2012中考一元二次方程复习
一元二次方程专题复习
一元二次方程专题复习（一）直接开平方法→配方法要点一、一元二次方程的解法---配方法1．配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程： 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式．类型一、用配方法解一元二次方程1.用配方法解方程x 2-7x-1＝0．【答案与解析】将方程变形为x 2-7x ＝1，两边加一次项的系数的一半的平方，得x 2-7x+＝1+，所以有＝1+．直接开平方，得x-＝或x-＝-．所以原方程的根为x ＝+或x ＝-．【总结升华】一般地，用先配方，再开平方的方法解一元二次方程，应按以下步骤进行： (1)把形如ax 2+bx+c ＝0(a ≠0)的方程中二次项的系数化为1； (2)把常数项移到方程的右边；2222()a ab b a b ±+=±(3)方程的两边都加“一次项系数一半的平方”，配方得形如(x+m)2＝n(n ≥0)的方程； (4)用直接开平方的方法解此题．举一反三：【变式】用配方法解方程.(1)x 2-4x-2＝0； (2)x 2+6x+8＝0.要点二、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 要点诠释：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，一定要学好．类型二、配方法在代数中的应用2．若代数式，，则的值（ ）A ．一定是负数B ．一定是正数C ．一定不是负数D ．一定不是正数【答案】B ；【解析】（作差法）．故选Ｂ．【总结升华】本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大于零而比较出大小.221078Ma b a =+-+2251N a b a =+++M N -22221078(51)M N a b a a b a -=+-+-+++2222107851a b a a b a =+-+----29127a a =-+291243a a =-++2(32)30a =-+>3．用配方法说明：代数式x2+8x+17的值总大于0.【答案与解析】x2+8x+17＝ x2+8x+42-42+17＝（x+4）2+1∵（x+4）2≥0，∴（x+4）2+1＞0，故无论x取何实数，代数式 x2+8x+17的值总大于0.【总结升华】利用配方法将代数式配成完全平方式后，再分析代数式值得符号.举一反三：【变式】求代数式 x2+8x+17的最小值4．（2014春•滦平县期末）已知x2+y2﹣4x+6y+13＝0，求（x+y）2013的值．【思路点拨】采用配方法求出x、y的值，代入计算即可得到答案．【答案与解析】解：x2+y2﹣4x+6y+13＝0，x2﹣4x+4+y2﹣+6y+9＝0，（x﹣2）2+（y+3）2＝0∴x﹣2＝0，y+3＝0，解得，x＝2，y＝﹣3，（x+y）2013＝﹣1．【总结升华】本题考查的是配方法的应用和非负数的性质的应用，掌握配方法的步骤和几个非负数的和为0，每个非负数都为0是解题的关键．1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式：． ①当时，原方程有两个不等的实数根；②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用.（2）一元二次方程，用配方法将其变形为：①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：② 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根： ③ 当时，右端是负数．因此，方程没有实根.20 (0)ax bx c a ++=≠2224()24b b ac x a a -+=240b ac ∆=->1,22b x a-±=240b ac ∆=-=1,22b x a=-240b ac ∆=-<5． 用公式法解下列方程．(1)； (2)．【总结升华】 用公式法解一元二次方程的关键是对a 、b 、c 的确定．用这种方法解一元二次方程的步骤是：(1)把方程化为一元二次方程的一般形式；(2)确定a ，b ，c 的值并计算的值；(3)若是非负数，用公式法求解．举一反三：【变式】用公式法解方程6．用公式法解下列方程：(1)； (2) ．【总结升华】首先把每个方程化成一般形式，确定出a 、b 、c 的值，在的前提下，代入求根公式可求出方程的根．23310x x --=2241x x =-24b ac -24b ac -2341x x =+2100x -+=(1)(1)x x +-=240b ac -≥举一反三：【变式】（2014秋•泽州县校级期中）用公式法解方程：5x 2﹣4x ﹣12＝0．【巩固练习】 一、选择题1.已知关于x 的一元二次方程，用配方法解此方程，配方后的方程是（ ）A ．B ．C ．D ． 2．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）A ．化为B ．化为C ．化为D ．化为3．（2015春•张家港市校级期中）若M=2x 2﹣12x+15，N=x 2﹣8x+11，则M 与N 的大小关系为（ ） A ．M ≥N B ． M ＞N C ． M ≤N D ． M ＜N 4．不论x 、y 为何实数，代数式的值 ( )A ．总小于2B ．总不小于7C ．为任何实数D ．不能为负数 5．已知，则的值等于（ ）A.4B.-2C.4或-2D.-4或2 6．若t 是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是( )A.△=MB. △＞MC. △＜MD. 大小关系不能确定二、填空题 7．（1）x 2-x+ =（ ）2； （2）x 2+px+ =（ ）2. 220x x m --=2(1)1x m -=+2(1)1x m +=+22(1)1x m -=+22(1)1x m +=+22990x x --=2(1)100x -=22740t t --=2781416t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭2890x x ++=2(4)25x +=23420x x --=221039x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭22247x y x y ++-+438．已知，则的值为 ． 9．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______．10．将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为____ ___，∴所以方程的根为_________． 11．把一元二次方程3x 2-2x-3=0化成3(x+m)2=n 的形式是___ ________；若多项式x 2-ax+2a-3是一个完全平方式，则a=_________. 12．（2015春•重庆校级期中）a 2+b 2﹣4a+2b+5=0，则b a 的值为 ．三、解答题 13. 用配方法解方程.(1) 3x 2-4x-2=0； (2)x 2-4x+6=0．14. 用公式法解下列方程：（2） ．15．（2014•甘肃模拟）用配方法证明：二次三项式﹣8x 2+12x ﹣5的值一定小于0．16．已知在⊿ABC 中,三边长a 、b 、c ,满足等式a 2-16b 2-c 2+6ab+10bc=0，求证:a+c=2b223730216b a a b -+-+=a -2(1)210x ax --=；22222(1)()ab x a x b x a b +=+>一元二次方程专题复习（二）温故知新:1.直接开平方法2.配方法3.公式法一、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
2012年中考数学一轮复习精品讲义 一元二次方程 人教新课标版
第二十二章一元二次方程本章小结小结1 本章概述本章的主要内容有三部分．第一部分是一元二次方程的概念：学习一元二次方程的一般形式、成立的条件，一元二次方程的根(或解)，检验一个数值是否是一元二次方程的解的方法；第二部分是一元二次方程的解法：理解一元二次方程的解法的数学思想是降次，由降次的不同方法得出一元二次方程的不同解法，掌握一元二次方程的解法(配方法、公式法、因式分解法)；第三部分是一元二次方程的应用：利用一元二次方程来解答实际应用问题、数学综合问题等。
一元二次方程是初中阶段最重要的方程，它是解答数学问题的重要工具和方法，并且对学习函数，尤其是二次函数的综合问题起着决定性的作用，它在中考试题中占有一定的比例.小结2 本章学习重难点【本章重点】正确理解一元二次方程的有关概念及二次项系数不为0这一前提条件，掌握化一元二次方程为一般形式的方法及一元二次方程的解法.【本章难点】熟练求一元二次方程的解，并会将实际问题抽象为单纯的数学问题(列一元二次方程)来解决．会用一元二次方程的根与系数的关系求未知字母的系数，掌握一元二次方程根的判别式的应用.小结3 学法指导1. 经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界数量关系的一个有效的数学模型，本章遵循了“问题情境——建立模型——应用”的模式.2．在观察、归纳、类比、计算与交流活动中，理解并掌握一元二次方程的基本解法——直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法，并形成利用语言文字规X化地表达方程思想和方程知识的过程.3．通过对一元二次方程解法的探索与思考，进一步体会“化归”与“转化”的数学，思想的重要地位，解一元二次方程实际上是转化为解一元一次方程，达到降次的目的，进一步认识“方程是反映现实世界数量关系的一个有效的数学模型”.4．经历在具体问题情境中估计一元二次方程的解的过程，注意精确解、近似解的含义，并根据具体问题检验解的合理性.5．学好本章的关键是熟练掌握一元二次方程的解法和利用一元二次方程解决实际问题的方法，在学习过程中随时类比一元一次方程等相关知识，注意一元二次方程根与系数的关系，并在探索过程中体会“化归”与“转化”等数学思想在解决问题中的作用. 知识网络结构图专题总结及应用一、知识性专题专题1 一元二次方程的定义【专题解读】涉及一元二次方程定义的问题，应注意强调二次项系数不为0，不要忽略某些题目中的隐含条件.例1 已知（m －1）x|m |+1+3x －2＝0是关于x 的一元二次方程，求m 的值.分析 依题意可知m －1≠0与|m |+1＝2必须同时成立，因此求出满足上述两个条件的m 的值即可. 解：依题意得|m |+1＝2，即|m |＝1， 解得m ＝±1，又∵m －1≠0，∴m ≠1， 故m ＝－1.【解题策略】解决此类问题的关键是牢记并理解一元二次方程的定义，特别是二次项系数应为非零数这一隐含条件要注意.专题2 一元二次方程的解法一元二次 定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），未解法（降次） 直接开平方法因式分解法配方法22240404b ac b ac b ac ⎧-⇔⎪-⇔⎨⎪-⇔⎩＞方程有两个不相等的实数根＝方程有两个相等的实数根＜方程无实数根应用一元二次方程解决实际问题⎧⎨⎩步骤实际问题的答案【专题解读】解一元二次方程时，主要考虑降次，其解法有直接开平方法、因式分解法、配方法及公式法，在具体的解题过程中，应结合具体的方程的特点选择简单、恰当的方法.例2 用配方法解一元二次方程2x 2+1＝3 x . 分析 本题考查配方法解方程的步骤. 解：移项，得2x 2－3 x ＝－1， 二次项系数化为1，得231,22x x -=- 配方，得231().416x -=由此可得12311,1,.442x x x -=±∴==【解题策略】在二次系数为1的前提下，方程两边都加上一次项系数一半的平方. 例3 一元二次方程3x 2－x ＝0的解是（）A.x ＝0B.x 1＝0，x 2＝3C. 1210,3x x ==D. 13x = 分析根据本题特点应采用因式分解法，将原方程化为x (3x －1)＝0，易求出x ＝0或3x －1＝0，问题得解.故选C.【解题策略】方程易转化为两个一次式乘积为0的形式，可采用因式分解法来解方程. 例4 解方程x 2－2x －2＝0.分析 结合方程特点，本题可采用公式法或配方法求解. 解法1：∵a ＝1，b ＝－2，c ＝－2， ∴b 2－4ac ＝（－2）2－4×1×（－2）＝12，∴x 1==1211x x ==解法2：移项，得x 2－2x ＝2， 配方得x 2－2x +1＝3，即（x －1）2＝3，∴x －1＝1211x x ==【解题策略】一元二次方程的解法中，配方法及公式法是“万能”的方法.专题3 与方程的根有关的问题【专题解读】这部分内容主要考查已知方程的一根求字母的值，或者是根与系数及判别式相联系的问题. 例5 解下列方程，将所得到的解填入下面表格中：（1）通过填表，你发现这些方程的两个解的和与积与方程的系数有什么关系了吗？（2）一般地，对于关于x 的方程x 2+px +q ＝0（p ，q 为常数，且p 2－4q ≥0）来说，是否也具备（1）中你所发现的规律？如果具备，请你写出规律，并说明理由；如果不具备，请举出反例.分析这是一道探究规律的试题，解决此题应按照题中所给顺序逐项认真完成，仔细观察，能发现一元二次方程的根与系数的关系.解：填表如下：（1）由上表可以发现：上述方程的两根之和等于方程的一次项系数的相反数，两根之积等于常数项. （2）对方程x 2+px +q ＝0（p ，q 为常数，且p 2－4q ≥0）来说也具备同样的规律. 设方程x 2+px +q ＝0的两根为x 1，x 2，则x 1+x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ， 理由如下：∵p 2－4q ≥0，∴方程x 2+px +q ＝0有两个实数根，∴12x x ==∴x 1+x 22,2pp -==-x 1·x 222(4)444p p q q q --===，即x 1+x 2＝－p ，x 1·x 2＝q .例6 若a 是关于x 的方程x 2+bx +a ＝0的根，且a ≠0，则由此可得求得下列代数式的值恒为常数的是（） A.ab B.baC.a +bD.a －b 分析此题应由根的意义入手，将a 代入方程等得到关于a ，b 的一个方程，再通过因式分解进行求解.把x ＝a 代入方程x 2+bx +a ＝0，得a 2+ab +a ＝0，∴a (a +b +1)＝0，又∵a ≠0，∴a +b +1＝0，即a +b ＝－1.故选C.【解题策略】本题将方程解的意义、方程的解法融为一体，体现了消元、降次的转化思想，具有一定的探究性，而且此题在设计思路上跳出了固定套路，是一道具有创新意识的题.专题4 一元二次方程的应用【专题解读】利用一元二次方程解决实际问题时，应根据具体问题找到等量关系，进而列出方程，另外，对方程的解要注意合理进行取舍.例7 乌鲁木齐农牧区校舍改造工程初见成效，农牧区最漂亮的房子是校舍，2005年市政府对农牧区校舍改造的投入资金是5786万元，2007年校舍改造的投入资金是万元，若设这两年投入农牧区校舍改造资金的年平均增长率为x ，则根据题意列方程得.分析本题考查一元二次方程在增长率问题中的应用.因两年投入农牧区校舍改造资金的年平均增长率为x ，则2006年投入资金是5786（1+x ）万元，2007年的投入资金是5786（1+x ）2万元，故所求方程为5786（1+x ）2＝8058.9.【解题策略】有关增长率问题的常用公式为a （1+x ）n ＝b （n 为正整数）. 二、规律方法专题专题5 一元二次方程的解法技巧【专题解读】除了常见的几种一元二次方程的解法外，对于特殊类型的方程，可采用特殊的方法.例8 如果（2m +2n +1）（2m +2n －1）＝63，那么m +n 的值是.分析把m +n 看做一个整体求解.设m +n ＝x ，则原方程化为（2x +1）（2x －1）＝63，整理，得4x 2＝64，解得x ＝±4，∴m +n ＝±4.故填±4.例9 解方程（3x +2）2－8（3x +2）+15＝0.分析 此题可以把原方程展开为一般形式，运用公式法、因式分解法或配方法求解，但都比较麻烦，观察题目的结构可知把3x +2看做一个整体，设为t ，则原方程就可化成关于未知数t 的一元二次方程.解：设3x +2＝t ，原方程化为t 2－8t +15＝0， ∴t 1＝3，t 2＝5.当t ＝3时，3x +2＝3，∴x ＝13； 当t ＝5时，3x +2＝5，∴x ＝1. ∴原方程的根为x 1＝13，x 2＝1. 【解题策略】 本题也可直接分解为[(3x +2)－3][ (3x +2)－5]＝0，即（3x －1）（3x －3）＝0，用因式分解法解得x 1＝13，x 2＝1. 例10 解方程（x +2）（x +3）（x －4）（x －5）＝44.分析解方程的基本思想是“降次”，例如把一元二次方程降次，转化为两个一元二次方程.本题是一个一元四次方程，我们可尝试用因式分解法把方程的左边进行因式分解（方程的右边为0）.解：原方程转化为（x +2）（x +3）（x －4）（x －5）－44＝0， [（x +2）（x －4）][ （x +3）（x －5）] －44＝0， （x 2－2x －8）（x 2－2x －15）－44＝0，令x 2－2x ＝y ，则原方程化为（y －8）（y －15）－44＝0， ∴y 2－23y +76＝0， ∴y 1＝4，y 2＝19.当y ＝4时，x 2－2x ＝4，∴1211x x ==当y ＝19时，x 2－2x ＝19，∴3411x x =+=-∴原方程的根是1211x x ==3411x x =+=- 2.配方法例11 先用配方法说明：无论x 取何值，代数式x 2－6x +10的值部大于0；再求出当x 取何值时，代数式x 2－6x +10的值最小，最小值是多少.解：x 2－6x +10＝x 2－6x +32+（10－32）＝（x －3）2+1. ∵（x －3）2≥0，∴（x －3）2+1＞0，∴无论x 取何值，代数式x 2－6x +10的值部大于0. 当x －3＝0，即x ＝3时，(x 2－6x +10)最小＝1.例12 若实数m ，n ，p 满足m －n ＝8，mn +p 2+16＝0，则m +n +p 的值为（） A.－1 B. 0 C分析本题有三个未知数m ，n ，p 给出两个关系式，思路应放在消元转化上.由m －n＝8，得m ＝n +8，将m ＝n +8代入mn +p 2+16＝0中，得n (n －8)+p 2+16＝0，∴n 2+8n +16+p 2＝0，即（n +4）2+p 2＝0，又∵（n +4）2≥0，p 2≥0，且（n +4）2+p 2＝0，∴400,n p +=⎧⎨=⎩，4,4(4)00.0,n m n p p =-⎧∴++=+-+=⎨=⎩解得故选B.3.构造法例13 解方程3x 2+11x +10＝0.解：原方程两边同时乘3，得(3x )2+11×3x +30=0， ∴（3x +5）(3x +6)=0, ∴3x +5=0,或3x +6=0， ∴125, 2.3x x =-=- 4.特殊解法例14 解方程（x －1994）（x －1995）=1996×1997.分析观察方程可知1994+1997=1995+1996，1994－1996=1995－1997，并且一元二次方程最多只有两个实数解，则可用特殊的简便解法求解.解：方程组19941997,19951996x x -=⎧⎨-=⎩的解一定是原方程的解，解得x =3991，方程组19941996,19951997xx-=-⎧⎨-=-⎩的解也一定是原方程的解，解得x=－2，∵原方程最多只有两个实数解，∴原方程的解为x1=3991，x2=－2.【解题策略】解本题也可采用换元法.设x－1995=t，则x－1994=t+1，原方程化为t（t+1）=1996×1997，∴t2+t－1996×1997=0，∴（t+1997）（t－1996）=0，∴t+1997=0,或t－1996=0，∴t1=－1997，t2=1996.当t=－1997时，x－1995=－1997，∴x=－2；当t=1996时，x－1995=1996,∴x=3991.∴原方程的解为x1=－2，x2=3991.三、思想方法专题专题6 建模思想【专题解读】建模思想是指根据实际问题中数量之间的关系建立方程模型表达这个等量关系，通过解方程来解决实际问题.例15 经过两年的连续治理，某城市的大气环境有了明显改善，其每年每平方公里的降尘量从50吨下降到吨，则平均每年下降的百分率是.分析根据题意，设所求百分率为x，则有50（1－x）2，解得x1，x2，而＞1，不合题意，舍去，故x=0.1.故平均每年下降的百分率是10%.故填10%.【解题策略】利用一元二次方程解实际问题时，方程的解一定要符合实际意义.在建立方程模型解决实际问题时，应找准对应的数量关系.2011中考真题精选一、选择题1.（2011某某乌鲁木齐，8，4）关于x的一元二次方程（a－1）x2＋x＋|a|－1＝0的一个根是0，则实数a的值为（）A、－1B、0C、1D、－1或1考点：一元二次方程的解；一元二次方程的定义。
2012-2013学年一元二次方程期中复习(沈贵芬)
面积问题
4、 如图所示，利用22米长的墙为一边，用篱笆围成一 个长方形养鸡场，中间用篱笆分割出两个小长方形，总 共用去篱笆36米，为了使这个长方形ABCD的面积为96 平方米，问 AB和BC边各应是多少？
2
2
2
x
b
b 4ac
2
2a
0
因式分解法 ( x a )( x b ) 0
根的判别式： b 2 4 ac 根与系数的关系： x1 x 2 a , x1 x 2 a 应用 实际应用
b c
思想方法
转化思想；整体思想;配方法、换元法
考点1、一元二次方程的概念
1、 若关于x的一元二次方程 x
- 4x m 0; 两 2 个不相等的实数根，试求m的取值范围
2
1
解： b - 4ac - 4） - （m △ （ 4
2 2
1 2
） 18 - 4m
由方程 有两个不相等的实数根得： 18 - 4m＞0 m＜ 9 2
考点6、因式分解法
解方程：(1)、4x(x+2)2=2(x+2)
解：设AB=x米，则BC=（36-3x）米，依题意得：
x(36-3x)=96
解得：x1=4 x2=8
当AB=4时， BC=36-3x=24＞22，这种情况不合题意
当AB=8时， BC=36-3x=12
答： AB长为8、BC长为12。
解： 设方程的另一个根为x2. x2 ＋2= k+1 由根与系数的关系，得 x2 ●2= 3k x2 =－3 解这方程组，得 k =－2 答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2。
中考数学总复习第7课 一元二次方程
5．(2013·浙江衢州)如图 7－1，在长和宽分别是 a，b 的矩形纸片的四个 角都剪去一个边长为 x 的正方形． (1)用含 a，b，x 的代数式表示纸片剩余部分的面积； (2)当 a＝6，b＝4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方 形的边长．
图 7－1 【解析】 (1)面积＝ab－4x2. (2)根据题意，得 ab－4x2＝4x2(或 4x2＝1ab龙江牡丹江)若关于 x 的一元二次方
程为 ax2＋bx＋5＝0(a≠0)的解是 x＝1，则 2013－a－b 的
值是
()
A．2018
B．2008
C ．2014
D．2012
点评：(1)本题主要考查一元二次方程的解的概念，难度较小．
(2)解题的关键是把已知方程的解直接代入方程得到待定系数
3．解一元二次方程时，方程两边不能同时约去一个相同 的式子，因为这个式子可能为 0，如果约去，会造成漏 解．
【精选考题 2】 (2013·江苏无锡)解方程：x2－3x＋2＝0.
点评：(1)本题考查一元二次方程的解法，难度较小． (2)求解本题的关键是根据题目特征选择最适合的方法(因 式分解法)求解． 解析：x 2－3x ＋2＝0，(x －1)(x －2)＝0，∴x 1＝1，x 2＝2.
3．配方法：解一元二次方程时，先把方程的常数项移到方程的右边，再在方程两边同时 加上某一常数，使得左边刚好能配成一个完全平方式，即将方程化为(x＋a)2＝b 的形式， 如果 b≥0，就可以用直接开平方法来求出它的解，这种解一元二次方程的方法叫做配 方法．
4．公式法：一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式：x＝－b± b2－4ac(b2－4ac≥0)． 2a
拓展提高
1．(2012·山东泰安)方程 2x2＋5x－3＝0 的解是
2012年九上数复习之一元二次方程
2011年九上期末数学复习之一元二次方程一：基础知识点整理1．一元二次方程的定义（a 的重要性）2．用配方法解一元二次方程的基本思路（1）当a=1时，配 ； 当二次项系数a 不为0时，先 ，再 3．当 时，我们可以用公式法解一元二次方程，求根公式为4．一般地，当b 2-4ac 是一个完全平方式时，我们可以将一元二次方程化为a （x-m ）(x-n)=0形式，其方法可以运用提公因式或运用公式法因式分解。
5．一元二次方程的解的情况与a ，b ，c 之间的关系：6一元二次方程的两根之和为 ；两根之积为 7．运用列一元二次方程解决实际问题的基本步骤与注意点： 二：基础训练1．若n （0n ≠）是关于x 的方程220x mx n ++=的根，则m +n 的值为2．已知1O ⊙和2O ⊙的半径分别是一元二次方程()()120x x --=的两根，且122O O =，则1O ⊙和2O ⊙的位置关系是 ．3、一元二次方程2x(x －3)＝5(x －3)的根为 ( )A ．x ＝52B ．x ＝3C ．x 1＝3，x 2＝52D ．x ＝－524、某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x 名同学，根据题意，列出方程为 ( )A ．x(x ＋1)＝1035B ．x(x －1)＝1035×2C ．x(x －1)＝1035D ．2x(x ＋1)＝10355、三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程212350x x -+=的根，则该三角形的周长为（ ）A ．14 B ．12 C ．12或14 D ．以上都不对6、若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 （ ）(A)1k >- (B) 1k >-且0k ≠ (c)1k < (D) 1k <且0k ≠7、定义：如果一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠满足0a b c ++=，那么我们称这个方程为“凤凰”方程. 已知20(0)ax bx c a ++=≠ 是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）A ．a c = B ．a b =C ．b c =D ． a b c ==8、设一元二次方程2640x x -+=的两个实数根分别为1x 和2x ，则12x x += ，1x ∙2x ＝ ．9、某药品原价每盒25元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，则该药品平均每次降价的百分率是______10、某市2008年国内生产总值（GDP ）比2007年增长了12%，由于受到国际金融危机的影响，预计今年比2008年增长7%，若这两年GDP 年平均增长率为x %，则x %满足的关系是 11．把方程234x x +=配方得（ ）A 、2(2)1x -=B 、2(2)7x -=C 、2(2)1x +=D 、2(2)2x += 12．已知11x x +=，则221x x+的值为____________ 13、解方程(1)3x 2－7x ＝O ； (2) 9)12(2=-x （3）（x －2）（x －5）=－214、要对一块长60米、宽40米的矩形荒地ABCD 进行绿化和硬化．（1）设计方案如图①所示，矩形P 、Q 为两块绿地，其余为硬化路面，P 、Q 两块绿地周围的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为矩形ABCD 面积的14，求P 、Q 两块绿地周围的硬化路面的宽．（2）某同学有如下设想：设计绿化区域为相外切的两等圆，圆心分别为1O 和2O ，且1O 到AB BC AD 、、的距离与2O 到CD BC AD 、、的距离都相等，其余为硬化地面，如图②所示，这个设想是否成立？若成立，求出圆的半径；若不成立，说明理由．图②15．某市种植某种绿色蔬菜，全部用来出口．为了扩大出口规模，该市决定对这种蔬菜的种植实行政府补贴，规定每种植一亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元．经调查，种植亩数y（亩）与补贴数额x（元）之间大致满足如图1所示的一次函数关系．随着补贴数额x的不断增大，出口量也不断增加，但每亩蔬菜的收益z（元）会相应降低，且z与x之间也大致满足如图2所示的一次函数关系．图1 x/元图2 x/元（1）在政府未出台补贴措施前，该市种植这种蔬菜的总收益额为多少？（2）分别求出政府补贴政策实施后，种植亩数y和每亩蔬菜的收益z与政府补贴数额x之间的函数关系式；（3）要使全市这种蔬菜的总收益w（元）最大，政府应将每亩补贴数额x定为多少？并求出总收益w的最大值．16、2009年4月7日，国务院公布了《医药卫生体制改革近期重点实施方案（2009~2011年》，某市政府决定2009年投入6000万元用于改善医疗卫生服务，比2008年增加了1250万元．投入资金的服务对象包括“需方”（患者等）和“供方”（医疗卫生机构等），预计2009年投入“需方”的资金将比2008年提高30%，投入“供方”的资金将比2008年提高20%．（1）该市政府2008年投入改善医疗卫生服务的资金是多少万元？（2）该市政府2009年投入“需方”和“供方”的资金各多少万元？（3）该市政府预计2011年将有7260万元投入改善医疗卫生服务，若从2009~2011年每年的资金投入按相同的增长率递增，求2009~2011年的年增长率．17．在⊙O的内接∆ABC中，AB AC AD BC+=⊥12,，垂足为D，且AD=3，设⊙O的半径为y，AB的长为x。
中考一元二次方程复习知识点归纳
中考一元二次方程复习知识点归纳中考一元二次方程复习知识点归纳一元二次方程是一个比较难的部分，想要考好数学离不开一元二次方程。
下面小编就大家整理一下中考一元二次方程复习知识点及公式，仅供参考。
希望可以帮助到你!一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
一元二次方程的一般形式：它的特征是：等式左边是一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数;bx叫做一次项，b叫做一次项系数;c叫做常数项。
一元二次方程常见考法(1)考查一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)：这类题目有着解题规律性强的特点，题目设置会很灵活，所以一直很吸引命题者。
主要考查①根与系数的推导，有关规律的探究②已知两根或一根构造一元二次方程，这类题目一般比较开放;(2)在一元二次方程和几何问题、函数问题的交汇处出题。
(几何问题：主要是将数字及数字间的关系隐藏在图形中，用图形表示出来，这样的图形主要有三角形、四边形、圆等涉及到三角形三边关系、三角形全等、面积计算、体积计算、勾股定理等);(3)列一元二次方程解决实际问题，以实际生活为背景，命题广泛。
(常见的题型是增长率问题，注：平均增长率公式一元二次方程解法口诀含有一个未知数，最高指数是二次;整式方程最常见，一元二次方程式。
左边二次三项式，右边是零一般式。
方程缺少常数项，求根提取公因式;方程没有一次项，直接开方最合适;方程如果合家欢，十字相乘先去试;分解二次常数项，叉乘求和凑中式;如能做到这一点，十字相乘根求之;否则可以去配方，自然能够套公式。
用间接配方法解一元二次方程已知未知先分离，因式分解是其次。
调整系数等互反，和差积套恒等式。
完全平方等常数，间接配方显优势。
用公式法解一元二次方程要用公式解方程，首先化成一般式。
调整系数随其后，使其成为最简比。
确定参数abc，计算方程判别式。
判别式值与零比，有无实根便得知。
一元二次方程专题复习资料
一元二次方程专题复习 知识盘点1．方程中只含有 个未知数，并且整理后未知数的最高次数是 ，这样的 方程叫做一元二次方程。
通常可写成如下的一般形式 ( a 、b 、c 、为常数，a )。
2. 一元二次方程的解法：（1）直接开平方法：当一元二次方程的一边是一个含有未知数的 的平方，而另一边是一个 时，可以根据 的意义，通过开平方法求出这个方程的解。
（2）配方法：用配方法解一元二次方程()02≠=++a o c bx ax 的一般步骤是：①化二次项系数为 ，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为 项和 项，右边为 项；③配方，即方程两边都加上 的平方；④化原方程为2()x m n +=的形式，如果n 是非负数，即0n ≥，就可以用 法求出方程的解。
如果n ＜0，则原方程 。
（3）公式法: 方程20(0)ax bx c a ++=≠，当24b ac -_______ 0时，x = ________（4）因式分解法：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：①将方程的右边化为 ；②将方程的左边化成两个 的乘积；③令每个因式都等于 ，得到两个 方程；④解这两个方程，它们的解就是原方程的解。
3.一元二次方程的根的判别式 .（1）ac b 42->0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个 的实数根,即-----=-----=2,1x x（2）ac b 42-=0⇔一元二次方程有两个 的实数根，即-----==21x x ,（3）ac b 42-<0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根。
4. 一元二次方程根与系数的关系如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两根为12,x x ，则12x x += ，12x x =提示：在应用一元二次方程根与系数的关系时，一定要保证元二次方程有实数根。
5. 列一元二次方程解应用题列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程解应用题的步骤一样，即审、找、设、列、解、答六步。
一元二次方程(中考总复习)
第9课时 一元二次方程及其应用教学内容 ：一元二次方程及其应用教学要求：1.理解一元二次方程的概念和一般形式，能把一个一元二次方程化为一般形式.2.理解配方法，会用因式分解法、直接开平方法和公式法解简单的一元二次方程，掌握一元二次方程的求根公式.3.能用一元二次方程解决实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性.教学重、难点重点：用因式分解法、直接开平方法和公式法解简单的一元二次方程. 难点：配方法，列一元二次方程解决实际问题，并检验解的合理性. 教学过程一、知识点回顾1．一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中 叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数.2. 一元二次方程的常用解法：（1）直接开平方法：形如)0(2≥=a a x 或)0()(2≥=-a a b x 的一元二次方程，就可用直接开平方的方法.（2）配方法：用配方法解一元二次方程()02≠=++a o c bx ax 的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化原方程为2()x m n +=的形式，⑤如果是非负数，即0n ≥，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n ＜0，则原方程无解.（3）公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是21,240)x b ac =-≥. （4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为 ；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.3．易错知识辨析：（1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中0≠a .（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式.（3）用配方法时二次项系数要化1.（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负.二、典例精析例1 选用合适的方法解下列方程：（1）)4(5)4(2+=+x x ； （2）x x 4)1(2=+；（3）22)21()3(x x -=+； （4）31022=-x x .例2 已知一元二次方程0437122=-+++-m m mx x m ）（有一个根为零，求m 的值.例3 用22长的铁丝，折成一个面积是30㎝2的矩形，求这个矩形的长和宽.又问：能否折成面积是32㎝2的矩形呢？为什么？三、中考演练1．方程 (5x －2) (x －7)＝9 (x －7)的解是_________.2．已知2是关于x 的方程23x 2－2 a ＝0的一个解，则2a －1的值是_________. 3．关于y 的方程22320y py p +-=有一个根是2y =，则关于x 的方程23x p -=的解为_____.4．下列方程中是一元二次方程的有（ ）①9 x 2=7 x ②32y =8 ③ 3y(y-1)=y(3y+1) ④ x 2-2y+6=0 ⑤ 2( x 2+1)=10 ⑥ 24x -x-1=0 A ． ①②③ B. ①③⑤ C. ①②⑤ D. ⑥①⑤5. 一元二次方程(4x ＋1)(2x －3)＝5x 2＋1化成一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)后a,b,c 的值为（ ）A ．3，－10，－4 B. 3，－12，－2C. 8，－10，－2D. 8，－12，46．一元二次方程2x 2－(m ＋1)x ＋1＝x (x －1) 化成一般形式后二次项的系数为1，一次项的系数为－1，则m 的值为（ ）A. －1B. 1C. －2D. 27．解方程(1) x 2－5x －6＝0 ； (2) 3x 2－4x －1＝0（用公式法）；(3) 4x 2－8x ＋1＝0（用配方法）； （4）x 222 x+1=0．8．某商店4月份销售额为50万元，第二季度的总销售额为182万元，若5、6两个月的月增长率相同，求月增长率．四、小结五、作业教学文本。
(中考考点梳理)一元二次方程-中考数学一遍过
考点05 一元二次方程一、一元二次方程的概念1．一元二次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．2．一般形式20ax bx c ++=（其中,,a b c 为常数，0a ≠），其中2,,ax bx c 分别叫做二次项、一次项和常数项，,a b 分别称为二次项系数和一次项系数．注意：（1）在一元二次方程的一般形式中要注意0a ≠，因为当0a =时，不含有二次项，即不是一元二次方程；（2）一元二次方程必须具备三个条件：①必须是整式方程；②必须只含有一个未知数；③所含未知数的最高次数是2．二、一元二次方程的解法1．直接开平方法适合于2()()0x a b b ±=≥或22()()ax b cx d ±=±形式的方程．2．配方法（1）化二次项系数为1；（2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项；（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）把方程整理成2()()0x a b b ±=≥的形式；（5）运用直接开平方法解方程．3．公式法（1）把方程化为一般形式，即20ax bx c ++=；（2）确定,,a b c 的值；（3）求出24b ac -的值；（4）将,,a b c 的值代入x =即可． 4．因式分解法基本思想是把方程化成()()0ax b cx d ++=的形式，可得0ax b +=或0cx d +=．三、一元二次方程根的判别式及根与系数关系1．根的判别式一元二次方程2(0)0ax bx c a ++=≠是否有实数根，由24b ac -的符号来确定，我们把24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．2．一元二次方程根的情况与判别式的关系（1）当240b ac ->时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根；（2）当240b ac -=时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠有1个（两个相等的）实数根；（3）当240b ac -<时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠没有实数根．3．根与系数关系对于一元二次方程20ax bx c ++=（其中,,a b c 为常数，0a ≠），设其两根分别为1x ，2x ，则12b x x a +=-，12c x x a=． 四、利用一元二次方程解决实际问题列一元二次方程解应用题步骤和列一元一次方程(组)解应用题步骤一样，即审、设、列、解、验、答六步．列一元二次方程解应用题，经济类和面积类问题是常考内容．1．增长率等量关系（1）增长率＝增长量÷基础量．（2）设a 为原来量，m 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长后的量，则()1n a m b +=；当m 为平均下降率时，则有()1n a m b -=．2．利润等量关系（1）利润＝售价－成本．（2）利润率＝利润成本×100％． 3．面积问题（1）类型1：如图1所示的矩形ABCD 长为a ，宽为b ，空白“回形”道路的宽为x ，则阴影部分的面积为()(22)a x b x --．（2）类型2：如图2所示的矩形ABCD 长为a ，宽为b ，阴影道路的宽为x ，则空白部分的面积为()()a x b x --．（3）类型3：如图3所示的矩形ABCD 长为a ，宽为b ，阴影道路的宽为x ，则4块空白部分的面积之和可转化为()()a x b x --．图1图2 图3考向一 一元二次方程的概念一元二次方程必须具备三个条件：①必须是整式方程；②必须只含有一个未知数；③所含未知数的最高次数是2．典例1 下列方程中是关于x 的一元二次方程的是A ．2210x x += B ．ax 2+bx +c =0 C ．x 2+x +1=0D ．x (x +1)=x 2+7 【答案】C【名师点睛】本题主要考查一元二次方程的定义.根据一元二次方程的定义对每个选项进行判断即可.注意D 选项需要化简后进行观察.1．若方程()2110m x mx +--=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 A ．m ≠−1 B ．m =−1C ．m ≥−1D ．m ≠0考向二 解一元二次方程一元二次方程的常见解法及适用情形：典例2 若2x =-是关于x a 的值为_______________． 【答案】1或4-【解析】因为2x =-是关于x2340a a +-=，整理得1)40()(a a +-=， 解得14a =-，21a =．故a 的值是1或4-．典例3 用配方法解方程2210x x +-=时，配方结果正确的是A ．2(2)2x +=B ．2(1)2x +=C ．2(2)3x +=D ．2(1)3x +=【答案】B【解析】因为2210x x +-=，所以2212x x ++=，即2(1)2x +=．故选B ．2．一元二次方程23830x x +-=的解是_______________．3．方程()32)11(x x x -=-的根是_______________．考向三 一元二次方程根的判别式对于方程2(0)0ax bx c a ++=≠，24b ac ∆=-，①若∆>0，方程有两个不相等的实数根；②若∆=0，方程有两个相等的实数根；③若∆<0，方程没有实数根．典例4 已知关于x 的一元二次方程2210ax x +-=无实数根，则a 的取值范围是_______________．【答案】1a <-【解析】因为关于x 的一元二次方程2210ax x +-=无实数根，所以0a ≠，且44(1)0a ∆-⨯⨯-<=，解得1a <-．故a 的取值范围是1a <-．学-科网典例5 有两个一元二次方程：①20ax bx c ++=，②20cx bx a ++=，其中0a c +=，以下四个结论中，错误的是A ．如果方程①有两个相等的实数根，那么方程②也有两个相等的实数根B ．如果方程①和方程②有一个相同的实数根，那么这个根必定是1x =C ．如果4是方程①的一个根，那么14是方程②的一个根 D ．方程①的两个根的符号相异，方程②的两个根的符号也相异【答案】B【解析】选项A ，214b ac ∆=-，224b ac ∆=-，12∆∆=，所以A 正确；选项B ，因为将1±分别代入方程，值相等，结合0a c +=，可知B 不正确；选项C ，因为1640a b c ++=，110164c b a ++=，即1640a b c ++=，故C 正确； 选项D ，由根与系数关系可知D 正确．故选B ．4．一元二次方程22520x x --=的根的情况是A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根5．关于x 的一元二次方程220x x k -+=有两个相等的实数根，则k 的值为A ．1B ．1-C ．2D ．2-考向四 根与系数关系设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根分别为1x ，2x ，则12bx x a +=-，12cx x a =．典例6 若1-是方程220x x c -+=的一个根，则c 的值为A ．2-B ．2-C ．3D ．1【答案】A【解析】由根与系数的关系可得另一个根为2(11-=+，所以(12c ==-. 故选A ．典例7 如果1x ，2x 是一元二次方程2650x x --=的两个实根，那么2212x x +=_______________．【答案】46【解析】由根与系数关系，可得126x x +=，125x x =-，则222121212()2365246x x x x x x +=+-=+⨯=．6．若方程2410x x -+=的两根是1x ，2x ，则122(1)x x x ++的值为_______________．7．关于x 的方程022=++n mx x 的两个根是2-和1，则m n 的值为A ．8- B ．8C ．16D ．16-考向五 一元二次方程在实际问题中的应用列一元二次方程解实际问题的关键是找出题中的等量关系，利用等量关系列出方程．其中分析实际问题是解决问题的前提和基础，解一元二次方程是重要方法和手段，并注意解出的方程的解是否符合实际问题．典例8 某药品原价每盒64元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒36元，则该药品平均每次降价的百分率是_______________．【答案】25％【解析】设药品平均每次降价的百分率是a ，则由题意可得243(616)a -=，25％． 典例9 经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x ，根据题意可列方程是_______________．【答案】203(512)x -=【解析】由题意可得203(512)x -=．8．某商店今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是4.5万元，从1月份到3月份，该店销售额平均每月的增长率是A ．20%B ．25%C ．50%D ．62.5%9．如图，在一块长为22米、宽为17米的长方形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与长方形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路宽为x 米，则根据题意可列出方程为A ．()()2217300x x +-=B ．()()22172300x x --=C ．()()2217300x x ++=D ．()()2217300x x --=1．下列方程为一元二次方程的是A ．2220x xy y -+=B ．223x x -=C ．()231x x x +=-D ．10x x+= 2．设1x ，2x 是方程2530x x +-=的两个根，则12x x +=A ．5B ．5-C ．3D ．3-3．如果2是方程230x x k -+=的一个根，则常数k 的值为A ．1 B ．2C ．1-D ．2-4．用公式法解﹣x 2+3x =1时，先求出a 、b 、c 的值，则a 、b 、c 依次为A ．﹣1，3，﹣1B ．1，﹣3，﹣1C ．﹣1，﹣3，﹣1D ．﹣1，3，15．方程230x x -=的解是A ．3x =B ．10x =，23x =C ．10x =，23x =-D ．11x =，23x = 6．方程()11x x x +=+的解是A ．1x =B ．1x =-C ．10x =，21x =-D ．11x =，21x =-7．若关于x 的一元二次方程22(2)520m x x m m -++-=的常数项为0，则m 的值为A ．1B ．2C ．0或2D ．0 8．一元二次方程2210x x --=的根的情况为A ．只有一个实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有两个相等的实数根D ．没有实数根 9．已知关于x 的一元二次方程22(2)0x x m +--=有实数根，则m 的取值范围是A ．1m >B ．1m <C ．1m ≥D ．1m ≤10．关于x 的一元二次方程280x x q ++=有两个不相等的实数根，则q 的取值范围是A ．16q <B ．16q >C ．4q ≤D ．4q ≥11．已知c b a ,,为常数，点),(c a P 在第二象限，则关于x 的方程02=++c bx ax 根的情况是A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判断12．关于x 的一元二次方程22(2)10x a a x a +-+-=的两个实数根互为相反数，则a 的值为A ．2B ．0C ．1D ．2或013．如果2是方程230x x k -+=的一个根，则此方程的另一根为A ．2B ．1C ．1-D ．2- 14．设α，β是方程2210x x --=的两根，则代数式αβαβ++的值是A ．1B ．1-C ．3D ．3- 15．若关于x 的一元二次方程20x bx c -+=的两个实数根分别为2和4-，则b c +=A ．10-B ．10C ．6-D ．1- 16．已知一元二次方程2210x x --=的两根分别为1x ，2x ，则1211x x +的值为 A ．2B ．1-C ．12- D ．2- 17．2018年某市人民政府投入1000万元用于改造乡村小学班班通工程建设，计划到2020年再追加投资210万元，如果每年的平均增长率相同，那么该市这两年该项投入的平均增长率为A ．10%B ．8%C ．1.21%D ．12.1%18．已知一次函数y =kx +b 的大致图象如图所示，则关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +kb +1=0的根的情况是A ．有两个不相等的实数根B ．没有实数根C ．有两个相等的实数根D ．有一个根是019．用配方法解方程x 2+6x ﹣5=0时，应该变形为_______________．20．若方程220x x k ++=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是_______________． 21．已知关于x 的一元二次方程220x x m +-=有两个相等的实数根，则m 的值是_______________． 22．在一次聚会中，参加聚会的人每两位都相互握一次手，一共握手28次，设参加聚会有x 人，则可列方程_______________．23．若12,x x 是一元二次方程2350x x +-=的两个根，则221212x x x x +的值是_______________． 24．已知直角三角形两边的长是方程218650x x -+=的两个根，则第三边的长为_______________． 25．设α，β是方程(1)(4)5x x +-=-的两实数根，则33βααβ+=_______________． 26．解下列方程：（1）2235()x -=；（2）22330x x --=； （3）2()330x x --+=．27．关于x 的一元二次方程2(3)220x k x k -+++=．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一根小于1，求k 的取值范围．28．已知关于x 的方程28120x x a ++-=有两个不相等的实数根．（1）求a 的取值范围；（2）当a 取满足条件的最小整数时，求出方程的解． 29．根据要求，解答下列问题．（1）根据要求，解答下列问题．①方程2210x x -+=的解为________________________； ②方程2320x x -+=的解为________________________； ③方程2430x x -+=的解为________________________；……（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：①方程2980x x -+=的解为________________________；②关于x 的方程________________________的解为11x =，2x n =． （3）请用配方法解方程2980x x -+=，以验证猜想结论的正确性．30．如图，要在长、宽分别为50米、40米的矩形草坪内建一个正方形的观赏亭．为方便行人，分别从东、南、西、北四个方向修四条宽度相同的矩形小路与亭子相连，若小路的宽是正方形观赏亭边长的15，小路与观赏亭的面积之和占草坪面积的325，求小路的宽．31．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于6 cm2？（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于8 cm2？说明理由．32．某商店经销一种成本为每千克20元的水产品，据市场分析，若按每千克30元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨（或跌）1元，月销售量就减少（或增加）10kg，解答以下问题：（1）当销售单价定为每千克35元时，计算月销售量和月销售利润；（2）商店想在月销售成本不超过6000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少？（3）商店要使得月销售利润达到最大，销售单价应为多少？此时利润为多少？1．（2018贵州省铜仁）关于x的一元二次方程x2﹣4x+3=0的解为A．x1=﹣1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3C．x1=1，x2=3 D．x1=﹣1，x2=﹣32．（2018湖南省湘西州）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有一个解为x=﹣1，则另一个解为A．1 B．﹣3C．3 D．43．（2018甘肃省陇南）关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个实数根，则k的取值范围是A．k≤﹣4 B．k＜﹣4C．k≤4D．k＜44．（2018辽宁省锦州）一元二次方程2x2−x+1=0的根的情况是A．两个不相等的实数根B．两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断5．（2018四川省泸州）若关于x 的一元二次方程()222110x k x k +-+-=有实数根，则k 的取值范围是A ．k ≥1B ．k ＞1C ．k ＜1D ．k ≤16．（2018福建）已知关于x 的一元二次方程（a +1）x 2+2bx +（a +1）=0有两个相等的实数根，下列判断正确的是A ．1一定不是关于x 的方程x 2+bx +a =0的根B ．0一定不是关于x 的方程x 2+bx +a =0的根C ．1和﹣1都是关于x 的方程x 2+bx +a =0的根D ．1和﹣1不都是关于x 的方程x 2+bx +a =0的根7．（2018河南）下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是 A ．x 2+6x +9=0 B ．x 2=xC ．x 2+3=2xD ．（x ﹣1）2+1=08．（2018湖北省咸宁）已知一元二次方程2x 2+2x ﹣1=0的两个根为x 1，x 2，且x 1＜x 2，下列结论正确的是 A ．x 1+x 2=1 B ．x 1•x 2=﹣1 C ．|x 1|＜|x 2|D ．x 12+x 1=129．（2018广西壮族自治区贵港）已知α，β是一元二次方程x 2+x ﹣2=0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值是 A ．3 B ．1 C ．﹣1D ．﹣310．（2018山东省潍坊）已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m +2）x +4m=0有两个不相等的实数根x 1，x 2．若11x +21x =4m ，则m 的值是 A ．2B ．﹣1C ．2或﹣1D ．不存在11．（2018黑龙江省龙东地区）某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？ A ．4B ．5C ．6D ．712．（2018浙江省舟山）欧几里得的《原本》记载，形如22x ax b +=的方程的图解法是：画Rt ABC △，使90ACB ∠= ，2a BC =，AC b =，再在斜边AB 上截取2aBD =.则该方程的一个正根是A ．AC 的长B ．AD 的长C ．BC 的长D ．CD 的长13．（2018四川省资阳）已知关于x 的一元二次方程mx 2+5x +m 2﹣2m =0有一个根为0，则m =_____． 14．（2018云南省曲靖）关于x 的方程ax 2+4x ﹣2=0（a≠0）有实数根，那么负整数a =_____（一个即可）． 15．（2018贵州省毕节）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣x ﹣m =0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是_____．16．（2018湖南省益阳）规定：()a b a b b ⊗=+，如：()2323315⊗=+⨯=，若23x ⊗=，则x ＝_____．17．（2018湖北省荆州）关于x 的一元二次方程x 2﹣2kx +k 2﹣k =0的两个实数根分别是x 1、x 2，且x 12+x 22=4，则x 12﹣x 1x 2+x 22的值是_____．18．（2018四川省达州）已知：m 2﹣2m ﹣1=0，n 2+2n ﹣1=0且mn ≠1，则1mn n n++的值为_____． 19．（2018甘肃省兰州）解方程：23220x x --=．20．（2018湖北省十堰）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k ﹣1）x+k 2+k ﹣1=0有实数根． （1）求k 的取值范围；（2）若此方程的两实数根x 1，x 2满足x 12+x 22=11，求k 的值．21．（2018湖北省孝感）已知关于x 的一元二次方程()()()321x x p p --=+. （1）试证明：无论p 取何值此方程总有两个实数根；（2）若原方程的两根1x ，2x 满足222121231x x x x p +-=+，求p 的值. 22．（2018黑龙江省绥化）已知关于x 的一元二次方程2520x x m -+=有实数根． （1）求m 的取值范围； （2）当52m =时，方程的两根分别是矩形的长和宽，求该矩形外接圆的直径．23．（2018重庆）在美丽乡村建设中，某县政府投入专项资金，用于乡村沼气池和垃圾集中处理点建设．该县政府计划：2018年前5个月，新建沼气池和垃圾集中处理点共计50个，且沼气池的个数不低于垃圾集中处理点个数的4倍．（1）按计划，2018年前5个月至少要修建多少个沼气池？（2）到2018年5月底，该县按原计划刚好完成了任务，共花费资金78万元，且修建的沼气池个数恰好是原计划的最小值．据核算，前5个月，修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用之比为1：2．为加大美丽乡村建设的力度，政府计划加大投入，今年后7个月，在前5个月花费资金的基础上增加投入10a %，全部用于沼气池和垃圾集中处理点建设．经测算：从今年6月起，修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用在2018年前5个月的基础上分别增加a %，5a %，新建沼气池与垃圾集中处理点的个数将会在2018年前5个月的基础上分别增加5a %，8a %，求a 的值．1．【答案】A【解析】根据一元二次方程的定义可得：m +1≠0，解得：m ≠−1. 故选A ．【名师点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程必须满足三个条件： （1）必须是整式方程；（2）未知数的最高次数是2；（3）二次项系数不为0．根据一元二次方程的定义求解即可． 2．【答案】113x =，23x =-3．【答案】11x =，223x =【解析】()32)11(x x x -=-，即312()(0)1x x x ---=，即()(20)31x x --=，即320x -=或10x -=，解得11x =，223x =． 4．【答案】B【解析】由22520x x --=可得2(5)42(2)410∆=--⨯⨯-=>，所以方程22520x x --=有两个不相等的实数根. 故选B ． 5．【答案】A【解析】由题可得=4401k k ∆-=⇒=. 故选A ． 6．【答案】5【解析】根据题意得124x x +=，121x x =，所以12212124(1)15x x x x x x x ++=+=+=+． 7．【答案】C【解析】因为关于x 的方程022=++n mx x 的两个根是2-和1，所以12m -=-，22n=-，所以2m =，4n =-，所以2(4)16m n =-=．故选C ．9．【答案】D【解析】设道路的宽应为x 米， 由题意得（22−x ）（17−x ）=300， 故选D ．【名师点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程．1．【答案】B【解析】A 、是二元二次方程，故不是一元二次方程，故此选项错误； B 、是一元二次方程，故此选项正确；C 、原方程化简整理后是一元一次方程，故此选项错误；D 、是分式方程，不是一元二次方程，故此选项错误； 故选B ．【名师点睛】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．利用一元二次方程的定义：含有一个未知数，未知数的最高次数为2次，这样的整式方程称为一元二次方程，判断即可． 2．【答案】B故选B ． 3．【答案】B【解析】因为2是方程230x x k -+=的一个根，所以22320k -⨯+=，解得2k =． 故选B ． 4．【答案】A【解析】方程﹣x 2+3x =1整理得：﹣x 2+3x ﹣1=0， 则a ，b ，c 依次为﹣1，3，﹣1． 故选A ．【名师点睛】将一元二次方程整理成一般形式后即可判断出a ，b ，c 的值. 5．【答案】B【解析】由230x x -=，可得3()0x x -=，则10x =，23x =. 故选B ． 6．【答案】D【解析】()11x x x +=+，即(1)(1)0x x x +-+=，即(1)(1)0x x +-=，即10x +=或10x -=， 所以11x =-，21x =， 故选D.【名师点睛】本题是个易错题，因为不知道1x +是否为0，所以不能直接利用等式的性质2两边除以(1)x +．7．【答案】D【解析】由题意可得22020m m m ⎧-=⎨-≠⎩，解得0m =.故选D ．【名师点睛】本题主要考查一元二次方程的概念，一元二次方程的解和解方程的应用，关键是得出220m m -=且20m -≠．8．【答案】B【解析】因为2241(1(0))8∆=--⨯⨯-=>，所以方程有2个不相等的实数根． 故选B ． 9．【答案】C【解析】由题意得240b ac ∆=-≥，即2[20)12]4(m -⨯⨯--≥，解得1m ≥. 故选C ． 10．【答案】A【解析】由题可得6440q ∆=->，解得16q <． 故选A ． 11．【答案】B【解析】因为点),(c a P 在第二象限，所以0a <，0c >，所以0ac <，所以240b ac ∆=->，所以方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根． 故选B ．13．【答案】B，有一个根是2，则另一个根是321-=．故选B ． 12cx x a=．故选B ． 14．【答案】A【解析】由根与系数关系，可得2αβ+=，1αβ=-，则211αβαβ++=-=． 故选A ． 15．【答案】A【解析】由根与系数关系可得2(4)b +-=，2(4)c ⨯-=，解得2b =-，8c =-．所以10b c +=- ．故选A ．16．【答案】D【解析】由根与系数的关系可得122x x +=，121x x =-，所以22121111221x x x x x x ++===--. 故选D ． 17．【答案】A【解析】设该市这两年该项投入的平均增长率为x ，依题意可得21000(1)2101000x ⨯+=+，解得10.110%x ==，2 2.1x =-(舍去)． 即该市这两年该项投入的平均增长率为10%． 故选A ． 18．【答案】A【解析】∵一次函数y =kx +b 的图象经过第一、三、四象限，∴k >0，b <0， ∴△=(−2)2−4（kb +1）=−4kb >0，∴方程x 2﹣2x +kb +1=0有两个不等的实数根. 故选A ．【名师点睛】判断根的情况，只要看根的判别式△=b 2−4ac 的值的符号就可以了． 19．【答案】（x +3）2=14【解析】方程移项得：x 2+6x =5，配方得：x 2+6x +9=14，即（x +3）2=14.【名师点睛】此题考查了解一元二次方程的方法：配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．方程中常数项移到右边，两边加上9，利用完全平方公式化简得到结果，即可作出判断． 20．【答案】1k <【解析】因为方程220x x k ++=有两个不相等的实数根，所以∆>0，即22410k -⨯⨯>，解得1k <，故填1k <．学=科网21．【答案】1-【解析】因为关于x 的一元二次方程220x x m +-=有两个相等的实数根，所以2240m ∆=+=，解得1m =-． 22．【解析】参加聚会的有x 人，每个人都要握手(1)x -次，可列方程： 23．【答案】15【解析】因为12,x x 是一元二次方程2350x x +-=的两个根，所以123x x +=-，125x x =-，所以2212121212()15x x x x x x x x +=+=．25．【答案】47【解析】方程(1)(4)5x x +-=-可化为2310x x -+=，因为α，β是方程(1)(4)5x x +-=-的两实数根，所以3αβ+=，1αβ=，所以222(+)27αβαβαβ=-=+，4422222=()2αβαβαβ++-47=，所以334447βααβαβαβ+=+=．26．【答案】（1）3x =±；（2）x =；（3）13x =，24x =．【解析】（1）2235()x -=，开平方可得3x -=，即3x =±，所以方程2235()x -=的解为3x =±． （2）由22330x x --=，可得2,3,3a b c ==-=-，24330b ac ∆=-=>，所以x ==，所以方程22330x x --=的解为x =（3）2()330x x --+=，即2()(30)3x x ---=，即()[()1]330x x --=-， 即4)30()(x x --=，解得13x =，24x =， 所以方程2()330x x --+=的解为13x =，24x =．【名师点睛】一元二次方程的解法：（1）直接开平方法，没有一次项的方程适用；（2）配方法，所有方程适用；（3）公式法，所有方程适用；（4）因式分解法，可因式分解的方程适用． 27．【答案】（1）证明见解析；（2）0k <．【解析】（1）因为222[(3)]4(22)21(1)0k k k k k ∆=-+-+=-+=-≥， 所以方程总有两个实数根．（2）因为2(3)22(2)(01)x k x k x x k -+++=--=-，所以12x =，21x k =+，因为方程总有一根小于1，所以11k +<，即0k <．故k 的取值范围为0k <．【思路分析】（1）由方程根的判别式0∆≥即可求证；（2）由因式分解法可将方程化为1()2)(x x k ---的形式，解出两根即可．28．【答案】（1）4a >-；（2）13x =-，25x =-．【解析】（1）根据题意可得284(12)0a ∆=-->，解得4a >-．（2）因为4a >-，所以最小的整数为3-，所以2812(3)0x x ++--=，即28150x x ++=，解得13x =-，25x =-．【思路分析】（1）方程有两个不相等的实数根，判别式大于0，由此可求参数的取值范围；（2）利用（1）的结论求出a 的值，代入原方程解方程即可．29．【答案】（1）①11x =，21x =，②11x =，22x =，③11x =，23x =；（2）①11x =，28x =，②2)0(1x n x n ++=-；（3）11x =，28x =，猜想结论正确．【解析】（1）①11x =，21x =；②11x =，22x =；③11x =，23x =．（2）①11x =，28x =；②2)0(1x n x n ++=-．（3）2980x x -+=，即298x x -=-，即281819844x x -+=-+，即249(924x =-， 所以7292x -=±， 所以11x =，28x =．故猜想结论正确．30．【答案】小路的宽为2米．【解析】设小路的宽为x 米，由题意得，（5x ）2+（40+50）x ﹣2×x ×5x =325×40×50， 解得x =2或x =﹣8（不合题意，舍去）答：小路的宽为2米．【名师点睛】考查一元二次方程的应用，读懂题目，找出题目中的等量关系列出方程是解题的关键.根据“小路与观赏亭的面积之和占草坪面积的325”，建立方程求解即可得出结论． 31．【答案】（1）2或3秒；（2）不能.【解析】（1）设经过x 秒以后△PBQ 的面积为6 cm 2， 则12×（5﹣x ）×2x =6， 整理得：x 2﹣5x +6=0，解得：x =2或x =3．答：2或3秒后△PBQ 的面积等于6 cm 2 ．（2）设经过x 秒以后△PBQ 面积为8 cm 2，则12×（5﹣x ）×2x =8， 整理得：x 2﹣5x +8=0，因为△=25﹣32=﹣7＜0，所以此方程无解，故△PQB 的面积不能等于8 cm 2．【名师点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语“△PBQ 的面积等于6 cm 2”，得出等量关系是解决问题的关键．（1）设经过x 秒钟，△PBQ 的面积等于6 cm 2，根据点P 从A 点开始沿AB 边向点B 以1 cm/s 的速度移动，点Q 从B 点开始沿BC 边向点C 以2 cm/s 的速度移动，表示出BP 和BQ 的长可列方程求解．（2）通过判定得到的方程的根的判别式即可判定能否达到8 cm 2．32．【答案】（1）月销售量为450千克，月销售利润为6750元；（2）销售单价应为60元；（3）销售单价应为50元，此时利润为9000元．【解析】（1）月销售量为500−10×（35−30）=450（千克），月销售利润为（35−20）×450= 6750（元）.（3）设应涨价x 元，∵月销售利润()()2302050010104005000y x x x x =+--=-++ 210(20)9000x =--+，∴当20x =时，9000y =最大值，答：商店要使得月销售利润达到最大，销售单价应为50元，此时利润为9000元．【名师点睛】本题考查的是一元二次方程的应用和二次函数的应用，解答本题的关键是读懂题意，找到合适的等量关系，然后设出未知数正确列出方程．注意熟记等量关系：销售利润=每件利润×数量.（1）销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克．那么涨价5元，月销售量就减少50千克．根据月销售利润=每件利润×数量即可求出题目的结果；（2）等量关系为：销售利润=每件利润×数量，设单价应定为x 元，根据这个等式即可列出方程求解，再结合销售成本不超过6000元进行取舍即可；（3）根据（2）中的相等关系列出函数解析式，化为顶点式即可求出答案.1．【答案】C 【解析】x 2−4x +3=0，分解因式得：（x −1）（x −3）=0，解得：x 1=1，x 2=3.故选C ．【名师点睛】本题考查了解一元二次方程——因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．2．【答案】C【解析】设方程的另一个解为x 1，根据题意得：﹣1+x 1=2，解得：x 1=3.故选C ．【名师点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记两根之和等于﹣b a 、两根之积等于c a 是解题的关键．设方程的另一个解为x 1，根据两根之和等于﹣b a，即可得出关于x 1的一元一次方程，解之即可得出结论．3．【答案】C【解析】根据题意得∆=42﹣4k ≥0，解得k ≤4．故选C ．【名师点睛】本题考查了根的判别式，根据判别式的意义得∆=42﹣4k ≥0，然后解不等式即可．一元二次方程ax 2+bx +c =0（a≠0）的根与∆=b 2﹣4ac 有如下关系：当∆＞0时，方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，方程有两个相等的实数根；当∆＜0时，方程无实数根．4．【答案】C【解析】∵∆=b 2 −4ac =1−8=−7＜0，∴一元二次方程2x 2 −x +1=0没有实数根．故选C ．【名师点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0，a ，b ，c 为常数）的根的判别式∆=b 2−4ac ，先计算∆=b 2−4ac 的值，再根据计算结果判断方程根的情况即可．当∆>0，方程有两个不相等的实数根；当∆=0，方程有两个相等的实数根；当∆<0，方程没有实数根．5．【答案】D【解析】∵关于x 的一元二次方程x 2+2（k ﹣1）x +k 2﹣1=0有实数根，∴∆=b 2﹣4ac =4（k ﹣1）2﹣4（k 2﹣1）=﹣8k +8≥0，解得：k ≤1．故选D ．【名师点睛】直接利用根的判别式进而分析得出k 的取值范围．∆＞0时，一元二次方程有两个不等实根；∆=0时，一元二次方程有两个相等实根；∆＜0时，一元二次方程无实根.6．【答案】D【解析】∵关于x 的一元二次方程（a +1）x 2+2bx +（a +1）=0有两个相等的实数根，∴()()22102410a b a +≠⎧⎪⎨∆-+⎪⎩＝＝，∴b =a +1或b =−（a +1）． 当b =a +1时，有a −b +1=0，此时−1是方程x 2+bx +a =0的根；当b =−（a +1）时，有a +b +1=0，此时1是方程x 2+bx +a =0的根．∵a +1≠0，∴a +1≠−（a +1），∴1和−1不都是关于x 的方程x 2+bx +a =0的根．故选D ．【名师点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当∆=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．根据方程有两个相等的实数根可得出b =a +1或b =−（a +1），当b =a +1时，−1是方程x 2+bx +a =0的根；当b =−（a +1）时，1是方程x 2+bx +a =0的根．再结合a +1≠−（a +1），可得出1和−1不都是关于x 的方程x 2+bx +a =0的根．7．【答案】B【解析】A 、x 2+6x +9=0.∆=62−4×9=36−36=0，方程有两个相等实数根；B 、x 2=x ，即x 2−x =0.∆=（−1）2−4×1×0=1＞0，方程有两个不相等实数根；C 、x 2+3=2x ，即x 2−2x +3=0.∆=（−2）2−4×1×3=−8＜0，方程无实根；D 、（x −1）2+1=0，即（x −1）2=−1，则方程无实根.故选B ．【名师点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的判别式判断即可． 一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根与∆=b 2−4ac 有如下关系：①当∆＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当∆=0时，方程有两个相等的实数根；③当∆＜0时，方程无实数根．8．【答案】D【解析】根据题意得x 1+x 2=﹣22=﹣1，x 1x 2=﹣12，故A 、B 选项错误； ∵x 1+x 2＜0，x 1x 2＜0，∴x 1、x 2异号，且负数的绝对值大，故C 选项错误； ∵x 1为一元二次方程2x 2+2x ﹣1=0的根，∴2x 12+2x 1﹣1=0，∴x 12+x 1=12，故D 选项正确， 故选D ．【名师点睛】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握相关内容是解题的关键.直接利用根与系数的关系对A 、B 进行判断；由于x 1+x 2＜0，x 1x 2＜0，则利用有理数的性质得到x 1、x 2异号，且负数的绝对值大，则可对C 进行判断；利用一元二次方程解的定义对D 进行判断．9．【答案】B【解析】∵α，β是方程x 2+x ﹣2=0的两个实数根，∴α+β=﹣1，αβ=﹣2，∴α+β﹣αβ=﹣1−（−2）=−1+2=1，故选B ．【名师点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记两根之和等于﹣b a 、两根之积等于c a是解题的关键．根据根与系数的关系得α+β=﹣1，αβ=﹣2，求出α+β和αβ的值，再把要求的式子进行整理，即可得出答案．10．【答案】A【解析】∵关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m +2）x +4m =0有两个不相等的实数根x 1、x 2， ∴()202404m m m m ≠⎧⎪⎨∆=+-⋅>⎪⎩，解得：m ＞﹣1且m ≠0，。
《一元二次方程及应用》复习(面向中考)
明
考点1
确
考
点
一元二次方程的概念
1.概念：能够整理成右端为0，左边是只含一个未 知数，并且未知数的最高次幂是2的二次多项式， 这样的方程称为一元二次方程.
2.一元二次方程的一般形式是：
y=ax² +bx+c(其中a，b，c为常数，且a≠0)
.
准确理解概念须知： ①必须通过整理后判断是否为一元二次方程.
x1 x2 =
-b ， x x = 1 2
c
.
考点5
一元二次方程的应用
常见数量关系： 1.增长率问题：设基础量为a，平均增长率(或下 降率)为x，n次增长(或下降)后的量为b， n a (1 ± x ) 则 =b. 2.利率问题：利息= 本金×利率×期数 .
3.利润问题： ①利润=进价×利润率 ②总利润=一件利润×数量 ③总利润=销售总价-全部成本 ④总利润=（售价-进价）×数量
解析：先根据四边形APCQ的面积=△ABC的面积-△ABC
的面积，列出方程，再根据解的情况作出判断.
解 ∵∠B=90°，AC=10，BC=6，∴AB=8.
∴BQ=x，PB=8-2x;
假设存在x的值,使得四边形APCQ的面积等于16m² ，则
1 1 68 x 8 2 x 16. 2 2 整理得：x² -4x+8=0
2x y 3
互为相反数，
（ A ） D.9
6.（2017•滨州）根据要求，解答下列问题 ：
(1)解下列方程(直接写出方程的解即可) ①方程x² -2x+1=0的解为 x1=x2=1 ； ②方程x² -3x+2=0的解为 x1=1，x2=2 ； ③方程x² -4x+3=0的解为 x1=1，x2=3 ； …… …… (2)根据以上方程特征及其解的特征，请猜想： ①方程x² -9x+8=0的解为 x1=1，x2=8 ； -(n+1)9x+n=0 的解为x1=1，x2=n. ②方程 x² (3)请用配方法解方程x² -9x+8=0，以验证猜想的结果.
一元二次方程中考综合复习题(基础+提高+应用题)
一元二次方程综合复习题基础题：一、选择题 ：1．定义：如果一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)满足a ＋b ＋c ＝0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论成立的是( )A ．a ＝cB ．a ＝bC ．b ＝cD ．a ＝b ＝c2．某旅游景点三月份共接待游客25万人次，五月份共接待游客64万人次，设每月的平均增长率为x ，则可列方程为（ ）A ． 25（1+x ）2=64 B ． 25（1﹣x ）2=64 C ． 64（1+x ）2=25D ． 64（1﹣x ）2=25 3．关于关于x 的一元二次方程x 2+x ﹣k 2=0的根的情况是（ ）A ． 有两个不相等的实数根B ． 有两个相等的实数根C ． 无实数根D ． 无法判断4．若关于x 的一元二次方程nx 2﹣2x ﹣1=0无实数根，则一次函数y=（n+1）x ﹣n 的图象不经过（ ）A ． 第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限5．若关于x 的一元二次方程（m ﹣2）x 2+3x+m 2﹣4=0有一个根是0，则m 的值是（ ）A ． 2B ． ﹣2C ． 2或﹣2D ． 126．下面关于x 的方程中①ax 2+bx+c=0； ②3（x ﹣9）2﹣（x+1）2=1；③x+3=0； ④（a 2+a+1）x 2﹣a=0；⑤3x 2+k=x ﹣1．一元二次方程的个数是（ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 47．关于x 的方程（a ﹣5）x 2﹣4x ﹣1=0有实数根，则a 满足（ ）A ． a ≥1B ． a>1且a ≠5C ． a ≥1且a ≠5D ． a ≠58．关于x 的方程x 2+（k 2﹣4）x+k ﹣1=0的两根互为相反数，则k 的值为（ ）A ． ±2B ． 2C ． ﹣2D ． 不能确定9．用配方法解方程x 2﹣4x+1=0时，先把方程变为（x+h ）2=k 的形式，则h ､k 的值分别是（ ）A ． 2､17B ． ﹣2､15C ． 2､5D ． ﹣2､310．关于x 的一元二次方程()221x m 3x m 04-++=有两个不相等的实数根，那么m 的最小整数值是（ ） A ． ﹣1 B ． 0 C ． 1 D ． 211．已知方程x 2+bx+a=0有一个根是﹣a （a ≠0），则下列代数式的值恒为常数的是（ ）A ． abB ． a bC ． a+bD ． a ﹣b 12．设a ､b ､c 是三角形的三边，则关于x 的一元二次方程c ()2c x a b x 04+++=的根的情况是（ ） A ． 方程有两个相等实根 B ． 方程有两个不等的正实根C ． 方程有两个不等的负实根D ． 方程无实根13．若关于x 的一元二次方程kx 2+2x ﹣1=0有实数根，则k 的取值范围是（ ）A ． k>﹣1B ． k≥﹣1C ． k>﹣1且k≠0D ． k≥﹣1且k≠014．如果（x+2y ）2+3（x+2y ）﹣4=0，那么x+2y 的值为（ ）A ． 1B ． ﹣4C ． 1或﹣4D ． ﹣1或315．若α､β是一元二次方程x 2+3x ﹣1=0的两个根，那么α2+2α﹣β的值是（ ） A ． ﹣2 B ． 4 C ． 0．25 D ． ﹣0．516．若方程（x 2+y 2）2﹣5（x 2+y 2）﹣6=0，则x 2+y 2=（ ） A ． 6 B ． 6或﹣1 C ． ﹣1D ． ﹣6或117．生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，如果全组有x 名同学，则根据题意列出的方程是（ ）A ． x （x+1）=182B ． x （x ﹣1）=182C ． x （x+1）=182×2D ． x （x ﹣1）=182×218．已知m ，n 是方程x 2﹣2x ﹣1=0的两根，且（7m 2﹣14m+a ）（3n 2﹣6n ﹣7）=8，则a 的值等于（ ）A ． ﹣5B ． 5C ． ﹣9D ． 9二、解答题 ： 19．（换元法）解方程：（x 2﹣3x ）2﹣2（x 2﹣3x ）﹣8=0解：设x 2﹣3x=y 则原方程可化为y 2﹣2y ﹣8=0解得：y 1=﹣2，y 2=4当y=﹣2时，x 2﹣3x=﹣2，解得x 1=2，x 2=1当y=4时，x 2﹣3x=4，解得x 1=4，x 2=﹣1∴原方程的根是x 1=2，x 2=1，x 3=4，x 4=﹣1，根据以上材料，请解方程：（2x 2﹣3x ）2+5（2x 2﹣3x ）+4=0．20．如图所示，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为19m ），另外三边利用学校现有总长38m 的铁栏围成．（1）若围成的面积为180m 2，试求出自行车车棚的长和宽；（2）能围成的面积为200m 2自行车车棚吗?如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．21．某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6 000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元?25．阅读材料：如果x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根，那么有x 1+x 2=﹣b a ，x 1x 2=c a．这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题，例x 1，x 2是方程x 2+6x ﹣3=0的两根，求x 12+x 22的值．解法可以这样：∵x 1+x 2=6，x 1x 2=﹣3则x 12+x 22=（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2（﹣6）2﹣2×（﹣3）=42．请你根据以上解法解答下题：已知x 1，x 2是方程x 2﹣4x+2=0的两根，求：（1）1211x x 的值；（2）（x 1﹣x 2）2的值．26．解下列方程：（1）22x 50-= （2）2113x 6x 2022⎛⎫⎛⎫----= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．27．已知关于x 的方程x 2﹣2mx+14n 2=0，其中m ､n 分别是一个等腰三角形的腰和底边． （1）求证：这个方程有两个不相等的实数根．（2）若方程的两根x 1､x 2满足丨x 1﹣x 2丨=8，且等腰三角形的面积为4，求m ､n 的值．28．关于x 的一元二次方程4x 2+4（m ﹣1）x+m 2=0（1）当m 在什么范围取值时，方程有两个实数根?（2）设方程有两个实数根x 1，x 2，问m 为何值时，2212x x 17+=?（3）若方程有两个实数根x 1，x 2，问x 1和x 2能否同号?若能同号，请求出相应m 的取值范围；若不能同号，请说明理由．29．已知关于x 的一元二次方程x 2+（m+3）x+m+1=0．（1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根：（2）若x 1，x 2是原方程的两根，且|x 1﹣x 2m 的值，并求出此时方程的两根．提高练习一、选择题 ：1．已知a ，b ，c 分别是三角形的三边，则方程（a+b ）x 2+2cx+（a+b ）=0的根的情况是（ ）A ． 没有实数根B ． 可能有且只有一个实数根C ． 有两个相等的实数根D ． 有两个不相等的实数根 2．三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x 2﹣16x+60=0的一个实数根，则该三角形面积是（ ）A ． 24B ． 24或C ． 48D ．3．关于关于x 的一元二次方程x 2+x ﹣k 2=0的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．无法判断4．若关于x 的一元二次方程nx 2﹣2x ﹣1=0无实数根，则一次函数y=（n+1）x ﹣n 的图象不经过（ ）A ． 第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限5．下列命题①方程x 2=x 的解是x =1②4的平方根是2③有两边和一角相等的两个三角形全等④连接任意四边形各边中点的四边形是平行四边形其中真命题有：【 】A ．4个 B.3个 C.2个 D.1个6．已知a b ，是关于x 的一元二次方程210x nx +-=的两实数根，则式子b a a b+的值是（ ） A ．22n + B ．22n -+ C ．22n - D ．22n --7．设a ，b 是方程x 2+x ﹣2009=0的两个实数根，则a 2+2a+b 的值为（ ）A ． 2006B ． 2007C ． 2008D ． 20098．方程x 2﹣kx ﹣（k+1）=0的根的情况是（ ）A ． 方程有两个不相等的实数根B ． 方程有两个相等的实数根C ． 方程没有实数根D ． 方程的根的情况与k 的取值有关9．若关于x 的一元二次方程（m ﹣2）x 2+3x+m 2﹣4=0有一个根是0，则m 的值是（ ）A ． 2B ． ﹣2C ． 2或﹣2D ． 12 10．关于x 的一元二次方程22(1)10a x ax a -++-=的一个根是0，则a 的值为（ ）A ．1 B ． 0 C ． -1 D ． ±111．若式子2210a x x +-能构成完全平方式，则a 的值为（ ）．A ．10B ．15C ．5或5-D ．2512．若是方程的两个实数根，则的值（ ） A ．2007 B ．2005 C ．-2007 D ．401013．设a ､b ､c 是三角形的三边，则关于x 的一元二次方程c ()2c x a b x 04+++=的根的情况是（ ） A ． 方程有两个相等实根 B ． 方程有两个不等的正实根C ． 方程有两个不等的负实根D ． 方程无实根14．关于x 的方程（a ﹣5）x 2﹣4x ﹣1=0有实数根，则a 满足（ ）A ． a ≥1B ． a>1且a ≠5C ． a ≥1且a ≠5D ． a ≠515．已知关于x 的一元二次方程（a ﹣l ）x 2﹣2x+l=0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ）A ． a>2B ． a<2C ． a<2且a ≠lD ． a<﹣216．（非课改）已知α，β是关于x 的一元二次方程x 2+（2m+3）x+m 2=0的两个不相等的实数根，且满足+=﹣1，则m 的值是（ ）A ． 3或﹣1B ． 3C ． 1D ． ﹣3或117．关于x 的方程ax 2﹣（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x 1､x 2，且有x 1﹣x 1x 2+x 2=1﹣a ，则a 的值是（ ）A ． 1B ． ﹣1C ． 1或﹣1D ． 2,αβ2220070x x +-=23ααβ++18．设α､β是方程的两根，则的值是（ ）A ．0B ．1C ．2000D ．400000019．已知m ，n 是方程x 2﹣2x ﹣1=0的两根，且（7m 2﹣14m+a ）（3n 2﹣6n ﹣7）=8，则a 的值等于（ ）A ． ﹣5B ． 5C ． ﹣9D ． 920．方程x （x+2）=2（x+2）的解是（ ）A ． 2和﹣2B ． 2C ． ﹣2D ． 无解21．已知x 是实数，且满足（x 2+4x ）2+3（x 2+4x ）﹣18=0，则x 2+4x 的值为（ ）A ． 3B ． 3或﹣6C ． ﹣3或6D ． 622．若一元二次方程x 2﹣2x ﹣m=0无实数根，则一次函数y=（m+1）x+m ﹣1的图象不经过（ ）A ． 第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限23．若关于x 的方程x 2+px+q=0得一个根为零，另一个根不为零，则（ ）A ． p=0且q=0B ． p=0且q≠0C ． p≠0且q=0D ． p=0或q=024．若方程（x 2+y 2）2﹣5（x 2+y 2）﹣6=0，则x 2+y 2=（ ）A ． 6B ． 6或﹣1C ． ﹣1D ． ﹣6或125．一元二次方程x 2﹣3x+1=0的两个根分别是x 1，x 2，则x 12x 2+x 1x 22的值是（ ）A ． 3B ． ﹣3C ．D ． ﹣二、解答题 ：27．用指定方法解方程 （1）2x 2﹣7x+3=0（公式法）（2）y 2+4y ﹣5=0（配方法）（3）（x+2）2﹣10（x+2）+25=0（因式分解法）28．已知关于x 的方程x 2﹣2mx+14n 2=0，其中m ､n 分别是一个等腰三角形的腰和底边． （1）求证：这个方程有两个不相等的实数根．（2）若方程的两根x 1､x 2满足丨x 1﹣x 2丨=8，且等腰三角形的面积为4，求m ､n 的值．29．已知､是一元二次方程的两个实数根．（1）是否存在实数，使成立?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． （2）求使的值为整数的实数的整数值． 30．已知关于x 的方程0141)1(22=+++-k x k x 的两根是一个矩形两邻边的长． 0192=++x x )12009)(12009(22++++ββαα1x 2x 01442=++-k kx kx k 23)2)(2(2121-=--x x x x k 21221-+x x x x k⑴k 取何值时，方程在两个实数根；⑵当矩形的对角线长为5时，求k 的值．应用题：一、选择题 ：1．某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x ，则由题意列方程应为（ ）A ． 200（1+x ）2=1000B ． 200+200×2x=1000C ． 200+200×3x=1000D ． 200[1+（1+x ）+（1+x ）2]=1000 2．利民大药房将原来每盒盈利30%的某种药品先后两次降价，经两次降价后每盒仍能盈利10%．则这两次降价的平均降价率是多少?（ ）A ． （1﹣x ）2=1+10%B ． 30%（1﹣x ）2=1+10%C ． （1﹣x ）2×30%=1+10%D ． （1+30%）（1﹣x ）2=1+10% 3．某品牌电脑20XX 年的销售单价为7200元，由于科技进步和新型电子原材料的开发运用，该品牌电脑成本不断下降，销售单价也逐年下降．至20XX 年该品牌电脑的销售单价为4900元，设20XX 年至20XX 年，20XX 年至20XX 年这两年该品牌电脑的销售单价年平均降低率均为x ，则可列出的正确的方程为（ ）A ．4900（1+x ）2=7200B ．7200（1﹣2x ）=4900C ．7200（1﹣x ）=4900（1+x ）D ．7200（1﹣x ）2=4900 4．某厂一月份生产产品150台，计划二、三月份共生产450台．设二、三月平均每月增长率为x ，根据题意列出方程是（ ）A ．150（1+x ）2=450B ．150（1+x ）+150（1+x ）2=450C ．150（1﹣x ）2=450D ．150+150（1+x ）2=4505．实数m 满足210m +=，则44mm -+的值为（ ）A ．62 B ．64 C ．80 D ．100 二、解答题 ：6．百货商店服装部在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件赢利40元．为了扩大销售量，增加赢利．减少库存，商场决定采取适当的降价措施经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．（1）若平均每天销售这种童装赢利1200元，则从消费者的角度考虑．每件童装应降价多少元？（2）销售这种童装是否可以使赢利最大？若可以，求出这个最大赢利；若不可以．请说明理由．7．某商场为迎接元旦，计划以单价40元的价格购进一批商品，再以单价50元出售，每天可卖出200件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每天少卖10件（每件售价不能高于56元）．设每件商品的售价为x 元（x 为正整数），每天的销量为y 件．（1）求y 与x 的函数关系式并写出自变量X 的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每天的利润恰为2210元?（3）每件商品的售价定为多少元时，每天可获得最大利润?最大利润是多少元?8．在矩形ABCD中，AB=5cm，BC=7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发．（1）几秒后△PBQ的面积等于4cm2？（2）几秒钟后，PQ的长度等于5cm？（3）在（1）中△PBQ的面积能否等于7cm2？请说明理由．9．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件；（1）若商场平均每天要赢利1 200元，每件衬衫应降价多少元；（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多．10．“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某运动商城的自行车销售量自20XX年起逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆．（1）若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城4月份卖出多少辆自行车？（2）考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车，已知A型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆．根据销售经验，A型车不少于B型车的2倍，但不超过B型车的2.8倍．假设所进车辆全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？11．如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=﹣p，x1．x2=q，请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知关于x的方程x2+mx+n=0，（n≠0），求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；（2）已知a、b满足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，求a bb a的值；（3）已知a、b、c满足a+b+c=0，abc=16，求正数c的最小值．12．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？13．某食品零售店为食品厂代销一种面包，未售出的面包可退回厂家，经统计销售情况发现，当这种面包单价定为7角时，每天卖出160个，在此基础上，这种面包单价每提高1角，该零售店每天就会少卖出20个，该零售店每个面包的成本是5角．（1）如果每天卖出面包100个，那么这种面包的单价定为多少?这天卖面包的利润是多少?（2）如果每天销售这种面包获得的利润是48元，那么这种面包的单价是多少?14．如图，某小区规划在长32米，宽20米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的3条小路，使其中两条与AD平行，一条与AB平行，其余部分种草，若使草坪的面积为570米2，问小路应为多宽?。
中考总复习：一元二次方程
3 形式精讲精学C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根2.若关于x的方程3x2＋2x－m＝0没有实数解，求实数m的取值范围。
考点四 *一元二次方程根与系数的关系若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)有两个实数根，分别为x1，x2，则x1+x2=__________ ，x1x2＝___________针对训练已知一元二次方程x2－6x－5＝0的两根分别为a，b。
求下列各式的值：（1）a+b (2)ab考点五一元二次方程的应用1.列一元二次方程解应用题的步骤和一次方程(组)的步骤相同，即审、设、找、列、解、检、答七步。
2.常见的实际问题类型:增长率问题、（不）回赠问题、传播问题、利润问题、面积问题。
针对训练某农场有一块长40 m、宽32 m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路．要使种植面积为1 140m2，设小路宽为x米，则可列方程______________________.3 形式精讲精学精讲精学解决含参问题解关于x的方程（k+1）x2 +(3k-1)x+2k-2=0。
解（1）若k+1=0，即k=-1，则原方程为-4x-4=0，解得x=-1；3 形式3 形检测展评检测测内容（A）x=0 （B）x=0或1 （C）x=12、方程(K-1)x2-Kx+1=0是一元二次方程的条件是（）（A）K=1 （B）K ＞1（C）K＜1 （D）K≠13、解方程x2-4x+3=0，配方得（）（A）(x-2)2=7 （B）(x+2)2=1（C）(x-2)2=1 （D）(x+2)2=74、有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是( )A．x(x－1) ÷2＝45B．x(x＋1) ÷ 2＝45C．x(x－1)＝45D．x(x＋1)＝455、选用适当方法解下列一元二次方程(x-2)2-4(x+1)2=0检测时间：10分钟总分：每小题20分，共100分检测结果检测结果：80分以上学生有15人，60到80分30人，不及格9人。
中考总复习一元二次方程复习
传播问题
情景一：细菌分裂问题 情景四：消息传播问题 情景三：树的分支问题 情景二：握手问题 有一种细菌，每小时分裂成若干个新细菌，这些 2003年，正值“非典”流行，实验中学初三学生正
某森林中有种奇特的树，主干长出了若干数目 新细菌又以同样的速度进行分裂 ，成为下一代的新 实验中学九﹙2﹚班学生星期天自发开展送书下乡 在进行紧张的复习备考，突然有人传来汉川市内发现 的枝干，每天枝干又长出了同样数目的小分支，若 细菌。在一次试验中，科学家取了一个这种细菌进 活动，受到该校领导的热情接待，下午回家时互相握 “非典”疑似病人，消息不胫而走，只有两天时间,汉川 干天后，如果主干、枝干和小分支的总数是91，求 行研究，2小时后总数达到144个，问每个这种细菌 手道别，已知学生之间共握手45次,问:参加该活动的 市内将近有2601人知道这个消息，假设第一个人一天传 每个枝干每天长出多少个小分支？ 平均每小时分裂成多少个新细菌？ 学生有多少人? 播若干人，第二天，每个人又传播同样数量的人数，问 这位传播者第一天传播了多少人？三天后，市内将有多 少人知道这个消息？
解：设2002年,2003年 增长率模型 两年绿地面积的年平 １.美化城市，改善人们的居住环境 均增长率为x，根据题 已成为城市建设的一项重要内容。某 意，得 城市近几年来通过拆迁旧房，植草， 60 (1＋x)2＝72.6 ． 栽树，修公园等措施，使城区绿地面 (1＋x)2=1.21． 积不断增加（如图所示）。（1）根 ∴1＋x=±1.1． 据图中所提供的信息回答下列问题： 2001年底的绿地面积为 60 公顷，∴ x1 = 0.1=10%, 比2000年底增加了 公顷；在 x2 =－2.1(不合题意,舍 4 去) 1999年，2000年，2001年这三年中， 答： 2002年,2003年 绿地面积增加最多的是 1998 1999 2000 2001 2000 ____________年； 两年绿地面积的年平 （2）为满足城市发展的需要，计划 均增长率为10%．
2012年中考数学复习总结考点7-一元二次方程
考点跟踪训练7 一元二次方程一、选择题1．(2011·嘉兴)一元二次方程x(x －1)＝0的解是( )A. x ＝0B. x ＝1C. x ＝0或x ＝1D. x ＝0或x ＝－1答案 C解析 x (x －1)＝0，x ＝0或x －1＝0，∴x 1＝0，x 2＝1.2．(2011·兰州)用配方法解方程x 2－2x －5＝0时，原方程应变形为( )A ．(x ＋1)2＝6B ．(x ＋2)2＝9C ．(x －1)2＝6D ．(x －2)2＝9答案 C解析 x 2－2x －5＝0，x 2－2x ＝5，x 2－2x ＋1＝5＋1，(x －1)2＝6.3．(2011·福州)一元二次方程x (x －2)＝0根的情况是( )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根答案 A解析 x (x －2)＝0，x ＝0或x －2＝0，x 1＝0，x 2＝2，方程有两个不相等的实数根．4．(2011·济宁)已知关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0的一个根是－a (a ≠0)，则a －b 值为A ( )A ．－1B ．0C ．1D ．2答案 A解析 当x ＝－a 时，得a 2－ab ＋a ＝0，a (a －b ＋1)＝0，又a ≠0.所以a －b ＋1＝0，a －b ＝－1.5．(2011·威海)关于x 的一元二次方程x 2＋(m －2)x ＋m ＋1＝0有两个相等的实数根，则m 的值是( )A ．0B ．8C ．4±2 2D ．0或8答案 D解析 由题意，得b 2－4ac ＝0，(m －2)2－4(m ＋1)＝0，m 2－8m ＝0，m ＝0或m ＝8.二、填空题6．(2011·衢州)方程x 2－2x ＝0的解为________________．答案 x 1＝0，x 2＝2解析 x 2－2x ＝0，x (x －2)＝0，x ＝0或x －2＝0，x 1＝0，x 2＝2.7．(2011·鸡西)一元二次方程a 2－4a －7＝0的解为 ____________.答案 a 1＝2＋11，a 2＝2－11解析 a 2－4a －7＝0，a 2－4a ＝7.a 2－4a ＋4＝11，(a －2)2＝11，a －2＝±11，∴a ＝2±11.8．(2011·镇江)已知关于x 的方程x 2＋mx －6＝0的一个根为2，则m ＝______，另一根是______．答案 1，－3解析 当x ＝2时，4＋2m －6＝0,2m ＝2，m ＝1，∴x 2＋x －6＝0.(x －2)(x ＋3)＝0，x 1＝2，x 2＝－3，另一根是－3.9．(2011·黄石)解方程：||x 2－y 2－4＋(3 5x －5y －10)2＝0的解是__________________．答案 ⎩⎨⎧ x ＝5，y ＝1或⎩⎨⎧ x ＝2 5，y ＝4 解析 ⎩⎨⎧x 2－y 2－4＝0，3 5x －5y －10＝0，代入消去x ，得y 2－5y ＋4＝0，y 1＝1，y 2＝4，相应地x 1＝5，x 2＝2 5.10．(2011·兰州)关于x 的方程a (x ＋m )2＋b ＝0的解是x 1＝－2，x 2＝1(a ，m ，b 均为常数，a ≠0)，则方程a (x ＋m ＋2)2＋b ＝0的解是__________．答案 x 1＝－4，x 2＝－1解析 依题意，有x ＋2＝－2或x ＋2＝1，∴x ＝－4或x ＝－1.三、解答题11．(2011·南京)解方程：x 2－4x ＋1＝0.解 解法一：移项，得x 2－4x ＝－1.配方，得x 2－4x ＋4＝－1＋4，(x －2)2＝3，由此可得x －2＝±3，∴x 1＝2＋3，x 2＝2－ 3.解法二：a ＝1，b ＝－4，c ＝1.b 2－4ac ＝(－4)2－4×1×1＝12>0，x ＝4±122＝2±3. ∴x 1＝2＋3，x 2＝2－ 3.12．(2011·聊城)解方程：x ()x －2＋x －2＝0.解 (x －2)(x ＋1)＝0，解得x －2＝0或x ＋1＝0，x 1＝2，x 2＝－1.13．(2011·广东) 解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，x 2＋3y －3y 2＝4. 解 ⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，①x 2＋3y －3y 2＝4，② 由①得： x ＝2y .③将③代入②，化简整理，得：y 2＋3y －4＝0.解得：y ＝1或y ＝－4.将y ＝1或y ＝－3代入①，得：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－6，y ＝－3. ∴原方程的解有两个，⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝2，y 1＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－6，y 2＝－3. 14．(2011·苏州)已知|a －1|＋b ＋2＝0，求方程a x＋bx ＝1的解． 解 由|a －1|＋b ＋2＝0，得a ＝1，b ＝－2.由方程1x－2x ＝1得2x 2＋x －1＝0. 解之，得x 1＝－1，x 2＝12. 经检验，x 1＝－1，x 2＝12是原方程的解． ∴原方程的根为x 1＝－1，x 2＝12. 15．(2011·芜湖)如图，用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，其中正五边形的边长为(x 2＋17) cm ，正六边形的边长为(x 2＋2x ) cm(其中x >0)．求这两段铁丝的总长．解 由已知得，正五边形周长为5(x 2＋17) cm ，正六边形周长为6(x 2＋2x ) cm.因为正五边形和正六边形的周长相等，所以5(x 2＋17)＝6(x 2＋2x )．整理得x 2＋12x －85＝0，配方得(x ＋6)2＝121，解得x 1＝5，x 2＝－17(舍去)．故正五边形的周长为5×(52＋17)＝210(cm)．又因为两段铁丝等长，所以这两段铁丝的总长为420 cm.答：这两段铁丝的总长为420 cm.四、选做题16．(2010·孝感)已知关于x 的方程x 2－2(k －1)x ＋k 2＝0有两个实数根x 1、x 2.(1)求k 的取值范围；(2)若||x 1＋x 2＝x 1x 2－1，求k 的值．解 (1)依题意，b 2－4ac ≥0，即[－2(k －1)]2－4k 2≥0，－8k ＋4≥0，解得k ≤12. (2)解法一：依题意，得x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2.以下分两种情况讨论：①当x 1＋x 2≥0时，则有x 1＋x 2＝x 1x 2－1，即2(k －1)＝k 2－1，解得k 1＝k 2＝1.∵k ≤12， ∴k 1＝k 2＝1不合题意，舍去．②x 1＋x 2<0时，则有x 1＋x 2＝－()x 1x 2－1，即2(k －1)＝－()k 2－1，解得k 1＝1，k 2＝－3.∵k ≤12，∴k ＝－3. 综合①、②可知k ＝－3.解法二：依题意可知x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2.由(1)可知k ≤12. ∴2(k －1)<0，即x 1＋x 2<0，∴－2(k －1)＝k 2－1，解得k 1＝1，k 2＝－3.∵k ≤12，∴k ＝－3.。
《一元二次方程》总复习、练习、中考真题【题型解析】
一元二次方程总复习考点 1 ：一元二次方程的看法一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是 2 ，且系数不为0 ，这样的方程叫一元二次方程．一般形式：ax2＋ bx+c=0(a≠ 0）注。
意：判断某方程可否为一元二次方程时，应第一将方程化为一般形式。
考点 2 ：一元二次方程的解法1.直接开平方法：对形如(x+a ）2 =b （b≥0）的方程两边直接开平方而转变成两个一元一次方程的方法。
x+a= b x1=-a+b x2=-a-b2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax 2＋ bx+c=0(k≠ 0）的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加前一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a ）2 =b 的形式；⑤ 若是 b ≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；若是 b ≤ 0 ，则原方程无解．3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是经过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是x b b 24ac(b2－4ac≥0)。
步骤：①把方程转变成一般形2a式；②确定a，b ，c 的值；③求出b2－4ac 的值，当 b 2－ 4ac ≥0时代入求根公式。
4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．理论依照：若 ab=0 ，则 a=0 或 b=0 。
步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0 ，获取两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。
5 ．一元二次方程的注意事项：⑴在一元二次方程的一般形式中要注意，重申a≠0 ．因当 a=0 时，不含有二次项，即不是一元二次方程．⑵应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定a， b ，c 的值；②若 b 2－4ac ＜ 0，则方程无解．⑶利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能够任意约去含有未知数的代数式．如2－ 2(x ＋ 4) =3 （ x ＋ 4）中，不能够任意约去x ＋4 。
2012年中考数学一轮复习考点9：一元二次方程
......∵x 22.250，故舍去，∴x ＝0.25＝25%.10×〔 1＋ 25%〕＝ 12.5答：2021年的年产量为 12.5 万辆 .8. 〔2021XX 东营， 22， 10 分〕 (此题总分值 10 分 ) 随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速开展， 汽车已越来越多的进入普通家庭， 成为居民消费新的增长点。
据某市交通部 门统计，2021年底全市汽车拥有量为15 万辆，而截止到2021年底，全市的汽车拥有量已 达 21.6 万辆。
(1) 求2021年底至2021年底该市汽车拥有量的年平均增长率；〔2〕为了保护环境，缓解汽车拥堵状况，从 2021年起，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2021年底全市汽车拥有量不超过 23.196 万辆；另据估计，该市从2021 年起每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%。
假定在这种情况下每年新增汽车数量一样，请你计算出该市每年新增汽车数量最多不能超过多少万辆。
【答案】〔 1〕设该市汽车拥有量的年平均增长率为x ，根据题意，得 15〔 1+x)221.6解得 x 1 0.2 20%, x 22.2〔不合题意，舍去〕〔2〕设全市每年新增汽车数量为y 万辆，那么 2021年底全市的汽车拥有量为〔21.6 ×90%+y 〕万辆，2021年底全市的汽车拥有量为〔〔 21.6 ×90%+y 〕×90%+y 〕万辆。
根据题意得：〔 21.6 ×90%+y 〕× 90%+y ≤ 23.196 解得 y ≤3答: 该市每年新增汽车数量最多不能超过 3 万辆。
9. 〔2021XXXX ， 22，10 分〕随着经济的开展，尹进所在的公司每年都在元月一次性的提高员工当年的月工资 .尹进2021年的月工资为 2000 元，在2021年时他的月工资增加到 2420 元，他2021年的月工资按2021到2021年的月工资的平均增长率继续增长.(1) 尹进2021年的月工资为多少 ?(2) 尹进看了甲、 乙两种工具书的单价， 认为用自己2021年 6 月份的月工资刚好购置假设干本甲种工具书和一些乙种工具书， 当他拿着选定的这些工具书去付书款时，发现自己计算书款 时把这两种工具书的单价弄对换了，故实际付款比2o11 年 6 月份的月工资少了 242 元，于是他用这242 元又购置了甲、乙两种工具书各一本，并把购置的这两种工具书全部捐献给西部山区的学校 .请问，尹进总共捐献了多少本工具书?解: 〔 1〕设尹进2021到2021年的月工资的平均增长率为x,那么 2000 〔 1＋x 〕 2＝ 2420． 解得 ， x1＝－ 2.1, x2 ＝ 0.1, (2 分 )x1＝－ 2.1 与题意不合，舍去. ∴尹进2021年的月工资为2420×(1＋ 0.1)=2662 元 .〔2〕设甲工具书单价为 m 元，第一次选购 y 本.设乙工具书单价为 n 元，第一次选购 z 本 . 那么由题意可列方程 :m ＋ n ＝ 242—— ①， ny ＋ mz ＝ 2662—— ②， my ＋ nz ＝ 2662－ 242—— ③由②＋③，整理得， 〔 m ＋ n 〕〔 y ＋ z 〕＝ 2×2662－ 242，由① ,∴ 242〔 y ＋ z 〕＝ 2×2662－242，∴ y ＋ z ＝ 22－1＝ 21． 答：尹进捐出的这两种工具书总共有23本.10．〔2021XX 宿迁 ,16,3 分〕如图，邻边不等的矩形花圃ABCD ，它的一边 AD 利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m ．假设矩形的面积为 4m2，那么 AB 的长度是▲m〔可利用的围墙长度超过6m 〕．【答案】 18. 〔2021XXXX ， 20， 8 分〕 如形和一个正六边形，其中正五边形的边长为〔x 217〕cm ，正六边形的边长为〔x 22x〕cm(其中x 0).求这两段铁丝的总长.【答案】解: 由得，正五边形周长为5〔x 217 〕cm ，正六边形周长为6〔x 22x 〕cm.因为正五边形和正六边形的周长相等，所以〔5 x 217〕=6〔 x 22x 〕.x 212 x 852x 1 =5，x 2 =-17整理得, 〔 x+6〕=121，解得配方得(舍去 ).故正五边形的周长为5 〔52 17〕=210 (cm).又因为两段铁丝等长，所以这两段铁丝的总长为 420cm.答：这两段铁丝的总长为 420cm.11.〔2021XXXX ，21,8 分〕某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系 .每盆植入3 株时，平均单株盈利 3 圆；以同样的栽培条件，假设每盆每增加 1 株，平均单株盈利就减少 0.5 元 .要使每盆的盈利到达10 元，每盆应该植多少株？〔要求两种解法〕解：设每盆花苗增加x 株，那么每盆花苗有x3 株，平均单株盈利为3 0.5x 元，由题意，得 x 3 3 0.5x10.化简，整理，的 x 23x 2.解这个方程，得x 11, x 2 2.答：要使得每盆的盈利到达 10 元，每盆应该植入 4株或 5株. 解法 2〔列表法〕解法 3〔图像法〕解法 4(函数法 )12.〔2021XX 义乌， 19，6 分〕商场某种商品平均每天可销售 30 件，每件盈利 50 元. 为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施 . 经调查发现，每件商品每降价1 元，商场平均每天可多售出 2 件．设每件商品降价 x 元 . 据此规律，请答复：〔1〕商场日销售量增加 ▲ 件，每件商品盈利▲元〔用含 x 的代数式表示〕 ；〔2〕在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可到达2100元？【答案】〔 1〕 2x50－x（ 2〕由题意得：〔 50－ x 〕〔 30＋2x 〕 =2100化简得： x2－ 35x+300=0∵该商场为了尽快减少库存，那么解得： x1=15 ， x2=20x=15 不合题意，舍去.∴x=20答：每件商品降价20 元，商场日盈利可达2100 元 .。
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(1)3x2+8x-3=0;
(2)x-2=x(x-2); (3)x2 x+2=0.
【解析】(1)∵a=3,b=8,c=-3, ∴Δ=b2-4ac=64-4×3×(-3) =64+36=100.
(2)原方程变形为(x-2)-x(x-2)=0,
∴(x-2)(1-x)=0.
∴x1=2,x2=1. (3)原方程配方得 x2 x+5-5+2=0,
中考课标要求
考 试 内 容
共同记一记
A
B
C
D
了解一元二次方程及其相关概念，会用 配方法、公式法、分解因式法解简单的 一元二次方程（数字系数）并在解一元 二次方程的过程中体会转化等数学思 想．
√
共同记一记
【相关概念】 1．一元二次方程：化简后只含有（一 ）个 二 未知数，并且未知数的最高次数为（ ） 整式 ）方程。它的一般形式是 次的（ ax2 bx c 0(a 0) ) （
（A）m≠2
（C）m≠
（B）m≠±2
2
（D）m≠
2.一元二次方程x2-2x-1=0的根的情况为（ （A）有两个相等的实数根 （B）有两个不相等的实数根 （C）只有一个实数根 （D）没有实数根
）
3.关于x的一元二次方程2x2-3x-a2+1=0的一个根为x=2，
则a的值是
（A）1 （B）3（C）-3（D）±3
(1) x 4 x 1 0
2
(2)( 2 y 5) 4 0
2
9 (3)4m 4m 1 25
2
(4)2( x 3) x 9
2 2
共同记一记
3。判别式△＝b2－4ac：
原方程有两个不相等的实数根； （1）△＞0时， 原方程有两个相等的实数根； （2）△＝0时，
4.若一元二次方程2x2+(k+8)x-(2k-3)=0的二次项系数、
一次项系数、常数项之和为5，则k=（
）。
【解析】由题意知2+(k+8)+［-(2k-3)］=5,
解得k=8.
答案：8
小结： 这节课我们复习了哪些知识点？ 你觉得哪个方面最重要？
谁来出几道一元二次方程来解一解？
5.用适当的方法解下列方程：
（3）△＜0时， 原方程无实数根。
认真想一想
例3
是否存在这样的非负整数m，使关于x
的一元二次方程
m x 2m 1x 1 0
2 2
有两个实数根，若存在，请求出m的值；若不 存在，请说明理由？
练一练
是
认真想一想
1.关于x的方程(m2-2)x2+(m+2)x=0是一元二次方程的条件 （ ）
x
例题分析
认真想一想
例1（1）下列方程中，关于x的一元二次 方程有：①x2=0 ，②ax2+bx+c=0， ③x2－3=x，④a2+a－x=0，
m ⑤(m－1)x2+4x+ 2
1 =0，⑥ 2 x
1 1 + =3 ， x
⑦ x 2 1 =2，⑧(x+1)2=x2－9（ ） A、2个 B、3个 C、4个 D、5个
宝剑锋从磨砺出，
梅花香自苦寒来！
主讲：浆水中学欧绍周
共同记一记
【内容指要】 1、经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，进 一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有 效数学模型． 2、了解一元二次方程及其相关概念，会用配方法、 公式法、分解因式法解简单的一元二次方程（数字 系数）并在解一元二次方程的过程中体会转化等数 学思想．
（
）
4.若一元二次方程2x2+(k+8)x-(2k-3)=0的二次项系数、 一次项系数、常数项之和为5，则k= .
检查练习
1.关于x的方程(m2-2)x2+(m+2)x=0是一元二次方程的条件 是 （ ）
（A）m≠2
（C）m≠
（B）m≠±2
2
（D）m≠
【解析】选D.由题意知，m2-2≠0，即
2.一元二次方程x2-2x-1=0的根的情况为（
）
（A）有两个相等的实数根
（B）有两个不相等的实数根
（C）只有一个实数根
（D）没有实数根
【解析】选B.∵b2-4ac=(-2)2-4×1×(-1)
=4+4=8>0, ∴原方程有两个不等实根.
3.关于x的一元二次方程2x2-3x-a2+1=0的一个根为x=2， 则a的值是 （ ）
（A）1
【解析】选D.∵x=2是方程2x2-3x-a2+1=0 的一个根， ∴a2=3, 因此a=
认真想一想
例题分析
例1 （2）x的方程
(a 1) x
a 2 2 a 1
x5 0
是一元二次方程，则a=__________
认真想一想
2．一元二次方程的解法： （1）直接开平方法：
（2）配方法；
b b2 4ac x （3）公式法； 2a
（4）因式分解法。
认真想一想
例2 用适当的方法解下列方程：