数学思维与解题

数学思维与解题Ch 1 . 试探法§1.1 建立数学模型例 ：证明 n 个不同元素的集合具有 n 2 个不同的子集 . 例 ：( 1979 putnam ) 设 n x x x ,,,21 是实数列 , 12122-----=n n n n n x x x x x 建立对于无穷多个 n x n , 为整数的关于 21,x x 的充要条件 .解法 1 ：)2()()2()1(342321221212121212152121421213x x x x n x x x n x n x x x x x x x x x x x x x x x x x x n-+-=---=⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫-=-=-=无穷多 21x x Z x n =⇔∈ . 解法 2 ：将递归公式改写为 :21121---=n n n x x x 令 nn x r 1=, 有 )(2121--+=n n n r r r则 {}n r 为等差数列 .21211211x x x x x x d -=-=由 d n r r n )1(1-+=, 可得 22121))(1(1x x x n x x r x n n +--== 无穷多 21x x Z x n =⇔∈ .例 ：假设和为没有公因子的正整数 , 证明 :2)1)(1()1(2--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡b a b a b b a b a 解 : 引入函数 x bax f =)( 11-≤≤b x5=a , 7=b . )75,(k k p k = , 6,,2,1 =k .k p 在直线 x bay =上 , 过 k p 作 x 轴的垂线 ; =⎥⎦⎤⎢⎣⎡k 75 在这个垂线上位于 k p 和 x 轴上之间（不含 x 轴上）的格点数 . 217561=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑=k k 矩形内格点数 126421=⨯⨯= 2111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑-=b k k b a 矩形内格点数 )1()1(21-⨯-⨯=b a . 注 : ⇒=1),(b a 矩形内部格点不在 x bay =上 . 例 ：定长的弦在半圆周上滑动 , 弦的中点和该弦两个端点在直径上的投影构成三角形的顶点 , 证明 : 这个三角形为等腰三角形且它的形状永远不变 .解 : step 1 . CDM ∆ 是等腰三角形 .因为 CD 为 XY 在 AB 上投影 , 且 M 是 XY 中点 , N 是 M 在 AB 上投影 , 所以 N 是 CD 中点 .MD CM =∴CDM ∆∴ 是等腰三角形 .step 2 . MCB ∠ 是定值 .过 C 作 XC 延长线交圆于 Z . 连 YZ 得 XYZ ∆ , 因 XY 为定值 , 故 XZY ∠ 为定值 .又因为 CM 为 XYZ ∆ 的中位线 , 所以 XZY MCB ∠-=∠2π是定值 .例 ： Adams 夫妇参加一个聚会 , 他们到达时 , 已经有三对夫妇 , 相互握手时 , 没有人和自己的配偶握手 , 没有人和相同的人握手两次 , 没有人和自己握手 , 握手结束后 , Mr Adams 问每个人 ( 包括自己的妻子 ) 握手的次数 , 使他吃惊的是每个人的答案都不相同 , 问 : Mr Adams 握手多少次 ? 解 : Mr Adams 得到其余七个人的答案是 : 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 .6)(=A d , 5)(=B d , 4)(=C d , 3)(=D d2)(=E d , 1)(=G d , 0)(=H d .{}H A , , {}G B , , {}E C , , {}F D , .3)()(==F d D d.例 ： 假设 a 和 b 是两个正整数 , 且 b a < , 在长为 b 的线段中任取两点 , 求该两点的距离不小于 a 的概率 ?解 : 设 []b a y x ,,∈ . 考虑两个独立的随机变量满足 a y x ≥- 的面积 .a y x a y x ±=-⇔=- 2112S S S S +== 21)(21a b S -=2)(a b S -= 222)1()()(b a b a b a y x P -=-=≥-§1.2 表述一个等价问题例 ：求 211)(x x f -=的 n 阶导数 . 例 ：假设 m 和 n 是正整数 , 且 n k ≤≤1 , 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=k n m i k m i n ki 0 例 ：设圆上选定 n 个点而每两点连一弦 , 除端点以外没有三条弦共点 , 一共有多少个交叉点 ? ⎪⎪⎭⎫⎝⎛4n注 : 这个例子有着十分重要的应用 .例如 : {}m x x x X ,,,21 = {}n y y y Y ,,,21 = 问 : 从 X 到 Y 有多少个单调递增函数 ?评 : f 是单调上升的 , 则 n m y x f x f x f y ≤≤≤≤≤)()()(211 .例 : 给定正整数 n , 求满足 n d c b a ≤≤≤≤≤0 的四元数组 ),,,(d c b a 的个数 .n d c b a ≤≤≤≤≤0⇓33210+≤+<+<+<≤n d c b a)3,2,1,(),,,(+++d c b a d c b a{}3,,3,2,1,0+n⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+4344m m 一般地 : k a a a ≤≤≤≤ 211 , {}n a i ,,2,1 ∈⇓11211321-+≤-+<<+<+<≤k n k a a a a k)1,,1,(),,,(2121-++k a a a a a a k k{}1,,2,11-+∈-+k n i a i ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+41k n{}n S ,,2,1 = 上每一个 r- 可重组合 {}1,,2,1,-+=k n S 上每一个 r- 不可 重组合 . r x x x n =+++ 21 , 0≥i x解数为 : ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+r r n 1 .例 : 将 5 表为 3 个自然数的和 .5=2+2+1=2+1+2=1+2+2=1+1+3=1+3+1=3+1+1Pro —— 将自然数 m 表成 n 个自然数之和 , 有多少方式 ?1,21≥=+++i n x m x x xn m y y y n -=+++ 21⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-111n m n m n n m . 例 : 将 n 个物体排成一行 , 假如这些物体的子集中没有相邻的物体 , 称该子集为非友好的 , 证明 : 具有 k 个元素的子集中 , 非友好子集的总数为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-k k n 1 . 解 : -∀k 组合 {}k a a a ,,,21n a a a k ≤<<< 21且 21≥--i i a a有 1121321+-≤+-<<-<-<k n k a a a a k⇓)1,,2,1,(321+---k a a a a k是 {}1,,2,1+-k n 上的 k- 组合 . ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-k k n 1§1.3 修改问题例 : 设 +∈R b a , , 证明 : ()2ba baab b a +≥ .解 : 修改为 ()12≥⇔+b a ba ab b a .i .e 12≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-b a b acase 1 . b a ≥ case 2 . b a <结论 1 . +∈R c b a ,, , 则 ()3c b a cb aabc c b a ++≥结论 2 . 0>i x , 4,3,2,1=i .()443213214321321x x x x x x x x x x x x x x +++≥例 : +∈∈R y x R ,,θ . 证明 : y x y x +<θθ22cos sin .解 1 : {}y x x ,max ≤ , {}y x y ,max ≤ .{}θθ22sin sin ,max y x x ≤ , {}θθ22sin cos ,max y x y ≤y x y x yx+<+≤}max{22cos sin θθ.解 2 : 原问题等价于 xy x y y x x y x +<⎪⎭⎫⎝⎛⇔+<⎪⎭⎫⎝⎛⋅122cos cos θθ不妨设 1<⇒<x y x y , xy x y +<<⎪⎭⎫ ⎝⎛112cos θ例 : 证明不存在满足以下等式的正整数 xyz z y x z y x 2:,,222=++ . (*) 解 : step 1假设 z y x ,, 是一组正整数 s .t (*) 因而 )2(mod 0222≡++z y x 如果 )2(mod 0≡≡≡z y x , 则 1112,2,2z z y y x x === , 从而有11122121212z y x z y x =++ . 如果 )2(mod 0111≡≡≡z y x 则有 2121212,2,2z z y y x x ===s .t 22232222222z y x z y x =++最终可以得到表达式 abc c b a 2222=++ 其中 c b a ,, 中两个是奇数 , 一个为偶数 .step 2 . abc c b a 2222=++ 对 b a , 为奇数 , c 为偶数无解 . ① 141+=a a , 141+=b b , 12c c = ② 341+=a a , 341+=b b , 12c c = ③ 141+=a a , 341+=b b , 12c c = ④ 341+=a a , 141+=b b , 12c c =对于以上 ① —— ④ 下 , 均无解 .§1.4 选取有效的符号例 : 证明 ：任意 k 个连续自然数的乘积能被 !k 整除 . 解 : 设 k 个连续自然数为 1,,1,+--k n n n则 !)1()1(k k n n n C k n+--=例 : 设 110<<-a 定义 21121⎪⎭⎫⎝⎛+=-n n a a , 0>n又设 ()n n n a A -=14 , 当 ∞→n 时 , n A 怎样变化 ?2cos 2cos 121212101θθ=⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=a a22121122cos 22cos 121θθ=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=a a nn a 2cosθ=()222cos1422cos142cos 141422222θθθθθθθθ→⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=n n n n n n n nn nn a A 又 :()222sin 2cos 12cos 12sin 42cos1)2cos 1)(2cos1(42cos 14142222θθθθθθθθθθθ→⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+⎪⎭⎫⎝⎛=++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=n nnn n n nnnnn nn nn a A例 : ABC ∆ 中 AC AB = , D 是 BC 的中点 , E 是由 D 向 AC 所作垂线的垂足 . F 是 DF 的中点 , 证明 : BE AF ⊥ .解1 : AC L y x E D b C b B a A ∈-),(),0,0(),0,(),0,(),,0(00 则有）的坐标为（2,210000y x F b a k a y b x AC ⇒-=⇒=+00222x a y a x ay K AF-=--= b x y K BE +=00bx ay a b b x a y x y K K BE AF +-⨯=+-⨯=⨯00000022 12100-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+--=b x b x a b BE AF ⊥∴解2 : 将 A 放在原点 , AC 为 OX 轴 . )0,(),,(),0,0(c C b a B A则 ,21),(21⎪⎭⎫ ⎝⎛+b c a D,0),(21⎪⎭⎫⎝⎛+c a E ⎪⎭⎫ ⎝⎛+b c a F 41),(21ca bK AF +=21 , c a bc a a b K BE -=+--=2)(210 222221c a b c a b c a b K K BEAF -=-⨯+=⨯ AC AB = 222c a b =+∴ 1-=⨯∴BE AF K K即 BE AF ⊥ .例 : (A)设 n 使 12+n 为完全平方数 . 证明 : 1+n 是两个连续自然数的完全平方和 .(B)设 n 使 13+n 为完全平方数 . 证明 : 1+n 是三个整数的完全平方和 . 解 : (A) )2(mod 1122≡⇒=+S S n 12+=t S2)12(12+=+t n ()()112212-+=t n ()()()()22222112224421112211t t t t t t t n ++=++=++=++=+ (B) ()169131322+±=±=+t t t nt t n 232±= ()222211231t t t t t n ++±=+±=+§1.5 利用对称性例 : 积 ))((222ac bc ab c b a c b a ---++++ c b a ,,完全对称 , 有))((222ac bc ab c b a c b a ---++++()Cabc bc c b ac c a ab b a B c b a A +++++++++=)(2222223331=A , 0=B , 3-=C例 : 设 1=+y x , 求 }.max{xy解 : 设 y x ≤ , t s ⋅ }m a x {xy xy = 同样有 y x ≥ , t s ⋅ }m a x {xy xy = 21==∴y x 又设 e x +=21 则 e y -=21 241e xy -=例 : 101<<x , 121=+++n x x x 求 }max{22221n x x x +++解 : 设 i i e nx +=122221212222121n n n e e e n e e e n x x x +++++++⨯+=+++222211n e e e n++++= 021=+++n e e e 例 : (1) 所有圆的内接长方形中哪一个具有最大面积 ?(2) 设 C B A ,, 是三角形的三个内角 , 求 C B A sin sin sin ++ 的最大值 ? (3) 固定周长的三角形 , 哪一个具有面积最大 ?§1.6 将问题分成若干情形例 : 证明圆周角 = 1/2 同弧所对圆心角 .case 1 case 2 case 3例 : 设 f 是定义在有理数上的实值函数 , Q y x ∈∀, , )()()(y f x f y x f +=+ . 证明 : Q x ∈∀ , )1()(xf x f =⇒ .解 : case 1 . N n ∈∀ , )1()(nf n f =⇒0)0(=f , )1()1(f f -=case 2 . -∈∀N n , )1()(nf n f =⇒case 3 . N n ∈∀ , )1(1)1(f n n f =⇒0\N n ∈∀ , )1(1)1(f nn f =⇒case 4 . Q n m ∈∀ , )1()(f nmn m f =⇒例 : 一个 n 元集 S 有多少个子集 ?k 元子集 )(k S P .§1.7 反向推理例 : 设 πα<<0, )cos(cos )sin(sin )(αθθαθθθ+-++=F , απθ-≤≤0 . 证明 : C F ≡)(θ解 : 如果 C F ≡)(θ , 则 )0()(F F ≡θ)cos(cos )sin(sin cos 1sin )0(αθθαθθαα+-++=-=F()()()()()αθθααθθα+-=++-⇔cos cos sin sin sin cos 1 ()()()0sin sin sin sin =-+-+-++⇔ααθθαθαθ又 ()()())(cos cos )cos(cos sin sin )(22αθθαθθθαθθ+-+-++=F 0)('=θF例 : 设 c b a ,, 是三角形三边的边长 , 证明 :)(4)()(32ac bc ab c b a ac bc ab ++≤++≤++解 : 0)()(32222≥---++⇔++≤++ac bc ab c b a c b a ac bc ab0)()()(222≥-+-+-⇔a c b c b a)()()()(2)(4)(2222b a c c a b c b a ac bc ab c b a ac bc ab c b a +++++=++≤++⇔++≤++例 : 由 )1(>n 个选手 n P P P ,,,21 参加一系列比赛 , 每个选手和其余的所有选手进行比赛 , 比赛只有胜负 , 没有平局 . 以 r r L W , 表示第 r 个选手r P 的胜负次数 . 则有 : ∑∑===nr r n r r L W1212 0)()1())((11=--=+-⇔∑∑==n r r r nr r r r r L W n L W L W∑∑===⇔nr r n r r L W 11例 : 给定AOB 是圆O 的直径 , BM 是在B 点的切线 , CF 是在E 点的切线且交 BM 于 C , 延长弦 AE 交 BM 于 D . 证明 : CD BC = .解 : 如果 CD BC =则 CD CE = 090=∠+∠A D如果 e D ∠=∠ 则应有 090=∠+∠A e090=∠+∠c e且 c b ∠=∠ A b ∠=∠ (所对的圆弧是 BE )e D ∠=∠∴§1.8 反证法例 : 证明调和级数+++++n131211 发散 . 证明 : 设其收敛于 r . 则有+++++=nr 131211 ++++++>)6161()4141()2121( r n=+++++= 131211 矛盾 !例 : 设 c b a ,, 为奇数 , 证明 : 方程 02=++c bx ax 无有理根 .22)12(4+=-=∆n ac b()())4(mod 01412≡++=-ac n n b()()ac n n ++140 mod(8))4(mod 0)1)(1(12≡-+=-b b b例 : 在一个 n 个人的舞会上 , 一定有两个人所认识的人一样多 .例 : 设函数 c bx ax x f ++=2)( )0(≠a 中 Z c b a ∈,, 且 )1(),0(f f 为奇数 , 证明 : 0)(=x f 无整数根 .解 : 假设存在 Z ∈α , t s ⋅ 0)(=x f02=++c b a αα )2(m o d 1≡c )2(m o d 1)1(≡++=c b a f)2(mod 0≡+⇒b acase 1 . )2(mod 0)2(mod 0≡⇒≡c αcase 2 . 12),2(mod 1+=≡n αα)2(m o d 0)2(m o d 0≡⇒≡≡c b a )2(m o d 0)2(m o d 0)()2(m o d 1≡⇒≡+⇒≡≡c b a b a α 例 : 设 ),,2,1(n k x k = 是 t s ⋅ 1≤k x 且 )2(121≥=+++n x x x n 则存在t s x x , t s ⋅ 1≤+t s x x否则 1,>+⇒∀j i j i x x x x1≤≤j i x x j i x x ,=θ212cos 222->--+=i j ji j i x x x x x x θ [),0πθ∈ ⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈⇒-≥+≥>+32,0)1(222πθj i i j j i x x x x x x 结论 : n x x x ,,,21 全部落在以 0 为中心 , 32π 为中心角的开扇形域内 , 取此扇形半径之一为实轴 , k x 的辅角主值 ⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈32,0arg πk x . 0)sin(arg )ln(11>=∑∑==i ni i n i i x x x§1.9 奇偶性例 : 设 3R 中有 9 个格点 , 证明 : 将这 9 个格点的任两个连成线段 , 必定在某线段内存在格点 .( 有两个点具有相同奇偶性 , 取其中点 )例 : 设 n 是大于 1 的奇数 , A 是 n n ⨯ 对称矩阵且 A 的每一行 , 列都是 n ,,2,1 的排列 , 证明 : n ,,2,1 中每一个数字都在主对角线上出现 . 例 : 设 Z a i ∈ , 121+≤≤n i t s ⋅ i a ∀ , },,,{1221+=n a a a S 可以分成两个 n 元子集 , 其和相同 . 证明 : 1221+===n a a a证明 : step 1 . 1221,,,+n a a a 有相同奇偶性 .∑+=121n i a A , i a A - 是偶数 .取 }{min 121i n i a a +≤≤= a a b i i -=只用证明 01221====+n b b bstep 2 . 1221,,,+n b b b t s ⋅ i b ∀ , },,,{1221+=n b b b B i b B -可以分成两个 n 元集 , 和相同 .存在 0=i b i b ∀∴ , )2(mod 0≡i bstep 3 . 取 k , t s ⋅ i k b 2 , k i i b c 2=. 则 1221,,,+n c c c 也满足 P .但 1221,,,+n c c c 中有奇 , 有偶 . 1221,,,+∴n b b b 全为 0 .§1.10 极值方法例 : 在舞会上没有男生和所有女生跳舞 , 但每个女生至少与一个男生跳舞 .证明 : 存在两对舞伴 bg 和 ''g b , t s ⋅ b 与 'g 不跳舞 , g 和 'b 不跳舞 .()ij a A = ⎩⎨⎧=否则个女生跳舞个男生与第第01j i a ij 取 A 中 h 行 t s ⋅ h 行中 1 最多 .否则 m 行中 1 的个数 h > 行中 1 的个数 .例 : 平面上给定不是所有都共线的有限多个点 . 证明 : 存在只通过其中两点的直线 . 解 : 设 P 是一个点 , L 是一直线 . ),(L P d 是从 P 到 L 的距离 . 令 }0),({直线但至少过两个给定点的为不过取给定点集，P L P L P d S >= 则 φ≠S ( 因为所有点不会位于同一直线上 )Claim : S 中有最小值 ),(L P d .Claim : L 只过给定点中两个点 . 否则 , ∃ 三点 321P P P 、、 在 L 上 . Q 是 P 在 L 上垂足 ， 不妨设 2P 在 Q 一侧 . 过 P 与 3P 可连直线 1L t s ⋅ 12L P ∉ 且 ),(),(12L P d L P d < .与 L 的定义相违 !§1.11 一般化例 : 设 )()(T x f x f += , 则对于 +∈∀R a , ⎰⎰+=T a a Tdx x f dx x f )()(0解 : ⎰+=Ta a dx x f a F )()( 0)()()('=-+=a f T a f a F)0()(F C a F =≡例 : 求出自然数 n 以及 n a a a ,,,21 使 10021=+++n a a a 下 , n a a a 21 最大 .解 : n a a a n 10021==== 时 nn n a a a ⎪⎭⎫ ⎝⎛==100max 21 设 n n n f ⎪⎭⎫ ⎝⎛=100 , 求 n t s ⋅ max =n f . x x x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛=100 , 0>x )ln 100(ln ln x x f -= ex x e x f f 100ln ln 100ln 1ln 100ln '=-=--= ex ex f 10011000'=⇔=⇔= ex f f 100ln '⋅= ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅=x f ex f f 1100ln ''' 100100''e f ex x -== 0100<⎪⎭⎫ ⎝⎛e f m a x 100=⎪⎭⎫ ⎝⎛e f ⎥⎥⎤⎢⎢⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=e or e n 100100 时 e n e f f 100max 233223max =⨯==例 : n y n n a = , 求 max =n axx x f 1= x x f ln 1ln = 222'ln 1ln x x e x x x f f =+-=e xf =⇔=0'[][]⎡⎤⎡⎤e e y e or e n n 11}max{= 332or例:求和∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nkknk⇓1-=∑⎪⎪⎭⎫⎝⎛knkxknk⇓()nknkxxknk+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∑=1。