过渡教材(学案)

第一节 乘法公式、因式分解重点：和（差）的立方公式，立方和（差）公式及应用，十字相乘法，分组分解法，试根法 难点：公式的灵活运用，因式分解教学过程： 一、 乘法公式 回顾初中常用的乘法公式：平方差公式=-22b a ______________________ 完全平方公式=+2)(b a ______________________（从项的角度变化）那三数和的平方公式呢？=++2)(c b a ______________________ （从指数的角度变化）看看和与差的立方公式是什么？如=+3)(b a ______________________ 能用学过的公式推导吗？（平方―――立方） 那=-3)(b a ______________________ ▲符号的记忆，和――差 从代换的角度看问：能推导立方和、立方差公式吗？即（ ）（ ）＝33b a ±▲符号的记忆，系数的区别例1：（1）)1)(1)(1)(1(22+++--+x x x x x x（2）已知,012=-+x x 求证：x x x 68)1()1(33-=--+▲注意观察结构特征，及整体的把握。

二、因式分解：将一个多项式化成几个整式的积的形式，与乘法运算是互逆变形。

初中学过的方法有：提取公因式法，公式法（平方差、完全平方、立方和、立方差等） （1）十字相乘法试分解因式：=++232x x ________________要将二次三项式x 2 + px + q 因式分解，就需要找到两个数a 、b ，使它们的积等于常数项q ，和等于一次项系数p , 满足这两个条件便可以进行如下因式分解，即x 2+ px + q = x 2+(a + b)x + ab = (x + a)(x + b).用十字交叉线表示a +b （交叉相乘后相加）若二次项的系数不为1呢？)0(2≠++a c bx ax ，如：3722+-x x ＝____________整理：对于二次三项式ax 2+bx+c （a ≠0），如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即a=a 1a 2，常数项c 可以分解成两个因数之积，即c=c 1c 2，把a 1，a 2，c 1，c 2排列如下：a 1 +c 1a 2 +c 2a 1c 2 + a 2c 1 = a 1c 2 + a 2c 1按斜线交叉相乘，再相加，得到a 1c 2+a 2c 1，若它正好等于二次三项式ax 2+bx+c 的一次项系数b ，即a 1c 2+a 2c 1=b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式a 1x+c 1与a 2x+c 2之积，即 ax 2+bx+c=（a 1x+c 1）（a 2x+c 2）。

〔按行写分解后的因式〕 十字相乘法关键：（1）____________；（2）________________;（3）_________________________例2：因式分解：（1）322-+x x (2)5762++-x x（3）22865y xy x -+ （4）2)322)((----y x y x（2）分组分解法:____________________________________ 分解yn ym xn xm +++，观察；得：▲如何适当分组是关键（尝试，结构），分组的原则，目的是什么？分组后可以提取公因式，或；利用公式练习：因式分解（1）x x x 33923+++ （2）224)1(4y xy x +-+（3）433-+x x归纳：如何选择适当的方法将下列各式分解因式（1）652-+x x ； （2）652+-x x ； （3）652++x x ；（4）652--x x （5）2223a ax x -+； （6）2233xy y x y x +--；（7）b a ab b a +-+-2222 （8）646-a ；（9）a x a x ++-)1(2第二节 二次函数及其最值重点：二次函数的三种表示形式，韦达定理，给定区间的最值问题 难点：给定区间的最值问题一、韦达定理（二次方程根与系数之间的关系）二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根为21,x x ，则_________,__________2121==+x x x x作用：（1）已知方程，得出根与系数的关系（2）已知两数21,x x ，构造出以两数为根的一元二次方程（系数为1）：________________________ 例1：21,x x 是方程05322=--x x 的两根，不解方程，求下列代数式的值； ①2221x x + ②||21x x - ③3231x x +二、二次函数的三种形式(1) 一般式：__________________(2) 顶点式：__________________，其中顶点坐标为_____________练：求下列函数的最值。

（1）542+-=x x y （2）8632-+=x x y （3）4322+--=x x y除了上述两种表示方法外，我们还可以借助图像与x 轴的交点，得出另一种表示方法；函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像与x 轴公共点的横坐标就是方程02=++c bx ax 的根，那它根的情况由谁决定 ，（判别式），当方程有两根21,x x 时，由韦达定理可知ac x x ab x x =-=+2121,，所以_______________________________________2=++=c bx ax y ，这是二次函数的交点式。

（3）交点式：________________________▲根据题目所给条件，适当选择三种形式。

例2：分别求下列一元二次函数的解析式。

（1） 已知二次函数的图象过点（－3，0），（1，0），且顶点到x 轴的距离等于2；（2） 已知二次函数的对称轴为x ＝1，最大值为15，图象与x 轴有两个交点，其横坐标的立方和为17；三、二次函数在给定范围内的最值问题例3、已知函数322+--=x x y ，当自变量x 在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x 的值: (1)2-≤x ; (2)2≤x ; (3)12≤≤-x ; (4)30≤≤x1、 已知某二次函数的图象的顶点为A （2，18），它与x 轴两个交点之间的距离为6，求此二次函数的解析式。

2、 如图，用长为18m 的篱笆（虚线部分），（1） 设矩形的一边为x （m ），面积为y （2m ），求y 关于x 式，并写出自变量x 的取值范围；（2） 当x 为何值时，所围苗圃的面积最大，最大面积是多少第三节比例关系，性质及其应用教学过程：4个非零数a ，b ，c ，d 成比例，即d c b a ::=，也可写成dc b a =，其中a ，d 叫做比例外项，b ，c 叫做比例内项，d 叫做a ，b ，c 的第四比例项。

特别的当比例内项相等时，即c b b a ::=，（或cb b a =），此时b 叫做ac 的比例中项。

一、比例的性质 1、 基本性质 __________⇔=dc ba ，比例的两个外项的乘积等于两个内项的乘积。

特别地，____________⇔=c b b a2、 更比性质 当abcd 0≠时，⇔⇔⇔⇔=________________________________dc b a比例式有多种变形形式：内项和外项可以相应的交换位置（注意是对应位置，即交叉相乘相等出现的式子是一样的）3、合比性质_____________⇒=d c b a 证明：__________________4、等比性质________________________)0(⇒≠+++===n d b nm dc b a（证明：__________________________________________________________）例1：(1)已知83=-bb a ，求证：811=ba（2）已知)0(≠±=d b dc ba ，求证：db d b ca c a -+=-+（3）已知,4,3=++===f d b fe dc ba 求e c a ++的值。

二、 比例性质的应用 （一）平行线等分线段定理____________________________________________________推论：___________________________________________________例2：已知三角形ABC 中，AD 是角平行线，求证：ACAB DCBD =▲三角形内角平分线性质定理： _____________________________________________练习：已知在∆ABC 中，AD 是角平分线，AB ＝5cm ，AC ＝4cm ，BC ＝7cm ，则BD=_____cm.1、根据下列各式，求b a :的值。

（1）83=+bb a （2）75=-ab a2、已知,2===fe dc ba 则fd be c a 3232+-+-＝_______________。

3、已知在△ABC 中，AB ＝6,BC ＝8,AC ＝7，MN//AC ，分别交AB ，BC 于点M ，N ，且AM ＝BN ，求MN 的长。

4、已知AD 是△ABC 的角平分线，BH ⊥AD ，垂足为H ，CK ⊥AD ，垂足为K ，求证：DKDH ACAB =第四节一、Rt∆的射影定理及其应用①Rt∆ABC中，CD是斜边AB上的高，图中线段AC、BC、AD、BD、CD之间有些怎样的关系呢？（比如等量关系、大小关系、比例关系等）让学生探究得出以下结论（1）____________；（2）____________________（3）________________；（4）________________ 其中（1）（2）（3②引入射影的概念（引垂直）（1）点在直线上的正射影（2）线段在直线上的正射影③射影定理：_____________________________________________________④射影定理的应用：求Rt∆的边长、面积等有关量，研究相似、比例式的问题练习：圆O上一点C在直径AB上的射影为D，AD＝2,DB＝8，求CD、AC和BC的长。

例1:∆ABC中，顶点C在AB边上的射影为D，且DBADCD⋅=2，求证：∆ABC是直角三角形。

二、常见的轨迹（1）到两定点距离相等的点的轨迹是____________________________________（2）到一个定点的距离等于定长的点的轨迹是____________________________________（3）与一条直线的距离等于定长的点的轨迹是____________________________________（4）与两条平行直线距离相等的点的轨迹是____________________________________（5）与相交两直线距离相等的点的轨迹是____________________________________（6）与已知线段两端点所连线段相互垂直的点的轨迹是____________________________________三、三角形的“心”（结合图形）（1）内心―――_________的圆心―――圆心到_________的距离相等――－三条_________的交点（2）外心―――_________的圆心――－圆心到_________的距离相等―――三条_________的交点可得▲Rt△的外心就是_________，锐角三角形的外心在_________，而钝角三角形的外心在_________（3）重心―――_________的交点―――重心的性质________________________（4）垂心―――－_________的交点Rt△的垂心就是_________，锐角三角形的垂心在_________，而钝角三角形的垂心在_________要求：清楚上述“四心”对应的性质，从形的角度理解和记忆，并能运用性质解题问：等腰三角形的四心有何特殊？__________________那等边三角形呢？_______________________________例2：（1）已知直角三角形的斜边长为c，两直角边长分别为a，b，则内切圆的半径为r＝____________ （2）在△ABC中，AB＝AC＝5,BC＝6，求：①△ABC内切圆的半径；②外接圆的半径。