江西省九江市2017年高考数学一模试卷(理科) Word版含答案
2017年江西省七校联考高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2017年江西省七校联考高考数学一模试卷（理科）一、选择题：1．（5分）计算：＝（）A．2B．﹣2C．2i D．﹣2i2．（5分）若log a（3a﹣1）＞0，则a的取值范围是（）A．a＜B．＜a＜C．a＞1D．＜a＜或a＞13．（5分）设α、β、γ是三个互不重合的平面，l是直线，给出下列命题①若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；②若l上两点到α的距离相等，则l∥α；③若l⊥α，l∥β，则α⊥β；④若α∥β，l∥α，l⊄β，则l∥β．其中正确的命题是（）A．①②B．②③C．②④D．③④4．（5分）已知一个半径为的球中有一个各条棱长都相等的内接正三棱柱，则这正三棱柱的体积是（）A．18B．16C．12D．85．（5分）已知函数y＝f（x）图象如图，则y＝f（﹣x）sin x在区间[0，π]上大致图象是（）A．B．C．D．6．（5分）已知两个集合，，若A∩B≠∅，则实数λ的取值范围是（）A．[2，5]B．（﹣∞，5]C．D．7．（5分）a＞0，a≠1，函数f（x）＝log a|ax2﹣x|在[3，4]上是增函数，则a的取值范围是（）A．或a＞1B．a＞1C．D．或a＞18．（5分）设函数y＝f（x）在x0处可导，f′（x0）＝a，若点（x0，0）即为y ＝f（x）的图象与x轴的交点，则[nf（x 0﹣）]等于（）A．+∞B．a C．﹣a D．以上都不对9．（5分）已知椭圆E的离心率为e，两焦点分别为F1，F2，抛物线C以F1为顶点，F2为焦点，点P为这两条曲线的一个交点，若e||＝||，则e的值为（）A．B．C．D．不能确定10．（5分）已知抛物线y2＝2px，O是坐标原点，F是焦点，P是抛物线上的点，使得△POF是直角三角形，则这样的点P共有（）A．0个B．2个C．4个D．6个11．（5分）掷一个骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于4的点数出现”，则一次试验中，事件A+发生的概率为（）A．B．C．D．12．（5分）三个学校分别有1名、2名、3名学生获奖，这6名学生排成一排合影，要求同校的任意两名学生不能相邻，那么不同的排法共有（）A．36种B．72种C．108种D．120种二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．请将答案填在题中横线上）13．（4分）在二项式（1+x）n的展开式中，存在着系数之比为5：7的相邻两项，则指数n（n∈N*）的最小值为．14．（4分）若函数，（a＞0且a≠1）的值域为R，则实数a 的取值范围是．15．（4分）已知抛物线y2＝4x的准线是圆x2+y2﹣2Px﹣16+P2＝0的一条切线，则圆的另一条垂直于x轴的切线方程是．16．（4分）下列命题中①A+B＝是sin A＝cos B成立的充分不必要条件．②的展开式中的常数项是第4项．③在数列{a n}中，a1＝2，S n是其前n项和且满足S n+1＝+2，则数列{a n}为等比数列．④设过函数f（x）＝x2﹣x（﹣1≤x≤1）图象上任意一点的切线的斜率为K，则K的取值范围是（﹣3，1）把你认为正确的命题的序号填在横线上．三、解答题（本大题共6小题，满分74分．第17-21题每题12分，第22题14分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知向量＝（sin B，1﹣cos B），且与向量＝（2，0）所成角为，其中A，B，C是△ABC的内角．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）求sin A+sin C的取值范围．18．（12分）.有甲、乙、丙、丁四支球队进行单循环比赛，最后据各队积分决出名次．规定每场比赛必须决出胜负，其中胜方积2分，负方积1分，已知球队甲与球队乙对阵，甲队取胜的概率为，与球队丙、丁对阵，甲队取胜的概率均为，且各场次胜负情况彼此没有影响．（1）甲队至少胜一场的概率；（2）求球队甲赛后积分ξ的概率分布和数学期望．19．（12分）设a∈R，函数f（x）＝（ax2+a+1），其中e是自然对数的底数．（1）判断f（x）在R上的单调性；（2）当﹣1＜a＜0时，求f（x）在[1，2]上的最小值．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，侧面P AD是正三角形，且侧面P AD⊥底面ABCD，E为侧棱PD的中点．（1）求证：PB∥平面EAC；（2）求证：AE⊥平面PCD；（3）若AD＝AB，试求二面角A﹣PC﹣D的正切值；（4）当为何值时，PB⊥AC？21．（12分）设f（x）＝（a＞0）为奇函数，且|f（x）|min＝，数列{a n}与{b n}满足如下关系：a1＝2，，．（1）求f（x）的解析表达式；（2）证明：当n∈N+时，有b n≤．22．（14分）已知方向向量为的直线l过点A（）和椭圆的焦点，且椭圆C的中心O和椭圆的右准线上的点B 满足：，||＝||．（1）求椭圆C的方程；（2）设M、N是椭圆C上两个不同点，且M、N的纵坐标之和为1，记u为M、N的横坐标之积．问是否存在最小的常数m，使u≤m恒成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．2017年江西省七校联考高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：1．（5分）计算：＝（）A．2B．﹣2C．2i D．﹣2i【解答】解：＝＝＝2，故选：A．2．（5分）若log a（3a﹣1）＞0，则a的取值范围是（）A．a＜B．＜a＜C．a＞1D．＜a＜或a＞1【解答】解：∵log a（3a﹣1）＞0，∴log a（3a﹣1）＞log a1，当a＞1时，函数是一个增函数，不等式的解是a＞0，∴a＞1；当0＜a＜1时，函数是一个减函数，不等式的解是＜a＜，∴＜a＜综上可知a的取值是a＞1或＜a＜．故选：D．3．（5分）设α、β、γ是三个互不重合的平面，l是直线，给出下列命题①若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；②若l上两点到α的距离相等，则l∥α；③若l⊥α，l∥β，则α⊥β；④若α∥β，l∥α，l⊄β，则l∥β．其中正确的命题是（）A．①②B．②③C．②④D．③④【解答】解：对于①，若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ或α，γ相交，故①不正确；对于②，若l上两个点A、B满足线段AB的中点在平面内，则A、B到α的距离相等，但l与α相交，故②不正确；对于③，若l⊥α，l∥β，则根据面面垂直的判定定理可知α⊥β，故③正确；对于④，若α∥β且l∥α，可得l∥β或l在β内，而条件中有l⊄β，所以必定l ∥β，故④正确．故选：D．4．（5分）已知一个半径为的球中有一个各条棱长都相等的内接正三棱柱，则这正三棱柱的体积是（）A．18B．16C．12D．8【解答】解：∵一个半径为的球中有一个各条棱长都相等的内接正三棱柱，设这正三棱柱棱长为2a，如图，则AB＝a，AO′＝a．OO′＝a，∴7＝a2+a2＝a2．整理，得a2＝3，∴a＝．∴棱长为2a＝2．∴这正三棱柱的体积：V＝＝18．故选：A．5．（5分）已知函数y＝f（x）图象如图，则y＝f（﹣x）sin x在区间[0，π]上大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：∵y＝f（x）图象如图，则y＝f（﹣x）的图象把f（x）的沿y轴对折，再向右平移的单位，当0＜x＜时，sin x＞0，f（﹣x）＞0，故y＞0，当＜x＜π时，sin x＞0，f（﹣x）＜0，故y＜0，故选：D．6．（5分）已知两个集合，，若A∩B≠∅，则实数λ的取值范围是（）A．[2，5]B．（﹣∞，5]C．D．【解答】解：A∩B≠∅，即是说方程组有解．由①得4﹣cos2β＝λ+sinβ，得出λ＝3+sin2β﹣sinβ＝（sinβ﹣）2+；∵sinβ∈[﹣1，1]，∴当sinβ＝时，λ的最小值为，当sinβ＝﹣1时，λ的最大值为5．故选：D．7．（5分）a＞0，a≠1，函数f（x）＝log a|ax2﹣x|在[3，4]上是增函数，则a的取值范围是（）A．或a＞1B．a＞1C．D．或a＞1【解答】解：∵a＞0，a≠1，令g（x）＝|ax2﹣x|作出其图象如下：∵函数f（x）＝在[3，4]上是增函数，若a＞1，则或，解得a＞1；若0＜a＜1，则，解得≤a≤；故选：A．8．（5分）设函数y＝f（x）在x0处可导，f′（x0）＝a，若点（x0，0）即为y ＝f（x）的图象与x轴的交点，则[nf（x 0﹣）]等于（）A．+∞B．a C．﹣a D．以上都不对【解答】解∵f（x o）＝0，∴nf（x o﹣）＝﹣，∵f（x）在x o处可导，﹣）＝﹣＝﹣＝∴nf（x﹣f′（x0）＝﹣a，故选：C．9．（5分）已知椭圆E的离心率为e，两焦点分别为F1，F2，抛物线C以F1为顶点，F2为焦点，点P为这两条曲线的一个交点，若e||＝||，则e的值为（）A．B．C．D．不能确定【解答】解：作PT垂直椭圆准线l于T，则由椭圆第二定义：丨PF1丨：丨PT 丨＝e又＝e，故丨PT丨＝丨PF2丨，由抛物线定义知l为抛物线准线故F1到l的距离等于F1到F2的距离，即（﹣c）﹣（﹣）＝c﹣（﹣c），整理得：a＝c，e＝＝，故选：C．10．（5分）已知抛物线y2＝2px，O是坐标原点，F是焦点，P是抛物线上的点，使得△POF是直角三角形，则这样的点P共有（）A．0个B．2个C．4个D．6个【解答】解：如图所示，过焦点F作PF⊥x轴，交抛物线于点P，P′．则△OFP、△OFP′都是直角三角形．而＝＝2＞1，∴∠POF＞45°．∴∠POP′＞90°．∴△POP′不是直角三角形．综上可知：使得△POF是直角三角形的抛物线上的点P有且只有2个．故选：B．11．（5分）掷一个骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于4的点数出现”，则一次试验中，事件A+发生的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：掷一个骰子的试验，基本事件总数n＝6，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于4的点数出现”，则一次试验中，事件A+发生包含的基本事件有：1，2，3，4，共有4个元素，∴一次试验中，事件A+发生的概率为：p＝＝．故选：C．12．（5分）三个学校分别有1名、2名、3名学生获奖，这6名学生排成一排合影，要求同校的任意两名学生不能相邻，那么不同的排法共有（）A．36种B．72种C．108种D．120种【解答】解：设三个学校分别为A，B，C，对应的学生为1，2，3名，分两类：第一类是A、B两个学校的三个学生分别被C学校的三个学生分别隔开有2＝72种；第二类是A、B两个学校中其中一名学生相邻有＝48．根据分类计数计数原理得共有72+48＝120种．故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．请将答案填在题中横线上）13．（4分）在二项式（1+x）n的展开式中，存在着系数之比为5：7的相邻两项，则指数n（n∈N*）的最小值为11．【解答】解：二项式（1+x）n的展开式中，存在系数之比为5：7的相邻两项，∴＝，∴＝，∴k＝，当k＝5时，n min＝11，故答案为：1114．（4分）若函数，（a＞0且a≠1）的值域为R，则实数a 的取值范围是（0，1）∪（1，4]．【解答】解：函数，（a＞0且a≠1）的值域为R，其真数在实数集上恒为正，即恒成立，即存在x∈R使得≤4，又a＞0且a≠1故可求的最小值，令其小于等于4∵∴4，解得a≤4，故实数a的取值范围是（0，1）∪（1，4]故应填（0，1）∪（1，4]15．（4分）已知抛物线y2＝4x的准线是圆x2+y2﹣2Px﹣16+P2＝0的一条切线，则圆的另一条垂直于x轴的切线方程是x＝﹣9或x＝7．【解答】解：抛物线y2＝4x的准线方程为x＝﹣1，而圆方程为（x﹣P）2+y2＝16，又（﹣1，0）在圆上，∴（P+1）2＝16，即P＝﹣5或P＝3，∴另一条切线方程为x＝﹣9或x＝7，故答案为：x＝﹣9或x＝7．16．（4分）下列命题中①A+B＝是sin A＝cos B成立的充分不必要条件．②的展开式中的常数项是第4项．③在数列{a n}中，a1＝2，S n是其前n项和且满足S n+1＝+2，则数列{a n}为等比数列．④设过函数f（x）＝x2﹣x（﹣1≤x≤1）图象上任意一点的切线的斜率为K，则K的取值范围是（﹣3，1）把你认为正确的命题的序号填在横线上①③．【解答】解：①A+B＝，可得A＝﹣B，∴sin A＝cos B，反之sin A＝cos B，A+B＝+2kπ（k∈Z），∴A+B＝是sin A＝cos B成立的充分不必要条件，正确．②的展开式，通项为，令r﹣3＝0，可得r＝2，常数项是第3项，不正确．③在数列{a n}中，a1＝2，S n是其前n项和且满足S n+1＝+2，可得S n＝S n﹣+2，两式相减可得a n+1＝a n，故数列{a n}为等比数列，正确；1④f（x）＝x2﹣x（﹣1≤x≤1），则f′（x）＝2x﹣1∈[﹣3，1]，K的取值范围是[﹣3，1]，不正确．故答案为①③．三、解答题（本大题共6小题，满分74分．第17-21题每题12分，第22题14分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知向量＝（sin B，1﹣cos B），且与向量＝（2，0）所成角为，其中A，B，C是△ABC的内角．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）求sin A+sin C的取值范围．【解答】解：（I）∵＝（sin B，1﹣cos B），且与向量＝（2，0）所成角为，∴＝tan＝，∴tan＝，又0＜B＜π，∴0＜＜，∴＝，即B＝，A+C＝；…（6分）（II）由（1）可得sin A+sin C＝sin A+sin（﹣A）＝sin A+cos A﹣sin A＝sin A+cos A＝sin（A+），∵0＜A＜，∴＜A+＜，∴sin（A+）∈（，1]，则sin A+sin C∈（，1]，当且仅当A＝C＝时，sin A+sin C＝1．…（13分）18．（12分）.有甲、乙、丙、丁四支球队进行单循环比赛，最后据各队积分决出名次．规定每场比赛必须决出胜负，其中胜方积2分，负方积1分，已知球队甲与球队乙对阵，甲队取胜的概率为，与球队丙、丁对阵，甲队取胜的概率均为，且各场次胜负情况彼此没有影响．（1）甲队至少胜一场的概率；（2）求球队甲赛后积分ξ的概率分布和数学期望．【解答】解：（1）∵球队甲与球队乙对阵，甲队取胜的概率为，与球队丙、丁对阵，甲队取胜的概率均为，且各场次胜负情况彼此没有影响．甲队至少胜一场的对立事件是甲三场比赛全负，∴甲队至少胜一场的概率p＝1﹣（1﹣）（1﹣）（1﹣）＝．（2）由题意知球队甲赛后积分ξ的可能取值为3，4，5，6，P（ξ＝3）＝（1﹣）（1﹣）（1﹣）＝，P（ξ＝4）＝（1﹣）（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）×（1﹣）×＝，P（ξ＝5）＝××（1﹣）+（1﹣）××+×（1﹣）×＝，P（ξ＝6）＝××，∴ξ的分布列为：．19．（12分）设a∈R，函数f（x）＝（ax2+a+1），其中e是自然对数的底数．（1）判断f（x）在R上的单调性；（2）当﹣1＜a＜0时，求f（x）在[1，2]上的最小值．【解答】解：（1）由已知f′（x）＝﹣e﹣x（ax2+a+1）+e﹣x•2ax＝e﹣x（﹣ax2+2ax﹣a﹣1）．因为e﹣x＞0，以下讨论函数g（x）＝﹣ax2+2ax﹣a﹣1值的情况：当a＝0时，g（x）＝﹣1＜0，即f′（x）＜0，所以f（x）在R上是减函数．当a＞0时，g（x）＝0的判别式△＝4a2﹣4（a2+a）＝﹣4a＜0，所以g（x）＜0，即f′（x）＜0，所以f（x）在R上是减函数．当a＜0时，g（x）＝0有两个根x1＝，并且＜，，2所以在区间（﹣∞，）上，g（x）＞0，即f'（x）＞0，f（x）在此区间上是增函数；在区间（，）上，g（x）＜0，即f′（x）＜0，f（x）在此区间上是减函数．在区间（，+∞）上，g（x）＞0，即f′（x）＞0，f（x）在此区间上是增函数．综上，当a≥0时，f（x）在R上是减函数；当a＜0时，f（x）在（﹣∞，）上单调递增，在（，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．（2）当﹣1＜a＜0时，＝1+＜1，＝1+＞2，所以在区间[1，2]上，函数f（x）单调递减．所以函数f（x）在区间[1，2]上的最小值为f（2）＝．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，侧面P AD是正三角形，且侧面P AD⊥底面ABCD，E为侧棱PD的中点．（1）求证：PB∥平面EAC；（2）求证：AE⊥平面PCD；（3）若AD＝AB，试求二面角A﹣PC﹣D的正切值；（4）当为何值时，PB⊥AC？【解答】解：（1）证明：连DB，设DB∩AC＝O，则在矩形ABCD中，O为BD中点．连EO．因为E为DP中点，所以，OE∥BP．又因为OE⊂平面EAC，PB⊄平面EAC，所以，PB∥平面EAC．（2）正三角形P AD中，E为PD的中点，所以，AE⊥PD，又面PDC∩面P AD＝PD，所以，AE⊥平面PCD．（3）在PC上取点M使得．由于正三角形P AD及矩形ABCD，且AD＝AB，所以PD＝AD＝AB＝DC 所以，在等腰直角三角形DPC中，EM⊥PC，连接AM，因为AE⊥平面PCD，所以，AM⊥PC．所以，∠AME为二面角A﹣PC﹣D的平面角．在Rt△AEM中，．即二面角A﹣PC﹣D的正切值为．（4）设N为AD中点，连接PN，则PN⊥AD．又面P AD⊥底面ABCD，所以，PN⊥底面ABCD．所以，NB为PB在面ABCD上的射影．要使PB⊥AC，需且只需NB⊥AC在矩形ABCD中，设AD＝1，AB＝x则，解之得：．所以，当＝时，PB⊥AC．21．（12分）设f （x ）＝（a ＞0）为奇函数，且|f （x ）|min ＝，数列{a n }与{b n }满足如下关系：a 1＝2，，．（1）求f （x ）的解析表达式； （2）证明：当n ∈N +时，有b n ≤．【解答】解：由f （x ）是奇函数，得b ＝c ＝0，由|f （x ）min |＝，由基本不等式可得2＝2得a ＝2，故f （x ）＝（2）＝，＝＝b n 2∴b n ＝b n ﹣12＝b n ﹣24═，而b 1＝∴b n ＝当n ＝1时，b 1＝，命题成立，当n ≥2时∵2n ﹣1＝（1+1）n ﹣1＝1+C n ﹣11+C n ﹣12++C n ﹣1n ﹣1≥1+C n ﹣11＝n ∴＜，即b n ≤．22．（14分）已知方向向量为的直线l 过点A （）和椭圆的焦点，且椭圆C 的中心O 和椭圆的右准线上的点B满足：，||＝||．（1）求椭圆C的方程；（2）设M、N是椭圆C上两个不同点，且M、N的纵坐标之和为1，记u为M、N的横坐标之积．问是否存在最小的常数m，使u≤m恒成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）解法一：由点B满足：，||＝||．可得O点和B点关于直线l对称．直线l：y＝x﹣2①过原点垂直l的直线方程为②解①②得，∵椭圆中心（0，0）关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上，∴．∵直线l过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）．∴c＝2，a2＝6，b2＝2．故椭圆C的方程为．解法二：直线l：y＝x﹣2，设原点关于直线l对称点为（p，q），则解得p＝3．∵椭圆中心（0，0）关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上，∴．∵直线l过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）．∴c＝2，a2＝6，b2＝2．故椭圆C的方程为．（2）若直线MN平行于y轴，则y1+y2＝0，不合题意．若直线MN不平行于y轴，设过M、N两点的直线方程为y＝kx+b，由得（2+6k2）x2+12kbx+6b2﹣12＝0，△＝144k2b2﹣4（2+6k2）（6b2﹣12）＞0，即（2+6k2）﹣b2＞0①设M（x1，y1），N（x2，y2），则，∴，由已知，代入①得：4b﹣b2＞0，即0＜b＜4，，∵，∴u在（0，4）上是增函数，∴，故不存在最小的常数m，使u≤m成立．。
江西九江市高三第一次高考模拟统一考试数学理试题含答案
无数个整数解，不符合题意 当 a 0 时， f ( x) af ( x) 0 f ( x) 0 ，此时不等式 f ( x) af ( x) 0 有无数个整数
2 2
解，不符合题意 要使不等式 f ( x) af ( x) 0 恰 当 a 0 时， f ( x) af ( x) 0 f ( x) 0 或 f ( x) a ，
O A B
S1 1 ， S2 2 d ， S3 3 3d 成等差数列， 2 2 d 1 3 3d
高考一模 数学(理科)试卷 参考答案及评分标准
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n(1 2n 1) n 2 ， Sn n ， 故数列 { S n } 2 2n 3 1 1 为等差数列， bn n n 1 n 2 (2n 1) (2n 1) 2 (2n 1) 2 (2n 1) 1 1 1 1 1 1 1 Tn 0 1 1 2 n 1 n 1 n . 2 1 2 3 2 3 2 5 2 (2n 1) 2 (2n 1) 2 (2n 1)
f(
2 3 3 ) 1 ，故排除 A.故选 C. 3 4
8. 解：该几何体直观图为圆柱中挖去一个圆锥，如图所示，
2 该几何体的表面积为 S表 3 2 3 4 3 5 48 ，
故选 B. 9. 解:当 n 6 时， S 当 n 12 时， S
2 2
有两个整数解，必须满足 f (3) a f (2)
1 ln 2 1 ln 3 ，故选 C． a 2 3
二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.
江西省九江市2017届高三第三次高考模拟统一考试理科数学试题
九江市2017年第三次高考模拟统一考试理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数2iz (i 12i-=-为虚数单位） 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2. 设全集U R =，{}{}2|60,|1A x x x B x x =--≥=>，则()U C A B = （ ）A ．{}|2x x ≥-B ．{}|2x x >-C ．{}|13x x <<D ．{}|13x x <≤ 3. 已知数列{}n a 为等比数列，若2102,8a a ==，则6a =（ ）A ．4±B ．4- C.4 D ．5 4.已知 1.30.72,4,ln 6a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b c a << C.c a b << D ．c b a <<5. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的离心率为，从C 的右焦点F 引渐近线的垂线，垂足为A ，若AFO ∆的面积为 1，则双曲线C 的方程为（ ）A ．22128x y -= B ．2214x y -= C. 221416x y -= D ．2214y x -= 6. 若从集合{}1,2,3,4,5中随机地选出三个元素，则满足其中两个元素的和等于第三个元素的概率为 （ ） A ．15 B ．25 C.12 D ．357. 执行如图所示的程序框图，则输出 S 的值为1-，那么判断框内应填入的条件是（ ）A ． 8k ≤B ．9k ≤ C. 10k ≤ D ．11k ≤8. 已知实数 ,x y 满足201010x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩，若z mx y =+的最小值为 3，则实数m 的值是（ ）A ．2-B ． 3 C. 8 D ．2 9. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数:1,1,2,3,5,8，…，该数列的特点是：前两个数均为 1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为斐波那契数列.则()8822111i i i i i a a a++==-=∑∑（ ）A ．0B ．1- C. 1 D ．2 10. 如图所示，在正方体1111ABCD A BCD -中，点G 在棱1AA 上，1,,3AG E F =分别是棱1111,C D B C 的中点，过,,E F G 三点的截面α将正方体分成两部分，则正方体的四个侧面被截面α截得的上、下两部分面积之比为（ ）A ．16 B ．14 C. 13 D ．1211. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:4C x y =，点P 是C 的准线 l 上的动点，过点P 作C 的两条切线，切点分别为,A B ，则AOB ∆面积的最小值为（ ）A B ．2 C.．412. 若对任意()0,x π∈，不等式sin x x e e a x -->恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[]2,2- B ．(],e -∞ C.(],2-∞ D ．(],1-∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在()()6312xx -+的展开式中，5x 的系数是 ．14. 如图所示，网格纸上小正方形的边长为1 ，粗线画出的是某一几何体的三视图，则该几何体的体积为 ．15. 已知向量()()1,3,2,6a b =-=-，若向量 c 与 a 的夹角为60，且()10c a b ⋅+=-，则c = ．16. 已知数列{}n a 的前 n 项和为 n S ，且满足111,2n n n a a a S +=⋅=，设3nnn a a b =，若存在正整数(),p q p q <，使得1,,p q b b b 成等差数列，则p q += ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在ABC ∆ 中，内角 ,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足()222sin sin sin 2sin sin sin B C A B C B C +=++.（1）求角A 的大小；（2）若2a =，求ABC ∆面积的最大值.18. 某农科所发现，一种作物的年收获量 y （单位：kg ）与它“相近”作物的株数 x 具有线性相关关系(所谓两株作物“相近”是指它们的直线距离不超过 1m )，并分别记录了相近作物的株数为 1,2,3,5,6,7时，该作物的年收获量的相关数据如下：（1）求该作物的年收获量 y 关于它“相近”作物的株数x 的线性回归方程；（2）农科所在如图所示的正方形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点）处都种了一株该作物，其中每个小正方形的面积为 1，若在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．(注:年收获量以线性回归方程计算所得数据为依据)附：对于一组数据()()()1122,,,,...,,n n x y x y x y ，其回归直线y a bx =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为, 1122211()()()()n ni iiii i nniii i x y nx y x x yy b xn x x x ====---==--∑∑∑∑, a y bx =-19. 如图所示，等腰梯形ABCD 的底角 A 等于60，直角梯形 ADEF 所在的平面垂直于平面ABCD ，90EDA ∠=，且222ED AD AF AB ====.（1）证明：平面ABE ⊥平面EBD ；（2）点M 在线段EF 上，试确定点M 的位置，使平面MAB 与平面ECD 所成二面角的余20. 如图所示，已知椭圆()2222:1x y C a b c a b+=>>的焦距为 2，直线y x =被椭圆 C 截得的弦长为3.（1）求椭圆 C 的方程；（2）设点()00,M x y 是椭圆 C 上的动点，过原点O 引两条射线12,l l 与圆()()22002:3M x x y y -+-=分别相切，且12,l l 的斜率12,k k 存在. ①试问 12k k ⋅ 是否为定值？若是，求出该定值，若不是，说明理由；②若射线12,l l 与椭圆 C 分别交于点,A B ，求OA OB ⋅的最大值.21. 已知函数()()2ln 1(f x ax x x a =--∈R) 恰有两个极值点12,x x ，且12x x <.（1）求实数 a 的取值范围；（2）若不等式12ln ln 1x x λλ+>+恒成立，求实数λ的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，点 P 的极坐标是2π⎫⎪⎭，曲线 C 的极坐标方程为4cos 3πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭.以极点为坐标原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为 1- 的直线 l 经过点P .（1）写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程；（2）若直线 l 和曲线C 相交于两点,A B ，求PA PBPB PA+的值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()21(f x x x a a =++-∈R).（1）若 1=a ，求不等式 ()5f x ≥的解集； （2）若函数()f x 的最小值为3，求实数 a 的值.九江市2017年第三次高考模拟统一考试理科数学试题参考答案一、选择题1-5: ABCCD 6-10:BBDAC 11-12：BC二、填空题13. 228- 14.43π15. 5 三、解答题17. 解：(1) 由正弦定理得：()2222222sin ,,2sin b c a bc B C A B C b c a bc A π+=++++=∴+=+，222sin 2b c a A bc+-∴=，由余弦定理得cos sin ,tan 1A A A ==，又()0,,4A A ππ∈∴=.(2)由（1）得22222,2,4b c a a b c +-==∴+=+，222,42b c bc bc +≥∴+≥（当且仅当b c =时取得等号），即4bc ≤=+1sin 1.24ABC S bc A ABC ∆∴==≤∴∆面积的最大值为1.18. 解：(1)()()111235674,6055534645415066x y =+++++==+++++=,()()()()()()()()61310251314253984iii x x y y =--=-⨯+-⨯+-⨯+⨯-+⨯-+⨯-=-∑,()()()()62222222132112328ii x x =-=-+-+-+++=∑,1122211()()84328()()nni iiii i nniii i x y nx y x x y y b xn x x x ====---∴===-=---∑∑∑∑,503462a y bx =-=+⨯=,故该作物的年收获量 y 关于它相邻作物的株数 x 的线性回归方程为362y x =-+. (2) 由（1）得，当2,3,4x =，与之相对应56,53,50y =，()()()()()()418141562,533,504164162164P y P X P y P X P y P X ===============，所以它的年收获量 y 的分布列数学期望为()56535053424Ey kg =⨯+⨯+⨯= . 19. 解：(1) 因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF平面,,ABCD AD ED AD ED ≠=⊥⊂平面ADEF ，ED ∴⊥平面ABCD，AB ≠⊂平面ABCD ，AB ED ∴⊥，又2,1,60,AD AB A AB BD ===∴⊥.又,,BDED D BD ED ≠=⊂平面,EBD AB ∴⊥平面EBD ，又AB ≠⊂平面ABE ，所以平面ABE ⊥平面EBD .(2)以B 点为原点建立如图空间直角坐标系 B xyz -，则()()()()11,0,0,,,,,1,0,122A C D E F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设平面ECD 的法向量为()1111,,n x y z =，则()11013,,,0,0,0,22n CD CD DE n DE ⎧⎛⎫⋅=⎪== ⎪⎨⎝⎭⋅=⎪⎩，即111102220x y z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，令11y=-，得()13,1,0n =-，设[],0,1EM EF λλ=∈，则()()(),2,,33,2,1,0,0M BM BA λλλλλ-+∴=-+-+=，设平面MAB 的法向量为()2222,,n xy z =，则220n BM n BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即(()22222x y zx λλ⎧++-+=⎪⎨=⎪⎩，22y λ=-，得(20,2n λ=-，1211cos 42n n n n θ⋅∴====⋅，解得12λ=，所以M 为线段EF 的中点.20. 解：(1) 依题意得1c =,设直线 y x =与椭圆 C 相交于,P Q 两点，则OP =,不妨设2222,133P a b∴+=,又221a b -=，解得1a b ==，所以椭圆 C 的方程为2212x y +=. (2) ①设射线l 方程为()()1122,,,,y kx A x y B x y ==()222000326320xk x y k y --+-=，2022200012220031232121,232322x x y y k k x x ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭=-∴===---.②联立22122x y y k x ⎧+=⎨=⎩，消去 y 得22211221222,1212k x OA k k +==++，同理222222212k OB k +=+， ()()()()()()2222222221212121222222221212121214522224121222421k k k k k k k k OA OB k k k k k k k k +++++++∴⋅=⋅=⋅=+++++++ 212119214222k k =+≤++，当且仅当2112k =时，取等号max 32OA OB ∴⋅=.21. 解：(1)()'ln 2f x a x x ∴=- ,依题意得12,x x 为方程ln 20a x x -=的两不等正实数根,2ln 0,x a a x ∴≠=,令()()2ln 1ln ,'x xg x g x x x-==.当()0,x e ∈时，()'0g x > ；当(),x e ∈+∞时，()'0g x <， ()g x ∴在 ()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，且，()10g =，当x e >时，()()210,0g x g e a e>∴<<=，解得2a e >，故实数 a 的取值范围是()2,e +∞.(2)由（1）得1122ln 2,ln 2a x x a x x ==, 两式相减得()()12121212ln ln 2,2ln ln x x a x x x x a x x --=-=⋅-,()()()1212122ln ln 1121x x x x x x a aλλλλλλ++>+⇔>+⇔+>+()()()()112212121212112122ln 1ln ln 11ln ln 1x x x x x x x x x x x x x x x x x x λλλλλλ⎛⎫+ ⎪+-+-⎝⎭⇔+>⇔>+⇔>+---,120x x <<，令()()12ln 0,1,11x t t t x t λλ+=∈∴>+-，即()()()ln 110t t t λλ+-+-<，令()()()()ln 11h t t t t λλ=+-+-，则需满足()0h t <在()0,1上恒成立，()'ln h t t tλλ=+-，令()ln I t t t λλ=+-，则()()()221'0,1t I t t t t tλλ-=-=∈. ①当1λ≥时，()()'0,'I t h t <∴上单调递减, ()()()''10,h t h h t ∴>=∴在()0,1上单调递增 ,()()10h t h ∴<=, 符合题意 ； ②当0λ≤时，()()'0,'I t h t >∴上单调递增,()()()''10,h t h h t ∴<=∴在()0,1上单调递减,()()10h t h ∴>=, 不符合题意；③当01λ<<时，()()'01,'I t t h t λ>⇔<<∴在 (),1λ上单调递增，()()()''10,h t h h t ∴<=∴在(),1λ上单调递减,()()10h t h ∴>=, 不符合题意，综上所述，实数λ的取值范围是[)1,+∞.22. 解：(1) 由曲线 C 的极坐标方程4cos 3πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭可得2cos ρθθ=+，即22c o s 2ρρθθ=+，因此曲线 C的直角坐标方程为2220x y x +--=，即()(2214x y -+=，点P的直角坐标为(，直线 l 的倾斜角为135，所以直线 l的参数方程为2(2x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）. (2)将2(2x t t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）代入()(2214x y -+=，得230t +-=，设,A B 对应参数分别为12t t，有12123t t t t +==-，根据直线参数方程 t 的几何意义有，()222221212*********t t t t t t PA PB PA PB PB PA PA PB t t t t +-+++====⋅. 23. 解：（1）()31,12113,1131,1x x f x x x x x x x +≥⎧⎪=++-=+-<<⎨⎪--≤-⎩,当1x ≥时，315x +≥，即44,33x x ≥∴≥；当11x -<<时，35x +≥，即2x ≥，此时x 无实数解；当1x ≤-时，315x --≥，即2,2x x ≤-∴≤-，综上所述，不等式的解集为{|2x x ≤-和43x ⎫≥⎬⎭.（2）当1a =-时，()31f x x =+最小值为 0，不符合题意，当1a >-时，11 ()32,2,132,1x a x a f x x a x a x a x +-≥⎧⎪=++-<<⎨⎪--+≤-⎩，()()min 113f x f a ∴=-=+=，此时2a =； 当1a <-时， ()32,12,132,x a x f x x a a x x a x a +-≥-⎧⎪=---<<-⎨⎪--+≤⎩， ()()min 113f x f a =-=--=，此时4a =-，综上所示，2a =或4a =-.。
2017年高考真题全国1卷理科数学(附答案解析)
（2）若 PA=PD=AB=DC， ∠APD = 90o，求二面角 A−PB−C 的余弦值.
19．为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取
16 个零件，并测量其尺寸（单位： cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正
( ) 常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 N µ,σ 2 ．
x − y ≤ 0
15．已知双曲线 C
：
x2 a2
−
y2 b2
= 1(a
> 0,b > 0) 的右顶点为
A ，以
A 为圆心， b
为半径作
圆 A ，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线于交 M 、 N 两点，若 ∠MAN = 60o，则 C 的离心
率为__________．
16．如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O.D，E，F 为圆 O 上的点，△DBC，△ECA，△FAB 分别是以 BC，CA，AB 为底边的 等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以 BC，CA，AB 为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB， 使得 D，E，F 重合，得到三棱锥．当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3) 的最大值为______．
（1）假设生产状态正常，记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在
( µ − 3σ , µ + 3σ ) 之外的零件数，求 P ( X ≥ 1) 及 X 的数学期望； （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 ( µ − 3σ , µ + 3σ ) 之外的零件，就认为这
条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸：
2017高考全国卷1数学试题及答案解析(理科)
2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国I 卷）理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合{}{}131x A x x B x =<=<，，则（） A ．{}0=<A B x x B ．AB =RC ．{}1=>A B x xD ．A B =∅2. 如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A ．14B ．π8C ．12D ．π43. 设有下面四个命题，则正确的是（）1p ：若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3p ：若复数12z z ，满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R ．A ．13p p ，B ．14p p ，C ．23p p ，D ．24p p ， 4. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若4562448a a S +==，，则{}n a 的公差为（） A ．1B ．2C ．4D ．85. 函数()f x 在()-∞+∞，单调递减，且为奇函数．若()11f =-，则满足()121f x --≤≤的x的取值范围是（） A ．[]22-，B ．[]11-，C ．[]04，D ．[]13，6.()62111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为A ．15B ．20C ．30D ．357. 某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形、该多面体的各个面中有若干是梯形，这些梯形的面积之和为A ．10B ．12C ．14D ．16 8. 右面程序框图是为了求出满足321000n n ->的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入A ．1000A >和1n n =+B ．1000A >和2n n =+C ．1000A ≤和1n n =+D ．1000A ≤和2n n =+9. 已知曲线1:cos C y x =，22π:sin 23C y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（）A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C10. 已知F 为抛物线C ：24y x =的交点，过F 作两条互相垂直1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，AB DE +的最小值为（）A ．16B ．14C ．12D ．1011. 设x ，y ，z 为正数，且235x y z ==，则（）A ．235x y z <<B ．523z x y <<C ．352y z x<<D ．325y x z <<12. 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是02，接下来的两项是02，12，在接下来的三项式62，12，22，依次类推，求满足如下条件的最小整数N ：100N >且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ）A ．440B ．330C ．220D ．110 二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江西省2017届高三第一次联考测试理数试题 Word版含解
第Ⅰ卷 选择题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}2|1,|A x x B x x a =≤=<，若AB B =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),1-∞B ．(],1-∞-C ．()1,+∞D ．[)1,+∞ 【答案】C 【解析】考点：集合的运算.2.函数()2log 1y x =+的定义域是（ ）A ．()1,3-B ．(]1,3-C ．()()1,00,3-D ．()(]1,00,3-【答案】D 【解析】试题分析：由2901011x x x ⎧-≥⎪+>⎨⎪+≠⎩得10x -<<或03x <≤，所以函数的定义域为()(]1,00,3-，故选D.考点：函数的定义域. 3. 下列命题中：①“2000,10x R x x ∃∈-+≤”的否定； ②“若260x x +-≥，则2x >”的否命题； ③命题“若2560x x -+=，则2x =”的逆否命题； 其中真命题的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 【答案】C 【解析】考点：逻辑联结词与命题.4. 幂函数()()226844mm f x m m x-+=-+在()0,+∞为增函数，则m 的值为（ ）A ．1或3B ．1C ．3D ．2 【答案】B 【解析】试题分析：因为函数()()226844m m f x m m x-+=-+是幂函数，所以2441m m -+=，即1m =或3m =，当1m =时，函数3()f x x =在()0,+∞为增函数,符合题意；当3m =时，函数1()f x x -=在()0,+∞为减函数，不符合题意，故选B.考点：幂函数的定义与性质.5. 已知函数()21xf x =-+，定义函数()()(),0,0f x x F x f x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩，则()F x 是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数 【答案】A 【解析】试题分析：()21,02121,0x xx x f x x -⎧-+≥⎪=-+=⎨-+<⎪⎩,所以()()(),021,0,021,0xx f x x x F x f x x x -⎧>⎧-+≥⎪⎪==⎨⎨-<-<⎪⎪⎩⎩，所以当0x <时，()0,21(21)()xx x F x F x --->-=-+=--=-，所以当0x >时，()0,21(21)()x x x F x F x -<-=-=--+=-，所以函数()F x 是奇函数，故选A.考点：1.分段函数的表示；2.函数的奇偶性.6. 已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，E F 、分别是边11AA CC 、的中点，点M 是1BB 上的动点，过三点E M F 、、的平面与棱1DD 交于点N ，设BM x =，平行四边形EMFN 的面积为S ，设2y S =，则y 关于x 的函数()y f x =的解析式为（ ）A ．()[]2322,0,12f x x x x =-+∈ B ．()[]2322,0,12f x x x x =-++∈ C ．()[]3,0,12f x x x =-∈ D ．()[]3,0,12f x x x =-∈【答案】A 【解析】考点：1.正方体的性质；2.求函数解析式.7. 若函数()()22log 3f x x ax a =--在区间(],2-∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),4-∞B ．(]4,4-C ．()[),42,-∞-+∞D ．[)4,4-【答案】D 【解析】试题分析：函数()()22log 3f x x ax a =--在区间(],2-∞-上是减函数等价于2()3h x x ax a =--在区间(],2-∞-单调递减且(2)0h >，所以22(2)40ah a ⎧≥-⎪⎨⎪-=->⎩，解得44a -<≤，故选D.考点：1.对数函数的性质；2.复合函数的单调性.8. 函数221x x e x y e =-的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】考点：1.函数的奇偶性；2.函数的图象；3.函数的极限.【名师点睛】本题考查函数的奇偶性、图象特征，属中题；在研究函数与函数图象的对应关系时，应从函数的定义域、奇偶性、单调性、最值、渐近线等性质去考查，把握函数的整体趋势，才能准确作图或找到函数对应的图象.如本题就是先考查函数的奇偶性，再研究在0x →与x →∞时趋势选出正确答案的.9. 函数()ln x y e x a =-+（e 为自然对数的底数）的值域是正实数集R +，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(),1-∞-B ．(]0,1C ．(]1,0-D ．()1,-+∞ 【答案】C 【解析】试题分析：函数()ln x y e x a =-+（e 为自然对数的底数）的值域是正实数集R +等价于函数()x h x e x a =-+的最小值可以为1，()1x h x e '=-，当0x <时，()0h x '<，函数()h x 在区间(,0)-∞上单调递减，当0x >时，()0h x '>，函数()h x 在区间(0,)+∞上单调递增，所以min ()(0)1h x h a ==+，所以011a <+≤，即10a -<≤，故选C.考点：1.对数函数的性质；2.导数与函数的单调性. 10. 已知()f x '为()f x 的导函数，若()ln 2x f x =，且()3111212b b dx f a b x '=+-⎰，则a b+的最小值为（ ）A ．．．92 D ．92+【答案】C【解析】考点：1.导数运算；2.定积分运算；3.基本不等式.【名师点睛】本题考查导数运算、积分运算及基本不等式的应用，属中档题；导数与基本不等式是高考的重点与难点，本题将两者结全在一起，并与积分运算交汇，考查学生运算能力的同时，体现了学生综合应用数学知识的能力.11. 已知函数()f x 和()1f x +都是定义在R 上的偶函数，若[]0,1x ∈时，()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A ．1532f f ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．1532f f ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．1532f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．1932f f ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A 【解析】试题分析：因为函数()f x 是偶函数，所以()()f x f x -=，11()()33f f -=，()1f x +是偶函数，所以(1)(1)f x f x -+=+，即()(2)f x f x =-，所以()()(2)f x f x f x =-=-，()f x 是以2为周期的周期函数，所以51()()22f f =，又[]0,1x ∈时，()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，所以11()()32f f >，即1532f f ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选A. 考点：1.指数函数的性质；2.函数的奇偶性与周期性.【名师点睛】本题考查指数函数性质以及函数的奇偶性与周期性，属中档题；函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性是函数的五大性质，是高考考查的重点内容,在研究任意一个函数时，都要讨论这些性质，便于把握函数的整体性质.12. 如果定义在R 上的函数()f x 满足：对于任意12x x ≠，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +≥+，则称()f x 为“H 函数”．给出下列函数： ①31y x x =-++；②()32s in c o s y x x x =--；③1xy e =+；④()()()ln 101x x f x x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩，其中“H 函数”的个数有（ ） A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 【答案】A 【解析】考点：1.新定义问题；2.导数与函数的单调性.第Ⅱ卷 非选择题二、填空题（本小题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 若方程210x mx m -+-=有两根，其中一根大于2一根小于2的充要条件是____________． 【答案】3m > 【解析】试题分析：令2()1f x x mx m =-+-，则“方程210x mx m -+-=有两根，其中一根大于2一根小于2”(2)303f m m ⇔=-<⇔>，故应填3m >. 考点：函数与方程.14. 设,A B 是非空集合，定义{}|A B x x AB x A B ⊗=∈∉且．已知{}{}21|2,02,|2,0x M y y x x x N y y x -==-+<<==>，则M N ⊗=___________．【答案】10,(1,)2⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦【解析】考点：1.新定义问题；2.集合的运算.15. 若函数()()3211,220,11log ,2x a x f x a a x x -⎧⎛⎫⎪≤ ⎪⎪⎝⎭=>≠⎨⎪>⎪⎩且的值域是R ，则实数a 的取值范围是___________．【答案】⎫⎪⎪⎣⎭【解析】 试题分析：当12x ≤时，321()22x f x -⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭，又因为函数的值域为R ，所以当12x >时，()log a f x x =能取遍1(,)2-∞的所有实数，由21log log 22a a a ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭得12a ≤<，所以应填⎫⎪⎪⎣⎭. 考点：1.分段函数的表示；2.指数函数与对数函数的性质.【名师点睛】本题考查分段函数的表示方法与指、对数函数的图象与性质，属中档题；本题的难点是值域为R ，即12x ≤与12x >时两部分的值域的并集为全体实数，解决这个问题关键在于正确的转化，把当12x >时，()log a f x x =能取遍1(,)2-∞的所有实数转化为21log log 22a a a ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭，考查学生的理解能力，体现子数学的化归与转化思想.16. 给出下列四个命题：①函数()()log 211a f x x =--的图像过定点()1,0；②已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≤时，()()1f x x x =+，则()f x 的解析式为()2f x x x =-；③函数11y x =-的图像可由函数1y x =图像向右平移一个单位得到； ④函数11y x =-图像上的点到()0,1其中所有正确命题的序号是_____________．【答案】②④ 【解析】 试题分析：离d = 2222221121211(1)2(1)21(1)1(1)1x x x x x x x x x ⎛⎫+-=+-+=-++--+ ⎪-----⎝⎭考点：1.对数函数的图象与性质；2.函数的奇偶性；3.函数图象的平移变换；4.基本不等式. 【名师点睛】本题考查参数函数的图象与性质、函数的奇偶性、图象变换、基本不等式，属难题；解决正确命题的序号问题是较难的题，学生必须对所有命题逐个甄别，才能得出正确结论，而且考查知识面大，用到的数学方法、数学思想较多，是体现学生综合素质的题型. 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分10分）设()()()()log 1log 30,1a a f x x x a a =++->≠，且()12f =． （1）求a 的值及()f x 的定义域； （2）求()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．【答案】(1) ()1,3-；(2) []2log 3,2. 【解析】试题分析：(1)由()12f =可求出2a =，由对数的真数为正数，即1030x x +>⎧⎨->⎩可求函数的定义域；(2)由()()()()2222log 1log 3log 14f x x x x ⎡⎤=++-=--+⎣⎦及复合函数的单调性可知，当(]1,1x ∈-时，()f x 是增函数；当()1,3x ∈时，()f x 是减函数，由单调性可求值域.考点：1.对数函数的图象与性质；2.复合函数的单调性. 18. （本小题满分12分）命题2:,10p x R ax ax ∀∈+-<，命题3:101q a +<-． （1）若“p 或q ”为假命题，求实数a 的取值范围；（2）若“非q ”是“[],1a m m ∈+”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）41a a ≤-≥或；（2）31m m ≤-≥或. 【解析】试题分析：(1)先分别求命题p 真时a 的范围与命题q 真时a 的范围，又“p 或q ”为假命题等价于“,p q 均为假命题”即可求a 的取值范围；(2) ）非21q a a ⇔≤-≥或,所以“非q ”是“[],1a m m ∈+”的必要不充分条件121m m ⇔+≤-≥或，解之即可. 试题解析：（1）关于命题2:,10p x R ax ax ∀∈+-<，0a >时，显然不成立，0a =时成立，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 0a <时，只需240a a ∆=+<即可，解得：40a -<<，故p 为真时：(]4,0a ∈-；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分关于命题3:101q a +<-，解得：21a -<<，．．．．．．．．．．．．．．．6分 命题“p 或q ”为假命题，即,p q 均为假命题，则41a a ≤-≥或；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 （2）非:21q a a ≤-≥或，所以31m m ≤-≥或．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：1.逻辑联结词与命题；2.充分条件与必要条件.【名师点睛】本题考查逻辑联结词与充分条件、必要条件，属中档题；复合命题含逻辑联结词“或”、“且”、“非”时，命题真假的判定要牢固掌握，其规则为:p q ∨中，当且仅当,p q 均为假命题时为假，其余为真；p q ∧中，当且仅当,p q 均为真命题时为真，其余为假；p 与p ⌝一真一假.19. （本小题满分12分）已知二次函数()f x 的对称轴()2,x f x =-的图像被x 轴截得的弦长为()01f =．（1）求()f x 的解析式；（2）若12x f k ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对[]1,1x ∈-恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】(1) ()241f x x x =++；（2）13,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 【解析】试题解析：（1）由题意可以设()(22f x a x x =++，．．．．．．．．．．．．．．．．2分 由()011f a =⇒=， ∴()(22241f x x x xx =++=++；．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）当[]1,1x ∈-时，11,222xt ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分∵()f x 开口向上，对称轴为2x =-，∴()f t 在1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分∴()min 11324f t f ⎛⎫==⎪⎝⎭． ∴实数k 的取值范围是13,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：1.二次函数的图象与性质；2.函数与不等式. 20. （本小题满分12分）某店销售进价为2元/件的产品A ，假设该店产品A 每日的销售量y （单位：千件）与销售价格x （单位：元/件）满足的关系式()210462y x x =+--，其中26x <<．（1）若产品A 销售价格为4元/件，求该店每日销售产品A 所获得的利润；（2）试确定产品A 销售价格x 的值，使该店每日销售产品A 所获得的利润最大．（保留1位小数点）【答案】(1)42千元；（2）当销售价格为3.3元/件时，利润最大. 【解析】()()()()()()22321024610462456240278262f x x x x x x x x x x ⎡⎤=-+-=+--=-+-<<⎢⎥-⎣⎦从而考点：1.函数的实际应用问题；2.导数与函数的单调性、最值. 21. （本小题满分12分）已知函数()()22x f x x x ce c R -=-+∈．（1）若()f x 是在定义域内的增函数，求c 的取值范围； （2）若函数()()()52F x f x f x '=+-（其中()f x '为()f x 的导函数）存在三个零点，求c 的取值范围．【答案】(1) 1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦；(2) 650,2e -⎛⎫ ⎪⎝⎭.【解析】试题分析：(1)求函数()f x 的导数()2212xf x x ce-'=--，由()0f x '≥在R 上恒成立可得()21212x c x e ≤- ，构造函数()()21212x g x x e =-，求函数()g x 的最小值即可； (2) ()0F x =⇔2272x c x x e ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，构造函数()2272x h x x x e ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，研究函数()h x 的单调单调性，作出函数()h x 与函数y c =的图象，数形结合，观察两函数图象可求得c 的取值范围.试题解析： （1）因为()()22xf x x x cec R -=-+∈，所以函数()f x 的定义域为R ，且()2212xf x x ce -'=--，由()0f x '≥得22120xx c e ---≥，即()21212x c x e ≤-对于一切实数都成立．．．．．．．．．．．．2分令()0h x '=，解得3x =-或1x =， 列表得：由表可知当3x =-时，()h x 取得极大值62e -；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 当1x =时，()h x 取得极小值232e -． 又当3x <-时，2270,02x x x e +->>，所以此时()0h x >， 故结合图像得c 的取值范围是650,2e -⎛⎫⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：1.导数与函数的单调性、极值、最值；2.函数与方程【名师点睛】本题考查导数与函数的单调性、极值、最值与函数与方程，属难题；在解函数的综合应用问题时,我们常常借助导数,将题中千变万化的隐藏信息进行转化，探究这类问题的根本，从本质入手,进而求解，利用导数研究函数的单调性，再用单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或最值，从而证得不等式，注意()()f x g x >与min max ()()f x g x >不等价，min max ()()f x g x >只是()()f x g x >的特例，但是也可以利用它来证明，导数的强大功能就是通过研究函数极值、最值、单调区间来判断函数大致图象，这是利用研究基本初等函数方法所不具备的，而是其延续． 22. （本小题满分12分） 已知函数()()ln ,x af x m a m R x-=-∈在x e =（e 为自然对数的底）时取得极值且有两个零点．（1）求实数m 的取值范围；（2）记函数()f x 的两个零点为12,x x ，证明：212x x e >． 【答案】（1）10m e<<；（2）见解析. 【解析】()12ln 2x x >，只需证明：()122m x x +>，即证2122111ln21x x x x x x +>-即可，设211xt x =>，则只需证明：1ln 21t t t ->+,构造函数()()1ln 2,11t u t t t t -=->+，证min ()0u t >即可.试题解析： （1）()()21ln 1ln a x x a a xx f x x x--+-'==，（2）不妨设12x x <，由题意知1122ln ln x mx x mx =⎧⎨=⎩，则()()221121221121lnln ,ln x x x x x m x x m x x m x x x =+=-⇒=-，．．．．．．．．．．．．．．．7分欲证212x x e >，只需证明：()12ln 2x x >，只需证明：()122m x x +>，即证：()122211ln2x x x x x x +>-，即证2122111ln21x x x x x x +>-，设211xt x =>，则只需证明：1ln 21t t t ->+，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分也就是证明：1ln 21t t t -->+，考点：1,导数与函数的单调性、极值；2.函数与方程；3.函数与不等式.。
江西省2017届高三第一次联考测试数学(理)试题 含答案
理科数学试卷第Ⅰ卷 选择题一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1。
已知集合{}{}2|1,|A x x B x x a =≤=<，若AB B =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),1-∞B ．(],1-∞-C ．()1,+∞D ．[)1,+∞2。
函数()229x y -=）A ．()1,3-B ．(]1,3-C ．()()1,00,3-D ．()(]1,00,3- 3.下列命题中： ①“200,10xR x x ∃∈-+≤”的否定； ②“若260xx +-≥，则2x >”的否命题；③命题“若2560xx -+=，则2x =”的逆否命题；其中真命题的个数是（ )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 4.幂函数()()226844m m f x mm x-+=-+在()0,+∞为增函数，则m 的值为( ）A ．1或3B ．1C ．3D ．2 5.已知函数()21xf x =-+，定义函数()()(),0,0f x x F x f x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩,则()F x 是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数6.已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，E F 、分别是边11AA CC 、的中点，点M 是1BB 上的动点，过三点E M F 、、的平面与棱1DD 交于点N ,设BM x =，平行四边形EMFN 的面积为S ，设2y S =，则y 关于x 的函数()y f x =的解析式为( ） A ．()[]2322,0,12f x xx x =-+∈B ．()[]2322,0,12f x xx x =-++∈C ．()[]3,0,12f x x x =-∈ D ．()[]3,0,12f x x x =-∈7。
若函数()()22log 3f x xax a =--在区间(],2-∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),4-∞B ．(]4,4-C ．()[),42,-∞-+∞D ．[)4,4-8.函数221x x e x y e =-的大致图像是（）A ．B ．C ．D ．9。
江西省九江市高考数学一模试卷（理科）含答案解析
江西省九江市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．若复数z满足z（i﹣1）=（i+1）2（i为虚数单位），则复数z的虚部为（）A．1B．﹣1C．iD．﹣i2．设全集U=R，A={x|＞0}，∁U A={x|﹣1≤x≤1}，则m的值为（）A．﹣1B．0C．1D．23．已知命题：p∀x∈（0，），sinx+cosx＞1恒成立，命题q：∃x∈（0，），使2x＞3x，则下列结论中正确的是（）A．命题“p∧q”是真命题B．命题“p∧（￢q）”是真命题C．命题“（￢p）∧q”为真命题D．命题“（￢p）∧（￢q）”是真命题4．等比数列{a n}中，S n表示其前n项和，a3=2S2+1，a4=2S3+1，则公比q为（）A．±2B．±3C．2D．35．执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣2，2]，则输出的S属于（）A．[﹣6，﹣2]B．[﹣5，﹣1]C．[﹣4，5]D．[﹣3，6]6．将函数y=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位后，其图象离原点最近的两个零点到原点的距离相等，则|φ|的最小值为（）A． B． C． D．7．在边长为2的正方形AP1P2P3中，点B、C分别是边P1P2、P2P3的中点，沿AB、BC、CA翻折成一个三棱锥P﹣ABC，使P1、P2、P3重合于点P，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为（）A．4πB．6πC．12πD．24π8．如果实数x，y满足不等式组，目标函数z=kx﹣y的最大值为6，最小值为0，则实数k的值为（）A．1B．2C．3D．49．多项式（x2﹣x+2）5展开式中x3的系数为（）A．﹣200B．﹣160C．﹣120D．﹣4010．从底面为直角三角形的直三棱柱的9条棱中任取两条，则这两条棱互相垂直的概率为（）A． B． C． D．11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为（）A．1B． C． D．212．已知函数f（x）和g（x）是两个定义在区间M上的函数，若对任意的x∈M，存在常数x0∈M，使得f（x）≥f（x0），g（x）≥g（x0），且f（x0）=g（x0），则称f（x）与g （x）在区间M上是“相似函数”．若f（x）=ax2+2（a﹣1）x﹣2lnx+b（a，b∈R）与g（x）=x+在区间[，2]上是“相似函数”，则a，b的值分别是（）A．a=1，b=1B．a=﹣1，b=﹣1C．a=1，b=﹣1D．a=﹣1，b=1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设向量，是夹角为的单位向量，若=+2， =﹣，则|+|=．14．已知函数f（x）=是定义在（﹣1，1）上的奇函数，则f（）=．15．已知各项都为正数的数列{a n}的前n项和S n满足S n=．数列{b n}满足b n=，则数列{b n}的前n项和T n=．16．已知圆C的方程为（x﹣1）2+y2=1，P 是椭圆+=1上一点，过点P作图C的两条切线，切点为A，B ，则•的最小值是．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知（2c﹣a）cosB=bcosA，且b=6．（1）求角B的大小；（2）设△ABC的两条中线AE、CF相交于点D，求四边形BEDF面积的最大值．18．模拟考试后，某校对甲、乙两个班的数学考试成绩进行分析，规定：不少于120分为优秀，否则为非优秀，统计成绩后，得到如下的2×2列联表，已知在甲、乙两个班全部100人中随机抽取1人为优秀的概率为．优秀非优秀合计甲班20乙班40合计100（1）请完成上面的2×2列联表；（2）根据列联表的数据，若按97.5%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”？（3）在“优秀”的学生人中，用分层抽样的方法抽取6人，再平均分成两组进行深入交流，求第一组中甲班学生人数ξ的分布列和数学期望．参考公式与临界值表：K2=0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 P （K2≥k）k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的两倍，焦距为2．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设不过原点O的直线l与椭圆C交于两点M、N，且直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列，求△OMN面积的取值范围．21．已知函数f（x）=．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若任意x∈（0，1），f（x）∈（a，b）恒成立，求b﹣a的最小值．选做题：请考生在第22-24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知AB是圆O的直径，C、D是圆O上的两个点，CE⊥AB于E，BD交AC 于G，交CE于F，CF=FG．（Ⅰ）求证：C是劣弧的中点；（Ⅱ）求证：BF=FG．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：（t为参数）经过椭圆C：（θ为参数）的右焦点F．（1）求m，n的值；（2）设直线l与椭圆相交于A，B两点，求|FA|•|FB|的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|2x﹣1|+|ax﹣1|（a＞0）（1）当a=2时，解不等式4f（x）≥f（0）（2）若对任意x∈R，不等式4f（x）≥f（0）恒成立，求实数a的取值范围．江西省九江市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．若复数z满足z（i﹣1）=（i+1）2（i为虚数单位），则复数z的虚部为（）A．1B．﹣1C．iD．﹣i【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】根据复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法即可求出．【解答】解：∵z（i﹣1）=（i+1）2（i为虚数单位），∴z===1﹣i，故选：B．2．设全集U=R，A={x|＞0}，∁U A={x|﹣1≤x≤1}，则m的值为（）A．﹣1B．0C．1D．2【考点】补集及其运算．【分析】根据A的补集及全集U=R，确定出A，进而求出m的值．【解答】解：∵全集U=R，∁U A={x|﹣1≤x≤1}，∴A={x|x＜﹣1或x＞1}，由A中不等式变形得：（x﹣1）（x+m）＞0，解得：x＜﹣m或x＞1，则m=1，故选：C．3．已知命题：p∀x∈（0，），sinx+cosx＞1恒成立，命题q：∃x∈（0，），使2x＞3x，则下列结论中正确的是（）A．命题“p∧q”是真命题B．命题“p∧（￢q）”是真命题C．命题“（￢p）∧q”为真命题D．命题“（￢p）∧（￢q）”是真命题【考点】复合命题的真假．【分析】分别判断出命题p，q的真假，从而得到答案．【解答】解：命题：p：∀x∈（0，），sinx+cosx=sin（x+）∈（1，]；p真，命题q：：x∈（0，），∵＞1，∴3x＞2x，故q是假命题，故p∧q假，A错误，p∧（￢q）真，B正确，（￢p）∧q假，C错误，（￢p）∧（￢q）假，D错误；故选：B．4．等比数列{a n}中，S n表示其前n项和，a3=2S2+1，a4=2S3+1，则公比q为（）A．±2B．±3C．2D．3【考点】等比数列的通项公式．【分析】由a3=2S2+1，a4=2S3+1，两式相减可得：a4﹣a3=2a3，即可得出．【解答】解：由a3=2S2+1，a4=2S3+1，两式相减可得：a4﹣a3=2a3，可得q==3，故选：D．5．执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣2，2]，则输出的S属于（）A．[﹣6，﹣2]B．[﹣5，﹣1]C．[﹣4，5]D．[﹣3，6]【考点】程序框图．【分析】根据程序框图，结合条件，利用函数的性质即可得到结论．【解答】解：若0≤t≤2，则不满足条件输出S=t﹣3∈[﹣3，﹣1]，若﹣2≤t＜0，则满足条件，此时t=2t2+1∈（1，9]，此时不满足条件，输出S=t﹣3∈（﹣2，6]，综上：S=t﹣3∈[﹣3，6]，故选：D6．将函数y=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位后，其图象离原点最近的两个零点到原点的距离相等，则|φ|的最小值为（）A． B． C． D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得函数解析式为：y=sin（2x++φ），其周期T=，由题意可得（﹣，0），（，0）两点在函数图象上，可得：sin（﹣+φ）=0，sin（+φ）=0，从而解得φ=kπ+，φ=kπ﹣，（k∈Z），即可得解|φ|的最小值．【解答】解：将函数y=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位后，可得函数解析式为：y=sin（2x++φ），其周期T=，∵其图象离原点最近的两个零点到原点的距离相等，∴（﹣，0），（，0）两点在函数图象上，可得：sin[（2×（﹣）++φ]=sin （﹣+φ）=0，sin（2×++φ）=sin（+φ）=0，∴解得：φ=kπ+，φ=kπ﹣，（k∈Z），∴|φ|的最小值为：．故选：B．7．在边长为2的正方形AP1P2P3中，点B、C分别是边P1P2、P2P3的中点，沿AB、BC、CA翻折成一个三棱锥P﹣ABC，使P1、P2、P3重合于点P，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为（）A．4πB．6πC．12πD．24π【考点】球的体积和表面积．【分析】根据题意，得折叠成的三棱锥P﹣ABC三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，可得三棱锥P﹣ABC的外接球的直径等于以PA、PB、PC为长、宽、高的长方体的对角线长，由此结合AP=2、BP=CP=1算出外接球的半径R=，结合球的表面积公式即可算出三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积．【解答】解：根据题意，得三棱锥P﹣ABC中，AP=2，BP=CP=1∵PA、PB、PC两两互相垂直，∴三棱锥P﹣ABC的外接球的直径2R==可得三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为R=根据球的表面积公式，得三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为S=4πR2=4π×（）2=6π故选：B．8．如果实数x，y满足不等式组，目标函数z=kx﹣y的最大值为6，最小值为0，则实数k的值为（）A．1B．2C．3D．4【考点】简单线性规划．【分析】首先作出其可行域，再由题意讨论目标函数在哪个点上取得最值，解出k．【解答】解：作出其平面区域如右图：A（1，2），B（1，﹣1），C（3，0），∵目标函数z=kx﹣y的最小值为0，∴目标函数z=kx﹣y的最小值可能在A或B时取得；∴①若在A上取得，则k﹣2=0，则k=2，此时，z=2x﹣y在C点有最大值，z=2×3﹣0=6，成立；②若在B上取得，则k+1=0，则k=﹣1，此时，z=﹣x﹣y，在B点取得的应是最大值，故不成立，故选B．9．多项式（x2﹣x+2）5展开式中x3的系数为（）A．﹣200B．﹣160C．﹣120D．﹣40【考点】二项式系数的性质．【分析】（x2﹣x+2）5=（x2﹣x+2）•（x2﹣x+2）•（x2﹣x+2）•（x2﹣x+2）•（x2﹣x+2），分类讨论：①三个括号取2，一个括号取x2，一个括号取﹣x，得x3的系数为．②两个括号取2，三个括号取﹣x，得x3的系数为．即可得出．【解答】解：（x2﹣x+2）5=（x2﹣x+2）•（x2﹣x+2）•（x2﹣x+2）•（x2﹣x+2）•（x2﹣x+2），①三个括号取2，一个括号取x2，一个括号取﹣x，得x3的系数为=﹣160．②两个括号取2，三个括号取﹣x，得x3的系数为=﹣40．∴展开式中x3的系数为﹣200，故选：A．10．从底面为直角三角形的直三棱柱的9条棱中任取两条，则这两条棱互相垂直的概率为（）A． B． C． D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数，再求出这两条棱互相垂直包含的基本事件个数，由此能求出这两条棱互相垂直的概率．【解答】解：∵从底面为直角三角形的直三棱柱的9条棱中任取两条，基本事件总数n=，这两条棱互相垂直包含的基本事件个数m=3×6+2+2=22，∴这两条棱互相垂直的概率p==．故选：C．11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为（）A．1B． C． D．2【考点】简单空间图形的三视图．【分析】由题意，几何体为有一侧棱垂直于底面的三棱锥，有3个面是全等的等腰直角三角形，面积为=2，另一侧面是等边三角形，边长为2，求出面积，即可得出结论．【解答】解：由题意，几何体为有一侧棱垂直于底面的三棱锥，有3个面是全等的等腰直角三角形，面积为=2，另一侧面是等边三角形，边长为2，面积为=2，所以该几何体的各个面中最大面的面积为2，故选：D．12．已知函数f（x）和g（x）是两个定义在区间M上的函数，若对任意的x∈M，存在常数x0∈M，使得f（x）≥f（x0），g（x）≥g（x0），且f（x0）=g（x0），则称f（x）与g （x）在区间M上是“相似函数”．若f（x）=ax2+2（a﹣1）x﹣2lnx+b（a，b∈R）与g（x）=x+在区间[，2]上是“相似函数”，则a，b的值分别是（）A．a=1，b=1B．a=﹣1，b=﹣1C．a=1，b=﹣1D．a=﹣1，b=1【考点】函数的值域．【分析】由基本不等式求得g（x）的最小值及取最小值时x0的值，再利用导数求得使f （x）取得最值时的a值，然后再代入f（x0）=2求得b值．【解答】解：∵当x∈[，2]时，g（x）=x+≥2，当且仅当x=1时取等号，∴x0=1，g（x0）=2；∵f′（x）=2ax+2（a﹣1）=，x∈[，2]，①当a≤0时，f′（x）＜0，故函数f（x）在[，2]上单调递减，不合题意；②当a＞0时，由f′（x）＜0，得0，f′（x）＜0，得x，故函数f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，依题意得，即a=1．，解得：b=1．故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设向量，是夹角为的单位向量，若=+2， =﹣，则|+|=\sqrt{3}．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量的线性运算，求出+，再利用数量积求模长．【解答】解：向量，是夹角为的单位向量，且=+2， =﹣，∴+=2+；∴=+4•+=4×12+4×1×1×cos+12=3，∴|+|=．故答案为：．14．已知函数f（x）=是定义在（﹣1，1）上的奇函数，则f（）=﹣2．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数奇偶性的性质建立方程关系进行求解即可．【解答】解：∵f（x）=是定义在（﹣1，1）上的奇函数，∴f（0）=0，即=0，则f（x）=，∵f（﹣x）=﹣f（x），∴=﹣，整理得﹣bx=bx恒成立，则b=0，则f（x）=，则f（）=，故答案为：﹣215．已知各项都为正数的数列{a n }的前n 项和S n 满足S n =．数列{b n }满足b n =，则数列{b n }的前n 项和T n = \frac{n}{2n+1} ．【考点】数列的求和．【分析】由条件可得a 1=1，再将n 换为n ﹣1，两式相减可得a n ﹣a n ﹣1=1，再由等差数列的通项公式可得a n =n ，则b n ====（﹣），再由数列的求和方法：裂项相消求和即可得到所求和． 【解答】解：S n =，当n ＞1时，S n ﹣1=，两式相减可得，2a n =（a n ﹣a n ﹣1）（a n +a n ﹣1）+a n ﹣a n ﹣1， 即为a n +a n ﹣1=（a n ﹣a n ﹣1）（a n +a n ﹣1）， 由a n ＞0，可得a n ﹣a n ﹣1=1， 当n=1时，a 1=S 1=，解得a 1=1，则a n =1+n ﹣1=n ， b n ====（﹣），则b n 的前n 项的和T n =（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=．故答案为：．16．已知圆C 的方程为（x ﹣1）2+y 2=1，P 是椭圆+=1上一点，过点P 作图C 的两条切线，切点为A ，B ，则•的最小值是 2\sqrt{2}﹣3 ．【考点】椭圆的简单性质． 【分析】设∠APB=2θ，令||2=x ，由向量数量积公式得到=x+﹣3，由此能求出的最小值．【解答】解：如图所示，设∠APB=2θ，=||•||cos2θ=||2（2cos 2θ﹣1）=||2（2﹣1），令||2=x，得=x+﹣3，∵x∈（1，9]，∴≥2﹣3，当且仅当x=时，取等号，故的最小值是2﹣3．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知（2c﹣a）cosB=bcosA，且b=6．（1）求角B的大小；（2）设△ABC的两条中线AE、CF相交于点D，求四边形BEDF面积的最大值．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）由题意和正弦定理以及三角函数公式可得cosB=，可得B=；（2）由余弦定理和基本不等式可得ac≤36，由重心的性质和不等式的性质可得．【解答】解：（1）∵在△ABC中（2c﹣a）cosB=bcosA，∴由正弦定理可得（2sinC﹣sinA）cosB=sinBcosA，∴2sinCcosB=sinAcosB+sinBcosA=sin（A+B），∴2sinCcosB=sinC，约去sinC可得cosB=，∴B=；（2）由余弦定理可得36=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac，∴ac≤36，当且仅当a=c=6时取等号，如图D为△ABC重心，∴四边形BEDF面积S=S△ABC=acsinB=ac≤3，∴四边形BEDF面积的最大值为3，18．模拟考试后，某校对甲、乙两个班的数学考试成绩进行分析，规定：不少于120分为优秀，否则为非优秀，统计成绩后，得到如下的2×2列联表，已知在甲、乙两个班全部100人中随机抽取1人为优秀的概率为．优秀非优秀合计甲班20 3050乙班1040 50合计3070100（1）请完成上面的2×2列联表；（2）根据列联表的数据，若按97.5%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”？（3）在“优秀”的学生人中，用分层抽样的方法抽取6人，再平均分成两组进行深入交流，求第一组中甲班学生人数ξ的分布列和数学期望．参考公式与临界值表：K2=0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 P（K2≥k ）k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【考点】性检验的应用．【分析】（1）设乙班优秀的人数为x人，根据甲、乙两个班全部100人中随机抽取1人为优秀的概率为列出方程，求出方程的解得到x的值，确定出乙班与甲班的总人数，填写表格即可；（2）把a，b，c，d的值代入K2=，计算得到结果，即可作出判断；（3）求出分层抽样中甲乙两班的优秀人数，确定出ξ的值，进而确定出ξ的分布列，即可求出数学期望Eξ．【解答】解：（1）设乙班优秀的人数为x人，根据题意得： =，解得：x=10，∴乙班总人数为10+40=50（人），甲班总人数为100﹣50=50（人），填表如下：优秀非优秀合计甲班20 30 50乙班10 40 50合计30 70 100故答案为：30；50；10；50；30；70；（2）K2==≈4.762，∵4.762＜5.024，∴没有达到可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”；（3）在抽取的6人中，甲班为×6=4（人），乙班为×6=2（人），∴ξ=1，2，3，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，即ξ的分布列为：ξ 1 2 3P则数学期望Eξ=1×+2×+3×=2．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明平面EAC⊥平面PBC，只需证明AC⊥平面PBC，即证AC⊥PC，AC⊥BC；（Ⅱ）根据题意，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出面PAC的法向量=（1，﹣1，0），面EAC的法向量=（a，﹣a，﹣2），利用二面角P﹣A C﹣E的余弦值为，可求a的值，从而可求=（2，﹣2，﹣2），=（1，1，﹣2），即可求得直线PA与平面EAC所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC，∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．…（Ⅱ）如图，以C为原点，取AB中点F，、、分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，﹣1，0）．设P（0，0，a）（a＞0），则E（，﹣，），…=（1，1，0），=（0，0，a），=（，﹣，），取=（1，﹣1，0），则•=•=0，为面PAC的法向量．设=（x，y，z）为面EAC的法向量，则•=•=0，即取x=a，y=﹣a，z=﹣2，则=（a，﹣a，﹣2），依题意，|cos＜，＞|===，则a=2．…于是=（2，﹣2，﹣2），=（1，1，﹣2）．设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|==，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．…20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的两倍，焦距为2．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设不过原点O的直线l与椭圆C交于两点M、N，且直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列，求△OMN面积的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由已知得，由此能求出椭圆C的标准方程．（Ⅱ）设直线l的方程为：y=kx+m，联立，得：（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0，由此根的判别式、韦达定理、等比数列、弦长公式，结合已知条件能求出△OMN 面积的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知得，解得a=2，b=1，c=，∴椭圆C的标准方程为．（Ⅱ）由题意可设直线l的方程为：y=kx+m（k≠0，m≠0），联立，消去y并整理，得：（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0，则△=64k2m2﹣16（1+4k2）（m2﹣1）=16（4k2﹣m2+1）＞0，此时设M（x1，y1）、N（x2，y2），则，x1x2=，于是y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2，又直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列，∴•==k2，∴﹣，由m≠0得：k2=，解得k=±，又由△＞0 得：0＜m2＜2，显然m2≠1（否则：x1x2=0，则x1，x2中至少有一个为0，直线OM、ON中至少有一个斜率不存在，矛盾）设原点O到直线l的距离为d，则S△OMN=|MN|d=ו|x1﹣x2|=|m|=，故由m得取值范围可得△OMN面积的取值范围为（0，1）．21．已知函数f（x）=．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若任意x∈（0，1），f（x）∈（a，b）恒成立，求b﹣a的最小值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）根据函数的单调性，求出f（x）的范围，问题转化为e2x﹣ax﹣1＞0在x∈（0，1）恒成立，令h（x）=e2x﹣ax﹣1，根据函数的单调性求出其范围即可．【解答】解：（1）∵f′（x）=，（x≠0），令g（x）=（2x﹣1）e2x+1，（x≠0），则g′（x）=4xe2x，当x∈（0，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）递增，∴g（x）＞g（0）=0，∴f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，当x∈（﹣∞，0）时，g′（x）＜0，g（x）在（﹣∞，0）递减，∴g（x）＞g（0）=0，∴f′（x）＞0，f（x）在（﹣∞，0）递增，综上，函数f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）递增；（2）由（1）得；f（x）在（0，1）递增，∴f（x）＜f（1）=e2﹣1，∴任意x∈（0，1），f（x）＜b恒成立，则b≥e2﹣1，要使任意x∈（0，1），f（x）＞a恒成立，只需e2x﹣ax﹣1＞0在x∈（0，1）恒成立，令h（x）=e2x﹣ax﹣1，则h′（x）=2e2x﹣a，x∈（0，1），①a≤2时，h′（x）＞0，h（x）在（0，1）递增，∴h（x）＞h（0）=0，符合题意，②a≥2e2时，h′（x）＜0，h（x）在（0，1）递减，∴h（x）＜h（0）=0，不符合题意，③2＜a＜2e2时，h′（x）＜0，解得：0＜x＜ln，h′（x）＞0，解得： ln＜x＜1，∴h（x）在（0， ln）递减，故任意x∈（0， ln），∴h（x）＜h（0）=0，不符合题意，综上，a≤2，∴b﹣a≥e2﹣3，故b﹣a的最小值是e2﹣3．选做题：请考生在第22-24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知AB是圆O的直径，C、D是圆O上的两个点，CE⊥AB于E，BD交AC 于G，交CE于F，CF=FG．（Ⅰ）求证：C是劣弧的中点；（Ⅱ）求证：BF=FG．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（I）要证明C是劣弧BD的中点，即证明弧BC与弧CD相等，即证明∠CAB=∠DAC，根据已知中CF=FG，AB是圆O的直径，CE⊥AB于E，我们易根据同角的余角相等，得到结论．（II）由已知及（I）的结论，我们易证明△BFC及△GFC均为等腰三角形，即CF=BF，CF=GF，进而得到结论．【解答】解：（I）∵CF=FG∴∠CGF=∠FCG∴AB圆O的直径∴∵CE⊥AB∴∵∴∠CBA=∠ACE∵∠CGF=∠DGA∴∴∠CAB=∠DAC∴C为劣弧BD的中点（II）∵∴∠GBC=∠FCB∴CF=FB同理可证：CF=GF∴BF=FG[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：（t为参数）经过椭圆C：（θ为参数）的右焦点F．（1）求m，n的值；（2）设直线l与椭圆相交于A，B两点，求|FA|•|FB|的取值范围．【考点】椭圆的参数方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）椭圆的参数方程化为普通方程，可得F的坐标，直线l经过点（m，n），可求m，n的值；（2）将直线l的参数方程代入椭圆C的普通方程，利用参数的几何意义，即可求|FA|•|FB|的最大值与最小值．【解答】解：（1）椭圆的参数方程化为普通方程，得，∴a=4，b=2，c=2，则点F的坐标为（2，0）．∵直线l经过点（m，n），∴m=4，n=0．（2）将直线l的参数方程代入椭圆C的普通方程，并整理得：（12cos2α+16sin2α）t2+12tcosα﹣36=0．设点A，B在直线参数方程中对应的参数分别为t1，t2，则|FA|•|FB|=|t1t2|==，当sinα=0时，|FA|•|FB|取最大值3；当sinα=±1时，|FA|•|FB|取最小值，所以|FA|•|FB|的取值范围是[，3]．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|2x﹣1|+|ax﹣1|（a＞0）（1）当a=2时，解不等式4f（x）≥f（0）（2）若对任意x∈R，不等式4f（x）≥f（0）恒成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（1）把要解的不等式等价转化为与之等价的一个不等式，求出此不等式的解集，即得所求．（2）分类讨论求得f（x）的最小值，则由4乘以此最小值大于或等于f（0），求得a的范围．【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=|2x﹣1|+|2x﹣1|=2|2x﹣1|，不等式4f（x）≥f（0），即 8|2x﹣1|≥2，即|2x﹣1|≥，∴2x﹣1≥，或2x﹣1≤﹣，求得x≥或x≤，故原不等式的解集为{x|x≥或x≤}．（2）∵当＞时，即0＜a＜2 时，f（x）=|2x﹣1|+|ax﹣1|=，若对任意x∈R，不等式4f（x）≥f（0）=2恒成立，故f（x）的最小值为f（）=，由4•≥2，求得a≤1，综合可得，0＜a≤1．当当＜时，即a＞2 时，f（x）=|2x﹣1|+|ax﹣1|=，故f（x）的最小值为f（）=，由4•≥2，求得a≥4，综合可得，a≥4．综上可得，要求的实数a的取值范围为{a|0＜a≤1，或a≥4}．7月15日。
(全优试卷)江西省七校联考高考数学一模试卷(理科) Word版含解析
2017年江西省七校联考高考数学一模试卷（理科）一、选择题：1．计算：=（）A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i2．若log a（3a﹣1）＞0，则a的取值范围是（）A．a＜B．＜a＜C．a＞1 D．＜a＜或a＞13．设α、β、γ是三个互不重合的平面，l是直线，给出下列命题①若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；②若l上两点到α的距离相等，则l∥α；③若l⊥α，l∥β，则α⊥β；④若α∥β，l∥α，l⊄β，则l∥β．其中正确的命题是（）A．①②B．②③C．②④D．③④4．已知一个半径为的球中有一个各条棱长都相等的内接正三棱柱，则这正三棱柱的体积是（）A．18 B．16 C．12 D．85．已知函数y=f（x）图象如图甲，则y=f（﹣x）sinx在区间[0，π]上大致图象是（）A．B． C．D．6．已知两个集合，，若A∩B≠∅，则实数λ的取值范围是（）A．[2，5]B．（﹣∞，5]C． D．7．a＞0，a≠1，函数f（x）=在[3，4]上是增函数，则a的取值范围是（）A．或a＞1 B．a＞1 C．D．或a＞18．设函数y=f（x）在x0处可导，f′（x0）=a，若点（x0，0）即为y=f（x）的图象与x轴的交点，则 [nf（x0﹣）]等于（）A．+∞ B．a C．﹣a D．以上都不对9．已知椭圆E的离心率为e，两焦点分别为F1，F2，抛物线C以F1为顶点，F2为焦点，点P为这两条曲线的一个交点，若e||=||，则e的值为（）A． B．C．D．不能确定10．已知抛物线y2=2px，O是坐标原点，F是焦点，P是抛物线上的点，使得△POF是直角三角形，则这样的点P共有（）A．0个B．2个C．4个D．6个11．掷一个骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于4的点数出现”，则一次试验中，事件A+发生的概率为（）A．B．C．D．12．三个学校分别有1名、2名、3名学生获奖，这6名学生排成一排合影，要求同校的任意两名学生不能相邻，那么不同的排法共有（）A．36种B．72种C．108种D．120种二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．请将答案填在题中横线上）13．在二项式（1+x）n的展开式中，存在着系数之比为5：7的相邻两项，则指数n（n∈N*）的最小值为．14．若函数，（a＞0且a≠1）的值域为R，则实数a的取值范围是．15．已知抛物线y2=4x的准线是圆x2+y2﹣2Px﹣16+P2=0的一条切线，则圆的另一条垂直于x轴的切线方程是．16．下列命题中①A+B=是sinA=cosB成立的充分不必要条件．②的展开式中的常数项是第4项．=+2，则数列{a n}为等比③在数列{a n}中，a1=2，S n是其前n项和且满足S n+1数列．④设过函数f（x）=x2﹣x（﹣1≤x≤1）图象上任意一点的切线的斜率为K，则K的取值范围是（﹣3，1）把你认为正确的命题的序号填在横线上．三、解答题（本大题共6小题，满分74分．第17-21题每题12分，第22题14分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知向量=（sinB，1﹣cosB），且与向量=（2，0）所成角为，其中A，B，C是△ABC的内角．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．18．.有甲、乙、丙、丁四支球队进行单循环比赛，最后据各队积分决出名次．规定每场比赛必须决出胜负，其中胜方积2分，负方积1分，已知球队甲与球队乙对阵，甲队取胜的概率为，与球队丙、丁对阵，甲队取胜的概率均为，且各场次胜负情况彼此没有影响．（1）甲队至少胜一场的概率；（2）求球队甲赛后积分ξ的概率分布和数学期望．19．设a∈R，函数f（x）=（ax2+a+1），其中e是自然对数的底数．（1）判断f（x）在R上的单调性；（2）当﹣1＜a＜0时，求f（x）在[1，2]上的最小值．20．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，侧面PAD是正三角形，且侧面PAD ⊥底面ABCD，E 为侧棱PD的中点．（1）求证：PB∥平面EAC；（2）求证：AE⊥平面PCD；（3）若AD=AB，试求二面角A﹣PC﹣D的正切值；（4）当为何值时，PB⊥AC？21．设f（x）=（a＞0）为奇函数，且|f（x）|min=，数列{a n}与{b n}满足如下关系：a1=2，，．（1）求f（x）的解析表达式；时，有b n≤．（2）证明：当n∈N+22．已知方向向量为的直线l过点A（）和椭圆的焦点，且椭圆C的中心O和椭圆的右准线上的点B满足：，||=||．（1）求椭圆C的方程；（2）设M、N是椭圆C上两个不同点，且M、N的纵坐标之和为1，记u为M、N的横坐标之积．问是否存在最小的常数m，使u≤m恒成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．2017年江西省七校联考高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：1．计算：=（）A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】先求出（1﹣i）2的值，代入所求式子，利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质进行化简．【解答】解：===2，故选A．2．若log a（3a﹣1）＞0，则a的取值范围是（）A．a＜B．＜a＜C．a＞1 D．＜a＜或a＞1【考点】指、对数不等式的解法．【分析】先把0变成底数的对数，再讨论底数与1的关系，确定函数的单调性，根据函数的单调性整理出关于a的不等式，得到结果，把两种情况求并集得到结果．【解答】解：∵log a（3a﹣1）＞0，∴log a（3a﹣1）＞log a1，当a＞1时，函数是一个增函数，不等式的解是a＞0，∴a＞1；当0＜a＜1时，函数是一个减函数，不等式的解是＜a＜，∴＜a＜综上可知a的取值是a＞1或＜a＜．故选D．3．设α、β、γ是三个互不重合的平面，l是直线，给出下列命题①若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；②若l 上两点到α的距离相等，则l ∥α； ③若l ⊥α，l ∥β，则α⊥β；④若α∥β，l ∥α，l ⊄β，则l ∥β． 其中正确的命题是（ ） A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】对各个选项分别加以判断：对①和②举出反例可得它们不正确；结合空间直线与平面、平面与平面平行和垂直的判定和性质，对③和④加以论证可得它们是真命题．【解答】解：对于①，若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ或α，γ相交，故①不正确； 对于②，若l 上两个点A 、B 满足线段AB 的中点在平面内，则A 、B 到α的距离相等，但l 与α相交，故②不正确；对于③，若l ⊥α，l ∥β，则根据面面垂直的判定定理可知α⊥β，故③正确； 对于④，若α∥β且l ∥α，可得l ∥β或l 在β内，而条件中有l ⊄β，所以必定l ∥β，故④正确． 故选D ．4．已知一个半径为的球中有一个各条棱长都相等的内接正三棱柱，则这正三棱柱的体积是（ ） A ．18 B ．16 C ．12 D ．8 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】设这正三棱柱棱长为2a ，由勾股定理得7=a 2+a 2=a 2．从而求出棱长为2a=2．由此能求出这正三棱柱的体积．【解答】解：∵一个半径为的球中有一个各条棱长都相等的内接正三棱柱，设这正三棱柱棱长为2a ，如图，则AB=a ，AO′=a ．OO′=a ，∴7=a 2+a 2=a 2．整理，得a 2=3，∴a=．∴棱长为2a=2．∴这正三棱柱的体积：V==18．故选：A．5．已知函数y=f（x）图象如图甲，则y=f（﹣x）sinx在区间[0，π]上大致图象是（）A．B． C．D．【考点】函数的图象．【分析】分：当0＜x＜时，sinx＞0，f（﹣x）＞0，故y＞0，当＜x＜π时，sinx＞0，f（﹣x）＜0，故y＜0，即可判断函数的图象．【解答】解：∵y=f（x）图象如图，则y=f（﹣x）的图象把f（x）的沿y轴对折，再向右平移的单位，当0＜x＜时，sinx＞0，f（﹣x）＞0，故y＞0，当＜x＜π时，sinx＞0，f（﹣x）＜0，故y＜0，故选：D．6．已知两个集合，，若A∩B≠∅，则实数λ的取值范围是（）A．[2，5]B．（﹣∞，5]C． D．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；集合关系中的参数取值问题．【分析】A∩B≠∅，即是说方程组有解，两式消去α得出4﹣cos2β=λ+sinβ后，移向得出λ=sin2β﹣sinβ﹣3，根据sinβ的有界性求出λ的取值范围．【解答】解：A∩B≠∅，即是说方程组有解．由①得4﹣cos2β=λ+sinβ，得出λ=3+sin2β﹣sinβ=（sinβ﹣）2+；∵sinβ∈[﹣1，1]，∴当sinβ=时，λ的最小值为，当sinβ=﹣1时，λ的最大值为5．故选：D．7．a＞0，a≠1，函数f（x）=在[3，4]上是增函数，则a的取值范围是（）A．或a＞1 B．a＞1 C．D．或a＞1【考点】对数函数图象与性质的综合应用．【分析】对a分a＞1与0＜a＜1，利用复合函数的单调性结合函数g（x）=|ax2﹣x|的图象列出符合条件的不等式组，解之即可．【解答】解：∵a＞0，a≠1，令g（x）=|ax2﹣x|作出其图象如下：∵函数f（x）=在[3，4]上是增函数，若a＞1，则或，解得a＞1；若0＜a＜1，则，解得≤a＜；故选A．8．设函数y=f（x）在x0处可导，f′（x0）=a，若点（x0，0）即为y=f（x）的图象与x轴的交点，则 [nf（x0﹣）]等于（）A．+∞ B．a C．﹣a D．以上都不对【考点】极限及其运算．【分析】根据f（x o）=0可将[nf（xo﹣）]等价变形为﹣，再结合f（x）在x o处可导即可求解．【解答】解∵f（x o）=0，∴nf（x o﹣）=﹣，∵f（x）在x o处可导，∴nf（x o﹣）=﹣=﹣=﹣f′（x0）=﹣a，故选：C．9．已知椭圆E的离心率为e，两焦点分别为F1，F2，抛物线C以F1为顶点，F2为焦点，点P为这两条曲线的一个交点，若e||=||，则e的值为（）A． B．C．D．不能确定【考点】抛物线的简单性质；椭圆的简单性质．【分析】利用椭圆的第二定义及e||=||，求得丨PT丨=丨PF2丨，则（﹣c）﹣（﹣）=c﹣（﹣c），即可求得a与c的关系，即可求得e的值．【解答】解：作PT垂直椭圆准线l于T，则由椭圆第二定义：丨PF1丨：丨PT 丨=e又=e，故丨PT丨=丨PF2丨，由抛物线定义知l为抛物线准线故F1到l的距离等于F1到F2的距离，即（﹣c）﹣（﹣）=c﹣（﹣c），整理得：a=c，e==，故选C．10．已知抛物线y2=2px，O是坐标原点，F是焦点，P是抛物线上的点，使得△POF是直角三角形，则这样的点P共有（）A．0个B．2个C．4个D．6个【考点】抛物线的简单性质．【分析】如图所示，过焦点F作PF⊥x轴，交抛物线于点P，P′．则△OFP、△OFP′都是直角三角形．而==2＞1，可得∠POF＞45°．即∠POP′＞90°．于是△POP′不是直角三角形．即可得出符合条件的点P的个数．【解答】解：如图所示，过焦点F作PF⊥x轴，交抛物线于点P，P′．则△OFP、△OFP′都是直角三角形．而==2＞1，∴∠POF＞45°．∴∠POP′＞90°．∴△POP′不是直角三角形．综上可知：使得△POF是直角三角形的抛物线上的点P有且只有2个．故选B．11．掷一个骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于4的点数出现”，则一次试验中，事件A+发生的概率为（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】基本事件总数n=6，利用列举法求出一次试验中，事件A+发生包含的基本事件个数，由此能求出一次试验中，事件A+发生的概率．【解答】解：掷一个骰子的试验，基本事件总数n=6，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于4的点数出现”，则一次试验中，事件A+发生包含的基本事件有：1，2，3，4，共有4个元素，∴一次试验中，事件A+发生的概率为：p==．故选：C．12．三个学校分别有1名、2名、3名学生获奖，这6名学生排成一排合影，要求同校的任意两名学生不能相邻，那么不同的排法共有（）A．36种B．72种C．108种D．120种【考点】计数原理的应用．【分析】分两类，第一类，A、B两个学校的三个学生分别被C学校的三个学生分别隔开，第二类，是A、B两个学校中其中一名学生相邻，根据分类计数原理可得．【解答】解：设三个学校分别为A，B，C，对应的学生为1，2，3名，分两类：第一类是A、B两个学校的三个学生分别被C学校的三个学生分别隔开有2=72种；第二类是A、B两个学校中其中一名学生相邻有=48．根据分类计数计数原理得共有72+48=120种．故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．请将答案填在题中横线上）13．在二项式（1+x）n的展开式中，存在着系数之比为5：7的相邻两项，则指数n（n∈N*）的最小值为11．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项式定理的展开式写出满足题意的表达式，然后求出n的最小值．【解答】解：二项式（1+x）n的展开式中，存在系数之比为5：7的相邻两项，∴=，∴=，∴k=，当k=5时，n min=11，故答案为：1114．若函数，（a＞0且a≠1）的值域为R，则实数a的取值范围是（0，1）∪（1，4] ．【考点】对数函数的值域与最值．【分析】函数，（a＞0且a≠1）的值域为R，则其真数在实数集上恒为正，将这一关系转化为不等式求解参数的范围即可．【解答】解：函数，（a＞0且a≠1）的值域为R，其真数在实数集上恒为正，即恒成立，即存在x∈R使得≤4，又a＞0且a≠1故可求的最小值，令其小于等于4∵∴4，解得a≤4，故实数a的取值范围是（0，1）∪（1，4]故应填（0，1）∪（1，4]15．已知抛物线y2=4x的准线是圆x2+y2﹣2Px﹣16+P2=0的一条切线，则圆的另一条垂直于x轴的切线方程是x=﹣9或x=7．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求得抛物线的准线方程，将（﹣1，0）代入圆的方程，求得P的值，即可求得圆的另一条垂直于x轴的切线方程．【解答】解：抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣1，而圆方程为（x﹣P）2+y2=16，又（﹣1，0）在圆上，∴（P+1）2=16，即P=﹣5或P=3，∴另一条切线方程为x=﹣9或x=7，故答案为：x=﹣9或x=7．16．下列命题中①A+B=是sinA=cosB成立的充分不必要条件．②的展开式中的常数项是第4项．=+2，则数列{a n}为等比③在数列{a n}中，a1=2，S n是其前n项和且满足S n+1数列．④设过函数f（x）=x2﹣x（﹣1≤x≤1）图象上任意一点的切线的斜率为K，则K的取值范围是（﹣3，1）把你认为正确的命题的序号填在横线上①③．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】对4个命题分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：①A +B=，可得A=﹣B ，∴sinA=cosB ，反之sinA=cosB ，A +B=+2kπ（k ∈Z ），∴A +B=是sinA=cosB 成立的充分不必要条件，正确．②的展开式，通项为，令r ﹣3=0，可得r=2，常数项是第3项，不正确．③在数列{a n }中，a 1=2，S n 是其前n 项和且满足S n +1=+2，可得S n =S n ﹣1+2，两式相减可得a n +1=a n ，故数列{a n }为等比数列，正确；④f （x ）=x 2﹣x （﹣1≤x ≤1），则f′（x ）=2x ﹣1∈[﹣3，1]，K 的取值范围是[﹣3，1]，不正确． 故答案为①③．三、解答题（本大题共6小题，满分74分．第17-21题每题12分，第22题14分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知向量=（sinB ，1﹣cosB ），且与向量=（2，0）所成角为，其中A ，B ，C 是△ABC 的内角． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）求sinA +sinC 的取值范围．【考点】两角和与差的正弦函数；数量积表示两个向量的夹角．【分析】（I ）由与的夹角为，根据锐角三角函数定义列出关系式，利用半角公式及特殊角的三角函数值化简，求出tan的值，由B 的范围，求出的范围，利用特殊角的三角函数值求出的度数，进而确定出B 的度数，得到A +C 的度数；（II ）由A +C 的度数，表示出C ，代入sinA +sinC 中，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，合并整理再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由A的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质求出正弦函数的值域，确定出sinA+sinC的范围即可．【解答】解：（I）∵=（sinB，1﹣cosB），且与向量=（2，0）所成角为，∴=tan=，∴tan=，又0＜B＜π，∴0＜＜，∴=，即B=，A+C=；…（II）由（1）可得sinA+sinC=sinA+sin（﹣A）=sinA+cosA﹣sinA=sinA+cosA=sin（A+），∵0＜A＜，∴＜A+＜，∴sin（A+）∈（，1]，则sinA+sinC∈（，1]，当且仅当A=C=时，sinA+sinC=1．…18．.有甲、乙、丙、丁四支球队进行单循环比赛，最后据各队积分决出名次．规定每场比赛必须决出胜负，其中胜方积2分，负方积1分，已知球队甲与球队乙对阵，甲队取胜的概率为，与球队丙、丁对阵，甲队取胜的概率均为，且各场次胜负情况彼此没有影响．（1）甲队至少胜一场的概率；（2）求球队甲赛后积分ξ的概率分布和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）甲队至少胜一场的对立事件是甲三场比赛全负，由此利用对立事件概率计算公式能求出甲队至少胜一场的概率．（2）由题意知球队甲赛后积分ξ的可能取值为3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（1）∵球队甲与球队乙对阵，甲队取胜的概率为，与球队丙、丁对阵，甲队取胜的概率均为，且各场次胜负情况彼此没有影响．甲队至少胜一场的对立事件是甲三场比赛全负，∴甲队至少胜一场的概率p=1﹣（1﹣）（1﹣）（1﹣）=．（2）由题意知球队甲赛后积分ξ的可能取值为3，4，5，6，P（ξ=3）=（1﹣）（1﹣）（1﹣）=，P（ξ=4）=（1﹣）（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）×（1﹣）×=，P（ξ=5）=××（1﹣）+（1﹣）××+×（1﹣）×=，P（ξ=6）=××，∴ξ的分布列为：．19．设a∈R，函数f（x）=（ax2+a+1），其中e是自然对数的底数．（1）判断f（x）在R上的单调性；（2）当﹣1＜a＜0时，求f（x）在[1，2]上的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）对函数f（x）进行求导然后整理成f′（x）=e﹣x（﹣ax2+2ax﹣a﹣1）的形式，因为e﹣x＞0，根据导函数大于0原函数单调递增，导函数小于0原函数单调递减通过讨论函数g（x）=﹣ax2+2ax﹣a﹣1值的情况来确定原函数的单调性．（2）先根据a的范围确定导函数等于0的两根的范围，进而可判断函数在区间[1，2]上的单调性，最后可得到最小值．【解答】解：（1）由已知f′（x）=﹣e﹣x（ax2+a+1）+e﹣x•2ax=e﹣x（﹣ax2+2ax﹣a﹣1）．因为e﹣x＞0，以下讨论函数g（x）=﹣ax2+2ax﹣a﹣1值的情况：当a=0时，g（x）=﹣1＜0，即f′（x）＜0，所以f（x）在R上是减函数．当a＞0时，g（x）=0的判别式△=4a2﹣4（a2+a）=﹣4a＜0，所以g（x）＜0，即f′（x）＜0，所以f（x）在R上是减函数．=，并且＜，当a＜0时，g（x）=0有两个根x1，2所以在区间（﹣∞，）上，g（x）＞0，即f'（x）＞0，f（x）在此区间上是增函数；在区间（，）上，g（x）＜0，即f′（x）＜0，f（x）在此区间上是减函数．在区间（，+∞）上，g（x）＞0，即f′（x）＞0，f（x）在此区间上是增函数．综上，当a≥0时，f（x）在R上是减函数；当a＜0时，f（x）在（﹣∞，）上单调递增，在（，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．（2）当﹣1＜a＜0时，=1+＜1，=1+＞2，所以在区间[1，2]上，函数f（x）单调递减．所以函数f（x）在区间[1，2]上的最小值为f（2）=．20．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，侧面PAD是正三角形，且侧面PAD ⊥底面ABCD，E 为侧棱PD的中点．（1）求证：PB∥平面EAC；（2）求证：AE⊥平面PCD；（3）若AD=AB，试求二面角A﹣PC﹣D的正切值；（4）当为何值时，PB⊥AC？【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．【分析】（1）连DB，设DB∩AC=O，面EAC内的直线OE与面外直线BP平行，即可证明PB∥平面EAC（2）要证AE⊥平面PCD，可以证明面PDC⊥面PAD，再利用面面垂直的性质定理，证明AE⊥平面PCD．（3）在PC上取点M使得．证出∠AME为二面角A﹣PC﹣D的平面角，在Rt△AEM中解即可．（4）设N为AD中点，连接PN，要使PB⊥AC，需且只需NB⊥AC，在矩形ABCD中，设AD=1，AB=x列方程并解即可．【解答】解：（1）证明：连DB，设DB∩AC=O，则在矩形ABCD中，O为BD 中点．连EO．因为E为DP中点，所以，OE∥BP．又因为OE⊂平面EAC，PB⊄平面EAC，所以，PB∥平面EAC．（2）正三角形PAD中，E为PD的中点，所以，AE⊥PD，又面PDC∩面PAD=PD，所以，AE⊥平面PCD．（3）在PC上取点M使得．由于正三角形PAD及矩形ABCD，且AD=AB，所以PD=AD=AB=DC所以，在等腰直角三角形DPC中，EM⊥PC，连接AM，因为AE⊥平面PCD，所以，AM⊥PC．所以，∠AME为二面角A﹣PC﹣D的平面角．在Rt△AEM中，．即二面角A﹣PC﹣D的正切值为．（4）设N为AD中点，连接PN，则PN⊥AD．又面PAD⊥底面ABCD，所以，PN⊥底面ABCD．所以，NB为PB在面ABCD上的射影．要使PB⊥AC，需且只需NB⊥AC在矩形ABCD中，设AD=1，AB=x则，解之得：．所以，当=时，PB⊥AC．21．设f（x）=（a＞0）为奇函数，且|f（x）|min=，数列{a n}与{b n }满足如下关系：a 1=2，，．（1）求f （x ）的解析表达式；（2）证明：当n ∈N +时，有b n ≤．【考点】函数奇偶性的性质；数列递推式．【分析】（1）利用f （x ）为奇函数，且|f （x ）|min =，求出a ，b ，c 即可的f（x ）的解析表达式（2）先有f （x ）的解析表达式，求得a n 与a n +1的关系，在求出b n 的通项公式，来证明【解答】解：由f （x ）是奇函数，得b=c=0，由|f （x ）min |=，得a=2，故f （x ）=（2）=，==b n 2∴b n =b n ﹣12=b n ﹣24═，而b 1=∴b n =当n=1时，b 1=，命题成立，当n ≥2时∵2n ﹣1=（1+1）n ﹣1=1+C n ﹣11+C n ﹣12++C n ﹣1n ﹣1≥1+C n ﹣11=n∴＜，即b n ≤．22．已知方向向量为的直线l 过点A （）和椭圆的焦点，且椭圆C 的中心O 和椭圆的右准线上的点B满足：，||=||．（1）求椭圆C的方程；（2）设M、N是椭圆C上两个不同点，且M、N的纵坐标之和为1，记u为M、N的横坐标之积．问是否存在最小的常数m，使u≤m恒成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）方法一、由题意可得O点和B点关于直线l对称．求出直线l的方程和过原点垂直l的直线方程，解方程可得椭圆的右准线方程，由题意可得c=2，a2=6，b2=2，进而得到椭圆方程；方法二、设原点关于直线l对称点为（p，q），由点关于直线对称的特点，解方程可得p=3，即有椭圆右准线方程，进而得到c=2，a2=6，b2=2，可得椭圆方程；（2）若直线MN平行于y轴，不合题意．若直线MN不平行于y轴，设过M、N两点的直线方程为y=kx+b，联立椭圆方程，消去y，运用韦达定理，以及点满足直线方程，化简整理，可得0＜b＜4，求得u的函数，运用导数判断单调性，即可得到结论．【解答】解：（1）解法一：由点B满足：，||=||．可得O点和B点关于直线l对称．直线l：y=x﹣2①过原点垂直l的直线方程为②解①②得，∵椭圆中心（0，0）关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上，∴．∵直线l过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）．∴c=2，a2=6，b2=2．故椭圆C的方程为．解法二：直线l：y=x﹣2，设原点关于直线l对称点为（p，q），则解得p=3．∵椭圆中心（0，0）关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上，∴．∵直线l过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）．∴c=2，a2=6，b2=2．故椭圆C的方程为．（2）若直线MN平行于y轴，则y1+y2=0，不合题意．若直线MN不平行于y轴，设过M、N两点的直线方程为y=kx+b，由得（2+6k2）x2+12kbx+6b2﹣12=0，△=144k2b2﹣4（2+6k2）（6b2﹣12）＞0，即（2+6k2）﹣b2＞0①设M （x1，y1），N （x2，y2），则，∴，由已知，代入①得：4b﹣b2＞0，即0＜b＜4，，∵，∴u在（0，4）上是增函数，∴，故不存在最小的常数m，使u≤m成立．2017年4月11日。
江西省九江市2017年高考数学一模试卷(理科) Word版含答案
2017年江西省九江市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数为纯虚数（i虚数单位），则实数a=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣22．已知集合M={x|x2≤1}，N={x|log2x＜1}，则M∩N=（）A．[﹣1，2）B．[﹣1，1]C．（0，1] D．（﹣∞，2）3．设等比数列{a n}的前n项和为S n，且满足a6=8a3，则=（）A．4 B．5 C．8 D．94．掷一枚均匀的硬币4次，出现正面向上的次数不少于反面向上的次数的概率为（）A．B．C．D．5．若双曲线mx2+2y2=2的虚轴长为4，则该双曲线的焦距为（）A．B．C．D．6．已知函数f（x）=，给出下列两个命题：命题p：∃m∈（﹣∞，0），方程f（x）=0有实数解；命题q：当m=时，f（f（﹣1））=0，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．（￢p）∧q C．p∧（￢q）D．（￢p）∧（￢q）7．函数f（x）=（1﹣cosx）•sinx，x∈[﹣2π，2π]的图象大致是（）A．B．C．D．8．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某一无上盖几何体的三视图，则该几何体的表面积等于（）A．39πB．48πC．57πD．63π9．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）A．12 B．24 C．36 D．4810．设x，y满足约束条件，若z=ax+2y仅在点（，）处取得最大值，则a的值可以为（）A．﹣8 B．﹣4 C．4 D．811．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的上下顶点分别为A，B，右顶点为C，右焦点为F，延长BF与AC交于点P，若O，F，P，A四点共圆，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=，若关于x的不等式f2（x）+af（x）＞0恰有两个整数解，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，﹣）B．[，）C．（﹣，﹣]D．（﹣1，﹣]二、填空题已知为单位向量，若|+|=|﹣|，则在+方向上的投影为．14．二项式（x3﹣）6的展开式中含x﹣2项的系数是．15．已知A，B，C是球O的球面上三点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为1，则球O的体积为．16．已知数列{a n}为等差数列，a1=1，a n＞0，其前n项和为S n，且数列也为等差数列，设b n=，则数列{b n}的前n项和T n=．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知3b=4c，B=2C．（Ⅰ）求sinB的值；（Ⅱ）若b=4，求△ABC的面积．18．（12分）在高三一次数学测验后，某班对选做题的选题情况进行了统计，如表．（Ⅰ）求全班选做题的均分；（Ⅱ）据此判断是否有90%的把握认为选做《坐标系与参数方程》或《不等式选讲》与性别有关？（Ⅲ）已知学习委员甲（女）和数学科代表乙（男）都选做《不等式选讲》．若在《不等式选讲》中按性别分层抽样抽取3人，记甲乙两人被选中的人数为，求的数学期望．参考公式：，n=a+b+c+d．下面临界值表仅供参考：19．（12分）如图所示，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC 的中点，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A′，O为A′D的中点，连接EF，EO，FO．（Ⅰ）求证：A′D⊥EF；（Ⅱ）求直线BD与平面OEF所成角的正弦值．20．（12分）如图所示，抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过点F且斜率存在的直线l交抛物线C于A，B两点，已知当直线l的斜率为1时，|AB|=8．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过点A作抛物线C的切线交直线x=于点D，试问：是否存在定点M在以AD为直径的圆上？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．21．（12分）设函数f（x）=e2x，g（x）=kx+1（k∈R）．（Ⅰ）若直线y=g（x）和函数y=f（x）的图象相切，求k的值；（Ⅱ）当k＞0时，若存在正实数m，使对任意x∈（0，m），都有|f（x）﹣g （x）|＞2x恒成立，求k的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，已知直线l：（t为参数）与椭圆C：（θ为参数）相交于不同的两点A，B．（Ⅰ）若，求线段AB中点M的坐标；（Ⅱ）若，其中为椭圆的右焦点P，求直线l的斜率．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=2|x﹣1|﹣a，g（x）=﹣|x+m|（a，m∈R），若关于x的不等式g（x）＞﹣1的整数解有且仅有一个值为﹣3．（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象恒在函数y=g（x）的图象上方，求实数a的取值范围．2017年江西省九江市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解+析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数为纯虚数（i虚数单位），则实数a=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：∵为纯虚数，∴=0，≠0，∴a=﹣1，故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．已知集合M={x|x2≤1}，N={x|log2x＜1}，则M∩N=（）A．[﹣1，2）B．[﹣1，1]C．（0，1] D．（﹣∞，2）【考点】交集及其运算．【分析】解不等式求出集合M，求函数定义域得出集合N，再根据交集的定义写出M∩N．【解答】解：集合M={x|x2≤1}={x|﹣1≤x≤1}，N={x|log2x＜1}={x|0＜x＜2}，则M∩N={x|0＜x≤1}．故选：C．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．3．设等比数列{a n}的前n项和为S n，且满足a6=8a3，则=（）A．4 B．5 C．8 D．9【考点】等比数列的前n项和．【分析】由a6=8a3，利用等比数列项公式q=2，由此能求出．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，且满足a6=8a3，∴=q3=8，解得q=2，∴==1+q3=9．故选：D．【点评】本题考查等差数列的前6项和与前3项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．4．掷一枚均匀的硬币4次，出现正面向上的次数不少于反面向上的次数的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数n=24=16，再求出出现正面向上的次数不少于反面向上的次数包含的基本事件个数，由此能求出出现正面向上的次数不少于反面向上的概率．【解答】解：掷一枚均匀的硬币4次，基本事件总数n=24=16，出现正面向上的次数不少于反面向上的次数包含的基本事件个数为：m==11，∴出现正面向上的次数不少于反面向上的概率P=．故选：D．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．5．若双曲线mx2+2y2=2的虚轴长为4，则该双曲线的焦距为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意，将双曲线的方程变形可得，由双曲线的几何性质，分析可得，代入双曲线的方程可得双曲线的标准方程，计算可得c的值，由焦距的定义即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：mx2+2y2=2，变形可得，又由其虚轴长为4，则有，即，则双曲线的标准方程为：y2﹣=1，其中c==，则双曲线的焦距2c=，故选A．【点评】本题考查双曲线的几何性质，关键是利用双曲线的标准方程，求出m 的值．6．已知函数f（x）=，给出下列两个命题：命题p：∃m∈（﹣∞，0），方程f（x）=0有实数解；命题q：当m=时，f（f（﹣1））=0，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．（￢p）∧q C．p∧（￢q）D．（￢p）∧（￢q）【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据已知中的分段函数，分别判断命题p，q的真假，进而根据复合命题真假判断的真值表，可得答案．【解答】解：∵函数f（x）=，当x＜0时，f（x）=2x∈（0，1），不存在满足f（x）=0的x值；当x≥0时，f（x）=0时，m=x2∈[0，+∞），故命题p为假命题．当m=时，f （f （﹣1））=f （）=0 ∴命题q 为真命题，故命题p ∧q ，p ∧（￢q ），（￢p ）∧（￢q ）均为假命题， （￢p ）∧q 为真命题， 故选B ．【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，分段函数的图象和性质，难度中档．7．函数f （x ）=（1﹣cosx ）•sinx ，x ∈[﹣2π，2π]的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】函数的图象．【分析】利用排除法，即可求解．【解答】解：函数f （x ）为奇函数，故排除B ． 又x ∈（0，π）时，f （x ）＞0，故排除D ．又f （）=＞1，故排除A ．故选C ．【点评】本题考查函数的图象，考查排除法的运用，属于中档题．8．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某一无上盖几何体的三视图，则该几何体的表面积等于（ ）A．39πB．48πC．57πD．63π【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体为圆柱中挖去一个圆锥，画出直观图，数形结合可得答案．【解答】解：该几何体直观图为圆柱中挖去一个圆锥，如图所示，∴该几何体的表面积为S==48π，故选B．【点评】本题考查的知识点是圆柱的体积和表面积，圆锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档．9．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）A．12 B．24 C．36 D．48【考点】程序框图．【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：B．【点评】本题考查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于基础题．10．设x，y满足约束条件，若z=ax+2y仅在点（，）处取得最大值，则a的值可以为（）A．﹣8 B．﹣4 C．4 D．8【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，求出顶点坐标，利用z=ax+2y仅在点（，）处取得最大值，利用斜率关系求解即可．【解答】解：如图所示，约束条件所表示的区域为图中阴影部分：其中A（1，0），B（，），C（1，4），依题意z=ax+2y仅在点（，）处取得最大值，可得，即，a＞4．故选：D．【点评】本题考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．11．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的上下顶点分别为A，B，右顶点为C，右焦点为F，延长BF与AC交于点P，若O，F，P，A四点共圆，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由O，F，P，A四点共圆得，即AC⊥BP，∴，b2=ac，e2+e﹣1=0【解答】解：如图所示，∵O，F，P，A四点共圆，，∴，即AC⊥BP，∴，∴b2=ac，a2﹣c2=ac，∴e2+e﹣1=0，，故选C．【点评】本题考查了椭圆的离心率，运用平面几何知识及椭圆定义是解题关键，属于基础题．12．已知函数f（x）=，若关于x的不等式f2（x）+af（x）＞0恰有两个整数解，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，﹣）B．[，）C．（﹣，﹣]D．（﹣1，﹣]【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出原函数的导函数，得到函数f（x）的单调区间，再由f2（x）+af（x）＞0求得f（x）的范围，结合函数f（x）的单调性可得使不等式f2（x）+af（x）＞0恰有两个整数解的实数a的取值范围．【解答】解：∵f′（x）=，∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，当a＞0时，f2（x）+af（x）＞0⇔f（x）＜﹣a或f（x）＞0，此时不等式f2（x）+af（x）＞0有无数个整数解，不符合题意；当a=0时，f2（x）+af（x）＞0⇔f（x）≠0，此时不等式f2（x）+af（x）＞0有无数个整数解，不符合题意；当a＜0时，f2（x）+af（x）＞0⇔f（x）＜0或f（x）＞﹣a，要使不等式f2（x）+af（x）＞0恰有两个整数解，必须满足f（3）≤﹣a＜f（2），得＜a≤，故选：C．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查一元二次不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想方法，属中档题．二、填空题（2017•九江一模）已知为单位向量，若|+|=|﹣|，则在+方向上的投影为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由|+|=|﹣|得出⊥，再由、是单位向量得出与+的夹角为45°，由投影的定义写出运算结果即可．【解答】解：∵为单位向量，且|+|=|﹣|，∴=，化简得•=0，∴⊥；∴与+的夹角为45°，∴在+方向上的投影为||cos45°=1×=．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的数量积与投影的定义和应用问题，是基础题目．14．二项式（x3﹣）6的展开式中含x﹣2项的系数是﹣192．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项式展开式的通项公式，令x的指数等于﹣2，求出r的值，即可求出展开式中含x﹣2项的系数．【解答】解：二项式（x3﹣）6展开式的通项公式为：T r=•（x3）6﹣r•=•（﹣2）r•x18﹣4r，+1令18﹣4r=﹣2，得r=5，∴展开式中含x﹣2项的系数是：•（﹣2）5=﹣192．故答案为：﹣192．【点评】本题考查了二项式展开式通项公式的应用问题，是基础题目．15．已知A，B，C是球O的球面上三点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为1，则球O的体积为8π．【考点】球的体积和表面积．【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点且∠AOB=90°时，三棱锥O﹣ABC 的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为1，求出半径，即可求出球O 的体积．【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点且∠AOB=90°时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V O﹣ABC =V C﹣AOB==1，∴R3=6，则球O的体积为=8π．故答案为8π．【点评】本题考查球的半径，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大是关键．16．已知数列{a n}为等差数列，a1=1，a n＞0，其前n项和为S n，且数列也为等差数列，设b n=，则数列{b n}的前n项和T n=1﹣．【考点】数列的求和．【分析】设等差数列{a n}的公差为d（d≥0），数列为等差数列，取前3项成等差数列，解方程可得d=2，运用等差数列的通项公式和求和公式，可得a n，求得b n===﹣，运用数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理即可得到所求和．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d（d≥0），∵，，成等差数列，∴，解得d=2，∴a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，S n==n2，=n，故数列为等差数列，b n===﹣，则前n项和T n=﹣+﹣+…+﹣=1﹣．故答案为：1﹣．【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，以及化简整理的运算能力，属于中档题，三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）（2017•九江一模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知3b=4c，B=2C．（Ⅰ）求sinB的值；（Ⅱ）若b=4，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知及二倍角的正弦函数公式，正弦定理得6sinCcosC=4sinC，由于sinC≠0，可求cosC，进而可求sinC，sinB的值．（Ⅱ）解法一：由已知可求c，利用二倍角的余弦函数公式可求cosB，利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可求sinA，进而利用三角形面积公式即可得解；解法二：由已知可求c，由余弦定理解得a，分类讨论，利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：（Ⅰ）由3b=4c 及正弦定理得3sinB=4sinC ， ∵B=2C ，∴3sin2C=4sinC ，即6sinCcosC=4sinC ， ∵C ∈（0，π）， ∴sinC ≠0，∴cosC=，sinC=，∴sinB=sinC=．（Ⅱ）解法一：由3b=4c ，b=4，得c=3且cosB=cos2C=2cos 2C ﹣1=﹣，∴sinA=sin （B +C ）=sinBcosC +cosBsinC=+（﹣）×=，∴S △ABC =bcsinA==．解法二：由3b=4c ，b=4，得c=3，由余弦定理c 2=a 2+b 2﹣2abcosC ，得32=a 2+42﹣2a ×，解得a=3或a=，当a=3时，则△ABC 为等腰三角形A=C ，又A +B +C=180°，得C=45°，与cosC=矛盾，舍去，∴a=，∴S △ABC =absinC==．【点评】本题主要考查了二倍角的正弦函数公式，正弦定理，二倍角的余弦函数公式，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想和分类讨论思想，属于基础题．18．（12分）（2017•九江一模）在高三一次数学测验后，某班对选做题的选题情况进行了统计，如表．（Ⅰ）求全班选做题的均分；（Ⅱ）据此判断是否有90%的把握认为选做《坐标系与参数方程》或《不等式选讲》与性别有关？（Ⅲ）已知学习委员甲（女）和数学科代表乙（男）都选做《不等式选讲》．若在《不等式选讲》中按性别分层抽样抽取3人，记甲乙两人被选中的人数为，求的数学期望．参考公式：，n=a+b+c+d．下面临界值表仅供参考：【考点】独立性检验的应用；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）根据表中数据，计算全班选做题的平均分即可；（Ⅱ）由表中数据计算观测值，对照临界值表得出结论；（Ⅲ）计算学习委员甲被抽取的概率和数学科代表乙被抽取的概率，从而得出甲乙两人均被选中的概率．【解答】解：（Ⅰ）根据表中数据，计算全班选做题的平均分为=×（14×8+8×6.5+6×7+12×5.5）=6.8．（Ⅱ）由表中数据计算观测值：==≈3.636＞2.706，所以，据此统计有90%的把握认为选做《坐标系与参数方程》或《不等式选讲》与性别有关．（Ⅲ）学习委员甲被抽取的概率为，设《不等式选讲》中6名男同学编号为乙，1，2，3，4，5；从中随机抽取2人，共有15种抽法：乙与1，乙与2，乙与3，乙与4，乙与5，1与2，1与3，1与4，1与5，2与3，2与4，2与5，3与4，3与5，4与5，数学科代表乙被抽取的有5种：乙与1，乙与2，乙与3，乙与4，乙与5，数学科代表乙被抽取的概率为=，∴甲乙两人均被选中的概率为×=．【点评】本题考查了对立性检验和列举法计算古典概型的概率问题，是基础题目．19．（12分）（2017•九江一模）如图所示，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A′，O为A′D的中点，连接EF，EO，FO．（Ⅰ）求证：A′D⊥EF；（Ⅱ）求直线BD与平面OEF所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）通过证明A'D⊥A'E，A'D⊥A'F，推出A'D⊥平面A'EF，然后证明A'D⊥EF．（Ⅱ）说明A'E⊥A'F，A'D⊥平面A'EF，以A'E，A'F，A'D为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系A'﹣xyz，求出相关点的坐标，求出平面OEF的一个法向量，然后利用空间向量的数量积求解直线BD与平面OEF所成角的正弦值即可．【解答】解：（Ⅰ）在正方形ABCD中，有AD⊥AE，CD⊥CF则A′D⊥A′E，A′D⊥A′F…（4分）又A′E∩A′F=A′∴A′D⊥平面A′EF…（6分）而EF⊂平面A′EF，∴A′D⊥EF．（Ⅱ）∵正方形ABCD的边长为2，点E是AB的中点，点F是BC的中点，∴BE=BF=A′E=A′F=1∴EF=，∴A′E2+A′F2=EF2，∴A′E⊥A′F由（Ⅰ）得A′D⊥平面A′EF，∴分别以A′E，A′F，A′D为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系A′﹣xyz，…（9分）则A′（0，0，0），F（1，0，0），E（0，1，0），D（0，0，2），设EF与BD相交于G，则G为EF的中点，∴O（0，0，1），G（，，0），=（0，1，﹣1），=（1，0，﹣1），=（，，﹣2），设平面OEF的一个法向量为=（x，y，z），则由，可取=（1，1，1），令直线DG与平面OEF所成角为α，∴sinα==，∴直线BD与平面OEF所成角的正弦值．【点评】本题考查空间向量数量积的应用，直线与平面所成角的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．20．（12分）（2017•九江一模）如图所示，抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过点F且斜率存在的直线l交抛物线C于A，B两点，已知当直线l的斜率为1时，|AB|=8．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过点A作抛物线C的切线交直线x=于点D，试问：是否存在定点M在以AD为直径的圆上？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】（Ⅰ）由题意设出直线l的方程，与抛物线方程联立，再由抛物线的焦点弦长公式列式求得p，则抛物线方程可求；（Ⅱ）设出A的坐标，得到过A点的切线方程，与抛物线方程联立，利用判别式等于0把切线的斜率用A的纵坐标表示，进一步求得D点坐标，得到以AD为直径的圆的方程，从而得到存在定点M（1，0）在以AD为直径的圆上．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，直线l的方程为y=x﹣，联立方程，消去y整理得，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=3p，故|AB|=x1+x2+p=4p=8，∴p=2，∴抛物线C方程为y2=4x；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线x=﹣即x=﹣1，A（）（y1≠0），设切线方程为，联立方程，消去x得：，∵△=，∴，即k=，∴切线方程为，则4x﹣，令x=﹣1，得，即D（﹣1，），∴以AD为直径的圆为，由抛物线的对称性，若以AD为直径的圆经过定点，则此定点一定在x轴上，∴令y=0，得，得x=1，故存在定点M（1，0）在以AD为直径的圆上．【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与圆、直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，属中档题．21．（12分）（2017•九江一模）设函数f（x）=e2x，g（x）=kx+1（k∈R）．（Ⅰ）若直线y=g（x）和函数y=f（x）的图象相切，求k的值；（Ⅱ）当k＞0时，若存在正实数m，使对任意x∈（0，m），都有|f（x）﹣g （x）|＞2x恒成立，求k的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）设切线的坐标为（t，e2t），得到（1﹣2t）e2t=1，令h（x）=（1﹣x）e x，根据函数的单调性求出k的值即可；（Ⅱ）通过讨论k的范围，结合对任意x∈（0，m），都有|f（x）﹣g（x）|＞2x恒成立以及函数的单调性求出对应的函数的单调区间，求出k的具体范围即可．【解答】解：（Ⅰ）设切线的坐标为（t，e2t），由f（x）=e2x得f′（x）=2e2x，∴切线方程为y﹣e2t=2e2t（x﹣t），即y=2e2t x+（1﹣2t）e2t，由已知y=2e2t x+（1﹣2t）e2t和y=kx+1为同一条直线，∴2e2t=k，（1﹣2t）e2t=1，令h（x）=（1﹣x）e x，则h′（x）=﹣xe x，当x∈（﹣∞，0）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，当x∈（0，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，∴h（x）≤h（0）=1，当且仅当x=0时等号成立，∴t=0，k=2，（Ⅱ）①当k＞2时，由（Ⅰ）知：存在x＞0，使得对于任意x∈（0，x0），都有f（x）＜g（x），则不等式|f（x）﹣g（x）|＞2x等价于g（x）﹣f（x）＞2x，即（k﹣2）x+1﹣e2x＞0，设t（x）=（k﹣2）x+1﹣e2x，t′（x）=k﹣2﹣2e2x，由t′（x）＞0，得：x＜ln，由t′（x）＜0，得：x＞ln，若2＜k≤4，ln≤0，∵（0，x0）⊆（ln，+∞），∴t（x）在（0，x0）上单调递减，注意到t（0）=0，∴对任意x∈（0，x0），t（x）＜0，与题设不符，若k＞4，ln＞0，（0，ln）⊆（﹣∞，ln），∴t（x）在（0，ln）上单调递增，∵t（0）=0，∴对任意x∈（0，ln），t（x）＞0，符合题意，此时取0＜m≤min{x0，ln}，可得对任意x∈（0，m），都有|f（x）﹣g （x）|＞2x，②当0＜k≤2时，由（Ⅰ）知e2x﹣（2x+1）≥0，（x＞0），f（x）﹣g（x）=e2x﹣（2x+1）+（2﹣k）x≥（2﹣k）x≥0对任意x＞0都成立，∴|f（x）﹣g（x）|＞2x等价于e2x﹣（k+2）x﹣1＞0，设φ（x）=e2x﹣（k+2）x﹣1，则φ′（x）=2e2x﹣（k+2），由φ′（x）＞0，得x＞ln＞0，φ′（x）＜0得x＜ln，∴φ（x）在（0，ln）上单调递减，注意到φ（0）=0，∴对任意x∈（0，ln），φ（x）＜0，不符合题设，综上所述，k的取值范围为（4，+∞）．【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、转化思想、是一道综合题．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2017•九江一模）在直角坐标系xOy中，已知直线l：（t为参数）与椭圆C：（θ为参数）相交于不同的两点A，B．（Ⅰ）若，求线段AB中点M的坐标；（Ⅱ）若，其中为椭圆的右焦点P，求直线l的斜率．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）将椭圆C化为普通方程得，当时，设点M对应的参数为t0，直线l代入方程+y2=1，得，由此能求出点M的坐标．（Ⅱ），将l：代入方程，得，由此利用弦长公式能求出直线l的斜率．【解答】解：（Ⅰ）将椭圆C：化为普通方程得，当时，设点M对应的参数为t0，直线l的参数方程为（t为参数），代入方程+y2=1中，并整理得，设直线l上的点A，B对应的参数分别为t1，t2，，则，∴点M的坐标为．（Ⅱ），将l ：代入方程中， 得， ∴，，∴|AB |=|t 1|+|t 2|=|t 1﹣t 2|===，由，得，，，，∴直线l 的斜率为． 【点评】本题考查线段中点坐标的求法，考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆、参数方程、直线性质的合理运用．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•九江一模）已知函数f （x ）=2|x ﹣1|﹣a ，g （x ）=﹣|x +m |（a ，m ∈R ），若关于x 的不等式g （x ）＞﹣1的整数解有且仅有一个值为﹣3． （Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）若函数y=f （x ）的图象恒在函数y=g （x ）的图象上方，求实数a 的取值范围．【考点】绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）由条件解绝对值不等式可得﹣1﹣m ＜x ＜1﹣m ，再根据不等式的整数解有且仅有一个值为﹣3，可得﹣4≤﹣1﹣m ＜﹣3＜1﹣m ≤﹣2，由此求得m 的值．（Ⅱ）由题意可得2|x ﹣1|+|x +3|＞a 对任意x ∈R 恒成立，利用分段函数的性质求得2|x ﹣1|+|x +3|的最小值，可得a 的范围．【解答】解：（Ⅰ）由g （x ）＞﹣1，即﹣|x +m |＞﹣1，|x +m |＜1，∴﹣1﹣m＜x＜1﹣m，∵不等式的整数解有且仅有一个值为﹣3，则﹣4≤﹣1﹣m＜﹣3＜1﹣m≤﹣2，解得m=3．（Ⅱ）因为y=f（x）的图象恒在函数y=g（x）的图象上方，故f（x）﹣g（x）＞0，∴2|x﹣1|+|x+3|＞a对任意x∈R恒成立，设h（x）=2|x﹣1|+|x+3|，则，∴h（x）在（﹣∞，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，∴当x=1时，h（x）取得最小值4，∴4＞a，∴实数a的取值范围是（﹣∞，4）．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，分段函数的应用，属于中档题．。
新课标高考理科数学模拟试题含答案
新课标高考理科数学模拟试题含答案The following text is amended on 12 November 2020.2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学模拟试卷（一）第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知命题:p x ∀∈R ，sin x ≤1，则（ ）A ．:p x ⌝∃∈R ，sin x ≥1B ．:p x ⌝∀∈R ，sin x ≥1C ．:p x ⌝∃∈R ，sin x >1 不能D ．:p x ⌝∀∈R ，sin x >12．已知平面向量a =（1，1），b （1，－1），则向量1322-=a b （ ）A ．（－2，－1）B ．（－2，1）C ．（－1，0）D ．（－1，2）3．函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的简图是（ ）4．已知{a n }是等差数列，a 10=10，其前10项和S 10=70，则其公差d =（ ）A ．23-B ．13-C ．13D ．235．如果执行右面的程序框图，那么输出的S=（ ）A ．2450B ．2500 y x11-2π-3π-O6ππyx11-2π-3π-O 6ππy x11-2π-3πO 6π-πy xπ2π-6π-1O1-3π A．B．C ．D ．6．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），P 3（x 3，y 3）在抛物线上，且2x 2=x 1+x 3， 则有（ ）A ．123FP FP FP +=B ．222123FP FP FP += C ．2132FP FP FP =+ D ．2213FPFP FP =· 7．已知x >0，y >0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则2()a b cd+的最小值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．48．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ）A ．34000cm 3 B ．38000cm 3C ．2000cm 3D ．4000cm 3 9．若cos 22π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos sin αα+的值为（ ） A ．7．12- C ．12D 7 10．曲线12e x y =在点（4，e 2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）A ．29e 2年B ．4e 2, C ．2e 2 D ．e 2s 1，s 2，s 3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ）甲的成绩 环数7 8 9 10 频数 5 5 5 5 乙的成绩 环数7 8 9 1频数 6 4 4 6 丙的成绩 环数7 8 9 1频数4 6 6 412．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等。
江西省2017年高考理科数学试题及答案(word版)
江西省2017年高考理科数学试题及答案（Word 版）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =< B ．A B =R C ．{|1}AB x x =>D ．AB =∅2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A ．14 B ．π8 C ．12D ．π43．设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为 A ．13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．24,p p4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．4D ．85．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]6．621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 A ．15 B ．20C ．30D ．357．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A ．10B ．12C ．14D ．168． 右面程序框图是为了求出满足3n−2n>1000的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入A ．A>1 000和n=n+1B ．A>1 000和n=n+2C ．A ≤1 000和n=n+1D ．A ≤1 000和n=n+29．已知曲线C 1：y=cos x ，C 2：y=sin (2x+2π3)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6π个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 210．已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16B ．14C ．12D ．1011．设xyz 为正数，且235x y z ==，则A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A ．440B ．330C ．220D ．110二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2017年全国统一高考真题数学试卷(理科)(新课标ⅲ)(含答案及解析)
2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A={（x，y）|x2+y2=1}，B={（x，y）|y=x}，则A∩B中元素的个数为（）A．3B．2C．1D．02．（5分）设复数z满足（1+i）z=2i，则|z|=（）A．B．C．D．23．（5分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（）A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳4．（5分）（x+y）（2x﹣y）5的展开式中的x3y3系数为（）A．﹣80B．﹣40C．40D．805．（5分）已知双曲线C：﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，且与椭圆+=1有公共焦点，则C的方程为（）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=1 6．（5分）设函数f（x）=cos（x+），则下列结论错误的是（）A．f（x）的一个周期为﹣2πB．y=f（x）的图象关于直线x=对称C．f（x+π）的一个零点为x=D．f（x）在（，π）单调递减7．（5分）执行如图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为（）A．5B．4C．3D．28．（5分）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A．πB．C．D．9．（5分）等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{a n}前6项的和为（）A．﹣24B．﹣3C．3D．810．（5分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2x+a（e x﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a=（）A．﹣B．C．D．112．（5分）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=λ+μ，则λ+μ的最大值为（）A．3B．2C．D．2二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。
2017年江西省高考数学试卷与解析word(理科)(全国新课标Ⅰ)
2017年江西省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}，则（）A．A∩B={x|x＜0}B．A∪B=R C．A∪B={x|x＞1}D．A∩B=∅2．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A．B．C．D．3．（5分）设有下面四个命题p1：若复数z满足∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1=；p4：若复数z∈R，则∈R．其中的真命题为（）A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p44．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（）A．1 B．2 C．4 D．85．（5分）函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）=﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．[﹣1，1]C．[0，4]D．[1，3]6．（5分）（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为（）A．15 B．20 C．30 D．357．（5分）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（）A．10 B．12 C．14 D．168．（5分）如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（）A．A＞1000和n=n+1 B．A＞1000和n=n+2C．A≤1000和n=n+1 D．A≤1000和n=n+29．（5分）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+），则下面结论正确的是（）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C210．（5分）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（）A．16 B．14 C．12 D．1011．（5分）设x、y、z为正数，且2x=3y=5z，则（）A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z12．（5分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（）A．440 B．330 C．220 D．110二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量，的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|=．14．（5分）设x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为．15．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为．16．（5分）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得==9.97，s==≈0.212，其中x i为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2， (16)用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（﹣3+3）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.997416≈0.9592，≈0.09．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上．（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．21．（12分）已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．[选修4-4，坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．（1）若a=﹣1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=﹣x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|．（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．2017年江西省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}，则（）A．A∩B={x|x＜0}B．A∪B=R C．A∪B={x|x＞1}D．A∩B=∅【解答】解：∵集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}={x|x＜0}，∴A∩B={x|x＜0}，故A正确，D错误；A∪B={x|x＜1}，故B和C都错误．故选：A．2．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2，则黑色部分的面积S=，则对应概率P==，故选：B3．（5分）设有下面四个命题p1：若复数z满足∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1=；p4：若复数z∈R，则∈R．其中的真命题为（）A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4【解答】解：若复数z满足∈R，则z∈R，故命题p1为真命题；p2：复数z=i满足z2=﹣1∈R，则z∉R，故命题p2为假命题；p3：若复数z1=i，z2=2i满足z1z2∈R，但z1≠，故命题p3为假命题；p4：若复数z∈R，则=z∈R，故命题p4为真命题．故选：B．4．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（）A．1 B．2 C．4 D．8【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a4+a5=24，S6=48，∴，解得a1=﹣2，d=4，∴{a n}的公差为4．故选：C．5．（5分）函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）=﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．[﹣1，1]C．[0，4]D．[1，3]【解答】解：∵函数f（x）为奇函数．若f（1）=﹣1，则f（﹣1）=1，又∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，﹣1≤f（x﹣2）≤1，∴f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1），∴﹣1≤x﹣2≤1，解得：x∈[1，3]，故选：D6．（5分）（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为（）A．15 B．20 C．30 D．35【解答】解：（1+）（1+x）6展开式中：若（1+）=（1+x﹣2）提供常数项1，则（1+x）6提供含有x2的项，可得展开式中x2的系数：若（1+）提供x﹣2项，则（1+x）6提供含有x4的项，可得展开式中x2的系数：由（1+x）6通项公式可得．可知r=2时，可得展开式中x2的系数为．可知r=4时，可得展开式中x2的系数为．（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为：15+15=30．故选C．7．（5分）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（）A．10 B．12 C．14 D．16【解答】解：由三视图可画出直观图，该立体图中只有两个相同的梯形的面，S梯形=×2×（2+4）=6，∴这些梯形的面积之和为6×2=12，故选：B8．（5分）如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（）A．A＞1000和n=n+1 B．A＞1000和n=n+2C．A≤1000和n=n+1 D．A≤1000和n=n+2【解答】解：因为要求A＞1000时输出，且框图中在“否”时输出，所以“”内不能输入“A＞1000”，又要求n为偶数，且n的初始值为0，所以“”中n依次加2可保证其为偶数，所以D选项满足要求，故选：D．9．（5分）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+），则下面结论正确的是（）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【解答】解：把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y=cos2（x+）=cos（2x+）=sin（2x+）的图象，即曲线C2，故选：D．10．（5分）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（）A．16 B．14 C．12 D．10【解答】解：如图，l1⊥l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，要使|AB|+|DE|最小，则A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，又直线l2过点（1，0），则直线l2的方程为y=x﹣1，联立方程组，则y2﹣4y﹣4=0，∴y1+y2=4，y1y2=﹣4，∴|DE|=•|y1﹣y2|=×=8，∴|AB|+|DE|的最小值为2|DE|=16，方法二：设直线l1的倾斜角为θ，则l2的倾斜角为+θ，根据焦点弦长公式可得|AB|==|DE|===∴|AB|+|DE|=+==，∵0＜sin22θ≤1，∴当θ=45°时，|AB|+|DE|的最小，最小为16，故选：A11．（5分）设x、y、z为正数，且2x=3y=5z，则（）A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z 【解答】解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．则x=，y=，z=．∴3y=，2x=，5z=．∵==，＞=．∴＞lg＞＞0．∴3y＜2x＜5z．另解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．则x=，y=，z=．∴==＞1，可得2x＞3y，==＞1．可得5z＞2x．综上可得：5z＞2x＞3y．解法三：对k取特殊值，也可以比较出大小关系．故选：D．12．（5分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（）A．440 B．330 C．220 D．110【解答】解：设该数列为{a n}，设b n=+…+=2n+1﹣1，（n∈N+），则=a i，由题意可设数列{a n}的前N项和为S N，数列{b n}的前n项和为T n，则T n=21﹣1+22﹣1+…+2n+1﹣1=2n+1﹣n﹣2，可知当N为时（n∈N），数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和，+即为2n+1﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，A项，由=435，440=435+5，可知S440=T29+b5=230﹣29﹣2+25﹣1=230，故A 项符合题意．B项，仿上可知=325，可知S330=T25+b5=226﹣25﹣2+25﹣1=226+4，显然不为2的整数幂，故B项不符合题意．C项，仿上可知=210，可知S220=T20+b10=221﹣20﹣2+210﹣1=221+210﹣23，显然不为2的整数幂，故C项不符合题意．D项，仿上可知=105，可知S110=T14+b5=215﹣14﹣2+25﹣1=215+15，显然不为2的整数幂，故D项不符合题意．故选A．方法二：由题意可知：，，，…，根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：21﹣1，22﹣1，23﹣1， (2)﹣1，每项含有的项数为：1，2，3，…，n，总共的项数为N=1+2+3+…+n=，所有项数的和为S n：21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+2n﹣1=（21+22+23+…+2n）﹣n=﹣n=2n+1﹣2﹣n，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，则①1+2+（﹣2﹣n）=0，解得：n=1，总共有+2=3，不满足N＞100，②1+2+4+（﹣2﹣n）=0，解得：n=5，总共有+3=18，不满足N＞100，③1+2+4+8+（﹣2﹣n）=0，解得：n=13，总共有+4=95，不满足N＞100，④1+2+4+8+16+（﹣2﹣n）=0，解得：n=29，总共有+5=440，满足N ＞100，∴该款软件的激活码440．故选A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量，的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|=2．【解答】解：【解法一】向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，∴=+4•+4=22+4×2×1×cos60°+4×12=12，∴|+2|=2．【解法二】根据题意画出图形，如图所示；结合图形=+=+2；在△OAC中，由余弦定理得||==2，即|+2|=2．故答案为：2．14．（5分）设x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为﹣5．【解答】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，由图可知，目标函数的最优解为A，联立，解得A（﹣1，1）．∴z=3x﹣2y的最小值为﹣3×1﹣2×1=﹣5．故答案为：﹣5．15．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为．【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A（a，0），以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，可得A到渐近线bx+ay=0的距离为：bcos30°=，可得：=，即，可得离心率为：e=．故答案为：．16．（5分）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为4cm3．【解答】解：由题意，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG=BC，即OG的长度与BC的长度成正比，设OG=x，则BC=2x，DG=5﹣x，三棱锥的高h===，=3，则V===，令f（x）=25x4﹣10x5，x∈（0，），f′（x）=100x3﹣50x4，令f′（x）≥0，即x4﹣2x3≤0，解得x≤2，则f（x）≤f（2）=80，∴V≤=4cm3，∴体积最大值为4cm3．故答案为：4cm3．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得S=acsinB=，△ABC∴3csinBsinA=2a，由正弦定理可得3sinCsinBsinA=2sinA，∵sinA≠0，∴sinBsinC=；（2）∵6cosBcosC=1，∴cosBcosC=，∴cosBcosC﹣sinBsinC=﹣=﹣，∴cos（B+C）=﹣，∴cosA=，∵0＜A＜π，∴A=，∵===2R==2，∴sinBsinC=•===，∴bc=8，∵a2=b2+c2﹣2bccosA，∴b2+c2﹣bc=9，∴（b+c）2=9+3cb=9+24=33，∴b+c=∴周长a+b+c=3+．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【解答】（1）证明：∵∠BAP=∠CDP=90°，∴PA⊥AB，PD⊥CD，∵AB∥CD，∴AB⊥PD，又∵PA∩PD=P，且PA⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD；（2）解：∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB⊥平面PAD，∴AB⊥AD，则四边形ABCD为矩形，在△APD中，由PA=PD，∠APD=90°，可得△PAD为等腰直角三角形，设PA=AB=2a，则AD=．取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则：D（），B（），P（0，0，），C（）．，，．设平面PBC的一个法向量为，由，得，取y=1，得．∵AB⊥平面PAD，AD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，又PD⊥PA，PA∩AB=A，∴PD⊥平面PAB，则为平面PAB的一个法向量，．∴cos＜＞==．由图可知，二面角A﹣PB﹣C为钝角，∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为．19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得==9.97，s==≈0.212，其中x i为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2， (16)用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（﹣3+3）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.997416≈0.9592，≈0.09．【解答】解：（1）由题可知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为0.9974，则落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率为1﹣0.9974=0.0026，因为P（X=0）=×（1﹣0.9974）0×0.997416≈0.9592，所以P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，又因为X～B（16，0.0026），所以E（X）=16×0.0026=0.0416；（2）（ⅰ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在（﹣3+3）之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在（﹣3+3）之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种状况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．（ⅱ）由=9.97，s≈0.212，得μ的估计值为=9.97，σ的估计值为=0.212，由样本数据可以看出一个零件的尺寸在（﹣3+3）之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除（﹣3+3）之外的数据9.22，剩下的数据的平均数为（16×9.97﹣9.22）=10.02，因此μ的估计值为10.02．2=16×0.2122+16×9.972≈1591.134，剔除（﹣3+3）之外的数据9.22，剩下的数据的样本方差为（1591.134﹣9.222﹣15×10.022）≈0.008，因此σ的估计值为≈0.09．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上．（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．【解答】解：（1）根据椭圆的对称性，P3（﹣1，），P4（1，）两点必在椭圆C上，又P4的横坐标为1，∴椭圆必不过P1（1，1），∴P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）三点在椭圆C上．把P2（0，1），P3（﹣1，）代入椭圆C，得：，解得a2=4，b2=1，∴椭圆C的方程为=1．证明：（2）①当斜率不存在时，设l：x=m，A（m，y A），B（m，﹣y A），∵直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，∴===﹣1，解得m=2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设l：y=kx+b，（b≠1），A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理，得（1+4k2）x2+8kbx+4b2﹣4=0，，x1x2=，则=====﹣1，又b≠1，∴b=﹣2k﹣1，此时△=﹣64k，存在k，使得△＞0成立，∴直线l的方程为y=kx﹣2k﹣1，当x=2时，y=﹣1，∴l过定点（2，﹣1）．21．（12分）已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x，求导f′（x）=2ae2x+（a﹣2）e x ﹣1，当a=0时，f′（x）=﹣2e x﹣1＜0，∴当x∈R，f（x）单调递减，当a＞0时，f′（x）=（2e x+1）（ae x﹣1）=2a（e x+）（e x﹣），令f′（x）=0，解得：x=ln，当f′（x）＞0，解得：x＞ln，当f′（x）＜0，解得：x＜ln，∴x∈（﹣∞，ln）时，f（x）单调递减，x∈（ln，+∞）单调递增；当a＜0时，f′（x）=2a（e x+）（e x﹣）＜0，恒成立，∴当x∈R，f（x）单调递减，综上可知：当a≤0时，f（x）在R单调减函数，当a＞0时，f（x）在（﹣∞，ln）是减函数，在（ln，+∞）是增函数；（2）①若a≤0时，由（1）可知：f（x）最多有一个零点，当a＞0时，f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x，当x→﹣∞时，e2x→0，e x→0，∴当x→﹣∞时，f（x）→+∞，当x→∞，e2x→+∞，且远远大于e x和x，∴当x→∞，f（x）→+∞，∴函数有两个零点，f（x）的最小值小于0即可，由f（x）在（﹣∞，ln）是减函数，在（ln，+∞）是增函数，∴f（x）min=f（ln）=a×（）+（a﹣2）×﹣ln＜0，∴1﹣﹣ln＜0，即ln+﹣1＞0，设t=，则g（t）=lnt+t﹣1，（t＞0），求导g′（t）=+1，由g（1）=0，∴t=＞1，解得：0＜a＜1，∴a的取值范围（0，1）．方法二：（1）由f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x，求导f′（x）=2ae2x+（a﹣2）e x﹣1，当a=0时，f′（x）=﹣2e x﹣1＜0，∴当x∈R，f（x）单调递减，当a＞0时，f′（x）=（2e x+1）（ae x﹣1）=2a（e x+）（e x﹣），令f′（x）=0，解得：x=﹣lna，当f′（x）＞0，解得：x＞﹣lna，当f′（x）＜0，解得：x＜﹣lna，∴x∈（﹣∞，﹣lna）时，f（x）单调递减，x∈（﹣lna，+∞）单调递增；当a＜0时，f′（x）=2a（e x+）（e x﹣）＜0，恒成立，∴当x∈R，f（x）单调递减，综上可知：当a≤0时，f（x）在R单调减函数，当a＞0时，f（x）在（﹣∞，﹣lna）是减函数，在（﹣lna，+∞）是增函数；（2）①若a≤0时，由（1）可知：f（x）最多有一个零点，②当a＞0时，由（1）可知：当x=﹣lna时，f（x）取得最小值，f（x）min=f（﹣lna）=1﹣﹣ln，当a=1，时，f（﹣lna）=0，故f（x）只有一个零点，当a∈（1，+∞）时，由1﹣﹣ln＞0，即f（﹣lna）＞0，故f（x）没有零点，当a∈（0，1）时，1﹣﹣ln＜0，f（﹣lna）＜0，由f（﹣2）=ae﹣4+（a﹣2）e﹣2+2＞﹣2e﹣2+2＞0，故f（x）在（﹣∞，﹣lna）有一个零点，假设存在正整数n0，满足n0＞ln（﹣1），则f（n0）=（a+a﹣2）﹣n0＞﹣n0＞﹣n0＞0，由ln（﹣1）＞﹣lna，因此在（﹣lna，+∞）有一个零点．∴a的取值范围（0，1）．[选修4-4，坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．（1）若a=﹣1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），化为标准方程是：+y2=1；a=﹣1时，直线l的参数方程化为一般方程是：x+4y﹣3=0；联立方程，解得或，所以椭圆C和直线l的交点为（3，0）和（﹣，）．（2）l的参数方程（t为参数）化为一般方程是：x+4y﹣a﹣4=0，椭圆C上的任一点P可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），所以点P到直线l的距离d为：d==，φ满足tanφ=，且的d的最大值为．①当﹣a﹣4≤0时，即a≥﹣4时，|5sin（θ+4）﹣a﹣4|≤|﹣5﹣a﹣4|=5+a+4=17解得a=8≥﹣4，符合题意．②当﹣a﹣4＞0时，即a＜﹣4时|5sin（θ+4）﹣a﹣4|≤|5﹣a﹣4|=5﹣a﹣4=1﹣a=17解得a=﹣16＜﹣4，符合题意．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=﹣x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|．（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=﹣x2+x+4，是开口向下，对称轴为x=的二次函数，g（x）=|x+1|+|x﹣1|=，当x∈（1，+∞）时，令﹣x2+x+4=2x，解得x=，g（x）在（1，+∞）上单调递增，f（x）在（1，+∞）上单调递减，∴此时f（x）≥g（x）的解集为（1，]；当x∈[﹣1，1]时，g（x）=2，f（x）≥f（﹣1）=2．当x∈（﹣∞，﹣1）时，g（x）单调递减，f（x）单调递增，且g（﹣1）=f（﹣1）=2．综上所述，f（x）≥g（x）的解集为[﹣1，]；（2）依题意得：﹣x2+ax+4≥2在[﹣1，1]恒成立，即x2﹣ax﹣2≤0在[﹣1，1]恒成立，则只需，解得﹣1≤a≤1，故a的取值范围是[﹣1，1]．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。
江西省九江市2017届高三第三次高考模拟统一考试理科数学试题含答案-精选
九江市2017年第三次高考模拟统一考试理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数2iz (i 12i-=-为虚数单位） 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2. 设全集U R =，{}{}2|60,|1A x x x B x x =--≥=>，则()U C A B = （ ）A ．{}|2x x ≥-B ．{}|2x x >-C ．{}|13x x <<D ．{}|13x x <≤ 3. 已知数列{}n a 为等比数列，若2102,8a a ==，则6a =（ ）A ．4±B ．4- C.4 D ．5 4.已知 1.30.72,4,ln 6a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b c a << C.c a b << D ．c b a <<5. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的离心率为 ，从C 的右焦点F 引渐近线的垂线，垂足为A ，若AFO ∆的面积为 1，则双曲线C 的方程为（ ）A ．22128x y -= B ．2214x y -= C. 221416x y -= D ．2214y x -= 6. 若从集合{}1,2,3,4,5中随机地选出三个元素，则满足其中两个元素的和等于第三个元素的概率为 （ ） A ．15 B ．25 C.12 D ．357. 执行如图所示的程序框图，则输出 S 的值为1-，那么判断框内应填入的条件是（ ）A ． 8k ≤B ．9k ≤ C. 10k ≤ D ．11k ≤8. 已知实数 ,x y 满足201010x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩，若z mx y =+的最小值为 3，则实数m 的值是（ ）A ．2-B ． 3 C. 8 D ．2 9. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数1,1,2,3,5,8，…，该数列的特点是：前两个数均为 1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为斐波那契数列.则()8822111i i i i i a a a++==-=∑∑（ ）A ．0B ．1- C. 1 D ．2 10. 如图所示，在正方体1111ABCD A BCD -中，点G 在棱1AA 上，1,,3AG E F =分别是棱1111,C D B C 的中点，过,,E F G 三点的截面α将正方体分成两部分，则正方体的四个侧面被截面α截得的上、下两部分面积之比为（ ）A ．16 B ．14 C. 13 D ．1211. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:4C x y =，点P 是C 的准线 l 上的动点，过点P 作C 的两条切线，切点分别为,A B ，则AOB ∆面积的最小值为（ ）A B ．2 C. D ．412. 若对任意()0,x π∈，不等式sin x x e e a x -->恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[]2,2- B ．(],e -∞ C.(],2-∞ D ．(],1-∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在()()6312xx -+的展开式中，5x 的系数是 ．14. 如图所示，网格纸上小正方形的边长为1 ，粗线画出的是某一几何体的三视图，则该几何体的体积为 ．15. 已知向量()()1,3,2,6a b =-=-，若向量 c 与 a 的夹角为60，且()10c a b ⋅+=-，则c = ．16. 已知数列{}n a 的前 n 项和为 n S ，且满足111,2n n n a a a S +=⋅=，设3nnn a a b =，若存在正整数(),p q p q <，使得1,,p q b b b 成等差数列，则p q += ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在ABC ∆ 中，内角 ,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足()222sin sin sin 2sin sin sin B C A B C B C +=++.（1）求角A 的大小；（2）若2a =，求ABC ∆面积的最大值.18. 某农科所发现，一种作物的年收获量 y （单位：kg ）与它“相近”作物的株数 x 具有线性相关关系(所谓两株作物“相近”是指它们的直线距离不超过 1m )，并分别记录了相近作物的株数为 1,2,3,5,6,7时，该作物的年收获量的相关数据如下：（1）求该作物的年收获量 y 关于它“相近”作物的株数x 的线性回归方程；（2）农科所在如图所示的正方形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点）处都种了一株该作物，其中每个小正方形的面积为 1，若在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．(注年收获量以线性回归方程计算所得数据为依据)附：对于一组数据()()()1122,,,,...,,n n x y x y x y ，其回归直线y a bx =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为, 1122211()()()()n ni iiii i nniii i x y nx y x x yy b xn x x x ====---==--∑∑∑∑, a y bx =-19. 如图所示，等腰梯形ABCD 的底角 A 等于60，直角梯形 ADEF 所在的平面垂直于平面ABCD ，90EDA ∠=，且222ED AD AF AB ====.（1）证明：平面ABE ⊥平面EBD ；（2）点M 在线段EF 上，试确定点M 的位置，使平面MAB 与平面ECD 所成二面角的余.20. 如图所示，已知椭圆()2222:1x y C a b c a b+=>>的焦距为 2，直线y x =被椭圆 C 截.（1）求椭圆 C 的方程；（2）设点()00,M x y 是椭圆 C 上的动点，过原点O 引两条射线12,l l 与圆()()22002:3M x x y y -+-=分别相切，且12,l l 的斜率12,k k 存在. ①试问 12k k ⋅ 是否为定值？若是，求出该定值，若不是，说明理由；②若射线12,l l 与椭圆 C 分别交于点,A B ，求OA OB ⋅的最大值.21. 已知函数()()2ln 1(f x ax x x a =--∈R) 恰有两个极值点12,x x ，且12x x <.（1）求实数 a 的取值范围；（2）若不等式12ln ln 1x x λλ+>+恒成立，求实数λ的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，点 P 的极坐标是2π⎫⎪⎭，曲线 C 的极坐标方程为4cos 3πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭.以极点为坐标原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为 1- 的直线 l 经过点P .（1）写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程； （2）若直线 l 和曲线C 相交于两点,A B ，求PA PBPB PA+的值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()21(f x x x a a =++-∈R). （1）若 1=a ，求不等式 ()5f x ≥的解集；（2）若函数()f x 的最小值为3，求实数 a 的值.九江市2017年第三次高考模拟统一考试理科数学试题参考答案一、选择题1-5 ABCCD 6-10BBDAC 11-12：BC二、填空题13. 228- 14.43π15. 16.5 三、解答题17. 解：(1) 由正弦定理得：()2222222sin ,,2sin b c a bc B C A B C b c a bc A π+=++++=∴+=+，222sin 2b c a A bc+-∴=，由余弦定理得cos sin ,tan 1A A A ==，又()0,,4A A ππ∈∴=.(2)由（1）得22222,2,4b c a a b c +-==∴+=+，222,42b c bc bc +≥∴≥（当且仅当b c =时取得等号），即4bc ≤=+1sin 1.2ABC S bc A ABC ∆∴==≤∴∆面积的最大值1. 18. 解：(1)()()111235674,6055534645415066x y =+++++==+++++=,()()()()()()()()61310251314253984iii x x y y =--=-⨯+-⨯+-⨯+⨯-+⨯-+⨯-=-∑,()()()()62222222132112328ii x x =-=-+-+-+++=∑,1122211()()84328()()n ni iiii i nniii i x y nx y x x y y b xn x x x ====---∴===-=---∑∑∑∑,503462a y bx =-=+⨯=,故该作物的年收获量 y 关于它相邻作物的株数 x 的线性回归方程为362y x =-+. (2) 由（1）得，当2,3,4x =，与之相对应56,53,50y =，()()()()()()418141562,533,504164162164P y P X P y P X P y P X ===============，所以它的年收获量 y 的分布列数学期望为()56535053424Ey kg =⨯+⨯+⨯= . 19. 解：(1) 因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF平面,,ABCD AD ED AD ED ≠=⊥⊂平面ADEF ，ED ∴⊥平面ABCD ，AB ≠⊂平面ABCD ，AB ED ∴⊥，又2,1,60,ADAB A AB BD ===∴⊥.又,,BDED D BD ED ≠=⊂平面,EBD AB ∴⊥平面EBD ，又AB ≠⊂平面ABE ，所以平面ABE ⊥平面EBD .(2)以B 点为原点建立如图空间直角坐标系 B xyz -，则()()()()11,0,0,,,,,1,0,122A C D E F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设平面ECD 的法向量为()1111,,n x yz =，则()11013,,,0,0,0,2220n CD CD DE n DE ⎧⎛⎫⋅=⎪== ⎪⎨⎝⎭⋅=⎪⎩，即11110220x y z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，令11y =-，得()13,1,0n =-，设[],0,1EM EF λλ=∈，则()()(),2,,33,2,1,0,0M BM BA λλλλλ-+∴=-+-+=，设平面MAB的法向量为()2222,,n x y z =，则220n BM n BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即(()222220x y z x λλ⎧++-+=⎪⎨=⎪⎩，22y λ=-，得(20,2n λ=-，(1211cos 42n nn n θ⋅∴====⋅，解得12λ=，所以M 为线段EF 的中点.20. 解：(1) 依题意得1c =,设直线 y x =与椭圆 C 相交于 ,P Q 两点，则OP =,不妨设2222,133P a b∴+=,又221a b -=，解得1a b ==，所以椭圆 C 的方程为2212x y +=. (2) ①设射线l 方程为()()1122,,,,y kx A x y B x y =3=，两边平方整理得()222000326320xk x y k y --+-=，2022200012220031232121,232322x x y y k k x x ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭=-∴===---. ②联立22122x y y k x ⎧+=⎨=⎩，消去 y 得22211221222,1212k x OA k k +==++，同理222222212k OB k +=+， ()()()()()()2222222221212121222222221212121214522224121222421k k k k k k k k OA OB k k k k k k k k +++++++∴⋅=⋅=⋅=+++++++ 212119214222k k =+≤++，当且仅当2112k =时，取等号max 32OA OB ∴⋅=.21. 解：(1)()'ln 2f x a x x ∴=- ,依题意得12,x x 为方程ln 20a x x -=的两不等正实数根,2ln 0,x a a x ∴≠=,令()()2ln 1ln ,'x xg x g x x x-==.当()0,x e ∈时，()'0g x > ；当(),x e ∈+∞时，()'0g x <， ()g x ∴在 ()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，且，()10g =，当x e >时，()()210,0g x g e a e>∴<<=，解得2a e >，故实数 a 的取值范围是()2,e +∞.(2)由（1）得1122ln 2,ln 2a x x a x x ==, 两式相减得()()12121212ln ln 2,2ln ln x x a x x x x a x x --=-=⋅-,()()()1212122ln ln 1121x x x x x x a aλλλλλλ++>+⇔>+⇔+>+()()()()11221212*********2ln 1ln ln 11ln ln 1x x x x x x x x x x x x x x x x x x λλλλλλ⎛⎫+ ⎪+-+-⎝⎭⇔+>⇔>+⇔>+---,120x x <<，令()()12ln 0,1,11x t t t x t λλ+=∈∴>+-，即()()()ln 110t t t λλ+-+-<，令()()()()ln 11h t t t t λλ=+-+-，则需满足()0h t <在()0,1上恒成立，()'ln h t t tλλ=+-，令()ln I t t t λλ=+-，则()()()221'0,1t I t t t t tλλ-=-=∈. ①当1λ≥时，()()'0,'I t h t <∴上单调递减, ()()()''10,h t h h t ∴>=∴在()0,1上单调递增 ,()()10h t h ∴<=, 符合题意 ； ②当0λ≤时，()()'0,'I t h t >∴上单调递增,()()()''10,h t h h t ∴<=∴在()0,1上单调递减,()()10h t h ∴>=, 不符合题意；③当01λ<<时，()()'01,'I t t h t λ>⇔<<∴在 (),1λ上单调递增，()()()''10,h t h h t ∴<=∴在(),1λ上单调递减,()()10h t h ∴>=, 不符合题意，综上所述，实数λ的取值范围是[)1,+∞.22. 解：(1) 由曲线 C 的极坐标方程4cos 3πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭可得2cos ρθθ=+，即22cos sin ρρθθ=+，因此曲线 C的直角坐标方程为2220x y x +--=，即()(2214x y -+-=，点P的直角坐标为(，直线 l 的倾斜角为135，所以直线 l的参数方程为2(2x t t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）.(2)将2(2x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）代入()(2214x y -+=，得230t +-=，设,A B 对应参数分别为12t t，有12123t t t t +==-，根据直线参数方程 t 的几何意义有，()222221212*********t t t t t t PA PB PA PB PB PA PA PB t t t t +-+++====⋅. 23. 解：（1）()31,12113,1131,1x x f x x x x x x x +≥⎧⎪=++-=+-<<⎨⎪--≤-⎩,当1x ≥时，315x +≥，即44,33x x ≥∴≥；当11x -<<时，35x +≥，即2x ≥，此时x 无实数解；当1x ≤-时，315x --≥，即2,2x x ≤-∴≤-，综上所述，不等式的解集为{|2x x ≤-和43x ⎫≥⎬⎭.（2）当1a =-时，()31f x x =+最小值为 0，不符合题意，当1a >-时，()32,2,132,1x a x a f x x a x a x a x +-≥⎧⎪=++-<<⎨⎪--+≤-⎩，()()min 113f x f a ∴=-=+=，此时2a =； 当1a <-时，()32,12,132,x a x f x x a a x x a x a +-≥-⎧⎪=---<<-⎨⎪--+≤⎩， ()()min 113f x f a =-=--=，此时4a =-，综上所示，2a =或4a =-.。
江西省九江市十校2017届高三第一次联考数学(理)试题 含答案
九江市2017届高三十校第一次联考理科数学试卷命题人:彭泽一中 审题人：湖口县一中试卷说明：考试时间：120分 满分:150分第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．︒570sin 的值是（ ）A ．21-B ．21 C 3 D ．23-2。
已知集合2{|160}A x x =-<,{5,0,1}B =-,则( ）A .AB =∅B ．B A ⊆C ．{0,1}A B =D ．A B ⊆3。
若)1(,2)]([,21)(-+=-=g x x f g x x f x 则的值为(）.21.-A 6.B1.C3.D4.命题“所有能被2整除的整数都是偶数"的否定．．是（ )A ．所有不能被2整除的整数都是偶数 B ．所有能被2整除的整数都不是偶数C ．存在一个不能被2整除的整数是偶数 D ．存在一个能被2整除的整数不是偶数5．函数21()ln 2f x x x =-的单调减区间（ ）A ．(]1,1-B ．(]0,1C ．()1,+∞D ．()0,+∞6.在ABC ∆中，已知B A C C A sin 232cos sin 2cossin 22=+，（其中角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c )，则 （ ）A 。
a ，b ,c 依次成等差数列 B .b ,a ，c 依次成等差数列C 。
a ，c ,b 依次成等差数列 D 。
a ，b ，c 依次既成等差数列，也成等比数列7．已知函数3()sin(2)f x x π=+，若存在(0,)a π∈，使得(2)()f x a f x +=恒成立，则a 的值是（ ）A . 6πB . 4πC . 3π D . 2π8．已知数列{}na ,若点(,)(nn a n ∈*N )在经过点)6,10(的定直线l 上,则数列{}na 的前19 项和=19S（ ）A 。
110 B .114 C . 119 D .1209． 在△ABC 中，“A >B "是“B A 2cos 2cos <”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件10.已知点)0,1(A ，点B 在圆O ：122=+y x 上运动,若点C 满足OB OA OC +=2，则点C 的轨迹是（ ）A ．直线B ．圆C ．抛物线D ．椭圆11。
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2017年江西省九江市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数为纯虚数（i虚数单位），则实数a=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣22．已知集合M={x|x2≤1}，N={x|log2x＜1}，则M∩N=（）A．[﹣1，2）B．[﹣1，1]C．（0，1] D．（﹣∞，2）3．设等比数列{a n}的前n项和为S n，且满足a6=8a3，则=（）A．4 B．5 C．8 D．94．掷一枚均匀的硬币4次，出现正面向上的次数不少于反面向上的次数的概率为（）A．B．C．D．5．若双曲线mx2+2y2=2的虚轴长为4，则该双曲线的焦距为（）A．B．C．D．6．已知函数f（x）=，给出下列两个命题：命题p：∃m∈（﹣∞，0），方程f（x）=0有实数解；命题q：当m=时，f（f（﹣1））=0，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．（￢p）∧q C．p∧（￢q）D．（￢p）∧（￢q）7．函数f（x）=（1﹣cosx）•sinx，x∈[﹣2π，2π]的图象大致是（）A．B．C．D．8．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某一无上盖几何体的三视图，则该几何体的表面积等于（）A．39πB．48πC．57πD．63π9．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）A．12 B．24 C．36 D．4810．设x，y满足约束条件，若z=ax+2y仅在点（，）处取得最大值，则a的值可以为（）A．﹣8 B．﹣4 C．4 D．811．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的上下顶点分别为A，B，右顶点为C，右焦点为F，延长BF与AC交于点P，若O，F，P，A四点共圆，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=，若关于x的不等式f2（x）+af（x）＞0恰有两个整数解，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，﹣）B．[，）C．（﹣，﹣]D．（﹣1，﹣]二、填空题已知为单位向量，若|+|=|﹣|，则在+方向上的投影为．14．二项式（x3﹣）6的展开式中含x﹣2项的系数是．15．已知A，B，C是球O的球面上三点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为1，则球O的体积为．16．已知数列{a n}为等差数列，a1=1，a n＞0，其前n项和为S n，且数列也为等差数列，设b n=，则数列{b n}的前n项和T n=．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知3b=4c，B=2C．（Ⅰ）求sinB的值；（Ⅱ）若b=4，求△ABC的面积．18．（12分）在高三一次数学测验后，某班对选做题的选题情况进行了统计，如表．（Ⅰ）求全班选做题的均分；（Ⅱ）据此判断是否有90%的把握认为选做《坐标系与参数方程》或《不等式选讲》与性别有关？（Ⅲ）已知学习委员甲（女）和数学科代表乙（男）都选做《不等式选讲》．若在《不等式选讲》中按性别分层抽样抽取3人，记甲乙两人被选中的人数为，求的数学期望．参考公式：，n=a+b+c+d．下面临界值表仅供参考：19．（12分）如图所示，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC 的中点，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A′，O为A′D的中点，连接EF，EO，FO．（Ⅰ）求证：A′D⊥EF；（Ⅱ）求直线BD与平面OEF所成角的正弦值．20．（12分）如图所示，抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过点F且斜率存在的直线l交抛物线C于A，B两点，已知当直线l的斜率为1时，|AB|=8．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过点A作抛物线C的切线交直线x=于点D，试问：是否存在定点M在以AD为直径的圆上？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．21．（12分）设函数f（x）=e2x，g（x）=kx+1（k∈R）．（Ⅰ）若直线y=g（x）和函数y=f（x）的图象相切，求k的值；（Ⅱ）当k＞0时，若存在正实数m，使对任意x∈（0，m），都有|f（x）﹣g （x）|＞2x恒成立，求k的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，已知直线l：（t为参数）与椭圆C：（θ为参数）相交于不同的两点A，B．（Ⅰ）若，求线段AB中点M的坐标；（Ⅱ）若，其中为椭圆的右焦点P，求直线l的斜率．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=2|x﹣1|﹣a，g（x）=﹣|x+m|（a，m∈R），若关于x的不等式g（x）＞﹣1的整数解有且仅有一个值为﹣3．（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象恒在函数y=g（x）的图象上方，求实数a的取值范围．2017年江西省九江市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解+析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数为纯虚数（i虚数单位），则实数a=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：∵为纯虚数，∴=0，≠0，∴a=﹣1，故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．已知集合M={x|x2≤1}，N={x|log2x＜1}，则M∩N=（）A．[﹣1，2）B．[﹣1，1]C．（0，1] D．（﹣∞，2）【考点】交集及其运算．【分析】解不等式求出集合M，求函数定义域得出集合N，再根据交集的定义写出M∩N．【解答】解：集合M={x|x2≤1}={x|﹣1≤x≤1}，N={x|log2x＜1}={x|0＜x＜2}，则M∩N={x|0＜x≤1}．故选：C．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．3．设等比数列{a n}的前n项和为S n，且满足a6=8a3，则=（）A．4 B．5 C．8 D．9【考点】等比数列的前n项和．【分析】由a6=8a3，利用等比数列项公式q=2，由此能求出．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，且满足a6=8a3，∴=q3=8，解得q=2，∴==1+q3=9．故选：D．【点评】本题考查等差数列的前6项和与前3项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．4．掷一枚均匀的硬币4次，出现正面向上的次数不少于反面向上的次数的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数n=24=16，再求出出现正面向上的次数不少于反面向上的次数包含的基本事件个数，由此能求出出现正面向上的次数不少于反面向上的概率．【解答】解：掷一枚均匀的硬币4次，基本事件总数n=24=16，出现正面向上的次数不少于反面向上的次数包含的基本事件个数为：m==11，∴出现正面向上的次数不少于反面向上的概率P=．故选：D．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．5．若双曲线mx2+2y2=2的虚轴长为4，则该双曲线的焦距为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意，将双曲线的方程变形可得，由双曲线的几何性质，分析可得，代入双曲线的方程可得双曲线的标准方程，计算可得c的值，由焦距的定义即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：mx2+2y2=2，变形可得，又由其虚轴长为4，则有，即，则双曲线的标准方程为：y2﹣=1，其中c==，则双曲线的焦距2c=，故选A．【点评】本题考查双曲线的几何性质，关键是利用双曲线的标准方程，求出m 的值．6．已知函数f（x）=，给出下列两个命题：命题p：∃m∈（﹣∞，0），方程f（x）=0有实数解；命题q：当m=时，f（f（﹣1））=0，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．（￢p）∧q C．p∧（￢q）D．（￢p）∧（￢q）【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据已知中的分段函数，分别判断命题p，q的真假，进而根据复合命题真假判断的真值表，可得答案．【解答】解：∵函数f（x）=，当x＜0时，f（x）=2x∈（0，1），不存在满足f（x）=0的x值；当x≥0时，f（x）=0时，m=x2∈[0，+∞），故命题p为假命题．当m=时，f （f （﹣1））=f （）=0 ∴命题q 为真命题，故命题p ∧q ，p ∧（￢q ），（￢p ）∧（￢q ）均为假命题， （￢p ）∧q 为真命题， 故选B ．【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，分段函数的图象和性质，难度中档．7．函数f （x ）=（1﹣cosx ）•sinx ，x ∈[﹣2π，2π]的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】函数的图象．【分析】利用排除法，即可求解．【解答】解：函数f （x ）为奇函数，故排除B ． 又x ∈（0，π）时，f （x ）＞0，故排除D ．又f （）=＞1，故排除A ．故选C ．【点评】本题考查函数的图象，考查排除法的运用，属于中档题．8．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某一无上盖几何体的三视图，则该几何体的表面积等于（ ）A．39πB．48πC．57πD．63π【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体为圆柱中挖去一个圆锥，画出直观图，数形结合可得答案．【解答】解：该几何体直观图为圆柱中挖去一个圆锥，如图所示，∴该几何体的表面积为S==48π，故选B．【点评】本题考查的知识点是圆柱的体积和表面积，圆锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档．9．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）A．12 B．24 C．36 D．48【考点】程序框图．【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：B．【点评】本题考查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于基础题．10．设x，y满足约束条件，若z=ax+2y仅在点（，）处取得最大值，则a的值可以为（）A．﹣8 B．﹣4 C．4 D．8【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，求出顶点坐标，利用z=ax+2y仅在点（，）处取得最大值，利用斜率关系求解即可．【解答】解：如图所示，约束条件所表示的区域为图中阴影部分：其中A（1，0），B（，），C（1，4），依题意z=ax+2y仅在点（，）处取得最大值，可得，即，a＞4．故选：D．【点评】本题考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．11．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的上下顶点分别为A，B，右顶点为C，右焦点为F，延长BF与AC交于点P，若O，F，P，A四点共圆，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由O，F，P，A四点共圆得，即AC⊥BP，∴，b2=ac，e2+e﹣1=0【解答】解：如图所示，∵O，F，P，A四点共圆，，∴，即AC⊥BP，∴，∴b2=ac，a2﹣c2=ac，∴e2+e﹣1=0，，故选C．【点评】本题考查了椭圆的离心率，运用平面几何知识及椭圆定义是解题关键，属于基础题．12．已知函数f（x）=，若关于x的不等式f2（x）+af（x）＞0恰有两个整数解，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，﹣）B．[，）C．（﹣，﹣]D．（﹣1，﹣]【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出原函数的导函数，得到函数f（x）的单调区间，再由f2（x）+af（x）＞0求得f（x）的范围，结合函数f（x）的单调性可得使不等式f2（x）+af（x）＞0恰有两个整数解的实数a的取值范围．【解答】解：∵f′（x）=，∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，当a＞0时，f2（x）+af（x）＞0⇔f（x）＜﹣a或f（x）＞0，此时不等式f2（x）+af（x）＞0有无数个整数解，不符合题意；当a=0时，f2（x）+af（x）＞0⇔f（x）≠0，此时不等式f2（x）+af（x）＞0有无数个整数解，不符合题意；当a＜0时，f2（x）+af（x）＞0⇔f（x）＜0或f（x）＞﹣a，要使不等式f2（x）+af（x）＞0恰有两个整数解，必须满足f（3）≤﹣a＜f（2），得＜a≤，故选：C．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查一元二次不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想方法，属中档题．二、填空题（2017•九江一模）已知为单位向量，若|+|=|﹣|，则在+方向上的投影为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由|+|=|﹣|得出⊥，再由、是单位向量得出与+的夹角为45°，由投影的定义写出运算结果即可．【解答】解：∵为单位向量，且|+|=|﹣|，∴=，化简得•=0，∴⊥；∴与+的夹角为45°，∴在+方向上的投影为||cos45°=1×=．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的数量积与投影的定义和应用问题，是基础题目．14．二项式（x3﹣）6的展开式中含x﹣2项的系数是﹣192．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项式展开式的通项公式，令x的指数等于﹣2，求出r的值，即可求出展开式中含x﹣2项的系数．【解答】解：二项式（x3﹣）6展开式的通项公式为：T r=•（x3）6﹣r•=•（﹣2）r•x18﹣4r，+1令18﹣4r=﹣2，得r=5，∴展开式中含x﹣2项的系数是：•（﹣2）5=﹣192．故答案为：﹣192．【点评】本题考查了二项式展开式通项公式的应用问题，是基础题目．15．已知A，B，C是球O的球面上三点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为1，则球O的体积为8π．【考点】球的体积和表面积．【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点且∠AOB=90°时，三棱锥O﹣ABC 的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为1，求出半径，即可求出球O 的体积．【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点且∠AOB=90°时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V O﹣ABC =V C﹣AOB==1，∴R3=6，则球O的体积为=8π．故答案为8π．【点评】本题考查球的半径，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大是关键．16．已知数列{a n}为等差数列，a1=1，a n＞0，其前n项和为S n，且数列也为等差数列，设b n=，则数列{b n}的前n项和T n=1﹣．【考点】数列的求和．【分析】设等差数列{a n}的公差为d（d≥0），数列为等差数列，取前3项成等差数列，解方程可得d=2，运用等差数列的通项公式和求和公式，可得a n，求得b n===﹣，运用数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理即可得到所求和．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d（d≥0），∵，，成等差数列，∴，解得d=2，∴a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，S n==n2，=n，故数列为等差数列，b n===﹣，则前n项和T n=﹣+﹣+…+﹣=1﹣．故答案为：1﹣．【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，以及化简整理的运算能力，属于中档题，三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）（2017•九江一模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知3b=4c，B=2C．（Ⅰ）求sinB的值；（Ⅱ）若b=4，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知及二倍角的正弦函数公式，正弦定理得6sinCcosC=4sinC，由于sinC≠0，可求cosC，进而可求sinC，sinB的值．（Ⅱ）解法一：由已知可求c，利用二倍角的余弦函数公式可求cosB，利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可求sinA，进而利用三角形面积公式即可得解；解法二：由已知可求c，由余弦定理解得a，分类讨论，利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：（Ⅰ）由3b=4c 及正弦定理得3sinB=4sinC ， ∵B=2C ，∴3sin2C=4sinC ，即6sinCcosC=4sinC ， ∵C ∈（0，π）， ∴sinC ≠0，∴cosC=，sinC=，∴sinB=sinC=．（Ⅱ）解法一：由3b=4c ，b=4，得c=3且cosB=cos2C=2cos 2C ﹣1=﹣，∴sinA=sin （B +C ）=sinBcosC +cosBsinC=+（﹣）×=，∴S △ABC =bcsinA==．解法二：由3b=4c ，b=4，得c=3，由余弦定理c 2=a 2+b 2﹣2abcosC ，得32=a 2+42﹣2a ×，解得a=3或a=，当a=3时，则△ABC 为等腰三角形A=C ，又A +B +C=180°，得C=45°，与cosC=矛盾，舍去，∴a=，∴S △ABC =absinC==．【点评】本题主要考查了二倍角的正弦函数公式，正弦定理，二倍角的余弦函数公式，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想和分类讨论思想，属于基础题．18．（12分）（2017•九江一模）在高三一次数学测验后，某班对选做题的选题情况进行了统计，如表．（Ⅰ）求全班选做题的均分；（Ⅱ）据此判断是否有90%的把握认为选做《坐标系与参数方程》或《不等式选讲》与性别有关？（Ⅲ）已知学习委员甲（女）和数学科代表乙（男）都选做《不等式选讲》．若在《不等式选讲》中按性别分层抽样抽取3人，记甲乙两人被选中的人数为，求的数学期望．参考公式：，n=a+b+c+d．下面临界值表仅供参考：【考点】独立性检验的应用；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）根据表中数据，计算全班选做题的平均分即可；（Ⅱ）由表中数据计算观测值，对照临界值表得出结论；（Ⅲ）计算学习委员甲被抽取的概率和数学科代表乙被抽取的概率，从而得出甲乙两人均被选中的概率．【解答】解：（Ⅰ）根据表中数据，计算全班选做题的平均分为=×（14×8+8×6.5+6×7+12×5.5）=6.8．（Ⅱ）由表中数据计算观测值：==≈3.636＞2.706，所以，据此统计有90%的把握认为选做《坐标系与参数方程》或《不等式选讲》与性别有关．（Ⅲ）学习委员甲被抽取的概率为，设《不等式选讲》中6名男同学编号为乙，1，2，3，4，5；从中随机抽取2人，共有15种抽法：乙与1，乙与2，乙与3，乙与4，乙与5，1与2，1与3，1与4，1与5，2与3，2与4，2与5，3与4，3与5，4与5，数学科代表乙被抽取的有5种：乙与1，乙与2，乙与3，乙与4，乙与5，数学科代表乙被抽取的概率为=，∴甲乙两人均被选中的概率为×=．【点评】本题考查了对立性检验和列举法计算古典概型的概率问题，是基础题目．19．（12分）（2017•九江一模）如图所示，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A′，O为A′D的中点，连接EF，EO，FO．（Ⅰ）求证：A′D⊥EF；（Ⅱ）求直线BD与平面OEF所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）通过证明A'D⊥A'E，A'D⊥A'F，推出A'D⊥平面A'EF，然后证明A'D⊥EF．（Ⅱ）说明A'E⊥A'F，A'D⊥平面A'EF，以A'E，A'F，A'D为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系A'﹣xyz，求出相关点的坐标，求出平面OEF的一个法向量，然后利用空间向量的数量积求解直线BD与平面OEF所成角的正弦值即可．【解答】解：（Ⅰ）在正方形ABCD中，有AD⊥AE，CD⊥CF则A′D⊥A′E，A′D⊥A′F…（4分）又A′E∩A′F=A′∴A′D⊥平面A′EF…（6分）而EF⊂平面A′EF，∴A′D⊥EF．（Ⅱ）∵正方形ABCD的边长为2，点E是AB的中点，点F是BC的中点，∴BE=BF=A′E=A′F=1∴EF=，∴A′E2+A′F2=EF2，∴A′E⊥A′F由（Ⅰ）得A′D⊥平面A′EF，∴分别以A′E，A′F，A′D为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系A′﹣xyz，…（9分）则A′（0，0，0），F（1，0，0），E（0，1，0），D（0，0，2），设EF与BD相交于G，则G为EF的中点，∴O（0，0，1），G（，，0），=（0，1，﹣1），=（1，0，﹣1），=（，，﹣2），设平面OEF的一个法向量为=（x，y，z），则由，可取=（1，1，1），令直线DG与平面OEF所成角为α，∴sinα==，∴直线BD与平面OEF所成角的正弦值．【点评】本题考查空间向量数量积的应用，直线与平面所成角的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．20．（12分）（2017•九江一模）如图所示，抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过点F且斜率存在的直线l交抛物线C于A，B两点，已知当直线l的斜率为1时，|AB|=8．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过点A作抛物线C的切线交直线x=于点D，试问：是否存在定点M在以AD为直径的圆上？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】（Ⅰ）由题意设出直线l的方程，与抛物线方程联立，再由抛物线的焦点弦长公式列式求得p，则抛物线方程可求；（Ⅱ）设出A的坐标，得到过A点的切线方程，与抛物线方程联立，利用判别式等于0把切线的斜率用A的纵坐标表示，进一步求得D点坐标，得到以AD为直径的圆的方程，从而得到存在定点M（1，0）在以AD为直径的圆上．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，直线l的方程为y=x﹣，联立方程，消去y整理得，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=3p，故|AB|=x1+x2+p=4p=8，∴p=2，∴抛物线C方程为y2=4x；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线x=﹣即x=﹣1，A（）（y1≠0），设切线方程为，联立方程，消去x得：，∵△=，∴，即k=，∴切线方程为，则4x﹣，令x=﹣1，得，即D（﹣1，），∴以AD为直径的圆为，由抛物线的对称性，若以AD为直径的圆经过定点，则此定点一定在x轴上，∴令y=0，得，得x=1，故存在定点M（1，0）在以AD为直径的圆上．【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与圆、直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，属中档题．21．（12分）（2017•九江一模）设函数f（x）=e2x，g（x）=kx+1（k∈R）．（Ⅰ）若直线y=g（x）和函数y=f（x）的图象相切，求k的值；（Ⅱ）当k＞0时，若存在正实数m，使对任意x∈（0，m），都有|f（x）﹣g （x）|＞2x恒成立，求k的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）设切线的坐标为（t，e2t），得到（1﹣2t）e2t=1，令h（x）=（1﹣x）e x，根据函数的单调性求出k的值即可；（Ⅱ）通过讨论k的范围，结合对任意x∈（0，m），都有|f（x）﹣g（x）|＞2x恒成立以及函数的单调性求出对应的函数的单调区间，求出k的具体范围即可．【解答】解：（Ⅰ）设切线的坐标为（t，e2t），由f（x）=e2x得f′（x）=2e2x，∴切线方程为y﹣e2t=2e2t（x﹣t），即y=2e2t x+（1﹣2t）e2t，由已知y=2e2t x+（1﹣2t）e2t和y=kx+1为同一条直线，∴2e2t=k，（1﹣2t）e2t=1，令h（x）=（1﹣x）e x，则h′（x）=﹣xe x，当x∈（﹣∞，0）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，当x∈（0，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，∴h（x）≤h（0）=1，当且仅当x=0时等号成立，∴t=0，k=2，（Ⅱ）①当k＞2时，由（Ⅰ）知：存在x＞0，使得对于任意x∈（0，x0），都有f（x）＜g（x），则不等式|f（x）﹣g（x）|＞2x等价于g（x）﹣f（x）＞2x，即（k﹣2）x+1﹣e2x＞0，设t（x）=（k﹣2）x+1﹣e2x，t′（x）=k﹣2﹣2e2x，由t′（x）＞0，得：x＜ln，由t′（x）＜0，得：x＞ln，若2＜k≤4，ln≤0，∵（0，x0）⊆（ln，+∞），∴t（x）在（0，x0）上单调递减，注意到t（0）=0，∴对任意x∈（0，x0），t（x）＜0，与题设不符，若k＞4，ln＞0，（0，ln）⊆（﹣∞，ln），∴t（x）在（0，ln）上单调递增，∵t（0）=0，∴对任意x∈（0，ln），t（x）＞0，符合题意，此时取0＜m≤min{x0，ln}，可得对任意x∈（0，m），都有|f（x）﹣g （x）|＞2x，②当0＜k≤2时，由（Ⅰ）知e2x﹣（2x+1）≥0，（x＞0），f（x）﹣g（x）=e2x﹣（2x+1）+（2﹣k）x≥（2﹣k）x≥0对任意x＞0都成立，∴|f（x）﹣g（x）|＞2x等价于e2x﹣（k+2）x﹣1＞0，设φ（x）=e2x﹣（k+2）x﹣1，则φ′（x）=2e2x﹣（k+2），由φ′（x）＞0，得x＞ln＞0，φ′（x）＜0得x＜ln，∴φ（x）在（0，ln）上单调递减，注意到φ（0）=0，∴对任意x∈（0，ln），φ（x）＜0，不符合题设，综上所述，k的取值范围为（4，+∞）．【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、转化思想、是一道综合题．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2017•九江一模）在直角坐标系xOy中，已知直线l：（t为参数）与椭圆C：（θ为参数）相交于不同的两点A，B．（Ⅰ）若，求线段AB中点M的坐标；（Ⅱ）若，其中为椭圆的右焦点P，求直线l的斜率．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）将椭圆C化为普通方程得，当时，设点M对应的参数为t0，直线l代入方程+y2=1，得，由此能求出点M的坐标．（Ⅱ），将l：代入方程，得，由此利用弦长公式能求出直线l的斜率．【解答】解：（Ⅰ）将椭圆C：化为普通方程得，当时，设点M对应的参数为t0，直线l的参数方程为（t为参数），代入方程+y2=1中，并整理得，设直线l上的点A，B对应的参数分别为t1，t2，，则，∴点M的坐标为．（Ⅱ），将l ：代入方程中， 得， ∴，，∴|AB |=|t 1|+|t 2|=|t 1﹣t 2|===，由，得，，，，∴直线l 的斜率为． 【点评】本题考查线段中点坐标的求法，考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆、参数方程、直线性质的合理运用．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•九江一模）已知函数f （x ）=2|x ﹣1|﹣a ，g （x ）=﹣|x +m |（a ，m ∈R ），若关于x 的不等式g （x ）＞﹣1的整数解有且仅有一个值为﹣3． （Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）若函数y=f （x ）的图象恒在函数y=g （x ）的图象上方，求实数a 的取值范围．【考点】绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）由条件解绝对值不等式可得﹣1﹣m ＜x ＜1﹣m ，再根据不等式的整数解有且仅有一个值为﹣3，可得﹣4≤﹣1﹣m ＜﹣3＜1﹣m ≤﹣2，由此求得m 的值．（Ⅱ）由题意可得2|x ﹣1|+|x +3|＞a 对任意x ∈R 恒成立，利用分段函数的性质求得2|x ﹣1|+|x +3|的最小值，可得a 的范围．【解答】解：（Ⅰ）由g （x ）＞﹣1，即﹣|x +m |＞﹣1，|x +m |＜1，∴﹣1﹣m＜x＜1﹣m，∵不等式的整数解有且仅有一个值为﹣3，则﹣4≤﹣1﹣m＜﹣3＜1﹣m≤﹣2，解得m=3．（Ⅱ）因为y=f（x）的图象恒在函数y=g（x）的图象上方，故f（x）﹣g（x）＞0，∴2|x﹣1|+|x+3|＞a对任意x∈R恒成立，设h（x）=2|x﹣1|+|x+3|，则，∴h（x）在（﹣∞，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，∴当x=1时，h（x）取得最小值4，∴4＞a，∴实数a的取值范围是（﹣∞，4）．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，分段函数的应用，属于中档题．。