九级数学上册第章一元二次方程用一元二次方程解决问题第课时动点几何问题同步
人教版九年级上册 第21章 《一元二次方程》实际应用同步练习(三)
人教版九年级上册第21章《一元二次方程》实际应用同步练习（三）基础题训练（一）：限时30分钟1．暑假是旅游旺季，为吸引游客，某旅游公司推出两条“精品路线”﹣﹣“亲子游”和“夏令营”．（1）7月份，“亲子游”和“夏令营”活动的价格分别为8000元/人和12000元/人．其中，参加“夏令营”活动的游客人数为“亲子游”活动游客人数的2倍少300人，且“夏令营”线路的旅游总收入不低于“亲子游”线路旅游总收入的一半，问：参加“亲子游”线路的旅游人数至少有多少人？（2）到了8月份，该旅游公司实行降价促销活动，“亲子游”和“夏令营”线路的价格分别下降%和a%（a＜20），旅游人数在7月份对应最小值的基础上分别上升3a%和5a%，当月旅游总收入达到256.32万元，求a．2．阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的2倍，则这个矩形是给定矩形的“加倍”矩形．如图，矩形A1B1C1D1是矩形ABCD的“加倍”矩形．解决问题：（1）当矩形的长和宽分别为3，2时，它是否存在“加倍”矩形？若存在，求出“加倍”矩形的长与宽，若不存在，请说明理由．（2）边长为a的正方形存在“加倍”正方形吗？请做出判断，并说明理由3．甘肃是全国马铃薯主产区之一，定西又是甘肃马铃薯最大主产区．经过多年发展，定西在马铃薯种植基地建设，良种工程、优质新品种用与试验、仓储体系、合作经济组织、外销加工及市场扶植等方面取得了突出成绩，鲜薯及薯制品走销全国20多个省市区，并远销东南亚、俄罗斯等国家和地区．某种植户2016年投资20万元种植马铃薯，到2018年三年共累计投资95万元，若在这两年内每年投资的增长率相同．（1）求该种植户每年投资的增长率；（2）按这样的投资增长率，请你预测2019年该种植户投资多少元种植马铃薯．4．践行“低碳生活，绿色出行”理念，自行车成为人们喜爱的交通工具．其品牌共享自行车在慈溪的投放量自2017年起逐月增加，据统计，该品牌共享自行车1月份投放了640辆，3月份投放了1000辆．（1）若该品牌共享自行车前4个月的投放量的月平均增长率相同，则4月份投放了多少辆？（2）寒假里小明骑“共享单车”去离家2000米的慈溪银泰影视城观看电影，到了影视城发现假期优惠门票忘带了，于是骑车立即返回，已知返回的平均速度是来影视城时的平均速度的2倍，且途中时间少花了5分钟．求小明去影视城的平均速度？5．社区利用一块矩形空地建了一个小型的惠民停车场，其布局如图所示．已知停车场的长为52米，宽为28米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分是等宽的通道．已知铺花砖的面积为640平方米．（1）求通道的宽是多少米？（2）该停车场共有车位64个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为14400元？基础题训练（二）：限时30分钟6．2017年的中央一号文件《中共中央、国务院关于深入推进农业供给侧结构性改革加快培育农业农村发展新动能的若干意见》明确把深入推进农业供给侧结构性改革作为新的历史阶段农业农村工作主线，某农业公司市场调研发现，新疆阿克苏冰糖心苹果、香梨特别畅销，于是决定购进大批糖心苹果和香梨进行网上销售.3月份糖心苹果每件的售价是香梨每件售价的1.5倍，3月某顾客花780元购买糖心苹果件数是花200元购买香梨件数的2倍还多3件，根据统计3月份每周可分别卖出香梨和糖心苹果300件和800件．（1）求香梨和糖心苹果每件售价分别为多少元？（2）到了四月份，进入了香梨销售的旺季，苹果的销售淡季，公司打算提高香梨的销售价格，梨每件涨价2a%，而每周的销量比三月每周销量增加2a%；糖心苹果每件降价a%，每周的销量比三月份增加（a+10）%，四月份一周总销售额为69120元，求a的值．7．随着阿里巴巴、淘宝网、京东、小米等互联网巨头的崛起，催生了快递行业的高速发展．据调查，杭州市某家小型快递公司，今年一月份与三月份完成投递的快递总件数分别为10万件和14.4万件．现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．（1）求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率；（2）如果平均每人每月最多可投递快递0.7万件，那么该公司现有的22名快递投递业务员能否完成今年4月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？8．如图，有一块长为21m、宽为10m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，且人行通道的宽度不能超过3米．（1）如果两块绿地的面积之和为90m2，求人行通道的宽度；（2）能否改变人行通道的宽度，使得每块绿地的宽与长之比等于3：5，请说明理由．9．某水果经销商上月份销售一种新上市的水果平均售价为10元/千克，月销售量为1000千克．经过市场调查，若将该种水果价格调低至x元/千克，则本月份销售量y（千克）与x（元/千克）之间满足一次函数关系y＝kx+b，且当x＝5时，y＝4000；当x＝7时，y＝2000．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）已知该种水果上月份的成本价为5元/千克，当本月成本价为4元/千克，要使本月份销售该种水果所获利润比上月份增加20%，同时又要让顾客得到实惠，那么该种水果价格每千克应调低至多少元？（利润＝售价﹣成本）10．名闻遐迩的采花毛尖明前茶，成本每斤400元，某茶场今年春天试营销，每周的销售量y（斤）是销售单价x（元/斤）的一次函数，且满足如下关系：x（元/斤）450 500 600y（斤）350 300 200（1）请根据表中的数据求出y与x之间的函数关系式；（2）若销售每斤茶叶获利不能超过40%，该茶场每周获利不少于30000元，试确定销售单价x的取值范围．参考答案1．解：（1）设参加“亲子游”线路的游客人数为x人，则参加“夏令营”活动的游客人数为（2x﹣300）人，由题意得12000（2x﹣300）≥×8000x解得x≥180，∴参加“亲子游”线路的旅游人数至少有180人；（2）由（1）可知，参加“夏令营”活动的游客人数的最小值为60人，由题意得0.8（1﹣）×180（1+3a%）+1.2（1﹣a%）×60（1+5a%）＝256.32 设a%＝t，整理得：50t2﹣25t+2＝0解得t＝0.4（舍去）或t＝0.1，∴a＝10．2．（1）解：存在；设“加倍”矩形的一边为x，则另一边为（10﹣x）则：x（10﹣x）＝12 （3分）解之得：x1＝5+，x2＝5﹣，∴10﹣x1＝5﹣；10﹣x2＝5+；答：“加倍”矩形的长为5+，宽为5﹣；（2）不存在．因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为2时，则面积比必定是4，所以不存在．3．解：（1）设这两年该该种植户每年投资的年平均增长率为x，则2017年种植投资为20（1+x）万元，2018年种植投资为20（1+x）2万元，根题意得：20+20（1+x）+20（1+x）2＝95，解得：x＝﹣3.5（舍去）或x＝0.5＝50%．∴该种植户每年投资的增长率为50%；（2）2019年该种植户投资额为：20（1+50%）3＝67.5（万元）．4．解：（1）设月平均增长率为x，依题意，得：640（1+x）2＝1000，解得：x1＝﹣2.25（舍去），x2＝0.25＝25%，∴1000（1+x）＝1250．答：4月份投放了1250辆．（2）设去影视城时的平均速度为y米/分钟，则返回时的平均速度为y米/分钟，依题意，得：﹣＝5，解得：y＝200，经检验，y＝200是所列分式方程的解，且符合题意．答：小明去影视城的平均速度为200米/分钟．5．解：（1）设通道的宽为x米，根据题意得：（52﹣2x）（28﹣2x）＝640解得：x＝34（舍去）或x＝6，答：甬道的宽为6米；（2）设月租金上涨a元，停车场的月租金收入为14400元，根据题意得：（200+a）（64﹣）＝14400整理，得a2﹣440a+16000＝0解得：a1＝400，a2＝40由于是惠民工程，所以a＝40符合题意．答：每个车位的月租金上涨40元时，停车场的月租金收入为14400元．6．解：（1）香梨和糖心苹果每件售价分别为x元和1.5x元，根据题意得，＝2×+3，解得：x＝40，经检验：x＝40是原方程的解，∴1.5x＝60，答：香梨和糖心苹果每件售价分别为40元和60元；（2）根据题意得，40（1+2a%）[300（1+2a%）]+60（1﹣a%）{800[1+（a+10）%]}＝69120，解得：a＝10．7．解：（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据题意得：10（1+x）2＝14.4，解得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（不合题意舍去），∴x＝0.2＝20%．答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为20%；（2）今年4月份的快递投递任务是14.4×（1+20%）＝17.28（万件）．∵平均每人每月最多可投递0.7万件，∴22名快递投递业务员能完成的快递投递任务是：0.7×22＝15.4＜17.28，∴该公司现有的22名快递投递业务员不能完成今年4月份的快递投递任务，∴需要增加业务员（17.28﹣15.4）÷0.7≈2.7≈3（人）．答：该公司现有的22名快递投递业务员不能完成今年4月份的快递投递任务，至少需要增加3名业务员．8．解：（1）设人行通道的宽度为x米，则两块矩形绿地的长为（21﹣3x）（米），宽为（10﹣2x）（米），根据题意得：（21﹣3x）（10﹣2x）＝90，解得：x1＝10（舍去），x2＝2，答：人行通道的宽度为2米；（2）设人行通道的宽为y米时，每块绿地的宽与长之比等于3：5，根据题意得：（10﹣2y）：＝3：5，解得：y＝，∵＞3，∴不能改变人行横道的宽度使得每块绿地的宽与长之比等于3：5．9．解：（1）由已知得，解得，∴y＝﹣1000x+9000；（2）由题意可得1000（10﹣5）（1+20%）＝（﹣1000x+9000）（x﹣4），整理得：x2﹣13x+42＝0，解x1＝6，x2＝7（舍去）．答：该种水果价格每千克应调低至6元．10．解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，根据题意，得：，解得：，则y＝﹣x+800；（2）设总利润为w，w＝（x﹣400）（﹣x+800）＝﹣x2+1200x﹣320000，令w＝30000得：30000＝﹣x2+1200x﹣320000，解得：x＝500或x＝700，∵a＝﹣1＜0，∴500≤x≤700时w不小于30000，∵x﹣400≤400×40%，∴x≤560，∴500≤x≤560．。
人教版九年级数学上册教案：实际问题与一元二次方程——几何动点问题
《实际问题与一元二次方程——几何动点问题》教学设计一、教学内容分析本节课内容重点是一元二次方程的应用问题之动点问题，是中考的常考内容，题型有选择题和填空题，但多以解答题的形式出现，分值约占3—8分，是近几年中考的热点内容之一。
解决此类问题的关键是认真审题，建立数学模型，灵活运用一元二次方程的解法等。
二、教学目标及重难点（一）教学目标1.能根据问题中数量关系列一元二次方程，体会数学建模的优越性.2.使学生进一步掌握利用一元二次方程解决几何中的动点问题，体会几何问题代数化.3.进一步提高学生的逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力，培养学生主动探索事物之间内在联系的学习习惯。
（二）教学重难点1.动点的四个要素在题目中的变化，使学生进一步掌握利用一元二次方程解决几何中的动点问题.2. 进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力.三、学情分析学生的理解能力和基础水平参差不齐，要帮助学生学会认真审题，逐步树立解题的信心，进一步提高分析问题、解决问题的能力.四、教学环境和资源准备教学环境：多媒体教室资源准备：学生导学卡和多媒体课件五、教学过程设计（一）知识回顾1.回顾列一元二次方程解实际问题的一般步骤.2.回顾前几节课刚刚学过的利用一元二次方程可以解决的几类实际问题，引出新课——用一元二次方程解决几何动点问题.（二）一起探究1.设计问题内容：如图所示，在直角三角ABC中，∠别沿BC和BA向点C、A移动，点P 的速度为2cm/s，点Q的速度为1cm/s，当两个点中的一个点到达顶点后，两点停止运动。
设两点的运动时间为t，用含有t的代数式表示△BPQ的面积.2.设计思考问题：（1）有几个动点？（2）动点的起点、终点、运动方向、速度分别是什么？（3）图中有哪些线段可以用t表示，试着在导学卡中写出来.3.设计动点表格（在学生的导学卡中）4.设计说明：本教学环节主要引导学生重点掌握题中动点的四个要素，同时让学生体会用字母表示所需要的线段，进而写出三角形面积的表达式.（三）考场实战本环节是在上面一个环节的基础上，作两个变动：一个是由列代数式到列方程的变动；另一个是动点要素的变动.主要培养学生认真审题，建立数学模型的能力.1. 问题设计：(2015·杭州上城区期末)如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=6 cm，BC=8 cm，点P从点A出发，Array以1 cm/s的速度沿AB边向点B移动，与此同时,点Q从点C出发,以2 cm/s的速度沿CB边向点B移动，如果P，Q同时出发，经过几秒，△PBQ的面积等于8平方厘米？2.问题探索设计：（1）本题与探究环节的主要区别有哪些？动点的起点、终点、运动方向、速度分别是什么？（2）如果把时间设为t，则图中哪些线段可以用t表示？AP= BP= CQ= BQ=（3）△PBQ的面积怎么用t表示?根据题意，列出方程.3.解决问题（此环节强调规范答题的重要性）出示标准答案.（四）一展身手本环节重在考察生应用所学知识解决类似问题的能力，同时检测学生当堂的学习效果.该环节中的试题在原来例题的基础上作了适当的变化，数据的变化、起点及运动方向的变化，旨在考察学生认真审题的能力.如图：已知在△ABC中，∠B=90º，AB=5cm,BC=7cm,点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点Q同时出发，那么几秒后△PBQ的面积等于4平方厘米？（五）课堂小结本环节通过提问学生的课堂学习收获，再补充老师给的课堂小结.（六）作业完成老师布置的课后思考。
北师版九年级数学上册 第二章 一元二次方程 应用一元二次方程 第1课时 利用一元二次方程解决几何问题
12．如图，已知一艘轮船以 20 海里/时的速度由西向东航行，途中接到台风警 报，台风中心正以 40 海里/时的速度由南向北移动，距台风中心 20 10 海里的 圆形区域(包括边界)都属台风区．当轮船航行到 A 处时，测得台风中心移到位 于点 A 正南方向的 B 处，且 AB＝100 海里，若这艘轮船自 A 处按原速度继续 航行，在途中会不会遇到台风？若会，试求经过多长时间轮船最初遇到台风； 若不会，＝90°，AB＝5 cm，BC＝7 cm，点P 从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始沿 BC边向点C以2 cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另外一点也 随之停止． (1)几秒后，△PBQ的面积等于4 cm2? (2)几秒后，PQ的长度等于5 cm? (3)△PBQ的面积能否等于7 cm2?
4．(2020·西藏)列方程(组)解应用题 某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下， 围一块面积为600 m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶 园一面靠墙，墙长35 m，另外三面用69 m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1 m宽的门(不包括篱笆).求这个茶园的长和宽．
知识点二：用一元二次方程解决动态几何图形问题 5．如图，AB⊥CB，AB＝10 cm，BC＝8 cm，一只螳螂从A点出发， 以2 cm/s的速度向B爬行，与此同时，一只蝉从C点出发，以1 cm/s的速 度向B爬行，当螳螂和蝉爬行x s后，它们分别到达了点M，N的位置， 此时，△MNB的面积恰好为24 cm2，根据题意可得方程( D )
A.2x·x＝24 B．(10－2x)(8－x)＝24 C．(10－x)(8－2x)＝24 D．(10－2x)(8－x)＝48
6．(教材 P53 习题 2.9T2 变式)如图，在矩形 ABCD 中，AB＝6 厘米，BC＝12 厘米，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1 厘米/秒的速度移动(到点 B 终止)， 点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2 厘米/秒的速度移动(到点 C 终止)，若两
九年级数学上册 第二章 一元二次方程 2 用配方法求解一元二次方程 解一元二次方程课标解读素材 (新
解一元二次方程课标解读一、课标要求包括配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程．?义务教育数学课程标准〔 2022年版〕?对解一元二次方程一节相关内容提出的要求如下。
1．理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程．2．会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等．3．了解一元二次方程的根与系数的关系．二、课标解读1．学生已经学习一元一次方程的解法和实际应用，知道可以利用运算律、等式的根本性质，通过去括号、移项、合并同类项等求出它的解．学生还学过二元一次方程组以及三元一次方程组的解法和实际应用，知道可以通过消元，将它们转化为一元一次方程．从数学知识的内部开展看，二元、三元一次方程组可以看成是对一元一次方程在“元〞上的推广．自然地，如果在次数上做推广，首先就是一元二次方程．类比二〔三〕元一次方程组的解法，可以想到：能否将一元二次方程转化为一元一次方程？如何转化？因此，利用什么方法将“二次〞降为“一次〞，这是本章学习的另一条主线．与一元一次方程、二元一次方程组的解法相比，一元二次方程的解法涉及更多的知识，可以根据方程的具体特点，选择相关的知识和方法，对方程进行求解．这是培养学生的思维品质，特别是思维的敏捷性、灵活性、深刻性的时机．根据?课程标准〔 2022年版〕?的规定，教科书着重介绍了配方法、公式法和因式分解法等一元二次方程的解法，而且限定解数字系数的一元二次方程．2．解一元二次方程的根本策略是降次，即通过配方、因式分解等，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．具体地，根据平方根的意义，可得出方程和的解法；通过配方，可将一元二次方程转化为的形式再解；一元二次方程的求根公式，就是对方程配方后得出的．如能将分解为两个一次因式的乘积，那么可令每个因式为0来解．一元二次方程的三种解法——配方法、公式法和因式分解法各有特点．一般地，配方法是推导一元二次方程求根公式的工具．掌握了公式法，就可以直接用公式求一元二次方程的根了．当然，也要根据方程的具体特点，选择适当的解法，因式分解法就显示了这样的灵活性．配方法是一种重要的、应用广泛的数学方法，如后面研究二次函数时也要用到它．在推导求根公式的过程中，从到再到，是方程形式的不断推广，表达了从特殊到一般的过程；而求解方程的过程那么是将推广所得的方程转化为已经会解的方程，表达了化归思想．显然，这个过程对于培养学生的推理能力、运算能力等都是很有作用的．3．与?课程标准〔实验稿〕?相比，?课程标准〔 2022年版〕?重新强调了一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数关系的重要性，要求“会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等〞，“了解一元二次方程的根与系数的关系〞，这是需要注意的一个变化．这里不仅是为了一元二次方程理论的完整性，更重要的是为了解决初高中衔接问题．实际上，一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数关系在高中数学中有着广泛的应用，是学习高中数学的必备根底．教科书先以一个设计人体雕像的实际问题作为开篇，并在第一节中又给出两个实际问题，通过建立方程，并引导学生思考这些方程的共同特点，从而归纳得出一元二次方程的概念、一般形式，给出一元二次方程根的概念．在这个过程中，通过归纳具体方程的共同特点，定义一元二次方程的概念，表达了研究代数学问题的一般方法；一般形式也是对具体方程从“元〞〔未知数的个数〕、“次数〞和“项数〞等角度进行归纳的结果；a ≠0的规定是由“二次〞所要求的，这实际上也是从不同侧面理解一元二次方程概念的契机．一元二次方程的解法，包括配方法、公式法和因式分解法等，是全章的重点内容之一．教科书在第二节中，首先通过实际问题，建立了一个最简单的一元二次方程，并利用平方根的意义，通过直接开平方法得到方程的解；然后将它一般化为，通过分类讨论得到其解的情况，从而完成解一元二次方程的奠基．接着，教科书安排“探究〞栏目，自然引出解并总结出“降次〞的策略，从而为用配方法解比拟复杂的一元二次方程做好铺垫，然后教科书重点讲解了配方的步骤，并归纳出通过配方将一元二次方程转化为后的解的情况．以配方法为根底，教科书安排了“探究〞栏目，引导学生自主地用配方法解一般形式的一元二次方程(a≠0)，得到求根公式．最后，通过实际问题，获得一个显然可以用“提取公因式法〞而到达“降次〞目的的方程，从而引出因式分解法解一元二次方程，并在“归纳〞栏目中总结出几种解法的根本思路、各自特点和适用范围等．上述过程的思路自然，表达了从简单的、特殊的问题出发，通过逐步推广而获得复杂的、一般的问题，并通过将一般性问题化归为特殊问题，获得这一类问题的解．这是具有普适性的数学思想方法．由于限定在实数范围，因此对求根公式，首先要关注判别式的讨论．这是使学生领悟分类讨论数学思想方法的契机．另一方面，求根公式不仅直接反映了方程的根由系数唯一确定〔系数a，b，c确定，方程就确定，其根自然就唯一确定〕，而且也反映了根与系数的联系．这里表达了一种多角度看问题的思想观点，而根与系数的联系表达非常简洁．教科书仍然采用从特殊到一般的方法，先讨论“将方程化为的形式，，与p，q之间的关系〞，在“+，〞的启发下，利用求根公式求和，进而得到根与系数的关系．让学生学习根与系数的关系，不仅能深化对一元二次方程的理解，提高用一元二次方程分析和解决问题的能力，而且也是培养学生发现和提出问题的能力的时机．根与系数的关系是求根公式的自然延伸，得出它的过程并不复杂，而其中蕴含的思想很重要．所以，对于根与系数的关系，教科书着重在其数学思想的启发和引导上，而对用根与系数的关系去解决问题，严格地控制了难度．。
北师版九年级上册数学精品教学课件 第二章 一元二次方程 第2课时 利用一元二次方程解决面积问题
故左右边衬的宽为 7 6 3 3 1.4.
4
21 cm
试一试：如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单
地解决上面的问题？
例2 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 6 cm，BC
= 8 cm. 点 P 沿 AC 边从点 A 向终点 C 以 1 cm/s 的速度移
动；同时点 Q 沿 CB 边从点 C 向终点 B 以 2 cm/s 的速度
解得
x1= 17 3 229
10.71(舍)，x2=
17 229 3
0.62.
∴x≈0.62，则 3x≈1.86，2x≈1.24.
答：横、竖小路的宽度分别为 1.86 米、1.24 米.
方法点拨
我们利用“图形经过平移，它的面积大小不 会改变”的性质，把纵、横两条路平移，使列方 程容易些（目的是求出小路的宽，至于实际施工， 仍可按原图的位置修路）.
整理，得 x2 − 15x − 250 = 0.
解得 x1 = −10(舍)，x2 = 25，所以 2x = 50. 答：铁板的长 50 cm，宽为 25 cm.
3.如图，要设计一个宽 20 cm，长为 30 cm 的矩形图案，
其中有两横两竖彩条，横竖彩条的宽度之比为 2∶3 ，
若使所有彩条的面积是原来矩形图案面积的三分之一，
上个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半.
16 m
想一想，你会怎么 设计这片荒地？
看一看：下面几位同学的设计方法是否合理？
12 m
小明设计：如右图所示，其中花园四周小路的宽都相等.
通过解方程，得到小路的宽为 2 m 或 12 m.
问题：他的结果对吗？你能将小明的解答过程重现吗？
解：设小路的宽为 x m，根据题意得：
秋九年级数学上册 第2章 一元二次方程 2.5 一元二次方程的应用 第2课时 图形面积和动点几何问题
第2课时 图形面积和动点几何问题知|识|目|标1．通过讨论、探究，会用一元二次方程解决图形面积问题．2．在理解直角三角形面积计算的基础上，能够建立一元二次方程解决与动点有关的几何问题．目标一 能利用一元二次方程解决图形面积问题例1 教材例3针对训练如图2－5－2，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一块长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a 米．(1)用含a 的式子表示花圃的面积；(2)如果通道所占面积是整个长方形空地面积的38，求出此时通道的宽． 图2－5－2【归纳总结】利用图形的面积建立一元二次方程模型的步骤(1)设元；(2)用未知数表示各边的长度；(3)利用面积公式列一元二次方程；(4)解一元二次方程；(5)针对实际情况舍去负根和超X围的根，从而得出结果．目标二利用一元二次方程解决动点几何问题例2 教材补充例题在矩形ABCD中，AB＝5 cm，BC＝6 cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1 cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2 cm/s的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t s(t>0)．(1)填空：BQ＝________ cm，PB＝________ cm(用含t的代数式表示)．(2)当t为何值时，PQ的长度等于5 cm?(3)是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26 cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．【归纳总结】利用一元二次方程解决动点问题的方法(1)构造直角三角形法，利用勾股定理建立一元二次方程．(2)等线段法，利用三角形全等构造两线段相等，建立一元二次方程；(3)等面积法，利用三角形面积(或三角形高)的变化建立面积等式．实现将几何问题转化为代数问题，从而加以解决．知识点利用一元二次方程解几何图形问题常用的等量关系有：(1)勾股定理；(2)面积的等量关系．[点拨] 在建立一元二次方程模型解几何图形实际问题的过程中，必须检验方程的根的实际意义，所求得的根应该保证几何图形的存在．如图2－5－3，某农场有一块长40 m ，宽32 m 的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为1140 m 2，求小路的宽．图2－5－3解：解法1：设小路的宽为x m ，则东西方向小路的面积为40x m 2，南北方向小路的面积为32x m 2. 则40×32－40x －32x ＝1140，解得x ＝3518. 所以小路的宽为3518m. 解法2：设小路的宽为x m ，将4块种植地平移为一个矩形，其长为(40－x )m ，宽为(32－x )m.根据矩形面积公式，得(40－x )(32－x )＝1140，整理得x 2－72x ＋140＝0.解得x 1＝2，x 2＝70.答：小路的宽应是2 m 或70 m.以上两种解法正确吗？若不正确，出现错误的原因是什么？请给出正确的答案．详解详析【目标突破】例1 解：(1)由图可知，花圃的面积为(40－2a)(60－2a)平方米．(2)由已知可列方程：60×40－(40－2a)(60－2a)＝38×60×40，解得a 1＝5，a 2＝45(舍去)．答：此时通道的宽为5米．例2 解：(1)2t (5－t)(2)由题意得(5－t)2＋(2t)2＝52，解得t 1＝0(不合题意，舍去)，t 2＝2.∴当t ＝2时，PQ 的长度等于5 cm .(3)存在．∵矩形ABCD 的面积是5×6＝30(cm 2)，五边形APQCD 的面积等于26 cm 2，∴△PBQ 的面积为30－26＝4(cm 2)，∴(5－t)×2t×12＝4， 解得t 1＝4(不合题意，舍去)，t 2＝1.即当t ＝1时，五边形APQCD 的面积等于26 cm 2.备选题型 用一元二次方程解决存在性问题例 用一根长22 cm 的铁丝，能不能恰好折成一个面积为32 cm 2的矩形？试分析你的结论．解：设折成的矩形的长为x cm ，则宽为(11－x)cm ，矩形的面积为x(11－x)cm 2，依题意，得x(11－x)＝32，化简为x 2－11x ＋32＝0， Δ＝b 2－4ac ＝(－11)2－4×1×32＝121－128＝－7＜0，因此方程无实数根，则用长为22 cm 的铁丝不能折成一个面积为32 cm 2的矩形．【总结反思】[反思] 解：两种解法都不正确，解法1多减去了两条小路交叉重叠的小正方形的面积，因此正确的方程是40×32－40x －32x ＋x 2＝1140；解法2没有考虑方程的根是否符合实际意义，因为x＜32，显然x＝70不符合题意．正确的答案为x＝2，即小路的宽为2 m.。
北师大版九年级上册 第二章 一元二次方程 2.1 认识一元二次方程 同步练习题 含答案
北师大版九年级上册 第二章 一元二次方程 2.1 认识一元二次方程 同步练习题1．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( )A ．x 2＋1x ＝0B ．(x －1)2＝(x ＋3)(x －2)＋1C ．x ＝x 2D ．ax 2＋bx ＋c ＝02．方程(m －1)x 2＋mx ＋1＝0是关于x 的一元二次方程，则m 的值为( )A ．任何实数B ．m≠0C ．m≠1 D．m≠－13．方程2(x ＋2)＋8＝3x(x －1)的一般形式为________________，二次项系数是________，一次项系数是________，常数项是________．4．把下列关于x 的一元二次方程化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．(1)3x 2＝5x －3；(2)(x ＋2)(x －2)＋3x ＝4.5．设一个奇数为x ，与相邻奇数的积为323，所列方程正确的是( )A ．x(x ＋2)＝323B ．x(x －2)＝323C ．x(x ＋1)＝323D ．x(x －2)＝323或x(x ＋2)＝3236．(1)一块长方形菜地的面积是150 m 2，如果它的长减少5 m ，那么菜地就变成正方形，若设原菜地的长为x m ，则可列方程为________________________________________________；(2)已知如图所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列方程为__________________.7．根据下列问题，列出关于x 的方程，并将其化为一般形式．(1)正方体的表面积为36，求正方体的边长x ；(2)在新春佳节到来之际，九(6)班所有的同学准备送贺卡相互祝贺，所有同学送完后共送了1 980张，求九(6)班的同学人数x.8．已知长方形宽为x cm ，长为2x cm ，面积为24 cm 2，则x 最大不超过( )A ．1B ．2C ．3D ．49．根据下列表格中的对应值，判断方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0，a ，b ，c 为常数)的一个解x3.25<x<3.2610．已知m 是关于x 的方程x 2－2x －3＝0的一个根，则2m 2－4m ＝______．11．已知关于x 的一元二次方程(k －1)x 2＋x ＋k 2－1＝0有一个根为0，则k 的值为________．12．方程(m －1)xm 2＋1＋2mx －3＝0是关于x 的一元二次方程，则m 的值为( )A ．m ＝±1B ．m ＝－1C ．m ＝1D ．m ≠113．若方程(k －1)x 2＋kx ＝1是关于x 的一元二次方程，则k 的取值范围是( )A ．k ≠1B ．k ≥0C ．k ≥0且k ≠1D ．k 为任意实数 2A ．解的整数部分是0，十分位是5B ．解的整数部分是0，十分位是8C ．解的整数部分是1，十分位是1D ．解的整数部分是1，十分位是215．若关于x 的方程x 2＋(m ＋1)x ＋12＝0的一个实数根的倒数恰是它本身，则m 的值是( ) A ．－52 B.12 C ．－52或12 D ．116．已知关于x 的方程(m 2－4)x 2＋(m －2)x ＋4m ＝0，当m ____________时，它是一元二次方程，当m________时，它是一元一次方程．17．已知关于x 的一元二次方程m(x －1)2＝－3x 2＋x 的二次项系数与一次项系数互为相反数，则m 的值为多少？18. 有这样的题目：把方程12x 2－x ＝2化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项．现在把上面的题目改编成下面的两个小题，请回答问题：(1)下面式子中是方程12x 2－x ＝2化为一元二次方程的一般形式的是________．(只填写序号)①12x 2－x －2＝0，②－12x 2＋x ＋2＝0，③x 2－2x ＝4，④－x 2＋2x ＋4＝0，⑤3x 2－23x －43＝0.(2)方程12x 2－x ＝2化为一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数，一次项系数和常数项之间具有什么关系？答案：1. C2. C3. 3x2－5x－12＝0 3 －5 －124. (1) 一般形式是3x2－5x＋3＝0，二次项系数是3，一次项系数是－5，常数项是3.(2) 一般形式是x2＋3x－8＝0，二次项系数是1，一次项系数是3，常数项是－8.5. D6. (1) x(x－5)＝150.(2) (x＋1)2－1＝24.7. (1)6x2＝36，一般形式为6x2－36＝0.(2)x(x－1)＝1 980，一般形式为x2－x－1 980＝0.8. D9. C10. 611. －112. B13. C14. C15. C16. ≠±2＝－217. 整理方程，得(m＋3)x2－(2m＋1)x＋m＝0，由题意，得m＋3－(2m＋1)＝0，解得m＝2.18. (1) ①②④⑤(2) 若设它的二次项系数为a(a≠0)，则一次项系数为－2a，常数项为－4a.(即满足二次系数∶一次项系数∶常数项＝1∶－2∶－4即可)。
北师大版数学九年级上册第二章一元二次方程知识点归纳及例题含答案
北师大版九年级上册第二章一元二次方程知识知识点归纳及例题【学习目标】1.了解一元二次方程及有关概念；2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法．【知识网络】【知识点梳理】知识点一、一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．2.一元二次方程的一般式：3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.知识点诠释：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．知识点二、一元二次方程的解法1．基本思想一元二次方程一元一次方程 2．基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．知识点诠释：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解 法，再考虑用公式法．知识点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.一元二次方程根的判别式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是， 那么，. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.知识点诠释：1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：(1)不解方程判定方程根的情况；(2)根据参系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题．2. 一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．知识点四、列一元二次方程解应用题1.列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.−−−→降次)0(02≠=++a c bx ax ac b 42-)0(02≠=++a c bx ax ∆ac b 42-=∆)0(02≠=++a c bx ax 21x x ，a b x x -=+21ac x x =212.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.3.解决应用题的一般步骤：审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列 (根据题目中的等量关系，列出方程)；解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）；答 (写出答案，切忌答非所问).4.常见应用题型数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.知识点诠释：列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.【典型例题】类型一、一元二次方程的有关概念1．（2016•诏安县校级模拟）关于x 的一元二次方程（a ﹣1）x 2+x +a 2﹣1=0的一个根是0，则a 的值为（ ）A ．1B ．﹣1C ．1或﹣1D ．【思路点拨】根据方程的解的定义，把x=0代入方程，即可得到关于a 的方程，再根据一元二次方程的定义即可求解．【答案】B ；【解析】解：根据题意得：a 2﹣1=0且a ﹣1≠0，解得：a=﹣1．故选B ．【总结升华】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，特别需要注意的条件是二次项系数不等于0．举一反三：【变式】关于x 的方程,当 时为一元一次方程；当 时为一元二次方程.【答案】=4；≠4且≠-2.类型二、一元二次方程的解法2．用适当的方法解一元二次方程(1) 0.5x 2-=0； (2) (x+a)2=；(3) 2x 2-4x-1=0； (4) (1-)x 2=(1+)x ．【答案与解析】 22(28)(2)10a a x a x --++-=a a a a a(1)原方程可化为0.5x2=∴x2=用直接开平方法，得方程的根为∴x1=，x2=-．(2)原方程可化为x2+2ax+a2=4x2+2ax+∴x2=a2用直接开平方法，得原方程的根为∴x1=a，x2=-a．(3) a=2，b=-4，c=-1b2-4ac=(-4)2-4×2×(-1)=24＞0x=∴x1=，x2=.(4)将方程整理，得(1-)x2-(1+)x=0用因式分解法，得x[(1-)x-(1+)]=0∴ x1=0，x2=-3-2．【总结升华】在以上归纳的几种解法中，因式分解法是最简便、最迅捷的方法，但只有一部分方程可以运用这种方法，所以要善于及时观察标准的二次三项式在有理数范围内是否能直接因式分解，凡能直接因式分解的，应首先采取这种方法．公式法是可以解任何类型的一元二次方程，但是计算过程较繁琐，所以只有选择其他解法不顺利时，才考虑用这种解法．虽然先配方，再开平方的方法也适用于任何类型的一元二次方程，但是对系数复杂的一元二次方程，配方的过程比运用公式更繁琐，所以，配方法适用于系数简单的一元二次方程的求解．举一反三：【变式】解方程． (1)(3x-2)2+(2-3x)＝0； (2)2(t-1)2+t＝1.【答案】(1)原方程可化为：(3x-2)2-(3x-2)＝0，∴ (3x-2)(3x-2-1)＝0．∴ 3x-2＝0或3x-3＝0，∴ ，． (2)原方程可化为：2(t-1)2+(t-1)＝0．∴ (t-1)[2(t-1)+1]＝0．∴ (t-1)(2t-1)＝0，∴ t-1＝0或2t-1＝0．∴ ，． 类型三、一元二次方程根的判别式的应用3．（2015•荆门）若关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+5﹣a=0有实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．a ≥1B ． a ＞1C ． a ≤1D ．a ＜1【答案】A ；【解析】∵关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+5﹣a=0有实数根，∵∵=（﹣4）2﹣4（5﹣a ）≥0，∵a ≥1．故选A ．【总结升华】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据方程有两个实数根，得到判别式大于等于零，求出a 的取值范围．类型四、一元二次方程的根与系数的关系4．已知x 1、x 2是关于x 的方程的两个不相等的实数根，（1）求t 的取值范围； （2）设，求s 关于t 的函数关系式． 【答案与解析】(1)因为一元二次方程有两个不相等的实数根．所以△＝(-2)2-4(t+2)＞0，即t ＜-1．(2)由一元二次方程根与系数的关系知：，，从而，即．【总结升华】利用根与系数关系求函数解析式综合题.举一反三：【变式】已知关于x 的一元二次方程的两实数根为，．（1）求m 的取值范围；（2）设，当y 取得最小值时，求相应m 的值，并求出最小值．【答案】（1）将原方程整理为． 123x =21x =11t =212t =2220x x t -++=2212s x x =+122x x +=122x x t =+2212s x x =+21212()2x x x x =+-222(2)2t t =-+=-2(1)s t t =-<-222(1)x m x m =--1x 2x 12y x x =+222(1)0x m x m +-+=∵ 原方程有两个实数根．∴ ，∴ ． （2） ，且． 因为y 随m 的增大而减小，故当时，取得最小值1．类型五、一元二次方程的应用5．如图所示，在长为10cm ，宽为8cm 的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%，求所截去的小正方形的边长．【答案与解析】设小正方形的边长为xcm ，由题意得4x 2＝10×8×(1-80%)．解得x 1＝2，x 2＝-2．经检验，x 1＝2符合题意，x 2＝-2不符合题意舍去．∴ x ＝2．答：截去的小正方形的边长为2cm ．【总结升华】设小正方形的边长为x cm ，因为图中阴影部分面积是原矩形面积的80%，所以4个小正方形面积是原矩形面积的20%．举一反三：【变式】（2015春•启东市月考）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD （围墙MN 最长可利用25m ），现在欲砌50m 长的墙，砌成一个面积300m 2的矩形花园，则BC 的长为多少 m?【答案】解：设AB=x 米，则BC=（50﹣2x ）米．根据题意可得，x （50﹣2x ）=300，解得：x 1=10，x 2=15，当x=10，BC=50﹣10﹣10=30＞25，故x 1=10（不合题意舍去），50﹣2x=50﹣30=20．22[2(1)]4840m m m =--=-+≥△12m ≤1222y x x m =+=-+12m ≤12m=答:BC的长为20m．6．某旅行社有100张床位，每床每晚收费10元，空床可全部租出；若每床每晚提高2元，则减少10张床位租出；若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出．以每次提高2元的这种方法变化下去，为了每晚获得1120元的利润，每床每晚应提高多少元?【答案与解析】设每床每晚提高x个2元，则每床每晚收费为(10+2x)元，每晚出租出去的床位为(100-10x)张，根据题意，得(10+2x)(100-10x)＝1120．整理，得x2-5x+6＝0．解得，x1＝2，x2＝3．∴当x＝2时，2x＝4；当x＝3时，2x＝6．答：每床每晚提高4元或6元均可．【总结升华】这是商品经营问题，总利润＝每张床费×床数．可设每床每晚提高x个2元，则床费为(10+2x)元，由于每晚每床提高2元，出租出去的床位减少10张，则出租出去的总床位为(100-10x)张，据此可列方程．。
北师大版数学九年级上册应用一元二次方程(第1课时利用一元二次方程求解几何问题)课件
A
送达军舰.
已知军舰的速度是补给船的2倍,军 200
北 D东
舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处,
那么相遇时补给船航行了多少海里?(结
果精确到0.1海里,其中
)
BE F 200
45°
C
解：连接DF,
A
北
∵AD=CD BF=CF ∴DF是△ABC的中位线 200
D东
∵DF//AB且DF=
1 2
AB
∵AB┴BC AB=BC=200
40
(420－x)cm，
x·( 2 －x)＝91
解这个方程，得x1＝7，x2＝13.当x＝7cm时，
40 2 －x＝20－7＝13(cm)(舍去)；
当x＝13cm时，
40 2 －x＝20－13＝7(cm)
∴这个矩形的长为13cm.
探究新知
知识模块 探究教材P52例1
(一)自主探究
还记得本章开始时梯子下滑的问题吗？
A．375cm2 B．500cm2 C．625cm2 D．700cm2
2．一块矩形耕地大小尺寸如图所示，要在这
块耕地上沿东西和南北方向分别挖两条和四条
水渠，如果水渠的宽相等，而且要保证余下的
可耕地面积为9600m2，那么水渠的宽为( C )
A．2m
B．4m
C．1m
D．3m
3．一个矩形的面积是48平方厘米，它的长
（2）如果梯子长度是13m,梯子顶端与地面的垂直距 离为12m，那么梯子顶端下滑的距离与梯子的底端滑 动的距离可能相等吗？如果相等，那么这个距离是多 少？
设梯子顶端下滑x米时，梯子底端滑动的距离和它 相等，根据勾股定理和已知数据可列方程为 _(_1_2_－__x_)_2＋__(_5_＋__x_)_2_＝__1_3_2_，解这个方程得x1＝__0___， x2＝__7___，由实际问题可知x＝___7__．
九年级数学上册第二章一元二次方程3用公式法求解一元二次方程第2课时利用一元二次方程解决面积问题练习2(
九年级数学上册第二章一元二次方程3用公式法求解一元二次方程第2课时利用一元二次方程解决面积问题练习2（新版）新人教版◆随堂检测1、长方形的长比宽多4cm ，面积为60cm 2，则它的周长为________．2、有两块木板，第一块长是宽的2倍，第二块的长是第一块宽的3倍，宽比第一块的长少2米，已知第二块木板的面积比第一块大1082米，这两块木板的长和宽分别是（ ）A 、第一块木板长18米，宽9米，第二块木板长27米，宽16米B 、第一块木板长12米，宽6米，第二块木板长18米，宽10米C 、第一块木板长9米，宽4.5m ，第二块木板长13.5m ，宽7米D 、以上都不对3、从正方形铁片，截去2cm 宽的一条长方形，余下的面积是48cm 2，求原来的正方形铁片的面积是多少？4、如图，在Rt △ACB 中，∠C=90°，AC=8m ，CB=6m ，点P 、Q 同时由A ，B•两点出发分别沿AC 、BC 方向向点C 匀速移动，它们的速度都是1m/s ，•几秒后△PCQ•的面积为Rt △ACB 面积的一半．（点拨：设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半，△PCQ 也是直角三角形．）•◆典例分析如图①，要设计一幅宽20cm ，长30cm 的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2∶3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？ B C A Q P解:◆课下作业 ●拓展提高1、矩形的周长为，面积为1，则矩形的长和宽分别为________．2、如图，在ABCD 中，AE BC ⊥于E ，AE EB EC a ===，且a 是一元二次方程2230x x +-=的根，则ABCD 的周长为（ ） A、4+ B、12+、2+ D、212++3、某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m ），•另三边用木栏围成，木栏长40m ． （1）鸡场的面积能达到180m 2吗？能达到200m 2吗？（2）鸡场的面积能达到210m 2吗？4、某林场计划修一条长750m ，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m 2，•上口宽比渠深多2m ，渠底比渠深多0.4m ． （1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？图② 图①A DC EB（2）如果计划每天挖土48m 3，需要多少天才能把这条渠道挖完？(分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为x m.)●体验中考1、在一幅长为80cm ，宽为50cm 的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm 2，设金色纸边的宽为x cm ，那么x 满足的方程是（ ）A 、213014000x x +-=B 、2653500x x +-=C 、213014000x x --=D 、2653500x x --=2、如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为（ ）A 、1米B 、1.5米C 、2米D 、2.5米3、张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15立方米的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，现已知购买这种铁皮每平方米需20元，问张大叔购回这张矩形铁皮共化了多少元？●挑战能力1.如图某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m ），另三边用木栏围成，木栏长35m 。
人教版九年级上册第21章 《一元二次方程》实际应用同步练习(一)
人教版九年级上册第21章《一元二次方程》实际应用同步练习（一）基础题训练（一）：限时30分钟1．根据某网站发布的数据显示，某市二手房均价从今年2月份到4月份连续两次下降，由每平方米4200元下降到每平方米3402元．（1）求某市2月份到4月份二手房均价平均每次降价的百分率；（2）假设5月份的均价仍然下降相同的百分率，李明准备购买一套100平方米的二手房，他持有现金15万元，可以在银行贷款20万元，李明的愿望能否实现？2．水资源是人类赖以生存的最重要的自然资源，而我国是一个严重缺水的国家，人均水资源量只有2300m3，仅为世界平均水平的，在世界排第110位，是全球人均水资源最匮乏的国家之一，所以，“节约用水”是我们的义务，更是应尽的责任．今年2月份，为了解某社区400户居民的用水情况，进行了全面调查，发现仅有40%的住户具有节水意识，剩余60%的住户没有节水意识．并且，今年2月份，具有节水意识的住户平均每户的用水量比没有节水意识的住户平均每户的用水量少2m3，从而使得具有节水意识的住户该月的用水总量比没有节水意识的住户该月用水总量少1280m3．（1）求该社区具有节水意识的40%的住户今年2月份平均每户的用水量是多少立方米？（2）3月初，该社区举行了以“节约用水”为主题的宣传活动，使得3月份具有节水意识的住户比2月份增加了87.5%，且该部分住户3月份平均每户的用水量与2月份具有节水意识的住户的平均每户用水量相同，剩余住户还是没有节水意识；为了扩大宣传效果，4月初，该社区再次举行宣传活动，使得4月份具有节水意识的住户比3月份增加了3a 户，并且，具有节水意识的住户平均每户的用水量比（1）问中具有节水意识的住户平均每户的用水量还减少了（a﹣1）%，但仍然还有少数住户没有节水意识，在这种情况下，这400户居民4月份的总用水量比3月份的总用水量减少了a%：求a的值．（假设没有节水意识的住户每户每月的平均用水量始终保持不变）3．柠檬上市后，其中柠檬的新品种和新奇士因技术问题产量不多，今年终于突破研究大量上市，某超市准备大量进货，已知去年同期普通柠檬进价3元/斤，新奇士进价10元/斤，去年九月共进货900斤．（1）若去年九月两种柠檬进货总价不超过6200元，则新奇士最多能购进多少斤？（2）若超市今年九月上半月共购进1000斤的柠檬，其中普通柠檬进价与去年相同，新奇士进价降4元，结果普通柠檬按8元/斤，新奇士16元/斤的价格卖出后共获利8000元，下半月因临近中秋和国庆双节，两种柠檬进价在上半月基础上保持不变，售价一路上涨，超市调整计划，普通柠檬进货量与上半月持平，售价下降a%吸引顾客；新奇士进货量上涨%，售价上涨2a%，最后截至九月底，下半月获利比上半月的2倍少400元，求a的值．4．一块长30cm，宽12cm的矩形铁皮，（1）如图1，在铁皮的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作成一个底面积为144cm2的无盖方盒，如果设切去的正方形的边长为xcm，则可列方程为．（2）由于实际需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理使用材料，某学生设计了如图2的裁剪方案，空白部分为裁剪下来的边角料，其中左侧两个空白部分为正方形，问能否折出底面积为104cm2的有盖盒子（盒盖与盒底的大小形状完全相同）？如果能，请求出盒子的体积；如果不能，请说明理由．5．11月份脐橙和柚子进入销售旺季，某大型水果超市的脐橙和柚子这两种水果很受欢迎，脐橙售价12元/千克，柚子售价9元/千克．（1）若第一周脐橙的销量比柚子的销量多200千克，要使这两种水果的销售总额达到6600元，则第一周应该销售脐橙多少千克？（2）若该水果超市第一周按照（1）中脐橙和柚子的销量销售这两种水果，并决定第二周继续销售这两种水果．第二周脐橙售价降低了0.05a元，销量比第一周增加了a%．柚子的售价保持不变，销量比第一周增加了a%，结果这两种水果第二周的销售总额比第一周增加了a%．求a的值．基础题训练（二）：限时30分钟6．某中学兴趣小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边是由周长为30米的篱笆围成．如图所示，已知墙长为20米，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米（1）若苗圃园的面积为108m2，求x的值，（2）苗圃园的面积能达到120m2吗？若能，求出x；若不能，说明理由．7．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm．点P从点B出发沿边BC向点C以2cm/s 的速度移动，点Q从C点出发沿CD边向点D以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为五边形ABPQD面积的？8．某演出队要购买一批演出服，商店给出如下条件：如果一次性购买不超过10件，每件80元；如果一次性购买多于10件，每增加1件，每件服装降低2元，但每件服装不得低于50元，演出队一次性购买这种演出服花费1 200元，请问此演出队购买了多少件这种演出服？9．今年以来，因生猪受到猪瘟的影响，导致多地猪肉价格连续上涨，引起了民众与政府的高度关注，当市场猪肉的平均价格每千克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．据统计：从今年年初至9月20日，猪肉价格不断上涨，9月20日比年初价格上涨了60%、某市民于某超市今年9月20日购买3千克猪肉花120元钱．（1）问：那么今年年初猪肉的价格为每千克多少元？（2）现在某超市以每千克30元的猪肉进货，按9月20日价格出售，平均一天能销售出100千克，经调查表明：猪肉的售价每千克下降1元，其日销售量就增加20千克，超市为了实现销售猪肉每天有1120元的销售利润，为了尽可能让顾客优惠应该每千克定价为多少元？10．九年级二班的一个综合实践活动小组去多个超市调查某种商品“五一节”期间的销售情况，下面是调查后小敏与其他两位同学交流的情况．小敏：“该商品的进价为12元/件．”同学甲：“定价为20元/件时，每天可售出240件．”同学乙：“单价每涨1元，每天少售出20件；单价每降1元，则每天多售出40件．”根据他们的对话，请你求出要使商品每天获利1920元应怎样合理定价？参考答案1．解：（1）设该市2月份到4月份二手房均价平均每次降价的百分率为x．依题意，得：4200（1﹣x）2＝3402，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（舍去）．答：平均每次降价的百分率为10%．（2）3402×（1﹣10%）×100＝306180（元）＝30.618（万元），∵15+20＝35（万元），35＞30.618，∴李明的愿望可以实现．2．解：（1）设没有节水意识的住户的平均每户的用水量为xm3，则具有节水意识的住户平均每户的用水量为（x﹣2）m3．由题意：240x﹣160（x﹣2）＝1280，解得x＝12．答：该社区具有节水意识的40%的住户今年2月份平均每户的用水量是10立方米．（2）由题意：（300+3a）•10（101﹣a）%+（100﹣3a）×12＝[10×300+12×100]×（1﹣a%），整理得a2﹣21a﹣100＝0解得a＝25或﹣4（舍弃）．答：a的值为25．3．解：（1）设去年九月超市购进新奇士x斤，则购进普通柠檬（900﹣x）斤，依题意，得：10x+3（900﹣x）≤6200，解得：x≤500．答：新奇士最多能购进500斤．（2）设超市今年九月上半月购进y斤普通柠檬，则购进（1000﹣y）斤新奇士，依题意，得：（8﹣3）y+（16﹣10+4）（1000﹣y）＝8000，解得：y＝400，∴1000﹣y＝600．∵九月下半月获利比上半月的2倍少400元，∴[8（1﹣a%）﹣3]×400+[16（1+2a%）﹣10+4]×600（1+a%）＝8000×2﹣400，整理，得：2.56a2+240a﹣7600＝0，解得：a1＝25，a2＝﹣（不合题意，舍去）．答：a的值为25．4．解：（1）设切去的正方形的边长为xcm，则折成的方盒的底面为长（30﹣2x）cm，宽为（12﹣2x）cm的矩形，依题意，得：（30﹣2x）（12﹣2x）＝144．故答案为：（30﹣2x）（12﹣2x）＝144．（2）设切去的正方形的边长为ycm，则折成的长方体盒子的底面为长（﹣y）cm，宽为（12﹣2y）cm的矩形，依题意，得：（﹣y）（12﹣2y）＝104，整理，得：y2﹣21y+38＝0，解得：y1＝2，y2＝19（不合题意，舍去），∴盒子的体积＝104×2＝208（cm3）．答：能折出底面积为104cm2的有盖盒子，盒子的体积为208m3．5．解：（1）设第一周柚子的销售量为x千克．则脐橙的销售量为（x+200）千克，由题意，得9x+12（x+200）＝6600．解得x＝200．则x+200＝400．答：第一周应该销售脐橙400千克；（2）（12﹣0.05a）×400×（1+a%）+9×200×（1+a%）＝6600×（1+a%）解得a＝0（舍去）或a＝30．6．解：（1）由题意可知：（30﹣2x）x＝108，解得：x＝6或x＝9，由于0＜30﹣2x≤20，解得：5≤x＜15，答：若苗圃园的面积为108m2，x的值为6m或9m．（2）由题意可知：（30﹣2x）x＝120，∴x2﹣15x+60＝0，∴△＝152﹣4×60＝﹣15＜0，此时方程无解，答：苗圃园的面积不能达到120m27．解：设x秒钟后，可使△PCQ的面积为五边形ABPQD面积的，∵点P从点B出发沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CD边向点B以1cm/s的速度移动，∴CP＝BC﹣BP＝（8﹣2x）cm，CQ＝xcm，∴S△CPQ＝CP•CQ＝（8﹣2x）•x，∴五边形ABPQD面积＝6×8﹣（8﹣2x）•x，由题意可得：6×8﹣（8﹣2x）•x＝（8﹣2x）•x×11，解得：x＝2，∴2秒钟后，可使△PCQ的面积为五边形ABPQD面积的．8．解：设购买了x件这种服装，∵10×80＝800＜1200，∴x＞10，根据题意得出：[80﹣2（x﹣10）]x＝1200，解得：x1＝20，x2＝30，当x＝30时，80﹣2（30﹣10）＝40（元）＜50不合题意舍去；答：购买了20件这种服装；9．解：（1）今年9月20日猪肉的价格＝100÷2.5＝40（元/千克）．设今年年初猪肉的价格为每千克x元，依题意，得：（1+60%）x＝40，解得：x＝25．答：今年年初猪肉的价格为每千克25元．（2）设每千克降价y元，则日销售（100+20y）千克，依题意，得：（40﹣30﹣y）（100+20y）＝1120，整理，得：y1＝2，y2＝3，∵尽可能让顾客优惠，∴y＝3，∴40﹣y＝37．答：应该每千克定价为37元．10．解：分两种情况考虑：①当涨价时，设每件商品定价为x元，则每件商品的销售利润为（x﹣12）元，每天可售出[240﹣20（x﹣20）]件，依题意，得：（x﹣12）[240﹣20（x﹣20）]＝1920，整理，得：x2﹣44x+480＝0，解得：x1＝20，x2＝24；②当降价时，设每件商品定价为y元，则每件商品的销售利润为（y﹣12）元，每天可售出[240+40（20﹣y）]件，依题意，得：（y﹣12）[240+40（20﹣y）]＝1920，整理，得：y2﹣38y+360＝0，解得：y1＝20，y2＝18．答：为了使该商品每天获利1920元，定价为18元/件、20元/件或24元/件．。
最新北师大版九年级数学上册教案(完美版)第二章6.应用一元二次方程第1课时 利用一元二次方程解决几何问题
6 应用一元二次方程第1课时利用一元二次方程解决几何问题【知识与技能】使学生会用一元二次方程解应用题.【过程与方法】进一步培养学生将实际问题转化为数学问题的能力和分析问题、解决问题的能力，培养学生运用数学的意识.【情感态度】通过列方程解应用题，进一步体会运用代数中方程的思想方法解应用题的优越性.【教学重点】实际问题中的等量关系如何找.【教学难点】根据等量关系设未知数列方程.一、情境导入，初步认识列方程解应用题的步骤是什么？①审题，②设未知数，③列方程，④解方程，⑤答.【教学说明】初一学过一元一次方程的应用，实际上是据实际题意，设未知数，列出一元一次方程求解，从而得到问题的解决.但有的实际问题，列出的方程不是一元一次方程，是一元二次方程，这就是我们本节课所研究的问题，一元二次方程的应用.二、思考探究，获取新知问题：有一张长6尺，宽3尺的长方形桌子，现用一块长方形台布铺在桌面上，如果台布的面积是桌面面积的2倍，且四周垂下的长度相同，试求这块台布的长和宽各是多少？（精确到0.1尺）分析：设四周垂下的宽度为x尺时，可知台布的长为(2x+6)尺，宽为（2x+3）尺，利用台布的面积是桌面面积的2倍构建方程可获得结论.解：设四周垂下的宽度为x 尺时，依题意可列方程为（6+2x ）(3+2x)=2×6×3.整理方程，得2x2+9x-9=0.解得x1≈0.84，x2≈-5.3(不合题意，舍去).即这块台布的长约为7.7尺，宽约为4.7尺.【教学说明】 注意引导学生分析、理清题目中的数量关系，挖掘已知条件与要解决问题，激发学生解决问题的欲望，体会数形结合思想的应用.三、运用新知，深化理解1.见教材P52例1.2.直角三角形的两条直角边的和为7，面积是6，则斜边长为（ B ）B.5C.D.73.从正方形铁皮的一边切去一个2cm 宽的长方形，若余下的长方形的面积为48cm 2，则原来正方形的铁皮的面积为64cm 2.4.如图，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边，地毯中间的矩形图案的长为6m ，宽为3m ，若整个地毯的面积为40m 2，求花边的宽.解：设花边的宽为x m ，依题意有（6+2x ）（3+2x ）=40，解得x 1=1，x 2=112-（不合题意应舍去）. 即花边的宽度为1m.5.如右图是长方形鸡场的平面示意图，一边靠墙，另外三边用竹篱笆围成，且竹篱笆总长为35m.（1）若所围的面积为150m 2，试求此长方形鸡场的长和宽；（2）如果墙长为18m ，则（1）中长方形鸡场的长和宽分别是多少？（3）能围成面积为160m2的长方形鸡场吗？说说你的理由.分析:如图，若设BC = x m ，则AB 的长为352x - m ，若设AB = x m ，则BC=(35-2x)m ，再利用题设中的等量关系，可求出（1）的解；在（2）中墙长a = 18m 意味着BC 边长应小于或等于18m ，从而对（1）的结论进行甄别即可；（3）中可借助（1）的解题思路构建方程，依据方程的根的情况可得到结论.解:（1）设BC=xm ，则AB=CD=352x -m ，依题意可列方程为x ·352x -=150，解这个方程，得x 1=20，x 2=15.当BC=x=20m 时，AB=CD=7.5m ，当BC=15m 时，AB=CD=10m.即这个长方形鸡场的长与宽分别为20m 和7.5m 或15m 和10m;（2）当墙长为18m 时，显然BC=20m 时，所围成的鸡场会在靠墙处留下一个缺口，不合题意，应舍去，此时所围成的长方形鸡场的长与宽只能是15m 和10m;（3）不能围成面积为160m 2的长方形鸡场，理由如下：设BC = x m ，由（1）知AB=352x -m ，从而有x ·352x -=160，方程整理为x 2-35x+320=0.此时Δ=352-4×1×320=1225-1280＜0，原方程没有实数根，从而知用35m 的篱笆按图示方式不可能围成面积为160m 2的鸡场.6.如图所示，在△ABC 中，∠C=90°，AC=6cm ，BC=8cm ，点P 从点A 出发沿边AC 向点C 以1cm/s 的速度移动，点Q 从点C 出发沿CB 边向点B 以2cm/s 的速度移动.当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动.（1）如果P ，Q 同时出发，几秒钟后，可使△PCQ 的面积为8cm 2？（2）点P ，Q 在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ 的面积等于△ABC 的面积的一半？分析：（1）如果P ，Q 同时出发，x s 后，AP=xcm ，PC=（6-x ）cm ，CQ=2xcm ，此时△PCQ 的面积为12×2x （6-x ），令该式=8，由此等量关系列出方程求出符合题意值；（2）△ABC 的面积的一半等于12×12AC ·BC=12（cm 2），令12×2x （6-x ）=12，判断该方程是否有解，若有解则存在，否则不存在.解：（1）设xs 后，可使△PCQ 的面积为8cm 2.由题意得AP=xcm ，PC=（6-x ）cm ，CQ=2xcm ，则12·（6-x ）·2x=8.整理，得x 2-6x+8=0，解得x 1=2，x 2=4.所以P ，Q 同时出发2s 或4s 后可使△PCQ 的面积为8cm 2.（2）由题意，得S △AB C =12AC ·BC=12×6×8=24（cm 2），令12×2x ×（6-x ）=12×24，x2-6x+12=0，b2-4ac=62-4×12=-12<0，该方程无实数解，所以不存在使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半的时刻.四、师生互动、课堂小结1.回顾、整理并总结，让学生在活动中积累实践经验，理解建立数学模型的重要性.2.独立完成以上例题.1.布置作业：教材“习题2.9”中第2、3、4题.2.完成练习册中相应练习.本课时无论是例题的分析还是练习的分析，尽可能地鼓励学生动脑、动手、动口，为学生提供展示自己的机会，在此过程中发现并总结学生存在的思维误区，便于今后的教学.课堂上注意激发学生的学习热情，帮助学生形成积极主动的求知态度.。
九年级数学上册第1章一元二次方程1.4用一元二次方程解决问题3几何动点问题习题名师公开课省级获奖课件
每一个成功者都有一个开始。勇于开始，才能找到成功的路成功源于不懈的努力，人生最大的敌人是自己怯懦每天只看目标，别老想障碍宁愿辛苦一阵子，不要辛苦一辈子积极向上的心态，是成功者的最基本要素生活总会给你另一个机会，人生就像骑单车，想保持平衡就得往前走21:19:48我们必须在失败中寻找胜利10、一个人的梦想也许不值钱，但一个人的努力很值钱。11、在真实的生命里，每桩伟业都由信心开始，并由信心跨出第一步。
答 案 呈 现
习题链接
如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm，BC＝7 cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动．(1)如果点P、Q分别从点A、B同时出发， 那么几秒后，△PBQ的面积等于4 cm2?
1
(2)如果点P、Q分别从点A、B同时出发，△PBQ的面积能否等于7 cm2?
7
பைடு நூலகம்2)当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
8
等腰直角三角形ABC的直角边AB＝BC＝10 cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1 cm/s的相同速度进行直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D，连接PC，设P点运动时间为t s，△PCQ的面积为S cm2.(1)求出S关于t的函数关系式．
(2)当点P运动几秒时，S△PCQ＝S△ABC?
(3)作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．若DE的长度为定值，请求出该定值为多少．
解：当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．证明：如图，过Q作QM⊥AC，交AC的延长线于点M，连接EQ.
了解面对逆境，远比如何接受顺境重要得多一般的伟人总是让身边的人感到渺小昨天是张退票的支票积极人格的完善是本，财富的确立是末昨晚多几分钟的准备每一发奋努力的背，必有加倍的赏赐要及时把握梦想，因为梦想一死10、一个人的梦想也许不值钱，但一个人的努力很值钱。11、在真实的生命里，每桩伟业都由信心开始，并由信心跨出第一步。
最新人教版九年级上册数学同步作业课件第二十一章一元二次方程第8课时实际问题与一元二次方程(一)
4. 某校图书馆的藏书在两年内从5万册增加到7.2万册， 设平均每年藏书增长的百分率为x，则依据题意可得方 程：____5_(_1_+__x_)_2_=_7_._2________. 5. 某农产品以每袋400元的均价销售，为加快资金周转， 经销商对价格经过连续两次下调后，决定以每袋256元 的价格销售，则平均每次下调的百分率是___2_0_%___. 6. 某种商品原价是250元，经两次降价后的价格是160 元，则平均每次降价的百分率为___2_0_%___.
解：(1)设该快递公司投递的快递件数的月平均增长率 为x， 依题意，得10(1+x)2＝12.1， 解得x1＝0.1＝10%，x2＝-2.1(不合题意，舍去). 答：该快递公司投递的快递件数的月平均增长率为10%.
(2)12.1×(1+10%)＝13.31(万件)， 0.8×16＝12.8(万件). ∵13.31＞12.8， ∴在不增加人手的情况下，该公司不能完成今年9月份 的投递任务.
第二十一章 一元二次方程
第8课时 实际问题与一元二次方程(一)
【A组】
1. 某种商品连续两次降价后，每件商品价格由原来的
600元降至486元，若每次降价的百分率都是x，则可以
列出方程 A. 600(1-2x)＝486
( B) B. 600(1-x)2＝486
C. 600(1-x%)2＝486
D. 486(1+x)2＝600
谢谢
解：(1)设该商品平均每月的价格增长率为m. 依题意，得50(1+m)2=72. 解得m1=0.2=20%，m2=-2.2(不合题意，舍去). 答：该商品平均每月的价格增长率为20%.
(2)依题意，得(x-40)[188+(72-x)]=4 解得x1=60，x2=240. ∵商家需尽快将这批商品售出， ∴x=60. 答：x为60时，商品每天的利润可达到4 000元.
九年级数学上册第二章一元二次方程6应用一元二次方程第1课时几何运动问题课件新版北师大版
解：(1)设其中一个正方形的边长为 x cm，则另一个正方形的边长为(10－x) cm，
由题意，得 x2＋(10－x)2＝58，解得 x1＝3，x2＝7， ∴这两个正方形的周长分别为 4×3＝12(cm)，4×7＝28(cm)， ∴李明应该把铁丝剪成 12 cm 和 28 cm 的两段．
学习指南
★ 教学目标★
1．能分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并能解决现实情景中的实 际问题；
2．提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力； 3．认识方程是刻画现实世界的有效数学模型，增强数学应用意识．
★情景问题引入★
我国南宋数学家杨辉 1275 年提出的一个问题：“直田积(矩形面积)八百六 十四步(平方步)．只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少一十二步)，问阔及长各 几步”．答：“阔二十四步，长三十六步”．这里，我们不谈杨辉的解法，你 能用已学过的知识解决上面的问题吗？
解：有两种情况： (1)如答图 1，当蚂蚁在 AO 上运动时，设 x s 后两只蚂蚁 与 O 点组成的三角形面积为 450 cm2.
由题意，得12×3x(50－2x)＝450， 整理，得 x2－25x＋150＝0， 解得 x1＝15，x2＝10，经检验，都符合题意．
ห้องสมุดไป่ตู้
答图1 答图2
(2)如答图 2，当蚂蚁在 OB 上运动时，设 x s 后两只蚂蚁与 O 点组成的三角 形面积为 450 cm2.
∴当 x＝2 或 x＝4 时，以 P，Q，M，N 为顶点的四边形是平行四边形．
由题意，得12×3x(2x－50)＝450， 整理，得 x2－25x－150＝0， 解得 x1＝30，x2＝－5(舍去)． 则 10 s，15 s，30 s 后，两蚂蚁与 O 点组成的三角形的面积均为 450 cm2.
21.3 第3课时几何图形问题与一元二次方程 人教版数学九上同步课堂教案
第二十一章一元二次21.3实际问题与一元二次方程第3课时几何图形问题与一元二次方程一、教学目标1.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.2.能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.二、教学重难点重点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题．难点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型.三、教学过程【新课导入】[复习引入][课件展示] 问题：某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形土地上修建三条等宽的通道，使其中两条与AB平行，另外一条与AD平行，其余部分种花草，要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道宽应该设计为多少？设通道宽为x m，则由题意列的方程：【新知探究】[课件展示]要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21cm正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度？(精确到0.1cm)[分析]这本书的长宽之比9 ：7正中央的矩形长宽之比9 ：7 ，上下边衬与左右边衬之比9 ：7.解：设中央长方形的长和宽分别为9acm和7acm,由此得到上、下边衬与左、右边衬的宽度之比为：解：设上下边衬的高为9x cm，左右边衬宽为7x cm，依题意得：解方程得故上下边衬的宽度为：故左右边衬的宽度为：[提出问题]在长方形钢片上冲去一个长方形，制成一个四周宽相等的长方形框.已知长方形钢片的长为30cm，宽为20cm,要使制成的长方形框的面积为400cm2，求这个长方形框的框边宽. 解：设长方形框的边宽为xcm,依题意,得： 30×20–(30–2x)(20–2x)=400 得：x1＝20 ，x2＝5 当x=20时，20－2x＝－20(舍去)；当x＝5时，20－2x＝10答:这个长方形框的框边宽为5cm[课件展示]例1：如图，在一块宽为20m, 长为32m的矩形地面上修筑同样宽的两条道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540㎡,求道路的宽为多少？[思考]你有几种方法解决这个问题？方法一： 解：设道路的宽为x米，列方程得 （32－x）（20－x）=540 整理，得x2－52x＋100=0 解得x1=2，x2=50 当x=50时，32－x＝－18,不合题意，舍去. ∴取x=2 答：道路的宽为2米.[思考]你还有其他解法吗？[交流讨论] 如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540㎡,求这种方案下的道路的宽为多少？解：设道路的宽为x 米可列方程为(32-x)(20-x)=540[归纳总结] 我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）[课件展示] 例2：如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm.点P沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从点C向终点B以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使△PCQ的面积为9 cm²？ 解：若设出发x s后可使△PCQ的面积为9cm² 根据题意得AP= xcm,PC=(6-x)cm,CQ=2xcm，列方程 整理，得 .解得x1= x2=3答：点P，Q出发3s后可使△PCQ的面积为9cm².[变式训练] 如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80平方米？ 解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为x m， 则平行于住房墙的一边长(25-2x+1)m. 由题意得x(25－2x＋1)=80 解得x1＝5，x2＝8 当x=5时，26－2x=16>12 (舍去） 当x=8时，26－2x=10<12 答：所围矩形猪舍的长为10m,宽为8m.【课堂小结】【课堂训练】 1．客轮沿折线A-B-C从A出发经B再到C匀速航行,货轮从AC的中点D出发沿某一方向匀速直线航行,将一批物品送达客轮,两船若同时起航,并同时到达折线A-B-C上的某点E处,已知AB=BC=200海里, ∠ABC=90°,客轮速度是货轮速度的2倍.两船相遇之处E点(D ) A.在线段AB上; B.在线段BC上; C.在线段AC上; D.可在线段AB上,也可以在线段BC上; 2．在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为x cm，那么x满足的方程是（Ｂ） A．x2＋130x－1400=0 B．x2＋65x－350=0 C．x2－130x－1400=0 D．x2－65x－350=03.一块长方形铁板，长是宽的2倍，如果在4个角上截去边长为5cm的小正方形，然后把四边折起来，做成一个没有盖的盒子，盒子的容积是3000 cm3，求铁板的长和宽． 解：设铁板的宽为x cm,则有长为2x cm 5(2x－10)(x－10)=3000 解得x1＝25 x2＝－10(舍去） 所以2x＝50 答：铁板的长50cm,宽为25cm.［拓广探索］ 4．如图所示，一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以40海里/时的速度由南向北移动，台风中心海里的圆形区域（包括边界）都属台风区.当轮船到A处时，测得台风中心移到位于点A正南方向B处，且AB=100海里.若这艘轮船自A处按原速度继续航行，在途中会不会遇到台风？若会，试求轮船最初遇到台风的时间；若不会，请说明理由.解：若这艘轮船自A处按原速继续航行，在途中会遇到台风.设t时刻，轮船行驶到C点，台风中心运动到E点，如图所示：则可知AC＝20t，AE＝100－40t，根据勾股定理得：EC 2=AC 2+AE 2 当EC=20时，整理得出：由于求最初遇台风时间，因此t=1答：会受到影响，轮船最初遇到台风的时间是行驶1小时.【布置作业】【教学反思】与图形有关的问题是一元二次方程应用的常见题型，解决这类问题的关键是将不规则图形分割或补全成规则图形，找出各部分面积之间的关系，运用面积等计算公式列出方程；对图形进行分割或补全的原则：转化成为规则图形时越简单越直观越好.。
人教版初三数学上册一元二次方程的应用-几何动点问题
AB向终点B移动；点Q以1cm/s的速度沿CB向终点B移动，其中
一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ．求动点运动时间为
多少秒时△PBQ的面积为4 cm2．
A
B
C
课堂练习
1、 （变式2）在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P从点A开 始以1cm/s的速度沿AB边向点B移动,点Q从点B开始以2cm/s的速 度沿BC边向点C移动,如果P、Q分别从A、B同时出发，试求 △PQD的面积S与P、Q两个点运动的时间t之间的函数关系式。
A
B
C
AB=8cm 例1、如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AC=10cm，BC=6cm，现有两
个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以2cm/s的速度，
沿AB向终点B移动；点Q以1cm/s的速度沿BC向终点C移动，其中一
P\Q运动方向、起点、终点、速度
未知数时间x
点到终点，另一点也随之停止．连接PQ．求动点运动时间为多少
“动点的运动路程”，也是求线段问题代数化
的长度;
3）常找的数量关系——面积，何动态问题 卫霞
例1、如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AC=10cm，BC=6cm，现有两 个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以2cm/s的速度， 沿AB向终点B移动；点Q以1cm/s的速度沿BC向终点C移动，其 中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ．求动点运动时间 为多少秒时△PBQ的面积为4 cm2．
求动点运动时间为多少秒时pbq的面积为4cm课堂练习1变式2在矩形abcd中ab6cmbc12cm点p从点a开始以1cms的速度沿ab边向点b移动点q从点b开始以2cms的速度沿bc边向点c移动如果pq分别从ab同时出发试求pqd的面积s与pq两个点运动的时间t之间的函数关系式
北师大版数学九年级上册《建立一元二次方程解决几何问题》教案
北师大版数学九年级上册《建立一元二次方程解决几何问题》教案一. 教材分析北师大版数学九年级上册《建立一元二次方程解决几何问题》这一节的内容，是在学生已经掌握了平面几何的基本知识，一元二次方程的知识的基础上进行讲解的。
主要是让学生通过实际的几何问题，建立一元二次方程，并利用一元二次方程求解几何问题。
这部分内容不仅巩固了学生的一元二次方程的知识，而且培养了学生的几何直观能力和解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了平面几何的基本知识和一元二次方程的知识，对于通过建立方程解决几何问题的方法有一定的了解。
但是，对于如何准确地建立方程，以及如何灵活运用一元二次方程求解几何问题，可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要引导学生正确地建立方程，并通过实际问题，让学生体会一元二次方程在解决几何问题中的应用。
三. 教学目标1.让学生掌握通过几何问题建立一元二次方程的方法。
2.让学生能够利用一元二次方程求解几何问题。
3.培养学生的几何直观能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.如何准确地建立一元二次方程。
2.如何灵活运用一元二次方程求解几何问题。
五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过实际的几何问题，引导学生建立一元二次方程，并利用一元二次方程求解几何问题。
在教学过程中，注重学生的参与和思考，鼓励学生提出问题和解决问题。
六. 教学准备1.准备一些实际的几何问题，用于引导学生建立一元二次方程。
2.准备一些练习题，用于巩固学生的一元二次方程的知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际的几何问题，引导学生思考如何通过建立方程来解决问题。
例如，可以通过一个关于三角形面积的问题，让学生思考如何建立方程。
2.呈现（15分钟）通过PPT或者黑板，呈现几何问题的具体信息，并引导学生如何通过几何信息建立一元二次方程。
在这个过程中，可以解释一元二次方程的定义和性质，帮助学生理解。
3.操练（20分钟）让学生通过解决实际的几何问题，练习建立一元二次方程，并求解问题。
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第1章一元二次方程1.4 第3课时动态几何问题知识点 1 三角形中的动点问题1．教材“问题6”变式如图1－4－7，在△ABC中，AC＝50 m，BC＝40 m，∠C＝90°，点P从点A开始沿AC边向点C以2 m/s的速度匀速移动，同时，另一点Q由点C开始以3 m/s 的速度沿着射线CB匀速移动，当△PCQ的面积等于300 m2时，运动时间为( ) A．5秒 B．20秒C．5秒或20秒 D．不确定图1－4－7图1－4－82．如图1－4－ 8，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16 cm，AD为BC边上的高，动点P从点A出发，沿A→D的方向以 2 cm/s的速度向点D运动，四边形PDFE为矩形，其中点E在AC上，点F在BC上．设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动的时间为t s，则t＝________时，S1＝2S2.3．如图1－4－9，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 cm，AB＝10 cm，点P，Q同时由A，C两点出发，分别沿AC，CB方向向点C，B移动，它们的速度都是1 cm/s，经过几秒，P，Q 两点相距210 cm？并求此时△PCQ的面积．图1－4－9知识点 2 矩形中的动点问题4．如图1－4－10，在矩形ABCD中，AB＝16 cm，AD＝6 cm，图1－4－10动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以2 cm/s的速度向点B移动，到达点B后停止运动，点Q以1 cm/s的速度向点D移动，到达点D后停止运动，P，Q两点出发后，经过________s，线段PQ的长是10 cm.5．如图1－4－11，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，点E从点A出发，沿AB方向以1 cm/s的速度向点B移动，同时，点F从点B出发，沿BC方向以2 cm/s的速度向点C移动，当点F到达点C时，两点同时停止运动．经过几秒后△EBF的面积为5 cm2?图1－4－116. [2016·兴化校级期末] 如图1－4－12，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝12 cm，点P从点A出发沿AB边以1 cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC边以2 cm/s 的速度向点C移动，几秒钟后△DPQ的面积等于28 cm2?图1－4－127．如图1－4－13，甲、乙两物体分别从正方形广场ABCD的顶点B，C同时出发，甲由点C向点D运动，乙由点B向点C运动，图中点F，E分别对应甲、乙某时刻的位置，甲的速度为1 km/min，乙的速度为2 km/min，当乙到达点C时，甲随之停止运动．若正方形广场的周长为40 km.(1)几分钟后两物体相距210 km?(2)△CEF的面积能否等于7 km2？请说明理由．图1－4－138．如图1－4－14所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A ，B 沿顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程l(cm )与时间t(s )满足关系：l ＝12t 2＋32t(t≥0)，乙以4 cm /s的速度匀速运动，半圆的长度为21 cm .(1)甲运动4 s 后的路程是________ cm ；(2)求甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多长时间．图1－4－149．如图1－4－15所示，在平面直角坐标系中，四边形OACB 为矩形，OA ＝3 cm ，点C 的坐标为(3，6)，点P ，Q 分别从点O ，A 同时出发，若点P 从点O 沿OA 向点A 以1 cm /s 的速度运动，点Q 从点A 沿AC 以2 cm /s 的速度运动，当点P 运动到点A 时停止运动，点Q 也随之停止运动．(1)经过多长时间，△PAQ 的面积为2 cm 2?(2)△PAQ 的面积能否达到3 cm 2?(3)经过多长时间，P ，Q 两点之间的距离为17 cm?图1－4－1510．如图1－4－16，在边长为12 cm的等边三角形ABC中，点P从点A开始沿AB边向点B以每秒1 cm的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒2 cm的速度移动．若点P，Q分别从点A，B同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动．(1)经过6秒后，BP＝________ cm，BQ＝________ cm；(2)经过几秒后，△BPQ是直角三角形？(3)经过几秒后，△BPQ的面积为10 3 cm2?图1－4－16详解详析1．C [解析] 设运动时间为t s ．由题意知AP ＝2t ，CQ ＝3t ，∴PC ＝50－2t.∵12PC·CQ＝300，∴12(50－2t)·3t＝300，解得t ＝20或5，∴当运动时间为20 s 或5 s 时，△PCQ的面积为300 m 2.故选C .2．6 [解析] ∵Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝16 cm ，AD 为BC 边上的高，∴AD ＝BD ＝CD ＝8 2 cm .又∵AP＝2t cm ，∴S 1＝12AP·BD ＝12×2t×8 2＝8t(cm 2)，PD ＝(82－2t )cm .易知∠PAE＝∠PEA＝45°，∴PE ＝AP ＝2t cm ，∴S 2＝PD·PE＝[(8 2－2t)·2t]cm 2.∵S 1＝2S 2，∴8t ＝2(8 2－2t)·2t ，解得t ＝6或0(舍去)．故答案是6.3．解：设经过x s ，P ，Q 两点相距210 cm .由题意，得(8－x)2＋x 2＝(210)2， 解得x 1＝2，x 2＝6.当x ＝2时，S △PCQ ＝12×(8－2)×2＝6(cm 2)；当x ＝6时，S △PCQ ＝12×(8－6)×6＝6(cm 2)．答：经过2 s 或4 s ，P ，Q 两点相距2 10 cm ，此时△PCQ 的面积为6 cm 2.4．8或83 [解析] 连接PQ ，过点Q 作QM ⊥AB 于点M ，设经过x s ，线段PQ 的长是10 cm .∵点P 以2 cm /s 的速度向点B 移动，点Q 以1 cm /s 的速度向点D 移动， ∴PM ＝|16－3x|cm ，QM ＝6 cm .根据勾股定理，得|16－3x|2＋62＝102， 解得x 1＝8，x 2＝83.5．解：设经过t s 后△EBF 的面积为5 cm 2， 则12×2t×(6－t)＝5， 整理，得t 2－6t ＋5＝0，解得t 1＝1，t 2＝5. ∵0＜t≤4，∴t ＝5舍去．答：经过1 s 后△EBF 的面积为5 cm 2.6．解：设x s 后△DPQ 的面积等于 28 cm 2，则△DAP，△PBQ ，△QCD 的面积分别为12×12x，12×2x(6－x)，12×6×(12－2x)． 根据题意，得6×12－12×12x－12×2x(6－x)－12×6×(12－2x)＝28，即x 2－6x ＋8＝0，解得x 1＝2，x 2＝4.答：2 s 或4 s 后△DPQ 的面积等于28 cm 2. 7．解：(1)设x min 后两车相距2 10 km . ∵正方形广场的周长为40 km ，∴正方形广场的边长为10 km .由甲运动到点F ，乙运动到点E ，可知FC ＝x ，EC ＝10－2x ， 在Rt △ECF 中，x 2＋(10－2x)2＝(210)2， 解得x 1＝2，x 2＝6.当x ＝2时，FC ＝2，EC ＝10－4＝6＜10，符合题意；当x ＝6时，FC ＝6，EC ＝10－12＝－2＜0，不符合题意，舍去． 答：2 min 后，两物体相距210 km .(2)△CEF 的面积不能等于7 km 2.理由如下：设t min 后△CEF 的面积等于7 km 2.∵甲的速度为1 km /min ，乙的速度为2 km /min ， ∴CF ＝t ，CE ＝10－2t ，∴12·t·(10－2t)＝7，整理，得t 2－5t ＋7＝0.∵(－5)2－4×7＜0，∴此方程无实数根，∴△CEF 的面积不能等于7 km 2. 8．解：(1)当t ＝4时， l ＝12t 2＋32t ＝8＋6＝14. 故答案为14.(2)由图可知，甲、乙第一次相遇时走过的路程和为一个半圆的长度， 故12t 2＋32t ＋4t ＝21， 解得t ＝3或t ＝－14(不符合题意，舍去)．答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了3 s .9 解：(1)设经过x s ，△PAQ 的面积为2 cm 2. 由题意，得12(3－x)·2x＝2，解得x 1＝1，x 2＝2.所以经过1 s 或2 s ，△PAQ 的面积为2 cm 2.(2)设经过y s ，△PAQ 的面积为3 cm 2. 由题意，得12(3－y)·2y＝3，即y 2－3y ＋3＝0，在此方程中b 2－4ac ＝－3＜0， 所以此方程没有实数根，所以△PAQ 的面积不能达到3 cm 2.(3)设经过t s ，P ，Q 两点之间的距离为17 cm ， 则AP ＝(3－t)cm ，AQ ＝2t cm .由勾股定理，得(3－t)2＋(2t)2＝(17)2，解得t 1＝2，t 2＝－45(不符合题意，舍去)．所以经过2 s ，P ，Q 两点之间的距离为17 cm .10． (1)6 12(2)设经过x 秒后，△BPQ 是直角三角形． ∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ＝12 cm ，∠A ＝∠B＝∠C＝60°. 由题意，知BP ＝(12－x)cm ，BQ ＝2x cm . ①当∠PQB＝90°时，∠BPQ ＝30°， ∴BP ＝2BQ ，即12－x ＝2×2x， ∴x ＝125.②当∠QPB＝90°时，∠PQB ＝30°， ∴BQ ＝2BP ，∴2x ＝2(12－x)，∴x ＝6. 即经过6秒或125秒后，△BPQ 是直角三角形．(3)设经过y 秒后，△BPQ 的面积为10 3 cm 2.如图，过点Q 作QD⊥AB 于点D ，∴∠QDB＝90°，∴∠DQB ＝30°，∴DB ＝12BQ ＝y cm .在Rt △DBQ 中，由勾股定理，得DQ ＝3y cm ， ∴（12－y ）3y2＝10 3，解得y 1＝10，y 2＝2.∵当y ＝10时，2y ＞12，故舍去，∴y ＝2. 答：经过2秒后，△BPQ 的面积为10 3 cm 2.。