苏科版八年级上册数学 第2章 轴对称复习讲义(解析版)

轴对称总复习
【知识梳理】
轴对称与轴对称图形的区别和联系
区别：轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，•成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．
联系：1：都是折叠重合2;如果把成轴对称的两个图形看成一个图形那么他就是轴对称图形，反之亦然。

【例题精讲】
例1：如图，阴影部分是由5个大小相同的小正方形组成的图形，请分别在图中方格内涂两个小正方形，使涂后所得阴影部分图形是轴对称图形．
解：如图所示：
例2：如图，如下图均为2×2的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．请分别在四个图中各画出一个与△ABC成轴对称、顶点在格点上，且位置不同的三角形．
解：
巩固练习
1.如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中所有与△ABC成轴对称且以格点为顶点的三角形，请在下面所给的格纸中一一
画出所有符合条件的三角形．（所给的六个格纸未必全用）
解：与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形有5个，
分别为△BCD，△BFH，△BCF，△GEH，△AEG．
2.如图，在4×3正方形网格中，阴影部分是由5个小正方形组成的一个图形，请你用两种方法分别在下图方格内添涂2个小正方形，使这7个小正方形组成的图形是轴对称图形．
解：如图所示，答案不唯一，参见下图．
知识点四（线段、角的轴对称性）
【知识梳理】
线段的轴对称性
（1）线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴。

（2）线段垂直平分线的性质与判定
性质定理：线段的垂直平分线上的点到线段两段的距离相等。

判定定理：到线段两段距离相等的点在这条线段的垂直平分
线上。

注：线段的垂直平分线及线段自身所在的直线都是线段的
对称轴。

角的对称性
（1）角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴。

（2）角平分线的性质与判定
性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。

判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。

注：“距离”指垂直到直线的线段长度。

【例题精讲】
例1：如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC交于点E，DF⊥BC 于点F，且BC=4，DE=2，则△BCD的面积是．
解：∵CD平分∠ACB交AB于点D，
∴∠DCE=∠DCF，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠DEC=∠DFC=90°，
在△DEC和△DFC中，
∠DCE＝∠DCF
∠DEC＝∠DFC
CD＝CD
（AAS）
∴△DEC≌△DFC，
∴DF=DE=2，
∴S△B C D=BC×DF÷2
=4×2÷2
=4
答：△BCD的面积是4．
故答案为：4．
例2：如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E 点，若△ABC与△EBC的周长分别是40cm，24cm，则AB= cm．
解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE；
∵△ABC的周长=AB+AC+BC，△EBC的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC，
∴△ABC的周长-△EBC的周长=AB，
∴AB=40-24=16（cm）．
故答案为：16．
例3：如图所示，在△ABC中，DE是AC的中垂线，AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长是cm．
解：∵△ABC中，DE是AC的中垂线，
∴AD=CD，AE=CE=AC=3cm，
∴△ABD得周长=AB+AD+BD=AB+BC=13 ①
则△ABC的周长为AB+BC+AC=AB+BC+6 ②
把②代入①得△ABC的周长=13+6=19cm
故答案为：19．
解：①∵DM、EN分别垂直平分AB和AC，
∴AD=BD，AE=EC，
∴∠B=∠BAD，∠C=∠EAC（等边对等角），
∵∠BAC=∠DAE+∠BAD+∠CAE，∴∠BAC=∠DAE+∠B+∠C；
又∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∠DAE=50°，
∴∠BAC=115°；
②∵△ADE的周长为19cm，∴AD+AE+DE=19cm，
由②知，AD=BD，AE=EC，
∴BD+DE+EC=19，即BC=19cm．
故答案为：115，19．
巩固练习
1.直线l1、l2、l3表示三条两两相互交叉的公路，现在拟建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离都相等，则可供选择的地址有处．
解：∵中转站要到三条公路的距离都相等，
∴货物中转站必须是三条相交直线所组成的三角形的内角或外角平分线的交点，而外角平分线有3个交点，内角平分线有一个交点，
∴货物中转站可以供选择的地址有4个．
故答案为：4．
2.已知如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED=35°，则∠EAB是度．
解：过点E作EF⊥AD，
∵DE平分∠ADC，且E是BC的中点，
∴CE=EB=EF，
又∵∠B=90°，且AE=AE，
∴△ABE≌△AFE，
∴∠EAB=∠EAF．
又∵∠CED=35°，∠C=90°，
∴∠CDE=90°-35°=55°，
∴∠CDA=110°，
∵∠B=∠C=90°，
∴DC∥AB，
∴∠CDA+∠DAB=180°，
∴∠DAB=70°，
∴∠EAB=35°．
故答案为：35．
3.如图：在△ABC中，∠C=90°AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；
说明：（1）CF=EB．
（2）AB=AF+2EB．
证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE=DC，
∵在Rt△DCF和Rt△DEB中，
BD＝DF;
DC＝DE;
，
∴Rt△CDF≌Rt△EBD（HL）．
∴CF=EB；
（2）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴CD=DE．
在△ADC与△ADE中，
∵
CD＝DE
AD＝AD
∴△ADC≌△ADE（HL），
∴AC=AE，
∴AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB．
4.如图，在△ABC中，直线ON是AB的垂直平分线，OA=OC．求证：点O在BC的垂直平分线上．
解：连接OB，
∵直线ON是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∵OA=OC，
∴OB=OC，
∴点O在BC的垂直平分线上．
【课堂练习】
1、在4×4的正方形网格中，已将图中的四个小正方形涂上阴影（如图），若再从其余小正方形中任选一个也涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形成轴对称图形．那么符合条件的小正方形共有个．
解：如图所示，有3个使之成为轴对称图形．
故答案为：3．
2、开车时，从后视镜中看到后面一辆汽车车牌号的后四位数是“”，则该车号牌的后四位应该是．
解：由图分析可得题中所给的“”与“9087”成轴对称．
故答案为：9087
3、在下列的图形上补一个小正方形，使它成为一个轴对称图形，并画出对称轴
解：
解：∵AB=AC，∠A=40°，
∴∠C=∠ABC=70°，
∵AB的垂直平分线MN交AC于D，∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD=40°，
∴∠DBC=30°．
故答案为30°．
5、如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC 于点D，交AB于点E．
（1）求证：△ABD是等腰三角形；
（2）若∠A=40°，求∠DBC的度数；
（3）若AE=6，△CBD的周长为20，求△ABC的周长．
解：（1）证明：∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，
∴DB=DA，
∴△ABD是等腰三角形；
（2）∵△ABD是等腰三角形，∠A=40°，
∴∠ABD=∠A=40°，∠ABC=∠C=（180°-40°）÷2=70°
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=70°-40°=30°；
（3）∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，AE=6，
∴AB=2AE=12，
∵△CBD的周长为20，
∴AC+BC=20，
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=12+20=32．
6、如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C、D．求证：（1）∠ECD=∠EDC；
（2）OC=OD；
（3）OE是线段CD的垂直平分线．
证明：（1）∵OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴ED=EC，即△CDE为等腰三角形，
∴∠ECD=∠EDC；
（2）∵点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴∠DOE=∠COE，∠ODE=∠OCE=90°，OE=OE，
∴△OED≌△OEC（AAS），
∴OC=OD；
（3）在△DOE和△COE中，
∵
OC＝OD
∠EOC＝∠BOE
OE＝OE
，
∴△DOE≌△COE，
∴DE=CE，
∴OE是线段CD的垂直平分线．。