第二章 第4讲 配套课时作业

配套课时作业1．(2019·定州模拟)已知点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，12在幂函数f (x )＝(a －1)x b 的图象上，则函数f (x )是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．定义域内的减函数D ．定义域内的增函数答案 A解析 ∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，12在幂函数f (x )＝(a －1)x b 的图象上，∴a －1＝1，解得a ＝2，则2b ＝12，∴b ＝－1，∴f (x )＝x －1，∴函数f (x )是定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，且在每一个区间内是减函数．故选A.2．若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．[－2,2]C ．(－2,2]D ．(－∞，－2)答案 C解析 当a －2＝0即a ＝2时，不等式为－4<0，恒成立．当a －2≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ<0，解得－2<a <2，所以a 的取值范围是－2<a ≤2.故选C. 3．当α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，1，3时，幂函数y ＝x α的图象不可能经过( )A ．第二象限B ．第三象限C ．第四象限D ．第二、四象限 答案 D解析 y ＝x －1的图象经过第一、三象限，y ＝x12的图象经过第一象限，y ＝x的图象经过第一、三象限，y ＝x 3的图象经过第一、三象限．故选D.4．(2019·唐山模拟)已知二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，且f (x )在[0,2]上是增函数，若f (a )≥f (0)，则实数a 的取值范围是( )A ．[0，＋∞)B ．(－∞，0]C ．[0,4]D ．(－∞，0]∪[4，＋∞)答案 C解析 由f (2＋x )＝f (2－x )可知，函数f (x )图象的对称轴为x ＝2＋x ＋2－x2＝2，又函数f (x )在[0,2]上单调递增，所以由f (a )≥f (0)可得0≤a ≤4.5．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，13，12，1，2，3，则使f (x )＝x α为奇函数且在(0，＋∞)上单调递增的α的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析 由f (x )＝x α在(0，＋∞)上单调递增，可知α>0.又因为f (x )＝x α为奇函数，所以α可取13，1,3.故选C.6．设函数f (x )＝x 2－23x ＋60，g (x )＝f (x )＋|f (x )|，则g (1)＋g (2)＋…＋g (20)＝( )A ．56B ．112C ．0D ．38 答案 B解析 由二次函数图象的性质得，当3≤x ≤20时，f (x )＋|f (x )|＝0，∴g (1)＋g (2)＋…＋g (20)＝g (1)＋g (2)＝f (1)＋|f (1)|＋f (2)＋|f (2)|＝112.7．(2019·成都模拟)已知幂函数f (x )＝x α，当x >1时，恒有f (x )<x ，则α的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(－∞，1)C ．(0，＋∞)D ．(－∞，0)答案 B解析 当x >1时，恒有f (x )<x ，即当x >1时，函数f (x )＝x α的图象在y ＝x 的图象的下方，作出幂函数f (x )＝x α在第一象限的图象，由图象可知α<1时满足题意．故选B.8．(2018·浙江模拟)已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则( )A ．a >0,4a ＋b ＝0B ．a <0,4a ＋b ＝0C ．a >0,2a ＋b ＝0D ．a <0,2a ＋b ＝0 答案 A解析 由f (0)＝f (4)得f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝－b2a ＝2，∴4a ＋b ＝0，又f (0)>f (1)，∴f (x )先减后增，于是a >0.9．(2018·安徽淮南模拟)二次函数y ＝ax 2＋bx 及指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a x 的图象只可能是( )答案 A解析 根据指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a x 可知a ，b 同号且不相等，∴－b 2a <0，可排除B ，D ；由选项C 中的图象可知，a －b >0，a <0，∴ba >1， ∴指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a x 单调递增，故C 不正确，排除C.选A.10．已知函数f (x )＝－x 2＋4x 在区间[m ，n ]上的值域是[－5,4]，则m ＋n 的取值范围是( )A ．[1,7]B ．[1,6]C ．[－1,1]D ．[0,6]答案 A解析 ∵f (x )＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4， ∴f (2)＝4.又由f (x )＝－5，得x ＝－1或5. 由f (x )的图象知，－1≤m ≤2,2≤n ≤5. 因此1≤m ＋n ≤7.11．(2019·西安模拟) 如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3,0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2>4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a <b . 其中正确的是( )A ．②④B ．①④C ．②③D ．①③ 答案 B解析 因为图象与x 轴交于两点，所以b 2－4ac >0，即b 2>4ac ，①正确． 对称轴为x ＝－1，即－b2a ＝－1,2a －b ＝0，②错误． 结合图象，当x ＝－1时，y >0，即a －b ＋c >0，③错误．由对称轴为x ＝－1知，b ＝2a .又函数图象开口向下，所以a <0，所以5a <2a ，即5a <b ，④正确．12．(2018·河南开封模拟)已知不等式xy ≤ax 2＋2y 2对x ∈[1,2]，y ∈[2,3]恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1，＋∞)B ．(－∞，1]C ．[－1,2]D ．(0,2]答案 A解析 不等式xy ≤ax 2＋2y 2对x ∈[1,2]，y ∈[2,3]恒成立，即a ≥y x －2⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2对x∈[1,2]，y ∈[2,3]恒成立，令t ＝yx ，则1≤t ≤3，∴a ≥t －2t 2在[1,3]上恒成立，设y ＝－2t 2＋t ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋18(t ∈[1,3])，∴y max ＝－1，∴a ≥－1.故选A.13．(2019·南昌模拟)若x >1时，x a －1<1，则a 的取值范围是________． 答案 (－∞，1)解析 因为x >1，x a －1<1，所以a －1<0，得a <1.14．若x ≥0，y ≥0，且x ＋2y ＝1，则2x ＋3y 2的最小值为________．答案 34解析 2x ＋3y 2＝2(1－2y )＋3y 2＝3y 2－4y ＋2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫y －232＋23，∵x ＝1－2y ≥0，∴0≤y ≤12，且f (y )＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫y －232＋23在该区间上是减函数．∴当y ＝12时，f (y )有最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝34.∴当y ＝12且x ＝0时，2x ＋3y 2有最小值34.15．已知幂函数f (x )＝x －12，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围是______．答案 (3,5)解析 ∵f (x )＝x －12 ＝1x(x >0)，易知x ∈(0，＋∞)时为减函数，又f (a ＋1)<f (10－2a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0，10－2a >0，a ＋1>10－2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a >－1，a <5，a >3，∴3<a <5.16．(2018·北京西城模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x12 ，0≤x ≤c ，x 2＋x ，－2≤x <0，其中c >0.那么f (x )的零点是________；若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2，则c 的取值范围是________．答案 －1和0 (0,4]解析 当0≤x ≤c 时，由x12＝0得x ＝0.当－2≤x <0时，由x 2＋x ＝0，得x＝－1，所以函数f (x )的零点为－1和0.当0≤x ≤c 时，f (x )＝x12，所以0≤f (x )≤c ；当－2≤x <0时，f (x )＝x 2＋x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－14，所以此时－14≤f (x )≤2.若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2，则有c ≤2，即0<c ≤4，即c 的取值范围是(0,4]．17．已知函数f (x )＝bx 2－2ax ＋a (a ，b ∈R )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14.(1)当a ＝2时，求函数f (x )在[0,3]上的最大值和最小值；(2)若a <0，求使函数f (x )的定义域为[－1,1]，值域为[－2,2]的a 的值． 解 (1)∵函数f (x )＝bx 2－2ax ＋a (a ，b ∈R )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14，∴14＝b ⎝ ⎛⎭⎪⎫122－2a ×12＋a ，解得b ＝1.当a ＝2时，f (x )＝x 2－4x ＋2，其图象关于x ＝2对称， ∴f (x )在[0,2]上单调递减，在[2,3]上单调递增， ∴f (x )在[0,3]上的最小值为f (2)＝－2，又f (0)＝2，f (3)＝－1，∴f (x )在[0,3]上的最大值为f (0)＝2. (2)由(1)知f (x )＝x 2－2ax ＋a ， 当－1≤a <0时，有⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝2，f (a )＝－2，即⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝1－a ＝2，f (a )＝a －a 2＝－2，解得a ＝－1；当a <－1时，有⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝－2，f (1)＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋2a ＋a ＝－2，1－2a ＋a ＝2，解得a ＝－1(舍去)． 综上所述a ＝－1.。