第七章随机事件与概率
高中数学第7章概率1随机现象与随机事件1.3随机事件1.4随机事件的运算学案含解析北师大版第一册
1.3 随机事件1.4随机事件的运算学习目标核心素养1。
理解随机事件与样本点的关系．(重点)2．了解随机事件的交、并与互斥的含义，能结合实例进行随机事件的交、并运算．(难点、易混点）1．通过对随机、必然、不可能事件等概念的学习，培养数学抽象素养．2．通过学习事件的运算法则，培养数学建模素养．1．三种事件的定义事件随机事件一般地，把试验E的样本空间Ω的子集称为E的随机事件，简称事件,常用A，B，C等表示．在每次试验中，当这一事件发生时，这一子集中的样本点必出现其中一个;反之，当这一子集中的一个样本点出现时,这一事件必然发生必然样本空间Ω是其自身的子集，因此Ω也是一个事件；又因为它包含所有的样本点，每次试验无论哪个样本事件点ω出现，Ω都必然发生，因此称Ω为必然事件不可能事件空集∅也是Ω的一个子集，可以看作一个事件；由于它不包含任何样本点，它在每次试验中都不会发生，故称∅为不可能事件2。
随机事件的运算事件的运算定义图形表示符号表示交事件一般地,由事件A与事件B都发生所构成的事件，称为事件A与事件B的交事件（或积事件）A∩B（或AB）并事件一般地，由事件A与事件B至少有一个发生所构成的事件，称为事件A与事件B的并事件(或和事件）A∪B（或A＋B)3。
互斥事件与对立事件事件的运算定义图形表示符号表示互斥事件一般地，不能同时发生的两个事件A与B（A∩B＝∅)称为互斥事件．它可以理解为A，B同时发生这一事件是不可能事件A∩B＝∅对立事件若A与B互斥(A∩B＝∅)，且A∪B＝Ω，则称事件A与事件B互为对立事件，事件A的对立事件记作错误!A∩B＝∅且A∪B＝Ω思考：1.一颗骰子投掷一次，记事件A＝{出现的点数为2}，事件C＝{出现的点数为偶数}，事件D＝｛出现的点数小于3}，则事件A，C，D有什么关系？提示：A＝C∩D.2．命题“事件A与B为互斥事件”与命题“事件A与B为对立事件”之间是什么关系？（指充分性与必要性）提示：根据互斥事件和对立事件的概念可知，“事件A与B为互斥事件”是“事件A与B为对立事件”的必要不充分条件．1．从装有3个红球和4个白球的口袋中任取3个小球,则下列选项中两个事件是互斥事件的为(）A．“都是红球”与“至少一个红球"B．“恰有两个红球”与“至少一个白球"C．“至少一个白球”与“至多一个红球”D．“两个红球，一个白球”与“两个白球，一个红球”D[A,B，C中两个事件都可以同时发生，只有D项,两个事件不可能同时发生,是互斥事件．]2．抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则(）A．A⊆BB．A＝BC．A＋B表示向上的点数是1或2或3D．AB表示向上的点数是1或2或3C［设A＝{1，2}，B＝{2，3}，A∩B＝{2}，A∪B＝{1，2,3}，∴A＋B表示向上的点数为1或2或3.]3．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件：①在这200件产品中任意选9件,全部是一级品；②在这200件产品中任意选9件，全部都是二级品；③在这200件产品中任意选9件，不全是一级品．其中_______是随机事件；_______是不可能事件．（填序号）①③②［因为二级品只有8件，故9件产品不可能全是二级品,所以②是不可能事件．］事件类型的判断【例1】指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件．(1)某人购买福利彩票一注，中奖500万元；(2）三角形的内角和为180°;（3)没有空气和水，人类可以生存下去;（4)同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上；(5）从分别标有1,2，3，4的四张标签中任取一张，抽到1号标签;（6）科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现．［解］（1)购买一注彩票，可能中奖,也可能不中奖,所以是随机事件．（2)所有三角形的内角和均为180°，所以是必然事件．（3)空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水,人类无法生存，所以是不可能事件．（4）同时抛掷两枚硬币一次，不一定都是正面向上，所以是随机事件．(5）任意抽取，可能得到1，2，3,4号标签中的任一张,所以是随机事件．(6）由能量守恒定律可知,不需任何能量的“永动机”不会出现，所以是不可能事件．判断一个事件是哪类事件的方法判断一个事件是哪类事件要看两点：一看条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的；二看结果是否发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件．［跟进训练］1．下列事件不是随机事件的是(）A．东边日出西边雨B．下雪不冷化雪冷C．清明时节雨纷纷D．梅子黄时日日晴B［B是必然事件,其余都是随机事件．］事件关系的判断【例2】某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．（1）“恰有1名男生"与“恰有2名男生”；（2)“至少有1名男生”与“全是男生”；（3)“至少有1名男生"与“全是女生”;(4）“至少有1名男生”与“至少有1名女生"．[解]从3名男生和2名女生中任选2人有如下三种结果：2名男生，2名女生,1男1女．(1)“恰有一名男生"指1男1女，与“恰有2名男生”不能同时发生，它们是互斥事件；但是当选取的结果是2名女生时，两个事件都不发生，所以它们不是对立事件．（2)“至少一名男生”包括2名男生和1男1女两种结果,与事件“全是男生”可能同时发生，所以它们不是互斥事件．(3）“至少一名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥，由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．（4）“至少有一名女生”包括1男1女与2名女生两种结果，当选出的是1男1女时，“至少有一名男生"与“至少有一名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．判断事件间关系的方法(1)要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立，其发生的条件都是一样的．(2)考虑事件间的结果是否有交事件,可考虑利用Venn图分析,对较难判断关系的，也可列出全部结果,再进行分析．［跟进训练］2．从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件，观察正品件数与次品件数，判断下列每个事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．（1)“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”；（2)“至少有1件次品"和“全是次品”；(3)“至少有1件正品"和“至少有1件次品"．［解］依据互斥事件的定义，即事件A与事件B在一次试验中不会同时发生可知：（1)中恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发生,因此它们是互斥事件，又因为它们的和事件不是必然事件,所以它们不是对立事件；同理可以判断（2)中的2个事件不是互斥事件,从而也不是对立事件；(3)中的2个事件不是互斥事件，从而也不是对立事件．事件的运算［探究问题]1．事件的运算与集合的运算有什么对应关系？［提示］由事件A与事件B都发生所构成的事件，称为事件A与事件B的交事件，对应集合A与集合B的公共元素构成的集合为A∩B；由事件A与事件B至少有一个发生所构成的事件，称为事件A与事件B的并事件,对应由集合A或集合B中的元素组成的集合为A∪B。
随机事件及概率
随机事件及概率随机事件和概率是概率论中的重要概念，它们在生活中的应用广泛。
随机事件是指在一次试验中可能发生，也可能不发生的事件。
概率则是衡量某一随机事件发生的可能性大小。
一、随机事件随机事件是指在一次试验中可能发生，也可能不发生的事件。
试验是指根据一定规则进行的观察或者操作。
比如，掷一枚硬币的试验就是一个典型的例子。
在这个试验中，硬币可能正面朝上，也可能反面朝上，因此，正面朝上和反面朝上就是两个可能发生的随机事件。
在概率论中，将一个试验的所有可能结果组成的集合称为样本空间，用S表示。
而样本空间中的每一个元素都是一个基本事件，它是试验的一个可能结果。
在掷硬币的试验中，样本空间就是{正面，反面}，而正面和反面就是样本空间中的两个基本事件。
根据随机事件的性质，可以将随机事件分为互斥事件和不互斥事件。
互斥事件是指两个事件不可能同时发生，而不互斥事件则是指两个事件可能同时发生。
在掷硬币的试验中，正面朝上和反面朝上就是互斥事件，因为硬币不可能同时正面朝上和反面朝上；而正面朝上和出现头像的事件就是不互斥事件，因为硬币可能正面朝上同时出现头像。
二、概率概率是衡量随机事件发生可能性大小的数值。
概率的取值范围在0到1之间，其中0表示不可能发生，1表示肯定发生。
在概率论中，用P(A)表示事件A发生的概率。
根据概率的定义可以推导出概率的性质，即：1. 随机事件的概率大于等于0，即对于任意事件A，有P(A)≥0。
2. 样本空间的概率为1，即P(S)=1。
3. 若A和B是互斥事件，则P(A∪B)=P(A)+P(B)。
4. 若A和B是不互斥事件，则P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。
概率可以通过频率和几何两种方法来计算。
频率方法是指根据大量实验中某一事件发生的次数来估计概率大小。
比如，掷硬币的试验中，可以多次进行掷硬币的操作，然后统计正面和反面朝上的次数来估计正面朝上和反面朝上的概率。
几何方法是指通过样本空间的几何性质来计算概率大小。
第七章第45讲 随机事件的概率
根据互斥事件的概率加法公式，有 P(B′＋D′)＝ P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.
(2)法一：由于 A，AB 型血不能输给 B 型血的人， 故“不能输给 B 型血的人”为事件 A′＋C′，且 P(A′ ＋C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.
第45讲 随机事件的概率
【学习目标】 1．了解事件和、积、互斥、对立事件． 2．了解频率与概率． 3．掌握互斥与对立事件的概率计算．
【基础检测】 1．①做 n 次随机试验，事件 A 发生了 m 次，则 事件 A 发生的频率是mn ； ②当实验次数越来越大时，事件 A 发生的频率越 来越稳定，越来越接近于事件 A 发生的概率； ③概率是反映事件发生的可能性大小，但事件的 频率可用来近似估计概率； ④频率与试验次数无关，概率与实验次数有关． 以上说法正确的有( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是132＝14， 122＝16，132＝14.
例3黄种人群中各种血型的人所占的比例如下表
所示：
血型
A B AB O
该血型的人所占比例/% 28 29 8 35
已知同种血型的人可以输血，O 型血可以输给任
一种血型的人，任何人的血都可以输给 AB 型血的人，
其他不同血型的人不能互相输血．小明是 B 型血，若
A∩B(或 AB)
A∩B＝
A∩B＝ 且 A∪B＝Ω (Ω 包含试验 的全部结果)
A∩B
A∩B＝
A是B的补集 A＝∁UB B＝∁UA
3.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围为：__[_0_，__1_] _． (2)必然事件的概率为____1___，不可能事件的概 率为____0___． (3)互斥事件概率的加法公式： 如果事件 A 与事件 B 互斥， 则 P(A∪B)＝_____P__(A__)＋__P__(B__) ____； 如果事件 A1，A2，A3，…，An 彼此互斥，则 P(A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ … ∪ An) ＝ _____P_(_A_1_)_＋__P_(A__2_)＋__P_(_A__3)_＋__…__＋__P_(_A_n_)______； 特别地，若事件 B 与事件 A 互为对立事件，则 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1，得 P(A)＝___1_－__P_(_B_)____．
随机事件及其概率(知识点总结)
随机事件及其概率一、随机事件1、必然事件在一定条件下，必然会发生的事件叫作必然事件.2、不可能事件在一定条件下，一定不会发生的事件叫作不可能事件.3、随机事件在一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件叫作随机事件，一般用大写字母A，B，C来表示随机事件.4、确定事件必然事件和不可能事件统称为相对于随机事件的确定事件.5、试验为了探索随机现象发生的规律，就要对随机现象进行观察或模拟，这种观察或模拟的过程就叫作试验.【注】（1）在一定条件下，某种现象可能发生，也可能不发生，事先并不能判断将出现哪种结果，这种现象就叫作随机现象. 应当注意的是，随机现象绝不是杂乱无章的现象，这里的“随机”有两方面意思：①这种现象的结果不确定，发生之前不能预言；②这种现象的结果带有偶然性. 虽然随机现象的结果不确定，带有某种偶然性，但是这种现象的各种可能结果在数量上具有一定的稳定性和规律性，我们称这种规律性为统计规律性. 统计和概率就是从量的侧面去研究和揭示随机现象的这种规律性，从而实现随机性和确定性之间矛盾的统一.（2）必然事件与不可能事件反映的是在一定条件下的确定性现象，而随机事件反映的则是在一定条件下的随机现象.（3）随机试验满足的条件：可以在相同条件下重复进行；所有结果都是明确可知的，但不止一个；每一次试验的结果是可能结果中的一个，但不确定是哪一个. 随机事件也可以简称为事件，但有时为了叙述的简洁性，也可能包含不可能事件和必然事件.二、基本事件空间1、基本事件在试验中不能再分的最简单的随机事件，而其他事件都可以用它们进行描述，这样的事件称为基本事件.2、基本事件空间所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，常用大写字母Ω来表示，Ω中的每一个元素都是一个基本事件，并且Ω中包含了所有的基本事件.【注】基本事件是试验中所有可能发生的结果的最小单位，它不能再分，其他的事件都可以用这些基本事件来表示；在写一个试验的基本事件空间时，应注意每个基本事件是否与顺序有关系；基本事件空间包含了所有的基本事件，在写时应注意不重复、不遗漏.三、频率与概率1、频数与频率在相同条件S 下进行了n 次试验，观察某一事件A 是否出现，则称在n 次试验中事件A 出现的次数A n 为事件A 出现的频数；事件A 出现的比例()A n n f A n =为事件A 出现的频率.对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数n 的增加，事件A 发生的频率()n f A 稳定在某个常数上，则把这个常数称为事件A 的概率，简称为A 的概率，记作()P A .3、频率与概率的关系（1）频率虽然在一定程度上可以反映事件发生的可能性的大小，但频率并不是一个完全确定的数. 随着试验次数的不同，产生的频率也可能不同，所以频率无法从根本上刻画事件发生的可能性的大小，但人们从大量的重复试验中发现：随着试验次数的无限增加，事件发生的频率会稳定在某一固定的值上，即在无限次重复试验下，频率具有某种稳定性.（2）概率是一个常数，它是频率的科学抽象. 当试验次数无限多时，所得到的频率就会近似地等于概率. 另外，概率大，并不表示事件一定会发生，只能说明事件发生的可能性大，但在一次试验中却不一定会发生.四、事件的关系与运算1、包含关系一般地，对于事件A 与事件B ，如果事件A 发生时，事件B 一定发生，则我们称 事件B 包含事件A （或称事件A 包含于事件B ），记作B A ⊇（或A B ⊆）.2、相等关系一般地，对于事件A 与事件B ，如果事件A 发生时，事件B 一定发生，并且如果事件B 发生时，事件A 一定发生，即若B A ⊇且A B ⊇，则我们称事件A 与事件B 相等，记作A B =.3、并事件如果某事件发生当且仅当事件A 或事件B 发生，则我们称该事件为事件A 与事件B 的并事件（或和事件），记作A B ⋃（或A B +）.如果某事件发生当且仅当事件A发生且事件B也发生，则我们称该事件为事件A 与事件B的交事件（或积事件），记作A B⋅）.⋂（或A B5、互斥事件如果事件A与事件B的交事件A B⋂=∅），则我们称事⋂为不可能事件（即A B件A与事件B互斥，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中都不会同时发生.6、对立事件如果事件A与事件B的交事件A B⋂=∅），而事件A与⋂为不可能事件（即A B事件B的并事件A B⋃=Ω），则我们称事件A与事件B互⋃为必然事件（即A B为对立事件，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生.【注】事件的关系与运算可以类比集合的关系与运算. 例如，事件A包含事件B 类比集合A包含集合B；事件A与事件B相等类比集合A与集合B相等；事件A 与事件B的并事件类比集合A与集合B的并集；事件A与事件B的交事件类比集合A与集合B的交集……五、互斥事件与对立事件互斥事件与对立事件是今后考察的重点，因此关于互斥事件与对立事件，我们很有必要再作进一步的说明.1、互斥事件与对立事件的关系互斥事件与对立事件都反映的是两个事件之间的关系. 互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除了要求这两个事件不同时发生以外，还要求这两个事件必须有一个发生. 因此，对立事件一定是互斥事件，而互斥事件不一定是对立事件. 例如，掷一枚骰子，事件：“出现的点数是1”与事件：“出现的点数是偶数”是互斥事件，但不是对立事件；而事件：“出现的点数是奇数”与事件：“出现的点数是偶数”既是互斥事件，也是对立事件.2、互斥事件的概率加法公式（1）两个互斥事件的概率之和如果事件A 与事件B 互斥，那么()()()P A B P A P B ⋃=+；（2）有限多个互斥事件的概率之和一般地，如果事件1A ，2A ，…，n A 两两互斥，那么事件“12n A A A ⋃⋃⋃L 发生”（指事件1A ，2A ，…，n A 中至少有一个发生）的概率等于这n 个事件分别发生的概率之和，即1212()()()()n n P A A A P A P A P A ⋃⋃⋃=+++L L .【注】上述这两个公式叫作互斥事件的概率加法公式. 在运用互斥事件的概率加法公式时，一定要首先确定各事件是否彼此互斥（如果这个条件不满足，则公式不适用），然后求出各事件分别发生的概率，再求和.3、对立事件的概率加法公式对于对立的两个事件A 与B 而言，由于在一次试验中，事件A 与事件B 不会同时发生，因此事件A 与事件B 互斥，并且A B ⋃=Ω，即事件A 或事件B 必有一个发生，所以对立事件A 与B 的并事件A B ⋃发生的概率等于事件A 发生的概率与事件B 发生的概率之和，且和为1，即()()()()1P P A B P A P B Ω=⋃=+=，或()1()P A P B =-.【注】上述这个公式为我们求事件A 的概率()P A 提供了一种方法，当我们直接求()P A 有困难时，可以转化为先求其对立事件B 的概率()P B ，再运用公式()1()P A P B =-即可求出所要求的事件A 的概率()P A .4、求复杂事件的概率的方法求复杂事件的概率通常有两种方法：一种是将所求事件转化为彼此互斥的事件的和，然后再运用互斥事件的概率加法公式进行求解；另一种是先求其对立事件的概率，然后再运用对立事件的概率加法公式进行求解. 如果采用方法一，一定要准确地将所求事件拆分成若干个两两互斥的事件，不能有重复和遗漏；如果采用方法二，一定要找准所求事件的对立事件，并准确求出对立事件的概率.六、概率的基本性质1、任何事件的概率都在01:之间，即对于任一事件A ，都有0()1P A ≤≤.2、必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0.3、若事件A 与事件B 互斥，则()()()P A B P A P B ⋃=+.4、两个对立事件的概率之和为1，即若事件A 与事件B 对立，则()()1P A P B +=.。
随机事件的概率课件
计算概率的方法
古典概率
古典概率是根据事件发生的 基本原理来计算概率的方法， 适用于可列举的样本空间和 等可能的事件。
几何概率
几何概率是通过几何形状和 空间来计算概率的方法，适 用于连续随机变量和连续样 本空间。
统计概率
统计概率是基于实验数据和 频率来计算概率的方法，适 用于无法列举样本空间和复 杂事件。
工程学
概率在工程学中帮助评估系统可靠性、风险分 析和决策制定，以确保工程项目的成功。
总结和复习
本课程将回顾重点内容，帮助学生巩固所学知识，并对随机事件和概率进行 总结。
附加信息
参考文献
提供相关领域的书籍、论文和期刊等参考文 献，以供深入学习和进一步研究。
推荐书籍和网站
推荐学习概率和随机事件的相关书籍和网站， 以拓宽学习资源。
计算概率的工具
计算器
计算器是计算概率的常用工具，可以帮助我 们快速计算复杂概率问题的答案。
直观图形
直观图形如概率分布曲线、直方图和饼图等 可以帮助我们更好地理解和计算概率。
概率的应用
1
条件概率
2
条件概率是在已知一些条件的情况下，
计算事件发生概率的方法。
3
事件的互斥与Байду номын сангаас立
了解事件的互斥与独立性对计算概率 和预测结果至关重要。
贝叶斯公式
贝叶斯公式是基于条件概率计算后验 概率的常用方法，应用于估计未知事 件发生的可能性。
随机事件和概率的实际应用
统计学
概率在统计学中广泛应用，帮助分析数据、推 断结论和做出预测。
金融学
概率在金融学中被用于评估风险、制定投资策 略和做出金融决策。
生物学
概率在遗传学和生物统计学中被用于研究基因、 种群和生态系统等复杂生物现象。
新教材高中数学第七章概率1随机现象与随机事件 随机事件的运算课件北师大版必修第一册
两次”的对立事件是
( D)
A．恰有一次击中
B．三次都没击中
C．三次都击中
D．至多击中一次
[解析] (1)事件“至多有一次中靶”包含“只有一次中靶”和“两
次都不中靶”,因此不会与其同时发生的事件是“两次都中靶”．
(2)根据题意,一个人连续射击三次,事件“至少击中两次”包括“击
中两次”和“击中三次”两个事件,其对立事件为“一次都没有击中和击
事件 称事件 A 与事件 B 互为对立，事
件 A 的对立事件记为－A
与 B 对立
图示
[知识解读] 1．互斥事件与对立事件的区别与联系 (1)区别：两个事件A与B是互斥事件,包括如下三种情况：①若事件 A发生,则事件B就不发生；②若事件B发生,则事件A就不发生；③事件 A,B都不发生． 而两个事件A,B是对立事件,仅有前两种情况,因此事件A与B是对立事 件,则A∪B是必然事件,但若A与B是互斥事件,则不一定是必然事件,即事件 A的对立事件只有一个,而事件A的互斥事件可以有多个．
基础自测
1．(2022·安徽省蚌埠二中开学考试)从装有2个白球和3个黑球的口
袋内任取两个球,那么互斥而不对立的事件是
( A)
A．“恰有两个白球”与“恰有一个黑球”
B．“至少有一个白球”与“至少有一个黑球”
C．“都是白球”与“至少有一个黑球”
D．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
[解析] 对于A,事件“恰有两个白球”与事件“恰有一个黑球”不 能同时发生,但从口袋中任取两个球时还有可能两个都是黑球,∴两个事 件是互斥事件但不是对立事件,∴A正确；对于B,事件“至少有一个黑 球”与事件“至少有一个白球”可以同时发生,∴这两个事件不是互斥事 件,∴B不正确；对于C,事件“都是白球”与事件“至少有一个黑球”不 能同时发生,但它们是对立事件,∴C不正确；对于D,事件“至少有一个黑 球”与事件“都是黑球”可以同时发生,故不互斥,∴D不正
随机事件与条件概率
随机事件与条件概率在概率论中，我们常常遇到各种各样的随机事件。
随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。
而条件概率是指在已知其他相关事件的情况下，某一事件发生的概率。
一、随机事件随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。
在数学上，我们用样本空间来描述所有可能的结果，而事件则是样本空间的一个子集。
比如掷骰子，样本空间为{1, 2, 3, 4, 5, 6}，事件A为得到一个奇数的结果，可以表示为A={1, 3, 5}。
随机事件可以分为互斥事件和相对事件。
互斥事件是指两个事件不能同时发生的情况，比如掷骰子得到一个奇数和得到一个偶数就是互斥事件。
相对事件是指两个事件可以同时发生的情况，比如掷骰子得到一个奇数和得到一个大于4的数就是相对事件。
二、条件概率条件概率是指在已知其他相关事件的情况下，某一事件发生的概率。
用P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
条件概率的计算方法可以通过定义计算得出。
设A、B是两个事件，且P(B)≠0，则事件A在事件B发生的条件下发生的概率为P(A|B) =P(AB) / P(B)。
其中，P(AB)表示事件A和B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
三、计算实例为了更好地理解随机事件与条件概率的概念，我们来看一个实际的计算实例。
假设某超市销售产品的情况如下：- 60%的产品是苹果- 40%的产品是橙子- 70%的苹果是新鲜的- 50%的橙子是新鲜的现在我们要计算以下几个事件的概率：事件A：选中一个苹果事件B：选中一个新鲜的水果首先，我们计算事件A的概率。
由于60%的产品是苹果，则P(A) = 60% = 0.6。
接下来，我们计算事件B的概率。
根据条件概率的定义，P(B|A) = P(AB) / P(A)。
即在选中一个苹果的条件下，选中一个新鲜的水果的概率。
由于70%的苹果是新鲜的，则P(B|A) = 70% = 0.7。
最后，我们计算事件A和事件B同时发生的概率P(AB)。
新教材高中数学第七章概率1随机现象与随机事件1-1随机现象1-2样本空间1-3随机事件1-4随机事件
探究点三 互斥事件与对立事件的判定
【例3】 某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学参加演讲比赛,判
断下列每对事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件.
(1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”;
(2)“至少有1名男生”与“全是男生”;
(3)“至少有1名男生”与“全是女生”;
名师点睛
随机现象的两个特点
(1)结果至少有两种;
(2)事先并不知道会出现哪一种结果.
过关自诊
以下现象是随机现象的是(
)
A.过了冬天就是春天
B.物体只在重力作用下自由下落
C.不共线的三点确定一个平面
D.下一届奥运会中国获得30枚金牌
答案 D
解析 A,B,C均是确定性现象,D是随机现象.
知识点2 样本空间
红球,故C∩A=A.
角度2事件运算的综合问题
【例5】 抛掷编号为1,2的两枚骰子,记“1号骰子出现2点”为事件A,“2号骰
子出现3点”为事件B,分别判断下列两对事件是否为互斥事件:
(1)事件A与事件AB;
(2)事件B与事件A B .
解由题意得,事件A={(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)},事件
第七章
1.1 随机现象 1.2 样本空间
1.3 随机事件 1.4 随机事件的运算
课标要求
1.了解随机现象、样本点和样本空间的概念.
2.理解随机事件的概念,在实际问题中,能正确地求出事件包含的样本点的
个数,并会写出相应的样本空间.
3.理解事件的关系与运算,并会简单应用.
4.理解互斥事件与对立事件的概念及二者之间的关系.
随机事件与概率的基本概念
随机事件与概率的基本概念随机事件与概率是概率论中的两个基本概念，它们在统计学、经济学、数学等领域都有着广泛的应用。
随机事件是指在一次试验中可能发生也可能不发生的事件，而概率则是用来描述随机事件发生的可能性大小。
一、随机事件的定义和性质随机事件是对可能发生的结果进行描述的概念。
在概率论中，将随机事件用集合的形式来表示，常用大写字母A、B、C等来表示随机事件。
一个样本空间Ω包含了所有可能的结果，而一个随机事件A则是样本空间Ω的一个子集。
概率是描述随机事件发生可能性的数值，通常用P(A)来表示随机事件A发生的概率。
概率的取值范围在0到1之间，其中0表示不可能事件，1表示必然事件。
当概率为1/2时，表示事件A的发生可能与不发生的可能相等。
随机事件与概率具有以下性质：1. 对于任意的随机事件A，有0 ≤ P(A) ≤ 1；2. 必然事件的概率为1，即P(Ω) = 1；3. 不可能事件的概率为0，即P(∅) = 0；4. 若A和B是两个互不相容的事件，则P(A∪B) = P(A) + P(B)；5. 若A和B是两个相互独立的事件，则P(A∩B) = P(A) × P(B)。
二、概率的基本计算方法计算随机事件的概率是概率论的核心内容之一。
在计算概率时，可以通过直观法、频率法和几何法等不同的方法，具体选择方法取决于问题的特点。
1. 直观法直观法是一种根据直觉和经验来估计概率的方法。
当试验的样本空间不是很大且试验结果具有明显的规律性时，可以采用直观法来计算概率。
例如，投掷一个均匀的六面骰子，每个面的概率都是1/6。
2. 频率法频率法是一种通过大量试验来估计概率的方法。
当试验次数足够多时，通过观察事件发生的频次，可以估计事件发生的概率。
例如，抛掷硬币的结果为正面或反面，通过多次抛掷硬币来观察正面出现的频率，从而估计正面出现的概率。
3. 几何法几何法是一种通过几何模型来计算概率的方法。
当问题具有明显的几何特征时，可以利用几何模型来计算概率。
新教材高中数学第七章概率1随机现象与随机事件1.1_1.3随机现象与随机事件同步课件北师大版必修一
【思考】 (1)向上抛掷一枚骰子,观察向上的点数”是随机现象吗?如果是随机现象,那么 它可能的结果有哪些? 提示:是随机现象.它可能的结果有:出现1点,出现2点,出现3点,出现4点,出现5 点,出现6点,共6个. (2)观察随机现象或进行试验时,其可能出现的结果的数量一定是有限的吗? 提示:不一定,也可能是无限的.如在实数集中,任取一个实数.
③若loga(x-1)>0,则x>1是必然事件; ④对顶角不相等是不可能事件.
其中正确命题是
.
类型三 确定试验的样本空间(数学建模、逻辑推理) 【典例】指出下列试验的样本空间: (1)从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取2个小球; (2)从1,3,6,10四个数中任取两个数(不重复)作差. 【思路导引】根据题意,按照一定的顺序列举试验的样本空间
2.下列现象中,随机现象有
,确定性现象有
.
①长度为3、4、5的三条线段可以构成一个直角三角形;
②打开电视机,正好在播新闻;
③从装有3个黄球、5个红球的袋子中任摸4个,全部都是黄球;
④下周六是晴天.
【解析】①是确定性现象,③是不可能现象,②④是随机现象.
答案:②④ ①
3.指出下列现象是确定性现象还是随机现象. (1)小明在校学生会主席竞选中成功; (2)掷一枚质地均匀的硬币出现的结果; (3)某人购买的彩票号码恰好是中奖号码; (4)骑车经过十字路口时,信号灯的颜色.
3.三种事件的定义
随机事件
一般地,把试验E的样本空间Ω的_子__集__称为E的随机事件,
简称事件,常用A,B,C等表示.在每次试验中,当一个事件 发生时,这个子集中的样本点必_出__现__一__个__;反之,当这个 子集中的一个样本点出现时,这一事件_必__然__发__生__
随机事件与概率的计算知识点总结
随机事件与概率的计算知识点总结随机事件与概率是数学中的重要概念，在许多实际应用中得到广泛的运用。
下面将对随机事件与概率的计算知识点进行总结。
一、随机事件的基本概念随机事件指的是在一定条件下，结果具有不确定性的事件。
随机事件可以用集合论中的概念进行描述，即事件是样本空间中的一个子集。
二、事件的概率计算事件的概率是指某个事件发生的可能性大小。
概率的计算可以通过频率和几何概率方法进行。
1. 频率法频率指的是在重复实验中，某一事件发生的次数与总实验次数之比。
频率法计算概率的基本步骤是：进行大量实验，记录事件发生的次数，然后计算事件发生的频率。
2. 几何概率法几何概率是指事件发生的可能性与样本空间中所有可能事件的比值。
几何概率计算的基本原理是：事件发生的可能性与事件所占的样本空间的面积成正比。
三、常用概率计算公式在概率计算中，有一些常用的公式可以帮助我们计算事件的概率。
1. 事件的互斥与对立事件互斥事件指的是两个事件不能同时发生，对立事件则指的是两个事件中一个事件发生时，另一个事件一定不发生。
对于互斥事件，可以使用加法法则计算概率；对于对立事件，可以使用减法法则计算概率。
2. 事件的独立性与条件概率事件的独立性指的是两个事件的发生与否互不影响，可以独立计算概率。
条件概率指的是在另一个事件已经发生的条件下，某一事件发生的概率。
四、排列与组合的计算在随机事件与概率的计算中，常常需要用到排列与组合的计算方法。
1. 排列排列是指从若干个元素中取出一部分并按照一定的顺序排列的方式。
排列的计算可以使用阶乘的方法进行。
2. 组合组合是指从若干个元素中取出一部分并不考虑顺序的方式。
组合的计算可以使用组合数的方法进行。
五、事件的加法与乘法规则在复杂事件的计算中，我们需要使用事件的加法与乘法规则。
1. 加法规则加法规则指的是对于两个不互斥事件的概率，可以通过将两个事件的概率相加来计算它们的并集概率。
2. 乘法规则乘法规则指的是对于两个独立事件的概率，可以通过将两个事件的概率相乘来计算它们的交集概率。
随机事件与概率
随机事件与概率概率是数学中一门非常重要的概念。
无论是在生活中还是在科学领域，我们经常需要通过概率来描述和分析随机事件的发生概率。
本文将介绍随机事件和概率的基本概念，以及它们在现实生活中的应用。
一、随机事件的定义和性质随机事件是指在相同条件下会产生不同结果的现象。
例如，抛掷一枚硬币，它可能会出现正面或者反面。
这种不确定性的结果就是随机事件。
在数学中，我们用事件的集合来描述随机事件。
每个事件都有一定的概率发生，概率用一个介于0和1之间的数来表示，其中0代表不可能事件，1代表必然事件。
二、概率的基本原理概率的计算可以通过频率概率和理论概率两种方式进行。
1. 频率概率：通过大量的实验或观察，统计事件发生的次数与总次数的比值，来估计事件发生的概率。
例如，掷一枚硬币，经过大量的实验，我们可以通过正面朝上的次数除以总次数，来估计正面朝上的概率。
2. 理论概率：基于事件发生的原因和条件，利用数学方法计算事件发生的概率。
例如，抛掷一枚均匀的硬币，正反面出现的概率都是相等的，即0.5。
三、概率的运算法则在概率计算中，我们常用以下三种基本运算法则：并、交、差。
1. 并（或）：事件A或B发生的概率等于事件A发生的概率加上事件B发生的概率减去事件A和B同时发生的概率。
用数学表达式表示为 P(A或B) = P(A) + P(B) - P(A交B)。
2. 交（与）：事件A和B同时发生的概率等于事件A发生的概率乘以事件B发生的条件概率。
用数学表达式表示为 P(A交B) = P(A) ×P(B|A)。
3. 差：事件A和B的差是指A发生而B不发生的概率，用数学表达式表示为 P(A差B) = P(A) - P(A交B)。
四、概率的应用概率在现实生活中有着广泛的应用。
以下是几个例子：1. 风险评估：概率可以用来评估风险事件的发生概率。
例如，保险公司可以通过分析统计数据，计算出某种自然灾害发生的概率，从而确定保险费的价格。
2. 投资决策：概率可以用来评估投资项目的风险和回报潜力。
2021_2022学年新教材高中数学第7章概率1
1.随机事件:一般地,把试验E的样本空间Ω的子集称为E的随机事件,简 称事件.常用A,B,C等表示. 2.必然事件:样本空间Ω是其自身的子集,因此Ω也是一个事件;又因为 它包含所有的样本点,每次试验无论哪个样本点ω出现,Ω都必然发生, 因此称Ω为必然事件. 3.不可能事件:空集Φ也是Ω的一个子集,可以看作一个事件;由于它不 包含任何样本点,它在每次试验中都不会发生,故称⌀为不可能事件.
【解析】选 A.根据随机事件、必然事件、不可能事 件的定义可知，①为不可能事件，②为随机事件， ③为必然事件.
3.抛掷3枚硬币,试验的样本点用(x,y,z)表示,集合M表示“既有正面朝上,也有
反面朝上”,则M=
.
【解析】试验的样本空间为Ω={(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(反,正,
【归纳总结】
样本空间：一般地，将试验E的所有可能结果组成的集 合称为试验E的样本空间，记作Ω. 样本点：样本空间Ω的元素，即试验E的每种可能结果， 称为试验E的样本点，记作ω . 有限样本空间：如果样本空间Ω的样本点的个数是有限 的，那么称样本空间Ω为有限样本空间. 列举法：把一个试验的所有可能的结果一一列举出来的 方法叫作列举法.
1.理解确定性现象、随机现象的概念．2．结合具体实例，理解样本点 和有限样本空间的含义．3．掌握试验的样本空间的写法．4.理解随机 事件与样本点的关系．
1.通过对确定性现象、随机现象、样本空间等概念的学习，培养数学 抽象素养．2.通过利用穷举法写出试验的样本空间，培养数学建模素 养．3．通过对随机、必然、不可能事件等概念的学习，培养数学抽象 素养．
随机事件与概率的基本概念
随机事件与概率的基本概念概率论是数学中的一个重要分支，研究的是随机事件发生的可能性。
随机事件是指在一定条件下，结果无法确定的事件。
概率则是对于随机事件发生的可能性进行度量和描述的工具。
本文将介绍随机事件和概率的基本概念，以及概率的计算方法和应用。
一、随机事件的基本概念随机事件是指在一定条件下发生的具有不确定性的事件。
在概率学中，随机事件通常用事件的发生与否来表示。
事件的发生可以用事件发生的条件、时间和地点来描述。
随机事件可以是简单事件，也可以是由多个简单事件组成的复合事件。
1. 简单事件简单事件是指只包含一个基本结果的事件。
例如，掷骰子时，出现1点的事件就是一个简单事件。
2. 复合事件复合事件是指由多个简单事件组成的事件。
例如，掷两个骰子，出现两个点数之和为7的事件就是一个复合事件。
二、概率的基本概念概率是对随机事件发生可能性的度量和描述。
概率一般用一个介于0和1之间的实数来表示，其中0表示不可能发生，1表示必然发生。
1. 经典概率经典概率是指在一个随机试验中，所有可能结果数目相等且每个结果出现的概率相等的情况下，计算事件发生的概率。
经典概率的计算公式为：概率 = 事件发生的结果数目 / 所有可能结果的数目。
2. 相对频率概率相对频率概率是指通过大量实验或观察，计算事件发生的频率作为概率的估计。
当实验次数越多时，事件发生的相对频率越接近真实的概率。
3. 主观概率主观概率是指基于个人主观经验和判断，对事件发生概率进行估计。
主观概率具有个体差异性，同一事件的主观概率可能因人而异。
三、概率的计算方法在实际应用中，概率的计算主要通过两种方法：基本概率和条件概率。
1. 基本概率基本概率是指在所有可能结果中，事件发生的可能性计算得到的概率。
基本概率的计算方法分为两种：频数法和几何法。
- 频数法：通过计算事件发生的次数除以总的实验次数得到概率。
例如，抛掷硬币，正面朝上的频数除以总实验次数即可得到正面朝上的概率。
随机事件与概率教案
随机事件与概率教案一、教学目标1.了解什么是随机事件2.理解随机事件的基本概念3.掌握计算随机事件的概率的方法4.能够应用所学知识解决实际问题二、教学重点1.随机事件的概念和特征2.随机事件的计算方法三、教学难点1.随机事件的计算方法四、教学过程1.引入新知识通过举例引入随机事件的概念，如抛一枚硬币、掷一颗骰子等。
引导学生思考这些事件是否具有随机性，以及与随机性有关的因素。
2.讲解随机事件的概念和特征解释随机事件的概念和特征，并结合上述举例，引导学生理解随机事件的概念和特征。
强调随机性的不确定性和不可预测性。
3.讲解随机事件的计算方法a.确定样本空间：样本空间是随机事件的所有可能结果的集合。
举例说明如何确定样本空间，比如抛一枚硬币的样本空间是{正面，反面}。
b.确定事件的概率：事件的概率是指该事件发生的可能性大小。
讲解计算事件的概率的方法，如频率法和几何法。
强调事件的概率是介于0和1之间的实数。
4.练习与讨论让学生通过练习计算事件的概率，巩固所学知识。
鼓励学生进行小组讨论，互相帮助解决问题。
5.应用实例引导学生通过实际问题，将所学知识应用到实际生活中，如计算扔一颗骰子出现奇数的概率，或者计算猜硬币正反面的概率等。
6.总结与拓展对本节课所学内容进行总结，强调重要概念和计算方法。
鼓励学生拓展思维，思考更多的实际问题，并运用所学知识解决。
五、教学反思本节课通过举例引入随机事件的概念，引导学生理解随机事件的特征，讲解了计算随机事件的概率的方法，并通过练习和应用实例巩固了所学知识。
在今后的教学中，可以通过更多的实例和练习来帮助学生更好地理解和应用所学知识。
新教材高中数学第七章概率1随机现象与随机事件1-1随机现象1-2样本空间1-3随机事件1-4随机事
§1 随机现象与随机事件1.1 随机现象 1.2 样本空间 1.3 随机事件 1.4 随机事件的运算A级必备知识基础练1.(多选题)以下现象不是随机现象的是()A.在相同的条件下投掷一枚均匀的硬币,正反两面出现的情况B.明天是否刮风下雨C.同种电荷相互排斥D.四边形的内角和是360°2.下列事件中,是必然事件的是()A.对任意实数x,有x2≥0B.某人练习射击,击中10环C.从装有1号,2号,3号球的不透明的袋子中取一球是1号球D.某人购买彩票中奖3.依次投掷两枚质地均匀的骰子,所得点数之和记为X,那么X=4表示的随机试验的样本点是()A.第一枚是3点,第二枚是1点B.第一枚是3点,第二枚是1点或第一枚是1点,第二枚是3点或两枚都是2点C.两枚都是4点D.两枚都是2点4.对空中飞行的飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设A={两次都击中飞机},B={两次都没击中飞机},C={恰有一弹击中飞机},D={至少有一弹击中飞机},下列关系不正确的是()A.A∪B≠ΩB.B∩D=⌀C.A∪C=DD.A∪C=B∪D5.(2021江苏苏州期中)一个木箱中装有8个同样大小的篮球,编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8,现从中随机取出3个篮球,以X表示取出的篮球的最大号码,则X=8表示的试验结果有种.6.从一批产品中取出三件产品,设事件A={三件产品全不是次品},B={三件产品全是次品},C={三件产品不全是次品},则下列结论正确的序号是.①A与B互斥;②B与C互斥;③A与C互斥;④A与B对立;⑤B与C对立.7.从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花的点数为1~10,各10张)中任取1张.判断下列给出的每对事件是否为互斥事件,是否为对立事件,并说明理由.(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”;(2)“抽出牌的点数为5的倍数”与“抽出牌的点数大于9”.8.某人向一个目标射击3次,用事件A i表示随机事件“第i次射击击中目标”(i=1,2,3),指出下列事件的含义:(1)A1∩A2;(2)A1∩A2∩A3;(3)A1⋃A2;(4)A1∩A2∩A3.B级关键能力提升练9.(多选题)从装有大小和形状完全相同的2个红球和3个黑球的口袋内任取2个球,下列各对事件中,互斥而不对立的是()A.“至少一个红球”和“都是红球”B.“恰有一个红球”和“都是红球”C.“恰有一个红球”和“都是黑球”D.“至少一个红球”和“都是黑球”10.一批产品共有100件,其中5件是次品,95件是合格品.从这批产品中任意抽取5件,现给出以下四个事件:事件A:恰有一件次品;事件B:至少有两件次品;事件C:至少有一件次品;事件D:至多有一件次品.并给出以下结论:①A∪B=C;②B∪D是必然事件;③A∩B=C;④A∩D=C.其中正确结论的序号是()A.①②B.③④C.①③D.②③11.从1,2,3,4,5这5个数中任取两个数,其中:①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数;②至少有一个是奇数和两个都是奇数;③至少有一个是奇数和两个都是偶数;④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.上述事件中,是对立事件的是.(填序号)12.某小区有甲、乙两种报刊供居民订阅,记事件A表示“只订甲报刊”,事件B表示“至少订一种报刊”,事件C表示“至多订一种报刊”,事件D表示“不订甲报刊”,事件E表示“一种报刊也不订”.判断下列事件是不是互斥事件,若是,再判断是不是对立事件.(1)A与C;(2)B与E;(3)B与D;(4)B与C;(5)C与E.C级学科素养创新练13.从某大学数学系图书室中任选一本书,设A={数学书},B={中文版的书},C={2018年后出版的书},问:(1)A∩B∩C表示什么事件?(2)在什么条件下,有A∩B∩C=A?(3)如果A=B,那么是否意味着图书室中的所有的数学书都不是中文版的?1.1随机现象1.2样本空间1.3随机事件1.4随机事件的运算1.CD根据随机现象的概念可知,A,B是随机现象,C,D是确定性现象,故选CD.2.A选项B,C,D中的事件都不确定发生,因此都不是必然事件,A选项,当x∈R时,总有x2≥0发生,是必然事件.3.B依次投掷两枚骰子,所得点数之和记为X,那么X=4表示的随机试验的样本点是“第一枚是3点,第二枚是1点”或“第一枚是1点,第二枚是3点”或“两枚都是2点”.故选B.4.D选项A,事件A与事件B可以都不发生,故A正确.选项B,由于事件B,D不能同时发生,故B∩D=⌀正确.选项C,由题意知正确.选项D,由于A∪C=D={至少有一弹击中飞机},不是必然事件;而B∪D为必然事件,所以A∪C≠B∪D,故D不正确.故选D.5.21X=8表示的试验结果有:(1,2,8),(1,3,8),(1,4,8),(1,5,8),(1,6,8),(1,7,8),(2,3,8),(2,4,8),(2,5,8),(2,6,8),(2 ,7,8),(3,4,8),(3,5,8),(3,6,8),(3,7,8),(4,5,8),(4,6,8),(4,7,8),(5,6,8),(5,7,8),(6,7,8),共21种.6.①②⑤A为{三件产品全不是次品},指的是三件产品都是正品,B为{三件产品全是次品},C为{三件产品不全是次品},它包括一件次品,两件次品,三件全是正品三个事件,由此知:A与B是互斥事件,但不对立;A与C是包含关系,不是互斥事件,更不是对立事件;B与C是互斥事件,也是对立事件.所以正确结论的序号为①②⑤.7.解(1)是互斥事件,不是对立事件.理由是:从40张扑克牌中任意抽取1张,“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的,所以是互斥事件.同时,也不能保证其中必有一个发生,这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”,因此二者不是对立事件.(2)不是互斥事件,当然也不可能是对立事件.理由是:从40张扑克牌中任意抽取1张,“抽出牌的点数为5的倍数”与“抽出牌的点数大于9”这两个事件可能同时发生,如抽得点数为10,因此,这二者不是互斥事件,当然也不可能是对立事件.8.解(1)A1∩A2表示第1次和第2次射击都击中目标.(2)A1∩A2∩A3表示第1次和第2次射击都击中目标,而第3次没有击中目标.(3)A1⋃A2表示第1次和第2次射击都没击中目标.(4)A1∩A2∩A3表示三次射击都没击中目标.9.BC从装有大小和形状完全相同的2个红球和3个黑球的口袋内任取2个球,在A中,“至少一个红球”和“都是红球”能同时发生,不是互斥事件,故A错误;在B中,“恰有一个红球”和“都是红球”不能同时发生,是互斥而不对立事件,故B正确;在C中,“恰有一个红球”和“都是黑球”不能同时发生,是互斥而不对立事件,故C正确;在D中,“至少一个红球”和“都是黑球”是对立事件,故D错误.故选BC.10.A事件A∪B:至少有一件次品,即事件C,所以①正确;事件A∩B=⌀,③不正确;事件B∪D:至少有两件次品或至多有一件次品,包括了所有情况,所以②正确;事件A∩D:恰有一件次品,即事件A,所以④不正确.故选A.11.③①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数不是互斥事件,也不是对立事件;②至少有一个是奇数和两个都是奇数不是互斥事件,也不是对立事件;③至少有一个是奇数和两个都是偶数是互斥事件,也是对立事件;④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数不是互斥事件,也不是对立事件.故答案为③.12.解(1)由于事件C“至多订一种报刊”中有可能“只订甲报刊”,即事件A与事件C有可能同时发生,故A与C不是互斥事件.(2)事件B“至少订一种报刊”与事件E“一种报刊也不订”是不可能同时发生的,故B与E是互斥事件.由于事件B发生可导致事件E一定不发生,且事件E发生会导致事件B一定不发生,故B与E 还是对立事件.(3)事件B“至少订一种报刊”中有可能“只订乙报”,即有可能“不订甲报刊”,即事件B发生,事件D也可能发生,故B与D不是互斥事件.(4)B∩C表示“恰好订一种报刊”,故B与C不是互斥事件.(5)事件C“至多订一种报刊”中有可能“一种报刊也不订”,故C与E不是互斥事件.13.解(1)A∩B∩C={2018年或2018年前出版的中文版的数学书}.(2)在“图书室中所有数学书都是2018年后出版的且为中文版”的条件下,才有A∩B∩C=A.(3)是,A=B意味着图书室中的非数学书都是中文版的,而且所有的中文版的书都不是数学书,同时A=B又可化成B=A,因而也可解释为图书室中所有数学书都不是中文版的,而且所有不是中文版的书都是数学书.。
随机事件和概率
分类和关系
随机事件：指在相同条件下，可能出现也可能不出现的事件
确定性事件：指在相同条件下，一定会出现的事件
必然事件：指在相同条件下，一定不会出现的事件
随机事件的关系：随机事件与确定性事件、必然事件之间存在相互转化关系，即随机事件在一定 条件下可能转化为确定性事件或必然事件。
条件概率
计算公式：P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)
独立性也可以用 于判断随机事件 的期望，例如， 如果A和B是独 立的，那么E(A ∩ B) = E(A) + E(B)。
概率
概率的公理化定义
概率是随机事件 发生的可能性的 度量
概率值在0和1之 间
所有可能事件的 概率之和等于1
概率是客观存在 的，不依赖于人 的主观判断
概率的性质
概率是介于0和 1之间的实数
应用：在统计学、经济学、金融 学等领域，用于估计参数、检验 假设、预测未来等
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大数定律：描述随机变量和其期 望之间的关系，适用于大量独立 同分布的随机变量
例子：在股票市场，通过中心极 限定理和大数定律，可以预测股 票价格的波动和趋势
强大数定律和熵的公理化定义
强大数定律：描述随机变量序列 的极限行为，即当样本数量趋于 无穷时，样本均值趋于总体均值
分布函数和概率密度函数
分布函数：描述随机变量取值的概率分布情况 概率密度函数：描述随机变量在某个区间内取值的概率 连续概率模型：适用于连续随机变量的概率模型 应用：在金融、物理、工程等领域有广泛应用
期望、方差和矩
期望：随机变量 所有可能取值的 加权平均值，表 示随机变量的平 均水平
方差：随机变量 与期望的偏差平 方的平均值，表 示随机变量的离 散程度
随机事件与概率计算
随机事件与概率计算概率是统计学中一项重要的概念，用于描述发生某个特定事件的可能性。
而随机事件则是指在一系列可能结果中，任意一种结果的发生都是随机的，无法被预测或确定的事件。
概率计算能够帮助我们理解和预测各种随机事件的发生概率，从而做出更明智的决策。
1. 概率的基本概念概率是一个介于0和1之间的数值，表示某个事件发生的可能性。
其中，0表示不可能发生，1表示必然发生。
以硬币掷出正面的事件为例，这一事件发生的概率为0.5，即50%。
概率的计算可以基于概率公式，即事件发生的次数除以总的实验次数。
2. 随机事件的分类随机事件可以分为互斥事件和非互斥事件。
互斥事件指两个事件不可能同时发生，例如掷硬币的正反面。
非互斥事件则指两个事件有可能同时发生，例如抽取一张红色和一张黑色的牌。
3. 概率的计算方法在概率计算中，可以使用经典概率和统计概率两种方法。
经典概率是指在一组互斥事件中，某个事件发生的可能性。
例如，在一副扑克牌中抽取一张红心的概率为1/4，因为一副扑克牌中共有4种花色，其中红心占1种。
统计概率则基于实验或观察结果计算概率。
例如，在投掷一个六面骰子的实验中，掷出1的次数除以总的实验次数即为掷出1的概率。
4. 多重事件概率的计算在计算多重事件的概率时，可以使用加法法则和乘法法则。
加法法则适用于互斥事件，即两个事件不可能同时发生。
例如，在掷硬币的实验中，事件A为正面，事件B为反面，则事件A或事件B 发生的概率为事件A发生的概率加上事件B发生的概率。
乘法法则适用于非互斥事件，即两个事件可能同时发生。
例如，在抽取一张红色和一张黑色牌的实验中，事件A为抽取红色牌，事件B 为抽取黑色牌，那么事件A和事件B同时发生的概率为事件A发生的概率乘以事件B发生的概率。
5. 条件概率条件概率用于计算在已知一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
条件概率计算公式为P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，其中P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
随机事件与概率及其概率和频率的关系
随机事件与概率及其概率和频率的关系一、引言本文将探讨随机事件与概率之间的关系，以及概率和频率之间的关联。
我们将从随机事件的定义入手，逐步介绍概率的概念和计算方法，并分析概率和频率在实际应用中的联系和差异。
二、随机事件的定义随机事件是指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。
通俗来说，它是具有某种不确定性的事件，例如抛硬币、掷骰子等。
随机事件的发生是由各种因素相互作用的结果，无法事先准确预测。
三、概率的基本概念3.1概率的定义概率是描述随机事件发生可能性大小的数值。
用数学语言来表达，概率就是随机事件发生的频率与总试验次数之间的比值。
它的取值范围在0到1之间，其中0代表事件不可能发生，1代表事件一定会发生。
3.2概率的计算方法等可能性事件概率的计算方法可以分为两种常见的情况：和**不等可能性事件**。
对于等可能性事件，计算概率很简单，只需要用有利结果的个数除以所有可能结果的个数即可。
古典概型对于不等可能性事件，常用的计算概率方法有、**几何概型**和**统计概型**等。
四、概率和频率的关系4.1概率和频率的定义概率和频率都可以用来描述随机事件的发生情况，但它们是从不同的角度出发进行观察和分析的。
理论上的数值概率是通过总体试验次数与事件发生次数之间的比值来衡量事件的可能性大小，是一种。
实际观察到的数值频率是通过大量的试验实验所得的事件发生次数与实验总次数之间的比值来衡量事件的发生情况，是一种。
4.2概率和频率的关联系数频率到概率的收敛概率和频率之间存在一定的关联，可以通过大量试验的频率逼近概率值，这就是。
随着试验次数的增加，频率趋于概率，两者的差距逐渐减小。
数学上可以通过极限的概念来描述概率和频率的关联，即频率趋近于概率的极限值。
4.3概率和频率的差异概率和频率之间存在一定的差异，主要有以下几个方面：观察对象不同-：概率是基于推理和理论的观察，而频率是基于实际观察和统计的结果。
试验次数要求不同-：概率不需要进行大量试验，只需要考虑总体的因素；而频率需要进行大量的试验，以实际观察到的结果进行统计。
随机事件与概率的计算与应用
随机事件与概率的计算与应用一、随机事件的概念1.随机事件的定义：在相同条件下，可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件。
2.随机事件的分类：(1)必然事件：在一定条件下，一定发生的事件。
(2)不可能事件：在一定条件下，一定不发生的事件。
(3)随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。
二、概率的概念1.概率的定义：事件发生的可能性叫做概率。
2.概率的取值范围：概率的取值范围在0到1之间，包括0和1。
(1)当概率P=0时，表示事件不可能发生。
(2)当概率P=1时，表示事件一定会发生。
(3)当0<P<1时，表示事件可能发生，且发生的可能性在0到1之间。
三、概率的计算方法1.古典概率的计算公式：P(A) = n(A) / n(S)，其中，n(A)表示事件A发生的次数，n(S)表示样本空间中所有可能发生的事件的次数。
2.条件概率的计算公式：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
3.独立事件的概率计算公式：P(A∩B) = P(A) × P(B)，其中，P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
四、概率的应用1.概率在生活中的应用：(1)天气预报：预测天气情况，判断下雨、晴天等事件的概率。
(2)医学诊断：根据病史和检查结果，判断疾病发生的概率。
(3)保险业务：根据风险概率，计算保险费用和赔偿金额。
2.概率在数学中的应用：(1)概率论：研究随机现象的规律性，探讨概率的计算方法和性质。
(2)数论：利用概率方法解决数论问题，如素数分布、同余定理等。
(3)统计学：收集、整理、分析数据，利用概率论的理论指导实际问题的解决。
五、随机事件与概率的关系1.随机事件是概率的研究对象，概率是衡量随机事件发生可能性大小的数值。
2.概率的计算依赖于随机事件的性质，概率的应用可以解决实际问题，指导我们的生产和生活。
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练习 7.1
1. 试举一些随机试验的例子
答：往桌子上掷一枚硬币，每掷一枚硬币是随机试验。从含有
10 个次品的
一批产品中任意抽取 4 件，每当我们从这样的一批产品中具体抽出 4 件来，是
一次随机试验。某战士进行一次射击，每射击一次是一次随机试验。
2. 指出下列事件中，哪些是必然事件，不可能事件，随机事件。
答：（ 1） A＋ B 是必然要发生的为必然事件； （ 2） AB是不可能发生的是不可能事件。
2. 随机点落在区间 [a,b] ，这一事件记为 {x|a x b} ，设 U ＝ {x| － <x<＋ }
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A ＝ {x|0 x<2} ；B＝ {x|0 x<3} 试用区间表示下列事件：
＝ P(A) ＋P(B) ＋P(C) －P(AB)－ P(BC)＋P(ACBC)
＝ P(A) ＋P(B) ＋P(C) －P(AB)－ P(BC)＋P(ABC)
3. 袋中有红、黄、白色球各一个，每次任取一个，然后放回，若连取 3 次，求取
到 3 个球颜色全不同的概率。
解一：三球每次任取一个，取 回，连取 3 个其有可能是：
个都是正品”， B＝“至少一个是次品”均为随机事件，而“三个都是次品”和
“至少一个是正品”这两个事件呢？前者是不可能发生的，后者是必定要发生
的，我们称不可能发生的事件为不可能事件。记作
，称必定要发生的事件为
必然事件，记作 ，为讨论问题方便起见，将不可能事件
与必然事件 也当作
随机事件。
练习 7.2
1. 对一批含有一定数量次品的元器件进行抽检，用 A 表示被抽检的 5 件产品中 至少有一件次品， B 表示被抽检的 5 件产品中全为正品， 试问：（ 1）事件 A＋ B； （ 2）事件 AB各表示什么？
红红红
黄黄黄
白白白； 红红白
红白红
白红红
x2x 3； x1y1； x1y2；x 2y1； x2y2；x3y1；x3y2； y1y2 共有 10 种可能情况；
其中（ 1） 2 球都是红球，有 x1x 2； x1x 3； x2x3；三种情况，于是所求概率
为 P1＝ k 3 ； n 10
（2） 2 球都是黄球只有“ y1y2”一种情况，于是所球概率为
答： B＝ A1A2； C＝ A1A 2 ； D＝ A1A 2 A1A 2 ；E＝ A1＋ A2； C 与 E 是对立事件， B 与 C 互斥， B 与 D互斥， C 与 D 互斥。
练习 7.3
1. 从 1、2、3、4、 5、6、 7、8、 9 这九个数中任取一个，求这个数能被 2 或 3
整除的概率。
种。两数和等于
3 只有 0、 3 和 1、 2 两种，
∴ 概率为 2
2
2
C
2 10
10 9
45
2!
第 2页 共 10页
3. 从 5 个球（其中 3 个红球， 2 个黄球）中任取 2 球，求：
（ 1） 2 球都是红球的概率；
（ 2） 2 球都是黄球的概率；
（ 3）恰有黄球、红球各一个的概率。
解一：记红球为 x1、x 2、 x3，黄球为 y1、 y2，则从中抽取 2 个为 x1x2；x1x3；
第 3页 共 10页
∴ P （ A1 A 2 A 3 ）＝ 1－P(A1＋A2＋A3) ＝1－0.97 ＝ 0.03
2. 试推出 3 个事件 A、B、C 的和事件公式 P(A＋B＋C)
证： P(A＋B＋C) －P[(A ＋B)＋ C]
＝ P(A＋B) ＋P(C) － P[(A ＋ B)C]
＝ P(A) ＋P(B) －P(AB)＋ P(C) － P(AC＋ BC)
答（ 2） （4）U，其余均为随机事件。
3. 试举三个随机事件的例子。
答：投掷两枚分币， 则 A＝“两个都是正面朝上” ，B＝“两个都是正面朝下” ，
C＝“一个正面朝上，一个正面朝下” ，都是随机事件，此外， D＝“至少有一个
正面朝上”也是随机事件。
从十个同类产品中 （其中有 8 个正品，2 个次品）中任意抽取三个， 那么 A＝“两
解：记 A 为任取一个数，这个数能被 2 或 3 整除尽的事件，九个数中能被 2
或才 3 除尽的数有 2、3、4、6、8、9 六个数，
∴ P(A) ＝ 6 2 。 93
2. 从 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 这十个数任意抽出 2 个，求两数的和等于
3 的概率。
答：十个数中抽出
2
个共
C
2 10
解：记 A1、A2、A3 分别为事件 0 次、 1 次、 2 次断头，同在一小时内断头次数 不超过 2 次的概率为 P(A1＋A2＋A3) ，由 A1、A2、A3 互不相容，得 P(A1＋ A2＋A3) =P(A1) ＋ P(A2) ＋P(A3) ＝0.8 ＋0.12 ＋0.05 ＝0.97 。
断头次数超过 2 次是事件 A1 A2 A 3
（ 1） A＋ B；（2）AB；（ 3） A ；（4） AB ； 解：（ 1）∵ A B；∴ A＋B＝B＝{x|0 x<3} ；
（ 2） AB＝A＝{x|0 x<2} ； （ 3） A ＝ {x|x<0 或 x 2} ；
（ 4） A 与 B 是互不相容事件；∴ A B ＝ 。 3. 对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设 A1＝ { 第一次射击击中飞机 } ；A2＝{ 第二次射击击中飞机 } ，试用事件 A1、A2 以及 它们的对立事件表示以下事件： B＝{ 两次都击中飞机 } ； C＝{ 两次都没有击中飞机 } ； D＝{ 恰有一弹击中飞机 } ； E＝ { 至少有一弹击中飞机 } 。 并指出事件 B、C、 D、E 中，哪个是互不相容事件？哪个是对立事件？
（3）恰有黄球红球各 1 个有 K＝6 种情况，于是所球概率为
P2＝ k n
1； 10
P 3＝ k 6 。 n 10
解二：（
1）
P1＝
C
2 3
C
2 5
32 2!
54 2!
3； 10
（
2
）
P2＝
C
2 2
C
2 5
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 54
2!
1； 10
1
1
（3）P3＝ C 3 C 2
C
2 5
32 54
2!
6。 10
练习 7.4 1. 已知某台纺纱机在一小时内发生 0 次、1 次、2 次断头的概率分别为 0.8 、0.12 、 0.05 ，求这台纺纱机在一小时断头次数不超过 2 次的概率和断头次数超过 2 次的 概率。