九年级数学下册知识点总结--人教新课标版

九年级数学下册知识点总结 第二十六章 二次函数

1、二次函数定义：

一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数。自变量的取值范围是全体实数。 ★易错点：

二次函数和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c

，可以为零．二次函数的定义

域是全体实数．

2、二次函数2y ax bx c =++的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，

，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 3、二次函数各种形式之间的变换

二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2

的形式，其中

a

b a

c k a b h 4422

-=-=，.

二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ①2ax y =；②()k h x a y +-=2

；③c bx ax y ++=2

二次函数解析式的表示方法

一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；

4、二次函数2y ax bx c =++图象的画法

五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，

、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，

，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. ★重难点：画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.

二次函数2

ax y =的性质

二次函数()2

y a x h k =-+的性质

5、抛物线

的三要素：开口方向、对称轴、顶点. a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0

a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.

对称轴：平行于y 轴（或重合）的直线记作2b

x a

=-.特别地，y 轴记作直线0=x .

顶点坐标：），（a

b a

c a b 4422

--

6、求抛物线的顶点、对称轴的方法

公式法：a b ac a b x a c bx ax y 44222

2

-+

⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a

b

x 2-=.

配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2

的形式，得到顶

点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.

运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 7、用待定系数法求二次函数的解析式

一般式：c bx ax y ++=2

.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. 顶点式：()k h x a y +-=2

.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 8、直线与抛物线的交点

y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).

与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2

有且只有一个交点

(h ,c bh ah ++2

).

9、抛物线与x 轴的交点

二次函数c bx ax y ++=2

的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二

次方程02

=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；

②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离.

10、一次函数与二次函数的交点

一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交

点，由方程组 2

y kx n

y ax bx c =+⎧⎨=++⎩

的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.

11、抛物线与x 轴两交点之间的距离

若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程

02=++c bx ax 的两个根，故

a

c

x x a b x x =

⋅-=+2121,()

()

a a ac

b a c

a b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=--=

-=

-=44422

212

212

2121

12、二次函数图象的平移

平移步骤：

⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2

y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，

； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，

处，具体平移方法如下：

【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位

★重难点：平移规律

在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”．

13、实际问题与二次函数

在日常生活、生产和科研中，求使材料最省、时间最少、效率最高等问题，有些可归结为求二次函数的最大值或最小值。

先用配方法或公式法将一元二次函数变形，然后求最值。

★中考常考题型：