2016_2017高中数学1.3.2命题的四种形式学案新人教B版选修2_

1.3.2 命题的四种形式1．了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念．2．能求一般命题的逆命题、否命题、逆否命题．(重点、难点)3．掌握四种命题的形式和四种命题间的相互关系．(易混点)[基础·初探]教材整理1 四种命题的概念及结构阅读教材P22～P23，完成下列问题．1．四种命题的概念一般地，对于两个命题，(1)如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做________．(2)如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的________，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题．(3)如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的________的否定和________的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．以上定义中，把第一个命题叫做原命题时，另三个可分别称为原命题的________、________、________.【答案】(1)互逆命题(2)否定(3)结论条件逆命题否命题逆否命题2．四种命题的结构【答案】若q，则p若綈p，则綈q若綈q，则綈p判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)命题“若綈p，则q”的否命题为“若綈p，则綈q”．( )(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题．( )(3)命题“若A∩B＝A，则A∪B＝B”的逆否命题是“若A∪B≠B，则A∩B≠A”．( )【答案】(1)×(2)√(3)√教材整理2 四种命题之间的关系阅读教材P23“例”以下内容，完成下列问题．1．四种命题之间的关系【答案】若p，则q若q，则p若綈p，则綈q若綈q，则綈p2．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有________的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性________．【答案】(1)相同(2)没有关系下列四个命题：①“若xy＝0，则x＝0，且y＝0”的逆否命题；②“正方形是矩形”的否命题；③“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题；④若m>2，则不等式x2－2x＋m>0.其中真命题的个数为( )A．0 B．1C．2 D．3【解析】命题①的逆否命题是“若x≠0或y≠0，则xy≠0”，为假命题；命题②的否命题是“若一个四边形不是正方形，则它不是矩形”，为假命题；命题③的逆命题是“若a>b，则ac2>bc2”，为假命题；命题④为真命题，当m>2时，方程x2－2x＋m＝0的判别式Δ<0，对应二次函数图象开口向上且与x轴无交点，所以函数值恒大于0.【答案】 B[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑问2：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑问3：________________________________________________________解惑：________________________________________________________[小组合作型]否命题．(1)相似三角形对应的角相等；(2)当x>3时，x2－4x＋3>0；(3)正方形的对角线互相平分．【精彩点拨】根据四种命题的定义解答．【自主解答】(1)原命题：若两个三角形相似，则这两个三角形的三个角对应相等；逆命题：若两个三角形的三个角对应相等，则这两个三角形相似；否命题：若两个三角形不相似，则这两个三角形的三个角对应不相等；逆否命题：若两个三角形的三个角对应不相等，则这两个三角形不相似．(2)原命题：若x>3，则x2－4x＋3>0；逆命题：若x2－4x＋3>0，则x>3；否命题：若x≤3，则x2－4x＋3≤0；逆否命题：若x2－4x＋3≤0，则x≤3.(3)原命题：若一个四边形是正方形，则它的对角线互相平分；逆命题：若一个四边形对角线互相平分，则它是正方形；否命题：若一个四边形不是正方形，则它的对角线不互相平分；逆否命题：若一个四边形对角线不互相平分，则它不是正方形．四种命题的写法1．由原命题写出其它三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件和结论互换即得逆命题，将条件和结论同时否定即得否命题，将条件和结论互换的同时进行否定即得逆否命题．2．如果原命题含有大前提，在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时，必须注意各命题中的大前提不变．[再练一题]1．命题“若y＝kx，则x与y成正比例关系”的否命题是( )A．若y≠kx，则x与y成正比例关系B．若y≠kx，则x与y成反比例关系C．若x与y不成正比例关系，则y≠kxD．若y≠kx，则x与y不成正比例关系【答案】 D(1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；(2)“若x>y，则x2>y2”的逆否命题；(3)“若x≤3，则x2－x－6>0”的否命题；(4)“对顶角相等”的逆命题．【精彩点拨】依题意写出命题进行判定，正确的命题进行证明，错误的命题只需举出反例，或应用互为逆否命题的命题具有相同的真假性判定．【自主解答】(1)命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，则逆命题为真命题，因为原命题的逆命题和否命题具有相同的真假性，所以“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题是真命题．(2)令x＝1，y＝－2，满足x>y，但x2<y2，所以“若x>y，则x2>y2”是假命题，因为原命题与其逆否命题具有相同的真假性，所以“若x>y，则x2>y2”的逆否命题也是假命题．(3)该命题的否命题为“若x>3，则x2－x－6≤0”，令x＝4，满足x>3，但x2－x－6＝6>0，不满足x2－x－6≤0，则该否命题是假命题．(4)该命题的逆命题为“相等的角是对顶角”是假命题，如等边三角形的任意两个内角都相等，但它们不是对顶角．判断命题真假的方法1．解决此类问题的关键是牢记四种命题的概念，正确地写出所涉及的命题，判定为真的命题需要简单的证明，判定为假的命题要举出反例加以验证．2．原命题与它的逆否命题同真同假，原命题的否命题与它的逆命题同真同假，故二者只判断一个即可．[再练一题]2．(1)写出本例(2)中命题的逆命题和否命题，并判断真假； (2)写出本例(3)中命题的逆否命题，并判断真假．【解】 (1)逆命题：若x 2>y 2，则x >y ，是假命题，如(－2)2>12，但－2<1；否命题：若x ≤y ，则x 2≤y 2，由于逆命题和否命题同真同假，所以否命题也是假命题．(2)逆否命题：若x 2－x －6≤0，则x >3，是假命题，如x ＝0，满足x 2－x －6≤0，但不满足x >3.[探究共研型]探究1 求实数m 的取值范围．【提示】 因为命题“若m －1<x <m ＋1，则－1<x <2”的逆否命题为真命题，所以原命题也是真命题，则⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥－1，m ＋1≤2，解得0≤m ≤1，则实数m 的取值范围是[0,1]．探究2 证明：若m 2＋n 2＝2，则m ＋n ≤2为真命题．【提示】 将命题“若m 2＋n 2＝2，则m ＋n ≤2”视为原命题，则它的逆否命题为“若m ＋n >2，则m 2＋n 2≠2”，下面证明逆否命题的正确性．因为m 2＋n 2≥2mn ，所以2(m 2＋n 2)≥m 2＋n 2＋2mn ＝(m ＋n )2，即m 2＋n 2≥12(m ＋n )2，又因为m ＋n >2，所以m 2＋n 2≥12(m ＋n )2>12×22＝2，即m 2＋n 2>2，所以m 2＋n 2≠2.故原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题．命题：对任意x ∈R ，ax 2－2ax －3＞0不成立是真命题，求实数a 的取值范围． 【精彩点拨】 由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．【自主解答】 因为命题“对任意x ∈R ，ax 2－2ax －3＞0不成立”等价于“对任意x ∈R ，ax 2－2ax －3≤0恒成立”， 若a ＝0，则－3≤0恒成立，所以a ＝0符合题意．设f (x )＝ax 2－2ax －3，当a ＞0时，二次函数的图象开口向上，又因为Δ＝4a 2＋12a ＞0，所以图象不会全部落在x 轴下方，显然不符合题意．当a ＜0时，二次函数f (x )＝ax 2－2ax －3开口向下，只需满足Δ≤0即可，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ≤0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，4a 2＋12a ≤0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，－3≤a ≤0，所以－3≤a ＜0.综上所述，a 的取值范围是－3≤a ≤0.1．解答本题时首先利用了等价转化思想，把不成立的问题转化为恒成立的问题解决，即求对于任意x ∈R ，ax 2－2ax －3≤0恒成立时的a 的范围．在解题过程中还利用了分类讨论的思想．2．若一个命题的条件或结论含有否定词时，直接判断命题的真假较为困难，这时可以转化为判断它的逆否命题．[再练一题]3．判断命题“已知a ，x 为实数，若关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集不是空集，则a ≥1”的逆否命题的真假．【解】 法一 原命题的逆否命题：已知a ，x 为实数，若a ＜1，则关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为空集．真假判断如下：因为抛物线y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2的图象开口向上， 判别式Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)＝4a －7， 若a ＜1，则4a －7＜0.即抛物线y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2的图象与x 轴无交点． 所以关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为空集． 故原命题的逆否命题为真命题． 法二 先判断原命题的真假．因为a ，x 为实数，且关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集不是空集，所以Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0， 即4a －7≥0，因为a ≥74，所以a ≥1，所以原命题为真命题．又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真命题．[构建·体系]1．命题“若a ∉A ，则b ∈B ”的逆命题是( ) A ．若a ∉A ，则b ∉B B ．若a ∈A ，则b ∉B C ．若b ∈B ，则a ∉AD ．若b ∉B ，则a ∉A【解析】 “若p ，则q ”的逆命题是“若q ，则p ”，所以本题的逆命题是“若b ∈B ，则a ∉A ”．【答案】 C2．已知命题：“若x ≥0，y ≥0，则xy ≥0”，在原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 由题意可判断原命题为真命题，故逆否命题也为真命题，其逆命题为“若xy ≥0，则x ≥0，y ≥0”，为假命题，所以否命题也为假命题，故四个命题中，真命题的个数为2.【答案】 B3．命题“若m ＞1，则mx 2－2x ＋1＝0无实根”的等价命题是________.【导学号：15460016】【解析】 原命题的等价命题是其逆否命题，由定义可知其逆否命题为“若mx 2－2x ＋1＝0有实根，则m ≤1”．【答案】 若mx 2－2x ＋1＝0有实根，则m ≤14．(2016·马鞍山四校联考)“两奇数的和是偶数”的否命题为：________________________________________________________.【解析】“两奇数的和是偶数”即“若两个数都是奇数，则它们的和是偶数”．其否命题为“若两个数不都是奇数，则它们的和不是偶数”．【答案】若两个数不都是奇数，则它们的和不是偶数5．已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．”(1)写出它的逆命题，并判断其真假；(2)写出它的逆否命题，并判断其真假．【解】(1)逆命题：已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．则a＋b≥0，真命题．(2)逆否命题：已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．a，b∈R，若f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，则a＋b＜0，真命题．我还有这些不足：(1)________________________________________________________(2)________________________________________________________我的课下提升方案：(1)________________________________________________________(2)________________________________________________________学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．命题“若函数f(x)＝log a x(a＞0，a≠1)在其定义域内是减函数，则log a2＜0”的逆否命题是( )A．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a＞0，a≠1)在其定义域内不是减函数B．若log a2＜0，则函数f(x)＝log a x(a＞0，a≠1)在其定义域内不是减函数C．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a＞0，a≠1)在其定义域内是增函数D．若log a2＜0，则函数f(x)＝log a x(a＞0，a≠1)在其定义域内是增函数【解析】命题“若p，则q”的逆否命题为“若綈q，则綈p”．“f(x)在其定义域内是减函数”的否定是“f(x)在其定义域内不是减函数”，不能误认为是“f(x)在其定义域内是增函数”．【答案】 A2．(2016·济宁高二检测)命题“已知a，b都是实数，若a＋b＞0，则a，b不全为0”的逆命题、否命题与逆否命题中，假命题的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3【解析】逆命题“已知a，b都是实数，若a，b不全为0，则a＋b＞0”为假命题，其否命题与逆命题等价，所以否命题为假命题．逆否命题“已知a，b都是实数，若a，b 全为0，则a＋b≤0”为真命题，故选C.【答案】 C3．(2016·南宁高二检测)已知命题“若ab≤0，则a≤0或b≤0”，则下列结论正确的是( )A．原命题为真命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0或b＞0”B．原命题为真命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0且b＞0”C．原命题为假命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0或b＞0”D．原命题为假命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0且b＞0”【解析】逆否命题“若a＞0且b＞0，则ab＞0”，显然为真命题，又原命题与逆否命题等价，故原命题为真命题．否命题为“若ab＞0，则a＞0且b＞0”，故选B.【答案】 B4．(2016·潍坊高二期末)命题“若x＝3，则x2－2x－3＝0”的逆否命题是( ) A．若x≠3，则x2－2x－3≠0B．若x＝3，则x2－2x－3≠0C．若x2－2x－3≠0，则x≠3D．若x2－2x－3≠0，则x＝3【解析】其逆否命题为“若x2－2x－3≠0，则x≠3”．故选C.【答案】 C5．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是( ) A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜3B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2＜3C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3【答案】 A二、填空题6．(2016·三门峡高二期中)命题“若x>2，则x2>4”的逆命题是____________.【导学号：15460017】【解析】原命题的逆命题为“若x2>4，则x>2”．【答案】若x2>4，则x>27．命题“若a＞b，则2a＞2b－1”的否命题是________．【解析】否定条件与结论，得否命题“若a≤b，则2a≤2b－1”．【答案】若a≤b，则2a≤2b－18．在空间中，给出下列两个命题：①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．其中逆命题为真命题的是________．【解析】①的逆命题：若空间四点中任何三点都不共线，则这四点不共面，是假命题；②的逆命题：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点，是真命题．【答案】②三、解答题9．写出命题“已知a，b∈R，若a2>b2，则a>b”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．【解】逆命题：已知a，b∈R，若a>b，则a2>b2；否命题：已知a，b∈R，若a2≤b2，则a≤b；逆否命题：已知a，b∈R，若a≤b，则a2≤b2.原命题是假命题．逆否命题也是假命题．逆命题是假命题．否命题也是假命题．10．已知命题p：“若ac≥0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实根”．(1)写出命题p的否命题；(2)判断命题p的否命题的真假，并证明你的结论．【解】(1)命题p的否命题为“若ac＜0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根”．(2)命题p的否命题是真命题．证明如下：∵ac＜0，∴－ac＞0⇒Δ＝b2－4ac＞0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根．∴该命题是真命题．[能力提升]1．与命题“若a·b＝0，则a⊥b”等价的命题是( )A．若a·b≠0，则a不垂直于bB．若a⊥b，则a·b＝0C．若a不垂直于b，则a·b≠0D．若a·b≠0，则a⊥b【解析】原命题与其逆否命题为等价命题．【答案】 C2．(2016·福州期末)命题“若x＋y是偶数，则x，y都是偶数”的逆否命题是( ) A．若x，y都不是偶数，则x＋y不是偶数B．若x，y不都是偶数，则x＋y是偶数C．若x，y不都是偶数，则x＋y不是偶数D．若x，y都不是偶数，则x＋y是偶数【解析】“x，y都是偶数”的否定为“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定是“x＋y不是偶数”．故选C.【答案】 C3．下列命题中________为真命题(填上所有正确命题的序号)．①若A∩B＝A，则A B；②“若x＝y＝0，则x2＋y2＝0”的逆命题；③“全等三角形是相似三角形”的逆命题；④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题．【解析】①错误，若A∩B＝A，则A⊆B；②正确，它的逆命题为“若x2＋y2＝0，则x ＝y＝0”为真命题；③错误，它的逆命题为“相似三角形是全等三角形”为假命题；④正确，因为原命题为真命题，故逆否命题也为真命题．【答案】②④4．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，然后判断真假．(1)等高的两个三角形是全等三角形；(2)弦的垂直平分线平分弦所对的弧．【解】(1)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等高，是真命题；否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等，是真命题；逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等高，是假命题．(2)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线，是假命题；否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的弧，是假命题；逆否命题：若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线，是真命题．11。