第四讲 matlab插值、拟合和回归分析

第四讲 插值、拟合与回归分析

在生产实践和科学研究中，常常有这样的问题：由实验或测量得到变量间的一批离散样本点，要求得到变量之间的函数关系或得到样本点之外的数据。解决此类问题的方法一般有插值、拟合和回归分析等。

设有一组实验数据0011(,),(,),(,)n n x y x y x y ，当原始数据精度较高，要求确定一个简单函数()y x ϕ=（一般为多项式或分段多项式）通过各数据点，即(),0,,i i y x i n ϕ== ，称为插值问题。

另一类是拟合问题，当我们已经有了函数关系的类型，而其中参数未知或原始数据有误差时，我们确定的初等函数()y x ϕ=并不要求经过数据点，而是要求在某种距离度量下总体误差达到最小，即

(),0,,i i i y x i n ϕε=+= ，且20

n

i i ε=∑达到最小值。

对同一组实验数据，可以作出各种类型的拟合曲线，但拟合效果有好有坏，需要进行有效性的统计检验，这类问题称为回归分析。 一、插值(interpolation)

常用的插值方法有分段线性插值、分段立方插值、样条插值等。 1、一元插值

yi=interp1(x,y,xi,method)

对给定数据点(x,y)，按method 指定的方法求出插值函数在点（或数组）xi 处的函数值yi 。其中method 是字符串表达式，可以是以下形式：

'nearest' ——最邻近点插值

'linear' ——分段线性插值（也是缺省形式）

'spline' ——分段三次样条插值

'cubic' 分段立方插值

例：在一天24小时内，从零点开始每间隔2小时测得环境温度数据分别为（℃）：

12，9，9，10，18，24，28，27，25，20，18，15，13

用不同的插值方法估计中午1点（即13点）的温度，并绘出温度变化曲线。

>> x=0:2:24;

>> y=[12 9 9 10 18 24 28 27 25 20 18 15 13];

>>y_linear=interp1(x,y,13),y_nearest=interp1(x,y,13,'nearest')

>>y_cubic=interp1(x,y,13,'cubic'),y_spline=interp1(x,y,13,'spline')

>> y1=interp1(x,y,xx); y2=interp1(x,y,xx,'nearest');

>> y3=interp1(x,y,xx,'cubic');y4=interp1(x,y,xx,'spline');

>> subplot(2,2,1),plot(x,y,'or',xx,y1)

>> subplot(2,2,2),plot(x,y,'or',xx,y2)

>> subplot(2,2,3),plot(x,y,'or',xx,y3)

>> subplot(2,2,4),plot(x,y,'or',xx,y4)

2、二元插值

zi=interp2(X,Y,Z,xi,yi,method)

已知数据点（X，Y，Z），求插值函数在（xi,yi）处的函数值zi,插值方法method同interp1。这里要求X,Y,Z是同维矩阵，且X，Y是

网格矩阵，或者X是与Z列数相同的行向量，Y是与Z行数相同的列向量。

例：测得平板表面5 3网格点处的温度分别为

试作出平板表面的温度分布图

>> x=1:5;y=1:3;z=[82 81 80 82 84;79 63 61 65 81;84 84 82 85 86];

>> xx=1:0.1:5;yy=1:0.1:3;yy=yy';

>> zz=interp2(x,y,z,xx,yy,'cubic');

>> mesh(xx,yy,zz)

3、不规则点的插值

若数据是不规则的，即数据不能构成矩阵形式，从而不能用interp2函数进行插值。

zi=griddata(x,y,z,xi,yi,method)

这里,x,y,z为同维向量，表示已知数据点的坐标，xi,yi是行向量和列向量，返回值zi为在meshgrid(xi,yi)网格矩阵处的函数值。method 可选择’linear’,’nearest’,’cubic’。

例：假如上例中的数据残缺不全

>> x=[3 4 5 1 3 4 1 2 5];y=[1 1 1 2 2 2 3 3 3];

>>z=[80 82 84 79 61 65 84 84 86];

>> xx=1:0.1:5;yy=1:0.1:3;

>> zz=griddata(x,y,z,xx,yy','cubic');

>> mesh(xx,yy',zz)

二、拟合(Fit)

1、多项式拟合

p=polyfit(x,y,n) 用n次多项式拟合向量数据(x,y)。

例：拟合下列数据

>> x=[0.1 0.2 0.15 0 -0.2 0.3];y=[0.95 0.84 0.86 1.06 1.50 0.72];

>> p=polyfit(x,y,2);

>> xx=-0.2:0.01:0.3;yy=polyval(p,xx);

>> plot(x,y,'or',xx,yy)

2、曲线拟合

当经验函数不是多项式，而是其它类型的函数时，可以用lsqcurvefit 函数对拟合函数中的未知参数进行估计。

c=lsqcurvefit(fun,c0,xdata,ydata)

fun 是经验拟合函数，含有未知参数，即具有形式fun(c,x)，c0是未知参数的预估计值，(xdata,ydata)是已知实验数据。 例：已知数据表

用适当的曲线进行数据拟合。

先画散点图，根据散点图确定拟合曲线为对数函数ln b t y a += >> t=1:16;

>> y=[4 6.4 8 8.4 9.28 9.5 9.7 9.86 10 10.2 10.32 10.42 10.5 ... 10.55 10.58 10.6]; >> plot(t,y,'or')

>> f=inline('c(1)+c(2)*log(t)','c','t') %建立拟合函数 >> c=lsqcurvefit(f,[1,1],t,y) %求未知参数 >> tt=1:0.1:16;yy=f(c,tt); >> hold on >> plot(tt,yy) 3、拟合工具箱

Matlab 中的拟合工具箱是一个更方便、更直观进行曲线拟合的图形界面，用cftool 指令打开拟合工具箱。

拟合效果主要看2个参数：SSE （误差平方和）和R-Square ，SSE 越接近0，R-Square 越接近1，拟合效果越好。