数列求和在证明导数类不等式中的应用(学生)

数列求和在证明导数类不等式中的应用
例1.已知函数()()ln 3f x a x ax a R =--∈
(1)讨论函数)(x f 的单调性;
(2)证明:*1111ln(1)()23n n N n +
+++>+∈ (3)证明:()*ln 2ln 3ln 4ln 5ln 12,2345n n n N n n ⋅⋅⋅<≥∈ (4)证明:()*22222ln 2ln3ln 4ln5ln 112,23452n n n n n N n n +⎛⎫⋅⋅⋅<⋅≥∈ ⎪⎝⎭
(5)证明:()444442*44444ln 2ln 3ln 4ln 5ln (1)2,23454n n n n N n n
+⋅⋅⋅<≥∈ (6)求证:()()()
()222222121ln 2ln3ln ...2,2321n n n n n N n n *-++++<≥∈+ (7)求证:()22221111111...12482n e n N *⎛
⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++<∈ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
例2.已知函数()ln 1f x x x =-+｡
(1)求()f x 的最大值;
(2)证明不等式:()*121n n n n e n N n n n e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<∈ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
例3.已知函数()()2ln 1f x x x =-+
(1)当0x >时,求证:()3
;f x x < (2)当n N *∈时,求证:
()33311111511...23421n
k f k n n n =⎛⎫<++++≤- ⎪+⎝⎭∑
例4.设函数()2
()ln(1)0f x x m x m =++≠ (1)若12m =-,求)(x f 的单调区间;
(2)如果函数)(x f 在定义域内既有极大值又有极小值,求实数m 的取值范围;
(3)求证:对任意的*N n ∈,不等式311ln n
n n n ->+恒成立｡
例5.已知函数()ln(1)(1)1()f x x k x k =---+∈R ,
(1)求函数()f x 的单调区间;
(2)若()0f x ≤恒成立,试确定实数k 的取值范围;
(3)证明:
ln 2ln 3ln (1)3414n n n n -+++<+(),1n N n ∈>.
例6.已知函数)0()(>++=a c x
b ax x f 的图像在点))1(,1(f 处的切线方程为1-=x y ｡
(1)用a 表示出c b ,;
(2)若x x f ln )(≥在),1[+∞上恒成立,求a 的取值范围;
(3)证明:)1()
1(2)1ln(131211≥+++>++++
n n n n n .
例7.已知函数2()2ln 1f x a x x =-+｡
(1)当1a =时,求函数()f x 的单调区间及()f x 的最大值;
(2)令()()g x f x x =+,若()g x 在定义域上是单调函数,求a 的取值范围; (3)对于任意的*2,n n N ≥∈,试比较22222ln 2ln 3ln 4ln 5ln n +++++与232(1)n n n n --+的大小并证明你的结论｡
例8.已知函数1ln(1)()(0)x f x x x
++=> (1)函数()f x 在区间(0,)+∞上是增函数还是减函数?证明你的结论｡
(2)当0x >时,()1
k f x x >+恒成立,求整数k 的最大值; (3)试证明:23*(112)(123)(134)(1(1))().n n n e n N -+⨯+⨯+⨯+⨯+>∈
例9.已知函数()()ln 0f x x a x a =-->
(1)若1a =,求()f x 的单调区间及()f x 的最小值; (2)若0a >,求()f x 的单调区间;
(3)试比较()()()
()222222121ln 2ln3ln ...2,2321n n n n n N n n *-++++≥∈+与的大小,并证明｡
例10.已知函数()()()ln ,a f x x g x x a R x
==+∈, (1)若1x ≥时,()()f x g x ≤恒成立,求实数a 的取值范围｡
(2)求证:
()ln 2ln 3ln 12,341n n n N n n
*⋅<≥∈+
例11.已知函数()2ln f x x x ax =+- (1)若函数()f x 在其定义域上为增函数,求a 的取值范围;
(2)设()11n a n N n
=+
∈*,求证:()()22212123...ln 12n n a a a a a a n n +++----<++L
例12.设各项为正的数列{}n a 满足111,ln 2,n n n a a a a n N +==++∈*.求证:21n n a ≤-.。