2020年辽宁省沈阳市中考数学试卷

2020年~2021年最新辽宁省沈阳市中考数学试卷一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的.每小题2分，共20分） 1．（2分）（2019•沈阳）5-的相反数是( ) A ．5B ．5-C ．15D ．15-2．（2分）（2019•沈阳）2019年1月1日起我国开始贯彻《国务院关于印发个人所得税专项附加扣除暂行办法的通知》的要求，此次减税范围广，其中有6500万人减税70%以上，将数据6500用科学记数法表示为( ) A ．26.510⨯B ．36.510⨯C ．36510⨯D ．40.6510⨯3．（2分）（2019•沈阳）如图是由五个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是( )A ．B ．C ．D ．4．（2分）（2019•沈阳）下列说法正确的是( )A ．若甲、乙两组数据的平均数相同，20.1S =甲，20.04S =乙，则乙组数据较稳定 B ．如果明天降水的概率是50%，那么明天有半天都在降雨 C ．了解全国中学生的节水意识应选用普查方式 D ．早上的太阳从西方升起是必然事件 5．（2分）（2019•沈阳）下列运算正确的是( ) A ．325235m m m += B ．32m m m ÷=C ．236()m m m =D ．22()()m n n m n m --=-6．（2分）（2019•沈阳）某青少年篮球队有12名队员，队员的年龄情况统计如下：年龄（岁) 12 13 14 15 16 人数31251则这12名队员年龄的众数和中位数分别是( ) A ．15岁和14岁B ．15岁和15岁C ．15岁和14.5岁D ．14岁和15岁7．（2分）（2019•沈阳）已知ABC ∆∽△A B C '''，AD 和A D ''是它们的对应中线，若10AD =，6A D ''=，则ABC ∆与△A B C '''的周长比是( )A ．3:5B ．9:25C ．5:3D ．25:98．（2分）（2019•沈阳）已知一次函数(1)y k x b =++的图象如图所示，则k 的取值范围 是( )A ．0k <B ．1k <-C ．1k <D ．1k >-9．（2分）（2019•沈阳）如图，AB 是O 的直径，点C 和点D 是O 上位于直径AB 两侧的点，连接AC ，AD ，BD ，CD ，若O 的半径是13，24BD =，则sin ACD ∠的值是()A ．1213B ．125C ．512D ．51310．（2分）（2019•沈阳）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论正确的是( )A ．0abc <B ．240b ac -<C ．0a b c -+<D ．20a b +=二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）（2019•沈阳）因式分解：2244x y xy --+= ． 12．（3分）（2019•沈阳）二元一次方程组32325x y x y -=⎧⎨+=⎩的解是 ．13．（3分）（2019•沈阳）一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有70次摸到红球．请你估计这个口袋中有 个白球． 14．（3分）（2019•沈阳）如图，在四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别是AB ，CD ，AC ，BD 的中点，若25AD BC ==，则四边形EGFH 的周长是 ．15．（3分）（2019•沈阳）如图，正比例函数11y k x =的图象与反比例函数22(0)k y x x=>的图象相交于点(3A ，23)，点B 是反比例函数图象上一点，它的横坐标是3，连接OB ，AB ，则AOB ∆的面积是 ．16．（3分）（2019•沈阳）如图，正方形ABCD 的对角线AC 上有一点E ，且4CE AE =，点F 在DC 的延长线上，连接EF ，过点E 作EG EF ⊥，交CB 的延长线于点G ，连接GF 并延长，交AC 的延长线于点P ，若5AB =，2CF =，则线段EP 的长是 ．三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分） 17．（6分）（2019•沈阳）计算：201()2cos30|13(2019)2π--+︒-+-．18．（8分）（2019•沈阳）为了丰富校园文化生活，提高学生的综合素质，促进中学生全面发展，学校开展了多种社团活动．小明喜欢的社团有：合唱社团、足球社团、书法社团、科技社团（分别用字母A ，B ，C ，D 依次表示这四个社团），并把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片的正面上，然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上． （1）小明从中随机抽取一张卡片是足球社团B 的概率是 ．（2）小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母后不放回，再从剩余的卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母．请你用列表法或画树状图法求出小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D 的概率．19．（8分）（2019•沈阳）如图，在四边形ABCD 中，点E 和点F 是对角线AC 上的两点，AE CF =，DF BE =，且//DF BE ，过点C 作CG AB ⊥交AB 的延长线于点G ．（1）求证：四边形ABCD 是平行四边形； （2）若2tan 5CAB ∠=，45CBG ∠=︒，42BC =ABCD 的面积是 ．四、（每小题8分，共16分）20．（8分）（2019•沈阳）“勤劳”是中华民族的传统美德，学校要求同学们在家里帮助父母做一些力所能及的家务．在本学期开学初，小颖同学随机调查了部分同学寒假在家做家务的总时间，设被调查的每位同学寒假在家做家务的总时间为x 小时，将做家务的总时间分为五个类别：(010)A x <，(1020)B x <，(2030)C x <，(3040)D x <，(40)E x ．并将调查结果制成如下两幅不完整的统计图：根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次共调查了 名学生；（2）请根据以上信息直接在答题卡中补全条形统计图；（3）扇形统计图中m 的值是 ，类别D 所对应的扇形圆心角的度数是 度； （4）若该校有800名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校有多少名学生寒假在家做家务的总时间不低于20小时．21．（8分）（2019•沈阳）2019年3月12日是第41个植树节，某单位积极开展植树活动，决定购买甲、乙两种树苗，用800元购买甲种树苗的棵数与用680元购买乙种树苗的棵数相同，乙种树苗每棵比甲种树苗每棵少6元． （1）求甲种树苗每棵多少元？（2）若准备用3800元购买甲、乙两种树苗共100棵，则至少要购买乙种树苗多少棵？ 五、（本题10分）22．（10分）（2019•沈阳）如图，AB是O的直径，BC是O的弦，直线MN与O相切于点C，过点B作BD MN⊥于点D．（1）求证：ABC CBD∠=∠；（2）若45BC=，4CD=，则O的半径是．六、（本题10分）23．（10分）（2019•沈阳）在平面直角坐标系中，直线4(0)y kx k=+≠交x轴于点(8,0)A，交y轴于点B．（1）k的值是；（2）点C是直线AB上的一个动点，点D和点E分别在x轴和y轴上．①如图，点E为线段OB的中点，且四边形OCED是平行四边形时，求OCED的周长；②当CE平行于x轴，CD平行于y轴时，连接DE，若CDE∆的面积为334，请直接写出点C的坐标．七、（本题12分）24．（12分）（2019•沈阳）思维启迪：（1）如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C，连接BC，取BC的中点P（点P可以直接到达A点），利用工具过点C作//CD AB交AP的延长线于点D，此时测得200CD=米，那么A，B间的距离是米．思维探索：（2）在ABC ∆和ADE ∆中，AC BC =，AE DE =，且AE AC <，90ACB AED ∠=∠=︒，将ADE ∆绕点A 顺时针方向旋转，把点E 在AC 边上时ADE ∆的位置作为起始位置（此时点B和点D 位于AC 的两侧），设旋转角为α，连接BD ，点P 是线段BD 的中点，连接PC ，PE ． ①如图2，当ADE ∆在起始位置时，猜想：PC 与PE 的数量关系和位置关系分别是 ； ②如图3，当90α=︒时，点D 落在AB 边上，请判断PC 与PE 的数量关系和位置关系，并证明你的结论；③当150α=︒时，若3BC =，DE l =，请直接写出2PC 的值．八、（本题12分）25．（12分）（2019•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线22(0)y ax bx a =++≠与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，抛物线经过点(2,3)D --和点(3,2)E ，点P 是第一象限抛物线上的一个动点．（1）求直线DE 和抛物线的表达式；（2）在y 轴上取点(0,1)F ，连接PF ，PB ，当四边形OBPF 的面积是7时，求点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，当点P 在抛物线对称轴的右侧时，直线DE 上存在两点M ，N （点M在点N的上方），且MN=，动点Q从点P出发，沿P M N A→→→的路线运动到终点A，当点Q的运动路程最短时，请直接写出此时点N的坐标．2019年辽宁省沈阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的.每小题2分，共20分）1．（2分）5-的相反数是()A．5B．5-C．15D．15-【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．【解答】解：5-的相反数是5，故选：A．2．（2分）2019年1月1日起我国开始贯彻《国务院关于印发个人所得税专项附加扣除暂行办法的通知》的要求，此次减税范围广，其中有6500万人减税70%以上，将数据6500用科学记数法表示为()A．26.510⨯B．36.510⨯C．36510⨯D．40.6510⨯【分析】科学记数法的表示形式为10na⨯的形式，其中1||10a<，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值1>时，n是正数；当原数的绝对值1<时，n是负数．【解答】解：36500 6.510=⨯，故选：B．3．（2分）如图是由五个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是()A．B．C．D．【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．【解答】解：从上面看易得上面一层有3个正方形，下面左边有一个正方形．故选：A ．4．（2分）下列说法正确的是( )A ．若甲、乙两组数据的平均数相同，20.1S =甲，20.04S =乙，则乙组数据较稳定 B ．如果明天降水的概率是50%，那么明天有半天都在降雨 C ．了解全国中学生的节水意识应选用普查方式 D ．早上的太阳从西方升起是必然事件【分析】根据方差、概率、全面调查和抽样调查以及随机事件的意义分别对每一项进行分析即可得出答案．【解答】解：A 、20.1S =甲，20.04S =乙，22S S ∴>乙甲，∴乙组数据较稳定，故本选项正确；B 、明天降雨的概率是50%表示降雨的可能性，故此选项错误；C 、了解全国中学生的节水意识应选用抽样调查方式，故本选项错误；D 、早上的太阳从西方升起是不可能事件，故本选项错误；故选：A ．5．（2分）下列运算正确的是( ) A ．325235m m m += B ．32m m m ÷=C ．236()m m m =D ．22()()m n n m n m --=-【分析】根据合并同类项、幂的乘法除法、幂的乘方、完全平方公式分别计算即可． 【解答】解：325.235A m m m +=，不是同类项，不能合并，故错误；B ．32m m m ÷=，正确；C ．237()m m m =，故错误；D ．222()()()2m n n m m n n m mn --=--=--+，故错误．故选：B ．6．（2分）某青少年篮球队有12名队员，队员的年龄情况统计如下：则这12名队员年龄的众数和中位数分别是( ) A ．15岁和14岁B ．15岁和15岁C ．15岁和14.5岁D ．14岁和15岁【分析】众数就是出现次数最多的数，而中位数就是大小处于中间位置的数，根据定义即可求解．【解答】解：在这12名队员的年龄数据里，15岁出现了5次，次数最多，因而众数是145 12名队员的年龄数据里，第6和第7个数据的平均数141514.52+=，因而中位数是14.5． 故选：C ．7．（2分）已知ABC ∆∽△A B C '''，AD 和A D ''是它们的对应中线，若10AD =，6A D ''=，则ABC ∆与△A B C '''的周长比是( ) A ．3:5B ．9:25C ．5:3D ．25:9【分析】相似三角形的周长比等于对应的中线的比．【解答】解：ABC ∆∽△A B C '''，AD 和A D ''是它们的对应中线，10AD =，6A D ''=， ABC ∴∆与△A B C '''的周长比:10:65:3AD A D =''==．故选：C ．8．（2分）已知一次函数(1)y k x b =++的图象如图所示，则k 的取值范围是( )A ．0k <B ．1k <-C ．1k <D ．1k >-【分析】根据一次函数的增减性确定有关k 的不等式，求解即可． 【解答】解：观察图象知：y 随x 的增大而减小， 10k ∴+<，解得：1k <-， 故选：B ．9．（2分）如图，AB 是O 的直径，点C 和点D 是O 上位于直径AB 两侧的点，连接AC ，AD ，BD ，CD ，若O 的半径是13，24BD =，则sin ACD ∠的值是( )A ．1213B ．125C ．512D ．513【分析】首先利用直径所对的圆周角为90︒得到ABD ∆是直角三角形，然后利用勾股定理求得AD 边的长，然后求得B ∠的正弦即可求得答案． 【解答】解：AB 是直径，90ADB ∴∠=︒，O 的半径是13， 21326AB ∴=⨯=，由勾股定理得：10AD =， 105sin 2613AD B AB ∴∠===， ACD B ∠=∠， 5sin sin 13ACD B ∴∠=∠=， 故选：D ．10．（2分）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论正确的是()A ．0abc <B ．240b ac -<C ．0a b c -+<D ．20a b +=【分析】由图可知0a >，与y 轴的交点0c <，对称轴1x =，函数与x 轴有两个不同的交点，当1x =-时，0y >；【解答】解：由图可知0a >，与y 轴的交点0c <，对称轴1x =， 20b a ∴=-<； 0abc ∴>，A 错误；由图象可知，函数与x 轴有两个不同的交点，∴△0>，B 错误；当1x =-时，0y >， 0a b c ∴-+>，C 错误； 2b a =-，D 正确；故选：D ．二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）因式分解：2244x y xy --+= 2(2)x y -- ．【分析】先提取公因式1-，再套用公式完全平方公式进行二次因式分解． 【解答】解：2244x y xy --+，22(44)x y xy =-+-， 2(2)x y =--．12．（3分）二元一次方程组32325x y x y -=⎧⎨+=⎩的解是 21.5x y =⎧⎨=⎩．【分析】通过观察可以看出y 的系数互为相反数，故①+②可以消去y ，解得x 的值，再把x 的值代入①或②，都可以求出y 的值．【解答】解：32325x y x y -=⎧⎨+=⎩①②，①+②得：48x =， 解得2x =，把2x =代入②中得：225y +=， 解得 1.5y =，所以原方程组的解为21.5x y =⎧⎨=⎩．故答案为21.5x y =⎧⎨=⎩．13．（3分）一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有70次摸到红球．请你估计这个口袋中有 3 个白球．【分析】从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．【解答】解：由题意可得，红球的概率为70%．则白球的概率为30%， 这个口袋中白球的个数：1030%3⨯=（个)， 故答案为3．14．（3分）如图，在四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别是AB ，CD ，AC ，BD 的中点，若25AD BC ==，则四边形EGFH 的周长是 45 ．【分析】根三角形的中位线定理即可求得四边形EFGH 的各边长，从而求得周长． 【解答】证明：E 、G 是AB 和AC 的中点，1125522EG BC ∴==⨯=， 同理152HF BC ==， 1125522EH GF AD ===⨯=． ∴四边形EGFH 的周长是：4545⨯=．故答案为：45．15．（3分）如图，正比例函数11y k x =的图象与反比例函数22(0)k y x x=>的图象相交于点(3A ，23)，点B 是反比例函数图象上一点，它的横坐标是3，连接OB ，AB ，则AOB∆的面积是 23 ．【分析】把点(3A ，23)代入11y k x =和22(0)k y x x=>可求出1k 、2k 的值，即可正比例函数和求出反比例函数的解析式，过点B 作//BD x 轴交OA 于点D ，结合点B 的坐标即可得出点D 的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出AOB ∆的面积． 【解答】解：（1）正比例函数11y k x =的图象与反比例函数22(0)k y x x=>的图象相交于点(3A ，23)， 1233k ∴=，1233=，12k ∴=，26k =，∴正比例函数为2y x =，反比例函数为：6y x=， 点B 是反比例函数图象上一点，它的横坐标是3， 623y ∴==， (3,2)B ∴， (1,2)D ∴， 312BD ∴=-=．112(232)222322AOB ABD OBD S S S ∆∆∆∴=+=⨯⨯-+⨯⨯=，故答案为23．16．（3分）如图，正方形ABCD 的对角线AC 上有一点E ，且4CE AE =，点F 在DC 的延长线上，连接EF ，过点E 作EG EF ⊥，交CB 的延长线于点G ，连接GF 并延长，交AC 的延长线于点P ，若5AB =，2CF =，则线段EP 的长是132．【分析】如图，作FH PE ⊥于H ．利用勾股定理求出EF ，再证明CEF FEP ∆∆∽，可得2EF EC EP =，由此即可解决问题．【解答】解：如图，作FH PE ⊥于H ．四边形ABCD 是正方形，5AB =， 52AC ∴=，45ACD FCH ∠=∠=︒，90FHC ∠=︒，2CF =， 2CH HF ∴==，4CE AE =，42EC ∴=，2AE =， 52EH ∴=，在Rt EFH ∆中，22222(52)(2)52EF EH FH =+=+=， 90GEF GCF ∠=∠=︒，E ∴，G ，F ，C 四点共圆，45EFG ECG ∴∠=∠=︒， 135ECF EFP ∴∠=∠=︒， CEF FEP ∠=∠， CEF FEP ∴∆∆∽，∴EF ECEP EF=，2EF EC EP ∴=，EP ∴==．三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）17．（6分）计算：201()2cos30|1(2019)2π--+︒-+-．【分析】直接利用负指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式4211=++ 6=．18．（8分）为了丰富校园文化生活，提高学生的综合素质，促进中学生全面发展，学校开展了多种社团活动．小明喜欢的社团有：合唱社团、足球社团、书法社团、科技社团（分别用字母A ，B ，C ，D 依次表示这四个社团），并把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片的正面上，然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上． （1）小明从中随机抽取一张卡片是足球社团B 的概率是14． （2）小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母后不放回，再从剩余的卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母．请你用列表法或画树状图法求出小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D 的概率． 【分析】（1）直接根据概率公式求解；（2）利用列表法展示所有12种等可能性结果，再找出小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D 的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）小明从中随机抽取一张卡片是足球社团B 的概率14=； （2）列表如下：由表可知共有12种等可能结果，小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D的结果数为6种，所以小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D的概率为61 122=．19．（8分）如图，在四边形ABCD中，点E和点F是对角线AC上的两点，AE CF=，DF BE=，且//DF BE，过点C作CG AB⊥交AB的延长线于点G．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若2tan5CAB∠=，45CBG∠=︒，42BC=，则ABCD的面积是24．【分析】（1）根据已知条件得到AF CE=，根据平行线的性质得到DFA BEC∠=∠，根据全等三角形的性质得到AD CB=，DAF BCE∠=∠，于是得到结论；（2）根据已知条件得到BCG∆是等腰直角三角形，求得4BG CG==，解直角三角形得到10AG=，根据平行四边形的面积公式即可得到结论．【解答】（1）证明：AE CF=，AE EF CF EF∴-=-，即AF CE=，//DF BE，DFA BEC∴∠=∠，DF BE=，()ADF CBE SAS∴∆≅∆，AD CB∴=，DAF BCE∠=∠，//AD CB∴，∴四边形ABCD是平行四边形；（2）解：CG AB⊥，90G∴∠=︒，45CBG∠=︒，BCG∴∆是等腰直角三角形，42BC =，4BG CG ∴==， 2tan 5CAB ∠=， 10AG ∴=， 6AB ∴=，ABCD ∴的面积6424=⨯=，故答案为：24．四、（每小题8分，共16分）20．（8分）“勤劳”是中华民族的传统美德，学校要求同学们在家里帮助父母做一些力所能及的家务．在本学期开学初，小颖同学随机调查了部分同学寒假在家做家务的总时间，设被调查的每位同学寒假在家做家务的总时间为x 小时，将做家务的总时间分为五个类别：(010)A x <，(1020)B x <，(2030)C x <，(3040)D x <，(40)E x ．并将调查结果制成如下两幅不完整的统计图：根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次共调查了 50 名学生；（2）请根据以上信息直接在答题卡中补全条形统计图；（3）扇形统计图中m 的值是 ，类别D 所对应的扇形圆心角的度数是 度； （4）若该校有800名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校有多少名学生寒假在家做家务的总时间不低于20小时．【分析】（1）本次共调查了1020%50÷=（人)；（2）B 类人数：5024%12⨯=（人)，D 类人数：5010121648----=（人)，根据此信息补全条形统计图即可；（3）16100%32%50⨯=，即32m=，类别D所对应的扇形圆心角的度数836057.650︒⨯=︒；（4）估计该校寒假在家做家务的总时间不低于20小时的学生数．800(120%24%)448⨯--=（名)．【解答】解：（1）本次共调查了1020%50÷=（人)，故答案为50；（2）B类人数：5024%12⨯=（人)，D类人数：5010121648----=（人)，（3）16100%32%50⨯=，即32m=，类别D所对应的扇形圆心角的度数836057.650︒⨯=︒，故答案为32，57.6；（4）估计该校寒假在家做家务的总时间不低于20小时的学生数．800(120%24%)448⨯--=（名)，答：估计该校有448名学生寒假在家做家务的总时间不低于20小时．21．（8分）2019年3月12日是第41个植树节，某单位积极开展植树活动，决定购买甲、乙两种树苗，用800元购买甲种树苗的棵数与用680元购买乙种树苗的棵数相同，乙种树苗每棵比甲种树苗每棵少6元．（1）求甲种树苗每棵多少元？（2）若准备用3800元购买甲、乙两种树苗共100棵，则至少要购买乙种树苗多少棵？【分析】（1）根据题意列出分式方程求解即可；（2）根据题意列出不等式求解即可．【解答】解：（1）设甲种树苗每棵x 元，根据题意得： 8006006x x =-， 解得：40x =，经检验：40x =是原方程的解， 答：甲种树苗每棵40元；（2）设购买乙中树苗y 棵，根据题意得： 40(100)363800y y -+， 解得：1333y ，y 是正整数，y ∴最小取34，答：至少要购买乙种树苗34棵． 五、（本题10分）22．（10分）如图，AB 是O 的直径，BC 是O 的弦，直线MN 与O 相切于点C ，过点B 作BD MN ⊥于点D ．（1）求证：ABC CBD ∠=∠；（2）若45BC =，4CD =，则O 的半径是 5 ．【分析】（1）连接OC ，由切线的性质可得OC MN ⊥，即可证得//OC BD ，由平行线的性质和等腰三角形的性质可得CBD BCO ABC ∠=∠=∠，即可证得结论；（2）连接AC ，由勾股定理求得BD ，然后通过证得ABC CBD ∆∆∽，求得直径AB ，从而求得半径．【解答】（1）证明：连接OC ， MN 为O 的切线，OC MN ∴⊥， BD MN ⊥， //OC BD ∴， CBD BCO ∴∠=∠．又OC OB =， BCO ABC ∴∠=∠，CBD ABC ∴∠=∠．； （2）解：连接AC ，在Rt BCD ∆中，45BC =，4CD =，228BD BC CD ∴=-=，AB 是O 的直径，90ACB ∴∠=︒， 90ACB CDB ∴∠=∠=︒， ABC CBD ∠=∠， ABC CBD ∴∆∆∽，∴AB CBBC BD =，即4545=， 10AB ∴=， O ∴的半径是5，故答案为5．六、（本题10分）23．（10分）在平面直角坐标系中，直线4(0)y kx k =+≠交x 轴于点(8,0)A ，交y 轴于点B ．（1）k 的值是 12- ；（2）点C 是直线AB 上的一个动点，点D 和点E 分别在x 轴和y 轴上．①如图，点E 为线段OB 的中点，且四边形OCED 是平行四边形时，求OCED 的周长； ②当CE 平行于x 轴，CD 平行于y 轴时，连接DE ，若CDE ∆的面积为334，请直接写出点C 的坐标．【分析】（1）根据点A 的坐标，利用待定系数法可求出k 值；（2）①利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点B 的坐标，由平行四边形的性质结合点E 为OB 的中点可得出CE 是ABO ∆的中位线，结合点A 的坐标可得出CE 的长，在Rt DOE ∆中，利用勾股定理可求出DE 的长，再利用平行四边形的周长公式即可求出OCED 的周长； ②设点C 的坐标为1(,4)2x x -+，则||CE x =，1|4|2CD x =-+，利用三角形的面积公式结合CDE ∆的面积为334可得出关于x 的方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）将(8,0)A 代入4y kx =+，得：084k =+， 解得：12k =-．故答案为：12-．（2）①由（1）可知直线AB 的解析式为142y x =-+．当0x =时，1442y x =-+=，∴点B 的坐标为(0,4)，4OB ∴=．点E 为OB 的中点， 122BE OE OB ∴===．点A 的坐标为(8,0)，8OA ∴=．四边形OCED 是平行四边形， //CE DA ∴，∴1BC BEAC OE==， BC AC ∴=，CE ∴是ABO ∆的中位线， 142CE OA ∴==．四边形OCED 是平行四边形， 4OD CE ∴==，OC DE =．在Rt DOE ∆中，90DOE ∠=︒，4OD =，2OE =，2225DE OD OE ∴=+=，()()22425845OCED C OD DE ∴=+=+=+平行四边形．②设点C 的坐标为1(,4)2x x -+，则||CE x =，1|4|2CD x =-+，21133|2|244CDE S CD CE x x ∆∴==-+=，28330x x ∴++=或28330x x +-=．方程28330x x ++=无解；解方程28330x x +-=，得：13x =-，211x =，∴点C 的坐标为11(3,)2-或3(11,)2-．七、（本题12分） 24．（12分）思维启迪：（1）如图1，A ，B 两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A ，B 间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B 点的点C ，连接BC ，取BC 的中点P （点P 可以直接到达A 点），利用工具过点C 作//CD AB 交AP 的延长线于点D ，此时测得200CD =米，那么A ，B 间的距离是 200 米． 思维探索：（2）在ABC ∆和ADE ∆中，AC BC =，AE DE =，且AE AC <，90ACB AED ∠=∠=︒，将ADE ∆绕点A 顺时针方向旋转，把点E 在AC 边上时ADE ∆的位置作为起始位置（此时点B和点D 位于AC 的两侧），设旋转角为α，连接BD ，点P 是线段BD 的中点，连接PC ，PE ． ①如图2，当ADE ∆在起始位置时，猜想：PC 与PE 的数量关系和位置关系分别是 ； ②如图3，当90α=︒时，点D 落在AB 边上，请判断PC 与PE 的数量关系和位置关系，并证明你的结论；③当150α=︒时，若3BC =，DE l =，请直接写出2PC 的值．【分析】（1）由由//CD AB ，可得C B ∠=∠，根据APB DPC ∠=∠即可证明ABP DCP ∆≅∆，即可得AB CD =，即可解题．（2）①延长EP 交BC 于F ，易证()FBP EDP SAS ∆≅∆可得EFC ∆是等腰直角三角形，即可证明PC PE =，PC PE ⊥．②作//BF DE ，交EP 延长线于点F ，连接CE 、CF ，易证()FBP EDP SAS ∆≅∆，结合已知得BF DE AE ==，再证明()FBC EAC SAS ∆≅∆，可得EFC ∆是等腰直角三角形，即可证明PC PE =，PC PE ⊥．③作//BF DE ，交EP 延长线于点F ，连接CE 、CF ，过E 点作EH AC ⊥交CA 延长线于H 点，由旋转旋转可知，150CAE ∠=︒，DE 与BC 所成夹角的锐角为30︒，得FBC EAC ∠=∠，同②可证可得PC PE =，PC PE ⊥，再由已知解三角形得22210EC AH HE ∴=+=+即可求出2212PC EC ==． 【解答】（1）解：//CD AB ，C B ∴∠=∠， 在ABP ∆和DCP ∆中， BP CPAPB DPC B C =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩， ()ABP DCP SAS ∴∆≅∆， DC AB ∴=． 200AB =米． 200CD ∴=米，故答案为：200．（2）①PC 与PE 的数量关系和位置关系分别是PC PE =，PC PE ⊥． 理由如下：如解图1，延长EP 交BC 于F ， 同（1）理，可知()FBP EDP SAS ∴∆≅∆，PF PE ∴=，BF DE =，又AC BC =，AE DE =，FC EC ∴=，又90ACB ∠=︒，EFC ∴∆是等腰直角三角形，EP FP =，PC PE ∴=，PC PE ⊥．②PC 与PE 的数量关系和位置关系分别是PC PE =，PC PE ⊥．理由如下：如解图2，作//BF DE ，交EP 延长线于点F ，连接CE 、CF ， 同①理，可知()FBP EDP SAS ∆≅∆， BF DE ∴=，12PE PF EF ==，DE AE =， BF AE ∴=，当90α=︒时，90EAC ∠=︒， //ED AC ∴，//EA BC //FB AC ，90FBC ∠=， CBF CAE ∴∠=∠，在FBC ∆和EAC ∆中， BF AE CBE CAE BC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()FBC EAC SAS ∴∆≅∆， CF CE ∴=，FCB ECA ∠=∠， 90ACB ∠=︒， 90FCE ∴∠=︒，FCE ∴∆是等腰直角三角形，EP FP =，CP EP ∴⊥，12CP EP EF ==．③如解图2，作//BF DE ，交EP 延长线于点F ，连接CE 、CF ，过E 点作EH AC ⊥交CA 延长线于H 点，当150α=︒时，由旋转旋转可知，150CAE ∠=︒，DE 与BC 所成夹角的锐角为30︒， 150FBC EAC α∴∠=∠==︒同②可得()FBP EDP SAS ∆≅∆，同②FCE ∆是等腰直角三角形，CP EP ⊥，CP EP ==， 在Rt AHE ∆中，30EAH ∠=︒，1AE DE ==，12HE ∴=，3AH =，又3AC AB ==，33AH ∴=+， 2221033EC AH HE ∴=+=+22110332PC EC +∴==．八、（本题12分）25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线22(0)y ax bx a =++≠与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，抛物线经过点(2,3)D --和点(3,2)E ，点P 是第一象限抛物线上的一个动点．（1）求直线DE 和抛物线的表达式；（2）在y 轴上取点(0,1)F ，连接PF ，PB ，当四边形OBPF 的面积是7时，求点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，当点P 在抛物线对称轴的右侧时，直线DE 上存在两点M ，N （点M 在点N 的上方），且22MN =，动点Q 从点P 出发，沿P M N A →→→的路线运动到终点A ，当点Q 的运动路程最短时，请直接写出此时点N 的坐标． 【分析】（1）将点D 、E 的坐标代入函数表达式，即可求解； （2）114122OBF PFB OBPF S S S PH BO ∆∆=+=⨯⨯+⨯⨯四边形，即可求解；（3）过点M 作//A M AN '，过作点A '直线DE 的对称点A ''，连接PA ''交直线DE 于点M ，此时，点Q 运动的路径最短，即可求解．【解答】解：（1）将点D、E的坐标代入函数表达式得：34229322a ba b-=-=⎧⎨++=⎩，解得：1232ab⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故抛物线的表达式为：213222y x x=-++，同理可得直线DE的表达式为：1y x=-⋯①；（2）如图1，连接BF，过点P作//PH y轴交BF于点H，将点FB代入一次函数表达式，同理可得直线BF的表达式为：114y x=-+，设点213(,2)22P x x x-++，则点1(,1)4H x x-+，211131412221722224OBF PFBOBPFS S S PH BO x x x∆∆⎛⎫=+=⨯⨯+⨯⨯=+-+++-=⎪⎝⎭四边形，解得：2x=或32，故点(2,3)P或3(2，5)8；（3）当点P在抛物线对称轴的右侧时，点(2,3)P，过点M作//A M AN'，过作点A'直线DE的对称点A''，连接PA''交直线DE于点M，此时，点Q运动的路径最短，2020年最新22MN =2个单位，故点(1,2)A '， A A DE '''⊥，则直线A A '''过点A '，则其表达式为：3y x =-+⋯②， 联立①②得2x =，则A A '''中点坐标为(2,1)， 由中点坐标公式得：点(3,0)A ''， 同理可得：直线AP ''的表达式为：39y x =-+⋯③， 联立①③并解得：52x =，即点5(2M ，3)2， 点M 沿BD 向下平移21(2N ，1)2-．。