数学复习第47讲空间中的平行关系
高二数学 空间平行关系
高二数学空间平行关系知识要点（一）直线与直线平行的判定方法1、利用定义：在同一个平面内，不相交的两条直线互相平行；2、利用平行公理：空间中平行于同一条直线的两条直线互相平行；3、利用直线与平面平行的性质定理：直线和平面平行，经过该直线的平面与已知平面相交，则该直线和交线平行；4、利用平面和平面平行的性质定理：两个平面互相平行，和第三个平面相交，它们的交线互相平行；5、利用直线和平面垂直的性质：垂直于同一个平面的两条直线互相平行；6、利用直线和平面平行的性质：一直线和两相交平面平行，则该直线和这两个平面的交线平行。
（二）直线与平面平行的判定方法1、利用定义：直线与平面无公共点，则该直线和该平面平行；2、利用直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线和平面内一条直线平行，则该直线和该平面平行（线线平行，则线面平行）。
3、利用平面和平面平行的性质：两个平面互相平行，则一个平面内任意一条直线都平行于第二个平面。
（三）平面和平面平行的判定方法1、利用定义：两个平面没有公共点，则这两个平面平行；2、利用平面与平面平行的判定定理：一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面内两条相交直线平行，则这两个平面平行；3、利用平面与平面平行的判定：一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行；4、利用平面与平面平行的传递性：平行于同一个平面的两个平面互相平行．5、利用直线与平面垂直的性质：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；（四）直线与平面平行的性质1、性质定理：直线和平面平行，经过该直线的平面与已知平面相交，则该直线和交线平行；2、直线和平面平行的性质：一直线和两相交平面平行，则该直线和这两个平面的交线平行。
（五）平面与平面平行的性质1、平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
2、平面与平面平行的性质：两个平面互相平行，则一个平面内任意一条直线均平行于第二个平面。
高考数学总复习 7-4 空间中的平行关系课件 苏教版
A．一定平行 C．一定是异面直线
解析：本题引入正方体模型观察即易知直线 a 与直线 c 的位置 关系可能为相交、平行、异面，故选 D. 答案：D
2．若直线 a 平行于平面 α，则下列结论错误的是( A．a 平行于 α 内的所有直线 B．α 内有无数条直线与 a 平行 C．直线 a 上的点到平面 α 的距离相等 D．α 内存在无数条直线与 a 成 90° 角
如果一个平面内有两条 文字语言
相交直线 都平行于另一 个平面，那么这两个平
与第三个平面相交，那
么它们的交线 平行 ．
面平行.
图形语言
符号语 言
a α b α a∩b＝A⇒α∥β a∥β b∥β
α∥ β γ∩α＝a⇒b∥a γ∩β＝a
பைடு நூலகம்
【基础自测】 1．(教材改编题)若空间三条直线 a、b、c 满足 a⊥b，b⊥c，则 直线 a 与 c( ) B．一定相交 D．平行、相交、异面直线都有可能
考向二
平面与平面平行的判定与性质
如图所示，B 为△ACD 所在平面外一点， M，N，G 分别为△ABC，△ABD，△BCD 的 重心． (1)求证：平面 MNG∥平面 ACD； (2)若△ACD 是边长为 2 的正三角形．判断△MGN 的形状并求 △MGN 的面积． 【审题视点】 由三角形重心的性质得到等比线段，由此推出
【证明】 连接 AB′，AC′，由已知∠BAC＝90° ，AB＝AC， 三棱柱 ABC－A′B′C′为直三棱柱，所以 M 为 AB′的中点．又 因为 N 为 B′C′的中点， 所以 MN∥AC′.又 MN⃘ 平面 A′ACC′， AC′ 平面 A′ACC′，因此 MN∥平面 A′ACC′. 利用判定定理时关键是找平面内与已知直线平
高一数学 空间中的平行关系
济南市长清第一中学
考点二 平面与平面平行的判定与性质
1、设直线l，m，平面α，β，下列条件能得 出α∥β的有( )
①l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥β； ②l⊂α，m⊂α，且l∥m，l∥β，m∥β； ③l∥α，m∥β，且l∥m； ④l∩m＝P，l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥β. A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
高中数学一年级
空间中的平行关系复习课
目录
1 知识回顾 2 考点一 直线与平面平行的判定与性质 3 考点二 平面与平面平行的判定与性质 4 考点三 线面、面面平行的综合应用
知识回顾：
一、直线与直线平行
1、基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行。
2、判定直线与直线平行的常用方法： （1）三角形中利用中位线定理 （2）构造平行四边形 （3）平行线的传递性 （4）平行线分线段成比例
故面GFH∥面ACD
方法二 取BE的中点M,连接GM,FM
G, M , F分别是CE, BE, AE的中点
GM // BC, FM // AB
又 GM 面GMF , FM 面GMF , AB 面ABC, BC 面ABC
GM FM M, AB BC B 面GMF // 面ABC
GF 面GMF
GF // 面ABC
考点一 直线与平面平行的判定与性质
1.“直线与平面内无数条直线平行”是“直线//平面”
的（ ）
A． 充要条件
B． 充分不必要条件
C． 必要不充分条件 D． 既不充分也不必要条件
答案：C
2．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平 面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G， 过G和AP作平面交平面BDM于GH．求证：
专题复习：空间中的平行关系
中位线定理
平行四边形性质 平行公理 线面平行性质定理 （2）空间中的线线平行： 面面平行性质定理 线面垂直性质定理
（1）平面中的线线平行： 比例关系
P F P F
M
E B A C
D
B
E
A C
D
N
空间平行关系的常见判定方法：
1、线面平行 （1）利用线面平行的定义（无公共点）； （2）利用线面平行的判定定理； （3）利用面面平行的性质.
空间平行关系的常见判定方法：
2、面面平行
（1）利用面面平行的定结论：垂直于同一条直线的两个平面
A1 G
H
C1
B1
A E
F B
C
探究：如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1中，底面为正三 角形，侧棱与底面垂直，点E，F分别是CC1，BB1上的 点，点M是棱AC上的动点，且EC=2FB，当M在何位置 时，BM//平面AEF？
当堂检测
1、如图，在直三棱柱ABC A1 B1C1中，AB AC， D为BC中点，四边形B1 BCC1是正方形，求证：A1 B //平面AC1 D.
a // a // b
；
；
（3） , b , a // , b // a
//
；
（4）
// , a , b a // b .
空间中的平行关系
判定定理
线线平行
线面平行
判定定理 定义
面面平行
性质定理 性质定理
例1、如图，已知点P是平行四边形ABCD所 在平面外一点，E，F分别是AB，PD的中 点，求证：AF//平面PCE
M
N
2、如图，在正方体ABCD A1 B1C1 D1中，E、F 分别 为棱AD、AB的中点．求证：EF //平面CB1 D1.
空间中的平行关系-人教A版高中数学必修第二册上课用PPT
求证：(1)直线EG∥平面BDD1B1； • (2)平面EFG∥平面BDD1B1.
8空.5间.2中空的间平中行的关平系行-人关教系A（版2） 高-中人数教学A 必版修（第201二9册）优高 秀中课数件学 必修第 二册课 件(共21 张PPT)
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5.如图,四棱锥PABCD的底面是平行四边形，PA＝PB＝AB＝2,
E、F分别是AB,CD的中点,平面AGF∥平面PEC,PD∩平面AGF＝
A
又因为 DE EF E,
所以 平面DEF//平面ABD
化归思想
P
F E
C B
空间中的平行关系-人教A版高中数学 必修第 二册优 秀课件
练习．已知在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、E、 F、N分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点． 求证：平面AMN∥平面EFDB．
空间中的平行关系-人教A版高中数学 必修第 二册优 秀课件
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课堂小结
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4.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，M是A1C1的中点，平 面 AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N. • 求证：N为AC的中点．
空间中的平行关系
⇒β∥α. (2) 垂直于 同一直线
的两个平面平行．
4．两个平面平行的性质 (1)两个平面平行，其中一个平面内的直线 平行于 另
一个平面．
符号表示：α ∥β ，a⊂α，则 a∥β
.
(2)如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它
们的交线 平行 . 符号表示：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则 a∥b .
可得 DF∥GC，DF＝GC， 所以四边形 DFCG 为平行四边形， 则 O 为 CD 的中点． 又 H 为 BC 的中点，所以 OH∥BD. 又 OH⊂平面 FGH，BD⊄平面 FGH， 所以 BD∥平面 FGH.
(方法二)取 AC 的中点 E,连接 A1E,EB, 易证 A1E∥DC,EB∥DB1, 所以 A1E∥平面 DB1C,EB∥平面 DB1C, 又 A1E∩EB＝E,所以平面 DB1C∥平面 A1EB, 因为 A1B⊂平面 A1EB,所以 A1B∥平面 B1CD .
点评：(1)证线面平行的常用方法： ①利用线面平行的判定定理，转化为证线线平行． ②利用面面平行的性质定理，转化为证面面平行． (2)利用判定定理时，要注意强调： (ⅰ)一条线在平面外；(ⅱ)一条线在平面内；(ⅲ)平面外 的直线与平面内的直线平行． (3)证线线平行是证线面平行的基础，要注意如下结论的 运用： ①三线平行公理；②平面几何中的结论：如三角形的中 位线定理、平行四边形的性质等．
解：A、B 是两个平面平行的性质，正确； C 正确，可用反证法进行证明； D 错误，这一直线还可能在另一个平面内． 故选 D.
答案:D
5．(2015·北京卷)设α ，β 是两个不同的平面，m 是直
线且 m⊂α，“m∥β”是“α∥β”的( )
A．充分而不必要条件
空间中的平行关系
空间中的平行关系（提高篇）高考会这样考 1.考查空间平行关系的判定及性质有关命题的判定；2.解答题中证明或探索空间的平行关系．复习备考要这样做 1.熟练掌握线面平行、面面平行的判定定理和性质，会把空间问题转化为平面问题，解答过程的叙述步骤要完整，避免因条件书写不全而失分；2.转化的思想解决空间线面、面面平行关系的问题关键是作好下列转化3.解题技巧要能够灵活作出辅助线、面来解题，作辅助线、面一定要以某一定理为理论依据．注意常用方法：三角形中位线法，构造平行四边形法等。
知识点回顾1.线面平行的判定及性质定理；2.面面平行的判定及性质定理；要求会用数学语言和图形语言表达。
1①若a∥α，b⊂α，则a∥b；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b⊂α，则a∥α；④若a∥b，a∥α，则b∥α或b⊂α.上面命题中正确的是________(填序号)．2．已知平面α∥平面β，直线a⊂α，有下列命题：①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；③a与β内的任意一条直线都不垂直．其中真命题的序号是________．3．设m、n表示不同直线，α、β表示不同平面，则下列结论中正确的是()A．若m∥α，m∥n，则n∥αB．若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥βC．若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥βD．若α∥β，m∥α，n∥m，n⊄β，则n∥β4．已知m ，n 是不同的直线，α，β是不重合的平面，给出下列命题： ①若m ∥α，则m 平行于平面α内的任意一条直线； ②若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n ； ③若m ⊥α，n ⊥β，m ∥n ，则α∥β； ④若α∥β，m ⊂α，则m ∥β.BCDE 所在平面与圆O 所在平面垂直，且DE ∥BC ，DC ⊥BC ，DE ＝12BC ＝2，AC＝CD ＝3. 证明：EO ∥平面ACD ；2.如图，FD 垂直于矩形ABCD 所在平面，CE ∥DF ，∠DEF ＝90°. (1)求证：BE ∥平面ADF ；3..如图，四棱锥A -B CD 被一平面所截，截面为平行四边形EFGH ，求证：CD ∥平面EFGH.4.如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，M、N分别是BC和A1B1的中点．求证：MN∥平面AA1C1C.1.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是BC、CC1、C 1D1、A1A的中点.求证：（1）BF∥HD1；（2）EG∥平面BB1D1 D；（3）平面BDF∥平面B1D1 H.2.如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EF A1∥平面BCHG.1.如图，在直四棱柱ABCD－AB1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，在棱AB上是否存在一点F，使平面C1CF∥平面ADD1A1？若存在，求点F的位置；若不存在，请说明理由．2.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?空间中的平行关系（习题课）高考会这样考 1.考查空间平行关系的判定及性质有关命题的判定；2.解答题中证明或探索空间的平行关系．复习备考要这样做 1.熟练掌握线面平行、面面平行的判定定理和性质，会把空间问题转化为平面问题，解答过程的叙述步骤要完整，避免因条件书写不全而失分；2.转化的思想解决空间线面、面面平行关系的问题关键是作好下列转化3.解题技巧要能够灵活作出辅助线、面来解题，作辅助线、面一定要以某一定理为理论依据．注意常用方法：三角形中位线法，构造平行四边形法等。
高考数学一轮复习 第47讲《空间中的平行关系》热点针对课件 理
【拓展演练 3】 (改编)如图，S 为矩形 ABCD 所在平面外一点，E，F，H 分别是 SD， BC， SC 上的点， 且 SE∶ED＝BF∶FC＝SH∶HC， 求证：平面 EHF∥平面 SAB.
证明：因为 SH∶HC＝SE∶ED， 所以 EH∥DC. 而 DC∥AB，所以 EH∥AB， 又 EH⊄平面 SAB，AB⊂平面 SAB， 所以 EH∥平面 SAB， 因为 SH∶HC＝BF∶FC，所以 HF∥BS， 又 HF⊄平面 SAB，BS⊂平面 SAB， 所以 HF∥平面 SAB， 又因为 FH 与 HE 为平面 EHF 内的两条相交直线， 所以平面 EHF∥平面 SAB.
解析：A、B、C 中 α 与 β 都有可能相交．
5．(原创)如图，在六面体 ABCDEFG 中，平面 ABC∥ 平面 DEFG，EF∥DG，且 AB＝DE，DG＝2EF，则( A ) A．BF∥平面 ACGD B．CF∥平面 ABED C．BC∥FG D．平面 ABED∥平面 CGF
解析：取 DG 的中点为 M，连接 AM、FM，则 由已知条件易证四边形 DEFM 是平行四边形， 所以 DE 綊 FM.
一
平行判断的基本应用
【例 1】m、n 是不同的直线，α、β、γ 是不同的平面，
有以下四个命题： ①若 α∥β，α∥γ，则 β∥γ； ②若 α⊥β，m∥α，则 m⊥β； ③若 m⊥α，m∥β，则 α⊥β ④若 m∥n，n⊂α，则 m∥α. 其中是真命题的是( A．①③ C．②③ ) B．①④ D．②④
三
平面与平面平行的判定与性质
【例 3】(2012· 东北四校第二次联考)如图，边长为 1 的正
三角形 SAB 所在平面与直角梯形 ABCD 所在平面垂直， 且 AB ∥CD，BC⊥AB，BC＝1，CD＝2，E、F 分别是线段 SD、CD 的中点．求证：平面 AEF∥平面 SBC.
空间中的平行关系(复习带有详细答案)
空间中的平行关系1．设α，β，γ是三个互不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是A、若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γB、若α//β，m⊄β，m//α，则m//βC、若α⊥β，m⊥α，则m//βD、若m//α，n//β，α⊥β，则m⊥n 【答案】B【解析】解：利用平面的线面的位置关系，可知，两个平行平面，如果不在平面内的一条直线平行于其中一个平面，必定平行与另一个平面。
选项A还可能平行。
选项C，线可能在面内。
选项D中，线线的位置关系不定。
2．若直线a与平面α相交与一点Ａ，则下列结论正确的是（）A.α内的所有直线与a异面Ｂ.α内不存在与a平行的直线Ｃ.α内存在唯一的直线与a平行Ｄ.α内的直线与a都相交【答案】B【解析】略3．已知直线l、m 、n 与平面α、β给出下列四个命题：①若m∥l，n∥l，则m∥n；②若m⊥α，m∥β，则α⊥β；③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若m⊥β，α⊥β，则m∥α其中，假命题的个数是（）A、1B、2C、3D、4【答案】B【解析】略4．若直线l平行于平面α内的无数条直线，则下列结论正确的是A、//⊂lαB、lαC、lα⊄D、lα与不相交【答案】D【解析】略5．下列命题中lα①若直线l上有无数点不在平面α内，则//②若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内任意一条直线平行③若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点 ④若直线l 平行于α内无数条直线，则//l α⑤如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行 其中正确的个数是 （ ）A 、0B 、1C 、2D 、3 【答案】B 【解析】略6．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是( )A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．②和④ 【答案】D 【解析】略7．α、β是两个不重合的平面，a 、b 是两条不同直线，在下列条件下，可判定α∥β的是( )A ．α、β都平行于直线a 、bB ．α内有三个不共线点A 、B 、C 到β的距离相等 C ．a 、b 是α内两条直线，且a ∥β，b ∥βD ．a 、b 是两条异面直线且a ∥α，b ∥α，a ∥β，b ∥β 【答案】A 【解析】略8．已知直线平面，则“平面平面”是“”的A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】略9．空间可以确定一个平面的是（ ）A.两条直线B.一点和一条直线C.一个三角形D.三个点m ⊂α//αβ//m β【解析】略10．已知直线a//平面α,则a 与平面α内的直线的位置关系（ ） A ．相交 B. 异面 C. 平行 D. 异面或平行 【答案】C 【解析】略11．已知a 、b 为直线，γβα、、为平面，有下列四个命题： ①b a b a //////，则，αα ②βαγβγα//，则，⊥⊥ ③βαβα//////，则，a a ④αα////a b b a ，则，⊂其中正确命题的个数有（ ）Ａ.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【答案】A 【解析】略12．已知,αβ为互不重合的平面，,m n 为互不重合的直线，给出下列四个命题：①,,m n n m αα⊂若则；②,,,,m n m n m n ααββ⊂⊂若则 ； ③,,,m n m n αβαβ⊂⊂若则；④,,,,m n m n n αβαβαβ⊥=⊂⊥⊥若则. 其中正确命题的序号是____ ▲ __ __． 【答案】④ 【解析】略13．设,m n 是两条不同的直线，βα,是两个不同的平面，有下列四个命题: ①若n m n m //,//,则αα⊂ ②βαβα⊥⊥⊥⊥则,,,n m n m ③若,//,n m n αβ=则m ∥,α且m ∥β④若βαβα//,,则⊥⊥m m其中正确的命题是 ▲ ．（写出所有真命题的序号）． 【答案】②④14．设,l m 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，下列命题中正确的是 ．（填序号）①若,//,,l m αβαβ⊥⊥则l m ⊥；②若//,,,l m m l αβ⊥⊥则//αβ； ③若//,//,//,l m αβαβ则//l m ；④若,,,,m l l m αβαββ⊥=⊂⊥则l α⊥．【答案】②④ 【解析】略15．．如图是正方体的表面展开图，在这个正方体中有如下命题：①；②与是异面直线；③与成角；④与成角。
【名师导学】(新课标)高考数学一轮巩固 第47讲 空间中的平行关系配套课件 文
2．下列命题中错误 的是( C ) ．． A．若一个平面内有两条相交直线分别平行另一 个平面内两条直线，则这两个平面平行 B．垂直于同一直线的两个平面平行 C．平行于同一直线的两平面平行 D．平行于同一平面的两平面平行
【解析】由面面平行的判定定理及有关性质定理可知 A，B，D 正确．对于选项 C 中满足条件的两平面可能 相交．
〔变式题〕如图平面内两正方形 ABCD 与 ABEF， 点 M、N 分别在对角线 AC、FB 上，且 AM∶MC＝ FN∶NB，沿 AB 折成直二面角． (1)证明：折叠后 MN∥平面 CBE； (2)若 AM∶MC＝2∶3， 在线段 AB 上是否存在一点 G，使平面 MGN∥平面 CBE？若存在，试确定点 G 的 位置．
(2013 陕西)如图，四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 的底 面 ABCD 是正方形， O 是底面中心， A1O⊥底面 ABCD， AB＝AA1＝ 2. (1)证明：平面 A1BD∥平面 CD1B1； (2)求三棱柱 ABD—A1B1D1 的体积．
【解析】(1)由题设知，BB1 綊 DD1， ∴BB1D1D 是平行四边形，∴BD∥B1D1. 又 BD⊄平面 CD1B1，∴BD∥平面 CD1B1. ∵A1D1 綊 B1C1 綊 BC，∴A1BCD1 是平行四边形, ∴A1B∥D1C. 又 A1B⊄平面 CD1B1，∴A1B∥平面 CD1B1. 又∵BD∩A1B＝B，∴平面 A1BD∥平面 CD1B1.
【解析】①②中 a 可与 α 相交，③中 l∥α 只能说明有 一系列的平行线与 l 平行，④正确，故选 A.
4．平面 α⊥平面 β，α∩β＝l，点 P∈α，点 Q∈l， 那么 PQ⊥l 是 PQ⊥β 的( C ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
高考数学复习考点知识与题型专题讲解47---空间点、直线、平面之间的位置关系
高考数学复习考点知识与题型专题讲解7.2空间点、直线、平面之间的位置关系考试要求1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 2．空间中直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧平行直线相交直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)． ②范围：⎝⎛⎦⎤0，π2. 3．空间中直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况． 4．空间中平面与平面的位置关系平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．5．等角定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．微思考1．分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线吗？提示不一定，因为异面直线不同在任何一个平面内．分别在两个不同平面内的两条直线可能平行或相交或异面．2．平面外的一条直线上有两个点到平面的距离相等，则直线与平面的位置关系如何？提示平行或相交．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)有三个公共点的两个平面必重合．(×)(2)三条两两相交的直线确定一个平面．(×)(3)若A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α，则l⊂α.(√)(4)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，记作α∩β＝a.(√)题组二教材改编2.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°答案C解析连接B1D1，D1C(图略)，则B1D1∥EF，故∠D1B1C即为所求的角．又B1D1＝B1C＝D1C，∴△B1D1C为等边三角形，∴∠D1B1C＝60°.3．如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面β.且α∥β，则a与b()A．共面B．平行C．是异面直线D．可能平行，也可能是异面直线答案D解析α∥β，说明a与b无公共点，∴a与b可能平行也可能是异面直线．4．两两平行的三条直线可确定________个平面．答案1或3解析若三条直线在同一平面内，则确定1个平面．若三条直线不共面，则确定3个平面．题组三易错自纠5．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是()A．b⊂αB．b∥αC．b⊂α或b∥αD．b与α相交或b⊂α或b∥α答案D解析由题意知，b与α的位置关系可能是b∥α，b与α相交或b⊂α.6．下列关于异面直线的说法正确的是________．(填序号)①若a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线；②若a与b异面，b与c异面，则a与c异面；③若a，b不同在平面α内，则a与b异面；④若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面．答案④解析①a⊂α，b⊂β，则a与b可能平行，异面或相交．②a与b异面，b与c异面，则a与c平行、相交或异面．③a，b不同在α内，则a与b异面或平行．④由异面直线的定义可知正确.题型一平面基本性质的应用例1如图所示，已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：(1)D，B，F，E四点共面；(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线．证明(1)∵EF是△D1B1C1的中位线，∴EF∥B1D1.在正方体AC1中，B1D1∥BD，∴EF∥BD.∴EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．(2)在正方体AC1中，设平面A1ACC1为α，平面BDEF为β.∵Q∈A1C1，∴Q∈α.又Q∈EF，∴Q∈β，则Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点，∴α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，∴R∈A1C.∴R∈α，且R∈β，则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．思维升华共面、共线、共点问题的证明(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．跟踪训练1如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，G，H分别是CD和AD 上的点．若EH与FG相交于点K.求证：EH，BD，FG三条直线相交于同一点．证明因为K∈EH，EH⊂平面ABD，所以K∈平面ABD，同理K∈平面CBD，而平面ABD∩平面CBD ＝BD，因此K∈BD，所以EH，BD，FG三条直线相交于同一点．题型二判断空间两直线的位置关系例2 (1)α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m⊄α，n⊂α，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系不可能是()A．垂直B．相交C．异面D．平行答案D解析依题意，m∩α＝A，n⊂α，∴m与n可能异面、相交(垂直是相交的特例)，一定不平行．(2)已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是长方形A1B1C1D1与长方形BCC1B1的中心，则下列说法正确的是()A．直线MN与直线A1B是异面直线B．直线MN与直线DD1相交C．直线MN与直线AC1是异面直线D．直线MN与直线A1C平行答案C解析如图，因为M，N分别是长方形A1B1C1D1与长方形BCC1B1的中心，所以M，N分别是A1C1，BC1的中点，所以直线MN与直线A1B平行，所以A错误；因为直线MN经过平面BB1D1D内一点M，且点M不在直线DD1上，所以直线MN与直线DD1是异面直线，所以B错误；因为直线MN经过平面ABC1内一点N，且点N不在直线AC1上，所以直线MN与直线AC1是异面直线，所以C正确；因为直线MN经过平面A1CC1内一点M，且点M不在直线A1C上，所以直线MN与直线A1C是异面直线，所以D错误．思维升华(1)点、线、面位置关系的判定，注意构造几何体(长方体、正方体)模型来判断，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系．(2)对异面直线的判定常用到以下结论：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．跟踪训练2 (1)空间中有三条线段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是()A．平行B．异面C．相交或平行D．平行或异面或相交均有可能答案D解析根据条件作出示意图，容易得到以下三种情况均有可能，如图可知AB，CD有相交，平行，异面三种情况．(2)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为________．(注：把你认为正确的结论序号都填上)答案③④解析因为点A在平面CDD1C1外，点M在平面CDD1C1内，直线CC1在平面CDD1C1内，CC1不过点M ，所以AM 与CC 1是异面直线，故①错；取DD 1中点E ，连接AE (图略)，则BN ∥AE ，但AE 与AM 相交，故②错；因为B 1与BN 都在平面BCC 1B 1内，M 在平面BCC 1B 1外，BN 不过点B 1，所以BN 与MB 1是异面直线，故③正确；同理④正确，故填③④. 题型三求两条异面直线所成的角例3 (2020·青岛模拟)如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为()A.15B.25C.35D.45 答案D解析连接BC 1，易证BC 1∥AD 1，则∠A 1BC 1即为异面直线A 1B 与AD 1所成的角．连接A 1C 1，由AB ＝1，AA 1＝2，易得A 1C 1＝2，A 1B ＝BC 1＝5，故cos ∠A 1BC 1＝A 1B 2＋BC 21－A 1C 212×A 1B ×BC 1＝45，即异面直线A 1B与AD 1所成角的余弦值为45.思维升华用平移法求异面直线所成的角的三个步骤(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角． (2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角． (3)三求：解三角形，求出所作的角．跟踪训练3(2018·全国Ⅱ)在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为() A.15B.56C.55D.22 答案C解析如图，连接BD 1，交DB 1于O ，取AB 的中点M ，连接DM ，OM .易知O 为BD 1的中点，所以AD 1∥OM ，则∠MOD 为异面直线AD 1与DB 1所成角或其补角．因为在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，AD 1＝AD 2＋DD 21＝2， DM ＝AD 2＋⎝⎛⎭⎫12AB 2＝52， DB 1＝AB 2＋AD 2＋BB 21＝ 5.所以OM ＝12AD 1＝1，OD ＝12DB 1＝52，于是在△DMO 中，由余弦定理，得cos ∠MOD ＝12＋⎝⎛⎭⎫522－⎝⎛⎭⎫5222×1×52＝55，即异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为55. 课时精练1．(2020·上海市松江区模拟)给出以下四个命题： ①依次首尾相接的四条线段必共面；②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等； ④垂直于同一直线的两条直线必平行． 其中正确命题的个数是() A ．0B ．1C ．2D ．3 答案B解析①中，空间四边形的四条线段不共面，故①错误．②中，由公理2知道，过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，故②正确．③中，由空间角的等角定理知，空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故③错误．④中，空间中，垂直于同一直线的两条直线可相交，可平行，可异面，故④错误．2．已知平面α，β，γ两两垂直，直线a ，b ，c 满足：a ⊂α，b ⊂β，c ⊂γ，则直线a ，b ，c 不可能满足以下哪种关系()A ．两两垂直B ．两两平行C．两两相交D．两两异面答案B解析设α∩β＝l，且l与a，b均不重合，假设a∥b∥c，由a∥b可得a∥β，b∥α，又α∩β＝l，可知a∥l，b∥l，又a∥b∥c，可得c∥l，因为α，β，γ两两互相垂直，可知l与γ相交，即l与c相交或异面．若l与a或b重合，同理可得l与c相交或异面，可知假设错误，由此可知三条直线不能两两平行．3.如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是()A．直线ACB．直线ABC．直线CDD．直线BC答案C解析由题意知，D∈l，l⊂β，所以D∈β，又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，所以点D在平面ABC与平面β的交线上．又因为C∈平面ABC，C∈β，所以点C在平面β与平面ABC的交线上，所以平面ABC∩平面β＝CD.4.在如图所示的正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱B1B，AD的中点，则直线BF与平面AD1E 的位置关系是()A．平行B．相交但不垂直C．垂直D．异面答案A解析如图，取AD1的中点O，连接OE，OF，则OF∥BE，OF＝BE，∴四边形BFOE是平行四边形，∴BF∥OE，∵BF⊄平面AD1E，OE⊂平面AD1E，∴BF∥平面AD1E.5．(多选)(2020·全国Ⅱ改编)下列四个命题中是真命题的为() A．两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内B．过空间中任意三点有且仅有一个平面C．若空间两条直线不相交，则这两条直线平行D．若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l答案AD解析对于A，可设l1与l2相交，这两条直线确定的平面为α；若l3与l1相交，则交点A在平面α内，同理，l3与l2的交点B也在平面α内，所以，AB⊂α，即l3⊂α，A为真命题；对于B，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，故B为假命题；对于C，两条直线有可能平行也有可能异面，故C为假命题；对于D，若直线m⊥平面α，则m垂直于平面α内所有直线，因为直线l⊂平面α，所以直线m⊥直线l，D为真命题．6．(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是()A．A，M，O三点共线B．A，M，O，A1共面C．A，M，C，O共面D．B，B1，O，M共面答案ABC解析∵M∈A1C，A1C⊂平面A1ACC1，∴M∈平面A1ACC1，又∵M∈平面AB1D1，∴M在平面AB1D1与平面A1ACC1的交线AO上，即A，M，O三点共线，∴A，M，O，A1共面且A，M，C，O共面，∵平面BB1D1D∩平面AB1D1＝B1D1，∴M在平面BB1D1D外，即B，B1，O，M不共面，故选A，B，C.7．如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则直线GH，MN是异面直线的图形有________．(填序号)答案②④解析①中GH∥MN；②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此GH，MN是异面直线；③中连接GM，GM∥HN且GM≠HN，所以直线GH与MN必相交；④中，G，M，N三点共面，但H∉平面GMN，因此GH，MN是异面直线．8.如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________．答案 2解析取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以AD∥BC，所以直线AC1与AD所成的角即为异面直线AC1与BC所成的角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D垂直于圆柱下底面，所以C1D⊥AD.因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以C1D＝2AD，所以直线AC1与AD所成角的正切值为2，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为 2.9.(2020·西安模拟)如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．答案②③④解析还原成正四面体ADEF，其中H与N重合，A，B，C三点重合．易知GH与EF异面，BD与MN异面．又△GMH为等边三角形，∴GH与MN成60°角，易证DE⊥AF，MN∥AF，∴MN⊥DE.因此正确的序号是②③④.10．已知下列说法：①若两个平面α∥β，a ⊂α，b ⊂β，则a ∥b ；②若两个平面α∥β，a ⊂α，b ⊂β，则a 与b 是异面直线； ③若两个平面α∥β，a ⊂α，b ⊂β，则a 与b 一定不相交； ④若两个平面α∥β，a ⊂α，b ⊂β，则a 与b 平行或异面； ⑤若两个平面α∩β＝b ，a ⊂α，则a 与β一定相交． 其中正确的序号是________(将你认为正确的序号都填上)． 答案③④解析①错．a 与b 也可能异面． ②错．a 与b 也可能平行．③对．∵α∥β，∴α与β无公共点， 又∵a ⊂α，b ⊂β，∴a 与b 无公共点． ④对．由已知及③知，a 与b 无公共点， 那么a ∥b 或a 与b 异面． ⑤错．a 与β也可能平行．11.如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与四边形ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠F AB ＝90°，BC ∥AD 且BC ＝12AD ，BE ∥AF 且BE ＝12AF ，G ，H 分别为F A ，FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？ (1)证明由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ，可得GH 綊12AD .又BC 綊12AD ，∴GH 綊BC .∴四边形BCHG 为平行四边形． (2)解∵BE 綊12AF ，G 是F A 的中点，∴BE 綊FG ，∴四边形BEFG 为平行四边形，∴EF ∥BG . 由(1)知BG 綊CH ，∴EF ∥CH ， ∴EF 与CH 共面．又D ∈FH ，∴C ，D ，F ，E 四点共面．12.已知空间四边形ABCD 的对角线AC ＝20，BD ＝19，异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为1819，点P ，Q ，M ，N 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点．(1)求证：四边形PQMN 是平行四边形； (2)求四边形PQMN 的面积．(1)证明因为P ，Q 分别是AB ，BC 的中点， 所以PQ ∥AC ，且PQ ＝12AC ，同理MN ∥AC ，且MN ＝12AC ，所以PQ ∥MN ，PQ ＝MN ， 所以四边形PQMN 是平行四边形． (2)解因为P ，N 分别是AB ，AD 的中点，所以PN ∥BD ，PN ＝12BD ＝192，又因为PQ ∥AC ，所以PQ 与PN 所成的角就是异面直线AC ，BD 所成的角，所以sin ∠QPN ＝1－cos 2∠QPN ＝1－⎝⎛⎭⎫18192＝3719，所以四边形PQMN 的面积为S ＝PQ ·PN ·sin ∠QPN ＝10×192×3719＝537.13．(2019·全国Ⅲ)如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则()A ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线 答案B解析如图，取CD 的中点O ，连接ON ，EO ，因为△ECD 为正三角形，所以EO ⊥CD ，又平面ECD ⊥平面ABCD ，平面ECD ∩平面ABCD ＝CD ，所以EO ⊥平面ABCD .设正方形ABCD 的边长为2，则EO ＝3，ON ＝1，所以EN 2＝EO 2＋ON 2＝4，得EN ＝2.过M 作CD 的垂线，垂足为P ，连接BP ，则MP ＝32，CP ＝32，所以BM 2＝MP 2＋BP 2＝⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫322＋22＝7，得BM ＝7，所以BM ≠EN .连接BD ，BE，因为四边形ABCD为正方形，所以N为BD的中点，即EN，MB均在平面BDE内，所以直线BM，EN是相交直线．14．已知球O是正三棱锥(底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心)A－BCD的外接球，BC＝3，AB＝23，点E在线段BD上，且BD＝3BE，过点E作球O的截面，则所得的截面中面积最小的截面圆的面积是________．答案2π解析如图，设△BDC的中心为O1，球O的半径为R，连接AO1，O1D，OD，O1E，OE，＝3，则O1D＝3sin60°×23AO1＝AD2－DO21＝3，在Rt△OO1D中，R2＝3＋(3－R)2，解得R＝2，∵BD＝3BE，DE＝2，在△DEO1中，O1E＝3＋4－2×3×2cos30°＝1，∴OE＝O1E2＋OO21＝2，过点E作球O的截面，当截面与OE垂直时，截面圆的面积最小，此时截面圆的半径为22－(2)2＝2，面积为2π.15．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为32，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，P 是线段A 1B 上的动点，C 1P 与平面D 1EF 的交点Q 的轨迹长为()A ．3B.13C ．4D ．3 2答案B解析如图所示，连接EF ，A 1B ，连接A 1C 1，B 1D 1交于点M ，连接B 1E ，BC 1交于点N ，由EF ∥B 1D 1，即E ，F ，B 1，D 1共面，由P 是线段A 1B 上的动点，当P 重合于A 1或B 时，C 1A 1，C 1B 与平面D 1EF 的交点分别为M ，N ，即Q 的轨迹为MN ，由棱长为32，得C 1M ＝12A 1C 1＝3, 则BC 1＝6， 又BEB 1C 1＝BN NC 1＝12， 则NC 1＝23BC 1＝4， 由A 1B ＝BC 1＝A 1C 1，得∠A 1C 1B ＝60°，则MN ＝MC 21＋NC 21－2MC 1·NC 1·cos ∠A 1C 1B ＝9＋16－2×3×4×12＝13. 16．如图1，在边长为4的正三角形ABC 中，D ，F 分别为AB ，AC 的中点，E 为AD 的中点．将△BCD 与△AEF 分别沿CD ，EF 同侧折起，使得二面角A －EF －D 与二面角B －CD －E 的大小都等于90°，得到如图2所示的多面体．(1)在多面体中，求证：A ，B ，D ，E 四点共面；(2)求多面体的体积．(1)证明因为二面角A －EF －D 的大小等于90°，所以平面AEF ⊥平面DEFC ，又AE ⊥EF ，AE ⊂平面AEF ，平面AEF ∩平面DEFC ＝EF ，所以AE ⊥平面DEFC ，同理，可得BD ⊥平面DEFC ，所以AE ∥BD ，故A ，B ，D ，E 四点共面．(2)解因为AE ⊥平面DEFC ，BD ⊥平面DEFC ,EF ∥CD ，AE ∥BD ，DE ⊥CD ，所以AE 是四棱锥A －CDEF 的高，点A 到平面BCD 的距离等于点E 到平面BCD 的距离， 又AE ＝DE ＝1，CD ＝23，EF ＝3，BD ＝2，所以V ＝V A －CDEF ＋V A －BCD ＝13S 梯形CDEF ·AE ＋13S △BCD ·DE ＝736.。
高考数学二轮复习考点知识讲解与练习47---直线、平面平行的判定与性质
高考数学二轮复习考点知识讲解与练习第47讲直线、平面平行的判定与性质考点知识：1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题．知识梳理1．直线与平面平行(1)直线与平面平行的定义直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行．(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α性质定理一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b的交线与该直线平行2.平面与平面平行(1)平面与平面平行的定义没有公共点的两个平面叫做平行平面．(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，a∥β，b∥β⇒α∥β性质定理两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面α∥β，a⊂α⇒a∥β如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b1．平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.(2)平行于同一平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.2．三种平行关系的转化诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．( )(2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条．( )(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．( )(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．( )答案(1)×(2)×(3)×(4)√解析(1)若一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行或在平面内，故(1)错误．(2)若a∥α，P∈α，则过点P且平行于a的直线只有一条，故(2)错误．(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行或相交，故(3)错误．2．下列说法中，与“直线a∥平面α”等价的是( )A．直线a上有无数个点不在平面α内B．直线a与平面α内的所有直线平行C．直线a与平面α内无数条直线不相交D．直线a与平面α内的任意一条直线都不相交答案 D解析因为a∥平面α，所以直线a与平面α无交点，因此a和平面α内的任意一条直线都不相交，故选D.3.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________．答案平行四边形解析∵平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，∴EF∥HG.同理EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形．4．(2021·太原质检)平面α∥平面β的一个充分条件是( )A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α答案 D解析若α∩β＝l，a∥l，a⊄α，a⊄β，a∥α，a∥β，故排除A；若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，则a∥β，故排除B；若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l，则a∥β，b∥α，故排除C；故选D.5．(2022·长春调研)已知α，β表示两个不同的平面，直线m是α内一条直线，则“α∥β”是“m∥β”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案 A解析由α∥β，m⊂α，可得m∥β；反过来，由m∥β，m⊂α，不能推出α∥β.综上，“α∥β”是“m∥β”的充分不必要条件．6．(2021·衡水中学检测)如图，四棱锥P－ABCD中，AB＝BC＝12AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中点．则CE与平面PAB的关系是________．答案平行解析取PA的中点F，连接EF，BF，∵E 是PD 中点，知EF 綉12AD ，又∠BAD ＝∠ABC ＝90°，BC ＝12AD ，∴BC 綉12AD ，从而BC 綉EF ，则四边形BCEF 为平行四边形，故CE ∥AF ， 又BF ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ， 所以CE ∥平面PAB .考点一 与线、面平行相关命题的判定1．(2019·全国Ⅱ卷)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是( ) A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面 答案 B解析 若α∥β，则α内有无数条直线与β平行，当α内无数条直线互相平行时，α与β可能相交；若α，β平行于同一条直线，则α与β可以平行也可以相交；若α，β垂直于同一个平面，则α与β可以平行也可以相交，故A ，C ，D 中条件均不是α∥β的充要条件．根据两平面平行的判定定理知，若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则两平面平行，反之也成立．因此B 中条件是α∥β的充要条件． 2．(2021·西安质检)设a ，b 为两条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，则下列命题正确的是( )A．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若a⊂α，b⊂β，α∥β，则a∥bC．若a∥α，a∥β，则α∥βD．若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥b答案 D解析A不正确：a∥b或a与b相交或异面；B不正确，a∥b或a与b是异面直线；C不正确，α∥β或平面α与β相交．D正确，根据面面平行的性质，可得a∥b.3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列结论正确的是________(填序号)．①AD1∥BC1；②平面AB1D1∥平面BDC1；③AD1∥DC1；④AD1∥平面BDC1.答案①②④解析如图，因为AB綉C1D1，所以四边形AD1C1B为平行四边形．故AD1∥BC1，从而①正确；易证BD∥B1D1，AB1∥DC1，又AB1∩B1D1＝B1，BD∩DC＝D，1故平面AB1D1∥平面BDC1，从而②正确；由图易知AD1与DC1异面，故③错误；因为AD1∥BC1，AD1⊄平面BDC1，BC1⊂平面BDC1，所以AD1∥平面BDC1，故④正确．感悟升华直线、平面间平行的判定方法(1)关注是否符合判定定理与性质定理，并注意定理中易忽视的条件．(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．(3)利用实物进行空间想象，比较判断．(4)熟记一些常见结论，如垂直于同一条直线的两个平面平行等．考点二直线与平面平行的判定与性质角度1 直线与平面平行的判定【例1】(2019·全国Ⅰ卷)如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．(1)证明：MN∥平面C1DE；(2)求点C到平面C1DE的距离．(1)证明如图，连接B1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME＝12B1C.又因为N为A1D的中点，所以ND＝12A1D.由题设知A1B1綉DC，可得B1C綉A1D，故ME綉ND，因此四边形MNDE为平行四边形，所以MN∥ED.又MN⊄平面C1DE，DE⊂平面C1DE，所以MN∥平面C1DE.(2)解过点C作C1E的垂线，垂足为H.由已知可得DE⊥BC，DE⊥C1C，又BC∩C1C＝C，BC，C1C⊂平面C1CE，所以DE⊥平面C1CE，故DE⊥CH.所以CH⊥平面C1DE，故CH的长即为点C到平面C1DE的距离．由已知可得CE＝1，C1C＝4，所以C1E＝17，故CH＝417 17.从而点C到平面C1DE的距离为417 17.感悟升华 1.利用线面平行的判定定理证明直线与平面平行的关键是在平面内找到一条与已知直线平行的直线．2．利用面面平行的性质证明线面平行时，关键是构造过该直线与所证平面平行的平面，这种方法往往借助于比例线段或平行四边形．【训练1】如图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：GH∥平面PAD.证明如图，连接AC交BD于点O，连接MO，因为四边形ABCD是平行四边形，所以O是AC的中点．又M是PC的中点，所以AP∥OM.根据直线和平面平行的判定定理，则有PA∥平面BMD.因为平面PAHG∩平面BMD＝GH，根据直线和平面平行的性质定理，所以PA∥GH.因为GH⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，所以GH∥平面PAD.角度2 线面平行的性质定理的应用【例2】(2021·河南、江西五岳联考)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠DAB＝90°，AB＝BC＝PA＝12AD＝2，E为PB的中点，F是PC上的点．(1)若EF∥平面PAD，证明：F为PC的中点；(2)求点C到平面PBD的距离．(1)证明因为BC∥AD，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BC∥平面PAD.因为P∈平面PBC，P∈平面PAD，所以可设平面PBC∩平面PAD＝PM，又因为BC⊂平面PBC，所以BC∥PM，因为EF∥平面PAD，EF⊂平面PBC，所以EF∥PM，从而得EF∥BC.因为E为PB的中点，所以F为PC的中点．(2)解因为PA⊥底面ABCD，∠DAB＝90°，AB＝BC＝PA＝12AD＝2，所以PB＝PA2＋AB2＝22，PD＝PA2＋AD2＝25，BD＝BA2＋AD2＝25，所以S △DPB ＝12PB ·DP 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12PB 2＝6.设点C 到平面PBD 的距离为d ，由V C －PBD ＝V P －BCD ，得13S △DPB ·d ＝13S △BCD ·PA ＝13×12×BC ×AB ×PA ，则6d ＝12×2×2×2，解得d ＝23.感悟升华 在应用线面平行的性质定理进行平行转化时，一定注意定理成立的条件，通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤，如：把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面和已知平面相交，这时才有直线与交线平行．【训练2】 如图所示，已知四边形ABCD 是正方形，四边形ACEF 是矩形，M 是线段EF 的中点．(1)求证：AM ∥平面BDE ；(2)若平面ADM ∩平面BDE ＝l ，平面ABM ∩平面BDE ＝m ，试分析l 与m 的位置关系，并证明你的结论．(1)证明 如图，记AC 与BD 的交点为O ，连接OE .因为O ，M 分别为AC ，EF 的中点，四边形ACEF 是矩形， 所以四边形AOEM 是平行四边形，所以AM ∥OE .又因为OE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，所以AM∥平面BDE.(2)解l∥m，证明如下：由(1)知AM∥平面BDE，又AM⊂平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，所以l∥AM，同理，AM∥平面BDE，又AM⊂平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m，所以m∥AM，所以l∥m.考点三面面平行的判定与性质【例3】(经典母题)如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A 1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.证明(1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，∴GH是△A1B1C1的中位线，则GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面．(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC，∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1綉AB，∴A1G綉EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.【迁移1】在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变为“D1，D分别为B1C1，BC的中点”，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.证明如图所示，连接A1C交AC1于点M，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴M是A1C的中点，连接MD，∵D为BC的中点，∴A1B∥DM.∵A1B⊂平面A1BD1，DM⊄平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1，又由三棱柱的性质及D ，D 1分别为BC ，B 1C 1的中点知，D 1C 1綉BD ， ∴四边形BDC 1D 1为平行四边形，∴DC 1∥BD 1. 又DC 1⊄平面A 1BD 1，BD 1⊂平面A 1BD 1， ∴DC 1∥平面A 1BD 1，又DC 1∩DM ＝D ，DC 1，DM ⊂平面AC 1D ， 因此平面A 1BD 1∥平面AC 1D .【迁移2】 在本例中，若将条件“E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点”变为“点D ，D 1分别是AC ，A 1C 1上的点，且平面BC 1D ∥平面AB 1D 1”，试求ADDC的值． 解 连接A 1B 交AB 1于O ，连接OD 1. 由平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，且平面A 1BC 1∩平面BC 1D ＝BC 1， 平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1＝D 1O ， 所以BC 1∥D 1O ，则A 1D 1D 1C 1＝A 1OOB＝1. 又由题设A 1D 1D 1C 1＝DC AD， ∴DC AD ＝1，即ADDC＝1. 感悟升华 1.判定面面平行的主要方法 (1)利用面面平行的判定定理．(2)线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行)．2．面面平行条件的应用(1)两平面平行，分别构造与之相交的第三个平面，交线平行．(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行．提醒利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明是在一个平面内的两条直线是相交直线．【训练3】(2021·成都五校联考)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA ＝PD，AB＝AD，PA⊥PD，AD⊥CD，∠BAD＝60°，M，N分别为AD，PA的中点．(1)证明：平面BMN∥平面PCD；(2)若AD＝6，求三棱锥P－BMN的体积．(1)证明连接BD，如图所示．∵AB＝AD，∠BAD＝60°，∴△ABD为正三角形．∵M为AD的中点，∴BM⊥AD.∵AD⊥CD，CD，BM⊂平面ABCD，∴BM∥CD.又BM⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，∴BM∥平面PCD.∵M，N分别为AD，PA的中点，∴MN∥PD. 又MN⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，∴MN∥平面PCD.又BM，MN⊂平面BMN，BM∩MN＝M，∴平面BMN∥平面PCD.(2)解在(1)中已证BM⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD，BM⊂平面ABCD，∴BM⊥平面PAD.又AD＝6，∠BAD＝60°，∴BM＝3 3.∵PA＝PD，PA⊥PD，AD＝6，∴PA＝PD＝32AD＝32，∵M，N分别为AD，PA的中点，∴S△PMN＝14S△PAD＝14×12×(32)2＝94.∴三棱锥P－BMN的体积V＝V B－PMN＝13S△PMN·BM＝13×94×33＝934.A级基础巩固一、选择题1．下列命题中正确的是( )A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行C．平行于同一条直线的两个平面平行D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α答案 D解析A中，a可以在过b的平面内；B中，a与α内的直线也可能异面；C中，两平面可相交；D中，由直线与平面平行的判定定理知b∥α，正确．2．如果AB，BC，CD是不在同一平面内的三条线段，则经过它们中点的平面和直线AC的位置关系是( )A．平行 B．相交C．AC在此平面内 D．平行或相交答案 A解析把这三条线段放在正方体内可得如图，显然AC∥EF，AC⊄平面EFG，∵EF⊂平面EFG，故AC∥平面EFG，故选A.3．(2021·重庆联考)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABCD为平行四边形，E，F分别在线段DB，DD1上，且DEEB＝DFFD1＝12，G在CC1上且平面AEF∥平面BD1G，则CGCC1＝( )A.12B．13C．23D．14答案 B解析如图所示，延长AE交CD于H，连接FH，则△DEH∽△BEA，所以DHAB＝DEEB＝12.因为平面AEF∥平面BD1G，平面AEF∩平面CDD1C＝FH，平面BD1G∩平面CDD1C1＝D1G，所以FH∥D1G.又四边形CDD1C1是平行四边形，所以△DFH∽△C1GD1，所以DFC1G＝DHC1D1，因为DHC1D1＝DHAB＝12，所以DFC1G＝12，因为DFFD1＝12，所以FD1＝C1G，DF＝CG，所以CGCC1＝13，故选B.4. (2021·兰州诊断)如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是( )A．异面 B．平行 C．相交 D．以上均有可能答案 B解析在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1，∵AB⊂平面ABC，A1B1⊄平面ABC，∴A1B1∥平面ABC.∵过A1B1的平面与平面ABC交于DE，∴DE∥A1B1，∴DE∥AB.5．(2021·河南名校联考)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是BB1，DD1，A1B1的中点，则下列说法错误的是( )A．B1D∥平面A1FC1 B．CE∥平面A1FC1C．GE∥平面A1FC1 D．AE∥平面A1FC1答案 C解析作出图形如图所示，观察可知，B1D∥FO，CE∥A1F，AE∥C1F，又FO⊂平面A1FC1，A 1F⊂平面A1FC1，C1F⊂平面A1FC1，B1D⊄平面A1FC1，CE⊄平面A1FC1，AE⊄平面A1FC1，所以选项A，B，D正确；因为GE∥A1B，所以GE与平面A1FC1相交，所以选项C错误，故选C.6．若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥中与平面α平行的棱有( ) A．0条 B．1条 C．2条 D．1条或2条答案 C解析如图所示，平面α即平面EFGH，则四边形EFGH为平行四边形，则EF∥GH.∵EF⊄平面BCD，GH⊂平面BCD，∴EF∥平面BCD.又∵EF⊂平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD，∴EF∥CD.又EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH.∴CD∥平面EFGH，同理，AB∥平面EFGH，所以与平面α(平面EFGH)平行的棱有2条．二、填空题7.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则EF＝________.答案 2解析根据题意，因为EF∥平面AB1C，EF⊂平面ACD，平面ACD∩平面AB1C＝AC，所以EF ∥AC.又E是AD的中点，所以F是CD的中点．因为在Rt△DEF中，DE＝DF＝1，故EF＝ 2. 8．设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.可以填入的条件有________(填序号)．答案①或③解析由面面平行的性质定理可知，①正确；当m∥γ，n∥β时，n和m可能平行或异面，②错误；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以m∥n，③正确．9.如图所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件________时，就有MN∥平面B1BDD1(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)．答案点M在线段FH上(或点M与点H重合)解析连接HN，FH，FN，则FH∥DD1，HN∥BD，且FH∩HN＝H，D1D∩BD＝D，∴平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH，则MN⊂平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.三、解答题10．(2021·绵阳诊断)如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，点E、F分别是线段AD，PB的中点，PA＝AB＝2.(1)证明：EF∥平面PCD；(2)求三棱锥F－PCD的体积．(1)证明取PC的中点G，连接DG，FG.∵四边形ABCD为正方形，且DE綉12BC，FG∥BC，且FG＝12BC，∴DE∥FG且DE＝FG，∴四边形DEFG为平行四边形，∴EF∥DG，又∵EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD，∴EF∥平面PCD.(2)解∵EF∥平面PCD，∴F到平面PCD的距离等于E到平面PCD的距离，∴V F－PCD＝V E－PCD＝12VA－PCD＝12VP－ACD.∵PA⊥平面ABCD，∴V P－ACD＝13×S△ACD×PA＝13×12×22×2＝43.∴V F－PCD＝12VP－ACD＝23.11.如图，四边形ABCD与四边形ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.证明(1)如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，因为四边形ADEF为平行四边形，所以O为AE的中点．连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG.因为M为AB的中点，N为AD的中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN，又BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，所以BD∥平面MNG，又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，所以平面BDE∥平面MNG.B级能力提升12.如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平面α∥平面AMN，则平面α截该正方体所得截面的面积为( )A. 2 B．98C． 3 D．62答案 B解析如图1，分别取B1C1，C1D1的中点E，F，连接EF，BE，DF，B1D1，ME，易知EF∥B1D1∥BD，AB∥ME，AB＝EM，所以四边形ABEM为平行四边形，则AM∥BE，又BD和BE为平面BDFE内的两条相交直线．图1 图2所以平面AMN∥平面BDFE，即平面BDFE为平面α，BD＝2，EF＝12B1D1＝22，得四边形BDFE为等腰梯形，DF＝BE＝5 2，在等腰梯形BDFE如图2中，过E，F作BD的垂线，则四边形EFGH为矩形，∴其高FG＝DF2－DG2＝54－18＝324，故所得截面的面积为12×⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋2×324＝98.13．在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，则点Q 满足条件________时，有平面D 1BQ ∥平面PAO . 答案 Q 为CC 1的中点解析 如图所示，设Q 为CC 1的中点，因为P 为DD 1的中点，所以QB ∥PA .连接DB ，因为P ，O 分别是DD 1，DB 的中点，所以D 1B ∥PO ，又D 1B ⊄平面PAO ，QB ⊄平面PAO ，PO ⊂平面PAO ，PA ⊂平面PAO ，所以D 1B ∥平面PAO ，QB ∥平面PAO ，又D 1B ∩QB ＝B ，所以平面D 1BQ ∥平面PAO .故Q 为CC 1的中点时，有平面D 1BQ ∥平面PAO .14．(2021·西安调研)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，E ，F 分别是BC ，A 1C 1的中点，△ABC 是边长为2的等边三角形，AA 1＝2AB .(1)求证：EF ∥平面ABB 1A 1； (2)求点C 到平面AEF 的距离．(1)证明 如图，取AB 的中点D ，连接DE ，A 1D . 因为E 是BC 的中点，所以DE ∥AC ，且DE ＝12AC .由三棱柱的性质知AC ∥A 1C 1. 因为F 是A 1C 1的中点， 所以A 1F ∥AC ，且A 1F ＝12AC ，所以A 1F ∥DE ，且A 1F ＝DE ， 所以四边形DEFA 1是平行四边形． 所以EF ∥DA 1.又因为EF ⊄平面ABB 1A 1，DA 1⊂平面ABB 1A 1， 所以EF ∥平面ABB 1A 1.(2)解 由题可得V F －ACE ＝13×AA 1×S △ACE ＝13×4×12×34×22＝233.在△AEF 中，易求得AE ＝3，AF ＝17，EF ＝17， AE 边上的高为17－⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝652，所以S △AEF ＝12×652×3＝1954.设点C 到平面AEF 的距离为h ，则V C－AEF＝13×h×S△AEF＝233，解得h＝865 65.。
2010高考数学复习必备精品：空间中的平行关系
2空间中的平行关系知识梳理1．空间中的平行关系◆平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行； ◆一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；◆一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行； ◆两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行； ◆垂直于同一个平面的两条直线平行能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题 【要点精讲】1直线和平面的位置关系（1）直线在平面内（无数个公共点）； （2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类。
α⊂，a A α= ，//a α。
aαaα线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
推理模式：,,////a b a b a ααα⊄⊂⇒．线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行推理模式：//,,//a a b a b αβαβ⊂=⇒．2两个平面的位置关系有两种：两平面相交（有一条公共直线）、两平面平行（没有公共点）abβα（1）两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面，那么这两个平面平行。
定理的模式：//////a b a b P a b ββαβαα⊂⎫⎪⊂⎪⎪=⇒⎬⎪⎪⎪⎭推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行。
推论模式：,,,,,,//,////a b P a b a b P a b a a b b ααββαβ'''''''=⊂⊂=⊂⊂⇒ （2）两个平面平行的性质（1）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面；（2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
空间中的平行关系PPT教学课件
2.631020 J
v12
3RT1 M mol
3 8.311273 28 103
1064
m s1
t2
3 2
k
T2
3 1.381023 273 5.651021J 2
v22
3RT2 M mol
38.31 273 28 10 3
493
m s1
t3
3 2
kT3
2.55 10 21
RT
mN mNA
kNA T
NkT
理想气体物态方程：
P nkT
标准状态下的分子数密度：
洛喜密脱数： no 2.69 1025 (m 3 )
例3.1;3.2(p107-108)
§4 气体动理论压强公式
4.1 压强的成因 压强:气体作用于容器壁单位面积上的垂直作用力 分子数密度 31019 个分子/cm3 = 3千亿个亿；
物质的微观结构 + 统计方法 ------称为统计力学 其初级理论称为气体分子运动论(气体动理论) 优点：揭示了热现象的微观本质。 缺点：可靠性、普遍性差。
宏观法与微观法相辅相成。
气体动理论 §1 分子运动的基本概念
一.热力学系统 热力学研究的对象----热力学系统. 热力学系统以外的物体称为外界。 孤立系统:系统和外界完全隔绝的系统
所以DD1E1E是平行四边形。 在△ADE和△A1D1E1中. AD=A1D1， AE=A1E1，DE=D1E1， 于是△ADE≌△A1D1E1， 所以∠BAC=∠B1A1C1.
5. 空间四边形的有关概念：
（1）顺次连结不共面的四点A、B、C、D 所构成的图形，叫做空间四边形； （2）四个点中的各个点叫做空间四边形 的顶点； （3）所连结的相邻顶点间的线段叫做空 间四边形的边； （4）连结不相邻的顶点的线段叫做空间 四边形的对角线。
高二数学空间中的平行关系知识精讲
高二数学空间中的平行关系【本讲主要内容】空间中的平行关系直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行【知识掌握】【知识点精析】设a ，b ，c 表示不重合的直线，α，β，γ表示不重合的平面1. a ∥b ，b ∥c ⇒a ∥c2. α∥β,a =γ⋂α，⇒=γ⋂βb a ∥b3. β⊂a ，β⋂α=b ，a ∥⇒αa ∥b4. a ⊥α，b ⊥⇒αa ∥b5. a ∥b ，a α⊄ b ⇒α⊂a ∥α6. a β⊂，β∥⇒α a ∥α7. a α⊄，a ⊥b ，b ⊥⇒αa ∥α8. α∥γ，β∥γ⇒α∥β9. a ⊥α，a ⊥β⇒α∥β10. a α⊂，b α⊂，a ⋂b=A ，a ∥β，b ∥β⇒α∥β【解题方法指导】平行关系的证明可划分为：直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行三种类 型。
由于直线与直线平行或用平面几何的定理直接证明，或由后两种情况推出，所以我们把 直线与平面的平行和平面与平面的平行作为学习的重点。
l. 直线与平面平行的证明方法证明直线a 与平面α平行，常从以下两个方面进行思考：（1）转化为证明直线a 与平面α内的一条直线平行。
思考时可按以下两步进行。
①在平面α内所给出的直线中，是否存在直线b 与直线a 平行，若存在的话，可利用平 面几何证明两条直线平行的方法进行证明。
如同位角相等，内错角相等等。
②如果在平面α内所给出的直线中找不到与直线a 平行的直线，则应考虑添加辅助线。
在平面α内作出一条直线b ，使它与直线a 平行。
（2）转化为证明平面α与过直线a 的平面β平行。
过直线a 作一个平面β，如果能证明β∥α，则利用两个平面平行的性质定理，便可证 出a ∥α的结论。
作平面也可采用构造三角形的方法，让三角形的一边过直线a ，证明另两 边都与α平行即可。
2. 平面与平面平行的证明方法证明平面α与平面β平行，最常用的证明方法是转化为证明直线与平面平行。
如果我 们能在平面α（或β）内找到两条相交直线都与平面α（或β）平行的话，则问题迎刃而 解。
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解析：选项 A 中，直线 a 可能在平面 α 内；选项 B 中， 直线 a 可能在平面 β 内；选项 C 中，直线 a，b 为相交直线时 命题才成立．
二
直线与平面平行的判定和性质
【 例 2 】 (2013· 北京市石景山区一模)如图，三棱柱
ABCA1B1C1 中，AA1⊥平面 ABC，BC⊥AC，BC＝AC＝2，AA1 ＝3，D 为 AC 的中点．求证：AB1∥平面 BDC1.
第47讲 空间中的平行关系
1． 已知直线 a⊄α， 直线 b⊂α， 则“a∥b”是“a∥α” 的( A ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
解析：由线面平行的判定定理可知充分条件成立，但 a ∥α 时，a 与 b 的位置关系是平行或异面，即必要条件不成 立，故选 A.
一
平行判断的基本应用
【例 1】m、n 是不同的直线，α、β、γ 是不同的平面，
有以下四个命题： ①若 α∥β，α∥γ，则 β∥γ； ②若 α⊥β，m∥α，则 m⊥β； ③若 m⊥α，m∥β，则 α⊥β ④若 m∥n，n⊂α，则 m∥α. 其中是真命题的是( A．①③ C．②③ ) B．①④ D．②④
【拓展演练 1】 已知两个不同的平面 α，β 和两条不重合的直线 a，b，则 下列四个命题中为真命题的是( A．若 a∥b，b⊂α，则 a∥α B．若 α⊥β，α∩β＝b，a⊥b，则 a⊥β C．若 a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则 α∥β D．若 α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α，则 a∥β )
三
平面与平面平行的判定与性质
【例 3】(2012· 东北四校第二次联考)如图，边长为 1 的正
三角形 SAB 所在平面与直角梯形 ABCD 所在平面垂直， 且 AB ∥CD，BC⊥AB，BC＝1，CD＝2，E、F 分别是线段 SD、CD 的中点．求证：平面 AEF∥平面 SBC.
1 证明：因为 F 是 CD 的中点，所以 FC＝ CD＝1. 2 又 AB＝1，所以 FC＝AB， 因为 FC∥AB，所以四边形 ABCF 是平行四边形． 所以 AF∥BC， 而 AF⊄平面 SBC，BC⊂平面 SBC， 所以 AF∥平面 SBC. 又因为 E，F 分别是 SD，CD 的中点，所以 EF∥SC， 而 EF⊄平面 SBC， SC⊂平面 SBC， 所以 EF∥平面 SBC， 又 AF∩EF＝F，所以平面 AEF∥平面 SBC.
解析：易判断 EF 与 NC 为异面直线，故选 D.
3．若平面 α∥平面 β，直线 a∥α，点 B∈β，则在平面 β 内且过点 B 的所有直线中( A ) A．不一定存在与 a 平行的直线 B．只有两条与 a 平行的直线 C．存在无数条与 a 平行的直线 D．存在唯一的一条与 a 平行的直线
4．平面 α∥平面 β 的一个充分条件是( D ) A．存在一条直线 a，a∥α，a∥β B．存在一条直线 a，a⊂α，a∥β C．存在两条平行直线 a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥ α D．存在两条异面直线 a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥ α
2．(原创)如图，矩形 ABCD 中，E，F 分别在线段 BC 和 AD 上，EF∥AB，将矩形 ABEF 沿 EF 折起．记折起后 的矩形为 MNEF，且平面 MNEF⊥平面 ECDF，则下列叙述 不正确的是( D ) A．NC∥平面 MFD B．NC∥MD C．EF 与 ND 异面 D．EF∥NC
证明：连接 B1C，与 BC1 相交于 O，连接 OD，如图． 因为四边形 BCC1B1 是矩形，所以 O 是 B1C 的中点． 又 D 是 AC 的中点，所以 OD∥AB1. 因为 AB1⊄平面 BDC1，OD⊂平面 BDC1， 所以 AB1∥平面 BDC1.
【拓展演练 2】 (2012· 广东省深圳市模拟)如图，AA1、BB1 为圆柱 OO1 的 母线， BC 是底面圆 O 的直径， D、 E 分别是 AA1、 CB1 的中点， DE⊥平面 CBB1.证明：DE∥平面 ABC.
【拓展演练 3】 (改编)如图，S 为矩形 ABCD 所在平面外一点，E，F，H 分别是 SD， BC， SC 上的点， 且 SE∶ED＝BF∶FC＝SH∶HC， 求证：平面 EHF∥平面 SAB.
证明：因为 SH∶HC＝SE∶ED， 所以 EH∥DC. 而 DC∥AB，所以 EH∥AB， 又 EH⊄平面 SAB，AB⊂平面 SAB， 所以 EH∥平面 SAB， 因为 SH∶HC＝BF∶FC，所以 HF∥BS， 又 HF⊄平面 SAB，BS⊂平面 SAB， 所以 HF∥平面 SAB， 又因为 FH 与 HE 为平面 EHF 内的两条相交直线， 所以平面 EHF∥平面 SAB.
解析：确定命题正确常常需要严格的证明，判断命题错 误只需一个反例就可以了．如图在正方体 A′C 中，平面 BB′C′C 垂直平面 A′B′C′D′ ，直线 AD 平行平面 BB′C′C，但直线 AD 并不垂直平面 A′B′C′D′，故② 错误，排除 C、D；由线面平行的判定定理知，④缺少 m⊄α 的条件，故④错误，故选 A.
解析：A、B、C 中 α 与 β 都有可能相交．
5．(原创)如图，在六面体 ABCDEFG 中，平面 ABC∥ 平面 DEFG，EF∥DG，且 AB＝DE，DG＝2EF，则( A ) A．BF∥平面 ACGD B．CF∥平面 ABED C．BC∥FG D．平面 ABED∥平面 CGF
解析：取 DG 的中点为 M，连接 AM、FM，则 由已知条件易证四边形 DEFM 是平行四边形， 所以 DE 綊 FM.
证明：连接 EO，OA. 因为 E，O 分别为 B1C，BC 的中点， 1 所以 EO∥BB1，且 EO＝ BB1. 2 1 又 DA∥BB1，且 DA＝ BB1， 2 所以 DA 綊 EO， 所以四边形 AOED 是平行四边形， 即 DE∥OA，DE⊄平面 ABC，OA⊂平面 ABC 所以 DE∥平面 ABC.
因为平面 ABC∥平面 DEFG，平面 ABC∩平面 ADEB＝ AB，平面 DEFG∩平面 ADEB＝DE， 所以 AB∥DE，所以 AB∥FM，又 AB＝DE，所以 AB＝ FM，所以四边形 ABFM 是平行四边形，即 BF∥AM. 又 BF⊄平面 ACGD，故 BF∥平面 ACGD，故选 A.