2006福建预赛试题与答案

2006福建预赛试题官方解答一．选择题1．对于[]01x ∈，的一切值，20a b +>是使0ax b +>恒成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分条件，也非必要条件 答：B解：（1）若[]01x ∈， ，0>+b ax 恒成立，则⎩⎨⎧>+⋅=>+⋅=.01)1(00)0(b a f b a f ， 所以02>+b a .（2）若02>+b a ，则对于[]01x ∈，，0>+b ax 不一定成立．取31a b ==−，，013>−x 在[]01，上不恒成立．如1.0=x ，有011.03<−⋅.2．方程827712186x x xx+=+的解的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．无穷多 答：B解： 设23xxa b ==，，则332276a b a b ab +=+，故2261360a ab b −+=，所以23a b =或者32a b =，解得x ＝－1或者x ＝1．3．已知抛物线2y ax bx c =++与抛物线283y x x =−+关于点(34)，对称，那么a b c ++的值为（ ）A ．28−B ．4−C ．20D ．18 答：C解： 设点00()P x y ，是抛物线283y x x =−+上的一点，它关于点(34)，的对称点为11()P x y ′，，则 01013242x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，， 于是010168x x y y =−⎧⎨=−⎩，， 所以 21118(6)8(6)3y x x −=−−−+，故与抛物线283y x x =−+关于点(34)，对称的抛物线为2417y x x =−++ 所以 a b c ++＝20．4．正方体1111D C B A ABCD —的棱长为1，点M 为11C D 上的点，且1:3:11=MC M D ，则CM 和平面11D AB 所成角的大小是θ，则sin θ等于（ ）A ．12B．2 C．53 D．51答：D解：分别以11D C 、11B C 、C 1为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则有11111(000)(100)(010)(110)(001)(00)(111)4C D B A C M A ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，{}1111CA =−JJJ G ，，，{}11110D B =−JJJJ G ，，，{}1011D A =JJJJ G ，，，所以0111=⋅B D CA ，011=⋅D CA ，即111B D CA ⊥，A D CA 11⊥，所以⊥1CA 平面11B AD ，所以CM 和平面11D AB 所成的角α是CM A 1∠的余角. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧−=1,0,41CM，所以 sin θ＝1cosCM A =∠111101611041++⋅++++=51515=． 5．已知(02x y π∈，，，且若2221tan ()cot ()34x y x y x x +++=−－，则[][]x y +等于（ ）（其中[]x 表示不超过x 的最大整数）A ．0B ．1C ．2D ．3答：B解：因为22tan ()cot ()2x y x y +++≥，而2213224x x −+≤3－＝-(-2，所以 2221tan ()cot ()34x y x y x x +++=−－＝2，所以 32x =，34x y π+=，于是[]1x =，[]33042y π⎡⎤=−=⎢⎥⎣⎦，从而[][]x y +＝1． 6．方程2007x +=的正整数解()x y ，的组数是（ ） A ．1组B ．2组C ．4组D ．8组答：D解： 2006=−， 所以2220072006220062007y xy +−=××Q ∈，所以 y n =Q ，所以x 也是平方数，m =，于是 20062007m n+=， 而2006＝2×17×59，即2006共有（1＋1）（1＋1）（1＋1）＝8个不同的正因数， 所以 （m ，n ）共有8组正整数解，（x ，y ）也有8组正整数解． 二．填空题7．有10张卡片，编号为1，2，…，10，一张一张有放回的抽取3张，这3张中至多有两张同号的概率是___ ________.答：99100解： 设A 是“至多有两张同号” ，A 是“3张全同号”，由于3张全同号只可能是全为1，或者全为2，…，或者全为10，故310()10P A =，从而 31099()1()110100P A PA =−=−=． 8．设{}n a 是公比为q 的等比数列，其前n 项的积为n T ，并且满足条件11a >，9910010a a −>，99100101a a −<−。

给出下列结论：（1）01q <<；（2）1981T <；（3）991011a a <；（4）使1n T <成立的最小自然数n 等于199。

其中正确结论的编号是 ．答：（1）、（3）、（4）解： 对于（1），若0q <，则991000a a <与9910010a a −>矛盾；若1q ≥，由11a >知，1n a >与99100101a a −<−矛盾。

所以，01q <<。

（1）正确。

对于（2），由9910010a a −>，得11981a a >，198********T a a a a ="。

倒序相乘得，21981981198219719811198()()()()1T a a a a a a a a ==>"，即1981T >。

故，（2）不正确。

对于（3），由于01q <<，99100101a a −<−，所以991a >，1001a <，2991011001a a a =<。

（3）正确。

对于（4），由于1981T >，1001a <，而219921991991199100()()1T a a a ==<，则使1n T <成立的最小自然数n 等于199。

故，（4）正确。

故，（1）、（3）、（4）正确。

9．函数y =+的最大值与最小值之和为 ．答：156+解： 由 340340x x +≥⎧⎨−≥⎩， 得43,34x ⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦．由227y x ==−++ 3257744x ≥−+≥−+=， 故 52y ≥，当34x =时等号成立．故y 的最小值是52． 又由柯西不等式得()2243175343412y x x ⎛⎞⎛⎞⎛⎞=≤+++−=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠，故6y ≤，当3784x =−4334⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦，时等号成立．故y 的最大值是5216． 10．函数*:f N R →满足：(1)1003f =，且对任意正整数n ，都有 2(1)(2)()()f f f n n f n +++="，则(2006)f 的值为 ．答：12007解： 记()n a f n =，则当2n ≥时，有 212n n a a a n a +++="，21211(1)n n a a a n a −−+++=−"， 所以 221(1)n n n a n a n a −=−−，即 111n n n a a n −−=+． 所以 111n n n a a n −−=+2121n n n a n n −−−=⋅+11212113(1)a n n a n n n n −−=⋅⋅⋅=++"， 故2006210031200620072007a ×==×． 11．从一个有88条棱的凸多面体P ，切去以其每个顶点为顶点的各一个棱锥，得到一个新的凸多面体Q . 这些被切去的棱锥的底面所在的平面在P 上或内部互不相交，则凸多面体Q 的棱数是 ．答：264解：P 的所有棱仍是Q 的棱. Q 中新的棱由切去的棱锥的底面形成. 每个棱锥新增加棱的条数，等于从顶点出发的棱的条数. 所以Q 的棱有88＋2×88＝264条.12．在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为(0)F −，右顶点为D (40)，. 设点A 的坐标是()21，，过原点O 的直线交椭圆于点C B 、，则△ABC 面积的最大值是 ．答：解：由已知得椭圆的半长轴4a =，半焦距c =，则半短轴2b =.又椭圆的焦点在x 轴上，所以椭圆的标准方程为221164x y +=. 当直线BC 垂直于x 轴时，4BC =，因此，△ABC 的面积4ABC S Δ=.当直线BC 不垂直于x 轴时，设该直线方程为kx y =. 由221,164,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩解得,BC⎛⎞⎛⎞−⎜⎜⎟⎝⎝， 所以 ||BC =，又点A 到直线BC 的距离2211k d k −=+，所以，△ABC 的面积 1||214ABCS BC d kΔ=⋅=+2444k ==. 由11442−≥+k k，得 ABCS Δ≤21−=k 时，等号成立. 所以ABC S Δ的最大值是三．解答题13．ABCD 是圆内接四边形，点M 是CD 的中点，对角线AC 和BD 相交于点P ，过点P 且与CD 相切于点M 的圆与AC 和BD 分别相交于点R 和Q ，点S 在线段BD 上，使得BS DQ =，过点S 且与AB 平行的直线交AC 于点T ，求证：AT ＝RC ．证明：由切割线定理得2CR CP CM ⋅=，2DQ DP DM ⋅=。

因为M 是CD 的中点，CM DM =，BS DQ =， 所以 22CR CP CM DM DQ DP BS DP ⋅===⋅=⋅， 所以CP BSDP CR=． ……………………………… 10分 因为△APB ∽△DPC ，所以CP BPDP AP=． 又ST ∥AB ，所以BP BSAP AT=， TSRQP MDC BA所以CP BS BP BSDP CR AP AT===， 故AT ＝RC ． ………… ……………………………… 20分14．问：是否存在函数()()()f x g x h x ，，，满足23,1,()()()127,10,47,0.x x f x g x h x x x x x −<−⎧⎪−+=+−≤≤⎨⎪−+>⎩解：存在函数()()()f x g x h x ，，满足要求。

设 ()1F x a x b x cx d =++++ ………………………………… 5分()1()10()0.c a b x d a x a c b x a d x a b c x a d x −−+−<−⎧⎪=+−++−≤≤⎨⎪++++>⎩，，，，， ………………… 10分 所以 212437c a b a c b a b c d a a d −−=⎧⎪+−=⎪⎪++=−⎨⎪−=−⎪+=⎪⎩，，，，，………………………………… 15分解得5812a b c d ==−=−=，，，，所以()55f x x =+，()8g x x =，()2h x x =−+是满足条件的函数． …………… 20分15．非负实数a ，b ，c 满足2224a b c abc +++=，求证：02ab bc ca abc ≤++−≤．证明：易知a ，b ，c 中必有一个不超过1，不妨设1a ≤，所以 ()(1)0ab bc ca abc a b c bc a ++−=++−≥． ……………………… … 5分另一方面，1a −，1b −，1c −中必有两个同号，不妨设(1)(1)0b c −−≥ ………… 10分由题设得，224a bc abc ++≤，2(2)4bc a a +≤−，所以 2bc a ≤−， ………………… ……………… 15分 于是 2(1)ab bc ca abc ab a ca b ++−≤+−+−2(1)a b c bc =++−−2(1)(1)2a b c =−−−≤． ………………… 20分16．设{}1,2,,18A ="．求最小的正整数k ，使得可以把集合A 分成k个两两不交的子集12,,,k A A A "，对于任一子集(1)i A i k ≤≤中的任意3个数a ，b ，c （可以是相同的），都有a b c ≠+．解： 若A 可以分成3个两两不交的子集X ，Y ，Z ，其中任一个子集中的任意3个数a ，b ，c （可以是相同的），都有a b c ≠+．X ，Y ，Z 中一定有一个至少含有6个元素，不妨设X 中至少有6个元素126,,,x x x "，且126x x x <<<"，则由题设知，616265,,,x x x x x x −−−"均不在X 中（否则，若6i x x X −∈，则66()i i x x x x −+=，矛盾）．于是它们在Y 或者Z 中，不妨设其中至少有3个在Y 中，设为123,,y y y ，123y y y <<，则31y y −，32y y −均不在Y中，也不在X中（因为3166()()i j j i y y x x x x x x −=−−−=−，所以31y y −不在X 中，同理32y y −不在X 中），所以，31y y −，32y y −都在Z 中，所以21y y −＝（31y y −）－（32y y −）既不属于Z ，也不属于Y ，从上面可知也不属于X ，矛盾． …………… 10分所以，若A 分成3个两两不交的子集X ，Y ，Z ，不可能满足题设要求．另一方面，A 可以分成如下4个满足要求的子集：1A ={1，4，7，10，13，16}，2A ={2，3，11，12}， 3A ={5，6，8，9}，4A ={14，15，17，18}．所以，k 的最小值为4． ………………………………… 20分。