【配套K12】2019高考数学一轮复习 第2章 函数的概念与基本初等函数 第9讲 函数与方程分层演练

第9讲 函数与方程
一、选择题
1．已知函数f (x )＝6
x
－log 2x ，则f (x )的零点所在的区间是( )
A ．(0，1)
B ．(2，3)
C ．(3，4)
D ．(4，＋∞) 解析：选C.易知f (x )是单调函数，f (3)＝2－log 23>0，
f (4)＝32－lo
g 24＝32－2＝－12
<0，
故f (x )的零点所在的区间是(3，4)．
2．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
－cos x ，则f (x )在[0，2π]上的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
解析：选C.作出g (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
与h (x )＝cos x 的图象如图所示，可以看到其在[0，2π]上的交点个数为3，所以函数f (x )在[0，2π]上的零点个数为3，故选C.
3．已知实数a >1，0<b <1，则函数f (x )＝a x
＋x －b 的零点所在的区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1，0) C ．(0，1) D ．(1，2)
解析：选B.因为a >1，0<b <1，f (x )＝a x
＋x －b ，所以f (x )为增函数，f (－1)＝1a
－1－
b <0，f (0)＝1－b >0，则由零点存在性定理可知f (x )在区间(－1，0)上存在零点．
4．函数f (x )＝2x
－2x
－a 的一个零点在区间(1，2)内，则实数a 的取值范围是( )
A ．(1，3)
B ．(1，2)
C ．(0，3)
D ．(0，2)
解析：选C.因为函数f (x )＝2x －2x －a 在区间(1，2)上单调递增，又函数f (x )＝2x
－2x
－
a 的一个零点在区间(1，2)内，则有f (1)·f (2)<0，所以(－a )(4－1－a )<0，
即a (a －3)<0.所以0<a <3.
5．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧e x
＋a ，x ≤0，
3x －1，x >0(a ∈R )，若函数f (x )在R 上有两个零点，则a 的取
值范围是( )
A ．(－∞，－1)
B ．(－∞，0)
C ．(－1，0)
D ．[－1，0)
解析：选D.当x >0时，f (x )＝3x －1有一个零点x ＝13，所以只需要当x ≤0时，e x
＋a
＝0有一个根即可，即e x
＝－a .当x ≤0时，e x
∈(0，1]，所以－a ∈(0，1]，
即a ∈[－1，0)，故选D.
6．已知函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝log 2x ＋x ，h (x )＝x 3
＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为( )
A ．a ＜b ＜c
B ．a ＜c ＜b
C ．a ＞b ＞c
D ．c ＞a ＞b
解析：选B.f (x )＝2x ＋x 的零点a 为函数y ＝2x
与y ＝－x 图象的交点的横坐标，由图象(图略)可知a ＜0，g (x )＝log 2x ＋x 的零点b 为函数y ＝log 2x 与y ＝－x 图象的交点的横坐标，由图象(图略)知b ＞0，令h (x )＝0，得c ＝0.故选B.
二、填空题
7．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧－2，x >0，
－x 2
＋bx ＋c ，x ≤0，若f (0)＝－2，f (－1)＝1，则函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为________．
解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝－2，
－1－b ＋c ＝1，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧b ＝－4，
c ＝－2.
令g (x )＝0，得f (x )＋x ＝0，
该方程等价于①⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－2＋x ＝0，
或②⎩
⎪⎨⎪⎧x ≤0，
－x 2－4x －2＋x ＝0，
解①得x ＝2，解②得x ＝－1或x ＝－2， 因此，函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为3. 答案：3
8．方程2x
＋3x ＝k 的解在[1，2)内，则k 的取值范围为________．
解析：令函数f (x )＝2x
＋3x －k ， 则f (x )在R 上是增函数．
当方程2x
＋3x ＝k 的解在(1，2)内时， f (1)·f (2)<0，
即(5－k )(10－k )<0， 解得5<k <10.
当f (1)＝0时，k ＝5. 答案：[5，10)
9．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧log 2（x ＋1），x ＞0，
－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数
m 的取值范围是________．
解析：函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，转化为f (x )－m ＝0的根有3个，进而转化为y ＝f (x )，y ＝m 的交点有3个．画出函数y ＝f (x )的图象，则直线y ＝m 与其有3个公共点．又抛物线顶点为(－1，1)，由图可知实数m 的取值范围是(0，1)．
答案：(0，1)
10．定义在R 上的奇函数f (x )，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x x ＋1，x ∈[0，1）
1－|x －3|，x ∈[1，＋∞），则
函数F (x )＝f (x )－1
π
的所有零点之和为________．
解析：由题意知，当x ＜0时，f (x )＝ ⎩⎪⎨⎪⎧－2x 1－x
，x ∈（－1，0）
|x ＋3|－1，x ∈（－∞，－1]
，作出函数f (x )的图象如图所示，设函数y ＝f (x )的图象与y ＝1
π交点的横坐标从左到右依次为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，由图象的对称性可知，x 1＋x 2
＝－6，x 4＋x 5＝6，x 1＋x 2＋x 4＋x 5＝0，令－2x 1－x ＝1π，解得x 3＝1
1－2π，所以函数F (x )＝f (x )
－1π的所有零点之和为1
1－2π
.
答案：
1
1－2π
三、解答题
11．已知a 是正实数，函数f (x )＝2ax 2
＋2x －3－a .如果函数y ＝f (x )在区间[－1，1]上有零点，求a 的取值范围．
解：f (x )＝2ax 2
＋2x －3－a 的对称轴为x ＝－12a
.
①当－12a ≤－1，即0<a ≤1
2时，须使⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）≤0，f （1）≥0，即⎩
⎪⎨⎪⎧a ≤5，a ≥1，
所以无解．
②当－1<－12a <0，即a >1
2
时，
须使⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ≤0，f （1）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－12a －3－a ≤0，a ≥1，
解得a ≥1，
所以a 的取值范围是[1，＋∞)．
12．已知函数f (x )＝－x 2－2x ，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋14x ，x >0，x ＋1，x ≤0.
(1)求g (f (1))的值；
(2)若方程g (f (x ))－a ＝0有4个实数根，求实数a 的取值范围． 解：(1)利用解析式直接求解得g (f (1))＝g (－3)＝－3＋1＝－2.
(2)令f (x )＝t ，则原方程化为g (t )＝a ，易知方程f (x )＝t 在t ∈(－∞，1)内有2个不同的解，
则原方程有4个解等价于函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 的图象有2个不同的交点，作出函数y ＝g (t )(t <1)的图象(图略)，由图象可知，当1≤a <5
4
时，函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 有2
个不同的交点，即所求a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭
⎪⎫1，54.。