排队论-练习

例6、某电视台配有一名电视机修理工，来此维修的 顾客到达为poisson流，平均到达时间为20分钟， 修理时间服从指数分布，平均时间为15分钟，求 （1）顾客来维修不必等待的概率； （2）电视台内要求维修电视机的顾客数的平均数； （3）要求维修电视机的顾客的平均逗留时间； （4）如果（3）中的逗留时间超过1.25小时，则电 视台将考虑增加设备及人员，问平均到达率提高 多少时才考虑这样做？
由于 L L 1 . 603 ，这意味着增加一个泊位 1 2 可平均增加1.603条船。 12<1.603×8=12.824；
L 2 L 3 0 . 087
12>0.087×8=0.696 该公司应建两个泊位。
dx e
( ) x
15
|15 0 . 233

例2、某电话亭有一部电话，来打电话的顾客数服 从Poisson分布，相继两人到达间隔的平均时间为 10分钟，通话时间服从指数分布，平均通话时间为 3分钟。求 （1）顾客到达电话亭要等待的概率。 （2）等待打电话的平均顾客数。 （3）当一个顾客至少要等3分钟才能打电话时，电 信局打算增设一台电话机，问平均每分钟到多少顾 客，装第二台电话机才合算？ （4）等10分钟以上才能打上次电话的概率是多少？ （5）第二台电话机安装后，顾客的平均等待时间是 多少？
解3：λ=4人/小时；μ=6人/小时；ρ=2/3；c= 5； （1）π0=0.365
e (1 c ) (1 0 ) 3 .8 0 8
N
（2） L

1

( k 1) 1
k 1
k 1
1 . 423
Lq L
e
0 . 788
由此得到 1 / 6
Wq=ρW
P (W T )

T
( )e
( )x
dx
( )x
P (W q T )

10

( )e
( ) x
dx
T
（4）打一次电话要等10分钟以上的概率是
P ( T 10 ) ( )e dx
Ls W s
L Lq Ls
单位时间内进入系统的平均顾客数量 单位时间内接受服务的平均顾客数量
系统中j个顾客的概率
j


( s )
j
0
j！
( s )
j 0 js
( j 1, 2 , , s )

1 稳定状态
s

j
( j s , s 1, s 2 , )
解6： λ=0.05人/分钟；μ=1/15=0.067人/分钟；ρ=0.75。 （1）顾客不必等待的概率： 0 1 0 .2 5 （2）电视台内要求维修电视机的顾客数的平均数:
L

1

0 .8 1 0 .8
3
（3）要求维修电视机的顾客的平均逗留时间:
W
L

60
=0.03
（5）第二台电话机安装后，s=2， 0 0 .7 4 ， 顾客的平均等待时间
Wq
Lq


(s )
s
s !(1 )
2
0 =0.069(分钟)
例3、咨询中心有一位咨询工作人员，每次咨询一 个人，另外有4个座位供前来咨询的人等候。某人到 来发现没有座位，就会离开。前来咨询者到达服从 Poisson流，到达的平均速率为4人/小时。咨询人 员的平均咨询时间为10分钟/人。咨询时间服从指数 分布。求 （1）咨询者到达不用等就咨询的概率； （2）咨询中心的平均人数以及等待咨询的平均人 数； （3）咨询者来咨询中心一次平均花费的时间以及 平均等待的时间； （4）咨询者到达后因客满而离开的概率；

1 0 . 67
（5） W
1

10
（6）
L q L 0 . 268
Wq
（7）
(1 )
4
（8） 用 T 表示顾客在系统中逗留的时间，则 T 服从参数为μ-λ的指数分布，于是
P ( T 15 )


( )e
( ) x
解5：设加油站有s台加油设备，则有λ=0.2辆/分钟； μ=0.25辆/分钟；ρ=0.8/k。 在s=2时，
0 (1
1 2! (

) .
2
2
2 2
)
1
0 .4 3
Wq
(1 )
2
.
(s ) k!
0 0 .7 6 2
所以，加油站只需增加一台加油设备。此时加油站 没有汽车的概率为：0.43。
16
（3）汽车等待加油时间超过2分钟的概率，则
P (W q 2 )


( )e
( ) x
dx 0 . 72
2
例5、在上题中，若每辆汽车平均等待加油时间 减少至2分钟以下，则加油站还需增加几台加油设 备？在增加设备的情况下，整个加油站没有汽车 加油的概率是多少？
（4）由题意：W>1.25X60=75分钟。则
W 1


Байду номын сангаас
1 1 /15
75
0 . 053 人/分钟。
例7、某航运局拟建1个港口，根据资料货船按 Poisson流到达，平均每小时到达21艘船，卸货 时间服从指数分布，平均卸货时间为2分钟。每 艘船获利为8万元，每建一个泊位需投资12万元， 问建设多少个泊位合理？
解7：此问题可看成多服务台、容量无限的问题， 现求需泊位数s。 λ=21艘/小时,μ=30艘/小时，
（1）s=1时， 21 / 30 0 . 7 ； 0 1 0 .3
系统内货船的平均数为 L 1

1
2 .3
（2）s=2时， 21 /( 2 30 ) 0 . 35 系统内货船的平均数为 L 2


P ( j s) s
例1、某理发店只有一个理发师，来理发的顾客按 Poisson分布到达，平均每小时4人，理发时间服 从指数分布，平均需6分钟，求 （1）理发店空闲时间的概率； （2）店里有3个顾客的概率； （3）店里至少有1个顾客的概率； （4）在店内顾客的平均数； （5）在店内平均逗留的时间； （6）等待服务的顾客平均数； （7）平均等待服务时间； （8）必须在店内消耗15分钟以上的概率。
解1：λ=4/60=0.067人/分；μ=1/6人/分；ρ=0.4。 （1）π0=1-ρ=1-0.4=0.6； （2） 3 (1 ) 0 .0 3 8 4
3
（3） P ( n 1) 1 P ( n 1) 1 0 1 (1 ) 0.4 （4） L
解2：λ=0.1人/分钟，μ=0.3333人/分钟，则 ρ=0.3 （1）顾客必须等待的概率为： P(n≥1)=1-P(n<1)=1-P0=1-(1-ρ)=ρ。
L （2） q

2
1
(1 )
等待打电话的平均顾客数=0.13人

（3） q W

( )
3
其中 1 / 3（人/分）
（3） W q
Lq
e
5
0 . 207
W
L
e
0 .3 7 4
（4） 5 0 0 .0 4 8
例4、汽车平均以每分钟一辆的到达率去某加油 站加油，到达过程为Poisson分布过程。该加油 站只有一台加油设备，加油时间服从指数分布， 且平均需4分钟，求 （1）加油站内平均汽车数；
； 0 0 .4 8
2 2
(s ) s !(1 )
0 0 .7 9 7
（3）s=3时， 21 /( 3 30 ) 0 . 23 ； 0 0 .4 4
系统内货船的平均数为 L 3
(s )
3
s !(1 )
2
0 0 .7 1 0
排队论
例
题
系统中j个顾客的概率
系统中没有顾客的概率 系统中平均顾客的数量 正在排队的平均顾客数量

j

j
(1 )
0 1
L



1

Lq

2
1


2
( )
正在接受服务的平均顾客数量
Ls
L W
Lq W q
1
s! s

0
系统中没有顾客的概率

s 1

( s ) i！
i

( s )
s
i0
s ! (1 )
s 0
所有服务台均被占用的稳态概率
P ( j s)
( s )
s ! (1 )
Lq
P ( j s) 1
Ls
L L q

Wq
Lq
（2）每辆汽车平均等待加油时间；
（3）汽车排队等待加油时间超过2分钟的概率是 多少？
解4：M/M/1模型 λ=0.2辆/分钟；μ=0.25辆/分钟；ρ=0.8。 （1）加油站内平均汽车数
L

1

0 .8 1 0 .8
4
（2）每辆汽车平均等待加油时间
Wq
(1 )