人教A版2019高中数学必修4讲义：第二章 2.1 平面向量的实际背景及基本概念_含答案

平面向量的实际背景及基本概念

预习课本P74～76，思考并完成以下问题

(1)向量是如何定义的？向量与数量有什么区别？

(2)怎样表示向量？向量的相关概念有哪些？

(3)两个向量(向量的模)能否比较大小？

(4)如何判断相等向量或共线向量？向量AB与向量BA是相等向量吗？

(5)零向量与单位向量有什么特殊性？0与0的含义有什么区别？

[新知初探]

1．向量的概念和表示方法

(1)概念：既有大小，又有方向的量称为向量．

(2)向量的表示：

AB，…

量，有向线段是规定了起点和终点的线段．

2．向量的长度(或称模)与特殊向量

(1)向量的长度定义：向量的大小叫做向量的长度．

(2)向量的长度表示：向量AB，a的长度分别记作：|AB|，|a|.

(3)特殊向量：

①长度为0的向量为零向量，记作0；

②长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．

[点睛]定义中的零向量和单位向量都是只限制大小，没有确定方向．我们规定零向量的方向是任意的；单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同．3．向量间的关系

(1)相等向量：长度相等且方向相同的向量，叫做相等向量，记作：a＝b.

(2)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫共线向量；a平行于b，记作a∥b；规定零向量与任一向量平行．

[点睛]共线向量仅仅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同．

[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)两个向量能比较大小．()

(2)向量的模是一个正实数．()

(3)单位向量的模都相等．()

(4)向量AB与向量BA是相等向量．()

答案：(1)×(2)×(3)√(4)×

2．有下列物理量：①质量；②温度；③角度；④弹力；⑤风速．

其中可以看成是向量的个数()

A．1B．2C．3D．4

答案：B

3．已知向量a如图所示，下列说法不正确的是()

A．也可以用MN表示B．方向是由M指向N

C．始点是M D．终点是M

答案：D

4.如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，则与ED相等的向

量有______．

答案：AB，DC

[典例]有下列说法：①向量AB和向量BA长度相等；②方向不同的两个向量一定不平行；③向量BC是有向线段；④向量0＝0，其中正确的序号为________．

[解析]对于①，|AB|＝|BA|＝AB，故①正确；

对于②，平行向量包括方向相同或相反两种情况，故②错误；

对于③，向量可以用有向线段表示，但不能把二者等同起来，故③错误；

对于④，0是一个向量，而0是一个数量，故④错误．

[答案]①

[活学活用]

有下列说法：

①若向量a与向量b不平行，则a与b方向一定不相同；

②若向量AB，CD满足|AB|＞|CD|，且AB与CD同向，则AB＞CD；

③若|a|＝|b|，则a，b的长度相等且方向相同或相反；

④由于零向量方向不确定，故其不能与任何向量平行．

其中正确说法的个数是()

A．1B．2

C．3 D．4

解析：选A对于①，由共线向量的定义，知两向量不平行，方向一定不相同，故①正确；对于②，因为向量不能比较大小，故②错误；对于③，由|a|＝|b|，只能说明a，b的长度相等，确定不了它们的方向，故③错误；对于④，因为零向量与任一向量平行，故④错误．

[典例]在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：

①OA，使|OA|＝42，点A在点O北偏东45°；

②AB，使|AB|＝4，点B在点A正东；

③BC，使|BC|＝6，点C在点B北偏东30°.

[解](1)由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA|＝42，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量OA如图所示．

(2)由于点B在点A正东方向处，且|AB|＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量AB如图所示．

(3)由于点C在点B北偏东30°处，且|BC|＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C 距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量BC如图所示．

一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达B点，然后改变方向，向北偏西40°方向行驶了200千米到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达D点．作出向量AB，BC，CD，AD.

解：如图所示．

[典例]如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且OA＝a，OB

＝b，OC＝c.

(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？

(2)与a共线的向量有哪些？

(3)请一一列出与a，b，c相等的向量．

[解](1)与a的长度相等、方向相反的向量有OD，BC，AO，FE.

(2)与a共线的向量有EF，BC，OD，FE，CB，DO，AO，DA，AD.

(3)与a相等的向量有EF，DO，CB；与b相等的向量有DC，EO，FA；与c 相等的向量有FO，ED，AB.

[一题多变]

1．[变设问]本例条件不变，试写出与向量BC相等的向量．

解：与向量BC相等的向量有OD，AO，FE.

2．[变条件，变设问]在本例中，若|a|＝1，则正六边形的边长如何？

解：由正六边形性质知，△FOA为等边三角形，所以边长AF＝|a|＝1.