2016秋新人教A版高中数学必修一1.3.1《函数的最大(小)值》Word精讲精析

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高中数学 1.3.1.2 第2课时函数的最大值、最小值课件新人教A版必修1

(2)存在x0∈I，使 _f_(x_0_)＝__M__
结论
M是函数y＝f(x)的最大值
M是函数y＝f(x)的最小值
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1．函数 f(x)(－2≤x≤2) 的图象如图所示，则函数的最大值、最小值分别为
()
A．f(2)，f(－2) C．f(12)，f(－32) 答案(dáàn)： C
第二十页，共42页。
2.已知函数 f(x)＝x－a 1(x∈[2,6])的最大值为 2，求 a 的值．解析：首先讨论 f(x)在[2,6]上的单调性：设 x1，x2∈[2,6]，且 x1＜x2，则 f(x1)－f(x2)＝x1－a 1－x2－a 1 ＝x1a－x12－xx2－1 1. ∵2≤x1＜x2≤6， ∴x2－x1＞0，x1－1＞0，x2－1＞0.
当x＝0
最小值
时，y＝0是所有函数值中_______．而对于f(x)
＝_最__－大__x值_2_来．说，x＝0时，y＝0是所有函数值中
第三页，共42页。
2．二次函数的最值二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象为抛物线，当 a＞0 时，ymin＝4ac4－a b2，当 a＜0 时，ymax＝4ac4－a b2.
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3．函数(hánshù)y＝x2－4x＋5，x∈[0,3]的最大值为________．解析： ∵y＝(x－2)2＋1，x∈[0,3]， ∴原函数(hánshù)在[0,2]上为减函数(hánshù)，在[2,2]上为增函数(hánshù)． ∴最大值为f(0)与f(3)中的最大者，而f(0)＝5， f(3)＝2， ∴最大值为5. 答案： 5
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②当 t≤1≤t＋1，即 0≤t≤1 时， f(x)在区间[t，t＋1]上先减再增，故当 x＝1 时，f(x)取得最小值，此时 g(t)＝f(1)＝2. ③当 t＋1＜1，即 t＜0 时，f(x)在[t，t＋1]上单调递减，

新人教A版高中数学必修1 函数的最大(小)值

函数的基本性质1．3.1单调性与最大(小)值第二课时函数的最大(小)值[新知初探]函数的最大(小)值小值是0，有f (0)＝0.[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何函数都有最大值或最小值．( ) (2)函数的最小值一定比最大值小．( ) 答案：(1)× (2)√2．函数y ＝f (x )在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )A ．－1,0B ．0,2C ．－1,2 D.12，2 答案：C3．设函数f (x )＝2x －1(x <0)，则f (x )( ) A ．有最大值 B ．有最小值C ．既有最大值又有最小值D ．既无最大值又无最小值答案：D4．函数f (x )＝2x ，x ∈[2,4]，则f (x )的最大值为______；最小值为________．答案：112[例1] 如图为函数y ＝f (x )，x ∈[－4,7]的图象，指出它的最大值、最小值．[解] 观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是(3,3)，最低的点是(－1.5，－2)，所以当x ＝3时，函数y ＝f (x )取得最大值，即y max ＝3；当x ＝－1.5时，函数y ＝f (x )取得最小值，即y min ＝－2.用图象法求最值的3个步骤[活学活用]1．求函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<x <1，x ，1≤x ≤2的最值．解：函数f (x )的图象如图所示．由图象可知f (x )的最小值为f (1)＝1，无最大值．[例2] 已知函数f (x )＝x ＋1x .(1)证明：f (x )在(1，＋∞)内是增函数； (2)求f (x )在[2,4]上的最值．[解] (1)证明：设对于任意x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2.则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1x 1－x 2－1x 2＝(x 1－x 2)·⎝⎛⎭⎫1－1x 1x 2＝(x 1－x 2)(x 1x 2－1)x 1x 2. ∵x 2>x 1>1，∴x 1－x 2<0，又∵x 1x 2>1，∴x 1x 2－1>0，图象法求函数的最值利用单调性求函数的最值故(x 1－x 2)·(x 1x 2－1)x 1x 2<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在(1，＋∞)内是增函数． (2)由(1)可知f (x )在[2,4]上是增函数， ∴当x ∈[2,4]时，f (2)≤f (x )≤f (4)．又f (2)＝2＋12＝52，f (4)＝4＋14＝174，∴f (x )在[2,4]上的最大值为174，最小值为52.[活学活用] 2．已知函数f (x )＝2x －1(x ∈[2,6])，求函数的最大值和最小值．解：设x 1，x 2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－1－2x 2－1＝2[(x 2－1)－(x 1－1)](x 1－1)(x 2－1)＝2(x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1).由2≤x 1<x 2≤6，得x 2－x 1>0，(x 1－1)(x 2－1)>0，于是f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)．所以函数f (x )＝2x －1是区间[2,6]上的减函数．因此，函数f (x )＝2x －1在区间[2,6]的两个端点处分别取得最大值与最小值，即在x ＝2时取得最大值，最大值是2，在x ＝6时取得最小值，最小值是0.4.[例3] 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：实际应用中的最值R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80 000，x ＞400.其中x 是仪器的月产量．(1)将利润表示为月产量的函数f (x )；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)[解] (1)设月产量为x 台，则总成本为20 000＋100x ，从而 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x 2＋300x －20 000，0≤x ≤400，60 000－100x ，x ＞400.(2)当0≤x ≤400时， f (x )＝－12(x －300)2＋25 000，∴当x ＝300时，[f (x )]max ＝25 000. 当x >400时，f (x )＝60 000－100x 是减函数， f (x )<60 000－100×400<25 000. ∴当x ＝300时，[f (x )]max ＝25 000.即每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25 000元．[活学活用]3．将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？解：设售价为x 元，利润为y 元，单个涨价(x －50)元，销量减少10(x －50)个，销量为500－10(x －50)＝(1 000－10x )个，则y ＝(x －40)(1 000－10x )＝－10(x －70)2＋9 000≤9 000.故当x ＝70时，y max ＝9 000.即售价为70元时，利润最大值为9 000元.[例4] 求二次函数f (x )＝x 2－2ax ＋2在[2,4]上的最小值． [解] ∵函数图象的对称轴是x ＝a ， ∴当a <2时，f (x )在[2,4]上是增函数， ∴f (x )min ＝f (2)＝6－4a .当a >4时，f (x )在[2,4]上是减函数， ∴f (x )min ＝f (4)＝18－8a .当2≤a ≤4时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2. ∴f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧6－4a ，a <2，2－a 2，2≤a ≤4，18－8a ，a >4.[一题多变]1．[变设问]在本例条件下，求f (x )的最大值．解：∵函数图象的对称轴是x ＝a ， ∴当a ≤3时，f (x )max ＝f (4)＝18－8a ，当a >3时，f (x )max ＝f (2)＝6－4a .∴f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧18－8a ，a ≤3，6－4a ，a >3.2．[变设问]在本例条件下，若f (x )的最小值为2，求a 的值．解：由本例解析知f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧6－4a ，a <2，2－a 2，2≤a ≤4，18－8a ，a >4.当a ＜2时，6－4a ＝2，a ＝1；当2≤a ≤4时，2－a 2＝2，a ＝0(舍去)；当a ＞4时，若18－8a ＝4，a ＝74(舍去)．∴a 的值为1.3．[变条件，变设问]本例条件变为，若f (x )＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[2,4]时，f (x )≤a 恒成立，求实数a 的取值范围．解：在[2,4]内，f (x )≤a 恒成立，即a ≥x 2－2ax ＋2在[2,4]内恒成立，即a ≥f (x )max ，x ∈[2,4]．二次函数的最大值，最小值由本例探究1知f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧18－8a ，a ≤3，6－4a ，a ＞3.(1)当a ≤3时，a ≥18－8a ，解得a ≥2，此时有2≤a ≤3. (2)当a ＞3时，a ≥6－4a ，解得a ≥65，此时有a ＞3.综上有实数a 的取值范围是[2，＋∞)．层级一学业水平达标1.函数y ＝f (x )(－2≤x ≤2)的图象如下图所示，则函数的最大值、最小值分别为( )A ．f (2)，f (－2)B ．f ⎝⎛⎭⎫12，f (－1)C ．f ⎝⎛⎭⎫12，f ⎝⎛⎭⎫－32D ．f ⎝⎛⎭⎫12，f (0)解析：选C 根据函数最值定义，结合函数图象可知，当x ＝－32时，有最小值f ⎝⎛⎭⎫－32；当x ＝12时，有最大值f ⎝⎛⎭⎫12. 2．函数y ＝x 2－2x ＋2在区间[－2,3]上的最大值、最小值分别是( ) A ．10,5 B ．10,1 C ．5,1D ．以上都不对解析：选B 因为y ＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，且x ∈[－2,3]，所以当x ＝1时，y min ＝1，当x ＝－2时，y max ＝(－2－1)2＋1＝10.故选B.3．设函数f (x )＝2x x －2在区间[3,4]上的最大值和最小值分别为M ，m ，则m 2M ＝( )A.23B.38C.32D.83解析：选D 易知f (x )＝2x x －2＝2＋4x －2，所以f (x )在区间[3,4]上单调递减，所以M ＝f (3)＝2＋43－2＝6，m ＝f (4)＝2＋44－2＝4，所以m 2M ＝166＝83.4．若函数y ＝ax ＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a 的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．2或－2D ．0解析：选C 由题意知a ≠0，当a >0时，有(2a ＋1)－(a ＋1)＝2，解得a ＝2；当a <0时，有(a ＋1)－(2a ＋1)＝2，解得a ＝－2.综上知a ＝±2.5．当0≤x ≤2时，a ＜－x 2＋2x 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1] B ．(－∞，0] C ．(－∞，0)D ．(0，＋∞)解析：选C 令f (x )＝－x 2＋2x ，则f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1. 又∵x ∈[0,2]，∴f (x )min ＝f (0)＝f (2)＝0. ∴a ＜0.6．函数y ＝－1x ，x ∈[－3，－1]的最大值与最小值的差是________．解析：易证函数y ＝－1x 在[－3，－1]上为增函数，所以y min ＝13，y max ＝1，所以y max －y min ＝1－13＝23.答案：237．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0,1]，若f (x )有最小值－2，则f (x )的最大值为________．解析：函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ＝－(x －2)2＋4＋a ，x ∈[0,1]，且函数有最小值－2. 故当x ＝0时，函数有最小值，当x ＝1时，函数有最大值．∵当x ＝0时，f (0)＝a ＝－2，∴f (x )＝－x 2＋4x －2， ∴当x ＝1时，f (x )max ＝f (1)＝－12＋4×1－2＝1. 答案：18．函数y ＝f (x )的定义域为[－4,6]，若函数f (x )在区间[－4，－2]上单调递减，在区间(－2,6]上单调递增，且f (－4)<f (6)，则函数f (x )的最小值是________，最大值是________．解析：作出符合条件的函数的简图(图略)，可知f (x )min ＝f (－2)，f (x )max ＝f (6)．答案：f (－2) f (6)9．求函数f (x )＝xx －1在区间[2,5]上的最大值与最小值．解：任取2≤x 1<x 2≤5，则f (x 2)－f (x 1)＝x 2x 2－1－x 1x 1－1＝x 1－x 2(x 2－1)(x 1－1). 因为2≤x 1<x 2≤5，所以x 1－x 2<0，x 2－1>0，x 1－1>0. 所以f (x 2)－f (x 1)<0. 所以f (x 2)<f (x 1)．所以f (x )＝xx －1在区间[2,5]上是单调减函数．所以f (x )max ＝f (2)＝22－1＝2，f (x )min ＝f (5)＝55－1＝54. 10．已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2，求a 的值．解：f (x )＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，当a ≥1时，f (x )max ＝f (1)＝a ；当0<a <1时，f (x )max ＝f (a )＝a 2－a ＋1；当a ≤0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a .根据已知条件得，⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥1，a ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，a 2－a ＋1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，1－a ＝2，解得a ＝2或a ＝－1.层级二应试能力达标1．下列函数在[1,4]上最大值为3的是( ) A ．y ＝1x ＋2B ．y ＝3x －2C ．y ＝x 2D ．y ＝1－x解析：选A B 、C 在[1,4]上均为增函数，A 、D 在[1,4]上均为减函数，代入端点值，即可求得最值，故选A.2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋6，x ∈[1，2]，x ＋7，x ∈[－1，1]，则f (x )的最大值与最小值分别为( )A ．10,6B ．10,8C ．8,6D ．以上都不对解析：选A ∵x ∈[1,2]时，f (x )max ＝2×2＋6＝10，f (x )min ＝2×1＋6＝8；x ∈[－1,1]时，f (x )max ＝1＋7＝8，f (x )min ＝－1＋7＝6， ∴f (x )max ＝10，f (x )min ＝6.3．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．[0,2]C ．(－∞，2]D ．[1,2]解析：选D f (x )＝(x －1)2＋2，∵f (x )min ＝2，f (x )max ＝3，且f (1)＝2，f (0)＝f (2)＝3，∴1≤m ≤2，故选D.4．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，销售x 辆该品牌车的利润(单位：万元)分别为L 1＝－x 2＋21x 和L 2＝2x .若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( )A ．90万元B ．60万元C ．120万元D ．120.25万元解析：选C 设公司在甲地销售x 辆，则在乙地销售(15－x )辆，公司获利为L ＝－x 2＋21x ＋2(15－x )＝－x 2＋19x ＋30＝－⎝⎛⎭⎫x －1922＋30＋1924， ∴当x ＝9或10时，L 最大为120万元．5．已知－x 2＋4x ＋a ≥0在x ∈[0,1]上恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：法一：－x 2＋4x ＋a ≥0，即a ≥x 2－4x ，x ∈[0,1]，也就是a 应大于或等于f (x )＝x 2－4x 在[0,1]上的最大值，函数f (x )＝x 2－4x 在x ∈[0,1]的最大值为0，∴a ≥0.法二：设f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝a ≥0，f (1)＝－1＋4＋a ≥0，解得a ≥0.答案：[0，＋∞)6．已知函数f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[1，a ]，并且f (x )的最小值为f (a )，则实数a 的取值范围是________．解析：如图可知f (x )在[1，a ]内是单调递减的，又∵f (x )的单调递减区间为(－∞，3]， ∴1<a ≤3.答案：(1,3]7．某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x (不低于进价，单位：元)与日销售量y (单位：件)之间有如下关系：(1)确定x 与y (2)若日销售利润为P 元，根据(1)中的关系式写出P 关于x 的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？解：(1)因为f (x )是一次函数，设f (x )＝ax ＋b ，由表格得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 45a ＋b ＝27，50a ＋b ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝162，所以y ＝f (x )＝－3x ＋162.又y ≥0，所以30≤x ≤54，故所求函数关系式为y ＝－3x ＋162，x ∈[30,54]．(2)由题意得，P ＝(x －30)y ＝(x －30)(162－3x )＝－3x 2＋252x －4 860＝－3(x －42)2＋432，x ∈[30,54]．当x ＝42时，最大的日销售利润P ＝432，即当销售单价为42元时，获得最大的日销售利润．8．已知函数f (x )对任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23. (1)求证：f (x )是R 上的单调减函数．(2)求f (x )在[－3,3]上的最小值．解：(1)证明：设x 1，x 2是任意的两个实数，且x 1<x 2，则x 2－x 1>0，因为x >0时，f (x )<0，所以f (x 2－x 1)<0，又因为x 2＝(x 2－x 1)＋x 1，所以f (x 2)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)，所以f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)<0，所以f (x 2)<f (x 1)．所以f (x )是R 上的单调减函数．(2)由(1)可知f (x )在R 上是减函数，所以f (x )在[－3,3]上也是减函数，所以f (x )在[－3,3]上的最小值为f (3)．而f (3)＝f (1)＋f (2)＝3f (1)＝3×⎝⎛⎭⎫－23 ＝－2. 所以函数f (x )在[－3,3]上的最小值是－2.。

高中数学 1.3.1 单调性与最大(小)值第2课时函数的最值课件新人教A版必修1

(1)令 x 为年产量，y 表示利润，求 y＝f(x)的表达式； (2)当年产量为何值时，工厂的利润最大？其最大值是多少？
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(3)求解：选择合适的数学方法求解函数． (4)评价：对结果进行验证或评估，对错误加以改正，最后将结果应用于现实，做出解释或预测．也可认为分成“设元——列式——求解——作答”四个步
第三十三页，共48页。
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某工厂生产一种机器的固定成本为 5 000 元，且每生产 1 部，需要增加投入 25 元，对销售市场进行调查后得知，市场对此产品的需求量为每年 500 部，已知销售收入的函数为 N(x)＝ 500x－12x2，其中 x 是产品售出的数量(0≤x≤500)．
(3)最大(小)值定义中的“存在”是说定义域中至少有一个实数(shìshù)满足等式，也就是说y＝f(x)的图象与直线y＝M至少有一个交点．
第十一页，共48页。
2．最值定义函数的__最__大__值__和__最__小_值___统称为函数的最值几何函数y＝f(x)的最值是图象_最__高__点___或_最__低__点___的意义纵坐标说明函数的最值是在整个定义域内的性质
第二十三页，共48页。
②由①知，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以若函数 f(x)的定义域与值域都是[12，2]，则ff122＝＝122，，
即1a1a－－212＝＝122，，解得 a＝25.
第二十四页，共48页。
规律总结：1.利用单调性求最值的一般步骤
(1)判断函数的单调性．(2)利用单调性写出最值． 2．利用单调性求最值的三个常用结论 (1)如果函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间 [a，b]的左、右端点(duān diǎn)处分别取得最小(大)值和最大 (小)值． (2)如果函数f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间[b，c)上是减函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最大值f(b)． (3)如果函数f(x)在区间(a，b]上是减函数，在区间[b，c)上是增函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最小值f(b)．

【人教A版】高中数学必修1-5教材课后习题答案全套完整WORD版

（4）不等式的解集.
解答：
2.解：（1）因为方程的实数根为，
所以由方程的所有实数根组成的集合为；
（2）因为小于的素数为，
所以由小于的所有素数组成的集合为；
（3）由，得，
即一次函数与的图象的交点为，
所以一次函数与的图象的交点组成的集合为；
（4）由，得，
所以不等式的解集为．
（1）；
（2）．
9．设，，，
，求，，．
9．解：同时满足菱形和矩形特征的是正方形，即，
平行四边形按照邻边是否相等可以分为两类，而邻边相等的平行四边形就是菱形，
即，
．
10．已知集合，求，，
，．
10．解：，，
，，
得，
，
，
．
B组
1．已知集合，集合满足，则集合有个．
当时，集合，则；
当，且，且时，集合，
则．
4．已知全集，，试求集合．
4．解：显然，由，
得，即，而，
得，而，
即．
第一章集合与函数概念
1．2函数及其表示
1．2．1函数的概念
练习（第19页）
1．求下列函数的定义域：
（1）；（2）．
1．解：（1）要使原式有意义，则，即，
3．解：
图象如下
4．如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点的距离是，从点沿海岸正东处有一个城镇．
（1）假设一个人驾驶的小船的平均速度为，步行的速度是，（单位：）表示他从小岛到城镇的时间，（单位：）表示此人将船停在海岸处距点的距离．请将表示为的函数．

人教版高中数学必修一1.3.1__单调性与最大(小)值_第2课时__函数的最大值、最小值ppt课件

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3.求函数 f ( x)在区x间2[-1,3]上的最大值和最小值.
【提示】根据二次函数的性质，函数在区间[-1,0]上是减函数，在区间(0,3] 上是增函数，最小值一定在x=0时取得，最大值就是区间的两个端点的函数值中最大的. 【答案】最大值是9，最小值是0.
对基本的函数如一次函数、二次函数、反比例函数等，今后可以不加证明地使用他们的单调性求函数最值
在科学上进步而道义上落后的人，不是前进，而是后退.
——亚里士多德
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ห้องสมุดไป่ตู้
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1.函数的最值是函数的基本性质之一，函数的最值是函数在其定义域上的整体性质. 2.根据函数的单调性确定函数最值时，如果是一般的函数要证明这个函数的单调性，若是基本的函数可以直接使用函数的单调性. 3.含有字母系数的函数，在求其最值时要注意分情况讨论，画出函数的图象有利于问题的解决.
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求函数 f (x) 在区3x间[-1,3]的最大值和最小值。
【提示】证明函数在区间[-1,3]上是增函数. 【答案】最大值是9，最小值是-3.
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1. 函数f(x)=x2+4ax+2在区间(-∞，6]内递减，则a的取值范围是(
)
(A)a≥3
D
(C)a≥-3
(B)a≤3 (D)a≤-3
2.已知函数f(x)=4x2-mx+1在(-∞，-2]上递减，在[-2, +∞)上递增，则f(x)在[1,2]上的值域为____________. [21,49]
17
5.求函数 f (x) x2在区2间ax[0,4]上的最小值.
【提示】二次函数的对称轴x=a是函数单调区间的分界点.根据二次函数的对称轴和区间[0,4]的关系，分

高中数学1.3.1函数的单调性与最大小值第2课时教学设计新人教A版必修1

1.3.1单调性与最大（小）值（第二课时）教学设计一、学情分析本节课是人教版《数学》（必修Ⅰ）第一章第3节函数的单调性与最大（小）值的第二课时，次要学惯用符号言语刻画函数的的最大（小）值，并能用函数的单调性和函数的图象进行一些常见函数最值的求值.在此之前，先生对函数曾经有了一个初步的了解，同时，由于上一节曾经学习函数单调性的定义，先生能初步理解用数学言语抽象概括函数概念的必要性和表达方式，为函数最值概念的构成提供极大帮助.因而本节课经过函数的图象，先生容易找出相应的最大值和最小值.但这只是感性上的认识.为了让先生有一个从具体到抽象、特殊到普通的认识过程，本节课经过设计成绩串，逐渐让先生用数学言语描述函数最值的概念，并利用对概念的辨析深化了解最值的内涵.二、教学目标：1．知识与技能（1）理解函数的最大（小）值的概念及其几何意义.理解函数的最大（小）值是函数的全体性质.（2）能解决与二次函数有关的最值成绩，和利用函数的单调性和函数的图象求函数的最值，掌握用函数的思想解决一些理论成绩.2．过程与方法经过日常生活实例，引导先生进行分析、归纳、概括函数最值的概念.并借助函数的单调性，从数到形，以形助数，逐渐浸透、培养先生数形结合思想、分类讨论思想、优化思想.3．情感、态度与价值观以丰富的实例背景引入，让先生领会数学与日常生活毫不相关.在概念的构成过程中，培养先生从特殊到普通、从直观到抽象的思想提升过程，让先生感知数学成绩求解途径与方法，享用成功的快乐.三、重点、难点：重点：建构函数最值的概念过程，利用函数的单调性和函数的图象求函数的最值.难点：函数最值概念的构成.高一先生的逻辑思想和抽象概括能力较弱，面对抽象的方式化定义，容易产生思想妨碍.对此，本课紧紧捉住新旧知识间的内在联系，设置一系列成绩，让先生充分参与定义的符号化过程，从图形言语和自然言语向数学符号言语转化，逐渐打破难点.四、教学过程：（一）提出成绩，引入目标背景1：成绩1：求函数2)(x x f -=的最大值.意图：从熟习的二次函数动手，将求函数的最大值转化为研讨函数图象的最高点，引导先生经过图象分析.背景2：请看下图，这是某气象观测站某日00:00—24:00这24小时内的气温变化图.（图）成绩2：.（1）我们常说昼夜温差大，是指一天当中的最高温度和最低温度之差.请问，该天的最高气温是多少？（2）该图象能否建立一个函数关系？如何定义自变量？意图：明确是在函数背景下研讨成绩.回顾函数的定义和函数的表示法（图象法）师：我们称此时该函数的最大值是32.意图：启发先生明确函数图象中存在最高点与函数存在最大值之间是分歧的，即明确函数图象和函数解析式是反映函数关系的不同表现方式，从而无认识地培养先生以形助数解决成绩的认识，并引出课题——《函数的最大（小）值》（二）层层深化，概念建构成绩3：经过这两个成绩，我们能否用数学言语给出普通函数最大值的定义？意图：以具体实例为背景，让先生用数学言语来进行归纳表达，引导先生过渡到任意化的符号化表示，呈现知识的自然生成，领会从特殊到普通的思想.定义：普通地，设函数)(x f y =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的I x ∈，都有M x f ≤)(成立；（2）存在I x ∈0，使得M x f =)(0.那么，我们称M 是函数)(x f y =的最大值.（预设：函数最大值定义中的第（1）点成绩不大，第（2）点容易被忽略。

高中数学人教版A版必修一课件：第一章《集合与函数概念》 1.3.1 第2课时函数的最大值、最小值

(1) 解析
作出函数 f(x) 的图象 ( 如图 ) ．由图象可知，当 x ＝±1
时，f(x)取最大值为f(±1)＝1.当x＝0时，f(x)取最小值f(0)＝0，
故f(x)的最大值为1，最小值为0. 答案 1 0
(2)解
任取 2≤x1<x2≤5，
x1 x2 则 f(x1)＝，f(x2)＝， x1－1 x2－1 x1－x2 x2 x1 f(x2)－f(x1)＝－＝， x2－1 x1－1 x2－1x1－1 ∵2≤x1<x2≤5，∴x1－x2<0，x2－1>0，x1－1>0， ∴f(x2)－f(x1)<0，∴f(x2)<f(x1)． x ∴f(x)＝在区间[2,5] 上是单调减函数． x－1 2 5 5 ∴f(x)max＝f(2)＝＝2，f(x)min＝f(5)＝＝4. 2－1 5－1
解
(1)设月产量为 x 台，则总成本为 20 000＋100x，
1 2 － x ＋300x－20 0000≤x≤400，从而 f(x)＝ 2 60 000－100xx＞400. 1 (2)当 0≤x≤400 时，f(x)＝－2(x－300)2＋25 000； ∴当 x＝300 时，f(x)max＝25 000，当 x＞400 时，f(x)＝60 000－100x 是减函数， f(x)＜60 000－100×400＜25 000. ∴当 x＝300 时，f(x)max＝25 000. 即每月生产 300 台仪器时利润最大，最大利润为 25 000 元．
规律方法
求解实际问题的四个步骤
(1)读题：分为读懂和深刻理解两个层次，把“问题情景” 译为数学语言，找出问题的主要关系(目标与条件的关系)．
(2)建模：把问题中的关系转化成函数关系，建立函数解析

函数的最大(小)值-高一数学同步课件(新教材人教版必修第一册)(新教材人教版必修第一册)

即当该工厂年产量为16件时，取得最大年利润为156万元．
解实际应用题的四个步骤 1审题：解读实际问题，找出已知条件、未知条件，确定自变量和因变量的条件关系. 2建模：建立数学模型，列出函数关系式. 3求解：分析函数性质，利用数学知识探究问题解法一定注意自变量的取值范围. 4回归：数学问题回归实际问题，写出答案.
3．将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？
[解] 设售价为x元，利润为y元，单个涨价(x－50)元，销量减少10(x －50)个，销量为500－10(x－50)＝(1 000－10x)个，则y＝(x－40)(1 000－ 10x)＝－10(x－70)2＋9 000≤9 000.
2[解．]求函设数1≤f(xx)1＝<xx2<＋2，4x在则[1f(,4x1])上－的f(x最2)值＝． x1＋x41－x2－x42＝x1－x2＋ 4xx21－x2x1＝(x1－x2)·1－x14x2＝(x1－x2)x1xx12x－2 4＝x1－x2x1xx21x2－4.
∵1≤x1<x2<2，∴x1－x2<0，x1x2－4<0，x1x2>0， ∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)在[1,2)上是减函数．同理f(x)在[2,4]上是增函数． ∴当x＝2时，f(x)取得最小值4；当x＝1或x＝4时，f(x)取得最大值5.
D [∵函数 y＝x2－2x＝(x－1)2 －1，x∈[0,3]，∴当 x＝1 时，函数 y 取得最小值为－1，
当 x＝3 时，函数取得最大值为 3，故函数的值域为[－1,3]，故选 D.]
3．函数y＝ax＋1在区间[1,3]上

人教高中数学A版必修一 (函数的最大(小)值)函数的概念与性质课件

四、作业（1）P175练习：1,2,3,6 （2）P175~176习题5.1
4.弧度的计算公式：| | l （弧度的绝对值等于弧长除以半径）
r
注意：α的正负由角α的终边的旋转方向决定
一般地，我们规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零。
思考：半圆与整圆所对的圆心角是多少度？是多少弧度？
①半圆所对的圆心角为：
r
.
r
②整圆所对的圆心角为：2 r 2 .
合作探究·提素养
y
y
M
M
o
x0
图1
x
m
a b oc
x0
x
图2
思考1：函数定义域内任意自变量x，f(x)与M的大小关系如何表示？
思考2：函数的最大值是函数值域中的一个元素吗？(设函数f(x)定义域为I) 存在x0∈I,使得f(x0)=M
新知生成
一般地，设函数 f(x)的定义域为I
如果存在实数 m 满足：(1)对于任意 x∈I，都有f(x)≥m； (2)存在x0∈I，使得f(x0)= m ;
那么，称M是函数y=f(x)的最小值
对函数最大（小）值的理解问题1：是否每个函数都有最大值或最小值？
问题2：如果一个函数存在最值，那么这个函数的最值是否唯一？取最值时的自变量是否唯一？
问题3：如果函数f(x)的最大值是b，最小值是a，那么函数f(x)的值域是[a，b]吗？
探究2 ：函数单调性与函数最值的关系
第三章函数的概念与性质
3.2.1 函数的最大（小）值
学习目标
1.理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义. 2.能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值.
合作探究·提素养

人教A版高中数学必修一1.3.1+函数的单调性和最大小值+教案

函数单调性与最大(小)值（第一课时）一、二、教材分析:《函数单调性》是高中数学新教材必修一第二章第三节的内容。

在此之前，学生已经学习了函数的概念、定义域、值域、表示法以及在初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数等常见函数，也了解了一些函数的增减性，只是当时的研究较为粗略，未明确给出有关函数单调性的定义，对于函数单调性的判断也主要根据图像观察得到，而本小节内容，正是对初中有关内容的一个深化和提高，给出了具体的函数在某个区间上是增函数还是减函数的定义，并明确指出函数的单调性是相对于那个区间的，还介绍了判断函数单调性的两种方法，做到将图像与定义证明结合在一起的思想。

函数的单调性是体现了函数研究的一般方法。

这就是加强“数”与“形”的结合，由直观到抽象；由特殊到一般。

首先借助对函数图像的观察、分析和归纳，发现函数的增、减变化的直观特征，进一步量化，发现增、减变化数学特征，从而进一步用数学语言刻画。

这对研究函数的其他性质，如奇偶性等有借鉴作用。

二、学情分析:学生已经学习了函数的概念、定义域和值域，因此他们具有了一定的抽象概括、类比归纳，符号表达的能力，在此基础上进一步研究函数的性质，对于他们来说不是太难。

但由于函数的图像是发现函数性质的直观载体，因此，在本次教学时，要充分使用信息技术创设教学情境，这样有利于学生更好地观察和探究函数的单调性、最值等性质，同时还要特别注意让学生经历这些概念形成的过程。

三、教学目标:1、知识与技能：理解增减函数、单调性、单调区间四个概念：能用自己的语言说出定义，并认识它们是如何得出来的。

掌握函数增减性的证明：掌握判断简单函数的单调区间及证明简单函数在给定区间上的单调性的方法和步骤。

2、过程与方法：能从具体实例中得出增函数、减函数的定义，培养观察能力和抽象概括能力。

通过知识的获得提高和发展学生自我学习和自我学习和自我发展能力。

3、情感态度与价值观：借助开放探究的教学方式，张扬学生个性，培养学生科学严谨乐于研究的作风。

【优选整合】人教A版高中数学必修一 1.3.1函数的最大(小)值教案

1.3.1函数的最大（小）值一、教学目标：1.知识与技能：（1）通过函数图象了解函数最大值、最小值在图象上的特征。

（2）会用函数的解析式和数学语言刻画函数最大值和最小值的概念。

（3）了解函数最值在实际中的应用，会求简单的函数的最值。

2.过程与方法：从已有知识出发，通过学生的观察、归纳、抽象和推理论证培养学生的数学能力，进一步领会数形结合和分类的思想方法。

3.情感态度价值观：通过知识的探究过程，突出学生的主观能动性，培养学生认真分析、科学论证的数学思维习惯.二．重点难点重点：理解函数的最值。

难点：运用函数的单调性求函数的最值。

三、教学方法问题引导，主动探究，启发式教学．四、教学过程（1）情景导入喷泉喷出的抛物线型水柱到达“最高点”后便下落，经历了先“增”后“减”的过程，从中我们发现单调性与函数的最值之间似乎有着某种“联系”，让我们来研究——函数的最大值与最小值.观察与思考；问题1. 这两个函数图象有何共同特征？问题2. 设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M,则对函数定义域内任意自变量x,f(x)与M 的大小关系如何?（2）探究新知；问题1.函数最大值的“形”的定义：当函数图象有最高点，我们就说这个函数有最大值。

当函数图象无最高点时，我们说这个函数没有最大值。

问题 2.函数图象最高点的数的刻画：函数图象在最高点处的函数值是函数在整个定义域上最大的值。

对应yxo x 图 M2()([2,6])1=∈-f x x x 函数y=f(x)而言，即对于任意的，都有0()()f x f x ≤函数最大值定义一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x ∈I ，都有________；（2）存在x0∈I ，使得_______。

那么，我们称M 是函数y=f(x)的最大值.问题3.请同学们仿此给出函数最小值的定义概念辨析1.函数最大值首先应该是某一个函数值，即存在 0,∈x I 使得()0=f x M .并不是所有满足 ()≤f x M 的函数都有最大值M.如函数 (),(1,1)=∈-f x x x ,虽然对定义域上的任意自变量都有()1≤f x ，但1不是函数的最大值.2.函数的最值是函数在定义域上的整体性质，即这个函数值是函数在整个定义域上的最大的函数值或者是最小的函数值.三、学以致用例1：如图为函数()y f x =，[]4,7x ∈-的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间．【解】由图可以知道：当 1.5x =-时，该函数取得最小值2-；当3x =时，函数取得最大值为3；函数的单调递增区间有2个：( 1.5,3)-和(5,6)；该函数的单调递减区间有三个：(4, 1.5)--、(4,5)和(6,7)例 2.已知函数，求这个函数的最大值和最小值。

人教A版必修1高中数学课件：函数的最大(小)值共44页

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36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
人教A版必修1高中数学课件：函数的最大(小)值
1、合法而稳定的权力在使用得当时很少遇到 Байду номын сангаас抗。 ——塞 ·约翰逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感；权力不易确定之处始终存在着危险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金子可以拉着它的鼻子走。— —莎士比

[精品]新人教A版必修1高中数学§1.3.1函数的最大(小)值优质课教案

§1．3．1函数的最大（小）值一．教学目标1．知识与技能：理解函数的最大（小）值及其几何意义．学会运用函数图象理解和研究函数的性质．2．过程与方法：通过实例，使学生体会到函数的最大（小）值，实际上是函数图象的最高（低）点的纵坐标，因而借助函数图象的直观性可得出函数的最值，有利于培养以形识数的解题意识．3．情态与价值利用函数的单调性和图象求函数的最大（小）值，解决日常生活中的实际问题，激发学生学习的积极性．二．教学重点和难点教学重点：函数的最大（小）值及其几何意义教学难点：利用函数的单调性求函数的最大（小）值．三．学法与教学用具1．学法：学生通过画图、观察、思考、讨论，从而归纳出求函数的最大（小）值的方法和步骤．2．教学用具：多媒体手段四．教学思路（一）创设情景，揭示课题．画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？①()3f x x =-+ ②()3[1,2]f x x x =-+∈- ③2()21f x x x =++ ④2()21[2,2]f x x x x =++∈-（二）研探新知1．函数最大（小）值定义最大值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，称M 是函数()y f x =的最大值．思考：依照函数最大值的定义，结出函数()y f x =的最小值的定义．注意：①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在0x I ∈，使得0()f x M =； ②函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x I ∈，都有()(())f x M f x m ≤≥．2．利用函数单调性来判断函数最大（小）值的方法．①配方法 ②换元法 ③数形结合法（三）质疑答辩，排难解惑．例1．（教材P 30例3）利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值．解（略）例2．将进货单价40元的商品按50元一个售出时，能卖出500个，若此商品每个涨价1元，其销售量减少10个，为了赚到最大利润，售价应定为多少？解：设利润为y 元，每个售价为x 元，则每个涨（x －50）元，从而销售量减少10(50),x -个共售出500-10(x-50)=100-10x(个)∴y=(x-40)(1000-10x)9000(50x +≤2=-10(x-70)＜100）∴max 709000x y ==时答：为了赚取最大利润，售价应定为70元．例3．求函数21y x =-在区间[2，6] 上的最大值和最小值．解：（略）例4．求函数1y x x =+-的最大值．解：令2101t x x t =-≥=-+有则 22151()024y t t t t =-++=--+≥ 21()02t ∴--≤2155()244t ∴--+≤.∴5原函数的最大值为4（四）巩固深化，反馈矫正．（1）求函数|3||1|y x x =--+的最大值和最小值．（2）如图，把截面半径为25cm 的图形木头锯成矩形木料，如果矩形一边长为x ，面积为y ，试将y 表示成x 的函数，并画出函数的大致图象，并判断怎样锯才能使得截面面积最大？（五）归纳小结求函数最值的常用方法有：（1）配方法：即将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的最值．（2）换元法：通过变量式代换转化为求二次函数在某区间上的最值．（3）数形结合法：利用函数图象或几何方法求出最值．（六）设置问题，留下悬念．1．课本P 39（A 组） 5.2．求函数21y x x =+-的最小值．3．求函数223y x x x =-+当自变量在下列范围内取值时的最值． ①10x -≤≤ ② 03x ≤≤ ③(,)x ∈-∞+∞ A 组一、选择题：1．若一次函数),()0(+∞-∞≠+=在k b kx y 上是单调减函数，则点),(b k 在直角坐标平面的（）25A ．上半平面B ．下半平面C ．左半平面D ．右半平面 2．函数y=x 2+x+2单调减区间是( )A ．[－21,+∞] B ．（－1，+∞） C ．（－∞，－21） D ．（－∞，+∞）3．下列函数在（0，3）上是增函数的是（）A ．xy 1= B ．2x y += C ．2x y -= D ．122--=x x y 4．已知函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间（-∞，4）上是减函数，则实数a 的取值范围是（）A ．a ≥3B ．a ≤-3C ．a ≥-3D ．a ≤55．设A=[1，b]（b ＞1），)(1)1(21)(2A x x x f ∈+-=，若f （x ）的值域也是A ，则b 值是（）A ．23B ．2C ．3D ．276．定义在R 上的f （x ）满足f （－x ）＝f （x ），且在（－∞，0）上是增函数，若)1()1(2f a f <-，则a 的取值范围是（）A ．2||<aB ．|a|>2C ．1|1|2<-aD ．2||>a二、填空题：7．若函数f(x)=(-k 2+3k+4)x+2是增函数，则k 的范围是 8．定义在区间[a 、b]上的增函数f （x ），最大值是________，最小值是________。

高中数学(人教版A版必修一)配套课件：第一章 1.3.1 第2课时函数的最大(小)值

知识点二函数的最大(小)值的几何意义思考函数y＝x2，x∈[－1,1]的图象如右：试指出函数的最大值、最小值和相应的x的值. 答案 x＝±1时，y有最大值1，对应的点是图象中的最高点，x＝0时， y有最小值0，对应的点为图象中的最低点. 一般地，函数最大值对应图象中的最高点，最小值对应图象中的最低点，它们不一定只有一个.
只需 a≤(x12－1x)min. 设 t＝1x，∵x∈(0,1]，∴t≥1.
x12－1x＝t2－t＝(t－12)2－14. 当 t＝1 时，(t2－t)min＝0，即 x＝1 时，(x12－1x)min＝0， ∴a≤0.
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1 23 45
1.函数f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值，最大值分别是( C )
答案最大的函数值为4，最小的函数值为2.1没有A中的元素与之对应，不是函数值.
答案
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I.如果存在实数M满足：(1)对于任意 x∈I，都有f(x)≤M.(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，称M是函数y＝f(x) 的最大值. 如果存在实数M满足：(1)对于任意x∈I，都有f(x)≥M.(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，称M是函数y＝f(x)的最小值.
解析答案
(2)求二次函数f(x)＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值；
解 ∵函数图象的对称轴是x＝a， ∴当a<2时，f(x)在[2,4]上是增函数， ∴f(x)min＝f(2)＝6－4a. 当a>4时，f(x)在[2,4]上是减函数， ∴f(x)min＝f(4)＝18－8a. 当2≤a≤4时，f(x)min＝f(a)＝2－a2.
A.10,6 C.8,6

人教A版必修1高中数学课件：函数的最大(小)值共44页文档

33、如果惧怕前面跌宕的山岩，生命就永远只能是死水一潭。 34、当你眼泪忍不住要流出来的时候，睁大眼睛，千万别眨眼!你会看到世界由清晰变模糊的全过程，心会在你泪水落下的那一刻变得清澈明晰。盐。注定要融化的，也许是用眼泪的方式。
35、不要以为自己成功一次就可以了，也不要以为过去的光荣可以被永远肯定。
Hale Waihona Puke 人教A版必修1高中数学课件：函数的最大(小)值
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不穿。(名言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者的牢骚，这是羊群中的瘟疫，我不能被它传染。我要尽量避免绝望，辛勤耕耘，忍受苦楚。我一试再试，争取每天的成功，避免以失败收常在别人停滞不前时，我继续拼搏。
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利

人教A版数学必修一1.3.1第2课时函数的最大(小)值.pptx

解：当－12≤x≤1 时，由 f(x)＝x2 得 f(x)最大值为 f(1)＝1，最小值为 f(0)＝0；
当 1＜x≤2 时，由 f(x)＝1x 得 f(2)≤f(x)＜f(1)，即12≤f(x)＜1．综上 f(x)max＝1，f(x)min＝0．
【题后总结】求分段函数的最值，关键是正确地求出各段上的最值，再进行比较．而各段上的最值的求解要根据各段函数的特点灵活选用图象法或单调性法等．
其图象如图所示，显然函数值y≥3，所以函数有最小值3，无最大值．
函数的单调性与最值
对函数最值与单调性的认识 (1)运用函数单调性求最值是求函数最值的常用方法，特别是当函数图象不易作出时，单调性几乎成为首选方法． (2)函数最值与单调性有如下关系： ①如果函数y＝f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间[b，c) 上是减函数，那么函数y＝f(x)，(x∈(a，c))在x＝b处有最大值 f(b)；
【借题发挥】利用函数图象求最值是求函数最值的常用方法．这种方法以函数最值的几何意义为依据，对较为简单的且图象易作出的函数求最值较常用．图象法求最值的一般步骤是：
1．试求函数 y＝|x＋1|＋ x－22的最值．
解：原函数变为 y＝|x＋1|＋|x－2| －2x＋1 x≤－1，
＝3 －1＜x≤2， 2x－1 x＞2，
如图为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，指出它的最大值、最小值．
【思路点拨】利用图象法求函数最值，要注意函数的定义域．函数的最大值、最小值分别是图象的最高点和最低点的纵坐标．
解：观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是(3,3)，最低的点是(－1．5，－2)，
所以函数y＝f(x)当x＝3时取得最大值，最大值是3，当x＝－1．5时取得最小值，最小值是－2．

高一数学人教A版必修一精品教案：1.3.1函数的最大(小)值 Word版含答案

课题：§1.3.1函数的最大（小）值教学目的：（1）理解函数的最大（小）值及其几何意义；（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；教学重点：函数的最大（小）值及其几何意义．教学难点：利用函数的单调性求函数的最大（小）值．教学过程：一、引入课题画出下列函数的图象，并根据图象解答下列问题：○1 说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性； ○2 指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？（1）32)(+-=x x f（2）32)(+-=x x f ]2,1[-∈x （3）12)(2++=x x x f（4）12)(2++=x x x f ]2,2[-∈x 二、新课教学（一）函数最大（小）值定义1．最大值一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M ；（2）存在x 0∈I ，使得f(x 0) = M那么，称M 是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value ）．思考：仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值（Minimum Value ）的定义．（学生活动）注意：○1 函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x 0∈I ，使得f(x 0) = M ； ○2 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M （f(x)≥M ）．2．利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法○1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 ○2 利用图象求函数的最大（小）值 ○3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递增，在区间[b ，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b 处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递减，在区间[b ，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b 处有最小值f(b)；（二）典型例题例1．（教材P 36例3）利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值．解：（略）说明：对于具有实际背景的问题，首先要仔细审清题意，适当设出变量，建立适当的函数模型，然后利用二次函数的性质或利用图象确定函数的最大（小）值．巩固练习：如图，把截面半径为25cm 的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形一边长为x ，面积为y25试将y 表示成x 的函数，并画出函数的大致图象，并判断怎样锯才能使得截面面积最大？例2．（新题讲解）旅馆定价一个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如下：欲使每天的的营业额最高，应如何定价？解：根据已知数据，可假设该客房的最高价为160元，并假设在各价位之间，房价与住房率之间存在线性关系．设y 为旅馆一天的客房总收入，x 为与房价160相比降低的房价，因此当房价为)160(x -元时，住房率为)%102055(⋅+x ，于是得 y =150·)160(x -·)%102055(⋅+x ．由于)%102055(⋅+x ≤1，可知0≤x ≤90．因此问题转化为：当0≤x ≤90时，求y 的最大值的问题．将y 的两边同除以一个常数0.75，得y 1=－x 2＋50x ＋17600．由于二次函数y 1在x =25时取得最大值，可知y 也在x =25时取得最大值，此时房价定位应是160－25=135（元），相应的住房率为67.5%，最大住房总收入为13668.75（元）．所以该客房定价应为135元．（当然为了便于管理，定价140元也是比较合理的）例3．（教材P 37例4）求函数12-=x y 在区间[2，6]上的最大值和最小值．解：（略）注意：利用函数的单调性求函数的最大（小）值的方法与格式．巩固练习：（教材P 38练习4）三、归纳小结，强化思想函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取值 → 作差 → 变形 → 定号 → 下结论四、作业布置1．书面作业：课本P 45 习题1．3（A 组）第6、7、8题．提高作业：快艇和轮船分别从A 地和C 地同时开出，如下图，各沿箭头方向航行，快艇和轮船的速度分别是45 km/h 和15 km/h ，已知AC=150km ，经过多少时间后，快艇和轮船之间的距离最短？A BCD。