正交试验结果的统计分析方法

因素：催化剂； 水平：5种 指标：收率 偶然误差：每种催化剂下所得结果的标准差s 系统误差：各催化剂下所得平均值的差异
2020/3/31
第四章 方差分析
2.2 单因素方差分析
研究单一因素对试验结果的影响。此时，方差分析的目 的是考察一个因素的m个水平对实验结果是否存在显著影响。 数学模型：xij=µ+ai+rij 式中，µ：总体平均值；
Qe fe
0.016 15
0.011
s12
U1 f1
0.04427 4
0.001106
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第四章 方差分析
（4）F-检验
F
s12 se2
0.01106 10.06 0.0011
查F-分布表得：F0.05,(4,15) =3.06<<F
（5）结论：催化剂间有差别，且对结果影响较大。 （6）方差分析如下表所示
（5）系统误差：由于实验因素的变异引起实验结果的数量差异，也称为 “条件误差”。
2.1.2 方法 把全部数据关于总体平均值的方差分解成几个部分，每一部分表示
方差的一种来源，将各种来源的方差进行比较，判断实验各有关因素对 实验结果的影响大小。
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第四章 方差分析
【例2－1】考察催化剂对收率的影响，分别用5种催化剂独立进行实验， 每种催化剂测试4次，得收率如下表：
Q
a i 1
b
( xij
j 1
x)
a i 1
b
xij 2
j 1
1(a ab i1
b
xij )2
j 1
反映随机误差的 偏差平方和：
Qe Q U1 U2
反映因素A各水
ni
ni xi xij
j 1
所以
m ni
m
ni
(xij xi )(xi x) (xi x) (xij x)
i＝1 j 1
i＝1
j 1
m
ni
(xi x)( xij ni xi ) 0
i＝1
j 1
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第四章 方差分析
令：
m ni
Qe
(xij xi )2
相当于各总体均值相等。则第二项为0，s12
和s
2 e
有相同的期望
值，皆为σ2。此时，统计量应趋于1。
若因素的不同水平对结果存在显著性影响，则 s12和se2的期望 值不等，此时，统计量将明显大于1。
因此，可以根据F的大小（与临界值比较）判断有关因素的 不同水平对实验结果是否存在显著性影响。
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同水平对结果的影响。
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第四章 方差分析
2.2.3 方差分析统计量
（1）自由度
令f、fe及 f1分别为总自由度、组内（随即误差）自由度和组间 自由度，则：
m
f ni 1 n 1 i 1
m
fe (ni 1) n m i 1
f fe f1
f1 m 1
表明自由度具有加和性
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第四章 方差分析
本章内容： 2.1 概述 2.2 单因素方差分析 2.3 无重复两因素方差分析
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第四章 方差分析
2.1 概述 2.1.1 基本概念 （1）因素：表示对结果产生影响的各种条件、方式、方法等，如温度、 时间、酸度等。
（2）水平：一种因素的各种不同取值状态，如温度、压力等的不同取值。 （3）指标：结果的标志，可体现为收率、产量等。 （4）偶然误差：因未能控制的“偶然因素”所引起的误差叫“实验误 差”，即随机误差。
验，每种催化剂测试4次，得收率如下表：
催化剂
1
2
3
4
5
0.86
0.80
0.83
0.76
0.96
0.89
0.83
0.90
0.81
0.95
收率/％
0.91
0.88
0.94
0.84
0.93
0.90
0.84
0.85
0.82
0.94
平均值/％ 0.8900
0.8375
0.8800
0.8075
0.9450
请对实验结果进行方差分析。
B1
x11 x21
xi1
xa1
B2
x12
x22
xi 2
xa 2
B
Bj
x1 j x2 j xij xaj
Bb
x1b x2 b
xib
xab
x.1 x.2 x. j x.b
第四章 方差分析
平均值
xi
x1. x2. xi. xa.
x
无重复两因素方差分析的简化计算公式为：
总偏差平方和：
N
(
1
,
2 1
),
N
(
2
,
2 2
),
,
N
(
i
,
2 i
),
,
N
(
m
,
2 m
)
各个总体的方差相等：
2 1
2 2
2 i
2 m
2
现从总体中抽取容量为ni的随机样本：
xi1, xi2 , , xij , , xini (i 1,2, m; j 1,2, , ni )
设 xi为从第i个总体抽取的样本平均值（组平均值）， x 为
平方和，则：
m ni
m ni
Q
(xij x)2＝
[(xij xi ) (xi x)]2
i1 j 1
i1 j 1
m ni
m ni
m ni
＝
(xij xi )2
(xi x)2 2
(xij xi )(xi x)
i1 j 1
i1 j 1
i1 j 1
式中最后一项为协方差，由于：
E(se2 ) 2
m ni
m
ni
E(Qe ) E[
(xij xi )2 ] E[ (xij xi )2 ]
i1 j1
i1 j1
m
(ni 1) 2 (n m) 2
E Qe 2
nm
i 1
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第四章 方差分析
令
＝ 1
ni
m
ni i
i 1
则可以推得：
m ni
3.52
3.1050
4 0.76 0.81 0.84 0.82 0.8075
3.23
2.6117
5 0.96 0.95 0.93 0.94 0.9450
3.78
3.5726
总和
17.44 15.2680
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第四章 方差分析
（1）偏差平方和
Qe
m i1
ni
xi2j
j 1
m i1
第四章 方差分析
单因素方差分析的程序：
① 提出原假设和备择假设：
原假设为H0:µ1=µ2=…=µi=…=µm
备择假设H1：各总体均值不等
②设原假设的前提成立：
2 1
2 2
2 m
③由已知条件计算统计量：计算偏差平方和、自由度及F值
④根据显著性水平α，查出
，若 ，原假 F ,( f1 , fe )
F F ,( f1 , fe )
解：n=20，m=5，ni=4
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第四章 方差分析
催化剂
收率/％
平均值/ ％
ni
xij
j 1
ni
xi2j
j 1
1 0.86 0.89 0.91 0.90 0.8900
3.65
3.1698
2 0.80 0.83 0.88 0.84 0.8375
3.35
2.8089
3 0.83 0.90 0.94 0.85 0.8800
含量，均测定5次，结果如下表所示：
实验室
测定结果/Cu%
A
66.37
60.85
60.56
60.92
60.22
B
60.86
60.98
61.04
60.53
60.71
C
60.63
60.47
60.82
60.39
60.77
D
61.44
61.24
61.67
61.04
61.15
试分析各实验室的测定结果之间是否存在显著性差异。
ai：i水平（i=1,2,…,ni,ni为水平重复数）对结果的影响， 即i水平下的系统误差；
rij：随即误差（j=1,2,…,m,m为水重复平数）。 该数学模型表示：
实验结果＝总体平均值＋因素作用＋随即误差
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第四章 方差分析
2.2.1 单因素方差分析基本公式
设有m 个相互独立的正态总体:
误差来源 偏差平方和 自由度 均方差 F值 F临界值
组间
0.04427
4 0.01106 10.06 3.06
组内
0.01605
15 0.0011
总和
0.06032
19 0.003175
结论* **
注：用*表示有影响；**表示影响显著；***表示影响高度显著；下同
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第四章 方差分析
【例2－3】某4个实验室用典法测定一种铜合金（HPb60-1）试样中铜的
设成立；若 F F ,( f1, fe ) ，原假设不成立，而备择假设成立
⑤最后，将计算结果及结论整理成方差分析表。
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第四章 方差分析
单因素方差分析表