江苏2018年高中数学竞赛预赛试题

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2018数学联赛试题和答案

2018年高中数学联赛江苏赛区试题一、填空题<本题共10小题，每小题7分，要求将答案直接写在横线上）1．复数．答案：－82．已知直线是圆地一条对称轴，则实数答案：3．某班共有30名学生，若随机抽查两位学生地作业，则班长或团支书地作业被抽中地概率是<结果用最简分数表示）．答案：4．已知，则．答案：5．已知向量a，b满足，则以向量与表示地有向线段为邻边地平行四边形地面积为．答案：6．设数列{a n}地前n项和为S n．若{S n}是首项及公比都为2地等比数列，则数列{a n3}地前n项和等于．答案：7．设函数．若f(a>＝f(b>，且0＜a＜b，则ab地取值范围是．答案：(0,2>8．设f (m>为数列{a n}中小于m地项地个数，其中，则答案：69．一个等腰直角三角形地顶点分别在底边长为4地正三棱柱地三条侧棱上，则此直角三角形地斜边长是．答案：4错误!10．已知m是正整数，且方程有整数解，则m所有可能地值是．答案：3,14,30二、解答题<本大题共4小题，每小题20分，共80分）11．已知圆与抛物线有公共点，求实数h地取值范围．解：设公共点<cosθ，sinθ），代入抛物线方程，AB P得因为，所以12．设．若时，，且在区间上地最大值为1，求地最大值和最小值．解：由题意函数图象为开口向上地抛物线，且在区间上单调递增，故有，从而且．若有实根，则，在区间有即消去c ，解出即，这时，且．若无实根，则，将代入解得．综上．所以，单调递减故．13．如图，P 是内一点． <1）若P 是地内心，证明：； <2）若且，证明：P 是地内心．证明：<1）14．已知是实数，且存在正整数n 0，使得为正有理数．证明：存在无穷多个正整数n，使得为有理数．证明：设，其中p，q为互质地正整数，则．设k为任意地正整数，构造，则．申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途.。

2018年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)

2018年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。

2018A1、设集合{}99,,3,2,1 =A ，集合{}A x x B ∈=|2，集合{}A x x C ∈=2|，则集合C B 的元素个数为◆答案：24★解析：由条件知，{}48,,6,4,2 =C B ，故C B 的元素个数为24。

2018A 2、设点P 到平面α的距离为3，点Q 在平面α上，使得直线PQ 与平面α所成角不小于030且不大于060，则这样的点Q 所构成的区域的面积为 ◆答案：π8★解析：设点P 在平面α上的射影为O ，由条件知⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=∠3,33tan OQ OP OQP ，即[]3,1∈OQ ，所以区域的面积为πππ81322=⨯-⨯。

2018A 3、将6,5,4,3,2,1随机排成一行，记为f e d c b a ,,,,,，则def abc +是偶数的概率为 ◆答案：109★解析：先考虑def abc +为奇数时，abc ，def 一奇一偶，①若abc 为奇数，则c b a ,,为5,3,1的排列，进而f e d ,,为6,4,2的排列，这样共有3666=⨯种；②若abc 为偶数，由对称性得，也有3666=⨯种，从而def abc +为奇数的概率为101!672=，故所求为1091011=-2018A 4、在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 1:2222=+by a x （0>>b a ）的左右焦点分别是21,F F ，椭圆C 的弦ST 与UV 分别平行于x 轴和y 轴，且相交于点P ，已知线段PT PV PS PU ,,,的长分别为6,3,2,1，则21F PF ∆的面积为◆答案：15★解析：由对称性，不妨设点P ()00,y x 在第一象限，则220=-=PSPT x ，120=-=PUPV y即()1,2P 。

进而可得()2,2U ，()1,4S ，代入椭圆方程解得：202=a ，52=b ，从而151152212102121=⨯⨯=⨯=∆y F F S F PF 。

2018年全国高中数学联赛一试A卷试题及参考答案评分标准

1,
3 2
,
2,,99 2 Nhomakorabea2,
4,
6,,
48
，
故 B C 的元素个数为 24 ． 2. 设点 P 到平面的距离为 3 ，点 Q 在平面上，使得直线 PQ 与所成
角不小于 30 且不大于 60 ，则这样的点 Q 所构成的区域的面积为
．
答案：8 ．
解：设点 P 在平面上的射影为 O ．由条件知，OP OQ
数 x 1 3 满足①、②，故 z 1满足条件．
若 b 0 ，则由②知 x {0, 2} ，但显然 x 0 不满足①，故只能是 x 2 ，代
入①解得 a 1 ，进而 b 15 ，相应有 z 1 15 i ．
4
4
4
综上，满足条件的所有复数 z 之和为1 1 15 i 1 15 i 3 ．
2
取 AC 的中点 M ，则 OM AC ，结合①知 OM BO ，且 B 与 A 位于直线 OM 的同侧．于是 cosBOC cos (90 MOC) sin MOC MC 1 ．
OC 4
在 BOC 中，由余弦定理得 BC OB2 OC2 2OBOC cosBOC 10 ，
．
答案： 15 ．
解：由对称性，不妨设 P(xP, yP ) 在第一象限，则由条件知
xP

1 PT
2

PS 2,
yP
1 PV
2

PU
1，
1
即 P(2, 1) ．进而由 xP PU 1, PS 2 得U (2, 2), S(4, 1) ，代入椭圆 C 的方程知
4

2018年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)

{}{}{}{}∈⎢,3⎥，即OQ∈[1,3]，6⨯6=36种，从而abc+def为奇数的概率为722018年全国高中数学联合竞赛一试（A卷）一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。

2018A1、设集合A=1,2,3, ,99，集合B=2x|x∈A，集合C=x|2x∈A，则集合B C 的元素个数为◆答案：24★解析：由条件知，B C=2,4,6, ,48，故B C的元素个数为24。

2018A2、设点P到平面α的距离为3，点Q在平面α上，使得直线PQ与平面α所成角不小于300且不大于600，则这样的点Q所构成的区域的面积为◆答案：8π★解析：设点P在平面α上的射影为O，由条件知tan∠OQP=OP⎡3⎤OQ⎣3⎦所以区域的面积为π⨯32-π⨯12=8π。

2018A3、将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为a,b,c,d,e,f，则abc+def是偶数的概率为◆答案：9 10★解析：先考虑abc+def为奇数时，abc，def一奇一偶，①若abc为奇数，则a,b,c为1,3,5的排列，进而d,e,f为2,4,6的排列，这样共有6⨯6=36种；②若abc为偶数，由对称性得，也有119=，故所求为1-=6!1010102018A4、在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:x2y2+a2b2=1（a>b>0）的左右焦点分别是F,F，12椭圆C的弦ST与U V分别平行于x轴和y轴，且相交于点P，已知线段PU,PS,PV,PT的长分别为1,2,3,6，则∆PF F的面积为12★解析：由对称性，不妨设点 P x , y在第一象限，则 x = PT -PS 即 P 2,1 。

进而可得 U2,2 ， S 4,1 ，代入椭圆方程解得： a 2 = 20 ， b 2 = 5 ，从而 2 2[ ]◆答案： π - 2,8 - 2π ][ ] [ ][ ] 所以 π - 2 < x < 8 - 2π ，即不等式的解集为 π - 2,8 - 2π ] ⎩bx 2 - 2bx = 0◆答案： 15()2 = 2 ，y 0 =PV - PU2= 1( ) ( ) ( )S ∆PF 1F2=1 1F F ⨯ y = ⨯ 2 15 ⨯ 1 = 15 。

高三数学-2018年全国高中数学联合竞赛一试试卷及答案(word版) 精品

2018年全国高中数学联合竞赛一试试卷（考试时间：上午8：00—9：40）一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1. 如图，在正四棱锥P −ABCD 中，∠APC =60°，则二面角A −PB −C 的平面角的余弦值为（） A. 71 B. 71- C. 21 D. 21- 2. 设实数a 使得不等式|2x −a |+|3x −2a |≥a 2对任意实数x 恒成立，则满足条件的a 所组成的集合是（） A. ]31,31[- B. ]21,21[- C. ]31,41[- D. [−3，3] 3. 将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。

甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b 。

则使不等式a −2b +10>0成立的事件发生的概率等于（） A. 8152 B. 8159 C. 8160 D. 8161 4. 设函数f (x )=3sin x +2cos x +1。

若实数a 、b 、c 使得af (x )+bf (x −c )=1对任意实数x 恒成立，则ac b cos 的值等于（） A. 21- B. 21 C. −1 D. 1 5. 设圆O 1和圆O 2是两个定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹不可能是（）6. 已知A 与B 是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A 与B 的元素个数相同，且为A ∩B 空集。

若n ∈A 时总有2n +2∈B ，则集合A ∪B 的元素个数最多为（）A. 62B. 66C. 68D. 74二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7. 在平面直角坐标系内，有四个定点A (−3，0)，B (1，−1)，C (0，3)，D (−1，3)及一个动点P ，则|PA |+|PB |+|PC |+|PD |的最小值为__________。

8. 在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB =EF =1，BC =6，33=CA ，若2=⋅+⋅，则与的夹角的余弦值等于________。

2018年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案

……………………… 20 分
设 y2＝ 1－x2＋12( 2－1)在［0，1］中的两端点分别为 A，B，则 A，B 的坐标分别为(0，12( 2＋1))，(1，12( 2－1))，因此直线 AB 的方程为 y＝－x＋12( 2＋1)，而点 D(0，－12( 2－1))到直线 AB 的距离为 1，所以线段 AB 与四分之一圆周相切(如图)，由此可见，对任意 x∈［0，1］，使 y3≤y1≤y2 恒成立的唯一线段是 y＝－x＋12( 2＋1)，
若{bn}是等比数列，且 a2＋b2＝108，
an+1 ，n为偶数．
则数列{an}的通项公式为
．
答案：an＝9n．
解：因为{bn}是等比数列，所以其子列{b2n－1}也成等比数列，而 b2n－1＝an，故{an}也是等比数列，设其公比为 q．
又 b1＝a1，b2＝ a3，b3＝a2，得 a3＝a1a2，即 a1＝q．
x∈［0，1］．
所以 a＝－1，b＝12( 2＋1)．
……………………… 40 分
二、（本题满分 40 分）
如图，大圆和小圆为同心圆，其圆心为 O．过大圆上一点 A 作小圆的切线 AC，切点为
B，点 C 在大圆上，D 为 AB 的中点．△ACE 的顶点 E 在小圆上，AE 交小圆于 F．设 CE，
2．在平面直角坐标系
xOy
中
，
若
双
曲
线
x2 a2
－
y2 b2
＝
1
(
a
＞
0
，
b
＞
0
)
的
渐
近
线
与
圆 x2＋y2－6y＋5＝0 没有公共点，则该双曲线离心率的取值范围是

2017-2018年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题及答案(20200609100016)

2017-2018年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题（4月20日8:00至10:00）一．填空题（本大题共10小题，每小题7分，共70分）1．若2x ≥，则函数1()1f x x x 的最小值是．2．已知函数()e x f x ．若()2f a b ，则(3)(3)f a f b 的值是．3．已知数列n a 是各项均不为0的等差数列，公差为d ，n S 为前n 项和，且满足221n n a S ，*n N ，则数列n a 的通项n a ．4．若函数2223,0,()2,0x x x f x x ax x ≥是奇函数，则实数a 的值是．5．已知函数10()lg ||3f x x ．若关于x 的方程2()5()60f x f x 的实根之和为m ，则()f m 的值是．6．设、都是锐角，且5cos 5，3sin()5，则cos 等于．7．四面体ABCD 中，3AB ，5CD ，异面直线AB 和CD 之间的距离为4，夹角为o 60，则四面体ABCD 的体积为．8．若满足3ABC ，3AC ，BC m 的ABC △恰有一解，则实数m 的取值范围是．9．设集合1,2,,8S ，A ，B 是S 的两个非空子集，且A 中的最大数小于B 中的最小数，则这样的集合对(,)A B 的个数是．10．如果正整数m 可以表示为224x y (x ，y Z )，那么称m 为“好数”．问1，2，3，…，2017-2018中“好数”的个数为．二．解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）11．已知a ，b ，c 为正实数，x y z a b c ，1110x y z ，求abc 的值．12．已知1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)xy C a b a b 的左右焦点，点B 的坐标为(0,)b ，直线1F B 与双曲线C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M ．若21212MF F F ，求双曲线C 的离心率．13．如图，已知ABC 是锐角三角形，以AB 为直径的圆交边AC 于点D ，交边AB上的高CH 于点E ．以AC 为直径的半圆交BD 的延长线于点G ．求证：AG AE ．14．（1）正六边形被3条互不交叉（端点可以重合）的对角线分割成4个三角形．将每个三角形区域涂上红、蓝两种颜色之一，使得有公共边的三角形涂的颜色不同．怎样分割并涂色可以使红色三角形个数与蓝色三角形个数的差最大？（2）凸2016边形被2013条互不交叉（端点可以重合）的对角线分割成2014个三角形．将每个三角形区域涂上红、栏两种颜色之一，使得有公共边的三角形涂的颜色不同．在上述分割并涂色的所有情形中，红色三角形个数与蓝色三角形个数之差的最大值是多少？证明你的结论．。

2017-2018学年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷.pdf

（2）因为 an 1 an
an 1 nan 1 1
an 1 nan 1
1
，
n
所以当 n 2 时，
an an an 1
an 1 an 2 L
1
1
L
n1 n 2
n1
1
.
k 1k
11 1
21
a2 a1 a1
又 a1 1 1 1 ，
所以对任意正整数 n ， an 1
n1
.
k 1k
12．解：（ 1）由题设条件得
左、右焦点， P 是双曲线右支上一点， M 是 PF2的中点，且 OM PF2 ， 3PF1 4PF2 ，
则双曲线的离心率为
．
5．定义区间 x1, x2 的长度为 x2 x1 . 若函数 y log 2 x 的定义域为 a,b ，值域为 0,2 ，
则区间 a,b 长度的最大值与最小值的差为
．
6．若关于 x 的二次方程 mx2 2m 1 x m 2 0 （ m 0 ）的两个互异的根都小于 1，
3a 3 2,
2
c
3,
a 2,
从而
a2
b 1.
b2 c2 a2,
故所求的椭圆 E ： x2 y2 1，直线 l ： x y 6 0 . 4
2cos sin 6 6 5 sin
（2）设 P 2cos ,sin ，则 d1
2
2
tan 2，
所以 6 2
10
62
d1
10
.
2
2
又 d2
016 2
52 2 ， d3
．最新试卷十
2．已知集合 A x ax 1 a x 0 ，且 2 A ， 3 A ，则实数 a 的取值范围

2018年全国高中数学联赛试题与解析B卷

2
o 二二 f(x ）三1 仲！（却一6）三 f(x ）三／（4－的，
（用含有r的式子表示〉．
z, ＝一，Z2 ＝一，Z3 =-,
因此 W= Z1 �2 ＋毛毛＋勾引·于是
2
Z1
Z2
Z3
r = (z1 十Z2 + Z3 ）（王＋三十三） =lz.1 十lzJ + lz3 l + w十二＝3+2Rew,
2 2
解得Rew＝三三 2 二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出立字说明、证明过程或演算步骤． 9. （本题满分16分）己知数列｛a，，｝：α，＝7，满足 a. >4
川生土L =
的最小正整数 n.
2
α
a，，十2 , n = 1, 2, 3, · · · .求
故。”＝2 3烛
解：由生土L ＝ α，，＋2可知 G川＋1＝（α，，＋ 1) .因此 α，2 时 ”I 3x2"-1, α，，＋l=(a1 +1)2 ＝82 = 2
AD BC ，以 AB 为直径的圆与线段 DE 交于一点 F． DC 2CE
A
证明：B，C，F，D 四点共圆（答题时请将图画在答卷纸上）
D
F
B
C
E
三、（本题满分 50 分）设集合 A {1, 2,
, n} ，X，Y 均为 A 的非空设空子集（允许 X = Y）．X
中的最大元与 Y 中的最小元分别记为 maxX，minY 求满足 maxX > minY 的有序集合对（X , Y）的数目．
四、（本题满分 50 分）给定整数 a 2 . 证明：对任意正整数 n，存在正整数 k，使得连续 n 个数 ak 1， ak 2 ，， a k n 均是合数．

2018年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)

2018年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1. 设集合 1,2,3,,99,2,2A B x x A C x x A ，则B C 的元素个数为．答案：24．解：由条件知， 13992,4,6,,198,1,,2,,2,4,6,,48222B C，故B C 的元素个数为24．2. 设点P 到平面的距离为，点Q 在平面上，使得直线PQ 与所成角不小于30 且不大于60 ，则这样的点Q 所构成的区域的面积为．答案：8 ．解：设点P 在平面上的射影为O ．由条件知，tan OP OQP OQ ，即[1,3]OQ ，故所求的区域面积为22318 ．3. 将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为,,,,,a b c d e f ，则abc def +是偶数的概率为．答案：910．解：先考虑abc def +为奇数的情况，此时,abc def 一奇一偶，若abc 为奇数，则,,a b c 为1,3,5的排列，进而,,d e f 为2,4,6的排列，这样有3!3!36×=种情况，由对称性可知，使abc def +为奇数的情况数为36272×=种．从而abc def +为偶数的概率为72729116!72010−=−=．4. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b的左、右焦点分别是1F 、2F ，椭圆C 的弦ST 与UV 分别平行于x 轴与y 轴，且相交于点P ．已知线段,,,PU PS PV PT 的长分别为1,2,3,6，则12PF F 的面积为．答案解：由对称性，不妨设(,)P P P x y 在第一象限，则由条件知112,122P P x PT PS y PV PU ，即(2,1)P ．进而由1,2P x PU PS 得(2,2),(4,1)U S ，代入椭圆C 的方程知2222111144161a b a b，解得2220,5a b ．从而121212PF F P P S F F y y ．5. 设()f x 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[0,1]上严格递减，且满足()1,(2)2f f ，则不等式组12,1()2x f x的解集为．答案：[2,82] ．解：由()f x 为偶函数及在[0,1]上严格递减知，()f x 在[1,0] 上严格递增，再结合()f x 以2为周期可知，[1,2]是()f x 的严格递增区间．注意到(2)()1,(82)(2)(2)2f f f f f ，所以1()2(2)()(82)f x f f x f ，而12822 ，故原不等式组成立当且仅当[2,82]x ．6. 设复数z 满足1z ，使得关于x 的方程2220zx zx 有实根，则这样的复数z 的和为．答案：32．解：设22i (,,1)R z a b a b a b ．将原方程改为2(i)2(i)20a b x a b x ，分离实部与虚部后等价于2220ax ax ，① 220bx bx ．②若0b ，则21a ，但当1a 时，①无实数解，从而1a ，此时存在实数1x 1z 满足条件．若0b ，则由②知{0,2}x，但显然0x 不满足①，故只能是2x ，代入①解得14a ，进而bz ．综上，满足条件的所有复数z 之和为312．7. 设O 为ABC 的外心，若2AO AB AC，则sin BAC 的值为．答案解：不失一般性，设ABC 的外接圆半径2R ．由条件知，2AC AO AB BO，①故112AC BO ．取AC 的中点M ，则OM AC ，结合①知OM BO ，且B 与A 位于直线OM 的同侧．于是1cos cos(90)sin 4MC BOC MOC MOC OC．在BOC 中，由余弦定理得BC ，进而在ABC中，由正弦定理得sin 2BC BAC R． 8. 设整数数列1210,,,a a a 满足1012853,2a a a a a ，且1{1,2},1,2,,9i i i a a a i ，则这样的数列的个数为．答案：80．解：设1{1,2}(1,2,,9)i i i b a a i ，则有11011292a a a b b b ，① 2345285567b b b a a a a b b b ．②用t 表示234,,b b b 中值为2的项数．由②知，t 也是567,,b b b 中值为2的项数，其中{0,1,2,3}t ．因此237,,,b b b 的取法数为021222323333(C )(C )(C )(C )20 ．取定237,,,b b b 后，任意指定89,b b 的值，有224 种方式．最后由①知，应取1{1,2}b 使得129b b b 为偶数，这样的1b 的取法是唯一的，并且确定了整数1a 的值，进而数列129,,,b b b 唯一对应一个满足条件的数列1210,,,a a a ．综上可知，满足条件的数列的个数为20480 ．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分16分）已知定义在R 上的函数()f x 为3log 1,09,()49.x x f x x设,,a b c 是三个互不相同的实数，满足()()()f a f b f c ，求abc 的取值范围．解：不妨假设a b c ．由于()f x 在(0,3]上严格递减，在[3,9]上严格递增，在[9,) 上严格递减，且(3)0,(9)1f f ，故结合图像可知(0,3)a ，(3,9)b ，(9,)c ，并且()()()(0,1)f a f b f c ． …………………4分由()()f a f b 得331log log 1a b ，即33log log 2a b ，因此239ab ．于是9abc c ． …………………8分又0()41f c ， …………………12分故(9,16)c ．进而9(81,144)abc c ．所以，abc 的取值范围是(81,144)． …………………16分注：对任意的(81,144)r ，取09rc =，则0(9,16)c ∈，从而0()(0,1)f c ∈．过点00(,())c f c 作平行于x 轴的直线l ，则l 与()f x 的图像另有两个交点(,())a f a ，(,())b f b （其中(0,3),(3,9)a b ），满足()()()f a f b f c ，并且9ab ，从而abc r =．10.（本题满分20分）已知实数列123,,,a a a 满足：对任意正整数n ，有(2)1n n n a S a ，其中n S 表示数列的前n 项和．证明：(1) 对任意正整数n ，有n a(2) 对任意正整数n ，有11n n a a ．证明：(1) 约定00S ．由条件知，对任意正整数n ，有221111(2)()()n n n n n n n n n a S a S S S S S S ，从而220n S n S n ，即n S （当0n 时亦成立）． …………………5分显然，1n n n a S S ． …………………10分(2) 仅需考虑1,n n a a 同号的情况．不失一般性，可设1,n n a a 均为正（否则将数列各项同时变为相反数，仍满足条件），则11n n n S S S ，故必有1n n S S ，此时1n n a a从而11n n a a ． …………………20分11.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，设AB 是抛物线24y x 的过点(1,0)F 的弦，AOB 的外接圆交抛物线于点P （不同于点,,O A B ）．若PF 平分APB ，求PF 的所有可能值．解：设222123123,,,,,444y y y A y B y P y，由条件知123,,y y y 两两不等且非零．设直线AB 的方程为1x ty ，与抛物线方程联立可得2440y ty ，故124y y ． ① 注意到AOB 的外接圆过点O ，可设该圆的方程为220x y dx ey ，与24y x 联立得，4210164y d y ey ．该四次方程有123,,,0y y y y 这四个不同的实根，故由韦达定理得12300y y y ，从而312()y y y ．②…………………5分因PF 平分APB ，由角平分线定理知，12PA FA yPB FB y ，结合①、②，有2222312222231212112122222222222321222132()()16(2)44()16(2)()44y y y y y y y y y PA yy PB y y y y y y y y y2222422122122224212112(8)16(416)64192(8)16(416)64192y y y y y y y y y y ， ………………10分即62226222112122126419264192y y y y y y y y ，故 224224121122()(192)0y y y y y y ．当2212y y 时，21y y ，故30y ，此时P 与O 重合，与条件不符．当422411221920y y y y 时，注意到①，有22221212()192()208y y y y ． …………………15分因22121282y y y y ，故满足①以及2212y y 的实数12,y y 存在，对应可得满足条件的点,A B ．此时，结合①、②知222231212()4411444y y y y y PF ．…………………20分2018年全国高中数学联合竞赛加试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、（本题满分40分）设n 是正整数，1212,,,,,,,,,n n a a a b b b A B 均为正实数，满足,,1,2,,i i i a b a A i n ≤≤= ，且1212n n b b b Ba a a A≤ ．证明：1212(1)(1)(1)1(1)(1)(1)1n n b b b B a a a A ++++≤++++ ．证明：由条件知，1,1,2,,i i i b k i n a =≥= ．记BK A=，则1212n n b b b B a a a A ≤ 化为12n k k k K ≤ ．要证明11111ni i i ik a KA a A =++≤++∏． ① 对1,2,,i n = ，由于1i k ≥及0i a A <≤知，11111111i i i i i i i i i k a k k k A k k a a A A +−−+=−≤−=++++．结合12n K k k k ≥ 知，为证明①，仅需证明当0,1(1,2,,)i A k i n >≥= 时，有1211111ni n i k A k k k A A A =++≤++∏． ②…………………20分对n 进行归纳．当1n =时，结论显然成立．当2n =时，由120,,1A k k >≥可知1212122111(1)(1)0111(1)k A k A k k A A k k A A A A +++−−⋅−=−≤++++， ③ 因此2n =时结论成立． …………………30分设n m =时结论成立，则当1n m =+时，利用归纳假设知，11121111111111111m m i i m m m i i k A k A k A k k k A k A A A A A A +++==+++++ =⋅≤⋅ +++++∏∏ 12111m k k k A A ++≤+ ，最后一步是在③中用121,m m k k k k + （注意1211,1m m k k k k +≥≥ ）分别代替12,k k ．从而1n m =+时结论成立．由数学归纳法可知，②对所有正整数n 成立，故命题得证．…………………40分二、（本题满分40分）如图，ABC 为锐角三角形，AB AC ，M 为BC 边的中点，点D 和E 分别为ABC 的外接圆 BAC和 BC 的中点，F 为ABC 的内切圆在AB 边上的切点，G 为AE 与BC 的交点，N 在线段EF 上，满足NB AB ．证明：若BN EM ，则DF FG ．（答题时请将图画在答卷纸上）证明：由条件知，DE 为ABC 外接圆的直径，DE BC 于M ，AE AD ．记I 为ABC 的内心，则I 在AE 上，IF AB ．由NB AB 可知(180)90NBE ABE ABN ADE90ADE MEI ．① …………………10分又根据内心的性质，有EBI EBC CBI EAC ABI EAB ABI EIB ，从而BE EI ．结合BN EM 及①知，NBE MEI ≌ ． …………………20分于是90180EMI BNE BFE EFI ，故,,,E F I M 四点共圆．进而可知9090AFM IFM IEM AGM ，从而,,,A F G M 四点共圆． …………………30分再由90DAG DMG 知，,,,A G M D 四点共圆，所以,,,,A F G M D 五点共圆．从而90DFG DAG ，即DF FG ． …………………40分三、（本题满分50分）设,,n k m 是正整数，满足2k ≥，且21k n m n k−≤<．设A 是{1,2,,}m 的n 元子集．证明：区间0,1n k−中的每个整数均可表示为a a ′−，其中,a a A ′∈．证明：用反证法．假设存在整数0,1n x k∈ −不可表示为a a ′−，,a a A ′∈．作带余除法m xq r =+，其中0r x ≤<．将1,2,,m 按模x 的同余类划分成x 个公差为x 的等差数列，其中r 个等差数列有1q +项，x r −个等差数列有q 项．由于A 中没有两数之差为x ，故A 不能包含以x 为公差的等差数列的相邻两项．从而1,2,12()22,2|,2q x q q q n A r x r q x r q + ⋅ + =≤+−= ⋅+ ① 这里α 表示不小于α的最小整数． …………………20分由条件，我们有()2121k kn m xq r k k >+−−． ②又0,1n x k ∈ −，故(1)n k x >−． ③情形一：q 是奇数．则由①知，12q n x +≤⋅． ④ 结合②，④可知，1()22121q k kx n xq r xq k k +⋅≥>+≥−−，从而21q k <−．再由q是奇数可知，23q k ≤−，于是1(1)2q n x k x +≤⋅≤−，与③矛盾．情形二：q 是偶数．则由①知，2qn x r ≤⋅+． ⑤结合②，⑤可知，()221q kx r n xq r k ⋅+≥>+−，从而1(1)2(21)2121xq k k x r k k k −−<<−−−，故2(1)q k <−．再由q 是偶数可知，24q k ≤−，于是(2)(1)2qn x r k x r k x ≤⋅+≤−+<−，与③矛盾．综上可知，反证法假设不成立，结论获证． …………………50分四、（本题满分50分）数列{}n a 定义如下：1a 是任意正整数，对整数1n ≥， 1n a +是与1ni i a =∑互素，且不等于1,,n a a 的最小正整数．证明：每个正整数均在数列{}n a 中出现．证明：显然11a =或21a =．下面考虑整数1m >，设m 有k 个不同素因子，我们对k 归纳证明m 在{}n a 中出现．记1n n S a a =++，1n ≥．1k =时，m 是素数方幂，设m p α=，其中0α>，p 是素数．假设m 不在{}n a 中出现．由于{}n a 各项互不相同，因此存在正整数N ，当n N ≥时，都有n a p α>．若对某个n N ≥，n p S ，那么p α与n S 互素，又1,,n a a 中无一项是p α，故由数列定义知1n a p α+≤，但是1n a p α+>，矛盾！因此对每个n N ≥，都有|n p S ．但由1|n p S +及|n p S 知1|n p a +，从而1n a +与n S 不互素，这与1n a +的定义矛盾． …………………10分假设2k ≥，且结论对1k −成立．设m 的标准分解为1212k km p p p ααα=．假设m 不在{}n a 中出现，于是存在正整数N ′，当n N ′≥时，都有n a m >．取充分大的正整数11,,k ββ−，使得11111max k k n n N M p p a ββ−−′≤≤=> ．我们证明，对n N ′≥，有1n a M +≠． …………………20分对任意n N ′≥，若n S 与12k p p p 互素，则m 与n S 互素，又m 在1,,n a a 中均未出现，而1n a m +>，这与数列的定义矛盾．因此我们推出：对任意n N ′≥，n S 与12k p p p 不互素．()∗情形1．若存在(11)i i k ≤≤−，使得|i n p S ，因1(,)1n n a S +=，故1i n p a +，从而1n a M +≠（因|i p M ）． …………………30分情形2．若对每个(11)i i k ≤≤−，均有i n p S ，则由()∗知必有|k n p S ．于是1k n p a + ，进而1k n n p S a ++，即1k n p S +．故由()∗知，存在00(11)i i k ≤≤−，使得01|i n p S +，再由11n n n S S a ++=+及前面的假设(11)i n p S i k ≤≤−，可知01i n p a +，故1n a M +≠． …………………40分因此对1n N ′≥+，均有n a M ≠，而1max n i N M a ′≤≤>，故M 不在{}n a 中出现，这与归纳假设矛盾．因此，若m 有k 个不同素因子，则m 一定在{}n a 中出现．由数学归纳法知，所有正整数均在{}n a 中出现． …………………50分。

2018全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题(卷)与答案

2018全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷时间：120分钟满分：150分姓名:10小题，每小题107分，满分70分.要求直接将答案写在横线上.)cosx cos2x(x R)的值域为 __ __.22、已知(a bi) 3 4i ，其中a,b R ，i 是虚数单位，则a2 b2的值为 ________________________3、圆心在抛物线x2 2y 上，并且和该抛物线的准线及 y 轴都相切的圆的方程为 _________ .1 4x 24、设函数f(x) —产 x ，则不等式f(1 x 2) f (5x 7) 0的解集为 __________________________5、已知等差数列｛a n ｝的前12项的和为60,则a j 血 L |a 12的最小值为 _________________ .6、已知正四面体内切球的半径是 1，则该四面体的体积为 —7、在 ABC 中，AB 5, AC 4，且AB AC 12 ,设P 是平面 ABC 上的一点，则PA (PB PC)的最小值为 ________ .n8、设g(n) (k,n)，其中n N *，(k,n)表示k 与n 的最大公约数，则 g(100)的值为k 19、将1,2,3,4,5,6,7,8,9 ，这9个数随即填入3 3的方格中，每个小方格恰填写一个数, 且所填的数各不相同，则使每行、每列所填的数之和都是奇数的概率为________ 个.、填空题(本题共 1、函数y 10、在 1,2,3,4, L ,1000 中, 能写成a2 b2 1(a ，b、解答题(本大题共 4小题，每小题20分，共80分)11、如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知圆0的方程为x 2 y 2 4，过点P(0,1)的直线12、已知｛a n ｝是公差为d(d 0)的等差数列，且a i t 2 (1) 求实数t ，d 的值；l 与圆0交于A, B 两点，与x 轴交于点Q ，设QA 值• PA,QB丄3xa ? t a 3 t ，(2)若正整数满足m v p v r, a m 2t m a p 2t P a r 2f 0，求数组(m, p, r)和相应的通项公式a n.13、如图，在圆内接四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点P , ABD与ABC的内心分别为I1和|2，直线I112分别与AC, BD交于点M , N，求证：PM PN .14、从1,2,3,L ,2050这2050个数中任取2018个数组成集合A，把A中的每个数染上红色或蓝色，求证：总存在一种染色方法，是使得有600个红数及600个蓝数满足下列两个条件：①这600个红数的和等于这600个蓝数的和；②这600个红数的平方和等于这600个蓝数的平方和.参考答案:(1)[0,9】；8(2)- 5 ；(3)(x2 1 21)2 (y -)2 12.(4) (2,3);(5) 60;(6)8.3 ；(7)65 .，(8)520; (9)1 .?(10) 501. 814(11)8 .—.(12)①t1?d3②(m, p,r)(1,3,4)1,a n (3n11)；32882018年全国高中数学联辯江苏甞区初赛参考答案与评分细则一，琅变曲CABAio^tt. ■水■说挑加井一・《・捲誹"塚杠*心"I 祷散“u liMMud —<w4 R J 的ffl城疊-9»Xz 3, flfly, /-t uawi- wil«rt-2lcnitl J+lw*<l + >-—2（1«»1_4>1+|,固沟0^ |M 7,所以0兀尸站R-2.已划执K屮皿IL i绘止Ik单｛・WH+护匚一tf»i s*烘:由怦十曲尸三吝十戟那i呵十曲''=|3+琳| ’即，4■川=久3岡心屈描軸即上・井M和谀拋鞠炊的稚纽摆尸柚框讯切曲网恫方幔为祥虜；（i + l）a+（r-^I=1pi（ir j i?+^ ^=1,長林哉宀绿的攏整A稈为尸一亩设的・在奔仙・珅* Jl|jcr=?nj» K|jftl=j*+|i 解冉刃=±4 ?*"!* 般除朋I的方崔为U±iy+（y-^-l4,彊尿首4d二'子一斗炳不邯式贞l—F）±A女一申弋0的解藥为咲（2>3>-Mi圉为貞一坊=冷亠 +,=务丄+J=-Q、所以皿最诗褐■且为耳上的Mt岳1L 由和M5x^T）<0,阅用JT-7）勺（FT）,師以bTAF 1.即^-S JT+^CO* tf^fl.h 2<x<5.$・已知哥曲晝列｛则的棘总项的和为弧Hlm| + iml+^4 1樹」|的琅小痕为___ .容案.60.解：at卡ixt：--- b*d孑他+砖 -- 5|严60丁又当询一町=”*=~砒一5时.導号成L 哉& + \O2+…+ fih；l的鈕小遵为创•已知止叫曲悴内切球的字轻是I”剧谟圧四面体的体机为_____ .祎秦：阳扫朴疝阳”曲：也沖助书注“ z 邓■劇吻琥r “ [A3少皋杯厂辭剧趕5"宀'"血川 7.心"•卄"十昨朮" 刖应诃十崗枷时屯一•6S 害島-S!*⑴“ 5询卫刃2予T 0＞附聘5・:屮卄琢fffi 恥浙疋冋“-恥亠;珀■買L 》+妙TF_T即西•讹+诞' 的削皿是学 …心示"用蚁皿沁叱溷尸一二泗询®亦EZ® 祎暮赵2、帕讷啊-i 盼t 如小廉肛即e 尸曲曲弘又卅严m+i+e£旳§尸 S X 44 2S+(25-M^6^所W[窗“皿W"屮方跡晒 "；::二曲宀的—吨如殊沁一一害案：14-爭艸怖，啊而綁沖制卸撇・關師侦每利中蛀胭林见环寸空肘靱成龄密的M 删冈除ClXC^X Six J! L国此ftjjR 的犠序为— 七、 ^14- ^.― _宦护擁输闻二鎳3.:….i if & ”卄际如铁皓曲一一牛 M 汁対5°1 护”+ =■乩亠"呦• J和"十…朴小W吟”⑴斗评1闵7艮心曲»厅小”屮⑴卄屮十5 I囚it"V 阳1斟旦懐m ：z; 则讹工址"用03口爪闪帚冲鹅—却“时z X 沁和叭”小1泗旷J上啊一疇"轴好点O 逅阿站瓯亦心曲曲-“⑺紬砌呗昭点泸2 ”十…— 从丽戶忑严亍14尸亍当点汕点沖翳时'宣齢询的械” "尸”"5叫妙吨一弓 "*出*卅円召将尸”补严产皿“嘗"" 则△”・十总二母'⑴十计*・J_H S所gf 戶丰刁二亍■.g煤匕人+户为宦值y…• 2D仃12. “T 礎松则咖跡於救町(!)12：'舌止卷时I 足m -p ^麻的靑4t 於st g'1劭4■卄卢=即卜M*h 田为"比師规 F*忸 ffiWlil 21^ f I "fl W f±" 2坤± .2由■ 亠卢^4 ffl* •4十一汛41”尹心鬥・R ｛厂切/・2|(—新一［-权1，如診FF 卜十訓出討卩戶颈一*十轨 "* "F 4址產玲-艸訓_詁十訴 :贞^榕血H*M«r,瞬M 円七匚PT r^4,笑if 如氏鞘 w *w^2r ( 和他虧X.工小寸-甘L 戶苏¥'»»■罗亂如伽叽g 叭曲必与辭枷尸1M* f ”打“ “别为2肋号"昶的内S剜“心訂叽皿■扣叫 “如牡叫g 气心曲ME 叽赧叱★咖人5"兔8盼5 然ags“.如— 陀NTS"/心、从而乙和i&=t 足廿肖址曲嵐血儿f it EB]彌.. 因此3”4曲2畑也则"仙七呦卄畑期-扣心时&财嗣理，"附=打《梱+^™仲舸^MPMV=WPNM. lie rM PN14从I. 2, i,….却50这MSG 2中枉取2018啊诚16舍点Q 的晖E 叽E 也畑&求证’ M 住神染色胡t” 6W W«eS WO糸竹;i -ii 600亍坏敏的和等卩这和O 亍蚯社的和；②这她应她仆E 如豐:眾 g+卄仆皿证明一：，：走 41T i-1 7TRm = R ILL i+卄卄卄十2 J :[::;;;;圍上映小.呻护严"*十计*二二二蔦-WW 球*心川狀跑邑'W ，E 曲用晤站迢E"蠹二*• w i" 二:二二；——… 加火空g蚩艸灌如林了 S 帥如爲::二囂:豔E 5RE纠::C..'：n^ 旳―沖—ST 衲:::二爲^2,这…^亠心6***，申祈州算”_十—一证切j ：性童拥+2十恵=9” fl.护十F F 出护十护二利•歸*门上+*)*仃f =仕十卄十⑴t J)^pt+6).fl 皿尸卡十E 十卵才柑卄】F4~m+2ppH^F ・耙"鮒如肚+鬲卄》・7*+5 5>«Mirfi."* J ■酬十乙1*4■爲瘪豪舉虞董哲耐師”"拠+£盹U* h 2, “说畑剜个抽風*=0H.申柚逐的比其余的第屮节・牧H (恤* 7*+r P T" 7卄和，7i+j, 7*+6^a ，*=k 2.亠・ 292一说伞皿J 甦i 他沁于竝要羞故人抽展，2*0 ME 満政的揃居中每牛拮他窗 5,U* 袄53,+— .......... m 弁■…十一20牙购坏时耳砂曲形和相等*• A平：：：：巾2""心妣共《0也眄《og也g貯存3 知忙，3皿 f锄叭肝和。

2018年全国高中数学竞赛试题

2018年全国高中数学竞赛试题2018年全国高中数学竞赛试题是高中学生们用来展示自己数学才能的重要考试。

本文将分析该考试试题的难度和内容，并探讨其对学生数学能力的要求。

首先，我们来看一下2018年全国高中数学竞赛试题的整体难度。

根据学生们的反馈和考试后的统计数据，该试题的难度较大。

其中一些问题涉及到高等数学的知识和概念，对学生的推理和解题能力提出了很高的要求。

其次，我们来分析2018年全国高中数学竞赛试题的内容。

整个试卷由选择题和解答题两个部分组成。

选择题主要涵盖了数论、代数、几何等数学相关的知识点。

这些选择题通过简洁清晰的语言描述问题，并要求学生选出正确的答案。

解答题则要求学生从实际问题出发，进行推理、计算和解决问题的过程。

这些解答题不仅考察了学生的数学知识，还考察了学生的分析能力和解决问题的思路。

此外，2018年全国高中数学竞赛试题还在难度上进行了适当的增加。

这样做的目的是为了激励学生们更加努力地学习和提高自己的数学水平。

这些增加的难题旨在考察学生的数学思维方式和解决问题的能力，使学生能够更好地应对未来学习和工作中的复杂数学问题。

综上所述，2018年全国高中数学竞赛试题是一套难度适中、内容丰富的试题。

通过这样的考试，学生们可以展示他们在数学方面的才能和潜力。

同时，这些试题还能够提高学生的数学思维能力和解决问题的能力，对他们今后的学习和发展有着积极的促进作用。

当然，与考试试题的难度和内容相比，学生们在备考过程中的努力和准备也是至关重要的。

只有通过不断的学习和练习，才能更好地理解和掌握数学知识，应对各种各样的数学竞赛试题。

因此，学生们需要制定科学合理的学习计划，并积极参加各种数学竞赛活动，不断提高自己的数学水平和竞赛能力。

最后，希望广大学生们能够充分利用2018年全国高中数学竞赛试题，不仅仅是作为一次考试，更是一次锻炼和成长的机会。

相信通过不断的努力和坚持，每一个学生都能在数学竞赛中取得优异的成绩，展现自己的才能和潜力。

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