CAD＝α．（1）求CD的长（用含R、α的式子表示）；（2）试判断CD与PO1的位置关系，并说明理由；（3）设点P’为⊙O1上（⊙O2外）的动点，连接P’A、P’B并分别延长交⊙O2于C’、D’，请你探究∠C’AD’是否等于α？C’D’与P’O1的位置关系如何？并说明理由．（注：图（2）与图（3）中⊙O1和⊙O2的大小及位置关系与图（1）完全相同，若你感到继续在图（1）中探究问题（3），图形太复杂，不便于观察，可以选择图（2）或图（3）中的一图说明理由）．【分析】（1）作⊙O2的直径CE，连接DE．根据圆周角定理的推论，得∠E＝∠CAD＝α，再利用解直角三角形的知识求解；（2）连接AB，延长PO1与⊙O1相交于点E，连接AE．根据圆内接四边形的性质，得∠ABP′＝∠C′，根据圆周角定理的推论，得∠ABP′＝∠E，∠EAP′＝90°，从而证明∠AP′E+∠C′＝90°，则CD与PO1的位置关系是互相垂直；（3）根据同弧所对的圆周角相等，则说明∠C’AD’等于α；根据（2）中的证明过程，则可以证明C’D’与P’O1的位置关系是互相垂直．【解答】解：（1）连接DE．根据圆周角定理的推论，得∠E＝∠CAD＝α．∵CE是直径，∴∠CDE＝90°．∴CD＝CE•sin E＝2R sinα；（2）CD与PO1的位置关系是互相垂直．理由如下：连接AB，延长PO1与⊙O1相交于点E，连接AE．∵四边形BAC′D′是圆内接四边形，∴∠ABP′＝∠C′．∵P′E是直径，∴∠EAP′＝90°，∴∠AP′E+∠E＝90°．又∠ABP′＝∠E，∴∠AP′E+∠C′＝90°，即CD与PO1的位置关系是互相垂直；（3）根据同弧所对的圆周角相等，则说明∠C’AD’等于α；根据（2）中的证明过程，则可以证明C’D’与P’O1的位置关系是互相垂直．【点评】此题综合运用了圆周角定理及其推论、直角三角形的性质、圆内接四边形的性质．注意：连接两圆的公共弦、构造直径所对的圆周角都是圆中常见的辅助线．11．经统计分析，某市跨河大桥上的车流速度v（千米/小时）是车流密度x（辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到220辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为80千米/小时，研究表明：当20≤x≤220时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（1）求大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度；（2）在交通高峰时段，为使大桥上的车流速度大于40千米/小时且小于60千米/小时，应控制大桥上的车流密度在什么范围内？（3）车流量（辆/小时）是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量＝车流速度×车流密度．求大桥上车流量y的最大值．【分析】（1）当20≤x≤220时，设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v＝kx+b，根据题意的数量关系建立方程组求出其解即可；（2）由（1）的解析式建立不等式组求出其解即可；（3）设车流量y与x之间的关系式为y＝vx，当x＜20和20≤x≤220时分别表示出函数关系由函数的性质就可以求出结论．【解答】解：（1）设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v＝kx+b，由题意，得，解得：，∴当20≤x≤220时，v＝﹣x+88，当x＝100时，v＝﹣×100+88＝48（千米/小时）；（2）由题意，得，解得：70＜x＜120．∴应控制大桥上的车流密度在70＜x＜120范围内；（3）设车流量y与x之间的关系式为y＝vx，当0≤x≤20时y＝80x，∴k＝80＞0，∴y随x的增大而增大，∴x＝20时，y最大＝1600；当20≤x≤220时y＝（﹣x+88）x＝﹣（x﹣110）2+4840，∴当x＝110时，y最大＝4840．∵4840＞1600，∴当车流密度是110辆/千米，车流量y取得最大值是每小时4840辆．【点评】本题考查了车流量＝车流速度×车流密度的运用，一次函数的解析式的运用，一元一次不等式组的运用，二次函数的性质的运用，解答时求出函数的解析式是关键．12．在△ABC中，AB＝BC，将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转得△A1B1C1，使点C1落在直线BC上（点C1与点C不重合），（1）如图，当∠C＞60°时，写出边AB1与边CB的位置关系，并加以证明；（2）当∠C＝60°时，写出边AB1与边CB的位置关系（不要求证明）；（3）当∠C＜60°时，请你在如图中用尺规作图法作出△AB1C1（保留作图痕迹，不写作法），再猜想你在（1）、（2）中得出的结论是否还成立并说明理由．【分析】（1）AB1∥BC．因为等腰三角形，两底角相等，再根据平行线的判定，内错角相等两直线平行，可证明两直线平行．（2）当∠C＝60°时，写出边AB1与边CB的位置关系也是平行，证明方法同（1）题．（3）成立，根据旋转变换的性质画出图形．利用三角形全等即可证明．【解答】解：（1）AB1∥BC．证明：由已知得△ABC≌△AB1C1，∴∠BAC＝∠B1AC1，∠B1AB＝∠C1AC，∵AC1＝AC，∴∠AC1C＝∠ACC1，∵∠C1AC+∠AC1C+∠ACC1＝180°，∴∠C1AC＝180°﹣2∠ACC1，同理，在△ABC中，∵BA＝BC，∴∠ABC＝180°﹣2∠ACC1，∴∠ABC＝∠C1AC＝∠B1AB，∴AB1∥BC．（5分）（2）如图1，∠C＝60°时，AB1∥BC．（7分）（3）如图，当∠C＜60°时，（1）、（2）中的结论还成立．证明：显然△ABC≌△AB1C1，∴∠BAC＝∠B1AC1，∴∠B1AB＝∠C1AC，∵AC1＝AC，∴∠AC1C＝∠ACC1，∵∠C1AC+∠AC1C+∠ACC1＝180°，∴∠C1AC＝180°﹣2∠ACC1，同理，在△ABC中，∵BA＝BC，∴∠ABC＝180°﹣2∠ACC1，∴∠ABC＝∠C1AC＝∠B1AB，∴AB1∥BC．（13分）【点评】考查图形的旋转，等腰三角形的性质，平行线的判定．本题实质是考查对图形旋转特征的理解，旋转前后的图形是全等的．13．如图，已知△BEC是等边三角形，∠AEB＝∠DEC＝90°，AE＝DE，AC，BD的交点为O．（1）求证：△AEC≌△DEB；（2）若∠ABC＝∠DCB＝90°，AB＝2 cm，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）在△AEC和△DEB中，已知AE＝DE，BE＝CE，且夹角相等，根据边角边可证全等．（2）由图可知，在连接EO并延长EO交BC于点F，连接AD之后，整个图形是一个以EF所在直线对称的图形．即△AEO和△DEO面积相等，只要求出其中一个即可，而三角形AEO面积＝•OE•FB，所以解题中心即为求出OE和FB，有（1）中结论和已知条件即可求解．【解答】（1）证明：∵∠AEB＝∠DEC＝90°，∴∠AEB+∠BEC＝∠DEC+∠BEC，即∠AEC＝∠DEB，∵△BEC是等边三角形，∴CE＝BE，又AE＝DE，∴△AEC≌△DEB．（2）解：连接EO并延长EO交BC于点F，连接AD．由（1）知AC＝BD．∵∠ABC＝∠DCB＝90°，∴∠ABC+∠DCB＝180°，∴AB∥DC，AB＝＝CD，∴四边形ABCD为平行四边形且是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD，又∵BE＝CE，∴OE所在直线垂直平分线段BC，∴BF＝FC，∠EFB＝90°．∴OF＝AB＝×2＝1，∵△BEC是等边三角形，∴∠EBC＝60°．在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝90°﹣60°＝30°，∴BE＝AB•cos30°＝，在Rt△BFE中，∠BFE＝90°，∠EBF＝60°，∴BF＝BE•cos60°＝，EF＝BE•sin60°＝，∴OE＝EF﹣OF＝＝，∵AE＝ED，OE＝OE，AO＝DO，∴△AOE≌△DOE．∴S△AOE＝S△DOE∴S阴影＝2S△AOE＝2וEO•BF＝2×××＝（cm2）．【点评】考查综合应用等边三角形、等腰三角形、解直角三角形、直角三角形性质，进行逻辑推理能力和运算能力．14．如图，一次函数y＝﹣x﹣2的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，P为AB的中点，PC⊥x轴于点C，延长PC交反比例函数y＝（x＜0）的图象于点Q，且tan∠AOQ＝．（1）求k的值；（2）连接OP、AQ，求证：四边形APOQ是菱形．【分析】（1）由一次函数解析式确定A点坐标，进而确定C，Q的坐标，将Q的坐标代入反比例函数关系式可求出k的值．（2）由（1）可分别确定QC＝CP，AC＝OC，且QP垂直平分AO，故可证明四边形APOQ是菱形．【解答】（1）解：∵y＝﹣x﹣2令y＝0，得x＝﹣4，即A（﹣4，0）由P为AB的中点，PC⊥x轴可知C点坐标为（﹣2，0）又∵tan∠AOQ＝可知QC＝1∴Q点坐标为（﹣2，1）将Q点坐标代入反比例函数得：1＝，∴可得k＝﹣2；（2）证明：由（1）可知QC＝PC＝1，AC＝CO＝2，且A0⊥PQ∴四边形APOQ是菱形．【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，又结合了几何图形进行考查，属于综合性比较强的题目，有一定难度．15．如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，以AB为直径的⊙O经过点C．过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P．点D为圆上一点，且＝，弦AD的延长线交切线PC于点E，连接BC．（1）判断OB和BP的数量关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为2，求AE的长．【分析】（1）首先连接OC，由PC切⊙O于点C，可得∠OCP＝90°，又由∠BAC＝30°，即可求得∠COP＝60°，∠P＝30°，然后根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，证得OB＝BP；（2）由（1）可得OB＝OP，即可求得AP的长，又由＝，即可得∠CAD＝∠BAC＝30°，继而求得∠E＝90°，继而在Rt△AEP中求得答案．【解答】解：（1）OB＝BP．理由：连接OC，∵PC切⊙O于点C，∴∠OCP＝90°，∵OA＝OC，∠OAC＝30°，∴∠OAC＝∠OCA＝30°，∴∠COP＝60°，∴∠P＝30°，在Rt△OCP中，OC＝OP＝OB＝BP；（2）由（1）得OB＝OP，∵⊙O的半径是2，∴AP＝3OB＝3×2＝6，∵＝，∴∠CAD＝∠BAC＝30°，∴∠BAD＝60°，∵∠P＝30°，∴∠E＝90°，在Rt△AEP中，AE＝AP＝×6＝3．【点评】此题考查了切线的性质、直角三角形的性质以及圆周角定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．16．如图，菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”．在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等．（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为m°和n°，将菱形的“接近度”定义为|m﹣n|，于是|m﹣n|越小，菱形越接近于正方形．①若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于40；②当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形．（2）设矩形相邻两条边长分别是a和b（a≤b），将矩形的“接近度”定义为|a﹣b|，于是|a﹣b|越小，矩形越接近于正方形．你认为这种说法是否合理？若不合理，给出矩形的“接近度”一个合理定义．【分析】（1）根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，相似图形的“接近度”相等．所以若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于|m﹣n|；当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形；（2）不合理，举例进行说明．【解答】解：（1）①∵内角为70°，∴与它相邻内角的度数为110°．∴菱形的“接近度”＝|m﹣n|＝|110﹣70|＝40．②当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形．（2）不合理．例如，对两个相似而不全等的矩形来说，它们接近正方形的程度是相同的，但|a﹣b|却不相等．合理定义方法不唯一．如定义为，越接近1，矩形越接近于正方形；越大，矩形与正方形的形状差异越大；当时，矩形就变成了正方形，即只有矩形的越接近1，矩形才越接近正方形．【点评】正确理解“接近度”的意思，矩形的“接近度”|a﹣b|越小，矩形越接近于正方形．这是解决问题的关键．17．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1，0）①画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；②画出将△ABC绕原点O按逆时针旋转90°所得的△A2B2C2；③△A1B1C1与△A2B2C2成轴对称图形吗？若成轴对称图形，画出所有的对称轴；④△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称图形吗？若成中心对称图形，写出所有的对称中心的坐标．【分析】（1）将三角形的各顶点，向x轴作垂线并延长相同长度得到三点的对应点，顺次连接；（2）将三角形的各顶点，绕原点O按逆时针旋转90°得到三点的对应点．顺次连接各对应点得△A2B2C2；（3）从图中可发现成轴对称图形，根据轴对称图形的性质画出对称轴即连接两对应点的线段，做它的垂直平分线；（4）成中心对称图形，画出两条对应点的连线，交点就是对称中心．【解答】解：如下图所示：（3）成轴对称图形，根据轴对称图形的性质画出对称轴即连接两对应点的线段，作它的垂直平分线，或连接A1C1，A2C2的中点的连线为对称轴．（4）成中心对称，对称中心为线段BB2的中点P，坐标是（，）．【点评】本题综合考查了图形的变换，在图形的变换中，关键是找到图形的对应点．18．如图，矩形ABCD的边AD、AB分别与⊙O相切于点E、F，（1）求的长；（2）若，直线MN分别交射线DA、DC于点M、N，∠DMN＝60°，将直线MN沿射线DA方向平移，设点D到直线的距离为d，当时1≤d≤4，请判断直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由．【分析】（1）连接OE、OF，利用相切证明四边形AFOE是正方形，再根据弧长公式求弧长；（2）先求出直线M1N1与圆相切时d的值，结合1≤d≤4，划分d的范围，分类讨论．【解答】解：（1）连接OE、OF，∵矩形ABCD的边AD、AB分别与⊙O相切于点E、F，∴∠A＝90°，∠OEA＝∠OF A＝90°∴四边形AFOE是正方形∴∠EOF＝90°，OE＝AE＝∴的长＝＝π．（2）如图，将直线MN沿射线DA方向平移，当其与⊙O相切时，记为M1N1，切点为R，交AD于M1，交BC于N1，连接OM1、OR，∵M1N1∥MN∴∠DM1N1＝∠DMN＝60°∴∠EM1N1＝120°∵MA、M1N1切⊙O于点E、R∴∠EM1O＝∠EM1N1＝60°在Rt△EM1O中，EM1＝＝＝1∴DM1＝AD﹣AE﹣EM1＝+5﹣﹣1＝4．过点D作DK⊥M1N1于K在Rt△DM1K中DK＝DM1×sin∠DM1K＝4×sin∠60°＝2即d＝2，∴当d＝2时，直线MN与⊙O相切，当1≤d＜2时，直线MN与⊙O相离，当直线MN平移到过圆心O时，记为M2N2，点D到M2N2的距离d＝DK+OR＝2+＝3＞4，∴当2＜d≤4时，MN直线与⊙O相交．【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d 与圆半径大小关系完成判定．19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，Rt△BAP中，∠BAP＝90°，已知∠CBO＝∠ABP，BP交AC于点O，E为AC上一点，且AE＝OC．（1）求证：AP＝AO；（2）求证：PE⊥AO；（3）当AE＝AC，AB＝10时，求线段BO的长度．【分析】（1）根据等角的余角相等证明即可；（2）过点O作OD⊥AB于D，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CO＝DO，利用“SAS”证明△APE和△OAD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AEP＝∠ADO＝90°，从而得证；（3）设C0＝3k，AC＝8k，表示出AE＝CO＝3k，AO＝AP＝5k，然后利用勾股定理列式求出PE＝4k，BC＝BD＝10﹣4k，再根据相似三角形对应边成比例列式求出k＝1然后在Rt △BDO中，利用勾股定理列式求解即可．【解答】（1）证明：∵∠C＝90°，∠BAP＝90°∴∠CBO+∠BOC＝90°，∠ABP+∠APB＝90°，又∵∠CBO＝∠ABP，∴∠BOC＝∠APB，∵∠BOC＝∠AOP，∴∠AOP＝∠APB，∴AP＝AO；（2）证明：如图，过点O作OD⊥AB于D，∵∠CBO＝∠ABP，∴CO＝DO，∵AE＝OC，∴AE＝OD，∵∠AOD+∠OAD＝90°，∠P AE+∠OAD＝90°，∴∠AOD＝∠P AE，在△AOD和△P AE中，，∴△AOD≌△P AE（SAS），∴∠AEP＝∠ADO＝90°∴PE⊥AO；（3）解：设AE＝OC＝3k，∵AE＝AC，∴AC＝8k，∴OE＝AC﹣AE﹣OC＝2k，∴OA＝OE+AE＝5k．由（1）可知，AP＝AO＝5k．如图，过点O作OD⊥AB于点D，∵∠CBO＝∠ABP，∴OD＝OC＝3k．在Rt△AOD中，AD＝＝＝4k．∴BD＝AB﹣AD＝10﹣4k．∵OD∥AP，∴，即解得k＝1，∵AB＝10，PE＝AD，∴PE＝AD＝4K，BD＝AB﹣AD＝10﹣4k＝6，OD＝3在Rt△BDO中，由勾股定理得：BO＝＝＝3．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，（2）作辅助线构造出过渡线段DO并得到全等三角形是解题的关键，（3）利用相似三角形对应边成比例求出k＝1是解题的关键．20．如图，AD是⊙O的直径．（1）如图①，垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2把圆周4等分，则∠B1的度数是22.5°，∠B2的度数是67.5°；（2）如图②，垂直于AD的三条弦B1C1，B2C2，B3C3把圆周6等分，分别求∠B1，∠B2，∠B3的度数；（3）如图③，垂直于AD的n条弦B1C1，B2C2，B3C3，…，B n∁n把圆周2n等分，请你用含n的代数式表示∠B n的度数（只需直接写出答案）．【分析】根据条件可以先求出圆的各段弧的度数，根据圆周角等于所对弧的度数的一半，就可以求出圆周角的度数．【解答】解：（1）垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2把圆周4等分，则是圆的，因而度数是45°，因而∠B1的度数是22.5°，同理的度数是135度，因而，∠B2的度数是67.5°；（2）∵圆周被6等分∴＝＝＝360°÷6＝60°∵直径AD⊥B1C1∴＝＝30°，∴∠B1＝＝15°∠B2＝＝×（30°+60°）＝45°∠B3＝＝×（30°+60°+60°）＝75°；（3）B n∁n把圆周2n等分，则弧BnD的度数是：，则∠B n AD＝，在直角△AB n D中，．【点评】本题是把求圆周角的度数的问题转化为求弧的度数的问题，依据是圆周角等于所对弧的度数的一半．21．今年，我国政府为减轻农民负担，决定在5年内免去农业税．某乡今年人均上缴农业税25元，若两年后人均上缴农业税为16元，假设这两年降低的百分率相同．（1）求降低的百分率；（2）若小红家有4人，明年小红家减少多少农业税？（3）小红所在的乡约有16000农民，问该乡农民明年减少多少农业税？【分析】（1）设降低的百分率为x，则降低一次后的数额是25（1﹣x），再在这个数的基础上降低x，则变成25（1﹣x）（1﹣x）即25（1﹣x）2，据此即可列方程求解；（2）每人减少的税额是25x，则4个人的就是4×25x，代入（1）中求得的x的值，即可求解；（3）每个人减少的税额是25x，乘以总人数16000即可求解．【解答】解：（1）设降低的百分率为x，依题意有，25（1﹣x）2＝16，解得，x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（舍去）；。
中考数学专题压轴题(内含答案)
中考数学专题压轴题1. 已知：如图，在△ABC中，AB=BC，D是AC中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F．（1）求证：AC与⊙O相切；（2）当BD=6，sinC=时，求⊙O的半径．证明：（1）连接OE，∵AB=BC且D是AC中点，∴BD⊥AC，∵BE平分∠ABD，∴∠ABE=∠DBE，∵OB=OE ∴∠OBE=∠OEB，∴∠OEB=∠DBE，∴OE∥BD，∵BD⊥AC，∴OE⊥AC，∵OE为⊙O半径，∴AC与⊙O相切．（2）解：∵BD=6，sinC=，BD⊥AC，∴BC=10，∴AB=BC=10，设⊙O 的半径为r，则AO=10﹣r，∵AB=BC，∴∠C=∠A，∴sinA=sinC=，∵AC与⊙O相切于点E，∴OE⊥AC，∴sinA===，∴r=，答：⊙O 的半径是．2. 如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠ACD=∠AOC，AD⊥CD于点D．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AB=10，AD=2，求AC的长．解：（1）∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∵∠AOC+∠OCA+∠OAC=180°，∴∠AOC+2∠OCA=180°，∴∠AOC+∠OCA=90°，∵∠ACD=∠AOC，∴∠ACD+∠OCA=90°，即∠DCO=90°，又∵OC是半径，∴CD是⊙O的切线；…（3分）（2）过点A作AE⊥OC，垂足为E，可得∠AEC=90°，由（1）得∠DCO=90°，∵AD⊥CD，∴∠D=90°，∴四边形DCEA是矩形，又AD=2，∴CE=AD=2，…（4分）∵AB是直径，且AB=10，∴OA=OC=5，∴OE=OC﹣CE=5﹣2=3，∴在Rt△AEO中，OA=5，OE=3，根据勾股定理得：AE==4，…（5分）∴在Rt△ACE中，CE=2，AE=4，根据勾股定理得：AC==2．…（6分）3. 如图，点C是以AB为直径的⊙O上的一点，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为点D．（1）求证：AC平分∠BAD；（2）若CD=1，AC=，求⊙O的半径长．证明：（1）连接OC．∵OA=OC，∴∠ACO=∠CAO．∵CD切⊙O于C，∴OC⊥CD，又∵AD⊥CD，∴AD∥CO，∴∠DAC=∠ACO，∴∠DAC=∠CAO，即AC平分∠BAD；（2）解法一：如图2①，过点O作OE⊥AC于E．在Rt△ADC中，AD===3，∵OE⊥AC，∴AE=AC=．∵∠CAO=∠DAC，∠AEO=∠ADC=90°，∴△AEO∽△ADC，∴，即，∴AO=，即⊙O 的半径为．解法二：如图2②，连接BC．在Rt△ADC中，AD===3．∵AB是⊙O直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=∠DAC，∠ACB=∠ADC=90°，∴△ABC∽△ACD，∴，即，∴AB=，∴=，即⊙O 的半径为．4. 如图，⊙O的直径AB=10，C、D 是圆上的两点，且．设过点D的切线ED交AC的延长线于点F．连接OC交AD于点G．（1）求证：DF⊥AF．（2）求OG的长．解：（1）连接OD，则OD⊥EF，∵，∴∠CAD=∠DAB=30°，∵AO=DO，∴∠OAD=∠ADO，∴∠FAD=∠ADO，∴AF∥DO，∴DF⊥AF．（2）在Rt△ABD中，∠BAD=30°，AB=10，∴BD=5，∵=，∴OG垂直平分AD，∴OG是△ABD的中位线，∴OG=BD=．5. 已知：⊙O的直径为3，线段AC=4，直线AC和PM分别与⊙O相切于点A，M．（1）求证：点P是线段AC的中点；（2）求sin∠PMC的值．证明：（1）连结OM，如图，∵直线AC和PM分别与⊙O相切于点A，M，∴PM=PA，OM⊥MP，BA⊥AC，∴∠OMP=90°，∠BAC=90°，∴∠1+∠2=90°，∠B+∠C=90°，而∠2=∠B，∴∠1=∠C，∴PC=PM，∴PA=PC，∴点P是线段AC的中点；（2）解：由（1）∠PMC=∠C，在Rt△ABC中，AB=3，AC=4，∴BC==5，∴sin∠C==，即sin∠PMC=．6.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作半圆⊙O，交BC于点D，连接AD，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙0的切线．（2）如果⊙0的半径为5，sin∠ADE=，求BF的长．证明：（1）连接OD，如图，∵AB为⊙0的直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴AD平分BC，即DB=DC，∵OA=OB，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴EF是⊙0的切线；（2）解：∵∠DAC=∠DAB，∴∠ADE=∠ABD，在Rt△ADB中，sin∠ADE=sin∠ABD==，而AB=10，∴AD=8，在Rt△ADE中，sin∠ADE==，∴AE=，∵OD∥AE，∴△FDO∽△FEA，∴=，即=，∴BF=．7.如图，AB是⊙O的直径，∠B=∠CAD．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若点E 是的中点，连接AE交BC于点F，当BD=5，CD=4时，求AF的值．解：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=∠ADC=90°，∵∠B=∠CAD，∠C=∠C，∴△ADC∽△BAC，∴∠BAC=∠ADC=90°，∴BA⊥AC，∴AC是⊙O的切线．（2）∵BD=5，CD=4，∴BC=9，∵△ADC∽△BAC（已证），∴=，即AC2=BC×CD=36，解得：AC=6，在Rt△ACD中，AD==2，∵∠CAF=∠CAD+∠DAE=∠ABF+∠BAE=∠AFD，∴CA=CF=6，∴DF=CA﹣CD=2，在Rt△AFD中，AF==2．8. 如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，∠DBC=∠BAC．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，∠BAC=30°，求图中阴影部分的面积．证明：（1）∵AB为⊙O直径，∴∠ADB=90°，∴∠BAC+∠ABD=90°，∵∠DBC=∠BAC，∴∠DBC+∠ABD=90°，∴AB⊥BC，∵AB为直径，∴BC是⊙O切线；（2）解：连接OD，过O作OM⊥BD于M，∵∠BAC=30°，∴∠BOD=2∠A=60°，∵OB=OD，∴△OBD是等边三角形，∴OB=BD=OD=2，∴BM=DM=1，由勾股定理得：OM=，∴阴影部分的面积S=S扇形DOB﹣S△DOB =﹣×2×=π﹣．9. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于点D，DE⊥AC于点E，BE 交⊙O于点F，连接AF，AF的延长线交DE于点P．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）求tan∠ABE的值；（3）若OA=2，求线段AP的长．证明：（1）连接AD、OD，如图，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵AB=AC，∴AD垂直平分BC，即DC=DB，∴OD为△BAC的中位线，∴OD∥AC，而DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）解：∵OD⊥DE，DE⊥AC，∴四边形OAED为矩形，而OD=OA，∴四边形OAED为正方形，∴AE=AO，∴tan∠ABE==；（3）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB=90°，∴∠ABF+∠FAB=90°，而∠EAP+∠FAB=90°，∴∠EAP=∠ABF，∴tan∠EAP=tan∠ABE=，在Rt△EAP中，AE=2，∵tan∠EAP==，∴EP=1，∴AP==．10.如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作半圆⊙O交AC与点D，点E为BC的中点，连接DE．（1）求证：DE是半圆⊙O的切线．（2）若∠BAC=30°，DE=2，求AD的长．证明：（1）连接OD，OE，∵AB为圆O的直径，∴∠ADB=∠BDC=90°，在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，∴DE=BE，在△OBE和△ODE中，，∴△OBE≌△ODE（SSS），∴∠ODE=∠ABC=90°，则DE为圆O的切线；（2）在Rt△ABC中，∠BAC=30°，∴BC=AC，∵BC=2DE=4，∴AC=8，又∵∠C=60°，DE=DC，∴△DEC为等边三角形，即DC=DE=2，则AD=AC﹣DC=6．11. 如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．（1）BD与CD有什么数量关系，并说明理由；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形并说明理由．解：（1）BD=CD．理由如下：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE，∵E是AD的中点，∴AE=DE，在△AEF和△DEC 中，，∴△AEF≌△DEC（AAS），∴AF=CD，∵AF=BD，∴BD=CD；（2）当△ABC满足：AB=AC时，四边形AFBD是矩形．理由如下：∵AF∥BD，AF=BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∵AB=AC，BD=CD，∴∠ADB=90°，∴▱A FBD是矩形．12. （一定要看会）已知抛物线的方程C1：1(2)()y x x mm=-+-(m＞0)与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．（1）若抛物线C1过点M(2, 2)，求实数m的值；（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH＋EH最小，求出点H的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．解：（1）将M (2, 2)代入1(2)()y x x m m =-+-，得124(2)m m =-⨯-．解得m ＝4． （2）当m ＝4时，2111(2)(4)2442y x x x x =-+-=-++．所以C (4, 0)，E (0, 2)．所以S △BCE ＝1162622BC OE ⋅=⨯⨯=．（3）如图2，抛物线的对称轴是直线x ＝1，当H 落在线段EC 上时，BH ＋EH 最小．设对称轴与x 轴的交点为P ，那么HP EOCP CO=． 因此234HP =．解得32HP =．所以点H 的坐标为3(1,)2．（4）①如图3，过点B 作EC 的平行线交抛物线于F ，过点F 作FF ′⊥x 轴于F ′．由于∠BCE ＝∠FBC ，所以当CE BCCB BF=，即2BC CE BF =⋅时，△BCE ∽△FBC ． 设点F 的坐标为1(,(2)())x x x m m -+-，由''FF EO BF CO =，得1(2)()22x x m m x m+-=+． 解得x ＝m ＋2．所以F ′(m ＋2, 0)．由'CO BF CE BF =，得244m m BF m +=+．所以2(4)4m m BF m ++=． 由2BC CE BF =⋅，得222(4)4(2)4m m m m m+++=+⨯．整理，得0＝16．此方程无解．图2 图3 图4②如图4，作∠CBF ＝45°交抛物线于F ，过点F 作FF ′⊥x 轴于F ′，由于∠EBC ＝∠CBF ，所以BE BCBC BF=，即2BC BE BF =⋅时，△BCE ∽△BFC ． 在Rt △BFF ′中，由FF ′＝BF ′，得1(2)()2x x m x m +-=+．解得x ＝2m ．所以F ′(2,0)m ．所以BF ′＝2m ＋2，2(22)BF m =+．由2BC BE BF =⋅，得2(2)222(22)m m +=⨯+．解得222m =±．综合①、②，符合题意的m 为222+．13.已知:如图,抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴、y 轴分别相交于点A （-1，0）、B （0，3）两点，其顶点为D.（1） 求该抛物线的解析式；（2） 若该抛物线与x 轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE 的面积；（3） △AOB 与△BDE 是否相似如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由.（注：抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)的顶点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a bac a b 44,22）解：（1）由已知得：310c b c =⎧⎨--+=⎩解得 c=3,b=2∴抛物线的线的解析式为223y x x =-++ (2)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）所以对称轴为x=1,A,E 关于x=1对称，所以E(3,0) 设对称轴与x 轴的交点为F所以四边形ABDE 的面积=ABO DFE BOFD S S S ∆∆++梯形=111()222AO BO BO DF OF EF DF ⋅++⋅+⋅ =11113(34)124222⨯⨯++⨯+⨯⨯ =9（3）相似如图，2222112BG DG ++=22223332BO OE +=+=yxD EA BFOG==所以2220BD BE +=, 220DE =即： 222BD BE DE +=,所以BDE ∆是直角三角形所以90AOB DBE ∠=∠=︒,且2AO BO BD BE ==, 所以AOB DBE ∆∆:.14.如图，在平面直角坐标系中，直线y =-x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线2(0)y ax x c a =-+≠经过A B C ，，三点． （1）求过A B C ，，三点抛物线的解析式并求出顶点F 的坐标；（2）在抛物线上是否存在点P ，使ABP △为直角三角形，若存在，直接写出P 点坐标；若不存在，请说明理由；（3）试探究在直线AC 上是否存在一点M ，使得MBF △的周长最小，若存在，求出M 点的坐标；若不存在，请说明理由．解：过点F 作AC 的垂线交y 轴于点H ，则点H 为点F 关于直线AC 的对称点．连接BH 交AC 于点M ，则点M 即为所求． ····································································································· 11分 过点F 作FG y ⊥轴于点G ，则OB FG ∥，BC FH ∥．90BOC FGH ∴∠=∠=o ，BCO FHG ∠=∠HFG CBO ∴∠=∠同方法一可求得(30)B ，． 在Rt BOC △中，tan OBC ∠=，30OBC ∴∠=o，可求得GH GC ==， GF ∴为线段CH 的垂直平分线，可证得CFH △为等边三角形，AC ∴垂直平分FH ．即点H 为点F 关于AC的对称点．0H ⎛∴-⎝⎭， ·························································· 12分 设直线BH 的解析式为y kx b =+，由题意得03k b b =+⎧⎪⎨=⎪⎩解得k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩y ∴=··················································································································· 13分y y ⎧=⎪∴⎨⎪=⎩解得377x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩37M ⎛∴ ⎝⎭ ∴在直线AC 上存在点M ，使得MBF △的周长最小，此时377M ⎛- ⎝⎭，．15. 已知：如图14，抛物线2334y x =-+与x 轴交于点A ，点B ，与直线34y x b =-+相交于点B ，点C ，直线34y x b =-+与y 轴交于点E ． （1）写出直线BC 的解析式． （2）求ABC △的面积．（3）若点M 在线段AB 上以每秒1个单位长度的速度从A 向B 运动（不与A B ，重合），同时，点N 在射线BC 上以每秒2个单位长度的速度从B 向C 运动．设运动时间为t 秒，请写出MNB △的面积S 与t 的函数关系式，并求出点M 运动多少时间时，MNB △的面积最大，最大面积是多少x解：（1）在2334y x =-+中，令0y = 23304x ∴-+=12x ∴=，22x =-(20)A ∴-，，(20)B ， ···························································· 1分 又Q 点B 在34y x b =-+上 302b ∴=-+32b =BC ∴的解析式为3342y x =-+ ······························································································· 2分 （2）由23343342y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，得11194x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩2220x y =⎧⎨=⎩ ·································································· 4分 914C ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，，(20)B ，4AB ∴=，94CD =·················································································································· 5分 1994242ABC S ∴=⨯⨯=△ ············································································································ 6分 （3）过点N 作NP MB ⊥于点P EO MB ⊥Q NP EO ∴∥BNP BEO ∴△∽△ ··················································································································· 7分 BN NPBE EO∴=······························································································································· 8分 由直线3342y x =-+可得：302E ⎛⎫⎪⎝⎭， ∴在BEO △中，2BO =，32EO =，则52BE = 25322t NP∴=，65NP t ∴= ········································································································· 9分 16(4)25S t t ∴=-g g2312(04)55S t t t =-+<< ······································································································ 10分 2312(2)55S t =--+ ················································································································ 11分 Q 此抛物线开口向下，∴当2t =时，125S =最大∴当点M 运动2秒时，MNB △的面积达到最大，最大为125．16. 已知:如图,抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴、y 轴分别相交于点A （-1，0）、B （0，3）两点，其顶点为D.(1)求该抛物线的解析式；(2)若该抛物线与x 轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE 的面积；(3)△AOB 与△BDE 是否相似如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由. （注：抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)的顶点坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a b ac a b 44,22） xyA BCEM D PNO解：（ 1）由已知得：310c b c =⎧⎨--+=⎩解得 c=3,b=2∴抛物线的线的解析式为223y x x =-++ (2)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）所以对称轴为x=1,A,E 关于x=1对称，所以E(3,0) 设对称轴与x 轴的交点为F所以四边形ABDE 的面积=ABO DFE BOFD S S S ∆∆++梯形=111()222AO BO BO DF OF EF DF ⋅++⋅+⋅ =11113(34)124222⨯⨯++⨯+⨯⨯ =9（3）相似如图，BD=2222112BG DG +=+= BE=22223332BO OE +=+= DE=22222425DF EF +=+=所以2220BD BE +=, 220DE =即： 222BD BE DE +=,所以BDE ∆是直角三角形所以90AOB DBE ∠=∠=︒,且22AO BO BD BE ==, 所以AOB DBE ∆∆:.17. （2014.临夏州）如图14（1），抛物线22y x x k =-+与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，3-）．［图14（2）、图14（3）为解答备用图］（1）k = ，点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ； （2）设抛物线22y x x k =-+的顶点为M ，求四边形ABMC 的面积；（3）在x 轴下方的抛物线上是否存在一点D ，使四边形ABDC 的面积最大若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由。
2024年九年级中考数学专题复习：圆与二次函数的综合压轴题(含答案)
2024年九年级中考数学专题复习：圆与二次函数的综合压轴题（1）求抛物线的解析式．3．如图，在平面直角坐标系中，顶点为（B、C两点（点B在点C的左侧），已知（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线与点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴与⊙C的位置关系，并给出证明．（3）在抛物线上是否存在一点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图所示：在平面直角坐标系中,圆M经过原点O且与X轴Y轴分别相交于A（-6，0），B（0，-8）两点（1）请写出直线AB的解析式（2）若有一抛物线的对称轴平行于Y轴且经过点M，顶点C在圆M上,开口向下且经过点B．求此抛物线的函数表达式(3)设（2）中的抛物线交X轴于D、E两点，在抛物线上是否存在点P，使得．若存在，请直接写出所有点P的坐标，若不存在，请说明理由5．如图，二次函数y=a ＋bx ＋c 的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ．且B （1，0），若将△BOC 绕点O 逆时针旋转90°，所得△DOE 的顶点E 恰好与点A 重合，且△ACD 的面积为3．（1）求这个二次函数的关系式．（2）设这个二次函数图象的顶点为M ，请在y 轴上找一点P ，使得△PAM 的周长最小，并求出点P 的坐标．（3）设这个函数图象的对称轴l 交x 轴于点N ，问：A 、M 、C 、D 、N 这5个点是否会在同一个圆上？若在同一个圆上，请求出这个圆的圆心坐标，并作简要说明；若不可能，请说明理由．6．如图，在直角坐标系中，以点A （，0 ）为圆心，以2为半径的圆与x 轴相交于点B 、C ，与y 轴相交于点D 、E （1）若抛物线经过C 、D 两点，求抛物线的表达式，并判断点B 是否在该抛物线上（2）在（1）中的抛物线的对称轴上求一点P ，使得△PBD 的周长最小（3）设Q 为（1）中的抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在这样的点M ，使得四边形BCQM 是平行四边形，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由2x7．如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A，B 两点，开口向下的抛物线经过点A，B，且其顶点P在⊙C上．（1）求∠ACB的大小；（2）写出A，B两点的坐标；（3）试确定此抛物线的解析式；（4）在该抛物线上是否存在一点D，使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0，c＜0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D．（1）如图1，已知点A，B，C的坐标分别为（﹣2，0），（8，0），（0，﹣4）；①求此抛物线的表达式与点D的坐标；②若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM面积的最大值；（2）如图2，若a=1，求证：无论b，c取何值，点D均为定点，求出该定点坐标．9．如图，在平面直角坐标系中，圆M经过原点O，且与x轴、y轴分别相交于A（-8，0），B（0，-6）两点．（1）求出直线AB的函数解析式；（2）若有一抛物线的对称轴平行于y轴且经过点M，顶点C在圆M上，开口向下，且（1）求该抛物线的函数关系式及顶点12．如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线与x 轴交于点A （﹣1，0）和点B ，与y 轴相交于点C （0，3），抛物线的对称轴为直线．（1）求这条抛物线的关系式，并写出其对称轴和顶点M的坐标；（2）如果直线y=kx+b 经过C 、M 两点，且与x 轴交于点D ，点C 关于直线的对称点为N ，试证明四边形CDAN 是平行四边形；（3）点P 在直线上，且以点P 为圆心的圆经过A 、B 两点，并且与直线CD 相切，求点P 的坐标．13．在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，与直线交于点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，横坐标为的点在直线上方的抛物线上，过点作轴交2y ax 2x c =++l l l直线于点，以为直径的圆交直线于另一点．当点在轴上时，求的周长；将绕坐标平面内的某一点按顺时针方向旋转，得到，点的对应点分别是．若的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点2）（2）当△BOD为等边三角形时，求点B的坐标；（3）若以点B为圆心、r为半径作圆B，当圆B与两个坐标轴同时相切时，求点B的坐标．16．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）经过点A（3，0），B（﹣1，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M，求切点M的坐标；（3）若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：）（(3)－；（，）（，；最大值为；（3≤m≤．﹣x+x+1=；（，）或（﹣，）185。
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. . . . . word. .. 历年中考数学压轴题及答案（精选） 1.（2011年四川省宜宾市） 已知:如图,抛物线y=-x2
+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A（-1，0）、B（0，3）两点，
其顶点为D.
（1） 求该抛物线的解析式； （2） 若该抛物线与x轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE的面积； （3） △AOB与△BDE是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由.
2. （11浙江衢州）已知直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，四个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(10，0)，B(8，32)，C(0，32)，点T在线段OA上(不与线段端点重合)，将纸片折叠，使点A落在射线AB上(记为点A′)，折痕经过点T，折痕TP与射线AB交于点P，设点T的横坐标为t，折叠后纸片重叠部分(图中的阴影部分)的面积为S；
(1)求∠OAB的度数，并求当点A′在线段AB上时，S关于t的函数关系式； (2)当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t的取值范围； (3)S存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t的值；若不存在，请说明理由. . . .
. . word. .. 3. （11浙江温州）如图，在RtABC△中，90A，6AB，8AC，DE，分别是边ABAC，的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQBC于Q，过点Q作QRBA∥交AC于
R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQx，QRy．
（1）求点D到BC的距离DH的长；
（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）是否存在点P，使PQR△为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．
4.（11山东省日照市）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM＝x．
（1）用含x的代数式表示△ＭNP的面积S； （2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切？ （3）在动点M的运动过程中，记△ＭNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
5、（2007浙江金华）如图1，已知双曲线y=xk(k>0)与直线y=k′x交于A，B两点，点A在 . . .
. . word. .. 第一象限.试解答下列问题：(1)若点A的坐标为(4，2).则点B的坐标为 ；若点A的横坐标为m，则点B的坐标可表示为 ； （2）如图2，过原点O作另一条直线l，交双曲线y=xk(k>0)于P，Q两点，点P在第一象限.①说明四边形APBQ一定是平行四边形；②设点A.P的横坐标分别为m，n，四边形APBQ可能是矩形吗?可能是正方形吗?若可能，直接写出mn应满足的条件；若不可能，请说明理由.
6. （2011浙江金华）如图1，在平面直角坐标系中，己知ΔAOB是等边三角形，点A的坐标是(0，4)，点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连结AP，并把ΔAOP绕着点A按逆时针方向旋转.使边AO与AB重合.得到ΔABD.（1）求直线AB的解析式；
（2）当点P运动到点（3，0）时，求此时DP的长及点D的坐标；（3）是否存在点
P，使ΔOPD的面积等于43，若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
7.(2011浙江义乌)如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：
（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系； . . . . . word. .. ②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．
（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a，BC=b，CE=ka， CG=kb (ab，k0)，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由.
（3）在第(2)题图5中，连结DG、BE，且a=3，b=2，k=12，求22BEDG的值． 8. (2011浙江义乌)如图1所示，直角梯形OABC的顶点A、C分别在y轴正半轴与x轴负半轴上.过点B、C作直线l．将直线l平移，平移后的直线l与x轴交于点D，与y轴交于点E． （1）将直线l向右平移，设平移距离CD为t(t0)，直角梯形OABC被直线l扫过的面积（图中阴影部份）为s，s关于t的函数图象如图2所示， OM为线段，MN为抛物线的一部分，NQ为射线，N点横坐标为4．
①求梯形上底AB的长及直角梯形OABC的面积； ②当42t时，求S关于t的函数解析式； （2）在第（1）题的条件下，当直线l向左或向右平移时（包括l与直线BC重合），在直线．．AB．．上是否存在点P，使PDE为等腰直角三角形?若存在，请直接写出
所有满足条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由． . . . . . word. .. 9.(2011山东烟台)如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2.
（1）求证：△BDE≌△BCF； （2）判断△BEF的形状，并说明理由； （3）设△BEF的面积为S，求S的取值范围.
10.(2011山东烟台)如图，抛物线21:23Lyxx交x轴于A、B两点，交y轴于M
点.抛物线1L向右平移2个单位后得到抛物线2L，2L交x轴于C、D两点.
（1）求抛物线2L对应的函数表达式； （2）抛物线1L或2L在x轴上方的部分是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形.若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P是抛物线1L上的一个动点（P不与点A、B重合），那么点P关于原点的对称点Q是否在抛物线2L上，请说明理由. . . .
. . word. .. 11.2011淅江宁波)2011年5月1日，目前世界上最长的跨海大桥——杭州湾跨海大桥通车了．通车后，苏南A地到宁波港的路程比原来缩短了120千米．已知运输车速度不变时，行驶时间将从原来的3时20分缩短到2时．
（1）求A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程． （2）若货物运输费用包括运输成本和时间成本，已知某车货物从A地到宁波港的运输成本是每千米1.8元，时间成本是每时28元，那么该车货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用是多少元？
（3）A地准备开辟宁波方向的外运路线，即货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港，再从宁波港运到B地．若有一批货物（不超过10车）从A地按外运路线运到B地的运费需8320元，其中从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的每车运输费用与（2）中相同，从宁波港到B地的海上运费对一批不超过10车的货物计费方式是：一车800元，当货物每增加1车时，每车的海上运费就减少20元，问这批货物有几车？
12.(2011淅江宁波)如图1，把一张标准纸一次又一次对开，得到“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸…．已知标准纸．．．的短边长为a．
（1）如图2，把这张标准纸对开得到的“16开”张纸按如下步骤折叠：
第一步 将矩形的短边AB与长边AD对齐折叠，点B落在AD上的点B处，铺平后得折痕AE；
第二步 将长边AD与折痕AE对齐折叠，点D正好与点E重合，铺平后得折痕AF． 则:ADAB的值是 ，ADAB，的长分别是 ， ． （2）“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸的长与宽之比是否都相等？若相等，直接写出这个比值；若不相等，请分别计算它们的比值．
（3）如图3，由8个大小相等的小正方形构成“L”型图案，它的四个顶点EFGH，，，分别在“16开”纸的边ABBCCDDA，，，上，求DG的长．
①标准纸“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸……都是矩形．
②本题中所求边长或面积都用含a的代数式表示． . . .
. . word. .. （4）已知梯形MNPQ中，MNPQ∥，90M∠，2MNMQPQ，且四个顶点MNPQ，，，都在“4开”纸的边上，请直接写出2个符合条件且大小不同的直角梯
形的面积．
13.（2011山东威海）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝7，CD＝1，AD＝BC＝5．点M，N分别在边AD，BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为E，F．
（1）求梯形ABCD的面积； （2）求四边形MEFN面积的最大值． （3）试判断四边形MEFN能否为正方形，若能， 求出正方形MEFN的面积；若不能，请说明理由．
14．（2011山东威海）如图，点A（m，m＋1），B（m＋3，m－1）都在反比例函数xky的图象上．
（1）求m，k的值； （2）如果M为x轴上一点，N为y轴上一点， 以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形， 试求直线MN的函数表达式．