专题复习空间中的平行关系
空间中的平行与垂直例题和知识点总结
空间中的平行与垂直例题和知识点总结在立体几何的学习中，空间中的平行与垂直关系是非常重要的内容。
理解和掌握这些关系，对于解决相关的几何问题具有关键作用。
下面我们通过一些例题来深入探讨，并对相关知识点进行总结。
一、平行关系（一）线线平行1、定义：如果两条直线在同一平面内没有公共点，则这两条直线平行。
2、判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。
例 1：在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，E，F 分别是 AB，BC 的中点，求证：EF∥A₁C₁。
证明：连接 AC，因为 E，F 分别是 AB，BC 的中点，所以 EF∥AC。
又因为正方体中，AC∥A₁C₁，所以 EF∥A₁C₁。
（二）线面平行1、定义：如果一条直线与一个平面没有公共点，则称这条直线与这个平面平行。
2、判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
例 2：已知四棱锥 P ABCD 的底面是平行四边形，M 是 PC 的中点，求证：PA∥平面 MBD。
证明：连接 AC 交 BD 于 O，连接 MO。
因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 O 是 AC 的中点。
又因为 M 是 PC 的中点，所以MO∥PA。
因为 MO⊂平面 MBD，PA⊄平面 MBD，所以 PA∥平面MBD。
（三）面面平行1、定义：如果两个平面没有公共点，则称这两个平面平行。
2、判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
例 3：在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，求证：平面 A₁BD∥平面 B₁D₁C。
证明：因为 A₁B∥D₁C，A₁D∥B₁C，且 A₁B 和 A₁D 是平面A₁BD 内的两条相交直线，D₁C 和 B₁C 是平面 B₁D₁C 内的两条相交直线，所以平面 A₁BD∥平面 B₁D₁C。
二、垂直关系（一）线线垂直1、定义：如果两条直线所成的角为 90°，则这两条直线垂直。
高三第一轮复习 空间直线与平面的平行关系
空间直线与平面的平行关系【提纲挈领】主干知识归纳1． 直线与平面平行的判定定理和性质定理2．平面与平面平行的判定定理和性质定理规律方法总结：1．平行问题中的转化关系2．判断线面平行的两种常用方法面面平行判定的落脚点是线面平行，因此掌握线面平行的判定方法是必要的，判定线面平行的两种方法：(1)利用线面平行的判定定理；(2)利用面面平行的性质，即当两平面平行时，其中一平面内的任一直线平行于另一平面．【指点迷津】【类型一】线面平行、面面平行的基本问题【例1】有互不相同的直线m ，n ，l 和平面α，β，给出下列四个命题： ①若m ⊂α，l ∩α＝A ，A ∉m ，则l 与m 不共面；②若m ，l 是异面直线，l ∥α，m ∥α，且n ⊥l ，n ⊥m ，则n ⊥α； ③若m ，n 是相交直线，m ⊂α，m ∥β，n ⊂α，n ∥β，则α∥β； ④若l ∥α，m ∥β，α∥β，则l ∥m. 其中真命题有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个解析：选B 由异面直线的判定定理，易知①是真命题；由线面平行的性质知，存在直线l ′⊂α，m ′⊂α，使得l ∥l ′，m ∥m ′，∵m ，l 是异面直线，∴l ′与m ′是相交直线，又n ⊥l ，n ⊥m ，∴n ⊥l ′，n ⊥m ′，故n ⊥α，②是真命题；由线面平行的性质和判定知③是真命题；满足条件l ∥α，m ∥β，α∥β的直线m ，l 或相交或平行或异面，故④是假命题，于是选B.【例2】过三棱柱ABC -A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1 平行的直线共有________条．解析：过三棱柱ABC -A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，记AC ，BC ，A 1C 1，B 1C 1的中点分别为E ，F ，E 1，F 1，则直线EF ，E 1F 1，EE 1，FF 1，E 1F ，EF 1均与平面ABB 1A 1平行，故符合题意的直线共6条．答案：6【类型二】直线与平面平行的判定与性质【例2】如图，直三棱柱ABC -A1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点．(1)证明：BC 1∥平面A 1CD ；(2)设AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22，求三棱锥C -A 1DE 的体积． [解] (1)证明：连接AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1中点． 又D 是AB 中点，连接DF ，则BC 1∥DF.因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD.(2)因为ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱，所以AA 1⊥CD.由已知AC ＝CB ，D 为AB 的中点，所以CD ⊥AB.又AA 1∩AB ＝A ，于是CD ⊥平面ABB 1A 1.由AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22得∠ACB ＝90°，CD ＝2，A 1D ＝6，DE ＝3，A 1E ＝3， 故A 1D 2＋DE 2＝A 1E 2，即DE ⊥A 1D. 所以VC -A 1DE ＝13×12×6×3×2＝1.思考：在本例条件下，线段BC 1上是否存在一点M 使得DM ∥平面A 1ACC 1？ 解：存在．当M 为BC 1的中点时成立． 证明如下：连接DM ，在△ABC 1中， D ，M 分别为AB ，BC 1的中点 ∵DM 綊12AC 1，又DM ⊄平面A 1ACC 1AC1⊂平面A1ACC1，∴DM∥平面A1ACC1.【类型三】平面与平面平行的判定与性质【例1】如图，四棱柱ABCD -A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝ 2.(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)求三棱柱ABD -A1B1D1的体积．[解](1)证明：由题设知，BB1∥DD1且BB1=DD1，∴四边形BB1D1D是平行四边形，∴BD∥B1D1.又BD⊆平面CD1B1，∴BD∥平面CD1B1.∵A1D1∥B1C1∥BC且A1D1=B1C1=BC，∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥D1C.又A1B⊆平面CD1B1，∴A1B∥平面CD1B1.又∵BD∩A1B＝B，∴平面A1BD∥平面CD1B1.(2)∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O是三棱柱ABD -A1B1D1的高．又∵AO＝12AC＝1，AA1＝2，∴A1O＝AA21－OA2＝1.又∵S△ABD＝12×2×2＝1，∴V ABD -A1B1D1＝S△ABD×A1O＝1.【例2】如图，在直四棱柱ABCD -A1B1C1D1中，底面是正方形，E，F，G分别是棱B1B，D1D，DA的中点．求证：平面AD1E∥平面BGF证明：∵E，F分别是B1B和D1D的中点，∴D1F綊BE.∴四边形BED1F是平行四边形，∴D1E∥BF；又∵D1E⊄平面BGF，BF⊂平面BGF，∴D1E∥平面BGF.∵FG是△DAD1的中位线，∴FG∥AD1；又AD1⊄平面BGF，FG⊂平面BGF，∴AD1∥平面BGF.又∵AD1∩D1E＝D1，∴平面AD1E∥平面BGF.【例3】如图1,AB 是圆O 的直径，PA 垂直圆O 所在的平面，C 是圆O 上一点，设Q 为PA 的中点，G 为ΔAOC 的重心，求证：QG//平面PBC解：如图2连接OG 交AC 于点E ，连接QE ∵点G 为ΔAOC 的重心 ∴点E 为AC 的中点 又点Q 为PA 的中点 ∴QE 为ΔPAC 的中位线 ∴QE ∥PCPBC PC PBC QE 平面，平面⊆⊄∴QE ∥平面PBC 同理OE ∥平面PBC 由E OEQE =⋂得平面QEO//平面PBCQEO QG 平面⊂∴QG//平面PBC【同步训练】【一级目标】基础巩固组1．已知直线a ，b ，平面α，则以下三个命题：①若a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α； ②若a ∥b ，a ∥α，则b ∥α； ③若a ∥α，b ∥α，则a ∥b. 其中真命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选A 对于①，若a ∥b ，b ⊂α，则应有a ∥α或a ⊂α，所以①不正确；对于②，若a ∥b ，a ∥α，则应有b ∥α或b ⊂α，因此②不正确；对于③，若a ∥α，b ∥α，则应有a ∥b 或a 与b 相交或a 与b 异面，因此③是假命题．综上，在空间中，以上三个命题都是假命题．2．下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形的序号是( )E图2图1A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④解析：选C 对于图形①，平面MNP 与AB 所在的对角面平行，即可得到AB ∥平面MNP ；对于图形④，AB ∥PN ，即可得到AB ∥平面MNP ；图形②③无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行，故选C.3．(2014·济南模拟)平面α∥平面β的一个充分条件是( ) A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β B ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC ．存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD ．存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α解析：选D 若α∩β＝l ，a ∥l ，a ⊄α，a ⊄β，则a ∥α，a ∥β，故排除A.若α∩β＝l ，a ⊂α，a ∥l ，则a ∥β，故排除B.若α∩β＝l ，a ⊂α，a ∥l ，b ⊂β，b ∥l ，则a ∥β，b ∥α，故排除C.故选D.4．a 、b 、c 为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，现给出四个命题 ①⎭⎬⎫α∥c β∥c ⇒α∥β ②⎭⎬⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β ③⎭⎬⎫α∥c a ∥c ⇒a ∥α ④⎭⎬⎫a ∥γα∥γ⇒α∥a 其中正确的命题是( )A ．①②③B ．①④C ．②D ．①③④解析：选C ②正确．①错在α与β可能相交．③④错在a 可能在α内．5．如图所示，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是棱CC 1、C 1D 1、D 1D 、DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足条件______时，有MN ∥平面B 1BDD 1.解析：由平面HNF ∥平面B 1BDD 1知，当M 点满足在线段FH 上有MN ∥平面B 1BDD 1.答案：M ∈线段FH6.如图所示，在四面体ABCD 中，M ，N 分别是△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________．解析：连接AM 并延长，交CD 于E ，连接BN ，并延长交CD 于F ，由重心性质可知，E ，F 重合为一点，且该点为CD 的中点E ，由EM MA ＝EN NB ＝12，得MN ∥AB.因此，MN ∥平面ABC 且MN ∥平面ABD.答案：平面ABC 、平面ABD7.（2016江苏．16，节选（1））如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别为,AB BC 的中点，点F 在侧棱1B B 上，且11B D A F ⊥，1111AC A B ⊥．求证：⑴ 直线//DE 平面11A C F ；⑵ 平面1B DE ⊥平面11A C F ．解：,D E 为中点，DE ∴为ABC ∆的中位线 //DE AC ∴又111ABC A B C -为棱柱，11//AC AC ∴ 11//DE AC ∴又11AC ⊂平面11A C F ，且11DE AC F ⊄//DE ∴平面11A C F ；8. 如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点， 求证： (1)B ，C ，H ，G 四点共面；(2)平面EFA 1∥平面BCHG . 证明：(1)∵GH 是△A 1B 1C 1的中位线， ∴GH ∥B 1C 1.又∵B 1C 1∥BC ，∴GH ∥BC. ∴B ，C ，H ，G 四点共面． (2)∵E ，F 分别为AB ，AC 的中点，∴EF ∥BC.∵EF ⊄平面BCHG ，BC ⊂平面BCHG ， ∴EF ∥平面BCHG . ∵A 1G ∥EB 且A 1G ∥EB ∴四边形A 1EBG 是平行四边形． ∴A 1E ∥GB.∵A 1E ⊄平面BCHG ，GB ⊂平面BCHG . ∴A 1E ∥平面BCHG . ∵A 1E ∩EF ＝E∴平面EFA 1∥平面BCHG .【二级目标】能力提升题组1．若平面α∥平面β，直线a ∥平面α，点B ∈β，则在平面β内且过B 点的所有直线中( )A ．不一定存在与a 平行的直线FEC BAC 1B 1A 1B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一与a平行的直线解析：选A当直线a在平面β内且过B点时，不存在与a平行的直线，故选A.2．已知α，β是两个不同的平面，给出下列四个条件：①存在一条直线a，a⊥α，a⊥β；②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；③存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；④存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α.可以推出α∥β的是()A．①③B．②④C．①④D．②③解析：选C对于②，平面α与β还可以相交；对于③，当a∥b时，不一定能推出α∥β，所以②③是错误的，易知①④正确，故选C.3．已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线l的直线()A．只有一条，不在平面α内B．只有一条，且在平面α内C．有无数条，不一定在平面α内D．有无数条，一定在平面α内解析：选B由直线l与点P可确定一个平面β，则平面α，β有公共点，因此它们有一条公共直线，设该公共直线为m，因为l∥α，所以l∥m，故过点P且平行于直线l的直线只有一条，且在平面α内，选B.4．如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，且PQ∥AC，则下列命题中，错误的是()A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．异面直线PM与BD所成的角为45°解析：选C由题意可知PQ∥AC，QM∥BD，PQ⊥QM，所以AC⊥BD，故A正确；由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故B正确；由PN∥BD可知，异面直线PM与BD所成的角等于PM与PN所成的角，又四边形PQMN为正方形，所以∠MPN＝45°，故D正确；而AC＝BD不确定，故选C．5.如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，G为MC的中点．则下列结论中不正确的是()A．MC⊥ANB．GB∥平面AMNC．平面CMN⊥平面AMND．平面DCM∥平面ABN解析：选C显然该几何图形为正方体截去两个三棱锥所剩的几何体，把该几何体放置到正方体中(如图)，作AN的中点H，连接HB，MH，GB，则MC∥HB，又HB⊥AN，所以MC⊥AN，所以A正确；由题意易得GB∥MH，又GB⊂平面AMN ，MH ⊂平面AMN ，所以GB ∥平面AMN ，所以B 正确；因为AB ∥CD ，DM ∥BN ，且AB∩BN ＝B ，CD∩DM ＝D ，所以平面DCM ∥平面ABN ，所以D 正确．6．已知m ，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的有________． ①若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β； ③若m ∥α，m ∥β，则α∥β；④若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n.解析：若m ∥α，n ∥α，m ，n 可以平行，可以相交，也可以异面，故①不正确；若α⊥γ，β⊥γ，α，β可以相交，故②不正确；若m ∥α，m ∥β，α，β可以相交，故③不正确；若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n ，④正确．答案：④7．在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，则点Q 满足条件________时，有平面D 1BQ ∥平面PAO.解析：假设Q 为CC 1的中点，因为P 为DD 1的中点，所以QB ∥PA.连接DB ，因为P ，O 分别是DD 1，DB 的中点，所以D 1B ∥PO ，又D 1B ⊄平面PAO ，QB ⊄平面PAO ，所以D 1B ∥平面PAO ，QB ∥平面PAO ，又D 1B ∩QB ＝B ，所以平面D 1BQ ∥平面PAO.故Q 满足条件Q 为CC 1的中点时，有平面D 1BQ ∥平面PAO.答案：Q 为CC 1的中点8．设α，β，γ为三个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m ，n ⊂γ，且________，则m ∥n ”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，n ⊂β；②m ∥γ，n ∥β；③n ∥β，m ⊂γ. 可以填入的条件有________．解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当n ∥β，m ⊂γ时，n 和m 在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．答案：①或③9．已知直三棱柱ABC -A ′B ′C ′满足∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝12AA ′＝2，点M ，N 分别为A ′B ，B ′C ′的中点．(1)求证：MN ∥平面A ′ACC ′； (2)求三棱锥C -MNB 的体积．解：(1)证明：如图，连接AB ′，AC ′， ∵四边形ABB ′A ′为矩形，M 为A ′B 的中点，∴AB ′与A ′B 交于点M ，且M 为AB ′的中点，又点N 为B ′C ′的中点， ∴MN ∥AC ′，又MN ⊄平面A ′ACC ′，且AC ′⊂平面A ′ACC ′， ∴MN ∥平面A ′ACC ′. (2)由图可知V C -MNB ＝V M -BCN ，∵∠BAC ＝90°，∴BC ＝AB 2＋AC 2＝22，又三棱柱ABC -A ′B ′C ′为直三棱柱，且AA ′＝4， ∴S △BCN ＝12×22×4＝4 2.∵A ′B ′＝A ′C ′＝2，∠B ′A ′C ′＝90°，点N 为B ′C ′的中点，∴A ′N ⊥B ′C ′，A ′N ＝ 2.又BB ′⊥平面A ′B ′C ′， ∴A ′N ⊥BB ′， ∴A ′N ⊥平面BCN. 又M 为A ′B 的中点， ∴M 到平面BCN 的距离为22， ∴V C -MNB ＝V M -BCN ＝13×42×22＝43.10．如图，在三棱锥S -ABC 中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB ⊥BC ，AS ＝AB.过A作AF ⊥SB ，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．求证：(1)平面EFG ∥平面ABC ； (2)BC ⊥SA.证明：(1)因为AS ＝AB ，AF ⊥SB ，垂足为F ，所以F 是SB 的中点．又因为E 是SA 的中点，所以EF ∥AB.因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ， 所以EF ∥平面ABC.同理EG ∥平面ABC.又EF ∩EG ＝E ， 所以平面EFG ∥平面ABC.(2)因为平面SAB ⊥平面SBC ，且交线为SB ，又AF ⊂平面SAB ，AF ⊥SB ，所以AF ⊥平面SBC.因为BC ⊂平面SBC ，所以AF ⊥BC.又因为AB ⊥BC ，AF ∩AB ＝A ，AF ⊂平面SAB ，AB ⊂平面SAB ，所以BC ⊥平面SAB. 因为SA ⊂平面SAB ，所以BC ⊥SA.【高考链接】1．（2016北京理．17），14分，节选（3）） 如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，AB AD ⊥，1AB =，2AD =，AC CD ==（1）求证：PD ⊥平面PAB ；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值； （3）在棱PA 上是否存在点M ，使得//BM 平面PCD ？若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由.解：设M 是棱PA 上一点，则存在]1,0[∈λ使得λ=.因此点),,1(),,1,0(λλλλ--=-M .因为⊄BM平面PCD ，所以∥BM 平面PCD 当且仅当0=⋅BM ，∵平面PCD 的一个法向量)2,2,1(-=n即0)2,2,1(),,1(=-⋅--λλ，解得41=λ. 所以在棱PA 上存在点M 使得BM ∥平面PCD ，此时41=AP AM .2．（2016新课标Ⅲ．文19，12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥地面ABCD ，AD ∥BC ，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M 为线段AD 上一点，AM=2MD ，N 为PC 的中点.（I ）证明MN ∥平面PAB; （II ）求四面体N-BCM 的体积.【解析】 (1)取PB 中点Q ，连接AQ 、NQ ， ∵N 是PC 中点，NQ//BC ，且NQ=12BC ，又22313342AM AD BC BC ==⨯=，且//AM BC ， ∴//QN AM ，且QNAM=．∴AQNM是平行四边形．∴//MN AQ ．又MN ⊄平面PAB ，AQ ⊂平面PAB ，∴//MN平面PAB ．(2)由(1)//QN平面ABCD．∴1122N BCM Q BCM P BCM P BCA V V V V ----===．∴11142363N BCM ABCV PA S-∆=⨯⋅=⨯⨯=．。
7.3空间直线平面的平行课件高三数学一轮复习
训练1 如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形 ACEF是矩形，M是线段EF的中点. (1)求证：AM∥平面BDE；
证明 如图，记AC与BD的交点为O，连接OE. 因为O，M分别为AC，EF的中点， 四边形ACEF是矩形， 所以四边形AOEM是平行四边形，所以AM∥OE. 又因为OE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE， 所以AM∥平面BDE.
(2)平面BDE∥平面MNG. 证明 因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点， 所以DE∥NG， 又DE⊄平面MNG，NG⊂平面MNG， 所以DE∥平面MNG. 因为M为AB的中点，N为AD的中点， 所以MN为△ABD的中位线， 所以BD∥MN， 又BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG， 所以BD∥平面MNG， 又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线， 所以平面BDE∥平面MNG.
行
图形表示
符号表示
a⊂β，b⊂β， a∩b＝P，a∥α， b∥α⇒α∥β
两个平面平行，则其中一 性质 个平面内的直线__平__行__于
另一个平面
两个平面平行，如果另一 性质 个平面与这两个平面_相__交__， 定理 那么两条__交__线__平行
α∥β， a⊂α⇒a∥β
α∥β，α∩γ＝a， β∩γ＝b⇒a∥b
例 4 如图，在四棱锥 P－ABCD 中，AD∥BC，AB＝BC＝21AD，E，F，H 分别
为线段 AD，PC，CD 的中点，AC 与 BE 交于 O 点，G 是线段 OF 上一点.
(1)求证：AP∥平面 BEF；
证明 如图，连接 EC，因为 AD∥BC，BC＝12AD， 所以BC∥AE，BC＝AE， 所以四边形ABCE是平行四边形，所以O为AC的中点. 又因为F是PC的中点，所以FO∥AP， 因为FO⊂平面BEF，AP⊄平面BEF， 所以AP∥平面BEF.
立体几何复习专题及答案-高中数学
立体几何复习专题姓名： 班级：考点一、空间中的平行关系1．如图，在三棱锥P ABC -中，02,3,90PA PB AB BC ABC ====∠=,平面PAB ⊥平面ABC ，D 、E 分别为AB 、AC 的中点． (1)求证：DE //平面PBC ； (2)求证：AB PE ⊥；(3)求三棱锥B PEC -的体积．2． 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PCD △为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，PA CD ⊥，2CD =，3AD =，（Ⅰ）设G H ，分别为PB AC ，的中点，求证：GH ∥平面PAD ； （Ⅱ）求证：PA ⊥平面PCD ；3．如图，七面体ABCDEF 的底面是凸四边形ABCD ，其中2AB AD ==，120BAD ∠=︒，AC ，BD 垂直相交于点O ，2OC OA =，棱AE ，CF 均垂直于底面ABCD .（1）证明：直线DE 与平面BCF 不．平行；4.（2014新课标Ⅱ）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．（Ⅰ）证明：PB ∥平面AEC ；（Ⅱ）设二面角D AE C --为60°，AP =1，AD =3，求三棱锥E ACD -的体积．考点二、空间中的垂直关系5．如图，在四面体ABCD 中，E ，F 分别是线段AD ，BD 的中点，90ABD BCD ∠=∠=，2EC =，2AB BD ==，直线EC 与平面ABC 所成的角等于30．（1）证明：平面EFC ⊥平面BCD ；6．已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其中正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．（1）求证：BN ⊥平面11C B N ；（2）设M 为AB 中点，在C B 边上求一点P ，使//MP 平面1C NB ，求CBPP 的值．7．（2016全国I ）如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，2AF FD =，90AFD ∠=，且二面角D AF E --与二面角C BE F --都是60．（I ）证明：平面ABEF⊥平面EFDC ；（II ）求二面角E BC A --的余弦值．考点三、折叠问题和探究性问题中的位置关系8．如图 1，在直角梯形ABCD 中， //,AB CD AB AD ⊥，且112AB AD CD ===．现以AD 为一边向外作正方形ADEF ，然后沿边AD 将正方形ADEF 翻折，使ADEF 平面与平面ABCD 垂直， M 为ED 的中点，如图 2．（1）求证： //AM 平面BEC ；（2）求证： BC ⊥平面BDE ； .9．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E,F 分别是AB,BC 的中点，点M 在AD 上，且14AM AD =，将AED,DCF 分别沿DE,DF 折叠，使A,C 点重合于点P ，如图所示2.()1试判断PB 与平面MEF的位置关系，并给出证明；()2求二面角M EF D --的余弦值.10．如图所示，直角梯形ABCD 中，//AD BC ，AD AB ⊥，22AB BC AD ===，四边形EDCF 为矩形，3CF =，平面EDCF ⊥平面ABCD ． (1)求证：DF //平面ABE ；(2)求平面ABE 与平面EFB 所成锐二面角的余弦值． (3)在线段DF 上是否存在点P ，使得直线BP 与平面ABE 所成角的正弦值为34，若存在，求出线段BP 的长，若不存在，请说明理由．11．如图1，在边长为4的正方形ABCD中，E是AD的中点，F是CD的中点，现-.将三角形DEF沿EF翻折成如图2所示的五棱锥P ABCFE（1）求证：AC//平面PEF；（2）若平面PEF⊥平面ABCFE，求直线PB与平面PAE所成角的正弦值.12．（2011•浙江）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2（1）证明：AP⊥BC；（2）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A﹣MC﹣β为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．13．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等边三角形，122CC AC ==.（Ⅰ）求三棱锥11C CB A -的体积；（Ⅱ）在线段1BB 上寻找一点F ，使得1CF AC ⊥，请说明作法和理由.考点四、知空间角求空间角问题14．（2014天津）如图四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，2BA BD ==2AD =,5PA PD ==E ,F 分别是棱AD ,PC 的中点．（Ⅰ）证明: EF ∥平面PAB ； （Ⅱ）若二面角P AD B --为60°， （ⅰ）证明：平面PBC ⊥平面ABCD（ⅱ）求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值． PCDBF15．四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ABCD ⊥平面，E 为PD 的中点．(1)证明：//E PB A C 平面；(2)设13AP AD ==，，三棱锥P ABD -的体积34V =，求二面角D -AE -C 的大小16．如图，四棱锥P ABCD -中， PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，90ADC ∠=︒， //AD BC ， AB AC ⊥， 2AB AC ==，点E 在AD 上，且2AE ED =．（Ⅰ）已知点F 在BC 上，且2=CF FB ，求证：平面PEF ⊥平面PAC ；（Ⅱ）当二面角--A PB E 的余弦值为多少时，直线PC 与平面PAB 所成的角为45︒？立体几何专题参考答案1． (1)证明：∵在△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，∴DE ∥BC . ∵DE ⊄平面PBC 且BC ⊂平面PBC ，∴DE ∥平面PBC . (2)证明：连接PD .∵PA ＝PB ，D 为AB 的中点，∴PD ⊥AB .∵DE ∥BC ，BC ⊥AB ，∴DE ⊥AB .又∵PD 、DE 是平面PDE 内的相交直线， ∴AB ⊥平面PDE .∵PE ⊂平面PDE ，∴AB ⊥PE .(3)解：∵PD ⊥AB ，平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ∩平面ABC ＝AB ，∴PD ⊥平面ABC ，可得PD 是三棱锥P －BEC 的高． 又∵33,2BECPD S==，1332B PEC P BEC BEC V V S PD --∆∴==⨯=. 2．（I ）见解析；（II ）见解析；（III ）33. （I ）证明：连接BD ，易知AC BD H ⋂=，BH DH =，又由BG PG =，故GHPD ，又因为GH ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ， 所以GH ∥平面PAD .（II ）证明：取棱PC 的中点N ，连接DN ，依题意，得DN PC ⊥， 又因为平面PAC ⊥平面PCD ，平面PAC平面PCD PC =，所以DN ⊥平面PAC ，又PA ⊂平面PAC ，故DN PA ⊥， 又已知PA CD ⊥，CD DN D =，所以PA ⊥平面PCD . 3．（1）见解析；（2）23535本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
高二数学复习1：空间中的平行与垂直关系
.高二数学作业空间中的平行与垂直关系[知识要点]要点1、空间中的平行关系： ◆平行直线：公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
◆线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
推理模式：,,////a b a b a ααα⊄⊂⇒．◆线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行推理模式：//,,//a a b a b αβαβ⊂=⇒．◆两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面，那么这两个平面平行。
定理的模式：//////a b a b P a b ββαβαα⊂⎫⎪⊂⎪⎪=⇒⎬⎪⎪⎪⎭推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行。
推论模式：,,,,,,//,////a b P a b a b P a b a a b b ααββαβ'''''''=⊂⊂=⊂⊂⇒◆两个平面平行的性质（1）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面； 〔2〕如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
◆注意体会以下平行问题的转化思路、方向与转化条件、途径：要点2、空间中的垂直关系： ◆线线垂直〔1〕线线垂直的定义：所成的角是直角，两直线垂直。
〔2〕垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条。
◆线面垂直〔1〕定义：如果一条直线l 和一个平面α相交，并且和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 和平面α互相垂直其中直线l 叫做平面的垂线，平面α叫做直线l 的垂面,直线与平面的交点叫做垂足。
直线l 与平bab aααP P ab βαc b a βα2面α垂直记作：l ⊥α。
〔2〕直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线 都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
高一数学 空间中的平行关系
济南市长清第一中学
考点二 平面与平面平行的判定与性质
1、设直线l，m，平面α，β，下列条件能得 出α∥β的有( )
①l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥β； ②l⊂α，m⊂α，且l∥m，l∥β，m∥β； ③l∥α，m∥β，且l∥m； ④l∩m＝P，l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥β. A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
高中数学一年级
空间中的平行关系复习课
目录
1 知识回顾 2 考点一 直线与平面平行的判定与性质 3 考点二 平面与平面平行的判定与性质 4 考点三 线面、面面平行的综合应用
知识回顾：
一、直线与直线平行
1、基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行。
2、判定直线与直线平行的常用方法： （1）三角形中利用中位线定理 （2）构造平行四边形 （3）平行线的传递性 （4）平行线分线段成比例
故面GFH∥面ACD
方法二 取BE的中点M,连接GM,FM
G, M , F分别是CE, BE, AE的中点
GM // BC, FM // AB
又 GM 面GMF , FM 面GMF , AB 面ABC, BC 面ABC
GM FM M, AB BC B 面GMF // 面ABC
GF 面GMF
GF // 面ABC
考点一 直线与平面平行的判定与性质
1.“直线与平面内无数条直线平行”是“直线//平面”
的（ ）
A． 充要条件
B． 充分不必要条件
C． 必要不充分条件 D． 既不充分也不必要条件
答案：C
2．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平 面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G， 过G和AP作平面交平面BDM于GH．求证：
高中数学《空间的平行关系》复习和习题课件PPT
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(2)直线与平面平行的判定定理：平面α外的一条直线l与平面α内的一条直线m
平行，则直线l与平面α平行.(线线平行 线面平行)
(3)直线与平面平行的性质定理：已知直线l与平面α平行，且经过直线l的平面β
与平面α相交于直线m，则直线l与直线m平行.(线面平行 线线平行)
知识清单
知识点四 平面与平面的平行
典例精析
例
变式训练
变式训练3
下列说法正确的是（）. A．经过平面外一点有且仅有一条直线平行于这个平面 B．经过平面外一点有且仅有一条直线垂直于这个平面 C．经过直线外一点有且仅有一个平面平行于这条直线 D．经过直线外一点有且仅有一条直线垂直于这条直线
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知识清单
知识点二 直线与平面的位置关系
直线与平面的三种位置关系：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平 行.
(1)直线在平面内：直线上的所有点都在平面内. (2)直线与平面相交：直线与平面只有唯一一个公共点. (3)直线与平面平行：直线与平面没有公共点.
知识清单
知识点三 直线与平面的平行
(1)直线与平面平行的定义：若直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平 行.
线都与另一个平面平行.(面面平行 线面平行)
典例精析
例
变式训练
变式训练1
如图92所示，AB、CD是夹在两个平行平面α、β之间的 线段，M、N分别为AB、CD的中点. 求证：MN∥平面α．
典例精析
例
变式训练
专题复习：空间中的平行关系
中位线定理
平行四边形性质 平行公理 线面平行性质定理 （2）空间中的线线平行： 面面平行性质定理 线面垂直性质定理
（1）平面中的线线平行： 比例关系
P F P F
M
E B A C
D
B
E
A C
D
N
空间平行关系的常见判定方法：
1、线面平行 （1）利用线面平行的定义（无公共点）； （2）利用线面平行的判定定理； （3）利用面面平行的性质.
空间平行关系的常见判定方法：
2、面面平行
（1）利用面面平行的定结论：垂直于同一条直线的两个平面
A1 G
H
C1
B1
A E
F B
C
探究：如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1中，底面为正三 角形，侧棱与底面垂直，点E，F分别是CC1，BB1上的 点，点M是棱AC上的动点，且EC=2FB，当M在何位置 时，BM//平面AEF？
当堂检测
1、如图，在直三棱柱ABC A1 B1C1中，AB AC， D为BC中点，四边形B1 BCC1是正方形，求证：A1 B //平面AC1 D.
a // a // b
；
；
（3） , b , a // , b // a
//
；
（4）
// , a , b a // b .
空间中的平行关系
判定定理
线线平行
线面平行
判定定理 定义
面面平行
性质定理 性质定理
例1、如图，已知点P是平行四边形ABCD所 在平面外一点，E，F分别是AB，PD的中 点，求证：AF//平面PCE
M
N
2、如图，在正方体ABCD A1 B1C1 D1中，E、F 分别 为棱AD、AB的中点．求证：EF //平面CB1 D1.
高考数学一轮单元复习：第37讲 空间中的平行关系
│要点探究
证法二：由已知， 所以DD 平面FCC1. 证法二：由已知，DD1∥CC1，所以 1∥平面 AF， 又AB∥CD，AB＝2CD，所以 ∥ ， ＝ ，所以DC ， 所以四边形AFCD是平行四边形，所以 ∥FC， 是平行四边形， 所以四边形 是平行四边形 所以AD∥ ， 所以AD∥平面FCC1. 所以 ∥平面 平面FCC1. 又AD∩DD1＝D，所以平面 1ADD1∥平面 ，所以平面A 因为EE 平面A 因为 1 ⊂ 平面 1ADD1， 所以EE 平面FCC1. 所以 1∥平面
│要点探究
思路】 利用两平面平行的判定定理证明． 【思路】 利用两平面平行的判定定理证明． 解答】 【解答】 ∵PM∶MA＝BQ∶QA＝5∶8， ∶ ＝ ∶ ＝ ∶ ， ∴MQ∥PB, ∴MQ∥平面 ∥ ∥平面PBC. 连接AN并延长交 并延长交BC于 ，连接PE. 连接 并延长交 于E，连接 ∵AD∥BC，∴EN∶NA＝BN∶ND ∥ ， ∶ ＝ ∶ ＝5∶8， ∶ ， ∴EN∶NA＝PM∶MA， ∶ ＝ ∶ ， ∴MN∥PE，∴MN∥平面 ∥ ， ∥平面PBC. ∵MN∩MQ＝M，PE∩PB＝P， ＝ ， ＝ ， MN ⊂ 平面 平面MNQ，MQ ⊂ 平面 平面MNQ， ， ， 平面MNQ∥平面 ∴平面 ∥平面PBC.
│规律总结 规律总结
1． 证明线面平行的常用方法有两个 ： (1)线面平行的判 ． 证明线面平行的常用方法有两个： 线面平行的判 定定理； 利用面面平行的性质 利用面面平行的性质． 定定理；(2)利用面面平行的性质．. 2． 证明面面平行的常用方法主要是面面平行的判定定 ． 至于它的推论： 理 ， 至于它的推论 ： 两个平面同时和第三个平面平行则两 平面平行以及由两平面都和某直线垂直得两平面平行， 平面平行以及由两平面都和某直线垂直得两平面平行 ， 可 作为判断命题真假的依据． 作为判断命题真假的依据． 3． 由线面平行、 面面平行的性质可得线线平行(作辅助 ． 由线面平行 、 面面平行的性质可得线线平行 作辅助 平面)， 因此这也是证明线线平行的依据和方法， 平面 ， 因此这也是证明线线平行的依据和方法 ， 又可以由 线线平行列比例关系， 解决三角形求边长、 线线平行列比例关系 ， 解决三角形求边长 、 角 ， 确定点的 位置等问题． 位置等问题．
高考一轮复习第七章 第四节 空间中的平行关系
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[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)
1．(2012· 抚顺模拟)已知 m，n 表示两条不同直线，α，β，γ 表示不 同平面，给出下列三个命题：
m⊥α (1) n⊥α m⊥α (3) n∥α
⇒m∥n；
m⊥α (2) m⊥n
⇒n∥α
⇒α∥β
行，那么这两个平
面平行
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2.两平面平行的性质定理： 文字语言 性 如果两个平行平面时 质 与第三个平面 相交， 定 那么它们的 交线 平 理 行 图形语言 符号语言 α∥β α∩γ＝a β∩γ＝b
⇒a∥b
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1．(教材习题改编)下列条件中，能判断两个平面平行 的是 ( )
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[考题范例] (12分)(2012· 太原模拟)如图，在四棱锥S－ABCD中，已知底面 ABCD为直角梯形，其中AD∥BC，∠BAD＝90° ，SA⊥底面 ABCD，SA＝AB＝BC＝2.tan∠SDA＝ (1)求四棱锥S－ABCD的体积； (2)在棱SD上找一点E，使CE∥平面SAB，并证明． 2 3
⇒a∥α
定理
2．性质定理： 文字语言 性 质 定 理 如果一条直线和一个 平面平行，经过这条 a∥α a⊂β α∩β＝b
⇒a∥b
图形语言
符号语言
直线的平面和这个平
面相交，那么这条直 线就和交线平行.
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四、平面与平面平行 1．判定定理： 文字语言 如果一个平面内有 判定 定理 两条 相交直线 平 行于另一个平面平 图形语言 符号语言 a⊂α b⊂α a∩b＝P a∥β b∥β
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[步步满分] 2 (1)∵SA⊥底面ABCD，tan∠SDA＝3，SA＝2， ∴AD＝3.(3分) 由题意知四棱锥S－ABCD的底面为直角梯形， 且SA＝AB＝BC＝2， 1 1 VS－ABCD＝3×SA×2×(BC＋AD)×AB 1 1 10 ＝3×2×2×(2＋3)×2＝ 3 .(6分)
空间中的平行关系
【答案】 B 【解析】 如图所示，联结BE,BD. 因 为 点 N 为 正 方 形 ABCD的 中 心 ， △ ECD为 正 三 角 形 ， 平 面 ECD 平 面 ABCD， M 是 线 段 ED的 中 点 ， 所 以 BM 平 面 BDE， EN BDE 平 面 ， 因 为 BM 是 △ BDE中 DE边 上 的 中 线 ， EN 是 △ BDE中 BD边 上 的 中 线 ， 直 线 BM ， EN 是 相 交 直 线 ，
BM=EN,且直线BM、EN 是相交直线
已知m,n,l是不同的直线,α,β是不同的平面,以下命题正确的是( )
AE CF 同理可得MQ∥BD,又MN⊥QM,则AC⊥BD,故A、B正确. 【 解 析 】 如 图 ,由 得 AC//EF. ①若m∥n,m⊂α,n⊂β,则α∥β; ②若m⊂α,n⊂β,α∥β,l⊥m,则l⊥n; EB FB 因为D点为AB的中点,
A.
B.
C.
D.
【答案】A 【解析】 选项B,由AB∥MQ,则直线AB∥平面MNQ; 选项C,由AB∥MQ,则直线AB∥平面MNQ; 选项D,由AB∥NQ,则直线AB∥平面MNQ.
11.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,各个侧面均是边长为2的正方 形,D为线段AC的中点.求证:直线AB1∥平面BC1D.
专题训练
1.已知m,n,l是不同的直线,α,β是不同的平面,以下命题正确的是( )
①若m∥n,m⊂α,n⊂β,则α∥β; ②若m⊂α,n⊂β,α∥β,l⊥m,则l⊥n;
③若m⊥α,n⊥β,α∥β,则m∥n; ④若α⊥β,m∥α,n∥β,则m⊥n.
A.①③
B.③④
C.②④
D.③
【答案】D 【解析】 ①若m∥n,m⊂α,n⊂β,则α∥β或α,β相交; ②若m⊂α,n⊂β,α∥β,l⊥m,则l⊥n或l∥n或l,n异面; ③正确; ④若α⊥β,m∥α,n∥β,则m⊥n或m∥n或m,n异面.
[最新]专题一空间中平行关系的相互转化
![[最新]专题一空间中平行关系的相互转化](https://img.taocdn.com/s3/m/9cebafadfc0a79563c1ec5da50e2524de518d06f.png)
专题一 空间中平行关系的相互转化一．线面平行的判定定理：①文字语言表述：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
②图形语言表述：③符号语言表述：,,////a b a b a ααα⊄⊂⇒④作用：线线平行⇒线面平行二．面面平行的判定定理：①文字语言表述：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
②图形语言表述：③符号语言表述：//,//,,,//a b a b P a b ββαααβ=⊂⊂⇒④作用：线面平行⇒面面平行三．线面平行的性质定理：①文字语言表述：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
②图形语言表述：③符号语言表述：//,,//a a b a b αβαβ⊂=⇒④作用：线面平行⇒线线平行四．面面平行的性质定理：①文字语言表述：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，则它们的交线平行。
②图形语言表述：③符号语言表述：//,,//a b a b αβαγβγ==⇒④作用：面面平行⇒线线平行五．面面平行性质的推论：①文字语言表述：两个平面平行，则一个平面内的任何一条直线都与另一个平面平行。
②图形语言表述：③符号语言表述：//,//a a αβαβ⊂⇒④作用：面面平行⇒线面平行小结： 线线平行 线面平行 面面平行专题练习：一、选择题线面平行的判定：1．已知两条相交直线a 、b ，a ∥平面α，则b 与平面α的位置关系 ( )A ｂ∥αB ｂ与α相交C ｂ⊂αD ｂ∥α或ｂ与α相交2．不同直线,m n 和不同平面,αβ，给出下列命题： ( )①////m m αββα⎫⇒⎬⊂⎭ ② //////m n n m ββ⎫⇒⎬⎭③ ,m m n n αβ⊂⎫⇒⎬⊂⎭异面其中假命题有A 0个B 1个C 2个D 3个 3．若将直线、平面都看成点的集合，则直线l ∥平面α可表示为 ( )A l ∉αB l ⊂αC l ≠αD l ∩α＝∅4．平行于同一个平面的两条直线的位置关系是 ( )A 平行B 相交C 异面D 平行或相交或异面5．已知直线l 1、l 2，平面α，l 1∥l 2，l 1∥α，则l 2与α的位置关系是 ( )A l 2∥αB l 2⊂αC l 2∥α或l 2⊂αD l 2与α相交面面平行的判定：6．设直线l,m,平面α,β,下列条件能得出α∥β的有 ( )①l ⊂α,m ⊂α,且l ∥β,m ∥β；②l ⊂α,m ⊂α,且l ∥m ；③l ∥α,m ∥β,且l ∥mA 1个B 2个C 3个D 0个7． 已知：命题：P ：α内存在着不共线的三点到平面β的距离均相等；命题：Q ：α∥β，则下面成立的是（ ） A P ⇒Q ，P ⇐Q B P ⇐Q ，P ⇒Q C P ⇔Q ， D P ⇒Q ， P ⇐Q 8．下列命题中，可以判断平面α∥β的是（ ）①α，β分别过两条平行直线；②a ，b 为异面直线，α过a 平行b ，β过b 平行a ；A ①B ②C ①②D 无9．下列命题中为真命题的是（ ） A 平行于同一条直线的两个平面平行 B 垂直于同一条直线的两个平面平行C 若—个平面内至少有三个不共线的点到另—个平面的距离相等，则这两个平面平行．D 若三条直线a 、b 、c 两两平行，则过直线a 的平面中，有且只有—个平面与b ，c 都平行．10．下列命题中正确的是( )①平行于同一直线的两个平面平行； ②平行于同一平面的两个平面平行；③垂直于同一直线的两个平面平行； ④与同一直线成等角的两个平面平行A ①②B ②③C ③④D ②③④线面、面面平行的性质：11．平面α∩平面β＝a ，平面β∩平面γ＝b ，平面γ∩平面α＝c ，若a ∥b ，则c 与a ，b的位置关系是（ ）A ．c 与a ，b 都异面B ．c 与a ，b 都相交C ．c 至少与a ，b 中的一条相交D ．c 与a ，b 都平行12．如果两个相交平面分别经过两条平行线中的一条，那么它们的交线和这两条平行线的位置关系是（ ）A ．都平行B ．都相交C ．一个相交，一个平行D ．都异面13．对于直线m 、n 和平面α，下面命题中的真命题是A ．如果m n m ,,αα⊄⊂、n 是异面直线，那么α//nB ．如果m n m ,,αα⊄⊂、n 是异面直线，那么α与n 相交C ．如果m n m ,//,αα⊂、n 共面，那么n m //D ．如果m n m ,//,//αα、n 共面，那么nm //14．已知m 、n 是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题①若m ⊂α，n ∥α，则m ∥n ；②若m ∥α，m ∥β，则α∥β；③若α∩β=n ，m ∥n ，则m ∥α且m ∥β；其中真命题的个数是A ．0B ．1C ．2D ．315．A 、B 是不在直线l 上的两点，则过点A 、B 且与直线l 平行的平面的个数是 （ ）A ．0个B ．1个C ．无数个D ．以上三种情况均有可能二、填空题线面、面面平行的判定：1．经过直线外一点有平面和已知直线平行；2．经过直线外一点直线与已知直线平行；3．经过两条异面直线中的一条与另一条直线平行；4．有以下命题，正确命题的序号是 .①直线与平面没有公共点，则直线与平面平行；②直线与平面内的任何一条直线都不相交，则直线与平面平行；③直线上有两点，它们到平面的距离相等，则直线与平面平行；④直线与平面内的无数条直线不相交，则直线与平面平行5．下列命题中正确的是（填序号）；①一个平面内两条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；②如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；③平行于同一直线的两个平面一定相互平行；④如果一个平面内的无数多条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；线面、面面平行的性质：6．三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线的位置关系为__________；7．过正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点A1、C1、B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是__________；三、解答题；1．已知四面体ABCD中，M，N分别是△ABC和△ACD的重心，P为AC上一点，且AP：PC=2：1，求证：（1）BD∥面CMN；（2）平面MNP//平面BCD.2．空间四边形ABCD，平行于AD与BC的截面分别交AB，AC，CD，BD于E、F、G、H．求证：四边形EFGH为平行四边形；3 如图：S 是平行四边形A B C D 平面外一点，,M N 分别是,SA BD 上的点，且SM AM =NDBN， 求证：//MN 平面SCDC。
空间平行关系课件-2025届高三数学一轮复习
兹能
基础知识1：直线与平面平行的判定和性质
基础知识2：平面与平面平行的判定和性质
答案解析
【创新方案选题】如图所示，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，E，F，G，H 分别是 AB，AC，A1B1， A1C1 的中点，求证： （1）B，C，H，G 四点共面； （2）平面 EFA1∥平面 BCHG. 证明：（1）∵G，H 分别是 A1B1，A1C1 的中点，∴GH 是△A1B1C1 的中位线，∴GH∥B1C1. 又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G 四点共面． （2）∵E，F 分别是 AB，AC 的中点，∴EF∥BC.∵EF⊄平面 BCHG，BC⊂平面 BCHG，
02 答案解析
(2014·安徽)如图，四棱锥 P－ABCD 的底面是边长为 8 的正方形，四条侧棱长均 为 2 7.点 G，E，F，H 分别是棱 PB，AB，CD，PC 上共面的四点，平面 GEFH⊥ 平面 ABCD，BC∥平面 GEFH.证明：GH∥EF； 证明：因为 BC∥平面 GEFH，BC 平面 PBC，且平面 PBC∩平面 GEFH＝GH， 所以 GH∥BC.同理可证：EF∥BC，因此 GH∥EF.
AP
03 答案解析
(2016·北京)如图，在四棱锥 P－ABCD 中，平面 PAD⊥平面 ABCD，PA⊥PD，
PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝ 5.在棱 PA 上是否存在点 M；
使得 BM∥平面 PCD？若存在，求AM的值；若不存在，说明理由. AP
解：设 M 是棱 PA 上一点，则存在λ∈[0，1]使得A→M＝λA→P，因此点 M(0，1－λ，
接 EH.
∵H 为 AB1 的中点，且 B1H＝1C1D，B1H∥C1D，而 EF＝1C1D，
高考数学一轮总复习：空间中的平行关系
空间中的平行关系[基础梳理]1．直线与平面平行的判定定理和性质定理因为l∥a，aα，lα，所以l∥α一条直线与一个平面平行，因为l∥α，lβ，α∩β＝b，所以l∥b 2.平面与平面平行的判定定理和性质定理因为a∥β，b∥β，a∩b＝P，aα，bα，所以α∥β1．判定定理续表2.性质定理α∥β且aα⇒a∥β3.线线平行、线面平行、面面平行的相互转化利用线线平行、线面平行、面面平行的相互转化，解决平行关系的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而应用性质定理时，其顺序正好相反．在实际应用中，判定定理和性质定理一般要相互结合，灵活运用．[四基自测]1．下列命题中正确的是()A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行C．平行于同一条直线的两个平面平行D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，bα，则b∥α答案：D2．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是()A．①③B．②③C．①④D．②④答案：C3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为________．答案：平行4．(2017·高考全国卷Ⅰ)如图所示，正方体ABCD A1B1C1D1中，M、N、E、F 分别为棱的中点，则面AMN与面DBEF的关系为________．答案：平行考点一直线与平面平行的判定与性质◄考基础——练透[例1](1)(2019·河北石家庄模拟)过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有()A．4条B．6条C．8条D．12条解析：如图所示，H，G，F，I是相应线段的中点，故符合条件的直线只能出现在平面HGFI中，有FI，FG，GH，HI，HF，GI共6条直线，故选B.答案：B(2)如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：GH∥平面P AD.解析：证明：如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO，因为四边形ABCD是平行四边形，所以O是AC的中点，又M是PC的中点，所以AP∥OM.根据直线和平面平行的判定定理，则有P A∥平面BMD.因为平面P AHG∩平面BMD＝GH，根据直线和平面平行的性质定理，所以P A∥GH.因为GH平面P AD，P A平面P AD，所以GH∥平面P AD.方法关键适用题型利用线面平行的判定定理证线面平行在该平面内找或作一直线，证明其与已知直线平行平行线易作出利用面面平行的性质证线面平行过该线找或作一平面，证明其与已知平面平行 面面平行较明显利用线面平行性质证线线平行过线作平面，产生交线已知线面平行如图所示，四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是边长为3的菱形，∠ABC ＝60°.P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝3.F 在棱P A 上，(1)若F 为P A 的中点，求证PC ∥平面BDF ；(2)若AF ＝1，E 在棱PD 上，且CE ∥平面BDF ，求PE ∶ED 的值． 解析：(1)证明：连接AC ，AC ∩BD＝O ， 由ABCD 为菱形知O 为AC 的中点， F 为P A 的中点，∴OF ∥PC .OF 平面BDF ，PC 平面BDF .∴PC ∥平面BDF .(2)过E 作EG ∥FD 交AP 于G ，连接CG ，FO .∵EG ∥FD ，EG 平面BDF ，FD 平面BDF ，∴EG ∥平面BDF ，又EG∩CE＝E，CE∥平面BDF，EG，CE平面CGE，∴平面CGE∥平面BDF，又CG平面CGE，∴CG∥平面BDF，又平面BDF∩平面P AC＝FO，CG平面P AC，∴FO∥CG.又O为AC的中点，∴F为AG中点，∴FG＝GP＝1，∴E为PD的中点，PE∶ED＝1∶1.考点二平面平行的判定与性质◄考能力——知法[例2]如图所示，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是菱形，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，G和H 分别是CE和CF的中点．求证：平面BDGH∥平面AEF.证明：在△CEF中，因为G，H分别是CE，CF的中点，所以GH∥EF，又因为GH平面AEF，EF平面AEF，所以GH∥平面AEF，设AC∩BD＝O，连接OH，在△ACF中，因为OA＝OC，CH＝HF，所以OH∥AF，又因为OH 平面AEF ，AF 平面AEF ，所以OH ∥平面AEF .又因为OH ∩GH ＝H ，OH ，GH 平面BDGH ，所以平面BDGH ∥平面AEF .判定面面平行的4种方法(1)面面平行的定义，即判断两个平面没有公共点． (2)面面平行的判定定理．(3)垂直于同一条直线的两平面平行．(4)平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行．(2019·豫北六校联考)如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是A 1B 1，A 1D 1的中点，E ，F 分别是B 1C 1，C 1D 1的中点．(1)求证：四边形BDFE 为梯形； (2)求证：平面AMN ∥平面EFDB . 证明：(1)连接B 1D 1（图略）.∵在△B 1D 1C 1中，E ，F 分别是B 1C 1，C 1D 1的中点， ∴EF ∥B 1D 1且EF ＝12B 1D 1，又知四边形BDD1B1为矩形，∴四边形BDFE为梯形．(2)连接FM（图略），在△A1B1D1中，M，N分别为A1B1，A1D1的中点，∴MN ∥B1D1.由(1)知，EF∥B1D1，∴MN∥EF.在正方形A1B1C1D1中，F为C1D1的中点，M为A1B1的中点，，又∵四边形ADD1A1为正方形，∴四边形ADFM为平行四边形．又∵AM∩MN＝M，DF∩FE＝F，∴平面AMN∥平面EFDB.考点三平行关系的探索问题◄考基础——练透[例3](1)(2019·福建泉州模拟)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中点，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，当点Q________时，平面D1BQ∥平面P AO()A．与C重合B．与C1重合C．为CC1的三等分点D．为CC1的中点解析：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，∵O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，∴PO∥BD1，当点Q为CC1的中点时，连接PQ，，∴四边形ABQP是平行四边形，∴AP∥BQ，∵AP∩PO＝P，BQ∩BD1＝B，AP、PO平面P AO，BQ、BD1平面D1BQ，∴平面D1BQ∥平面P AO.故选D.答案：D(2)如图所示，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，D，D1分别是AC，A1C1上的点，当AD DC，A1D1D1C1分别为何值时，平面BC1D∥平面AB1D1.解析：如图所示，连接A1B与AB1交于点O，连接OD1.因为平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BDC1＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝OD1，所以BC1∥OD1.同理AD1∥DC1.由BC 1∥OD 1，得A 1D 1D 1C 1＝A 1O OB ＝1，即A 1D 1＝D 1C 1. 由AD 1∥DC 1，AD ∥D 1C 1，得四边形ADC 1D 1是平行四边形， 所以AD ＝D 1C 1，所以A 1D 1＝DC .所以DC AD ＝A 1D 1D 1C 1＝1， 即当AD DC ＝A 1D 1D 1C 1＝1时，平面BC 1D ∥平面AB 1D 1.对于此类问题往往采取逆向思维(1)对命题条件的探索常采用以下三种方法：①先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性； ③把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件．(2)对命题结论的探索常采用以下方法：首先假设结论存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情的结论，就肯定假设，如果得到了矛盾的结论，就否定假设．在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，设D ，E 分别是线段BC ，CC 1的中点，在线段AB 上是否存在一点M ，使直线DE ∥ 平面A 1MC ？请证明你的结论．解析：存在一点M ∈AB ，使DE ∥平面A 1MC .证明如下：取AB的中点M，A1C的中点N，连接EN，DM，MN(图略)．∴四边形DENM为平行四边形，∴MN∥DE，又DE平面A1MC，MN平面A1MC，∴DE∥平面A1MC.故存在点M为AB的中点，使DE∥平面A1MC.直观想象——空间平行关系中的学科素养空间中的平行关系的应用其实质就是转化．甚至可以通过直观想象去理解或找出平行的线或面．[例](2018·高考全国卷Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为()A.334 B.233C.324 D.32解析：如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面AB1D1与棱A1A，A1B1，A1D1所成的角都相等，又正方体的其余棱都分别与A1A，A1B1，A1D1平行，故正方体ABCD－A1B1C1D1的每条棱所在直线与平面AB1D1所成的角都相等．如图所示，取棱AB，BB1，B1C1，C1D1，DD1，AD的中点E，F，G，H，M，N，则正六边形EFGHMN所在平面与平面AB1D1平行且面积最大，此截面面积为S正六边形EFGHMN ＝6×12×22×22sin 60°＝334.故选A.答案：A点评：本题是通过直观想象找到最值时的图形位置，再结合线面平行、面面平行的性质求得需要的量.课时规范练A组基础对点练1．(2019·益阳市、湘谭市调研)下图中，G，N，M，H分别是正三棱柱(两0底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有()A．①③B．②③C．②④D．②③④解析：由题意，可知题图①中，GH∥MN，因此直线GH与MN共面；题图②中，连接GN，G，H，N三点共面，但M平面GHN，因此直线GH与MN异面；题图③中，连接MG，则GM∥HN，因此直线GH与MN共面；题图④中，连接GN，G，M，N三点共面，但H平面GMN，所以直线GH 与MN异面．故选C.答案：C2．如图所示，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是()解析：对于选项A，设正方体的底面对角线的交点为O(图略)，连接OQ，则OQ∥AB，因为OQ与平面MNQ有交点，所以AB与平面MNQ有交点，即AB与平面MNQ不平行，故选A.3．(2019·银川模拟)已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若m⊥α，n⊥β，且β⊥α，则下列结论一定正确的是()A．m⊥n B．m∥nC．m与n相交D．m与n异面解析：若β⊥α，m⊥α，则直线m与平面β的位置关系有两种：mβ或m ∥β.当mβ时，又n⊥β，所以m⊥n；当m∥β时，又n⊥β，所以m⊥n，故m ⊥n，故选A.答案：A4．(2019·济宁模拟)如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是()A．CC1与B1E是异面直线B．AC⊥平面ABB1A1C．AE⊥B1C1D．A1C1∥平面AB1E解析：对于A，CC1与B1E均在侧面BCC1B1内，又两直线不平行，故相交，A错误；对于B，AC与平面ABB1A1所成的角为60，所以AC不垂直于平面ABB1A1，故B错误；对于C，AE⊥BC，BC∥B1C1，所以AE⊥B1C1，故C正确；对于D，AC与平面AB1E有公共点A，AC∥A1C1，所以A1C1与平面AB1E相交，故D错误．答案：C5．已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则() A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥n解析：因为α∩β＝l，所以lβ，又n⊥β，所以n⊥l.故选C.答案：C6．(2019·重庆六校联考(一))设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是()A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，aα，a∥βC．存在两条平行直线a，b，aα，bβ，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，aα，bβ，a∥β，b∥α解析：对于选项A，若存在一条直线a，a∥α，a∥β，则α∥β或α与β相交，若α∥β，则存在一条直线a，使得a∥α，a∥β，所以选项A的内容是α∥β的一个必要条件；同理，选项B，C的内容也是α∥β的一个必要条件而不是充分条件；对于选项D，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以选项D的内容是α∥β的一个充分条件．故选D.答案：D7．(2019·宜昌调研)如图所示，在棱长均相等的四棱锥P－ABCD中，O为底面正方形的中心，M，N分别为侧棱P A，PB的中点，有下列结论：①PC∥平面OMN；②平面PCD∥平面OMN；③OM⊥P A；④直线PD与MN所成角的大小为90．其中正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号)解析：如图所示，连接AC，易得PC∥OM，所以PC∥平面OMN，结论①正确．同理PD∥ON，所以平面PCD∥平面OMN，结论②正确．由于四棱锥的棱长均相等，所以AB2＋BC2＝P A2＋PC2＝AC2，所以PC⊥P A，又PC∥OM，所以OM⊥P A，结论③正确．由于M，N分别为侧棱P A，PB的中点，所以MN∥AB，又四边形ABCD为正方形，所以AB ∥CD，又三角形PDC为等边三角形，所以∠PDC＝60，所以直线PD与MN所成的角即∠PDC，故④错误．故正确的结论为①②③.答案：①②③8．如图所示，四棱锥P ABCD中，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝2，点E，F分别为AD，PC的中点．(1)证明：DF∥平面PBE；(2)求点F到平面PBE的距离．解析：(1)证明：取PB的中点G，连接EG，FG，则FG∥BC，且FG＝12BC，∵DE∥BC且DE＝12BC，∴DE∥FG且DE＝FG，∴四边形DEGF为平行四边形，∴DF∥EG，又DF平面PBE，EG平面PBE，∴DF∥平面PBE.(2)由(1)知DF∥平面PBE，∴点D到平面PBE的距离与F到平面PBE的距离是相等的，故转化为求点D到平面PBE的距离，设为d.连接BD.∵V D PBE＝V P BDE，∴13S△PBE·d＝13S△BDE·PD，由题意可求得PE＝BE＝5，PB＝23，∴S△PBE ＝12×23×(5)2－⎝⎛⎭⎪⎫2322＝6，又S△BDE＝12DE·AB＝12×1×2＝1，∴d＝6 3.9．(2019·昆明七校模拟)一个正方体的平面展开图及该正方体直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC的中点为M，GH的中点为N.(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)证明：直线MN∥平面BDH；(3)过点M，N，H的平面将正方体分割为两部分，求这两部分的体积比．解析：(1)点F，G，H的位置如图所示．(2)证明：连接BD，设O为BD的中点，连接OM，OH，AC，BH，MN.∵M，N分别是BC，GH的中点，∴OM∥CD，且OM＝12CD，NH∥CD，且NH＝12CD，∴OM∥NH，OM＝NH，则四边形MNHO是平行四边形，∴MN∥OH，又MN平面BDH，OH平面BDH，∴MN∥平面BDH.(3)由(2)知OM∥NH，OM＝NH，连接GM，MH，过点M，N，H的平面就是平面GMH，它将正方体分割为两个同高的棱柱，高都是正方体的棱长，∴体积比等于底面积之比，即3∶1.B组能力提升练10．(2019·荆州模拟)如图所示，在三棱柱ABC－A′B′C′中，点E，F，H，K 分别为AC′，CB′，A′B′，B′C′的中点，G为△ABC的重心．从K，H，G，B′中取一点作为P，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则P 为()A．K B．HC．G D．B′解析：取A′C′的中点M，连接EM，MK，KF，EF，则EM，得四边形EFKM为平行四边形，若P＝K，则AA′∥BB′∥CC′∥KF，故与平面PEF平行的棱超过2条；HB′∥MK⇒HB′∥EF，若P＝H或P＝B′，则平面PEF与平面EFB′A′为同一平面，与平面EFB′A′平行的棱只有AB，不满足条件；连接BC′，则EF∥A′B′∥AB，若P＝G，则AB，A′B′与平面PEF平行．故选C.答案：C11．(2019·洛阳统考(一))正方形ABCD和等腰直角三角形DCE组成如图所示的梯形，M，N分别是AC，DE的中点，将△DCE沿CD折起(点E始终不在平面ABCD内)，则下列说法一定正确的是()A．MN∥平面BCEB．在折起过程中，一定存在某个位置，使MN⊥ACC．MN⊥AED．在折起过程中，不存在某个位置，使DE⊥AD解析：折起后的图形如图所示，取CD的中点O，连接MO，NO，则在△ACD中，M，O分别是AC，CD的中点，∴MO∥AD∥BC，同理NO∥CE，又BC∩CE＝C，∴平面MON∥平面BCE，∴MN∥平面BCE，故A正确；易知MO⊥CD，NO⊥CD，又MO∩NO＝O，∴CD⊥平面MNO，∴MN⊥CD，若MN⊥AC，又AC∩CD＝C，∴MN⊥平面ABCD，∴MN⊥MO，又MO＝12AD＝12EC＝NO，∴MN不可能垂直于MO，故MN⊥AC不成立，故B错误；取CE 的中点Q，连接MQ，则在△ACE中，M，Q分别是AC，CE的中点，∴MQ∥AE，由图知MQ与MN不可能始终垂直，故C错误，当平面CDE⊥平面ABCD时，又平面CDE∩平面ABCD＝CD，AD⊥CD，AD平面ABCD，∴AD⊥平面CDE，∴AD⊥DE，故D错误．答案：A12．下列命题正确的是()A．若两条直线和同一个平面平行，则这两条直线平行B．若一条直线与两个平面所成的角相等，则这两个平面平行C．若一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行解析：A选项中两条直线可能平行也可能异面或相交；对于B选项，如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ABB1A1和平面BCC1B1与B1D1所成的角相等，但这两个平面垂直；D选项中两平面也可能相交．C正确．答案：C13．(2019·杭州模拟)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，E为AD 的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则EF＝________.解析：根据题意，因为EF∥平面AB1C，所以EF∥AC.又E是AD的中点，所以F是CD的中点．因为在Rt△DEF中，DE＝DF＝1，故EF＝ 2.答案：214．(2019·唐山统一考试)在三棱锥P ABC中，PB＝6，AC＝3，G为△P AC的重心，过点G作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB和AC，则截面的周长为________．解析：过点G作EF∥AC，分别交P A、PC于点E、F，过E、F分别作EN∥PB、FM∥PB，分别交AB、BC于点N、M，连接MN(图略)，则四边形EFMN是平行四边形，所以EF3＝23，即EF＝MN＝2，FMPB＝FM6＝13，即FM＝EN＝2，所以截面的周长为2×4＝8.答案：815.如图所示，四棱锥P ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217 .点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH .(1)证明：GH∥EF；(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积．解析：(1)证明：因为BC∥平面GEFH，BC平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以GH∥BC.同理可证EF∥BC，因此GH∥EF.(2)如图所示，连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.因为P A＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC，同理可得PO⊥BD.又BD∩AC＝O，且AC，BD都在底面内，所以PO⊥底面ABCD.又平面GEFH⊥平面ABCD，且PO平面GEFH，所以PO∥平面GEFH.因为平面PBD∩平面GEFH＝GK，所以PO∥GK，且GK⊥底面ABCD，从而GK⊥EF，所以GK是梯形GEFH的高．由AB＝8，EB＝2，得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4，从而KB＝14DB＝12OB，即K为OB的中点．由PO∥GK得GK＝12PO，即G是PB的中点，且GH＝12BC＝4.由已知可得OB＝42，PO＝PB2－OB2＝68－32＝6，所以GK＝3.故四边形GEFH的面积S＝GH＋EF2·GK＝4＋82×3＝18.。
高三数学总复习《空间中的平行关系》课件
3.直线与平面平行的性质 定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与 此平面的交线与该直线平行. 符号表示:a∥α,a⊂β,α∩β=b⇒a∥b.
图形:
说明:注意定理中有三个条件:直线a∥平面α,α∩β=b,a⊂β,这 三个条件缺一不可.
4.平面与平面平行的性质
(1)定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们 的交线平行. 符号表示:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b. 图形:
解析:①②显然正确,命题③,直线b有可能在平面M内,对于命
题④,直线b可能与平面M平行或斜交,图所示,在四棱锥P—ABCD 中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面 ABCD,E为PD的中点,PA=2AB=2.
(1)若F为PC的中点,求证:PC⊥平面AEF;
④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的
直线与另一个平面也不垂直. 其中,为真命题的是( )
A.①和② B.②和③ C.③和④ D.②和④ 解析:①错,应该为一个平面内的两条相交直线与另一个平面 平行,那么这两个平面相互平行.
③错,两直线可能相交,也可能异面.
故②④正确,选D. 答案:D
回归教材
1.直线与平面平行的判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此 平面平行. 符号表示:a⊄α,b⊂α,且a∥b⇒a∥α. 图形:
说明:(1)直线与平面平行的判定定理具备三个条件:
平面外的一条直线、平面内的一条直线、两直线平行,三个
条件缺一不可. (2)定理充分体现了转化的思想,它将线面平行问题转化为线
解法二:如图所示,延长DC,AB,设它们交于点N,连接PN. ∵∠NAC=∠DAC=60°,
空间中的平行
直线都平行于另一个平面
⑷两个平面平行的性质
1 两个平面没有公共点
两 个 平 面 平 行
2 其中一个平面内的直线平行于另 一个平面 3 两个平行平面同时和第三个平面相 交，它们的交线平行 4 夹在两个平行平面间的平行线段相 等
小结： 三种平行关系的转化 线 平行 线
线面平行性质 线面平行判定
线 面面平行判定
思考1
平面α内有一条直线和平面β平行，则 α//β。错！
思考2
平面 内有两条直线与平面平行， 则 // 错！
//
错！
思考3 平面 内有无数条直线与平面 平行，则
抽象概括：
⑶平面与平面平行的判定定理：
一个平面内有两条相交直线与另一个平面平 行,则这两个平面平行. a 即：a b A α b
a
b
P
应用巩固：
例1.空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的 中点，试判断EF与平面BCD的位置关系，并予 以证明. A E D B F C
解：EF∥平面BCD。 证明：如图，连接BD。在△ABD中， E， F分别为AB，AD的中点，
∴EF ∥BD,
EF 平面BCD
BD 平面BCD
直线AB、CD各有什么特点呢？ 有什么关系呢？
C
数学
D
从中你能得出什么结论？
A
B
CD是桌面外一条直线， AB是桌面内一条 直线，如果CD ∥ AB ，则CD ∥桌面
直线和平面平行 的判定定理:
如果不在一个平面内的一条直线 和平面内的一条直线平行，那么这条 直线和这个平面平行。
a b α 线线平行
a b a // a // b
【精编】高考复习课件第53讲空间中的平行关系-精心整理
点评：证面面平行的基本方法是利用面面平行的判定 定理，即转化为证线面平行．
【变式探究】
2．如图，已知 ABC-A1B1C1 是正三棱柱，E，F 分别是 AC， A1C1 的中点．求证：平面 AB1F∥平面 BEC1.
证明：因为 E、F 分别是 AC、A1C1 的中点， 所以 AE＝FC1.又因为 AE∥FC1， 所以四边形 AEC1F 是平行四边形，所以 AF∥EC1. 因为 EC1⊂平面 BEC1，AF⊄平面 BEC1， 所以 AF∥平面 BEC1. 连接 EF.因为 EF∥BB1，EF＝BB1， 所以四边形 BB1FE 是平行四边形， 所以 B1F∥BE，B1F⊄平面 BEC1，BE⊂平面 BEC1， 所以 B1F∥平面 BEC1. 因为 AF，B1F 是平面 AB1F 内的相交直线， 所以平面 AB1F∥平面 BEC1.
制作不易 尽请参考
(4)如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它 与另一个也相交．
(5)一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，必垂直 于另一个平面．
(6)夹在两个平行平面间的平行线段相等． (7)两平行平面间的距离处处相等． (8)平行于同一条直线的两条直线平行． (9)平行于同一个平面的两个平面平行． (10)平行于同一直线的两个平面平行或相交． (11)平行于同一个平面的两条直线平行、相交或异面．
(2)平面 BEG∥平面 ACH.证明如下： 因为 ABCD-EFGH 为正方体， 所以 BC∥FG，BC＝FG. 又 FG∥EH，FG＝EH，所以 BC∥EH，BC＝EH， 于是四边形 BCHE 为平行四边形，所以 BE∥CH. 又 CH⊂平面 ACH，BE⊄平面 ACH， 所以 BE∥平面 ACH. 同理 BG∥平面 ACH. 又 BE∩BG＝B，所以平面 BEG∥平面 ACH.