备战2019年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题19 利用函数模型解决实际问题
备战2019年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题06 函数的图象
—————————— 新学期 新成绩 新目标 新方向 ——————————专题06 函数的图象【热点聚焦与扩展】高考对函数图象的考查，形式多样，命题形式主要有，由函数的性质及解析式选图；由函数的图象来研究函数的性质、图象的变换、数形结合解决问题等，其重点是基本初等函数的图象以及函数的性质在图象上的直观体现．常常与导数结合考查. （一）基础知识1、描点法作函数图象步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.2、做草图需要注意的信息点：做草图的原则是：速度快且能提供所需要的信息，通过草图能够显示出函数的性质。
在作图中草图框架的核心要素是函数的单调性，对于一个陌生的可导函数，可通过对导函数的符号分析得到单调区间，图象形状依赖于函数的凹凸性，可由二阶导数的符号决定（详见“知识点讲解与分析”的第3点），这两部分确定下来，则函数大致轮廓可定，但为了方便数形结合，让图象更好体现函数的性质，有一些信息点也要在图象中通过计算体现出来，下面以常见函数为例，来说明作图时常体现的几个信息点：（1）一次函数：y kx b =+,若直线不与坐标轴平行，通常可利用直线与坐标轴的交点来确定直线. 特点：两点确定一条直线. 信息点：与坐标轴的交点.（2）二次函数：()2y a x h k =-+，其特点在于存在对称轴，故作图时只需做出对称轴一侧的图象，另一侧由对称性可得.函数先减再增，存在极值点——顶点，若与坐标轴相交，则标出交点坐标可使图象更为精确. 特点：对称性信息点：对称轴，极值点，坐标轴交点. （3）反比例函数：1y x=,其定义域为()(),00,-∞+∞，是奇函数，只需做出正版轴图象即可（负半轴依靠对称做出），坐标轴为函数的渐近线.特点：奇函数（图象关于原点中心对称），渐近线. 信息点：渐近线 注：（1）所谓渐近线：是指若曲线无限接近一条直线但不相交，则称这条直线为渐近线。
2019版高考数学(理)一轮复习：函数模型及其应用含解析
课时分层作业十二函数模型及其应用一、选择题(每小题5分,共25分)1.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据:现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是 ( )A.y=2x-2B.y=(x2-1)C.y=log3xD.y=2x-2【解析】选 B.把表格中的数据代入选择项的解析式中,易得最接近的一个函数是y=(x2-1).2.某电视新产品投放市场后第一个月销售100台,第二个月销售200台,第三个月销售400台,第四个月销售790台,则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是( )A.y=100xB.y=50x2-50x+100C.y=50×2xD.y=100log2x+100【解析】选C.根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知,应为指数型函数模型,代入数据验证即可得.3.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y=3 000+20x-0.1x2(0<x<240,x∈N*),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是 ( )A.100台B.120台C.150台D.180台【解析】选C.设利润为f(x)(万元),则f(x)=25x-(3 000+20x-0.1x2)=0.1x2+5x-3 000≥0,解得x≥150.则生产者不亏本时的最低产量为150台.4.设甲、乙两地的距离为a(a>0),小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟,在乙地休息10分钟后,他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟,则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为( )【解析】选D.y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移,故排除A,C.又因为小王在乙地休息10分钟,故排除B.5.根据统计,一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位:分钟)为f(x)=(A,c为常数).已知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第A 件产品用时15分钟,那么c和A的值分别是 ( )A.75,25B.75,16C.60,25D.60,16【解析】选D.由函数解析式可以看出,组装第A件产品所需时间为=15,故组装第4件产品所需时间为=30,解得c=60,将c=60代入=15,得A=16.二、填空题(每小题5分,共15分)6.拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位:元)由f(m)=1.06(0.5[m]+1)给出,。
专题64+统计初步-备战2019年高考数学之高三复习大一轮热点聚焦与扩展+Word版含解析
专题64 统计初步 【热点聚焦与扩展】纵观近几年的高考试题，统计是高考热点之一，往往以实际问题为背景，考查统计相关概念的计算，考查识图用图能力、数据处理能力以及分析问题解决问题的能力.小题、大题均有独立考查，大题也易于和概率一同考查.难度控制在中等以下．本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，举例说明. （一）随机抽样：1、抽签法：把总体中的N 个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n 次，就得到容量为n 的样本2、系统抽样：也称为等间隔抽样，大致分为以下几个步骤： （1）先将总体的N 个个体编号（2）确定分段间隔k ，设样本容量为n ，若N n 为整数，则N k n= （3）在第一段中用简单随机抽样确定第一个个体编号l ，则后面每段所确定的个体编号与前一段确定的个体编号差距为k ，例如：第2段所确定的个体编号为l k +，第m 段所确定的个体编号为()1l m k +-，直至完成样本 注：（1）若Nn不是整数，则先用简单随机抽样剔除若干个个体，使得剩下的个体数能被n 整除，再进行系统抽样.例如501名学生所抽取的样本容量为10，则先随机抽去1个，剩下的500个个体参加系统抽样 （2）利用系统抽样所抽出的个体编号排成等差数列，其公差为k3、分层抽样：也称为按比例抽样，是指在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本.分层抽样后样本中各层的比例与总体中各个层次的比例相等，这条结论会经常用到 （二）频率分布直方图： 1、频数与频率（1）频数：指一组数据中个别数据重复出现的次数或一组数据在某个确定的范围内出现的数据的个数. （2）频率：是频数与数据组中所含数据的个数的比，即频率=频数/总数 （3）各试验结果的频率之和等于12、频率分布直方图：若要统计每个小组数据在样本容量所占比例大小，则可通过频率分布表（表格形式）和频率分布直方图（图像形式）直观的列出 （1）极差：一组数据中最大值与最小值的差（2）组距：将一组数据平均分成若干组（通常5-12组），则组内数据的极差称为组距，所以有组距=极差/组数（3）统计每组的频数，计算出每组的频率，便可根据频率作出频率分布直方图 （4）在频率分布直方图中：横轴按组距分段，纵轴为“频率/组距” （5）频率分布直方图的特点：② 因为各试验结果的频率之和等于1，所以可得在频率分布直方图中，各个矩形的面积和为1（三）茎叶图：通常可用于统计和比较两组数据，其中茎是指中间的一列数，通常体现数据中除了末位数前面的其他数位，叶通常代表每个数据的末位数.并按末位数之前的数位进行分类排列，相同的数据需在茎叶图中体现多次（四）统计数据中的数字特征：1、众数：一组数据中出现次数最多的数值，叫做众数2、中位数：将一组数据从小到大排列，位于中间位置的数称为中位数，其中若数据的总数为奇数个，则为中间的数；若数据的总数为偶数个，则为中间两个数的平均值. ,,n x ，则有：nx ++,,n x ，其平均数为(n x x ++-越小，说明数据越集中5、标准差：也代表数据分布的分散程度，为方差的算术平方根【经典例题】例1.【2018年理新课标I 卷】某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A. 新农村建设后，种植收入减少B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【答案】A详解：设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M，则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以A项不正确；新农村建设前其他收入我0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以B项正确；新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，所以增加了一倍，所以C项正确；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的，所以超过了经济收入的一半，所以D正确；故选A.例2.【2018年江苏卷】已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为________．【答案】90【解析】分析：先由茎叶图得数据，再根据平均数公式求平均数.详解：由茎叶图可知，5位裁判打出的分数分别为，故平均数为.点睛：的平均数为.例3.【2018年全国卷Ⅲ文】某公司有大量客户，且不同龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．【答案】分层抽样例4.【2017课标1，文2】为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：kg）分别为x1，x2，…，x n，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是A．x1，x2，…，x n的平均数B．x1，x2，…，x n的标准差C．x1，x2，…，x n的最大值D．x1，x2，…，x n的中位数【答案】B【解析】试题分析：刻画评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差，故选B例5.【2017山东，文8】如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）.若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,则x和y的值分别为A. 3，5B. 5，5C. 3，7D. 5，7【答案】A【解析】例6.【2017课标3，文3】某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是（）A．月接待游客逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【答案】A例7.【2017江苏，3】某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取件.【答案】18例8. 某校从参加高三年级期末考试的学生中随机抽取100名学生，将其数学成绩分成五段：[)[)[)[)130,150，它的频率分布直方图如图所示，则该批学生中成绩不低50,70,70,90,90,110,110,130，[]于90分的人数是_____．【答案】65例9.【2017北京，文17】某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30），[30,40），┄，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50）内的人数；（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．【答案】（Ⅰ）0.4；（Ⅱ）5人；（Ⅲ）32.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据频率分布直方图，表示分数大于等于70的概率，就求后两个矩形的面积；（Ⅱ）根据公式频数等于100 频率求解；（Ⅲ）首先计算分数大于等于70分的总人数，根据样本中分数不小于70的男女生人数相等再计算所有的男生人数，100-男生人数就是女生人数.试题解析：（Ⅰ）根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.020.04)100.6+⨯=，所以样本中分数小于70的频率为10.60.4-=.所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计为0.4.（Ⅱ）根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.010.020.040.02)100.9+++⨯=，分数在区间[40,50)内的人数为1001000.955-⨯-=.所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为540020100⨯=.例10. 【2018年新课标I卷文】某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表（1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率；（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）【答案】(1)直方图见解析.(2) 0.48．(3).结果.详解：（1）该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为．估计使用节水龙头后，一年可节省水．点睛：该题考查的是有关统计的问题，涉及到的知识点有频率分布直方图的绘制、利用频率分布直方图计算变量落在相应区间上的概率、利用频率分布直方图求平均数，在解题的过程中，需要认真审题，细心运算，仔细求解，就可以得出正确结果.【精选精练】1．【2018，如果将它们改变为则下列结论正确的是（）A. 平均数不变，方差变B. 平均数与方差均发生变化C. 平均数与方差均不变D. 平均数变，方差保持不变【答案】D【解析】分析：先根据平均数的公式变化前后的平均数，再根据方差公式进行计算变化前后的方差，从而可得结果.点睛：本题考查了平均数和方差的公式，平均数是所有数据的和除以数据的个数，2．【2018届湖北省黄冈中学5月三模】下图是某企业产值在2008年~2017年的年增量（即当年产值比前一年产值增加的量）统计图（单位：万元），下列说法正确的是（）A. 2009年产值比2008年产值少B. 从2011年到2015年，产值年增量逐年减少C. 产值年增量的增量最大的是2017年D. 2016年的产值年增长率可能比2012年的产值年增长率低【答案】D【解析】分析：读懂题意，理解“年增量”量的含义，逐一分析选项中的说法，即可的结果.2009年产值比20082011年到20152017年，故因为增长率等于增长量除以上一年产值,由于上一年产值不确定，所以2016年的产值年增长率可能比2012 D.3．某校高二（16）班共有50人，如图是该班在四校联考中数学成绩的频率分布直方图，则成绩在内的学生人数为( )A. 36B. 25C. 22D. 11【答案】B点睛：本题主要考查了用样本估计总体，独立性检验的应用，其中对于用样本估计总体主要注意以下两个方面：1、用样本估计总体是统计的基本思想，而利用频率分布表和频率分布直方图来估计总体则是用样本的频率分布去估计总体分布的两种主要方法.分布表在数量表示上比较准确，直方图比较直观；2、频率分布表中的频数之和等于样本容量，各组中的频率之和等于1；在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所以，所有小长方形的面积的和等于1.4．【2018届山东省肥城市适应性训练】某学校高一学生有720人，现从高一、高二、高三这三个年级学生中采用分层抽样方法，抽取180人进行英语水平测试，已知抽取高一学生人数是抽取高二学生人数和高三学生人数的等差中项，且高二年级抽取65人，则该校高三年级学生人数是__________．【答案】660【解析】分析：求出高三年级抽取的人数，再根据比例关系求出高三学生人数．详解：根据题意，设高三年级抽取x人，则高一抽取（180-x-65）人，2（180-x-65）=x+65，x=55；高一学生有720人，则高三学生有故答案为：660．5．【2018届江苏省苏州市测试（三）】从某小区抽取 100 户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在 50度到 350__________.【答案】22点睛：明确频率分布直方图的意义，即图中的每一个小矩形的面积是数据落在该区间上的频率，所有小矩形的面积和为1.6．某中学采用系统抽样方法，从该校高二年级全体800名学生中抽50名学生做视力检查．现将800名学生从1到80016个数中取的数是35，则在第1________．【解析】分析：根据系统抽样的定义进行求解即可．16个数字中取到的数字为中随机抽取的数字为7 4.若要使该总体的方差最小，．当时，最小，此时，点睛：本题主要考查了统计知识的综合应用，其中解答中熟记统计数据中的中位数、平均数、方差的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．8．【2018届江苏省南京师大附中高考考前模拟】某公司生产甲、乙、丙三种不同型号的轿车，产量分别为1400辆、5600辆、2000辆．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取45辆进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取______件．【答案】10【解析】分析：根据题意求出抽样比例，再计算应从丙种型号的产品中抽取的样本数据．故答案为：10．9．【广东省东莞市2018_______.【答案】810．【2018届四川省梓潼中学校高考模拟（二）】“日行一万步，健康你一生”的养生观念已经深入人心，制了如下尚不完整的茎叶图（单位：千步）.（1（2.【答案】【解析】分析：（1.（2.详解：（1，解得点睛：本题主要考查了统计知识的综合应用，其中解答中涉及到茎叶图数据的读取，平均数的计算公式等知识点的运用，着重考查了分析问题和解答问题的能力.11．【2018届宁夏回族自治区银川一中考前训练】某班级体育课举行了一次“投篮比赛”活动，为了了解本次投篮比赛学生总体情况，从中抽取了甲乙两个小组样本分数的茎叶图如图所示．（1）分别求甲乙两个小组成绩的平均数与方差；（2）分析比较甲乙两个小组的成绩；（3）从甲组高于70分的同学中，任意抽取2名同学，求恰好有一名同学的得分在[80,90）的概率．【答案】（1（2）甲乙两个小组成绩相当; 乙组成绩比甲组成绩更稳定．（3记甲乙成绩的的方差分别为，，则（2（3）由茎叶图知，甲组高于70分的同学共4名，有2名在[70,80），记为2名在[80,90）记为任取两名同学的基本事件有6个：，，，，，．恰好有一名同学的得分在[80,90）的基本事件数共4个：，，，．所以恰好有一名同学的得分在[80,9012．某校600名文科学生参加了4月25日的三调考试，学校为了了解高三文科学生的数学、外语情况，利用随机数表法从抽取100名学生的成绩进行统计分析，将学生编号为000，001，002， (599)12 56 85 99 26 96 96 68 27 31 05 03 72 93 15 57 12 10 14 21 88 26 49 81 7655 59 56 35 64 38 54 82 46 22 31 62 43 09 90 06 18 44 32 53 23 83 01 30 3016 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76（1）若从第6行第7列的数开始右读，请你一次写出最先抽出的5个人的编号（上面是摘自随机数表的第4行到第7行）；（2）抽出的100名学生的数学、外语成绩如下表：若数学成绩优秀率为35%，求m ，n 的值；（3）在外语成绩为良的学生中，已知m≥12，n≥10，求数学成绩优比良的人数少的概率． 【答案】(1) 最先抽出的5人的编号依次为：544,354,378,520,384． .【解析】分析：（1）根据简单的随机抽样的定义，即可得到结论； （2可(3)由题意m+n=35，且m≥12，n≥10，∴满足条件的（m ，n ）有：（12，23），（13，22），（14，21），（15，20），（16，19），（17，18），（18，17），（19，16），（20，15），（21，14），（22，13），（23，12），（24，11），（25，10），共14种，且每种出现都是等可能的，记“数学成绩优比良的人数少”为事件M，则事件M包含的基本事件有：（12，23），（13，22），（14，21），（15，20），（16，19），（17，18），共6种，。
备战2019年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题04 函数的定义域、值域的求法
专题04 函数的定义域、值域的求法【热点聚焦与扩展】函数的定义域作为函数的要素之一，是研究函数的基础，也是高考的热点.函数的值域也是高考中的一个重要考点,并且值域问题通常会渗透在各类题目之中，成为解题过程的一部分。
所以在掌握定义域求法的基础上，掌握一些求值域的基本方法，当需要求函数的取值范围时便可抓住解析式的特点,寻找对应的方法从容解决.（一）函数的定义域1。
求函数定义域的主要依据是：①分式的分母不能为零；②偶次方根的被开方式其值非负；③对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1.2。
①若()y f x =的定义域为(),a b ,则不等式()a g x b <<的解集即为函数()()y f g x =的定义域；②若()()y f g x =的定义域为(),a b ，则函数()g x 在(),a b 上的的值域即为函数()y f x =的定义域．3。
对于分段函数知道自变量求函数值或者知道函数值求自变量的问题,应依据已知条件准确找出利用哪一段求解。
4.与定义域有关的几类问题第一类是给出函数的解析式,这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围；第二类是实际问题或几何问题，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义；第三类是不给出函数的解析式，而由()f x 的定义域确定函数)]([x g f 的定义域或由)]([x g f 的定义域确定函数()f x 的定义域．第四类是已知函数的定义域，求参数范围问题，常转化为恒成立问题来解决．（二）函数的值域1.利用函数的单调性:若)(x f 是],[b a 上的单调增(减)函数,则)(a f ,)(b f 分别是)(x f 在区间],[b a 上取得最小(大）值,最大(小)值。
2。
利用配方法:形如2(0)y ax bx c a =++≠型，用此种方法,注意自变量x 的范围。
3。
利用三角函数的有界性,如sin [1,1],x ∈-cos [1,1]x ∈-。
备战2019年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题10 求函数的单调区间
专题10 求函数的单调区间【热点聚焦与扩展】从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．单调性是函数的一个重要性质，对函数作图起到决定性的作用，而导数是分析函数单调区间的一个便利工具.高考对单调性的考查有小题，但多出现在大题中，涉及单调性应用的题目较多.1、函数的单调性：在(,)a b 内可导函数()f x ，'()f x 在(,)a b 任意子区间内都不恒等于0.'()0()f x f x ≥⇔在(,)a b 上为增函数． '()0()f x f x ≤⇔在(,)a b 上为减函数．2、导数与单调区间的联系（1）函数()f x 在(),a b 可导，那么()f x 在(),a b 上单调递增()',()0x a b f x ⇒∀∈≥，.此结论可以这样理解：对于递增的函数，其图像有三种类型： ，无论是哪种图形，其上面任意一点的切线斜率均大于零.等号成立的情况：一是单调区间分界点导数有可能为零，例如：()2f x x =的单调递增区间为[)0+∞，，而()'00f =，另一种是位于单调区间内但导数值等于零的点，典型的一个例子为()3f x x =在0x =处的导数为0，但是()0,0位于单调区间内.（2）函数()f x 在(),a b 可导，则()f x 在(),a b 上单调递减()',()0x a b f x ⇒∀∈≤，（3）前面我们发现了函数的单调性可以决定其导数的符号，那么由()',()x a b f x ∀∈，的符号能否推出()f x 在(),a b 的单调性呢？如果()f x 不是常值函数，那么便可由导数的符号对应推出函数的单调性.（这也是求函数单调区间的理论基础）3、利用导数求函数单调区间的步骤 （1）确定函数的定义域 （2）求出()f x 的导函数'()f x（3）令'()0f x >（或0<），求出x 的解集，即为()f x 的单调增（或减）区间（4）列出表格4、求单调区间的一些技巧（1）强调先求定义域，一方面定义域对单调区间有限制作用（单调区间为定义域的子集）.另一方面通过定义域对x 取值的限制，对解不等式有时会起到简化的作用，方便单调区间的求解 （2）在求单调区间时优先处理恒正恒负的因式，以简化不等式（3）一般可令'()0f x >，这样解出的解集就是单调增区间（方便记忆），若()f x 不存在常值函数部分，那么求减区间只需要取增区间在定义域上的补集即可(简化求解的步骤）（4）若'()0f x >的解集为定义域，那么说明()f x 是定义域上的增函数，若'()0f x >的解集为∅，那么说明没有一个点切线斜率大于零，那么()f x 是定义域上的减函数（5）导数只是求单调区间的一个有力工具，并不是唯一方法，以前学过的一些单调性判断方法也依然好用，例如：增+增→增，减+减→减，()1-⨯增→减，复合函数单调性同增异减等.如果能够通过结论直接判断，那么就无需用导数来判定.5、求单调区间的一些注意事项（1）单调区间可以用开区间来进行表示，如果用闭区间那么必须保证边界值在定义域内.例如函数1y x=的单调减区间为()()0,,,0+∞-∞，若写成[)0,+∞就出错了（0不在定义域内）.（2）如果增（或减）区间有多个，那么在书写时用逗号隔开，一定不要用并集U 的符号.有些同学觉得不等式的解集是多个部分时用“U ”连接，那么区间也一样，这个观点是错误的.并集是指将两个集合的元素合并到一起成为一个集合，用在单调区间上会出现问题.依然以1y x=为例，如果写成()()0,,0+∞-∞U ，那么就意味着从合并在一起的集合中任取两个变量，满足单调减的条件.由1y x=性质可知，如果在()()0,,,0+∞-∞两个区间里各取一个，是不满足单调减的性质的.【经典例题】例1.函数()ln (0)f x x ax a =+<的单调增区间为_______________. 【答案】10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】由题函数()ln (0)f x x ax a =+<的定义域为()0,+∞ ，又()1'+0f x a x =>，可解得10.x e<<- 例2. 【2017课标1】已知函数()f x =e x (e x ﹣a )﹣a 2x ．（1）讨论()f x 的单调性；【答案】（1）当0a =，)(x f 在(,)-∞+∞单调递增；当0a >，()f x 在(,ln )a -∞单调递减，在(ln ,)a +∞单调递增；当0a <，()f x 在(,ln())2a-∞-单调递减，在(ln(),)2a -+∞单调递增． 【解析】试题分析：（1）分0a =，0a >，0a <分别讨论函数)(x f 的单调性．当(,ln())2a x ∈-∞-时，()0f x '<；当(ln(),)2a x ∈-+∞时，()0f x '>，故()f x 在(,ln())2a -∞-单调递减，在(ln(),)2a -+∞单调递增．例3【2019届内蒙古包头市高三第一次模拟】已知函数.（1）若，求的单调区间；【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增.【解析】试题分析：（1）由，求得函数及，求解和，进而得到函数的单调区间. 试题解析： （1）若，，. 当时，；当时，.故在上单调递减，在上单调递增.例4【2019届四川省高三春季诊断】已知函数.（1）讨论函数的单调性；【答案】（1）在上单调递减，在，上单调递增.【解析】试题分析：（1）讨论函数单调性主要研究导函数大于零和小于零的不等式解集，根据题意，根据a的不同取值逐一讨论导函数符号即可.解析：（1），当时，，∴在上单调递增.当时，，故当或时，在上单调递增.例5【2019届四川省高三春季诊断】已知函数.（1）讨论的单调性；【答案】（1）见解析.【解析】试题分析：（1），分，和时讨论的单调区间. 试题解析：（1）当时，，∴在上单调递减.当时，令，得，令，得∴的单调递减区间为，单调递增区间为，当时，令，得，令，得∴的单调递减区间为，单调递增区间为例6【2019届江西省高三六校联考】已知函数（1）令，试讨论的单调性；【答案】(1) 当时， 单调递减，无增区间；当时，，(2)【解析】试题分析：（1）由，对函数求导，研究导函数的正负得到单调性即可；（2）由条件可知对恒成立，变量分离，令，求这个函数的最值即可. 解析：综上：当时，单调递减，无增区间； 当时，，【名师点睛】导数问题经常会遇见恒成立的问题： （1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题； （2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若恒成立；（3）若恒成立，可转化为（需在同一处取得最值） .例7【2019届江西师范大学附属中学高三4月月考】已知函数()()12ln 2f x m x mx x=-++． （1）当()'1f =0时，求实数的m 值及曲线()y f x =在点（1， ()1f ）处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调性． 【答案】（1）m=﹣1,y=﹣1（2）见解析【解析】试题分析：（1）求出()'f x ,由()1f 的值可得切点坐标，求出()'1f 的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）求出()'f x ，分四种情况讨论m 的范围，在定义域内，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间， ()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间； 求导，利用导数与函数单调性的关系，分类讨论m 的取值范围，分别求得()f x 单调区间.当m ＜0时，由，得，或，当m ＜﹣2时，y=f （x ）的减区间为（0，﹣）和（，+∞）增区间为（﹣，）； 当m=﹣2时，y=f （x ）的减区间为（0，+∞）没有增区间．当﹣2＜m ＜0时，y=f （x ）的减区间为（0，）和（﹣，+∞），增区间为（，﹣） 综上可知：当m≥0时，函数y=f （x ）的减区间为（0，），增区间为（，+∞）； 当m ＜﹣2时，y=f （x ）的减区间为（0，﹣）和（，+∞）增区间为（﹣，）； 当m=﹣2时，y=f （x ）的减区间为（0，+∞）没有增区间；当﹣2＜m ＜0时，y=f （x ）的减区间为（0，）和（﹣，+∞），增区间为（，﹣）． 例8【2016北京理数】设函数()a xf x xe bx -=+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(1)4y e x =-+，（1）求a ，b 的值；（2）求()f x 的单调区间.【答案】（Ⅰ）2a =，b e =；（2）)(x f 的单调递增区间为(,)-∞+∞. 【解析】（1）因为bx xex f xa +=-)(，所以b e x x f x a +-='-)1()(.依题设，⎩⎨⎧-='+=,1)2(,22)2(e f e f 即⎩⎨⎧-=+-+=+--,1,222222e b e e b e a a故1)1(=g 是)(x g 在区间),(+∞-∞上的最小值， 从而),(,0)(+∞-∞∈>x x g .综上可知，0)(>'x f ，),(+∞-∞∈x ，故)(x f 的单调递增区间为),(+∞-∞.例9【2019届北京市西城区156中学高三上期中】已知函数．（）当时，求函数的极值点．（）求函数的单调区间．【答案】（1）极大值点为，极小值点为；（2）见解析【解析】试题分析： （1）当时，，求导数后根据导函数的符号判断出函数的单调性，然后可得极值点．（2）由题意得，然后根据的符号进行分类讨论，结合导函数的符号得到单调区间．试题解析：∴的极大值点为，极小值点为．（）由题意得，令，则，．①当时，，在上的单调递增区间是．②当时，令，则或，令，则，∴的单调增区间是和，单调减区间是．③当时，令，则或，【名师点睛】（1）求函数单调区间的步骤：①确定函数y＝f(x)的定义域；②求导数；③解不等式f′(x)＞0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；④解不等式f′(x)＜0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．（2）求函数单调区间的注意事项：涉及含参数的单调性或单调区间的问题，一定要弄清参数对导数在某一区间内的符号是否有影响．若有影响，则必须分类讨论．例10．已知函数.(1)若函数过点，求函数的图象在处的切线方程；(2)判断函数的单调性.【答案】（1）；（2）当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增.【解析】试题分析：（1）代入点，求得，求出的导数，求得切线的斜率和切点，即可得到切线方程；（2）求出的导数，对讨论，当时，当时，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间. 试题解析：（1）函数过点，则有，即，，【名师点睛】本题主要考查了导数的几何意义即函数在某点处的导数即为在该点处切线的斜率，导数与函数单调性的关系以及分类讨论的思想，属于中档题；由，得函数单调递增，得函数单调递减，在该题中，含有参数的函数，主要是根据导函数的零点与定义域的关系进行分类讨论.【精选精练】1【2019届高考二轮训练】已知函数f(x)＝x2－5x＋2ln x，则函数f(x)的单调递增区间是()A. 和(1，＋∞)B. (0,1)和(2，＋∞)C.和(2，＋∞) D. (1,2)【答案】C【解析】根据函数解析式，易求得函数的定义域是，则，令，解得，所以函数的单调增区间是和，故选C.2．函数y ＝x 4－2x 2＋5的单调递减区间为( ) A. (－∞，－1]和[0,1] B. [－1,0]和[1，＋∞) C. [－1,1] D. (－∞，－1]和[1，＋∞) 【答案】A 【解析】由4225y x x =-+ 可得3'44y x x =-，令'0y <，即3440x x -<，解得1x <-或01x <<，所以函数的单调减区间为(],1-∞-和[]0,1，故选A.3．【2019届湖北省天门、仙桃、潜江高三上学期期末】已知函数，则其单调增区间是（ ）A. （0，1]B. [0，1]C. （0，+∞）D. （1，+∞） 【答案】D 【解析】，定义域为令解得故函数单调增区间是故选.5．【2019届高考二轮训练】已知m 是实数，函数f(x)＝x 2(x －m)，若f′(－1)＝－1，则函数f(x)的单调递增区间是 ( ) A. 4,03⎛⎫-⎪⎝⎭ B. 40,3⎛⎫⎪⎝⎭C. 4,,3∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭，(0，＋∞)D.4,,3∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭∪(0，＋∞)【答案】C6.【2019届北京市京源学校高三十月月考】已知函数()32f x ax bx cx =++,其导函数为()f x '的部分值如下表所示:根据表中数据,回答下列问题:（Ⅰ）实数c 的值为 ; ()f x 取得极大值点是 ; （Ⅱ）求实数,a b 的值; （Ⅲ）求()f x 的单调区间.【答案】（Ⅰ）6;3；（Ⅱ） 2{ 32a b =-=；（Ⅲ）单调增区间为()1,3-，单调减区间为(),1-∞-和(3,)+∞. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由极值的定义，通过表格可求解；（Ⅱ）在表格中取两组数据代入解析式即可；（Ⅲ）利用导数求出()f x 的单调区间. 试题解析：（Ⅰ） 6;37.已知函数f(x)=x 3＋ax ＋8的单调递减区间为(－5，5)，求函数f(x)的递增区间． 【答案】(－∞，－5)和(5，＋∞)【解析】试题分析：求出函数的导数，利用函数的单调减区间是 ，可得是方程的根，从而求出的值，然后令求得的范围，可得函数增区间.试题解析：f′(x)＝3x 2＋a.∵(－5，5)是函数y ＝f(x)的单调递减区间，则－5，5是方程3x 2＋a ＝0的根， ∴a ＝－75.此时f′(x)＝3x 2－75， 令f′(x)>0，则3x 2－75>0，解得x>5或x<－5， ∴函数y ＝f(x)的单调递增区间为(－∞，－5)和(5，＋∞)．8．【2019届浙江省嘉兴市高三上学期期末】已知函数()()2e 1x f x x ax =⋅++， R a ∈（e 为自然对数的底数）． （Ⅰ）若e x =是()f x 的极值点，求实数a 的值； （Ⅱ）求()f x 的单调递增区间． 【答案】(1) 1a e =-- (2)见解析②当0a <时， 11a -->-， ()f x 的单调递增区间是()(),1,1,a -∞---+∞；③当0a >时， 11a --<-， ()f x 的单调递增区间是()(),1,1,a -∞---+∞.9．【2019届辽宁师范大学附属中学高三上学期期末】已知函数()()21x f x x e ax =-+， e 为自然对数的底数.（1）若函数()f x 在()()11f ，处的切线方程为y ex a e =-++，求实数a 的值； （2）讨论()f x 的单调性. 【答案】（1）a e =-；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）先求出()()2x f x x e a '=+，根据导数的几何意义以及函数()f x 在()()11f ，处的切线方程为y ex a e =-++，列方程可求实数a 的值；（2）分四种情况： 11100222a a a a ≥-<<=-<-、、、，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，令()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间. 试题解析：（1）∵()()2x f x x e a '=+， ()12f e a e =+=-' ∴a e =-，（2））()()2x f x x e a '=+， ①当0a ≥时， 20x e a +>，()0x ∈-∞，， ()0f x <，函数()f x 递减； ()0x ∈+∞，时， ()0f x >，函数()f x 递增；②当102a -<<时， 021a <-<， ()ln 20a -<， ()()ln 2x a ∈-∞-，， 20x e a +<， ()0f x '>，函数()f x 递增； ()()ln 20x a ∈-，， 20x e a +>， ()0f x '<，函数()f x 递减；10．已知函数()32392f x x x x =-++-，求：（1）函数()y f x =的图象在点()()0,0f 处的切线方程； （2）()f x 的单调递减区间.【答案】（1）920x y --=；（2）(],1-∞-和[)3,+∞.【解析】试题分析: (1)第(1)问, 先求导，再求出切线的斜率和切点坐标，最后写出直线的点斜式方程 . (2)第(2)问,直接利用导数求函数的单调递减区间. 试题解析:()2'369f x x x =-++， ()09f k '==， ()02f =-，所以切点为（0，-2）， ∴切线方程为92y x =-，一般方程为920x y --=； （2）()()()2'369313f x x x x x =-++=-+-，令()'0f x <，解得1x <-或3x >，∴()f x 的单调递减区间为(],1-∞-和[)3,+∞.11．已知函数f(x)＝e x (ax ＋b)－x 2－4x ，曲线y ＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y ＝4x ＋4． (Ⅰ)求a ，b 的值； (Ⅱ)讨论f(x)的单调性．【答案】(1)a ＝4，b ＝4;(2)见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）求导函数，利用导数的几何意义及曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4，建立方程，即可求得a，b的值；（Ⅱ）利用导数的正负，可得f（x）的单调性．当x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f′(x)＞0；当x∈(－2，－ln 2)时，f′(x)＜0．故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．【名师点睛】确定单调区间的步骤：(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数y′＝f′(x)，令f′(x)＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f′(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性12.设函数，．（）当时，求曲线在点处的切线方程．（）求函数单调区间和极值点．【答案】（1）；（2）当时，的单调增区间为，无极值，当时，的单调增区间是和，单调减区间为，极大值为，极小值为．【解析】试题分析：（1）当时，，,求出的值可得切点坐标，求出的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程；（2）求出，分两种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间，结合函数的单调性，可得函数的极值点.试题解析：（）当时，，，∴，，∴曲线在点处的切线方程为，即．（）由得，当时，，在上是单调递增，无极值，，无极值，当时，的单调增区间是和，单调减区间为，极大值为，极小值为．【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性与极值，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.。
备战2019年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题63 事件的关系与概率运算
专题63 事件的关系与概率运算【热点聚焦与扩展】纵观近几年的高考试题，概率是高考热点之一，以实际问题为背景，考查概率的计算以及分析、推理能力.难度控制在中等以下．本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，举例说明. 1、事件的分类与概率：（1）必然事件：一定会发生的事件，用Ω表示，必然事件发生的概率为100% （2）不可能事件：一定不会发生的事件，用∅表示，不可能事件发生的概率为0%（3）随机事件：可能发生也可能不发生的事件，用字母,,A B C 进行表示，随机事件的概率[]0,1P ∈ 2、事件的交并运算：（1）交事件：若事件C 发生当且仅当事件A 与事件B 同时发生，则称事件C 为事件A 与事件B 的交事件，记为AB ，简记为AB多个事件的交事件：12n A A A ：事件12,,,n A A A 同时发生（2）并事件：若事件C 发生当且仅当事件A 与事件B 中至少一个发生（即A 发生或B 发生），则称事件C 为事件A 与事件B 的并事件，记为A B多个事件的并事件：12n A A A ：事件12,,,n A A A 中至少一个发生3、互斥事件与概率的加法公式：（1）互斥事件：若事件A 与事件B 的交事件AB 为不可能事件，则称,A B 互斥，即事件A 与事件B 不可能同时发生.例如：投掷一枚均匀的骰子，设事件“出现1点”为事件A ，“出现3点”为事件B ，则两者不可能同时发生，所以A 与B 互斥（2）若一项试验有n 个基本事件：12,,,n A A A ，则每做一次实验只能产生其中一个基本事件，所以12,,,nA A A 之间均不可能同时发生，从而12,,,n A A A 两两互斥（3）概率的加法公式（用于计算并事件）：若,A B 互斥，则有()()()P A B P A P B =+例如在上面的例子中，事件A B 为“出现1点或出现3点”由均匀的骰子可得()()16P A P B ==，所以根据加法公式可得：()()()13P AB P A P B =+=（4）对立事件：若事件A 与事件B 的交事件A B 为不可能事件，并事件A B 为必然事件，则称事件B 为事件A 的对立事件，记为B A =，也是我们常说的事件的“对立面”，对立事件概率公式：()()1P A P A =-，关于对立事件有几点说明：① 公式的证明：因为,A A 对立，所以AA =∅，即,A A 互斥，而A A =Ω，所以()()()()P P AA P A P A Ω==+，因为()1P Ω=，从而()()1P A P A =-② 此公式也提供了求概率的一种思路：即如果直接求事件A 的概率所讨论的情况较多时，可以考虑先求其对立事件的概率，再利用公式求解③ 对立事件的相互性：事件B 为事件A 的对立事件，同时事件A 也为事件B 的对立事件④ 对立与互斥的关系：对立关系要比互斥关系的“标准”更高一层.由对立事件的定义可知：,A B 对立，则,A B 一定互斥；反过来，如果,A B 互斥，则不一定,A B 对立（因为可能A B 不是必然事件）4、独立事件与概率的乘法公式：（1）独立事件：如果事件A （或B ）发生与否不影响事件B （或A ）发生的概率，则称事件A 与事件B 相互独立.例如投掷两枚骰子，设“第一个骰子的点数是1”为事件A ，“第二个骰子的点数是2”为事件B ，因为两个骰子的点数不会相互影响，所以,A B 独立（2）若,A B 独立，则A 与B ，B 与A ，A 与B 也相互独立（3）概率的乘法公式：若事件,A B 独立，则,A B 同时发生的概率()()()P AB P A P B =⋅ ，比如在上面那个例子中，()()11,66P A P B ==，设“第一个骰子点数为1，且第二个骰子点数为2”为事件C ，则()()()()136P C P AB P A P B ==⋅=. （4）独立重复试验：一项试验，只有两个结果.设其中一个结果为事件A （则另一个结果为A ），已知事件A 发生的概率为p ，将该试验重复进行n 次（每次试验结果互不影响），则在n 次中事件A 恰好发生k 次的概率为()1n kk k n P C p p -=-① 公式的说明：以“连续投掷3次硬币，每次正面向上的概率为13”为例，设i A 为“第i 次正面向上”，由均匀的硬币可知()12i P A =，设B 为“恰好2次正面向上”，则有：()()()()123123123P B P A A A P A A A P A A A =++ 而()()()21231231231122P A A A P A A A P A A A ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()223223111132222P B C -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭② kn C 的意义：是指在n 次试验中事件A 在哪k 次发生的情况总数，例如在上面的例子中“3次投掷硬币，两次正面向上”，其中23C 代表了符合条件的不同情况总数共3种5、条件概率及其乘法公式： （1）条件概率：（2）乘法公式：设事件,A B ，则,A B 同时发生的概率()()()|P AB P A P B A =⋅ （3）计算条件概率的两种方法：（以计算()|P B A 为例）① 计算出事件A 发生的概率()P A 和,A B 同时发生的概率()P AB ，再利用()()()|P AB P B A P A =即可计算② 按照条件概率的意义：即B 在A 条件下的概率为事件A 发生后，事件B 发生的概率.所以以事件A 发生后的事实为基础，直接计算事件B 发生的概率 6、两种乘法公式的联系：独立事件的交事件概率：()()()P AB P A P B =⋅ 含条件概率的交事件概率：()()()|P AB P A P B A =⋅通过公式不难看出，交事件的概率计算与乘法相关，且事件,A B 通常存在顺承的关系，即一个事件发生在另一事件之后.所以通过公式可得出这样的结论：交事件概率可通过乘法进行计算，如果两个事件相互独立，则直接作概率的乘法，如果两个事件相互影响，则根据题意分出事件发生的先后，用先发生事件的概率乘以事件发生后第二个事件的概率（即条件概率）【经典例题】例1.【2019年全国卷Ⅲ文】若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为 A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7 【答案】B【解析】分析：由公式计算可得详解：设设事件A 为只用现金支付，事件B 为只用非现金支付， 则 因为所以故选B.例2.【2016年高考北京理数】袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（）A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C.乙盒中红球不多于丙盒中红球D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 【答案】C例3.【2016高考天津文数】甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是21，甲获胜的概率是31，则甲不输的概率为（ ） （A ）65（B ）52 （C ）61 （D ）31 【答案】A【解析】甲不输概率为115.236+=选A. 【名师点睛】概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率考查，属于简单题.运用概率加法的前提是事件互斥，不输包含赢与和，两种互斥，可用概率加法.对古典概型概率考查，注重事件本身的理解，淡化计数方法.因此先明确所求事件本身的含义，然后一般利用枚举法、树形图解决计数问题，而当正面问题比较复杂时，往往采取计数其对立事件.例4. 从1,2,3,4,5这5个数中任取两数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.上述事件中，是对立事件的是（ ）A. ①B. ②④C. ③D. ①③ 【答案】C答案：C.例5.甲乙两人进行跳绳比赛，规定：若甲赢一局，比赛结束，甲胜出；若乙赢两局，比赛结束，乙胜出.已知每一局甲，乙两人获胜的概率分别为23,55，则甲胜出的概率为（ ）A.1625 B. 1825 C. 1925 D. 2125【答案】A【解析】思路：考虑甲胜出的情况包含两种情况，一种是甲第一局获胜，一种是甲第一局输了，第二局获胜，设事件i A 为“甲在第i 局获胜”，事件B 为“甲胜出”，则()()()112P B P A P A A =+，依题意可得：()125P A =，两场比赛相互独立，所以()()()12123265525P A A P A P A =⋅=⋅= 从而()1625P B = 答案：A例6. 如图，元件()1,2,3,4i A i =通过电流的概率均为0.9，且各元件是否通过电流相互独立，则电流能在,M N 之间通过的概率是（ ）A. 0.729B. 0.8829C. 0.864D. 0.9891【答案】B【解析】思路：先分析各元件的作用，若要在,M N 之间通过电流，则4A 必须通过，且12,A A 这一组与3A 两条路至少通过一条.设A 为“12,A A 通过”，则()20.90.81P A ==，设B 为“3A 通过”，()0.9P B =，那么“至少通过一条”的概率()()()110.019P P AB P A P B =-=-=，从而,M N 之间通过电流的概率为0.0190.90.8829⨯=答案：B.例7. 事件,,A B C 互斥事件，若()()()111,,688P A B P B C P A B C ⋅=⋅=⋅⋅=，则()P B =_____． 【答案】12点睛：本题主要考查相互互斥事件的概率的乘法公式及对立事件的概率关系，属于中档题.例8. 甲袋中有5只白球，7只红球；乙袋中由4只白球，2只红球，从两个袋子中任取一袋，然后从所取到的袋子中任取一球，则取到白球的概率是_______ 【答案】1324【解析】思路：本题取到白球需要两步：第一步先确定是甲袋还是乙袋，第二步再取球.所以本问题实质上为“取到某袋且取出白球的概率”，因为取袋在前，取球在后，所以取球阶段白球的概率受取袋的影响，为条件概率.设事件A 为“取出甲袋”，事件B 为“取出白球”，分两种情况进行讨论.若取出的是甲袋，则()()1|P P A P B A =⋅，依题意可得：()()15,|212P A P B A ==，所以1155=21224P =⋅；若取出的是乙袋，则()()2|P P A P B A =⋅，依题意可得：()()142,|263P A P B A ===，所以2121233P =⋅=，综上所述，取到白球的概率121324P P P =+= 答案：1324例9. 已知6张彩票中只有一张有奖，甲，乙先后抽取彩票且不放回，求在已知甲未中奖的情况下，乙中奖的概率. 【答案】15P =【解析】解：方法一：按照公式计算.设事件A 为“甲未中奖”，事件B 为“乙中奖”，所以可得：()56P A =，事件AB 为“甲未中奖且乙中奖”，则()11512616C C P AB A ⋅==.所以()()()1|5P AB P B A P A == 方法二：按照条件概率实际意义：考虑甲在抽取彩票后没有中奖，则留给乙的情况是剩下的五张彩票中有一张是有奖的，所以乙中奖的概率为15P =例10. 若甲、乙二人进行乒乓球比赛，已知每一局甲胜的概率为0.4，乙胜的概率为0.6，比赛时可以用三局两胜和五局三胜制，问在哪种比赛制度下，甲获胜的可能性较大.（写出计算过程） 【答案】甲获胜的可能性大【精选精练】1．【2019届福建省百校临考冲刺】现有大小形状完全相同的4个小球，其中红球有2个，白球与蓝球各1个，将这4个小球排成一排，则中间2个小球不都是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：根据古典概型的概率求解方法，列出４个小球所有排列的可能共有12种，则能够满足中间2个小球不都是红球的有2种情况，所以根据独立事件的概率计算方法可求出概率.详解：根据古典概型的概率计算，设白球为A ，蓝球为B ，红球为CC ，则不同的排列情况为ABCC,ACBC,ACCB,BACC,BCAC,BC CA,CABC,CACB,CBCA,CBAC,CCAB,CCBA 共12种情况，其中红球在中间的有ACCB,BCCA 两种情况，所以红球都在中间的概率为所以中间两个小球不都是红球的概率为所以答案选C.2.【2019届华大新高考联盟4月检测】为了弘扬我国优秀传统文化，某中学广播站在中国传统节日:春节，元宵节，清明节，端午节，中秋节五个节日中随机选取3个节日来讲解其文化内涵，那么春节被选中的概率是( ) A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7 【答案】C点睛：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意古典概型概率计算公式和对立事件概率计算公式的合理运用．3.已知某同学在高二期末考试中，A和B两道选择题同时答对的概率为23，在A题答对的情况下，B题也答对的概率为89，则A题答对的概率为()A. 14B.12C.34D.79【答案】C【解析】做对A题记为事件E，做对B题事件F，根据题意P(EF)= 23，又()()()283 (|)9P EFP F EP E P E===解得P(E)= 34.故答案为：C4．甲、乙、丙三位同学上课后独立完成5道自我检测题，甲及格的概率为45，乙及格的概率为25，丙及格的概率为23，则三人至少有一个及格的概率为（）A. 125B.1675C.2425D.5975【答案】C【解析】解析：由题设可知甲、乙、丙三位同学都不及格的概率是422111155325⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故甲、乙、丙三位同学都至少有一个及格的概率是12412525-=，应选答案C.5.对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C ＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是( )A. A⊆DB. B∩D＝∅C. A ∪C ＝DD. A ∪C ＝B ∪D 【答案】D选D.6．抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A ，“向上的点数是2或3”为事件B ，则 ( ) A. A ⊆B B. A=BC. A+B 表示向上的点数是1或2或3D. AB 表示向上的点数是1或2或3 【答案】C【解析】设{}{}{}{}1,2,2,3,2,1,2,3A B A B A B ==⋂=⋃=，所以A B +表示向上的点数为1或2或3,故选C.7．牡丹花会期间，记者在王城公园随机采访6名外国游客，其中有2名游客来过洛阳，从这6人中任选2人进行采访，则这2人中至少有1人来过洛阳的概率是（ ） A.B. C. D.【答案】C8．【2019届四川省梓潼中学校高考模拟（二）】已知圆柱的底面半径为，高为，若区域表示圆柱及其内部，区域表示圆柱内到下底面的距离大于的点组成的集合，若向区域中随机投一点，则所投的点落入区域中的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据题意，求得圆柱的体积和区域N所表示的小圆柱的体积，根据几何概型，即可求解相应的概率.详解：由题意，易知圆柱的体积为，因为区域N 表示圆柱内到下底面的距离大于1的点组成的集合，苏一区域N表示圆柱内的一个小圆柱（与圆柱共上底面），且小圆柱的体积为，根据几何概型，得所投入的点落在区域N中的概率为，故选C.9．【2019届江西省重点中学协作体第二次联考】已知一袋中有标有号码、、的卡片各一张，每次从中取出一张，记下号码后放回，当三种号码的卡片全部取出时即停止，则恰好取次卡片时停止的概率为（）A. B. C. D.【答案】B本题选择B选项.10．向上抛掷一颗骰子1次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则( )A. A与B是互斥而非对立事件B. A与B是对立事件C. B与C是互斥而非对立事件D. B与C是对立事件【答案】D【解析】分析：根据互斥事件和对立事件的概念，逐一判定即可．详解：对于A、B中，当向上的一面出现点数时，事件同时发生了，所以事件与不是互斥事件，也不是对立事件；对于事件与不能同时发生且一定有一个发生，所以事件与是对立事件，故选D．11. 某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮，假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率是_________【答案】16 125【解析】思路：因为选手回答4个问题就晋级下一轮，所以说明后两个回答结果正确，且第二次回答错误（否则第二次与第三次连续正确，就直接晋级了），第一次回答正确错误均可.所以2141655125 P⎛⎫=⋅=⎪⎝⎭答案：16 125.12. 从1,2,3,,15中，甲，乙两人各任取一数（不重复），已知甲取到的是5的倍数，则甲数大于乙数的概率是_______【答案】9 14思路二：本题处理条件概率时也可从实际意义出发，甲取5,10,15对乙的影响不同，所以分情况讨论.当甲取的是5时，甲能从5的倍数中取出5的概率是13，此时乙从剩下14个数中可取的只有1,2,3,4，所以甲取出5且大于乙数的概率114 314P=⋅，同理，甲取的是10时，乙可取的由9个数，所以甲取出10且大于乙数概率为219 314P=⋅，甲取的是15时，乙可取14个数，所以甲取出15且大于乙数的概率为31 3P=，所以甲取到的数是5的倍数后，甲数大于乙数的概率为1239 14P P P P =++=答案：9 14点睛：本题两种处理条件概率的思路均可解决问题，但第二种方法要注意，所发生过的只是甲取到5的倍数，但不知是哪个数，所以在分类讨论时还要乘上某个5的倍数能抽中的概率.即所求问题转变为“已知抽到5的倍数后，抽到哪个5的倍数（具体分类讨论）且甲数大于乙数的概率”.。
高考数学一轮复习 (基础知识+高频考点+解题训练)函数模型及其应用教学案
第十节函数模型及其应用[知识能否忆起]1．几种常见的函数模型[小题能否全取]1．(教材习题改编)f (x )＝x 2，g (x )＝2x，h (x )＝log 2x ，当x ∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是( )A ．f (x )>g (x )>h (x )B ．g (x )>f (x )>h (x )C ．g (x )>h (x )>f (x )D ．f (x )>h (x )>g (x )答案：选B 由图象知，当x ∈(4，＋∞)时，增长速度由大到小依次为g (x )>f (x )>h (x )． 2．一根蜡烛长20 cm ，点燃后每小时燃烧5 cm ，燃烧时剩下的高度h (cm)与燃烧时间t (h)的函数关系用图象表示为图中的( )解析：选B 由题意h ＝20－5t,0≤t ≤4.结合图象知应选B.3．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )＝12x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品数量为( )A ．36万件B ．18万件C ．22万件D ．9万件解析：选B 利润L (x )＝20x －C (x )＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18时，L (x )有最大值．4．一种产品的成本原为a 元，在今后的m 年内，计划使成本平均每年比上一年降低p %，成本y是经过年数x (0<x ≤m )的函数，其关系式y ＝f (x )可写成___________________________．解析：依题意有y ＝a (1－p %)x(0<x ≤m )． 答案：y ＝a (1－p %)x(0<x ≤m )5.有一批材料可以建成200 m 的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形最大面积为______________．(围墙厚度不计)解析：设矩形的长为x m ，宽为200－x 4 m ，则S ＝x ·200－x 4＝14(－x 2＋200x )．当x ＝100时，S max ＝2 500 m 2.答案：2 500 m21.解答函数应用题的一般步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义． 以上过程用框图表示如下：2．解函数应用题常见的错误(1)不会将实际问题抽象转化为函数模型或转化不全面； (2)在求解过程中忽视实际问题对变量参数的限制条件．典题导入[例1] 为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为：y ＝12x 2－200x ＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？[自主解答] 设该单位每月获利为S ， 则S ＝100x －y＝100x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－200x ＋80 000 ＝－12x 2＋300x －80 000＝－12(x －300)2－35 000，因为400≤x ≤600，所以当x ＝400时，S 有最大值－40 000.故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000元，才能不亏损．由题悟法1．在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0)，对一次函数模型，主要是利用一次函数的图象与单调性求解．2．有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、利润问题、产量问题等．对二次函数模型，一般是利用配方法并结合二次函数图象与单调性解决．3．在解决一次函数、二次函数的应用问题时，一定要注意定义域．以题试法1．(2012·抚州质检)一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别为40 cm 与60 cm ，现将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角．问怎样剪，才能使剩下的残料最少？解：如图，剪出的矩形为CDEF ， 设CD ＝x ，CF ＝y ， 则AF ＝40－y .∵△AFE ∽△ACB ，∴AF AC ＝FEBC， 即40－y 40＝x60. ∴y ＝40－23x .剩下的残料面积为S ＝12×60×40－x ·y ＝23x 2－40x ＋1 200＝23(x －30)2＋600. ∵0<x <60，∴当x ＝30时，S 取得最小值为600，这时y ＝20.∴在边长60 cm 的直角边CB 上截CD ＝30 cm ，在边长为40 cm 的直角边AC 上截CF ＝20 cm 时，能使所剩残料最少．典题导入[例2] (2012·孝感统考)某公司生产一种产品，每年需投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这样的产品，还需增加投入0.25万元，经市场调查知这种产品年需求量为500件，产品销售数量为t 件时，销售所得的收入为⎝ ⎛⎭⎪⎫0.05t －120 000t 2万元．(1)该公司这种产品的年生产量为x 件，生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量x 的函数为f (x )，求f (x )；(2)当该公司的年产量为多少件时，当年所获得的利润最大？ [自主解答] (1)当0<x ≤500时，f (x )＝0.05x －120 000x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫0.25×x 100＋0.5＝－x 220 000＋19400x －12， 当x >500时，f (x )＝0.05×500－120 000×5002－⎝ ⎛⎭⎪⎫0.25×x 100＋0.5＝12－1400x ，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－120 000x 2＋19400x －12，0<x ≤500，12－1400x ，x >500.(2)当0<x ≤500时，f (x )＝－x 220 000＋19400x －12＝－120 000(x －475)2＋34532， 故当x ＝475时，f (x )max ＝34532.当x >500时，f (x )＝12－1400x <12－54＝34432<34532， 故当该公司的年产量为475件时，当年获得的利润最大．由题悟法1．很多实际问题中变量间的关系，不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成分段函数，如出租车票价与路程之间的关系，就是分段函数．2．分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段变量的范围，特别是端点值．以题试法2．某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元．某月甲、乙两户共交水费y 元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x (吨)．(1)求y 关于x 的函数；(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费． 解：(1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x ≤4，乙的用水量也不超过4吨，y ＝1.8(5x ＋3x )＝14.4x ；当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨，即3x ≤4，且5x >4时，y ＝4×1.8＋3x ×1.8＋3(5x －4)＝20.4x －4.8.当乙的用水量超过4吨，即3x >4时，y ＝2×4×1.8＋3×[(3x －4)＋(5x －4)]＝24x －9.6.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧14.4x ，0≤x ≤45，20.4x －4.8，45<x ≤43，24x －9.6，x >43.(2)由于y ＝f (x )在各段区间上均单调递增，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，45时，y ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫45<26.4； 当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤45，43时，y ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43<26.4； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞时，令24x －9.6＝26.4， 解得x ＝1.5.所以甲户用水量为5x ＝5×1.5＝7.5吨， 付费S 1＝4×1.8＋3.5×3＝17.70元； 乙户用水量为3x ＝4.5吨，付费S 2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70元．典题导入[例3] (2012·广州模拟)一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22.(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ (3)今后最多还能砍伐多少年？[自主解答] (1)设每年降低的百分比为x (0<x <1)．则a (1－x )10＝12a ，即(1－x )10＝12，解得x ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12110.(2)设经过m 年剩余面积为原来的22，则 a (1－x )m ＝22a ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12m 10＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212，m 10＝12，解得m ＝5. 故到今年为止，已砍伐了5年． (3)设从今年开始，以后砍了n 年， 则n 年后剩余面积为22a (1－x )n . 令22a (1－x )n ≥14a ，即(1－x )n ≥24， ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 10≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1232，n 10≤32，解得n ≤15. 故今后最多还能砍伐15年．由题悟法增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型y ＝N (1＋p )x(其中N 是基础数，p 为增长率，x 为时间)和幂函数模型y ＝a (1＋x )n(其中a 为基础数，x 为增长率，n 为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算和开方运算，要注意用已知给定的值对应求解．以题试法3．某电脑公司2012年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为400万元，占全年经营总收入的40%.该公司预计2014年经营总收入要达到1 690万元，且计划从2012年到2014年，每年经营总收入的年增长率相同，2013年预计经营总收入为________万元．解析：设年增长率为x ，则有40040%×(1＋x )2＝1 690,1＋x ＝1310，因此2013年预计经营总收入为40040%×1310＝1 300(万元)．答案：1 3001．设甲、乙两地的距离为a(a＞0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为( )解析：选D 注意到y 为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，用定性分析法不难得到答案为D.2．(2012·湖北三校联考)某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R %(即每销售100元征税R 元)，若年销售量为⎝⎛⎭⎪⎫30－52R 万件，要使附加税不少于128万元，则R 的取值范围是( )A ．[4,8]B ．[6,10]C ．[4%,8%]D ．[6%,100%]解析：选A 根据题意得，要使附加税不少于128万元，需⎝ ⎛⎭⎪⎫30－52R ×160×R %≥128，整理得R 2－12R ＋32≤0，解得4≤R ≤8，即R ∈[4,8]．3．由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低13，现在价格为8 100元的计算机经过15年的价格应降为( )A ．2 000元B ．2 400元C ．2 800元D ．3 000元解析：选B 设经过3个5年，产品价格为y 元，则y ＝8 100×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133＝2 400.4．(2013·温州月考)某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t (分钟)与打出电话费s (元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差( )A ．10元B ．20元C ．30元D.403元解析：选A 依题意可设s A (t )＝20＋kt ，s B (t )＝mt ，又s A (100)＝s B (100)，∴100k ＋20＝100m ，得k －m ＝－0.2.于是s A (150)－s B (150)＝20＋150k －150m ＝20＋150×(－0.2)＝－10，即两种方式电话费相差10元．5．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y 与投放市场的月数x 之间关系的是( )A ．y ＝100xB ．y ＝50x 2－50x ＋100 C ．y ＝50×2xD ．y ＝100log 2x ＋100解析：选C 根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型． 6．(2013·长春联合测试)某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )A ．略有盈利B ．略有亏损C ．没有盈利也没有亏损D ．无法判断盈亏情况解析：选B 设该股民购这支股票的价格为a ，则经历n 次涨停后的价格为a (1＋10%)n＝a ×1.1n，经历n 次跌停后的价格为a ×1.1n×(1－10%)n＝a ×1.1n×0.9n＝a ×(1.1×0.9)n＝0.99n·a <a ，故该股民这支股票略有亏损．7．(2012·河南调研)为了在“十一”黄金周期间降价搞促销，某超市对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：①如果不超过200元，则不予优惠；②如果超过200元，但不超过500元，则按标价给予9折优惠；③如果超过500元，其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分给予7拆优惠．辛云和她母亲两次去购物，分别付款168元和423元，假设她们一次性购买上述同样的商品，则应付款额为______．解析：依题意，价值为x 元商品和实际付款数f (x )之间的函数关系式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0≤x ≤200，0.9x ，200<x ≤500，500×0.9＋x －500×0.7，x >500.当f (x )＝168时，由168÷0.9≈187<200，故此时x ＝168；当f (x )＝423时，由423÷0.9＝470∈(200,500]，故此时x ＝470.所以两次共购得价值为470＋168＝638元的商品，又500×0.9＋(638－500)×0.7＝546.6元，即若一次性购买上述商品，应付款额为546.6元．答案：546.6元8．(2012·镇江模拟)如图，书的一页的面积为600 cm 2，设计要求书面上方空出2 cm 的边，下、左、右方都空出1 cm 的边，为使中间文字部分的面积最大，这页书的长、宽应分别为________．解析：设长为a cm ，宽为b cm ，则ab ＝600，则中间文字部分的面积S ＝(a －2－1)(b －2)＝606－(2a ＋3b )≤606－26×600＝486，当且仅当2a ＝3b ，即a ＝30，b ＝20时，S 最大＝486.答案：30 cm,20 cm9．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x 的最小值是________．解析：七月份的销售额为500(1＋x %)，八月份的销售额为500(1＋x %)2，则一月份到十月份的销售总额是3 860＋500＋2 [500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]，根据题意有3 860＋500＋2[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]≥7 000， 即25(1＋x %)＋25(1＋x %)2≥66， 令t ＝1＋x %，则25t 2＋25t －66≥0， 解得t ≥65或者t ≤－115(舍去)，故1＋x %≥65，解得x ≥20.答案：2010．(2012·湖南十二校联考)某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1 000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y (单位：万元)随投资收益x (单位：万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过收益的20%.请分析函数y ＝x150＋2是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因．解：对于函数模型y ＝f (x )＝x150＋2， 当x ∈[10,1 000]时，f (x )为增函数，f (x )max ＝f (1 000)＝1 000150＋2＝203＋2<9， 所以f (x )≤9恒成立．但当x ＝10时，f (10)＝115＋2>105，即f (x )≤x5不恒成立．故函数模型y ＝x150＋2不符合公司要求．11．高新开发区某公司生产一种品牌笔记本电脑的投入成本是4 500元/台．当笔记本电脑销售价为6 000元/台时，月销售量为a 台．市场分析的结果表明，如果笔记本电脑的销售价提高的百分率为x (0<x <1)，那么月销售量减少的百分率为x 2.记销售价提高的百分率为x 时，电脑企业的月利润是y 元．(1)写出月利润y 与x 的函数关系式；(2)如何确定这种笔记本电脑的销售价，使得该公司的月利润最大．解：(1)依题意，销售价提高后变为6 000(1＋x )元/台，月销售量为a (1－x 2)台，则y ＝a (1－x 2)[6 000(1＋x )－4 500]．即y ＝1 500a (－4x 3－x 2＋4x ＋1)(0<x <1)． (2)由(1)知y ′＝1 500a (－12x 2－2x ＋4)， 令y ′＝0，得6x 2＋x －2＝0， 解得x ＝12或x ＝－23(舍去)．当0<x <12时，y ′>0；当12<x <1时，y ′<0.故当x ＝12时，y 取得最大值．此时销售价为6 000×32＝9 000(元)．故笔记本电脑的销售价为9 000元时，该公司的月利润最大． 12.如图，已知矩形油画的长为a ，宽为b .在该矩形油画的四边镶金箔，四个角(图中斜线区域)装饰矩形木雕，制成一幅矩形壁画．设壁画的左右两边金箔的宽为x ，上下两边金箔的宽为y ，壁画的总面积为S .(1)用x ，y ，a ，b 表示S ；(2)若S 为定值，为节约金箔用量，应使四个矩形木雕的总面积最大．求四个矩形木雕总面积的最大值及对应的x ，y 的值．解：(1)由题意可得S ＝2bx ＋2ay ＋4xy ＋ab ，其中x >0，y >0. (2)依题意，要求四个矩形木雕总面积的最大值即求4xy 的最大值．因为a ，b ，x ，y 均大于0，所以2bx ＋2ay ≥22bx ·2ay ，从而S ≥4abxy ＋4xy ＋ab ，当且仅当bx ＝ay 时等号成立．令t ＝xy ，则t >0，上述不等式可化为4t 2＋4ab ·t ＋ab －S ≤0， 解得－S －ab 2≤t ≤S －ab 2.因为t >0，所以0＜t ≤S －ab2，从而xy ≤ab ＋S －2abS4.由⎩⎪⎨⎪⎧bx ＝ay ，S ＝2bx ＋2ay ＋4xy ＋ab ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝abS －ab2b ，y ＝abS －ab2a.所以当x ＝abS －ab 2b ，y ＝abS －ab2a时，四个矩形木雕的总面积最大，最大值为ab ＋S －2abS .1．某地2011年底人口为500万，人均住房面积为6 m 2，如果该城市人口平均每年增长率为1%.问为使2021年底该城市人均住房面积增加到7 m 2，平均每年新增住房面积至少为(1.0110≈1.104 6)( )A ．90万m 2B ．87万m 2C ．85万m 2D ．80万m 2解析：选B 由题意500×1＋1%10×7－500×610≈86.6(万m 2)≈87(万m 2)．2.一高为H ，满缸水量为V 的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞 ，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为h 时的水的体积为v ，则函数v ＝f (h )的大致图象可能是图中的________．解析：当h ＝0时，v ＝0可排除①、③；由于鱼缸中间粗两头细，∴当h 在H2附近时，体积变化较快；h 小于H 2时，增加越来越快；h 大于H2时，增加越来越慢．答案：②3．(2011·湖北高考)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/时)解：(1)由题意，当0≤x ≤20时，v (x )＝60； 当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b ，再由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝2003.故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0≤x ≤20，13200－x ，20≤x ≤200.(2)依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ，0≤x ≤20，13x 200－x ，20≤x ≤200.当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200； 当20≤x ≤200时，f (x )＝13x (200－x )≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋200－x 22＝10 0003，当且仅当x ＝200－x ， 即x ＝100时，等号成立．所以当x ＝100时，f (x )在区间[20,200]上取得最大值10 0003. 综上，当x ＝100时，f (x )在区间[0,200]上取得最大值10 0003≈3 333， 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时．(2012·浙江金华阶段性检测)某民营企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润与投资单位：万元)．(1)分别将A ，B 两种产品的利润表示为投资x (万元)的函数关系式；(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A ，B 两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元．解：(1)当投资为x 万元，设A 产品的利润为f (x )万元，B 产品的利润为g (x )万元， 由题意可设f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x .由图知f (1)＝14，故k 1＝14.又g (4)＝52，故k 2＝54.从而f (x )＝14x (x ≥0)，g (x )＝54x (x ≥0)．(2)设A 产品投入x 万元， 则B 产品投入(10－x )万元， 设企业利润为y 万元．y ＝f (x )＋g (10－x )＝14x ＋5410－x (0≤x ≤10)． 令t ＝10－x ，则y ＝10－t 24＋54t ＝－14⎝ ⎛⎭⎪⎫t －522＋6516(0≤t ≤10)．当t ＝52时，y max ＝6516，此时x ＝3.75,10－x ＝6.25.即当A 产品投入3.75万元，B 产品投入6.25万元时，企业获得最大利润为6516万元．。
备战2019年高考数学大一轮复习热点聚焦与扩展专题19利用函数模型解决实际问题
专题19 利用函数模型解决实际问题【热点聚焦与扩展】在近几年的高考试卷中，以基本函数为背景的应用题和综合题是高考命题的新趋势．注重在知识的交汇点命题，与三角函数、解三角形、不等式、导数、解析几何、概率统计、数列等相结合，综合考查函数方程思想及数学应用意识，考查转化与化归思想、分类讨论思想及数形结合思想的理解运用；考查分析与解决问题的能力、应用意识及创新能力.1、使用函数模型解决实际问题（1）题目特点：叙述中体现两个变量之间的关系（涉及的量也许有多个，但均能够用两个核心变量进行表示）.以其中一个为自变量，则另一个变量可视为自变量的函数，进而搭建出函数模型，再根据导数，均值不等式等工具求出最值（2）需用到的数学工具与知识点：①分段函数：当自变量的不同取值导致解析式不同时，可通过建立分段函数来体现两个变量之间的关系，在题目中若有多种情况，且不同的情况对应不同的计算方式，则通常要用分段函数进行表示.②导数：在求最值的过程中，若函数解析式不是常见的函数（二次函数，对勾函数等），则可利用导数分析其单调性，进而求得最值③均值不等式：在部分解析式中（可构造和为定值或积为定值）可通过均值不等式迅速的找到最值.④分式函数的值域问题：可通过分离常数对分式进行变形，并利用换元将其转化为熟悉的函数求解（3）常见的数量关系：①面积问题：可通过寻底找高进行求解，例如：平行四边形面积=底⨯高梯形面积=12⨯（上底+下底）⨯高三角形面积=12⨯底⨯高②商业问题：总价=单价⨯数量利润=营业额-成本=货物单价⨯数量-成本③利息问题：利息=本金⨯利率本息总和=本金+利息=本金⨯利率+本金（4）在解决实际问题时要注意变量的取值范围应与实际情况相符，例如：涉及到个数时，变量应取正整数.涉及到钱，速度等问题，变量的取值应该为正数.2、使用线性规划模型解决实际问题（1）题目特点：叙述中也有两个核心变量，但条件多为涉及两核心变量的不等关系，且所求是关于两个核心变量的表达式，这类问题通常使用线性规划模型来解决问题 （2）与函数模型的不同之处① 函数模型：体现两核心变量之间的等量关系，根据一个变量的范围求另一个变量的范围（或最值） ② 线性规划模型：体现关于两变量的不等关系，从而可列出不等式组，要解决的是含两个变量的表达式的最值.（3）解题步骤：根据题目叙述确定未知变量（通常选择两个核心变量，其余变量用这两个进行表示），并列出约束条件和目标函数，然后利用数形结合的方式进行解决（4）注意事项：在实际问题中，变量的取值有可能为整数，若最优解不是整数，则可在最优解附近寻找几对整点，代入到目标函数中并比较大小 3、使用三角函数模型解决实际问题（1）题目特点：题目以几何图形（主要是三角形）作为基础，条件多与边角相关 （2）需要用到的数学工具与知识点：① 正弦定理：设ABC 三边,,a b c 所对的角分别为,,A B C ，则有sin sin sin a b cA B C==② 余弦定理（以a 和对角A 为例），2222cos a b c bc A =+- ③ 三角函数表达式的化简与变形 ④ 函数()sin y A x ωϕ=+的值域 （3）解题技巧与注意事项：① 在求边角问题时，应把所求的边或角放在合适的三角形中② 在直角三角形里，已知一条边，则其它边可用该边与内角的三角函数值进行表示 ③ 在图形中要注意变量的取值范围【经典例题】例1．【2018届上海市松江、闵行区高三下学期（二模）】某公司利用线上、实体店线下销售产品，产品在上市天内全部售完.据统计，线上日销售量、线下日销售量（单位：件）与上市时间天的关系满足：，产品每件的销售利润为(单位：元)（日销售量线上日销售量线下日销售量）.（1）设该公司产品的日销售利润为，写出的函数解析式；（2）产品上市的哪几天给该公司带来的日销售利润不低于元？【答案】(1)(2)第5天至第15天该公司日销售利润不低于元.【解析】试题分析：（1）由题意分类讨论，分别求得销售量，然后与相应的利润相乘可得利润函数的解析式为（2）结合(1)中的利润函数分类讨论求解二次不等式可得第5天至第15天给该公司带来的日销售利润不低于元.综上可得：（2）当时，由，解得；当时，由，解得；当时，由，无解.故第5天至第15天给该公司带来的日销售利润不低于元.点睛：(1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型.(2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法．在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值．例2.【2018年江苏省高考冲刺预测卷一】秸秆还田是当今世界上普通重视的一项培肥地力的增产措施，在杜绝了秸秆焚烧所造成的大气污染的同时还有增肥增产作用.某农机户为了达到在收割的同时让秸秆还田，花137600元购买了一台新型联合收割机，每年用于收割可以收入6万元（已减去所用柴油费）；该收割机每年都要定期进行维修保养，第一年由厂方免费维修保养，第二年及以后由该农机户付费维修保养，所付费用（元）与使用年数的关系为：（，且），已知第二年付费1800元，第五年付费6000元.}（Ⅰ）试求出该农机户用于维修保养的费用（元）与使用年数的函数关系；（Ⅱ）这台收割机使用多少年，可使平均收益最大？（收益=收入-维修保养费用-购买机械费用）【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）14.【解析】试题分析：根据第二年付费元，第五年付费元可得关于的方程组，解出即可得到则依题意，，，当且仅当，即时取等号.所以这台收割机使用14年，可使年均收益最大.例3．【2018届广东省六校（广州二中，深圳实验，珠海一中，中山纪念，东莞中学，惠州一中）高三下第三次联考】某小店每天以每份5元的价格从食品厂购进若干份食品，然后以每份10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的食品还可以每份1元的价格退回食品厂处理.(Ⅰ)若小店一天购进16份，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：份，）的函数解析式；(Ⅱ)小店记录了100天这种食品的日需求量（单位：份），整理得下表：日需求量14 15 16 17 18 19 20频数10 20 16 16 15 13 10以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.(i)小店一天购进16份这种食品，表示当天的利润（单位：元），求的分布列及数学期望；(ii)以小店当天利润的期望值为决策依据，你认为一天应购进食品16份还是17份？【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)(i)答案见解析；(ii)17份.的大小可得选择的结论．X 62 71 80P 0．1 0．2 0．7∴元．（ii）若小店一天购进17份食品，表示当天的利润(单位：元)，那么的分布列为Y 58 67 76 85P 0．1 0．2 0．16 0．54∴的数学期望为元．由以上的计算结果可以看出，即购进17份食品时的平均利润大于购进16份时的平均利润．∴所以小店应选择一天购进17份．例4．【2018届江苏省无锡市高三上期末】如图，点为某沿海城市的高速公路出入口，直线为海岸线，，，是以为圆心，半径为的圆弧型小路.该市拟修建一条从通往海岸的观光专线，其中为上异于的一点，与平行，设.（1）证明：观光专线的总长度随的增大而减小；（2）已知新建道路的单位成本是翻新道路的单位成本的2倍.当取何值时，观光专线的修建总成本最低？请说明理由.【答案】（1）见解析;（2）.，求出，分两区间讨论的单调性，以证明为极小值点.试题解析：（1）由题意，，所以，又，所以观光专线的总长度，，因为当时，，所以在上单调递减，当时，，当时，.所以，当时，最小.答：当时，观光专线的修建总成本最低.【点睛】在一定条件下“成本最低”、“用料最省”、“面积最大”、“效率最高“等问题，在生产、生活中经常遇到，在数学上这类问题往往归结为求函数的最值问题.除了常见的求最值的方法外，还可用求导法求函数的最值，但无论采取何种方法都必须在函数的定义域内进行.例5.如图所示，甲船以每小时302n?mile 的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于1A 处时，乙船位于甲船的北偏西105︒方向的1B 处，此时两船相距20n?mile ．当甲船航行 20min 到达2A 处时，乙船航行到甲船的北偏西 120︒方向的2B 处，此时两船相距102mile n ，问乙船每小时航行多少n?mile ？【答案】302n?mile . 【解析】试题分析：连接12A B ，先得122A A B 是等边三角形，求出12A B ，在121A B B 中使用余弦定理求出12B B 的长，除以航行时间得出速度．试题解析：如图，连结12A B ,由题意知, 221220102nmile,302102nmile 60A B A A ===.所以1222A A A B =.又12218012060A A B ∠=︒-︒=︒，答：乙船每小时航行 302nmile .例6.【2018届江苏省南通、徐州、扬州等六市高三二模】将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100dm 2的矩形薄铁皮（如图），并沿虚线l 1，l 2裁剪成A ，B ，C 三个矩形（B ，C 全等），用来制成一个柱体．现有两种方案：方案①：以1l 为母线，将A 作为圆柱的侧面展开图，并从B ，C 中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面； 方案②：以1l 为侧棱，将A 作为正四棱柱的侧面展开图，并从B ，C 中各裁剪出一个正方形（各边分别与1l 或2l 垂直）作为正四棱柱的两个底面．（1）设B ，C 都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面半径； （2）设1l 的长为x dm ，则当x 为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？【答案】(1)()()52π1r+=；(2) 210.【解析】试题分析：（1）设所得圆柱的半径为rdm，根据矩形薄铁皮的面积为1002dm，即可求得r的值；试题解析：（1）设所得圆柱的半径为rdm，则()2π24100r r r+⨯=，解得()()52π1r+=（2）设所得正四棱柱的底面边长为a dm，则2{1004xaa ax≤≤-，，即2{20.xaax≤≤，方法一：所得正四棱柱的体积3202104{400210.xxV a xxx<≤=≤>，，，记函数()302104{40010.xxp xxx<≤=>，，，则()p x在(0210上单调递增，在)210⎡+∞⎣，上单调递减. ∴当10x=时，()max2010p x=∴当10x=，10a=maxV=103．（2）当x 为210时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大．例7.【2018届江苏省南通市高三上第一次调研】如图，某小区中央广场由两部分组成，一部分是边长为80cm 的正方形ABCD ，另一部分是以AD 为直径的半圆，其圆心为O .规划修建的3条直道AD ， PB ， PC 将广场分割为6个区域：Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ为绿化区域（图中阴影部分），Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ为休闲区域，其中点P 在半圆弧上， AD 分别与PB ， PC 相交于点E ， F .（道路宽度忽略不计）（1）若PB 经过圆心，求点P 到AD 的距离； （2）设POD θ∠=， 0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. ①试用θ表示EF 的长度；②当sin θ为何值时，绿化区域面积之和最大. 【答案】（1）165m （2）①最小值为)2640021m ②当sin 222θ=时，绿化区域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面积之和最大半圆O 的方程为22240x y += ()0y ≥，由()2222,{400,y x x y y =+=≥得165y =.所以，点P 到AD 的距离为165m .（2）①由题意，得()40cos ,40sin P θθ. 直线PB 的方程为()sin 28040cos 1y x θθ++=++，令0y =，得80cos 8040sin 2E x θθ+=-+ 80cos 40sin sin 2θθθ-=+. 直线PC 的方程为()sin 28040cos 1y x θθ-+=--，令0y =，得80cos 8040sin 2F x θθ-=++ 80cos 40sin sin 2θθθ+=+.所以2121600sin 6400sin 2S S θθ++=+ (0)2πθ<<.设sin 2t θ+=，则23t <<，()212160026400t S S t-++=.816004t t ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()1600284≥ )640021=.当且仅当22t =sin 222θ=时“=”成立. 所以，休闲区域Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ的面积12S S +的最小值为)2640021m .答：当sin 222θ=时，绿化区域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面积之和最大.例8.【2018届山东省枣庄市第八中学东校区高三1月月考】现有一块大型的广告宣传版面，其形状是右图所示的直角梯形ABCD .某厂家因产品宣传的需要，拟投资规划出一块区域（图中阴影部分）为产品做广告，形状为直角梯形DEFG （点F 在曲线段AC 上，点E 在线段AD 上）.已知12BC m =， 6AB AD m ==，其中曲线段AC 是以A 为顶点， AD 为对称轴的抛物线的一部分.（1）建立适当的平面直角坐标系，分别求出曲线段AC 与线段DC 的方程； （2）求该厂家广告区域DEFG 的最大面积.【答案】(1) ()21063y x x =-≤≤， ()606y x x =--≤≤；(2)最大值是2272m则()00A ，， ()6,0B ， ()6,12C -， ()0,6D -， 曲线段AC 的方程为： ()21063y x x =-≤≤； 线段DC 的方程为： ()606y x x =--≤≤；（2）设点21,3F a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则需2163a ->-，即032a <<令()0f a '=，得3a =， 2a =-.∴()f a 在(]0,3上是增函数，在3,32⎡⎤⎣⎦上是减函数.∴()()2732f a f ==. ∴厂家广告区域DEFG 的面积最大值是2272m . 点睛:本题利用已知函数模型解决实际问题，关键是合理建系设出点坐标即可表示出面积的表达式，利用导数研究单调性即可求出最值.例9. 时下网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y （单位：千套）与销售价格:x （单位：元/套）满足的关系式()2462m y x x =+--，其中26,x m <<为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套． （1）求m 的值；（2）假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．（保留1位小数） 【答案】（1）10；（2）约为3.3.【解析】解：（1）将4,21x y ==代入关系式可得：()221446102m m =+-⇒= （2）思路：依题意可得售出一套，所得利润为()2x -元，所以总的利润()()()2102462f x x x x ⎛⎫=-+- ⎪-⎝⎭，其中26x <<，利用导数判定()f x 的单调性，进而可求得最大值点x()f x ∴在103x =取得最大值，即 3.3x例10.如图，在海岸线EF 一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC ，该曲线段是函数()()()(]sin 0,0,0,,4,0y A x A x ωϕωϕπ=+>>∈∈-的图像，图像的最高点为()1,2B -，边界的中间部分为长1千米的直线段CD ，且CD ∥EF ，游乐场的后一部分边界是以O 为圆心的一段圆弧DE（1）求曲线FGBC 的函数表达式（2）曲线段FGBC 上的入口G 距海岸线EF 最近距离为1千米，现准备从入口G ，修一条笔直的景观路到O ，求景观路GO 的长度（3）如图，在扇形ODE 区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ ，平行四边形的一边在海岸线EF 上，一边在半径OD 上，另外一个顶点P 在圆弧DE 上，且POE θ∠=，求平行 四边形休闲区OMPQ 面积的最大值及此时θ的值【答案】（1）22sin 63y x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）10；（3）6πθ=时，OMPQ S 的最大值为23 . 【解析】解：（1）由()1,2B -可知2A =，()4,0F -∴ 对于()sin y A x ωϕ=+，()()41412T =---=⎡⎤⎣⎦26T ππω∴==（2）由已知可得1G y = 2212sin 1sin 63632G G x x ππππ⎛⎫⎛⎫∴+=⇒+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 2=2636G x k ππππ∴++或25=2636G x k ππππ++ 解得：312G x k =-+或112G x k =+，由()4,0G x ∈-可得：()3,1G -10OG ∴=（3）由图可知，3,1OC CD ==2,6DO COD π∴=∠=12323232cos 2sin 2sin 2333OMPQS OM PP θθθθθ⎛⎫∴=⋅=-⋅=+- ⎪⎝⎭432320,3633ππθθ⎛⎫⎛⎫=+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2626πππθθ∴+=⇒=时，OMPQ S 23【精选精练】1．【2018年北京市门头沟一模】某电力公司在工程招标中是根据技术、商务、报价三项评分标准进行综合评分的，按照综合得分的高低进行综合排序，综合排序高者中标。
2019年高考数学一轮复习 函数模型及其应用
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
课后练习
1．幂函数、指数函数、对数函数模型增长的差异 在区间(0，＋∞)，尽管 y＝ax(a>1)、y＝logax(a>1)和 y＝
增函数 ，但它们的增长速度不同，而且不在同 xn(n>0)都是_________
一“档次”上，随着 x 的增长，y＝ax(a>1)的增长速度越来越
课时小结
课后练习
点评：实际生活中的二次函数问题(如利润、面积、产 量等)，可根据已知条件确定二次函数模型，结合二次函数 的图象、单调性、最值、零点等知识解决，解题时要注意函 数的定义域．
复习目标课前预习源自高频考点课时小结课后练习
9a＋3b＋c＝0.7， 解：由已知得16a＋4b＋c＝0.8， 25a＋5b＋c＝0.5， a＝－0.2， 解得b＝1.5， c＝－2.
1 15 2 13 所以 p＝－0.2t ＋1.5t－2＝－ (t－ ) ＋ . 5 4 16
复习目标 课前预习 高频考点 课时小结
课后练习
1．指数增长模型： 设原有总量为 N，每次的增长率为 p，经过 x 次增长，该量 增长到 y，则 y＝N(1＋p)x. 2．解函数应用问题的基本步骤
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
课后练习
1．当 x>0 时，比较 y＝log5x，y＝5x，y＝x5 三个函数， 下列说法正确的是( ) A．y＝5x 的图象始终在最上方 B．当 x 增长到足够大时，y＝5x 的图象始终在最上方 C．y＝x5 的图象与 y＝5x 的图象会不断穿插交汇，有无数 个交点 D．y＝log5x 的图象与 y＝x5 的图象有一个交点 解：画出三个函数的图象，并结合它们的增长情况分析
备战2019年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题58 巧选数学模型解排列组合问题
专题58 巧选数学模型解排列组合问题【热点聚焦与扩展】纵观近几年的高考试题，排列组合问题往往以实际问题为背景，考查排列数、组合数、分类分步计数原理，同时考查分类讨论的思想及解决问题的能力．除了以选择、填空的形式考查，也往往在解答题中与古典概型概率计算相结合进行考查．有一些问题如果直接从题目入手，处理起来比较繁琐.但若找到解决问题的合适模型，或将问题进行等价的转化.便可巧妙的解决问题.本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，举例说明. （一）处理排列组合问题的常用思路：1、特殊优先：对于题目中有特殊要求的元素，在考虑步骤时优先安排，然后再去处理无要求的元素. 例如：用0,1,2,3,4组成无重复数字的五位数，共有多少种排法？2、寻找对立事件：如果一件事从正面入手，考虑的情况较多，则可以考虑该事的对立面，再用全部可能的总数减去对立面的个数即可.3、先取再排（先分组再排列）：排列数mn A 是指从n 个元素中取出m 个元素，再将这m 个元素进行排列.但有时会出现所需排列的元素并非前一步选出的元素，所以此时就要将过程拆分成两个阶段，可先将所需元素取出，然后再进行排列. （二）排列组合的常见模型1、捆绑法（整体法）：当题目中有“相邻元素”时，则可将相邻元素视为一个整体，与其他元素进行排列，然后再考虑相邻元素之间的顺序即可.2、插空法：当题目中有“不相邻元素”时，则可考虑用剩余元素“搭台”，不相邻元素进行“插空”，然后再进行各自的排序注：（1）要注意在插空的过程中是否可以插在两边 （2）要从题目中判断是否需要各自排序3、错位排列：排列好的n 个元素，经过一次再排序后，每个元素都不在原先的位置上，则称为这n 个元素的一个错位排列.例如对于,,,a b c d ，则,,,d c a b 是其中一个错位排列.3个元素的错位排列有2种，4个元素的错位排列有9种，5个元素的错位排列有44种.以上三种情况可作为结论记住4、依次插空：如果在n 个元素的排列中有m 个元素保持相对位置不变，则可以考虑先将这m 个元素排好位置，再将n m -个元素一个个插入到队伍当中（注意每插入一个元素，下一个元素可选择的空1+）5、不同元素分组：将n 个不同元素放入m 个不同的盒中6、相同元素分组：将n 个相同元素放入m 个不同的盒内，且每盒不空，则不同的方法共有11m n C --种.解决此类问题常用的方法是“挡板法”，因为元素相同，所以只需考虑每个盒子里所含元素个数，则可将这n 个元素排成一列，共有()1n -个空，使用()1m -个“挡板”进入空档处，则可将这n 个元素划分为m 个区域，刚好对应那m 个盒子.7、涂色问题：涂色的规则是“相邻区域涂不同的颜色”，在处理涂色问题时，可按照选择颜色的总数进行分类讨论，每减少一种颜色的使用，便意味着多出一对不相邻的区域涂相同的颜色（还要注意两两不相邻的情况），先列举出所有不相邻区域搭配的可能，再进行涂色即可.【经典例题】例1.【2019届湖北省黄冈中学5月三模】对33000分解质因数得，则的正偶数因数的个数是（ ） A. 48 B. 72 C. 64 D. 96 【答案】A由分步计数乘法原理可得的因数共有，不含的共有，正偶数因数的个数有个， 即的正偶数因数的个数是，故选A.例2.【2019届贵州省凯里市第一中学四模】集合，从集合中各取一个数，能组成（ ）个没有重复数字的两位数？ A. 52 B. 58 C. 64 D. 70 【答案】B【解析】分析：分别从集合A ，B 取一个数字，再全排列，根据分步计数原理即可得到答案． 详解：例3.【2019届四川省 “联测促改”】中国古代十进制的算筹计数法，在世界数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同样长短的小木棍，如图，算筹表示数1～9的方法的一种.例如：163可表示为“”27可表示为“”问现有8根算筹可以表示三位数的个数（算筹不能剩余）为（ ）A. 48B. 60C. 96D. 120 【答案】C对于()2,2,4，组合出的可能的算筹为：()()()()()()2,2,4,6,6,4,2,2,8,6,6,8,2,6,4,2,6,8共6种，可以组成的三位数的个数为： 3!23!42⨯+⨯种， 同理()2,3,3可以组成的三位数的个数为： 3!23!42⨯+⨯种， 利用加法原理可得：8根算筹可以表示三位数的个数（算筹不能剩余）为3!123!8163!962⨯+⨯=⨯=. 本题选择C 选项. 例4.已知集合(){}22,|1,,A x y xy x y Z =+≤∈， (){},|2,2,,B x y x y x y Z =≤≤∈，定义集合()()(){}12121122,|,,,A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素个数为（ ）A. 77B. 49C. 45D. 30例5.如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3、4中的任何一个，允许重复．若填入A方格的数字大于B方格的数字，则不同的填法共有()A. 192种B. 128种C. 96种D. 12种【答案】C【解析】试题分析：根据题意，先分析A、B两个方格，由于其大小有序，则可以在l、2、3、4中的任选2个，大的放进A方格，小的放进B方格，由组合数公式计算可得其填法数目，对于C、D两个方格，每个方格有4种情况，由分步计数原理可得其填法数目，最后由分步计数原理，计算可得答案．根据题意，对于A、B两个方格，可在l、2、3、4中的任选2个，大的放进A方格，小的放进B方格，有2 46C=种情况，对于C、D两个方格，每个方格有4种情况，则共有4×4=16种情况，则不同的填法共有16×6=96种，故选C．例6.【2019届黑龙江省牡丹江市第一高级中学高三上期末】将数字1,2,3,4，填入右侧的表格内，要求每行、每列的数字互不相同，如图所示，则不同的填表方式共有（）种A. 432B. 576C. 720D. 864【答案】B【解析】对符合题意的一种填法如图，行交换共有4424A=种，列交换共有4424A=种，所以根据分步计数原理得到不同的填表方式共有2424=576⨯种，故选B.例7. 设集合(){}{}{}12345,,,,|1,0,1,1,2,3,4,5i A x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为（ ）A. 60B. 90C. 120D. 130 【答案】D例8.已知{}1,2,3,,40S =L ，A S ⊆且A 中有三个元素，若A 中的元素可构成等差数列，则这样的集合A 共有（ ）个A. 460B. 760C. 380D. 190 【答案】C【解析】思路：设A 中构成等差数列的元素为,,a b c ，则有2b a c =+，由此可得,a c 应该同奇同偶，而当,a c 同奇同偶时，则必存在中间项b ，所以问题转变为只需在140-中寻找同奇同偶数的情况.,a c 同为奇数的可能的情况为220C ，同为偶数的可能的情况为220C ，所以一共有2202380C ⋅=种.例9.【2019届云南省昆明市第二次统考】定义“有增有减”数列{}n a 如下： *t N ∃∈，满足1t t a a +<，且*s N ∃∈，满足1S S a a +>.已知“有增有减”数列{}n a 共4项，若{}(),,1,2,3,4i a x y z i ∈=，且x y z <<，则数列{}n a 共有（ ）A. 64个B. 57个C. 56个D. 54个 【答案】D例10：方程10x y z w +++=的正整数解有多少组？非负整数解有多少组？ 【答案】正整数解有84种，非负整数解有286种【解析】思路：本题可将10理解为10个1相加，而,,,x y z w 相当于四个盒子，每个盒子里装入了多少个1，则这个变量的值就为多少.从而将问题转化为相同元素分组的模型，可以使用挡板法得：3984C =种；非负整数解相当于允许盒子里为空，而挡板法适用于盒子非空的情况，所以考虑进行化归：()()()()10111114x y z w x y z w +++=⇒+++++++=，则1,1,1,1x y z w ++++这四个盒子非空即可.所以使用挡板法得：313286C =种【精选精练】1.【2019届山东省潍坊市二模】中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同排课顺序共有（ ） A.种 B.种 C.种 D.种【答案】A【解析】分析：该题属于有限制条件的排列问题，在解题的过程中，需要分情况讨论，因为“数”必须排在前三节，这个就是不动的，就剩下了五个不同的元素，所以需要对“数”的位置分三种情况，对于相邻元素应用捆绑法来解决即可.详解：当“数”排在第一节时有排法，当“数”排在第二节时有种排法，当“数”排在第三节时，当“射”和“御”两门课程排在第一、二节时有种排法，当“射”和“御”两门课程排在后三节的时候有种排法，所以满足条件的共有种排法，故选A.点睛：在解决问题时一是注意对“数”的位置分三种情况，二是在“数”排在第三节时，要对两个相邻元素的位置分类讨论，再者还要注意“数”排在第二节时，两个相邻元只能排在后四节. 2.【2019届北京师范大学附中二模】若自然数使得作竖式加法均不产生进位现象，则称为“开心数”．例如：32是“开心数”．因不产生进位现象；23不是“开心数”，因产生进位现象，那么，小于100的“开心数”的个数为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】D3.【2019届广东省广州市第一次调研】某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2名，乙大学2名，丙大学1名，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有A. 36种B. 24种C. 22种D. 20种 【答案】B【解析】第一类：男生分为1,1,1，女生全排，男生全排得323212A A ⋅=，第二类：男生分为2,1，所以男生两堆全排后女生全排22232212C A A ⋅=，不同的推荐方法共有121224+= ，故选B.4. 设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -∉且1k A +∉，那么称k 是集合A 的一个“孤立元”，给定{}1,2,3,4,5,6,7,8S =，则S 的3个元素构成的所有集合中，其元素都是“孤立元”的集合个数是（ ）A. 6B. 15C. 20D. 25 【答案】C【解析】思路：首先要理解“k A ∈，则1k A -∉且1k A +∉”，意味着“独立元”不含相邻的数，元素均为独立元，则说明3个元素彼此不相邻，从而将问题转化为不相邻取元素问题，利用插空法可得：3620C =种5.一个含有10项的数列{}n a 满足：11010,5,1,(1,2,,9)k k a a a a k +==-==L ，则符合这样条件的数列{}n a 有（ ）个A. 30B. 35C. 36D. 40 【答案】36种6.【2019届浙江省金丽衢十二校第二次联考】用0，1，2，3，4可以组成的无重复数字的能被3整除的三位数的个数是（）A. 20B. 24C. 36D. 48【答案】A【解析】分析：先根据能被3整除的三位数字组成为012，024，123，234四种情况，再分类讨论排列数，最后相加得结果.详解：因为能被3整除的三位数字组成为012，024，123，234四种情况，所以对应排列数分别为因此一共有，选A.7．【2019届上海市松江、闵行区二模】13．设，那么满足的所有有序数组的组数为___________.【答案】【解析】分类讨论：①，则这四个数为或，有组；②，则这四个数为或，有组；③，则这四个数为或或，有组；综上可得，所有有序数组的组数为.点睛：(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．8．【2019届天津市十二重点中学联考（一）】用0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位偶数，要求奇数不相邻，且0不与另外两个偶数相邻，这样的五位数一共有_______个.（用数字作答）【答案】169．对于各数互不相等的整数数组（是不小于的正整数）,对于任意的,当时有,则称是该数组的一个“逆序”,一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”,则数组中的逆序数为___________;若数组中的逆序数为,则数组中的逆序数为___________.【答案】 310．已知集合，集合的所有非空子集依次记为：，设分别是上述每一个子集内元素的乘积.(如果的子集中只有一个元素，规定其积等于该元素本身)，那么__________．【答案】5【解析】所有子集的“乘积”之和即展开式中所有项的系数之和T-1，令，则故答案为511．【2019届浙江省嵊州市高三上期末】9某学校要安排2位数学老师、2位英语老师和1位化学老师分别担任高三年级中5个不同班级的班主任，每个班级安排1个班主任．由于某种原因，数学老师不担任A班的班主任，英语老师不担任B班的班主任，化学老师不担C班和D班的班主任，则共有__________种不同的安排方法．（用数字作答）．【答案】32【解析】若数学老师分到,B C两班，共有212222=8A A A种分法，若数学老师分到,B D两班，共有212222=8A A A种分法，若数学老师分到,B E两班，共有2222=4A A种分法，若数学老师分到,C D两班，共有2222=4A A种分法，若数学老师分到,C E两班，共有2222=4A A种分法，若数学老师分到,D E两班，共有2222=4A A种分法，共有8+8+4+4+4+4=32种安排方法，故答案为32 .12.圆周上有20个点，过任意两点连接一条弦，这些弦在圆内的交点最多有多少个【答案】4845个。
【创新方案】高考数学一轮复习(知识回扣+热点突破+能力提升)函数模型及其应用 理 北师大版
第九节 函数模型及其应用【考纲下载】1．了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．1．三种函数模型性质比较2.几种常见的函数模型(1)一次函数模型：y ＝ax ＋b ，(a ≠0)； (2)反比例函数模型：y ＝k x(k ≠0)； (3)二次函数模型：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；(4)指数函数模型：y ＝N (1＋p )x(x >0，p ≠0)(增长率问题)； (5)对数函数模型y ＝b log a x (x >0，a >0且a ≠1)； (6)幂函数模型y ＝ax n＋b (a ，b 为常数，a ≠0)； (7)y ＝x ＋a x型(x ≠0)； (8)分段函数型．1．直线上升、指数增长、对数增长的增长特点是什么？提示：直线上升：匀速增长，其增长量固定不变；指数增长：先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；对数增长：先快后慢，其增长速度缓慢．2．函数y1＝1100e x，y2＝100ln x，y3＝x100，y4＝100×2x中，随x的增大而增大速度最快的函数是哪一个？提示：y1＝1100e x.1．下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，它最可能的函数模型是( )A．一次函数模型 B．幂函数模型C．指数函数模型 D．对数函数模型解析：选A 根据已知数据可知，自变量每增加1，函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．2．某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次(由一个分裂成两个)，这种细菌由1个繁殖成4 096个需经过( )A．12小时 B．4小时C．3小时 D．2小时解析：选C 由题意知24t＝4 096，即16t＝4 096，解得t＝3.3．据调查，苹果园地铁的自行车存车处在某星期日的存车量为4 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系是( )A．y＝0.1x＋800(0≤x≤4 000)B．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)C．y＝－0.1x＋800(0≤x≤4 000)D．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)解析：选D y＝0.2x＋(4 000－x)×0.3＝－0.1x＋1 200.4．(2014·渭南模拟)某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元．每提高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时，可以生产最低档产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品．则获得利润最大时生产产品的档次是________．解析：由题意，第k档次时，每天可获利润为：y＝[8＋2(k－1)][60－3(k－1)]＝－6k2＋108k＋378(1≤k≤10)，配方可得y＝－6(k－9)2＋864，∴k＝9时，获得利润最大．答案：95．某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，按九折出售，每件还获利________元．解析：九折出售时价格为100×(1＋25%)×90%＝112.5元，此时每件还获利112.5－100＝12.5元．答案：12.51．由于受到新课标中概率模块的冲击，实际应用题被概率问题占据了位置，逐步退出命题的热点，但以二次函数为模型的应用题还是常出现在高考试题中，既有选择题、填空题，也有解答题，难度适中，属中档题．2．高考对一次函数、二次函数模型的考查主要有以下两个命题角度：(1)单一考查一次函数或二次函数模型的建立及最值问题；(2)以分段函数的形式考查一次函数和二次函数．[例1] (1)(2013·陕西高考)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x为________m.(2)(2011·湖北高考)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．①当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；②当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/时)[自主解答] (1)设内接矩形另一边长为y ，则由相似三角形性质可得x 40＝40－y40，解得y＝40－x ，所以面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400(0<x <40)，当x ＝20时，S max ＝400.(2)①由题意，当0≤x ≤20时，v (x )＝60；当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b ，再由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝2003.故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0≤x ≤20，13－x ，20≤x ≤200.②依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ，0≤x ≤20，13x －x ，20≤x ≤200.当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200； 当20≤x ≤200时，f (x )＝13x (200－x )≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋－x 22＝10 0003，当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立．所以当x ＝100时，f (x )在区间[20,200]上取得最大值10 0003.综上，当x ＝100时，f (x )在区间[0,200]上取得最大值10 0003≈3 333， 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时． [答案] (1)20一次函数、二次函数模型问题的常见类型及解题策略(1)直接考查一次函数、二次函数模型．解决此类问题应注意三点：①二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；②确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法；③解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．(2)以分段函数的形式考查．解决此类问题应关注以下三点：①实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解；②构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏；③分段函数的最值是各段的最大(或最小)者的最大者(最小者)．1．(2013·上海高考)甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每一小时可获得的利润是100⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x 元．(1)求证：生产a 千克该产品所获得的利润为100a ·⎝⎛⎭⎪⎫5＋1x －3x 2元；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．解：(1)证明：生产a 千克该产品所用的时间是ax小时，∵每一小时可获得的利润是100⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x 元，∴获得的利润为100⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x ×a x元．因此生产a 千克该产品所获得的利润为100 a ⎝⎛⎭⎪⎫5＋1x －3x 2元．(2)生产900千克该产品获得的利润为90 000·⎝⎛⎭⎪⎫5＋1x －3x 2元，1≤x ≤10.设f (x )＝－3x 2＋1x ＋5,1≤x ≤10.则f (x )＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －162＋112＋5，当且仅当x ＝6取得最大值．故获得最大利润为90 000×6112＝457 500元．因此甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润457 500元．2．据气象中心观察和预测：发生于M 地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v (km/h)与时间t (h)的函数图象如图所示，过线段OC 上一点T (t,0)作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积即为t (h)内沙尘暴所经过的路程s (km)．(1)当t ＝4时，求s 的值；(2)将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N 城位于M 地正南方向，且距M 地650 km ，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N 城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由．解：(1)由图象可知：当t ＝4时，v ＝3×4＝12，∴s ＝12×4×12＝24.(2)当0≤t ≤10时，s ＝12·t ·3t ＝32t 2；当10<t ≤20时，s ＝12×10×30＋30(t －10)＝30t －150；当20<t ≤35时，s ＝12×10×30＋10×30＋(t －20)×30－12×(t －20)×2(t －20)＝－t2＋70t －550.综上，可知s ＝⎩⎪⎨⎪⎧32t 2，t ∈[0，10]，30t －150，t ∈，20]，－t 2＋70t －550，t ∈，35].(3)沙尘暴会侵袭到N 城．∵t ∈[0,10]时，s max ＝32×102＝150<650，t ∈(10,20]时，s max＝30×20－150＝450<650，∴当t ∈(20,35]时，令－t 2＋70t －550＝650.解得t 1＝30，t 2＝40.∵20<t ≤35，∴t ＝30.∴沙尘暴发生30 h 后将侵袭到N 城.[例2] 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系C (x )＝k 3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值．[自主解答] (1)由已知条件得C (0)＝8，则k ＝40，因此f (x )＝6x ＋20C (x )＝6x ＋8003x ＋5(0≤x ≤10)．(2)f (x )＝6x ＋10＋8003x ＋5－10≥26x ＋108003x ＋5－10＝70(万元)，当且仅当6x ＋10＝8003x ＋5，即x ＝5时等号成立．所以当隔热层厚度为5 cm 时，总费用f (x )达到最小值，最小值为70万元．【方法规律】把实际问题数学化、建立数学模型一定要过好的三关(1)事理关：通过阅读、理解，明确问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解题找出突破口；(2)文理关：将实际问题的文字语言转化为数学符号语言，用数学式子表达数学关系； (3)数理关：在构建数学模型的过程中，对已知数学知识进行检索，从而认定或构建相应的数学模型．某村计划建造一个室内面积为800 m 2的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留3 m 宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大面积是多少？解：设温室的左侧边长为x m ，则后侧边长为800xm.∴蔬菜种植面积y ＝(x －4)⎝ ⎛⎭⎪⎫800x －2＝808－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1 600x (4<x <400)．∵x ＋1 600x≥2x ·1 600x＝80，∴y ≤808－2×80＝648.当且仅当x ＝1 600x，即x ＝40时取等号，此时800x＝20，y 最大值＝648(m 2)．即当矩形温室的边长各为40 m 、20 m 时，蔬菜的种植面积最大，最大面积是648 m 2.[例3] 已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t (单位：分钟)的变化规律是θ＝m ·2t ＋21－t (t ≥0，并且m >0)．(1)如果m ＝2，求经过多长时间，物体的温度为5摄氏度； (2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m 的取值范围． [自主解答] (1)若m ＝2，则θ＝2·2t＋21－t＝2⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋12t ，当θ＝5时，2t ＋12t ＝52，令2t ＝x (x ≥1)，则x ＋1x ＝52，即2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12(舍去)，此时t ＝1.所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度．(2)物体的温度总不低于2摄氏度，即θ≥2恒成立，亦m ·2t＋22t ≥2恒成立．亦即m ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －122t 恒成立．令12t ＝y ，则0<y ≤1，∴m ≥2(y －y 2)恒成立，由于y －y 2≤14，∴m ≥12.因此，当物体的温度总不低于2摄氏度时，m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.【方法规律】应用指数函数模型应注意的问题(1)指数函数模型，常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决；(2)应用指数函数模型时，关键是对模型的判断，先设定模型，再将已知有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型；(3)y ＝a (1＋x )n通常利用指数运算与对数函数的性质求解．一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL ，那么，此人至少经过________小时才能开车．(精确到1小时)解析：设经过x 小时才能开车．由题意得0.3(1－25%)x≤0.09，∴0.75x≤0.3，x ≥log 0.750.3≈5.答案：5—————————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————个防范——实际问题的定义域要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．个步骤——解决实际应用问题的一般步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义． 以上过程用框图表示如下：实际问题答答题模板(一)函数建模在实际问题中的应用[典例] (2012·江苏高考)(12分)如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k ＞0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．[快速规范审题] 第(1)问1．审结论，明解题方向观察所求结论：求炮的最大射程――→应求出射程的关系式问题转化为求函数图象与x 轴交点的横坐标的最大值．2．审条件，挖解题信息观察条件：炮弹发射后的轨迹方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k >0)――→令y ＝0，可得图象与x 轴交点的横坐标，即射程x ＝20k 1＋k2.3．建联系，找解题突破口令y ＝0，得x ＝20k 1＋k 2――→利用基本不等式x ＝20k ＋1k≤10，从而可求炮的最大射程． 第(2)问1．审结论，明解题方向观察所求结论：横坐标a 不超过多少时，炮弹可击中目标――→考虑炮弹击中目标的条件炮弹击中目标，即点(a,3.2)满足炮弹发射后的轨迹方程．2．审条件，挖解题信息观察条件：y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k >0)．3．建联系，找解题突破口炮弹击中目标，即3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2(k >0)有解――→即关于k 的方程有正根利用Δ≥0求得结论．[准确规范答题]此处易发生读不懂题意，不能建立x 与k 的关系而造成题目无法求解(1)令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0，由实际意义和题设条件知x >0，k >0，⇨2分故x ＝20k 1＋k 2＝20k ＋1k≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号．所以炮的最大射程为10千米． ⇨5分 此处易发生不能把炮弹击中目标转化为关于k 的一元二次方程有正根问题而致误 (2)因为a >0，所以炮弹可击中目标⇔存在k >0，使3．2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立． ⇨8分即关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根． ⇨10分 此处易发生不能根据判别式列出不等式求解而致误所以判别式Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0，解得a ≤6.所以当a 不超过6千米时，可击中目标． ⇨12分[答题模板速成]解决函数建模问题的一般步骤：[全盘巩固]1．(2014·日照模拟)物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T 内完成预测的运输任务Q 0，各种方案的运输总量Q 与时间t 的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )解析：选 B 由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大．2．客车从甲地以60 km/h 的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80 km/h 的速度匀速行驶1小时到达丙地．下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s 与时间t 之间的关系式正确的是 ( )A ．s (t )＝60t,0≤t ≤52 B ．s (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ，0≤t ≤1，80t －60，1<t ≤52C ．s (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ，0≤t ≤1，0，1<t ≤52 D ．s (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ，0≤t ≤1，60，1<t ≤32，80t －60，32<t ≤52解析：选D 由题意可得路程s 与时间t 之间的关系式为s (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ，0≤t ≤1，60，1<t ≤32，80t －60，32<t ≤52.3．在一次数学试验中，采集到如下一组数据：则下列函数与 ) A ．y ＝a ＋bx B ．y ＝a ＋b xC ．y ＝ax 2＋b D ．y ＝a ＋bx解析：选B 由数据可知x ，y 之间的函数关系近似为指数型．4．一个人以6 m/s 的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25 m 时，交通灯由红变绿，汽车以1 m/s 2的加速度匀加速开走，那么( )A ．人可在7 s 内追上汽车B ．人可在10 s 内追上汽车C ．人追不上汽车，其间距最少为5 mD ．人追不上汽车，其间距最少为7 m解析：选D 设汽车经过t 秒行驶的路程为s 米，则s ＝12t 2，车与人的间距d ＝(s ＋25)－6t ＝12t 2－6t ＋25＝12(t －6)2＋7，当t ＝6时，d 取得最小值为7.5．图形M (如图所示)是由底为1，高为1的等腰三角形及高为2和3的两个矩形所构成，函数S ＝S (a )(a ≥0)是图形M 介于平行线y ＝0及y ＝a 之间的那一部分面积，则函数S (a )的图象大致是( )解析：选C 法一：依题意，当0≤a ≤1时，S (a )＝a－a 2＋2a ＝－12a 2＋3a ； 当1<a ≤2时，S (a )＝12＋2a ；当2<a ≤3时，S (a )＝12＋2＋a ＝a ＋52；当a >3时，S (a )＝12＋2＋3＝112，于是S (a )＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧－12a 2＋3a ，0≤a ≤1，2a ＋12，1<a ≤2，a ＋52，2<a ≤3，112，a >3.由解析式可知选C.法二：直线y ＝a 在[0,1]上平移时S (a )的变化量越来越小，故可排除选项A 、B.而直线y ＝a 在[1,2]上平移时S (a )的变化量比在[2,3]上的变化量大，故可排除选项D.6．(2014·汉中模拟)某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为60°(如图)，考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面面积为9 3 m 2，且高度不低于 3 m ．记防洪堤横断面的腰长为x m ，外周长(梯形的上底线段BC 与两腰长的和)为y m ．要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5 m ，则其腰长x 的取值范围为( )A ．[2,4]B ．[3,4]C ．[2,5]D ．[3,5]解析：选B 根据题意知，93＝12(AD ＋BC )h ，其中AD ＝BC ＋2·x 2＝BC ＋x ，h ＝32x ，∴93＝12(2BC ＋x )32x ，得BC ＝18x －x2，由⎩⎪⎨⎪⎧h ＝32x ≥3，BC ＝18x －x2>0，得2≤x <6.由y ＝BC ＋2x ＝18x ＋3x2≤10.5，得3≤x ≤4.∵[3,4]⊆[2,6)，∴腰长x 的范围是[3,4]．7．一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝a e－bt(cm 3)，经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．解析：依题意有a ·e－b ×8＝12a ，∴b ＝ln 28，∴y ＝a ·e－ ln 28·t 若容器中只有开始时的八分之一，则有a ·e－ln 28·t ＝18a .解得t ＝24，所以再经过的时间为24－8＝16 min. 答案：168．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________万元．解析：设该公司在甲地销售x 辆，则在乙地销售(15－x )辆，利润为L (x )＝5.06x －0.15x 2＋2(15－x )＝－0.15x 2＋3.06x ＋30＝－0.15⎝⎛⎭⎪⎫x －153152＋0.15×1532225＋30，由于x 为整数，所以当x ＝10时，L (x )取最大值L (10)＝45.6，即能获得的最大利润为45.6万元．答案：45.69．某商场宣传在节假日对顾客购物实行一定的优惠，商场规定： ①如一次购物不超过200元，不予以折扣；②如一次购物超过200元，但不超过500元，按标价予以九折优惠；③如一次购物超过500元的，其中500元给予九折优惠，超过500元的给予八五折优惠． 某人两次去购物，分别付款176元和432元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款________元．解析：由题意知付款432元，实际标价为432×109＝480元，如果一次购买标价176＋480＝656元的商品应付款500×0.9＋156×0.85＝582.6元．答案：582.610．设某旅游景点每天的固定成本为500元，门票每张为30元，变动成本与购票进入旅游景点的人数的算术平方根成正比．一天购票人数为25时，该旅游景点收支平衡；一天购票人数超过100时，该旅游景点须另交保险费200元．设每天的购票人数为x ，盈利额为y 元．(1)求y 与x 之间的函数关系；(2)该旅游景点希望在人数达到20人时就不出现亏损，若用提高门票价格的措施，则每张门票至少要多少元(取整数)？(参考数据： 2≈1.41, 3≈1.73, 5≈2.24)解：(1)根据题意，当购票人数不多于100时，可设y 与x 之间的函数关系为y ＝30x －500－k x (k 为常数，k ∈R 且k ≠0)．∵人数为25时，该旅游景点收支平衡，∴30×25－500－k25＝0，解得k ＝50.∴y ＝⎩⎨⎧30x －50x －x ∈N *，x ，30x －50x －x ∈N *，x(2)设每张门票价格提高为m 元，根据题意，得m ×20－5020－500≥0， (3)∴m ≥25＋55≈36.2，故每张门票最少要37元．11．为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－200x ＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品的价值为100元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？解：(1)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为y x ＝12x ＋80 000x －200≥2 12x ·80 000x －200＝200，当且仅当12x ＝80 000x，即x ＝400时，上式取等号，即当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．(2)设该单位每月获利为S ，则S ＝100x －y ＝100x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－200x ＋80 000＝－12x 2＋300x－80 000＝－12(x －300)2－35 000，因为400≤x ≤600，所以当x ＝400时，S 有最大值－40000.故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000元，才能不亏损．12．某特许专营店销售西安世界园艺博览会纪念章，每枚进价为5元，同时每销售一枚这种纪念章还需向世博会管理处交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2 000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元则增加销售400枚，而每增加一元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为x (元)．(1)写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润y (元)与每枚纪念章的销售价格x 的函数关系式(并写出这个函数的定义域)；(2)当每枚纪念章销售价格x 为多少元时，该特许专营店一年内利润y (元)最大，并求出这个最大值．解：(1)依题意y ＝⎩⎪⎨⎪⎧[2 000＋－x x －，0＜x ≤20，[2 000－x －x －，20<x <40，∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x x －，0＜x ≤20，－xx －，20<x <40.此函数的定义域为(0,40)．(2)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧400[－x －2＋81]，0＜x ≤20，100⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝⎛⎭⎪⎫x －4722＋1 0894，20<x <40.若0＜x ≤20，则当x ＝16时，y max ＝32400(元)．若20<x <40，则当x ＝472时，y max ＝27 225(元)．综上可得当x ＝16时，该特许专营店获得的利润最大为32 400元．[冲击名校]1．某学校制定奖励条例，对在教育教学中取得优异成绩的教职工实行奖励，其中有一个奖励项目是针对学生高考成绩的高低对任课教师进行奖励的．奖励公式为f (n )＝k (n )·(n －10)，n >10(其中n 是任课教师所在班级学生参加高考该任课教师所任学科的平均成绩与该科省平均分之差，f (n )的单位为元)，而k (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧0 n ，100n ，200n ，300 n ，400n现有甲、乙两位数学任课教师，甲所教的学生高考数学平均分超出省平均分18分，而乙所教的学生高考数学平均分超出省平均分21分．则乙所得奖励比甲所得奖励多( )A ．600元B ．900元C ．1 600元D ．1 700元解析：选D k (18)＝200，∴f (18)＝200×(18－10)＝1 600.又∵k (21)＝300，∴f (21)＝300×(21－10)＝3 300，∴f (21)－f (18)＝3 300－1 600＝1 700.故乙所得奖励比甲所得奖励多1 700元．2．某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过的部分为每吨3.00元．若甲、乙两户某月共交水费y 元，且甲、乙两户该月用水量分别为5x 吨、3x 吨，则y 关于x 的函数关系式为________．解析：依题意可知，当甲、乙两户用水量都不超过4吨，即0≤x ≤45时，y ＝1.8(5x ＋3x )＝14.4x ；当甲户用水量超过4吨，乙户用水量不超过4吨，即45<x ≤43时，y ＝3(5x －4)＋4×1.8＋3x ×1.8＝20.4x －4.8；当甲、乙两户用水量都超过4吨，即x >43时，y ＝3(5x －4＋3x －4)＋4×1.8×2＝24x －9.6.故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧14.4x ⎝⎛⎭⎪⎫0≤x ≤45，20.4x －4.8⎝ ⎛⎭⎪⎫45<x ≤43，24x －9.6⎝ ⎛⎭⎪⎫x >43.答案：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧14.4x ⎝⎛⎭⎪⎫0≤x ≤45，20.4x －4.8⎝ ⎛⎭⎪⎫45<x ≤43，24x －9.6⎝ ⎛⎭⎪⎫x >43[高频滚动]1．定义域为R 的奇函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，方程f (x )＝log 2 013x 的实数根的个数为( )A ．1 006B ．1 007C ．2 012D ．2 014解析：选A 因为f (x )在R 上是奇函数，其图象关于直线x ＝1对称，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，所以f (x )在[－1,1]上单调递增，在[1,3]上单调递减，且f (x )为周期函数，周期T＝4.令log 2 013x ＝1，得x ＝2 013，故f (x )＝log 2 013x 的实根有2×503＝1 006个．2．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －1)，x ∈R .若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )A ．(－1,1]∪(2，＋∞)B ．(－2，－1]∪(1,2]C ．(－∞，－2)∪(1,2]D ．[－2，－1]解析：选 B 由题设知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，－1≤x ≤2，x －1，x <－1或x >2，画出函数f (x )的图象，如图，A (2,1)、B (2,2)、C (－1，－1)、D (－1，－2)．从图象中可以看出，直线y ＝c 与函数的图象有且只有两个公共点时，实数c 的取值范围是(－2，－1]∪(1,2]．。
高考数学一轮复习考点知识专题讲解12---函数模型的应用
高考数学一轮复习考点知识专题讲解函数模型的应用考点要求1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异.2.理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义.3.会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用．知识梳理1．三种函数模型的性质函数性质y＝a x(a>1) y＝logax(a>1)y＝x n(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同2.常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)反比例函数模型f(x)＝kx＋b(k，b为常数且k≠0)指数函数模型f(x)＝ba x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)对数函数模型f(x)＝b logax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)幂函数模型f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠0)思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．(×)(2)某商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若九折出售，则每件还能获利．(×)(3)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝x a(a>0)和y＝log a x(a>1)的增长速度．(√)(4)在选择实际问题的函数模型时，必须使所有的数据完全符合该函数模型．(×)教材改编题1．在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数据，如下表：x 0.500.99 2.01 3.98y －0.99－0.010.98 2.00则对x ，y 最适合的拟合函数是() A ．y ＝2x B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝2x －2D ．y ＝log 2x 答案D解析根据x ＝0.50，y ＝－0.99，代入计算，可以排除A ；根据x ＝2.01，y ＝0.98，代入计算，可以排除B ，C ；将各数据代入函数y ＝log 2x ，可知满足题意．2．设甲、乙两地的距离为a (a >0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y 和其所用的时间x 的函数图象为()答案D3．当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少要经过________个“半衰期”． 答案10解析设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1，则经过n 个“半衰期”后的含量为⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，由⎝ ⎛⎭⎪⎫12n <11000，得n ≥10. 所以，若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过10个“半衰期”.题型一 用函数图象刻画变化过程例1(1)如图，一高为H 且装满水的鱼缸，其底部有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T .若鱼缸水深为h 时，水流出所用时间为t ，则函数h ＝f (t )的图象大致是()答案B解析水匀速流出，所以鱼缸水深h 先降低快，中间降低缓慢，最后降低速度又越来越快． (2)(2022·泰州模拟)中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用85℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感．为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人员每隔1min 测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图．观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度y 随时间x 变化的规律()A．y＝mx2＋n(m>0)B．y＝ma x＋n(m>0,0<a<1)C．y＝ma x＋n(m>0，a>1)D．y＝m log a x＋n(m>0，a>0，a≠1)答案B解析由函数图象可知符合条件的只有指数函数模型，并且m>0,0<a<1.教师备选已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是()答案D解析依题意知，当0≤x≤4时，f(x)＝2x；当4<x≤8时，f(x)＝8；当8<x≤12时，f(x)＝24－2x，观察四个选项知D项符合要求．思维升华判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象；(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．跟踪训练1(1)(2022·内江模拟)对于下列表格中的数据进行回归分析时，下列四个函数模型拟合效果最优的是()A.y＝3×2x－1B．y＝log2xC．y＝3x D．y＝x2答案A解析根据题意，这3组数据可近似为(1,3)，(2,6)，(3,12)；得到增长速度越来越快，排除B，C，对于选项D，三组数据都不满足，对于选项A，三组数据代入后近似满足，则模拟效果最好的函数是y＝3×2x－1.(2)(2022·武汉模拟)在用计算机处理灰度图象(即俗称的黑白照片)时，将灰度分为256个等级，最暗的黑色用0表示，最亮的白色用255表示，中间的灰度根据其明暗渐变程度用0至255之间对应的数表示，这样可以给图象上的每个像素赋予一个“灰度值”．在处理有些较黑的图象时，为了增强较黑部分的对比度，可对图象上每个像素的灰度值进行转换，扩展低灰度级，压缩高灰度级，实现如下图所示的效果：则下列可以实现该功能的一种函数图象是()答案A解析根据图片处理过程中图象上每个像素的灰度值转换的规则可知，相对于原图的灰度值，处理后的图象上每个像素的灰度值增加，所以图象在y＝x上方．结合选项只有A选项能够较好的达到目的．题型二已知函数模型的实际问题例2(2022·百师联盟联考)随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台．每生产x台，需另投入成本G(x)万元，且G (x )＝⎩⎨⎧2x 2＋80x ，0<x ≤40，201x ＋3600x －2100，40<x ≤100，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完．(1)写出年利润W (x )万元关于年产量x 台的函数解析式(利润＝销售收入－成本)； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 解(1)由题意可得，当0<x ≤40时，W (x )＝200x －(2x 2＋80x )－300 ＝－2x 2＋120x －300； 当40<x ≤100时，W (x )＝200x －⎝⎛⎭⎪⎫201x ＋3600x －2100－300 ＝－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3600x ＋1800， 所以W (x )＝⎩⎨⎧－2x 2＋120x －300，0<x ≤40，－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3600x ＋1800，40<x ≤100.(2)若0<x ≤40，W (x )＝－2(x －30)2＋1500， 所以当x ＝30时，W (x )max ＝1500万元． 若40<x ≤100，W (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3600x ＋1800≤－2x ·3600x＋1800＝－120＋1800＝1680， 当且仅当x ＝3600x时，即x ＝60时，W (x )max ＝1680万元．所以该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元． 教师备选(2022·重庆南开中学模拟)某企业自主研发出一款新产品A ，计划在2022年正式投入生产，已知A 产品的前期研发总花费为50000元，该企业每年最多可生产4万件A 产品．通过市场分析知，在2022年该企业每生产x (千件)A 产品，需另投入生产成本R (x )(千元)， 且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x 2＋60x ，0<x ≤10，70x ＋1800x －230，10<x ≤40.(1)求该企业生产一件A 产品的平均成本p (元)关于x 的函数关系式，并求平均成本p 的最小值(总成本＝研发成本＋生产成本)；(2)该企业欲使生产一件A 产品的平均成本p ≤66元，求其年生产值x (千件)的取值区间？ 解(1)由题知生产x 千件的总成本为(R (x )＋50)千元， 故生产一件的平均成本为R (x )＋50x元， 所以p (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋60＋50x，0<x ≤10，70＋1800x 2－180x ，10<x ≤40，当x ∈(0,10]时，p (x )＝12x ＋60＋50x 单调递减，故最小值为p (10)＝70，当x ∈(10,40]时，p (x )＝1800⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1202＋65.5，故最小值为p (20)＝65.5，所以生产一件A 产品的平均成本最低为65.5元．(2)由(1)知，要使p (x )≤66只需考虑x ∈(10,40]， 即70＋1800x 2－180x≤66，整理得x 2－45x ＋450≤0，解得15≤x ≤30，所以当x ∈[15,30]时，生产一件A 产品的平均成本不超过66元． 思维升华 求解已知函数模型解决实际问题的关键 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验．跟踪训练2(1)“百日冲刺”是各个学校针对高三学生进行的高考前的激情教育，它能在短时间内最大限度激发一个人的潜能，使成绩在原来的基础上有不同程度的提高，以便在高考中取得令人满意的成绩，特别对于成绩在中等偏下的学生来讲，其增加分数的空间尤其大．现有某班主任老师根据历年成绩在中等偏下的学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造了一个经过时间t (30≤t ≤100)(单位：天)，增加总分数f (t )(单位：分)的函数模型：f (t )＝kP1＋lg (t ＋1)，k 为增分转化系数，P 为“百日冲刺”前的最后一次模考总分，且f (60)＝16P .现有某学生在高考前100天的最后一次模考总分为400分，依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分约为(lg61≈1.79)() A ．440分B ．460分 C ．480分D ．500分 答案B解析由题意得，f(60)＝kP1＋lg61＝kP2.79＝16P，∴k≈2.796＝0.465，∴f(100)＝0.465×4001＋lg101＝1861＋lg100＋lg1.01≈1863＝62，∴该学生在高考中可能取得的总分约为400＋62＝462≈460(分)．(2)某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·b t，Q＝a·logbt.利用你选取的函数，求：①西红柿种植成本最低时的上市天数是______；②最低种植成本是________元/100kg.答案①120②80解析因为随着时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当t＝60和t＝180时种植成本相等，再结合题中给出的四种函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关系应该用二次函数Q＝at2＋bt＋c，即Q＝a(t－120)2＋m描述，将表中数据代入可得⎩⎨⎧ a (60－120)2＋m ＝116，a (100－120)2＋m ＝84，解得⎩⎨⎧ a ＝0.01，m ＝80，所以Q ＝0.01(t －120)2＋80，故当上市天数为120时，种植成本取到最低值80元/100kg. 题型三 构造函数模型的实际问题例3(1)2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆．嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似(如图所示)．现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为100m/s ，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的90%，若要使石片的速率低于60m/s ，则至少需要“打水漂”的次数为(参考数据：取ln0.6≈－0.511，ln0.9≈－0.105)()A ．4B ．5C ．6D ．7答案C解析设石片第n 次“打水漂”时的速率为v n ，则v n ＝100×0.90n －1.由100×0.90n －1<60，得0.90n －1<0.6，则(n －1)ln0.90<ln0.6，即n －1>ln0.6ln0.9≈－0.511－0.105≈4.87，则n >5.87，故至少需要“打水漂”的次数为6.(2)(2022·滨州模拟)某同学设想用“高个子系数k ”来刻画成年男子的高个子的程度，他认为，成年男子身高160cm 及其以下不算高个子，其高个子系数k 应为0；身高190cm 及其以上的是理所当然的高个子，其高个子系数k 应为1，请给出一个符合该同学想法、合理的成年男子高个子系数k 关于身高x (cm)的函数关系式________．答案k ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0，0<x ≤160，130(x －160)，160<x <190，1，x ≥190.(只要写出的函数满足在区间[160,190]上单调递增，且过点(160,0)和(190,1)即可．答案不唯一)解析由题意知函数k (x )在[160,190]上单调递增，设k (x )＝ax ＋b (a >0)，x ∈[160,190]，由⎩⎨⎧ 160a ＋b ＝0，190a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝130，b ＝－163，所以k (x )＝130x －163， 所以k ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0，0<x ≤160，130(x －160)，160<x <190，1，x ≥190.教师备选国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30或30以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15000元．(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？解设该旅行团的人数为x ，飞机票的价格为y 元．旅行社可获得的利润为w 元．(1)①当0≤x ≤30时，y ＝900，②当30<x ≤75时，y ＝900－10(x －30)＝－10x ＋1200，综上有y ＝⎩⎨⎧ 900，0≤x ≤30，－10x ＋1200，30<x ≤75.(2)当0≤x ≤30时，w ＝900x －15000，当x ＝30时，w max ＝900×30－15000＝12000(元)；当30<x ≤75时，w ＝(－10x ＋1200)·x －15000＝－10x 2＋1200x －15000＝－10(x －60)2＋21000，当x ＝60时，w 最大为21000元，∴每团人数为60时，旅行社可获得最大利润．思维升华 构建函数模型解决实际问题的步骤(1)建模：抽象出实际问题的数学模型；(2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学意义上的解；(3)评价、解释：对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价、解释、返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解．跟踪训练3(1)(2022·常州模拟)某杂志以每册2元的价格发行时，发行量为10万册．经过调查，若单册价格每提高0.2元，则发行量就减少5000册．要该杂志销售收入不少于22.4万元，每册杂志不可以定价为()A ．2.8元B ．3元C ．3.2元D ．3.5元答案D解析依题意可知，要使该杂志销售收入不少于22.4万元，只能提高销售价， 设每册杂志定价为x (x >2)元，则发行量为⎝ ⎛⎭⎪⎫10－x －20.2×0.5万册， 则该杂志销售收入为⎝ ⎛⎭⎪⎫10－x －20.2×0.5x 万元， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫10－x －20.2×0.5x ≥22.4， 化简得x 2－6x ＋8.96≤0，解得2.8≤x ≤3.2.(2)(2022·南京模拟)拉面是很多人喜好的食物．师傅在制作拉面的时候，将面团先拉到一定长度，然后对折，对折后面条根数变为原来的2倍，再拉到上次面条的长度．每次对折后，师傅都要去掉捏在一只手里的面团．如果拉面师傅将300克面团拉成细丝面条，每次对折后去掉捏在手里的面团都是18克．第一次拉的长度是1米，共拉了7次，假定所有细丝面条粗线均匀、质量相等，则最后每根1米长的细丝面条的质量是________． 答案3克解析拉面师傅拉7次面条共有27－1＝26＝64根面条，在7次拉面过程中共对折6次，则去掉面的质量为6×18＝108(克)；剩下64根面条的总质量为300－108＝192(克)，则每根1米长的细丝面条的质量为19264＝3(克)．课时精练1．(2020·全国Ⅰ)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(x i，y i)(i＝1,2，…，20)得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是()A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx2C．y＝a＋b e x D．y＝a＋b ln x答案D解析由散点图可以看出，点大致分布在对数型函数的图象附近．2．有一货船从石塘沿水路顺水航行，前往河口，途中因故障停留一段时间，到达河口后逆水航行返回石塘，假设货船在静水中的速度不变，水流速度不变，若该船从石塘出发后所用的时间为x(小时)，货船距石塘的距离为y(千米)，则下列各图中，能反映y与x之间函数关系的大致图象是()答案A3．(2022·福建师大附中月考)视力检测结果有两种记录方式，分别是小数记录与五分记录，其部分数据如下表：小数记录x 0.10.120.15…1 1.2 1.5 2.0五分记录y 4.0 4.1 4.2…5 5.1 5.2 5.3现有如下函数模型：①y＝5＋lg x，②y＝5＋110lg1x，x表示小数记录数据，y表示五分记录数据，请选择最合适的模型解决如下问题：小明同学检测视力时，医生告诉他的视力为4.7，则小明同学的小数记录数据为(附100.3＝2，5－0.22＝0.7，10－0.1＝0.8)() A．0.3B．0.5C．0.7D．0.8答案B解析由表格中的数据可知，函数单调递增，故合适的函数模型为y＝5＋lg x，令y＝5＋lg x＝4.7，解得x＝10－0.3＝0.5.4．某中学体育课对女生立定跳远项目的考核标准为：立定跳远距离1.33米得5分，每增加0.03米，分值增加5分，直到1.84米得90分后，每增加0.1米，分值增加5分，满分为120分．若某女生训练前的成绩为70分，经过一段时间的训练后，成绩为105分，则该女生训练后，立定跳远距离增加了()A．0.33米B．0.42米C．0.39米D．0.43米答案B解析该女生训练前立定跳远距离为1．84－0.03×90－705＝1.72(米)，训练后立定跳远距离为1．84＋0.1×105－905＝2.14(米)，则该女生训练后，立定跳远距离增加了2.14－1.72＝0.42(米)．5．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度经有关研究可知：在室温25℃下，某种绿茶用85℃的水泡制，经过x min后茶水的温度为y℃，且y＝k·0.9085x＋25(x≥0，k∈R)．当茶水温度降至55℃时饮用口感最佳，此时茶水泡制时间大约为(结果保留整数，参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986，ln0.9085≈－0.0960) ()A．6minB．7minC．8minD．9min答案B解析由题意可知，当x＝0时，y＝85，则85＝k＋25，解得k＝60，所以y＝60×0.9085x＋25.当y ＝55时，55＝60×0.9085x ＋25，即0.9085x ＝0.5，则x ＝log 0.90850.5＝ln 12ln0.9085＝－ln2ln0.9085≈0.69310.0960≈7， 所以茶水泡制时间大约为7min.6．(2022·厦门模拟)某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间的关系近似满足如图所示的曲线．据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则下列说法错误的是()A ．a ＝3B ．注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时C ．注射该药物18小时后每毫升血液中的含药量为0.5微克 D ．注射一次治疗该病的有效时间长度为53132小时 答案B 解析由函数图象可知y ＝⎩⎨⎧ 4t ，0≤t <1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －a ，t ≥1，当t ＝1时，y ＝4，即⎝ ⎛⎭⎪⎫121－a ＝4，解得a ＝3， ∴y ＝⎩⎨⎧ 4t ，0≤t <1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3，t ≥1，故A 正确；药物刚好起效的时间，当4t ＝0.125，即t ＝132， 药物刚好失效的时间⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3＝0.125， 解得t ＝6，故药物有效时长为6－132＝53132(小时)， 注射一次治疗该病的有效时间长度不到6个小时，故B 错误，D 正确；注射该药物18小时后每毫升血液含药量为4×18＝0.5(微克)，故C 正确． 7．(2022·蚌埠模拟)某种动物的繁殖数量y (数量：只)与时间x (单位：年)的关系式为y ＝a log 2(x ＋1)，若这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到________只．答案300解析由题意知100＝a log 2(1＋1)⇒a ＝100，当x ＝7时，可得y ＝100log 2(7＋1)＝300.8．(2022·柳州市柳铁一中月考)著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为θ1℃，空气温度为θ0℃，则t 分钟后物体的温度θ(单位：℃)满足：θ＝θ0＋(θ1－θ0)e －kt .若常数k ＝0.05，空气温度为30℃，某物体的温度从90℃下降到50℃，大约需要的时间为________分钟．(参考数据：ln3≈1.1)答案22解析由题知θ0＝30，θ1＝90，θ＝50，∴50＝30＋(90－30)e －0.05t ，∴e －0.05t ＝13， ∴－0.05t ＝ln13， ∴0.05t ＝ln3，∴t ＝ln30.05＝20×ln3≈22. 9．某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常．排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64ppm ，继续排气4分钟后又测得浓度为32ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y (ppm)与排气时间t (分钟)之间存在函数关系y ＝c ⎝ ⎛⎭⎪⎫12mt (c ，m 为常数)． (1)求c ，m 的值；(2)若空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm 为正常，问至少排气多少分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态？解(1)由题意可列方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 64＝c ⎝ ⎛⎭⎪⎫124m ，32＝c ⎝ ⎛⎭⎪⎫128m ，两式相除，解得⎩⎨⎧ c ＝128，m ＝14.(2)由题意可列不等式141128()2t≤0.5，所以141()2t≤⎝⎛⎭⎪⎫128，即14t≥8，解得t≥32.故至少排气32分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态．10．某公司为改善营运环境，年初以50万元的价格购进一辆豪华客车．已知该客车每年的营运总收入为30万元，使用x年(x∈N*)所需的各种费用总计为(2x2＋6x)万元．(1)该车营运第几年开始盈利(总收入超过总支出，今年为第一年)；(2)该车若干年后有两种处理方案：①当盈利总额达到最大值时，以10万元价格卖出；②当年平均盈利总额达到最大值时，以12万元的价格卖出．问：哪一种方案较为合算？并说明理由．解(1)∵客车每年的营运总收入为30万元，使用x年(x∈N*)所需的各种费用总计为(2x2＋6x)万元，若该车x年开始盈利，则30x>2x2＋6x＋50，即x2－12x＋25<0，∵x∈N*，∴3≤x≤9，∴该车营运第3年开始盈利．(2)方案①盈利总额y1＝30x－(2x2＋6x＋50)＝－2x2＋24x－50＝－2(x－6)2＋22，∴x＝6时，盈利总额达到最大值为22万元．∴6年后卖出客车，可获利润总额为22＋10＝32(万元)．方案②年平均盈利总额y2＝－2x2＋24x－50x＝－2x－50x＋24＝24－2⎝⎛⎭⎪⎫x＋25x≤4(当且仅当x ＝5时取等号)．∴x ＝5时年平均盈利总额达到最大值4万元．∴5年后卖出客车，可获利润总额为4×5＋12＝32(万元)．∵两种方案的利润总额一样，但方案②的时间短，∴方案②较为合算．11．(2022·衡阳模拟)“一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来”描述了封建统治者的骄奢生活，同时也讲述了古代资源流通的不便利．如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合．已知某类果蔬的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e ax ＋b (a ，b 为常数)，若该果蔬在6℃的保鲜时间为216小时，在24℃的保鲜时间为8小时，那么在12℃时，该果蔬的保鲜时间为()A ．72小时B ．36小时C ．24小时D ．16小时答案A解析当x ＝6时，e 6a ＋b ＝216；当x ＝24时，e 24a ＋b ＝8，则e 6a ＋b e 24a ＋b ＝2168＝27， 整理可得e 6a＝13， 于是e b ＝216×3＝648，当x ＝12时，y ＝e 12a ＋b ＝(e 6a )2·e b ＝19×648＝72.12．(2022·南通模拟)“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等作用，激起水波，形成涌泉，声音越大，涌起的泉水越高．已知听到的声强I与标准声强I0(I0约为10－12，单位：W/m2)之比的常用对数称作声强的声强级，记作L(贝尔)，即L＝lg II.取贝尔的10倍作为响度的常用单位，简称为分贝，已知某处“喊泉”的声音强度y(分贝)与喷出的泉水高度x(m)之间满足关系式y＝2x，甲、乙两名同学大喝一声激起的涌泉的最高高度分别为70m，60m．若甲同学大喝一声的声强大约相当于n个乙同学同时大喝一声的声强，则n的值约为()A．10B．100C．200D．1000答案B解析设甲同学的声强为I1，乙同学的声强为I2，则140＝10lgI110－12，120＝10lgI210－12，两式相减即得20＝10lg I1I2，即lgI1I2＝2，从而I1I2＝100，所以n的值约为100.13．如图所示，一直角墙角，两边的长度足够长，在P处有一棵树与两墙的距离分别是a m(0<a<12)，4m，不考虑树的粗细，现在用16m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花园ABCD.设此矩形花园的面积为S(m2)，S的最大值为f(a)，若将这棵树围在花园内，则函数u＝f(a)的图象大致是()答案C解析设AD ＝x 米，则CD ＝(16－x )米，要将树围在矩形内，则⎩⎨⎧ x ≥a ，16－x ≥4，∴a ≤x ≤12. S ＝x (16－x )＝－(x －8)2＋64，x ∈[a ,12]，当0<a ≤8时，当x ＝8时，S max ＝64，当8<a ≤12时，当x ＝a 时，S max ＝－a 2＋16a .综上有f (a )＝⎩⎨⎧ 64，0<a ≤8，－a 2＋16a ，8<a ≤12.14．(2022·芜湖模拟)央视某主持人曾自曝，自小不爱数学，成年后还做过数学噩梦，心狂跳不止：梦见数学考试了，水池有个进水管，5小时可注满，池底有一个出水管，8小时可放完满池水．若同时打开进水管和出水管，多少小时可注满空池？“这题也太变态了，你到底想放水还是注水？”主持人质疑这类问题的合理性．其实这类放水注水问题只是个数学模型，用来刻画“增加量－消耗量＝改变量”，这类数量关系可以用于处理现实生活中的大量问题．例如，某仓库从某时刻开始4小时内只进货不出货，在随后的8小时内同时进出货，接着按此进出货速度，不进货，直到把仓库中的货出完．假设每小时进、出货量是常数，仓库中的货物量y (吨)与时间x (小时)之间的部分关系如图，那么从不进货起__________小时后该仓库内的货恰好运完．答案8解析由图象可知，在0到4小时进货20吨，故进货速度是5吨/小时，所以出货速度为(20＋5×8－30)÷8＝154(吨/小时)，从不进货起，需要30÷154＝8(小时)将该仓库内的货恰好运完．15．(2022·济南模拟)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们的路程f i (x )(i ＝1,2,3,4)关于时间x (x ≥0)的函数关系式分别为f 1(x )＝2x －1，f 2(x )＝x 2，f 3(x )＝x ，f 4(x )＝log 2(x ＋1)，则下列结论正确的是________．(填序号)①当x >1时，甲走在最前面；②当x >1时，乙走在最前面；③当0<x <1时，丁走在最前面，当x >1时，丁走在最后面；④如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲．答案③④解析甲、乙、丙、丁的路程f i (x )(i ＝1,2,3,4)关于时间x (x ≥0)的函数关系式分别为f 1(x )＝2x －1，f 2(x )＝x 2，f 3(x )＝x ，f 4(x )＝log 2(x ＋1)，它们对应的函数模型分别为指数型函数模型、二次函数模型、一次函数模型、对数型函数模型．当x＝2时，f1(2)＝3，f2(2)＝4，所以①不正确；当x＝5时，f1(5)＝31，f2(5)＝25，所以②不正确；根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，又当x＝1时，甲、乙、丙、丁四个物体走过的路程相等，从而可知，当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面，所以③正确；指数型函数的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数型函数模型运动的物体，即一定是甲物体，所以④正确．16．某公司为调动员工工作积极性拟制定以下奖励方案，要求奖金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，奖金不超过90万元，同时奖金不超过投资收益的20%.即假定奖励方案模拟函数为y＝f(x)时，该公司对函数模型的基本要求是：当x∈[25,1600]时，①f(x)是增函数；②f(x)≤90恒成立；③f(x)≤x5恒成立．(1)现有两个奖励函数模型：(Ⅰ)f(x)＝115x＋10；(Ⅱ)f(x)＝2x－6.试分析这两个函数模型是否符合公司要求？(2)已知函数f(x)＝a x－10(a≥2)符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a的取值范围．解(1)对于函数模型：(Ⅰ)f(x)＝115x＋10，验证条件③：当x＝30时，f(x)＝12，而x5＝6，即f(x)≤x5不成立，故不符合公司要求；对于函数模型：(Ⅱ)f(x)＝2x－6，当x∈[25，1600]时，条件①f(x)是增函数满足；∴f(x)max＝21600－6＝2×40－6＝74<90，满足条件②；对于条件③：记g (x )＝2x －6－x 5(25≤x ≤1600)， 则g (x )＝－15(x －5)2－1， ∵x ∈[5,40]，∴当x ＝5时， g (x )max ＝－15(5－5)2－1＝－1≤0，∴f (x )≤x 5恒成立，即条件③也成立． 故函数模型： (Ⅱ)f (x )＝2x －6符合公司要求．(2)∵a ≥2，∴函数f (x )＝a x －10符合条件①；由函数f (x )＝a x －10符合条件②，得a 1600－10＝a ×40－10≤90，解得a ≤52； 由函数f (x )＝a x －10符合条件③，得a x －10≤x 5对x ∈[25,1600]恒成立， 即a ≤x5＋10x 对x ∈[25,1600]恒成立． ∵x5＋10x ≥22， 当且仅当x5＝10x ，即x ＝50时等号成立，∴a ≤22，综上所述，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52.。
2019高考数学考点突破——函数的应用：函数模型及其应用+Word版含解析
函数模型及其应用【考点梳理】1．常见的几种函数模型(1)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)．(2)反比例函数模型：y＝kx＋b(k，b为常数且k≠0)．(3)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)．(4)指数函数模型：y＝a·b x＋c(a，b，c为常数，b＞0，b≠1，a≠0)．(5)对数函数模型：y＝mlog a x＋n(m，n，a为常数，a＞0，a≠1，m≠0)．(6)幂函数模型：y＝a·x n＋b(a≠0)．2．三种函数模型之间增长速度的比较函数性质y＝a x(a＞1)y＝log a x(a＞1)y＝x n(n＞0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x＞x0时，有log a x＜x n＜a x 3．解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题．以上过程用框图表示如下：【考点突破】考点一、用函数图象刻画变化过程【例1】已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是()A B C D[答案] D[解析]依题意知当0≤x≤4时，f(x)＝2x；当4<x≤8时，f(x)＝8；当8<x≤12时，f(x)＝24－2x，观察四个选项知，选 D.【类题通法】判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法：(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．【对点训练】一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧 5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为()[答案] B[解析]由题意h＝20－5t，0≤t≤4.结合图象知应选 B.考点二、二次函数模型【例2】某商场销售A型商品，已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如表所示：销售单价/元45678910日均销售量/件400360320280240200160 请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，则此商品的定价(单位：元/件)应为()A．4 B．5.5 C．8.5 D．10 [答案] C[解析]由题意可设定价为x元/件，利润为y元，则y＝(x－3)[400－40(x－4)]＝40(－x2＋17x－42)，故当x＝8.5时，y有最大值，故选 C.【类题通法】在建立二次函数模型解决实际问题中的最优问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解．解决函数应用问题时，最后还要还原到实际问题．【对点训练】某种商品进价为4元/件，当日均零售价为6元/件，日均销售100件，当单价每增加1元，日均销量减少10件，试计算该商品在销售过程中，若每天固定成本为20元，则预计单价为多少时，利润最大()A．8元/件B．10元/件C．12元/件D．14元/件[答案] B[解析]设单价为6＋x，日均销售量为100－10x，则日利润y＝(6＋x－4)(100－10x)。
函数模型及其应用备考策略 2019高考绝密资料
函数模型及其应用备考策略主标题：函数模型及其应用备考策略副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。
关键词：函数模型，分段函数，二次函数，备考策略难度：4重要程度：5内容考点一利用图象刻画实际问题【例1】小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是()．解析小明匀速运动时，所得图象为一条直线段，且距离学校越来越近，故排除A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B.故选C.答案 C【备考策略】抓住两个变量间的变化规律(如增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图象(增加、减少的缓急等)相吻合即可．考点二二次函数模型【例2】某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元．(1)分别写出两类产品的收益与投资的函数关系；(2)该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？解 (1)设两类产品的收益与投资的函数分别为f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x .由已知得f (1)＝18＝k 1，g (1)＝12＝k 2，所以f (x )＝18x (x ≥0)，g (x )＝12x (x ≥0)．(2)设投资债券类产品为x 万元，则投资股票类产品为(20－x )万元．依题意得y ＝f (x )＋g (20－x )＝x 8＋1220－x (0≤x ≤20)．令t ＝20－x (0≤t ≤25)，则y ＝20－t 28＋12t ＝－18(t －2)2＋3，所以当t ＝2，即x ＝16时，收益最大，y max ＝3万元.【备考策略】 二次函数模型的应用比较广泛，解题时，根据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题．考点三 分段函数模型【例3】某旅游景点预计2016年1月份起前x 个月的旅游人数的和p (x )(单位：万人)与x 的关系近似地满足p (x )＝12x (x ＋1)(39－2x )(x ∈N *，且x ≤12)．已知第x个月的人均消费额q (x )(单位：元)与x 的近似关系是q (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 35－2x (x ∈N *，且1≤x ≤6)，160x (x ∈N *，且7≤x ≤12).(1)写出2016年第x 个月的旅游人数f (x )(单位：人)与x 的函数关系式；(2)试问2016年第几个月旅游消费总额最大，最大月旅游消费总额为多少元？ 解 (1)当x ＝1时，f (1)＝p (1)＝37，当2≤x ≤12，且x ∈N *时，f (x )＝p (x )－p (x －1)＝12x (x ＋1)(39－2x )－12(x －1)x (41－2x )＝－3x 2＋40x ，验证x＝1也满足此式，所以f (x )＝－3x 2＋40x (x ∈N *，且1≤x ≤12)．(2)第x 个月旅游消费总额为g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (－3x 2＋40x )(35－2x )(x ∈N *，且1≤x ≤6)，(－3x 2＋40x )·160x (x ∈N *，且7≤x ≤12)，即g (x )＝⎩⎨⎧6x 3－185x 2＋1 400x (x ∈N *，且1≤x ≤6)，－480x ＋6 400(x ∈N *，且7≤x ≤12). ①当1≤x ≤6，且x ∈N *时，g ′(x )＝18x 2－370x ＋1 400，令g ′(x )＝0，解得x＝5或x ＝1409(舍去)．当1≤x ＜5时，g ′(x )＞0，当5＜x ≤6时，g ′(x )＜0，∴当x ＝5时，g (x )max ＝g (5)＝3 125(万元)．②当7≤x ≤12，且x ∈N *时，g (x )＝－480x ＋6 400是减函数，∴当x ＝7时，g (x )max ＝g (7)＝3 040(万元)．综上，2016年5月份的旅游消费总额最大，最大旅游消费总额为3 125万元． 规律方法 (1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型，如出租车的票价与路程的函数就是分段函数．(2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法．在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值．导数在研究函数中的应用主标题：导数在研究函数中的应用备考策略副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。
2019版高考文科数学大一轮复习人教A版2.9 函数模型及其应用 Word版含答案
§函数模型及其应用最新考纲考情考向分析.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义..了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用. 考查根据实际问题建立函数模型解决问题的能力，常与函数图象、单调性、最值及方程、不等式交汇命题，题型以解答题为主，中高档难度.．几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型()＝＋(，为常数，≠)反比例函数模型()＝＋(，为常数且≠)二次函数模型()＝＋＋(，，为常数，≠)指数函数模型()＝＋(，，为常数，≠，>且≠)对数函数模型()＝＋(，，为常数，≠，>且≠)幂函数模型()＝＋ (，为常数，≠).三种函数模型的性质函数＝(>) ＝(>) ＝(>)性质在(，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随的增大逐渐表现为与轴平行随的增大逐渐表现为与轴平行随值变化而各有不同值的比较存在一个，当>时，有<<知识拓展．解函数应用题的步骤．“对勾”函数形如()＝＋(>)的函数模型称为“对勾”函数模型：()该函数在(－∞，－]和[，＋∞)上单调递增，在[－，)和(，]上单调递减．()当>时，＝时取最小值，当<时，＝－时取最大值－.题组一思考辨析．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)()某种商品进价为每件元，按进价增加出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．(×)()函数＝的函数值比＝的函数值大．(×)()不存在，使<<.(×)。
备战2019年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题58 巧选数学模型解排列组合问题
专题58 巧选数学模型解排列组合问题【热点聚焦与扩展】纵观近几年的高考试题，排列组合问题往往以实际问题为背景，考查排列数、组合数、分类分步计数原理，同时考查分类讨论的思想及解决问题的能力．除了以选择、填空的形式考查，也往往在解答题中与古典概型概率计算相结合进行考查．有一些问题如果直接从题目入手，处理起来比较繁琐.但若找到解决问题的合适模型，或将问题进行等价的转化.便可巧妙的解决问题.本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，举例说明. （一）处理排列组合问题的常用思路：1、特殊优先：对于题目中有特殊要求的元素，在考虑步骤时优先安排，然后再去处理无要求的元素. 例如：用0,1,2,3,4组成无重复数字的五位数，共有多少种排法？2、寻找对立事件：如果一件事从正面入手，考虑的情况较多，则可以考虑该事的对立面，再用全部可能的总数减去对立面的个数即可.3、先取再排（先分组再排列）：排列数mn A 是指从n 个元素中取出m 个元素，再将这m 个元素进行排列.但有时会出现所需排列的元素并非前一步选出的元素，所以此时就要将过程拆分成两个阶段，可先将所需元素取出，然后再进行排列. （二）排列组合的常见模型1、捆绑法（整体法）：当题目中有“相邻元素”时，则可将相邻元素视为一个整体，与其他元素进行排列，然后再考虑相邻元素之间的顺序即可.2、插空法：当题目中有“不相邻元素”时，则可考虑用剩余元素“搭台”，不相邻元素进行“插空”，然后再进行各自的排序注：（1）要注意在插空的过程中是否可以插在两边 （2）要从题目中判断是否需要各自排序3、错位排列：排列好的n 个元素，经过一次再排序后，每个元素都不在原先的位置上，则称为这n 个元素的一个错位排列.例如对于,,,a b c d ，则,,,d c a b 是其中一个错位排列.3个元素的错位排列有2种，4个元素的错位排列有9种，5个元素的错位排列有44种.以上三种情况可作为结论记住4、依次插空：如果在n 个元素的排列中有m 个元素保持相对位置不变，则可以考虑先将这m 个元素排好位置，再将n m -个元素一个个插入到队伍当中（注意每插入一个元素，下一个元素可选择的空1+）5、不同元素分组：将n 个不同元素放入m 个不同的盒中6、相同元素分组：将n 个相同元素放入m 个不同的盒内，且每盒不空，则不同的方法共有11m n C --种.解决此类问题常用的方法是“挡板法”，因为元素相同，所以只需考虑每个盒子里所含元素个数，则可将这n 个元素排成一列，共有()1n -个空，使用()1m -个“挡板”进入空档处，则可将这n 个元素划分为m 个区域，刚好对应那m 个盒子.7、涂色问题：涂色的规则是“相邻区域涂不同的颜色”，在处理涂色问题时，可按照选择颜色的总数进行分类讨论，每减少一种颜色的使用，便意味着多出一对不相邻的区域涂相同的颜色（还要注意两两不相邻的情况），先列举出所有不相邻区域搭配的可能，再进行涂色即可.【经典例题】例1.【2018届湖北省黄冈中学5月三模】对33000分解质因数得，则的正偶数因数的个数是（ ）A. 48B. 72C. 64D. 96 【答案】A由分步计数乘法原理可得的因数共有，不含的共有，正偶数因数的个数有个，即的正偶数因数的个数是，故选A.例2.【2018届贵州省凯里市第一中学四模】集合，从集合中各取一个数，能组成（ ）个没有重复数字的两位数？ A. 52 B. 58 C. 64 D. 70 【答案】B【解析】分析：分别从集合A ，B 取一个数字，再全排列，根据分步计数原理即可得到答案． 详解：3例3.【2018届四川省 “联测促改”】中国古代十进制的算筹计数法，在世界数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同样长短的小木棍，如图，算筹表示数1～9的方法的一种.例如：163可表示为“”27可表示为“”问现有8根算筹可以表示三位数的个数（算筹不能剩余）为（ ）A. 48B. 60C. 96D. 120 【答案】C对于()2,2,4，组合出的可能的算筹为：()()()()()()2,2,4,6,6,4,2,2,8,6,6,8,2,6,4,2,6,8共6种，可以组成的三位数的个数为： 3!23!42⨯+⨯种， 同理()2,3,3可以组成的三位数的个数为： 3!23!42⨯+⨯种， 利用加法原理可得：8根算筹可以表示三位数的个数（算筹不能剩余）为3!123!8163!962⨯+⨯=⨯=. 本题选择C 选项. 例4.已知集合(){}22,|1,,A x y xy x y Z =+≤∈， (){},|2,2,,B x y x y x y Z =≤≤∈，定义集合()()(){}12121122,|,,,A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素个数为（ ）A. 77B. 49C. 45D. 30例5.如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3、4中的任何一个，允许重复．若填入A方格的数字大于B方格的数字，则不同的填法共有( )A. 192种B. 128种C. 96种D. 12种【答案】C【解析】试题分析：根据题意，先分析A、B两个方格，由于其大小有序，则可以在l、2、3、4中的任选2个，大的放进A方格，小的放进B方格，由组合数公式计算可得其填法数目，对于C、D两个方格，每个方格有4种情况，由分步计数原理可得其填法数目，最后由分步计数原理，计算可得答案．根据题意，对于A、B两个方格，可在l、2、3、4中的任选2个，大的放进A方格，小的放进B方格，有246C=种情况，对于C、D两个方格，每个方格有4种情况，则共有4×4=16种情况，则不同的填法共有16×6=96种，故选C．例6.【2018届黑龙江省牡丹江市第一高级中学高三上期末】将数字1,2,3,4，填入右侧的表格内，要求每行、每列的数字互不相同，如图所示，则不同的填表方式共有（）种A. 432B. 576C. 720D. 864【答案】B【解析】对符合题意的一种填法如图，行交换共有4424A=种，列交换共有4424A=种，所以根据分步计数原理得到不同的填表方式共有2424=576⨯种，故选B.5例7. 设集合(){}{}{}12345,,,,|1,0,1,1,2,3,4,5i A x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为（ ）A. 60B. 90C. 120D. 130 【答案】D例8.已知{}1,2,3,,40S =，A S ⊆且A 中有三个元素，若A 中的元素可构成等差数列，则这样的集合A 共有（ ）个A. 460B. 760C. 380D. 190 【答案】C【解析】思路：设A 中构成等差数列的元素为,,a b c ，则有2b a c =+，由此可得,a c 应该同奇同偶，而当,a c 同奇同偶时，则必存在中间项b ，所以问题转变为只需在140-中寻找同奇同偶数的情况.,a c 同为奇数的可能的情况为220C ，同为偶数的可能的情况为220C ，所以一共有2202380C ⋅=种.例9.【2018届云南省昆明市第二次统考】定义“有增有减”数列{}n a 如下： *t N ∃∈，满足1t t a a +<，且*s N ∃∈，满足1S S a a +>.已知“有增有减”数列{}n a 共4项，若{}(),,1,2,3,4i a x y z i ∈=，且x y z <<，则数列{}n a 共有（ ）A. 64个B. 57个C. 56个D. 54个 【答案】D例10：方程10x y z w +++=的正整数解有多少组？非负整数解有多少组？ 【答案】正整数解有84种，非负整数解有286种【解析】思路：本题可将10理解为10个1相加，而,,,x y z w 相当于四个盒子，每个盒子里装入了多少个1，则这个变量的值就为多少.从而将问题转化为相同元素分组的模型，可以使用挡板法得：3984C =种；非负整数解相当于允许盒子里为空，而挡板法适用于盒子非空的情况，所以考虑进行化归：()()()()10111114x y z w x y z w +++=⇒+++++++=，则1,1,1,1x y z w ++++这四个盒子非空即可.所以使用挡板法得：313286C =种【精选精练】1.【2018届山东省潍坊市二模】中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同排课顺序共有（ ） A.种 B.种 C.种 D.种【答案】A【解析】分析：该题属于有限制条件的排列问题，在解题的过程中，需要分情况讨论，因为“数”必须排在前三节，这个就是不动的，就剩下了五个不同的元素，所以需要对“数”的位置分三种情况，对于相邻元素应用捆绑法来解决即可. 详解：当“数”排在第一节时有排法，当“数”排在第二节时有种排法，当“数”排在第三节时，当“射”和“御”两门课程排在第一、二节时有种排法，当“射”和“御”两门课程排在后三节的时候有种排法，所以满足条件的共有种排法，故选A.点睛：在解决问题时一是注意对“数”的位置分三种情况，二是在“数”排在第三节时，要对两个相邻元7素的位置分类讨论，再者还要注意“数”排在第二节时，两个相邻元只能排在后四节. 2.【2018届北京师范大学附中二模】若自然数使得作竖式加法均不产生进位现象，则称为“开心数”．例如：32是“开心数”．因不产生进位现象；23不是“开心数”，因产生进位现象，那么，小于100的“开心数”的个数为（ ）A. 9B. 10C. 11D. 12 【答案】D3.【2018届广东省广州市第一次调研】某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2名，乙大学2名，丙大学1名，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有A. 36种B. 24种C. 22种D. 20种 【答案】B【解析】第一类：男生分为1,1,1，女生全排，男生全排得323212A A ⋅=，第二类：男生分为2,1，所以男生两堆全排后女生全排22232212C A A ⋅=，不同的推荐方法共有121224+= ，故选B.4. 设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -∉且1k A +∉，那么称k 是集合A 的一个“孤立元”，给定{}1,2,3,4,5,6,7,8S =，则S 的3个元素构成的所有集合中，其元素都是“孤立元”的集合个数是（ ）A. 6B. 15C. 20D. 25 【答案】C【解析】思路：首先要理解“k A ∈，则1k A -∉且1k A +∉”，意味着“独立元”不含相邻的数，元素均为独立元，则说明3个元素彼此不相邻，从而将问题转化为不相邻取元素问题，利用插空法可得：3620C =种5.一个含有10项的数列{}n a 满足：11010,5,1,(1,2,,9)k k a a a a k +==-==，则符合这样条件的数列{}n a 有（ ）个A. 30B. 35C. 36D. 40【答案】36种6.【2018届浙江省金丽衢十二校第二次联考】用0，1，2，3，4可以组成的无重复数字的能被3整除的三位数的个数是（）A. 20B. 24C. 36D. 48【答案】A【解析】分析：先根据能被3整除的三位数字组成为012，024，123，234四种情况，再分类讨论排列数，最后相加得结果.详解：因为能被3整除的三位数字组成为012，024，123，234四种情况，所以对应排列数分别为因此一共有，选A.7．【2018届上海市松江、闵行区二模】13．设，那么满足的所有有序数组的组数为___________.【答案】【解析】分类讨论：①，则这四个数为或，有组；②，则这四个数为或，有组；③，则这四个数为或或，有组；综上可得，所有有序数组的组数为.点睛：(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．8．【2018届天津市十二重点中学联考（一）】用0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位偶数，要求奇数不相邻，且0不与另外两个偶数相邻，这样的五位数一共有_______个.（用数字作答）【答案】169．对于各数互不相等的整数数组（是不小于的正整数）,对于任意的,当时有,则称是该数组的一个“逆序”,一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”,则数组中的逆序数为___________;若数组中的逆序数为,则数组中的逆序数为___________.【答案】 3910．已知集合，集合的所有非空子集依次记为：，设分别是上述每一个子集内元素的乘积.(如果的子集中只有一个元素，规定其积等于该元素本身)，那么__________．【答案】5【解析】所有子集的“乘积”之和即展开式中所有项的系数之和T-1，令，则故答案为511．【2018届浙江省嵊州市高三上期末】9某学校要安排2位数学老师、2位英语老师和1位化学老师分别担任高三年级中5个不同班级的班主任，每个班级安排1个班主任．由于某种原因，数学老师不担任A班的班主任，英语老师不担任B班的班主任，化学老师不担C班和D班的班主任，则共有__________种不同的安排方法．（用数字作答）．【答案】32【解析】若数学老师分到,B C两班，共有212222=8A A A种分法，若数学老师分到,B D两班，共有212222=8A A A种分法，若数学老师分到,B E两班，共有2222=4A A种分法，若数学老师分到,C D两班，共有2222=4A A种分法，若数学老师分到,C E两班，共有2222=4A A种分法，若数学老师分到,D E两班，共有2222=4A A种分法，共有8+8+4+4+4+4=32种安排方法，故答案为32 .12.圆周上有20个点，过任意两点连接一条弦，这些弦在圆内的交点最多有多少个【答案】4845个11。
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专题19 利用函数模型解决实际问题【热点聚焦与扩展】在近几年的高考试卷中，以基本函数为背景的应用题和综合题是高考命题的新趋势．注重在知识的交汇点命题，与三角函数、解三角形、不等式、导数、解析几何、概率统计、数列等相结合，综合考查函数方程思想及数学应用意识，考查转化与化归思想、分类讨论思想及数形结合思想的理解运用；考查分析与解决问题的能力、应用意识及创新能力.1、使用函数模型解决实际问题（1）题目特点：叙述中体现两个变量之间的关系（涉及的量也许有多个，但均能够用两个核心变量进行表示）.以其中一个为自变量，则另一个变量可视为自变量的函数，进而搭建出函数模型，再根据导数，均值不等式等工具求出最值（2）需用到的数学工具与知识点：①分段函数：当自变量的不同取值导致解析式不同时，可通过建立分段函数来体现两个变量之间的关系，在题目中若有多种情况，且不同的情况对应不同的计算方式，则通常要用分段函数进行表示.②导数：在求最值的过程中，若函数解析式不是常见的函数（二次函数，对勾函数等），则可利用导数分析其单调性，进而求得最值③均值不等式：在部分解析式中（可构造和为定值或积为定值）可通过均值不等式迅速的找到最值.④分式函数的值域问题：可通过分离常数对分式进行变形，并利用换元将其转化为熟悉的函数求解（3）常见的数量关系：①面积问题：可通过寻底找高进行求解，例如：1平行四边形面积=底⨯高梯形面积=⨯（上底+下底）⨯高21三角形面积=⨯底⨯高2②商业问题：总价=单价⨯数量利润=营业额-成本=货物单价⨯数量-成本③利息问题：利息=本金⨯利率本息总和=本金+利息=本金⨯利率+本金（4）在解决实际问题时要注意变量的取值范围应与实际情况相符，例如：涉及到个数时，变量应取正整数.涉及到钱，速度等问题，变量的取值应该为正数.2、使用线性规划模型解决实际问题（1）题目特点：叙述中也有两个核心变量，但条件多为涉及两核心变量的不等关系，且所求是关于两个核心变量的表达式，这类问题通常使用线性规划模型来解决问题 （2）与函数模型的不同之处① 函数模型：体现两核心变量之间的等量关系，根据一个变量的范围求另一个变量的范围（或最值） ② 线性规划模型：体现关于两变量的不等关系，从而可列出不等式组，要解决的是含两个变量的表达式的最值.（3）解题步骤：根据题目叙述确定未知变量（通常选择两个核心变量，其余变量用这两个进行表示），并列出约束条件和目标函数，然后利用数形结合的方式进行解决（4）注意事项：在实际问题中，变量的取值有可能为整数，若最优解不是整数，则可在最优解附近寻找几对整点，代入到目标函数中并比较大小 3、使用三角函数模型解决实际问题（1）题目特点：题目以几何图形（主要是三角形）作为基础，条件多与边角相关 （2）需要用到的数学工具与知识点：① 正弦定理：设A B C 三边,,a b c 所对的角分别为,,A B C ，则有sin sin sin a b c ABC==② 余弦定理（以a 和对角A 为例），2222c o s a b c b c A =+-③ 三角函数表达式的化简与变形 ④ 函数()sin y A x ωϕ=+的值域 （3）解题技巧与注意事项：① 在求边角问题时，应把所求的边或角放在合适的三角形中② 在直角三角形里，已知一条边，则其它边可用该边与内角的三角函数值进行表示 ③ 在图形中要注意变量的取值范围【经典例题】例1．【2018届上海市松江、闵行区高三下学期（二模）】某公司利用线上、实体店线下销售产品，产品在上市天内全部售完.据统计，线上日销售量、线下日销售量（单位：件）与上市时间天的关系满足：，产品每件的销售利润为(单位：元)（日销售量线上日销售量线下日销售量）.（1）设该公司产品的日销售利润为，写出的函数解析式；（2）产品上市的哪几天给该公司带来的日销售利润不低于元？3【答案】(1)(2)第5天至第15天该公司日销售利润不低于元.【解析】试题分析：（1）由题意分类讨论，分别求得销售量，然后与相应的利润相乘可得利润函数的解析式为（2）结合(1)中的利润函数分类讨论求解二次不等式可得第5天至第15天给该公司带来的日销售利润不低于元.综上可得：（2）当时，由，解得；当时，由，解得；当时，由，无解.故第5天至第15天给该公司带来的日销售利润不低于元.点睛：(1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型. (2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法．在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值．例2.【2018年江苏省高考冲刺预测卷一】秸秆还田是当今世界上普通重视的一项培肥地力的增产措施，在杜绝了秸秆焚烧所造成的大气污染的同时还有增肥增产作用.某农机户为了达到在收割的同时让秸秆还田，花137600元购买了一台新型联合收割机，每年用于收割可以收入6万元（已减去所用柴油费）；该收割机每年都要定期进行维修保养，第一年由厂方免费维修保养，第二年及以后由该农机户付费维修保养，所付费用（元）与使用年数的关系为：（，且），已知第二年付费1800元，第五年付费6000元.}（Ⅰ）试求出该农机户用于维修保养的费用（元）与使用年数的函数关系；（Ⅱ）这台收割机使用多少年，可使平均收益最大？（收益=收入-维修保养费用-购买机械费用）【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）14.【解析】试题分析：根据第二年付费元，第五年付费元可得关于的方程组，解出即可得到则依题意，，，当且仅当，即时取等号.所以这台收割机使用14年，可使年均收益最大.例3．【2018届广东省六校（广州二中，深圳实验，珠海一中，中山纪念，东莞中学，惠州一中）高三下第三次联考】某小店每天以每份5元的价格从食品厂购进若干份食品，然后以每份10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的食品还可以每份1元的价格退回食品厂处理.(Ⅰ)若小店一天购进16份，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：份，）的函数解析式；(Ⅱ)小店记录了100天这种食品的日需求量（单位：份），整理得下表：日需求量以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.(i)小店一天购进16份这种食品，表示当天的利润（单位：元），求的分布列及数学期望；(ii)以小店当天利润的期望值为决策依据，你认为一天应购进食品16份还是17份？【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)(i)答案见解析；(ii)17份.的大小可得选择的结论．5∴元．（ii）若小店一天购进17份食品，表示当天的利润(单位：元)，那么的分布列为∴的数学期望为元．由以上的计算结果可以看出，即购进17份食品时的平均利润大于购进16份时的平均利润．∴所以小店应选择一天购进17份．例4．【2018届江苏省无锡市高三上期末】如图，点为某沿海城市的高速公路出入口，直线为海岸线，，，是以为圆心，半径为的圆弧型小路.该市拟修建一条从通往海岸的观光专线，其中为上异于的一点，与平行，设.（1）证明：观光专线的总长度随的增大而减小；（2）已知新建道路的单位成本是翻新道路的单位成本的2倍.当取何值时，观光专线的修建总成本最低？请说明理由.【答案】（1）见解析;（2）.，求出，分两区间讨论的单调性，以证明为极小值点.试题解析：（1）由题意，，所以，又，所以观光专线的总长度，，因为当时，，所以在上单调递减，当时，，当时，.所以，当时，最小.7答：当时，观光专线的修建总成本最低.【点睛】在一定条件下“成本最低”、“用料最省”、“面积最大”、“效率最高“等问题，在生产、生活中经常遇到，在数学上这类问题往往归结为求函数的最值问题.除了常见的求最值的方法外，还可用求导法求函数的最值，但无论采取何种方法都必须在函数的定义域内进行.例5.如图所示，甲船以每小时3?m ile 的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于1A 处时，乙船位于甲船的北偏西105︒方向的1B 处，此时两船相距20n ?m ile ．当甲船航行 20m in到达2A 处时，乙船航行到甲船的北偏西 120︒方向的2B 处，此时两船相距1m ile ，问乙船每小时航行多少n ?m ile ？【答案】3?m ile .【解析】试题分析：连接12A B ，先得122A A B 是等边三角形，求出12A B ，在121A B B 中使用余弦定理求出12B B 的长，除以航行时间得出速度．试题解析：如图，连结12A B ,由题意知, 2212201m ile ,31m ile 60A B A A ===.所以1222A A A B =.又12218012060A A B ∠=︒-︒=︒，9答：乙船每小时航行3m ile.例6.【2018届江苏省南通、徐州、扬州等六市高三二模】将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100dm 2的矩形薄铁皮（如图），并沿虚线l 1，l 2裁剪成A ，B ，C 三个矩形（B ，C 全等），用来制成一个柱体．现有两种方案：方案①：以1l 为母线，将A 作为圆柱的侧面展开图，并从B ，C 中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面； 方案②：以1l 为侧棱，将A 作为正四棱柱的侧面展开图，并从B ，C 中各裁剪出一个正方形（各边分别与1l 或2l 垂直）作为正四棱柱的两个底面．（1）设B ，C 都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面半径； （2）设1l 的长为x dm ，则当x 为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？【答案】(1)()2π1r =+(2) .【解析】试题分析：（1）设所得圆柱的半径为rdm ，根据矩形薄铁皮的面积为1002d m ，即可求得r 的值；试题解析：（1）设所得圆柱的半径为rd m ，则()2π24100r r r +⨯=，解得()2π1r =+（2）设所得正四棱柱的底面边长为a dm ，则2{1004x a a a x≤≤-，，即2{20.x a a x≤≤， 方法一：所得正四棱柱的体积3204{ 400xx V a x x x<≤=≤>，，记函数()304{ 400xx p x x x<≤=>，，则()p x 在(0，上单调递增，在)⎡+∞⎣上单调递减.∴当x= ()m ax 2p x =． ∴当x = a =ma x V = 2dm 3．11（2）当x为时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大．例7.【2018届江苏省南通市高三上第一次调研】如图，某小区中央广场由两部分组成，一部分是边长为80cm 的正方形A B C D ，另一部分是以A D 为直径的半圆，其圆心为O .规划修建的3条直道A D ， P B ， P C 将广场分割为6个区域：Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ为绿化区域（图中阴影部分），Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ为休闲区域，其中点P 在半圆弧上， A D 分别与P B ， P C 相交于点E ， F .（道路宽度忽略不计）（1）若P B 经过圆心，求点P 到A D 的距离； （2）设P O D θ∠=， 0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.①试用θ表示E F 的长度；②当sin θ为何值时，绿化区域面积之和最大.【答案】（1）1（2）①最小值为)264001m②当s in 2θ=时，绿化区域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面积之和最大半圆O 的方程为22240x y += ()0y ≥，由()2222,{400,y x x yy =+=≥得1y =所以，点P 到A D 的距离为1.（2）①由题意，得()40cos ,40sin P θθ. 直线P B 的方程为()s in 28040c o s 1y x θθ++=++，令0y =，得80c o s 8040s in 2E x θθ+=-+ 80c o s 40s in s in 2θθθ-=+.直线P C 的方程为()sin 28040c o s 1y x θθ-+=--，令0y =，得80c o s 8040s in 2F x θθ-=++ 80c o s 40s in s in 2θθθ+=+.13所以2121600s in 6400s in 2S S θθ++=+ (0)2πθ<<.设sin 2t θ+=，则23t <<，()212160026400t S S t-++=.816004t t ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()16004≥-)64001=.当且仅当t =s in 2θ=时“=”成立.所以，休闲区域Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ的面积12S S +的最小值为)264001m .答：当s in 2θ=时，绿化区域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面积之和最大.例8.【2018届山东省枣庄市第八中学东校区高三1月月考】现有一块大型的广告宣传版面，其形状是右图所示的直角梯形A B C D .某厂家因产品宣传的需要，拟投资规划出一块区域（图中阴影部分）为产品做广告，形状为直角梯形D E F G （点F 在曲线段A C 上，点E 在线段A D 上）.已知12B C m =， 6A B A D m ==，其中曲线段A C 是以A 为顶点， A D 为对称轴的抛物线的一部分.（1）建立适当的平面直角坐标系，分别求出曲线段A C 与线段D C 的方程； （2）求该厂家广告区域D E F G 的最大面积.【答案】(1) ()21063y xx =-≤≤， ()606y x x =--≤≤；(2)最大值是2272m则()00A ，， ()6,0B ， ()6,12C -， ()0,6D -， 曲线段A C 的方程为： ()21063y xx =-≤≤；线段D C 的方程为： ()606y x x =--≤≤；（2）设点21,3F a a ⎛⎫-⎪⎝⎭，则需2163a ->-，即0a <<15令()0f a '=，得3a =， 2a =-.∴()f a 在(]0,3上是增函数，在3,⎡⎣上是减函数.∴()()2732f a f ==.∴厂家广告区域D E F G 的面积最大值是2272m .点睛:本题利用已知函数模型解决实际问题，关键是合理建系设出点坐标即可表示出面积的表达式，利用导数研究单调性即可求出最值.例9. 时下网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y （单位：千套）与销售价格:x （单位：元/套）满足的关系式()2462m y x x =+--，其中26,x m <<为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套． （1）求m 的值；（2）假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．（保留1位小数） 【答案】（1）10；（2）约为3.3.【解析】解：（1）将4,21x y ==代入关系式可得：()221446102m m =+-⇒=（2）思路：依题意可得售出一套，所得利润为()2x -元，所以总的利润()()()2102462fx x x x ⎛⎫=-+- ⎪-⎝⎭，其中26x <<，利用导数判定()fx 的单调性，进而可求得最大值点x()fx ∴在103x=取得最大值，即 3.3x例10.如图，在海岸线E F 一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段F G B C ，该曲线段是函数()()()(]sin 0,0,0,,4,0y A x A x ωϕωϕπ=+>>∈∈-的图像，图像的最高点为()1,2B -，边界的中间部分为长1千米的直线段C D ，且C D ∥E F ，游乐场的后一部分边界是以O 为圆心的一段圆弧D E（1）求曲线F G B C 的函数表达式（2）曲线段F G B C 上的入口G 距海岸线E F 最近距离为1千米，现准备从入口G ，修一条笔直的景观路到O ，求景观路G O 的长度（3）如图，在扇形O D E 区域内建一个平行四边形休闲区O M P Q ，平行四边形的一边在海岸线E F 上，一边在半径O D 上，另外一个顶点P 在圆弧D E 上，且P O E θ∠=，求平行 四边形休闲区O M P Q 面积的最大值及此时θ的值【答案】（1）22s in 63y x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2（3）6πθ=时，O M P Q S 3 .17【解析】解：（1）由()1,2B -可知2A =，()4,0F -∴对于()sin y A x ωϕ=+，()()41412T =---=⎡⎤⎣⎦26Tππω∴==（2）由已知可得1G y = 2212s in 1s in 63632G G x x ππππ⎛⎫⎛⎫∴+=⇒+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2=2636G x k ππππ∴++或25=2636G x k ππππ++解得：312G x k =-+或112G x k =+，由()4,0G x ∈-可得：()3,1G -O G ∴=（3）由图可知，1O C C D ==2,6D O C O D π∴=∠=12c o s in 2s in 2s in 2o s 2333O M P QS O M P P θθθθθ⎛⎫∴=⋅=-⋅=+-⎪⎝⎭20,3633ππθθ⎛⎫⎛⎫=+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2626πππθθ∴+=⇒=时，O M P Q S 的最大值为3【精选精练】1．【2018年北京市门头沟一模】某电力公司在工程招标中是根据技术、商务、报价三项评分标准进行综合评分的，按照综合得分的高低进行综合排序，综合排序高者中标。