华师大版九年级数学中位线

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华师大版九年级数学上册授课课件：23.4 中位线

中点，AD、CE相交于点G.求证： GE GD 1 .
CE AD 3
证明：连结ED. ∵D、E分别是边BC、AB的中点，
∴DE//AC
，
DE AC
=
1 2
.
(三角形的中位线平行于第
三边，并且等于第三边的一半）.
∴△ACG∽△DEG, ∴ GE = GD DE 1 .
GC GA AC 2
知1－讲
【例2】求证:三角形的一条中位线与第三边上的中
线互相平分.
已知：如图,在 △ABC 中，AD =DB，BE=EC,
AF = FC. 求证：AE、DF互相平分.
证明：连结DE、EF.
∵AD = DB,BE = EC,
∴DE//AC(三角形的中位线平行于第
三边，并且等于第三边的一半）.
同理可得EF//BA.
猜想
如图23.4. 2，在△ABC中，点D、E分别是AB与AC 的中点.根据画出的图形，可以猜想： DE // BC,且DE = 1 BC.
2 对此，我们可以用演绎推理给出证明.
知1－导（来自教材）
证明：在△ABC中，
∵点D、E分别是AB与AC的中点，
∴ AD AE 1 .
AB AC 2
（来自《典中点》）
知2－练
2 给出以下判断： (1) 线段的中点是线段的重心； (2) 三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角形的重心； (3) 平行四边形的重心是它的两条对角线的交点； (4) 三角形的重心是它的中线的一个三等分点．那么以上判断中正确的有( ) A．一个 B．两个 C．三个 D．四个
∴ GE = GD 1 . CE AD 3
拓展
知2－导

华东师大版九年级数学上册23.4 中位线课件 (共31张PPT)

D
∠B=__6_0__°_；
（2）若 BC=8 cm，则DE= B
___4___cm.
A E C
2.已知的三角形三边分别为6、8、10，连结各边中点所成三角形的周长为__1_2___.
知识应用与拓展
例1：求证三角形的一条中位线与第三边上
的中线互相平分.
A
D
F
B
C
E
已知：如图所示，在△ ABC中，AD=DB ，
例2：如图，△ABC 中， D、E 分别是边 BC、AB的中点，AD、CE相交于 G .
求证：GE GD 1 .
CE AD 3 A
E G
B
D
C
证明：连结ED.
D、 E 分别是边 BC、 AB的中点，
DE∥ AC , DE 1 (三角形的中位线 AC 2
平行于第三边且等于第三边的一半）.
操作与思考： 1.请任画一个四边形，顺次连结四边形各边的中点. 2.猜想探索得到的四边形的形状，并说明理由.
3.由E、F分别是中点，你能联想到什么？
你应该如何做？
课堂小结
本节课你有什么收获？
1.三角形中位线是三角形中重要的线段，它与三角形中线不同.
2.三角形的中位线定理是三角形的一个重要性质定理.注意定理的条件、结论，结论是两个，具体应用时，可视具体情况选用其中一个关系或用两个关系.熟悉三角形中位线所在的图形结构，适当地构造三角形中位线定理的条件是用好定理的关键.
A
问题2：结合题目中的条
件，你感觉选用哪一种方法？ D
EF
为什么？
C
B
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

华师大版数学九年级上册《23.4 中位线》教学设计3

华师大版数学九年级上册《23.4 中位线》教学设计3一. 教材分析华师大版数学九年级上册《23.4 中位线》是学生在学习了平面几何基本概念、三角形、四边形等知识后，进一步探究中位线的性质和应用。

本节内容通过介绍中位线的定义、性质和作法，使学生理解中位线在解决三角形和四边形问题中的应用，培养学生的几何思维能力和解决问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了平面几何基本概念、三角形、四边形等知识，具备了一定的几何思维能力。

但部分学生对于中位线的性质和应用可能还比较陌生，需要通过实例和练习来进一步理解和掌握。

三. 教学目标1.了解中位线的定义、性质和作法。

2.学会运用中位线解决三角形和四边形问题。

3.培养学生的几何思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.中位线的定义和性质。

2.中位线在解决三角形和四边形问题中的应用。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和合作学习法。

通过设置问题情境，引导学生探究中位线的性质和应用；通过分析典型案例，使学生理解中位线在解决三角形和四边形问题中的应用；通过小组合作学习，培养学生解决问题的能力和团队协作精神。

六. 教学准备1.教学PPT。

2.相关案例和练习题。

3.黑板、粉笔。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一个三角形和一个四边形，引导学生观察并思考：如何找到这两个图形的中心点？引入中位线的概念。

2.呈现（15分钟）通过PPT呈现中位线的定义、性质和作法，引导学生理解并掌握中位线的相关知识。

3.操练（15分钟）让学生独立完成PPT上的练习题，检验学生对中位线知识的掌握程度。

教师巡回指导，解答学生疑问。

4.巩固（10分钟）以小组为单位，让学生运用中位线解决三角形和四边形问题。

教师参与小组讨论，指导学生解决问题。

5.拓展（10分钟）引导学生思考：中位线在实际应用中还有哪些作用？如何利用中位线解决更复杂的问题？6.小结（5分钟）教师总结本节课的主要内容，强调中位线的性质和应用。

华师大版数学九年级上册《23.4 中位线》教学设计2

华师大版数学九年级上册《23.4 中位线》教学设计2一. 教材分析华师大版数学九年级上册《23.4 中位线》是学生在学习了平面几何基本概念和性质的基础上进一步学习的知识。

本节内容主要介绍了中位线的定义、性质和应用。

通过学习本节内容，学生能够进一步理解平面几何中线段的关系，提高解决问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的平面几何基础，能够理解和运用基本概念和性质。

但学生在学习过程中，可能对中位线的性质和应用理解不够深入，需要通过实例和练习来进一步巩固。

三. 教学目标1.理解中位线的定义和性质；2.学会运用中位线解决相关问题；3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

四. 教学重难点1.中位线的定义和性质；2.中位线在解决问题中的应用。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法，通过引导学生自主探究、合作交流，提高学生对中位线知识的理解和应用能力。

六. 教学准备1.准备相关的中位线案例和练习题；2.准备课件和教学素材；3.安排课堂讨论和小组合作学习的时间和任务。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式复习平面几何中线段的概念和性质，引导学生思考线段之间的关系。

例如：在平面几何中，有哪些线段之间存在特殊的关系？2.呈现（10分钟）利用课件呈现中位线的定义和性质，通过几何图形和实例来帮助学生理解。

同时，给出中位线的符号表示，让学生学会识别和运用。

3.操练（10分钟）让学生通过观察和分析几何图形，找出其中的中位线，并运用中位线的性质来解决问题。

例如：在给定的三角形中，找出所有可能的中位线，并判断它们的性质。

4.巩固（10分钟）学生分组讨论，分享各自找到的中位线性质和应用实例。

教师引导学生进行总结和归纳，加深对中位线知识的理解。

5.拓展（10分钟）让学生尝试解决一些与中位线相关的问题，如：在三角形中，如何通过中位线来求边长、角度等？教师给予指导和点拨，帮助学生提高解决问题的能力。

华师大版九年级数学上册课件：23.4 中位线 (共11张PPT)

解：∵DE，EF，FD分别为△ABC三边的中位线，△ABC的周长为112cm, ∴DE+EF+FD= (AB+BC+AC)= ×112=56cm. 又∵DE∶EF∶FD=3∶5∶6， ∴DE=12cm，EF=20cm，DF=24cm．
跟踪训练
8.在△ABC中，AB=10cm，AC=7cm，AD平分∠BAC，CD⊥AD，垂
跟踪训练
6.如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ= CE时，EP+BP= 12 .
跟踪训练
7.已知△ABC中，D，E，F分别是△ABC三边中点，且DE∶EF∶FD=3∶5∶6，若△ABC的周长为112cm，求DE，EF，FD的长．
足为点D，点E为BC的中点.求DE的长. 解：如图，延长CD交AB于F，易证△ACD≌△AFD，∴AF=AC，DF=CD. ∵AB=10cm，AC=7cm， ∴BF=AB-AF=10-7=3cm，又∵E为BC中点， ∴DE= BF= ×3=1.5cm.

谢谢观看
第二十三章图形的相似

23.4 中位线
轻松预习
1.三角形的中位线
（1）定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形
的中位线;
（2）定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半 .
2.三角形的重心
三角形三边上的中线交于一点，这个点就是三角
形的重心，重心与一边中点连线的长是对应中线长的 .
∴F为AD的中点，又∵AE=EB，∴E为AB中点， ∴EF为△ABD的中位线，∴EF= BD．
跟踪训练

华师大版初中数学九年级上册23.4中位线课件 (共17张PPT)

E
若D，E分别是AB，AC的中点，则测出DE的长，就能求出BC的长，请说明理由.
C
B
E
D
A
练一练
已知Δ ABC的三边AB=10,AC=8,BC=6,D、E、F分别是三边的中点？ C 求Δ DEF的周长解：D、E、F分别是三边的中点 E F DE、DF、EF分别是Δ ABC的三条中位线 DE=½ BC=½ ×6=3 B A D DF=½ AC=½ ×8=4 EF=½ AB=½ ×10=5 CΔ DEF=DE+DF+EF=3+4+5=12 Δ DEF的周长是12
GH//EF
B
2
∴四边形EFGH是平行四边形
E，F是AB，BC的中点，你联想到什么？要使EF成为一个三角形的中位线应怎样添加辅助线？这时候，你都能得出哪些结论？
①有中点连线而无三角形,要作辅助线产生三角形 ②有三角形而无中位线,要连结两边中点得中位线
说一说
从例题中你能得到什么结论？
顺次连接四边形各边中点的线段组成一个平行四边形
做一做
• • • 1.剪一个三角形，记为Δ ABC 2.分别取AB、AC的中点D、E，并连接DE 3.沿DE将Δ ABC剪成两部分，并将Δ ADE绕点E旋转180°得四边形 DBCF A
观察猜想
四边形DBCF是平行四边形吗？为什么？答：四边形DBCF是平行四边形。由操作可知：Δ ADE与Δ CFE关于点E成中心对称则CF=AD,∠F=∠ADE B 由∠F=∠ADE可得：AB∥CF 又由CF=AD，AD=DB可得：DB=CF 所以四边形BCFD是平行四边形理由：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
试一试
仅给一把有刻度的卷尺，能否测出一沙堆底部两端Ａ、Ｂ间的距离？(注意﹕不能直接测量)

23.4 中位线 (课件)2024-2025-华东师大版数学九年级上册

长是对应中线长的13. 注意：经过三角形顶点和重心的直线必然平分这个
顶点的对边 .
课堂新授
知2－讲
特别解读 ●三角形的重心到顶点的距离等于它到对边中点距离的
2倍. ●三角形的重心是三角形中每条中线的一个三等分点 .
课堂新授
知2－练
例 4 如图23.4-5，延长△ABC的边BC到点D，使CD＝BC，
知1－练
证明：延长 AE 交 BC 于点 H，∵CD 平分∠ACB，AE⊥CD，
∴∠ACE＝∠HCE，∠AEC＝∠HEC＝90°，又∵CE＝CE，
∴△ACE≌△HCE，∴AE＝EH＝12AH.∵EF∥BC， ∴△AEF∽△AHC，∴AAFC＝AAHE＝12，∴AC＝2AF，∴F 是 AC 的中点．又∵G 是 BC 的中点，
课堂新授
知1－练
证明：连结EF.
由▱ABCD可得AD∥BC，AD＝BC.
∵AE＝BF，∴ED＝FC.
∴四边形ABFE和四边形EFCD都是平行四边形．∴EG＝
BG，EH＝CH.
∴GH是△EBC的中位线．∴GH∥BC.
课堂新授
知1－练
例 3 如图23.4-4，在△中，中线BE，CD相交于点O，
∴四边形ABEC是平行四边形，∴点F是BC的中点.
又易知点O是AC的中点，
∴ OF是△ABC的中位线，∴ AB＝2OF.
课堂新授
知1－练
1-1. 如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD，垂足
为E，过点E作EF∥BC，交AC于点F，G为BC的中点，
连结FG．
求证：FG＝12AB．
课堂新授
课堂新授
知2－练
5-1. 如图，在菱形ABCD中，E为AB的中点，连结DE交对

华师大版初中数学九年级上册24.4《中位线》ppt课件1

∴ △ACG∽△DEG，
图 24.4.4
∴ GE GD DE 1
GC AG AC 2
∴ GE GD 1
CE AD 3
图．24.4.4 图 24.4.5
如果在图24．4．4中，取AC 的中点F，假设BF与AD交于 G′，如图24.4.5，那么我们
同理有 GD GF 1，所以
AD BF 3
2、如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
3、如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
A
D
E
连接三角形两边中点的线段,叫做三角形的中位线
B
F
C
AF是△ABC的中线
DE是△ ABC 的中位线
A
的度数； 4、猜想DE和BC 之间有什么关系。为什么？
猜想：DE∥BC，DE＝ 1 BC 2
．
如图， △ABC 中，点D、E分别是AB与AC 的中点，证明：DE∥BC，DE＝ 1 BC
2
．
结论：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
∵点D、E分别是AB与AC的中点， ∴ DE∥BC，DE＝ 1 BC
2
．
∵点DE是△ABC 的中位线， ∴ DE∥BC，DE＝ 1 BC
2
．
A、B两点被池塘隔开，如何才能知道它们之间的距离呢？
在AB外选一点C，连结AC和
BC，并分别找出AC和BC的中点M
、N，如果测得MN = 20m，那么 A
A、B两点的距离是多少？为什
么？
M
40
20CBiblioteka NB问题A 如图1：在△ABC中，DE是中位线

华东师大版数学九年级上册23.4中位线非常讲解

中位线非常讲解课前引入同学们好！今天我们所要学习的知识是初中几何的一个重要知识要点，可以这样说，正因为有了它，才使我们许多几何题目更富有趣味性和探究性，它就是我们要学习的三角形中位线.希望同学们喜欢它，学好它.新课讲解三角形的中位线1.定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.△ABC 中，点E，F分别是AB、AC的中点，那么线段EF就是ABC的一条中位线.图12.定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.用符号语言表述为：如图1，在△ABC中，点E，F分别是AB、AC的中点，那么EF∥BC，并且12EF BC.3.注意：〔1〕三角形的中位线与三角形的中线是两个不同的概念，三角形的中线是连结一个顶点与它对边中点的线段，而三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段.显然，三角形的中位线与三角形的中线都是线段，一个三角形有三条中位线和三条中线.〔2〕三角形中位线定理是证明两线段平行和线段的倍数关系的一个重要理论依据.这也即是三角形中位线定理的作用，在应用该定理时，应找出符合定理条件的根本图形.4.应用.例1.如图2所示，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且BD=CE，M，N分别是BE、CD的中点，过M、N的直线交AB于P，交AC于点Q.求证：AP=AQ.图2 图3分析：欲证AP=AQ，可考虑证明APQ AQP∠=∠.根据题设条件，可取BC 的中点F，连结FM，FN，〔如图3〕那么MF、NF分别是BCE和BCD的中位线.利用BD=CE易证FM=FN，从而12∠=∠，由平行线的性质可知1,2APQ AQP∠=∠∠=∠，于是APQ AQP∠=∠成立，进而结论成立.证明：取BC的中点F，连结FM，FN，〔如图3〕由条件知：MF、NF分别是BCE和BCD的中位线所以FM∥AC，FN∥BD，11,22 FM CE FN BD ==所以1,2APQ AQP∠=∠∠=∠又因为BD=CE，所以FM=FN所以，12∠=∠，所以APQ AQP∠=∠，所以AP=AQ评注：假设条件中又中点，常取某一边中点，构造三角形的中位线，运用三角形中位线性质定理得到某些线段相等或角相等.。

华东师大版九年级上册中位线

证明连结DE、EF． ∵ AD＝DB，BE＝EC， ∴ DE∥AC（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半）．同理EF∥AB． ∴四边形ADEF是平行四边形．
∴ AE、DF互相平分（平行四边形
的对角线互相平分）．
例2 如图，△ABC中，D、E分别是边BC、
AB的中点，AD、CE相交于G．求证：
同理有
，所以
有
，即两图中
．
的点G与G′是重合的．
三角形三条边上的中线交
于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线
的长是对应中线长的
华东师大版九年级上册中位线2020/8/21A NhomakorabeaD
E
连结三角形两边中点的线段,叫做三角形的中位线
B
F
C
AF是△ABC的中线
DE是△ ABC 的中位线
A
D
E
B
F
C
A
D
E
B
C
中位线
中点
1、画△ABC； 2、画△ABC 的中线DE； 3、量出DE和BC 的长度，量出∠ADE和∠B
的度数； 4、猜想DE和BC 之间有什么关系。为什么？
猜想：DE∥BC，DE＝ BC
．
如图， △ABC 中，点D、E分别是AB与AC 的中点，证明：DE∥BC，DE＝ BC
．
结论：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
∵点D、E分别是AB与AC的中点， ∴ DE∥BC，DE＝ BC
．
例1 求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．
例2 如图，△ABC中，D、E分别是边BC、
AB的中点，AD、CE相交于G．求证：

华师大版数学九年级上册《23.4 中位线》说课稿2

华师大版数学九年级上册《23.4 中位线》说课稿2一. 教材分析华师大版数学九年级上册《23.4 中位线》这一节的内容，是在学生已经掌握了三角形的中位数、中位线性质的基础上进行学习的。

本节课的主要内容是让学生了解并掌握四边形的中位线性质，以及如何运用中位线解决相关问题。

教材通过丰富的情境图片和生动的语言，引导学生探究中位线的性质，从而提高学生的动手操作能力和抽象思维能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何基础知识，对三角形的中位数和中位线性质有一定的了解。

但学生在学习过程中，可能对四边形的中位线性质的理解和应用还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习需求，通过合理的教学设计和引导，帮助学生克服学习中的困难。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握四边形的中位线性质，能够运用中位线解决相关问题。

2.过程与方法目标：通过观察、操作、探究等过程，培养学生的动手操作能力和抽象思维能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学学习的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。

四. 说教学重难点1.教学重点：四边形的中位线性质及其应用。

2.教学难点：对中位线性质的理解和运用。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、合作学习法和探究式教学法。

2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、几何画板等辅助教学。

六. 说教学过程1.导入新课：通过回顾三角形的中位数和中位线性质，引出四边形的中位线性质。

2.探究新知：让学生分组讨论，观察四边形的中位线性质，引导学生发现中位线的特点。

3.巩固新知：通过例题讲解，让学生掌握中位线的性质，并能够运用中位线解决相关问题。

4.拓展与应用：设计一些富有挑战性的习题，让学生在解决问题的过程中，进一步理解和掌握中位线的性质。

5.总结与反思：让学生回顾本节课的学习内容，总结中位线的性质，反思自己在学习过程中的收获和不足。

七. 说板书设计板书设计要简洁明了，突出中位线的性质。

华师大版数学九年级上册《23.4 中位线》说课稿4

华师大版数学九年级上册《23.4 中位线》说课稿4一. 教材分析华师大版数学九年级上册《23.4 中位线》这一节的内容，主要介绍了三角形的中位线定理及其应用。

通过学习这一节内容，学生能够理解并掌握三角形中位线的性质，能够运用中位线定理解决一些相关的几何问题。

在教材中，首先通过实例引出中位线的概念，然后通过讲解和图示，让学生直观地理解中位线的性质。

接着，通过一些练习题，让学生运用中位线定理解决实际问题。

整个内容安排由浅入深，循序渐进，使得学生能够更好地理解和掌握中位线的相关知识。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识基础，对一些基本的几何图形和性质有一定的了解。

但是，对于中位线的性质和相关应用，可能还比较陌生。

因此，在教学这一节内容时，需要从学生的实际出发，通过生动的实例和图示，让学生直观地理解中位线的性质，并通过一些实际的练习题，让学生学会运用中位线定理解决问题。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：通过学习，使学生理解和掌握三角形的中位线定理，能够运用中位线定理解决一些相关的几何问题。

2.过程与方法目标：通过观察、思考、交流等过程，培养学生的几何思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和积极的学习态度。

四. 说教学重难点1.教学重点：三角形的中位线定理及其应用。

2.教学难点：理解和掌握中位线定理，能够运用中位线定理解决实际问题。

五. 说教学方法与手段在这一节课中，我将采用讲授法、讨论法和实例分析法相结合的教学方法。

通过讲解和图示，让学生直观地理解中位线的性质；通过实例分析，让学生学会运用中位线定理解决问题；通过小组讨论，培养学生的团队合作意识和几何思维能力。

六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引出中位线的概念，激发学生的学习兴趣。

2.新课讲解：通过讲解和图示，让学生直观地理解中位线的性质，讲解中位线定理的推导过程。

3.实例分析：通过一些具体的例子，让学生学会运用中位线定理解决问题。

2023-2024学年数学华师大九年级课件中位线第1课时点与圆的位置关系

解：(1)∵∠ADO＝∠ABO＝60°， ∠DOA＝90°， ∴∠DAO＝30°；
(2)求点A的坐标和△AOB外接圆的面积．
(2)∵点D的坐标是(0，3)，∴OD＝3. 在直角△AOD中， OA＝OD·tan∠ADO＝ 3 3， AD＝2OD＝6， ∴点A的坐标是( 3 3 ，0)． ∵∠AOD＝90°，∴AD是圆的直径， ∴△AOB外接圆的面积是9π.
解：连接OB，过点O作OD⊥BC.
则OD＝5cm， BD 1 BC 12cm.
D
2
在Rt△OBD中
OB OD2 BD2 13cm. 即△ABC的外接圆的半径为13cm.
当堂练习
1.如图，请找出图中圆的圆心，并写出你找圆心的方法?
A
O C
B
2.正方形ABCD的边长为2cm，以A为圆心2cm为半径作 ⊙A，则点B在⊙A 上；点C在⊙A 外；点D在⊙A上 .
直平分线,其交点O即为圆心;
C O
3、以点O为圆心，OC长
为半径作圆.
⊙O即为所求.
针对训练
某一个城市在一块空地新建了三个居民小区，它们分别为A、B、C，且三个小区不在同一直线上，要想规划一所中学，使这所中学到三个小区的距离相等。请问同学们这所中学建在哪个位置？你怎么确定这个位置呢？
●A
B．点Q D．点M
A
B
C
PQR M
8.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片
如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明
带到商店去的一块玻璃碎片应该是（D ）
A．第①块
B．第④块
C．第③块
D．第②块
9.画出由所有到已知点的距离大于或等于2cm并且小于或等于3cm的点组成的图形.

23.4 中位线(数学华师大版九年级上册)

A
D
E
B
F
C
如图，已知D、E分别是AB、AC的中点，即DE是△ABC的中位线。（1）DE和BC有什么样的位置关系？
（2）DE和BC有什么样的数量关系？
如何验证你的猜想呢？
A
DE//BC
D
E
B
C
DE 1 BC 2
三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
A
A
B
D
C
E
F
B
C
连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
（1）三角形的中位线是条线段，它的两个端点是边的中点。（2）若E、F分别为AB、AC的中点，则EF为△ABC的中位线；
反之EF为△ABC的中位线，那么E、F分别为AB、AC的中点。
A
E
F
B
C
请同学们在作业本上任意画一个△ABC。（1）画出△ABC的所有中位线；（2）画出△ABC的所有中线；（3）三角形的中线和中位线有何联系和区别？
A
A
B
D
C
图1
E
F
B
C
图2
A
E
F
B
D
C
例 1 已知：如图，在△ABC中，AE=BE，BD=CD，AF=CF．
（1）四边形AEDF是什么形状的四边形？并加以证明。
（2）AD与EF有什么关系？
A
A
A
E
F
E
F
E G
B
D
C
B
D
C
B
DC
三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分。

初中数学华东师大版九年级上册23.4 中位线

三角形的中位线与中线的区别
Ａ
Ｄ
E
F
Ｃ
Ｂ
连接三角形两边中点的线段,叫做三角形的中位线。
A
理解三角形的中位线定义的两层含义:
D B
E
C
① 如果D、E分别为AB、AC的中点，那么DE为△ABC的中位线； ② 如果DE为△ABC的中位线，那么 D、E分别为AB、AC的中点。
如图：△ ABC中，ＤＥ∥ＢＣ，Ｄ是ＡＢ的中点，哪么AE与EC有什么关系？如果ＤＥ是△ ABC的中位线，ＤＥ与ＢＣ有什么关系？ A
习题24.4
第3、4题
D B E
C
活动一Βιβλιοθήκη 沿三角形的中位线ＤＥ把三角形剪成两部分，试一试，这两部分能拼成平行四边形吗？
A D E F
B
C
探索
A
DE是△ABC的中位线，猜想 DE与BC有怎样的位置关系和数量关系？
D
E
F
B
C
ＤＥ与ＢＣ的位置ＤＥ∥ＢＣ关系＿＿＿＿ＤＥ与ＢＣ的数量 1 DE BC 关系＿＿＿＿ 2
图1
如图2：在△ABC中，D、E、F分别是各边中点 AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，则△DEF的周长=
12
cm。
E
C
例1 求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．
已知：如图所示，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC， AF＝FC．求证： AE、DF互相平分．证明: 连结DE、EF． ∵ AD＝DB，BE＝EC， ∴ DE∥AC（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一Ａ半）．同理EF∥AB．ＤＦ ∴四边形ADEF是平行四边形． ∴ AE、DF互相平分（平行四边形ＢＥＣ的对角线互相平分）．