高考数学理科二轮经典重点题型综合训练3(含答案)
高中高三数学三轮复习第二次综合测试 理 试题(共7页)
示范性高中罗山高中09届高三三轮(sān lún)复习第二次综合测试〔数学理〕第一卷〔选择题，一共60分〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。
1. 在复平面上，复数对应的点到原点的间隔是〔〕A. 1B.C. 2D.2. 函数的反函数为，假设，那么x的取值范围是〔〕A. B. C. (2,)D. 〔－2，2〕3. △ABC满足，那么△ABC一定是〔〕A. 等边三角形B. 斜三角形C. 等腰直角三角形D. 直角三角形4. 函数的图象的大致形状是〔〕5. 设，那么S等于〔〕A. B. C. D.6. 等比数列前n项的积为，假设是一个确定的常数，那么数列中也是常数的项是〔〕A. B. C. D.7. 假设(jiǎshè)，那么的值是〔〕A. B. C. D.8. 双曲线的左焦点为F1，左、右顶点分别为A1、A2，P是双曲线右支上的一点，那么分别以PF1和A1A2为直径的两圆的位置关系是〔〕A. 相交B. 相离C. 相切D. 内含9. 如图，在棱长为的正方体ABCD－A/B/C/D/中，P为A/D/的中点，Q为A/B/上任意一点，E、F为CD上任意两点，且EF的长为定值，那么下面的四个值中不为定值的是〔〕A. 点P到平面QEF的间隔B. 直线PQ与平面PEF所成角C. 二面角P－EF－Q的大小D. 三棱锥P－QEF的体积10. 设函数为偶函数，且对于任意正实数x满足，，那么的值是〔〕A. 2B. －2C. 1D. －111. 从－3，－2，－1，0，1，2，3，4这8个数中任选3个不同的数组成二次函数的系数a、b、c，那么可确定坐标原点在抛物线内部的抛物线的概率是〔〕A. B. C. D.f x在内可导，且，那么(nà()me)曲线在点处切线的斜率为〔〕A. 2B. －2C. 1D. －1第二卷〔非选择题，一共90分〕二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分。
2019-2020年高三第二次统练 理科数学 含解析
2019-2020年高三第二次统练 理科数学 含解析一、选择题.共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.已知集合{}{}034,232≥+-∈=<<-∈=x x x B x x A R R ,则 A.B.C.D.【答案】A因为，所以,选A. 2.复数 A.B. C. D.【答案】B ,选B.3.在极坐标系中,直线的方程为,则点到直线的距离为 A. B. C. D. 【答案】B由得，即直线方程为。
中，对应的直角坐标为 ，即直角坐标为。
所以点到直线的距离为，选B.4.执行如图所示的程序框图,A. B. C.4 D.5【答案】A第一次运行，满足条件循环。
第二次运行，满足条件循环。
第三次运行，满足条件循环。
第四次运行，满足条件循环。
此时不满足条件，输出，选A.5.已知数列中,,等比数列的公比满足,且,则 A. B. C. D. 【答案】B 因为，，所以，所以，即是公比为4的等比数列，所以，选B.6.设变量满足约束条件则的取值范围是 A. B. C.D.【答案】C设，则。
做出可行域如图，平移直线，由图象可知当直线经过点B 时，直线截距最大，此时z 最小。
当经过点C 时，直线的截距最小，此时z 最大。
直线2x+y-4=0与x+2y-2=0交于点C （2，0），代入直线得。
直线4x-y+1=0与2x+y-4=0交于点B.代入直线得。
所以，即，即，所以的取值范围是，选C.7.已知正三角形的边长为1,点是边上的动点,点是边上的动点,且,则的最大值为 A. B. C. D. 【答案】D()()[(1)]()BQ CP BA AQ CA AP BA AC CA AB λλ⋅=+⋅+=+-⋅+u u u r u u r u u r u u u r u u r u u u r u u r u u u r u u r u u u r 22(1)(1)AB AC AB AC AB AC λλλλ=⋅-+-+-⋅uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r,，所以当时，的最大值为，选D.8.设,若直线与轴相交于点,与轴相交于点,且坐标原点到直线的距离为,则的面积的最小值为 A. B.2 C.3 D.4 【答案】C由题意知。
2020—2021年最新高考总复习数学(理)第二次综合测试试题及答案解析.docx
2,1k S ==5?k < 2018-2019学年度高三年级第二次综合练习数学试卷（理工类）2018．5 （考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合{}124x A x =<<，{}10B x x =-≥，则A B I ＝A ．{}12x x ≤<B ．{}01x x <≤C ．{}01x x <<D ．{}12x x << 2．复数i1iz =-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限 D ．第四象限 3．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为A ．6B ．10C ．14D ．15 4．已知非零向量a ，b ，“a ∥b ”是 “a ∥()+a b ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．同时具有性质:“①最小正周期是π； ②图象关于直线3x π=对称；③在区间5,6π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦上是单调递增函数”的一个函数可以是A ．cos()26x y π=+B ．sin(2)6y x 5π=+C ．cos(2)3y x π=-D ．sin(2)6y x π=- 6．已知函数1,2,()2log ,2a x x f x x x -≤⎧=⎨+>⎩(0a >且1)a ≠的最大值为1,则a 的取值范围是A ．112[,)B ．01(,)C ．102(,] D ．1(,)+∞7．某学校高三年级有两个文科班，四个理科班，现每个班指定1人，对各班的卫生进行检查．若每班只安排一人检查，且文科班学生不检查文科班，理科班学生不检查自己所在的班，则不同安排方法的种数是A ．48B ．72C ．84D ．1688．已知正方体1111A B C D A B C D -的棱长为2，E 是棱11D C 的中点，点F 在正方体内部或正方体的表面上，且EF ∥平面11A BC ，则动点F 的轨迹所形成的区域面积是 A ．92B ．23C ．33D ．42第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．双曲线22:13x C y -=的渐近线方程是；若抛物线22(0)y px p =>的焦点与双曲线C 的一个焦点重合，则p =．10．如图，P 为⊙O 外一点，PA 是⊙O 的切线，A 为切点，割线PBC与⊙O 相交于,B C 两点，且3PC PA =，D 为线段BC 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点E ．若1PB =，则PA 的长为______；AD DE ⋅的值是．11．已知等边ABC ∆的边长为3，D 是BC 边上一点，若1BD =，则AC AD ⋅uuu r uuu r的值是______．12．已知关于,x y 的不等式组0,,2,2x y x x y x y k≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪-≥⎩所表示的平面区域D 为三角形区域，则实数k 的取值范围是．13．为了响应政府推进“菜篮子”工程建设的号召，某经销商投资60万元建了一个蔬菜生产基地.第一年支出各种费用8万元，以后每年支出的费用比上一年多2万元.每年销售蔬菜的收入为26万元.设()f n 表示前n 年的纯利润（()f n =前n 年的总收入－前n 年的总费用支出－投资额），则()f n =（用n 表示）；从第年开始盈利.14．在平面直角坐标系O x y 中，以点A (2,0)，曲线21y x =-上的动点B ，第一象限内的点C ，构成等腰直角三角形ABC ,且90A ∠=︒，则线段OC 长的最大值是．E CO DBA P三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13分）在ABC∆中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知1 cos23A=-，3,sin6sinc A C==．(Ⅰ)求a的值；(Ⅱ) 若角A为锐角，求b的值及ABC∆的面积．16．（本小题满分13分）交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映某区域道路网在某特定时段内畅通或拥堵实际情况的概念性指数值．交通指数范围为(010)，，五个级别规定如下：交通指数(0,2)[2,4)[4,6)[6,8)[8,10)级别畅通基本畅通轻度拥堵中度拥堵严重拥堵某人在工作日上班出行每次经过的路段都在同一个区域内，他随机记录了上班的40个工作日早高峰时段(早晨7点至9点)的交通指数(平均值)，其统计结果如直方图所示．（Ⅰ）据此估计此人260个工作日中早高峰时段（早晨7点至9点）中度拥堵的 天数；（Ⅱ）若此人早晨上班路上所用时间近似为： 畅通时30分钟，基本畅通时35分钟， 轻度拥堵时40分钟，中度拥堵时50 分钟，严重拥堵时70分钟，以直方图 中各种路况的频率作为每天遇到此种路况的概率，求此人上班路上所用时间X 的数学期望．17．（本小题满分14分）如图1，在等腰梯形ABCD 中，//BC AD ，122BC AD ==，60A ∠=︒，E 为AD 中点，点,O F 分别为,BE DE 的中点．将ABE ∆沿BE 折起到1A BE ∆的位置，使得平面1A BE ⊥平面BCDE （如图2）． （Ⅰ）求证：1A O CE ⊥；（Ⅱ）求直线1A B 与平面1A CE 所成角的正弦值；（Ⅲ）侧棱1A C 上是否存在点P ，使得//BP 平面1A OF ? 若存在，求出11A PA C的值；若不存在，请说明理由．18．（本小题满分13分）已知函数21()(1)1)ln 2f x x a x a x =-+++-（，a ∈R ． （Ⅰ）当3a =时，求曲线:()C y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）当[]1,2x ∈时，若曲线:()C y f x =上的点(,)x y 都在不等式组12,,32x x y y x ⎧⎪≤≤⎪≤⎨⎪⎪≤+⎩所表示的平面区域内，试求a 的取值范围．19．（本小题满分14分）在平面直角坐标系O x y 中，点000(,)(0)P x y y ≠在椭圆:C 2212x y +=上，过点P的直线l 的方程为0012x xy y +=． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）若直线l 与x 轴、y 轴分别相交于,A B 两点，试求OAB ∆面积的最小值；（Ⅲ）设椭圆C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，点Q 与点1F 关于直线l 对称，求证：点2,,Q P F三点共线．20．（本小题满分13分）已知集合311,(22n S k k k n *⎧⎫-⎪⎪=≤≤∈≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭N ，且)n *∈N ．若存在非空集合12,,,nS S S L ，使得12nS S S S =U UL U ，且(1,,)i j S S i j n i j =∅≤≤≠I ，并,(1,2,,),i x y S i n x y∀∈=>L ，都有i x y S -∉，则称集合S 具有性质P ，iS （1,2,,i n =L ）称为集合S 的P 子集．（Ⅰ）当2n =时，试说明集合S 具有性质P ，并写出相应的P 子集 S 1,S 2； （Ⅱ）若集合S 具有性质P ，集合T 是集合S 的一个P 子集，设{3|}n T s s T '=+∈，求证：,x y T T '∀∈U ，x y >，都有x y T T '-∉U ； （Ⅲ）求证：对任意正整数2n ≥，集合S 具有性质P ．数学答案（理工类）一、选择题：（满分40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ABBCDADC二、填空题：（满分30分） 题号 9 101112 13 14答案33y x =±，4 3，16 6(,2][0,1)-∞-U 21960n n -+-,5221+（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答题：（满分80分） 15．（本小题满分13分） 解：(Ⅰ) 因为21cos 212sin 3A A =-=-，且0A <<π， 所以6sin 3A =．因为3,sin 6sin c A C ==，由正弦定理sin sin a cA C=，得66332a c =⋅=⨯=．…………………6分(Ⅱ) 由6sin ,032A A π=<<得3cos 3A =． 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得22150b b --=． 解得5b =或3b =-（舍负）． 所以152sin 22ABC S bc A ∆==． (13)分解: （Ⅰ）由已知可得：上班的40个工作日中早高峰时段中度拥堵的频率为0.25，据此估计此人260个工作日早高峰时段（早晨7点至9点）中度拥堵的天数为260×0.25=65天. ……………………………………………………5分（Ⅱ）由题意可知X 的可能取值为30,35,40,50,70． 且(30)0.05P X ==；(35)0.10P X ==；(40)0.45P X ==；(50)0.25P X ==；(70)0.15P X ==；所以300.05+350.1+400.45+500.25+700.15=46EX =⨯⨯⨯⨯⨯．…………………………………13分17．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）如图1，在等腰梯形ABCD 中， 由//BC AD ，122BC AD ==，60A ∠=︒，E 为AD 中点，所以ABE ∆为等边三角形．如图2,因为O 为BE 的中点，所以1A O BE ⊥． 又因为平面1A BE ⊥平面BCDE ， 且平面1A BE I 平面BCDE BE =，所以1AO ⊥平面BCDE ，所以1A O CE ⊥．………4分（Ⅱ）连结OC ，由已知得CB CE =，又O 为BE 的中点， 图2所以OC BE ⊥．由（Ⅰ）知1AO ⊥平面BCDE ， 所以11,A O BE A O OC ⊥⊥， 所以1,,OA OB OC 两两垂直．以O 为原点，1,,OB OC OA 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系（如图）．因为2BC =，易知13OA OC ==． 所以1(003),(100),(030),(100)A B C E -，，，，，，，，，所以111(103),(033),(103)A B AC A E =-=-=--u u u r u u u r u u u r，，，，，，． 设平面1A CE 的一个法向量为(,,)x y z =n ，由110,0 AC A E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u r n n 得330, 30.y z x z ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩即0, 30. y z x z -=⎧⎪⎨+=⎪⎩取1z =，得(3,1,1)=-n ．设直线1A B 与平面1A CE 所成角为θ，则133315sin cos ,5255A B θ--=〈〉===⨯u u u rn ．所以直线1A B 与平面1A CE 所成角的正弦值为155． (9)分（Ⅲ）假设在侧棱1A C 上存在点P ，使得//BP 平面1A OF ．设11A P AC λ=u u u r u u u r ，[0,1]λ∈．因为1111BP BA A P BA AC λ=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r， 所以(103)(033)(1,3,33)BP λλλ=-+-=--u u u r，，，，．易证四边形BCDE 为菱形，且CE BD ⊥，又由（Ⅰ）可知，1A O CE ⊥，所以CE ⊥平面1A OF ．所以(1,3,0)CE =--u u u r为平面1A OF的一个法向量．由(1,3,33)(1,3,0)130BP CE λλλ⋅=--⋅--=-=u u u r u u u r，得1[0,1]3λ=∈．所以侧棱1A C 上存在点P ，使得//BP 平面1A OF ，且1113A P A C =． …………14分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当3a =时, 21()42ln 2f x x x x =-+-，0x >．2()4f x x x'=-+-． 则(1)1421f '=-+-=，而17(1)422f =-+=．所以曲线C 在点(1,(1)f )处的切线方程为712y x -=-，即2250x y -+=． …………………………………………………………………………4分（Ⅱ）依题意当[]1,2x ∈时，曲线C 上的点(),x y 都在不等式组12,,32x x y y x ⎧⎪≤≤⎪≤⎨⎪⎪≤+⎩所表示的平面区域内，等价于当12x ≤≤时，3()2x f x x ≤≤+恒成立．设()()g x f x x =-211)ln 2x ax a x （=-++-，[]1,2x ∈． 所以21(1)()=+=a x ax a g x x a+x x ---++-'(1)(1))=x x a x---(-．（1）当11a -≤，即2a ≤时，当[]1,2x ∈时，()0g x '≤，()g x 为单调减函数，所以(2)()(1)g g x g ≤≤．依题意应有131,222221ln20,()()()g a g a a ⎧=-≤⎪⎨⎪=-++-≥⎩ 解得21a a ,.≤⎧⎨≥⎩所以12a ≤≤． （2）若112a <-<，即23a <<时，当[)1,1x a ∈-，()0g x '≥，()g x 为单调增函数，当x ∈(]1,2a -，()0g x '<，()g x 为单调减函数．由于3(1)2g >，所以不合题意．（3）当12a -≥，即3a ≥时，注意到15(1)22g a =-≥，显然不合题意．综上所述，12a ≤≤．…………………………………………13分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）依题意可知2a =，211c =-=，所以椭圆C 离心率为1222e ==．…………… 3分 （Ⅱ）因为直线l 与x 轴，y 轴分别相交于,A B 两点，所以000,0x y ≠≠． 令0y =，由0012x xy y +=得02x x =，则02(,0)A x ． 令0x =，由0012x xy y +=得01y y =，则01(0,)B y ．所以OAB ∆的面积0000112122OAB S OAOB x y x y ∆===．因为点00(,)P x y 在椭圆:C 2212x y +=上，所以220012x y +=．所以2002001222x y x y =+≥．即0022x y ≤，则0012x y ≥． 所以001122OAB S OA OB x y ∆==≥． 当且仅当22002x y =，即0021,2x y =±=±时，OAB ∆面积的最小值为2． …9分（Ⅲ）①当00x =时，(0,1)P ±．当直线:1l y =时，易得(1,2)Q -，此时21F P k =-，21F Q k =-．因为22F Q F P k k =，所以三点2,,Q P F 共线．同理，当直线:1l y =-时，三点2,,Q P F 共线．②当00x ≠时，设点(,)Q m n ，因为点Q 与点1F 关于直线l 对称，所以000011,22202() 1.1212x m n y n x m y -⎧⋅+⋅=⎪⎪⎪⎨-⎪⋅-=--⎪+⎪⎩整理得000000240,220.x m y n x y m x n y +--=⎧⎨-+=⎩解得220002200000220044,448.4x x y m y x x y y n y x ⎧+-=⎪+⎪⎨+⎪=⎪+⎩所以点22000000222200004448(,)44x x y x y y Q y x y x +-+++． 又因为200(1,)F P x y =-u u u u r ，220000002222200004448(1,)44x x y x y y F Q y x y x +-+=-++u u u u r ，且 22200000000000002222220000004448(48)(48)(1)(1)(1)444x x y x y y x y x x y x y y x y x y x +-+--+--⋅-⋅-=⋅+++2200000220048(448)4x y x x y y x --+-=⋅+ 222200000002222220000008484(2)84280444y x y x y y y y x y x y x --+-++-⨯+=⋅=⋅=⋅=+++． 所以2//F P u u u u r 2F Q u u u u r．所以点2,,Q P F 三点共线．综上所述，点2,,Q P F 三点共线． …………………………………14分20．（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）当2n =时，{1,2,3,4}S =，令1{1,4}S =，2{2,3}S =,则12S S S =U , 且对,(1,2),i x y S i x y ∀∈=>，都有i x y S -∉，所以S 具有性质P ．相应的P 子集为1{1,4}S =，2{2,3}S =． …………3分（Ⅱ）①若31,(1)2n x y T y x -∈≤<≤,由已知x y T -∉, 又31132n n x y --≤-<,所以x y T '-∉．所以'x y T T -∉U ． ②若,x y T '∈,可设3,3nnx s y r =+=+，,r s T ∈,且3112n r s -≤<≤，此时31(3)(3)132n nnn x y s r s r --=+-+=-≤-<．所以'x y T -∉，且x y s r T -=-∉．所以x y T T '-∉U ． ③若y T ∈,3n x s T '=+∈,s T ∈，则313331(3)()3(1)3222n n n nnnx y s y s y -+--=+-=-+≥-+=>, 所以x y T -∉． 又因为,y T s T∈∈，所以s y T-∉．所以(3)()3n n x y s y s y T '-=+-=-+∉．所以'x y T T -∉U ．综上，对于,'x y T T ∀∈U ，x y >，都有'x y T T -∉U ． …………… 8分（Ⅲ）用数学归纳法证明．（1）由（Ⅰ）可知当2n =时，命题成立，即集合S 具有性质P ．（2）假设n k =(2k ≥)时，命题成立．即1231{1,2,3,,}2k k S S S S -==L U UL U ， 且(1,,)i j S S i j n i j =∅≤≤≠I ，,(1,2,,),i x y S i k x y ∀∈=>L ，都有i x y S -∉．那么当1n k =+时，记{3|}k i i S s s S '=+∈,，并构造如下 k +1个集合：111S S S '''=U ,222S S S '''=U ,,k k k S S S '''=U ，1313131{1,2,,21}222k k k k S +---''=++⨯+L ，显然()i j S S i j ''''=∅≠I ．又因为131313122k k +--=⨯+，所以112131{1,2,3,,}2k k k S S S S ++-''''''''=U UL U U L ． 下面证明 ¢¢S i 中任意两个元素之差不等于 ¢¢S i 中的任一元素(1,2,,1)i k =+L ．①若两个元素13131,22k k k r s S +--''++∈,31112k r s -≤<≤+, 则313131()()222k k k s r s r ---+-+=-≤, 所以13131()()22k k k s r S +--''+-+∉． ②若两个元素都属于i i i S S S '''=U (1)i k ≤≤,由（Ⅱ）可知，i S ''中任意两个元素之差不等于i S ''中的任一数(1,2,,1)i k =+L ．从而，1n k =+时命题成立．综上所述，对任意正整数2n ≥，集合S 具有性质P ．………………………13分。
2020高考数学(理科)二轮专题复习课标通用版 跟踪检测： 专题3 数列 第1部分 专题3 第2讲
合上式，所以 an＝Error!
答案 an＝Error!
1
1
8．(2019·广东深圳适应性考试)在数列{an}中，a1＝2 019，an＋1＝an＋nn＋1(n∈N*)，
2n ＝n2＋1－2n.故选 A
项．
3．1－4＋9－16＋…＋(－1)n＋1n2＝( )
nn＋1 A． 2
nn＋1 B．－ 2
nn＋1 C．(－1)n＋1 2
D．以上均不正确
C 解析 当 n 为偶数时，1－4＋9－16＋…＋(－1)n＋1n2＝－3－7－…－(2n－1)＝－
n 3＋2n－1 2
nn＋1
2 ＝－ 2 ；当 n 为奇数时，1－4＋9－16＋…＋(－1)
n－1 [3＋2n－1－1]
2
nn＋1
n＋1n2＝－3－7－…－[2(n－1)－1]＋n2＝－
2
＋n2＝ 2 .综上可得，原
nn＋1 式＝(－1)n＋1 2 .故选 C 项．
4．已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝an－1(a≠0)，则{an}( )
2×3 3 4
n n＋1
则 3Tn＝ 30 ＋30＋31＋…＋3n－3＋3n－2，②
1 1－
3n－1
( ) 1 1
1 n＋1
1 n＋1 15
1＋ ＋ ＋…＋
1－
②－①得 2Tn＝6＋ 3 32
3n－2 －3n－1＝6＋ 3 －3n－1＝ 2 －
2n＋5
2·3n－1.
2020版高考数学总复习 综合试题(三)理(含解析)新人教A版
综合试题(三)理科数学 【p 327】 时间：60分钟 总分：100分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．某市对大、中、小学生的视力进行抽样分析，其中大、中、小学生的人数比为2∶3∶5，若采用分层抽样的方法抽取一个样本，且中学生中被抽到的人数为150，则抽取的样本容量n 等于( )A ．1 500B ．1 000C ．500D ．150【解析】设抽到的大、中、小学生的人数分别为2x ，3x ，5x ，由3x ＝150，得x ＝50，所以n ＝100＋150＋250＝500.【答案】C2．在等差数列{a n }中，S 10＝4S 5，则a 1d＝( )A .12B ．2C .14D ．4【解析】由等差数列的前n 项和公式可知 S 10＝10a 1＋10×92d ，S 5＝5a 1＋5×42d ，因为S 10＝4S 5，所以10a 1＋10×92d ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫5a 1＋5×42d ， 化简得a 1d ＝12.【答案】A3．已知⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x n的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中x 的系数为( )A ．5B ．10C ．20D ．40【解析】因为二项展开式的各项系数和C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n＝32，所以n ＝5，又二项展开式的通项为T r ＋1＝C r n(x 2)r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x n －r＝C r n x 3r －n，令3r －5＝1得r ＝2，所以二项展开式中x 的系数为C 25＝10. 【答案】B4．函数f(x)＝⎩⎨⎧4－x 2－2（－2≤x<0），|x 2－x|（0≤x≤2）的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为( )A ．5－πB ．1＋πC ．π－3D ．1－π【解析】函数f(x)＝⎩⎨⎧4－x 2－2（－2≤x<0），|x 2－x|（0≤x≤2）的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为－⎠⎛－20(4－x 2－2)d x ＋⎠⎛01(x －x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－x)d x ＝4－14π×4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－13x 3|10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－12x 2|21＝4－π＋16＋83－2＋16＝5－π. 【答案】A5．体积为43π的球O 放置在棱长为4的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1上，且与上表面A 1B 1C 1D 1相切，切点为该表面的中心，则四棱锥O －ABCD 的外接球的半径为( )A .103B .3310C ．2D .236【解析】∵球O 的体积为43π，球O 的半径为1，四棱锥O －ABCD 的外接球的半径为R ，则R 2＝(4＋1－R)2＋(22)2，解得R ＝3310.【答案】B6．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1()a>0，b>0的左、右焦点，点P 为双曲线C 右支上一点，直线PF 1与圆x 2＋y 2＝a 2相切，且||PF 2＝||F 1F 2，则双曲线C 的离心率为( )A .103B .43C .53D ．2 【解析】设PF 1与圆相切于点M ，则因为||PF 2＝||F 1F 2， 所以△PF 1F 2为等腰三角形，所以||F 1M ＝14||PF 1，又因为在直角△F 1MO 中，||F 1M 2＝||F 1O 2－a 2＝c 2－a 2， 所以||F 1M ＝b ＝14||PF 1，①又||PF 1＝||PF 2＋2a ＝2c ＋2a ，② c 2＝a 2＋b 2，③故由①②③得，e ＝c a ＝53.【答案】C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将各小题的结果填在题中横线上．) 7．若复数z ＝(1＋m i )(2－i )(i 是虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为__________． 【解析】z ＝(1＋m i )(2－i )＝2－i ＋2m i －m i 2＝2＋m ＋(2m －1)i ，因为z 是纯虚数，所以2＋m ＝0，m ＝－2.【答案】－28．已知向量b 为单位向量，向量a ＝(1，1)，且|a －2b |＝6，则向量a ，b 的夹角为________．【解析】因为b 为单位向量，向量a ＝(1，1)，所以|a |＝2，|b |＝1，因为|a －2b |＝6⇒a 2－22a ·b ＋2b 2＝6，即2－22a ·b ＋2＝6⇒a ·b ＝－22，所以向量a ，b 的夹角为cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－12，所以向量a ，b 的夹角为2π3.【答案】2π39．已知函数f (x )＝2sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π4，则f (x )的最小值为________．【解析】f (x )＝2sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x ＝12sin 2x ＋3sin 2x ＝12sin 2x ＋3×1－cos 2x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋32.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34π，∴2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，76π，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的最小值为－32，f (x )的最小值为－32＋32＝0. 【答案】010．在四边形ABCD 中，AB ＝7，AC ＝6，cos ∠BAC ＝1114，CD ＝6sin ∠DAC ，则BD 的最大值为________．【解析】由CD ＝6sin ∠DAC ，可得CD ⊥AD ，所以点D 在以AC 为直径的圆上(去掉A ，B ，C )，所以当BD 经过AC 的中点O 时取最大值，OB 2＝32＋72－2×3×7cos ∠BAC ＝25，解得OB＝5，所以BD 的最大值＝5＋12AC ＝8.【答案】8三、解答题(本大题共3小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)11．(16分)已知函数f(x)＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12，g(x)＝1＋12sin 2x.(1)设x ＝x 0是函数y ＝f(x)图象的一条对称轴，求g(x 0)的值； (2)求函数h(x)＝f(x)＋g(x)的单调递增区间．【解析】(1)由题设知f(x)＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.因为x ＝x 0是函数y ＝f(x)图象的一条对称轴， 所以2x 0＋π6＝k π，即2x 0＝k π－π6(k∈Z )．所以g (x 0)＝1＋12sin 2x 0＝1＋12sin ⎝⎛⎭⎪⎫k π－π6.当k 为偶数时，g (x 0)＝1＋12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝1－14＝34，当k 为奇数时，g (x 0)＝1＋12sin π6＝1＋14＝54.(2)h (x )＝f (x )＋g (x )＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1＋12sin 2x＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋sin 2x ＋32＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos 2x ＋12sin 2x ＋32 ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋32.当2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，即k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )时，函数h (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋32是增函数， 故函数h (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )．12．(16分)2018国庆黄金周，国内出游人数达7.26亿，再创历史新高，全国各地景区人满为患，高速公路成为停车场．为解决人们假期出游问题，专家呼吁企业施行带薪休假，错峰出行．为了解企业对带薪休假方案的意见，某调查机构随机抽取了80家企业进行问卷调查，得到如下数据：(1)若用表中数据所得的频率代替概率，估计带薪休假为12天与10天，企业支持该方案的概率？(2)假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．①求两种安排方案带薪休假天数和不低于18天的概率；②如果用ξ表示两种方案带薪休假天数和．求随机变量ξ的分布列及期望． 【解析】(1)由表中信息可知，当带薪休假天数为12时，企业支持该方案的概率为340； 当带薪休假天数为10时，企业支持该方案的概率为18.(2)①设“两种安排方案带薪休假天数和不低于18”为事件A ，由已知从5种不同安排方案中，随机地抽取2种方案选法共有10(种)，其和不低于18天的选法有8种，由古典概型概率公式计算得P (A )＝45.②由题知随机变量ξ的可能取值为26，24，22，20，18，16，14. 因而ξ的分布列为所以E (ξ)＝20.13．(18分)已知函数f (x )＝ln(x ＋1)＋2x . (1)求证：对任意的x ≥0，有f (x )≤3x ；(2)若对任意实数x >1，不等式f (x －1)＋4>2x ＋k ⎝⎛⎭⎪⎫1－4x ，求k 的最大整数值．【解析】(1)由于f (x )≤3x ⇔ln(x ＋1)≤x ， 令g (x )＝x －ln(x ＋1)(x ≥0)． 由于g (0)＝0，g ′(x )＝1－1x ＋1≥0，故g (x )在[0，＋∞)上单调递增，则g (x )≥g (0)＝0，即f (x )≤3x .(2)当x >1时，f (x －1)＋4>2x ＋k ⎝⎛⎭⎪⎫1－4x ⇔x ln x ＋(2－k )x ＋4k >0.令h (x )＝x ln x ＋(2－k )x ＋4k (x >1)，h ′(x )＝ln x ＋3－k ，若k ≤3，则对任意x >1，有h ′(x )>0，即h (x )在(1，＋∞)上单调递增，由题设知，只需h (1)＝2＋3k ≥0，即－23≤k ≤3；若k >3，由h ′(x )＝ln x ＋3－k ＝0解得x ＝e k －3，当x ∈(1，e k －3)时，h ′(x )<0，h (x )在(1，ek －3)上单调递减； 当x ∈(ek －3，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )在(ek －3，＋∞)上单调递增．由题设知，只需h (x )min ＝h (e k －3)＝4k －ek －3>0.令H (k )＝4k －ek －3，由于H ′(k )＝4－e k －3为关于k 的单调减函数，则当k ∈(－∞，3＋ln 4)时，H ′(k )>0，即H (k )在(－∞，3＋ln 4)上单调递增， 当k ∈(3＋ln 4，＋∞)时，H ′(k )<0，即H (k )在(3＋ln 4，＋∞)上单调递减． 而H (3＋ln 4)＝8＋4ln 4>0，H (5)＝20－e 2>0，H (6)＝24－e 3>0，H (7)＝28－e 4<0，故3<k ≤6.综上所述，k 的最大整数取值为6.。
2022年高考数学二轮复习题型专项练3 客观题12+4标准练(C)
题型专项练3 客观题12+4标准练(C)一、单项选择题1.复数z=1-i 31+2i的虚部为( )A.-15iB.15iC.-15D.152.已知集合M={x|lg(x-1)≤0},N={x||x|<2},则M ∪N=( ) A.⌀ B.(1,2)C.(-2,2]D.{-1,0,1,2}3.4位优秀党务工作者到3个基层单位进行百年党史宣讲,每人宣讲1场,每个基层单位至少安排1人宣讲,则不同的安排方法数为( ) A.81 B.72C.36D.64.若向量a ,b 满足|a |=2,|b |=√3,且(a -b )⊥(2a +3b ),则a 与b 夹角的余弦值为( ) A.√112B.√336C.√215D.√365.核酸检测分析是用荧光定量PCR 法,通过化学物质的荧光信号,对在PCR 扩增进程中成指数级增加的靶标DNA 实时监测,在PCR 扩增的指数时期,荧光信号强度达到阈值时,DNA 的数量X n 与扩增次数n 满足lg X n =n lg(1+p )+lg X 0,其中p 为扩增效率,X 0为DNA 的初始数量.已知某被测标本DNA 扩增10次后,数量变为原来的100倍,则该样本的扩增效率p 约为( ) (参考数据:100.2≈1.585,10-0.2≈0.631) A.0.369B.0.415C.0.585D.0.6316.某地区为落实乡村振兴战略,帮助农民脱贫致富,引入一种特色农产品种植,该农产品上市时间仅能维持5个月,预测上市初期和后期会因产品供应不足使价格持续上涨,而中期又将出现供大于求使价格连续下跌.经研究其价格模拟函数为f (t )=t (t-3)2+4(0≤t ≤5,其中t=0表示5月1日,t=1表示6月1日,以此类推).为保护农户的经济效应,当地政府计划在价格下跌时积极拓宽外销,请你预测该农产品价格下跌的月份为( ) A.5月和6月 B.6月和7月 C.7月和8月 D.8月和9月7.已知双曲线C :x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,若双曲线C 上存在点P 满足∠F 2PO=2∠F 1PO=π3,则该双曲线的离心率为( ) A.√3+1B.√2+1C.√3D.√28.已知函数f (x )的定义域为R ,f (5)=4,f (x+3)是偶函数,任意x 1,x 2∈[3,+∞)满足f (x 1)-f (x 2)x1-x 2>0,则不等式f (3x-1)<4的解集为( ) A.(23,3) B.(-∞,23)∪(2,+∞)C.(2,3)D.(23,2)二、多项选择题9.已知函数f(x)=cos(x+π6),则()A.2π为f(x)的一个周期B.f(x)的图象关于直线x=4π3对称C.f(x)在区间(π2,π)内单调递减D.f(x+π)的一个零点为π310.已知ln x>ln y>0,则下列结论正确的是()A.1x <1yB.(13)x>(13)yC.log y x>log x yD.x2+4y(x-y)>811.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别为BC,CC1,BB1的中点,则()A.D1D⊥平面AEFB.A1G∥平面AEFC.异面直线A1G与EF所成角的余弦值为√1010D.点G到平面AEF的距离是点C到平面AEF的距离的2倍12.如图,在数表中,第1行是从1开始的正奇数,从第2行开始每个数是它肩上两个数之和,则下列说法正确的是()1 3 5 7 9 11…4 8121620…12202836……A.第6行第1个数为192B.第10行的数从左到右构成公差为210的等差数列C.第10行前10个数的和为95×29D.数表中第2 021行第2 021个数为6 061×22 020三、填空题13.在一次期中考试中某学校高三全部学生的数学成绩X 服从正态分布N (μ,σ2),若P (X ≥90)=0.5,且P (X ≥110)=0.2,则P (X ≤70)= .14.已知两条直线l 1:y=2x+m ,l 2:y=2x+n 与圆C :(x-1)2+(y-1)2=4交于A ,B ,C ,D 四点,且四边形ABCD 为正方形,则|m-n|的值为 . 15.如图,O 是滑槽AB 的中点,短杆ON 可绕点O 转动,长杆MN 通过点N 处的铰链与ON 连接,MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动.当点D 在滑槽AB 内作往复移动时,带动点N 绕点O 转动,点M 也随之运动.记点N 的运动轨迹为C 1,点M 的运动轨迹为C 2.若ON=DN=1,MN=3,过轨迹C 2上的点P 向轨迹C 1作切线,则切线长的最大值为 .16.阿基米德在他的著作《论球和圆柱》中,证明了数学史上著名的圆柱容球定理:圆柱的内切球(与圆柱的两底面及侧面都相切的球)的体积与圆柱的体积之比等于它们的表面积之比.可证明该定理推广到圆锥容球也正确,即圆锥的内切球(与圆锥的底面及侧面都相切的球)的体积与圆锥体积之比等于它们的表面积之比,则该比值的最大值为 .题型专项练3 客观题12+4标准练(C)1.C 解析 因为z=1-i 31+2i=1+i 1+2i =(1+i )(1-2i )(1+2i )(1-2i )=35−15i,所以复数z 的虚部为-15.2.C 解析 根据题意,由lg(x-1)≤0,得0<x-1≤1,即1<x ≤2,则集合M={x|lg(x-1)≤0}={x|1<x ≤2}.由|x|<2,得-2<x<2,则N={x||x|<2}={x|-2<x<2}.故M ∪N={x|-2<x ≤2}=(-2,2].3.C 解析 根据题意,必有两人去同一个基层单位进行宣讲,故先从4位优秀党务工作者中选两人,有C 42=6种选法,将其看成整体,再和另外两人分配到3个基层单位,有A 33=6种分配方案,所以共有6×6=36种不同的安排方案.4.D 解析 由已知得(a -b )·(2a +3b )=2a 2+a ·b -3b 2=0,|a |=2,|b |=√3,则2√3cos <a ,b >-1=0,故cos <a ,b >=√36.5.C 解析 由题意知lg(100X 0)=10lg(1+p )+lg X 0,即2+lg X 0=10lg(1+p )+lg X 0,所以1+p=100.2≈1.585,解得p ≈0.585.6.B 解析 由f (t )=t (t-3)2+4(t ∈[0,5]),得f'(t )=(t-3)2+2t (t-3)=3(t-1)(t-3),当t ∈[0,1)时,f (t )单调递增;当t ∈(1,3)时,f (t )单调递减;当t ∈(3,5]时,f (t )单调递增.根据题意,可知该农产品价格下跌的月份为6月和7月.7.A解析由∠F2PO=2∠F1PO=π3,可知∠F1PF2=π2,又O为F1F2的中点,所以∠F1F2P=π3.根据题意可知|F1F2|=2c,则|PF2|=c,|PF1|=√3c,所以√3c-c=2a,所以e=ca =√3-1=√3+1.8.D解析因为f(x+3)是偶函数,所以f(x)的图象关于直线x=3对称,所以f(5)=f(1)=4.因为任意x1,x2∈[3,+∞)满足f(x1)-f(x2)x1-x2>0,所以f(x)在区间[3,+∞)内单调递增,在区间(-∞,3)内单调递减,所以f(3x-1)<4等价于1<3x-1<5,解得23<x<2.9.AD解析函数f(x)=cos(x+π6)的最小正周期为2π,故A正确;由x+π6=kπ,k∈Z,得x=-π6+kπ,k∈Z,无论k取何值,x≠4π3,故B错误;函数f(x)=cos(x+π6)在区间(π2,5π6)内单调递减,在区间(5π6,π)内单调递增,故C错误;∵f(x+π)=cos(x+7π6),∴f(π3+π)=cos7π6+π3=cos3π2=0,故D正确.10.ACD解析因为ln x>ln y>0,所以x>y>1,所以1x <1y,所以A正确;因为x>y>1,所以(13)x<(13)y,所以B错误;因为x>y>1,所以log y x>log y y=1,log x y<log x x=1, 所以log y x>log x y,所以C正确;因为x>y>1,所以0<y(x-y)≤[y+(x-y)2]2=x24,所以x2+4y(x-y)≥x2+16x2≥8,当且仅当x=2,y=1时,等号成立,又y>1,所以x2+4y(x-y)>8,所以D正确.11.BCD解析对于A,假设D1D⊥平面AEF,因为D1D∥A1A,所以AA1⊥平面AEF,显然不可能,所以假设不成立,故A错误;对于B,取B1C1的中点Q,连接GQ,A1Q(图略),则GQ∥EF,A1Q∥AE,可知GQ∥平面AEF,A1Q∥平面AEF,又GQ∩A1Q=Q,所以平面A1GQ∥平面AEF,又A1G⊂平面A1GQ,所以A1G∥平面AEF,故B正确;对于C,因为EF ∥GQ ,所以∠A 1GQ 或其补角为异面直线A 1G 与EF 所成的角, 设正方体的棱长为2,则A 1G=A 1Q=√5,QG=√2, 由余弦定理得cos ∠A 1GQ=2×√5×√2=√1010,故C 正确;对于D,连接GC ,交FE 于点O ,连接GF (图略),则△OCE ∽△OGF ,所以OGOC =GFCE =2,所以点G 到平面AEF 的距离是点C 到平面AEF 的距离的2倍,故D 正确.12.ABD 解析 数表中,每行是等差数列,且第1行的首项是1,公差为2,第2行的首项是4,公差为4,第3行的首项是12,公差为8,每行的第1个数满足a n =n×2n-1,每行的公差构成一个以2为首项,2为公比的等比数列,公差满足d n =2n .对于选项A,第6行第1个数为a 6=6×26-1=192,故A 正确;对于选项B,第10行的数从左到右构成公差为d 10=210的等差数列,故B 正确;对于选项C,第10行第1个数为a 10=10×210-1=10×29,公差为210,所以前10个数的和为10×10×29+10×92×210=190×29,故C 错误;对于选项D,数表中第2 021行第1个数为a 2 021=2 021×22 021-1=2 021×22 020,第2 021行的公差为22 021,故数表中第2 021行第2 021个数为2 021×22 020+(2 021-1)×22 021=6 061×22 020,故D 正确.13.0.2 解析 由题意易得μ=90,所以P (X ≤70)=P (X ≥110)=0.2. 14.2√10 解析 由题意知l 1∥l 2,若四边形ABCD 为正方形,则正方形的边长等于直线l 1,l 2之间的距离d ,d=√5, 设圆C 的半径为r ,由正方形的性质知d=√2r=2√2, 即√5=2√2, 故|m-n|=2√10. 15.√15 解析 以滑槽AB 所在直线为x 轴,O 为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示.因为|ON|=1,所以点N 的运动轨迹C 1是以O 为圆心,半径为1的圆,其方程为x 2+y 2=1.设点N 的坐标为(cos θ,sin θ),由于|ON|=|DN|=1,易得D (2cos θ,0),由|MN|=3,得NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3ND⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,设M (x ,y ),则(x-cos θ,y-sin θ)=3(cos θ,-sin θ),可得M (4cos θ,-2sin θ),所以点M的运动轨迹C2是椭圆,其方程为x 216+y24=1.设轨迹C2上的点P(4cos α,2sin α),则|OP|2=16cos2α+4sin2α=4+12cos2α≤16,故切线长为√|OP|2-12≤√16-1=√15,即切线长的最大值为√15.16.12解析设圆锥的底面半径为r,母线长为l,圆锥内切球的半径为R,作出圆锥的轴截面如图所示.设∠OBC=θ,∵tan θ=Rr ,∴r=Rtanθ.∵OD⊥AB,OE⊥BC,∴∠DBE+∠DOE=π,又∠AOD+∠DOE=π,∴∠AOD=∠DBE=2θ,∴AD=R tan 2θ,∴l+r=AD+BD+r=AD+2r=R tan 2θ+2Rtanθ.又圆锥表面积S1=πr(l+r),圆锥内切球的表面积S2=4πR2,故所求比值为S2S1= 4πR2πR tanθ(2Rtanθ1-tan2θ+2Rtanθ)=2tan2θ(1-tan2θ).令t=tan2θ>0,则S2S1=2t(1-t)=-2t2+2t, 故当t=12时,S2S1取得最大值12.。
高三二轮复习(理数) 第二部分 组合练三(Word版,含答案)
组合练三一、选择题1．(2017·东北三省四市模拟)若复数z 满足i z ＝2－4i ，则z 在复平面内对应的点的坐标是( ) A ．(2,4) B ．(2，－4) C ．(－4，－2) D ．(－4,2)解析：由题意得，z ＝2－4ii ＝－4－2i ，∴z ＝－4＋2i ，故其在复平面内对应的点是(－4，2)，选D. 答案：D2．函数y ＝e cos x (－π≤x ≤π)的大致图象为( )解析：∵y ＝e cos x ，x ∈[－π，π]为偶函数，故排除B 、D.又当x ∈[0，π]时u ＝cos x 为减函数，y ＝e u 为增函数，∴y ＝e cos x 在[0，π]内为减函数．故排除A ，选C. 答案：C3．“0＜a ＜1”是“ax 2＋2ax ＋1＞0的解集是实数集R ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：要使不等式ax 2＋2ax ＋1＞0的解集为R ， ①当a ＝0时，1＞0恒成立，满足条件；②当a ≠0时，满足⎩⎨⎧a ＞0，(2a )2－4a ＜0，解得0＜a ＜1. 因此要使不等式ax 2＋2ax ＋1＞0的解集为R ，必有0≤a ＜1.故“0＜a ＜1”是“ax 2＋2ax ＋1＞0的解集是实数集R ”的充分不必要条件，故选A. 答案：A4．(2016·银川一中模拟)用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1,2，…，9的9个小正方形，使得任意相邻(有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“3,5,7”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有( )A.18种 C ．72种D ．108种解析：先涂3,5,7，有C 13种方法，再涂2,4.若2,4同色，则有C 12种方法，此时涂1，有C 12种方法；若2,4不同色，则有A 22种方法，此时涂1，有1种方法，根据对称性一共有C 13(C 12C 12＋A 22)×(C 12C 12＋A 22)＝108种涂法，故选D.答案：D5．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝7，S 6＝63，则S 9的值是( ) A ．255 B ．256 C ．511D ．512解析：∵等比数列{a n }的前n 项和为S n ，∴S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列，∵S 3＝7，S 6＝63，∴S 9－S 6＝448，∴S 9＝448＋S 6＝448＋63＝511，选C. 答案：C6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．23＋3π27B ．33＋43π27 C ．53＋3π27D ．53＋43π27解析：根据几何体的三视图，得该几何体是底部为正三棱柱，上部为一个球体的组合体，且正三棱柱底面三角形的边长为2，高为5，球的半径为13× 3＝33，∴该组合体的体积V ＝V三棱柱＋V 球＝12×2×2×32×5＋43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫333＝53＋4327π.故选D.答案：D7．过双曲线M ：x 2－y 2b 2＝1(b ＞0)的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于点B ，C ，且|AB |＝|BC |，则双曲线M 的离心率是( ) A.10 B. 5 C.103D.52解析：设B (x B ，y B )，C (x C ，y C )，由题意知a ＝1，直线l 的方程为y ＝x ＋1，分别与双曲线的渐近线方程联立解得x B ＝－1 b ＋1，y B ＝b b ＋1，x C ＝1b －1，y C ＝b b －1，又点B 是AC 的中点，所以2b b ＋1＝b b －1，解得b ＝3，则c ＝10，故双曲线M 的离心率e ＝ca ＝10. 答案：A8．执行如图所示的程序框图，如果输入的a ＝－1，b ＝－2，则输出的a 的值为( )A ．16B ．8C ．4D ．2解析：当a ＝－1，b ＝－2时，a ＝(－1)×(－2)＝2＜6；当a ＝2，b ＝－2时，a ＝2×(－2)＝－4＜6；当a ＝－4，b ＝－2时，a ＝(－4)×(－2)＝8＞6，此时输出的a ＝8，故选B. 答案：B 二、填空题9．(2017·包头学业水平测试二)(1＋x )3(1＋y )4的展开式中x 2y 2的系数是________．解析：(1＋x )3(1＋y )4的展开式中x 2y 2的系数是C 23C 24＝18.答案：1810．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两人在某5次综合测试中的成绩(均为整数)，其中一个数字模糊不清，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为________．解析：由茎叶图可知，x 甲＝88＋89＋90＋91＋925＝90，设模糊不清的数字为a (0≤a ≤9，a∈N)，则x 乙＝83＋83＋87＋90＋a ＋995＝88.4＋a5.若甲的平均成绩不超过乙的平均成绩，则88.4＋a5≥90，解得a ≥8，所以a ＝8或a ＝9，所以甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为15. 答案：1511．(2017·江苏启东中学模拟)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos A cos B ＝－ab ＋2c ，则角A 的大小为________． 解析：依题意得(b ＋2c )cos A ＝－a cos B ， 由正弦定理得(sin B ＋2sin C )cos A ＝－sin A cos B ， 即sin A cos B ＋cos A sin B ＝－2sin C cos A ，整理得sin(A ＋B )＝sin C ＝－2sin C cos A ，cos A ＝－12. 又0＜A ＜π，所以A ＝2π3. 答案：2π312．已知x ，y 满足⎩⎨⎧y －2≤0，x ＋3≥0，x －y －1≤0，则x ＋y －6x －4的取值范围是________．解析：不等式组表示的平面区域如图．因为x ＋y －6x －4＝x －4＋y －2x －4＝1＋y －2x －4，而y －2x －4为区域内的点与点(4,2)连线的斜率，显然斜率的最小值为0，点A (－3，－4)与点(4,2)连线的斜率最大为－4－2－3－4＝67，所以1＋y －2x －4的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，137. 答案： ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，137。
高三数学(理人教版)二轮复习高考大题专攻练：3版含解析
高三数学（理人教版）二轮复习高考大题专攻练：3版含解析3.数列(A组)大题集训练，练就慧眼和规范，占领高考制胜点！1.设数列的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an=5Sn+1成立，bn=-1-log2，数列的前n项和为Tn，cn=. 世纪金榜导学号92494439(1)求数列的通项公式与数列前n项和An.(2)对任意正整数m，k，是否存在数列中的项an，使得≤32an成立？若存在，请求出正整数n的取值集合，若不存在，请说明理由.【解析】(1)因为an=5Sn+1，令n=1⇒a1=-，由得，an+1=-an，所以等比数列{an}的通项公式an=，bn=-1-log2|an|=2n-1，==-，所以An=1-=.(2)存在.因为an=⇒Sn==-.所以S1=-，S2=-，当n为奇数，Sn=-单增，n为偶数，Sn=-单减，所以(Sn)min=-，(Sn)max=-，设对任意正整数m，k，存在数列{an}中的项，使得|Sm-Sk|≤32an成立，即(Sn)max-(Sn)min==≤32an=32·，解得：n∈{2，4}.2.已知数列{an}满足a1=1，an+1=1-，其中n∈N*.(1)设bn=，求证：数列{bn}是等差数列，并求出{an}的通项公式an.(2)设cn=，数列{cncn+2}的前n项和为Tn，是否存在正整数m，使得Tn<对于n∈N*恒成立，若存在，求出m的最小值，若不存在，请说明理由.【解析】(1)因为bn+1-bn=-=-=-=2，所以数列{bn}是公差为2的等差数列，又b1==2，所以bn=2+(n-1)×2=2n.所以2n=，解得an=.。
高三数学(人教版理)二轮复习高考大题专攻练 3 Word版含解析
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高考大题专攻练
.数列(组)
大题集训练,练就慧眼和规范,占领高考制胜点!
.已知数列{}满足(≥)，且.
()求数列{}的前三项，，
()求证：数列为等差数列，并求.
【解析】()由(≥)，得，所以，同理，.
()由(≥)，得，
所以，，
所以是以为首项，以为公差的等差数列.
所以()×，
所以().
.设数列{}的前项和为，满足，∈*，且，，成等差数列.
()若，求数列{}的通项公式.
()证明：对一切正整数，有…<.
【解析】()因为，
所以当≥时，有，
两式相减整理得，则·，
即.又，知是首项为，公比为的等比数列，
所以，
即.当时也适合此式，所以.
()由()得.
当≥时，>，即>，所以<，
所以…<…<.
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2019-2020年高三数学二轮复习高考大题标准练三理新人教版
2019-2020年高三数学二轮复习高考大题标准练三理新人教版1.数列的前n项和S n满足S n=2a n-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.(1)求数列的通项公式.(2)设b n=,求数列的前n项和T n.【解析】(1)由S n=2a n-a1,当n≥2时,S n-1=2a n-1-a1,所以a n=2a n-2a n-1,化为a n=2a n-1.由a1,a2+1,a3成等差数列.所以2(a2+1)=a1+a3,所以2(2a1+1)=a1+4a1,解得a1=2.所以数列是以2为首项,公比为2的等比数列.所以a n=2×2n-1=2n.(2)a n+1=2n+1,S n==2n+1-2,S n+1=2n+2-2.b n===.所以数列的前n项和T n=[++…+]=.2.在四棱锥P-ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E为PC中点，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2.(1)求证：BC⊥平面PBD.(2)在线段PC上是否存在一点Q，使得二面角Q-BD-P为45°？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【解析】(1)平面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，平面PCD∩平面ABCD=CD，所以PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD.如图，以D为原点建立空间直角坐标系.则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，2，0)，P(0，0，1).=(1，1，0)，=(-1，1，0)，所以·=0，BC⊥DB，又由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥BC，因为PD∩BD=D，所以BC⊥平面PBD.(2)平面PBD的法向量为=(-1，1，0)，=(0，2，-1)，设=λ，λ∈(0，1)，所以Q(0，2λ，1-λ)，设平面QBD的法向量为n=(a，b，c)，=(1，1，0)，=(0，2λ，1-λ)，由n·=0，n·=0，得令b=1，所以n=(-1，1，)，所以cos45°===，注意到λ∈(0，1)，得λ=-1.所以在线段PC上存在一点Q，使得二面角Q-BD-P为45°，此时=-1.3.根据国家《环境空气质量标准》规定：居民区中的PM2.5(PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称可入肺颗粒物)年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米.某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：(1)写出该样本的众数和中位数(不必写出计算过程).(2)求该样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由.(3)将频率视为概率，对于去年的某2天，记这2天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为X，求X的分布列及数学期望E(X)和方差D(X).【解析】(1)众数为22.5微克/立方米，中位数为37.5微克/立方米.(2)去年该居民区PM2.5年平均浓度为7.5×0.1+22.5×0.3+37.5×0.2+52.5×0.2+67.5×0.1+82.5×0.1=40.5(微克/立方米). 因为40.5>35，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进.(3)记事件A表示“一天PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准”，则P(A)=.随机变量X的可能取值为0，1，2.且X～B.所以P(X=k)=(k=0，1，2)，所以变量X的分布列为E(X)=0×+1×+2×=1.8(天)，或E(X)=np=2×=1.8(天)，D(X)=0.18.4.抛物线C的方程为y=ax2(a<0),过抛物线C上一点P(x0,y0)(x0≠0)作斜率为k1,k2的两条直线分别交抛物线C于A(x1,y1),B(x2,y2)两点(P,A,B三点互不相同),且满足k2+λk1=0(λ≠0且λ≠-1).(1)求抛物线C的焦点坐标和准线方程.(2)设直线AB上一点M,满足=λ,证明线段PM的中点在y轴上.【解析】(1)由抛物线C的方程y=ax2(a<0)得,x2=y,焦点坐标为,准线方程为y=-.(2)设直线PA的方程为y-y0=k1(x-x0),直线PB的方程为y-y0=k2(x-x0).点P(x0,y0)和点A(x1,y1)的坐标是方程组的解.将②式代入①式得ax2-k1x+k1x0-y0=0,于是x1+x0=,故x1=-x0③.又点P(x0,y0)和点B(x2,y2)的坐标是方程组的解.将⑤式代入④式得ax2-k2x+k2x0-y0=0.于是x2+x0=,故x2=-x0.由已知得,k2=-λk1,则x2=-k1-x0.⑥设点M的坐标为(x M,y M),由=λ,则x M=.将③式和⑥式代入上式得x M==-x0,即x M+x0=0.所以线段PM的中点在y轴上.5.设函数f(x)=e x-ax-2.(1)求f(x)的单调区间.(2)若a=1，k为整数，且当x>0时，f′(x)<1恒成立，求k的最大值.(其中f′(x)为f(x)的导函数)【解析】(1)函数f(x)=e x-ax-2的定义域是R，f′(x)=e x-a，若a≤0，则f′(x)=e x-a≥0，所以函数f(x)=e x-ax-2在(-∞，+∞)上单调递增；若a>0，则当x∈(-∞，lna)时，f′(x)=e x-a<0；当x∈(lna，+∞)时，f′(x)=e x-a>0；所以，f(x)在(-∞，lna)上单调递减，在(lna，+∞)上单调递增.(2)由于a=1，f′(x)<1，x>0，所以(k-x)(e x-1)<x+1.因为x>0，所以e x-1>0，所以k<+x.令g(x)=+x，所以k<g(x)min，g′(x)=+1=.令h(x)=e x-x-2，h′(x)=e x-1>0，所以h(x)在(0，+∞)上单调递增，且h(1)<0，h(2)>0，所以h(x)在(0，+∞)上存在唯一零点，设此零点为x0，则x0∈(1，2)，当x∈(0，x0)时，g′(x)<0，当x∈(x0，+∞)时，g′(x)>0，所以g(x)min=g(x0)=+x0，由g′(x0)=0⇒=x0+2，所以g(x0)=x0+1∈(2，3)，因为k<g(x0)，且k为整数，所以k的最大值为2.。
2019-2020年高三第二次综合练习数学理试题 含答案
2019-2020年高三第二次综合练习数学理试题含答案一、选择题（共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．已知集合，集合，则＝（）．B．C．D．2．执行如图所示的程序框图，则输出的n的值是（）．A．7 B．10 C．66 D．1663．设为虚数单位，，“复数是纯虚数”是“”的（）．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4．已知平面上三点A，B，C，满足，则= （）．A．48 B．-48 C．100 D．-1005．已知函数，若对任意的实数x，总有，则的最小值是（）．A．2 B．4 C．D．26．已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P．若，则双曲线的渐近线方程为（）．7．已知函数，若对任意，都有成立，则实数m的取值范围是（）．8．如图，将一张边长为1的正方形纸ABCD折叠，使得点B始终落在边AD上，则折起部分面积的最小值为（）．第Ⅱ卷（非选择题共110 分）二、填空题：本小题共6 小题，每小题5 分，共30 分．9．展开式中含项的系数是__________．10．已知圆C的圆心在直线x－y=0上，且圆C与两条直线x＋y=0和x＋y－12=0都相切，则圆C的标准方程是__________．11．如图，已知圆B的半径为5，直线AMN与直线ADC为圆B的两条割线，且割线AMN 过圆心B．若AM=2，，则AD=__________．12．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积为__________．13．已知点在函数的图像上，则数列的通项公式为__________；设O为坐标原点，点，则，中，面积的最大值是__________．14．设集合，集合A中所有元素的个数为__________；集合A 中满足条件“”的元素个数为__________．三、解答题：本大题共6 小题，共80 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题共13分）在梯形ABCD中，（Ⅰ）求AC的长；（Ⅱ）求梯形ABCD的高．16．（本小题共13分）某学科测试中要求考生从A，B，C三道题中任选一题作答，考试结束后，统计数据显示共有600名学生参加测试，选择A，B，C三题答卷数如下表：（Ⅰ）某教师为了解参加测试的学生答卷情况，现用分层抽样的方法从600份答案中抽出若干份答卷，其中从选择A题作答的答卷中抽出了3份，则应分别从选择B，C题作答的答卷中各抽出多少份？（Ⅱ）若在（Ⅰ）问中被抽出的答卷中，A，B，C三题答卷得优的份数都是2，从被抽出的A，B，C三题答卷中再各抽出1份，求这3份答卷中恰有1份得优的概率；（Ⅲ）测试后的统计数据显示，B题的答卷得优的有100份，若以频率作为概率，在（Ⅰ）问中被抽出的选择B题作答的答卷中，记其中得优的份数为X，求X的分布列及其数学期望EX．17．（本小题共14分）如图，在直角梯形ABCD中，．直角梯形ABEF可以通过直角梯形ABCD以直线AB为轴旋转得到，且平面平面ABCD．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求直线BD和平面BCE所成角的正弦值；（Ⅲ）设H为BD的中点，M，N分别为线段FD，AD上的点（都不与点D重合）．若直线平面MNH，求MH的长．18．（本小题共13分）已知点M为椭圆的右顶点，点A，B是椭圆C上不同的两点（均异于点M），且满足直线MA与直线MB斜率之积为．（Ⅰ）求椭圆C的离心率及焦点坐标；（Ⅱ）试判断直线AB是否过定点：若是，求出定点坐标；若否，说明理由．19．（本小题共14分）已知函数．（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）若在区间(1,2)上存在不相等的实数成立，求的取值范围；（Ⅲ）若函数有两个不同的极值点，，求证：．20．（本小题共13分）已知数列，是正整数1，2，3，，n的一个全排列．若对每个都有或3，则称为H数列．（Ⅰ）写出满足的所有H数列；（Ⅱ）写出一个满足的数列的通项公式；（Ⅲ）在H数列中，记．若数列是公差为d的等差数列，求证：或．参考答案及评分标准高三数学（理科）三、解答题：15．（本小题共13 分）解：（Ⅰ）在中，因为，所以．由正弦定理得：，即．（Ⅱ）在中，由余弦定理得：，整理得，解得（舍负）．过点作于，则为梯形的高．因为，，所以．在直角中，．即梯形的高为．16．（本小题共13 分）解：（Ⅰ）由题意可得：应分别从题的答卷中抽出份，份．（Ⅱ）记事件：被抽出的三种答卷中分别再任取出份，这份答卷中恰有份得优，可知只能题答案为优，依题意．（Ⅲ）由题意可知，题答案得优的概率为，显然被抽出的题的答案中得优的份数的可能取值为，且．；；；；；．随机变量的分布列为：所以．17．（本小题共14分）证明：（Ⅰ）由已知得，．因为平面平面，且平面平面，所以平面，由于平面，所以．（Ⅱ）由（1）知平面所以，．由已知，所以两两垂直．以为原点建立空间直角坐标系（如图）．因为，则，，，，所以，，设平面的一个法向量．所以，即．令，则．设直线与平面所成角为，因为，所以．所以直线和平面所成角的正弦值为．（Ⅲ）在为原点的空间直角坐标系中，，，，，．设，即．，则，，．若平面，则．即．．解得．则，．18．（本小题共13分）解：（Ⅰ）椭圆的方程可化为，则，，．故离心率为，焦点坐标为，．（Ⅱ）由题意，直线的斜率存在，可设直线的方程为，，，则，．由得．判别式．所以，，因为直线与直线的斜率之积为，所以，所以．化简得，所以，化简得，即或．当时，直线方程为，过定点．代入判别式大于零中，解得．当时，直线的方程为，过定点，不符合题意．故直线过定点．19．（本小题共14分）解：（Ⅰ）当时，，．由，解得，．当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以的单调增区间为，单调减区间为．（Ⅱ）依题意即求使函数在上不为单调函数的的取值范围．，设，则，．因为在上为增函数．当，即当时，函数在上有且只有一个零点，设为，当时，，即，为减函数；当时，，即，为增函数，满足在上不为单调函数．当时，，，所以在上成立（因在上为增函数），所以在上成立，即在上为增函数，不合题意．同理时，可判断在为减函数，不合题意．综上．（Ⅲ）．因为函数有两个不同的零点，即有两个不同的零点，即方程的判别式，解得．由，解得，．此时，．所以是的极大值点，是的极小值点，所以是极大值，是极小值所以因为，所以，所以．20．（本小题共13分）解：（Ⅰ）满足条件的数列有两个：．（Ⅱ）由（1）知数列满足，把各项分别加后，所得各数依次排在后，因为，所得数列显然满足或，，即得数列．其中，．如此下去即可得到一个满足的数列为：（其中）（写出此通项也可以（其中））（Ⅲ）由题意知，，且．有解：①，，，则，这与是矛盾的．②时，与①类似可得不成立．③时，，则不可能成立．④时，若或，则或．若或，则，类似于③可知不成立．④时，若同号，则，由上面的讨论可知不可能；若或，则或；⑤时，若异号，则，不行；若同号，则，同样由前面的讨论可知与矛盾．综上，只能为或，且（2）中的数列是的情形，将（2）中的数列倒过来就是，所以为或．。
2019-2020年高三第二次综合练习 理科数学 含解析
2019-2020年高三第二次综合练习理科数学含解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1）已知集合，集合，则=A. B. C. D.【答案】D【解析】，所以，选D.（2）若，则实数的值为A．B．C．D．【答案】B【解析】123211111()d()03232x mx x x mx m+=+=+=⎰，解得，选B.（3）执行如图所示的程序框图．若输出的结果是，则判断框内的条件是A. ？B. ？C. ？D. ？【答案】C【解析】第一次循环，，不满足条件，循环。
第二次循环，，不满足条件，循环。
第三次循环，，不满足条件，循环。
第四次循环，，满足条件，输出。
所以判断框内的条件是，选C.（4）若双曲线的渐近线与抛物线有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是A．B．C．D．【答案】A【解析】双曲线的渐近线为，不妨取，代入抛物线得，即，要使渐近线与抛物线有公共点，则，即，又，所以，所以。
所以此双曲线的离心率的取值范围是，选A.（5）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A．B．C．D．【答案】A【解析】由题设条件，此几何几何体为一个三棱锥，如图红色的部分．其中高为1，底面是直角边长为1的等腰直角三角形，所以底面积为，所以三棱锥的体积为，选A.（6）某岗位安排3名职工从周一到周五值班，每天只安排一名职工值班，每人至少安排一天，至多安排两天，且这两天必须相邻，那么不同的安排方法有A．种B．种C．种D．种【答案】C【解析】由题意可知，3名职工中只有一人值班一天，此时有种，把另外2人，排好有3个空，将值班一天的这个工人，从3个空中，选一个，另外2人，全排有.所以不同的安排方法共有，选C.（7）已知函数，定义函数给出下列命题：①；②函数是奇函数；③当时，若，，总有成立，其中所有正确命题的序号是当A．②B．①②C．③D．②③【答案】D【解析】①因为，而，两个函数的定义域不同，所以①不成立。
高考数学二轮复习练习：第三部分3回顾3必练习题含答案
[必练习题]1．已知tan α＝3，则cos（π－α）cos????α－π2的值为()A．－13 B．－3 C. 13 D．3解析：选A.cos（π－α）cos????α－π2＝－cos αsin α＝－1tan α＝－13.2．已知x∈(0，π)，且cos????2x－π2＝sin2x，则tan????x－π4等于() A.13B．－13C．3D．－3 解析：选A.由cos????2x－π2＝sin2x得sin 2x＝sin2x，因为x∈(0，π)，所以tan x＝2，所以tan????x－π4＝tan x－11＋tan x＝13.3．函数y＝cos 2x＋2sin x的最大值为() A.34 B．1 C.32 D．2解析：选C.y＝cos 2x＋2sin x＝－2sin2x＋2sin x＋1.设t＝sin x(－1≤t≤1)，则原函数可以化为y＝－2t2＋2t＋1＝－2????t－122＋32，所以当t＝12时，函数取得最大值32. 4．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)，其导函数f′(x)的图象如图所示，则f????π2的值为()A．22 B.2 C．－22 D．－24解析：选D.依题意得f′(x)＝Aωcos(ωx＋φ)，结合函数y＝f′(x)的图象可知，T＝2πω＝4????3π8－π8＝π，ω＝2.又Aω＝1，因此A＝12.因为0＜φ＜π，3π4＜3π4＋φ＜7π4，且f′????3π8＝cos????3π4＋φ＝－1，所以3π4＋φ＝π，所以φ＝π4，f(x)＝12sin????2x＋π4，f????π2＝12sin????π＋π4＝－12×22＝－24，故选D. 5．已知x＝π12是函数f(x)＝3sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)(0＜φ＜x)图象的一条对称轴，将函数f(x)的图象向右平移3π4个单位长度后得到函数g(x)的图象，则函数g(x)在????－π4，π6上的最小值为()A．－2 B．－1 C．－ 2D．－3解析：选B.因为x＝π12是f(x)＝2sin????2x＋π6＋φ图象的一条对称轴，所以π3＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)，因为0＜φ＜π，所以φ＝π6，则f(x)＝2sin????2x＋π3，所以g(x)＝－2sin????2x－π6在????－π4，π6上的最小值为g????π6＝－1.6．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos C＝223，bcosA＋acos B＝2，则△ABC的外接圆面积为()A．4π B．8πC．9π D．36π解析：选C.由题意知c＝bcos A＋acos B＝2，由cos C＝223得sin C＝13，再由正弦定理可得2R＝csin C＝6，所以△ABC的外接圆面积为πR2＝9π，故选C. 7．已知非零单位向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则a与b－a的夹角可能是() A.π6 B.π3C.π4D.3π4解析：选D.由|a＋b|＝|a－b|可得(a＋b)2＝(a－b)2，即a·b＝0，而a·(b－a)＝a·b－a2＝－|a|2＜0，即a与b－a的夹角为钝角，故选D.8．已知向量a＝(1，3)，b＝(－2，k)，且(a＋2b)∥(3a－b)，则实数k＝________．．解析：a＋2b＝(－3，3＋2k)，3a－b＝(5，9－k)，由题意可得－3(9－k)＝5(3＋2k)，解得k＝－6.答案：－69．已知向量a＝(1，0)，|b|＝2，a与b的夹角为45°，若c＝a＋b，d＝a－b，则c在d方向上的投影为________．．解析：依题意得|a|＝1，a·b＝1×2×cos 45°＝1，|d|＝（a －b）2＝a2＋b2－2a·b＝1，c·d＝a2－b2＝－1，因此c在d方向上的投影等于c·d|d|＝－1.答案：－110．已知函数f(x)＝sin????ωx＋π3(ω＞0)，A，B是函数y＝f(x)图象上相邻的最高点和最低点，若|AB|＝22，则f(1)＝________．．解析：设f(x)的最小正周期为T，则由题意，得22＋????T22＝22，解得T＝4，所以ω＝2πT＝2π4＝π2，所以f(x)＝sin????π2x＋π3，所以f(1)＝sin????π2＋π3＝sin 5π6＝12. 答案：1211．在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝3，则csin C＝______．．解析：依题意得，12bc sin A＝34c＝3，则c＝4.由余弦定理得a＝b2＋c2－2bccos A＝13，因此asin A＝13sin 60°＝2393.由正弦定理得csin C＝2393.答案：2393。
高三数学第二轮强化训练题三 理 A 试题
高三理科数学第二轮强化训练套题〔三〕班别______学号_______姓名______________得分_______一、选择题：本大题一一共8小题，每一小题5分，一共40分. 在每一小题给出的四个选项里面，只有一项符合题目要求. 1．复数ii+-11的值是〔 〕 A ．1 B ．1- C ．i D ．i -2．集合{4,5,3}M m =-，{9,3}N =-，假设M N ≠∅，那么实数m 的值是〔 〕A ．3或者1- B．3 C ．3或者3- D．1- 3．向量a =(1,2)-，b =(,2)x ，假设a ⊥b ，那么|b |=〔 〕 AB ．C ．5D ．204．“0a >〞是“20a a +≥〞的〔 〕条件 A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充要D ．非充分非必要5．双曲线2213x y -=的一个焦点到它的渐近线的间隔 为〔 〕 6．函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωφωφ=+>><的局部图象如图示，那么将()y f x =的图象向右平移6π个单位后，得到的图象解析式为 〔 〕A ．y =sin 2xB ．y =cos 2xC ．y =2sin(2)3xπ+ D ．y =sin(2)6x π- 7．以下命题中，真命题的个数．．是〔 〕 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4①不等式1|3|>-x 的解集是) , 4(∞+．②命题“任意素数都是奇数〞的否认是“任意素数都不是奇数〞．③平行于同一平面的两平面互相平行．④抛物线22x y =的焦点坐标是)21 , 0(．8．规定记号“⊗〞表示一种运算，即2a b ab a b ⊗=++ (,)a b 为正实数，假设31=⊗k ，那么k =〔 〕A ．2-B ．1C ．2- 或者1D ．2第二卷 非选择题〔一共110分〕二、填空题〔本大题一一共7小题，分为必做题和选做题两局部．每一小题5分，满分是30分〕〔一〕必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须答题．9．某校对全校男女学生一共1600名进展安康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．女生比男生少抽了10人，那么该校的女生人数应是 人． 10．右图是某算法的程序框图，那么程序运行后输出的结果是 .11．6)1(xx -的展开式中的常数项是 ．〔用数字答题〕 12．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且151,9a a ==，那么6S = . 13．在平面直角坐标系xOy 中，以点)1 , 1(-M 为圆心，且与直线022=+-y x 相切的圆的方程是 ．〔二〕选做题〔14、15题，考生只能从中选做一题〕14．(坐标系与参数方程选做题) 直线2()1x tt y t=-+⎧⎨=-⎩为参数被圆35cos 15sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩()θθπ∈为参数,[0,2)所截得的弦长为 . 15．(几何证明选讲选做题)如图，从圆O 外一点P 引圆的切线PC和割线PBA ，PC=2PB ，3BC =,那么AC 的长为 ．三．解答题：本大题一一共6小题，满分是80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．〔本小题满分是12分〕函数()sin cos(),f x x x x R π=+-∈．(1) 求函数()f x 的最小正周期； (2) 求函数()f x 的最大值和最小值；(3) 假设1(),(0,)42f παα=∈，求sin cos αα+的值．17．〔本小题满分是12分〕某食品厂为了检查一条自动包装流水线的消费情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量〔单位：克〕，重量的分组区间为〔490,495]，〔495,500]，……，〔510,515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图4所示。
高考数学理科二轮经典重点题型第练(含答案)
高考数学理科二轮经典重点题型第练(含答案)第11练寻图有道，破解有方——函数的图象问题题型一对函数图象的直接考查某3例1(2022·四川)函数y＝()3－1破题切入点从函数定义域入手，考虑函数变化趋势，借助特殊值．答案C某3解析由3－1≠0得某≠0，∴函数y＝{某|某≠0}，可排除选项A；当某＝－13－1某－13364时，y＝>0，可排除选项B；当某＝2时，y＝1，当某＝4时，y＝，但从选项D的函128013数图象可以看出函数在(0，＋∞)上是单调递增函数，两者矛盾，可排除选项D.故选C.题型二对函数零点的考查11例2已知函数f(某)满足f(某)＝f()，当某∈[1,3]时，f(某)＝ln 某．若在区间[3]内，函数g(某)＝某3f(某)－a某与某轴有三个不同的交点，则实数a的取值范围是()11A．(0，B．(0，e2eln31ln31C．，)D．[，)3e32e破题切入点求出f(某)在[，3]上的解析式，数形结合解决．3答案C1111解析由题意可知当某在区间[，1]内时，∈[1,3]，f(某)＝f()＝ln＝－ln某，则f(某)＝3某某某1－ln某，某∈[3，1，函数g(某)＝f(某)－a某与某轴有三个不同的交点，即f(某)－a某＝0有三个不ln某，某∈[1，3]，同的根，即f(某)＝a某有三个不同的根，即函数f(某)的图象与直线y＝a某有三个不同的交点，当1某在区间，1)上时，函数f(某)的图象与直线y＝a某有一个交点，当某∈[1,3]时，函数f(某)的图3ln3象与直线y＝a某有两个交点．当直线y＝a某过点(3，ln3)时，a的值满足ln3＝3a，即a＝3当直线y＝a某与f(某)相切时，设切点为(某0，ln 某0)，则点(某0，ln某0)在直线上，故ln某0＝a某0，而111a＝(ln某)′|某某0＝，所以ln某0＝1，某0＝e，即a＝，函数f(某)的图象与直线y＝a某有三个某0某0eln31不同的交点，则a的取值范围是[)．3e题型三综合考查函数图象例3已知函数f(某)的图象与函数h(某)＝某＋＋2的图象关于点A(0,1)对称．某(1)求f(某)的解析式；(2)若g(某)＝f(某)·某＋a某，且g(某)在区间[0,2]上为减函数，求实数a的取值范围．破题切入点(1)根据对称性求f(某)的解析式，考查函数图象的对称变换．(2)求出g(某)的解析式，根据二次函数求字母a 的取值范围．解(1)∵f(某)的图象与h(某)的图象关于点A(0,1)对称，设f(某)图象上任意一点坐标为B(某，y)，某′2＋某0，其关于A(0,1)的对称点为B′(某′，y′)，则y＋y′21，某′＝－某，∴y′＝2－y.∵B′(某′，y′)在h(某)上，∴y′＝某′2.某′1∴2－y＝－某－＋2，某11∴y＝某f(某)＝某＋.某某(2)∵g(某)＝某2＋a某＋1，a又g(某)在[0,2]上为减函数，∴－≥2，即a≤－4.2∴a的取值范围为(－∞，－4]．总结提高(1)求函数图象时首先考虑函数定义域，然后考虑特殊值以及函数变化趋势，特殊值首先考虑坐标轴上的点．(2)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质．(4)在解决综合问题时，图象只能作为分析工具而不能作为解题过程，在应用过程中要使图象尽量准确．1．(2022·山东)函数y＝某co某＋in某的图象大致为()答案Dπ解析函数y＝某co某＋in某为奇函数，排除B.取某C；取某＝π，排除A，故选D.22．(2022·课标全国Ⅰ)如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角某的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成某的函数f(某)，则y＝f(某)在[0，π]的图象大致为()答案B解析|MM′|π如图所示，当某∈(0时，则P(co某，in某)，M(co某,0)，作MM′⊥OP，M′为垂足，则2|OM|f某1π1π＝in某，in某，∴f(某)＝in某co某＝某，则当某＝f(某)ma某＝；当某∈(，π)时，co某2422有f某13π1in(π－某)，f(某)＝－in某co某＝－某，当某＝f(某)ma某＝.只有B选项的图象|co某|242符合．3．(2022·山东)已知函数f(某)＝|某－2|＋1，g(某)＝k某，若方程f(某)＝g(某)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是()11 A．(0，)B．，1)22C．(1,2)D．(2，＋∞)答案B解析先作出函数f(某)＝|某－2|＋1的图象，如图所示，当直线g(某)＝k某与直线AB平行时斜率为1，11当直线g(某)＝k某过Af(某)＝g(某)有两个不相等的实根时，k的范围为(，1)．224．已知函数f(某)＝2某－2，则函数y＝|f(某)|的图象可能是()答案B解析函数f(某)＝2某－2是把函数y＝2某的图象向下平移两个单位长度得到的，由2某－2<0得某<1，即在(－∞，1)上，函数f(某)＝2某－2的图象位于某轴下方，根据指数函数图象的特点，不难看出把某轴下方的部分对称到某轴上方后得到函数y＝|f(某)|的图象．故选B.5．(2022·湖北)已知函数f(某)是定义在R上的奇函数，当某≥0时，f(某)＝(|某－a2|＋|某－2a2|－23a2)．若某∈R，f(某－1)≤f(某)，则实数a的取值范围为()116 A．[－，B．[－]6666113C．[－]D．[－]3333答案B11解析因为当某≥0时，f(某)某－a2|＋|某－2a2|－3a2)，所以当0≤某≤a2时，f(某)＝a2－某＋2a222－某－3a2)＝－某；当a2<某<2a2时，f(某)某－a2＋2a2－某－3a2)＝－a2；21当某≥2a2时，f(某)某－a2＋某－2a2－3a2)＝某－3a2.2－某，0≤某≤a，1222综上，函数f(某)＝(|某－a2|＋|某－2a2|－3a2)在某≥0时的解析式等价于f(某)＝－a，a<某<2a，2某－3a2，某≥2a2.因此，根据奇函数的图象关于原点对称作出函数f(某)在R上的大致图象如下，2观察图象可知，要使某∈R，f(某－1)≤f(某)，则需满足2a2－(－4a2)≤1，解得－66a≤666．(2022·江西)如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，l∥l1，l与半圆相交于F、G两点，与三角形ABC 两边相交于E、D两点．设弧FG的长为某(0<某<π)，y＝EB＋BC＋CD，若l从l1平行移动到l2，则函数y＝f(某)的图象大致是()答案D解析如图所示，连接OF，OG，过点O作OM⊥FG，过点A作AH⊥BC，交DE于点N.因为弧FG的长度为某，所以∠FOG＝某，某ANAE某则AN＝OM＝co＝co，2AHAB223某2323某则AE＝，所以EB＝.323324343某3所以y＝EB＋BC＋CD＝co＋33233某co＋23(0<某<π)．327．已知定义在R上的函数f(某)满足：①函数y＝f(某－1)的图象关于点(1,0)对称；33②对某∈R，f(－某)＝f(＋某)成立；4433③当某∈(]时，f(某)＝log2(－3某＋1)．24则f(2022)＝________.答案－2解析由①知函数y＝f(某)的图象关于原点对称，即函数为奇函数(通过图象变换易推出)，由②333知函数图象关于直线某＝f(－某)＝f(＋某)，由奇函数可得f(某)＝－f(某)，据此可推4223出f某)＝－f(3＋某)，则有f(某)＝f(某＋3)，故函数以3为周期，因此f(2022)＝f(1)＝－f(－1)2＝－log24＝－2.8．已知函数f(某)＝某2＋1的定义域为[a，b](a<b)，值域为[1,5]，则在平面直角坐标系内，点(a，b)的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积是________．答案4解析由f(某)＝某2＋1＝1，得某＝0；由f(某)＝某2＋1＝5，得某2＝4，即某＝±2.如图所示，根据题意，得－2≤a≤0，a＝－2，或所以点(a，b)的运动轨迹与两坐标轴围成的图形是一个边长为2b＝20≤b≤2，的正方形，其面积为4.19．(2022·江苏)已知f(某)是定义在R上且周期为3的函数，当某∈[0,3)时，f(某)＝|某2－2某＋若2函数y＝f(某)－a在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是________．1答案(0，2解析作出函数y＝f(某)在[－3,4]上的图象，f(－3)＝f(－2)＝f(－1)＝f(0)＝f(1)＝f(2)＝f(3)＝f(4)11＝0<a22某|某|y|y|10．方程＋＝－1的曲线即为函数y＝f(某)的图象，对于函数y＝f(某)，有如下结论：①f(某)169在R上单调递减；②函数F(某)＝4f(某)＋3某不存在零点；③函数y＝f(某)的值域是R；④f(某)的图象不经过第一象限．其中正确的有________．答案①②③④解析某|某|y|y|由方程＋＝－1可知，169某，y不可能同时大于0，分类讨论：某2y2当某<0，y≥0时，1表示双曲线的一部分；169某2y2当某<0，y<0时，1表示椭圆的一部分；169y2某2当某≥0，y<01表示双曲线的一部分；916作出图象可知①③④正确，对于②的判断：3某2y2y2某2由于y＝－是双曲线－＝1和1的渐近线，41699163所以结合图形可知曲线y＝f(某)与直线y＝－某没有交点，4则F(某)＝4f(某)＋3某不存在零点．11．已知函数f(某)＝某k＋b(其中k，b∈R且k，b为常数)的图象经过A(4,2)、B(16,4)两点．(1)求f(某)的解析式；(2)如果函数g(某)与f(某)的图象关于直线y＝某对称，解关于某的不等式：g(某)＋g(某－2)>2a(某－2)＋4.k2＝4＋b1解(1)b＝0，k＝f(某)＝某.k24＝16＋b(2)设M(某，y)是曲线y＝g(某)上任意一点，由于函数g(某)与f(某)的图象关于直线y＝某对称，所以M(某，y)关于直线y＝某的对称点M′(y，某)必在曲线y＝f(某)上，所以某＝y，即y＝某2，所以g(某)＝某2(某≥0)，于是g(某)＋g(某－2)>2a(某－2)＋4某－2≥022某＋某－2>2a某－2＋4某≥2.某－a某－2>0①若a≤2，则不等式的解集为{某|某>2}；②若a>2，则不等式的解集为{某|某>a}．12．已知函数y＝f(某)的定义域为R，并对一切实数某，都满足f(2＋某)＝f(2－某)．(1)证明：函数y＝f(某)的图象关于直线某＝2对称；(2)若f(某)是偶函数，且某∈[0,2]时，f(某)＝2某－1，求某∈[－4,0]时f(某)的表达式．(1)证明设P(某0，y0)是函数y＝f(某)图象上任一点，则y0＝f(某0)，点P关于直线某＝2的对称点为P′(4－某0，y0)．因为f(4－某0)＝f[2＋(2－某0)]＝f[2－(2－某0)]＝f(某0)＝y0，所以P′也在y＝f(某)的图象上，所以函数y＝f(某)的图象关于直线某＝2对称．(2)解当某∈[－2,0]时，－某∈[0,2]，所以f(－某)＝－2某－1.又因为f(某)为偶函数，所以f(某)＝f(－某)＝－2某－1，某∈[－2,0]．当某∈[－4，－2]时，4＋某∈[0,2]，所以f(4＋某)＝2(4＋某)－1＝2某＋7，而f(4＋某)＝f(－某)＝f(某)，所以f(某)＝2某＋7，某∈[－4，－2]．2某＋7，某∈[－4，－2]，所以f(某)＝－2某－1，某∈[－2，0].。
2020—2021年最新高考总复习数学(理)二轮复习模拟试题三及答案解析.docx
全国统一高考数学模拟试卷（理科）（新课标I）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A={x|x≤2}，，则A∩B=（）A．[1，2] B．[0，2] C．（1，2] D．[﹣1，0）2．“m=1”是“复数z=m2+mi﹣1为纯虚数”的（）A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知函数f（x）=sinx的图象向右平移m个单位后得到函数g （x）的图象，h（x）=cos（x+），g（x）与h（x）图象的零点重合，则m不可能的值为（）A． B． C．D．﹣4．为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（）A．150 B．180 C．200 D．2805．已知函数g（x）是定义在区间[﹣3﹣m，m2﹣m]上的偶函数（m＞0），且f（x）=，则fA．1 B．2 C．9 D．106．如图为某几何体的三视图，求该几何体的内切球的表面积为（）A．B．3πC．4πD．7．若不等式组表示的区域Ω，不等式（x﹣）2+y2表示的区域为Γ，向Ω区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域Γ中芝麻数约为（）A．114 B．10 C．150 D．508．执行如图所示的程序框图，若输出的S值为﹣4，则条件框内应填写（）A．i＞3？B．i＜5？C．i＞4？D．i＜4？9．已知直线：y=kx﹣k+1与曲线C：x2+2y2=m有公共点，则m 的取值范围是（）A．m≥3 B．m≤3 C．m＞3 D．m＜310．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是正三角形，三棱往的高为，若P是△A 1B1C1中心，且三棱柱的体积为，则PA与平面ABC所成的角大小是（）A． B． C． D．11．如图，已知F1、F2为双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P在第一象限，且满足=，（）•=0，线段PF2与双曲线C交于点Q，若=5，则双曲线C的渐近线方程为（）A．y=±B．y=±C．y=±D．y=±12．已知函数f（x）=x2﹣ax﹣alnx（a∈R），g（x）=﹣x3+x2+2x ﹣6，g（x）在[1，4]上的最大值为b，当x∈[1，+∞）时，f（x）≥b恒成立，则a的取值范围（）A．a≤2 B．a≤1 C．a≤﹣1 D．a≤0二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设某总体是由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号是．14．在四边形ABCD中，AB∥CD，=0，AB=2BC=2CD=2，则在上的投影为．15．已知数列{a n}，{b n}满足a1=，a n+b n=1，b n+1=，n∈N*，则b2016= ．16．过双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2=4cx于点P，O为原点，若，则双曲线的离心率为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．设数列{a n}满足a1=2，a n+1=2a n﹣n+1，n∈N*，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列b n=，求数列{b n}的前n项和S n．18．某课题组对春晚参加“咻一咻”抢红包活动的同学进行调查，按照使用手机系统不同（安卓系统和IOS系统）分别随机抽取5名同学进行问卷调查，发现他们咻得红包总金额数如表所示：手机系统一二三四五安卓系统（元） 2 5 3 20 9IOS系统（元） 4 3 18 9 7 （1）如果认为“咻”得红包总金额超过6元为“咻得多”，否则为“咻得少”，请判断手机系统与咻得红包总金额的多少是否有关？（2）要从5名使用安卓系统的同学中随机选出2名参加一项活动，以X表示选中的同学中咻得红包总金额超过6元的人数，求随机变量X的分布列及数学期望E（X）．下面的临界值表供参考：P（K2≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k）k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828独立性检验统计量，其中n=a+b+c+d．19．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，∠DAB=60°，AD=2，AM=1，E 为AB的中点．（Ⅰ）求证：AN∥平面MEC；（Ⅱ）在线段AM上是否存在点P，使二面角P﹣EC﹣D的大小为？若存在，求出AP的长h；若不存在，请说明理由．20．在平面直角坐标系xOy中，E′F′两点的坐标分别为（0，），（0，﹣），动点G满足：直线E′G与直线F′G的斜率之积为﹣．（1）求动点G的轨迹方程；（2）过点O作两条互相垂直的射线，与（1）中的轨迹分别交于A，B两点，求△OAB面积的最小值．21．已知函数f（x）=x2+ax﹣lnx，a∈R（1）若函数g（x）=+ax﹣f（x），求g（x）在区间[，e]上的最大值；（2）令g（x）=f（x）﹣x2，是否存在实数a，当x∈（0，e]（e 是自然常数）时，函数g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．如图，△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线相交于点E，∠BAC的平分线与BC相交于点D，AE=2BD=2．（1）求证：EA=ED；（2）求DC•BE的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分0分）23．在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线：（t 为参数）与曲线C：（θ为参数）相交于不同的两点A，B．（1）若α=，求线段AB的长度；（2）若直线的斜率为，且有已知点P（2，），求证：|PA|•|PB|=|OP|2．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．（a＞1）（1）若不等式f（x）≥2的解集为{x|x≤或x}，求a的值；（2）∀x∈R，f（x）+|x﹣1|≥1，求实数a的取值范围．2018年全国统一高考数学模拟试卷（理科）（新课标I）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A={x|x≤2}，，则A∩B=（）A．[1，2] B．[0，2] C．（1，2] D．[﹣1，0）【考点】交集及其运算．【分析】求出B中x的范围确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由B中y=，得到，即x＞1，∴B=（1，+∞），∵A=（﹣∞，2]，∴A∩B=（1，2]，故选：C．2．“m=1”是“复数z=m2+mi﹣1为纯虚数”的（）A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】复数z=m2+mi﹣1为纯虚数，m为实数⇔，解得m即可判断出结论．【解答】解：复数z=m2+mi﹣1为纯虚数，m为实数⇔，解得m=±1．∴“m=1”是“复数z=m2+mi﹣1为纯虚数”的充分不必要条件．故选：A．3．已知函数f（x）=sinx的图象向右平移m个单位后得到函数g （x）的图象，h（x）=cos（x+），g（x）与h（x）图象的零点重合，则m不可能的值为（）A． B． C．D．﹣【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，诱导公式，求得m，可得结论．【解答】解：∵函数f（x）=sinx的图象向右平移m个单位后得到g（x）=sin（x﹣m）=cos（﹣x+m）=cos（x﹣m﹣）的图象．又h（x）=cos（x+）的图象，g（x）与h（x）图象的零点重合，故g（x）=cos（x﹣m﹣）和h（x）=cos（x+）的图象相差半个周期，∴=kπ﹣﹣m，即m=kπ﹣，k∈Z，故m的值不会是，故选：B．4．为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（）A．150 B．180 C．200 D．280【考点】计数原理的应用．【分析】根据题意，分析可得人数分配上有两种方式即1，2，2与1，1，3，分别计算两种情况下的情况数目，相加可得答案．【解答】解：人数分配上有两种方式即1，2，2与1，1，3．若是1，1，3，则有C53×A33=60种，若是1，2，2，则有×A33=90种所以共有150种不同的方法．故选：A．5．已知函数g（x）是定义在区间[﹣3﹣m，m2﹣m]上的偶函数（m＞0），且f（x）=，则fA．1 B．2 C．9 D．10【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数奇偶性的定义域的对称性求出m，利用函数的周期性进行转化求解即可．【解答】解：∵函数g（x）是定义在区间[﹣3﹣m，m2﹣m]上的偶函数（m＞0），∴﹣3﹣m+m2﹣m=0，即m2﹣2m﹣3=0，得m=3或m=﹣1，∵m＞0，∴m=3，则当x≥0时，f（x）=f（x﹣3），则f=f（0）=f（﹣3）=（﹣3）2+1=9+1=10，故选：D．6．如图为某几何体的三视图，求该几何体的内切球的表面积为（）A．B．3πC．4πD．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】球心到棱锥各表面的距离等于球的半径，求出棱锥的各面面积，使用体积法求出内切球半径．【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥，作出直观图如图所示：其中SA⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为3的正方形，SA=4．∴SB=SD==5，∴S△SAB=S△SAD=，S△SBC=S△SCD=．S底面=32=9．V棱锥==12．S表面积=6×2+7.5×2+9=36．设内切球半径为r，则球心到棱锥各面的距离均为r．∴S表面积•r=V棱锥．∴r=1．∴内切球的表面积为4πr2=4π．故选C．7．若不等式组表示的区域Ω，不等式（x﹣）2+y2表示的区域为Γ，向Ω区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域Γ中芝麻数约为（）A．114 B．10 C．150 D．50【考点】几何概型；简单线性规划．【分析】作出两平面区域，计算两区域的公共面积，得出芝麻落在区域Γ内的概率．【解答】解：作出平面区域Ω如图：则区域Ω的面积为S△ABC==．区域Γ表示以D（）为圆心，以为半径的圆，则区域Ω和Γ的公共面积为S′=+=．∴芝麻落入区域Γ的概率为=．∴落在区域Γ中芝麻数约为360×=30π+20≈114．故选A．8．执行如图所示的程序框图，若输出的S值为﹣4，则条件框内应填写（）A．i＞3？B．i＜5？C．i＞4？D．i＜4？【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出S的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案．【解答】解：模拟执行程序，可得i=1，S=10满足判断框内的条件，第1次执行循环体，s=10﹣21=8，i=2，满足判断框内的条件，第2次执行循环体，s=8﹣22=4，i=3，满足判断框内的条件，第3次执行循环体，s=4﹣23=﹣4，i=4，此时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出的S值为﹣4，则条件框内应填写：i＜4，故选：D．9．已知直线：y=kx﹣k+1与曲线C：x2+2y2=m有公共点，则m 的取值范围是（）A．m≥3 B．m≤3 C．m＞3 D．m＜3【考点】曲线与方程．【分析】直线：y=kx﹣k+1恒过定点（1，1），利用直线：y=kx ﹣k+1与曲线C：x2+2y2=m有公共点，定点在圆内或圆上，即可得出m的取值范围．【解答】解：直线：y=kx﹣k+1恒过定点（1，1），∵直线：y=kx﹣k+1与曲线C：x2+2y2=m有公共点，∴12+2×12≤m，∴m≥3．故选：A．10．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是正三角形，三棱往的高为，若P是△A 1B1C1中心，且三棱柱的体积为，则PA与平面ABC所成的角大小是（）A． B． C． D．【考点】直线与平面所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意设底面正△ABC的边长为a，过P作PO⊥平面ABC，垂足为O，则点O为底面△ABC的中心，故∠PAO即为PA与平面ABC所成角，由此能求出PA与平面ABC所成的角．【解答】解：由题意设底面正△ABC的边长为a，过P作PO⊥平面ABC，垂足为O，则点O为底面△ABC的中心，故∠PAO即为PA与平面ABC所成角，∵|OA|==，|OP|=，又∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中体积为，∴由直棱柱体积公式得V==，解得a=，∴tan∠PAO==，∴，∴PA与平面ABC所成的角为．故选：C．11．如图，已知F1、F2为双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P在第一象限，且满足=，（）•=0，线段PF2与双曲线C交于点Q，若=5，则双曲线C的渐近线方程为（）A．y=±B．y=±C．y=±D．y=±【考点】双曲线的标准方程．【分析】由题意，|PF1|=|F1F2|2c，|QF1|=a，|QF2|=a，由余弦定理可得=，确定a，b的关系，即可求出双曲线C的渐近线方程．【解答】解：由题意，（）•=0，∴|PF1|=|F1F2|=2c，|QF1|=a，|QF2|=a，∴由余弦定理可得=，∴c=a，∴b=a，∴双曲线C的渐近线方程为y=x．故选：B．12．已知函数f（x）=x2﹣ax﹣alnx（a∈R），g（x）=﹣x3+x2+2x ﹣6，g（x）在[1，4]上的最大值为b，当x∈[1，+∞）时，f（x）≥b恒成立，则a的取值范围（）A．a≤2 B．a≤1 C．a≤﹣1 D．a≤0【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数的最值及其几何意义．【分析】利用导数与函数的单调性关系判断g（x）的单调性求出g（x）在[1，4]上的最大值b，对a进行讨论判断f（x）在[1，+∞）上的单调性，令f min（x）≥b解出a的范围．【解答】解：g′（x）=﹣3x2+5x+2，令g′（x）=0得x=2或x=﹣．当1≤x＜2时，g′（x）＞0，当2＜x＜4时，g′（x）＜0，∴g（x）在[1，2）上单调递增，在（2，4]上单调递减，∴b=g（2）=0．∴f（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，f′（x）=2x﹣a﹣=，令h（x）=2x2﹣ax﹣a，△=a2+8a．（1）若△=a2+8a≤0，即﹣8≤a≤0，则h（x）≥0恒成立，∴f′（x）≥0恒成立，∴f（x）在[1，+∞）上是增函数，∴f min（x）=f（1）=1﹣a≥0，解得a≤1，∴﹣8≤a≤0．（2）若△=a2+8a＞0，即a＜﹣8或a＞0．令f′（x）=0得h（x）=0，解得x=（舍）或x=．若a＜﹣8，则＜0，则h（x）＞0在[1，+∞）上恒成立，∴f′（x）＞0恒成立，∴f（x）在[1，+∞）上是增函数，∴f min（x）=f（1）=1﹣a≥0，解得a≤1，∴a＜﹣8．若0＜≤1，即0＜a≤1，则h（x）＞0在[1，+∞）上恒成立，∴f′（x）≥0恒成立，∴f（x）在[1，+∞）上是增函数，∴f min（x）=f（1）=1﹣a≥0，解得a≤1，∴0＜a≤1．若＞1，即a＞1时，则1≤x＜时，h（x）＜0，当x＞时，h（x）＞0．∴1≤x＜时，f′（x）＜0，当x＞时，f′（x）＞0．∴f（x）在[1，]上单调递减，在（，+∞）上单调递增．此时f min（x）＜f（1）=1﹣a＜0，不符合题意．综上，a的取值范围是（﹣∞，1]．故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设某总体是由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号是10 ．【考点】简单随机抽样．【分析】根据随机数表，依次进行选择即可得到结论．【解答】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号依次为08，02，14，07，02，10，．其中第二个和第四个都是02，重复．可知对应的数值为08，02，14，07，10，则第5个个体的编号为10．故答案为：1014．在四边形ABCD中，AB∥CD，=0，AB=2BC=2CD=2，则在上的投影为﹣．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】先建立坐标系，根据坐标的运算和向量的投影即可求出．【解答】解：∵AB∥CD，=0，AB=2BC=2CD=2，以B为坐标原点，以BA为x轴，BC为y轴，建立如图所示的坐标系，∴A（2，0），C（0，1），D（1，1），∴=（﹣1，1），=（﹣2，1），∴•=﹣1×（﹣2）+1×1=3，||=，∴在上的投影为=﹣=﹣，故答案为：﹣．15．已知数列{a n}，{b n}满足a1=，a n+b n=1，b n+1=，n∈N*，则b2016= ．【考点】数列递推式．【分析】数列{a n}，{b n}满足a1=，a n+b n=1，b n+1=，n∈N*，可得b1=1﹣a1=，b n+1==．求出b2，b3，b4，…，猜想：b n=，即可得出．【解答】解：∵数列{a n}，{b n}满足a1=，a n+b n=1，b n+1=，n∈N*，∴b1=1﹣a1=，b n+1==．∴b2=，b3=，b4=，…，猜想：b n=，经过验证：b n+1=成立．则b2016=．故答案为：．16．过双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2=4cx于点P，O为原点，若，则双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题设知|EF|=b，|PF|=2b，|PF′|=2a，过F点作x轴的垂线l，过P点作PD⊥l，则l为抛物线的准线，据此可求出P点的横坐标，后在Rt△PDF中根据勾股定理建立等式，由此能求出双曲线的离心率．【解答】解：∵|OF|=c，|OE|=a，OE⊥EF∴|EF|=b，∵，∴E为PF的中点，|PF|=2b，又∵O为FF′的中点，∴PF′∥EO，∴|PF′|=2a，∵抛物线方程为y2=4cx，∴抛物线的焦点坐标为（c，0），即抛物线和双曲线右支焦点相同，过F点作x轴的垂线l，过P点作PD⊥l，则l为抛物线的准线，∴PD=PF′=2a，∴P点横坐标为2a﹣c，设P（x，y），在Rt△PDF中，PD2+DF2=PF2，即4a2+y2=4b2，4a2+4c（2a﹣c）=4（c2﹣b2），解得e=故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．设数列{a n}满足a1=2，a n+1=2a n﹣n+1，n∈N*，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列b n=，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由数列{a n}满足a1=2，a n+1=2a n﹣n+1，n∈N*，变形为a n+1﹣（n+1）=2（a n﹣n），利用等比数列的通项公式即可得出．（2）b n==，利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：（1）∵数列{a n}满足a1=2，a n+1=2a n﹣n+1，n∈N*，∴a n+1﹣（n+1）=2（a n﹣n），∴数列{a n﹣n}是等比数列，首项为1，公比为2．∴a n﹣n=2n﹣1，即a n=n+2n﹣1．（2）b n===，∴数列{b n}的前n项和S n=++…++==﹣．18．某课题组对春晚参加“咻一咻”抢红包活动的同学进行调查，按照使用手机系统不同（安卓系统和IOS系统）分别随机抽取5名同学进行问卷调查，发现他们咻得红包总金额数如表所示：手机系统一二三四五安卓系统（元） 2 5 3 20 9IOS系统（元） 4 3 18 9 7（1）如果认为“咻”得红包总金额超过6元为“咻得多”，否则为“咻得少”，请判断手机系统与咻得红包总金额的多少是否有关？（2）要从5名使用安卓系统的同学中随机选出2名参加一项活动，以X表示选中的同学中咻得红包总金额超过6元的人数，求随机变量X的分布列及数学期望E（X）．下面的临界值表供参考：0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001P（K2≥k）k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828独立性检验统计量，其中n=a+b+c+d．【考点】独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）根据题意列出2×2列联表，根据2×2列联表，代入求临界值的公式，求出观测值，利用观测值同临界值表进行比较，K2=0.4＜2.706，可得到没有足够的理由认为手机系统与咻得红包总金额的多少有关；（2）由题意求得X的取值0，1，2，运用排列组合的知识，可得各自的概率，求得X的分布列，由期望公式计算即可得到（X）．；【解答】解：（1）根据题意列出2×2列联表如下：咻得多少咻得多咻得少合计手机系统安卓 3 2 5IOS 2 3 5合计 5 5 10K2==0.4＜2.706，所以没有足够的理由认为手机系统与咻得红包总金额的多少有关．（2）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，P（X=0）==；P（X=1）==；P（X=2）==故X的分布列为：X 0 1 2P∴数学期望E（X），E（X）=0×+1×+2×=0.8．19．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，∠DAB=60°，AD=2，AM=1，E 为AB的中点．（Ⅰ）求证：AN∥平面MEC；（Ⅱ）在线段AM上是否存在点P，使二面角P﹣EC﹣D的大小为？若存在，求出AP的长h；若不存在，请说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（I）利用CM与BN交于F，连接EF．证明AN∥EF，通过直线与平面平行的判定定理证明AN∥平面MEC；（II）对于存在性问题，可先假设存在，即假设x在线段AM上是否存在点P，使二面角P﹣EC﹣D的大小为．再通过建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用坐标法进行求解判断．【解答】解：（I）CM与BN交于F，连接EF．由已知可得四边形BCNM是平行四边形，所以F是BN的中点．因为E是AB的中点，所以AN∥EF．…又EF⊂平面MEC，AN⊄平面MEC，所以AN∥平面MEC．…（II）由于四边形ABCD是菱形，E是AB的中点，可得DE⊥AB．又四边形ADNM是矩形，面ADNM⊥面ABCD，∴DN⊥面ABCD，如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，则D（0，0，0），E（，0，0），C（0，2，0），P（，﹣1，h），=（，﹣2，0），=（0，﹣1，h），设平面PEC的法向量为=（x，y，z）．则，∴，令y=h，∴=（2h，h，），又平面ADE的法向量=（0，0，1），∴cos＜，＞===，解得h=，∴在线段AM上是否存在点P，当h=时使二面角P﹣EC﹣D 的大小为．20．在平面直角坐标系xOy中，E′F′两点的坐标分别为（0，），（0，﹣），动点G满足：直线E′G与直线F′G的斜率之积为﹣．（1）求动点G的轨迹方程；（2）过点O作两条互相垂直的射线，与（1）中的轨迹分别交于A，B两点，求△OAB面积的最小值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．【分析】（1）设动点G的坐标（x，y），直线E'G的斜率，直线F'G的斜率（x≠0），由直线E′G与直线F′G的斜率之积为﹣，能求出求动点G的轨迹方程；（2）设直线AB的方程为y=kx+m，联立，得3x2+4（k2x2+2kmx+m2）﹣12=0，由此利用韦达定理、点到直线距离公式、椭圆性质，结合已知能求出△OAB面积的最小值．【解答】解：（1）∵，设动点G的坐标（x，y），∴直线E'G的斜率，直线F'G的斜率（x≠0），又，∴，∴动点G的轨迹方程为．（4分）（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+m，联立，消去y，得3x2+4（k2x2+2kmx+m2）﹣12=0，，，∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0，∴x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，即，把，代入，得，整理得7m2=12（k2+1），∴O到直线AB的距离d===，∵OA⊥OB，∴OA2+OB2=AB2≥2OA•OB，当且仅当OA=OB时取“=”号．由d•AB=OA•OB，得d，∴AB≥2d=，即弦AB的长度的最小值是，∴△OAB面积的最小值为．21．已知函数f（x）=x2+ax﹣lnx，a∈R（1）若函数g（x）=+ax﹣f（x），求g（x）在区间[，e]上的最大值；（2）令g（x）=f（x）﹣x2，是否存在实数a，当x∈（0，e]（e 是自然常数）时，函数g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）令g′（x）=0得出g（x）的极值点，判断g（x）在[，e]上的单调性，根据单调性得出最大值；（2）对a进行讨论，判断g（x）在（0，e]上的单调性，求出最小值，令最小值为3解出a．【解答】解：（1）g（x）=﹣+lnx，g′（x）=﹣x+=．∴当≤x＜1时，g′（x）＞0，当1＜x≤e时，g′（x）＜0．∴g（x）在[，1]上单调递增，在（1，e]上单调递减，∴当x=1时，g（x）在[，e]上取得最大值g（1）=﹣．（2）g（x）=ax﹣lnx，g′（x）=a﹣．当a≤0时，g′（x）＜0，g（x）在（0，e]上是减函数，∴g min（x）=g（e）=ae﹣1=3，解得a=（舍）．当a＞0时，令g′（x）=0得x=．∴当0＜x＜时，g′（x）＜0，当x＞时，g′（x）＞0．当0＜＜e即a＞时，g（x）在（0，]上单调递减，在（，e]上单调递增，∴g min（x）=g（）=1﹣ln=3，解得a=e2．当≥e即0＜a≤时，g（x）在（0，e]上是减函数，∴g min（x）=g（e）=ae﹣1=3，解得a=（舍）．综上，a=e2．[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．如图，△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线相交于点E，∠BAC的平分线与BC相交于点D，AE=2BD=2．（1）求证：EA=ED；（2）求DC•BE的值．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的判定；相似三角形的性质．【分析】（1）由圆的弦切角定理和内角平分线的性质，可得∠DAE=∠ADE，即可得证；（2）由对应角相等，可得△ABE∽△CAE，由相似三角形的性质和内角平分线定理，可得DB•DE=DC•BE，代入计算即可得到所求值．【解答】解：（1）证明：∠ADE=∠ABD+∠BAD，∠DAE=∠DAC+∠EAC，由AE为△ABC的外接圆的切线，由弦切角定理可得∠ABD=∠EAC，①由AD为∠BAC的平分线，可得∠BAD=∠DAC，②①②相加可得∠DAE=∠ADE，则EA=ED．（2）∵∴△ABE∽△CAE，∴，又∵，∴，即DB•AE=DC•BE，由（1）知EA=ED，∴DB•DE=DC•BE．根据已知条件AE=2BD=2．可得BD=1，EA=ED=2，所以DB•DE=DC•BE=2．[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分0分）23．在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线：（t 为参数）与曲线C：（θ为参数）相交于不同的两点A，B．（1）若α=，求线段AB的长度；（2）若直线的斜率为，且有已知点P（2，），求证：|PA|•|PB|=|OP|2．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由曲线C：（θ为参数），利用平方关系可得C的普通方程．当时，直线方程为：（t为参数），代入代入曲线C的普通方程，得13t2+56t+48=0，利用一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式即可得出．（2）将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，化为：（cos2α+4sin2α）t2+（8sinα+4cosα）t+12=0，利用根与系数的关系即可得出．【解答】解：（1）由曲线C：（θ为参数），可得C的普通方程是=1．当时，直线方程为：（t为参数），代入曲线C的普通方程，得13t2+56t+48=0，则线段AB的长度为．（2）证明：将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，化为：（cos2α+4sin2α）t2+（8sinα+4cosα）t+12=0，∵，而直线的斜率为，则代入上式求得|PA|•|PB|=7．又，∴|PA|•|PB|=|OP|2．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．（a＞1）（1）若不等式f（x）≥2的解集为{x|x≤或x}，求a的值；（2）∀x∈R，f（x）+|x﹣1|≥1，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集，根据对应关系求出a的值即可；（2）问题转化为：2|x﹣1|+|x﹣a|≥1．通过讨论x的范围，求出不等式的解集，从而确定出a的范围即可．【解答】解：（1），x≥a时，2x﹣a﹣1≥2得，x＜1时，﹣2x+a+1≥2得综上得：a=2．（2）由x∈R，f（x）+|x﹣1|≥1可得2|x﹣1|+|x﹣a|≥1．当x≥a时，只要3x﹣2﹣a≥1恒成立即可，此时只要；当1＜x≤a时，只要x﹣2+a≥1恒成立即可，此时只要1﹣2+a ≥1⇒a≥2；当x＜1时，只要﹣3x+2+a≥1恒成立即可，此时只要﹣3+2+a ≥1⇒a≥2，综上a∈[2，+∞）．2016年10月16日。
2020—2021年最新高考总复习数学(理)二轮复习模拟试题及答案解析三.docx
高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A={x|x2+x﹣6≤0}，集合B为函数的定义域，则A∩B=( )A．（1，2）B．[1，2] C．[1，2）D．（1，2]2．已知复数z1=a+2i，z2=1﹣2i，若是纯虚数，则实数a的值为( )A．﹣2 B．1 C．2 D．43．执行如图所示的程序框图，若输出值x∈（16，25），则输入x值可以是( )A．0 B．2 C．4 D．64．在区域内任取一点P，则点P落在单位圆x2+y2=1内的概率为( )A．B．C．D．5．市教科所派4名教研员到3个县调研该县的2015届高三复习备课情况，要求每个县至少派1名教研员，则不同的分配方案种数为( )A．81 B．72 C．64 D．366．已知平面向量，的夹角为，且||=，||=2，在△ABC 中，=2+2，=2﹣6，D为BC中点，则||=( ) A．2 B．4 C．6 D．87．已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为( )A．y=±2x B．C．D．8．给出互不重合的直线m、n、l和互不重合的平面α、β，下列四个命题：①若m⊂α，l∩α=A，A∉m，则l与m不共面；②若l、m是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；③若l⊂α，m⊂α，l∩m=A，l∥β，m∥β，则α∥β；④若l∥α，m∥β，α∥β，则l∥m．其中真命题有( )A．1个B．2个C．3个D．4个9．某几何体的三视图（单位：cm）如图，则这个几何体的体积为( )cm3．A．B．C．D．10．给出下列四个命题：①命题“∀x∈R，x2≤0”的否定是“∃x∈R，x2≤0”②线性相关系数r的绝对值越接近于1，两个随机变量线性相关性越强；③“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的充分不必要条件；④若随机变量ξ～N（2，1），且P（ξ＞3）=0.1587，则P（ξ＞1）=0.8413；⑤命题p：f（x）=xsinx为奇函数，命题q：f（x）=cosx+1为偶函数，p∨q为假命题．其中真命题的是( )A．①②B．③④C．③⑤D．②④11．如图过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=4，则抛物线的方程为( )A．y2=8x B．y2=4x C．y2=2x D．y2=x12．已知f（x）=，不等式f（x+a）＞f（2a﹣x）在[a，a+1]上恒成立，则实数a的取值范围是( )A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣∞，0）C．（0，2）D．（﹣2，0）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若二项式的展开式的常数项为﹣160，则=__________．14．已知不等式＜0的解集为{x|a＜x＜b}，点A（a，b）在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则+的最小值为__________．15．设函数f（x）=（x＞0），观察：f1（x）=f（x）=，f2（x）=f（f1（x））=，f3（x）=f（f2（x））=，…．根据以上事实，由此归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，f n（x）=f（f n﹣1（x））=__________．16．设A为非空实数集，若∀x，y∈A都有x+y，x﹣y，xy∈A，则称A为封闭集．①集合A={﹣2，﹣1，0，1，1}为封闭集；②集合A={n|n=2k，k ∈Z}为封闭集；③若集合A1，A2为封闭集，则A1∪A2为封闭集；④若A为封闭集，则一定有0∈A．其中正确结论的序号是__________．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知向量=（2cosx，sinx），=（cosx，2cosx）（x∈R），设函数f（x）=﹣1．（1）求函数f（x）；（2）已知锐角△ABC的三个内角分别为A，B，C，若f（A）=2，B=，边AB=3，求边BC的长．18．雾霾天气严重影响我们的生活，加强环境保护是今年两会关注的热点，我国的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在0﹣50为优秀，各类人群可正常活动．某市环保局对全市2014年进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为（5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图．（1）求a的值；（2）根据样本数据，试估计这一年的空气质量指数的平均值；（3）如果空气质量指数不超过15，就认定空气质量为“特优等级”，则从这一年的监测数据中随机抽取3天的数值，其中达到“特优等级”的天数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA ⊥底面ABCD，M是棱PD的中点，且PA=AB=AC=2，．（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAC；（Ⅱ）求二面角M﹣AB﹣C的大小；（Ⅲ）如果N是棱AB上一点，且直线CN与平面MAB所成角的正弦值为，求的值．20．平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：（a＞b＞0）过右焦点的直线交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为．（1）求椭圆M的方程；（2）若C，D为椭圆M上的两点，且CD⊥AB，求|CD|的最大值．21．已知定义在（1，+∞）上的函数f（x）=x﹣lnx﹣2，g（x）=xlnx+x．（1）求证：f（x）存在唯一的零点，且零点属于（3，4）；（2）若k∈Z，且g（x）＞k（x﹣1）对任意的x＞1恒成立，求k的最大值．请从下面所给的22，23，24三题中选定一题作答.并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.选修4-1：几何证明选讲22．（文科）如图，已知PA与圆O相切于点A，半径OB⊥OP，AB交PO于点C．（Ⅰ）求证：PA=PC；（Ⅱ）若圆O的半径为3，OP=5，求BC的长度．选讲4-4；坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为（，），直线l 的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=a，且点A在直线l上，（1）求a的值及直线l的直角坐标方程；（2）圆C的参数方程为（α为参数），试判断直线l与圆C的位置关系．选修4-5：不等式选讲24．已知不等式|x﹣2|＞1的解集与关于x的不等式x2﹣ax+b＞0的解集相等．（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）求函数的最大值，以及取得最大值时x的值．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A={x|x2+x﹣6≤0}，集合B为函数的定义域，则A∩B=( )A．（1，2）B．[1，2] C．[1，2）D．（1，2]考点：并集及其运算．专题：集合．分析：根据函数成立的条件，求出函数的定义域B，根据不等式的性质求出集合A，然后根据并集的定义即可得到结论．解答：解：A={x|x2+x﹣6≤0}={x|﹣3≤x≤2}=[﹣3，2]，要使函数y=有意义，则x﹣1＞0，即x＞1，∴函数的定义域B=（1，+∞），则A∩B=（1，2]，故选：D．点评：本题主要考查集合的基本运算，利用函数成立的条件求出函数的定义域y以及利用不等式的解法求出集合A是解决本题的关键，比较基础2．已知复数z1=a+2i，z2=1﹣2i，若是纯虚数，则实数a的值为( )A．﹣2 B．1 C．2 D．4考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．解答：解：∵===是纯虚数，则，解得a=4．故选：D．点评：本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，属于基础题．3．执行如图所示的程序框图，若输出值x∈（16，25），则输入x值可以是( )A．0 B．2 C．4 D．6考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，n的值，当n=4时，不满足条件n≤3，退出循环，输出x的值，由x=2[2（2x+1）+1]+1=8x+7∈（16，25），结合各个选项即可得解．解答：解：模拟执行程序框图，可得n=1满足条件n≤3，x=2x+1，n=2满足条件n≤3，x=2（2x+1）+1，n=3满足条件n≤3，x=2[2（2x+1）+1]+1，n=4不满足条件n≤3，退出循环，输出x的值∵由题意可得：x=2[2（2x+1）+1]+1=8x+7∈（16，25），∴可解得：，故选：B．点评：本题主要考查了程序框图和算法，模拟执行程序框图，得到退出循环时x=2[2（2x+1）+1]+1=8x+7是解题的关键，属于基础题．4．在区域内任取一点P，则点P落在单位圆x2+y2=1内的概率为( )A．B．C．D．考点：几何概型；二元一次不等式（组）与平面区域．专题：概率与统计．分析：作出不等式组对应的平面区域，求出对应的面积，结合几何概型的概率公式即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：则B（﹣，0），C（，0），A（0，），则△ABC的面积S=，点P落在单位圆x2+y2=1内的面积S=，则由几何概型的概率公式得则点P落在单位圆x2+y2=1内的概率为=，故选：C．点评：本题主要考查几何概型的概率的计算，利用数形结合求出对应的区域面积是解决本题的关键．5．市教科所派4名教研员到3个县调研该县的2015届高三复习备课情况，要求每个县至少派1名教研员，则不同的分配方案种数为( )A．81 B．72 C．64 D．36考点：排列、组合的实际应用；排列、组合及简单计数问题．专题：计算题；概率与统计．分析：根据题意，分2步进行分析：①、将4名教研员分成3组，其中一组有2人，②、将分好的三个组，对应要分到的3个县，对3个教研员进行全排列即可，进而由分步计数原理计算可得答案．解答：解：根据题意，分2步进行分析：①、将4名教研员分成3组，其中一组有2人，有C42=6种分组方法，②、将分好的三个组，对应要分到的3个县，有A33=6种对应的方法，则一共有6×6=36种不同的分配方案；故选：D．点评：本题考查分步计数原理的运用，注意题干中“每个县至少派1名教研员”的条件限制．6．已知平面向量，的夹角为，且||=，||=2，在△ABC 中，=2+2，=2﹣6，D为BC中点，则||=( ) A．2 B．4 C．6 D．8考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由已知中平面向量，的夹角为，且||=，||=2，=3，再由D为边BC的中点，==2，利用平方法可求出2=4，进而得到答案．解答：解：∵平面向量，的夹角为，且||=，||=2，∴=||||cos=3，∵由D为边BC的中点，∴==2，∴2=（2）2=4，∴=2；故选：A．点评：本题考查了平面向量数量积，向量的模，一般地求向量的模如果没有坐标，可以通过向量的平方求模．7．已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为( )A．y=±2x B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：由离心率的值，可设，则得，可得的值，进而得到渐近线方程．解答：解：∵，故可设，则得，∴渐近线方程为，故选C．点评：本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出的值是解题的关键．8．给出互不重合的直线m、n、l和互不重合的平面α、β，下列四个命题：①若m⊂α，l∩α=A，A∉m，则l与m不共面；②若l、m是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；③若l⊂α，m⊂α，l∩m=A，l∥β，m∥β，则α∥β；④若l∥α，m∥β，α∥β，则l∥m．其中真命题有( )A．1个B．2个C．3个D．4个考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：证明题．分析：由异面直线判定定理，可以判断①的真假；根据线面平行的性质及线面垂直判定定理，可以判断②的真假；根据面面平行的判定定理，可以判断③的真假，根据线面平行的几何特征及面面平行的几何特征，可以判断④的真假，进而得到答案．解答：解：∵①中若m⊂α，l∩α=A，A∉m，由异面直线判定定理可得l与m异面，故①为真命题；②中若l、m是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α，故②为真命题；③中若l⊂α，m⊂α，l∩m=A，l∥β，m∥β，则α∥β，故③为真命题；④中若l∥α，m∥β，α∥β，则l与m可能平行，也可能相交，也可能异面，故④为假命题．故真命题的个数有3个，故选C点评：本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系，其中熟练掌握空间中直线与直线，直线与平面及平面与平面之间各种位置关系的定义，判定，性质及几何特征，是解答本题的关键．9．某几何体的三视图（单位：cm）如图，则这个几何体的体积为( )cm3．A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：首先把三视图转化成几何体，得知该几何体是三棱柱，进一步利用三棱柱的体积关系式求出结果．解答：解：根据三视图得知：该几何体是一个倒放的三棱柱，几何体的底面面积为：S==所以：V=故选：B点评：本题考查的知识要点：三视图和复原图的应用，利用体积关系式求几何体的体积，主要考查学生的空间想象能力和应用能力．10．给出下列四个命题：①命题“∀x∈R，x2≤0”的否定是“∃x∈R，x2≤0”②线性相关系数r的绝对值越接近于1，两个随机变量线性相关性越强；③“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的充分不必要条件；④若随机变量ξ～N（2，1），且P（ξ＞3）=0.1587，则P（ξ＞1）=0.8413；⑤命题p：f（x）=xsinx为奇函数，命题q：f（x）=cosx+1为偶函数，p∨q为假命题．其中真命题的是( )A．①②B．③④C．③⑤D．②④考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：①利用命题的否定定义，即可判断出正误；②根据线性相关性的性质，即可判断出正误；③利用对数函数的单调性与定义域，即可判断出正误；④利用正态分布的对称性，即可判断出正误；⑤利用函数的奇偶性的定义、复合命题真假的判定方法即可判断出．解答：解：①命题“∀x∈R，x2≥0”的否定是“∃x∈R，x2＜0”，因此不正确；②线性相关系数r的绝对值越接近于1，表明两个随机变量线性相关性越强，正确；③“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的既不充分也不必要条件，因此不正确；④若随机变量ξ～N（2，1），且P（ξ＞3）=0.1587，则P（ξ＞1）=1﹣P（ξ＜1）=1﹣P（ξ＞3）=0.8413，正确；⑤命题p：f（x）=xsinx为偶函数，因此p是假命题，命题q：f （x）=cosx+1为偶函数，∴p∨q为真命题．其中真命题的是②④．故选：D．点评：本题考查了简易逻辑的判定方法、概率统计的有关内容、函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．如图过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=4，则抛物线的方程为( )A．y2=8x B．y2=4x C．y2=2x D．y2=x考点：抛物线的标准方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|=a，根据抛物线定义可知|BD|=a，进而推断出∠BCD的值，在直角三角形中求得a，进而根据BD∥FG，利用比例线段的性质可求得p，则抛物线方程可得．解答：解：如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|=a，则由已知得：|BC|=2a，由定义得：|BD|=a，故∠BCD=30°，在直角三角形ACE中，∵|AF|=4，|AC|=4+3a，∴2|AE|=|AC|∴4+3a=8，从而得a=，∵BD∥FG，∴=求得p=2，因此抛物线方程为y2=4x．故选：B．点评：本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了学生对抛物线的定义和基本知识的综合把握．12．已知f（x）=，不等式f（x+a）＞f（2a﹣x）在[a，a+1]上恒成立，则实数a的取值范围是( )A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣∞，0）C．（0，2）D．（﹣2，0）考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据二次函数的单调性容易判断出函数f（x）在R上单调递减，所以根据题意得到x+a＜2a﹣x，即2x＜a在[a，a+1]上恒成立，所以只需满足2（a+1）＜a，解该不等式即得实数a的取值范围．解答：解：二次函数x2﹣4x+3的对称轴是x=2；∴该函数在（﹣∞，0]上单调递减；∴x2﹣4x+3≥3；同样可知函数﹣x2﹣2x+3在（0，+∞）上单调递减；∴﹣x2﹣2x+3＜3；∴f（x）在R上单调递减；∴由f（x+a）＞f（2a﹣x）得到x+a＜2a﹣x；即2x＜a；∴2x＜a在[a，a+1]上恒成立；∴2（a+1）＜a；∴a＜﹣2；∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）．故选：A．点评：考查二次函数的对称轴，二次函数的单调性，以及分段函数单调性的判断方法，函数单调性定义的运用，以及一次函数的单调性．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若二项式的展开式的常数项为﹣160，则=ln2．考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项，再根据常数项等于﹣160求得实数a 的值，从而求得的值．解答：解：二项式的展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r•a6﹣r•x6﹣2r，令6﹣2r=0，可得常数项为﹣•a3=﹣160，求得a=2，∴=lnx=ln2﹣ln1=ln2，故答案为：ln2．点评：本题主要考查求定积分，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14．已知不等式＜0的解集为{x|a＜x＜b}，点A（a，b）在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则+的最小值为9．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：不等式＜0的解集为{x|a＜x＜b}，可得a=﹣2，b=﹣1，代入直线方程可得m、n的关系，再利用1的代换结合均值不等式求解即可．解答：解：不等式＜0的解集为{x|a＜x＜b}，∴a=﹣2，b=﹣1，∵点A（a，b）在直线mx+ny+1=0上，∴﹣2m﹣n+1=0，即2m+n=1，∵mn＞0，∴m＞0，n＞0，∴+=（+）（2m+n）=5++≥5+2=9当且仅当m=n=时取等号，即+的最小值为9．故答案为：9．点评：本题考查了不等式的解法和均值不等式等知识点，运用了整体代换思想，是2015届高考考查的重点内容．15．设函数f（x）=（x＞0），观察：f1（x）=f（x）=，f2（x）=f（f1（x））=，f3（x）=f（f2（x））=，…．根据以上事实，由此归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，f n（x）=f（f n﹣1（x））=．考点：归纳推理．专题：综合题；推理和证明．分析：观察所给的前四项的结构特点，先观察分子，只有一项组成，并且没有变化，在观察分母，有两部分组成，是一个一次函数，根据一次函数的一次项系数与常数项的变化特点，得到结果．解答：解：∵函数f（x）=（x＞0），观察f1（x）=f（x）=，f2（x）=f（f1（x））=，f3（x）=f（f2（x））=，…所给的函数式的分子不变都是x，而分母是由两部分的和组成，第一部分的系数分别是1，3，7，15…2n﹣1，第二部分的数分别是2，4，8，16…2n∴f n（x）=f（f n﹣1（x））=，故答案为：．点评：本题考查归纳推理，实际上本题考查的重点是给出一个数列的前几项写出数列的通项公式，本题是一个综合题目，知识点结合的比较巧妙．16．设A为非空实数集，若∀x，y∈A都有x+y，x﹣y，xy∈A，则称A为封闭集．①集合A={﹣2，﹣1，0，1，1}为封闭集；②集合A={n|n=2k，k ∈Z}为封闭集；③若集合A1，A2为封闭集，则A1∪A2为封闭集；④若A为封闭集，则一定有0∈A．其中正确结论的序号是②④．考点：命题的真假判断与应用．专题：集合；简易逻辑．分析：①由于﹣2﹣1=﹣3∉A，即可判断出集合A不是封闭集；②利用封闭集的定义即可判断出正误；③反例A1={n|n=k，k∈Z}，A2={n|n=k，k∈Z}，利用封闭集的定义即可判断出正误；④若A为封闭集，∀x∈A都有x﹣x=0∈A，即可判断出正误．解答：解：①∵﹣2﹣1=﹣3∉A，因此集合A={﹣2，﹣1，0，1，1}不是封闭集；②∀2k1，2k2∈A（k1，k2∈Z），则2k1+2k2∈A，2k1﹣2k2∈A，2k1•2k2∈A，因此集合A={n|n=2k，k∈Z}为封闭集；③反例A1={n|n=k，k∈Z}，A2={n|n=k，k∈Z}；虽然集合A1，A2为封闭集，但是A1∪A2不是封闭集，因此不正确；④若A为封闭集，∀x∈A都有x﹣x=0∈A，则一定有0∈A，正确．其中正确结论的序号是②④．故答案为：②④．点评：本题考查了新定义“封闭集”、集合的运算及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知向量=（2cosx，sinx），=（cosx，2cosx）（x∈R），设函数f（x）=﹣1．（1）求函数f（x）；（2）已知锐角△ABC的三个内角分别为A，B，C，若f（A）=2，B=，边AB=3，求边BC的长．考点：余弦定理；平面向量数量积的运算．专题：解三角形；平面向量及应用．分析：（1）利用向量的数量积坐标运算得到f（x），进一步化简得到解析式；（2）由（1）得到关于A的方程，解得A，结合已知，求得C，解答：解：（1）f（x）=﹣1=2cos2x+2sinxcosx﹣1=cos2x sin2x=2（cos2x+sin2x）=2cos（2x﹣）．（2）若f（A）=2，则f（A）=2cos（2A﹣）=2，即cos（2A﹣）=1，则2A﹣=0，解得A=，∵B=，边AB=3，∴C=π﹣﹣=，sin=，由正弦定理所以，解得BC=．点评：本题考查了向量的数量积坐标运算以及三角函数的恒等变形、利用正弦定理解三角形；计算稍繁，注意细心．18．雾霾天气严重影响我们的生活，加强环境保护是今年两会关注的热点，我国的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在0﹣50为优秀，各类人群可正常活动．某市环保局对全市2014年进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为（5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图．（1）求a的值；（2）根据样本数据，试估计这一年的空气质量指数的平均值；（3）如果空气质量指数不超过15，就认定空气质量为“特优等级”，则从这一年的监测数据中随机抽取3天的数值，其中达到“特优等级”的天数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（1）由频率分布直方图可得样本数据在各组的频率，再由频率和为1求得a值；（2）直接由每个矩形中点的横坐标乘以频率作和得答案；（3）求出50天中特优等级的天数及“特优等级”的天数ξ的值，再由古典概型概率计算公式求得相应的概率，列出频率分布表，代入期望公式求期望．解答：解：（1）由频率分布直方图可得，样本数据在（5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]的频率分别为：0.18，0.32，10a，0.20，由0.18+0.32+10a+0.20=1，得：a=0.03；（2）这一年的空气质量指数的平均值为：10×0.18+20×0.32+30×0.3+40×0.20=25.2；（3）由50×0.18=9，可知50天中有9天是特优等级．从这一年的监测数据50天中，随机抽取3天，其中达到“特优等级”的天数ξ的值分别为：0，1，2，3．则P（0）=，P（1）=，P（2）=，P （3）=，∴ξ的分布列为：ξ0 1 2 3PEξ==．点评：本题考查了频率分布直方图，考查了离散型随机变量的期望的应用，离散型随机变量的期望表征了随机变量取值的平均值，是中档题．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA ⊥底面ABCD，M是棱PD的中点，且PA=AB=AC=2，．（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAC；（Ⅱ）求二面角M﹣AB﹣C的大小；（Ⅲ）如果N是棱AB上一点，且直线CN与平面MAB所成角的正弦值为，求的值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）连结AC，由已知数据和勾股定理可得AB⊥AC，可得AC⊥CD，再由线面垂直关系可得；（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，由数量积和垂直关系可得平面MAB的法向量=（0，1，﹣1），又可得=（0，0，2）是平面ABC的一个法向量，计算可得cos＜，＞，可得二面角；（Ⅲ）设N（x，0，0），由题意可得x的方程=，解方程可得．解答：证明：（Ⅰ）连结AC，∵在△ABC中，AB=AC=2，，∴BC2=AB2+AC2，∴AB⊥AC，∵AB∥CD，∴AC⊥CD，又∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD，∵AC∩PA=A，∴CD⊥平面PAC；（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），P（0，0，2），B（2，0，0），C（0，2，0），D（﹣2，2，0），∵M是棱PD的中点，∴M（﹣1，1，1），∴=（﹣1，1，1），=（2，0，0），．设=（x，y，z）为平面MAB的法向量，∴，即令y=1，则，∴平面MAB的法向量=（0，1，﹣1）∵PA⊥平面ABCD，∴=（0，0，2）是平面ABC的一个法向量．∴cos＜，＞===﹣∵二面角M﹣AB﹣C 为锐二面角，∴二面角M﹣AB﹣C的大小为；（Ⅲ）∵N是在棱AB上一点，∴设N（x，0，0），=（﹣x，2，0），．设直线CN与平面MAB所成角为α，因为平面MAB的法向量=（0，1，﹣1），∴=，解得x=1，即AN=1，NB=1，∴=1点评：本题考查空间位置关系，涉及向量法和线面垂直的证明，属中档题．20．平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：（a＞b＞0）过右焦点的直线交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为．（1）求椭圆M的方程；（2）若C，D为椭圆M上的两点，且CD⊥AB，求|CD|的最大值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）把右焦点（c，0）代入直线可解得c．设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点P（x0，y0），利用“点差法”即可得到a、b的关系式，再与a2=b2+c2联立即可得到a、b、c；（2）由CD⊥AB可设直线CD的方程为y=x+t并与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，进而可得到弦长|CD|的表达式，利用二次函数的单调性即可得到其最大值．解答：解：（1）把右焦点（c，0）代入直线x+y﹣=0，得c+0﹣=0，解得c=．设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点P（x0，y0），则+=1，+=1，两式相减得：+=0，∴+×=0，∴+×（﹣1）=0，又∵k OP==，∴﹣=0，即a2=2b2．联立得，解得，∴M的方程为：+=1；（2）∵CD⊥AB，∴可设直线CD的方程为y=x+t，联立直线CD与M的方程，消去y得：3x2+4tx+2t2﹣6=0，∵直线CD与椭圆有两个不同的交点，∴△=16t2﹣12（2t2﹣6）=72﹣8t2＞0，解得：﹣3＜t＜3（*）．设C（x3，y3），D（x4，y4），∴x3+x4=﹣，x3x4=．∴|CD|===．∴当且仅当t=0时，|CD|最大值为4，满足（*）．∴|CD|最大值为4．点评：本题综合考查了椭圆的定义、标准方程及其性质、“点差法”、中点坐标公式、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到一元二次方程根与系数的关系、弦长公式、二次函数的单调性等基础知识，考查了推理能力、数形结合的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．21．已知定义在（1，+∞）上的函数f（x）=x﹣lnx﹣2，g（x）=xlnx+x．（1）求证：f（x）存在唯一的零点，且零点属于（3，4）；（2）若k∈Z，且g（x）＞k（x﹣1）对任意的x＞1恒成立，求k的最大值．考点：函数零点的判定定理；函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用．分析：（1）令f（x）=0，得：x﹣2=lnx，画出函数y=x﹣2，y=lnx 的图象，读出即可；（2）将问题转化为k＜在x＞1上恒成立，令h（x）=，求出最小值即可．解答：（1）证明：令f（x）=0，得：x﹣2=lnx，画出函数y=x﹣2，y=lnx的图象，如图示：∴f（x）存在唯一的零点，又f（3）=1﹣ln3＜0，f（4）=2﹣ln4=2（1﹣ln2）＞0，∴零点属于（3，4）；（2）解：由g（x）＞k（x﹣1）对任意的x＞1恒成立，得：k＜，（x＞1），令h（x）=，（x＞1），则h′（x）==，设f（x0）=0，则由（1）得：3＜x0＜4，∴h（x）在（1，x0）递减，在（x0，+∞）递增，而3＜h（3）=＜4，＜h（4）=＜4，∴h（x0）＜4，∴k的最大值是3．点评：本题考查了函数的零点问题，考查了函数恒成立问题，是一道中档题．请从下面所给的22，23，24三题中选定一题作答.并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.选修4-1：几何证明选讲22．（文科）如图，已知PA与圆O相切于点A，半径OB⊥OP，AB交PO于点C．（Ⅰ）求证：PA=PC；（Ⅱ）若圆O的半径为3，OP=5，求BC的长度．考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题；证明题．分析：（I）根据弦切角定理，可得∠PAB=∠ACB，根据圆周角定理可得∠BAC=90°，结合BC⊥OP，根据同角的余角相等及对顶角相等可得∠PDA=∠PAB，即△PAD为等腰三角形（II）先求出∠AOP，在等腰三角形AOB中，求出∠OBC，利用Rt△BOC中，BC=，求出答案．解答：证明：（I）∵PA与圆O相切于点A，∴∠PAB=∠ADB∵BD为圆O的直径，∴∠BAD=90°∴∠ADB=90°﹣∠B∵BD⊥OP，∴∠BCO=90°﹣∠B∴∠BCO=∠PCA=∠PAB即△PAC为等腰三角形∴PA=PC；（Ⅱ）解：由题意得Rt△AOP中，cos∠AOP==，cos =，sin =；∴∠AOB=+∠AOP，∴等腰三角形AOB中，∠OBC==﹣，由和差角公式得：cos∠OBC=．在Rt△BOC中，BC===．点评：本题考查的知识点是弦切角定理，圆周角定理，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，难度不大，是基础题．选讲4-4；坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为（，），直线l 的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=a，且点A在直线l上，（1）求a的值及直线l的直角坐标方程；（2）圆C的参数方程为（α为参数），试判断直线l与圆C的位置关系．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程．专题：选作题；坐标系和参数方程．分析：（1）根据点A在直线l上，将点的极坐标代入直线的极坐标方程即可得出a值，再利用极坐标转化成直角坐标的转换公式求出直线l的直角坐标方程；（2）欲判断直线l和圆C的位置关系，只需求圆心到直线的距离与半径进行比较即可，根据点到线的距离公式求出圆心到直线的距离然后与半径比较．解答：解：（1）点A（，）在直线l上，得cos（θ﹣）=a，∴a=，故直线l的方程可化为：ρsinθ+ρcosθ=2，得直线l的直角坐标方程为x+y﹣2=0；（2）消去参数α，得圆C的普通方程为（x﹣1）2+y2=1圆心C到直线l的距离d=＜1，所以直线l和⊙C相交．点评：本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，以及圆的参数方程和直线与圆的位置关系的判定，属于基础题．选修4-5：不等式选讲24．已知不等式|x﹣2|＞1的解集与关于x的不等式x2﹣ax+b＞0的解集相等．（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）求函数的最大值，以及取得最大值时x的值．考点：柯西不等式在函数极值中的应用；一元二次不等式的解法；绝对值不等式的解法．专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）由绝对值不等式的解法，可得解集为{x|x＜1或x＞3}，进而得到1，3为方程x2﹣ax+b=0的两根，代入方程即可得到a，b；（Ⅱ）运用柯西不等式，可得f（x）的最大值，同时由等号成立的条件可得x的值．解答：解：（Ⅰ）∵不等式|x﹣2|＞1的解集为{x|x＜1或x＞3}，∴不等式x2﹣ax+b＞0的解集为{x|x＜1或x＞3}．从而1，3为方程x2﹣ax+b=0的两根，∴，解得：a=4，b=3．（Ⅱ）函数f（x）的定义域为[3，5]，且显然有y＞0，由柯西不等式可得：。
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穿插滚动练(三)1．已知集合A ＝{x |log 2x <1}，B ＝{x |0<x <c ，其中c >0}．若A ∪B ＝B ，则c 的取值范围是( ) A ．(0,1] B ．[1，＋∞) C ．(0,2] D ．[2，＋∞) 答案 D解析 A ＝{x |0<x <2}，由A ∪B ＝B ，得A ⊆B . 所以c ≥2，故选D.2．设函数f (x )＝⎩⎨⎧12x －1(x ≥0)，1x (x <0)，若f (a )＝a ，则实数a 的值为( )A ．±1B ．－1C ．－2或－1D ．±1或－2 答案 B解析 当a ≥0时，f (a )＝12×a －1＝a ，a ＝－2，不合题意，舍去；当a <0时，f (a )＝1a ＝a ，a＝－1(a ＝1舍去)，故选B.3．某电视新产品投放市场后第一个月销售100 台，第二个月销售200 台，第三个月销售400 台，第四个月销售790 台，则下列函数模型中能较好地反映销量y 与投放市场的月数x 之间关系的是( )A ．y ＝100xB ．y ＝50x 2－50x ＋100C ．y ＝50×2xD ．y ＝100log 2x ＋100 答案 C解析 根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型．4．在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“”如下：当a ≥b 时，a b ＝a ；当a <b 时，a b ＝b .则函数f (x )＝x )·x －x )(x ∈[－2,2])的最大值等于(“·”和“－”仍为通常的乘法和减法)( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．12 答案 C解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2(x ∈[－2，1])，x 2－2(x ∈(1，2])，x ＝2时有最大值，所以函数最大值是2.5．若角α的终边上有一点P (－4，a )，且sin α·cos α＝34，则a 的值为( ) A ．4 3 B ．±4 3 C ．－43或－43 3 D. 3答案 C解析 依题意可知角α的终边在第三象限， 点P (－4，a )在其终边上且sin α·cos α＝34， 得－4a a 2＋16＝34，即3a 2＋16a ＋163＝0， 解得a ＝－43或－433，故选C.6．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为( )A.100101B.99101C.99100D.101100 答案 A解析 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d . ∵a 5＝5，S 5＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝5，5a 1＋5×(5－1)2d ＝15， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n . ∴1a n a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝1－1101＝100101.7.设f (x )是一个三次函数，f ′(x )为其导函数，如图所示的是y ＝x ·f ′(x )的图象的一部分，则f (x )的极大值与极小值分别是( )A ．f (1)与f (－1)B ．f (－1)与f (1)C ．f (－2)与f (2)D ．f (2)与f (－2) 答案 C解析 由图象知f ′(2)＝f ′(－2)＝0. ∵x >2时，y ＝x ·f ′(x )>0，∴f ′(x )>0，∴y ＝f (x )在(2，＋∞)上单调递增；同理，f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,2)上单调递减， ∴y ＝f (x )的极大值为f (－2)，极小值为f (2)，故选C.8．设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x ＋2)＝f (x )，则y ＝f (x )的图象可能是()答案 B解析 由于f (－x )＝f (x )，所以函数y ＝f (x )是偶函数，图象关于y 轴对称，所以A 、C 错误；由于f (x ＋2)＝f (x )，所以T ＝2是函数y ＝f (x )的一个周期，D 错误．所以选B.9．若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．9 答案 D解析 f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，∵f (x )在x ＝1处有极值， ∴f ′(1)＝12－2a －2b ＝0，∴a ＋b ＝6. 又a >0，b >0，∴a ＋b ≥2ab ，∴2ab ≤6， ∴ab ≤9，当且仅当a ＝b ＝3时等号成立， ∴ab 的最大值为9.10．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a ，表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( )A ．a ≥43B ．0<a ≤1C ．1≤a ≤43D ．0<a ≤1或a ≥43答案 D解析 先把前三个不等式表示的平面区域画出来，如图．此时可行域为△AOB 及其内部， 交点B 为(23，23)，故当x ＋y ＝a 过点B 时，a ＝43，所以a ≥43时可行域仍为△AOB ，当x ＋y ＝a 恰过A 点时，a ＝1＋0＝1， 且当0<a ≤1时可行域也为三角形． 故0<a ≤1或a ≥43.11．已知集合A ＝{x |12<2x <8，x ∈R }，B ＝{x |－1<x <m ＋1，x ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________． 答案 (2，＋∞)解析 A ＝{x |12<2x <8，x ∈R }＝{x |－1<x <3}，∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ， ∴A B ，∴m ＋1>3，即m >2.12．数列1，12，12，13，13，13，14，14，14，14，…的前100项的和等于________．答案19114解析 S 100＝1×1＋2×12＋3×13＋4×14＋…＋13×113＋9×114＝19114.13．(2014·四川省名校联考)命题“∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9<0”为假命题，则实数a 的取值范围是________．答案 [－22，2 2 ]解析 “∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9<0”为假命题， 则“∀x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0”为真命题． 因此Δ＝9a 2－4×2×9≤0， 故－22≤a ≤2 2.14．函数f (x )(x ∈R )满足f (1)＝1，f ′(x )<12，则不等式f (x 2)<x 22＋12的解集为________________． 答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞)解析 将x 2换元成t ，则原式化为f (t )<t 2＋12，当t ＝1时，f (t )＝1，且t 2＋12＝1，又由f ′(t )<12，可知当t >1时，f (t )<t 2＋12；当t <1时，f (t )>t 2＋12.故f (t )<t 2＋12的解集为t >1，即x 2>1，因此x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．15．设S n 是数列{a n }的前n 项和，若S 2nS n (n ∈N *)是非零常数，则称数列{a n }为“和等比数列”．若数列{2b n }是首项为2，公比为4的等比数列，则数列{b n }________(填“是”或“不是”)“和等比数列”． 答案 是解析 由题意2b n ＝22n －1，即b n ＝2n －1，从而S 2n ＝4n 2，S n ＝n 2，S 2nS n＝4(常数)．16．(2014·雅安模拟)已知△ABC 为锐角三角形，向量m ＝(3cos 2A ，sin A )，n ＝(1，－sin A )，且m ⊥n . (1)求A 的大小；(2)当AB →＝p m ，AC →＝q n (p >0，q >0)，且满足p ＋q ＝6时，求△ABC 面积的最大值． 解 (1)∵m ⊥n ，∴3cos 2A －sin 2A ＝0. ∴3cos 2A －1＋cos 2A ＝0，∴cos 2A ＝14.又∵△ABC 为锐角三角形， ∴cos A ＝12，∴A ＝π3.(2)由(1)可得m ＝(34，32)，n ＝(1，－32)．∴|AB →|＝214p ，|AC →|＝72q .∴S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|·sin A ＝2132pq .又∵p ＋q ＝6，且p >0，q >0， ∴p ·q ≤p ＋q2. ∴p ·q ≤3，∴0<p ·q ≤9.∴△ABC 面积的最大值为2132×9＝18932.17．设函数f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，a >0. (1)求f (x )的单调区间；(2)求所有的实数a ，使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立． 注：e 为自然对数的底数．解 (1)因为f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，其中x >0， 所以f ′(x )＝a 2x －2x ＋a ＝－(x －a )(2x ＋a )x.由于a >0，所以f (x )的增区间为(0，a )，减区间为(a ，＋∞)． (2)由题意得f (1)＝a －1≥e －1，即a ≥e. 由(1)知f (x )在[1，e]内单调递增， 要使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立．只要⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝a －1≥e －1，f (e )＝a 2－e 2＋a e ≤e 2，解得a ＝e. 18．已知数列{a n }，其前n 项和为S n ，点(n ，S n )在以F (0，14)为焦点，坐标原点为顶点的抛物线上，数列{b n }满足b n ＝2a n . (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝a n ·b n ，求数列{c n }的前n 项和T n .解 (1)因为以F (0，14)为焦点，坐标原点为顶点的抛物线方程为x 2＝y ，又点(n ，S n )在抛物线上，所以S n ＝n 2. 当n ≥2时，S n －1＝(n －1)2，两式相减，得S n －S n －1＝a n ＝n 2－(n －1)2＝2n －1. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，满足上式．所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *)． 故b n ＝2a n ＝22n －1(n ∈N *)．(2)由(1)，知c n ＝(2n －1)·22n －1，所以T n ＝1·21＋3·23＋5·25＋…＋(2n －1)·22n －1，①则4T n ＝1·23＋3·25＋5·27＋…＋(2n －1)·22n ＋1，②①－②，得－3T n ＝21＋2·23＋2·25＋…＋2·22n －1－(2n －1)·22n ＋1＝4n ＋1－103－(2n －1)·22n ＋1＝4·4n －103－(4n －2)·4n ＝(10－12n )4n－103，所以T n ＝10＋(12n －10)4n9(n ∈N *)．19．(2013·广东)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *.(1)求a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74.(1)解 2S 1＝a 2－13－1－23，又S 1＝a 1＝1，所以a 2＝4.(2)解 当n ≥2时，2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n ，2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)，两式相减得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －13(3n 2－3n ＋1)－(2n －1)－23，整理得(n ＋1)a n ＝na n ＋1－n (n ＋1)， 即a n ＋1n ＋1－a n n＝1，又a 22－a 11＝1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为a 11＝1，公差为1的等差数列，所以a nn ＝1＋(n －1)×1＝n ，所以a n ＝n 2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2，n ∈N *. (3)证明1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n ＝1＋14＋132＋142＋…＋1n 2<1＋14＋12×3＋13×4＋…＋1n (n －1)＝1＋14＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＝54＋12－1n ＝74－1n <74， 所以对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74.20．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，且a n ＋1＝a n ＋2a n －1(n ≥2)．(1)设b n ＝a n ＋1＋λa n ，是否存在实数λ，使数列{b n }为等比数列？且公比小于0.若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由；(2)在(1)的条件下，求数列{a n }的前n 项和S n . 解 (1)假设存在实数λ，使数列{b n }为等比数列， 设b nb n －1＝q (n ≥2)，即a n ＋1＋λa n ＝q (a n ＋λa n －1)，得a n ＋1＝(q －λ)a n ＋qλa n －1.与已知a n ＋1＝a n ＋2a n －1比较，令⎩⎪⎨⎪⎧q －λ＝1，qλ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝1q ＝2(舍)或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，q ＝－1. 所以存在实数λ，使数列{b n }为等比数列． (2)由(1)知当λ＝－2时，q ＝－1，b 1＝1， 则数列{b n }是首项为1，公比为－1的等比数列． ∴b n ＝(－1)n ＋1.∴a n ＋1－2a n ＝(－1)n ＋1(n ≥1)，所以a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝(－1)n ＋12n ＋1＝(－12)n ＋1(n ≥1)，当n ≥2时，a n 2n ＝a 121＋(a 222－a 121)＋(a 323－a 222)＋…＋(a n 2n －a n －12n －1)＝12＋(－12)2＋(－12)3＋…＋(－12)n ＝12＋(－12)2[1－(－12)n －1]1－(－12)＝12＋16[1－(－12)n －1]． 因为a 121＝12也适合上式，所以a n 2n ＝12＋16[1－(－12)n －1](n ≥1)．所以a n ＝13[2n ＋1＋(－1)n ]．则S n ＝13[(22＋23＋24＋…＋2n ＋1)＋(－1)1＋(－1)2＋(－1)3＋…＋(－1)n ]＝13[4(1－2n )1－2＋(－1)(1－(－1)n)1－(－1)] ＝13[(2n ＋2－4)＋(－1)n －12]． 21．(2014·四川)已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．(1)设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0,1]上的最小值； (2)若f (1)＝0，函数f (x )在区间(0,1)内有零点，求a 的取值范围． 解 (1)由f (x )＝e x －ax 2－bx －1，有g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －b . 所以g ′(x )＝e x －2a .因此，当x ∈[0,1]时，g ′(x )∈[1－2a ，e －2a ]． 当a ≤12时，g ′(x )≥0，所以g (x )在[0,1]上单调递增，因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当a ≥e2时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[0,1]上单调递减，因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b ； 当12<a <e2时，令g ′(x )＝0得x ＝ln(2a )∈(0,1)， 所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增． 于是，g (x )在[0,1]上的最小值是 g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b .综上所述，当a ≤12时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当12<a <e2时，g (x )在[0,1]上的最小值是 g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b ； 当a ≥e2时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b .(2)设x 0为f (x )在区间(0,1)内的一个零点，则由f (0)＝f (x 0)＝0可知，f (x )在区间(0，x 0)上不可能单调递增，也不可能单调递减， 则g (x )不可能恒为正，也不可能恒为负． 故g (x )在区间(0，x 0)内存在零点x 1. 同理，g (x )在区间(x 0,1)内存在零点x 2. 所以g (x )在区间(0,1)内至少有两个零点．由(1)知，当a ≤12时，g (x )在[0,1]上单调递增，故g (x )在(0,1)内至多有一个零点；当a ≥e2时，g (x )在[0,1]上单调递减，故g (x )在(0,1)内至多有一个零点；当12<a <e 2， 此时g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减， 在区间(ln(2a )，1]上单调递增．因此x1∈(0，ln(2a)]，x2∈(ln(2a)，1)，必有g(0)＝1－b>0，g(1)＝e－2a－b>0.由f(1)＝0有a＋b＝e－1<2，则g(0)＝1－b＝a－e＋2>0，g(1)＝e－2a－b＝1－a>0，解得e－2<a<1.当e－2<a<1时，g(x)在区间[0,1]内有最小值g(ln(2a))．若g(ln(2a))≥0，则g(x)≥0(x∈[0,1])，从而f(x)在区间[0,1]上单调递增，这与f(0)＝f(1)＝0矛盾，所以g(ln(2a))<0.又g(0)＝a－e＋2>0，g(1)＝1－a>0，故此时g(x)在(0，ln(2a))和(ln(2a)，1)内各只有一个零点x1和x2.由此可知f(x)在[0，x1]上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在[x2,1]上单调递增，所以f(x1)>f(0)＝0，f(x2)<f(1)＝0，故f(x)在(x1，x2)内有零点．综上可知，a的取值范围是(e－2,1)．。