备战高考数学一轮复习(热点难点)专题80 不等式选讲

专题80 不等式选讲考纲要求:1、利用不等式的变形与常见不等式证明不等式成立2、利用常见不等式（均值不等式，柯西不等式）求表达式的最值，要注意求最值的思路与利用基本不等式求最值的思路相似，即“寻找合适的模型→将式子向定值放缩（消元）→验证等号成立条件”3、解不等式，特别是含绝对值的不等式. 基础知识回顾:一：绝对值不等式：a b a b a b -≤+≤+ （1）a b a b +≤+等号成立条件当且仅当0ab ≥ （2）a b a b -≤+等号成立条件当且仅当0ab ≤（3）a b b c a c -+-≥-：此性质可用于求含绝对值函数的最小值，其中等号成立当且仅当()()0a b b c --≥二：柯西不等式：()()()222222212121122n n n n a a a bb b a b a b a b ++++++≥+++L L L等号成立条件当且仅当1212n na a ab b b ===L 或120n b b b ====L （1）二元柯西不等式：()()()22222a bcd ac bd ++≥+，等号成立当且仅当ad bc =（2）柯西不等式的几个常用变形 ① 柯西不等式的三角公式：()()()22222222212121122n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥±+±++±L L L ② ()222212121212n nn na a a a a ab b b b b b ++++++≥+++L L L ()()222212121212n n n n a a a b b b a a a b b b ⎛⎫⇔++++++≥+++ ⎪⎝⎭L L L②式体现的是当各项22212,,,n a a a L 系数不同时，其“平方和”与“项的和”之间的不等关系，刚好是均值不等式的一个补充。

③()2 1212121122nnn n na a aa a ab b b a b a b a b++++++≥+++LLL三：排序不等式：设1212,n na a ab b b≤≤≤≤≤≤L L为两组实数，12,,,nc c cL是12,,,nb b bL的任一排列，则有：121111221122n n n n n n na b a b a b a c a c a c a b a b a b-+++≤+++≤+++L L L即“反序和≤乱序和≤顺序和”应用举例:例1【广东省化州市2018届高三上学期第二次高考模拟考试】已知函数()1f x x=+，()2g x x a=+. （1）当0a=时，求不等式()()f xg x≥的解集；（2）若存在实数x，使得()()g x f x≤成立，求实数a的取值范围.【答案】(1)1| 13x x⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭；(2) (],1-∞.试题解析：（1）当0a=时，由()()f xg x≥得12x x+≥，两边平方整理得23210x x--≤，解得113x-≤≤所以原不等式的解集为1| 13x x⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭（2）由()()g x f x≤得12a x x≤+-，令()12h x x x=+-，则()()()11{31(10)10x xh x x xx x-≤-=+-<<-+≥，作出函数的图像，得()()max01h x h==从而实数a的取值范围为(],1-∞例2.【广东省五校2018届高三12月联考】已知()223f x x a x a =-+++． （1）证明： ()2f x ≥； （2）若332f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2）()1,0-.试题解析：（1）证明：因为()222323f x x a x a x a x a =-+++≥++-+， 而()2222323122x a x a a a a ++-+=++=++≥，所以()2f x ≥．（2）解：因为222323,,33342{32222,.4a a a f a a a a a ++≥-⎛⎫-=+++= ⎪⎝⎭-<-所以23,{ 4233,a a a ≥-++<或23,{ 423,a a a <--<解得10a -<<，所以a 的取值范围是()1,0-．例3.【河南省林州市第一中学2018届高三12月调研考试】 已知函数()21f x x x a =---. （1）当1a =时，解不等式()1f x <；（2）当()1,0x ∈-时， ()1f x >有解，求a 的取值范围. 【答案】(1) {|11}x x -<<；(2) ()3,1-. 【解析】试题分析：(1)结合题意零点分段可得不等式的解集为{|11}x x -<<.(2)由题意结合绝对值不等式的性质可得a 的取值范围是()3,1-. 试题解析：（1）当1a =时， ()1,21211{32,1 2,1x x f x x x x x x x -≤=---=-<≤>， 当12x ≤时， 1x -<，解得1x >-，所以112x -<≤； 当112x <≤时， 321x -<，解得1x <，所以112x <<； 当1x >时， 1x <，无解，综上所述，不等式()1f x <的解集为{|11}x x -<<.（2）当()1,0x ∈-时， ()1f x >有解， 2x a ⇔-<-有解22x x a x ⇔<-<-有解3x a x ⇔<<-有解， 因为33x >-，所以1x -<，所以31a -<<，即实数a 的取值范围是()3,1-. 方法、规律归纳: 绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x |<a 与|x |>a 的解法：(2)|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c (c ＞0)型不等式的解法： ①|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； ②|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .(3)|x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c (c ＞0)型不等式的解法 ①利用绝对值不等式的几何意义求解； ②利用零点分段法求解；③构造函数，利用函数的图象求解． 实战演练:1．【辽宁省实验中学分校2018届高三12月月考】已知函数()()2log 1+2.f x x x m =+-- （Ⅰ）当5m =时，求函数()f x 的定义域；（Ⅱ）若关于x 的不等式()1f x ≥的解集是R ,求m 的取值范围. 【答案】(1) {}32x x x <-或 (2) 1m ≤试题解析：(1)由题意，令解得或，函数的定义域为(2),，即. 由题意,不等式的解集是， 则在上恒成立.而，故.点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向． 2．【河南省豫北豫南名校2018届高三上学期精英联赛】 已知函数()()120f x x a x a a=++-≠。

（1）当1a =时，解不等式()4f x <； （2）求函数()()()g x f x f x =+-的最小值。

【答案】（1）5,13⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）42【解析】试题分析：（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解集，最后求并集（2）根据绝对值三角不等式得()222g x a a≥+，再根据基本不等式求最小值. 试题解析：（1）1a =Q ， ∴原不等式为2114x x ++-<，1{2214x x x <-∴---+<，或11,{2214,x x x -≤≤+-+<或1,{ 2214,x x x >++-< 513x ∴-<<-或11x -≤<或ϕ，∴原不等式的解集为5,13⎛⎫- ⎪⎝⎭.3．【辽宁省丹东市五校协作体2018届高三上学期联考】 函数()1f x x m x m =+---． （Ⅰ）当1m =时，求不等式()12f x ≥的解集； （Ⅱ）若对任意[]0,1m ∈，不等式()f x n ≥的解集为空集，求实数n 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）不等式()12f x ≥解集为1| 4x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭；（Ⅱ） 2+∞（，）.【解析】试题分析：本题考查绝对值不等式的解法和绝对值三角不等式的应用。

（Ⅰ）根据零点分区间法将绝对值不等式化为不等式组求解。

（Ⅱ）由绝对值的三角不等式可得()max 1f x m m =+-，根据换元法可得1m m +-的最大值为2，所以实数n 的取值范围为()2,+∞。

试题解析：（Ⅱ）因为()11f x x m x m x m x m =---≤++- 1m m =- （当且仅当1x m ≥-()max 1f x m m ∴=-设()1g m m m =- 01m ≤≤， 设2cos m θ=， 02πθ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭()1cos sin 2sin 24g m m m πθθθ⎛⎫∴=-=+=+≤ ⎪⎝⎭，当4πθ=等号成立。

()max 2g m ∴=。

∴要使()f x n ≥的解集为∅,则2n >∴实数n 的取值范围为)2,+∞。

4．【2017届吉林省长春市普通高中高三下学期第二次模拟考试】（1）如果关于x 的不等式15x x m ++-≤的解集不是空集，求实数m 的取值范围；（2）若,a b 均为正数，求证： a b b aa b a b ≥.【答案】(1) 6m ≥；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）15x x m ++-≤的解集不是空集即15m x x ≥++-的最小值，求15x x ++-的最小值即可.(2) a b b a a b a b ≥即1a ba b -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，利用指数函数的性质分a b ≥和a b<讨论即可试题解析：(1) 令24,115{6,1524,5x x y x x x x x -+≤-=++-=-<<-≥，可知156x x ++-≥，故要使不等式15x x m ++-≤的解集不是空集，有6m ≥.（2）由,a b 均为正数，则要证a bb aa b a b ≥，只需证1a b b aab--≥，整理得1a ba b -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，由于当a b ≥时， 0a b -≥，可得1a ba b -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，当a b <时， 0a b -<，可得1a ba b -⎛⎫> ⎪⎝⎭，可知,a b 均为正数时1a ba b -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，当且仅当a b=时等号成立，从而a b b a a b a b ≥成立.5．【贵州省遵义市遵义四中2018届高三第三次月考】 （1）比较22a b +与()225a b --的大小； （2）已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证： 1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】（1）22a b +≥ ()225a b --（2）见解析试题解析：（1）因为()2222225a 210a b a b b +--+=-+-≥，所以22,a b +≥ ()225a b --；（2）证明：∵a +b +c =1，a ，b ，c ∈R +， ∴111b+c a+c a 222111=8ab c b bc ac aba b c +⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⨯⨯≥=⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当且仅当a =b =c 时，取等号。