湖南省东部六校2016届高三12月联考数学(理)试题及答案

侧视图正视图俯视图湖南省东部六校2016届高三联考试题理科数学总分：150分 时量：120分钟一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分；每小题只有一个正确答案） 1．已知全集U=R ，集合{}lg(1)A x y x ==-，集合{}B y y ==，则A B =（ C ）A ．∅B ．（1，2]C ．[2,)+∞D ．(1,)+∞ 2．已知复数z 满足()3425i z -=，则z =（ D ）A ．34i --B ．34i -+C ．34i -D ．34i +3．设α为锐角，若cos ()6πα+＝45，则sin (2)3πα+的值为（ B ）A ．2512B ．2425C ．2425-D ．1225-4．某车间共有6名工人，他们某日加工零件个数的茎叶图如上图所示，其中茎为十位数，叶为个位数,日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．从该车间6名工人中，任取2人，则至少有1名优秀工人的概率为 ( C ) A.158 B.94C.35D.915．已知双曲线22221x y a b-= （0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，以1F 、2F 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为 ( C )A ．221169x y -=B ．22134x y -=C ．221916x y -=D ．22143x y -=6．下左图是计算某年级500名学生期末考试（满分为100分）及格率q 的程序框图，则图中空白框） A B ．M q N = C ． N q M N =+ D ．Mq M N=+7．一个几何体的三视图如上右图，则该几何体的体积为 ( D ) A ．π B ．π2 C ．π3 D ．π68．若,a b ∈R ，命题p :直线y ax b =+与圆221x y +=相交；命题q :a >p 是q 的( A )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知)(x f 是偶函数，它在[)+∞,0上是减函数，若(lg )(2)f x f >，则x 的取值范围是（ C ）A ．1(,1)100 B ．1(0,)(1,)100+∞ C ．1(,100)100D ．()()0,1100,+∞ 10．已知不等式组0,x y x y ⎧+-≥⎪⎪≤⎨⎪≤⎪⎩表示平面区域Ω，过区域Ω中的任意一个点P ，作圆221x y +=的两条切线且切点分别为,A B ，当PAB ∆的面积最小时，cos APB ∠的值为（ B ）A ．78 B ．12 C ．34D11．如上右图所示，已知点G 是ABC ∆的重心，过点G 作直线与,AB AC 两边分别交于,M N 两点，且,AM xAB AN yAC ==,C ） A ．2 B ．13 CD ．3412．设点P 在曲线2xy e =上，点Q 在曲线2ln ln -=x y 上，则|PQ |的最小值为( D )A ．1－ln 2 (1－ln 2) C ．)2ln 1(2+(1＋ln 2)二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13．如果n x x )13(32-的展开式中各项系数之和为128，则展开式中31x 的系数是 21 ． 14．函数3sin y x x =([0,]2x π∈) 的单调递增区间是 ]3,0[π.15．对于问题：“已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)2,1(-，解关于x 的不等式02>+-c bx ax ”，给出如下一种解法：解：由02>++c bx ax 的解集为)2,1(-，得0)()(2>+-+-c x b x a 的解集为)1,2(-，即关于x 的不等式02>+-c bx ax 的解集为)1,2(-.参考上述解法，若关于x 的不等式0<++++c x bx a x k 的解集为)1,21()31,1( --，则关于x 的不等式0111<++++cx bx ax kx 的解集为_____），（），（211-3- _______． AMBGN16．已知椭圆C 的方程为13422=+y x ，B A 、为椭圆C 的左、右顶点，P 为椭圆C 上不同于B A 、的动点，直线4=x 与直线PB PA 、分别交于N M 、两点，若)0,7(D ，则过N M D 、、三点的圆必过x 轴上不同于点D 的定点，其坐标为 )0,1( ．三、解答题：（本大题分必做题和选做题两部分，满分70分，解答须写出详细的计算步骤、证明过程）（一）必做题：17．（本小题满分12分）株洲市某中学利用周末组织教职员工进行了一次秋季登石峰山健身的活动，有N 人参加，现将所有参加人员按年龄情况分为)2520[，，)3025[，，)35,30[，)40,35[，)45,40[，)50,45[，)55,50[等七组,其频率分布直方图如下图所示。

已知)40,35[之间的参加者有8人. （1）求N 和)35,30[之间的参加者人数N 1；（2）已知)35,30[和)40,35[之间各有2名数学教师，现从这两个组中各选取2人担任接待工作,设两组的选择互不影响,求两组选出的人中都至少有1名数学教师的概率?（3）组织者从)50,45[之间的参加者(其中共有4名女教师，其余全为男教师)中随机选取3名担任后勤保障工作,其中女教师的人数为,求的分布列和均值.解：（1）年龄在)40,35[之间的概率为0.04⨯5=0.2所以总人数402.08==N ， 因为3.05)01.002.003.004.003.001.0(-1=⨯+++++ 所以年龄在)35,30[之间的志愿者人数为123.040=⨯ ………4分 （2）记事件B=从年龄在)35,30[之间选出的人中至少有2名数学教师 因为年龄在)35,30[之间的人数为12，所以2271)(212210=-=C C B P 记事件C=从年龄在)40,35[之间选出的人中至少有1名数学教师 因为年龄在)40,35[之间的人数为8，所以28131)(2826=-=C C C P 则 P （A ）= ……………………………8分（3）年龄在)5545[，之间的人数为6人，其中女教师4人 ζ的可能取值为1，2,351)1(362214===C C C P ζ;53)2(361224===C C C P ζ;51)1(3634===C C P ζ 所以分布列为均值为12分18．（本小题满分12分）已知ABC ∆的角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，其面积34=S ，060=∠B ，且2222b c a =+；等差数列{}n a 中，且1a a =，公差b d =．数列{}n b 的前n 项和为n T ，且230n n T b -+=，n N *∈． （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）设⎩⎨⎧=为偶数为奇数n b n a c nn n ， 求数列{}n c 的前21n +项和21n P +．【解析】：（1）34sin 21==B ac S ， 16=∴ac 又 2222b c a =+， B ac c a b cos 2222-+= ∴ 162==ac b ， 4=∴b从而 642)(222=++=+ac c a c a 8=+⇒c a 4==∴c a故可得：144a d =⎧⎨=⎩， ∴4n a n =．∵230n n T b -+=， ∴当n =1时，13b =， 当n ≥2时， 11230n n T b ---+=， 两式相减， 得()12,2n n b b n -=≥∴数列{}n b 为等比数列， ∴132n n b -=⋅． ………………………6分 （2）14,32,n n n n c n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数． ()()211321242n n n p a a a b b b ++=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=()()()61444211214nn n -+++⎡⎤⎣⎦+-=2122482n n n ++++ ……………………………12分19．（本小题满分12分） 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面梯形ABCD 中，//AB DC ，平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD ∆是等边三角形，已知522242=====BC DC AB AD BD ，，m =，且0>m . （1）求证：平面PAD ⊥平面MBD ； （2）求二面角A PB D --的余弦值；（3）试确定m 的值，使三棱锥ABD P -体积为三棱锥MBD P -体积的3倍. （1）证明：在ABD ∆中，由于5242===AB BD AD ，，,∴222AD BD AB +=,故AD BD ⊥.又PAD ABCD ⊥平面平面，PAD ABCD AD =平面平面， BD ABCD ⊂平面，BD PAD ∴⊥平面，又BD MBD ⊂平面，故平面MBD ⊥平面PAD ……………………………4分（2）法一、如图建立D xyz -空间直角坐标系，()0,0,0D ,)002(，，A )042()341()040()301(，，，，，，，，，，，-=-=AB BP B P ， )040(，，=设平面PAB 的法向量()111,,n x y z =, 由⎩⎨⎧=+-=+-⇒⎩⎨⎧=⋅=⋅0340420011111z y x y x AB n令1111,2,3y x z ===则, n ⎛∴= ⎝⎭. 设平面PBD 的法向量()222,,m x y z =, 由⎩⎨⎧=+-=⇒⎩⎨⎧=⋅=⋅03404002222z y x y DB m ，令2x =，()3,0,1m ∴=- 219cos ,19n m n m n m⋅==⋅,∴二面角A -PB-D ………………8分法二、由（1）知BD ⊥平面PAD ，所以平面PBD ⊥平面PAD过A 作AE PD ⊥交PD 于E ，则AE ⊥平面PBD 再过E 作EF PB ⊥交PB 于F ，连结AF ， 则AFE ∠就是二面角A PB D --的平面角 由题设得52,3==EF AE 由勾股定理得：51922=+=EF AE AF所以cosEFAFEAF∠===∴二面角A-PB-D……………………………8分（3）PBDMMBDPVV--=BCDPPBDCVmmVmm--+=+=11232111=⇒=⋅+=⋅+=⋅+=∴∆∆----mmmSSmmVVmmVVB C DABDBCDPABDPMBDPABDP…………………12分20．（本小题满分12分）如图，已知00(,)M x y是椭圆C:13622=+yx上的任一点，从原点O向圆M：()()22002x x y y-+-=作两条切线，分别交椭圆于点P、Q.（1）若直线OP，OQ的斜率存在，并记为1k，2k，求证：12k k为定值；（2）试问22OP OQ+解析：（1）因为直线OP：1y k x=以及OQ：2y k x=与圆M所以21||211=+-kyxk,化简得：022)2(21212=-+--ykyxkx同理：022)2(22222=-+--ykyxkx，所以21kk、是方程022)2(222=-+--ykyxkx的两个不相等的实数根，212222yk kx-∴⋅=-因为点00(,)M x y在椭圆C上，所以2200163x y+=，即2200132y x=-，所以2122111222xk kx-==--．……………5分（2）22OP OQ+是定值，定值为9．理由如下：法一：（i）当直线OP、OQ不落在坐标轴上时,设),(,),(2211yxQyxP,联立122,1,63y k x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得21212211216,126.12x k k y k ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩所以222111216(1)12k x y k ++=+，同理，得222222226(1)12k x y k ++=+， 由1212k k =-， 所以2222221122OP OQ x y x y +=+++221222126(1)6(1)1212k k k k ++=+++ 2211221116(1())6(1)211212()2k k k k +-+=+++-212191812k k +=+9= （ii ）当直线OP 、OQ 落在坐标轴上时,显然有22OP OQ +9=，综上：22OP OQ +9= ……………12分法二：（i ）当直线OP 、OQ 不落在坐标轴上时,设),(,),(2211y x Q y x P , 因为1212k k =-，所以2222121214y y x x =， 因为),(,),(2211y x Q y x P 在椭圆C 上，所以22112222163163x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 即 22112222132132y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 所以22221212111(3)(3)224x x x x --=，整理得22126x x +=， 所以222212121133322y y x x ⎛⎫⎛⎫+=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22OP OQ +9=． （ii ）当直线OP 、OQ 落在坐标轴上时,显然有22OP OQ +9=，综上：22OP OQ +9=． ……………12分21．（本小题满分12分）已知函数()xf x e =，()g x mx n =+. （1）设()()()h x f x g x =-.① 若函数()h x 在0x =处的切线过点(1,0)，求m n +的值；② 当0n =时，若函数()h x 在(1,)-+∞上没有零点，求m 的取值范围； （2）设函数1()()()nxr x f x g x =+，且4(0)n m m =>，求证：当0x ≥时，()1r x ≥. 【解析】（1）由题意，得m e x h x-=')(，所以函数)(x h 在0x =处的切线斜率1k m =-，又(0)1h n =-，所以函数)(x h 在0x =处的切线方程x m n y )1()1(-=--， 将点)0,1(代入，得2=+n m .……………………………4分（2）当0=n ，可得m e mx e x h xx -=-=)'()('，因为1->x ，所以ee x 1>， ①当1m e≤时，0)('>-=m e x h x，函数)(x h 在),1(+∞-上单调递增，而1)0(=h ， 所以只需01)1(≥+=-m e h ，解得em 1-≥，从而e m e 11-≤≤.②当1m e>时，由0)('=-=m e x h x，解得),1(ln +∞-∈=m x ，当)ln ,1(m x -∈时，0)('<x h ，)(x h 单调递减；当),(ln +∞∈m x 时，0)('>x h ，)(x h 单调递增.所以函数)(x h 在(1,)-+∞上有最小值为m m m m h ln )(ln -=，令0ln >-m m m ，解得e m <，所以. 1m e e<<综上所述，1m e e-≤<. ……………8分（3）由题意，4411)()(1)(++=++=+=x xe mx xm n e x g nx x f x r x x ， 而1441)(≥++=x xex r x 等价于04)43(≥++-x x e x ， 令4)43()(++-=x x e x F x，则0)0(=F ，且0)0(',1)13()('=+-=F x e x F x ，令)(')(x F x G =，则)23()('+=x e x G x，因0≥x ， 所以0)('>x G所以导数)('x F 在)0[∞+，上单调递增，于是0)0(')('=≥F x F ， 从而函数)(x F 在)0[∞+，上单调递增，即0)0()(=≥F x F . ……………………………12分（二）选做题：（考生从以下三题中选做一题）22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的直径，C 、F 是⊙O 上的两点，OC ⊥AB ，过点F 作⊙O 的切线FD 交AB 的延长线于点D ．连接CF 交AB 于点E ．（1）求证：DE 2=DB•DA ； （2）若DB=2，DF=4，试求CE 的长． （1）证明：连接OF ．因为DF 切⊙O 于F ，所以∠OFD=90°． 所以∠OFC+∠CFD=90°．因为OC=OF ，所以∠OCF=∠OFC ．因为CO ⊥AB 于O ，所以∠OCF+∠CEO=90°． 所以∠CFD=∠CEO=∠DEF ，所以DF=DE ． 因为DF 是⊙O 的切线，所以DF 2=DB•DA ．所以DE 2=DB•DA ． ……………… 5分 （2）解： DF 2=DB•DA ，DB=2，DF=4．∴DA= 8， 从而AB=6， 则3=OC ．又由（1）可知，DE=DF=4， ∴BE=2，OE=1．从而 在COE Rt ∆中，1022=+=OE CO CE ． ………………10分23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，B ACE OF建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：x m y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 是参数）． （1）若直线l 与曲线C 相交于A 、B两点，且||AB =m 值． （2）设()y x M ,为曲线C 上任意一点，求2x y +的取值范围．解：（1）曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=化为直角坐标方程为： 0422=-+x y x 直线l 的直角坐标方程为：m x y -=∴圆心到直线l 的距离（弦心距）22214222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=d圆心(2,0)到直线m x y -=的距离为 ：1|2|222|02|=-⇒=--m m∴1=m 或3=m ………………5分 （2）曲线C 的方程可化为222)4x y -+=（，其参数方程为：22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数）(),M x y 为曲线C上任意一点，22)x y θα+=++x y ∴+的取值范围是[2-+ ………………10分24．选修4-5：不等式选讲 设函数()2x a x bf x +-+=，（1） 当1,1a b ==-时，求使)(x f ≥22的x 取值范围； （2） 若1()32f x ≥恒成立，求a b -的取值范围。