插值与逼近拟合及其Matlab应用
数据插值和函数逼近 MATLAB实现
数据插值和函数逼近1 数据插值由已知样本点，以数据更为平滑为目标，求出其他点处的函数值。
在信号处理与图像处理上应用广泛。
求解方法：y1=interp1(x,y,x1,'方法')z1=interp2(x,y,z,x1,y1,'方法')1.1 一维数据的插值例：假设样本点来自x e x x x f x sin )53()(52-+-=，进行插值处理，得到平例：草图样条曲线功能。
function sketch()x=[]; y=[]; gca;hold on; axis([0 1,0 1]);while 1[x0,y0,button]=ginput(1);if(isempty(button)) break; end;x=[x x0]; y=[y y0];plot(x,y,'*');end;xx=[x(1):(x(end)-x(1))/100:x(end)];yy=interp1(x,y,xx,'spline');plot(xx,yy,x,y,'*');end1.2 二维网格数据的插值例3：假设样本点来自xy y x e x x z ----=22)2(2，进行插值处理，得到平滑的曲1.3 二维一般分布数据的插值例4：假设样本点来自xy y x ex x z ----=22)2(2，进行插值处理，得到平滑的曲2 样条插值函数逼近由已知样本点，求能对其较好拟合的函数表达式。
求解方法：S=csapi(x,y); % 定义一个三次样条函数类S=spapi(k,x,y); % 定义一个k 次B 样条函数类ys=fnval(S,xs); % 计算插值结果fnplt(S); % 绘制插值结果例：从)sin(x y =中取样本点，计算三次样条函数。
练习：利用上例中的变量S，生成各个曲线段的参数方程，并绘例：从)sin(x y =中取样本点，计算三次B 样条函数。
数据插值、拟合方法的MATLAB实现
hours=0:1:23;
temps=[12 12 12 11 10 10 10 10 11 13 15 18 19 20 22 21 20 19 18 16 15 15 15 15]
n=6;
p=polyfit(hours,temps,n)
t=linspace(0,23,100);
z=polyval(p,t); %多项式求值
plot(hours,temps,'o',t,z,'k:',hours,temps,'b',’r’,'linewidth',1.5)
legend('原始数据','6阶曲线')
2.3用8阶多项式拟合的命令
hours=0:1:23;
temps=[12 12 12 11 10 10 10 10 11 13 15 18 19 20 22 21 20 19 18 16 15 15 15 15]
实验结果：
1.一元插值图像
图1.1一元插值图
经分析三次样条插值法效果最好，以三次样条插值法得出每个0.5小时的温度值：
时间
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
温度
12
11.9
12
12.0
12
11.6
11
10.4
10
9.9
10
10.0
时间
6
6.5
7
7.5
8
8.5
9
9.5
10
10.5
11
11.5
逼近方法和插值方法的比较
逼近方法和插值方法的比较逼近方法和插值方法是数值分析中常用的两种数据处理技术，它们可以用于解决各种数学问题，例如函数逼近、信号处理、图像处理等。
虽然这两种方法都可以用于拟合数据，但是它们的原理与应用有很大的不同。
在本文中，我们将对逼近方法和插值方法进行比较，并分析它们的优缺点和应用场景。
一、逼近方法逼近方法是一种利用数学模型对实际数据进行拟合的方法。
与插值方法不同，逼近方法不要求通过数据点来直接计算出函数值，而是要求在整个拟合域内，最小化实际数据与拟合函数之间的误差。
因此，在逼近方法中，拟合函数不需要通过所有数据点，只需要通过一部分数据点，从而能够更好地逼近真实的函数。
逼近方法中常用的模型包括多项式模型、三角函数模型、指数模型、小波模型等。
逼近方法相较于插值方法的优点在于，它对数据中的噪声具有一定的容忍度。
由于在逼近过程中，并不要求通过所有数据点，因此可以为一些离群点和噪声点留下一定的空间。
而插值方法则要求通过所有数据点，一旦数据出现噪声点或者离群点，就会对插值结果产生极大的影响。
逼近方法缺点在于，由于逼近过程是基于模型的，因此需要先选定一种适合于实际数据的模型，否则拟合结果可能无法正确表达数据的真实本质。
逼近方法适用于数据比较平滑的情况，例如时间序列数据、声音处理等。
通过选取合适的模型，逼近方法可以更好地保留数据的特征，同时对于部分离群点的情况，也可以提供一定程度的容忍度。
二、插值方法插值方法是一种通过已知数据点，在数据点之间进行插值计算出未知数据点的数值的方法。
插值方法要求通过每个数据点，计算出它们之间的函数值，从而构建出全局的函数。
常见的插值方法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法、分段线性插值法、三次样条插值法等。
插值方法的优点在于，它可以精确地通过所有数据来计算未知数据值。
但是，插值方法的缺点在于，它对于数据的噪声敏感，并且过度拟合的可能性会很大。
当数据点过多时，插值方法会使插值函数波动较大，从而无法反映数据的真实本质。
Matlab中的插值拟合方法在数据分析中的应用
Matlab中的插值拟合方法在数据分析中的应用数据分析已经成为当今社会的一个重要应用领域。
随着科技的发展，海量的数据被不断地产生和收集，但是如何从这些数据中提取有价值的信息并进行分析成为了一个亟待解决的问题。
在数据分析领域，插值拟合方法是一种常用的技术。
在Matlab中，有丰富的插值拟合函数可以帮助我们处理各种应用场景。
一、插值拟合方法的概念和原理插值拟合方法是基于已知数据点，通过构建一个拟合函数来估计在未知点上的函数值。
基本原理是通过已知数据点之间的关系来推断出未知数据点的值。
常用的插值拟合方法有线性插值、多项式插值、样条插值等。
1. 线性插值线性插值是一种简单而直接的插值方法。
它假设函数在两个相邻数据点之间是线性变化的，并根据两个已知数据点的位置以及函数值来推断未知点的值。
在Matlab中，线性插值可以通过interp1函数实现。
该函数会根据给定的已知数据点和未知点的位置，利用线性插值法计算未知点的值。
2. 多项式插值多项式插值方法是利用一个多项式函数来逼近已知数据点。
这种方法假设函数可以用多项式表示，并且通过已知数据点来确定多项式的系数。
多项式插值方法在Matlab中可以通过polyfit函数实现。
polyfit函数可以根据给定的数据点和多项式的阶数，返回一个多项式的系数向量。
3. 样条插值样条插值是一种更高级的插值方法，它通过利用局部插值多项式来逼近已知数据点。
样条插值在相邻数据点之间构造多项式，并确保这些多项式在数据点处连续、光滑。
Matlab中的spline函数可以实现样条插值方法。
spline函数会根据给定的数据点，生成一个样条插值函数。
二、插值拟合方法的应用插值拟合方法在数据分析中有广泛的应用。
下面将介绍几个常见的应用场景。
1. 数据平滑在实际的数据分析中，数据常常存在噪声和波动。
为了提取数据中的趋势信息，可以利用插值拟合方法对数据进行平滑处理。
通过建立拟合函数，可以将噪声和波动的影响降低，提取出数据中的主要趋势。
matlab插值与拟合
matlab插值与拟合
在MATLAB中，插值和拟合都是通过函数来实现的。
插值是通过创建新的数据点来填充在已知数据点之间的空白。
MATLAB提供了几种不同的插值方法，例如分段线性插值、三次样条插值、立方插值等。
具体使用哪种插值方法取决于数据的特性和所需的精度。
插值函数的一般形式是`interp1(x, y, xi, 'method')`，其中`x`和`y`是已知的数据点，`xi`是待插值点的横坐标向量，`method`是插值方法，例如最近邻点插值、线性插值、三次样条插值、立方插值等。
拟合是通过调整一个数学模型来使得该模型尽可能地接近给定的数据点。
在MATLAB中，可以使用`polyfit`函数进行多项式拟合。
该函数的一般形式是`p = polyfit(x, y, n)`，其中`x`和`y`是已知的数据点，`n`是多项式的阶数。
该函数返回一个向量`p`，表示多项式的系数。
可以使用`polyval`函数来评估这个多项式模型在给定数据点上的值。
需要注意的是，插值和拟合都是数学上的近似方法，它们只能尽可能地逼近真实的情况，而不能完全准确地描述数据的变化。
因此，选择合适的插值和拟合方法是非常重要的。
Matlab中的插值与拟合技术
Matlab中的插值与拟合技术在科学研究和工程领域中，数据的插值和拟合技术在数值计算和数据处理中具有重要意义。
Matlab作为一款强大的科学计算软件，提供了丰富的插值和拟合函数和工具箱，能够满足不同场景下的需求。
插值是一种通过已知数据点构建新数据点的技术。
在实际问题中，我们经常会遇到仅有少量已知数据点，但需要了解未知数据点的情况。
插值技术就可以帮助我们填补数据之间的空缺，以便更好地分析和理解数据。
Matlab中提供了多种插值函数，包括线性插值、多项式插值、样条插值等。
这些函数能够根据已知数据点的特征，推测出未知数据点的可能取值。
通过合理选择插值方法和参数，我们可以得到较为准确的结果。
以线性插值为例，其原理是根据已知数据点的直线特征，推测出未知数据点的取值。
在Matlab中，我们可以使用interp1函数实现线性插值。
该函数的基本用法是给定一组x和对应的y值，以及待插值的点xq，函数将计算出对应的插值点yq。
通过指定xq的形式，我们可以实现不仅仅是单个点的插值，还可以实现多点插值和插值曲线绘制。
这种灵活性使得插值操作更加方便快捷。
拟合技术则是通过一定数学函数的近似表示，来描述已知数据的特征。
它可以帮助我们找到数据背后的规律和趋势，从而更好地预测未知数据。
在Matlab中，拟合问题可以通过polyfit和polyval函数来解决。
polyfit函数可以根据一组已知数据点，拟合出最优的多项式曲线。
该函数的输入参数包括x和y，代表已知数据的横纵坐标值；以及n，代表拟合的多项式次数。
polyfit函数将返回拟合得到的多项式系数。
通过polyval函数，我们可以使用这些系数来求解拟合曲线的纵坐标值。
这样，我们就能够利用拟合曲线来预测未知数据点。
插值和拟合技术在实际问题中都有广泛的应用，尤其在数据处理和信号处理方面。
例如，当我们在实验中测量一组数据时，可能会存在测量误差或者数据缺失的情况。
此时，通过插值技术我们可以填补数据之间的空白，并得到一个更加完整的数据集。
Matlab中的曲线拟合与插值技巧
Matlab中的曲线拟合与插值技巧在数据科学和工程领域中，曲线拟合和插值技术是常用的数学方法。
在Matlab 中，有许多工具和函数可用于处理这些技术。
本文将讨论Matlab中的曲线拟合和插值技巧，并介绍一些实际应用案例。
一、曲线拟合技术曲线拟合是根据已知数据点来构造一个与这些点最匹配的曲线模型。
在Matlab 中，常用的曲线拟合函数包括polyfit和lsqcurvefit。
1. polyfit函数polyfit函数是Matlab中一个功能强大的多项式拟合函数。
它可以拟合多项式曲线模型，并通过最小二乘法找到最佳拟合系数。
例如，我们有一组数据点(x,y)，我们想要拟合一个二次多项式曲线来描述这些数据。
可以使用polyfit函数：```matlabx = [1, 2, 3, 4, 5];y = [2, 4, 6, 8, 10];degree = 2;coefficients = polyfit(x, y, degree);```在上述例子中，degree参数设置为2，表示拟合一个二次多项式曲线。
polyfit 函数将返回一个包含拟合系数的向量，可以用来构造拟合曲线。
2. lsqcurvefit函数lsqcurvefit函数是Matlab中一个用于非线性最小二乘拟合的函数。
与polyfit函数不同，lsqcurvefit函数可以用于拟合任意曲线模型，不局限于多项式。
例如，我们想要拟合一个指数函数曲线来拟合数据：```matlabx = [1, 2, 3, 4, 5];y = [1.1, 2.2, 3.7, 6.5, 12.3];model = @(params, x) params(1)*exp(params(2)*x);params0 = [1, 0];estimated_params = lsqcurvefit(model, params0, x, y);```在上述例子中，model是一个函数句柄，表示要拟合的曲线模型。
插值与拟合的MATLAB实现
插值与拟合的MATLAB实现插值和拟合是MATLAB中常用的数据处理方法。
插值是通过已知数据点之间的数值来估计未知位置的数值。
而拟合则是通过已知数据点来拟合一个曲线或者函数，以便于进行预测和分析。
插值方法：1.线性插值：使用MATLAB中的interp1函数可以进行线性插值。
interp1函数的基本语法为：yinterp = interp1(x, y, xinterp)，其中x和y为已知数据点的向量，xinterp为待插值的位置。
函数将根据已知数据点的线性关系，在xinterp位置返回相应的yinterp值。
2.拉格朗日插值：MATLAB中的lagrangepoly函数可以使用拉格朗日插值方法。
lagrangepoly的基本语法为：yinterp = lagrangepoly(x, y, xinterp)，其中x和y为已知数据点的向量，xinterp为待插值的位置。
函数将根据拉格朗日插值公式，在xinterp位置返回相应的yinterp值。
3.三次样条插值：使用MATLAB中的spline函数可以进行三次样条插值。
spline函数的基本语法为：yinterp = spline(x, y, xinterp)，其中x和y为已知数据点的向量，xinterp为待插值的位置。
函数将根据已知数据点之间的曲线关系，在xinterp位置返回相应的yinterp值。
拟合方法：1.多项式拟合：MATLAB中的polyfit函数可以进行多项式拟合。
polyfit的基本语法为：p = polyfit(x, y, n)，其中x和y为已知数据点的向量，n为要拟合的多项式的次数。
函数返回一个多项式的系数向量p，从高次到低次排列。
通过使用polyval函数，我们可以将系数向量p应用于其他数据点，得到拟合曲线的y值。
2.曲线拟合：MATLAB中的fit函数可以进行曲线拟合。
fit函数的基本语法为：[f, goodness] = fit(x, y, 'poly2')，其中x和y为已知数据点的向量，'poly2'表示要拟合的曲线类型为二次多项式。
MATLAB中的数据插值与拟合方法介绍
MATLAB中的数据插值与拟合方法介绍概述数据处理是科学研究和工程实践中的重要环节之一。
对于实验或观测数据，我们常常需要通过插值和拟合方法来获取更加精确和连续的函数或曲线。
在MATLAB中，有多种方法和函数可以用于实现数据插值和拟合，本文将介绍其中的一些常用方法。
一、数据插值数据插值是指利用有限个数据点，通过某种方法构建一个连续的函数，以实现在这些点之间任意位置的数值估计。
在MATLAB中，常用的数据插值方法有线性插值、多项式插值、三次样条插值等。
1. 线性插值线性插值是最简单的插值方法之一，假设我们有两个数据点 (x1, y1) 和 (x2, y2)，要在这两个点之间插值一个新的点 (x, y)，线性插值即为连接 (x1, y1) 和 (x2, y2) 这两个点的直线上的点(x, y)。
在MATLAB中，可以通过interp1函数进行线性插值。
2. 多项式插值多项式插值是使用一个低次数的多项式函数来拟合数据的方法。
在MATLAB 中，可以通过polyfit函数进行多项式拟合，然后利用polyval函数来进行插值。
具体的插值效果与所选用的多项式阶数有关。
3. 三次样条插值三次样条插值算法利用相邻数据点之间的三次多项式来拟合数据，从而构成一条光滑的曲线。
在MATLAB中，可以通过spline函数进行三次样条插值。
二、数据拟合除了插值方法外，数据拟合也是处理实验或观测数据的常见方法之一。
数据拟合是指通过选择一个特定的数学模型，使该模型与给定的数据点集最好地拟合。
在MATLAB中，常用的数据拟合方法有多项式拟合、指数拟合、非线性最小二乘拟合等。
1. 多项式拟合在MATLAB中，可以使用polyfit函数进行多项式拟合。
该函数通过最小二乘法来拟合给定数据点集，并得到一个多项式函数。
根据所选用的多项式阶数，拟合效果也会有所不同。
2. 指数拟合指数拟合常用于具有指数关系的数据。
在MATLAB中，可以通过拟合幂函数的对数来实现指数拟合。
MATLAB中的插值方法及其应用
MATLAB中的插值方法及其应用引言数据在科学研究和工程应用中起着至关重要的作用。
然而，在实际问题中，我们常常遇到数据不完整或者不连续的情况。
为了填补这些数据的空隙，插值方法应运而生。
插值方法可以通过已知的点估计未知点的值，从而使得数据连续化。
MATLAB作为一款强大的数值计算软件，提供了丰富的插值方法及其应用。
本文将对MATLAB中常用的插值方法进行介绍，并探讨它们在实际应用中的价值和效果。
一、线性插值方法线性插值是最简单和常用的插值方法之一。
它假设两个已知数据点之间的插值点在直线上。
MATLAB中的线性插值可以通过interp1函数实现。
例如，对于一组已知的点(x1,y1)和(x2,y2)，我们可以使用interp1(x,y,xq,'linear')来估计插值点(xq,yq)的值。
线性插值方法的优点在于简单易懂，计算速度快。
然而，它的缺点在于无法处理非线性关系和复杂的数据分布。
因此，在实际应用中，线性插值方法往往只适用于简单的数据场景。
二、多项式插值方法多项式插值是一种常用的插值技术，它假设插值点在已知数据点之间的曲线上，而非直线。
MATLAB中的polyfit和polyval函数可以帮助我们实现多项式插值。
多项式插值方法的优点在于可以逼近各种形状的曲线，对数据的逼真度较高。
然而，当插值点之间的数据分布不均匀时，多项式插值容易产生振荡现象，即“龙格现象”。
因此，在实际应用中，我们需要根据具体问题选择合适的插值阶数，以避免过拟合和振荡现象的发生。
三、样条插值方法样条插值是一种光滑且精确的插值方法。
它通过在已知数据点之间插入一系列分段多项式，使得插值曲线具有良好的光滑性。
MATLAB中的spline函数可以帮助我们实现样条插值。
样条插值方法的优点在于可以处理数据分布不均匀和曲线形状复杂的情况。
它能够减少振荡现象的发生，并保持曲线的光滑性。
然而，样条插值方法的计算复杂度较高，需要更多的计算资源。
Matlab中的插值与拟合方法介绍
Matlab中的插值与拟合方法介绍在数据分析与处理的过程中，插值与拟合是非常重要的工具。
Matlab作为一种常用的数据处理与分析工具，提供了许多插值与拟合函数，方便用户进行数据处理和分析。
本文将介绍Matlab中的插值和拟合方法，并提供相应的示例和应用场景。
一、插值方法1. 线性插值线性插值是最简单的插值方法之一，通过连接已知数据点的直线进行插值。
在Matlab中，可以使用interp1函数进行一维线性插值。
下面以一个简单的例子来说明线性插值的应用：```x = [1, 2, 3, 4, 5];y = [2, 4, 6, 8, 10];xi = 2.5;yi = interp1(x, y, xi)```在这个例子中，已知一组数据点(x, y)，要求在x=2.5处的插值结果。
通过interp1函数，可以得到插值结果yi=5。
线性插值适用于数据点较少且近邻点的变化趋势比较明显的情况。
2. 三次样条插值三次样条插值是一种更精确的插值方法，它利用多个小区间的三次多项式进行插值。
在Matlab中，可以使用interp1函数的'spline'选项进行三次样条插值。
以下是一个示例：```x = [1, 2, 3, 4, 5];y = [2, 4, 6, 8, 10];xi = 2.5;yi = interp1(x, y, xi, 'spline')```通过设置'spline'选项，可以得到插值结果yi=5.125。
三次样条插值适用于数据点较多且变化较为复杂的情况。
3. 二维插值除了一维插值，Matlab还提供了二维插值函数interp2，用于处理二维数据的插值问题。
以下是一个简单的二维插值示例：```x = 1:4;y = 1:4;[X, Y] = meshgrid(x, y);Z = X.^2 + Y.^2;xi = 2.5;yi = 2.5;zi = interp2(X, Y, Z, xi, yi)```在这个例子中，首先生成一个二维数据矩阵Z，然后利用interp2函数在给定的坐标(xi, yi)处进行插值，得到插值结果zi=12.25。
插值与拟合的MATLAB实现
3.3 插值与拟合的MATLAB实现简单的插值与拟合可以通过手工计算得出，但复杂的只能求助于计算机了。
3.3.1 线性插值在MATLAB 中，一维的线性插值可以用函数interpl 来实现。
函数interpl 的调用格式如下：yi = interpl ( x , y , xi ) ，其中yi 表示在插值向量xi 处的函数值，x 与y 是数据点。
这个函数还有如下两种形式：yi = interpl(y , xi)，省略x，x 此时为l : N，其中N 为向量y 的长度。
yi = interpl(x , y , xi , method ) ，其中method 为指定的插值方法，可取以下凡种：nearest ：最近插值。
linear ：线性插值。
spline ：三次样条插值。
cubic ：三次插值。
注意：对于上述的所有的调用格式，都要求向量x 为单调。
例如：对以下数据点：( 2 * pi , 2 ) , ( 4 * pi , 3 ) , ( 6 * pi , 5 ) , ( 8 * pi , 7 ) , ( 10 * pi , 11 ) , ( 12 * pi , 13 ) , ( 14 * pi , 17) 进行插值，求x = pi , 6 的函数值。
>> x=linspace(0, 2 * pi, 8 ）;>> y=[2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 ］;>> xl=[pi , 6 ］;>> yl=interpl(x, y, xl)yl =90000 1836903.3.2 Lagrange 插值Lagrange 插值比较常用，是MATLAB 中相应的函数，但根据Lagrange 插值函数公式，可以用M 文件实现：Lagrange.mfunctions = Larange(x, y, x0 )% Lagrange 插值，x 与y 为已知的插值点及其函数值，x0 为需要求的插值点的值nx = length( x );ny = length( y );if nx ~=nywaming( ‘向量x 与y 的长度应该相同’)return;endm = length ( x0 ) ;％按照公式，对需要求的插值点向量x0 的元素进行计算for i = l: mt =0.0;for j = l : nxu = 1.0;for k = l : nxif k~＝ju=j * ( x0( i )-x ( k ) ) / ( x( j )-( k ) ) ;endendt = t + u * y( j );ends( i ) = t ;endreturn例如：对（l , 2 ) , ( 2 , 4 ) , ( 3 , 6 ) , ( 4 , 8 ) , ( 5 , 10 ) 进行Lagrange 插值，求x = 23 , 3.7 的函数值。
MATLAB中的插值与拟合方法详解
MATLAB中的插值与拟合方法详解篇一：介绍插值与拟合的概念及应用领域在科学研究和工程应用中，我们经常会遇到需要通过有限个已知数据点来推算出其它位置或数值的问题。
这种问题的解决方法通常可以分为两种：插值和拟合。
插值是指根据已知的离散数据点，在未知位置或数值上推算出一个函数值；而拟合则是根据已知的离散数据点，寻找一个函数模型来近似表示这些数据。
插值方法适用于数据点之间具有明显的数值关系的情况，如各种物理现象的测量数据、曲线绘制等。
拟合方法则适用于数据点之间存在较大离散度或复杂的关联关系的情况，例如统计分析、数据回归、信号处理等。
MATLAB作为一种强大的数值计算和可视化工具，提供了丰富的插值和拟合方法函数，使得我们能够更加高效地进行数据处理和分析。
接下来我们将详细介绍MATLAB中常用的插值和拟合方法。
篇二：插值方法详解插值方法在MATLAB中有多种实现方式，常用的有线性插值、多项式插值和样条插值。
1.线性插值线性插值是一种简单直接的插值方法，在已知的数据点间通过直线的插值来估计未知点的数值。
在MATLAB中，可以使用interp1函数来进行线性插值的计算。
该函数利用输入的数据点和未知点的坐标，返回未知点的插值结果。
2.多项式插值多项式插值是一种通过多项式函数来拟合数据点的插值方法。
MATLAB中的polyfit函数可以用来进行多项式的拟合计算。
这个函数通过最小二乘法来寻找一个多项式函数，使得该函数与给定的数据点最为接近。
3.样条插值样条插值是一种更加精确的插值方法，在MATLAB中可以使用interp1函数的'spline'选项来进行样条插值的计算。
样条插值通过分段函数形式来拟合数据，可以得到更加平滑和连续的插值结果。
篇三：拟合方法详解拟合方法主要有线性拟合、非线性拟合以及多项式拟合等。
1.线性拟合线性拟合是一种基于线性模型的拟合方法，它适用于数据点之间存在明确线性关系的情况。
在MATLAB中，可以使用polyfit函数来进行线性拟合计算。
matlab 插值拟合
matlab 插值拟合摘要：一、插值与拟合的基本概念二、MATLAB 中的插值函数1.线性插值2.最邻近插值3.三次样条插值4.多项式插值三、MATLAB 中的拟合函数四、MATLAB 插值与拟合的应用实例五、总结正文：一、插值与拟合的基本概念插值是一种通过已知的数据点来预测未知数据点的方法。
它是基于已知数据点的函数值，通过一定的算法来预测未知数据点上的函数值。
拟合则是一种更广义的概念，它不仅包括插值，还包括了通过已知数据点来确定函数的形式，如多项式、指数、对数等。
在实际应用中，拟合常常用来解决数据点的预测和预测模型的选择问题。
二、MATLAB 中的插值函数MATLAB 提供了多种插值函数，包括线性插值、最邻近插值、三次样条插值和多项式插值等。
下面我们逐一介绍这些函数。
1.线性插值线性插值是最简单的插值方法，它通过计算已知数据点之间的直线来预测未知数据点上的函数值。
在MATLAB 中，线性插值的函数是`yinterp1`，其用法如下：```matlabyinterp1(x0,y0,xq,method,extrapolation)```其中，`x0`和`y0`分别是已知数据点的横纵坐标，`xq`是要预测的数据点的横坐标，`method`指定插值的方法，默认为线性插值（"linear"），`extrapolation`指定是否进行外推，默认为关闭（"off"）。
2.最邻近插值最邻近插值是一种基于距离的插值方法，它通过找到距离未知数据点最近的已知数据点来预测未知数据点上的函数值。
在MATLAB 中，最邻近插值的函数是`yinterp2`，其用法如下：```matlabyinterp2(x0,y0,xq,method)```其中，`x0`和`y0`分别是已知数据点的横纵坐标，`xq`是要预测的数据点的横坐标，`method`指定插值的方法，默认为最邻近插值（"nearest"）。
曲线的插值与拟合matlab
在数学和统计学领域中，曲线的插值与拟合是一项重要的技术，它在数据分析、图像处理、工程计算等领域都有着广泛的应用。
曲线的插值与拟合可以帮助我们从有限的数据点中还原出连续的曲线，以便更好地理解数据的规律和特性。
1. 插值与拟合的概念在开始深入探讨曲线的插值与拟合之前，让我们先来了解一下这两个概念的含义。
插值是指通过已知数据点之间的连续函数，以得到介于已知数据点之间的数据点的值。
而拟合则是指通过已知数据点，找到拟合曲线以最好地逼近这些数据点。
2. 曲线插值的方法在实际操作中，我们可以使用不同的方法进行曲线的插值。
常见的方法包括线性插值、多项式插值、样条插值等。
在Matlab中，有丰富的函数库可以用来进行不同类型的曲线插值，例如interp1, interp2, interpn等，这些函数可以很方便地实现曲线的插值操作。
（1）线性插值线性插值是一种简单直接的插值方法，它通过已知的两个数据点之间的直线来逼近新的数据点。
虽然线性插值操作简单，但在一些情况下并不能很好地逼近数据的真实规律。
（2）多项式插值多项式插值是一种常用的插值方法，它通过已知数据点构造一个多项式函数来逼近数据。
在Matlab中，可以使用polyfit和polyval函数来实现多项式插值操作，通过调整多项式的阶数可以得到不同精度的逼近结果。
（3）样条插值样条插值是一种更加复杂但精确度更高的插值方法，它通过已知的数据点构造出一系列的局部插值函数来逼近数据。
在Matlab中，可以使用spline函数来进行样条插值操作，通过调整插值节点的数量和类型可以得到不同精度的逼近结果。
3. 曲线拟合的方法除了插值方法之外，曲线的拟合也是一种常用的数据处理方法。
在实际操作中，我们可以使用不同的方法来进行曲线的拟合。
常见的方法包括最小二乘法拟合、多项式拟合、非线性拟合等。
在Matlab中，有丰富的函数库可以用来进行不同类型的曲线拟合，例如polyfit, lsqcurvefit, nlinfit等，这些函数可以很方便地实现曲线拟合操作。
1 数据插值、拟合在MATLAB中的应用
多项式优于一次多项 式拟合。曲线几乎穿 过各结点。若再想更 精确，可使用 N 次 多项式进行拟合。
图5 一次、二次、三次多项式拟合效果图
23
05
PART FIVE
课堂小结与课后作业
Class Closing and Homework
5 课堂小结与课后作业
(1) 课堂小结 总结一
了解数据插值、数据拟合的基本概念以及主要应
21
4 数据插值、拟合例题分析
(2) 最小二乘法的曲线拟合应用
从而可得出二次多项式拟合，可得下图4 ※显然二次多项 式拟合效果更好， 曲线几乎穿过各 结点。若再想更 精确，可使用三 次多项式，进行 拟合。
图4 二次多项式拟合效果图
22
4 数据插值、拟合例题分析
(2) 最小二乘法的曲线拟合应用
※显然拟合效果： 三次多项式优于二次
>> yi=interp1(x,y,xi,'cubic');plot(xi,yi,'y'); 一维插值(cubic)
>> xlabel('时刻'),ylabel('温度')
16
4 数据插值、拟合例题分析
(1) 一维插值的应用
从而可得出每一秒时的温度，并可画出不同的插值方法 描绘的温度曲线图。
(a)图表示最近插值法
时间 环境温度 时间 环境温度 时间 环境温度
0 2 4 6 8
12 9 12 15 23
10 12 14 16 18
30 36 35 31 27
20 22 24
20 16 13
推测在每一秒时的温度，并利用不同的插值方法描绘温度曲线。
15
插值与拟合matlab实现
插值与拟合matlab实现插值与拟合的Matlab实现王正盛编写在科技工程中，除了要进行一定的理论分析外，通过实验、观测数据，做分析、处理也是必不可少的一种途径。
由于实验测定实际系统的数据具有一定的代表性，因此在处理时必须充分利用这些信息；又由于测定过程中不可避免会产生误差，故在分析经验公式时又必须考虑这些误差的影响。
两者相互制约。
据此合理建立实际系统数学模型的方法成为数值逼近法。
一、插值法1、数学原理工程实践和科学实验中，常常需要从一组实验观测数据中，求自变量与因变量的一个近似的函数关系式。
例如：观测行星的运动，只能得到某时刻所对应的行星位置（用经纬度表示），想知道任何时刻的行星位置。
例如：大气压测定问题；导弹发射问题；程序控制铣床加工精密工件问题；飞机船舶制造问题等等。
都属于此类问题。
因为考虑到代数多项式既简单又便于计算，所以人们就用代数多项式近似地表示满足个点的函数关系式——插值法建模。
（1）计算方法课程中学习了两种多项式插值：Lagrange插值和Newton均差插值：已知n+1个数据点：n次Lagrange插值公式：特别地，当n=1时，————线性插值当n=2时，———————抛物线插值或二次插值Newton均差插值公式：，其中是k阶均差，可由均差表方便计算得到。
Lagrange插值和Newton均差插值本质上是一样的，只是形式不同而已，因为插值多项式是唯一的。
（2）Runge现象和分段低次插值：如在[-5，5]上各阶导数存在，但在此区间取n个节点构造的Lagrange插值多项式在区间并非都收敛，而且分散得很厉害。
（matlab\bin\ Lagrange.m是自己编写的M文件）[例]取n=-10hold offx=[-5:1:5];y=1./(1+x.^2);x0=[-5:0.1:5];y0=lagrange(x,y,x0);y1=1./(1+x0.^2);plot(x0,y0)hold onplot(x0,y1,'b:')legend('插值曲线','原数据曲线')因此插值多项式一般不要超过四次为宜。
第七讲 MATLAB在插值与逼近中的应用
第七讲 MATLAB 在插值与逼近中的应用1 插值与逼近 1.1 为什么要逼近数学上来讲，逼近就是在精度要求的范围内对要研究函数给出近似的函数值，甚至函数表达式。
为什么我们不直接计算要研究的函数或函值本身 ？理由如下：● 用给定函数表达式计算函值很困难甚至根本不可能。
如，sinx 、tgx 、Inx 等。
● 由实验与测量得到的变量间对应关系常常是一函数值表（今后我们也称为表列函数）。
但表所表示函在表某个中间位置的函数值却是无法知道的。
● 函数可能被隐含地定义，而事实上又不能用一个直接规律给出。
例如，由方程e y +y+sinx=0确定的隐含数。
● 计算逼近函数的值往往比计算函值本身更快。
特别地，当原来函数以无穷级数的形式给出，只能如此。
● 计算机存储量有限，而其计算量相对来说却很大，从某种意义上来讲，逼近实际上也是为了取长补短。
如，我们不可能将所有的sinx 的值都存在计算机内，但我们将会看到，利用琏近我们的却可以很方便地算出任一点的函数值。
● 实际应用中，只要函数值符合某一个精度要求也就够了。
1.2 逼近的分类逼近函数是为了更方便地计算函数，更简单地表达函数。
因此，常用一些简单函数或这些简单函数的线性组合来逼近。
通常的逼近形式有：我们称ф（x ）,i ＝0，1，2，…，m 为逼近函数，f(x)称为逼近函数。
1.3 逼近的原则已知函数f(x)在n+1个点x i （i ＝0，1，2，…，n ）的函数值为f(x i )（i ＝0，1，2，…，n ）。
要求出f(x)的逼近函数g(x)，则要选定逼近基函数，确定上式中的常数a i （i ＝0，1，2，…，m ）。
基函数选定往往跟实际问题有关；而确定常数ai （I ＝0，1，2，…，m ）以保证逼近函数g(x)能更近似地表示函数f(x)，则是我们这里要解决的问题。
为此，就要首先给出一个准则，来描述“更近似”。
;)(,)()(/)(4]cos sin [32;p(x)100mk ∑∑∑∑======+=mj j j m n i ii n m n mk k k k k x b x p x a x p x p x p kx b kx a x a ，其中式之比．有理分式：两个多项；．三角多项式：项式来逼近；的区间上。
第四章数据处理1. 插值与拟合2. MATLAB指令的用法
1. 插值与拟合
插值问题 :已知函数f (x)的离散值,用已知函数g(x)逼近f (x)。 g(x)称为插值函数，可以是代数多项式，三角多项式或有理函数等。 按插值范围分为内插:在已知数据点范围之内插入数据
外插:在已知数据点的范围之外插入数据。 按插值方法分为
• 多项式插值 二点可连直线，三点可定抛物线，通常n + 1个数据点可定不高于n次的代 数多项式，使其代表的曲线通过这n + 1个数据点。 插值多项式有：拉格朗日多项式，牛顿多项式，埃尔米特多项式。
l1(x)
=
(x (x1
− −
x0)(x − x2) x0)(x1 − x2)
l2(x)
=
(x (x2
− −
x0)(x − x1) x0)(x2 − x1)
L2(x)
=
(x (x0
− −
x1)(x − x2) x1)(x0 − x2)
y0
+
(x (x1
− −
x0)(x − x2) x0)(x1 − x2)
解：设所求的最小二乘二次拟合多项式是P2(x) = a0 + a1x + a2x2,此问题的
正则方程组是
9a0 + 0 + 3.75a2 = 18.1732
0 + 3.75a1 3.75a0 + 0
a2 =
7.6173
其解为a0 = 2.0034, a1 = 2.2625, a3 = 0.0378，所求多项式为
l1(x0) = 0, l1(x1) = 1, l1(x2) = 0,
也就是
l2(x0) = 0, l2(x1) = 0, l2(x2) = 1.
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yk 1
一般情况， 对于给定的 要求 n 次插值多项式
n 1 个插值节点
x 0 x1 x n，
L n ( x )，满足
L n ( x i ) y i , ( i 0 ,1, , n ).
仍采用基函数法，求一 0i k
n
,
故所求 n 次插值多项式 Ln ( x ) y k lk ( x )
k 0
L n ( x ) 称为 n 次 拉格朗日插值多项式
.
练习 给定数据表
xi 0 1 2 3
yi
0
1
5
14
求三次拉格朗日插值多项式L3(x).
解 ：在（ 1 . 10）中，取 n 3 并代入数据表值得 L 3 ( x ) 0 l 0 ( x ) 1 l 1 ( x ) 5 l 2 ( x ) 14 l 3 ( x )
再考察 n 2 时 , 假定给定插值节点 二次插值多项式 L 2 ( x )，满足
x k 1 , x k , x k 1，要求
L2 ( x k 1 ) y k 1 , L2 ( x k ) y k , L2 ( x k 1 ) y k 1 .
采用基函数法，基函数 并满足
L1 ( x )
x k 1 x x k 1 x k
yk
x xk x k 1 x k
y k 1
令
lk ( x )
x k 1 x x k 1 x k
,
l k 1 ( x )
x xk x k 1 x k
则所求线性插值多项式 L1 ( x ) y k l k ( x ) y k 1l k 1 ( x ),
>> xx=0.0:0.1:190;yy=spline(x,y,xx);plot(xx,yy) 输出图2如下:
图2 用三次样条函数画出的机翼曲线
3、csape()是三次样条插值函数,可以输入边界条件,其调用格式为 pp=csape(x,y,CONDS,VALCONDS)， 其中pp是返回值矩阵，第i行表示三次样条插值多项式第i个小区 间上四项的系数；x和y的意义与前面相同，CONDS是边界条件 类型，有如下选择：'complete'为第一种边界条件（给定端点一阶 导数）；'second'为第二种边界条件（给定端点二阶导数）； 'variational'为自然边界条件（端点二阶导数为零）；'periodic'为 第三种边界条件（周期边界条件）；'not-a-knot'为非扭结边界条 件；缺省时表示非扭结边界条件．VALCONDS为所需边界值． 例3 已知平方根表，如下所示， x: 1 4 9 16 √x: 1 2 3 4 以及第一种边界条件，求三次样条插值函数，并计算的近似值．
特别地 ,自然边界条件
第三种边界条件（周期
边界条件） :
s ( x 0 0 ) s ( x n 0 ), s ( x 0 0 ) s ( x n 0 ). 注意：因插值条件 y 0 y n , 故 s ( x 0 0 ) s ( x n 0 )已成立 .
若存在一个次数不超过
a
y 0 , y1 , , y n .
n 的多项式
n
P ( x ) a 0 a1 x a n x , 满足条件 P ( xi ) yi ( i 0 ,1, , n ) ，点 ( x i , y i ) 为 插值点,
则称 P ( x ) 为 f ( x ) 的 插值多项式 x 0 , x1 , , x n 为 插值节点 .
或
j0 jk n
( x x 0 ) ( x x k 1 )( x x k 1 ) ( x x n ) ( x k x 0 ) ( x k x k 1 )( x k x k 1 ) ( x k x n )
x xj xk x j
先考察 n 1 时 , 假定给定区间
[ x k , x k 1 ]及端点函数值
yk
f ( x k ), y k 1 f ( x k 1 ), 要求线性插值多项式 L1 ( x k ) y k , L1 ( x k 1 ) y k 1 .
L1 ( x )，满足
lk ( x )
( x x k 1 )( x x k 1 ) ( x k x k 1 )( x k x k 1 )
于是，所求二次插值多
项式 (1.6)
L 2 ( x ) y k 1 l k 1 ( x ) y k l k ( x ) y k 1 l k 1 ( x ),
2、spline( )是三次样条插值函数，其调用格式为 yi=spline(x,y,xi)， 其中x，y，xi，yi的意义与上述yi=interp1(x,y,xi,'spline') 中的相同，其实执行interp1(x,y,xi,'spline')就是调用 spline(x,y,xi)．边界条件通常是非扭结边界条件，即三次 样条在第二个和倒数第二个插值节点处的三阶导数连续； 当y比x恰多两个元素时，y的首元素和末元素为在两个 端点的斜率．
再加上插值条件，共 4 n 2 个条件 .
( j 1 , , n 1 ) （2.3）
还需 2 个条件，通常在两个端
点加上 边界条件 .
常见三种边界条件
第一种边界条件 第二种边界条件
:
: s ( x 0 ) y 0 , s ( x n ) y n . : s ( x 0 ) y 0 , s ( x n ) y n . : s ( x 0 ) 0 , s ( x n ) 0 .
在每个 [ x j , x
j 1 ]上要确定
(2.2)
4 个待定系数，共
4 n 个参数 .
因二阶导数连续，故在
内节点 x j 上满足连续性条件
s ( x j 0 ) s ( x j 0 ), s ( x j 0 ) s ( x j 0 ), s ( x j 0 ) s ( x j 0 ).
例1 某日测得从零点开始每隔2小时的环境温度数据如下(℃): 12，9，9，10，18，24，28，27，25，20，18，15，13， 推测中午1点（即13点）的温度，并画出这一天的温度曲线．
解 1) 输入 >> x=0:2:24; y=[12 9 9 10 18 24 28 27 25 20 18 15 13]; >> x1=13; y1=interp1(x,y,x1),y2=interp1(x,y,x1,'spline') 依次输出线性插值和三次样条插值结果 y1 =27.5000,y2= 27.8725. 推测中午1点的温度约为27.87℃. 2) 输入 >> xi=0:1/3600:24; y1i=interp1(x,y,xi); y2i=interp1(x,y,xi,'spline'); >> plot(x,y,'o',xi,y1i,'-', xi,y2i,'-.') 输出这一天的温度曲线，见图1． 图1 圆圈为插值点,折线为线性插值曲线,点划线为三次样条曲线.
也就是 , L2 ( x ) y k 1 yk ( x x k )( x x k 1 ) ( x k 1 x k )( x k 1 x k 1 ) ( x x k 1 )( x x k 1 ) ( x k x k 1 )( x k x k 1 ) ( x x k 1 )( x x k ) ( x k 1 x k 1 )( x k 1 x k ) .
01
x ( x 2 )( x 3 ) 1 ( 1) ( 2 )
2
5
x ( x 1 )( x 3 ) 2 1 ( 1)
14
x ( x 1 )( x 2 ) 3 2 1
x ( 2 x 3 x 1) 6
1 6
x ( x 1 )( 2 x 1 ).
§1.2 三次样条插值方法
定义1 对节点 a x 0 x 1 x n b ，若存在 s ( x ) 满足 : [ x j , x j 1 ] 是一个次数不超过 直到二阶的连续导数 . 3 次的多项式 , ; 1 ) 在每个小区间
2) 在每一个内节点上具有
则称 s ( x ) 是节点 x 0 , x 1 , , x n 上的 三次样条函数
§1.3 Matlab应用举例
1、interp1( )是Matlab中的一维插值函数,其调用格式为 yi=interp1(x,y,xi,'method')， 其中x为插值节点组成的向量，y为插值节点上的函数值 组成的向量，yi为在被插值点xi处的插值结果， ‘method’是采用的插值方法，有以下几种选择： ‘nearest’为最邻近插值；‘linear’为分段线性插值； ‘spline’为三次样条插值；‘cubic’和‘pchip’均为分 段Hermite插值；缺省时表示分段线性插值．
个 n 次 插值基函数 ( i , k 0 ,1, , n )
l k ( x ), 满足
lk ( x )
( x x 0 ) ( x x k 1 )( x x k 1 ) ( x x n ) ( x k x 0 ) ( x k x k 1 )( x k x k 1 ) ( x k x n )
解 输入
>> x=[0.0 4.74 9.50 19.0 38.0 57.0 76.0 95.0 114.0 133.0 152.0 171.0 190.0]; y=[0.0 5.32 8.10 11.97 16.15 17.1 16.34 14.63 12.16 9.69 7.03 3.99 0.0];