中考图形的相似精练精析
【中考冲刺】图形的相似
【中考冲刺】图形的相似【中考冲刺】图形的相似一、选择题（共15小题）1．（2012•日照）在菱形ABCD中，E是BC边上的点，连接AE交BD于点F，若EC=2BE，则的值是（）．C D．2．（2012•钦州）图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是（）3．（2012•绵阳）已知△ABC中，∠C=90°，tanA=，D是AC上一点，∠CBD=∠A，则sin∠ABD=（）．C D．4．（2012•茂名）如图，四边形ABCD四边的中点分别为E，F，G，H，对角线AC与BD相交于点O，若四边形EFGH的面积是3，则四边形ABCD的面积是（）5．（2012•黄冈）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，将△PQC沿BC翻折，点P 的对应点为点P′．设点Q运动的时间为t秒，若四边形QPCP′为菱形，则t的值为（）．D6．（2012•呼伦贝尔）如图，△ABD中，EF∥BD交AB于点E、交AD于点F，AC交EF于点G、交BD于点C，S△AEG=S，则的值为（）四边形EBCG．C D．7．（2012•德州）为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，∠ACB；②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC．能根据所测数据，求出A，B间距离的有（）8．（2012•大庆）如图所示，△ABC中，E、F、D分别是边AB、AC、BC上的点，且满足，则△EFD与△ABC 的面积比为（）．C D．9．（2012•北海）如图，梯形ABCD中AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，若AO：CO=2：3，AD=4，则BC 等于（）10．（2011•漳州）如图，小李打网球时，球恰好打过网，且落在离网4m的位置上，则球拍击球的高度h为（）12．（2012•陕西）如图，△ABC中，AD、BE是两条中线，则S△EDC：S△ABC=（）13．（2012•黔南州）如图，夏季的一天，身高为1.6m的小玲想测量一下屋前大树的高度，她沿着树影BA由B到A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3.2m，CA=0.8m，于是得出树的高度为（）14．（2012•柳州）小张用手机拍摄得到甲图，经放大后得到乙图，甲图中的线段AB在乙图中的对应线段是（）15．（2012•海南）如图，点D在△ABC的边AC上，要判定△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（）D．二、填空题（共15小题）（除非特别说明，请填准确值）16．（2012•河南）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．把△ABC绕AB边上的点D顺时针旋转90°得到△A′B′C′，A′C′交AB于点E．若AD=BE，则△A′DE的面积是_________．17．（2012•抚顺）如图，平行四边形ABCD的面积是16，对角线AC、BD相交于点O，点M1、N1、P1分别为线段OD、DC、CO的中点，顺次连接M1N1、N1 P1、P1M1得到第一个△P1M1N1，面积为S1，分别取M1N1、N1P1、P1M1三边的中点P2、M2、N2，得到第二个△P2M2N2，面积记为S2，如此继续下去得到第n个△P n M n N n，面积记为S n，则S n﹣S n﹣1=_________．（用含n的代数式表示，n≥2，n为整数）18．（2012•福州）如图，已知△ABC，AB=AC=1，∠A=36°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，则AD的长是_________，cosA的值是_________．（结果保留根号）19．（2012•北京）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，则树高AB=_________m．20．（2011•重庆）如图，△ABC中，DE∥BC，DE分别交边AB、AB于D、E两点，若AD：AB=1：3，则△ADE与△ABC的面积比为_________．21．（2011•张家界）在△ABC中，AB=8，AC=6，在△DEF中，DE=4，DF=3，要使△ABC与△DEF相似，则需添加的一个条件是_________（写出一种情况即可）．22．（2011•咸宁）请在如图的正方形网格纸中，以O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍．（画一个即可）．23．（2012•牡丹江）在△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点．若△ABC的面积是16，则△DEF的面积为_________．24．（2012•娄底）如图，在一场羽毛球比赛中，站在场内M处的运动员林丹把球从N点击到了对方内的B点，已知网高OA=1.52米，OB=4米，OM=5米，则林丹起跳后击球点N离地面的距离NM=_________米．25．（2012•阜新）如图，△ABC与△A1B1C1为位似图形，点O是它们的位似中心，位似比是1：2，已知△ABC的面积为3，那么△A1B1C1的面积是_________．26．（2012•郴州）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，连接DE，要使△ADE∽△ACB，还需添加一个条件_________（只需写一个）．27．（2011•昭通）如图所示，某班上体育课，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲身高1.8米，乙身高1.5米，甲的影长是6米，则甲、乙同学相距_________米．28．（2011•湘潭）如图，已知：△ABC中，DE∥BC，AD=3，DB=6，AE=2，则EC=_________．29．（2011•西藏）格桑的身高是1.6米，她的影长是2米，同一时刻，学校旗杆的影长是10米，则旗杆的高是_________米．30．（2011•天水）为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和皮尺，设计如图所示的测量方案：把镜子放在离树（AB）8.7m的点E处，然后观测考沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.7m，观测者目高CD=1.6m，则树高AB约是_________．（精确到0.1m）【中考冲刺】图形的相似参考答案与试题解析一、选择题（共15小题）1．（2012•日照）在菱形ABCD中，E是BC边上的点，连接AE交BD于点F，若EC=2BE，则的值是（）．C D．，得出=∴，∴=，2．（2012•钦州）图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是（）3．（2012•绵阳）已知△ABC中，∠C=90°，tanA=，D是AC上一点，∠CBD=∠A，则sin∠ABD=（）．C D．===CBD===，AB===2x=AE=﹣DBA==，DBA=．4．（2012•茂名）如图，四边形ABCD四边的中点分别为E，F，G，H，对角线AC与BD相交于点O，若四边形EFGH的面积是3，则四边形ABCD的面积是（）=EH=∴，即S（（S5．（2012•黄冈）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，将△PQC沿BC翻折，点P 的对应点为点P′．设点Q运动的时间为t秒，若四边形QPCP′为菱形，则t的值为（）．D，再表示出∴，AP=，AB=6∴推出比例式=6．（2012•呼伦贝尔）如图，△ABD中，EF∥BD交AB于点E、交AD于点F，AC交EF于点G、交BD于点C，S△AEG=S，则的值为（）四边形EBCG．C D．的性质证得==．S∴（平行线截线段成比例）∴（相似三角形面积的比等于相似比的平方）∴；∴=．7．（2012•德州）为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，∠ACB；②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC．能根据所测数据，求出A，B间距离的有（）=可利用=，求出8．（2012•大庆）如图所示，△ABC中，E、F、D分别是边AB、AC、BC上的点，且满足，则△EFD与△ABC 的面积比为（）．C D．，由于，根据比例性质易得=，而∠∵∴=，∴，•9．（2012•北海）如图，梯形ABCD中AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，若AO：CO=2：3，AD=4，则BC 等于（）∴=，=10．（2011•漳州）如图，小李打网球时，球恰好打过网，且落在离网4m的位置上，则球拍击球的高度h为（）∴∴12．（2012•陕西）如图，△ABC中，AD、BE是两条中线，则S△EDC：S△ABC=（）AB．13．（2012•黔南州）如图，夏季的一天，身高为1.6m的小玲想测量一下屋前大树的高度，她沿着树影BA由B到A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3.2m，CA=0.8m，于是得出树的高度为（）∴，=14．（2012•柳州）小张用手机拍摄得到甲图，经放大后得到乙图，甲图中的线段AB在乙图中的对应线段是（）15．（2012•海南）如图，点D在△ABC的边AC上，要判定△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（）D．二、填空题（共15小题）（除非特别说明，请填准确值）16．（2012•河南）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．把△ABC绕AB边上的点D顺时针旋转90°得到△A′B′C′，A′C′交AB于点E．若AD=BE，则△A′DE的面积是6．=10∴，即，解得DE×17．（2012•抚顺）如图，平行四边形ABCD的面积是16，对角线AC、BD相交于点O，点M1、N1、P1分别为线段OD、DC、CO的中点，顺次连接M1N1、N1 P1、P1M1得到第一个△P1M1N1，面积为S1，分别取M1N1、N1P1、P1M1三边的中点P2、M2、N2，得到第二个△P2M2N2，面积记为S2，如此继续下去得到第n个△P n M n N n，面积记为S n，则S n﹣S n﹣1=﹣．（用含n的代数式表示，n≥2，n为整数）××=4×=1S××=4×，×，×××．．18．（2012•福州）如图，已知△ABC，AB=AC=1，∠A=36°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，则AD的长是，cosA的值是．（结果保留根号）ACB==72∠∴，．则=x=AE=AB=cosA==故答案是：19．（2012•北京）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，则树高AB= 5.5m．∴∴20．（2011•重庆）如图，△ABC中，DE∥BC，DE分别交边AB、AB于D、E两点，若AD：AB=1：3，则△ADE与△ABC的面积比为1：9．21．（2011•张家界）在△ABC中，AB=8，AC=6，在△DEF中，DE=4，DF=3，要使△ABC与△DEF相似，则需添加的一个条件是∠A=∠D或BC：EF=2：1（写出一种情况即可）．22．（2011•咸宁）请在如图的正方形网格纸中，以O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍．（画一个即可）．23．（2012•牡丹江）在△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点．若△ABC的面积是16，则△DEF的面积为4．可得∴∴，S24．（2012•娄底）如图，在一场羽毛球比赛中，站在场内M处的运动员林丹把球从N点击到了对方内的B点，已知网高OA=1.52米，OB=4米，OM=5米，则林丹起跳后击球点N离地面的距离NM= 3.42米．∴∴25．（2012•阜新）如图，△ABC与△A1B1C1为位似图形，点O是它们的位似中心，位似比是1：2，已知△ABC的面积为3，那么△A1B1C1的面积是12．26．（2012•郴州）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，连接DE，要使△ADE∽△ACB，还需添加一个条件此题答案不唯一，如∠ADE=∠C或∠AED=∠B或AD：AC=AE：AB或AD•AB=AE•AC等（只需写一个）．27．（2011•昭通）如图所示，某班上体育课，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲身高1.8米，乙身高1.5米，甲的影长是6米，则甲、乙同学相距1米．∴∴28．（2011•湘潭）如图，已知：△ABC中，DE∥BC，AD=3，DB=6，AE=2，则EC=4．∴∴29．（2011•西藏）格桑的身高是1.6米，她的影长是2米，同一时刻，学校旗杆的影长是10米，则旗杆的高是8米．=，30．（2011•天水）为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和皮尺，设计如图所示的测量方案：把镜子放在离树（AB）8.7m的点E处，然后观测考沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.7m，观测者目高CD=1.6m，则树高AB约是 5.2m．（精确到0.1m）∴∴。
【中考冲刺】图形的相似(2)
【中考冲刺】图形的相似【中考冲刺】图形的相似一、选择题（共15小题） 1．（2012•牡丹江）如图，平行四边形ABCD 中，过点B 的直线与对角线AC 、边AD 分别交于点E 和F ．过点E 作EG ∥BC ，交AB 于G ，则图中相似三角形有（）2．（2012•荆州）下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC 相似的三角形所在的网格图形是（ ）．CD ．3．（2011•徐州）平面直角坐标中，已知点O （0，0），A （0，2），B （1，0），点P 是反比例函数y=﹣图象上的4．（2011•潍坊）如图，△ABC 中，BC=2，DE 是它的中位线，下面三个结论：（1）DE=1；（2）△ADE ∽△ABC ；（3）△ADE 的面积与△ABC 的面积之比为1：4．其中正确的有（ ）5．（2011•泰安）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S 1，S 2，则S 1+S 2的值为（ ）6．（2011•台湾）如图，∠BAC内有一点P，直线L过P与AB平行且交AC于E点．今欲在∠BAC的两边上各找一点Q、R，使得P为QR的中点，以下是甲、乙两人的作法：（甲）①过P作平行AC的直线L1，交直线AB于F点，并连接EF．②过P作平行EF的直线L2，分别交两直线AB、AC于Q、R两点，则Q、R即为所求．（乙）①在直线AC上另取一点R，使得AE=ER．②作直线PR，交直线AB于Q点，则Q、R即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（）7．（2011•台湾）如图为A、B、C、D四点在坐标平面上的位置，其中O为原点，AB∥CD．根据图中各点坐标，求D点坐标为何？（）），8．（2011•绍兴）李老师从“淋浴龙头”受到启发．编了一个题目：在数轴上截取从0到3的对应线段AB，实数m对应AB上的点M，如图1；将AB折成正三角形，使点A，B重合于点P，如图2；建立平面直角坐标系，平移此三角形，使它关于y轴对称，且点P的坐标为（0，2），PM与x 轴交于点N（n，0），如图3．当m=时，求n的值．D．9．（2011•黔西南州）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BC=12，AD=8，矩形EFGH的边EF与BC重合，点G、H分别在AC、AB上运动，当矩形EFGH的面积最大时，EF的长是（）10．（2011•内江）如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°，BD=4，CE=，则△ABC的面积为（）11．（2011•聊城）如图，矩形OABC的顶点O是坐标原点，边OA在x轴上，边OC在y轴上．若矩形OA1B1C1与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA1B1C1的面积等于矩形OABC面积的，则点B1的坐标是（）12．（2011•海南）如图，在△ABC中．∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有（）13．（2011•德阳）如图，有一块△ABC材料，BC=10，高AD=6，把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边GH在BC上，其余两个顶点E，F分别在AB，AC上，那么矩形EFHG的周长l的取值范围是（）14．（2011•北京）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，若AD=1，BC=3，则的值为（）．C D．15．（2010•铜仁地区）如图，小明作出了边长为1的第1个正△A1B1C1，算出了正△A1B1C1的面积．然后分别取△A1B1C1三边的中点A2、B2、C2，作出了第2个正△A2B2C2，算出了正△A2B2C2的面积．用同样的方法，作出了第3个正△A3B3C3，算出了正△A3B3C3的面积…，由此可得，第10个正△A10B10C10的面积是（）．C D．二、填空题（共15小题）（除非特别说明，请填准确值）16．（2012•宁夏）如图，将等边△ABC沿BC方向平移得到△A 1B1C1．若BC=3，，则BB1=_________．17．（2012•嘉兴）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG丄CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF．给出以下四个结论：①；②点F是GE的中点；③AF=AB；④S△ABC=5S△BDF，其中正确的结论序号是_________．18．（2012•长春）如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，点D在边AB上，∠ACD=∠B，则AD的长为_________．19．（2011•咸宁）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=4，点E在AB边上，且CE平分∠BCD，DE平分∠ADC，则点E到CD的距离为_________．20．（2011•台州）点D、E分别在等边△ABC的边AB、BC上，将△BDE沿直线DE翻折，使点B落在B1处，DB1、EB1分别交边AC于点F、G．若∠ADF=80°，则∠CGE=_________．21．（2011•汕头）如图（1），将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1，取△ABC 和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图（2）中阴影部分；取△A1B1C1和△1D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E 2F2，如图（3）中阴影部分；如此下去…，则正六角星形A n F n B n D n C n E n F n的面积为_________．22．（2011•曲靖）已知△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，AB=3，BC=6，AD：DB=2：1，则四边形DBFE的周长为_________．23．（2011•青岛）如图，以边长为1的正方形ABCD的边AB为对角线作第二个正方形AEBO1，再以BE为对角线作第三个正方形EFBO2，如此作下去，…，则所作的第n个正方形的面积S n=_________．24．（2011•南通）如图，三个半圆依次相外切，它们的圆心都在x轴上，并与直线y=x相切．设三个半圆的半径依次为r1、r2、r3，则当r1=1时，r3=_________．25．（2011•凉山州）已知菱形ABCD的边长是8，点E在直线AD上，若DE=3，连接BE与对角线AC相交于点M，则的值是_________．26．（2011•吉林）如图，△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，连接DE，线段BE、CD相交于点O，若OD=2，则OC=_________．27．（2011•黄石）有甲、乙两张纸条，甲纸条的宽度是乙纸条宽的2倍，如图，将这两张纸条交叉重叠地放在一起，重合部分为四边形ABCD．则AB与BC的数量关系为_________．28．（2011•呼和浩特）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，CE是∠BCD的平分线，且CE⊥AB，E为垂足，BE=2AE，若四边形AECD的面积为1，则梯形ABCD的面积为_________．29．（2011•贵港）如图所示，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，点F的坐标为（﹣1，1），点C的坐标为（﹣4，2），则这两个正方形位似中心的坐标是_________．30．（2011•广东）如图（1），将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1，取△ABC 和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图（2）中阴影部分，取△A1B1C1和△D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如图（3）中阴影部分，如此下去…，则正六角星形A4F4B4D4C4E4的面积为_________．【中考冲刺】图形的相似参考答案与试题解析一、选择题（共15小题）1．（2012•牡丹江）如图，平行四边形ABCD中，过点B的直线与对角线AC、边AD分别交于点E和F．过点E 作EG∥BC，交AB于G，则图中相似三角形有（）2．（2012•荆州）下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（）．C D．，，：：，，，三边之比为：3：=22=，故本选项错误；、三角形的三边分别为，=，三边之比为：3．（2011•徐州）平面直角坐标中，已知点O（0，0），A（0，2），B（1，0），点P是反比例函数y=﹣图象上的﹣时，则±为（，﹣）或（﹣，（﹣，）或（，﹣4．（2011•潍坊）如图，△ABC中，BC=2，DE是它的中位线，下面三个结论：（1）DE=1；（2）△ADE∽△ABC；（3）△ADE的面积与△ABC的面积之比为1：4．其中正确的有（）DE=5．（2011•泰安）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（）EC=x CDCD=EC=6．（2011•台湾）如图，∠BAC内有一点P，直线L过P与AB平行且交AC于E点．今欲在∠BAC的两边上各找一点Q、R，使得P为QR的中点，以下是甲、乙两人的作法：（甲）①过P作平行AC的直线L1，交直线AB于F点，并连接EF．②过P作平行EF的直线L2，分别交两直线AB、AC于Q、R两点，则Q、R即为所求．（乙）①在直线AC上另取一点R，使得AE=ER．②作直线PR，交直线AB于Q点，则Q、R即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（）7．（2011•台湾）如图为A、B、C、D四点在坐标平面上的位置，其中O为原点，AB∥CD．根据图中各点坐标，求D点坐标为何？（）），：=DO=×8．（2011•绍兴）李老师从“淋浴龙头”受到启发．编了一个题目：在数轴上截取从0到3的对应线段AB，实数m对应AB上的点M，如图1；将AB折成正三角形，使点A，B重合于点P，如图2；建立平面直角坐标系，平移此三角形，使它关于y轴对称，且点P的坐标为（0，2），PM与x 轴交于点N（n，0），如图3．当m=时，求n的值．D．，，FM=﹣∴，即9．（2011•黔西南州）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BC=12，AD=8，矩形EFGH的边EF与BC重合，点G、H分别在AC、AB上运动，当矩形EFGH的面积最大时，EF的长是（）∴﹣x+8（10．（2011•内江）如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°，BD=4，CE=，则△ABC的面积为（）CE=，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得∴CE=，∴×=3BC×=911．（2011•聊城）如图，矩形OABC的顶点O是坐标原点，边OA在x轴上，边OC在y轴上．若矩形OA1B1C1与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA1B1C1的面积等于矩形OABC面积的，则点B1的坐标是（）面积的12．（2011•海南）如图，在△ABC中．∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有（）13．（2011•德阳）如图，有一块△ABC材料，BC=10，高AD=6，把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边GH在BC上，其余两个顶点E，F分别在AB，AC上，那么矩形EFHG的周长l的取值范围是（）∴，∴，﹣﹣﹣﹣得：y﹣14．（2011•北京）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，若AD=1，BC=3，则的值为（）．C D．∴∴．15．（2010•铜仁地区）如图，小明作出了边长为1的第1个正△A1B1C1，算出了正△A1B1C1的面积．然后分别取△A1B1C1三边的中点A2、B2、C2，作出了第2个正△A2B2C2，算出了正△A2B2C2的面积．用同样的方法，作出了第3个正△A3B3C3，算出了正△A3B3C3的面积…，由此可得，第10个正△A10B10C10的面积是（）．C D．的面积是（）的面积是，则正的面积是×的面积的比也是，面积是）的面积的比是个三角形的面积是（的面积是二、填空题（共15小题）（除非特别说明，请填准确值）16．（2012•宁夏）如图，将等边△ABC沿BC方向平移得到△A 1B1C1．若BC=3，，则BB1=1．根据三角形的面积公式得出××a=PD=a∵∴×，17．（2012•嘉兴）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG丄CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF．给出以下四个结论：①；②点F是GE的中点；③AF=AB；④S△ABC=5S△BDF，其中正确的结论序号是①③．，继而证得AG=AC AB AB∴∴BD=AB=BCD==，DBE=，∵FG=AF=AC=AF=BD=AB18．（2012•长春）如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，点D在边AB上，∠ACD=∠B，则AD的长为．∴，∴，．故答案为：19．（2011•咸宁）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=4，点E在AB边上，且CE平分∠BCD，DE平分∠ADC，则点E到CD的距离为．EF=AE=BE=ABDH==4EF=2．的距离为20．（2011•台州）点D、E分别在等边△ABC的边AB、BC上，将△BDE沿直线DE翻折，使点B落在B1处，DB1、EB1分别交边AC于点F、G．若∠ADF=80°，则∠CGE=80°．21．（2011•汕头）如图（1），将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1，取△ABC 和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图（2）中阴影部分；取△A1B1C1和△1D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E 2F2，如图（3）中阴影部分；如此下去…，则正六角星形A n F n B n D n C n E n F n的面积为．=，=，．故答案为：22．（2011•曲靖）已知△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，AB=3，BC=6，AD：DB=2：1，则四边形DBFE的周长为10．∴，∴，DE=∴=，∴=，∴，×23．（2011•青岛）如图，以边长为1的正方形ABCD的边AB为对角线作第二个正方形AEBO1，再以BE为对角线作第三个正方形EFBO2，如此作下去，…，则所作的第n个正方形的面积S n=．AC=，AB=，，，=故答案为：=24．（2011•南通）如图，三个半圆依次相外切，它们的圆心都在x轴上，并与直线y=x相切．设三个半圆的半径依次为r1、r2、r3，则当r1=1时，r3=9．xy=y=25．（2011•凉山州）已知菱形ABCD的边长是8，点E在直线AD上，若DE=3，连接BE与对角线AC相交于点M，则的值是或．∴∴∴的值是或．故答案为：或26．（2011•吉林）如图，△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，连接DE，线段BE、CD相交于点O，若OD=2，则OC=4．BCBC27．（2011•黄石）有甲、乙两张纸条，甲纸条的宽度是乙纸条宽的2倍，如图，将这两张纸条交叉重叠地放在一起，重合部分为四边形ABCD．则AB与BC的数量关系为AB=2BC．∴=，即=．28．（2011•呼和浩特）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，CE是∠BCD的平分线，且CE⊥AB，E为垂足，BE=2AE，若四边形AECD的面积为1，则梯形ABCD的面积为．∴，x=，=15x=故答案为：29．（2011•贵港）如图所示，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，点F的坐标为（﹣1，1），点C的坐标为（﹣4，2），则这两个正方形位似中心的坐标是（2，0）或（﹣，）．）代入，得x+，x x+1，解得，））或（﹣，30．（2011•广东）如图（1），将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1，取△ABC 和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图（2）中阴影部分，取△A1B1C1和△D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如图（3）中阴影部分，如此下去…，则正六角星形A4F4B4D4C4E4的面积为．的面积为=，××=故答案为：。
九年级数学图形的相似带答案)
第3章图形的相似【经典例题】1.（2014湖北咸宁，6，3分）如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1∶2，点A 的坐标为(1，0)，则E点的坐标为（）．A ．(2，0)B ．(23，23)C ．(2，2)D ．(2，2)【解析】由已知得，E 点的坐标就是点A 坐标的2倍．【答案】C【点评】本题着重考查了位似图形的坐标特点，注意本题是同向位似．2.(2014山东日照，8，3分)在菱形ABCD 中，E 是BC 边上的点，连接AE 交BD 于点F, 若EC =2BE ,则FD BF 的值是（ ） A.21 B.31 C.41 D.51 解析：如图，由菱形ABCD 得AD ∥BE,，所以△BEF ∽△ADF, 又由EC =2BE ,得AD=BC=3BE ,故FD BF =AD BE =31. 解答：选B ．点评：本题主要考查了棱形的性质、相似三角形的判定与性质，正确画出图形是解题的关键.3.（2014·湖南省张家界市·10题·3分）已知ABC △与DEF △相似且面积比为4∶25，则ABC △与DEF △的相似比为 ．【分析】相似三角形相似比等于面积比的算术平方根.【解答】ABC △与DEF △的相似比为254=52. 【点评】相似三角形面积比等于相似比的平方.4.（2014山东省滨州，18，4分）如图，锐角三角形ABC 的边AB ，AC 上的高线CE 和BF 相交于点D ，请写出图中的两对相似三角形： （用相似符号连接）．【解析】（１）由于∠BDE=∠CDF ∠BED=∠CFD=90°，可得△BDE ∽△CDF 。
由于∠A=∠A ，∠AFB=∠AEC=90°，可得△ABF ∽△ACE 。
解：（1）在△BDE 和△CDF 中∠BDE=∠CDF ∠BED=∠CFD=90°，∴△BDE ∽△CDF ．（2）在△ABF 和△ACE 中，∵∠A=∠A ，∠AFB=∠AEC=90°，∴△ABF ∽△ACE ．【答案】△BDE ∽△CDF ，△ABF ∽△ACEABC D FE （第6题） yxAO C B D EF【点评】本题考查相似三角形的判定方法．三角形相似的判定方法有，AA ，AAS 、ASA 、SAS 等．5.(2014贵州黔西南州，17，3分)如图5，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，若AD=1，BC=3，△AOD 的面积为3，则△BOC 的面积为___________．【解析】由题意知AD ∥BC ，所以∠OAD=∠OCB ，∠ODA=∠OBC ，所以△OAD ∽△OCB ．又AD=1，BC=3，所以△OAD 与△OCB 的相似比为1:3，面积之比为1:9，而△AOD 的面积为3，所以△BOC 的面积为27．【答案】27．【点评】理解相似三角形的相似比与周长比、面积比之间的关系，是解决本题的关键．6.（2014贵州遵义，7,3分）如图，在△ABC 中，EF∥BC，=，S 四边形BCFE =8，则S △ABC =（ ）A ． 9B ． 10C ． 12D ． 13 解析：求出的值，推出△AEF∽△ABC，得出=，把S 四边形BCFE =8代入求出即可． 解：∵=， ∴==，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴==，∴9S △AE F =S △ABC ，∵S 四边形BCFE =8，∴9（S △ABC ﹣8）=S △ABC ，解得：S △ABC =9．故选A ．答案： A点评： 本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方，题型较好，但是一道比较容易出错的题目．7.（2014南京市，15，2）如图，在平行四边形ABCD 中，AD=10厘米，CD=6厘米，E 为AD 上一点，且BE=BC,CE=CD ，则DE= 厘米.C A E解析：△BCE 与△CDE 均为等腰三角形，且两个底角∠DEC=∠BCE ，∴△BCE ∽△CDE ，∴CD BC =DECE ,∴ 610=DE6,∴DE=3.6厘米. 答案：3.6.点评：在图形中，利用相似，得出比例式，可以求出线段的长.8.(2014山东日照，21，9分) 如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 上的一点,连结AE ，作BF ⊥AE ，垂足为H ,交CD 于F ,作CG ∥AE ,交BF 于G .(1)求证CG =BH ;(2)FC 2=BF·GF ; (3) 22ABFC =GB GF .解析：(1)可证△ABH ≌△BCG ；(2)证△CFG ∽△BFC 可得；(3)先证△B CG ∽△BFC 得BC 2=BF·BG ,结合AB=BC 可得.证明： （1）∵BF ⊥AE ，CG ∥AE , CG ⊥BF ,∴ CG ⊥BF .∵在正方形ABCD 中，∠ABH+∠CBG =90o , ∠CBG+∠BCG =90o,∠BAH+∠ABH =90o ,∴∠BAH=∠CBG, ∠ABH=∠BCG, AB=BC,∴△ABH ≌△BCG ,∴CG=BH ;(2) ∵∠BFC=∠CFG, ∠BCF=∠CGF=90 o ,∴△CFG ∽△BFC ,∴FCGF BF FC =, 即FC 2=BF ·GF ; (3) 由（2）可知，BC 2=BG ·BF ,∵AB=BC ,∴AB 2=BG ·BF , ∴22BC FC =BF BG BF FG ••=BGFGAF即22AB FC =GBGF 点评：本题考查了正方形的性质、全等三角形和相似三角形的判定与性质，解题的关键是找到全等（或相似）三角形，并找到三角形全等（或相似）的条件.9.(2014海南省，12，3分）12、如图3，在△ABC 中，∠ACB=090，CD ⊥AB ，于点D ，则图中相似三角形共有（ ）C D B AA 、1对B 、2对C 、3对D 、4对【解题思路】由射影定理可知图中相似三角形共有三对：△BDC ～△BCA ～△CDA【答案】C ．【点评】本题主要考查相似三角形基本图形中的一种，也是很重要的一种：射影定理。
中考数学专题13 图形的相似(第01期)-2019年中考真题数学试题分项汇编(解析版)
专题13 图形的相似1．（2019•常州）若△ABC～△A′B'C′，相似比为1∶2，则△ABC与△A'B′C'的周长的比为A．2∶1 B．1∶2 C．4∶1 D．1∶4【答案】B【解析】∵△ABC～△A′B'C′，相似比为1∶2，∴△ABC与△A'B′C'的周长的比为1∶2．故选B．2．（2019•兰州）已知△ABC∽△A'B'C'，AB=8，A'B'=6，则BCB'C'=A．2 B．43C．3 D．169【答案】B【解析】∵△ABC∽△A'B'C'，∴8463BC ABB C A B''''=--．故选B．3．（2019•安徽）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=12，点D在边BC上，点E在线段AD 上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G．若EF=EG，则CD的长为A．3.6 B．4 C．4.8 D．5【答案】B【解析】如图，作DH∥EG交AB于点H，则△AEG∽△ADH，∴AE EGAD DH=，∵EF⊥AC，∠C=90°，∴∠EFA=∠C=90°，∴EF∥CD，∴△AEF∽△ADC，∴AE EFAD CD=，∴EG EFDH CD=，∵EG=EF，∴DH=CD，设DH=x，则CD=x，∵BC=12，AC=6，∴BD=12-x，∵EF⊥AC，EF⊥EG，DH∥EG，∴EG∥AC∥DH，∴△BDH∽△BCA，∴DH BDAC BC=，即12612x x-=，解得，x=4，∴CD=4，故选B．4．（2019•杭州）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC上，DE∥BC，M为BC边上一点（不与点B，C重合），连接AM交DE于点N，则A．AD ANAN AE=B．BD MNMN CE=C．DN NEBM MC=D．DN NEMC BM=【答案】C【解析】∵DN∥BM，∴△ADN∽△ABM，∴DN AN BM AM=，∵NE∥MC，∴△ANE∽△AMC，∴NE ANMC AM=，∴DN NEBM MC=．故选C．5．（2019•连云港）在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形相似A．①处B．②处C．③处D．④处【答案】B【解析】帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长分别为2、，“车”、“炮”之间的距离为1，12==，∴马应该落在②的位置，故选B．6．（2019•重庆）如图，△ABO∽△CDO，若BO=6，DO=3，CD=2，则AB的长是A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C【解析】∵△ABO∽△CDO，∴BO ABDO DC=，∵BO=6，DO=3，CD=2，∴632AB=，解得AB=4．故选C．7．（2019•赤峰）如图，D、E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠ADE=∠ACB，若AD=2，AB=6，AC=4，则AE的长是A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】∵∠ADE=∠ACB，∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，∴AD AEAC AB=，即246AE=，解得AE=3，故选C．8．（2019•凉山州）如图，在△ABC中，D在AC边上，AD∶DC=1∶2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则BE∶EC=A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．2∶3【答案】B【解析】如图，过O作OG∥BC，交AC于G，∵O是BD的中点，∴G是DC的中点．又AD∶DC=1∶2，∴AD=DG=GC，∴AG∶GC=2∶1，AO∶OE=2∶1，∴S△AOB：S△BOE=2，设S △BOE =S ，S △AOB =2S ，又BO =OD ，∴S △AOD =2S ，S △ABD =4S ，∵AD ∶DC =1∶2，∴S △BDC =2S △ABD =8S ，S四边形CDOE=7S ，∴S △AEC =9S ，S △ABE =3S ，∴3193ABE AEC S BE S EC S S ===△△，故选B ． 9．（2019•常德）如图，在等腰三角形△ABC 中，AB =AC ，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC 的面积为42，则四边形DBCE 的面积是A ．20B ．22C ．24D ．26【答案】D【解析】如图，根据题意得△AFH ∽△ADE ，∴2239()()416AFH ADE S FH S DE ===△△，设S △AFH =9x ，则S △ADE =16x ，∴16x -9x =7，解得x =1，∴S △ADE =16， ∴四边形DBCE 的面积=42-16=26．故选D ．10．（2019•玉林）如图，AB ∥EF ∥DC ，AD ∥BC ，EF 与AC 交于点G ，则是相似三角形共有A ．3对B ．5对C ．6对D ．8对【答案】C【解析】图中三角形有：△AEG ，△ADC ，CFG ，△CBA ， ∵AB ∥EF ∥DC ，AD ∥BC ，∴△AEG ∽△ADC ∽CFG ∽△CBA ，共有6个组合分别为：∴△AEG ∽△ADC ，△AEG ∽CFG ，△AEG ∽△CBA ，△ADC ∽CFG ，△ADC ∽△CBA ，CFG ∽△CBA ，故选C ．11．（2019•淄博）如图，在△ABC 中，AC =2，BC =4，D 为BC 边上的一点，且∠CAD =∠B ．若△ADC 的面积为a ，则△ABD 的面积为A ．2aB ．52a C ．3aD ．72a【答案】C【解析】∵∠CAD =∠B ，∠ACD =∠BCA ，∴△ACD ∽△BCA ，∴2()ACD BCA S AC S AB =△△，即14BCA a S =△， 解得，△BCA 的面积为4a ，∴△ABD 的面积为：4a -a =3a ，故选C ．12．（2019•邵阳）如图，以点O 为位似中心，把△ABC 放大为原图形的2倍得到△A ′B ′C ′，以下说法中错误的是A ．△ABC ∽△A ′B ′C ′B ．点C 、点O 、点C ′三点在同一直线上 C ．AO ∶AA ′=1∶2D ．AB ∥A ′B ′ 【答案】C【解析】∵以点O 为位似中心，把△ABC 放大为原图形的2倍得到△A ′B ′C ′， ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′，点C 、点O 、点C ′三点在同一直线上，AB ∥A ′B ′， AO ∶OA ′=1∶2，故选项C 错误，符合题意．故选C ．13．（2019•淮安）如图，l 1∥l 2∥l 3，直线a 、b 与l 1、l 2、l 3分别相交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ．若AB =3，DE =2，BC =6，则EF =__________．【答案】4【解析】∵l 1∥l 2∥l 3，∴AB DEBC EF=，又AB =3，DE =2，BC =6，∴EF =4，故答案为：4．14．（2019•河池）如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA=2，AC=3，则ABCD=__________．【答案】2 5【解析】∵以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA=2，AC=3，∴22235 OA ABOC CD===+．故答案为：25．15．（2019•宜宾）如图，已知直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，AC=4，BC=3，则AD=__________．【答案】16 5【解析】在Rt△ABC中，AB，由射影定理得，AC2=AD·AB，∴AD=2ACAB=165，故答案为：165．16．（2019•本溪）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（4，2），B（5，0），以点O为位似中心，相似比为12，把△ABO缩小，得到△A1B1O，则点A的对应点A1的坐标为__________．【答案】（2，1）或（-2，-1）【解析】以点O为位似中心，相似比为12，把△ABO缩小，点A的坐标是A（4，2），则点A的对应点A1的坐标为（4×12，2×12）或（-4×12，-2×12），即（2，1）或（-2，-1），故答案为：（2，1）或（-2，-1）．17．（2019•烟台）如图，在直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABO的顶点坐标分别为A（-2，-1），B（-2，-3），O（0，0），△A1B1O1的顶点坐标分别为A1（1，-1），B1（1，-5），O1（5，1），△ABO与△A1B1O1是以点P为位似中心的位似图形，则P点的坐标为__________．【答案】（-5，-1）【解析】如图，P点坐标为（-5，-1）．故答案为：（-5，-1）．18．（2019•南京）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠AC B．若AD=2，BD=3，则AC的长__________．【解析】∵BC的垂直平分线MN交AB于点D，∴CD=BD=3，∴∠B=∠DCB，AB=AD+BD=5，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠DCB=∠B，∵∠A =∠A ，∴△ACD ∽△ABC ，∴AC ADAB AC=，∴AC 2=AD ×AB =2×5=10，∴AC19．（2019•吉林）在某一时刻，测得一根高为1.8 m 的竹竿的影长为3 m ，同时同地测得一栋楼的影长为90 m ，则这栋楼的高度为__________m ． 【答案】54【解析】设这栋楼的高度为h m ，∵在某一时刻，测得一根高为1.8 m 的竹竿的影长为3 m ，同时测得一栋楼的影长为60 m ， ∴1.8390h=，解得h =54（m ）．故答案为：54． 20．（2019•福建）已知△ABC 和点A '，如图．（1）以点A '为一个顶点作△A 'B 'C '，使△A 'B 'C '∽△ABC ，且△A 'B 'C '的面积等于△ABC 面积的4倍；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）设D 、E 、F 分别是△ABC 三边AB 、BC 、AC 的中点，D '、E '、F '分别是你所作的△A 'B 'C '三边A 'B '、B 'C '、C 'A '的中点，求证：△DEF ∽△D 'E 'F '．【解析】（1）作线段A 'C '=2AC 、A 'B '=2AB 、B 'C '=2BC ，得△A 'B 'C '即可所求．∵A 'C '=2AC 、A 'B '=2AB 、B 'C '=2BC ， ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′，∴2()4A B C'ABC ''S A B''S AB==△△．（2）如图，∵D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点，∴111222DE BC DF AC EF AB ===，，，∴△DEF∽△ABC同理：△D'E'F'∽△A'B'C'，由（1）可知：△ABC∽△A′B′C′，∴△DEF∽△D'E'F'．21．（2019•凉山州）如图，∠ABD=∠BCD=90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M．连接CM交DB于N．（1）求证：BD2=AD·CD；（2）若CD=6，AD=8，求MN的长．【解析】（1）∵DB平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB，且∠ABD=∠BCD=90°，∴△ABD∽△BCD，∴AD BD BD CD=，∴BD2=AD·CD．（2）∵BM∥CD，∴∠MBD=∠BDC，∴∠ADB=∠MBD，且∠ABD=90°，∴BM=MD，∠MAB=∠MBA，∴BM=MD=AM=4，∵BD2=AD·CD，且CD=6，AD=8，∴BD2=48，∴BC2=BD2-CD2=12，∴MC2=MB2+BC2=28，∴MC=∵BM ∥CD ，∴△MNB ∽△CND ，∴23BM MN CD CN ==，且MC =，∴MN =5． 22．（2019•巴中）△ABC 在边长为1的正方形网格中如图所示．①以点C 为位似中心，作出△ABC 的位似图形△A 1B 1C ，使其位似比为1∶2．且△A 1B 1C 位于点C 的异侧，并表示出A 1的坐标．②作出△ABC 绕点C 顺时针旋转90°后的图形△A 2B 2C ． ③在②的条件下求出点B 经过的路径长．【解析】①如图，△A 1B 1C 为所作，点A 1的坐标为（3，-3）． ②如图，△A 2B 2C 为所作．③OB =点B 经过的路径长=90ππ1802⋅=．23．（2019•荆门）如图，为了测量一栋楼的高度OE ，小明同学先在操场上A 处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E ；再将镜子放到C 处，然后后退到D 处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E （O ，A ，B ，C ，D 在同一条直线上），测得AC =2 m ，BD =2.1 m ，如果小明眼睛距地面髙度BF ，DG 为1.6 m ，试确定楼的高度OE ．【解析】如图，设E关于O的对称点为M，由光的反射定律知，延长GC、FA相交于点M，连接GF 并延长交OE于点H，∵GF∥AC，∴△MAC∽△MFG，∴AC MA MO FG MF MH==，即：AC OE OE OEBD MH MO OH OE BF ===++，∴21.62.1OEOE=+，∴OE=32，答：楼的高度OE为32米．24．（2019•安徽）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P为△ABC内部一点，且∠APB=∠BPC=135°．（1）求证：△PAB∽△PBC；（2）求证：PA=2PC；（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12=h2·h3．【解析】（1）∵∠ACB=90°，AB=BC，∴∠ABC=45°=∠PBA+∠PBC，又∠APB =135°，∴∠PAB +∠PBA =45°， ∴∠PBC =∠PAB ， 又∵∠APB =∠BPC =135°， ∴△PAB ∽△PBC ．（2）∵△PAB ∽△PBC ，∴PA PB ABPB PC BC ==，在Rt △ABC 中，AB =AC ，∴ABBC=∴PB PA ==，，∴PA =2PC ．（3）如图，过点P 作PD ⊥BC ，PE ⊥AC 交BC 、AC 于点D ，E ，∴PF =h 1，PD =h 2，PE =h 3， ∵∠CPB +∠APB =135°+135°=270°， ∴∠APC =90°， ∴∠EAP +∠ACP =90°，又∵∠ACB =∠ACP +∠PCD =90°， ∴∠EAP =∠PCD ， ∴Rt △AEP ∽Rt △CDP ， ∴2PE APDP PC==，即322h h =，∴h 3=2h 2，∵△PAB ∽△PBC ，∴12h AB h BC==∴12h =，∴2212222322h h h h h h ==⋅=．即h 12=h 2·h 3．25．（2019•长沙）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）．①四条边成比例的两个凸四边形相似；（__________命题） ②三个角分别相等的两个凸四边形相似；（__________命题） ③两个大小不同的正方形相似．（__________命题）（2）如图1，在四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1中，∠ABC =∠A 1B 1C 1，∠BCD =∠B 1C 1D 1，1111AB BCA B B C =11CDC D ．求证：四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1相似． （3）如图2，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 与BD 相交于点O ，过点O 作EF ∥AB 分别交AD ，BC 于点E ，F ．记四边形ABFE 的面积为S 1，四边形EFCD 的面积为S 2，若四边形ABFE 与四边形EFCD相似，求21S S 的值．【解析】（1）①四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等． ②三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例． ③两个大小不同的正方形相似．是真命题．故答案为：假，假，真． （2）如图1中，连接BD ，B 1D 1．∵∠BCD =∠B 1C 1D 1，且1111BC CDB C C D =， ∴△BCD ∽△B 1C 1D 1，∴∠CDB =∠C 1D 1B 1，∠C 1B 1D 1=∠CBD ， ∵111111AB BC CD A B B C C D ==，∴1111BD ABB D A B =， ∵∠ABC =∠A 1B 1C 1， ∴∠ABD =∠A 1B 1D 1， ∴△ABD ∽△A 1B 1D 1， ∴1111AD ABA D AB =，∠A =∠A 1，∠ADB =∠A 1D 1B 1， ∴11111111AB BC CD ADA B B C C D A D ===，∠ADC =∠A 1D 1C 1，∠A =∠A 1，∠ABC =∠A 1B 1C 1，∠BCD =∠B 1C 1D 1， ∴四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1相似． （3）∵四边形ABCD 与四边形EFCD 相似． ∴DE EFAE AB=， ∵EF =OE +OF ，∴DE OE OFAE AB+=， ∵EF ∥AB ∥CD ， ∴DE OE DE OC OF AD AB AD AB AB =-=，，∴DE DE OE OF AD AD AB AB +=+，∴2DE DEAD AE =， ∵AD =DE +AE ， ∴21DE AE AE=+，∴2AE =DE +AE ， ∴AE =DE ，∴12S S =1．祝你考试成功!祝你考试成功!。
中考压轴图形的相似问题综合(解析版)
的结论有（
）
A．①②③④
【标准答案】C
【思路点拨】
B．②③④
C．②③④⑤
D．②③⑤
①由特殊值法可判断，当点P与BD中点重合时，CM=0，显然FM≠CM；
②由SAS可证△ABP△CBP，可得AP=CP，由矩形的性质可得EF=PC=AP；
③由SSS可证△APD△CPD，可得∠DAP=∠DCP，由平行线的性质可得∠DCP=∠H，由
∴四边形GBED为平行四边形，
∴GD＝BE，
1
∵BE＝BC，
2
1
∴GD＝AD，
2
即G是AD的中点，
故②正确，
∵BG//DE，
∴∠GBP＝∠BPE，
故③正确．
∵BG//DG，AF⊥DE，
∴AF⊥BG，
∴∠ANG＝∠ADF＝90°，
∵∠GAM＝∠FAD，
∴△AGM∽△AFD，
设AG＝a，则AD＝2a，AF＝5a，
B．2个
C．3个
D．4个
【标准答案】C
【思路点拨】
1
根据正方形性质得出ADBCDC；ECDFBC；ADFDCE，证
2
ADF≌DCESAS，推出AFDDEC，求出DGF90即可判断
①；证明四边形
GBED为平行四边形，则可知②正确；由平行线的性质可得③正确；证明AGM∽AFD，
可得出SAGM：SDEC1：5.则④不正确．
D．5
【标准答案】D
【思路点拨】
①根据正方形的性质得到∠BAD=∠ADC=∠B=90°，根据旋转的性质得到∠NAD=∠BAM，
∠AND=∠AMB，根据余角的性质得到∠DAM+∠NAD=∠AND+∠NAD=90°，等量代换得
初三数学图形的相似知识精讲
初三数学图形的相似【本讲主要内容】图形的相似包括比例线段，比例性质，相似图形，相似多边形，相似多边形的性质，相似比。
【知识掌握】【知识点精析】1. 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作abcd=或a：b＝c：d。
线段a、d叫做比例外项，线段b、c叫做比例内项，线段d叫做a、b、c的第四比例项。
如果abbc=或a：b＝b：c，那么线段b叫做线段a、c的比例中项。
2. 比例性质（1）比例的基本性质如果a：b＝c：d，那么ad＝bc；如果ad＝bc，那么a：b＝c：d。
特殊地，如果a：b＝b：c，那么b2＝ac；如果b2＝ac，那么a：b＝b：c。
（2）合比性质如果abcd=，那么a bbc dd+=+；（3）分比性质如果abcda bbc dd=-=-，那么。
（4）等比性质如果abcdefmnb d f n===++++≠……（…）那么a c e mb d f nab ++++++++=……3. 形状相同的图形叫做相似图形。
4. 形状相同的多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比。
5. 相似多边形的对应角相等，对应边的比相等。
6. 如果两个多边形对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似。
【解题方法指导】例1. 已知：abcd==23，求a cb d++=___________。
分析：利用等比性质求得。
解：∵abcd =∴a cb d a b++= 又∵a b =23∴a c b d ++=23评析：等比性质可灵活运用。
例2. 已知a b m n a b a b=+-=，则____________。
分析：可由合比性质及分比性质求得。
解：∵a b m n= ∴a b b m n n+=+ a b b m n n-=- ∴a b b a b b m n n m n n+÷-=+÷- ∴a b a b m n m n+-=+- 评析：这里是由合比性质及分比性质相除得到的，体现了它的活用。
备战中考数学分点透练真题图形的相似(解析版)
第十六讲图形的相似命题点1 比例线段类型一比例的性质1．（2020 滦州）已知，则＝．【答案】【解答】解：设＝＝＝k≠0，则x＝2k，y＝3k，z＝4k，＝＝；故答案为：．类型二黄金分割2．（2021•百色）如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，∠ACB的平分线CD交AB于点D，则点D是线段AB的黄金分割点．若AC＝2，则BD＝．【答案】3﹣【解答】解：∵AB＝AC＝2，∴∠B＝∠ACB＝72°，∠A＝36°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝36°，∴∠A＝∠ACD，∴AD＝CD，∵∠CDB＝180°﹣∠B﹣∠BCD＝72°，∴∠CDB＝∠B，∴BC＝CD，∴BC＝AD，∵∠B＝∠B，∠BCD＝∠A＝36°，∴△BCD∽△BAC，∴BC：AB＝BD：BC，∴AD：AB＝BD：AD，∴点D是AB边上的黄金分割点，AD＞BD，∴AD＝AB＝﹣1，∴BD＝AB﹣AD＝2﹣（﹣1）＝3﹣，故答案为：3﹣．类型三平行线分线段成比例3．（2021•郴州）如图是一架梯子的示意图，其中AA1∥BB1∥CC1∥DD1，且AB＝BC＝CD．为使其更稳固，在A，D1间加绑一条安全绳（线段AD1）量得AE＝0.4m，则AD1＝m．【答案】1.2【解答】解：∵BB1∥CC1，∴＝，∵AB＝BC，∴AE＝EF，同理可得：AE＝EF＝FD1，∵AE＝0.4m，∴AD1＝0.4×3＝1.2（m），故答案为：1.2．命题点2 相似的基本性质4．（2019•重庆）如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，CD＝2，则AB的长是（）A．2B．3C．4D．5【答案】C【解答】解：∵△ABO∽△CDO，∴＝，∵BO＝6，DO＝3，CD＝2，∴＝，解得：AB＝4．故选：C．5.（2020•铜仁市）已知△FHB∽△EAD，它们的周长分别为30和15，且FH＝6，则EA的长为（）A．3B．2C．4D．5【答案】A【解答】解：∵△FHB和△EAD的周长分别为30和15，∴△FHB和△EAD的周长比为2：1，∵△FHB∽△EAD，∴＝2，即＝2，解得，EA＝3，故选：A．命题点3 相似三角形的判定与性质类型一A字型6．（2021•巴中）如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且＝＝，下列结论正确的是（）A．DE：BC＝1：2B．△ADE与△ABC的面积比为1：3C．△ADE与△ABC的周长比为1：2D．DE∥BC【答案】D【解答】解：∵＝＝，∴AD：AB＝AE：AC＝1：3，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴DE：BC＝1：3，故A错误；∵△ADE∽△ABC，∴△ADE与△ABC的面积比为1：9，周长的比为1：3，故B和C错误；∵△ADE∽△ABC，∴∠ADE＝∠B，∴DE∥BC．故D正确．故选：D．7．（2021•遂宁）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积是3cm2，则四边形BDEC的面积为（）A．12cm2B．9cm2C．6cm2D．3cm2【答案】B【解答】解：如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC，且＝，∴△ADE∽△ABC，∴△ADE的面积：△ABC的面积＝1：4，∴△ADE的面积：四边形BDEC的面积＝1：3，∵△ADE的面积是3cm2，∴四边形BDEC的面积是9cm2，故选：B．8．（2020•安徽）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A．若AC＝4，cos A＝，则BD的长度为（）A．B．C．D．4【答案】C【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝4，cos A＝，∴AB＝，∴，∵∠DBC＝∠A．∴cos∠DBC＝cos∠A＝，∴，故选：C．9．（2021•湘潭）如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC上的点，试添加一个条件：，使得△ADE与△ABC相似．（任意写出一个满足条件的即可）【答案】∠ADE＝∠C（答案不唯一）．【解答】解：添加∠ADE＝∠C，又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，故答案为：∠ADE＝∠C（答案不唯一）．10．（2021•南充）如图，在△ABC中，D为BC上一点，BC＝AB＝3BD，则AD：AC的值为．【答案】【解答】解：∵BC＝AB＝3BD，∴，∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△DBA，∴,∴AD:AC＝,故答案为：．11．（2021•菏泽）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝5，BC＝10，四边形EFGH 和四边形HGNM均为正方形，且点E、F、G、N、M都在△ABC的边上，那么△AEM 与四边形BCME的面积比为．【答案】1：3【解答】解：∵四边形EFGH和四边形HGNM均为正方形，∴EF＝EH＝HM，EM∥BC，∴△AEM∽△ABC，∴，∴，∴EF＝，∴EM＝5，∵△AEM∽△ABC，∴＝（）2＝，∴S四边形BCME＝S△ABC﹣S△AEM＝3S△AEM，∴△AEM与四边形BCME的面积比为1：3，故答案为：1：3．12．（2021•玉林）如图，在△ABC中，D在AC上，DE∥BC，DF∥AB．（1）求证：△DFC∽△AED；（2）若CD＝AC，求的值．【答案】（1）略（2）．【解答】（1）证明：∵DF∥AB，DE∥BC，∴∠DFC＝∠ABF，∠AED＝∠ABF，∴∠DFC＝∠AED，又∵DE∥BC，∴∠DCF＝∠ADE，∴△DFC∽△AED；（2）∵CD＝AC，∴＝由（1）知△DFC和△AED的相似比为：＝，故：＝（）2＝（）2＝．13．（2020•上海）已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE＝DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H．（1）求证：△BEC∽△BCH；（2）如果BE2＝AB•AE，求证：AG＝DF．【答案】（1）略（2）略【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝CB，∠D＝∠B，∵DF＝BE，∴△CDF≌△CBE（SAS），∴∠DCF＝∠BCE，∵CD∥BH，∴∠H＝∠DCF，∴∠H＝∠BCE，∵∠B＝∠B，∴△BEC∽△BCH．（2）证明：∵BE2＝AB•AE，∴，∵CB∥DG，∴＝，∴＝，∵BC＝AB，∴AG＝BE，∵△CDF≌△CBE，∴DF＝BE，∴AG＝DF．类型二8字型14．（2020•盐城）如图，BC∥DE，且BC＜DE，AD＝BC＝4，AB+DE＝10．则的值为．【答案】2【解答】解：∵BC∥DE，∴△ADE∽△ABC，∴＝，即＝，∴AB•DE＝16，∵AB+DE＝10，∴AB＝2，DE＝8，∴，故答案为：2．15．（2021•云南）如图，在△ABC中，点D，E分别是BC，AC的中点，AD与BE相交于点F．若BF＝6，则BE的长是．【答案】9【解答】解：如图，在△ABC中，点D，E分别是BC，AC的中点，∴DE∥AB，且DE＝AB，∴＝＝，∵BF＝6，∴EF＝3．∴BE＝BF+EF＝9．故答案为：9．16．（2021•包头）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点B作BD⊥CB，垂足为B，且BD＝3，连接CD，与AB相交于点M，过点M作MN⊥CB，垂足为N．若AC＝2，则MN的长为．【答案】．【解答】解：∵∠ACB＝90°，BD⊥CB，MN⊥CB，∴AC∥MN∥BD，∠CNM＝∠CBD，∴∠MAC＝∠MBD，∠MCA＝∠MDB＝∠CMN，∴△MAC∽△MBD，△CMN∽△CDB，∴，，∴，∴，∴MN＝．故答案为：．17．（2021•连云港）如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D．若BF＝3FE，则＝．【答案】【解答】解：如图，∵BE是△ABC的中线，∴点E是AC的中点，∴＝，过点E作EG∥DC交AD于G，∴∠AGE＝∠ADC，∠AEG＝∠C，∴△AGE∽△ADC，∴，∴DC＝2GE，∵BF＝3FE，∴，∵GE∥BD，∴∠GEF＝∠FBD，∠EGF＝∠BDF，∴△GFE∽△DFB，∴＝＝，∴，∴＝，故答案为：．18．（2020•攀枝花）三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心．如图G是△ABC的重心．求证：AD＝3GD．【答案】略【解答】证明：连接DE，∵点G是△ABC的重心，∴点E和点D分别是AB和BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AC且DE＝AC，∴△DEG∽△ACG，∴，∴，∴，∴AD＝3DG，即AD＝3GD．19．（2021•长春）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝4，BD＝8，点E在边AD上，AE＝AD，连结BE交AC于点M．（1）求AM的长．（2）tan∠MBO的值为．【答案】（1）1 （2）【解答】解：（1）在菱形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∴△AEM∽△CBM，∴＝，∵AE＝AD，∴AE＝BC，∴＝＝，∴AM＝CM＝AC＝1．（2）∵AO＝AC＝2，BO＝BD＝4，AC⊥BD，∴∠BOM＝90°，AM＝OM＝AO＝1，∴tan∠MBO＝＝．故答案为：．20．（2020•眉山）如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，点B、C、E三点在同一直线上，连接BD，AD，BD交AC于点F．（1）若AD2＝DF•DB，求证：AD＝BF；（2）若∠BAD＝90°，BE＝6．①求tan∠DBE的值；②求DF的长．【答案】（1）略（2）tan∠DBE＝＝，DF＝【解答】（1）证明：∵AD2＝DF•DB，∴＝，∵∠ADF＝∠BDA，∴△ADF∽△BDA，∴∠ABD＝∠F AD，∵△ABC，△DCE都是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACD＝60°，∴∠ACD＝∠BAF，∴△ADC≌△BF A（ASA），∴AD＝BF．（2）①解：过点D作DG⊥BE于G．∵∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，∴∠DAC＝30°，∵∠ACD＝60°，∴∠ADC＝90°，∴DC＝AC，∴CE＝BC，∵BE＝6，∴CE＝2，BC＝4，∴CG＝EG＝1，BG＝5，DG＝，∴tan∠DBE＝＝．②在Rt△BDG中，∵∠BGD＝90°，DG＝，BG＝5，∴BD＝＝＝2，∵∠ABC＝∠DCE＝60°，∴CD∥AB，∴△CDF∽△ABF，∴＝＝，∴＝，∴DF＝类型三旋转型21．（2021•黄冈）如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD．（1）求证：△ABC∽△DEC；（2）若S△ABC：S△DEC＝4：9，BC＝6，求EC的长．【答案】（1）略（2）CE＝9．【解答】证明：（1）∵∠BCE＝∠ACD．∴∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE，∴∠DCE＝∠ACB，又∵∠A＝∠D，∴△ABC∽△DEC；（2）∵△ABC∽△DEC；∴＝（）2＝，又∵BC＝6，∴CE＝9．22．（2019•凉山州）如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M．连接CM交DB于N．（1）求证：BD2＝AD•CD；（2）若CD＝6，AD＝8，求MN的长．【答案】（1）略（2）MN＝【解答】证明：（1）∵DB平分∠ADC，∴∠ADB＝∠CDB，且∠ABD＝∠BCD＝90°，∴△ABD∽△BCD∴∴BD2＝AD•CD（2）∵BM∥CD∴∠MBD＝∠BDC∴∠ADB＝∠MBD，且∠ABD＝90°∴BM＝MD，∠MAB＝∠MBA∴BM＝MD＝AM＝4∵BD2＝AD•CD，且CD＝6，AD＝8，∴BD2＝48，∴BC2＝BD2﹣CD2＝12∴MC2＝MB2+BC2＝28∴MC＝2∵BM∥CD∴△MNB∽△CND∴，且MC＝2∴MN＝类型四三垂直型23．（2021•台州）如图，点E，F，G分别在正方形ABCD的边AB，BC，AD上，AF⊥EG．若AB＝5，AE＝DG＝1，则BF＝．【答案】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝5，∠ABC＝∠BAD＝90°，∵AE＝DG＝1，∴AG＝4，∵AF⊥EG，∴∠BAF+∠AEG＝90°＝∠BAF+∠AFB，∴∠AFB＝∠AEG，∴△ABF∽△GAE，∴，∴，∴BF＝，故答案为．类型五网络中相似三角形的判定与性质24．（2020•昆明）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE（不含△ABC），使得△ADE∽△ABC（同一位置的格点三角形△ADE只算一个），这样的格点三角形一共有（）A．4个B．5个C．6个D．7个【答案】C【解答】解：如图，所以使得△ADE∽△ABC的格点三角形一共有6个．故选：C．25.（2021•临沂）如图，点A，B都在格点上，若BC＝，则AC的长为（）A．B．C．2D．3【答案】B【解答】解：方法一：作CD⊥BD于点D，作AE⊥BD于点E，如右图所示，则CD∥AE，∴△BDC∽△BEA，∴，∴＝，解得BA＝2，∴AC＝BA﹣BC＝2﹣＝，故选：B．方法二：AB＝＝＝2，∵BC＝，∴AC＝AB﹣BC＝2﹣＝，故选：B．26．（2021•恩施州）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，E为BD 与正方形网格线的交点，下列结论正确的是（）A．CE≠BD B．△ABC≌△CBD C．AC＝CD D．∠ABC＝∠CBD 【答案】D【解答】解：由图可得，BC＝＝2，CD＝＝，BD＝＝5，∴BC2+CD2＝（2）2+（）2＝25＝BD2，∴△BCD是直角三角形，∵EF∥GD，∴△BFE∽△BGD，∴，即，解得EF＝1.5，∴CE＝CF﹣EF＝4﹣1.5＝2.5，∴＝，故选项A错误；由图可知，显然△ABC和△CBD不全等，故选项B错误；∵AC＝2，CD＝，∴AC≠CD，故选项C错误；∵tan∠ABC＝＝，tan∠＝＝，∴∠ABC＝∠CBD，故选项D正确；故选：D．命题点4 相似三角形的实际应用27．（2020•绍兴）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5，且三角板的一边长为8cm．则投影三角板的对应边长为（）A．20cm B．10cm C．8cm D．3.2cm【答案】A【解答】解：设投影三角尺的对应边长为xcm，∵三角尺与投影三角尺相似，∴8：x＝2：5，解得x＝20．故选：A．28．（2021•内江）在同一时刻，物体的高度与它在阳光下的影长成正比．在某一时刻，有人测得一高为1.8m的竹竿的影长为3m，某一高楼的影长为60m，那么这幢高楼的高度是（）A．18m B．20m C．30m D．36m【答案】D【解答】解：设这幢高楼的高度为x米，依题意得：＝，解得：x＝36．故这幢高楼的高度为36米．故选：D．29．（2021•兰州）如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为5m时，标准视力表中最大的“E”字高度为72.7mm，当测试距离为3m时，最大的“E”字高度为（）A．4.36mm B．29.08mm C．43.62mm D．121.17mm【答案】C【解答】解：由题意得：CB∥DF，∴＝，∵AD＝3m，AB＝5m，BC＝72.7mm，∴＝，∴DF＝43.62（mm），故选：C．30．（2021•河北）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB＝（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【答案】C【解答】解：如图：过O作OM⊥CD，垂足为M，过O作ON⊥AB，垂足为N，∵CD∥AB，∴△CDO∽△ABO，即相似比为，∴＝，∵OM＝15﹣7＝8（cm），ON＝11﹣7＝4（cm），∴＝，∴AB＝3cm，故选：C．31．（2021•烟台）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得AB＝1米，AC＝1.6米，AE＝0.4米，那么CD为米．【答案】3【解答】解：由题意知：AB∥CD，则∠BAE＝∠C，∠B＝∠CDE，∴△ABE∽△CDE，∴，∴，∴CD＝3米，故答案为：3．32．（2021•朝阳）一数学兴趣小组去测量一棵周围有围栏保护的古树的高，在G处放置一个小平面镜，当一位同学站在F点时，恰好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时测得FG＝3m，这位同学向古树方向前进了9m后到达点D，在D处安置一高度为1m的测角仪CD，此时测得树顶A的仰角为30°，已知这位同学的眼睛与地面的距离EF＝1.5m，点B，D，G，F在同一水平直线上，且AB，CD，EF均垂直于BF，求这棵古树AB的高．（小平面镜的大小和厚度忽略不计，结果保留根号）【答案】（9+4）m．【解答】解：如图，过点C作CH⊥AB于点H，则CH＝BD，BH＝CD＝1m，由题意得：DF＝9m，∴DG＝DF﹣FG＝6（m），在Rt△ACH中，∠ACH＝30°，∵tan∠ACH＝＝tan30°＝，∴BD＝CH＝AH，∵EF⊥FB，AB⊥FB，∴∠EFG＝∠ABG＝90°．由反射角等于入射角得∠EGF＝∠AGB，∴△EFG∽△ABG，∴＝，即＝，解得：AH＝（8+4）m，∴AB＝AH+BH＝（9+4）m，即这棵古树的高AB为（9+4）m．。
备战中考数学(北师大版)专项练习图形的相似(含解析)
备战中考数学（北师大版）专项练习图形的相似（含解析）一、单选题1.如图，点G、F分别是△BCD的边BC、CD上的点，BD的延长线与GF的延长线相交于点A ，DE∥BC交GA于点E，则下列结论错误的是（）A.B.C. D.2.如图，△ABC中，D，E两点分别在AB，AC边上，且DE∥BC，假如，AC=6，那么AE的长为（）A.3B.4C.9D.123.一只蚂蚁沿直角三角形的边长爬行一周需2秒，假如将直角三角形的边长扩大1倍，那么这只蚂蚁再沿边长爬行一周需（）A.6秒B.5秒C.4秒D.3秒4.如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，若AB＝2，BC＝4，则CD的长是()A.1B.4C.3D.25.假如两个相似三角形的周长比为1：4，那么这两个三角形的相似比为（）A.1：2B.1：4C.1：8D.1：166.如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE=BF，EF=BD，且AD：DB=3：5，那么CF：CB等于（）A.3：5B.3：8C.5：8D.2：57.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且DE不行于B C，则下列条件中不能判定△ABC∽△ADE的是（）A.∠AED＝∠BB.∠ADE＝∠CC.＝D.＝8.一张等腰三角形纸片，底边长15cm，底边上的高长22.5cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（）A.第4张B.第5张C.第6张D.第7张二、填空题9.在平面直角坐标系中，点A（2，3），B（5，﹣2），以原点O为位似中心，位似比为1：2，把△ABO缩小，则点B的对应点B′的坐标是___ _____10.如图，△ABC的内接正方形EFGH中，EH∥BC，其中BC=4，高A D=6，则正方形的边长为________．11.位似图形的相似比也叫做________12.如图，矩形中，点是边的中点，交对角线于点，则与的面积比等于________．13.如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，若AD=OA，则△ABC与△DEF的面积之比为________14.如图，Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，点E为边AB上一点，AE=2，点F为线段AB上一点，且BF=3，过点E作AC的平行线交B C于点D，作直线FD交AC于点G，则FG=________．15.如图，已知图中的每个小方格差不多上边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若△ABC与△A1B1C1是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是________．16.如图是小明在建筑物AB上用激光仪测量另一建筑物CD高度的示意图，在地面点P处水平放置一平面镜，一束激光从点A射出经平面镜上的点P反射后刚好射到建筑物CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=15米，BP=20米，PD=32米，B、P、D在一条直线上，那么建筑物CD的高度是________米．三、解答题17.如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且CF=3FD，△ABE与△DEF相似吗？什么缘故？18.如图，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD=∠ABC，若AC=，AD=1，求DB的长．四、综合题19.小明利用灯光下自己的影子长度来测量路灯的高度．如图，CD和E F是两等高的路灯，相距27m，身高1.5m的小明（AB）站在两路灯之间（D、B、F共线），被两路灯同时照耀留在地面的影长BQ=4m，BP=5m．（1）小明距离路灯多远？（2）求路灯高度．20.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，点P从点A动身，以每秒4个单位长度的速度沿折线AC-CB运动，到点B停止．当点P不与△ABC的顶点重合时，过点P作其所在直角边的垂线交AB 于点Q，再以PQ为斜边作等腰直角三角形△PQR，且点R与△ABC的另一条直角边始终在PQ同侧，设△PQR与△ABC重叠部分图形的面积为S（平方单位）．点P的运动时刻为t（秒）．（1）求点P在AC边上时PQ的长，（用含t的代数式表示）；（2）求点R到AC、PQ所在直线的距离相等时t的取值范畴；（3）当点P在AC边上运动时，求S与t之间的函数关系式；（4）直截了当写出点R落在△ABC高线上时t的值．21.如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点坐标分别为A（1，2），B（7，2），C（5，6）．（1）请以图中的格点为顶点画出一个△A1B1C ，使得△A1B1C ∽△ABC ，且△A1B1C与△ABC的周长比为1：2；（每个小正方形的顶点为格点）（2）依照你所画的图形，直截了当写出顶点A1和B1的坐标.22.如图，梯形ABCD中，AB∥DC ，∠B=90°，E为BC上一点，且AE⊥ED ．若BC=12，DC=7，BE：EC=1：2，（1）求AB的长．（2）求△AED的面积答案解析部分一、单选题1.【答案】C【考点】平行线分线段成比例【解析】解答：∵DE∥BC交GA于点E ，∴，，，A，B，D正确，故选C．分析：利用平行线分线段成比例定理即可得到答案．2.【答案】B【考点】平行线分线段成比例【解析】【解答】解：∵DE∥BC，∴，又AC=6，∴AE=4，故选：B．【分析】依照平行线分线段成比例定理，得到比例式，把已知数据代入运算即可．3.【答案】C【考点】相似三角形的应用【解析】【分析】本题依照放大后的三角形与三角形相似，故可依照相似三角形的性质求解，两个相似三角形对应边之比的比值叫做相似比．【解答】直角三角形各边的长度扩大一倍，周长扩大1倍，故爬行时刻扩大一倍．故只蚂蚁再沿边长爬行一周需4秒．故选C．【点评】熟练运用相似三角形的性质．4.【答案】C【考点】相似三角形的判定与性质【解析】【分析】先由∠BAC＝90°，AD⊥BC，∠B＝∠B证得△AB D∽△CBA，再依照相似三角形的性质求得BD的长，即可求得结果。
中考数学《图形的相似》真题汇编含解析
图形的相似(29题)一、单选题1(2023·重庆·统考中考真题)如图，已知△ABC ∽△EDC ，AC :EC =2:3，若AB 的长度为6，则DE 的长度为()A.4B.9C.12D.13.5【答案】B【分析】根据相似三角形的性质即可求出．【详解】解：∵△ABC ∽△EDC ，∴AC :EC =AB :DE ，∵AC :EC =2:3，AB =6，∴2:3=6:DE ，∴DE =9，故选：B .【点睛】此题考查的是相似三角形的性质,掌握相似三角形的边长比等于相似比是解决此题的关键.2(2023·四川遂宁·统考中考真题)在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点△ABC 、△DEF 成位似关系，则位似中心的坐标为()A.-1,0B.0,0C.0,1D.1,0【答案】A【分析】根据题意确定直线AD 的解析式为：y =x +1，由位似图形的性质得出AD 所在直线与BE 所在直线x 轴的交点坐标即为位似中心，即可求解．【详解】解：由图得：A 1,2 ,D 3,4 ，设直线AD 的解析式为：y =kx +b ，将点代入得：2=k +b 4=3k +b ，解得：k =1b =1 ，∴直线AD 的解析式为：y =x +1，AD 所在直线与BE 所在直线x 轴的交点坐标即为位似中心，∴当y =0时，x =-1，∴位似中心的坐标为-1,0 ，故选：A ．【点睛】题目主要考查位似图形的性质，求一次函数的解析式，理解题意，掌握位似图形的特点是解题关键．3(2023·浙江嘉兴·统考中考真题)如图，在直角坐标系中，△ABC 的三个顶点分别为A 1,2 ,B 2,1 ,C 3,2 ，现以原点O 为位似中心，在第一象限内作与△ABC 的位似比为2的位似图形△A B C ，则顶点C 的坐标是()A.2,4B.4,2C.6,4D.5,4【答案】C【分析】直接根据位似图形的性质即可得．【详解】解：∵△ABC 的位似比为2的位似图形是△A B C ，且C 3,2 ，∴C 2×3,2×2 ，即C 6,4 ，故选：C ．【点睛】本题考查了坐标与位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．4(2023·四川南充·统考中考真题)如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退(保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上)，直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为1.6m ，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m ，镜子与旗杆的水平距离为10m ，则旗杆高度为()A.6.4mB.8mC.9.6mD.12.5m【答案】B【分析】根据镜面反射性质，可求出∠ACB =∠ECD ，再利用垂直求△ABC ∽△EDC ，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案.【详解】解：如图所示，由图可知，AB ⊥BD ，CD ⊥DE ，CF ⊥BD∴∠ABC =∠CDE =90°.∵根据镜面的反射性质，∴∠ACF =∠ECF ，∴90°-∠ACF =90°-∠ECF ，∴∠ACB =∠ECD ，∴△ABC ∽△EDC ，∴AB DE =BC CD.∵小菲的眼睛离地面高度为1.6m ，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m ，镜子与旗杆的水平距离为10m ，∴AB =1.6m ，BC =2m ，CD =10m .∴1.6DE =210.∴DE =8m .故选：B .【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性质.5(2023·安徽·统考中考真题)如图，点E 在正方形ABCD 的对角线AC 上，EF ⊥AB 于点F ，连接DE 并延长，交边BC 于点M ，交边AB 的延长线于点G ．若AF =2，FB =1，则MG =()A.23B.352C.5+1D.10【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例得出DE EM =AF FB =2，根据△ADE ∽△CME ，得出AD CM =DE EM =2，则CM =12AD =32，进而可得MB =32，根据BC ∥AD ，得出△GMB ∽△GDA ，根据相似三角形的性质得出BG =3，进而在Rt △BGM 中，勾股定理即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，AF =2，FB =1，∴AD =BC =AB =AF +FG =2+1=3，AD ∥CB ，AD ⊥AB ,CB ⊥AB ，∵EF ⊥AB ，∴AD ∥EF ∥BC∴DE EM =AFFB=2，△ADE∽△CME，∴AD CM =DEEM=2，则CM=12AD=32，∴MB=3-CM=32，∵BC∥AD，∴△GMB∽△GDA，∴BG AG =MBDA=323=12∴BG=AB=3，在Rt△BGM中，MG=MB2+BG2=322+32=352，故选：B．【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．6(2023·湖北黄冈·统考中考真题)如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BC，BD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于12EF长为半径画弧交于点P，作射线BP，过点C作BP的垂线分别交BD,AD于点M，N，则CN的长为()A.10B.11C.23D.4【答案】A【分析】由作图可知BP平分∠CBD，设BP与CN交于点O，与CD交于点R，作RQ⊥BD于点Q，根据角平分线的性质可知RQ=RC，进而证明Rt△BCR≌Rt△BQR，推出BC=BQ=4，设RQ=RC=x，则DR=CD-CR=3-x，解Rt△DQR求出QR=CR=43．利用三角形面积法求出OC，再证△OCR∽△DCN，根据相似三角形对应边成比例即可求出CN．【详解】解：如图，设BP与CN交于点O，与CD交于点R，作RQ⊥BD于点Q，∵矩形ABCD中，AB=3，BC=4，∴CD =AB =3，∴BD =BC 2+CD 2=5．由作图过程可知，BP 平分∠CBD ，∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ⊥BC ，又∵RQ ⊥BD ，∴RQ =RC ，在Rt △BCR 和Rt △BQR 中，RQ =RC BR =BR ，∴Rt △BCR ≌Rt △BQR HL ，∴BC =BQ =4，∴QD =BD -BQ =5-4=1，设RQ =RC =x ，则DR =CD -CR =3-x ，在Rt △DQR 中，由勾股定理得DR 2=DQ 2+RQ 2，即3-x 2=12+x 2，解得x =43，∴CR =43．∴BR =BC 2+CR 2=4310．∵S △BCR =12CR ⋅BC =12BR ⋅OC ，∴OC =CR ⋅BC BR =43×44310=2510．∵∠COR =∠CDN =90°，∠OCR =∠DCN ，∴△OCR ∽△DCN ，∴OC DC =CR CN ，即25103=43CN，解得CN =10．故选：A ．【点睛】本题考查角平分线的作图方法，矩形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，涉及知识点较多，有一定难度，解题的关键是根据作图过程判断出BP 平分∠CBD ，通过勾股定理解直角三角形求出CR ．7(2023·四川内江·统考中考真题)如图，在△ABC 中，点D 、E 为边AB 的三等分点，点F 、G 在边BC 上，AC ∥DG ∥EF ，点H 为AF 与DG 的交点．若AC =12，则DH 的长为()A.1B.32C.2D.3【答案】C 【分析】由三等分点的定义与平行线的性质得出BE =DE =AD ，BF =GF =CG ，AH =HF ，DH 是△AEF 的中位线，易证△BEF ∽△BAC ，得EF AC =BE AB，解得EF =4，则DH =12EF =2．【详解】解：∵D 、E 为边AB 的三等分点，EF ∥DG ∥AC ，∴BE =DE =AD ，BF =GF =CG ，AH =HF ，∴AB =3BE ，DH 是△AEF 的中位线，∴DH =12EF ，∵EF ∥AC ，∴∠BEF =∠BAC ,∠BFE =∠BCA ,∴△BEF ∽△BAC ，∴EF AC =BE AB，即EF 12=BE 3BE ，解得：EF =4，∴DH =12EF =12×4=2，故选：C ．【点睛】本题考查了三等分点的定义、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．8(2023·湖北鄂州·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，OA =OB =35，点C 为平面内一动点，BC =32，连接AC ，点M 是线段AC 上的一点，且满足CM :MA =1:2．当线段OM 取最大值时，点M 的坐标是()A.35,65B.355,655C.65,125D.655,1255 【答案】D【分析】由题意可得点C 在以点B 为圆心，32为半径的OB 上，在x 轴的负半轴上取点D -352，0 ，连接BD ，分别过C 、M 作CF ⊥OA ，ME ⊥OA ，垂足为F 、E ，先证△OAM ∽△DAC ，得OM CD =OA AD =23，从而当CD 取得最大值时，OM 取得最大值，结合图形可知当D ，B ，C 三点共线，且点B 在线段DC 上时，CD 取得最大值，然后分别证△BDO ∽△CDF ，△AEM ∽△AFC ，利用相似三角形的性质即可求解．【详解】解：∵点C 为平面内一动点，BC =32，∴点C 在以点B 为圆心，32为半径的OB 上，在x 轴的负半轴上取点D -352，0 ，连接BD ，分别过C 、M 作CF ⊥OA ，ME ⊥OA ，垂足为F 、E ，∵OA =OB =35，∴AD =OD +OA =952，∴OA AD=23，∵CM :MA =1:2，∴OA AD =23=CM AC，∵∠OAM =∠DAC ，∴△OAM ∽△DAC ，∴OM CD =OA AD=23，∴当CD 取得最大值时，OM 取得最大值，结合图形可知当D ，B ，C 三点共线，且点B 在线段DC 上时，CD 取得最大值，∵OA =OB =35，OD =352，∴BD =OB 2+OD 2=35 2+352 2=152，∴CD =BC +BD =9，∵OM CD=23，∴OM =6，∵y 轴⊥x 轴，CF ⊥OA ，∴∠DOB =∠DFC =90°，∵∠BDO =∠CDF ，∴△BDO ∽△CDF ，∴OB CF =BD CD 即35CF=1529，解得CF =1855，同理可得，△AEM ∽△AFC ，∴ME CF =AM AC =23即ME 1855=23，解得ME =1255，∴OE =OM 2-ME 2=62-1255 2=655，∴当线段OM 取最大值时，点M 的坐标是655，1255，故选：D ．【点睛】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性质、圆的一般概念以及坐标与图形，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．9(2023·山东东营·统考中考真题)如图，正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分别在边DC ，BC 上，且BF =CE ，AE 平分∠CAD ，连接DF ，分别交AE ，AC 于点G ，M ，P 是线段AG 上的一个动点，过点P 作PN ⊥AC 垂足为N ，连接PM ，有下列四个结论：①AE 垂直平分DM ；②PM +PN 的最小值为32；③CF 2=GE ⋅AE ；④S ΔADM =62．其中正确的是()A.①②B.②③④C.①③④D.①③【答案】D【分析】根据正方形的性质和三角形全等即可证明∠DAE =∠FDC ，通过等量转化即可求证AG ⊥DM ，利用角平分线的性质和公共边即可证明△ADG ≌△AMG ASA ，从而推出①的结论；利用①中的部分结果可证明△ADE ∽△DGE 推出DE 2=GE ⋅AE ，通过等量代换可推出③的结论；利用①中的部分结果和勾股定理推出AM 和CM 长度，最后通过面积法即可求证④的结论不对；结合①中的结论和③的结论可求出PM +PN 的最小值，从而证明②不对.【详解】解：∵ABCD 为正方形，∴BC =CD =AD ，∠ADE =∠DCF =90°，∵BF =CE ，∴DE =FC ，∴△ADE ≌△DCF SAS .∴∠DAE =∠FDC ,∵∠ADE =90°,∴∠ADG +∠FDC =90°，∴∠ADG +∠DAE =90°，∴∠AGD =∠AGM =90°.∵AE 平分∠CAD ，∴∠DAG =∠MAG .∵AG =AG ，∴△ADG ≌△AMG ASA .∴DG =GM ，∵∠AGD =∠AGM =90°，∴AE 垂直平分DM ，故①正确.由①可知，∠ADE =∠DGE =90°，∠DAE =∠GDE ，∴△ADE ∽△DGE ，∴DE GE=AE DE ，∴DE 2=GE ⋅AE ，由①可知DE =CF ，∴CF 2=GE ⋅AE .故③正确.∵ABCD 为正方形，且边长为4，∴AB =BC =AD =4，∴在Rt △ABC 中，AC =2AB =4 2.由①可知，△ADG ≌△AMG ASA ，∴AM =AD =4，∴CM =AC -AM =42-4.由图可知，△DMC 和△ADM 等高，设高为h ，∴S △ADM =S △ADC -S △DMC ，∴4×h 2=4×42-42-4 ⋅h 2，∴h =22，∴S △ADM =12⋅AM ⋅h =12×4×22=4 2.故④不正确.由①可知，△ADG ≌△AMG ASA ，∴DG =GM ，∴M 关于线段AG 的对称点为D ，过点D 作DN ⊥AC ，交AC 于N ，交AE 于P ，∴PM +PN 最小即为DN ，如图所示，由④可知△ADM 的高h =22即为图中的DN ，∴DN =2 2.故②不正确.综上所述，正确的是①③.故选：D .【点睛】本题考查的是正方形的综合题，涉及到三角形相似，最短路径，三角形全等，三角形面积法，解题的关键在于是否能正确找出最短路径以及运用相关知识点.10(2023·内蒙古赤峰·统考中考真题)如图，把一个边长为5的菱形ABCD 沿着直线DE 折叠，使点C 与AB 延长线上的点Q 重合．DE 交BC 于点F ，交AB 延长线于点E ．DQ 交BC 于点P ，DM ⊥AB于点M ，AM =4，则下列结论，①DQ =EQ ，②BQ =3，③BP =158，④BD ∥FQ ．正确的是()A.①②③B.②④C.①③④D.①②③④【答案】A【分析】由折叠性质和平行线的性质可得∠QDF =∠CDF =∠QEF ，根据等角对等边即可判断①正确；根据等腰三角形三线合一的性质求出MQ =AM =4，再求出BQ 即可判断②正确；由△CDP ∽△BQP 得CP BP =CD BQ=53，求出BP 即可判断③正确；根据EF DE ≠QE BE 即可判断④错误．【详解】由折叠性质可知：∠CDF =∠QDF ,CD =DQ =5，∵CD ∥AB ，∴∠CDF =∠QEF ．∴∠QDF =∠QEF ．∴DQ =EQ =5．故①正确；∵DQ =CD =AD =5，DM ⊥AB ，∴MQ =AM =4．∵MB =AB -AM =5-4=1，∴BQ =MQ -MB =4-1=3．故②正确；∵CD ∥AB ，∴△CDP ∽△BQP ．∴CP BP =CD BQ=53．∵CP +BP =BC =5，∴BP =38BC =158．故③正确；∵CD ∥AB ，∴△CDF ∽△BEF ．∴DF EF =CD BE =CD BQ +QE=53+5=58．∴EF DE =813．∵QE BE =58，∴EF DE ≠QE BE．∴△EFQ 与△EDB 不相似．∴∠EQF ≠∠EBD ．∴BD 与FQ 不平行．故④错误；故选：A ．【点睛】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，菱形的性质等知识，属于选择压轴题，有一定难度，熟练掌握相关性质是解题的关键．11(2023·黑龙江·统考中考真题)如图，在正方形ABCD中，点E,F分别是AB,BC上的动点，且AF ⊥DE，垂足为G，将△ABF沿AF翻折，得到△AMF,AM交DE于点P，对角线BD交AF于点H，连接HM,CM,DM,BM，下列结论正确的是：①AF=DE；②BM∥DE；③若CM⊥FM，则四边形BHMF是菱形；④当点E运动到AB的中点，tan∠BHF=22；⑤EP⋅DH=2AG⋅BH．()A.①②③④⑤B.①②③⑤C.①②③D.①②⑤【答案】B【分析】利用正方形的性质和翻折的性质，逐一判断，即可解答．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAE=∠ABF=90°，DA=AB，∵AF⊥DE，∴∠BAF+∠AED=90°，∵∠BAF+∠AFB=90°，∴∠AED=∠BFA，∴△ABF≌△AED AAS，∴AF=DE，故①正确，∵将△ABF沿AF翻折，得到△AMF，∴BM⊥AF，∵AF⊥DE，∴BM∥DE，故②正确，当CM⊥FM时，∠CMF=90°，∵∠AMF=∠ABF=90°，∴∠AMF+∠CMF=180°，即A,M,C在同一直线上，∴∠MCF=45°，∴∠MFC=90°-∠MCF=45°，通过翻折的性质可得∠HBF=∠HMF=45°，BF=MF，∴∠HMF=∠MFC，∠HBC=∠MFC，∴BC∥MH,HB∥MF，∴四边形BHMF是平行四边形，∵BF=MF，∴平行四边形BHMF是菱形，故③正确，当点E运动到AB的中点，如图，设正方形ABCD的边长为2a，则AE=BF=a，在Rt △AED 中，DE =AD 2+AE 2=5a =AF ，∵∠AHD =∠FHB ,∠ADH =∠FBH =45°，∴△AHD ∽△FHB ，∴FH AH =BF AD=a 2a =12，∴AH =23AF =253a ，∵∠AGE =∠ABF =90°，∴△AGF ∽△ABF ，∴AE AF =EG BF =AG AB =a 5a=55，∴EG =55BF =55a ，AG =55AB =255a ，∴DG =ED -EG =455a ，GH =AH -AG =4515a ，∵∠BHF =∠DHA ，在Rt △DGH 中，tan ∠BHF =tan ∠DHA =DG GH=3，故④错误，∵△AHD ∽△FHB ，∴BH DH=12，∴BH =13BD =13×22a =223a ，DH =23BD =23×22a =423a ，∵AF ⊥EP ，根据翻折的性质可得EP =2EG =255a ，∴EP ⋅DH =255a ⋅423a =81015a 2，2AG ⋅BH =2⋅255a ⋅223a =81015a 2，∴EP ⋅DH =2AG ⋅BH =81015a 2，故⑤正确；综上分析可知，正确的是①②③⑤．故选：B ．【点睛】本题考查了正方形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定和性质，正切的概念，熟练按照要求做出图形，利用寻找相似三角形是解题的关键．二、填空题12(2023·湖北鄂州·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，△ABC 与△A 1B 1C 1位似，原点O 是位似中心，且AB A 1B 1=3．若A 9,3 ，则A 1点的坐标是．【答案】3,1【分析】直接利用位似图形的性质得出相似比进而得出对应线段的长．【详解】解∶设A1m,n∵△ABC与△A1B1C1位似，原点O是位似中心，且ABA1B1=3．若A9,3，∴位似比为31，∴9 m =31，3n=31，解得m=3，n=1，∴A13,1故答案为：3,1.【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出相似比是解题关键．13(2023·吉林长春·统考中考真题)如图，△ABC和△A B C 是以点O为位似中心的位似图形，点A 在线段OA 上．若OA:AA =1:2，则△ABC和△A B C 的周长之比为．【答案】1:3【分析】根据位似图形的性质即可求出答案．【详解】解：∵OA:AA =1:2，∴OA:OA =1:3，设△ABC周长为l1，设△A B C 周长为l2，∵△ABC和△A B C 是以点O为位似中心的位似图形，∴l1l2=OAOA=13．∴l1:l2=1:3．∴△ABC和△A B C 的周长之比为1:3．故答案为：1:3．【点睛】本题考查了位似图形的性质，解题的关键在于熟练掌握位似图形性质．14(2023·四川乐山·统考中考真题)如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连结AC、DE 交于点F ．若AE EB =23，则S △ADF S △AEF =．【答案】52【分析】四边形ABCD 是平行四边形，则AB =CD ,AB ∥CD ，可证明△EAF ∽△DCF ，得到DF EF =CD AE =AB AE，由AE EB =23进一步即可得到答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ,AB ∥CD ，∴∠AEF =∠CDF ,∠EAF =∠DCF ，∴△EAF ∽△DCF ，∴DF EF =CD AE =AB AE ,∵AE EB =23，∴AB AE =52，∴S △ADF S △AEF =DF EF =AB AE=52．故答案为：52【点睛】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，证明△EAF ∽△DCF 是解题的关键．15(2023·江西·统考中考真题)《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺(即图中的ABC )．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点A ，B ，Q 在同一水平线上，∠ABC 和∠AQP 均为直角，AP 与BC 相交于点D ．测得AB =40cm ，BD =20cm ，AQ =12m ，则树高PQ =m ．【答案】6【分析】根据题意可得△ABD ∽△AQP ，然后相似三角形的性质，即可求解．【详解】解：∵∠ABC 和∠AQP 均为直角∴BD ∥PQ ，∴△ABD ∽△AQP ，∴BD PQ =AB AQ∵AB =40cm ，BD =20cm ，AQ =12m ，∴PQ =AQ ×BD AB=12×2040=6m ,故答案为：6．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．16(2023·四川成都·统考中考真题)如图，在△ABC 中，D 是边AB 上一点，按以下步骤作图：①以点A 为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AB ，AC 于点M ，N ；②以点D 为圆心，以AM 长为半径作弧，交DB 于点M ；③以点M 为圆心，以MN 长为半径作弧，在∠BAC 内部交前面的弧于点N ：④过点N 作射线DN 交BC 于点E ．若△BDE 与四边形ACED 的面积比为4:21，则BE CE的值为．【答案】23【分析】根据作图可得∠BDE =∠A ，然后得出DE ∥AC ，可证明△BDE ∽△BAC ，进而根据相似三角形的性质即可求解．【详解】解：根据作图可得∠BDE =∠A ，∴DE ∥AC ，∴△BDE ∽△BAC ，∵△BDE 与四边形ACED 的面积比为4:21，∴S △BDC S △BAC =421+4=BE BC2∴BE BC =25∴BE CE =23，故答案为：23．【点睛】本题考查了作一个角等于已知角，相似三角形的性质与判定，熟练掌握基本作图与相似三角形的性质与判定是解题的关键．17(2023·内蒙古·统考中考真题)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°,AC =3,BC =1，将△ABC 绕点A 逆时针方向旋转90°，得到△AB C ．连接BB ，交AC 于点D ，则AD DC的值为．【答案】5【分析】过点D 作DF ⊥AB 于点F ，利用勾股定理求得AB =10，根据旋转的性质可证△ABB 、△DFB是等腰直角三角形，可得DF =BF ，再由S △ADB =12×BC ×AD =12×DF ×AB ，得AD =10DF ，证明△AFD ∼△ACB ，可得DF BC =AF AC ，即AF =3DF ，再由AF =10-DF ，求得DF =104，从而求得AD =52，CD =12，即可求解．【详解】解：过点D 作DF ⊥AB 于点F ，∵∠ACB =90°，AC =3，BC =1，∴AB =32+12=10，∵将△ABC 绕点A 逆时针方向旋转90°得到△AB C ，∴AB =AB =10，∠BAB =90°，∴△ABB 是等腰直角三角形，∴∠ABB =45°，又∵DF ⊥AB ，∴∠FDB =45°，∴△DFB 是等腰直角三角形，∴DF =BF ，∵S △ADB =12×BC ×AD =12×DF ×AB ，即AD =10DF ，∵∠C =∠AFD =90°，∠CAB =∠FAD ，∴△AFD ∼△ACB ，∴DF BC =AF AC，即AF =3DF ，又∵AF =10-DF ，∴DF =104，∴AD =10×104=52，CD =3-52=12，∴AD CD =5212=5，故答案为：5．【点睛】本题考查旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积，熟练掌握相关知识是解题的关键．18(2023·河南·统考中考真题)矩形ABCD 中，M 为对角线BD 的中点，点N 在边AD 上，且AN =AB =1．当以点D ，M ，N 为顶点的三角形是直角三角形时，AD 的长为．【答案】2或2+1【分析】分两种情况：当∠MND =90°时和当∠NMD =90°时，分别进行讨论求解即可．【详解】解：当∠MND =90°时，∵四边形ABCD 矩形，∴∠A =90°，则MN ∥AB ，由平行线分线段成比例可得：AN ND =BM MD，又∵M 为对角线BD 的中点，∴BM =MD ，∴AN ND =BM MD=1，即：ND =AN =1，∴AD =AN +ND =2，当∠NMD =90°时，∵M 为对角线BD 的中点，∠NMD =90°∴MN 为BD 的垂直平分线，∴BN =ND ，∵四边形ABCD 矩形，AN =AB =1∴∠A =90°，则BN =AB 2+AN 2=2，∴BN =ND =2∴AD =AN +ND =2+1，综上，AD 的长为2或2+1，故答案为：2或2+1．【点睛】本题考查矩形的性质，平行线分线段成比例，垂直平分线的判定及性质等，画出草图进行分类讨论是解决问题的关键．19(2023·辽宁大连·统考中考真题)如图，在正方形ABCD 中，AB =3，延长BC 至E ，使CE =2，连接AE ，CF 平分∠DCE 交AE 于F ，连接DF ，则DF 的长为．【答案】3104【分析】如图，过F 作FM ⊥BE 于M ，FN ⊥CD 于N ，由CF 平分∠DCE ，可知∠FCM =∠FCN =45°，可得四边形CMFN 是正方形，FM ∥AB ，设FM =CM =NF =CN =a ，则ME =2-a ，证明△EFM ∽△EAB ，则FM AB=ME BE ，即a 3=2-a 3+2，解得a =34，DN =CD -CN =94，由勾股定理得DF =DN 2+NF 2，计算求解即可．【详解】解：如图，过F 作FM ⊥BE 于M ，FN ⊥CD 于N ，则四边形CMFN 是矩形，FM ∥AB ，∵CF 平分∠DCE ，∴∠FCM =∠FCN =45°，∴CM =FM ，∴四边形CMFN 是正方形，设FM =CM =NF =CN =a ，则ME =2-a ，∵FM ∥AB ，∴△EFM ∽△EAB ，∴FM AB =ME BE ，即a 3=2-a 3+2，解得a =34，∴DN =CD -CN =94，由勾股定理得DF =DN 2+NF 2=3104，故答案为：3104．【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．20(2023·广东·统考中考真题)边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上(如图)，则图中阴影部分的面积为．【答案】15【分析】根据正方形的性质及相似三角形的性质可进行求解．【详解】解：如图，由题意可知AD =DC =10,CG =CE =GF =6,∠CEF =∠EFG =90°，GH =4，∴CH =10=AD ，∵∠D =∠DCH =90°,∠AJD =∠HJC ，∴△ADJ ≌△HCJ AAS ，∴CJ =DJ =5，∴EJ =1，∵GI ∥CJ ，∴△HGI ∽△HCJ ，∴GI CJ =GH CH=25，∴GI =2，∴FI =4，∴S 梯形EJIF =12EJ +FI ⋅EF =15；故答案为：15．【点睛】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．21(2023·天津·统考中考真题)如图，在边长为3的正方形ABCD 的外侧，作等腰三角形ADE ，EA =ED =52．(1)△ADE 的面积为；(2)若F 为BE 的中点，连接AF 并延长，与CD 相交于点G ，则AG 的长为．【答案】3；13【分析】(1)过点E 作EH ⊥AD ，根据正方形和等腰三角形的性质，得到AH 的长，再利用勾股定理，求出EH 的长，即可得到△ADE 的面积；(2)延长EH 交AG 于点K ，利用正方形和平行线的性质，证明△ABF ≌△KEF ASA ，得到EK 的长，进而得到KH 的长，再证明△AHK ∽△ADG ，得到KH GD =AH AD ，进而求出GD 的长，最后利用勾股定理，即可求出AG的长．【详解】解：(1)过点E作EH⊥AD，∵正方形ABCD的边长为3，∴AD=3，∵△ADE是等腰三角形，EA=ED=52，EH⊥AD，∴AH=DH=12AD=32，在Rt△AHE中，EH=AE2-AH2=522-32 2=2，∴S△ADE=12AD⋅EH=12×3×2=3,故答案为：3；(2)延长EH交AG于点K，∵正方形ABCD的边长为3，∴∠BAD=∠ADC=90°，AB=3，∴AB⊥AD，CD⊥AD，∵EK⊥AD，∴AB∥EK∥CD，∴∠ABF=∠KEF，∵F为BE的中点，∴BF=EF，在△ABF和△KEF中，∠ABF=∠KEF BF=EF∠AFB=∠KFE，∴△ABF≌△KEF ASA，∴EK=AB=3，由(1)可知，AH=12AD，EH=2，∴KH=1，∵KH∥CD，∴△AHK∽△ADG，∴KH GD =AH AD，∴GD=2，在Rt△ADG中，AG=AD2+GD2=32+22=13，故答案为：13．【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题关键．22(2023·四川泸州·统考中考真题)如图，E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，P是对角线AC上的动点，当PE+PF取得最小值时，APPC的值是．【答案】27【分析】作点F 关于AC 的对称点F ，连接EF 交AC 于点P ，此时PE +PF 取得最小值，过点F 作AD 的垂线段，交AC 于点K ，根据题意可知点F 落在AD 上，设正方形的边长为a ，求得AK 的边长，证明△AEP ∽△KF P ，可得KP AP=2，即可解答．【详解】解：作点F 关于AC 的对称点F ，连接EF 交AC 于点P ，过点F 作AD 的垂线段，交AC 于点K ，由题意得：此时F 落在AD 上，且根据对称的性质，当P 点与P 重合时PE +PF 取得最小值，设正方形ABCD 的边长为a ，则AF =AF =23a ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠F AK =45°，∠P AE =45°，AC =2a∵F K ⊥AF ，∴∠F AK =∠F KA =45°，∴AK =223a ，∵∠F P K =∠EP A ，∴△E KP ∽△EAP ，∴F K AE =KP AP=2，∴AP =13AK =292a ，∴CP =AC -AP =792a ， ∴AP CP=27，∴当PE +PF 取得最小值时，AP PC 的值是为27，故答案为：27．【点睛】本题考查了四边形的最值问题，轴对称的性质，相似三角形的证明与性质，正方形的性质，正确画出辅助线是解题的关键．23(2023·山西·统考中考真题)如图，在四边形ABCD 中，∠BCD =90°，对角线AC ,BD 相交于点O ．若AB =AC =5,BC =6,∠ADB =2∠CBD ，则AD 的长为．【答案】973【分析】过点A 作AH ⊥BC 于点H ，延长AD ，BC 交于点E ，根据等腰三角形性质得出BH =HC =12BC =3，根据勾股定理求出AH =AC 2-CH 2=4，证明∠CBD =∠CED ，得出DB =DE ，根据等腰三角形性质得出CE =BC =6，证明CD ∥AH ，得出CD AH=CE HE ，求出CD =83，根据勾股定理求出DE =CE 2+CD 2=62+83 2=2973，根据CD ∥AH ，得出DE AD =CE CH ，即2973AD=63，求出结果即可．【详解】解：过点A 作AH ⊥BC 于点H ，延长AD ，BC 交于点E ，如图所示：则∠AHC =∠AHB =90°，∵AB =AC =5,BC =6，∴BH =HC =12BC =3，∴AH =AC 2-CH 2=4，∵∠ADB =∠CBD +∠CED ，∠ADB =2∠CBD ，∴∠CBD =∠CED ，∴DB =DE ，∵∠BCD =90°，∴DC ⊥BE ，∴CE =BC =6，∴EH =CE +CH =9，∵DC ⊥BE ，AH ⊥BC ，∴CD ∥AH ，∴△ECD ~△EHA ，∴CD AH =CE HE ，即CD 4=69，解得：CD =83，∴DE =CE 2+CD 2=62+83 2=2973，∵CD ∥AH ，∴DE AD=CE CH ，即2973AD =63，解得：AD =973．故答案为：973．【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，平行线的判定，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质．三、解答题24(2023·湖南·统考中考真题)在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AD 是斜边BC 上的高．(1)证明：△ABD ∽△CBA ；(2)若AB =6，BC =10，求BD 的长．【答案】(1)见解析(2)BD =185【分析】(1)根据三角形高的定义得出∠ADB =90°，根据等角的余角相等，得出∠BAD =∠C ，结合公共角∠B =∠B ，即可得证；(2)根据(1)的结论，利用相似三角形的性质即可求解．【详解】(1)证明：∵∠BAC =90°，AD 是斜边BC 上的高．∴∠ADB =90°，∠B +∠C =90°∴∠B +∠BAD =90°，∴∠BAD =∠C又∵∠B =∠B∴△ABD ∽△CBA ，(2)∵△ABD ∽△CBA∴AB CB =BD AB，又AB =6，BC =10∴BD =AB 2CB=3610=185．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．25(2023·湖南·统考中考真题)如图，CA ⊥AD ,ED ⊥AD ，点B 是线段AD 上的一点，且CB ⊥BE ．已知AB =8,AC =6,DE =4．(1)证明：△ABC∽△DEB．(2)求线段BD的长．【答案】(1)见解析(2)BD=3【分析】(1)根据题意得出∠A=∠D=90°,∠C+∠ABC=90°，∠ABC+∠EBD=90°，则∠C=∠EBD，即可得证；(2)根据(1)的结论，利用相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求解．【详解】(1)证明：∵AC⊥AD,ED⊥AD，∴∠A=∠D=90°,∠C+∠ABC=90°，∵CE⊥BE，∴∠ABC+∠EBD=90°，∴∠C=∠EBD，∴△ABC∽△DEB；(2)∵△ABC∽△DEB，∴AB DE =AC BD，∵AB=8,AC=6,DE=4，∴8 4=6 BD，解得：BD=3．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．26(2023·四川眉山·统考中考真题)如图，▱ABCD中，点E是AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F．(1)求证：AF=AB；(2)点G是线段AF上一点，满足∠FCG=∠FCD，CG交AD于点H，若AG=2,FG=6，求GH的长．【答案】(1)见解析(2)65【分析】(1)根据平行四边形的性质可得AB∥CD，AB=CD，证明△AEF≅△DEC ASA，推出AF= CD，即可解答；(2)通过平行四边形的性质证明GC=GF=6，再通过(1)中的结论得到DC=AB=AF=8，最后证明△AGH∽△DCH，利用对应线段比相等，列方程即可解答．【详解】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠EAF=∠D，∵E是AD的中点，∴AE=DE，∵∠AEF =∠CED ，∴△AEF ≅△DEC ASA ，∴AF =CD ，∴AF =AB ；(2)解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC =AB =AF =FG +GA =8，DC ∥FA ，∴∠DCF =∠F ，∠DCG =∠CGB ，∵∠FCG =∠FCD ，∴∠F =∠FCG ，∴GC =GF =6，∵∠DHC =∠AHG ，∴△AGH ∽△DCH ，∴GH CH =AG DC，设HG =x ,则CH =CG -GH =6-x ，可得方程x 6-x =28，解得x =65，即GH 的长为65．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练运用上述性质证明三角形相似是解题的关键．27(2023·四川凉山·统考中考真题)如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，∠CAB =∠ACB ，过点B 作BE ⊥AB 交AC 于点E ．(1)求证：AC ⊥BD ；(2)若AB =10，AC =16，求OE 的长．【答案】(1)见详解(2)92【分析】(1)可证AB =CB ，从而可证四边形ABCD 是菱形，即可得证；(2)可求OB =6，再证△EBO ∽△BAO ，可得EO BO =BO AO，即可求解．【详解】(1)证明：∵∠CAB =∠ACB ，∴AB =CB ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ．(2)解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA =12AC =8，∵AC ⊥BD ，BE ⊥AB ，∴∠AOB =∠BOE =∠ABE =90°，∴OB =AB 2-OB 2=102-82=6，∵∠EBO +∠BEO =90°，∠ABO +∠EBO =90°，∴∠BEO =∠ABO ，∴△EBO ∽△BAO ，∴EO BO =BO AO ，∴EO 6=68解得：OE =92．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定及性质，勾股定理，三角形相似的判定及性质，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键．28(2023·江苏扬州·统考中考真题)如图，点E 、F 、G 、H 分别是▱ABCD 各边的中点，连接AF 、CE 相交于点M ，连接AG 、CH 相交于点N ．(1)求证：四边形AMCN 是平行四边形；(2)若▱AMCN 的面积为4，求▱ABCD 的面积．【答案】(1)见解析(2)12【分析】(1)根据平行四边形的性质，线段的中点平分线段，推出四边形AECG ，四边形AFCH 均为平行四边形，进而得到：AM ∥CN ,AN ∥CM ，即可得证；(2)连接HG ,AC ,EF ，推出S △ANH S △ANC =HN CN=12，S △FMC S △AMC =12，进而得到S △ANH +S △FMC =12S △ANC +S △AMC =12S ▱AMCN =2，求出S ▱AFCH =S △ANH +S △FMC +S ▱AMCN =2+4=6，再根据S ▱ABCD =2S ▱AFCH ，即可得解．【详解】(1)证明：∵▱ABCD ，∴AB ∥CD ,AD ∥BC ,AB =CD ,AD =BC ，∵点E 、F 、G 、H 分别是▱ABCD 各边的中点，∴AE =12AB =12CD =CG ,AE ∥CG ，∴四边形AECG 为平行四边形，同理可得：四边形AFCH 为平行四边形，∴AM ∥CN ,AN ∥CM ，∴四边形AMCN 是平行四边形；(2)解：连接HG ,AC ,EF ，∵H ,G 为AD ,CD 的中点，∴HG ∥AC ,HG =12AC ，∴△HNG ∽△CNA ，∴HN CN =HG AC =12，∴S △ANH S △ANC =HN CN=12，同理可得：S △FMC S △AMC =12∴S △ANH +S △FMC =12S △ANC +S △AMC =12S ▱AMCN =2，∴S ▱AFCH =S △ANH +S △FMC +S ▱AMCN =2+4=6，∵AH =12AD ，∴S ▱ABCD =2S ▱AFCH =12．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质，以及三角形的中位线定理，证明三角形相似，是解题的关键．29(2023·上海·统考中考真题)如图，在梯形ABCD 中AD ∥BC ，点F ，E 分别在线段BC ，AC 上，且∠FAC =∠ADE ，AC =AD(1)求证：DE =AF(2)若∠ABC =∠CDE ，求证：AF 2=BF ⋅CE【答案】见解析【分析】(1)先根据平行线的性质可得∠DAE =∠ACF ，再根据三角形的全等的判定可得△DAE ≅△ACF ，然后根据全等的三角形的性质即可得证；(2)先根据全等三角形的性质可得∠AFC =∠DEA ，从而可得∠AFB =∠CED ，再根据相似三角形的判定可得△ABF ∼△CDE ，然后根据相似三角形的性质即可得证．【详解】(1)证明：∵AD ∥BC ，∴∠DAE =∠ACF ，在△DAE和△ACF中，∠DAE=∠ACF AD=CA∠ADE=∠CAF，∴△DAE≅△ACF ASA，∴DE=AF．(2)证明：∵△DAE≅△ACF，∴∠AFC=∠DEA，∴180°-∠AFC=180°-∠DEA，即∠AFB=∠CED，在△ABF和△CDE中，∠AFB=∠CED ∠ABF=∠CDE，∴△ABF∼△CDE，∴AF CE =BF DE，由(1)已证：DE=AF，∴AF CE =BF AF，∴AF2=BF⋅CE．【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．。
初三数学图形的相似试题答案及解析
初三数学图形的相似试题答案及解析1. 如图，小明用长为3m 的竹竿CD 做测量工具，测量学校旗杆AB 的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB=12m ，则旗杆AB 的高为 m ．【答案】9．【解析】解：由题意得，CD ∥AB ， ∴△OCD ∽△OAB ， ∴=， 即=，解得AB=9． 故答案为：9.【考点】相似三角形的应用．2. 如图，已知直线l 1∥l 2，线段AB 在直线l 1上，BC 垂直于l 1交l 2于点C ，且AB=BC ，P 是线段BC 上异于两端点的一点，过点P 的直线分别交l 2、l 1于点D 、E （点A 、E 位于点B 的两侧），满足BP=BE ，连接AP 、CE ． （1）求证：△ABP ≌△CBE ；（2）连结AD 、BD ，BD 与AP 相交于点F ．如图2． ①当=2时，求证：AP ⊥BD ；②当=n （n ＞1）时，设△PAD 的面积为S 1，△PCE 的面积为S 2，求的值．【答案】（1）证明见解析 •证明见解析 ‚n+1【解析】（1）由BC 垂直于l 1可得∠ABP=∠CBE ，由SAS 即可证明；（2）①延长AP 交CE 于点H ，由（1）及已知条件可得AP ⊥CE ，△CPD ∽△BPE ，从而有DP=PE ，得出四边形BDCE 是平行四边形，从而可得到CE//BD ，问题得证； ②由已知条件分别用S 表示出△PAD 和△PCE 的面积，代入即可． 试题解析：（1）∵BC ⊥直线l 1， ∴∠ABP=∠CBE ， 在△ABP 和△CBE 中∴△ABP ≌△CBE （SAS ）；（2）①延长AP 交CE 于点H ，∵△ABP ≌△CBE ， ∴∠PAB=∠ECB ，∴∠PAB+∠AEE=∠ECB+∠AEH=90°， ∴AP ⊥CE ，∵=2，即P 为BC 的中点，直线l 1//直线l 2， ∴△CPD ∽△BPE ，∴==，∴DP=PE ，∴四边形BDCE 是平行四边形， ∴CE//BD ， ∵AP ⊥CE ， ∴AP ⊥BD ；②∵=N∴BC=n•BP ，∴CP=（n ﹣1）•BP ， ∵CD//BE ，∴△CPD ∽△BPE ， ∴==n ﹣1，即S 2=（n ﹣1）S ，∵S △PAB =S △BCE =n•S ， ∴S △PAE =（n+1）•S ， ∵==n ﹣1，∴S 1=（n+1）（n ﹣1）•S ， ∴==n+1．【考点】1、全等三角形的性质与判定；2、相似三角形的性质与判定；3、平行四边形的性质与判定3. 如图，在□ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE=∠B ．（1）求证：△ADF ∽△DEC ；（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE 的长．【答案】(1)证明见解析；（2）6.【解析】（1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似△ADF ∽△DEC ；（2）利用△ADF ∽△DEC ，可以求出线段DE 的长度；然后在在Rt △ADE 中，利用勾股定理求出线段AE 的长度．（1）证明：∵▱ABCD ，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC．∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，∴∠AFD=∠C．在△ADF与△DEC中，∴△ADF∽△DEC．（2）∵△ADF∽△DEC，∴又∵ CD=AB=8，AD=6，AF= 4.代入求得DE="12" ，四边形ABCD是平行四边形，又∵AE⊥BC，∴ AE⊥AD，在Rt△AED中，由勾股定理可得AE=6.【考点】1.相似三角形的判定与性质；2.勾股定理；3.平行四边形的性质．4.如图1，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，且DG平分△ABC的周长，设BC=a、AC=b、AB=c．（1）求线段BG的长；（2）求证：DG平分∠EDF；（3）连接CG，如图2，若△GBD ∽△GDF，求证：BG⊥CG．【答案】（1）（b+c）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】（1）由△BDG与四边形ACDG的周长相等与BD=CD，易得BG=AC+AG，即可得BG=（AB+AC）；（2）由点D、F分别是BC、AB的中点，利用三角形中位线的性质，易得DF=AC=b，由FG=BG-BF，求得DF=FG，又由DE∥AB，即可求得∠FDG=∠EDG；（3）由△BDG与△DFG相似，∠DFG＞∠B，∠BGD=∠DGF（公共角），可得∠B=∠FDG，又由（2）得：∠FGD=∠FDG，易证得DG=BD=CD，可得B、G、C三点在以BC为直径的圆周上，由圆周角定理，即可得BG⊥CG．试题解析：（1）解：∵△BDG与四边形ACDG的周长相等，∴BD+BG+DG=AC+CD+DG+AG，∵D是BC的中点，∴BD=CD，∴BG=AC+AG，∵BG+（AC+AG）=AB+AC，∴BG=（AB+AC）=（b+c）；（2）证明：∵点D、F分别是BC、AB的中点，∴DF=AC=b，BF=AB=c，又∵FG=BG-BF=（b+c）-c=b，∴DF=FG，∴∠FDG=∠FGD，∵点D、E分别是BC、AC的中点，∴DE∥AB，∴∠EDG=∠FGD，∴∠FDG=∠EDG，即DG平分∠EDF；（3）证明：∵△BDG与△DFG相似，∠DFG＞∠B，∠BGD=∠DGF（公共角），∴∠B=∠FDG，由（2）得：∠FGD=∠FDG，∴∠FGD=∠B，∴DG=BD，∵BD=CD，∴DG=BD=CD，∴B、G、C三点在以BC为直径的圆周上，∴∠BGC=90°，即BG⊥CG．【考点】1.相似三角形的判定与性质；2.三角形中位线定理.5.平面直角坐标中，已知点O（0，0），A（0，2），B（1，0），点P是反比例函数y=﹣图象上的一个动点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q．若以点O、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似，则相应的点P共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】可以分别从△PQO∽△AOB与△PQO∽△BOA去分析，首先设点P（x，y），根据相似三角形的对应边成比例与反比例函数的解析式，联立可得方程组，解方程组即可求得点P的坐标，即可求得答案．解：∵点P在反比例函数y=﹣图象上，∴设点P（x，y），当△PQO∽△AOB时，则，又PQ=y，OQ=﹣x，OA=2，OB=1，即，即y=﹣2x，∵xy=﹣1，即﹣2x2=﹣1，∴x=±，∴点P为（，﹣）或（﹣，）；同理，当△PQO∽△BOA时，求得P（﹣，）或（，﹣）；故相应的点P共有4个．故选D．6.如图，在▱ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG ⊥AE ，垂足为G ，若BG=，则△CEF 的面积是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】首先，由于AE 平分∠BAD ，那么∠BAE=∠DAE ，由AD ∥BC ，可得内错角∠DAE=∠BEA ，等量代换后可证得AB=BE ，即△ABE 为等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出AE=2AG ，而在Rt △ABG 中，由勾股定理可求得AG 的值，即可求得AE 的长；然后，证明△ABE ∽△FCE ，再分别求出△ABE 的面积，然后根据面积比等于相似比的平方即可得到答案．解：∵AE 平分∠BAD ， ∴∠DAE=∠BAE ；又∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，∴∠BEA=∠DAE=∠BAE ， ∴AB=BE=6，∵BG ⊥AE ，垂足为G ， ∴AE=2AG ．在Rt △ABG 中，∵∠AGB=90°，AB=6，BG=， ∴AG==2， ∴AE=2AG=4； ∴S △ABE =AE•BG=×4×=．∵BE=6，BC=AD=9， ∴CE=BC ﹣BE=9﹣6=3， ∴BE ：CE=6：3=2：1． ∵AB ∥FC ，∴△ABE ∽△FCE ，∴S △ABE ：S △CEF =（BE ：CE ）2=4：1，则S △CEF =S △ABE =故选A ．7. 如图，矩形ABCD 中，以对角线BD 为一边构造一个矩形BDEF ，使得另一边EF 过原矩形的顶点C ．（1）设Rt △CBD 的面积为S 1，Rt △BFC 的面积为S 2，Rt △DCE 的面积为S 3，则S 1 S 2+S 3（用“＞”、“=”、“＜”填空）；（2）写出如图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明． 【答案】（1）= （2）△BCD ∽△CFB ∽△DEC ，证明见解析【解析】思路分析：（1）根据S 1=S 矩形BDEF ，S 2+S 3=S 矩形BDEF ，即可得出答案．（2）根据矩形的性质，结合图形可得：△BCD ∽△CFB ∽△DEC ，选择一对进行证明即可．解答：（1）解：∵S1=BD×ED，S矩形BDEF=BD×ED，∴S1=S矩形BDEF，∴S2+S3=S矩形BDEF，∴S1=S2+S3．（2）答：△BCD∽△CFB∽△DEC．证明△BCD∽△DEC；证明：∵∠EDC+∠BDC=90°，∠CBD+∠BDC=90°，∴∠EDC=∠CBD，又∵∠BCD=∠DEC=90°，∴△BCD∽△DEC．点评：本题考查了相似三角形的判定，注意掌握相似三角形的判定定理，最经常用的就是两角法，此题难度一般．8.如图，在平行四边形中，是的中点，和交于点，设△的面积为，△的面积为，则下列结论中正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵∥，∴△∽△.又∵是的中点，∴，∴：=，即．9.如图，在平行四边形中，为边延长线上的一点，且为的黄金分割点，即，交于点，已知，求的长．【答案】2【解析】∵四边形为平行四边形，∴∠∠，∠∠，∴△∽△，∴，即，∴，∴．10.已知：如图，是上一点，∥，，分别交于点，∠1=∠2，探索线段之间的关系，并说明理由.【答案】理由见解析【解析】解：. 理由：∵∥∴∠∠.又∴.又∵∴△∽△，∴即.11.如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，∠BAC的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，则与△ABD相似的三角形有（）A．3个B．2个C．1个D．0个【答案】B【解析】由∠BAE=∠EAC，∠ABC=∠AEC，得△ABD∽△AEC; 由∠BAE=∠BCE，∠ABC=∠AEC，得△ABD∽△CED.共两个.12.如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB.证明：△ADE∽△EFC．【答案】证明见解析.【解析】利用一组平行线被第三条直线所截它们的同位角相等，找到符合相似三角形的条件即可．试题解析：∵DE∥BC，EF∥AB，∴∠AED=∠ECF，∠CEF=∠EAD．∴△ADE∽△EFC．考点: 相似三角形的判定．13.如图，在△ABC中，若DE∥BC，AD=5，BD=10，DE=4，则BC的值为( )A．8B．9C．10D．12【答案】D.【解析】由DE∥BC可推出△ADE∽△ABC，所以.因为AD=5，BD=10，DE=4，所以，解得BC=12．故选D.【考点】相似三角形的判定与性质．14.已知：如图，DE∥BC，AE=5，AD=6，DB=8，则EC=______.【答案】.【解析】△ABC中，DE∥BC，应用平行线分线段成比例的性质，可解答．试题解析：∵△ABC中，DE∥BC，∴∵AD=6，DB=8，AE=5，∴，解得EC=考点: 平行线分线段成比例．15.如图，□ABCD中，E为BC延长线上一点，AE交CD于点F，若，AD=2，∠B=45°，，求CF的长．【答案】.【解析】过点A作AM⊥BE于点M．首先利用已知条件求出BE=BM+ME=3，再利用平行四边形的性质求出CE=BE-BC=1，最后通过证明△ADF∽△ECF，有相似三角形的性质即可求出CF的长．试题解析：过点A作AM⊥BE于点M．在Rt△ABM中，∵∠B=45°，，∴．∵，∴．∴EM=2．∴BE=BM+ME=3．∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=2，DC=AB=，AD∥BC．∴CE=BE-BC=1．∵AD∥BC，∴∠1=∠E，∠D=∠2．∴．∴．∵DC=，∴．考点: 1.相似三角形的判定与性质；2.平行四边形的性质；3.解直角三角形．16.阅读下面的材料：小明遇到一个问题：如图（1），在□ABCD中，点E是边BC的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G. 如果，求的值.他的做法是：过点E作EH∥AB交BG于点H，则可以得到△BAF∽△HEF.请你回答：（1）AB和EH的数量关系为，CG和EH的数量关系为，的值为 .（2）如图（2），在原题的其他条件不变的情况下，如果，那么的值为（用含a的代数式表示）.（3）请你参考小明的方法继续探究：如图（3），在四边形ABCD中，DC∥AB，点E是BC延长线上一点，AE和BD相交于点F. 如果，那么的值为（用含m，n的代数式表示）.【答案】（1）,, ；（2）；（3）.【解析】本题的设计独具匠心：由平行四边形中的一个特殊的例子出发（第1问），推广到平行四边形中的一般情形（第2问），最后再通过类比、转化到梯形中去（第3问）．各种图形虽然形式不一，但运用的解题思想与解题方法却是一以贯之：即通过构造相似三角形，得到线段之间的比例关系，这个比例关系均统一用同一条线段来表达，这样就可以方便地求出线段的比值．本题体现了初中数学的类比、转化、从特殊到一般等思想方法，有利于学生触类旁通、举一反三．（1）根据△BAF∽△HEF,可知两三角形的相似比是3:1，所以AB=3EH；由EH∥AB、CD∥AB可得EH∥CD，故△BCG∽△BEH，而E为BC的中点，所以两三角形的相似比为2:1，所以CG=2EH；由平行四边形对边相等得，AB=CD,所以.根据（1）的分析，易得.（3）本问体现“类比”与“转化”的情形，将（1）（2）问中的解题方法推广转化到梯形中，如下图所示．试题解析：解：（1）依题意，过点E作EH∥AB交BG于点H，如右图1所示．则有△ABF∽△HEF，∴,即AB=3EH∵EH∥AB、CD∥AB可得EH∥CD，∴△BCG∽△BEH，又∵E为BC的中点，∴CG=2EH；∴故填空依次为：,, .同理根据（1）可以发现：，；∴故填空为 .如上图所示，过点E作EH//AB交BD的延长线于点H，则有EH//AB//CD∵EH//CD∴△BCD∽△BEF,∴,即又∵∴∵EH//AB∴△ABF∽△EHF∴故填空为：.【考点】1、相似形综合题；2、平行四边形的性质；3、梯形；4、相似三角形的判定与性质．17.已知△ABC和△DEF相似，且△ABC的三边长为3、4、5，如果△DEF的周长为6，那么下列不可能是△DEF一边长的是（）A．1.5；B．2；C．2.5；D．3．【答案】D．【解析】∵△ABC的三边长为3、4、5，∴△ABC的周长为：3+4+5=12，∵△ABC∽△DEF，△DEF的周长为6，∴相似比为：2：1，∵△ABC的三边长为3、4、5，∴△DEF三边长分别是：1.5，2，2.5，∴△DEF边长不可能是3．故选D．【考点】相似三角形的性质．18.如图，梯形ABCD是一个拦河坝的截面图，坝高为6米．背水坡AD的坡角为，为了提高河坝的抗洪能力，防汛指挥部决定加固河坝，若坝顶CD加宽0.8米，新的背水坡EF的坡度为1：1.4．河坝总长度为500米．（1）求完成该工程需要多少立方米方土？（2）某工程队在加固600立方米土后，采用新的加固模式，这样每天加固方数是原来的2倍，结果只用11天完成了大坝加固的任务．请你求出该工程队原来每天加固多少立方米土？【答案】(1)4032，（2）300.【解析】（1）首先过点D作DG⊥AB于G，过点E作EH⊥AB于H，由CD∥AB，即可得EH=DG=6米，然后由背水坡AD的坡度i为1：1.2，新的背水坡EF的坡度为1：1.4，即可求得AG与FH的长，则可求得FA的长，则可求得梯形ADEF的面积，继而为求得该工程需要多少方土；（2）首先设原来每天加固x米，根据题意即可得方程：，解此方程即可求得答案．试题解析：（1）过点D作DG⊥AB于G，过点E作EH⊥AB于H．∵CD∥AB，∴EH=DG=6米，∵，∴AG=7.2米，∵，∴FH=8.4米，∴FA=FH+GH-AG=8.4+0.8-7.2=2（米），∴S梯形ADEF=（ED+AF）•EH=×（0.8+2）×6=8.4（平方米）．∴V=8.4×4800=4032（立方米）．（2）设原来每天加固x米，根据题意，得：去分母，得1200+4200=18x（或18x=5400），解得：x=300．检验：当x=300时，2x≠0（或分母不等于0）．∴x=300是原方程的解．答：该工程队原来每天加固300米．考点:（1）坡度；（2）一元一次方程的应用.19.如图，已知直线∥∥，，，，则．【答案】3【解析】因为直线∥∥，所以 , , .【考点】平行线分线段成比例定理。
《图形的相似》中考常考考点专题(基础篇)(专项练习)-2022-2023学年九年级数学
专题4.52 《图形的相似》中考常考考点专题（基础篇）（专项练习）一、单选题【知识点一】相似图形相关概念及性质【考点一】比例的性质✮✮线段的比（2018·甘肃陇南·中考真题）1. 已知23a b =（a ≠0，b ≠0），下列变形错误的是（ ）A. 23a b = B. 2a =3b C. 32b a = D. 3a =2b （2020·安徽阜阳·二模）2. 某零件长40厘米，若该零件在设计图上的长是2毫米，则这幅设计图的比例尺是（ ）A. 1：2000B. 1：200C. 200：1D. 2000：1【考点二】成比例线段✮✮黄金分割（2018·河北·模拟预测）3. 如图，画线段AB 的垂直平分线交AB 于点O ，在这条垂直平分线上截取OC OA =，以A 为圆心，AC 为半径画弧交AB 于点P ，则线段AP 与AB 的比是（ ）A. 2B.C.D. 2（2022·福建莆田·一模）4. P 是线段AB 上一点（AP BP >），则满足=AP BP AB AP，则称点P 是线段AB 的黄金分割点．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割点”．如图，一片树叶的叶脉AB 长度为10cm ，P 为AB 的黄金分割点（AP BP >），求叶柄BP 的长度．设cm BP x =，则符合题意的方程是（ ）A. ()21010x x -=B. ()21010x x =-C. ()21010x x -=D.()210110x x -=-【考点三】相似图形✮✮相似多边形（2021·四川成都·一模）5. 下列形状分别为正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是（ ）A. B. C. D.（2020·河北衡水·一模）6. 在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下：甲：将边长为4的菱形按图1的方式向外扩张，得到新菱形，它们的对应边间距为1，则新菱形与原菱形相似．乙：将边长为4的菱形按图2方式向外扩张，得到新菱形，每条对角线向其延长线两个方向各延伸1，则新菱形与原菱形相似；对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）．A. 两人都对B. 两人都不对C. 甲对，乙不对D. 甲不对，乙对【考点四】相似多边形的性质（2022·山东淄博·二模）7. 如图，将一张矩形纸片沿两长边中点所在的直线对折，如果得到两个矩形都与原矩形相似，则原矩形长与宽的比是（ ）A. 2：1B. 3：1C. 3：2D. （2022·湖北省直辖县级单位·一模）8. 如果两个相似多边形的周长比是2：3，那么它们的面积比为（ ）A. 2：3B. 4：9C.D. 16：81【考点五】平行线分线段成比例（2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）9. 如图，在平面直角坐标系中，C 为AOB 的OA 边上一点，:1:2AC OC ，过C 作CD OB ∥交AB 于点D ，C 、D 两点纵坐标分别为1、3，则B 点的纵坐标为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7（2020·新疆·中考真题）10. 如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，D 是AB 的中点，过点D 作BC 的平行线交AC 于点E ，作BC 的垂线交BC 于点F ，若AB ＝CE ，且△DFE 的面积为1，则BC 的长为（ ）A. 10B. 5C.D. 【知识点二】相似三角形【考点一】相似三角形的判定（2022·浙江绍兴·二模）11. 如图，如果∠BAD ＝∠CAE ，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ADE 与△ABC 相似的是（ ）A. B ＝∠DB. ∠C ＝∠AEDC. AB AD ＝DE BCD. AB AD ＝AC AE （2022·山东东营·中考真题）12. 如图，点D 为ABC 边AB 上任一点，DE BC ∥交AC 于点E ，连接BE CD 、相交于点F ，则下列等式中不成立的是（ ）A. AD AE DB EC =B. DE DF BC FC =C. DE AE BC EC =D. EF AE BF AC=【考点二】相似三角形的性质和判定➽➸求解✮✮证明（2021·山东济宁·中考真题）13. 如图，已知ABC ．（1）以点A 为圆心，以适当长为半径画弧，交AC 于点M ，交AB 于点N ．（2）分别以M ，N 为圆心，以大于12MN 的长为半径画弧，两弧在BAC ∠的内部相交于点P ．（3）作射线AP 交BC 于点D ．（4）分别以A ，D 为圆心，以大于12AD 的长为半径画弧，两弧相交于G ，H 两点．（5）作直线GH ，交AC ，AB 分别于点E ，F ．依据以上作图，若2AF =，3CE =，32BD =，则CD 的长是（ ）A. 510 B. 1 C. 94 D. 4（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校三模）14. 如图，点F 是矩形ABCD 的边CD 上一点，射线BF 交AD 的延长线于点E ，则下列结论错误的是（ ）A. ED DF EA AB =B. DE EF BC FB =C. BC BF DE BE =D. BF BC BE AE=【考点三】相似三角形的性质和判定➽➸坐标✮✮网格（2016·江苏南京·一模）15. 如图，在平面直角坐标系中，点B 、C 在y 轴上，△ABC 是等边三角形，AB=4，AC 与x 轴的交点D0），则点A 的坐标为（ ）A. （1，B. （2，C. （1）D. （，2）（2012·湖北荆门·中考真题）16. 下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC 相似的三角形所在的网格图形是（ ）A. B. C. D.【考点四】相似三角形的性质和判定➽➸动点问题（2020·山东菏泽·一模）17. 如图，在△ABC 中，AC ＝6，AB ＝4，点D ，A 在直线BC 同侧，且∠ACD ＝∠ABC ，CD ＝2，点E 是线段BC 延长线上的动点．若△DCE 和△ABC 相似，则线段CE 的长为（ ）A. 43 B. 23 C. 43或3 D. 23或4（2021·河北石家庄·九年级期中）18. 如图，在锐角三角形ABC 中，6cm AB =，12cm AC =，动点D 从点A 出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D运动的速度为1cm/s，点E运动的速度为2cm/s，如果两点同时开始运动，那么以点A，D，E为顶点的三角形与 相似时的运动时间为（）ABCA. 3s或4.8sB. 3sC. 4.5sD. 4.5s或4.8s【考点五】相似三角形的性质和判定➽➸应用举例（2022·湖北十堰·中考真题）19. 如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）可测量零件的内孔直径AB．如果OA：OC=OB：OD=3，且量得CD=3cm，则零件的厚度x为（）A. 0.3cmB. 0.5cmC. 0.7cmD. 1cm（2020·山西·中考真题）20. 泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度。
2023年中考数学一轮专题练习 图形的相似(含解析)
2023年中考数学一轮专题练习 ——图形的相似3一、单选题（本大题共11小题）1. （云南省2022年）如图，在ABC 中，D 、E 分别为线段BC 、BA 的中点，设ABC的面积为S 1，EBD 的面积为S 2．则21S S =（ ）A ．12 B ．14 C ．34 D ．782. （广西百色市2022年）已知△ABC 与△A 1B 1C 1是位似图形，位似比是1：3，则△ABC 与△A 1B 1C 1的面积比（ ）A ．1 ：3B ．1：6C ．1：9D ．3：1 3. （广西贺州市2022年）如图，在ABC 中，25DE BC DE BC ==∥，，，则:ADE ABC S S 的值是（ ）A ．325B ．425C ．25D ．35 4. （广西贺州市2022年）某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”， “沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）．“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成．某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是6cm ，高是6cm ；圆柱体底面半径是3cm ，液体高是7cm ．计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为（ ）A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm5. （广西梧州市2022年）如图，以点O 为位似中心，作四边形ABCD 的位似图形''''A B C D ﹐已知'13OAOA ，若四边形ABCD 的面积是2，则四边形''''A B C D 的面积是（ ）A ．4B ．6C ．16D ．186. （贵州省毕节市2022年）矩形纸片ABCD 中，E 为BC 的中点，连接AE ，将ABE △沿AE 折叠得到AFE △，连接CF ．若4AB =，6BC =，则CF 的长是（ ）A ．3B ．175C ．72D ．1857. （贵州省贵阳市2022年）如图，在ABC 中，D 是边上的点，，，则与的周长比是（）AB B ACD ∠=∠:1:2AC AB =ADC ACB △A ．B ．C ． D．8. （海南省2022年）如图，点(0,3)(1,0)A B 、，将线段AB 平移得到线段DC ，若90,2ABCBC AB ∠=︒=，则点D 的坐标是（ ）A ．(7,2)B ．(7,5)C ．(5,6)D ．(6,5)9. （浙江省金华市2022年）如图是一张矩形纸片ABCD ，点E 为AD 中点，点F 在BC 上，把该纸片沿EF 折叠，点A ，B 的对应点分别为A B A E '''，，与BC 相交于点G ，B A ''的延长线过点C ．若23BF GC =，则AD AB的值为（ ）A ．B ．C ．207D ．8310. （黑龙江省哈尔滨市2022年）如图，相交于点E ，，则的长为（ ）A ．32B ．4C ．D ．611. （黑龙江省省龙东地区2022年）如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点F 是CD 上一点，OE OF ⊥交BC 于点E ，连接AE ，BF 交于点P ，连接OP ．则下列结论：①AE BF ⊥；②45OPA ∠=︒；③AP BP -=；④若:2:3BE CE =，则4tan 7CAE ∠=；⑤四边形OECF 的面积是正方形ABCD 面积的14．其中正确的结论是（ ） 1:21:31:4,,AB CD AC BD ∥1,2,3AE EC DE ===BD 92A ．①②④⑤B ．①②③⑤C ．①②③④D ．①③④⑤二、填空题（本大题共11小题）12. （浙江省湖州市2022年）如图，已知在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，DE BC ∥，13AD AB =．若DE ＝2，则BC 的长是 ．13. （浙江省温州市2022年）如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M 在旋转中心O 的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片,OA OB ，此时各叶片影子在点M 右侧成线段CD ，测得8.5m,13m MC CD ==，垂直于地面的木棒EF 与影子FG 的比为2∶3，则点O ，M 之间的距离等于 米．转动时，叶片外端离地面的最大高度等于 米．14. （北京市2022年）如图，在矩形ABCD 中，若13,5,4AF AB AC FC ===，则AE 的长为 ．15. （江苏省泰州市2022年）如图上，Δ,90,8,6,ABC C AC BC ∠===中O 为内心，过点O 的直线分别与AC 、AB 相交于D 、E ，若DE=CD+BE ，则线段CD 的长为 .16. （山东省潍坊市2022年）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A B C D ''''，若:2:1A B AB =''，则四边形A B C D ''''的外接圆的周长为 ．17. （陕西省2022年）在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做EF 将矩形窗框ABCD 分为上下两部分，其中E 为边AB 的黄金分割点，即2BE AE AB =⋅．已知AB 为2米，则线段BE 的长为 米．18. （浙江省丽水市2022年）一副三角板按图1放置，O 是边()BC DF 的中点，12cm BC =．如图2，将ABC 绕点O 顺时针旋转60︒，AC 与EF 相交于点G ，则FG 的长是 cm ．ABCD19. （浙江省杭州市2022年）某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB 的高度，把标杆DE 直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC =8.72m ，EF =2.18m ．已知B ，C ，E ，F 在同一直线上，AB ⊥BC ，DE ⊥EF ，DE =2.47m ，则AB = m ．20. （黑龙江省省龙东地区2022年）在矩形ABCD 中，9AB =，12AD =，点E 在边CD 上，且4CE =，点P 是直线BC 上的一个动点．若APE 是直角三角形，则BP 的长为 ．21. （江苏省宿迁市2022年）如图，在矩形ABCD 中，AB =6，BC =8，点M 、N 分别是边AD 、BC 的中点，某一时刻，动点E 从点M 出发，沿MA 方向以每秒2个单位长度的速度向点A 匀速运动；同时，动点F 从点N 出发，沿NC 方向以每秒1个单位长度的速度向点C 匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接EF ，过点B 作EF 的垂线，垂足为H ．在这一运动过程中，点所经过的路径长是 ．22. （安徽省2022年）如图，四边形ABCD 是正方形，点E 在边AD 上，△BEF 是以E 为直角顶点的等腰直角三角形，EF ，BF 分别交CD 于点M ，N ，过点F 作AD 的垂线交AD 的延长线于点G ．连接DF ，请完成下列问题：H（1）FDG ∠= °；（2）若1DE =，DF =MN = ．三、解答题（本大题共8小题）23. （湖南省常德市2022年）在四边形ABCD 中，BAD ∠的平分线AF 交BC 于F ，延长AB 到E 使BE FC =，G 是AF 的中点，GE 交BC 于O ，连接GD ．(1)当四边形ABCD 是矩形时，如图，求证：①GE GD =；②BO GD GO FC ⋅=⋅．(2)当四边形ABCD 是平行四边形时，如图，（1）中的结论都成立，请给出结论②的证明．24. （湖北省武汉市2022年）问题提出：如图（1），ABC 中，AB AC =，D 是AC 的中点，延长BC 至点E ，使DE DB =，延长ED 交AB 于点F ，探究AF AB的值．(1)先将问题特殊化．如图（2），当60BAC ∠=︒时，直接写出AF AB的值； (2)再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．问题拓展：如图（3），在ABC 中，AB AC =，D 是AC 的中点，G 是边BC 上一点，()12CG n BC n=<，延长BC 至点E ，使DE DG =，延长ED 交AB 于点F ．直接写出AF AB的值（用含n 的式子表示）． 25. （甘肃省金昌市2022年）如图，AB 是O 的直径，AM 和BN 是它的两条切线，过O 上一点E 作直线DC ，分别交AM 、BN 于点D 、C ，且DA ＝DE ．（1）求证：直线CD 是O 的切线；（2）求证：2OA DE CE =⋅26. （湖北省宜昌市2022年）已知菱形ABCD 中，E 是边AB 的中点，F 是边AD 上一点．(1)如图1，连接CE ，CF ．CE AB ⊥，CF AD ⊥．①求证：CE CF =；②若2AE =，求CE 的长；(2)如图2，连接CE ，EF ．若3AE =，24EF AF ==，求CE 的长．27. （浙江省温州市2022年）如图1，AB 为半圆O 的直径，C 为BA 延长线上一点，CD 切半圆于点D ，BE CD ⊥，交CD 延长线于点E ，交半圆于点F ，已知5,3BC BE ==．点P ，Q 分别在线段AB BE ,上（不与端点重合），且满足54AP BQ =．设,BQ x CP y ==．(1)求半圆O 的半径．(2)求y 关于x 的函数表达式．(3)如图2，过点P 作PR CE ⊥于点R ，连结,PQ RQ ．①当PQR 为直角三角形时，求x 的值．②作点F 关于QR 的对称点F '，当点F '落在BC 上时，求CF BF ''的值． 28. （江苏省泰州市2022年）已知：△ABC 中，D 为BC 边上的一点.(1)如图①，过点D 作DE ∥AB 交AC 边于点E ，若AB =5，BD =9，DC =6，求DE 的长；(2)在图②，用无刻度的直尺和圆规在AC 边上做点F ，使∠DFA =∠A ；（保留作图痕迹，不要求写作法）(3)如图③，点F 在AC 边上，连接BF 、DF ，若∠DFA =∠A ，△FBC 的面积等于12CD AB •，以FD 为半径作⊙F ，试判断直线BC 与⊙F 的位置关系，并说明理由. 29. （江苏省苏州市2022年）（1）如图1，在△ABC 中，2ACB B ∠=∠，CD 平分ACB ∠，交AB 于点D ，DE //AC ，交BC 于点E ．①若1DE =，32BD =，求BC 的长； ②试探究AB BE AD DE-是否为定值．如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．（2）如图2，CBG ∠和BCF ∠是△ABC 的2个外角，2BCF CBG ∠=∠，CD 平分BCF ∠，交AB 的延长线于点D ，DE //AC ，交CB 的延长线于点E ．记△ACD 的面积为1S ，△CDE 的面积为2S ，△BDE 的面积为3S ．若2132916S S S ⋅=，求cos CBD ∠的值．30. （浙江省湖州市2022年）已知在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，a ，b 分别表示∠A ，∠B 的对边，a b >．记△ABC 的面积为S ．(1)如图1，分别以AC ，CB 为边向形外作正方形ACDE 和正方形BGF C ．记正方形ACDE 的面积为1S ，正方形BGFC 的面积为2S ．①若19S =，216S =，求S 的值；②延长EA 交GB 的延长线于点N ，连结FN ，交BC 于点M ，交AB 于点H ．若FH ⊥AB （如图2所示），求证：212S S S -=．(2)如图3，分别以AC ，CB 为边向形外作等边三角形ACD 和等边三角形CBE ，记等边三角形ACD 的面积为1S ，等边三角形CBE 的面积为2S ．以AB 为边向上作等边三角形ABF （点C 在△ABF 内），连结EF ，CF ．若EF ⊥CF ，试探索21S S 与S 之间的等量关系，并说明理由．参考答案1. 【答案】B【分析】先判定EBD ABC ，得到相似比为12，再根据两个相似三角形的面积比等于相似比的平方，据此解题即可．【详解】解：∵D 、E 分别为线段BC 、BA 的中点， ∴12BE BD AB BC ==， 又∵B B ∠=∠， ∴EBD ABC ，相似比为12， ∴22114S BE S AB ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 故选：B ．2. 【答案】C【分析】根据位似图形的面积比等于位似比的平方，即可得到答案．【详解】∵△ABC 与△A 1B 1C 1是位似图形，位似比是1：3，∴△ABC 与△A 1B 1C 1的面积比为1：9，故选：C ．3. 【答案】B【分析】根据相似三角形的判定定理得到ADE ABC ，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．【详解】解：25DE BC DE BC ==∥，，∴ADE ABC ， ∴2224525ADE ABC S DE S BC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选：B ．4. 【答案】B【分析】由圆锥的圆锥体底面半径是6cm ，高是6cm ，可得CD =DE ，根据园锥、圆柱体积公式可得液体的体积为63πcm 3，圆锥的体积为72πcm 3，设此时“沙漏”中液体的高度AD =x cm ，则DE =CD =（6-x ）cm ，根据题意，列出方程，即可求解．【详解】解：如图，作圆锥的高AC ，在BC 上取点E ，过点E 作DE ⊥AC 于点D ，则AB =6cm ，AC =6cm ，∴△ABC 为等腰直角三角形，∵DE ∥AB ，∴△CDE ∽△CAB ，∴△CDE 为等腰直角三角形，∴CD =DE ，圆柱体内液体的体积为：圆锥的体积为， 设此时“沙漏”中液体的高度AD =x cm ，则DE =CD =（6-x ）cm ，∴， ∴，解得：x =3，即此时“沙漏”中液体的高度3cm ．故选：B ．5. 【答案】D【分析】两图形位似必相似，再由相似的图形面积比等于相似比的平方即可求解．【详解】解：由题意可知，四边形与四边形相似，由两图形相似面积比等于相似比的平方可知：， 又四边形的面积是2，∴四边形的面积为18，故选：D ．6. 【答案】D【分析】 连接BF 交AE 于点G ，根据对称的性质，可得AE 垂直平分BF ，BE =FE ，BG =FG =12BF ，根据E 为BC 中点，可证BE =CE =EF ，通过等边对等角可证明∠BFC =90°，利233763cm ππ⨯⨯=2316672cm 3ππ⨯⨯=21(6)(6)72633x x πππ⋅-⋅-=-3(6)27x -=ABCD ''''A B C D ''''22'1139ABCD A B C D S OA S OA ABCD ''''A B C D用勾股定理求出AE，再利用三角函数（或相似）求出BF，则根据FC=算即可．【详解】连接BF，与AE相交于点G，如图，∵将ABE△沿AE折叠得到AFE△∴ABE△与AFE△关于AE对称∴AE垂直平分BF，BE=FE，BG=FG=12 BF∵点E是BC中点∴BE=CE=DF=13 2BC=∴5 AE=∵sinBE BG BAEAE AB ∠==∴341255BE ABBGAE⋅⨯===∴1224 2225 BF BG==⨯=∵BE=CE=DF∴∠EBF=∠EFB，∠EFC=∠ECF∴∠BFC=∠EFB+∠EFC=18090 2︒=︒∴185FC故选 D7. 【答案】B【分析】先证明△ACD∽△ABC，即有，则可得，问题得解．【详解】∵∠B=∠ACD，∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，12AC AD CDAB AC BC===12AC AD CDAB AC BC++=++AC AD CDAB AC BC==∵， ∴， ∴， ∴△ADC 与△ACB 的周长比1:2，故选：B ．8. 【答案】D【分析】先过点C 做出轴垂线段CE ，根据相似三角形找出点C 的坐标，再根据平移的性质计算出对应D 点的坐标．【详解】如图过点C 作轴垂线，垂足为点E ，∵∴∵∴在和BCE ∆中，90ABO BCE AOB BEC =⎧⎨==︒⎩∠∠∠∠ ， ∴ABO BCE ∆∆∽，∴ ， 则 ,22EC OB ==∵点C 是由点B 向右平移6个单位，向上平移2个单位得到，∴点D 同样是由点A 向右平移6个单位，向上平移2个单位得到，∵点A 坐标为(0，3)，∴点D 坐标为(6，5)，选项D 符合题意，故答案选D9. 【答案】A【分析】12AC AB =12AC AD CD AB AC BC ===12AC AD CD AC AD CD AB AC BC AB AC BC ++====++x x 90ABC ∠=︒90ABO CBE ∠+∠=︒90CBE BCE +=︒∠ABO BCE ABO ∆12AB AO OB BC BE EC ===26BE AO ==令BF =2x ，CG =3x ，FG =y ，易证CGA CFB ''△∽△，得出CG A G CF B F'='，进而得出y =3x ，则AE =4x ，AD =8x ，过点E 作EH ⊥BC 于点H ，根据勾股定理得出EH=，最后求出AD AB的值． 【详解】解：过点E 作EH ⊥BC 于点H ，又四边形ABCD 为矩形，∴∠A =∠B =∠D =∠BCD =90°，AD =BC ，∴四边形ABHE 和四边形CDEH 为矩形，∴AB =EH ，ED =CH ， ∵23BF GC =， ∴令BF =2x ，CG =3x ，FG =y ，则CF =3x +y ，2B F x '=，52x y A G -'=， 由题意，得==90CA G CB F ''︒∠∠，又为公共角，∴，∴， 则，整理，得，解得x =-y （舍去），y =3x ，∴AD =BC =5x +y =8x ，EG =3x ，HG =x ，在Rt △EGH 中EH 2+HG 2=EG 2，则EH 2+x 2=(3x )2，解得EH =， EH =-(舍)，∴AB =x ，∴．故选：A ．GCA '∠CGA CFB ''△∽△CG AG CF B F'='53232x yx x y x-=+()()30x y x y +-=AD AB ==10. 【答案】C【分析】根据相似三角形对应边长成比例可求得BE 的长，即可求得BD 的长．【详解】∵∴∴ ∵， ∴∵∴ 故选：C ．11. 【答案】B【分析】分别对每个选项进行证明后进行判断：①通过证明得到EC =FD ，再证明得到∠EAC =∠FBD ，从而证明∠BPQ =∠AOQ =90°，即；②通过等弦对等角可证明；③通过正切定义得，利用合比性质变形得到，再通过证明AOP AEC ∽得到OP AE CE AO ⋅=，代入前式得OP AE BP AP BP AO BE⋅⋅-=⋅，最后根据三角形面积公式得到AE BP AB BE ⋅=⋅，整体代入即可证得结论正确；④作EG ⊥AC 于点G 可得EG ∥BO ，根据tan EG EG CAE AG AC CG∠==-，设正方形边长为5a ，分别求出EG 、AC 、CG 的长，可求出3tan 7CAE ∠=，结论错误；⑤将四边形OECF 的面积分割成两个三角形面积，利用()DOF COE ASA ≌，可证明S 四边形OECF =S △COE +S △COF = S △DOF +S △COF =S △COD 即可证明结论正确．【详解】①∵四边形ABCD 是正方形，O 是对角线AC 、BD 的交点，∴OC =OD ，OC ⊥OD ，∠ODF =∠OCE =45°∵OE OF ⊥∴∠DOF +∠FOC =∠FOC +∠EOC =90°∴∠DOF =∠EOC在△DOF 与△COE 中//AB CD ABE CDE ∽AE BE EC DE=1,2,3AE EC DE ===32BE =BD BE ED =+92BD =()DOF COE ASA ≌()EAC FBD SAS ≌AE BF ⊥45OPA OBA ∠=∠=︒tan BE BP BAE AB AP ∠==CE BP AP BP BE ⋅-=ODF OCE OC ODDOF EOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()DOF COE ASA ≌∴EC =FD∵在△EAC 与△FBD 中45EC FD ECA FDB AC BD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴()EAC FBD SAS ≌∴∠EAC =∠FBD又∵∠BQP =∠AQO∴∠BPQ =∠AOQ =90°∴AE ⊥BF所以①正确；②∵∠AOB =∠APB =90°∴点P 、O 在以AB 为直径的圆上 ∴AO 是该圆的弦∴45OPA OBA ∠=∠=︒所以②正确； ③∵tan BE BP BAE AB AP ∠== ∴AB AP BE BP = ∴AB BE AP BP BE BP --= ∴AP BP CE BP BE-= ∴CE BP AP BP BE⋅-= ∵,45EAC OAP OPA ACE ∠=∠∠=∠=︒ ∴∴ ∴ ∴ ∵1122ABE AE BP AB BE S⋅=⋅= ∴AE BP AB BE ⋅=⋅∴OP AB BE AB AP BP OP AO BE AO⋅⋅-==⋅ 所以③正确；AOP AEC ∽OP AO CE AE =OP AE CE AO⋅=OP AE BP AP BP AO BE ⋅⋅-=⋅④作EG ⊥AC 于点G ，则EG ∥BO ， ∴EG CE CG OB BC OC== 设正方形边长为5a ，则BC =5a ，OB =OC， 若:2:3BE CE =，则23BE CE =， ∴233BE CE CE ++= ∴35CE BC =∴35CE EG OB BC =⋅= ∵EG ⊥AC ，∠ACB =45°，∴∠GEC =45°∴CG =EG∴3tan 7EG EG CAE AG AC CG ∠===- 所以④错误；⑤∵()DOF COE ASA ≌，S 四边形OECF =S △COE +S △COF ∴S 四边形OECF = S △DOF +S △COF = S △COD ∵S △COD =∴S 四边形OECF =所以⑤正确；综上，①②③⑤正确，④错误， 故选 B12. 【答案】6【分析】根据相似三角形的性质可得，再根据DE =2，进而得到BC 长． 【详解】 14ABCD S 正方形14ABCD S正方形13DE AD BC AB ==解：根据题意，∵，∴△ADE ∽△ABC ，∴， ∵DE ＝2， ∴， ∴；故答案为：6．13. 【答案】 10 ；10【分析】过点O 作AC 、BD 的平行线，交CD 于H ，过点O 作水平线OJ 交BD 于点J ，过点B 作BI ⊥OJ ，垂足为I ，延长MO ，使得OK ＝OB ，求出CH 的长度，根据23EF OM FG MH ==，求出OM 的长度，证明BIO JIB ∽，得出23BI IJ =，49OI IJ =，求出IJ 、BI 、OI 的长度，用勾股定理求出OB 的长，即可算出所求长度．【详解】如图，过点O 作AC 、BD 的平行线，交CD 于H ，过点O 作水平线OJ 交BD 于点J ，过点B 作BI ⊥OJ ，垂足为I ，延长MO ，使得OK ＝OB ，由题意可知，点O 是AB 的中点，∵OH AC BD ，∴点H 是CD 的中点，∵13m CD =， ∴1 6.5m 2CH HD CD ===， ∴8.5 6.515m MH MC CH =+=+=，又∵由题意可知：23EF OM FG MH ==， ∴2153OM =，解得10m =OM ， ∴点O 、M 之间的距离等于10m ，∵BI ⊥OJ ，∴90BIO BIJ ∠=∠=︒，∵由题意可知：90OBJ OBI JBI ∠=∠+∠=︒，又∵90BOI OBI ∠+∠=︒，∴BOI JBI ∠=∠，∴BIO JIB ∽，DE BC ∥13DE AD BC AB ==213BC =6BC =∴23BI OI IJ BI ==， ∴，， ∵， ∴四边形IHDJ 是平行四边形，∴，∵， ∴，，，∵在中，由勾股定理得：，∴，∴，∴，∴叶片外端离地面的最大高度等于，故答案为：10，14. 【答案】1【分析】根据勾股定理求出BC ，以及平行线分线段成比例进行解答即可．【详解】解：在矩形ABCD 中：AD BC ∥，90ABC ∠=︒，∴14AE AF BC FC ==，4BC ==， ∴144AE =， ∴1AE =，故答案为：1．15. 【答案】2或##或2 23BI IJ =49OI IJ =,OJCD OH DJ 6.5m OJ HD ==4 6.5m 9OJ OI IJ IJ IJ =+=+=4.5m IJ =3m BI =2m OI =Rt OBI △222OB OI BI =+OB =OB OK ==(10m MK MO OK =+=(10m 101212【分析】分析判断出符合题意的DE 的情况，并求解即可；【详解】解：①如图，作，，连接OB ，则OD ⊥AC ，∵，∴∵O 为的内心，∴，∴∴，同理，，∴DE=CD+BE ，∵O 为的内心，∴，∴∴∴②如图，作，由①知，，，∵∴ ∴ ∴1061582AB AE AD AC ⋅⨯=== //DE BC OF BC OG AB ⊥⊥，//DE BC OBF BOE ∠=∠ABC ∆OBF OBE ∠=∠BOE OBE ∠=∠BE OE =CD OD=10AB =ABC ∆OF OD OG CD ===BF BG AD AG ==，6810AB BG AG BC CD AC CD CD CD =+=-+-=-+-=2CD =DE AB⊥4BE =6AE =ACB AED CAB EAD ∠=∠∠=∠，ABCADE ∆∆AB AD AC AE=∴151822CD AC AD =-=-=∵92DE == ∴19422DE BE CD =+=+= ∴12CD = 故答案为：2或12．16. 【答案】【分析】根据正方形ABCD 的面积为4，求出，根据位似比求出，周长即可得出；【详解】解：正方形ABCD 的面积为4，，，，所求周长；故答案为：．17. 【答案】##【分析】根据点E 是AB 的黄金分割点，可得，代入数值得出答案． 【详解】∵点E 是AB 的黄金分割点，∴． ∵AB=2米，∴米．）．18. 【答案】3【分析】BC 交EF 于点N ，由题意得，=90EDF BAC ∠=∠︒，60DEF ∠=︒，30DFE ∠=︒，=45ABC ACB ∠=∠︒，BC =DF =12，根据锐角三角函数即可得DE ，FE ，根据旋转的性质得ONF △是直角三角形，根据直角三角形的性质得3ON =，即3NC =，根据角之间2AB =4A B ''=∴2AB =:2:1A B AB ''=∴4A B ''=∴A C ''==1)15AE BE BE AB ==AE BE BE AB ==1BE =）1的关系得CNG △是等腰直角三角形，即3NG NC ==cm ，根据90FNO FED ∠=∠=︒，30NFO DFE ∠=∠=︒得FON FED △∽△，即ON FN DE DF=，解得FN = 【详解】解：如图所示，BC 交EF 于点N ，由题意得，=90EDF BAC ∠=∠︒，60DEF ∠=︒，30DFE ∠=︒，=45ABC ACB ∠=∠︒，BC =DF =12，在Rt EDF 中，12tan tan 60DF DE EDF ===∠︒12sin sin 60DF EF EDF ===∠︒∵△ABC 绕点O 顺时针旋转60°，∴60BOD NOF ∠=∠=︒，∴90NOF F ∠+∠=︒，∴18090FNO NOF F ∠=︒-∠-∠=︒，∴ONF △是直角三角形， ∴132ON OF ==（cm ）， ∴3NC OC ON =-=（cm ），∵90FNO ∠=︒，∴18090GNC FNO ∠=︒-∠=︒，∴NGC 是直角三角形，∴18045NGC GNC ACB ∠=-∠-∠=︒，∴CNG △是等腰直角三角形，∴3NG NC ==cm ，∵90FNO FED ∠=∠=︒，30NFO DFE ∠=∠=︒，∴FON FED △∽△， 即ON FN DE DF=，12FN =，FN =∴3FG FN NG =-=（cm ），故答案为：3．19. 【答案】9.88【分析】根据平行投影得AC ∥DE ，可得∠ACB =∠DFE ，证明Rt △ABC ∽△Rt △DEF ，然后利用相似三角形的性质即可求解．【详解】解：∵同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC =8.72m ，EF =2.18m ． ∴AC ∥DE ，∴∠ACB =∠DFE ，∵AB ⊥BC ，DE ⊥EF ，∴∠ABC =∠DEF =90°，∴Rt △ABC ∽△Rt △DEF ，∴，即， 解得AB =9.88，∴旗杆的高度为9.88m ．故答案为：9.88．20. 【答案】313或154或6 【分析】分三种情况讨论：当∠APE =90°时，当∠AEP =90°时，当∠PAE =90°时，过点P 作PF ⊥DA 交DA 延长线于点F ，即可求解．【详解】解：在矩形ABCD 中，9AB CD ==，12AD BC ==，∠BAD =∠B =∠BCD =∠ADC =90°，如图，当∠APE =90°时，∴∠APB +∠CPE =90°，∵∠BAP +∠APB =90°，∴∠BAP =∠CPE ，∵∠B =∠C =90°，∴△ABP ∽△PCE ， ∴AB BP PC CE =，即9124BP BP =-， 解得：BP =6；如图，当∠AEP =90°时，AB BC DE EF =8.722.47 2.18AB=∴∠AED +∠PEC =90°，∵∠DAE +∠AED =90°，∴∠DAE =∠PEC ，∵∠C =∠D =90°，∴△ADE ∽△ECP ， ∴AD DE CE PC =，即12944PC-=， 解得：53PC =， ∴313BP BC PC =-=； 如图，当∠PAE =90°时，过点P 作PF ⊥DA 交DA 延长线于点F ，根据题意得∠BAF =∠ABP =∠F =90°，∴四边形ABPF 为矩形，∴PF =AB =9，AF =PB ，∵∠PAF +∠DAE =90°，∠PAF +∠APF =90°，∴∠DAE =∠APF ，∵∠F =∠D =90°，∴△APF ∽△EAD ， ∴AF PF DE AD =，即99412AF =-， 解得：154=AF ，即154PB =； 综上所述，BP 的长为313或154或6． 故答案为：313或154或621.【分析】根据题意知EF 在运动中始终与MN 交于点Q ，且 点H 在以BQ 为直径的上运动，运动路径长为的长，求出BQ 及的圆角，运用弧长公式进行计算即可得到结果．【详解】解：∵点、分别是边、的中点，连接MN ，则四边形ABNM 是矩形，∴MN =AB =6，AM =BN =AD ==4，根据题意知EF 在运动中始终与MN 交于点Q ，如图，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD //BC ，∴ ∴ ∴ 当点E 与点A 重合时，则NF =， ∴BF =BN +NF =4+2=6，∴AB =BF =6∴是等腰直角三角形，∴∵BP ⊥AF ，∴由题意得，点H 在以BQ 为直径的上运动，运动路径长为长，取BQ 中点O ，连接PO ，NO ，∴∠PON =90°，又∴， AQM FQN ∆∆，:1:2,NQ MQ =PN PN PN M N AD BC 12AQMFQN ∆∆，12NF NQ EM MQ ==123NQ MN ==122AM =ABF ∆45,AFB ∠=︒45PBF ∠=︒PN PN 90,BNQ ∠=︒BQ ===∴， ∴故答案为： 22. 【答案】 45 ；2615【分析】 （1）先证△ABE ≌△GEF ，得FG =AE =DG ，可知△DFG 是等腰直角三角形即可知FDG ∠度数．（2）先作FH ⊥CD 于H ，利用平行线分线段成比例求得MH ；再作MP ⊥DF 于P ，证△MPF ∽△NHF ,即可求得NH 的长度，MN =MH +NH 即可得解．【详解】（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A =90°，AB =AD ，∴∠ABE +∠AEB =90°，∵FG ⊥AG ，∴∠G =∠A =90°，∵△BEF 是等腰直角三角形，∴BE =FE ，∠BEF =90°，∴∠AEB +∠FEG =90°，∴∠FEG =∠EBA ，在△ABE 和△GEF 中，A G ABE GEF BE EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△GEF （AAS ），∴AE =FG ，AB =GE ，在正方形ABCD 中，AB =ADAD GE ∴=∵AD =AE +DE ，EG =DE +DG ，∴AE =DG =FG ，∴∠FDG =∠DFG =45°．故填：45°．（2）如图，作FH ⊥CD 于H ，12ON OP OQ BQ ===PN∴∠FHD =90°∴四边形DGFH 是正方形，∴DH =FH =DG =2，∴AG FH , ∴=DE DM FH MH， ∴DM =23，MH =43， 作MP ⊥DF 于P ，∵∠MDP =∠DMP =45°，∴DP =MP ，∵DP 2+MP 2=DM 2，∴DP =MP=∴PF∵∠MFP +∠MFH =∠MFH +∠NFH =45°，∴∠MFP =∠NFH ，∵∠MPF =∠NHF =90°，∴△MPF ∽△NHF , ∴=MP PF NH HF，即=NH 332， ∴NH =25， ∴MN =MH +NH =43+25=2615． 故填： 2615． 23. 【答案】(1)证明见详解(2)证明见详解【分析】（1）①证明ADG AEG ≌△即可；②连接BG ，CG ，证明ADG BCG ≌△，BOE GOC ∽△△即可证明；（2）①的结论和（1）中证明一样，证明ADG AEG ≌△即可；②的结论，作DM BC GM ⊥，连接，证明BOE GOM ∽△△即可．(1)证明：①证明过程：四边形ABCD 为矩形，90ABC BAD ∴∠=∠=︒AF 平分BAD ∠45BAF DAF ∴∠=∠=︒ABF ∴为等腰直角三角形AB BF ∴=BE FC =AB BE BF CF AE BC AD ∴+=+==，即AG AG =∴ADG AEG ≌△∴GE GD =②证明：连接BG ，CG ，G 为AF 的中点，四边形ABCD 为矩形，90ABC BAD AD BC ∴∠=∠=︒=，BG AG FG ∴==AF 平分BAD ABF ∠，为等腰直角三角形，45BAF DAF ABG CBG ∴∠=∠=︒=∠=∠∴ADG BCG ≌△∴ADG BCG ∠=∠ADG AEG ≌△E ADG ∴∠=∠E BCG ∴∠=∠BOE GOC ∠=∠BOE GOC ∴∽△△BO GO GO BO BE GC GD CF∴=== ∴BO GD GO FC ⋅=⋅ (2)作DM BC BC M GM GN DM DM N ⊥⊥交于，连接，作交于点，如图所示90DMB GNM GND DMC ∴∠=︒=∠=∠=∠由（1）同理可证：ADG AEG ≌△E ADG ∴∠=∠四边形ABCD 为平行四边形AD BC ∴∥90ADM DMC ∴∠=∠=︒BC GN AD ∴∥∥G 为AF 的中点，由平行线分线段成比例可得DN MN =DG MG ∴=，,GDM GMDADG BMG EBOE GOM ∠=∠BOE GOM ∴∽△△BO GO GO BO BE GM GD CF∴=== ∴BO GD GO FC ⋅=⋅ 24. 【答案】(1)[问题提出]（1）14；（2）见解析 (2)[问题拓展]24n - 【分析】[问题探究]（1）根据等边三角形的性质结合已知条件，求得30ADF ADB ∠=∠=︒，90AFD ∠=︒，根据含30度角的直角三角形的性质，可得111,222AF AD AD AC AB ===，即可求解； （2）取BC 的中点H ，连接DH ．证明DBH DEC △≌△，可得BH EC =，根据DH AB ∥，证明EDH EFB △∽△，根据相似三角形的性质可得32FB EB DH EH ==，进而可得14AF AB =；[问题拓展]方法同（2）证明DBH DEC△≌△，得出，GH EC，证明EDH EFB△∽△，得到2+2FB EB nDH EH==，进而可得AFAB=24n-．(1)[问题探究]：（1）如图，ABC中，AB AC=，D是AC的中点，60BAC∠=︒，ABC∴是等边三角形，12AD AB=30ABD DBE∴∠=∠=︒，60A∠=︒，DB DE∴=，30E DBE∴∠=∠=︒，180120DCE ACB∠=︒-∠=︒，18030ADF CDE E DCE∴∠=∠=︒-∠-∠=︒，60A∠=︒，90AFD∴∠=︒，12AF AD∴=，1124ADAFAB AB∴==．（2）证明：取BC的中点H，连接DH．∵D是AC的中点，∴DH AB∥，12DH AB=．∵AB AC=，∴DH DC=，∴DHC DCH ∠=∠．∵BD DE =，∴DBH DEC ∠=∠．∴BDH EDC ∠=∠．∴DBH DEC △≌△．∴BH EC =． ∴32EB EH =． ∵DH AB ∥，∴EDH EFB △∽△． ∴32FB EB DH EH ==． ∴34FB AB =． ∴14AF AB =． (2)[问题拓展]如图，取BC 的中点H ，连接DH ．∵D 是AC 的中点，∴DH AB ∥，12DH AB =． ∵AB AC =，∴DH DC =，∴DHC DCH ∠=∠．∵DE DG =，∴DGH DEC ∠=∠．∴GDH EDC ∠=∠．∴DGH DEC ≌．∴GH EC ． HE CG ∴=()12CG nBC n=<BC nCG ∴=()1BG n CG ∴=-，()1111222n CE GH BC BG nCG n CG CG ⎛⎫==-=--=- ⎪⎝⎭∴1221+22nCG EB BC CE n n EH EH n C CG G ⎛⎫-+++==== ⎪⎝⎭． ∵DH AB ∥，∴EDH EFB △∽△． ∴2+2FB EB n DH EH ==． ∴24FB n AB +=． ∴42244AF n n AB ---==． ∴AF AB =24n -． 25. 【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）连接OD ，OE ，证明△OAD ≌△OED ，得∠OAD=∠OED=90°，进而得CD 是切线；（2）连接OC ，得AM ∥BN ，得,DEOOEC ∆∆，再证明2.OE DE CE =•，进而得出结论2.OA DE CE =•．【详解】解(1)如图,连接,OE OD 、 DA 是O 的切线，90OAD ︒∠= 在AOD ∆和EOD ∆中, , ,,OA OE DA DE OD OD ===()AOD EOD SSS ∴∆∆≌90,OAD OED ︒∴∠=∠=,OE CD ∴⊥CD ∴是O 的切线.(2)连接,OC AM BN DC 、、是O 的切线，90OAD OBC DEO OEC ︒∴∠=∠=∠=∠=//,AM BN ∴180ADE BCE ︒∴∠+∠=又AM BN DC 、、是O 的切线，CE CB ∴=,OD 平分,ADE OC ∠平分, .BCE ∠()111809022ODE OCE ADE BCE ︒︒∴∠+∠=∠+∠=⨯=又90ODE DOE ︒∠+∠=,OCE DOE ∴∠=∠又90DEO OEC ︒∠=∠=,,DEO OEC ∴∆∆OE DE CE OE∴= 2.OE DE CE ∴=•又,OA OE =2.OA DE CE ∴=•26. 【答案】(1)①见解析；②CE =(2)6EC =【分析】（1）①根据AAS 可证得：BEC DFC ≌△△，即可得出结论； ②连接AC ，可证得ABC是等边三角形，即可求出CE =（2）延长FE 交的延长线于点，根据可证得，可得出，，，则，即可证得，即可得出的长． (1)（1）①∵，，∴，∵四边形是菱形，∴，，∴()BEC DFC AAS ≌，∴CE CF =.②如图，连接AC .∵E 是边AB 的中点，CE AB ⊥，∴BC AC =，又由菱形ABCD ，得BC AB =，∴ABC 是等边三角形，∴60EAC ∠=︒，CB M AAS AEF BEM ≌4ME =2BM =8MC =MB ME =12ME MC =MEB MCE △∽△EC CE AB ⊥CF AD ⊥90BEC DFC ∠=∠=︒ABCD B D ∠=∠BC CD =在Rt AEC 中，2AE =，∴tan 60EC AE =︒=∴CE =(2)如图，延长FE 交CB 的延长线于点M ，由菱形ABCD ，得AD BC ∥，AB BC =，∴AFE M ∠=∠，A EBM ∠=∠，∵E 是边AB 的中点，∴AE BE =，∴()AEF BEM AAS △≌△，∴=ME EF ，MB AF =，∵3AE =，24EF AF ==，∴4ME =，2BM =，3BE =，∴26BC AB AE ===，∴8MC =， ∴2142MB ME ==，4182ME MC ==， ∴MB ME ME MC=，而M ∠为公共角. ∴MEB MCE △∽△， ∴24BE MB EC ME ==， 又∵3BE =，∴6EC =.27. 【答案】(1)(2) (3)①或；② 【分析】 （1）连接OD ，设半径为r ，利用，得，代入计算即可； （2）根据CP =AP 十AC ，用含x 的代数式表示 AP 的长，再由（1）计算求AC 的长即可；（3）①显然，所以分两种情形，当 时，则四边形RPQE 是矩形，当 ∠PQR ＝90°时，过点P 作PH ⊥BE 于点H ， 则四边形PHER 是矩形，分别根据图形可得答案；②连接，由对称可知，利用三角函数表示出和BF 的长度，从而解决问题．(1)解：如图1，连结．设半圆O 的半径为r ．∵切半圆O 于点D ，∴．∵，∴，∴，∴， 即， ∴，即半圆O 的半径是． (2) 由（1）得：． 1585544y x =+972111199△∽△COD CBE OD CO BE CB =90PRQ ∠<︒90RPQ ∠=︒,AF QF ',45QF QF F QR EQR ∠∠'=='=︒BF 'OD CD OD CD ⊥BE CD ⊥OD BE ∥△∽△COD CBE OD CO BE CB =535r r -=158r =1581555284CA CB AB =-=-⨯=∵， ∴． ∵，∴． (3)①显然，所以分两种情况． ⅰ）当时，如图2．∵，∴．∵，∴四边形为矩形，∴．∵， ∴， ∴． ⅱ）当时，过点P 作于点H ，如图3，则四边形是矩形，∴．∵，∴．5,4AP BQ x BQ ==54AP x =CP AP AC =+5544y x =+90PRQ ∠<︒90RPQ ∠=︒PR CE ⊥90ERP ∠=︒90E ∠=︒RPQE PR QE =333sin 544PR PC C y x =⋅==+33344x x +=-97x =90PQR ∠=︒PH BE⊥PHER ,PH RE EH PR ==5,3CB BE ==4CE ==∵， ∴3PH RE x EQ ==-=， ∴45EQR ERQ ∠=∠=︒， ∴45PQH QPH ∠=︒=∠， ∴3HQ HP x ==-， 由EH PR =得：33(3)(3)44x x x -+-=+， ∴2111x =． 综上所述，x 的值是97或2111． ②如图4，连结,AF QF '，由对称可知QF QF ='，F QR EQR ∠=∠' ∵BE ⊥CE ，PR ⊥CE ， ∴PR ∥BE ， ∴∠EQR =∠PRQ ， ∵BQ x =，5544CP x =+， ∴EQ =3-x ， ∵PR ∥BE ， ∴CPR CBE △∽△， ∴CP CB CR CE=， 即：x CR +=555444， 解得：CR =x +1， ∴ER =EC -CR =3-x ， 即：EQ = ER∴∠EQR =∠ERQ =45°， ∴45F QR EQR ∠=∠='︒ ∴90BQF ∠='︒， 4cos 15CR CP C y x =⋅==+∴4tan 3QF QF BQ B x ==⋅='． ∵AB 是半圆O 的直径，∴90AFB ∠=︒， ∴9cos 4BF AB B =⋅=， ∴4934x x +=， ∴2728x =， ∴319119CF BC BF BC BF BF BF x -==''''=-='-． 28. 【答案】(1)2(2)图见详解(3)直线BC 与⊙F 相切，理由见详解【分析】（1）由题意易得23CD BD =，则有，然后根据相似三角形的性质与判定可进行求解；（2）作DT ∥AC 交AB 于点T ，作∠TDF =∠ATD ，射线DF 交AC 于点F ，则点F 即为所求；（3）作BR ∥CF 交FD 的延长线于点R ，连接CR ，证明四边形ABRF 是等腰梯形，推出AB =FR ，由CF ∥BR ，推出，推出CD ⊥DF ，然后问题可求解．(1)解：∵DE ∥AB ，∴，∴， ∵AB =5，BD =9，DC =6，∴， ∴；(2)解：作DT ∥AC 交AB 于点T ，作∠TDF =∠ATD ，射线DF 交AC 于点F ，则点F 即为所求；如图所示：点F 即为所求，25CD CB =1122CFB CFR SS AB CD FR CD ==⋅=⋅CDE CBA ∽DECD AB CB 6569DE =+2DE =(3)解：直线BC 与⊙F 相切，理由如下：作BR ∥CF 交FD 的延长线于点R ，连接CR ，如图，∵∠DFA =∠A ，∴四边形ABRF 是等腰梯形，∴，∵△FBC 的面积等于， ∴， ∴CD ⊥DF ，∵FD 是⊙F 的半径，∴直线BC 与⊙F 相切．29. 【答案】（1）①94BC =；②AB BE AD DE -是定值，定值为1；（2）3cos 8CBD ∠= 【分析】（1）①证明CED CDB ∽，根据相似三角形的性质求解即可；②由DE AC ∥，可得AB BC AD DE =，由①同理可得CE DE =，计算AB BE AD DE-1=； （2）根据平行线的性质、相似三角形的性质可得12S AC BC S DE BE==，又32S BE S CE =，则1322S S BC S CE ⋅=，可得916BC CE =，设9BC x =，则16CE x =．证明CDB CED ∽△△，可得12CD x =，过点D 作DH BC ⊥于H ．分别求得BD BH ，，进而根据余弦的定义即可求解．【详解】（1）①∵CD 平分ACB ∠，AB FR =12CD AB •1122CFB CFR S S AB CD FR CD ==⋅=⋅2∵2ACB B ∠=∠，∴ACD DCB B ∠=∠=∠． ∴32CD BD ==． ∵DE AC ∥，∴ACD EDC ∠=∠．∴EDC DCB B ∠=∠=∠．∴1CE DE ==．∴CED CDB ∽． ∴CE CD =CD CB． ∴94BC =． ②∵DE AC ∥， ∴AB BC AD CE=． 由①可得CE DE =， ∴AB BC AD DE=． ∴1AB BE BC BE CE AD DE DE DE DE-=-==． ∴AB BE AD DE -是定值，定值为1． （2）∵DE AC ∥，BDE BAC ∴∽△△BC AB AC BE BD DE ∴== ∴12S AC BC S DE BE==． ∵32S BE S CE=， ∴1322S S BC S CE⋅=． 又∵2132916S S S ⋅=， ∴916BC CE =． 设9BC x =，则16CE x =．∵CD 平分BCF ∠，2∵2BCF CBG ∠=∠，∴ECD FCD CBD ∠=∠=∠．∴BD CD =．∵DE AC ∥，∴EDC FCD ∠=∠．∴EDC CBD ECD ∠=∠=∠．∴CE DE =．∵DCB ECD ∠=∠，∴CDB CED ∽△△． ∴CD CB CE CD=． ∴22144CD CB CE x =⋅=．∴12CD x =．如图，过点D 作DH BC ⊥于H ．∵12BD CD x ==， ∴1922BH BC x ==． ∴932cos 128x BH CBD BD x ∠===． 30. 【答案】(1)①6；②见解析 (2)2114S S S -=，理由见解析 【分析】（1）①将面积用a ，b 的代数式表示出来，计算，即可②利用AN 公共边，发现△FAN ∽△AN B ，利用FA AN AN NB=，得到a ，b 的关系式，化简，变形，即可得结论（2）等边ABF 与等边CBE △共顶点B ，形成手拉手模型，△ABC ≌△FBE ，利用全等的对应边，对应角，得到：AC ＝FE ＝b ，∠FEB ＝∠ACB ＝90°，从而得到∠FEC ＝30°，再利用Rt CFE △，cos30FE b CE a ︒===，得到a 与b 的关系，从而得到结论 (1)∵19S =，216S =∴b ＝3，a ＝4∵∠ACB ＝90° ∴11S ab 34622==⨯⨯= ②由题意得：∠FAN ＝∠ANB ＝90°，∵FH ⊥AB∴∠AFN ＝90°－∠FAH ＝∠NAB∴△FAN ∽△AN B ∴FA AN AN NB = ∴a b a a b+=， 得：22ab b a +=∴122S S S +=．即212S S S -= (2)2114S S S -=，理由如下： ∵△ABF 和△BEC 都是等边三角形∴AB ＝FB ，∠ABC ＝60°－∠FBC ＝∠FBE ，CB ＝EB∴△ABC ≌△FBE （S A S ）∴AC ＝FE ＝b∠FEB ＝∠ACB ＝90°∴∠FEC ＝30°∵EF ⊥CF ，CE ＝BC ＝a∴cos30b FE a CE ==︒=∴b =∴212S ab ==由题意得：21S ，22S =∴22221S S -== ∴2114S S S -=。
中考数学专题复习卷：图形的相似(含解析)
图形的相像一、选择题1.已知，以下变形错误的选项）是（A. B. C. D.【答案】 B【分析】由得，3a=2b，A. 由得，所以变形正确，故不切合题意；B. 由得3a=2b，所以变形错误，故切合题意；C. 由可得，所以变形正确，故不切合题意；D.3a=2b 变形正确，故不切合题意.故答案为： B.【剖析】依据已知比率式可得出3a=2b，再依据比率的基天性质对各选项逐个判断即可。
2.如图，已知直线a∥ b∥ c，直线m 分别交直线a、b、c 于点A,B,C ，直线n 分别交直线a、b、c 于点D,E,F,若,,则的值应当（）A. 等于B. 大于C. 小于D. 不可以确立【答案】 B【分析】：如图，过点 A 作 AN ∥DF，交 BE 于点 M，交 CF 于点 N∵a∥ b∥ c∴ AD=ME=NF=4 （平行线中的平行线段相等）∵AC=AB+BC=2+4=6∴设 MB=x ，CN=3x∴BE=x+4 ， CF=3x+4∵∵ x＞ 0∴故答案为：B【剖析】过点 A 作AN ∥DF ，交BE于点M，交CF 于点N，依据已知及平行线中的平行线段相等，可得出AD=ME=NF=4，再依据平行线分线段成比率得出BM和CN的关系，设MB=x， CN=3x ，分别表示出BE 、CF ，再求出它们的比，利用求差法比较大小，即可求解。
3.在平面直角坐标系中，线段AB两个端点的坐标分别为 A （ 6， 8）， B（ 10，2），若以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB缩短为本来的后获得线段CD ，则点 A 的对应点 C 的坐标为（）A. （5，1）B. （ 4，3）C. （3， 4）D. （1，5）【答案】C【分析】：∵以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB减小为本来的后获得线段CD，∴端点 C 的横坐标和纵坐标都变成 A 点的横坐标和纵坐标的一半，又∵ A （6， 8），∴端点 C 的坐标为（ 3， 4）．故答案为： C．【剖析】依据位似图形的性质，位似图形上一个点的坐标等于原图形上对应点的横纵坐标分别乘以位似比，或位似比的相反数。
部编数学九年级下册专题03图形的相似(重难点突破)(解析版)_new含答案
专题03 图形的相似重点了解线段的比和成比例的线段难点相似多边形的有关性质易错求线段的比时，线段的长度单位不一致；找错相似多边形的对应边一、相似图形判断两个图形是否相似，就是看两个图形是不是形状相同，与图形的大小、位置无关，这也是相似图形的本质．【例1】选项图形与如图所示图形相似的是（ ）A．B．C．D．【答案】D【详解】因为相似图形的形状相同，A、B、C三个选项中的图形形状与题干所给图形形状不同，均不符合题意；D选项中的图形形状与题干所给图形形状相同，符合题意；故选：D．【例2】下列关于“相似形”的说法中正确的是（）A．相似形形状相同、大小不同B．图形的放缩运动可以得到相似形C．对应边成比例的两个多边形是相似形D．相似形是全等形的特例【答案】B【详解】解：A：相似形形状相同、大小不一定相同，但是可以相同，故选项A错误；B：图形的放缩运动可以得到相似形，选项B正确；C：如果两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,这两个多边形叫做相似多边形，故选项C错误；D：全等形是相似形的特例，故选项D错误．二、比例线段一般地，四条线段a，b，c，d的单位应该一致，有时为了计算方便，a，b的单位一致，c，d的单位一致也可以．【例3】已知四条线段a ，b ，c ，d 是成比例线段，其中3cm b =，4cm c =，6cm d =，则线段a 的长度为（ ）A ．8cmB ．4cmC ．2cmD ．1cm【答案】C【详解】解：∵四条线段a 、b 、c 、d 是成比例线段，∴::a b c d =，即:34:6a =，∴2cm a =．故选：C ．【例4】已知线段b 是线段a 和线段c 的比例中项，若2a =，4c =，则b 的值是（ ）A ．2B ．3C ．D ．【答案】C【详解】解：根据题意得::a b b c =，即2::4b b =，解得b =或b =-，所以b 的值为故选：C ．三、相似多边形两个多边形相似，必须同时具备两个条件：（1）角分别相等；（2）边成比例．【例5】如图，平行于正多边形一边的直线，将正多边形分割成两部分，则阴影部分多边形与原多边形相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【详解】解：A 、阴影三角形与原三角形的对应角相等、对应边的比相等，符合相似多边形的定义，符合题意；B、阴影矩形与原矩形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意；C、阴影五边形与原五边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意；D、阴影六边形与原六边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意；故选：A．【例6】下列四组平面图形中，一定相似的是（）A．等腰三角形与等腰三角形B．正方形与菱形C．正五边形与正五边形D．菱形与菱形【答案】C【详解】因为等腰三角形与等腰三角形不一定相似，所以A错误，不符合题意；因为正方形与菱形不一定相似，所以B错误，不符合题意；正五边形与正五边形一定相似，所以C正确，符合题意；菱形与菱形不一定相似，所以D错误，不符合题意；故选:C．一、单选题1．下列图形中不一定是相似图形的是（）A．两个圆B．两个菱形C．两个等腰直角三角形D．两个等边三角形【答案】B【详解】解：A、两个圆的形状相同，是相似图形，故选项A不符合题意；B、两个菱形的各角不一定相等，故不一定相似，故选项B符合题意；C、两个等腰直角三角形形状相同，是相似图形，故选项C不符合题意；D、两个等边三角形形状相同，是相似图形，故选项D不符合题意；故选：B．2．下面四个选项中的一般三角形、等边三角形、正方形、矩形的各边分别等距向外扩张1个单位，那么扩张后的几何图形与原几何图形不一定相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【详解】解：A ：形状相同，符合相似形的定义，对应角相等，所以三角形相似，故A 选项不符合要求；B ：形状相同，符合相似形的定义，故B 选项不符合要求；C ：形状相同，符合相似形的定义，故C 选项不符合要求；D ：两个矩形，虽然四个角对应相等，但对应边不一定成比例，故D 选项符合要求；故选：D ．3．若53m n m +=，则n m =（ ）A ．23B ．25C ．35D ．73【答案】A【详解】解：∵53m n m +=，∴53()m m n =+，整理得：23m n =，∴23n m =，故选：A ．4．如图，在ABC V 中，2310DE BC AD BD AC ===，，，∥，则AE 的长（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B 【详解】解：∵23AD BD ==，，∴5AB AD BD =+=，∵DE BC ∥，∴AE AD AC AB =，即2105AE =，∴4AE =，故选B ．5．一般认为，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割，则这个人身材好．如图，是一个参加空姐选拔的选手的实际身高情况，如果要使身材好，那么她穿鞋子的高度最好为（ ）cm ．（精确到1cm 0.618≈）A ．5B ．8C ．10D ．12【答案】C【详解】解：设她应该穿cm x 高的鞋子，根据题意，得：6559x =+．解得：10x ≈，故选：C ．6．如图，已知一组平行线a b c ∥∥，被直线m 、n 所截，交点分别为A 、B 、C 和D 、E 、F ，且34 4.8AB BC EF ===，，，则DE =（ ）A ．7.2B ．6.4C ．3.6D ．2.4【答案】C 【详解】解：∵a b c ∥∥，∴DE AB EF BC =，即34.84DE =，解得， 3.6DE =，故选：C ．二、填空题7．在比例尺是1:20000的地图上，若某条道路长约为3cm ，则它的实际长度约为______km ．【答案】0.6##35【详解】解：设它的实际长度约为cm x ，依题意得：1320000x=，解得：60000x =，经检验：60000x =是原方程的解且符合题意，∵60000cm=0.6km ，∴它的实际长度约为0.6km ．故答案为：0.6．8．如图，已知AD 为ABC V 角平分线，DE AB ∥，如果31AE AC =，6AB =，那么DE =______．【答案】4【详解】解：∵DE AB ∥，DE EC AB AC\=，又13AE AC =Q ，23DE EC AB AC \==，=6AB Q ，4DE \=．故答案为：4．三、解答题9．根据条件求值.(1)若15ab =，求a b b+的值；(2)若13x y =，求2x y x y +-的值.【答案】(1)65(2)﹣52【详解】（1）∵1a b a b b +=+∴当15a b =时，161155a b a b b +=+=+=∴65a b b +=．（2）∵13x y =∴3y x=∴22355322x y x x x x y x x x ++==-=---∴252x y x y +=--．10．如图，在ABC V 中，D ，E 分别是AB 和AC 上的点，且DE BC ∥．(1)如果7,3,2AD DB EC ===，那么AE 的长是多少？(2)如果10,6,3AB AD EC ===，那么AE 的长是多少？【答案】(1)143AE =(2)92AE =【详解】（1）∵DE BC ∥，∴AD AE DB EC =，∴732AE =，∴143AE =；（2）∵10,6AB AD ==，∴1064BD =-=，∵DE BC ∥，∴AD AE DB EC =，∴643AE =，∴92AE =．一、单选题1．下列四条线段成比例的是（ ）A ．2a =，b =c =，d =B ．a =2b =，1c =，dC ．4a =，6b =，5c =，10d =D ．12a =，8b =，15c =，11d =【答案】B【详解】解：A 、按照从小到大排列：d =2a =，b =，c =，则2¹错误；B 、按照从小到大排列：1c =，a =d =2b =21=´，故本选项正确；C 、按照从小到大排列：4a =，5c =，6b =，10d =，则41056´¹´，故本选项错误；D 、按照从小到大排列：8b =，11d =，12a =，15c =，则1211158´¹´，故本选项错误；故选：B ．2．如图，已知在ABC V 中，点D ，E ，F 分别是边AB ，AC ，BC 上的点，DE BC ∥，EF AB ∥，且AD ：3DB =：5，那么DE ：CF 等于（ ）A ．5：3B ．3：8C ．3：5D ．2：5【答案】C 【详解】解：∵DE BC ∥，EF AB ∥，∴四边形BFED 为平行四边形，∴DE BF =，∵DE BC ∥，AD ：3DB =：5，∴AE ：CE =AD ：3DB =：5，∵EF AB ∥，∴BE ：CF =AE ：3CF =：5，∴DE ：3CF =：5，故选：C ．3．如图，已知点C 是线段AB 的黄金分割点，且BC AC >．若1S 表示以BC 为边的正方形的面积，2S 表示长为()AD AD AB =、宽为AC 的矩形的面积，则1S 与2S 的大小关系为（ ）A ．12S S =B ．12S S >C ．12S S <D ．无法确定【答案】A 【详解】解：∵点C 是线段AB 的黄金分割点∴AC BC BC AB=，即2BC AC AB =×由题意可得：21S BC =，2S AC AD AC AB=´=´∴12S S =故选：A4．如图，四边形ABCD :四边形EFGH ，80A Ð=°，70F Ð=°，90G Ð=°，则D Ð等于（ ）A ． 70°B ． 80°C ． 110°D ． 120°【答案】D 【详解】∵四边形ABCD :四边形EFGH ，80A Ð=°，70F Ð=°，90G Ð=°，∴70Ð=Ð=°B F ，90C G Ð=Ð=°∴360360807090120D A B C Ð=°-Ð-Ð-Ð=°-°-°-°=°故选：D5．如图，正方形ABCD 中，E F ，分别在边AD CD ，上，AF BE ，相交于点G ， 若3AE ED DF CF ==，，则 AGGF 的值是（ ）A ．13B ．54C ．65D ．76【答案】C【详解】解：如图，作FN AD ∥，交AB 于N ，交BE 于M ．∵四边形ABCD 是正方形，∴AB CD ∥，∵FN AD ∥，∴四边形ANFD 是平行四边形，∵90D Ð=°，∴四边形ANFD 是矩形，∵3AE DE =，设DE a =，则3,4,2,AE a AD AB CD FN a AN DF a =======∵,AN BN MN AE =∥，∴BM M E =，∴3,2MN a =∴5,2FM a =∴36,55AG AE a GF FM ===故选：C6．如图，F 是平行四边形ABCD 的边CD 上一点，直线BF 交AD 的延长线于点E ，则下列结论错误的是（ ）A ．ED DF EA AB =B ．DE EF AD FB =C ．BC BF DE BE =D ．BF BE EAD A =【答案】C【详解】∵平行四边形ABCD∴AD BC =，AB CD =，AD BC ∥，AB CD ∥，∵AB FD∥∴ED DF EA AB=，故选项A 正确，不符合题意；DE EF AD FB=，故选项B 正确；，不符合题意∵AD BC∥∴F BC BF DE E =，故选项C 错误，符合题意；∴BF BE EAD A =，故选项D 正确，不符合题意；故选：C ．二、填空题7．如图，已知直线123l l l ∥∥，直线4l 分别与直线1l 、2l 、3l 相交于点A 、B 、C ．直线5l 分别与直线1l 、2l 、3l 相交于点D 、E 、F ，直线4l 与5l 交于点G ．如果:1:2AB BC =，12DF =，那么EF 的长为______．【详解】解：123l l l ∥∥Q ，12DE AB EF BC \==，12DE EF \=，32DF DE EF EF \=+=，12DF =Q ，8EF \=，故答案为：8．8．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，8AC =，6BD =，点E 在BC 上，OE AB ∥，则OEC V 的面积是______．【答案】3【详解】因为菱形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，8AC =，6BD =，所以菱形的面积116822BD AC ´´=´´=24，OA =OC ，所以6OBC S =V ，因为OE AB ∥，OA =OC ，所以1OC EC OA EB==,所以EC =EB ，OEC V 的面积是：116322OBC S =´=V ．故答案为：3．三、解答题9．如图，点D 是ABC V 边BC 上一点，连接AD ，过AD 上点E 作EF BD ∥，交AB 于点F ，过点F 作FG AC P 交BC 于点G ，已知32AE ED =，4BG =．(1)求CG 的长；(2)若2CD =，在上述条件和结论下，求EF 的长．【答案】(1)6(2)245【详解】（1）∵EF BD ∥，∴32AF AE FB ED ==，∵FG AC P ，∴23BG BF CG AF ==，∵4BG =，∴334622CG BG ==´=．（2）∵2CD =，6CG =，∴4DG CG CD =-=，∵4BG =，∴8BD BG DG =+=，∵32AF BF =，∴35AF AB =，∵EF BD ∥，∴EF AF BD AB =，∴385EF =，∴245EF =．10．如图，AC ∥EF ∥BD ．(1)求证：1AC + 1BD ＝1EF；(2)若AC ＝3，EF ＝2，求BD 的值．【答案】(1)见解析(2)6【详解】（1）证明：∵EF ∥BD ，∴EF AF BD AB=①，∵EF ∥AC ，∴EF BF AC BA=②，①+②得1EF EF AF BF BD AC AB ++==，∴111AC BD EF+=；（2）解：111AC BD EF +=Q ，11132BD \+=，∴BD ＝6．。
中考数学总复习图形的相似-精练精析含答案解析
图形的变化——图形的相似2一．选择题（共9小题）1．如图，四边形ABCD、CEFG都是正方形，点G在线段CD上，连接BG、DE，DE和FG相交于点O，设AB=a，CG=b（a＞b）．下列结论：①△BCG≌△DCE；②BG⊥DE；③=；④（a﹣b）2•S△EFO=b2•S△DGO．其中结论正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个2．△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是（）A．3 B．6 C．9 D．123．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知AE=6，，则EC的长是（）A．4.5 B．8 C．10.5 D．144．如图，直线l1∥l2∥l3，若AB=2，BC=3，DE=1，则EF的值为（）A．B． C．6 D．5．已知△ABC的三边长分别为，，2，△A′B′C′的两边长分别是1和，如果△ABC与△A′B′C′相似，那么△A′B′C′的第三边长应该是（）A． B．C．D．6．如图，△ABC∽△CBD，CD=2，AC=3，BC=4，那么AB的值等于（）A．5 B．6 C．7 D．47．如果两个相似三角形的面积比是1：2，那么它们的周长比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：D．2：18．（易错题）如图，▱ABCD中，E是AD延长线上一点，BE交AC于点F，交DC于点G，则下列结论中错误的是（）A．△ABE∽△DGE B．△CGB∽△DGE C．△BCF∽△EAF D．△ACD∽△GCF9．如图，在△ABC中，如果DE与BC不平行，那么下列条件中，不能判断△ADE∽△ABC的是（）A．∠ADE=∠C B．∠AED=∠B C．D．二．填空题（共6小题）10．已知实数x、y满足，则= _________ ．11．如图，小明用长为3m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB=12m，则旗杆AB的高为_________ m．12．如图，AB∥CD∥EF，如果AC：CE=2：3，BF=10，那么线段DF的长为_________ ．13．如图，在长8cm，宽4cm 的矩形中截去一个矩形（阴影部分）使留下的矩形与矩形相似，那么留下的矩形的面积为_________ cm2．14．已知△ABC∽△DEF，且相似比为3：4，S△ABC=2cm2，则S△DEF= _________ cm2．15．两个相似三角形对应边的比为2：3，则它们的周长比为_________ ．三．解答题（共9小题）16．如图，矩形ABCD为台球桌面，AD=260cm，AB=130cm，球目前在E点位置，AE=60cm．如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置．（1）求证：△BEF∽△CDF；（2）求CF的长．17．已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是_________ ；（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是_________ ；（3）△A2B2C2的面积是_________ 平方单位．18．如图，已知∠MON=90°，A是∠MON内部的一点，过点A作AB⊥ON，垂足为点B，AB=3厘米，OB=4厘米，动点E，F同时从O点出发，点E以1.5厘米/秒的速度沿ON方向运动，点F以2厘米/秒的速度沿OM方向运动，EF与OA交于点C，连接AE，当点E到达点B时，点F随之停止运动．设运动时间为t 秒（t＞0）．（1）当t=1秒时，△EOF与△ABO是否相似？请说明理由；（2）在运动过程中，不论t取何值时，总有EF⊥OA．为什么？（3）连接AF，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得S△AEF=S四边形AEOF？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．19．如图，在平行四边形ABCD中，点G是BC延长线上一点，AG与BD交于点E，与DC交于点F，如果AB=m，CG=BC，求：（1）DF的长度；（2）三角形ABE与三角形FDE的面积之比．20．如图，已知△ABC是等边三角形，AB=6，点D在AC上，AD=2CD，CM是∠ACB的外角平分线，连接BD并延长与CM交于点E．（1）求CE的长；（2）求∠EBC的正切值．21．已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC，CD上的点，且EF∥BD，AE、AF分别交BD 与点G和点H，BD=12，EF=8．求：（1）的值；（2）线段GH的长．22．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D．点E、F分别在边AB、AC上，且BE=AF，FG∥AB交线段AD于点G，连接BG、EF．（1）求证：四边形BGFE是平行四边形；（2）若△ABG∽△AGF，AB=10，AG=6，求线段BE的长．23．如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于E，交BA的延长线点F．问：（1）图中△APD与哪个三角形全等？并说明理由；（2）求证：△APE∽△FPA；（3）猜想：线段PC，PE，PF之间存在什么关系？并说明理由．24．如图．在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F，点E是AB 的中点，连接EF．（1）求证：EF∥BC；（2）若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积．图形的变化——图形的相似2参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．如图，四边形ABCD、CEFG都是正方形，点G在线段CD上，连接BG、DE，DE和FG相交于点O，设AB=a，CG=b（a＞b）．下列结论：①△BCG≌△DCE；②BG⊥DE；③=；④（a﹣b）2•S△EFO=b2•S△DGO．其中结论正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．专题：压轴题．分析：由四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，根据正方形的性质，即可得BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，则可根据SAS证得①△BCG≌△DCE；然后延长BG交DE于点H，根据全等三角形的对应角相等，求得∠CDE+∠DGH=90°，则可得②BH⊥DE．由△DGF与△DCE相似即可判定③错误，由△GOD 与△FOE相似即可求得④．解答：证明：①∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，∴∠BCG=∠DCE，在△BCG和△DCE中，，∴△BCG≌△DCE（SAS），故①正确；②延长BG交DE于点H，∵△BCG≌△DCE，∴∠CBG=∠CDE，又∵∠CBG+∠BGC=90°，∴∠CDE+∠DGH=90°，∴∠DHG=90°，∴BH⊥DE；∴BG⊥DE．故②正确；③∵四边形GCEF是正方形，∴GF∥CE，∴=，∴=是错误的．故③错误；④∵DC∥EF，∴∠GDO=∠OEF，∵∠GOD=∠FOE，∴△OGD∽△OFE，∴=（）2=（）2=，∴（a﹣b）2•S△EFO=b2•S△DGO．故④正确；故选：B．点评：此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质．2．△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是（）A． 3 B．6 C．9 D．12考点：位似变换．分析：利用位似图形的面积比等于位似比的平方，进而得出答案．解答：解：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，△ABC 的面积是3，∴△ABC与△A′B′C′的面积比为：1：4，则△A′B′C′的面积是：12．故选：D．点评：此题主要考查了位似图形的性质，利用位似图形的面积比等于位似比的平方得出是解题关键．3．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知AE=6，，则EC的长是（）A． 4.5 B．8 C 10.5 D．14考点：平行线分线段成比例．分析：利用相似三角形的判定与性质得出=，求出EC即可．解答：解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=，∴==，解得：EC=8．故选：B．点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质，得出=是解题关键．4．如图，直线l1∥l2∥l3，若AB=2，BC=3，DE=1，则EF的值为（）A．B．C．6 D．考点：平行线分线段成比例．分析：根据平行线分线段成比例定理得出比例式，再代入求出即可．解答：解：∵直线l1∥l2∥l3，∴=，∵AB=2，BC=3，DE=1，∴=，∴EF=，故选B．点评：本题考查平行线分线段成比例定理的应用，注意：一组平行线截两条直线，所截的对应线段成比例．5．已知△ABC的三边长分别为，，2，△A′B′C′的两边长分别是1和，如果△ABC与△A′B′C′相似，那么△A′B′C′的第三边长应该是（）A．B．C．D．考点：相似三角形的性质．分析：根据题中数据先计算出两相似三角形的相似比，则第三边长可求．解答：解：根据题意，易证△ABC∽△A′B′C′，且相似比为：：1，∴△A′B′C′的第三边长应该是=．故选：A．点评：本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例．6．如图，△ABC∽△CBD，CD=2，AC=3，BC=4，那么AB的值等于（）A． 5 B．6 C 7 D．4考点：相似三角形的性质．分析：根据相似三角形对应边成比例列出比例式进行计算即可得解．解答：解：∵△ABC∽△CBD，∴=，即=，解得AB=6．故选B．点评：本题考查了相似三角形的性质，准确识图确定出对应边是解题的关键．7．如果两个相似三角形的面积比是1：2，那么它们的周长比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：D．2：1考点：相似三角形的性质．分析：由两个相似三角形的面积比是1：2，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得它们的相似比，又由相似三角形周长的比等于相似比，即可求得它们的周长比．解答：解：∵两个相似三角形的面积比是1：2，∴这两个相似三角形的相似比是1：，∴它们的周长比是1：．故选C．点评：此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方与相似三角形周长的比等于相似比性质的应用．8．（易错题）如图，▱ABCD中，E是AD延长线上一点，BE交AC于点F，交DC于点G，则下列结论中错误的是（）A．△ABE∽△DGE B．△CGB∽△DGE C．△BCF∽△EAF D．△ACD∽△G CF考点：相似三角形的判定；平行四边形的性质．专题：常规题型．分析：本题中可利用平行四边形ABCD中两对边平行的特殊条件来进行求解．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD∴∠EDG=∠EAB∵∠E=∠E∴△ABE∽△DGE（第一个正确）∵AE∥BC∴∠EDC=∠BCG，∠E=∠CBG∴△CGB∽△DGE（第二个正确）∵AE∥BC∴∠E=∠FBC，∠EAF=∠BCF∴△BCF∽△EAF（第三个正确）第四个无法证得，故选D点评：考查相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；（3）三边对应成比例的两个三角形相似；（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．9．如图，在△ABC中，如果DE与BC不平行，那么下列条件中，不能判断△ADE∽△ABC的是（）A．∠ADE=∠C B．∠AED=∠B C．D．考点：相似三角形的判定．分析：根据相似三角形的判定方法：（1）三组对应边的比相等的两个三角形相似；（2）两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（3）有两组角对应相等的两个三角形相似，结合选项进行判断即可．解答：解：A、∠ADE=∠C，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故本选项错误；B、∠B=∠AED，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故本选项错误；C、=，此时不等确定∠ADE=∠ACB，故不能确定△ADE∽△ACB，故本选项正确；D、=，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故本选项错误．故选C．点评：此题考查了相似三角形的判定，属于基础题，关键是掌握相似三角形的几种判定定理．二．填空题（共6小题）10．已知实数x、y满足，则= 2 ．考点：比例的性质．分析：先用y表示出x，然后代入比例式进行计算即可得解．解答：姐：∵ =，∴x=y，∴==2．故答案为：2．点评：本题考查了比例的性质，根据两內项之积等于两外项之积用y表示出x是解题的关键．11．如图，小明用长为3m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB=12m，则旗杆AB的高为9 m．考点：相似三角形的应用．专题：几何图形问题．分析：根据△OCD和△OAB相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．解答：解：由题意得，CD∥AB，∴△OCD∽△OAB，∴=，即=，解得AB=9．故答案为：9．点评：本题考查了相似三角形的应用，是基础题，熟记相似三角形对应边成比例是解题的关键．12．如图，AB∥CD∥EF，如果AC：CE=2：3，BF=10，那么线段DF的长为 6 ．考点：平行线分线段成比例．分析：根据平行线分线段成比例定理，得出==，再根据DF=BF×代入计算即可．解答：解：∵AB∥CD∥EF，∴==，∵BF=10，∴DF=10×=6；故答案为；6．点评：本题考查平行线分线段成比例定理，用到的知识点是平行线分线段成比例定理，关键是找准对应关系，列出比例式．13．如图，在长8cm，宽4cm 的矩形中截去一个矩形（阴影部分）使留下的矩形与矩形相似，那么留下的矩形的面积为8 cm2．考点：相似多边形的性质．专题：压轴题．分析：本题需先设留下的矩形的宽为x，再根据留下的矩形与矩形相似，列出方程即可求出留下的矩形的面积．解答：解：设留下的矩形的宽为x，∵留下的矩形与矩形相似，∴，x=2，∴留下的矩形的面积为：2×4=8（cm2）故答案为：8．点评：本题主要考查了相似多边形的性质，在解题时要能根据相似多边形的性质列出方程是本题的关键．14．已知△ABC∽△DEF，且相似比为3：4，S△ABC=2cm2，则S△DEF= cm2．考点：相似三角形的性质．分析：根据相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方，可求S△DEF的值．解答：解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为3：4∴S△ABC：S△DEF=9：16∴S△DEF=．点评：本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方．15．两个相似三角形对应边的比为2：3，则它们的周长比为2：3 ．考点：相似三角形的性质．专题：计算题．分析：根据相似三角形周长的比等于相似比进行解答即可．解答：解：∵两个相似三角形的相似比为2：3，∴它们对应周长的比为2：3．故答案为：2：3．点评：本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形周长的比等于相似比．三．解答题（共9小题）16．如图，矩形ABCD为台球桌面，AD=260cm，AB=130cm，球目前在E点位置，AE=60cm．如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置．（1）求证：△BEF∽△CDF；（2）求CF的长．考点：相似三角形的应用．专题：几何综合题．分析：（1）利用“两角法”证得这两个三角形相似；（2）由（1）中相似三角形的对应边成比例来求线段CF的长度．解答：（1）证明：如图，在矩形ABCD中：∠DFC=∠EFB，∠EBF=∠FCD=90°，∴△BEF∽△CDF；（2）解：∵由（1）知，△BEF∽△CDF．∴=，即=，解得：CF=169．即：CF的长度是169cm．点评：本题考查了相似三角形的应用．此题利用了“相似三角形的对应边成比例”推知所求线段CF与已知线段间的数量关系的．17．已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是（2，﹣2）；（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是（1，0）；（3）△A2B2C2的面积是10 平方单位．考点：作图-位似变换；作图-平移变换．专题：作图题．分析：（1）利用平移的性质得出平移后图象进而得出答案；（2）利用位似图形的性质得出对应点位置即可；（3）利用等腰直角三角形的性质得出△A2B2C2的面积．解答：解：（1）如图所示：C1（2，﹣2）；故答案为：（2，﹣2）；（2）如图所示：C2（1，0）；故答案为：（1，0）；（3）∵A2C22=20，B2C=20，A2B2=40，∴△A2B2C2是等腰直角三角形，∴△A2B2C2的面积是：×20=10平方单位．故答案为：10．点评：此题主要考查了位似图形的性质以及平移的性质和三角形面积求法等知识，得出对应点坐标是解题关键．18．如图，已知∠MON=90°，A是∠MON内部的一点，过点A作AB⊥ON，垂足为点B，AB=3厘米，OB=4厘米，动点E，F同时从O点出发，点E以1.5厘米/秒的速度沿ON方向运动，点F以2厘米/秒的速度沿OM方向运动，EF与OA交于点C，连接AE，当点E到达点B时，点F随之停止运动．设运动时间为t 秒（t＞0）．（1）当t=1秒时，△EOF与△ABO是否相似？请说明理由；（2）在运动过程中，不论t取何值时，总有EF⊥OA．为什么？（3）连接AF，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得S△AEF=S四边形AEOF？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．考点：相似形综合题．专题：动点型．分析：（1）运用=和夹角相等，得出△EOF∽△ABO．（2）证明Rt△EOF∽Rt△ABO，进而证明EF⊥OA．（3）根据S△AEF=S梯形ABOF﹣S△FOE﹣S△ABE以及S四边形AEOF=S梯形ABOF﹣S△ABE可得到S△AEF与S四边形AEOF关于t的表达式，进而可求出t的值．解答：解：（1）∵t=1，∴OE=1.5厘米，OF=2厘米，∵AB=3厘米，OB=4厘米，∴==，==∵∠MON=∠ABE=90°，∴△EOF∽△ABO．（2）在运动过程中，OE=1.5t，OF=2t．∵AB=3，OB=4．∴．又∵∠EOF=∠ABO=90°，∴Rt△EOF∽Rt△ABO．∴∠AOB=∠EFO．∵∠AOB+∠FOC=90°，∴∠EFO+∠FOC=90°，∴EF⊥OA．（3）如图，连接AF，∵OE=1.5t，OF=2t，∴BE=4﹣1.5t∴S△FOE=OE•OF=×1.5t×2t=t2，S△ABE=×（4﹣1.5t）×3=6﹣t，S梯形ABOF=（2t+3）×4=4t+6，∴S△AEF=S梯形ABOF﹣S△FOE﹣S△ABE=4t+6﹣t2﹣（6﹣t）=﹣t2+t，S四边形AEOF=S梯形ABOF﹣S△ABE=4t+6﹣（6﹣t）=t，∵S△AEF=S四边形AEOF∴﹣t2+t=×t，（0＜t＜）解得t=或t=0（舍去）．∴当t=时，S△AEF=S四边形AEOF．点评：本题主要考查了相似形综合题，解题的关键是利用S△AEF=S四边形AEOF求t的值．19．如图，在平行四边形ABCD中，点G是BC延长线上一点，AG与BD交于点E，与DC交于点F，如果AB=m，CG=BC，求：（1）DF的长度；（2）三角形ABE与三角形FDE的面积之比．考点：相似三角形的判定与性质；三角形的面积；平行四边形的性质．专题：几何综合题．分析：（1）先根据平行四边形的性质和已知关系，得出CG和BG之间的关系，即CG=BG，和，即可得出．（2）根据平行线的性质，由AB∥CD，课得出△ABE∽△FDE，再根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，即，即得△ABE与△FDE的面积之比为9：4．解答：解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=m，AB∥CD．∵CG=BC，∴CG=BG，∵AB∥CD，∴．∴，∴；（2）∵AB∥CD，∴△ABE∽△FDE，∴．∴△ABE与△FDE的面积之比为9：4．点评：本题主要考查了平行四边形的性质和三角形的性质，属于中等题目，要求学生能够熟练掌握此类题目．20．如图，已知△ABC是等边三角形，AB=6，点D在AC上，AD=2CD，CM是∠ACB的外角平分线，连接BD并延长与CM交于点E．（1）求CE的长；（2）求∠EBC的正切值．考点：平行线分线段成比例；等边三角形的性质；解直角三角形．分析：（1）首先证明CE∥AB，则△ABD∽△CED，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解；（2）过点E作EH⊥BC于点H，在直角△CEH中，利用三角函数求得CH和EH的长度，即可求得BH的大小，即可求得三角函数值．解答：解：（1）在BC延长线上取一点F，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC=6，∠ACF=120°，∵CM是∠ACB的外角平分线，∴∠ECF=∠ACF=60°，∴∠ECF=∠ABC，∴CE∥AB，∴=，又∵AD=2CD，AB=6，∴=，∴CE=3．（2）过点E作EH⊥BC于点H．∵∠ECF=60°，∠EHC=90°，CE=3，∴CH=3，EH=，又∵BC=6，∴BH=BC+CH=，∵∠EHB=90°，∴tan∠EBC==．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，以及三角函数值的求法，求三角函数值的问题常用的方法是转化为求直角三角形的边的问题．21．已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC，CD上的点，且EF∥BD，AE、AF分别交BD 与点G和点H，BD=12，EF=8．求：（1）的值；（2）线段GH的长．考点：平行线分线段成比例；平行四边形的性质．分析：（1）根据EF∥BD，则=，再利用平行四边形的性质即可得出的值；（2）利用DF∥AB，则==，进而得出==，求出GH即可．解答：解：（1）∵EF∥BD，∴=，∵BD=12，EF=8，∴=，∴=，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∴=；（2）∵DF∥AB，∴==，∴=，∵EF∥BD，∴==，∴=，∴GH=6．点评：此题主要考查了平行线分线段成比例定理以及平行四边形的性质，熟练根据平行线分线段成比例定理得出GH的长是解题关键．22．如图，在△ABC中，AD平分∠BA C交BC于点D．点E、F分别在边AB、AC上，且BE=AF，FG∥AB交线段AD于点G，连接BG、EF．（1）求证：四边形BGFE是平行四边形；（2）若△ABG∽△AGF，AB=10，AG=6，求线段BE的长．考点：相似三角形的性质；平行四边形的判定．专题：综合题．分析：（1）根据FG∥AB，又AD平分∠BAC，可证得，∠AGF=∠GAF，从而得：AF=FG=BE，又因为FG∥AB，所以可知四边形BGFE是平行四边形；（2）根据△ABG∽△AGF，可得，求出AF的长，再由（1）的结论：AF=FG=BE，即可得BE的长．解答：（1）证明：∵FG∥AB，∴∠BAD=∠AGF．∵∠BAD=∠GAF，∴∠AGF=∠GAF，AF=GF．∵BE=AF，∴FG=BE，又∵FG∥BE，∴四边形BGFE为平行四边形．（4分）（2）解：△ABG∽△AGF，∴，即，∴AF=3.6，∵BE=AF，∴BE=3.6．（8分）点评：解决此类题目，要掌握平行四边形的判定及相似三角形的性质．23．如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于E，交BA的延长线点F．问：（1）图中△APD与哪个三角形全等？并说明理由；（2）求证：△APE∽△FPA；（3）猜想：线段PC，PE，PF之间存在什么关系？并说明理由．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定；菱形的性质．专题：证明题；探究型．分析：（1）根据已知利用SAS来判定两三角形全等．（2）根据每一问的结论及已知，利用两组角相等则两三角形相似来判定即可；（3）根据相似三角形的对应边成比例及全等三角形的对应边相等即可得到结论．解答：解：（1）△APD≌△CPD．理由：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD，∠ADP=∠CDP．又∵PD=PD，∴△APD≌△CPD．证明：（2）∵△APD≌△CPD，∴∠DAP=∠DCP，∵CD∥AB，∴∠DCF=∠DAP=∠CFB，又∵∠FPA=∠FPA，∴△APE∽△FPA．猜想：（3）PC2=PE•PF．理由：∵△APE∽△FPA，∴．∴PA2=PE•PF．∵△APD≌△CPD，∴PA=PC．∴PC2=PE•PF．点评：本题考查了相似三角形的判定，全等三角形的判定，菱形的性质等知识点，本题中依据三角形的全等或相似得出线段的相等或比例关系是解题的关键．24．如图．在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F，点E是AB 的中点，连接EF．（1）求证：EF∥BC；（2）若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积．考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；三角形中位线定理．专题：几何综合题．分析：（1）首先判定△ADC是等腰三角形，然后利用等腰三角形的性质得到点F是AD的中点，然后得到EF是△ABD的中位线，利用中位线的定理证得到平行即可；（2）根据上题证得的平行可以判定△AEF∽ABD，然后利用相似三角形面积的比等于相似比的平方求的△ABD的面积．解答：（1）证明：∵DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于F，∴F为AD的中点，∵点E是AB的中点，∴EF为△ABD的中位线，∴EF∥BC；（2）解：∵EF为△ABD的中位线，∴，EF∥BD，∴△AEF∽△ABD，∴S△AEF：S△ABD=1：4，∴S△AEF：S四边形BDFE=1：3，∵四边形BDFE的面积为6，∴S△AEF=2，∴S△ABD=S△AEF+S四边形BDFE=2+6=8．点评：本题主要考查等腰三角形的判定和性质、三角形中位线的定义和性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键在于求证EF为中位线，S△AEF：S△ABD=1：4．。
中考数学总复习图形的相似-精练精析及答案解析
图形的变化——图形的相似1一．选择题（共9小题）1．若x：y=1：3，2y=3z，则的值是（）A．﹣5 B．﹣C．D．52．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，EF∥AB．若AD=2BD，则的值为（）A．B． C． D．3．如果两个相似多边形面积的比为1：5，则它们的相似比为（）A．1：25 B．1：5 C．1：2.5 D．1：4．如图，AB是半圆O的直径，D，E是半圆上任意两点，连结AD，DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC 与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件其中错误的是（）A．∠ACD=∠DAB B．AD=DE C．AD2=BD•CD D．CD•AB=AC•BD5．如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为（）A．P1B．P2C．P3D．P46．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（2，0），点C在第一象限，若以A、B、C为顶点的三角形与△AOB相似（不包括全等），则点C的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．47．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，△ABC中，AB=AC=18，BC=12，正方形DEFG的顶点E，F在△ABC内，顶点D，G分别在AB，AC 上，AD=AG，DG=6，则点F到BC的距离为（）A．1 B．2 C．12﹣6 D．6﹣69．如图，在△ABC中，两条中线BE、CD相交于点O，则S△DOE：S△COB=（）A．1：4 B．2：3 C．1：3 D．1：2二．填空题（共7小题）10 已知线段b是线段a、c的比例中项，且a=1，c=4，那么b= _________ ．11．如图，点M是△ABC内﹣点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是1，4，9．则△ABC的面积是_________ ．12．若，则= _________ ．13．已知△ABC∽△DEF，其中AB=5，BC=6，CA=9，DE=3，那么△DEF的周长是_________ ．14．如图，已知在Rt△OAC中，O为坐标原点，直角顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象经过OA的中点B，交AC于点D，连接OD．若△OCD∽△ACO，则直线OA的解析式为_________ ．15．如图，在▱ABCD中，F是BC上的一点，直线DF与AB的延长线相交于点E，BP∥DF，且与AD相交于点P，请从图中找出一组相似的三角形：_________ ．16．如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等，则= _________ ．三．解答题（共8小题）17．如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒．（1）求直线AB的解析式；（2）当t为何值时，△APQ与△AOB相似？（3）当t为何值时，△APQ的面积为个平方单位？18．已知在矩形ABCD中，P是边AD上的一动点，联结BP、CP，过点B作射线交线段CP的延长线于点E，交边AD于点M，且使得∠ABE=∠CBP，如果AB=2，BC=5，AP=x，PM=y；（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（2）当AP=4时，求∠EBP的正切值；（3）如果△EBC是以∠EBC为底角的等腰三角形，求AP的长．19．如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EB，GD．（1）求证：EB=GD；（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG=，求GD的长．20．等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P．（1）若AE=CF；①求证：AF=BE，并求∠APB的度数；②若AE=2，试求AP•AF的值；（2）若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长．21．如图，AB∥FC，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，分别延长FD和CB交于点G．（1）求证：△ADE≌△CFE；（2）若GB=2，BC=4，BD=1，求AB的长．22．如图，正方形ABCD的边长为1，AB边上有一动点P，连接PD，线段PD绕点P顺时针旋转90°后，得到线段PE，且PE交BC于F，连接DF，过点E作EQ⊥AB的延长线于点Q．（1）求线段PQ的长；（2）问：点P在何处时，△PFD∽△BFP，并说明理由．23．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．M为AD中点，连接CM交BD于点N，且ON=1．（1）求BD的长；（2）若△DCN的面积为2，求四边形ABNM的面积．24．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，Rt△BAP中，∠BAP=90°，已知∠CBO=∠ABP，BP交AC于点O，E 为AC上一点，且AE=OC．（1）求证：AP=AO；（2）求证：PE⊥AO；（3）当AE=AC，AB=10时，求线段BO的长度．图形的变化——图形的相似参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．若x：y=1：3，2y=3z，则的值是（）A．﹣5 B．﹣C．D．5考点：比例的性质．专题：计算题．分析：根据比例设x=k，y=3k，再用k表示出z，然后代入比例式进行计算即可得解．解答：解：∵x：y=1：3，∴设x=k，y=3k，∵2y=3z，∴z=2k，∴==﹣5．故选：A．点评：本题考查了比例的性质，利用“设k法”分别表示出x、y、z可以使计算更加简便．2．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，EF∥AB．若AD=2BD，则的值为（）A．B．C．D．考点：平行线分线段成比例．专题：几何图形问题．分析：根据平行线分线段成比例定理得出===2，即可得出答案．解答：解：∵DE∥BC，EF∥AB，AD=2BD，∴==2，==2，∴=，故选：A．点评：本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例．3．如果两个相似多边形面积的比为1：5，则它们的相似比为（）A．1：25 B．1：5 C．1：2.5 D．1：考点：相似多边形的性质．分析：根据相似多边形的面积的比等于相似比的平方解答．解答：解：∵两个相似多边形面积的比为1：5，∴它们的相似比为1：．故选：D．点评：本题考查了相似多边形的性质，熟记性质是解题的关键．4．如图，AB是半圆O的直径，D，E是半圆上任意两点，连结AD，DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC 与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件其中错误的是（）A．∠ACD=∠DAB B．AD=DE C．AD2=BD•CD D．C D•AB=AC•BD考点：相似三角形的判定；圆周角定理．专题：几何图形问题．分析：由∠ADC=∠ADB，根据有两角对应相等的三角形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可求得答案；注意排除法在解选择题中的应用．解答：解：如图，∠ADC=∠ADB，A、∵∠ACD=∠DAB，∴△ADC∽△BDA，故A选项正确；B、∵AD=DE，∴=，∴∠DAE=∠B，∴△ADC∽△BDA，故B选项正确；C、∵AD2=BD•CD，∴AD：BD=CD：AD，∴△ADC∽△BDA，故C选项正确；D、∵CD•AB=AC•BD，∴CD：AC=BD：AB，但∠ACD=∠ABD不是对应夹角，故D选项错误．故选：D．点评：此题考查了相似三角形的判定以及圆周角定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．5．如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为（）A．P1B．P2C．P3D．P4考点：相似三角形的判定．分析：由于∠BAC=∠PED=90°，而=，则当=时，可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似判断△ABC∽△EPD，然后利用DE=4，所以EP=6，则易得点P落在P3处．解答：解：∵∠BAC=∠PED，而=，∴=时，△ABC∽△EPD，∵DE=4，∴EP=6，∴点P落在P3处．故选：C．点评：本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．6．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（2，0），点C在第一象限，若以A、B、C为顶点的三角形与△AOB相似（不包括全等），则点C的个数是（）A． 1 B．2 C．3 D．4考点：相似三角形的判定；坐标与图形性质．分析：根据题意画出图形，根据相似三角形的判定定理即可得出结论．解答：解：如图①，∠OAB=∠BAC1，∠AOB=∠ABC1时，△AOB∽△ABC1．如图②，AO∥BC，BA⊥AC2，则∠ABC2=∠OAB，故△AOB∽△BAC2；如图③，AC3∥OB，∠ABC3=90°，则∠ABO=∠CAB，故△AOB∽△C3BA；如图④，∠AOB=∠BAC4=90°，∠ABO=∠ABC4，则△AOB∽△C4AB．故选D．点评：本题考查的是相似三角形的判定，熟知有两组角对应相等的两个三角形相似是解答此题的关键．7．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：相似三角形的判定；直角梯形．分析：由于∠PAD=∠PBC=90°，故要使△PAD与△PBC相似，分两种情况讨论：①△APD∽△BPC，②△APD∽△BCP，这两种情况都可以根据相似三角形对应边的比相等求出AP的长，即可得到P点的个数．解答：解：∵AB⊥BC，∴∠B=90°．∵AD∥BC，∴∠A=180°﹣∠B=90°，∴∠PAD=∠PBC=90°．AB=8，AD=3，BC=4，设AP的长为x，则BP长为8﹣x．若AB边上存在P点，使△PAD与△PBC相似，那么分两种情况：①若△APD∽△BPC，则AP：BP=AD：BC，即x：（8﹣x）=3：4，解得x=；②若△APD∽△BCP，则AP：BC=AD：BP，即x：4=3：（8﹣x），解得x=2或x=6．∴满足条件的点P的个数是3个，故选：C．点评：本题主要考查了相似三角形的判定及性质，难度适中，进行分类讨论是解题的关键．8．如图，△ABC中，AB=AC=18，BC=12，正方形DEFG的顶点E，F在△ABC内，顶点D，G分别在AB，AC 上，AD=AG，DG=6，则点F到BC的距离为（）A． 1 B．2 C．12﹣6 D．6﹣6考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；正方形的性质．专题：几何图形问题．分析：首先过点A作AM⊥BC于点M，交DG于点N，延长GF交BC于点H，易证得△ADG∽△ABC，然后根据相似三角形的性质以及正方形的性质求解即可求得答案．解答：解：过点A作AM⊥BC于点M，交DG于点N，延长GF交BC于点H，∵AB=AC，AD=AG，∴AD：AB=AG：AC，∵∠BAC=∠DAG，∴△ADG∽△ABC，∴∠ADG=∠B，∴DG∥BC，∵四边形DEFG是正方形，∴FG⊥DG，∴FH⊥BC，AN⊥DG，∵AB=AC=18，BC=12，∴BM=BC=6，∴AM==12，∴，∴，∴AN=6，∴MN=AM﹣AN=6，∴FH=MN﹣GF=6﹣6．故选：D．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．9．如图，在△ABC中，两条中线BE、CD相交于点O，则S△DOE：S△COB=（）A．1：4 B．2：3 C．1：3 D．1：2考点：相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理．专题：计算题．分析：根据三角形的中位线得出DE∥BC，DE=BC，根据平行线的性质得出相似，根据相似三角形的性质求出即可．解答：解：∵BE和CD是△ABC的中线，∴DE=BC，DE∥BC，∴=，△DOE∽△COB，∴=（）2=（）2=，故选：A．点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形的中位线的应用，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．二．填空题（共7小题）10．已知线段b是线段a、c的比例中项，且a=1，c=4，那么b= 2 ．考点：比例线段．分析：根据比例中项的定义可得b2=ac，从而易求b．解答：解：∵b是a、c的比例中项，∴b2=ac，即b2=4，∴b=±2（负数舍去）．故答案是：2．点评：本题考查了比例线段，解题的关键是理解比例中项的含义．11．如图，点M是△ABC内﹣点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是1，4，9．则△ABC的面积是36 ．考点：相似三角形的判定与性质．分析：根据相似三角形的面积比是相似比的平方，先求出相似比．再根据平行四边形的性质及相似三角形的性质得到BC：DM=6：1，即S△ABC：S△FDM=36：1，从而得到△ABC面积．解答：解：过M作BC的平行线交AB、AC于D、E，过M作AC的平行线交AB、BC于F、H，过M作AB的平行线交AC、BC于I、G，因为△1、△2、△3的面积比为1：4：9，所以他们对应边边长的比为1：2：3，又因为四边形BDMG与四边形CEMH为平行四边形，所以DM=BG，EM=CH，设DM为x，则ME=2x，GH=3x，所以BC=BG+GH+CH=DM+GH+ME=x+2x+3x=6x，所以BC：DM=6x：x=6：1，由面积比等于相似比的平方故可得出：S△ABC：S△FDM=36：1，所以S△ABC=36×S△FDM=36×1=36．故答案为：36．点评：本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质及相似三角形的性质．熟悉相似三角形的性质：相似三角形的面积比是相似比的平方．12．若，则= ．考点：比例的性质．分析：先用b表示出a，然后代入比例式进行计算即可得解．解答：解：∵ =，∴a=，∴=．故答案为：．点评：本题考查了比例的性质，用b表示出a是解题的关键，也是本题的难点．13．已知△ABC∽△DEF，其中AB=5，BC=6，CA=9，DE=3，那么△DEF的周长是12 ．考点：相似三角形的性质．专题：计算题．分析：根据相似的性质得=，即=，然后利用比例的性质计算即可．解答：解：∵△ABC∽△DEF，∴=，即=，∴△DEF的周长=12．故答案为：12．点评：本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．14．如图，已知在Rt△OAC中，O为坐标原点，直角顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象经过OA的中点B，交AC于点D，连接OD．若△OCD∽△ACO，则直线OA的解析式为y=2x ．考点：相似三角形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．专题：数形结合．分析：设OC=a，根据点D在反比例函数图象上表示出CD，再根据相似三角形对应边成比例列式求出AC，然后根据中点的定义表示出点B的坐标，再根据点B在反比例函数图象上表示出a、k的关系，然后用a表示出点B的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式解答．解答：解：设OC=a，∵点D在y=上，∴CD=，∵△OCD∽△ACO，∴=，∴AC==，∴点A（a，），∵点B是OA的中点，∴点B的坐标为（，），∵点B在反比例函数图象上，∴=，∴=2k2，∴a4=4k2，解得，a2=2k，∴点B的坐标为（，a），设直线OA的解析式为y=mx，则m•=a，解得m=2，所以，直线OA的解析式为y=2x．故答案为：y=2x．点评：本题考查了相似三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，用OC的长度表示出点B的坐标是解题的关键，也是本题的难点．15．如图，在▱ABCD中，F是BC上的一点，直线DF与AB的延长线相交于点E，BP∥DF，且与AD相交于点P，请从图中找出一组相似的三角形：△ABP∽△AED（答案不唯一）．考点：相似三角形的判定；平行四边形的性质．专题：开放型．分析：可利用平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似判断△ABP∽△AED．解答：解：∵BP∥DF，∴△ABP∽△AED．故答案为：△ABP∽△AED（答案不唯一）．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；16．如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等，则= ．考点：相似三角形的判定与性质．分析：根据相似三角形的判定与性质，可得答案．解答：解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∵S△ADE=S四边形BCDE，∴，∴，故答案为：．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，平行于三角形一边截三角形另外两边所得的三角形与原三角形相似，相似三角形面积的比等于相似比的平方．三．解答题（共8小题）17．如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒．（1）求直线AB的解析式；（2）当t为何值时，△APQ与△AOB相似？（3）当t为何值时，△APQ的面积为个平方单位？考点：相似三角形的判定与性质；待定系数法求一次函数解析式；解直角三角形．专题：压轴题；动点型．分析：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，解得k，b即可；（2）由AO=6，BO=8得AB=10，①当∠APQ=∠AOB时，△APQ∽△AOB利用其对应边成比例解t．②当∠AQP=∠AOB时，△AQP∽△AOB利用其对应边成比例解得t．（3）过点Q作QE垂直AO于点E．在Rt△AEQ中，QE=AQ•sin∠BAO=（10﹣2t）•=8﹣t，再利用三角形面积解得t即可．解答：解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，由题意，得，解得，所以，直线AB的解析式为y=﹣x+6；（2）由AO=6，BO=8得AB=10，所以AP=t，AQ=10﹣2t，①当∠APQ=∠AOB时，△APQ∽△AOB．所以=，解得t=（秒），②当∠AQP=∠AOB时，△AQP∽△AOB．所以=，解得t=（秒）；∴当t为秒或秒时，△APQ与△AOB相似；（3）过点Q作QE垂直AO于点E．在Rt△AOB中，sin∠BAO==，在Rt△AEQ中，QE=AQ•sin∠BAO=（10﹣2t）•=8﹣t，S△APQ=AP•QE=t•（8﹣t），=﹣t2+4t=，解得t=2（秒）或t=3（秒）．∴当t为2秒或3秒时，△AP Q的面积为个平方单位点评：此题主要考查相似三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数值，解直角三角形等知识点，有一定的拔高难度，属于难题．18．已知在矩形ABCD中，P是边AD上的一动点，联结BP、CP，过点B作射线交线段CP的延长线于点E，交边AD于点M，且使得∠ABE=∠CBP，如果AB=2，BC=5，AP=x，PM=y；（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（2）当AP=4时，求∠EBP的正切值；（3）如果△EBC是以∠EBC为底角的等腰三角形，求AP的长．考点：相似形综合题；等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质；锐角三角函数的定义．专题：综合题．分析：（1）易证△ABM∽△APB，然后根据相似三角形的性质就可得到y关于x的函数解析式，由P是边AD上的一动点可得0≤x≤5，再由y＞0就可求出该函数的定义域；（2）过点M作MH⊥BP于H，由AP=x=4可求出MP、AM、BM、BP，然后根据面积法可求出MH，从而可求出BH，就可求出∠EBP的正切值；（3）可分EB=EC和CB=CE两种情况讨论：①当EB=EC时，可证到△AMB≌△DPC，则有AM=DP，从而有x ﹣y=5﹣x，即y=2x﹣5，代入（1）中函数解析式就可求出x的值；②当CB=CE时，可得到PC=EC﹣EP=BC ﹣MP=5﹣y，在Rt△DPC中根据勾股定理可得到x与y的关系，然后结合y关于x的函数解析式，就可求出x的值．解答：解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=2，AD=BC=5，∠A=∠D=90°，AD∥BC，∴∠APB=∠PBC．∵∠ABE=∠CBP，∴∠ABM=∠APB．又∵∠A=∠A，∴△ABM∽△APB，∴=，∴=，∴y=x﹣．∵P是边AD上的一动点，∴0≤x≤5．∵y＞0，∴x﹣＞0，∴x＞2，∴函数的定义域为2＜x≤5；（2）过点M作MH⊥BP于H，如图．∵AP=x=4，∴y=x﹣=3，∴MP=3，AM=1，∴BM==，BP==2．∵S△BMP=MP•AB=BP•MH，∴MH==，∴BH==，∴tan∠EBP==；（3）①若EB=EC，则有∠EBC=∠ECB．∵AD∥BC，∴∠AMB=∠EBC，∠DPC=∠ECB，∴∠AMB=∠DPC．在△AMB和△DPC中，，∴△AMB≌△DP C，∴AM=DP，∴x﹣y=5﹣x，∴y=2x﹣5，∴x﹣=2x﹣5，解得：x1=1，x2=4．∵2＜x≤5，∴AP=x=4；②若CE=CB，则∠EBC=∠E．∵AD∥BC，∴∠EMP=∠EBC=∠E，∴PE=PM=y，∴PC=EC﹣EP=5﹣y，∴在Rt△DPC中，（5﹣y）2﹣（5﹣x）2=22，∴（10﹣x﹣y）（x﹣y）=4，∴（10﹣x﹣x+）（x﹣x+）=4，整理得：3x2﹣10x﹣4=0，解得：x3=，x4=（舍负）．∴AP=x=．终上所述：AP的值为4或．点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理、解一元二次方程、三角函数等知识，证到△ABM∽△APB是解决第（1）小题的关键，把∠EBP放到直角三角形中是解决第（2）小题的关键，运用勾股定理建立x与y的等量关系是解决第（3）小题的关键．19．如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EB，GD．（1）求证：EB=GD；（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG=，求GD的长．考点：相似多边形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质．专题：几何综合题．分析：（1）利用相似多边形的对应角相等和菱形的四边相等证得三角形全等后即可证得两条线段相等；（2）连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，根据∠DAB=60°得到BP=AB=1，然后求得EP=2，最后利用勾股定理求得EB的长即可求得线段GD的长即可．解答：（1）证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，∴∠EAG=∠BAD，∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB，∴∠EAB=∠GAD，∵AE=AG，AB=AD，∴△AEB≌△AGD，∴EB=GD；（2）解：连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，∵∠DAB=60°，∴∠PAB=30°，∴BP=AB=1，AP==，AE=AG=，∴EP=2，∴EB===，∴GD=．点评：本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是了解相似多边形的对应边的比相等，对应角相等．20．等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P．（1）若AE=CF；①求证：AF=BE，并求∠APB的度数；②若AE=2，试求AP•AF的值；（2）若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．专题：证明题；压轴题；动点型．分析：（1）①证明△ABE≌△CAF，借用外角即可以得到答案；②利用勾股定理求得AF的长度，再用平行线分线段成比例定理或者三角形相似定理求得的比值，即可以得到答案．（2）当点F靠近点C的时候点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时△ABP为等腰三角形，继而求得半径和对应的圆心角的度数，求得答案．点F靠近点B时，点P的路径就是过点B向AC做的垂线段的长度；解答：（1）①证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠C=∠CAB=60°，又∵AE=CF，在△ABE和△CAF中，，∴△ABE≌△CAF（SAS），∴AF=BE，∠ABE=∠CAF．又∵∠APE=∠BPF=∠ABP+∠BAP，∴∠APE=∠BAP+∠CAF=60°．∴∠APB=180°﹣∠APE=120°．②∵∠C=∠APE=60°，∠PAE=∠CAF，∴△APE∽△ACF，∴，即，所以AP•AF=12（2）若AF=BE，有AE=BF或AE=CF两种情况．①当AE=CF时，点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时△ABP为等腰三角形，且∠ABP=∠BAP=30°，∴∠AOB=120°，又∵AB=6，∴OA=，点P的路径是．②当AE=BF时，点P的路径就是过点C向AB作的垂线段的长度；因为等边三角形ABC的边长为6，所以点P的路径为：．所以，点P经过的路径长为或3．点评：本题考查了等边三角形性质的综合应用以及相似三角形的判定及性质的应用，解答本题的关键是注意转化思想的运用．21．如图，AB∥FC，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，分别延长FD和CB交于点G．（1）求证：△ADE≌△CFE；（2）若GB=2，BC=4，BD=1，求AB的长．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．分析：（1）由平行线的性质可得：∠A=∠FCE，再根据对顶角相等以及全等三角形的判定方法即可证明：△ADE≌△CFE；（2）由AB∥F C，可证明△GBD∽△GCF，根据给出的已知数据可求出CF的长，即AD的长，进而可求出AB的长．解答：（1）证明：∵AB∥FC，∴∠A=∠FCE，在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（AAS）；（2）解：∵AB∥FC，∴△GBD∽△GCF，∴GB：GC=BD：CF，∵GB=2，BC=4，BD=1，∴2：6=1：CF，∴CF=3，∵AD=CF，∴AB=AD+BD=4．点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及平行线的性质，题目的设计很好，难度一般．22．如图，正方形ABCD的边长为1，AB边上有一动点P，连接PD，线段PD绕点P顺时针旋转90°后，得到线段PE，且PE交BC于F，连接DF，过点E作EQ⊥AB的延长线于点Q．（1）求线段PQ的长；（2）问：点P在何处时，△PFD∽△BFP，并说明理由．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．分析：（1）由题意得：PD=PE，∠DPE=90°，又由正方形ABCD的边长为1，易证得△ADP≌△QPE，然后由全等三角形的性质，求得线段PQ的长；（2）易证得△DAP∽△PBF，又由△PFD∽△BFP，根据相似三角形的对应边成比例，可得证得PA=PB，则可求得答案．解答：解：（1）根据题意得：PD=PE，∠DPE=90°，∴∠APD+∠QPE=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=90°，∴∠ADP+∠APD=90°，∴∠ADP=∠QPE，∵EQ⊥AB，∴∠A=∠Q=90°，在△ADP和△QPE中，，∴△ADP≌△QPE（AAS），∴PQ=AD=1；（2）∵△PFD∽△BFP，∴，∵∠ADP=∠EPB，∠CBP=∠A，∴△DAP∽△PBF，∴，∴=，∴PA=PB，∴PA=AB=∴当PA=时，△PFD∽△BFP．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．23．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．M为AD中点，连接CM交BD于点N，且ON=1．（1）求BD的长；（2）若△DCN的面积为2，求四边形ABNM的面积．考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．专题：几何综合题．分析：（1）由四边形ABCD为平行四边形，得到对边平行且相等，且对角线互相平分，根据两直线平行内错角相等得到两对角相等，进而确定出三角形MND与三角形CNB相似，由相似得比例，得到DN：BN=1：2，设OB=OD=x，表示出BN与DN，求出x的值，即可确定出BD的长；（2）由相似三角形相似比为1：2，得到CN=2MN，BN=2DN．已知△DCN的面积，则由线段之比，得到△MND 与△CNB的面积，从而得到S△ABD=S△BCD=S△BCN+S△CND，最后由S四边形ABNM=S△ABD﹣S△MND求解．解答：解：（1）∵平行四边形ABCD，∴AD∥BC，AD=BC，OB=OD，∴∠DMN=∠BCN，∠MDN=∠NBC，∴△MND∽△CNB，∴=，∵M为AD中点，∴MD=AD=BC，即=，∴=，即BN=2DN，设OB=OD=x，则有BD=2x，BN=OB+ON=x+1，DN=x﹣1，∴x+1=2（x﹣1），解得：x=3，∴BD=2x=6；（2）∵△MND∽△CNB，且相似比为1：2，∴MN：CN=DN：BN=1：2，∴S△MND=S△CND=1，S△BNC=2S△CND=4．∴S△ABD=S△BCD=S△BCN+S△CND=4+2=6∴S四边形ABNM=S△ABD﹣S△MND=6﹣1=5．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．24．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，Rt△BAP中，∠BAP=90°，已知∠CBO=∠ABP，BP交AC于点O，E 为AC上一点，且AE=OC．（1）求证：AP=AO；（2）求证：PE⊥AO；（3）当AE=AC，AB=10时，求线段BO的长度．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质．专题：几何综合题；压轴题．分析：（1）根据等角的余角相等证明即可；（2）过点O作OD⊥AB于D，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CO=DO，利用“SAS”证明△APE和△OAD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AEP=∠ADO=90°，从而得证；（3）设C0=3k，AC=8k，表示出AE=CO=3k，AO=AP=5k，然后利用勾股定理列式求出PE=4k，BC=BD=10﹣4k，再根据相似三角形对应边成比例列式求出k=1然后在Rt△BDO中，利用勾股定理列式求解即可．解答：（1）证明：∵∠C=90°，∠BAP=90°∴∠CBO+∠BOC=90°，∠ABP+∠APB=90°，又∵∠CBO=∠ABP，∴∠BOC=∠APB，∵∠BOC=∠AOP，∴∠AOP=∠APB，∴AP=AO；（2）证明：如图，过点O作OD⊥AB于D，∵∠CBO=∠ABP，∴CO=DO，∵AE=OC，∴AE=OD，∵∠AOD+∠OAD=90°，∠PAE+∠OAD=90°，∴∠AOD=∠PAE，在△AOD和△PAE中，，∴△AOD≌△PAE（SAS），∴∠AEP=∠ADO=90°∴PE⊥AO；（3）解：设AE=OC=3k，∵AE=AC，∴AC=8k，∴OE=AC﹣AE﹣OC=2k，∴OA=OE+AE=5k．由（1）可知，AP=AO=5k．如图，过点O作OD⊥AB于点D，∵∠CBO=∠ABP，∴OD=OC=3k．在Rt△AOD中，AD===4k．∴BD=AB﹣AD=10﹣4k．∵OD∥AP，∴，即解得k=1，∵AB=10，PE=AD，∴PE=AD=4K，BD=AB﹣AD=10﹣4k=6，OD=3在Rt△BDO中，由勾股定理得：BO===3．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，（2）作辅助线构造出过渡线段DO并得到全等三角形是解题的关键，（3）利用相似三角形对应边成比例求出k=1是解题的关键．。
九年级数学,图形的相似精讲精练,教师版
第4讲 图形的相似第一节 平行线分线段成比例一、知识点归纳1、比例性质：①bc ad d c b a =⇔=::；②2::a b b c b a c =⇔=⋅（其中b 叫做比例中项） 2、更比性质(交换比例的内项或外项)：3、反比性质(把比的前项、后项交换)：a cb db d ac =⇔=．4、合、分比性质：a c abc db d b d ±±=⇔=． 5、等比性质：如果)0(≠++++====n f d b n mf e d c b a ，那么b a n f d b m ec a =++++++++ 6、如果四条线段a,b,c,d 满足a cb d=,则四条线段a,b,c,d 称为比例线段。
（有先后顺序，不可颠倒） 7、平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线, 所截得的对应线段成比例.已知AD ∥BE ∥CF, 可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BC BC EF AC DF AB DE AC DF DE EF =====或或或或等. 注：平行线分线段成比例定理的推论：平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。
二、课前预习1．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF交l1，l2，l3于点D，E，F．若＝，则的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵直线l1∥l2∥l3，∴，∵，DF＝DE+EF．∴，故选：D．2．如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别相交于A，B，C和D，E，F．若，DE＝4，则DF的长为（）A．10B．C．12D．14【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴＝＝，∵DE＝4，∴EF＝10，∴DF＝DE+EF＝4+10＝14，故选：D．3．如图，在△ABC中，点D是AB上一点，DE∥BC交AC于点E，AD＝3，BD＝2，则AE与EC的比是（）A．9：4B．3：5C．9：16D．3：2【解答】解：∵DE∥BC，AD＝3，BD＝2，∴＝＝，故选：D．4．如图，已知l1∥l2∥l3，AB＝3，DE＝4，BC＝8，则DF＝（）A．10B．11C．D．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴＝，即＝，解得，EF＝，∴DF＝DE+EF＝，故选：D．三、典型例题例1 、如图，已知AB∥CD∥EF，BD：DF＝2：5，那么下列结论正确的是（）A．AC：EC＝2：5 B．AB：CD＝2：5 C．CD：EF＝2：5 D．AC：AE＝2：5【分析】根据平行线分线段成比例定理对各选项进行判断．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴AC：EC＝BD：DF＝2：5，AC：AE＝BD：BF＝2：7．故选：A．例2、如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，若AD：DB＝3：1，则AE：AC＝（）A．3：1 B．3：4 C．3：5 D．2：3【分析】根据平行线分线段成比例定理得到＝＝，然后根据比例的性质求AE：AC的值．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝＝，∴＝＝．故选：B．例3、如图，点D，E，F分别在△ABC的各边上，且DE∥BC，DF∥AC，若AE：EC＝1：2，BF＝6，则DE的长为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】先判断四边形BDEF为平行四边形得到DE＝CF，再利用平行线分线段成比例，由DE∥BC得到＝，然后利用比例性质得到＝，从而可得到DE的长．【解答】解：∵DE∥BC，DF∥AC，∴四边形BDEF为平行四边形，∴DE＝CF，∵DE∥BC，∴＝，∵AE：EC＝1：2，∴AE：AC＝1：3，∴＝，∴DE＝3．故选：C．例4、如图，已知一组平行线a∥b∥c，被直线m、n所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，且AB＝3，BC＝4，EF＝4.8，则DE＝（）A．7.2 B．6.4 C．3.6 D．2.4【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案．【解答】解：∵a∥b∥c，∴＝，即＝，解得，DE＝3.6，故选：C．例题5、如图，直线a∥b∥c，AB＝BC，若DF＝9，则EF的长度为（）A．9 B．5 C．4 D．3【分析】由直线a∥b∥c，利用平行线分线段成比例可得出DE＝EF，结合DF＝DE+EF＝9，即可求出EF的长．【解答】解：∵直线a∥b∥c，∴＝，∴DE＝•EF＝EF．∵DF＝DE+EF＝EF+EF＝9，∴EF＝5．故选：B．【点评】本题考查了平行线分线段成比例，利用平行线分线段成比例，找出DE＝EF是解题的关键．例6、如图，AB∥CD∥MN，点M，N分别在线段AD，BC上，AC与MN交于点E，则（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】根据平行线分线段成比例定理，利用ME∥CD得到＝，则利用比例的性质可判断D选项正确．【解答】解：∵ME∥CD，∴＝，∴＝．故选：D．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．四、课堂作业1．（2020秋•三明期末）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，过点B的直线DE分别交l1，l3于点D，E．若AB＝2，BC＝4，BD＝3，则线段BE的长为（）A．4B．5C．6D．9【解答】解：∵l1∥l2∥l3，AB＝2，BC＝4，BD＝3，∴，∴，解得：BE＝6，故选：C．2．（2021•禹州市一模）如图，已知直线a∥b∥c，若AB＝9，BC＝6，DF＝10，则DE的长为（）A．4B．5C．6D．7【解答】解：∵a∥b∥c，∴＝，即＝，解得，DE＝6，故选：C．3．（2020秋•崂山区期末）如图，在△ABC中，DE∥AB，且＝，则的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵DE∥AB，∴＝＝，∴＝．故选：A．4．（2020秋•清涧县期末）如图，直线a∥b∥c，AB＝BC，若DF＝9，则EF的长为（）A．3B．4C．5D．9【解答】解：∵a∥b∥c，∴＝，∵AB＝BC，∴＝＝，∴＝，而DF＝9，∴EF＝5．故选：C．五、课后作业1．（2021•肥东县二模）如图，AB∥CD∥EF，下面等式成立的是（）A．AC•CE＝BD•DF B．AC•AE＝BD•BFC．AC•DF＝CE•BD D．CD2＝AB•EF【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴＝，＝，∴AC•DF＝BD•CE；AC•BF＝BD•AE．故选：C．2．（2020秋•开封期末）如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB＝3：4，那么CF：BF的值为（）A．4：3B．3：7C．3：4D．2：4【解答】解：∵DE∥BC，EF∥AB，AD：DB＝3：4，∴，∴，故选：A．3．（2020秋•成华区期末）如图，在平行四边形ABCD中，点F是AD上的点，AF＝2FD，直线BF交AC于点E，交CD的延长线于点G，则的值为（）A．B．C．D．【解答】解：由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC＝3k，∴＝＝，∴＝＝故选：C．第二节相似多边形及性质一、知识点归纳一、相似图形：我们把形状相同的图形叫相似图形.两个图形相似，其中一个图形可以看成是由另一个图形放大或缩小得到的.如图所示的几组图形都是形状相同，大小不同的图形，因此这几组图形分别都是相似图形.当两个图形的形状相同，大小相同，这两个图形也是相似图形，它们是特殊的相似图形：全等图形.二、相似多边形：两个边数相同的多边形，如果他们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比.三、相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例；相似图形周长的比等于相似比，相似图形面积比等于相似比的平方.二、课前预习1．若四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，AB与A′B′，AD与A′D′分别是对应边，AB＝8cm，A′B′＝6cm，AD＝5cm，则A′D′等于（）A．cm B．cm C．cm D．cm【解答】解：∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，AB与A′B′，AD与A′D′分别是对应边，∴＝，∵AB＝8cm，A′B′＝6cm，AD＝5cm，∴＝，则A′D′＝．故选：B．2．两个相似多边形的面积之比是1：4，则这两个相似多边形的周长之比是（）A．1：2B．1：4C．1：8D．1：16【解答】解：∵两个相似多边形的面积之比是1：4，∴这两个相似多边形的相似比是1：2，则这两个相似多边形的周长之比是1：2，故选：A．3．若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（）A．1：4B．1：2C．2：1D．1：16【解答】解：∵两个相似多边形面积比为1：4，∴周长之比为＝1：2．故选：B．三、典型例题例题1、下列图形中一定是相似形的是（）A．两个等边三角形B．两个菱形C．两个矩形D．两个直角三角形【分析】如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．【解答】解：∵等边三角形的对应角相等，对应边的比相等，∴两个等边三角形一定是相似形，又∵直角三角形，菱形的对应角不一定相等，矩形的边不一定对应成比例，∴两个直角三角形、两个菱形、两个矩形都不一定是相似形，故选：A．例2、下列各组图形中，一定相似的是（）A．任意两个圆B．任意两个等腰三角形C．任意两个菱形D．任意两个矩形【解答】解：A、任意两个圆是相似图形，故此选项正确；B、任意两个等腰三角形不是相似图形，故此选项错误；C、任意两个菱形不是相似图形，故此选项错误；D、任意两个矩形不是相似图形，故此选项错误；故选：A．【点评】此题主要考查了相似图形，关键是掌握①相似图形的形状必须完全相同；②相似图形的大小不一定相同；③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况．例3、下列图形中，任意两个图形一定是相似图形的是（）A．三角形B．平行四边形C．抛物线D．圆【分析】根据相似图形的定义：形状相同的图形称为相似图形进行分析即可．【解答】解：A、两个三角形不一定相似，如等边三角形和直角三角形，故此选项不符合题意；B、两个平行四边形不一定相似，如矩形和菱形，故此选项不符合题意；C、两条抛物线不一定相似，故此选项不符合题意；D、两个圆一定相似，故此选项符合题意；故选：D．例4、下列各组图形中，一定相似的是（）A．两个矩形B．都有内角是80°的两个等腰三角形C．两个菱形D．都有内角是100°的两个等腰三角形【分析】根据对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形进行判断即可．【解答】解：A、任意两个矩形的对应边不一定成比例，不一定相似，A错误；不符合题意；B、都有内角是80°的两个等腰三角形，不一定相似，B错误；不符合题意；C、任意两个菱形的对应角不一定相等，不一定相似，C错误；不符合题意；D、都有内角是100°的两个等腰三角形，一定相似，D正确，符合题意；故选：D．例5、两个相似多边形的面积之比是1：4，则这两个相似多边形的周长之比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16【分析】根据相似多边形的性质求出相似比，根据相似多边形的性质求出周长比．【解答】解：∵两个相似多边形的面积之比是1：4，∴这两个相似多边形的相似比是1：2，则这两个相似多边形的周长之比是1：2，故选：A．【点评】本题考查的是相似多边形的性质，相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．例6、若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（）A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．1：16【分析】根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方，周长之比等于相似比，就可求解．【解答】解：∵两个相似多边形面积比为1：4，∴周长之比为＝1：2．故选：B．四、课堂作业1．（2020秋•桂林期末）下列说法中，错误的是（）A．全等图形一定是相似图形B．两个等边三角形一定相似C．两个等腰直角三角形一定相似D．两个直角三角形一定相似【解答】解：A、全等图形一定是相似图形，正确，不合题意；B、两个等边三角形一定相似，正确，不合题意；C、两个等腰直角三角形一定相似，正确，不合题意；D、两个直角三角形不一定相似，原说法错误，故此选项符合题意．故选：D．2．（2020秋•拱墅区期末）在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比，三角形的周长（）A．没有发生变化B．放大了10倍C．放大了30倍D．放大了100倍【解答】解：在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比，则边长扩大10倍，故三角形的周长放大了10倍．故选：B．3．（2020秋•海陵区期末）下列各组图形中，一定相似的是（）A．两个等腰三角形B．两个等边三角形C．两个平行四边形D．两个菱形【解答】解：A、任意两个等腰三角形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似，不符合题意；B、任意两个等边三角形的对应角相等，对应边的比也相等，故一定相似，符合题意；C、任意两个平行四边形对应角不一定相等，对应边的比也不一定相等，故不一定相似，不符合题意，D、任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似，不符合题意；故选：B．4．（2020秋•麦积区期末）下列说法错误的是（）A．等边三角形都相似B．矩形都相似C．等腰直角三角形都相似D．正方形都相似【解答】解：因为所有等边三角形，正方形，等腰直角三角形都相似，故选：B．五、课后作业1．（2020秋•徐汇区期末）下列说法中，正确的是（）A．两个矩形必相似B．两个含45°角的等腰三角形必相似C．两个菱形必相似D．两个含30°角的直角三角形必相似【解答】解：A、两个矩形对应边不一定成比例，故此选项错误；B、两个含45°角的等腰三角形，45°不一定是对应角，故不一定相似，故此选项错误；C、两个菱形的对应角不一定相等，不一定相似，故此选项错误；D、两个含30°角的直角三角形必相似，故此选项正确．故选：D．2．（2016秋•腾冲县期末）若两个相似六边形的周长的比是3：2，其中较大一个六边形的面积为81，则较小一个六边形的面积为．【解答】解：∵两个相似六边形的周长的比是3：2，∴它们的面积的比为9：4，∵较大一个六边形的面积为81，∴较小一个六边形的面积为81×＝36；故答案为：36．3．（2020秋•邵东市期末）下列说法中：①所有的等腰三角形都相似；②所有的正三角形都相似；③所有的正方形都相似；④所有的矩形都相似；⑤所有的圆都相似．其中说法正确的序号是．【解答】解：①所有的等腰三角形都相似，错误，对应边不一定成比例，对应角不一定相等；②所有的正三角形都相似，正确；③所有的正方形都相似，正确；④所有的矩形都相似，错误，对应边不一定成比例；⑤所有的圆都相似，正确．故答案为：②③⑤．第三节相似三角形的判定一、知识点归纳一、相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于”.二、相似三角形的判定：（1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成三角形与原三角形相似. （2）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似.（4）如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似.三、直角三角形相似判定定理斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似.四、相似三角形的性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．(3)相似三角形周长的比等于相似比．(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．二、课前预习1．如图，在△ABC中，∠AED＝∠B，若AB＝10，AE＝8，DE＝6，则BC的长为（）A．B．C．D．【解答】解：∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A，∴△ABC∽△AED，∴，∵AB＝10，AE＝8，DE＝6，∴，∴BC＝，故选：D．2．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2DB，DE＝2，则BC＝（）A．6B．5C．4D．3【解答】解：∵AD＝2DB，∴．∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE，∴＝，即，∴BC＝3．故选：D．3．如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD＝3，BD＝4，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵AD＝3，BD＝4，∴，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝＝．故选：D．4．如图，DE是△ABC的中位线，则的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥AC，＝，∴△BDE∽△BCA，∴＝（）2＝，∴＝，故选：B．三、典型例题例1、如图，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，点D在边AC上（不与点A、C重合），DE与AB相交于点F，那么与△BFD相似的三角形是（）A．△BFE B．△BDC C．△BDA D．△AFD【分析】根据等边三角形的性质和相似三角形的判定定理即可得到结论．【解答】解：∵△ABC与△BDE都是等边三角形，∴∠A＝∠BDF＝60°，∵∠ABD＝∠DBF，∴△BFD∽△BDA，∴与△BFD相似的三角形是△BDA，故选：C．例2如图，在正方形ABCD中，点E是AD的中点，点F在CD上，且CD＝4DF，连接EF、BE．求证：△ABE∽△DEF．【分析】根据相似三角形的判定方法即可求出答案．【解答】解：设AB＝4，在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD＝4，∠A＝∠D＝90°∴DF＝1，AE＝ED＝2，∴＝＝，∴△ABE∽△DEF．【点评】本题考查相似三角形的判定以及正方形的性质，解题的关键是熟悉相似三角形的判定方法．例3、如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且AB＝6，AE＝4，AC＝9．（1）求CD的长；（2）求证：△ABE∽△ACB．【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质解答即可；（2）利用相似三角形的判定解答即可．【解答】（1）解：∵AE＝4，AC＝9∴CE＝AC﹣AE＝9﹣4＝5；∵AB∥CD，∴△CDE∽△ABE；∴＝，∴CD＝＝＝，（2）证明：∵＝＝，＝＝∴＝，∵∠A＝∠A，∴△ABE∽△ACB；例4、如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，点E是上AB一点，连接DE，BD2＝BC•BE．证明：△BCD∽△BDE．【分析】由角平分线的定义可得出∠DBE＝∠CBD，结合BD2＝BC•BE（即），即可证出△BCD～△BDE．【解答】证明：∵BD平分∠ABC，∴∠DBE＝∠CBD．∵BD2＝BC•BE，∴，∴△BCD～△BDE．例5、如图，正方形ABCD中，点E，F，G分别在AB，BC，CD上，且∠EFG＝90°；求证：△EBF∽△FCG．先根据正方形的性质得∠B＝∠C＝90°，再利用等角的余角相等得∠BEF＝∠CFG，然后根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判定△EBF∽△FCG．【解答】证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝∠C＝90°，∴∠BEF+∠BFE＝90°，∵∠EFG＝90°，∴∠BFE+∠CFG＝90°，∴∠BEF＝∠CFG．∵∠B＝∠C＝90°∴△EBF∽△FCG．例6、如图，在△ABC中，AD＝DB，∠1＝∠2．求证：△ABC∽△EAD．【分析】根据已知得出∠C＝∠ADE，进而利用相似三角形的判定方法得出答案．【解答】证明：∵AD＝DB，∴∠B＝∠BAD．∵∠BDA＝∠1+∠C＝∠2+∠ADE，又∵∠1＝∠2，∴∠C＝∠ADE．∴△ABC∽△EAD．【点评】此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．四、课堂练习1．（2021•温江区校级模拟）如图，在△ABC中，点D为AB上一点，且，过点D作DE∥BC，交AC于点E，过点E作EF∥AB，交BC于点F，下列结论正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：∵DE∥BC，EF∥AB，∴四边形DBFE是平行四边形，∠A＝∠CEF，∠AED＝∠C，∴BD＝EF，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，故A不正确；∵，∴，故B不正确；∴DE＝BF＝CF，∵∠A＝∠CEF，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△EFC，∴，故C不正确；设DE与BC之间的距离为h，∴S△EFC＝，S四边形DBCE＝BF•h，∵DE＝BF＝CF，∴S四边形DBCE＝2S△EFC，即＝2，故D正确．故选：D．2．（2020秋•邵阳县期末）如图，已知点D、E是AB的三等分点，DF、EG将△ABC分成三部分，且DF ∥EG∥BC，图中三部分的面积分别为S1，S2，S3，则S1：S2：S3＝（）A．1：2：3B．1：2：4C．1：3：5D．2：3：4【解答】解：∵点D、E是AB的三等分点，∴，，∵DF∥EG∥BC，∴△ADF∽△AEG，△ADF∽△ABC，∴，，∴S1：S2：S3＝1：3：5，故选：C．3．（2020秋•高邑县期末）如图，△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为（）A．4B．6C．4D．4【解答】解：∵BC＝8，∴CD＝4，在△CBA和△CAD中，∵∠B＝∠DAC，∠C＝∠C，∴△CBA∽△CAD，∴＝，∴AC2＝CD•BC＝4×8＝32，∴AC＝4；故选：C．4．（2021春•罗湖区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，E是CD延长线上一点，BE与AD交于F，若CD＝2DE，则等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵CD＝2DE，∴DE：CD＝1：2，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴DE：AB＝1：2，△DEF∽△ABF，∴＝（）2＝；故选：C．五、课后作业1．（2020秋•南浔区期末）如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF＝4：25，则DE：AB＝（）A．2：5B．2：3C．3：5D．3：2【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴DE∥AB，∴△DEF∽△BAF，∴＝（）2＝，∴＝，故选：A．2．（2021•铁岭模拟）如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵S△BDE：S△CDE＝1：3，∴BE：EC＝1：3；∴BE：BC＝1：4；∵DE∥AC，∴△DOE∽△AOC，∴＝，∴＝，故选：D．3．（2020秋•崇左期末）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，如果AE：EC ＝1：4，那么S△ADE：S△EBC＝（）A．1：24B．1：20C．1：18D．1：16【解答】解：∵＝，∴＝，∴S△ABE＝S△EBC，∵DE∥BC，∴＝＝，∴＝，∴S△BDE＝4S△ADE，又∵S△BDE＝S△ABE﹣S△ADE，∴4S△ADE＝S△EBC﹣S△ADE，∴＝，故选：B．第四节相似三角形的综合应用一、课前预习1．（2020秋•涵江区期末）为了估计河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标记为点A，再在河的这一边选点B和点C，使得AB⊥BC，设BC与AE交于点D，如图所示测得BD＝120m，DC＝40m，EC＝30m，那么这条河的大致宽度是（）A．90m B．60m C．100m D．120m【解答】解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴△ABD∽△ECD，∴AB：CE＝BD：CD，即AB：30＝120：40，∴AB＝90，即这条河的大致宽度是90m．故选：A．2．（2020秋•亭湖区校级期末）张华同学的身高为160厘米，某一时刻他在阳光下的影子长为200厘米，与他相邻近的一棵树的影子长为6米，则这棵树的高为（）米．A．3.2B．4.8C．5.2D．5.6【解答】解：设这棵树高度为hm，∵同一时刻物高与影长成正比，∴＝，解得：h＝4.8．故选：B．3．（2020秋•化州市期末）小明身高是1.6m，影长为2m，同时刻教学楼的影长为24m，则楼的高是．【解答】解：设教学楼高度为xm，列方程得：解得x＝19.2，故教学楼的高度为19.2m．故答案为：19.2m．二、典型例题例1、如图，某人拿着一把分度值为厘米的刻度尺，站在距电线杆25m的地方，手臂向前伸直，将刻度尺竖直，看到刻度尺上14cm的长度恰好遮住电线杆．已知臂长为70cm，则电线杆的高是（）A．5m B．6m C．125m D．4m【分析】先求出△ABC∽△AEF，再根据三角形对应高的比等于对应边的比，这样就可以求出电线杆EF 的高．【解答】解：作AN⊥EF于N，交BC于M，∵BC∥EF，∴AM⊥BC于M，∴△ABC∽△AEF，∴＝，∵AM＝0.7m，AN＝25m，BC＝0.14m，∴EF＝＝＝5（m）．故选：A．例2 《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其有题译文如下：“有一根竹竿在太阳下的影子长15尺．同时立一根1.5尺的小标杆，它的影长是0.5尺．如图所示，则可求得这根竹竿的长度为（）尺．A．50 B．45 C．5 D．4.5【分析】设竹竿的长度为x尺，根据同一时刻物高与影长成正比可得出＝，再解即可．【解答】解：设竹竿的长度为x尺，由题意得：＝，解得：x＝45，答：竹竿的长度为45尺，故选：B．【点评】本题主要考查了相似三角形的应用，熟知同一时刻物髙与影长成正比是解答此题的关键．例3、如图，小芳在地面上放置一个平面镜E来测量铁塔AB的高度，镜子与铁塔的距离BE＝20米，镜子与小芳的距离ED＝2米时，小芳刚好从镜子中看到铁塔顶端A，已知小芳的眼睛距地面的高度CD＝1.5米，铁塔AB的高度为（）（根据光的反射原理，∠1＝∠2）A．18m B．15m C．20m D．16m【分析】利用镜面对称，注意寻找相似三角形，根据比例求出AB．【解答】解：由镜面对称可知：△CDE∽△ABE，∴＝，∴＝，∴AB＝15米．故选：B．例4、如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，如果标杆BE＝1.2m．测得AB＝1.6m．BC＝18.4m．则建筑物的高CD＝（）A．13.8m B．15m C．18.4m D．20m【分析】先根据题意得出△ABE∽△ACD，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出CD的值．【解答】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，∴EB∥DC，∴△ABE∽△ACD，∴，∵BE＝1.2，AB＝1.6，BC＝18.4，∴AC＝20，∴，∴CD＝15．故选：B．例5、如图是圆桌正上方的灯泡（看做一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图，已知桌面的直径为1.2m，桌面距离地面1m．若灯泡距离地面3m，则地面上阴影部分的面积为（）A．0.36πm2B．0.81πm2C．2πm2D．3.24πm2【分析】欲求投影圆的面积，可先求出其直径，而直径可通过构造相似三角形，由相似三角形性质求出．【解答】解：构造几何模型如图：依题意知DE＝1.2米，FG＝1米，AG＝3米，由△DAE∽△BAC得＝，即＝，得BC＝1.8，故S圆＝（BC）2•π＝（）2•π＝0.81π，故选：B．例6、已知：如图，某学生想利用标杆测量一棵大树的高度，如果标杆EC的高为1.6m，并测得BC＝2.2m，CA＝0.8m，那么树DB的高度是（）A．6m B．5.6m C．5.4m D．4.4m【分析】先根据相似三角形的判定定理得出Rt△ACE∽Rt△ABD，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出BD的长．【解答】解：∵EC∥AB，BD⊥AB，∴EC∥BD，∠ACE＝∠ABD＝90°，在Rt△ACE∽Rt△ABD中，∠A＝∠A，∠ACE＝∠ABD＝90°，∴Rt△ACE∽Rt△ABD，∴＝，即＝，解得BD＝6m．故选：A．二、课堂练习1．（2021•江川区模拟）如图，为估算学校的旗杆的高度，身高1.6米的小红同学沿着旗杆在地面的影子AB由A向B走去，当她走到点C处时，她的影子的顶端正好与旗杆的影子的顶端重合，此时测得AC ＝2m，BC＝8m，则旗杆的高度是（）A．6.4m B．7m C．8m D．9m【解答】解：设旗杆高度为h，由题意得＝，h＝8米．故选：C．2．（2021•河北区模拟）如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点距离相距6m，与树相距15m，则树的高度是（）A．7m B．6m C．5m D．4m【解答】解：如图；AD＝6m，AB＝21m，DE＝2m；由于DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，得：，即，解得：BC＝7m，故树的高度为7m．故选：A．3．（2020•吉林四模）小明希望测量出电线杆AB的高度，于是在阳光明媚的一天，他在电线杆旁的点D 处立一标杆CD，使标杆的影子DE与电线杆的影子BE部分重叠（即点E、C、A在一直线上），量得ED＝2米，DB＝4米，CD＝1.5米．则电线杆AB长＝米．【解答】解：∵CD∥AB，∴△ECD∽△EAB，∴ED：EB＝CD：AB，∴2：6＝1.5：AB，∴AB＝4.5米．答：电线杆AB长为4.5米．四、课后作业1. （2021•乌苏市二模）在上午的某一时刻身高1.7米的小刚在地面上的投影长为3.4米，小明测得校园中旗杆在地面上的影子长16米，还有2米影子落在墙上，根据这些条件可以知道旗杆的高度为10米．【解答】解：∵＝＝，∵CE＝2，∴CD＝4，∴BD＝BC+CD＝16+4＝20米．∴AB＝BD＝×20＝10米．故应填10．2.（2020•吉林四模）小明希望测量出电线杆AB的高度，于是在阳光明媚的一天，他在电线杆旁的点D处立一标杆CD，使标杆的影子DE与电线杆的影子BE部分重叠（即点E、C、A在一直线上），量得ED＝2米，DB＝4米，CD＝1.5米．则电线杆AB长＝米．【解答】解：∵CD∥AB，∴△ECD∽△EAB，∴ED：EB＝CD：AB，∴2：6＝1.5：AB，∴AB＝4.5米．答：电线杆AB长为4.5米．综合运用1.已知a、b、c为△ABC的三边长，且a+b+c=48，，求△ABC三边的长．【解析】解：设=x，得a=4x，b=5x，c=7x．∵a+b+c=48，∴4x+5x+7x=48，解得x=3，∴a=4x=12，b=5x=15，c=7x=21．2.如图，F为平行四边形ABCD的边AD的延长线上的一点，BF分别交CD、AC于G、E，若EF=32，GE=8，求BE．【解析】解：设BE=x，∵EF=32，GE=8，∴FG=32﹣8=24，∵AD∥BC，∴△AFE∽△CBE，∴=，∴则==+1①．∵DG∥AB，∴△DFG∽△CBG，∴==代入①，=+1，解得：x=±16（负数舍去），故BE=16．3.如图，已知AD∥BE∥CF，它们以此交直线l1、l2于点A、B、C和D、E、F．若=，AC=14，（1）求AB的长．（2）如果AD=7，CF=14，求BE的长．【解析】解：（1）∵AD∥BE∥CF，∴，∴，∵AC=14，∴AB=4，（2）过点A作AG∥DF交BE于点H，交CF于点G，如图所示：又∵AD∥BE∥CF，AD=7，∴AD=HE=GF=7，∵CF=14，∴CG=14﹣7=7，∵BE∥CF，∴，∴BH=2，∴BE=2+7=9．4.如图所示，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，点A，B，E在x轴上．（1）若点F的坐标为（4.5，3），直接写出点C和点A的坐标；（2）若正方形BEFG的边长为6，求点C的坐标．【解析】解：（1）C点坐标为（，1），A点坐标为（，0）；（2）∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，∴正方形BEFG的边长为6，则正方形ABCD的边长为2，OB：OE=1：3，∴OB：（OB+6）=1：3，解得OB=3，∴点C的坐标为（3，2）．5.正方形ABCD 中，E 是AC 上一点，EF ⊥AB ，EG ⊥AD ，AB =6，AE ：EC =2：1．求四边形AFEG 的面积．【解析】解答：正方形ABCD 中，∠DAB =90°，∠DAC =45°， 又∵∠AFE =∠AGE =90°，∴四边形AFEG 是矩形，∠AEG =90°-∠DAC =45°， ∴∠GAE =∠AEG =45°， ∴GE =AG ，∴矩形AFEG 是正方形， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴正方形AFEG ∽正方形ABCD ， ∴AFEG ABCD S S 正方形正方形=（AE AC ）2=（23）2=49，∴S 正方形AFEG =49S 正方形AFEG =49×62=16．6.如图，把矩形ABCD 对折，折痕为MN ，矩形DMNC 与矩形ABCD 相似，已知AB =4． （1）求AD 的长；（2）求矩形DMNC 与矩形ABCD 的相似比．【解析】解：（1）由已知得MN =AB ，MD =21AD =21BC ， ∵ 矩形DMNC 与矩形ABCD 相似，BCMNAB DM ，∵ MN =AB ，DM =21AD ，BC =AD ， ∴21AD 2=AB 2， ∴ 由AB =4得，AD =24； （2）矩形DMNC 与矩形ABCD 的相似比为22422==AB DM。
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图形的变化——图形的相似2一．选择题（共9小题）1．如图，四边形ABCD、CEFG都是正方形，点G在线段CD上，连接BG、DE，DE和FG相交于点O，设AB=a，CG=b（a＞b）．下列结论：①△BCG≌△DCE；②BG⊥DE；③=；④（a ﹣b）2•S△EFO=b2•S△DGO．其中结论正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个2．△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，已知△ABC 的面积是3，则△A′B′C′的面积是（）A．3 B．6 C．9 D．123．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知AE=6，，则EC的长是（）A．4.5 B．8 C．10.5 D．144．如图，直线l1∥l2∥l3，若AB=2，BC=3，DE=1，则EF的值为（）A． B． C．6 D．5．已知△ABC的三边长分别为，，2，△A′B′C′的两边长分别是1和，如果△ABC 与△A′B′C′相似，那么△A′B′C′的第三边长应该是（）A．B．C．D．6．如图，△ABC∽△CBD，CD=2，AC=3，BC=4，那么AB的值等于（）A．5 B．6 C．7 D．47．如果两个相似三角形的面积比是1：2，那么它们的周长比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：D．2：18．（易错题）如图，▱ABCD中，E是AD延长线上一点，BE交AC于点F，交DC于点G，则下列结论中错误的是（）A．△ABE∽△DGE B．△CGB∽△DGE C．△BCF∽△EAF D．△ACD∽△GCF9．如图，在△ABC中，如果DE与BC不平行，那么下列条件中，不能判断△ADE∽△ABC的是（）A．∠ADE=∠C B．∠AED=∠B C．D．二．填空题（共6小题）10．已知实数x、y满足，则= _________ ．11．如图，小明用长为3m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB=12m，则旗杆AB的高为_________ m．12．如图，AB∥CD∥EF，如果AC：CE=2：3，BF=10，那么线段DF的长为_________ ．13．如图，在长8cm，宽4cm 的矩形中截去一个矩形（阴影部分）使留下的矩形与矩形相似，那么留下的矩形的面积为_________ cm2．14．已知△ABC∽△DEF，且相似比为3：4，S△ABC=2cm2，则S△DEF= _________ cm2．15．两个相似三角形对应边的比为2：3，则它们的周长比为_________ ．三．解答题（共9小题）16．如图，矩形ABCD为台球桌面，AD=260cm，AB=130cm，球目前在E点位置，AE=60cm．如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置．（1）求证：△BEF∽△CDF；（2）求CF的长．17．已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是_________ ；（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是_________ ；（3）△A2B2C2的面积是_________ 平方单位．18．如图，已知∠MON=90°，A是∠MON内部的一点，过点A作AB⊥ON，垂足为点B，AB=3厘米，OB=4厘米，动点E，F同时从O点出发，点E以1.5厘米/秒的速度沿ON方向运动，点F以2厘米/秒的速度沿OM方向运动，EF与OA交于点C，连接AE，当点E到达点B时，点F随之停止运动．设运动时间为t秒（t＞0）．（1）当t=1秒时，△EOF与△ABO是否相似？请说明理由；（2）在运动过程中，不论t取何值时，总有EF⊥OA．为什么？（3）连接AF，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得S△AEF=S四边形AEOF？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．19．如图，在平行四边形ABCD中，点G是BC延长线上一点，AG与BD交于点E，与DC交于点F，如果AB=m，CG=BC，求：（1）DF的长度；（2）三角形ABE与三角形FDE的面积之比．20．如图，已知△ABC是等边三角形，AB=6，点D在AC上，AD=2CD，CM是∠ACB的外角平分线，连接BD并延长与CM交于点E．（1）求CE的长；（2）求∠EBC的正切值．21．已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC，CD上的点，且EF∥BD，AE、AF分别交BD与点G和点H，BD=12，EF=8．求：（1）的值；（2）线段GH的长．22．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D．点E、F分别在边AB、AC上，且BE=AF，FG∥AB交线段AD于点G，连接BG、EF．（1）求证：四边形BGFE是平行四边形；（2）若△ABG∽△AGF，AB=10，AG=6，求线段BE的长．23．如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于E，交BA的延长线点F．问：（1）图中△APD与哪个三角形全等？并说明理由；（2）求证：△APE∽△FPA；（3）猜想：线段PC，PE，PF之间存在什么关系？并说明理由．24．如图．在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F，点E是AB的中点，连接EF．（1）求证：EF∥BC；（2）若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积．图形的变化——图形的相似2参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．如图，四边形ABCD、CEFG都是正方形，点G在线段CD上，连接BG、DE，DE和FG相交于点O，设AB=a，CG=b（a＞b）．下列结论：①△BCG≌△DCE；②BG⊥DE；③=；④（a ﹣b）2•S△EFO=b2•S△DGO．其中结论正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．专题：压轴题．分析：由四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，根据正方形的性质，即可得BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，则可根据SAS证得①△BCG≌△DCE；然后延长BG交DE于点H，根据全等三角形的对应角相等，求得∠CDE+∠DGH=90°，则可得②BH⊥DE．由△DGF与△DCE 相似即可判定③错误，由△GOD与△FOE相似即可求得④．解答：证明：①∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，∴∠BCG=∠DCE，在△BCG和△DCE中，，∴△BCG≌△DCE（SAS），故①正确；②延长BG交DE于点H，∵△BCG≌△DCE，∴∠CBG=∠CDE，又∵∠CBG+∠BGC=90°，∴∠CDE+∠DGH=90°，∴∠DHG=90°，∴BH⊥DE；∴BG⊥DE．故②正确；③∵四边形GCEF是正方形，∴GF∥CE，∴=，∴=是错误的．故③错误；④∵DC∥EF，∴∠GDO=∠OEF，∵∠GOD=∠FOE，∴△OGD∽△OFE，∴=（）2=（）2=，∴（a﹣b）2•S△EFO=b2•S△DGO．故④正确；故选：B．点评：此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质．2．△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，已知△ABC 的面积是3，则△A′B′C′的面积是（）A． 3 B．6 C．9 D．12考点：位似变换．分析：利用位似图形的面积比等于位似比的平方，进而得出答案．解答：解：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，△ABC的面积是3，∴△ABC与△A′B′C′的面积比为：1：4，则△A′B′C′的面积是：12．故选：D．点评：此题主要考查了位似图形的性质，利用位似图形的面积比等于位似比的平方得出是解题关键．3．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知AE=6，，则EC的长是（）A． 4.5 B．8 C 10.5 D．14考点：平行线分线段成比例．分析：利用相似三角形的判定与性质得出=，求出EC即可．解答：解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=，∴==，解得：EC=8．故选：B．点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质，得出=是解题关键．4．如图，直线l1∥l2∥l3，若AB=2，BC=3，DE=1，则EF的值为（）A．B．C．6 D．考点：平行线分线段成比例．分析：根据平行线分线段成比例定理得出比例式，再代入求出即可．解答：解：∵直线l1∥l2∥l3，∴=，∵AB=2，BC=3，DE=1，∴=，∴EF=，故选B．点评：本题考查平行线分线段成比例定理的应用，注意：一组平行线截两条直线，所截的对应线段成比例．5．已知△ABC的三边长分别为，，2，△A′B′C′的两边长分别是1和，如果△ABC 与△A′B′C′相似，那么△A′B′C′的第三边长应该是（）A．B．C．D．考点：相似三角形的性质．分析：根据题中数据先计算出两相似三角形的相似比，则第三边长可求．解答：解：根据题意，易证△ABC∽△A′B′C′，且相似比为：：1，∴△A′B′C′的第三边长应该是=．故选：A．点评：本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例．6．如图，△ABC∽△CBD，CD=2，AC=3，BC=4，那么AB的值等于（）A． 5 B．6 C 7 D．4考点：相似三角形的性质．分析：根据相似三角形对应边成比例列出比例式进行计算即可得解．解答：解：∵△ABC∽△CBD，∴=，即=，解得AB=6．故选B．点评：本题考查了相似三角形的性质，准确识图确定出对应边是解题的关键．7．如果两个相似三角形的面积比是1：2，那么它们的周长比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：D．2：1考点：相似三角形的性质．分析：由两个相似三角形的面积比是1：2，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得它们的相似比，又由相似三角形周长的比等于相似比，即可求得它们的周长比．解答：解：∵两个相似三角形的面积比是1：2，∴这两个相似三角形的相似比是1：，∴它们的周长比是1：．故选C．点评：此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方与相似三角形周长的比等于相似比性质的应用．8．（易错题）如图，▱ABCD中，E是AD延长线上一点，BE交AC于点F，交DC于点G，则下列结论中错误的是（）A．△ABE∽△DGE B．△CGB∽△DGE C．△BCF∽△EAF D．△ACD∽△G CF考点：相似三角形的判定；平行四边形的性质．专题：常规题型．分析：本题中可利用平行四边形ABCD中两对边平行的特殊条件来进行求解．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD∴∠EDG=∠EAB∵∠E=∠E∴△ABE∽△DGE（第一个正确）∵AE∥BC∴∠EDC=∠BCG，∠E=∠CBG∴△CGB∽△DGE（第二个正确）∵AE∥BC∴∠E=∠FBC，∠EAF=∠BCF∴△BCF∽△EAF（第三个正确）第四个无法证得，故选D点评：考查相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；（3）三边对应成比例的两个三角形相似；（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．9．如图，在△ABC中，如果DE与BC不平行，那么下列条件中，不能判断△ADE∽△ABC的是（）A．∠ADE=∠C B．∠AED=∠B C．D．考点：相似三角形的判定．分析：根据相似三角形的判定方法：（1）三组对应边的比相等的两个三角形相似；（2）两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（3）有两组角对应相等的两个三角形相似，结合选项进行判断即可．解答：解：A、∠ADE=∠C，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故本选项错误；B、∠B=∠AED，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故本选项错误；C、=，此时不等确定∠ADE=∠ACB，故不能确定△ADE∽△ACB，故本选项正确；D、=，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故本选项错误．故选C．点评：此题考查了相似三角形的判定，属于基础题，关键是掌握相似三角形的几种判定定理．二．填空题（共6小题）10．已知实数x、y满足，则= 2 ．考点：比例的性质．分析：先用y表示出x，然后代入比例式进行计算即可得解．解答：姐：∵ =，∴x=y，∴==2．故答案为：2．点评：本题考查了比例的性质，根据两內项之积等于两外项之积用y表示出x是解题的关键．11．如图，小明用长为3m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB=12m，则旗杆AB的高为9 m．考点：相似三角形的应用．专题：几何图形问题．分析：根据△OCD和△OAB相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．解答：解：由题意得，CD∥AB，∴△OCD∽△OAB，∴=，即=，解得AB=9．故答案为：9．点评：本题考查了相似三角形的应用，是基础题，熟记相似三角形对应边成比例是解题的关键．12．如图，AB∥CD∥EF，如果AC：CE=2：3，BF=10，那么线段DF的长为 6 ．考点：平行线分线段成比例．分析：根据平行线分线段成比例定理，得出==，再根据DF=BF×代入计算即可．解答：解：∵AB∥CD∥EF，∴==，∵BF=10，∴DF=10×=6；故答案为；6．点评：本题考查平行线分线段成比例定理，用到的知识点是平行线分线段成比例定理，关键是找准对应关系，列出比例式．13．如图，在长8cm，宽4cm 的矩形中截去一个矩形（阴影部分）使留下的矩形与矩形相似，那么留下的矩形的面积为8 cm2．考点：相似多边形的性质．专题：压轴题．分析：本题需先设留下的矩形的宽为x，再根据留下的矩形与矩形相似，列出方程即可求出留下的矩形的面积．解答：解：设留下的矩形的宽为x，∵留下的矩形与矩形相似，∴，x=2，∴留下的矩形的面积为：2×4=8（cm2）故答案为：8．点评：本题主要考查了相似多边形的性质，在解题时要能根据相似多边形的性质列出方程是本题的关键．14．已知△ABC∽△DEF，且相似比为3：4，S△ABC=2cm2，则S△DEF= cm2．考点：相似三角形的性质．分析：根据相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方，可求S△DEF 的值．解答：解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为3：4∴S△ABC：S△DEF=9：16∴S△DEF=．点评：本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方．15．两个相似三角形对应边的比为2：3，则它们的周长比为2：3 ．考点：相似三角形的性质．专题：计算题．分析：根据相似三角形周长的比等于相似比进行解答即可．解答：解：∵两个相似三角形的相似比为2：3，∴它们对应周长的比为2：3．故答案为：2：3．点评：本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形周长的比等于相似比．三．解答题（共9小题）16．如图，矩形ABCD为台球桌面，AD=260cm，AB=130cm，球目前在E点位置，AE=60cm．如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置．（1）求证：△BEF∽△CDF；（2）求CF的长．考点：相似三角形的应用．专题：几何综合题．分析：（1）利用“两角法”证得这两个三角形相似；（2）由（1）中相似三角形的对应边成比例来求线段CF的长度．解答：（1）证明：如图，在矩形ABCD中：∠DFC=∠EFB，∠EBF=∠FCD=90°，∴△BEF∽△CDF；（2）解：∵由（1）知，△BEF∽△CDF．∴=，即=，解得：CF=169．即：CF的长度是169cm．点评：本题考查了相似三角形的应用．此题利用了“相似三角形的对应边成比例”推知所求线段CF与已知线段间的数量关系的．17．已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是（2，﹣2）；（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是（1，0）；（3）△A2B2C2的面积是10 平方单位．考点：作图-位似变换；作图-平移变换．专题：作图题．分析：（1）利用平移的性质得出平移后图象进而得出答案；（2）利用位似图形的性质得出对应点位置即可；（3）利用等腰直角三角形的性质得出△A2B2C2的面积．解答：解：（1）如图所示：C1（2，﹣2）；故答案为：（2，﹣2）；（2）如图所示：C2（1，0）；故答案为：（1，0）；（3）∵A2C22=20，B2C=20，A2B2=40，∴△A2B2C2是等腰直角三角形，∴△A2B2C2的面积是：×20=10平方单位．故答案为：10．点评：此题主要考查了位似图形的性质以及平移的性质和三角形面积求法等知识，得出对应点坐标是解题关键．18．如图，已知∠MON=90°，A是∠MON内部的一点，过点A作AB⊥ON，垂足为点B，AB=3厘米，OB=4厘米，动点E，F同时从O点出发，点E以1.5厘米/秒的速度沿ON方向运动，点F以2厘米/秒的速度沿OM方向运动，EF与OA交于点C，连接AE，当点E到达点B时，点F随之停止运动．设运动时间为t秒（t＞0）．（1）当t=1秒时，△EOF与△ABO是否相似？请说明理由；（2）在运动过程中，不论t取何值时，总有EF⊥OA．为什么？（3）连接AF，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得S△AEF=S四边形AEOF？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．考点：相似形综合题．专题：动点型．分析：（1）运用=和夹角相等，得出△EOF∽△ABO．（2）证明Rt△EOF∽Rt△ABO，进而证明EF⊥OA．（3）根据S△AEF=S梯形ABOF﹣S△FOE﹣S△ABE以及S四边形AEOF=S梯形ABOF﹣S△ABE可得到S△AEF与S四边形AEOF关于t的表达式，进而可求出t的值．解答：解：（1）∵t=1，∴OE=1.5厘米，OF=2厘米，∵AB=3厘米，OB=4厘米，∴==，==∵∠MON=∠ABE=90°，∴△EOF∽△ABO．（2）在运动过程中，OE=1.5t，OF=2t．∵AB=3，OB=4．∴．又∵∠EOF=∠ABO=90°，∴Rt△EOF∽Rt△ABO．∴∠AOB=∠EFO．∵∠AOB+∠FOC=90°，∴∠EFO+∠FOC=90°，∴EF⊥OA．（3）如图，连接AF，∵OE=1.5t，OF=2t，∴BE=4﹣1.5t∴S△FOE=OE•OF=×1.5t×2t=t2，S△ABE=×（4﹣1.5t）×3=6﹣t，S梯形ABOF=（2t+3）×4=4t+6，∴S△AEF=S梯形ABOF﹣S△FOE﹣S△ABE=4t+6﹣t2﹣（6﹣t）=﹣t2+t，S四边形AEOF=S梯形ABOF﹣S△ABE=4t+6﹣（6﹣t）=t，∵S△A EF=S四边形AEOF∴﹣t2+t=×t，（0＜t＜）解得t=或t=0（舍去）．∴当t=时，S△AEF=S四边形AEOF．点评：本题主要考查了相似形综合题，解题的关键是利用S△AEF=S四边形AEOF求t的值．19．如图，在平行四边形ABCD中，点G是BC延长线上一点，AG与BD交于点E，与DC交于点F，如果AB=m，CG=BC，求：（1）DF的长度；（2）三角形ABE与三角形FDE的面积之比．考点：相似三角形的判定与性质；三角形的面积；平行四边形的性质．专题：几何综合题．分析：（1）先根据平行四边形的性质和已知关系，得出CG和BG之间的关系，即CG=BG，和，即可得出．（2）根据平行线的性质，由AB∥CD，课得出△ABE∽△FDE，再根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，即，即得△ABE与△FDE的面积之比为9：4．解答：解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=m，AB∥CD．∵CG=BC，∴CG=BG，∵AB∥CD，∴．∴，∴；（2）∵AB∥CD，∴△ABE∽△FDE，∴．∴△ABE与△FDE的面积之比为9：4．点评：本题主要考查了平行四边形的性质和三角形的性质，属于中等题目，要求学生能够熟练掌握此类题目．20．如图，已知△ABC是等边三角形，AB=6，点D在AC上，AD=2CD，CM是∠ACB的外角平分线，连接BD并延长与CM交于点E．（1）求CE的长；（2）求∠EBC的正切值．考点：平行线分线段成比例；等边三角形的性质；解直角三角形．分析：（1）首先证明CE∥AB，则△ABD∽△CED，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解；（2）过点E作EH⊥BC于点H，在直角△CEH中，利用三角函数求得CH和EH的长度，即可求得BH的大小，即可求得三角函数值．解答：解：（1）在BC延长线上取一点F，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC=6，∠ACF=120°，∵CM是∠ACB的外角平分线，∴∠ECF=∠ACF=60°，∴∠ECF=∠ABC，∴CE∥AB，∴=，又∵AD=2CD，AB=6，∴=，∴CE=3．（2）过点E作EH⊥BC于点H．∵∠ECF=60°，∠EHC=90°，CE=3，∴CH=3，EH=，又∵B C=6，∴BH=BC+CH=，∵∠EHB=90°，∴tan∠EBC==．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，以及三角函数值的求法，求三角函数值的问题常用的方法是转化为求直角三角形的边的问题．21．已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC，CD上的点，且EF∥BD，AE、AF分别交BD与点G和点H，BD=12，EF=8．求：（1）的值；（2）线段GH的长．考点：平行线分线段成比例；平行四边形的性质．分析：（1）根据EF∥BD，则=，再利用平行四边形的性质即可得出的值；（2）利用DF∥AB，则==，进而得出==，求出GH即可．解答：解：（1）∵EF∥BD，∴=，∵BD=12，EF=8，∴=，∴=，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∴=；（2）∵DF∥AB，∴==，∴=，∵EF∥BD，∴==，∴=，∴GH=6．点评：此题主要考查了平行线分线段成比例定理以及平行四边形的性质，熟练根据平行线分线段成比例定理得出GH的长是解题关键．22．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D．点E、F分别在边AB、AC上，且BE=AF，FG∥AB交线段AD于点G，连接BG、EF．（1）求证：四边形BGFE是平行四边形；（2）若△ABG∽△AGF，AB=10，AG=6，求线段BE的长．考点：相似三角形的性质；平行四边形的判定．专题：综合题．分析：（1）根据FG∥AB，又AD平分∠BAC，可证得，∠AGF=∠GAF，从而得：AF=FG=BE，又因为FG∥AB，所以可知四边形BGFE是平行四边形；（2）根据△ABG∽△AGF，可得，求出AF的长，再由（1）的结论：AF=FG=BE，即可得BE的长．解答：（1）证明：∵FG∥AB，∴∠BAD=∠AGF．∵∠BAD=∠GAF，∴∠AGF=∠GAF，AF=GF．∵BE=AF，∴FG=BE，又∵FG∥BE，∴四边形BGFE为平行四边形．（4分）（2）解：△ABG∽△AGF，∴，即，∴AF=3.6，∵BE=AF，∴BE=3.6．（8分）点评：解决此类题目，要掌握平行四边形的判定及相似三角形的性质．23．如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于E，交BA的延长线点F．问：（1）图中△APD与哪个三角形全等？并说明理由；（2）求证：△APE∽△FPA；（3）猜想：线段PC，PE，PF之间存在什么关系？并说明理由．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定；菱形的性质．专题：证明题；探究型．分析：（1）根据已知利用SAS来判定两三角形全等．（2）根据每一问的结论及已知，利用两组角相等则两三角形相似来判定即可；（3）根据相似三角形的对应边成比例及全等三角形的对应边相等即可得到结论．解答：解：（1）△APD≌△CPD．理由：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD，∠ADP=∠CDP．又∵PD=PD，∴△APD≌△CPD．证明：（2）∵△APD≌△CPD，∴∠DAP=∠DCP，∵CD∥AB，∴∠DCF=∠DAP=∠CFB，又∵∠FPA=∠FPA，∴△APE∽△FPA．猜想：（3）PC2=PE•PF．理由：∵△APE∽△FPA，∴．∴PA2=PE•PF．∵△APD≌△CPD，∴PA=PC．∴PC2=PE•PF．点评：本题考查了相似三角形的判定，全等三角形的判定，菱形的性质等知识点，本题中依据三角形的全等或相似得出线段的相等或比例关系是解题的关键．24．如图．在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F，点E是AB的中点，连接EF．（1）求证：EF∥BC；（2）若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积．考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；三角形中位线定理．专题：几何综合题．分析：（1）首先判定△ADC是等腰三角形，然后利用等腰三角形的性质得到点F是AD的中点，然后得到EF是△ABD的中位线，利用中位线的定理证得到平行即可；（2）根据上题证得的平行可以判定△AEF∽ABD，然后利用相似三角形面积的比等于相似比的平方求的△ABD的面积．解答：（1）证明：∵DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于F，∴F为AD的中点，∵点E是AB的中点，∴EF为△ABD的中位线，∴EF∥BC；（2）解：∵EF为△ABD的中位线，∴，EF∥BD，∴△AEF∽△ABD，∴S△AEF：S△ABD=1：4，∴S△AEF：S四边形BDFE=1：3，∵四边形BDFE的面积为6，∴S△AEF=2，∴S△ABD=S△A EF+S四边形BDFE=2+6=8．点评：本题主要考查等腰三角形的判定和性质、三角形中位线的定义和性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键在于求证EF为中位线，S△AEF：S△ABD=1：4．。