时间序列分析讲义-第01章-差分方程

，
从而可以得到二阶乘子为：
注意到上述变量均是对数形式，因此实际上货币需求相对于两个阶段以前收入的弹性系数，这意味着收入增长1%，将会导致两个阶段以后货币需求增加0.098%，其弹性是比较微弱的。
定义1.1在一阶线性差分方程中，下述乘子系列称为 相对于外生扰动 的反应函数：
， (1.5)
显然上述反应函数是一个几何级数，其收敛性依赖于参数 的取值。
(1.7)
当 时，对上式取极限，并将其识为扰动所产生的持久影响：
(1.8)
例1.3货币需求的长期收入弹性在例1.1中我们已经获得了货币的短期需求函数，从中可以求出货币需求的长期收入弹性为：
这说明收入增加1%最终将导致货币需求增加0.68%，这是收入对于货币需求反馈的持久影响效果。
如果换一个角度考察扰动的影响，那么我们需要分析一个单位的外生扰动对于 以后路径的累积影响，这时可以将这种累积影响表示为：
(1.9)
由此可见，如果能够估计出差分方程中的系数，并且了解差分方程解的结构，则可以对经济变量进行稳定性的动态分析。另外，我们也发现，内生变量对外生变量反应函数的性质比较敏感地依赖差分方程中的系数。
§1.2 阶差分方程
如果在方程当中允许 依赖它的 阶前期值和输入变量，则可以得到下述 阶线性差分方程(将常数项归纳到外生变量当中)：
(1.10)
为了方便起见，将上述差分方程表示成为矩阵形式：
(1.11)
其中：
， ，
其实在方程(1.11)所表示的方程系统当中，只有第一个方程是差分方程(1.10)，而其余方程均是定义方程：
，
将 阶差分方程表示成为矩阵形式的好处在于，它可以进行比较方便的叠代处理，同时可以更方便地进行稳定性分析。另外，差分方程的系数都体现在矩阵F的第一行上。
(1)当 时，反应函数是单调收敛的；
(2)当 时，反应函数是震荡收敛的；
(3)当 时，反应函数是单调扩张的；
(4)当 时，反应函数是震荡扩张的；
可以归纳描述反应函数对于参数的依赖性：当 时，反应函数是收敛的；当 时，反应函数是发散的。
一个特殊情形是 的情形，这时扰动将形成持续的单一影响，即 的一个单位变化将导致其后任何时间 的一个单位变化：
第一章差分方程
差分方程是连续时间情形下微分方程的特例。差分方程及其求解是时间序列方法的基础，也是分析时间序列动态属性的基本方法。经济时间序列或者金融时间序列方法主要处理具有随机项的差分方程的求解问题，因此，确定性差分方程理论是我们首先需要了解的重要内容。
§1.1一阶差分方程
假设利用变量 表示随着时间变量 变化的某种事件的属性或者结构，则 便是在时间 可以观测到的数据。假设 受到前期取值 和其他外生变量 的影响，并满足下述方程：
：
：
：
依次进行叠代可以得到：
方程(1.1)的解，可以通过代入方程进行验证。上述通过叠代将 表示为前期变量和初始值的形式，从中可以看出 对这些变量取值的依赖性和动态变化过程。
差分方程的动态分析：动态乘子(dynamic multiplier)
在差分方程的解当中，可以分析外生变量，例如 的变化对 阶段以后的 的影响。假设初始值 和 不受到影响，则有：
根据定义，矩阵 的特征根是满足下述的 值：
(1.16)
一般情况下，可以根据行列式的性质，将行列式方程转换为代数方程。
例1.5在二阶差分方程当中，特征方程为：
具体可以求解出两个特征根为：
， (1.17)
上述特征根的表达式在讨论二阶线性差分方程解的稳定性时，我们还要反复用到。
距阵 的特征根与 阶差分方程表达式之间的联系可以由下述命题给出：
命题1.1距阵 的特征根满足下述方程，此方程也称为 阶线性差分方程的特征方程：
(1.1)
在上述方程当中，由于 仅线性地依赖前一个时间间隔自身的取值 ，因此称具有这种结构的方程为一阶线性差分方程。如果变量 是确定性变量，则此方程是确定性差分方程；如果变量 是随机变量，则此方程是随机差分方程。在下面的分析中，我们假设 是确定性变量。
例1.1货币需求函数假设实际货币余额、实际收入、银行储蓄利率和商业票据利率的对数变量分别表示为 、 、 和 ，则可以估计出美国货币需求函数为：
进行向前叠代，可以得到差分方程的矩阵解为：
(1.12)
利用 表示矩阵 中第 行、第 列元素，则方程系统(1.12)中的第一个方程可以表示为：
(1.13)
需要注意，在 阶差分方程的解中需要知道 个初值： ，以及从时刻 开始时的所有外生变量的当前和历史数据： 。
由于差分方程的解具有时间上的平移性，因此可以将上述方程(1.12)表示为：
上述方程便是关于 的一阶线性差分方程。可以通过此方程的求解和结构分析，判断其他外生变量变化对货币需求的动态影响。
1.1.1差分方程求解：递归替代法
差分方程求解就是将方程变量表示为外生变量及其初值的函数形式，可以通过以前的数据计算出方程变量的当前值。
由于方程结构对于每一个时间点都是成立的，因此可以将(1.1)表示为多个方程：
(1.14)
类似地，表示成为单方程形式：
(1.15)
利用上述表达式，可以得到 阶差分方程的动态反应乘子为：
，
由此可见，动态反应乘子主要由矩阵 的首个元素确定。
例1.4在 阶差分方程中，可以得到一次乘子为：
二次乘子为：
虽然可以进一步通过叠代的方法求出更高阶的反应乘子，但是利用矩阵特征根表示则更为方便，主要能够更为方便地求出矩阵 的首个位置的元素。
(1.3)
类似地，可以在解的表达式中进行计算，得到：
(1.4)
上述乘子仅仅依赖参数 和时间间隔 ，并不依赖观测值的具体时间阶段，这一点在任何差分方程中都是适用的。
例1.2货币需求的收入乘子在我们获得的货币需求函数当中，可以计算当期收入一个单位的变化，对两个阶段以后货币需求的影响，即：
利用差分方程解的具体系数，可以得到：
，
为了分析乘子的持久作用，假设时间序列 的现值贴现系数为 ，则未来所有时间的 流贴现到现在的总值为：
(1.6)
如果 发生一个单位的变化，而 不变，那么所产生的对于上述贴现量的影响为边际导数：
，
上述分析的是外生变量的暂时扰动，如果 发生一个单位的变化，而且其后的 也都发生一个单位的变化，这意味着变化是持久的。这时持久扰动对于 时刻的 的影响乘数是：