山东高考理科数学试题及答案培训讲学

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普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(山东卷)(含解析)

（山东卷）理科数学全解全析第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

（1）满足M ⊆{}1234,,,a a a a 且{}{}12312,,,M a a a a a ⋂=的集合M 的个数是().1A ().2B ().3C ().4D2．设z 的共轭复数是z ，若4z z +=，8z z ⋅=，则zz等于 ().A i ().B i - ().1C ± ().D i ±【标准答案】:D 。

【试题分析】可设2z bi =+，由8z z ⋅=得248, 2.b b +==±()2222.88i z z i z ±===±【高考考点】: 共轭复数的概念、复数的运算。

【易错提醒】: 可能在以下两个方面出错：一是不能依据共轭复数条件设2z bi =+简化运算；二是由248b +=只求得 2.b =【学科网备考提示】: 理解复数基本概念并进行复数代数形式的四则运算是复数内容的基本要求，另外待定系数法、分母实数化等解题技巧也要引起足够重视。

3函数ln cos ()22y x x ππ=-<<的图象是5.已知4cos()sin 365παα-+=7sin()6πα+的值是 3().5A -3().5B 4().5C - 4().5D 【标准答案】:C 。

【试题分析】：334cos()sin cos sin 36225παααα-+=+=，134cos 225αα+=， 7314sin()sin()cos .66225ππαααα⎛⎫+=-+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭【高考考点】: 三角函数变换与求值。

【易错提醒】: 不能由334cos()sin sin 3625παααα-+=+=得到134cos 225αα+=是思考受阻的重要体现。

【学科网备考提示】:三角变换与求值主要考查诱导公式、和差公式的熟练应用，其间会涉及一些计算技巧，如本题中的为需而变。

全国高考理科数学考试试卷(山东)参考答案

高考理科数学考试真题（山东卷）参考答案1．D 【解析】由已知得2,1a b ==，∴22(2)34a bi i i +=+=+（）． 2．C 【解析】|1|213x x -<⇒-<<，∴(1,3)A =-，[1,4]B =。

∴[1,3)A B ⋂=．3．C 【解析】2222(log )10log 1log 1x x x ->⇒><-或，解得1202x x ><<或，故选C ． 4．A 【解析】 “至少有一个实根”的反面为“没有实根”，故选A ．5．D 【解析】由已知得x y >，此时22,x y 大小不定，排除A,B ；由正弦函数的性质，可知C 不成立；故选D ．6．D 【解析】由34x x =得，0x =、2x =或2x =-（舍去），直线x y 4=与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积23242001(4)(2)|44S x x dx x x =-=-=⎰． 7．C 【解析】第一组和第二组的频率之和为0.4，故样本容量为20500.4=，第三组的频率为0.36，故第三组的人数为500.3618⨯=，故第三组中有疗效的人数为18-6=12． 8．B 【解析】如图所示，方程()()f x g x =有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点，结合图象可知，当直线y kx =的斜率大于坐标原点与点(2,1)的连续的斜率，且小于直线1y x =-的斜率时符合题意，故选112k <<． 9．B 【解析】解法一如图可知目标函数在(2,1)处取得最小值，故2a b +=224420a b ab +==，又224224ab a b a b =⨯⨯+≤， ∴()22222220445a b a b a b+++=+≤，所以224a b +≥，当且仅当2a b =时取得，即a b ==时等号成立．解法二如图上图可知目标函数在(2,1)处取得最小值，故2a b +=把2a b +=作平面直角坐标下aOb 中的直线，则22a b +的几何意义是直线2a b +=坐标原点距离的平方，显然22a b +的最小值是坐标原点到直线2a b +=方，即24=． 10．A 【解析】1C的离心率为a ，2C的离心率为a，=，得424a b =，即a =， ∴2C的渐近线的方程为y =，即0x =． 11．3【解析】214130,2,1x n -⨯+==≤；224230,3,2x n -⨯+==≤；234330,4,3x n -⨯+==≤；244430,5,4x n -⨯+>==，此时输出n 值，故输出n 的值为3．12．16【解析】∵cos AB AC AB AC A ⋅=⋅，∴由cos tan AB AC A A ⋅=，得23AB AC ⋅=，故ABC 的面积为11||||sin 266AB AC π=．13．14【解析】如图，设C 点到平面PAB 的距离为h ，三角形PAB 的面积为S ，则213V Sh =，1111132212E ADB V V S h Sh -==⨯⨯=，∴1214V V =． 14．2【解析】266123166()()rrr r r r rr b T C ax C a b xx---+==，令1230r -=，得3r =，故333620C a b =，∴221,22ab a b ab =+=≥，当且仅当1a b ==或1ab ==-时等号成立．15．)+∞【解析】函数()g x 的定义域为[1,2]-，根据已知得()()()2h xg x f x +=，所以()=2()()62h x f x g x x b -=+()()h x g x >恒成立，即62x b +，令3y x b =+，y =，则只要直线3y x b =+在半圆224(0)x y y +=≥2>，解得b >，故实数b的取值范围是)+∞． 16．【解析】（Ⅰ）已知()sin2cos2f x m x n x =⋅=+a b ，)(x f 过点)2,32(),3,12(-ππ∴()sincos1266f m n πππ=+= 234cos 34sin )32(-=+=πππn m f∴12122m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得⎩⎨⎧==13n m（Ⅱ）由（Ⅰ）知)62sin(22cos 2sin 3)(π+=+=x x x x f由题意知()()2sin(22)6g x f x x πϕϕ=+=++设()y g x =的图象上符合题意的最高点为0(,2)x由题意知2011x +=。

普通高等学校招生全国统一考试数学理科试题(山东卷)真题精品解析

20XX年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学试卷评析本套试卷围绕课程标准中内容主线、核心能力、改革理念命题，考虑了A、B两种不同版本的教材的差别。

试题注重基础知识、基本技能和基本方法的考查，注意对算法框图、正态分布、幂函数等新增内容进行了考查。

对传统内容的考查也适度创新，如改变了传统的向量的考试模式，通过定义新运算，既新颖又体现数学应用的价值。

多数试题都是注重通性通法，有利于考生发挥真实水平，很好的体现了课程标准的理念。

重视对常规思想方法的考查，如第5、7、10题，考查数形结合的数学思想，第22题是函数和导数的综合问题，突出考查函数的思想和分类与整合的数学思想，对推动数学教学改革起到良好的导向作用。

注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上．并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置，用2B铅笔将答题卡上试卷类型B后的方框涂黑。

2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

咎在试题卷、草稿纸上无效。

3填空题和解答题用0 5毫米黑色墨水箍字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试题卷、草稿纸上无效。

4考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共l0小题．每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.（1）已知全集U=R，集合M={x||x-1|≤2},则U M=（A）{x|-1<x<3}(B){x|-1≤x≤3}(C){x|x<-1或x>3} (D){x|x≤-1或x≥3}【答案】C【解析】因为集合M={}x|x-1|2≤={}x|-1x 3≤≤,全集U=R ，所以U C M={}x|x<-1x>3或,故选C.【技巧点拨】首先由绝对值不等式求出集合M ，然后利用补集的运算求解即可。

(山东卷)高考数学试题详细解答及考点解读

理科数学本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分.考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式：柱体的体积公式：Sh V =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高. 锥体的体积公式：Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高. 如果事件A 、B 互斥，那么P (A +B )=P (A )+P (B )；如果事件A 、B 相互独立，那么P (A ·B )=P (A )·P (B ).如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率：k n k kn n P P C k P --=)1()(),,2,1,0(n k =.第I 卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）集合},1{},,2,0{2a B a A ==.若},16,4,2,1,0{=⋃B A 则a 的值为（A ）0（B ）1 （C ）2 （D ）4 （2）复数ii--13等于（A ）i 21+（B ）i 21-（C ）i +2（D ）i -2（3）将函数x y 2sin =的图象向左平移4π个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（A ）x y 2cos = （B ）x y cos 2=（C ）)42sin(1π++=x y （D ）x y 2sin 2=（4）一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（A ）322+π （B ）324+π （C ）3322+π （D ）3324+π（5）已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥α的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（6）函数xx x x ee e e y -+=-的图象大致为（7）设P 是ABC ∆所在平面内的一点，2=+，则（A ）0=+PB PA （B ）0=+PA PC（C ）0=+PC PB（D ）0=++PCPB PA（8）某工厂对一批产品进行了抽样检测，右图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为),104,102[),102,100[),100,98[),98,96[)106,104[.已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是（A ）90（B ）75 （C ）60 （D ）45（9）设双曲线12222=-by ax 的一条渐近线与抛物线12-=x y 只有一个公共点，则双曲线的离心率为（A ）45（B ）5 （C ）25（D ）5（10）定义在R 上的函数)(x f 满足⎩⎨⎧>---≤-=0).2()1(0 ),1(log )(2x x f x f x x x f ，则)2009(f 的值为（A ）-1 （B ）0 （C ）1 （D ）2（11）在区间[-1，1]上随机取一个数x ，2cos xπ的值介于0到21之间的概率为（A ）31（B ）π2 （C ）21（D ）32 （12）设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,0,02,063y x y x y x 若目标函数by ax z +=)0,0(>>b a 的最大值为12，则ba32+的最小值为（A ）625（B ）38（C ）311（D ）4第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分（13）不等式0|2||12|<---x x 的解集为．（14）若函数)10()(≠>--=a a a x a x f x，且有两个零点，则实数a 的取值范围是．（15）执行右边的程序框图，输出的T = ．（16）已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足)()1(x f x f -=-，且在区间[0，2]上是增函数，若方程)0()(>=m m x f 在区间[-8，8]上有四个不同的根1x ，2x ，3x ，4x ，则1x +2x +3x +4x = ．三、解答题：本大题共6小题，共74分（17）（本小题满分12分）设函数x x x f 2sin )32cos()(++=π（Ⅰ）求函数)(x f 的最大值和最小正周期；（Ⅱ）设A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，若41)2(,31cos -==C f B ，且C 为锐角，求A sin ．（18）（本小题满分12分）如图，在直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AB =4，BC =CD =2，AA 1=2，E ，E 1，F 分别是棱AD ，AA 1，AB 的中点．（Ⅰ）证明：直线EE 1∥平面FCC 1；（Ⅱ）求二面角B —FC —C 的余弦值．（19）（本小题满分12分）在某学校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定没人最多投3次；在A处每投进一球得3分,在B 处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次．某同学在A 处的命中率q 1为0.25，在B 处的命中率为q 2．该同学选择先在A 处投以球，以后都在B 处投，用ξ表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为（Ⅰ）求2q 的值；（Ⅱ）求随机变量ξ的数学期望E ξ；（Ⅲ）试比较该同学选择都在B 处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小．（20）（本小题满分12分）等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知对任意的*N n ∈，点（n ，n S ）均在函数10(≠>+=b b r b y x 且，b ，r 均为常数）的图象上.（Ⅰ）求r 的值；（Ⅱ）当b =2时，记*2)(1(log 2N n a b n n ∈+=）.证明：对任意的*N n ∈，不等式11,,1,12211+>+++n b b b b b b nn 成立.（21）（本小题满分12分）两县城A 和B 相距20km ，现计划在两县城外以AB 为直径的半圆弧AB 上选择一点C 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A 和城B 的总影响度为对城A 与对城B 的影响度之和. 记C 点到城A 的距离为x km ，建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y . 统计调查表明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比，比例系数为k . 当垃圾处理厂建在弧AB 的中点时，对城A 和城B 的总影响度为0.065. （Ⅰ）将y 表示成x 的函数;（Ⅱ）讨论（Ⅰ）中函数的单调性，并判断弧AB 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度最小？若存在,求出该点到城A 的距离；若不存在，说明理由.（22）（本小题满分14分）设椭圆)0,(1:2222>=+b a by a x E 过M （2，2），N （6，1）两点，O 为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且⊥？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围；若不存在，说明理由普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学（理科）答案及解读一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}0,2,A a =,{}21,B a =,若{}0,1,2,4,16AB =,则a 的值为( )A.0B.1C.2D.4【解析】:∵{}0,2,A a =,{}21,B a =,{}0,1,2,4,16A B =∴2164a a ⎧=⎨=⎩∴4a =,故选D.【解读与点评】:本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,本题属于容易题. 2.复数31ii--等于（）. A ．i 21+ B.12i - C.2i + D.2i -2. 【解析】: 223(3)(1)324221(1)(1)12i i i i i ii i i i i --++-+====+--+-,故选C. 【解读与点评】:本题考查复数的除法运算，分子、分母需要同乘以分母的共轭复数，把分母变为实数，将除法转变为乘法进行运算. 3.将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ).A. 22cos y x = B. 22sin y x = C.)42sin(1π++=x y D. cos 2y x =3. 【解析】:将函数y=sin2x 的图象向左4π平移个单位,得到函数)4(2sin π+=x y 即x x y 2cos )22sin(=+=π的图象,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为x x y 2cos 212cos =+=,故选B.【解读与点评】:本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析式的基本知识和基本技能,学会公式的变形.侧(左)视图正(主)视图4. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).A.2π+B. 4π+C. 2π+D. 4π+【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的, 圆柱的底面半径为1,高为2,体积为2π,四棱锥的底面边长为2，高为3，所以体积为2133⨯=所以该几何体的体积为2π+. 答案:C【解读与点评】:本题考查了立体几何中的空间想象能力, 由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地计算出.几何体的体积.9. 已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】:由平面与平面垂直的判定定理知如果m 为平面α内的一条直线,m β⊥,则αβ⊥,反过来则不一定.所以“αβ⊥”是“m β⊥”的必要不充分条件.【解读与点评】:本题主要考查了立体几何中垂直关系的判定和充分必要条件的概念.. 函数x x x xe e y e e--+=-的图像大致为( ).俯视图【解析】:函数有意义,需使0xxe e--≠,其定义域为{}0|≠x x ,排除C,D,又因为22212111x x x x x x x e e e y e e e e --++===+---,所以当0x >时函数为减函数,故选A.【解读与点评】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质. 8.设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=，则（）A.0PA PB +=B. 0PB PC +=C. 0PC PA +=D.0PA PB PC ++=【解析】:因为2BC BA BP +=，所以点P 为线段AC 的中点，所以应该选B.【解读与点评】:本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则，可以借助图形解答.（8）某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[]96106，，样本数据分组为[)[)[)[)[)96，，，，，，，，，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，第8题图 ABC P第8题图则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是（A ）90 （B ）75 （C ）60 （D ）45【解析】:产品净重小于100克的概率为(0.050+0.100)×2=0.300, 已知样本中产品净重小于100克的个数是36,设样本容量为n ,则300.036=n ,所以120=n ,净重大于或等于98克并且小于104克的产品的概率为(0.100+0.150+0.125)×2=0.75,所以样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是 120×0.75=90.故选A.【解读与点评】:本题考查了统计与概率的知识,读懂频率分布直方图,会计算概率以及样本中有关的数据.9.设双曲线22221x y a b-=的一条渐近线与抛物线21y x =+只有一个公共点，则双曲线的离心率为（A ）54(B) 5 (C)2(D) 【解析】:双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线为x a b y =,由方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==12x y x ab y 消去y,得012=+-x abx 有唯一解,所以△=04)(2=-ab,所以,5)(1,2222=+=+===ab a b a ac e a b 故选D. 【解读与点评】:本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念,以及直线与抛物线的位置关系,只有一个公共点,则解方程组有唯一解.本题较好地考查了基本概念基本方法和基本技能.10. 定义在R 上的函数()f x 满足2log (1),0()(1)(2),0x x f x f x f x x -≤⎧=⎨--->⎩，则(2009)f 的值为（A ）-1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 【解析】:由已知得2(1)log 21f -==,(0)0f =,(1)(0)(1)1f f f =--=-,(2)(1)(0)1f f f =-=-,(3)(2)(1)1(1)0f f f =-=---=,(4)(3)(2)0(1)1f f f =-=--=,(5)(4)(3)1f f f =-=,(6)(5)(4)0f f f =-=,所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f （2009）= f （5）=1,故选C. 【解读与点评】:本题考查归纳推理以及函数的周期性和对数的运算. 11. 在区间[-1，1]上随机取一个数x ，2cos xπ的值介于0到21之间的概率为（A ）31（B ）π2 （C ）21（D ）32 【解析】:在区间[-1，1]上随机取一个数x,即[1,1]x ∈-时, 212cos 0≤≤x π, ∴223πππ≤≤x ，或322πππ≤≤-x ，∴,132≤≤x ,321-≤≤-x区间[-1，1]长度为1, 而,321-≤≤-x 132≤≤x 的值区间长度为32,所以概率为32.故选在D【解读与点评】:本题考查了三角函数的值域和几何概型问题,由自变量x 的取值范围,得到函数值x 的范围,再由长度型几何概型求得. 12. 设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,0,02,063y x y x y x 若目标函数by ax z +=)0,0(>>b a 的最大值为12，则ba 32+的最小值为（A ）625（B ）38 （C ）311 （D ）【解析】:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax+by= z （a>0，b>0）过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,6）时, 目标函数z=ax+by （a>0，b>0）取得最大12,即4a+6b=12,即2a+3b=6, 而23a b +=2323131325()()26666a b b a a ba b ++=++≥+=,故选A.【解读与点评】:本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题.要求能准确地画出不等式表示的平面区域,并且能够求得目标函数的最值,对于形如已知2a+3b=6,求23a b +的最小值常用乘积进而用基本不等式解答.第∏卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） (13)不等式 2120x x ---＜的解集为 .【解析】法一原不等式等价于不等式组①221(2)0x x x ≥⎧⎨---<⎩或②12221(2)0x x x ⎧<<⎪⎨⎪-+-<⎩或③12(21)(2)0x x x ⎧≤⎪⎨⎪--+-<⎩不等式组①无解,由②得112x <<,由③得112x -<≤,综上得11x -<<,所以原不等式的解集为{|11}x x -<<.法二由2120x x ---＜可得22212-<-x x ，即,0332<-x 所以{|11}x x -<<答案: {|11}x x -<<【解读与点评】:本题考查了含有多个绝对值号的不等式的解法,需要根据绝对值的定义分段去掉绝对值号,最后把各种情况综合得出答案.本题涉及到分类讨论的数学思想. 14. (14)若函数()(0a 1)xf x a x a a =--≠＞），且有两个零点,则实数a 的取值范围是 .【解析】: 设函数(0,xy a a =>且1}a ≠和函数y x a =+,则函数f(x)=a x -x-a(a>0且a ≠1)有两个零点, 就是函数(0,xy a a =>且1}a ≠与函数y x a =+有两个交点,由图象可知当10<<a 时两函数只有一个交点,不符合,当1>a 时,因为函数(1)xy a a =>的图象过点(0,1),而直线y x a =+所过的点一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a 的取值范围是1>a 答案: 1>a 【解读与点评】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象解答.15.执行右边的程序框图，输出的T= . 【解析】:按照程序框图依次执行为S=5,n=2,T=2; S=10,n=4,T=2+4=6;S=15,n=6,T=6+6=12;S=20,n=8,T=12+8=20;S=25,n=10,T=20+10=30>S,输出T=30 答案:30【解读与点评】:本题主要考查了循环结构的程序框图,一般都可以反复的进行运算直到满足条件结束,本题中涉及到三个变量, 注意每个变量的运行结果和执行情况.16.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0，2]上是增函数.若方程()(0f x m m =＞）在区间[-8，8]上有四个不同的根，1234_________.x x x x +++=【解析】:因为定义在R 上的奇函数，满足(4)()f x f x -=-,所以(4)()f x f x -=-,所以, 由)(x f 为奇函数,所以函数图象关于直线2x =对称且(0)0f =,由(4)()f x f x -=-知(8)()f x f x -=,所以函数是以8为周期的周期函数,又因为)(x f 在区间[0,2]上是增函数,所以)(x f 在区间[-2,0]上也是增函数.如图所示,那么方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,不妨设1234x x x x <<<由对称性知1212x x +=-344x x +=所以12341248x x x x +++=-+=-答案:-8【解读与点评】:本题综合考查了函数的奇偶性,单调性, 对称性,周期性,以及由函数图象解答方程问题, 运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题. 三、解答题：本大题共6分，共74分.（17）（本小题满分12分）设函数()2cos(2)sin 3f x x x π=++（Ⅰ）求函数()f x 的最大值和最小正周期；（Ⅱ）设A ，B ，C 为ABC ∆的三个内角，若11cos ,()324c B f ==-，且C 为锐角，求sin A . 解: （1）17．（本小题满分12分）解：22cos 13sin2sin 3cos2cos )(xx x x f -+-=ππx x x 2cos 21212sin 232cos 21-+-=.2sin 2321x -=所以当,222ππk x +-=即)(4Z k k x ∈+-=ππ时，)(x f 取得最大值，231)]([+=最大值x f)(x f 的最小正周期ππ==22T 故函数)(x f 的最大值为231+最小正周期为.π（Ⅱ）由,41)2(-=C f即,41sin 2321-=-C 解得,23sin =C又C 为锐角，所以.3π=C由.322sin 31cos ==B B 求得 EABCFE1AB1C1DDEABCFE 1A 1B 1C 1D 1D因此)](sin[sin C B A +-=π)sin(C B +=C B C B sin cos cos sin +=233121322⨯+⨯=.6322+=【解读与点评】:本题主要考查三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式、三角函数的性质以及三角形中的三角关系. （18）（本小题满分12分）如图，在直四棱柱1111A B C DA B C D -中，底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD,AB=4,BC=CD=2,1AA ,AB 的中点. （Ⅰ）证明：直线1EE ∥平面1FCC ；（Ⅱ）求二面角1B FC C --的弦值. 解法一：（18）（本小题满分12分）（Ⅰ）证法一：取A 1B 1的中点为F 1，连结FF 1，C 1F 1, 由于FF 1∥BB 1∥CC 1, 所以F 1∈平面FCC 1,因为平面FCC 1即为平面C 1CFF 1，连结A 1D,F 1C,由于A 1F 1=D 1C 1=CD,所以四边形A 1DCF 1为平行四边形，////因此 A 1D ∥F 1C. 又 EE 1∥A 1D, 得 EE 1∥F 1C,而 EE 1⊄平面FCC 1，F 1C ⊂平面FCC 1，故 EE 1∥平面FCC 1.证法二：因为F 为AB 的中点，CD ＝2，AB ＝4，AB ∥CD ，所以CD=AF ，因此四边形AFCD 为平行四边形，所以 AD ∥FC.又 CC 1∥DD 1,FC ⋂CC 1=C,FC ⊂平面FCC 1,CC 1⊂平面FCC 所以平面ADD 1A 1∥平面FCC 1，又 EE 1⊂平面ADD 1A 1,所以 EE 1∥平面FCC 1. （Ⅱ）解法一：取FC 的中点H ，由于FC=BC=FB ，所以.FC BH ⊥ 又,1CC BH ⊥ 所以.FC BH ⊥ 又,1CC BH ⊥ 所以1FCC BH 平面⊥ 过H 作F C HG 1⊥于G ，连结BG .由于11,FCC BH F C HG 平面⊥⊥//所以,1BHG F C 平面⊥ 因此,1F C BG ⊥所以BGH ∠为所求二面角的平面角. 在3,=∆BH BHG Rt 中又1=FH ，且1FCC ∆为等腰直角三角形，所以214213,22=--==BG HG因此,7721422cos ===∠BGGHBGH即所求二面角的余弦值为.77 解法二：过D 作CD DR ⊥交AB 于R ，以D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系则),0,3,3(),0,1,3(B F)2,2,0(),0,2,0(1C C所以)0,2,0(=FB)0,3,3(),2,1,3(1=--=BC由,DF CD CB FB === 所以.FC DB ⊥又⊥1CC 平面ABCD ，所以为平面FCC 1的一个法向量设平面BFC 1的一个法向量为),,(z y x n =则由⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥1BC n n 得⎩⎨⎧=--⋅=⋅0)2,1,3(),,(0)0,2,0(),,(z y x z y x即⎩⎨⎧=+--=02302z y x y取⎪⎩⎪⎨⎧===2301z y x 得因此)23,0,1(=n所以7771341933||||,cos ==+⨯+=⨯>=<n DB n 故所求二面角的余弦值为.77【解读与点评】:本题主要考查直棱柱的概念、线面位置关系的判定和二面角的计算.考查空间想象能力和推理运算能力,以及应用向量知识解答问题的能力. (19)(本小题满分12分) （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）在某学校组织的一次蓝球定点投蓝训练中，规定每人最多投3次；在A 处每投进一球得3分，在B 处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投三次.某同学在A 处的命中率1q 为0.25，在B 处的命中率为2q .该同学选择先在A 处投一球，以后都在B 处投，用ε表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为ξ0 2 3 4 5p 0.03 P1 P2 P 3 P 4()I 求2q 的值；()II 求随机变量ε的数学期量E ε；()III 试比较该同学选择都在B 处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小.解: 解：（I ）由题设知，“0=ξ”对应的事件为在“在三次投篮中没有一次投中”，由对立事件和相互独立事件性质可知 .03.0)1)(1()0(221=--==q q P ξ解得.8.02=q（Ⅱ）根据题意 )2(1==ξP P.24.08.02.0275.0)1()1(22121=⨯⨯⨯=--=q q C q)3(2==ξP P.01.0)8.01(25.0)1(2221=-⨯=-=q q )4(3==ξP P.48.08.075.0)1(2221=⨯=-=q q)5(4==ξP P.24.08.02.025.08.025.0)1(22121=⨯⨯+⨯=-+=q q q q q因此.63.324.0548.0401.0324.0203.00=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE（III ）用C 表示事件“选同学选择第一次在A 处投，以后都有B 处投，得分超过3分”，用D 表示事件“该同学选择都在B 处投，得分超过3分”，则 .72.024.048.0)5()4()(43=+=+==+==P P P P C P ξξ.896.08.02.08.028.0)1()(22221222=⨯⨯⨯+=-+=q q q C q D P故).()(C P D P >即该同学选择都在B 处投篮得分超过3分的概率大于该同学选择第一次在A 处投以后都在B 处投得分超过3分的概率.【解读与点评】:本题主要考查了互斥事件的概率,相互独立事件的概率和数学期望,以及运用概率知识解决问题的能力. 20．（本小题满分12分）等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知对任意的*N n ∈，点（n ，n S ）均在函数10(≠>+=b b r b y x 且，b ，r 均为常数）的图象上.（Ⅰ）求r 的值；（Ⅱ）当b =2时，记*2)(1(log 2N n a b n n ∈+=）.证明：对任意的*N n ∈，不等式11,,1,12211+>+++n b b b b b b nn 成立. 解: （I ）解：由题意，r b S nn +=当2≥n 时，r b S n n +=+-11，所以),1(11-=-=--b b S S a n n n n由于 ,10≠>b b 且所以n ≥2时，}{n a 是以b 为公比的等比数列，又)1(,1-=+=b b a r b a n b a a =12即,)1(b rb b b =+-解得.1-=r .（Ⅱ）证法一：由（I ）知,21-=n n a 因此),(2*N n n b n ∈=所证不等式为.1212414212+>+⋅⋅+⋅+n nn （1）当1=n 时，左式23=，右式2=左式>右式，所以结论成立. （2）假设k n =时结论成立，即.1212414212+>+⋅⋅+⋅+k kk 则当1+=k n 时.1232)1(2321)1(232212414212++=+++>++⋅+⋅⋅+⋅+k k k k k k k k k 要证当1+=k n 时结论成立，只需证21232+≥++k k k ，即证)2)(1(232++≥+k k k由均值不等式)2)(1(2)2()1(232++≥+++=+k k k k k 成立故21232+≥++k k k 成立，所以，当1+=k n 时，结论成立. 由（1）（2）可知，*N n ∈时，不等式1212112211+>+⋅⋅+⋅+n nn b b b b 成立. 证法二：由（I ）知：12-=n n a ，因此)(2*N n n b n ∈=所证不等式为.1212674523+>+⋅⋅⋅⋅n n n事实上，n n 212674523+⋅⋅⋅⋅nn n 22)22(2628642642242++⋅⋅+⋅+⋅+=n n n 2)22(2686464242+⋅⋅⨯⋅⨯⋅⨯>12222+=+⋅=n n 故对一切*N n ∈，不等式11112211+>+⋅⋅+⋅+n b b b b b b nn 成立. 证法三：下面用数学归纳法证明不等式121211135721 (246)2n n b b b n b b bn++++=⋅⋅>成立. ① 当1n =时,左边=32,右边,因为32>,所以不等式成立.② 假设当n k =时不等式成立,即121211135721 (246)2k k b b b k b b b k++++=⋅⋅>成立.则当1n k =+时,左边=11212111113572123··· (24)6222k k kk b b b b kk b b b bk k ++++++++=⋅⋅⋅⋅⋅+ 2322k k +===>+ 所以，当1+=k n 时，结论成立.由（1）（2）可知，*N n ∈时，不等式1212112211+>+⋅⋅+⋅+n nn b b b b 成立.⌒【解读与点评】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知nS 求na 的基本题型,并运用数学归纳法证明与自然数有关的命题,以及放缩法证明不等式. （21）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）两县城A 和B 相距20Km ，现计划在两县城外以AB 为直径的半圆弧AB上选择一点C 建造垃圾理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A 和城B 的总影响度为对城A 与对城B 的影响度之和.记C 点到城A 的距离xKm ，建在C 处的垃圾处理厂对城B 的影响度为Y ，统计调查表明；垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城B 的平方成反比，比例系数为4；城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比，比例系数为K ，当垃圾处理厂建在弧AB 的中点时，对城A 和城B ）总影响度为0.065（Ⅰ）将Y 表示成X 的函数；（Ⅱ）讨论（Ⅰ）中函数的单调性，并判断弧AB 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度最小？若存在，求出该点城A 的距离；若不存在，说明理由.解：（I ）根据题意,400,,902km x BC xkm AC ACB -==︒=∠且建在C 处的垃圾处理厂对城A 的影响度为24x ，对城B 的影响度为2400xk- 因此，总影响度y 为)200(400422<<-+=x x k x y 又因为垃圾处理厂建在弧AB 的中点时，对城A 和城B 的总影响度为.065.0所以.065.0)1010(400)1010(4222222=+-++k解得,9=k 所以)200(4009422<<-+='x x x y（Ⅱ）法一：因为223)400(188x x x y -+-='223224)400()400(818xx x x x --⨯-= 22322)400()160010)(800(xx x x x --+= 由0='y 解得104104-==x x 或（舍去）易知)20,0(104∈x y y 随',的变化情况如下表：由表可知，函数)104,0(内单调递减，在)20,104(内单调递增，161104|===x y y 最小值，此时104=x ，法二：=-+=2240094x x y =-+-+]4001)400)[(40094(2222x x x x ＝4001]4009)400(494[2222x xx x -+-++=+≥4001]36213[161，当且仅当22224009)400(4x xx x -=-，即42236)400(x x =-，此时104±=x ，又200<<x ，因此104=x .故在AB 上存在C 点，使得建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度最小该点与城A 的距离104=x km.【解读与点评】:本题主要考查了函数在实际问题中的应用,运用待定系数法求解函数解析式的能力和运用换元法和基本不等式研究函数的单调性等问题. （22）（本小题满分14分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）设椭圆)0,(1:2222>=+b a by a x E 过M （2，2），N （6，1）两点，O 为坐标⌒原点.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且OB AB ⊥？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围；若不存在，说明理由解：（Ⅰ）将N M ,的坐标代入椭圆E 的方程得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+1161242222b ab a 解得.4,822==b a所以椭圆E 的方程为.14822=+y x （Ⅱ）证明：假设满足题意的圆存在，其方程为 222R y x =+，其中.20<<R设该圆的任意一条切线AB 和椭圆E 交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，当直线AB 的斜率存在时，令直线AB 的方程为m kx y +=，①将其代入椭圆E 的方程并整理得.0824)12(222=-+++m kmx x k由韦达定理得.1282,1242221221+-=+-=+k m x x k km x x ②因为 OB OA ⊥，所以 .02121=+y y x x③将①代入③并整理得0)()1(221212=++++m x x km x x k联立②得)1(3822k m +=④因为直线AB 和圆相切，因此21||km R +=由④得,362=R 所以存在圆3822=+y x 满足题意.当切线AB 的斜率不存在时，易得,382221==x x 由椭圆方程得382221==y y 显然⊥，综上所述，存在圆3822=+y x 满足题意. 解法一：当切线AB 的斜率存在时，由①②④得22121)()(||y y x x AB -+-= 2212)(1x x k -+=2122124)(1x x x x k -++=12824)124(122222+-⨯-+-+=k m k km k121321121242222++⨯-++=k k k k令12122++=k k t ，则121≤<t ，因此.12)43(364)321(32||22+--=-=t t t AB所以，12||3322≤≤AB 即32||364≤≤AB .当切线AB 的斜率不存在时，易得364||=AB ，所以≤≤||364AB .32综上所述，存在圆心在原点的圆3822=+y x 满足题意，且32||364≤≤AB . 解法二：过原点O 作OD ⊥AB ，垂足为D ，则D 为切点，设∠θ=OAB ，且θ为锐角，且θtan 362||=ADθtan 362||=BD ，所以).tan 1(tan 362||θθ+=AB因为,22||2≤≤OA所以.2tan 22≤≤θ令θtan =x ，易证：当]1,22[∈x 时， )1(362||xx AB +=单调递减当]2,1[∈x 时，)1(362||xx AB +=单调递增. 所以32||364≤≤AB . （2）解法三：假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥,设该圆的切线方程为y kx m =+解方程组22184x y y kx m +==+⎧⎪⎨⎪⎩得222()8x kx m ++=,即222(12)4280k x kmx m +++-=,则△=222222164(12)(28)8(84)0k m k m k m -+-=-+>,即22840k m -+>12221224122812km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩,22222222212121212222(28)48()()()121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k --=++=+++=-+=+++要使OA OB ⊥,需使12120x x y y +=,即2222228801212m m k k k--+=++, 所以223880m k --=,所以223808m k -=≥又22840k m -+>,所以22238m m ⎧>⎨≥⎩,所以28 3m≥,即m≥或m≤,因为直线y kx m=+为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为r=,222228381318m mrmk===-++,r=所求的圆为228 3x y+=,此时圆的切线y kx m=+都满足m≥m≤,而当切线的斜率不存在时切线为x=与椭圆221 84x y+=的两个交点为(33±或(33-±满足OA OB⊥,综上, 存在圆心在原点的圆2283x y+=，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OA OB⊥.因为12221224122812kmx xkmx xk⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩,所以22222212121222224288(84) ()()4()41212(12)km m k m x x x x x xk k k--+ -=+-=--⨯=+++,||AB=====,①当0k≠时||AB=因为221448k k ++≥所以221101844k k<≤++, 所以2232321[1]1213344k k <+≤++,||AB <≤2k =±时取”=”. ② 当0k =时,||3AB =. ③ 当AB 的斜率不存在时,两个交点为或(,所以此时||AB =, 综上, |AB |||AB ≤≤: ||AB ∈ 【解读与点评】:本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系.试卷综合解读与评析山东09数学考卷以新的课程标准、考试大纲和山东省考试说明为依据，充分考虑全省各地使用不同版本教材的实际，试题紧密贴近中学教学实际，并结合中学数学在知识、思想方法和能力等方面的要求，充分贯彻新课程的理念.这些试题立意朴实但又不失新意，选材寓于教材而又高于教材.科学地考查了考生继续学习所应具备的数学素养和潜能，着重考查了考生对数学本质的理解，宽角度、多视点、有层次地考查数学理性思维，特别是通过解题过程对思维能力进行了深入的考查；试卷结构稳定，知识覆盖面广，重点突出，稳中有新，稳中有变.尤其是对课程中新增内容和传统内容有机结合，考查也更加科学、规范和深化.试卷难、中、易比例恰当，有利于高校选拔优秀学生. 有利于中学数学教学改革，对中学教学发挥了良好的导向作用．达到了考基础、考能力、考素质、考潜能的考试目标.一、试卷结构保持稳定今年的数学试题与07、08年的试题相比在题量上、题型分布上仍保持不变，各种题型个数没有发生变化，选择题仍为12道，分值60分；填空题仍为4道，分值为16分；解答题仍为6道，分值为74分.且解答题仍保持了去年考查的模式，其中17题考查三角函数，18题考查空间中直线与平面平行与垂直的位置关系及求角.19题概率20数列的基本问题，21函数的应用，及用导数、基本不等式求最值.21题是直线与圆锥曲线的位置关系.二、充分体现新课程标准的基本理念，发挥高考试题的导向作用.09年山东省数学试题围绕着新课程标准中的内容主线、改革理念进行命题.试题兼顾不同版本的教材，关注必修和选修的比例，有利于推进课程改革和素质教育的深入实施.例如理科卷的第（4）（8）（12）（15）（16）题,对三视图、算法框图、等新增内容进行了充分的考查，特别是以环境保护为立意21题，使试题更具有鲜明的时代特色. 三、全面、综合地考查基础知识09年的山东高考数学卷全面考查了09年山东省考试说明中各部分的内容，可以说教材中各章的内容都有所涉及，如复数、空间几何体的结构、数学归纳法、概率等教学课时较少的内容，在试卷中也都有所考查．在全面考查的前提下，重点考查了高中数学知识的主干内容，如函数、三角函数、不等式、数列、直线与平面、圆锥曲线等仍是支撑整份试卷的主体内容．尤其是在每份试卷的6个解答题中，每题所涉及的具体内容都是高中数学的重点内容，层次恰当，试题淡化特殊的技巧，大多数试题既有常规解法，同时在知识的应用上又有一定的灵活性.一些试题在考查的题型、情景设置、设问方式等方面也体现了稳中有变的设计思路.1、考查重点立足基础. 试题特别注重考查高中数学的基础知识，但并不刻意追求知识的覆盖率，以重点知识为主线组织全卷的内容，首先设定考查重点和要求层次，以此为基调，展开考查的网络，拓展考查的空间，对重点知识的考查力求深入和综合.代数重点考查了函数的基本概念、性质和图象等，如理科第(3)、、(6)、(10)、（14）、(16)题；解析几何重点考查了直线和二次曲线的位置关系，如理科第(9)、(22)题；立体几何仍以多面体的有关线面关系和角为考查重点.如理科第(4)、(18)题. 试卷还考查到了向量、概率统计、导数、线性规划、算法框图等新增内容.2、教材丰富的内涵仍然是山东高考数学试题的源泉. 比如，理科第(5)、（8）、(14)题，直接考查数学概念和有关定理. 试题改造了外在的设问形式，并未改变原来的思想意图，减少了运算量，着重考查思维能力，体现了试卷的整体设计思想.3、综合性试题以知识网络的交汇点作为设计的起点和着力点，力图实现全面考查数学基础和数学素质的目标. 如理科(16)题函数的填空题，以抽象函数为载体直接给出了函数的有关性质，体现教材改革的一种理念.该题解法中应用到了函数与方程思想，转化与化归思想，分类讨论思想，这些思想都是考试大纲要求较高的思想方法. 该题达到了知识内容考查与思想方法考查相结合的目的. 第(22)题解析几何的解答题，综合、全面地考查了直线与椭圆的位置关系，通过用代数的方法，处理几何问题的深入考查，使函数、方程和不等式与解析几何的内容有机结合.该题具备了较强的综合性，有效地考查了考生综合运用知识、分析问题和解决问题的能力以及理性思维的能力.四、试题难度适中，层次分明09年年山东高考试卷与去年相比难度适中，充分体现考察基础的特点，层次分明，适合山东省考生的实际情况，在控制难度上有以下特点.1、层次分明试卷在三种题型中体现出明显的层次性，选择题、填空题、解答题，层层递进. 例如理科试卷的选择题（1）～（11）题，着重考查了基础知识、基本技能. （12）题考查了学生的理性思维能力和分析问题、解决问题的能力.填空题的（16）是函数、方程问题，覆盖面大，要求较高. 解答题基本上是一题多问，入口容易. 第（22）题是把关题，对思维能力，尤其是理性思维有较高要求.。

习题年普通高等学校招生全国统一考试数学试题精析详解山东理

年普通高等学校招生全国统一考试数学（山东理科类）试题精析详解一、选择题（5分⨯12=60分）（1）2211(1)(1)i ii i -++=+- （A ）i (B) i - (C) 1 (D) 1-【思路点拨】本题考查了复数的概念和运算能力，可直接计算得到结果. 【正确解答】2211111(1)(1)22i i i ii i i i-+-++=+=-+--，选D 【解后反思】熟练掌握复数的代数形式的四则运算及i 的性质.本题可把1i -化为2cos()sin()44i ππ⎤-+-⎥⎦， 12(cos sin )44i i ππ+=+，用复数三角形式的乘法和乘方法则求得结果. （2）函数1(0)xy x x-=≠的反函数的图象大致是 1oyx -1o yx1oyx -1o yx（A ） (B) (C) (D)【思路点拨】本题利用互为反函数图象间的关系，考查识图（或作图）能力，可采用直接法，即求出原函数的反函数，并画出图象. 【正确解答】1(0)x y x x -=≠的反函数为1(1)1y x x =≠-+，选B. 【解后反思】函数与图象的性质是历年高考的重点，要深刻理解灵活运用函数的性质，本题也可从互为反函数的性质：互为反函数的定义域与值域互换进行分析可选C. （3）已知函数sin()cos(),1212y x x ππ=--则下列判断正确的是（A ）此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是(,0)12π(B) 此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是(,0)12π(C) 此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是(,0)6π(D) 此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是(,0)6π【思路点拨】本题考查三角函数的二倍角公式及图象和性质，化简函数解析式再利用图象的性质即可解决. 【正确解答】1sin()cos()sin(2)121226y x x x πππ=--=-，最小正周期为π，其图象的一个对称中心是(,0)12π，选B【解后反思】一般地，sin()(0)y A x ωϕω=+>的对称中心为1((),0)k πϕω-，对称轴方程为1()()2x k k Z ππϕω=+-∈，本题在求对称中心时也可用验证法，也就是在函数中取一个恰当的x 值使y=0.（4）下列函数中既是奇函数，又是区间[]1,1-上单调递减的是（A ）()sin f x x = (B) ()1f x x =-+ (C) 1()()2x x f x a a -=+ (D) 2()2xf x lnx-=+ 【思路点拨】本题主要考查函数的两个性质，可根据其定义逐个淘汰. 【正确解答】选项A ：1()()()2xx f x a a f x --=+=，是偶函数，排除；选项B ：()|1|f x x -=--+，是非奇非偶函数，排除；选项C ：()sin()sin ()f x x x f x -=-=-=-，是奇函数，在[1,1]-上单调递增，排除；选项D ：1222()ln ln()ln ()222x x xf x f x x x x-+---===-=--++，是奇函数，且在[1,1]-上单调递减，故选D.【解后反思】解决函数问题时，必须理解从初等函数的图象入手，联想其相关性质，也就是说要有数形结合的意识. （5）如果2(33n x x -的展开式中各项系数之和为128，则展开式中31x 的系数是（A ）7 (B) 7- (C) 21 (D)21-【思路点拨】主要考查二项式及通项公式的应用，凡是求二项式展开式中的特殊项或系数，常用其通项公式列出方程，求出n 或.r【正确解答】令1x =，则2128n=，解得7n =，展开式的一般项为7732(3)()t t t C x x -，31x的系数是11673(1)21C ⋅⋅-=.故选C. 【解后反思】熟练掌握1r T +的表达式及解方程的思想，这里二项式中“-”必须留心，并要注意二项式系数、多项式系数的和与指定项的系数的区别与联系.（6）函数2110,sin(),()0.,x x x f x x e π--<<⎧=⎨≥⎩若(1)()2,f f a +=则a 的所有可能值为（A ） 1 (B) 22-(C) 1,22- (D) 1,22【思路点拨】函数解析式是高考的一个难点，本题考查了分段函数的性质，必须对a 的范围进行分类讨论.【正确解答】0(1)1f e ==，所以()1f a =，当0a ≥时，1a =；当10a -<<时，2sin()1a π=，22a =-. 选C.【解后反思】因为(1)1f =，故()1f a =，本题实质上求方程()1f a =的解，而分段函数必须分段求，要注意各段函数定义域的范围，恰当地舍取和验证.（7）已知向量,a b ，且2,56,72,AB a b BC a b CD a b =+=-+=-则一定共线的（A ）Ａ、B 、D (B) A 、B 、C (C) B 、C 、D (D)A 、C 、D【思路点拨】本题考查向量的基础知识和运算能力，理解和掌握两个向量共线和三点共线的充要条件是解决本题的关键.【正确解答】24BC CD BD a b +==+，因为2AB a b =+，且有一个共点B 所以A 、B 、D 三点共线.选A【解后反思】一般地，,a b （0b ≠），共线的充要条件是存在唯一实数λ，使a b λ=.因此寻找恰当的λ，注意共线向量与三点共线之间的区别与联系（8）设地球半径为R ，若甲地位于北纬045东经0120，乙地位于南纬075东经0120，则甲、乙两地球面距离为（A 3R (B)6R π (C)56R π (D) 23R π 【思路点拨】本量考查球的性质，空间想象能力，可结合关于地球的经、纬度等知识、球的性质，找出甲乙两地与球心的夹角、利用弧长公式解决. 【正确解答】120223603d R R ππ︒=⋅=︒.选D 【解后反思】本题是求同一经度上，两点间的球面距离，比较简单，而求在同一纬度上的点A 、B 间的球面距离必须构建基本图形：三棱锥1O AO B -，其中1OO ⊥纬度面AOB ，AO ＝OB ＝R （R 为地球的半径），11O AO O BO ∠=∠是北纬度角，1AO B ∠是A 、B 两点所在经度的夹角（劣弧），AOB ∠即是要所求A 、B 两点间的球面距离的大圆的圆心角θ（小于0180），则A 、B 间的球面距离为R θ，这里，θ是解决此类型问题的关键，也是难点.（9）10张奖券中只有3张有奖，5个人购买，每人1张，至少有1人中奖的概率是（A ）310 (B) 112 (C) 12 (D)1112【思路点拨】本题是考查概率的基础知识和应用能力，将“至少”问题转化为对立事件可简化为计算.【正确解答】10张奖卷中抽取5张可能的情况有510C 种， 5人中没有人中奖的情况有57C 中，至少有1人中奖的概率是5751011112C P C =-=，选D【解后反思】概率与统计这部分内容要求不高，关键是掌握概念公式并能在具体问题中正确应用.（10）设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则AB 是)A B U =U （C（A ）充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D)既不充分也不必要条件【思路点拨】本题考查集合的基本概念和基本运算，考查充要条件的判断能力.抽象的两个集合，可用特殊值法，列举法或画出图进行分析.ABO1O【正确解答】由AB 可推出()UC A B U =，反之，()U C A B U =不一定要满足A B ，因此为充分不必要条件，选A【解后反思】要熟练掌握数学符号语言的等价转化，它是解决数学问题的必要条件，也是是否具有数学素养的一个重要标志. （11）01,a <<下列不等式一定成立的是（A ）(1)(1)log (1)log (1)2a a a a +--++> (B) (1)(1)log (1)log (1)a a a a +--<+(C) (1)(1)(1)(1)log (1)log (1)log (1)log (1)a a a a a a a a +-+--++<-++ (D) (1)(1)(1)(1)log (1)log (1)log (1)log (1)a a a a a a a a +-+---+>--+【思路点拨】本题考查了对数绝对值的运算和不等式性质，考虑到(1)log (1)a a +-与(1)log (1)a a -+互为倒函数的关系，可采用换元思想，简化问题结构达到问题的转化.【正确解答】令(1)log (1)a a t +-=,则(1)1log (1)a a t-+=，01011,110a a a t <<∴<-<+>∴<， 11||()()2||t t t t+=-+-≥当且仅当1t =-时等号成立，||0t ≥∴A 一定成立，选A. 【解后反思】整体思想是重要的数学思想，而换元法是整体思想的具体体现，是考查学生的观察能力和宏观调控的重要手段，必须引起高度重视.（12）设直线:220l x y ++=关于原点对称的直线为l '，若l '与椭圆2214y x +=的交点为A 、B ，点P 为椭圆上的动点，则使PAB ∆的面积为12的点P 的个数为（A ） 1 (B) 2 (C) 3 (D)4【思路点拨】本题考查直线和椭圆的位置关系的判定及相关性质，可用直接法求得结果或数形给合的方法.【正确解答】由题意得l '：220x y +-=，解不等式组2214220y x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩得(0,2)A ，(1,0)B ，||5AB =，设(,)P x y , 111||52225PAB S AB d ∆=⋅⋅==，得|22|1x y +-=，2214230y x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩ （1）或2214210y x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩（2）方程组（1）无实数解，方程组（2）有两个不同的实数解，故满足条件的点P 的个数为2，选B.【解后反思】本题属于直线和圆锥曲线的小综合题，几何与代数之间的等价转化是解决这类问题的重要方法.二、填空题（4分⨯4=16分）(13)2222lim(1)n n nn C C n -→∞+=+__________ 【思路点拨】本题考查组合数公式和性质及数列极限的求法，先化简分子，分子分母除以n 的最高次幂就可得到结果.【正确解答】222222221(1)1322332lim lim lim lim21(1)(1)(1)221n nn nnn n n n n n C C C C n n n n n n -→∞→∞→∞→∞--⨯++====+++++. 【解后反思】要会求分子分母均是n 的多项式，当n →∞时的极限，分式是∞∞型时.1010()lim 0()()n a b a n a n a b n b n b αβααββαβαβαβαβ*→∞⎧=⎪⎪+++⎪=<∈⎨+++⎪>⎪⎪⎩（，N ）不存在.(14)设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F,右准线l 与两条渐近线交于P 、Q 两点，如果PQF ∆是直角三角形，则双曲线的离心率e =【思路点拨】本题是考查双曲线的几何性质，可根据对称性来分析，只可能是PFQ ∠为直角，由a 、b 、c 的关系不难解决.【正确解答】由PQF ∆是直角三角形,根据图形的对称性，必有22a ab PF FQ c a b c a c c ⊥∴-=⇒=∴=即双曲线的离心率2ce a==【解后反思】解决本题的障碍是对Rt PQF ∆的直角的确定，要深刻理解几何图形的特征是解决这类题型的关键.(15)设,x y 满足约束条件5,3212,03,0 4.x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≤≤⎪⎪≤≤⎩则使得目标函数65z x y =+的值最大的点(,)x y 是_______【思路点拨】本题主要考查简单线性规划的基本知识，分二步，第一步是作出二元一次不等式表示的平面区域.，第二步从图形分析求z 最大值时点的坐标. 【正确解答】画出题中所给不等式组所表示的区域.当x=0时y=0, 650z x y =+=，点（0，0）在直线0:650l x y +=上，作一组直线0l 的平行直线:65()l x y t t R +=∈，要求使得z 最大的点，即要求使直线65z x y =+截距最大，由图可知，当直线过5x y +=和3212x y +=的交点(2,3)M 时，z 有最大值27.【解后反思】正确画出平面区域和直线0l 是解决这类问题的关键. (16)已知m 、n 是不同的直线，,αβ是不重合的平面，给出下列命题： ①若//,,,m n αβαβ⊂⊂则//m n②若,,//,//,m n m n αββ⊂则//αβ③若,,//m n m n αβ⊥⊥,则//αβ④m 、n 是两条异面直线，若//,//,//,//,m m n n αβαβ则//αβ上面命题中，真命题的序号是____________(写出所有真命的序号)OyxM【思路点拨】本题是线线、线面和面面平行，线面垂直的判断题，可借助图形进行判断. 【正确解答】如图所示，①中m 、n 可能异面，②中αβ，可能相交，③中,//m m n n αα⊥∴⊥同理可证：//n βαβ⊥∴即③是真命题，④中可过平面αβ，外任一点P 作直线,m n ''使//,//,m m n n m n ''异面∴,m n ''必相交，设由,m n ''确定的平面为γ，////m m αα'∴，同理可证：////n ααγ'∴，同理可证：////βγαβ∴.即④是真命题，综上所述，真命题的序号是③、④.【解后反思】要否定一个命题，只需要一反例即可.要熟悉掌握线线平行、平面平行、面面平行的关系和转化.即线线平行⇔平面平行⇔面面平行，其中线面平行起了桥梁作用，而②③的实质是两个平面平行的推论. 三、解答题（74分） (17)（本小题满分12分）已知向量(cos ,sin )m θθ=和(2sin ,cos ),(,2)n θθθππ=-∈，且825m n +=，求cos()28θπ+的值【思路点拨】本题从向量及模的概念出发，考查三角变换能力和运算能力，通过825m n +=，构建θ的三角函数关系式，再由此关系式与所求θ进行比较，消除角或函数的差异，达到转化. 【正确解答】解法一：(cos sin 2,cos sin ),m n θθθθ+=-+22(cos sin 2)(cos sin )m n θθθθ+=-+++ 422(cos sin )θθ=+-44cos()4πθ=++21cos()4πθ=++由已知825m n +=，得7cos()425πθ+= 又2cos()2cos ()1428πθπθ+=+-所以 216cos ()2825θπ+= ∵ 592,8288πθπππθπ<<∴<+<∴ cos()285θπ+=解法二：2222m n m m n n +=+⋅+22||||2m n m n =++⋅222222(cos sin ((2sin )cos )2[cos (2sin )sin cos ]θθθθθθθθ=++-+++42(cos sin )θθ=+-4(1cos())4πθ=++28cos ()28θπ=+由已知825m n +=，得 4|cos()|285θπ+=∵ 5928288πθπππθπ<<∴<+<，∴ cos()028θπ+<， ∴ cos()285θπ+=【解后反思】三角函数的求值问题，关键是角和函数的变换，难点是三角函数符号的确定，在解题过程中，两者必须都要兼顾到，不能顾此失彼. (18) （本小题满分12分）袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为17.现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1个球，甲先取，乙后取，然后甲再取取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止ξ表示取球终止时所需的取球次数．（Ⅰ）求袋中原有白球的个数；（Ⅱ）求随机变量ξ的概率分布；（Ⅲ）求甲取到白球的概率【思路点拨】本题考查了离散型随机变量的分布列和等可能事件概率的求法，可根据两者定义直接求得.【正确解答】（１）设袋中原有n 个白球，由题意知：2271(1)(1).767762n C n n n n C --===⨯⨯ 所以(1)6n n -=，解得3(n =舍去2)n =-，即袋中原有３个白球（Ⅱ）由题意，ξ的可能始值为１,2,3,4,5.3(1)7p ξ==: 432(2)767p ξ⨯===⨯: 4336(3)76535p ξ⨯⨯===⨯⨯ 43233(4)765435p ξ⨯⨯⨯===⨯⨯⨯: 432131(5)7654335p ξ⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯所以,取球次数ξ的分布列为：ξ 1 2 3 4 5p37 27 635 335 135（Ⅲ）因为甲先取,所以甲只有可能在第1次、第3次和第5次取球，记“甲取到白球”的事件为A ，则 ()p A P =（“1ξ=”，或“3ξ=”，或“5ξ=”）. 因为事件“1ξ=”、“3ξ=”、“5ξ=”两两互斥，所以 361()(1)(3)(5)7353535P A P P P ξξξ==+=+==++= 【解后反思】离散型随机变量的基础则概率的计算，如古典概率、互斥事件概率和相互事件同时发生的概率，n 次重复试验有k 次发生的概率等，同时往往离散型随机变量的分布列上具有的性质.（如0,1,2,3,i p i ≥=，121p p ++=）要理解地记忆，便于掌握.(19) （本小题满分12分）已知1x =是函数32()3(1)1f x mx m x nx =-+++的一个极值点,其中,,m n R ∈0m <. （Ⅰ）求m 与n 的关系表达式; （Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）当[1,1]x ∈-时,函数()y f x =的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m,求m 的取值范围【思路点拨】此题考查了可导函数的导数求法，极值的定义，以及可导函数的极值点的必要条件和充分条件（导函数在极值点两侧异号），含参不等式恒成立的求解问题，考查运算能力和分析问题、解决问题的能力. 【正确解答】（Ⅰ）解：2()36(1)f x mx m x n '=-++.因为1x =是()f x 的一个极值点,所以(1)0f '=,即36(1)0m m n -++=. 所以3n m =+（Ⅱ）解:由（Ⅰ）知22()36(1)363(1)(1)f x mx m x m m x x m ⎡⎤'=-+++=--+⎢⎥⎣⎦当0m <时,有211m >+,当x 变化时()f x 与()f x '的变化如下表: x2(,1)m -∞+ 21m + 2(1,1)m+ 1(1,)+∞()f x '<0 0 >0 0 <0 ()f x单调递减极小值单调递增极大值单调递减由上表知,当0m <时,()f x 在(,1)m -∞+单调递减,在(1,1)m+单调递增, 在(1,)+∞单调递减（Ⅲ）解法一:由已知,得()3f x m '>,即22(1)20mx m x -++>.0m <.∴222(1)0x m x m m-++<. 即[]2122(1)0,1,1x x x m m-++<∈-. （*）设212()2(1)g x x x m m=-++,其函数图象的开口向上.由题意(*)式恒成立, ∴22(1)0120(1)010g m mg ⎧-<+++<⎧⎪⇒⎨⎨<⎩⎪-<⎩ 434,310m m ⎧<-⎪⇒⇒-<⎨⎪-<⎩又0m <.∴403m -<< 即m 的取值范围是43m -<<解法二：由已知,得()3f x m '>，即23(1)(1)3m x x m m ⎡⎤--+>⎢⎥⎣⎦，0m <. 2(1)1(1)1x x m ⎡⎤∴--+<⎢⎥⎣⎦. (*)01 1x =时. (*)式化为01<怛成立.0m ∴<. 02 1x ≠时[]1,1,210x x ∈-∴-≤-<. (*)式化为21(1)1x m x <--- ．令1t x =-,则[)2,0t ∈-,记1()g t t t=- , 则()g t 在区间[)2,0-是单调增函数min 13()(2)222g t g ∴=-=--=--．由(*)式恒成立,必有234,23m m <-⇒-<又0m <．304m ∴-<<．综上01、02知43m -<<【解后反思】要深刻理解和熟练掌握数学思想和方法，本题中运用了数形结合法、分离变量法、换元法等多种数学思想和方法.因此，在解答问题的过程中要领悟和体验这些方法，积累经验，必定能提高解决综合问题的能力. (20) （本小题满分12分）如图，已知长方体1111ABCD A B C D -，12,1AB AA ==，直线BD 与平面11AA B B 所成的角为030，AE 垂直BD 于,E F 为11A B 的中点．（Ⅰ）求异面直线AE 与BF 所成的角；（Ⅱ）求平面BDF 与平面1AA B 所成二面角（锐角）的大小；（Ⅲ）求点A 到平面BDF 的距离【思路点拨】本题考查了长方体的概念，异面直线、二面角、点到平面的距离的求法.考查逻辑推理能力，空间想象能力和运算能力，可根据长方体的特征，用定义或平面向量的知识是不难解决的.【正确解答】解法一：（向量法）在长方体1111ABCD A B C D -中，以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，1AA 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系如图．由已知12,1AB AA ==，可得(0,0,0),(2,0,0),(1,0,1)A B F ．又AD ⊥平面11AA B B ，从面BD 与平面11AA B B 所成的角即为030DBA <=又232,,1,3AB AE BD AE AD =⊥==从而易得1323(2E D （Ⅰ）13(,,0),(1,0,1)22AE BF ==-cos ,AE BF AE BF AE BF∴<>=12242-==即异面直线AE 、BF 所成的角为24（Ⅱ）易知平面1AA B 的一个法向量(0,1,0)m =A 11C 11F E CBAA 1B 1C 1D 1FEDCBAzy设(,,)n x y z =是平面BDF 的一个法向量．23(2,3BD =- 由n BF n BD ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ 00n BF n BD ⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩ 023203x x x y -+=⎧⎪⇒⎨-=⎪⎩3x zx y =⎧⎪⇒= 取(1,3,1)n =∴315cos ,515m n m n m n <>===⨯ 即平面BDF 与平面1AA B 所成二面角（锐角）大小为155（Ⅲ）点A 到平面BDF 的距离，即AB 在平面BDF 的法向量n 上的投影的绝对值所以距离||cos ,d AB AB n =<>||||||AB n AB AB n =||225||55AB n n ===所以点A 到平面BDF 55解法二：(几何法)（Ⅰ）连结11B D ，过F 作11B D 的垂线，垂足为K ，∵1BB 与两底面ABCD ，1111A B C D 都垂直，∴11111111FB BB FK B D FB B B D BB B ⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⋂=⎭1平面BDD 又111AE BB AE BD AE B BB BD B ⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⋂=⎭1平面BDD 因此//FK AE <∴BFK <为异面直线BF 与AE 所成的角连结BK ，由FK ⊥面11BDD B 得FK BK ⊥，从而 BKF ∆为RtA 11C 11F KECA在 1Rt B KF ∆和111Rt B D A ∆中，由11111A D FK B F B D =得1112211213132222(3)3ADAB A D B FFK B D BD====+ 又2BF = ∴2cos 4FK BFK BK <== ∴异面直线BF 与AE 所成的角为24（Ⅱ）由于AD ⊥面t AA B 由A 作BF 的垂线AG ，垂足为G ，连结DG ，由三垂线定理知BG ⊥∴AGD <即为平面BDF 与平面1AA B 所成二面角的平面角且90DAG <=，在平面1AA B 中，延长BF 与1AA ；交于点S∵F 为11A B 的中点1111//,,22A F AB A F AB =， ∴1A 、F 分别为SA 、SB 的中点即122SA A A AB ===，∴Rt BAS ∆为等腰直角三角形，垂足G 点实为斜边SB 的中点F ，即F 、G 重合易得122AG AF SB ===Rt BAS ∆中，233AD = ∴2363tan 2AD AGD AG <=== ∴6arctan AGD <=即平面BDF 于平面1AA B 所成二面角（锐角）的大小S A 1B C 11GF E CAS A 1B C 11HFE C A为6arctan3（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面AFD 是平面BDF 与平面1AA B 所成二面角的平面角所在的平面 ∴面AFD BDF ⊥面在Rt ADF ∆中，由Ａ作AH ⊥DF 于H ，则AH 即为点A 到平面BDF 的距离由AH DF=AD AF ，得2223223552(3)(2)3AD AFAH DF===+所以点A 到平面BDF 255【解后反思】立几中求角和距离的问题一般要具备作、证、算三步.本题中也可用等积变换求距离.空间向量的引入，给本题解答提供了新思路，关键是点的坐标和向量的正确，否则以全错而告终.(21) （本小题满分12分）已知数列{}n a 的首项15,a =前n 项和为n S ，且*15()n n S S n n N +=++∈（I ）证明数列{}1n a +是等比数列；（II ）令212()n n f x a x a x a x =+++，求函数()f x 在点1x =处的导数(1)f '并比较2(1)f '与22313n n -的大小【思路点拨】本题主要考查数列的通项，等比数列的前n 项和以及导数的概念，考查灵活运用数学知识分析和解决问题的能力.知道数列的递推公式求数列的通项时，可直接代入求解，由n S 与n a 间的关系求数列的通项公式时，只要利用1(2)n n n a S S n -=-≥即可.对数的大小比较的常用方法是作差法，其差值可转化为关于n 的函数，再利用函数的性质作出判断.【正确解答】解：由已知*15()n n S S n n N +=++∈可得12,24n n n S S n -≥=++两式相减得()1121n n n n S S S S +--=-+即121n n a a +=+从而()1121n n a a ++=+当1n =时21215S S =++所以21126a a a +=+又15a =所以211a =从而()21121a a +=+故总有112(1)n n a a ++=+，*n N ∈又115,10a a =+≠从而1121n n a a ++=+即数列{}1n a +是等比数列（II ）由（I ）知321nn a =⨯- 因为212()n n f x a x a x a x =+++所以112()2n n f x a a x na x -'=+++从而12(1)2n f a a na '=+++=()()23212321(321)n n ⨯-+⨯-++⨯- =()232222n n +⨯++⨯-()12n +++=()1(1)31262n n n n ++-⋅-+ 由上()()22(1)23131212n f n n n '--=-⋅-()21221n n --=()()1212121(21)n n n n -⋅--+=12(1)2(21)n n n ⎡⎤--+⎣⎦①当1n =时，①式=0所以22(1)2313f n n '=-；当2n =时，①式=-120<所以22(1)2313f n n '<- 当3n ≥时，10n ->又()011211nnn nn n n n C C C C -=+=++++≥2221n n +>+所以()()12210nn n ⎡⎤--+>⎣⎦即①0>从而2(1)f '>22313n n - 【解后反思】1、由数列前n 项和和定义12n n S a a a =+++可知n S 和n a 之间的关系11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩要注意的是，n a ＝n S －1n S -仅局限在2n ≥的一切真整数，因此在n S 求n a 时，应分类讨论，只有当1a ＝1S 满足n a ＝n S －1n S -时通项公式才只有一个式子，否则就是分段函数.2、对一个指数或多项式大小比较时，必须采取放缩的技巧，而放缩的技巧是在需选择目标和确定放缩的程度，应恰到好处，放缩的方法还常有：去掉式子中的某些数，应用不等式的5个性质，应用正、余弦的有界性等等. (22) （本小题满分14分）已知动圆过定点,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，且与直线2p x =-相切，其中0p >.（I ）求动圆圆心C 的轨迹的方程；（II ）设A 、B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，当,αβ变化且αβ+为定值(0)θθπ<<时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标【思路点拨】本题考查直线的有关概念、直线与圆的性质，抛物线及三角函数的基础知识，考查运用数学知识解决综合问题的能力，第（I ）问可由圆的切线性质和抛物线的定义得到.第（II ）问必须借助解析的思想和两角和的正切转化为坐标处理. 【正确解答】解：（I ）如图，设M 为动圆圆心，,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭为记为F ，过点M 作直线2px =-的垂线，垂足为N ，由题意知：MF MN =即动点M 到定点F 与定直线2px =-的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭为焦点，2p x =-为准线，所以轨迹方程为22(0)y px P =>；（II ）如图，设()()1122,,,A x y B x y ，由题意得12x x ≠（否则αβπ+=）且12,0x x ≠所以直线AB 的斜率存在，设其方程为y kx b =+，显然221212,22y y x x p p==，将y kx b =+与22(0)y px P =>联立消去x ，得2220ky py pb -+=由韦达定理知121222,p pby y y y k k+=⋅=① （1）当2πθ=时，即2παβ+=时，tan tan 1αβ⋅=所以121212121,0y y x x y y x x ⋅=-=，221212204y y y y p-=所以2124y y p = 由①知：224pbp k=所以2.b pk = 因此直线AB 的方程可表示为2y kx Pk =+，即(2)0k x P y +-=所以直线AB 恒过定点()2,0p -.N F(p 2,0)M ABx=-p 2oyx（2）当2πθ≠时，由αβθ+=，得tan tan()θαβ=+=tan tan 1tan tan αβαβ+-=122122()4p y y y y p +- 将①式代入上式整理化简可得：2tan 2p b pk θ=-，所以22tan pb pk θ=+，此时，直线AB 的方程可表示为y kx =+22tan p pk θ+即2(2)0tan p k x p y θ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭所以直线AB 恒过定点22,tan p p θ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以由（1）（2）知，当2πθ=时，直线AB 恒过定点()2,0p -，当2πθ≠时直线AB 恒过定点22,tan p p θ⎛⎫- ⎪⎝⎭【解后反思】1、解决直线和圆锥曲线的位置关系问题，一般方法是联系方程解，消元得一元二次方程，利用韦达定理处理.2、求某一角的三角函数值时注意其定义域，必须分类讨论由特殊到一般的思想，可猜测一般结论的正确性.3、研究直线y=kx+b 过一定点问题时，要建立k 、b 关系，而之个关系的建立必须借助αβθ+=为定值入手.。

山东高考理科试题及答案

山东高考理科试题及答案一、数学试题及答案第一部分选择题1.设A是一个小于π的锐角，sinA＝x, 在(π/2,π) 的范围中，A的终边上的坐标（x,y）所确定的点的坐标为（）A. ( -√(1-x^2), -√(1-y^2) )B. ( -√(1-x^2), √(1-y^2) )C. ( √(1-x^2), √(1-y^2) )D. ( √(1-x^2), -√(1-y^2) )答案：A2. 把函数 y=x^2-4x+5 约束在直线 y-2x+1=0 上，则所得函数的转动体的体积为（）A. 12/5B. 24/5C. 36/5D. 48/5答案：B3. 基于Bose-Einstein分布，在绝对温度T下，一单位体积内准费米气体占有因子为1/3。

现有一个占有费米子总数为N的系统，体积为V，分别求准费米气体的总体积和其占有费米子的数目。

（）A. V/8，N/24B. V/6，N/16C. V/4，N/12D. V/3，N/8答案：C第二部分填空题4. 细胞生物的染色体数目与组织细胞数的数学关系是_________ 。

答案：有的细胞是单倍体细胞，有的是多倍体细胞，不同类型的细胞染色体数目是不同的。

5. 物体在竖直向上的抛体运动中，达到最大高度时的速度大小为_________ 。

答案：06. 某弹簧的伸长量与外力的关系近似线性，当外力为2N时，伸长量是5cm，当外力为3N时，伸长量是10cm，则当外力为4N时，伸长量是_________cm。

答案：15第三部分解答题7. 已知函数 f(x)=acos^2(2x+b)+bsin^2(x-a) (a, b为常数)，其中0≤x≤π/4，f(x) 的最大值为2，求 a 与 b 的值。

解答：根据题意：f(x) 的最大值为2，即 a* cos²(2x+b) + b* sin²(x-a) = 2。

由于0 ≤ x ≤ π/4，可取 x = 0，则有 a * cos²(b) + b * sin²(-a) = 2。

普通高等学校招生国统一考试数学理试题山东卷,含答案试题

卜人入州八九几市潮王学校2021年普通高等招生全国统一考试数学理试题〔卷，含答案〕本套试卷分第一卷和第二卷两局部，一共4页，总分值是150分，考试用时120分钟，在在考试完毕之后以后，将本套试卷和答题卡一起交回.本卷须知：黑色座号、准考证号、县区和科类填写上在自己的答题卡和试卷规定的位置上.2.第一卷每一小题在选出答案以后，需要用2B 铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答案不能答在试卷上。

3.第二卷必须用0.5毫米黑色签字笔答题，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来之答案，然后再写上新之答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求答题之答案无效。

4.填空题请直接填写上答案，解答题应写出文字说明、证明过程或者演算步骤. 参考公式：柱体的体积公式：vsh =，其中s 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高.圆柱的侧面积公式：s cl =，其中c 是圆柱的底面周长，l 是圆柱的母线长.球的体积公式V=34R 3π, 其中R 是球的半径.球的外表积公式：S=4πR2,其中R 是球的半径.用最小二乘法求线性回归方程系数公式1221ˆˆˆ,ni ii ni i x y nx ybay bx x nx==-⋅==--∑∑. 假设事件A B 、互斥，那么()()()P A B P A P B +=+.第1卷〔一共60分〕一、选择题：本大题一一共l2小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的。

〔1〕设集合M ={x|x 2+x-6<0}，N ={x|1≤x ≤3},那么M ∩N =〔A 〕[1,2)〔B 〕[1,2]〔C 〕(2,3]〔D 〕[2,3] 〔2〕复数z=22ii-+(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为〔A 〕第一象限〔B 〕第二象限〔C 〕第三象限〔D 〕第四象限〔3〕假设点〔a,9〕在函数3x y =的图象上，那么tan=6a π的值是：〔A 〕0〔B C 〕1〔D (4)不等式|x-5|+|x+3|≥10的解集是〔A 〕[-5,7](B)[-4,6](C)(-∞,-5]∪[7，+∞)〔D 〕(-∞，-4]∪[6,+∞)〔5〕对于函数y=f 〔x 〕，x ∈R ，“y=|f(x)|的图像关于y 轴〞是“y=f 〔x 〕是奇函数〞的〔A 〕充分而不必要条件〔B 〕必要而不充分条件〔C 〕充要条件〔D 〕既不充分也不必要条件〔6〕假设函数()sin f x x ω=(ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，那么ω=〔A 〕3〔B 〕2〔C 〕32〔D 〕23〔7〕某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为〔A 〕6万元〔B 〕6万元〔C 〕6万元〔D 〕72.0万元〔8〕双曲线22221x y a b-=〔a>0,b>0〕的两条渐近线均和圆C ：x 2+y 2-6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，那么该双曲线的方程为〔A 〕22154x y -=〔B 〕22145x y -=〔C 〕221x y 36-= 〔D 〕221x y 63-=〔9〕函数2sin 2xy x =-的图象大致是〔10〕f 〔x 〕是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x ＜2时，f 〔x 〕=x 3-x ，那么函数y=f 〔x 〕的图像在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为〔A 〕6〔B 〕7〔C 〕8〔D 〕9〔11〕右存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如以下列图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如以下列图〔A 〕3〔B 〕2 〔C 〕1〔D 〕0 〔12〕设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，假设1312A A A A λ=(λ∈R)，1412A A A A μ=(μ∈R)，且112λμ+=,那么称3A ，4A 调和分割1A ，2A ,点C(c ，o),D(d ，O)(c ，d∈R)调和分割点A(0，0)，B(1，0)，那么下面说法正确的选项是〔A 〕C 可能是线段AB 的中点〔B 〕D 可能是线段AB 的中点〔C 〕C ，D 可能同时在线段AB 上〔D 〕C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上第II 卷〔一共90分〕二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题4分，一共16分. 〔13〕执行右图所示的程序框图，输入2l=，m=3，n=5，那么输出的y 的值是.(14)假设62a x x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭展开式的常数项为60，那么常数a 的值是.〔15〕设函数()2xf x x =+〔x ＞0〕，观察：f 2(x)=f(f 1〔x 〕)=34xx + f 3(x)=f(f 2〔x 〕)=78xx +f 4(x)=f(f 3〔x 〕)=1516xx +……根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N *且n ≥2时，f m 〔x 〕=f 〔f m-1〔x 〕〕=.〔16〕函数f x （）=log (0a 1).ax x b a +-≠＞，且当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f x （）的零点*0(,1),,n=x n n n N ∈+∈则.三、解答题：本大题一一共6小题，一共74分. 〔17〕〔本小题总分值是12分〕在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.cos A-2cos C 2c-a=cos B b. 〔Ⅰ〕求sin sin CA的值；〔Ⅱ〕假设cosB=14，b=2,求△ABC 的面积S.〔18〕〔本小题总分值是12分〕红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进展围棋比赛，甲对A ，乙对B ，丙对C 各一盘，甲胜A ，乙胜B ，丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果互相HY 。

普通高等学校招生国统一考试数学理试题山东卷,含答案

2021年普通高等招生全国统一考试数学理试题〔卷，含答案〕本套试卷分第一卷和第二卷两局部，一共4页.满分是150分.考试用时120分钟.在在考试完毕之后以后，必须将本套试卷和答题卡一起交回.考前须知：1.在答题之前，所有考生必须用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将本人的姓名、准考证号、县区和科类填写上在答题卡上和试卷规定的位置上.2.第一卷每一小题在选出答案以后，需要用2B 铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.3.第二卷必须用0.5毫米黑色签字笔答题，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来之答案，然后再写上新之答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求答题之答案无效.4.填空题请直接填写上答案，解答题应写出文字说明、证明过程或者演算步骤. 参考公式：锥体的体积公式：13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高. 假如事件,A B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+；假如事件,A B HY ，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅.第I 卷〔一共60分〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.〔1〕假设复数x 满足(2)117z i i -=+〔i 为虚数单位〕，那么z 为〔A 〕35i + 〔B 〕35i - 〔C 〕35i -+ 〔D 〕35i --〔2〕全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}{}1,2,3,2,4A B ==，那么U C A B 为〔A 〕{}1,2,4 〔B 〕{}2,3,4 〔C 〕{}0,2,4 〔D 〕{}0,2,3,4 〔3〕设0a >且1a ≠，那么“函数()x f x a =在R 上是减函数〞，是“函数3()(2)g x a x =-在R 上是增函数〞的〔A 〕充分不必要条件〔B 〕必要不充分条件〔C 〕充分必要条件〔D 〕既不充分也不必要条件〔4〕采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[]1,450的人做问卷A ，编号落入区间[]451,750的人做问卷B ，其余的人做问卷C .那么抽到的人中，做问卷B 的人数为〔A 〕7 〔B 〕 9 〔C 〕 10 〔D 〕15 〔5〕变量,x y 满足约束条件222441x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，那么目的函数3z x y =-的取值范围是〔A 〕3[,6]2- 〔B 〕3[,1]2-- 〔C 〕[1,6]- 〔D 〕3[6,]2- 〔6〕执行下面的程序图，假如输入4a =，那么输出的n 的值是〔A 〕2 〔B 〕3〔C 〕4 〔D 〕5〔7〕假设42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，37sin 2=8θ，那么sin θ= 〔A 〕35 〔B 〕45 〔C 〕74 〔D 〕34〔8〕定义在R 上的函数()f x 满足(6)()f x f x +=.当31x -≤<-时，2()(2)f x x =-+，当13x -≤<时，()f x x =。

山东数学高考理科真题

山东数学高考理科真题2019年山东省高考理科数学试题如下：一、选择题部分1.若集合A={-2，-1，0，1，2}，集合B={1，2，3，4，5}，集合C={1，4，7，10}，则下列命题中正确的是（）。

A.集合A∩B={1，2}B.集合B∩C={4}C.集合A∪C={-2，-1，0，1，2，4，7，10}D.集合A-B={-2，-1，0}【分析】集合A∩B表示A与B的交集，即A和B共同拥有的元素；集合B∩C表示B与C的交集，即B和C共同拥有的元素；集合A∪C表示A与C的并集，即A和C所有的元素。

集合A-B表示A减去B后的结果。

经计算可知，A∩B={2, 1}，B∩C={4}，A∪C={-2, -1, 0, 1, 2, 4, 7, 10}，A-B={-2,-1,0}。

2.设函数f(x)=2x+3，则f（f（2））=（）A.19B.11C.15D.9【分析】首先求f(2)，代入x=2，f(2)=2*2+3=7。

然后再求f(f(2))，将f(2)代入，即f(f(2))=f(7)=2*7+3=17。

所以f(f(2))=17。

3.如图所示，矩形ABCD的顶点A，B，C在椭圆上，矩形的长边AB与y轴平行，矩形的长边长5，短边长3，则椭圆的方程是（）。

A. x^2/9+y^2/4=1B. x^2/4+y^2/9=1C. x^2/3+y^2/4=1D. x^2/4+y^2/3=1【分析】根据题意，矩形的长边长5，短边长3，可以得出AC=5，AD=3。

AC边在椭圆上，即√34+√64=5，则椭圆的方程式为x^2/4+y^2/9=1。

4.已知3<i<8，5<j<10，则（）。

A. i-j>-7B. i+j<5C. ij>36D. i-j<3【分析】i的取值范围在3到8之间，j的取值范围在5到10之间，可以通过取最大和最小值代入来检验。

当i=8，j=10时，有i-j=-2，i+j=18，ij=80，i-j<3，故选D。

(完整word版)山东省高考理科数学试卷及【word版】

2019年高考山东卷理科数学真题及参照答案一．：本大共10 小，每小 5 分，共50 分。

在每小出的四个中，切合目要求的。

1. 已知a, b R, i 是虚数位，若 a i 与2 bi 互共复数，（a2 bi ）（ A）5 4i (B) 5 4i (C) 3 4i (D) 3 4i答案： D2. 会合A { x x 1 2}, B { y y 2x , x [ 0,2]}, A B(A) [0,2] (B) (1,3) (C) [1,3) (D) (1,4)答案： C3. 函数f (x) 1 的定域(log 2 x) 2 1(A)1(B) (2，) (C)1) (D)1) (0， ) (0， ) (2, (0， ] [ 2，2 2 2答案： C4. 用反法明命“ a, b R, 方程 x2 ax b 0 起码有一个根” 要做的假是(A) 方程x2 ax b 0 没有根(B) 方程 x2 ax b 0 至多有一个根(C) 方程x2 ax b 0 至多有两个根(D) 方程 x2 ax b 0 恰巧有两个根答案： A5. 已知数x, y足a x a y (0 a 1) ，以下关系式恒成立的是(A) 11 11(B) ln( x2 1) ln( y 2 1) (C) sin x sin y (D) x3 y3x2 y2答案： D6.直 y 4x 与曲y x2在第一象限内成的封形的面（A）2 2（ B）4 2（C） 2（ D） 4 答案：D7. 了研究某厂的效，取若干名志愿者行床，全部志愿者的舒数据（位：kPa ）的分区[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的序分号第一，第二，⋯⋯，第五，右是依据数据制成的率散布直方，已知第一与第二共有20 人，第三中没有效的有 6 人，第三中有效的人数频次 / 组距0.360.240.160.080 12 13 14 15 16 17 舒张压 /kPa（ A）6 （ B）8 （ C）12 （D） 18答案： C8. 已知函数 f x x 2 1 g x kx .若方程 f x g x 有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是,1 1 （ C）（1，2）（ D）（2，）（ A）（，）（）0 B （，1）2 2答案： B9. 已知x, y知足的拘束条件x - y - 1 0,z ax by(a 0, b 0) 在该拘束条件下获得最小值2x - y - 3当目标函数0,2 5 时，a2 b2的最小值为（ A）5（ B）4（C）5（ D）2答案： B10. 已知a 0, b 0 ,椭圆 C 的方程为 x2 y2 1，双曲线 C 的方程为x2 y2 1 ， C 与 C 的离心率之积为1 a2 b2 2 a2 b2 123，则 C2的渐近线方程为2（ A）x 2 y 0 （B） 2x y 0 （C） x 2y 0（D） 2x y 0答案： A二．填空题：本大题共 5 小题，每题 5 分，共 25 分，答案须填在题中横线上。

山东理数高考真题试题(含答案)

绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学本试卷分第一卷和第二卷两局部，共4页。

总分值150分。

考试用时120分钟。

考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。

考前须知：1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2.第一卷每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。

答案写在试卷上无效。

3. 第二卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式：如果事件A,B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).第一卷〔共50分〕一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合要求的〔1〕假设复数z 满足232i,z z +=-其中i 为虚数单位，那么z =〔A 〕1+2i 〔B 〕1-2i 〔C 〕12i -+〔D 〕12i --〔2〕设集合2{|2,},{|10},x A y y x B x x ==∈=-<R 那么A B =〔A 〕(1,1)-〔B 〕(0,1)〔C 〕(1,)-+∞〔D 〕(0,)+∞〔3〕某高校调查了200名学生每周的自习时间〔单位：小时〕，制成了如下图的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30] .根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是〔A 〕56 〔B 〕60〔C 〕120 〔D 〕140〔4〕假设变量x ，y 满足2,239,0,xy xy x 那么22x y 的最大值是〔A 〕4 〔B 〕9 〔C 〕10 〔D 〕12〔5〕一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如下图.那么该几何体的体积为〔A 〕1233+π〔B 〕1233+π〔C 〕1236+π〔D 〕216+π 〔6〕直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.那么“直线a 和直线b 相交〞是“平面α和平面β相交〞的〔A 〕充分不必要条件〔B 〕必要不充分条件学.科.网〔C 〕充要条件〔D 〕既不充分也不必要条件〔7〕函数f 〔x 〕=〔3sin x +cos x 〕〔3cos x –sin x 〕的最小正周期是〔A 〕2π〔B 〕π 〔C 〕23π〔D 〕2π 〔8〕非零向量m ，n 满足4│m │=3│n │，cos<m ，n >=13.假设n ⊥〔t m +n 〕，那么实数t 的值为〔A 〕4 〔B 〕–4 〔C 〕94〔D 〕–94〔9〕函数f (x )的定义域为R .当x <0时，3()1f x x =-；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=- .那么f (6)= 〔A 〕−2〔B 〕−1〔C 〕0〔D 〕2〔10〕假设函数y =f (x )的图象上存在两点，学科.网使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，那么称y =f (x )具有T 性质.以下函数中具有T 性质的是〔A 〕y =sin x 〔B 〕y =ln x 〔C 〕y =e x 〔D 〕y =x 3第二卷〔共100分〕二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分。

全国高考理科数学试卷真题(山东)参考答案解析

全国高考试卷真题(山东) 理科数学参考答案1．C 【解析】2{|430}{|13},(2,3)A x x x x x AB =-+<=<<=．2．A 【解析】2(1)1,1z i i i i i z i =-=-+=+=-．3．B 【解析】sin 4()12y x π=-，只需将函数sin 4y x =的图像向右平移12π个单位． 4．D 【解析】由菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=可知18060120BAD ∠=-=，2223()()cos1202BD CD AD AB AB AB AD AB a a a a ⋅=-⋅-=-⋅+=-⋅+=．5．A 【解析】当1x <时，1(5)42x x ---=-<成立；当15x ≤<时，1(5)262x x x ---=-<，解得4x <，则14x ≤<；当5x ≥时，1(5)42x x ---=<不成立.综上4x <． 6．B 【解析】由z ax y =+得y ax z =-+，借助图形可知：当1a -≥，即1a ≤-时在0x y ==时有最大值0，不符合题意；当01a ≤-<，即10a -<≤时在1x y ==时有最大值14,3a a +==，不满足10a -<≤；当10a -<-≤，即01a <≤时在1x y ==时有最大值14,3a a +==，不满足01a <≤；当1a -<-，即1a >时在2,0x y ==时有最大值24,2a a ==，满足1a >．7．C 【解析】2215121133V πππ=⋅⋅-⋅⋅=． 8．B 【解析】1(36)(95.44%68.26%)13.59%2P ξ<<=-=．9．D 【解析】(2,3)--关于y 轴对称点的坐标为(2,3)-，设反射光线所在直线为3(2)y k x +=-，即230kx y k ---=，则1d ==，|55|k +=解得43k =-或34-．10．C 【解析】由()(())2f a f f a =可知()1f a ≥，则121aa ≥⎧⎨≥⎩或1311a a <⎧⎨-≥⎩，解得23a ≥．11．14n 【解析】具体证明过程可以是：0121012121212121212121211(2222)2n n n n n n n n n n C C C C C C C C ----------++++=++++021122223121212121212121211[()()()()]2n n n n nn n n n n n n n C C C C C C C C ------------=++++++++ 01212121121212121212111()2422n n n n n n n n n n n C C C C C C ----------=+++++++=⋅=． 12．1【解析】“[0,]4x π∀∈，tan x m ≤”是真命题，则tan14m π≥=，于是实数m 的最小值为1。

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2014年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
理科数学
本试卷分第Ｉ卷和第II 卷两部分，共4页。

满分150分，考试用时120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：
１. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

２. 第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如果改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号、答案写在试卷上无效。

３. 第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

４. 填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

参考公式：
如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）已知,a b R ∈，i 是虚数单位，若a i -与2bi +互为共轭复数，则2
()a bi += （A ）54i -（B ）54i +（C ）34i -（D ）34i +
（2）设集合{||1|2}A x x =-<，{|2,[0,2]}x
B y y x ==∈，则A B =I （A ）[0,2]（B ）(1,3)（
C ）[1,3)（
D ）(1,4) （3
）函数()f x =
（A ）1
(0,)2（B ）(2,)+∞（C ）1(0,)(2,)2+∞U （D ）1(0,][2,)2
+∞U
（4）用反证法证明命题：“已知,a b 为实数，则方程20x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是
（A ）方程20x ax b ++=没有实根（B ）方程20x ax b ++=至多有一个实根学科网
（C ）方程20x ax b ++=至多有两个实根（D ）方程20x ax b ++=恰好有两个实根（5）已知实数,x y 满足x y a a <（01a <<），则下列关系式恒成立的是（A ）
22
1111
x y >++（B ）22
ln(1)ln(1)x y +>+ （C ）sin sin x y >（D ）2
2
x y >
（6）直线4y x =与曲线3
y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（A ）22（B ）42（C ）2（D ）4
（7）为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，
[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一
组，第二组，......，第五组.右图是根据试验数据制
成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为
（A ）1（B ）8（C ）12（D ）18
（8）已知函数()|2|1f x x =-+，()g x kx =，若()()f x g x =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是
（A ）1
(0,)2（B ）1(,1)2
（C ）(1,2)（D ）(2,)+∞
（9）已知,x y 满足约束条件10,
230,x y x y --≤⎧⎨--≥⎩
当目标函数(0,0)z ax by a b =+>>在该约束
条件下取到最小值25时，22a b +的最小值为（A ）5（B ）4（C ）5（D ）2
（10）已知a b >，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22
221x y a b -=，1C 与
2C 的离心率之积为
3
2
，则2C 的渐近线方程为学科网
（A ）20
x y ±=（B ）20x y ±=（C ）20x y ±=（D ）20x y ±=
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分
（11）执行右面的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的n 的值为 .
（12）在ABC ∆中，已知tan AB AC A ⋅=u u u r u u u r ，当6
A π
=时，ABC ∆的面积为 .
（13）三棱锥P ABC -中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D ABE -的体积为1V ，P ABC -的体积为2V ，则
1
2
V V = . （14）若24()b
ax x
+的展开式中3x 项的系数为20，则22a b +的最小值为 . （15）已知函数()()y f x x R =∈.对函数()()y g x x I =∈，定义()g x 关于()f x 的“对称函数”为()()y h x x I =∈，()y h x =满足：对任意x I ∈，两个点(,())x h x ，(,())x g x 关于点(,())x f x 对称.若()h x 是2()4g x x =
-()3f x x b =+的“对称函数”
，且()()h x g x >恒成立，则实数b 的取值范围是 .
三、解答题：本大题共6小题，共75分. （16）（本小题满分12分）
已知向量(,cos 2)a m x =r ，(sin 2,)b x n =r ，设函数()f x a b =⋅r r
，且()y f x =的图象过点
(3)12π和点2(,2)3
π
-.
（Ⅰ）求,m n 的值；
（Ⅱ）将()y f x =的图象向左平移ϕ（0ϕπ<<）个单位后得到函数()y g x =的图象.若()y g x =的图象上各最高点到点(0,3)的学科网距离的最小值为1，求()y g x =的单调增区间.
（17）（本小题满分12分）
如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是等腰梯形，60DAB ∠=o ，
22AB CD ==，M 是线段AB 的中点.
（Ⅰ）求证：111//C M A ADD ；
（Ⅱ）若1CD 垂直于平面ABCD 且13CD =，求平面11C D M 和平面ABCD 所成的角（锐角）的余弦值.
（18）（本小题满分12分）
乒乓球台面被网分成甲、乙两部分，如图，
甲上有两个不相交的区域,A B ，乙被划分为两个不相交的区域,C D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在C 上记3分，在D 上记1分，其它情况记0分.对落点在A 上的来球，小明回球的落点在C 上的概率为1
2
，在D 上的概率为
13；对落点在B 上的来球，小明回球的落点在C 上的概率为15，在D 上的概率为35
.假设共有两次来球且落在,A B 上各一次，小明的两次回球互不影响.求：（Ⅰ）小明的两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；（Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望.
（19）（本小题满分12分）
已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且124,,S S S 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令1
1
4(1)
n n n n n
b a a -+=-，求数列{}n b 的前n 项和n T . （20）（本小题满分13分）
设函数22
()(ln )x e f x k x x x
=-+（k 为常数， 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数）.
（Ⅰ）当0k ≤时，求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若函数()f x 在(0,2)内存在两个极值点，求k 的取值范围.
（21）（本小题满分14分）
已知抛物线2
:2(0)C y px p =>的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，学科网交x 轴的正半轴于点D ，且有||||FA FD =.当点A 的横坐标为3时，ADF ∆为正三角形. （Ⅰ）求C 的方程；
（Ⅱ）若直线1//l l ，且1l 和C 有且只有一个公共点E ，（ⅰ）证明直线AE 过定点，并求出定点坐标；
（ⅱ）ABE ∆的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.。