九年级数学上册第1章特殊平行四边形1.2矩形的性质与判定第2课时矩形的判定作业新版北师大版
北师大版九年级上册数学第一章特殊平行四边形1.2矩形的性质和判定(无答案)
1.2矩形的性质与判定一、矩形的定义1、有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
二、矩形的性质1、矩形的四个角都是直角。
2、矩形的对角线相等。
三、矩形的对称性矩形是轴对称图形，有两条对称轴。
也是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。
四、直角三角形斜边中线的性质1、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半2、如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
五、矩形的判定1、有一个角是直角的平行四边形是矩形。
2、对角线相等的平行四边形是矩形。
3、有三个角是直角的四边形是矩形。
☆对应训练知识点一、矩形的定义1、四个角相等的四边形________矩形（填“是”或“不是”）。
2、一组对边平行，且有两个角是直角的四边形________矩形（填“是”或“不是”）知识点二、矩形的性质1、矩形具有而菱形不具有的性质是（）A.两条对角线垂直B.两条对角线相等C.两组对边分别平行且相等D.两组对角分别相等2、如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O。
已知∠AOD=60°，AC=6，则图中长度为3的线段有（ ）A.2条B.4条C.5条D.6条3、如图所示，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于O ，过点A 作BD 的垂线，垂足为E ，已知∠EDA=3∠BAE ，∠EAO 的度数（ ）A.22.5°B.67.5°C.45°D.60°4、矩形的边长是4cm ，一条对角线的长是34cm ，则矩形的面积是________cm ²。
A.232B.216C.32D.385、一个矩形的长边是短边的2倍，对角线的长是5，那么这个矩形的长边等于（ ）A.52B.5C.1D.26、如图所示，将长方形ABCD 分成15个大小相等的小正方形，E 、F 、G 、H 分别在AD ，AB ，BC ，CD 边上，且是某个小正方形的顶点。
若四边形EFGH 的面积为3，则长方形ABCD 的面积为（ ）A.5B.6C.7D.87、如图所示，矩形ABCD 中（AD>AB ），点E 是BC 上一点，且DE=DA ，AF ⊥DE于点F ，下列结论不一定正确的是（ ）A.△AFD ≌△DCEB.AD=2AFC.AB=AFD.BE=AD -DF8、如图所示，在矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，AE 平分∠BAD 交BC 与E ，若∠EAO=15°，则∠BOE 的度数为（ ）A.85°B.80°C.75°D.70°9、如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AB=6，BC=8，则△ABO的周长为（）A.16B.18 C .20 D.2210、在矩形ABCD中，周长为32，AE平分∠BAD交于E，若CE=6，则矩形ABCD的面积为________。
九年级数学 第一章 特殊平行四边形2 矩形的性质与判定第2课时 矩形的判定作业
A．4 B．4.8 C．5.2 D．6
第10题图
11．如图，在△ABC 中，AC 的垂直平分线分别交 AC，AB 于点 D， F，BE⊥DF 交 DF 的延长线于点 E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF， 则四边形 BCDE 的面积是_2___3____．
第11题图
12．如图，在矩形ABCD中，AE＝AF，过点E作EH⊥EF交DC于点H，过F 作FG⊥EF交BC于点G，连接GH，当AD，AB满足______A__B_＝__A(D关系)时， 四边形EFGH为矩形．
第12题图
13．如图，AB∥CD，PM，PN，QM，QN分别为∠APQ，∠BPQ，∠CQP， ∠DQP的平分线．求证：四边形PMQN是矩形．
证明：∵PM，PN，QM 分别平分∠APQ，∠BPQ，∠CQP，∴∠MPQ
＝21 ∠APQ，∠NPQ＝21 ∠BPQ，∠MQP＝21 ∠CQP.∵∠APQ＋∠BPQ ＝180°，∴∠MPQ＋∠NPQ＝90°，即∠MPN＝90°.同理可证∠MQN ＝90°.∵AB∥CD，∴∠APQ＋∠CQP＝180°，∴∠MPQ＋∠MQP＝90 °，即∠PMQ＝90°，∴四边形 PMQN 是矩形
9．如图，顺次连接四边形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，在下列
条件中，能使四边形EFGH为矩形的是( C)
A．AB＝CD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AD∥BC
第9题图
10．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点(且 点P不与点B，C重合)，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，则EF的最小值为
第5题图
6．(2019·江西)如图，四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，对角线AC， BD相交于点O，且OA＝OD.求证：四边形ABCD是矩形．
北师大版九年级数学上册 知识点归纳
九年级数学上册知识点归纳第一章特殊平行四边形1.菱形的性质与判定菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
※菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。
菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。
※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
四条边都相等的四边形是菱形。
2.矩形的性质与判定※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形．．。
矩形是特殊的平行四边形。
※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。
（矩形是轴对称图形，有两条对称轴）※矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。
对角线相等的平行四边形是矩形。
四个角都相等的四边形是矩形。
※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
3.正方形的性质与判定正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。
※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。
（正方形是轴对称图形，有两条对称轴）※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；邻边相等的矩形是正方形；对角线相等的菱形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形。
正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图所示)：※梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
※两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。
※一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。
※等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。
同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。
※三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
※夹在两条平行线间的平行线段相等。
※在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半第二章一元二次方程1.认识一元二次方程※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为02=bxax（a、+c+b、c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程．．．．．．。
※把02=bxax（a、b、c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一+c+般形式，a为二次项系数；b为一次项系数；c为常数项。
九年级数学上册第一章特殊平行四边形1.2矩形的性质与判定第3课时矩形的性质判定与其他知识的综合课件(
∴MD＝MC，
由(1)知四边形ADCN是平行四边形，
∴MD＝MN＝MA＝MC，
∴AC＝DN，∴▱ADCN是矩形.
课堂小结
与全等三角形的结合
矩形的性 质与判定
与平面直角坐标系的结合
折叠问题
（2）连接DE，交AC于点F，请判断四边形ABDE的 形状，并证明；
解：四边形ABDE是平行四边形，理由如下： 由（1）知，四边形ADCE为矩形， 则AE=CD，AC=DE． 又∵AB=AC，BD=CD， ∴AB=DE，AE=BD， ∴四边形ABDE是平行四边形.
(3)线段DF与AB有怎样的关系？请直接写出你的结论.
5.如图，O是菱形ABCD对角线AC与BD的交点，CD＝ 5cm，OD＝3cm；过点C作CE∥DB，过点B作BE∥AC， CE与BE相交于点E.
(1)求OC的长； (2)求四边形OBEC的面积．
解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD. 在Rt△OCD中，由勾股定理得OC＝4cm； (2)∵CE∥DB，BE∥AC， ∴四边形OBEC为平行四边形. 又∵AC⊥BD，即∠COB＝90°， ∴平行四边形OBEC为矩形. ∵OB＝OD＝3cm， ∴S矩形OBEC＝OB·OC＝4×3＝12(cm2)．
解：四边形EFGH是菱形.
理由如下：连接AC，BD.
A
∵点E，F，G，H为各边中点，
EF GH 1 BD，FG EH 1 AC. F
又∵AC=B2D,
2
∴EF=FG=GH=HE，
D
∴四边形EFGH是菱形.
EB H
G
C
归纳 顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，得 到四边形是菱形.
北师大版数学九年级上册矩形的性质与判定(第2课时矩形的判定)课件(共26张)
7.如图， ABCD的四个内角的平分线相交 于点E、F、G、H. 求证：EG = FH.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC， ∴∠BAD+∠ABC=180°． 又∵AH，BH分别平分∠BAD，∠ABC， ∴∠DAE=∠BAE= ∠DAB，∠CBG=∠ABG= ∠ABC， ∴∠BAE+∠ABG= （∠DAB +∠ABC ）=90°， ∴∠AHB=90°， 同理可证∠EFG=90°，∠HEF=90°， ∴四边形EFGH为矩形，∴EG=FH．
∴∠ABC+∠DCB=180°.
∴∠ABC=∠DCB
=
1 2
×180°=90°.
∴□ABCD是矩形.(矩形的定义)
2．矩形的四个角都是直角，反过来，一个四边形 至少有几个角是直角时，这个四边形才是矩形呢？ 请证明你的结论，并与同伴交流．
归纳结论：有三个角是直角的四边形是矩形．
已知:如图,在四边形ABCD中,
已知:如图,在□ABCD中,对角线AC=BD.
求证:平行四边形ABCD是矩形.
分析:要证明□ABCD是矩形,只要证明有一个角是直角即可.
证明: ∵四边形ABCD是平行四边形. A
D
∴AB=CD,AB∥CD.
又∵AC=DB,BC=CB.
∴ △ABC≌△DCB.
B
C
∴∠ABC=∠DCB.
又∵AB∥CD.
巩固练习
1．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它 变为矩形，需要添加的条件是( D )
九年级数学上册第一章特殊平行四边形1.2矩形的性质与判定第2课时矩形的判定A层北师大版
F、G、H.
求证：EG = FH.
D E A F 图 3-14 C G B
H
课堂总结
定义
有一个角是直角的平行四边形是矩形
定理1：对角线相等的平行四边形是矩形 矩形的判定 定理 定理2：有三个角是直角的四边形是矩形
运用定理进行计算和证明
问题2:李芳觉得按照以上步骤可以得到一个矩形？你认为她的
判断正确吗？如果正确,你能证明吗？
新课讲解 已知：如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°. 求证：四边形ABCD是矩形. 证明:∵ ∠A=∠B=∠C=90°, ∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°. ∴AD∥BC,AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形. ∴四边形ABCD是矩形. 定理：有三个角是直角的四边形是矩形. A B D
C
∴□ABCD是矩形 （对角线相等的平行四边形是矩形）. ∴∠ABC=90°（矩形的四个角都是直角） . 在Rt△ABC中,由勾股定理,得 AB2 + BC2 =AC2 , ∴BC= AC AB 8 4 4 3 .
2 2 2 2
A
D O
B
C
∴S□ABCD=AB· BC=4× 4 3 = 16 3 .
第一章
特殊平行四边形
1.2 矩形的性质与判定
第2课时 矩形的判定
学习目标
1．理解并掌握矩形的判定方法．（重点）
2．能应用矩形判定解决简单的证明题和计算题.
（难点)
新课导入
问题: 什么是矩形？矩形有哪些性质？ A O
D C B
矩形：有一个角是直角的平行四边形.
矩形性质：①是轴对称图形; ②四个角都是直角; ③对角线相等且平分.
1.2《矩形的性质与判定》北师大版九年级数学上册教案(第2课时)
第一章特殊的平行四边形1.2 矩形的性质与判定第2课时一、教学目标1．理解矩形的概念，了解它与平行四边形之间的关系．2．经历矩形判定定理的探索过程，进一步发展合情推理能力．3．能够用综合法证明矩形的判定定理，以及其他相关结论，进一步发展演绎推理能力．4．进一步体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想．二、教学重点及难点重点：探索矩形的判定方法．难点：合理应用矩形的判定定理解决问题．三、教学用具多媒体课件、直尺或三角板。
四、相关资《四边形到平行四边形再到矩形的变化》动画，《矩形的判定》微课.五、教学过程设计【复习引入】1．什么叫做矩形？答：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．2．矩形与平行四边形及四边形有什么从属关系？3．矩形有什么特有的性质呢？答：（1）矩形的四个角都是直角；（2）矩形的对角线相等．4．你知道如何判定一个平行四边形是矩形吗？答：有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义判定）．5．那么除了矩形的定义外，还有没有其他判定矩形的方法呢？这节课我们就共同来探究一下．师生活动：教师出示问题，学生回答，让学生复习前面学过的内容．设计意图：通过复习，巩固旧知，铺垫新知，设置问题，引出新课．【探究新知】做一做如图，是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化．（1）随着∠α的变化，两条对角线的长度将发生怎样的变化？（2）当两条对角线的长度相等时，平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？师生活动：教师出示“做一做”并操作演示，学生思考、讨论、交流，猜想出矩形的一个判定方法．答：（1）当∠α增大到90°时，两条对角线的长度相等．当∠α超过90°时，以∠α的顶点为端点的一条对角线逐渐变短，另一条对角线逐渐变长．（2）当两条对角线的长度相等时，平行四边形的四个角都等于90°．得到的猜想是：对角线相等的平行四边形是矩形．思考你能证明你的猜想吗？师生活动：教师出示问题，学生思考，教师引导学生写出已知、求证并完成证明过程．答：已知：如图，在四边形ABCD中，AC，DB是它的两条对角线，AC=DB．求证：□ABCD是矩形．分析：利用全等三角形证明平行四边形的某两个相邻的角相等，而这两个角又互补，所以它们都是直角，从而得证．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，AB∥DC．又∵BC=CB，AC=DB，∴△ABC≌△DCB．∴∠ABC=∠DCB．∵AB∥DC，∴∠ABC+∠DCB=180°．∴∠ABC=∠DCB=．∴□ABCD是矩形（矩形的定义）．设计意图：培养学生发现规律的能力和逻辑推理能力．判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形．几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，∴四边形ABCD是矩形．该判定定理的两个适用条件：（1）对角线相等；（2）是平行四边形．想一想：我们知道，矩形的四个角都是直角．反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？请证明你的结论．师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论、交流，形成猜想并证明猜想．猜想：一个四边形至少有三个角是直角时，这个四边形就是矩形．已知：在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°．求证：四边形ABCD是矩形．证明：∵∠A=∠B=90°，∴∠A+∠B=180°．∴AD∥BC．∵∠B+∠C=180°，∴AB∥CD．∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）．又∵∠A=90°，∴四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．设计意图：培养学生的归纳猜想，推理论证的能力．判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形．几何语言：∵∠A=∠B=∠C=90°，∴四边形ABCD是矩形．归纳:矩形的判定方法：方法1：有一个角是直角的平行四边形是矩形；方法2：对角线相等的平行四边形是矩形；方法3：有三个角是直角的四边形是矩形．议一议你有什么方法检查你家（或教室）刚安装的门框是不是矩形？如果仅有一根较长的绳子，你怎样检查？请说明检查方法的合理性，并与同伴交流．师生活动：教师出示问题，学生思考，教师找学生代表回答．答：可以用直角尺检查安装的门框的四个角是否为直角．如果有三个角是直角，那么刚安装的门框一定是矩形．也可以用直尺（或皮尺）分别量出门框两组对边的长度，如果两组对边长度分别相等，则门框一定是平行四边形，再测量门框的对角线的长度，如果两条对角线的长度相等，那么刚安装的门框一定是矩形．如果仅有一根较长的绳子，可以先用绳子分别测量出门框的两组对边的长度，做上记号．如果两组对边的长度分别相等，那么这个门框一定是平行四边形，再用绳子量出门框的对角线的长度．如果这两条对角线的长度相等，那么这个刚安装的门框一定是矩形，否则不是矩形．理由是对角线相等的平行四边形是矩形．设计意图：让学生运用所学知识解决实际问题．【典例精析】例1 如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB=4，求□ABCD的面积．师生活动：教师出示例题，学生思考，教师引导学生完成本题．分析：教师先带学生从已知条件入手，对平行四边形对角线的性质进行分析，再结合△ABO是等边三角形的条件，很容易推出对角线相等，从而利用刚学的矩形的判定定理“对角线相等的四边形是矩形”证得是矩形，再利用勾股定理求出边长BC，进而求出矩形的面积．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD．又∵△ABO是等边三角形，∴OA=OB=AB=4，∠BAC=60°．∴OA=OB=OC=OD=4．∴AC=BD=2OA=2×4=8．∴□ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）．∴∠ABC=90°（矩形的四个角都是直角）．在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2+BC2=AC2，∴．∴S□ABCD=AB·BC=4×=．设计意图：培养学生应用所学知识解决问题的能力．【课堂练习】1．下列命题错误的是（）．A．对角线相等且互相平分的四边形是矩形B．对角互补的平行四边形是矩形C．对角线相等且有一个角是直角的四边形是矩形D．四个角都相等的四边形是矩形参考答案C2．如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC=8，BD=6，则四边形EFGH的面积为__________．参考答案12．3．已知：如图，在□ABCD中，M是AD边的中点，且MB=MC．求证：四边形ABCD是矩形．师生活动：教师先找几名学生板演，然后讲解出现的问题．答案证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC．∵M是AD边的中点，∴AM=DM．又∵MB=MC，∴△ABM≌△DCM（SSS）．∴∠A=∠D．又∵AB∥DC，∴∠A+∠D=180°．∴平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．4．如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是□ABCD外一点，且∠AEC=∠BED=90°．求证：□ABCD是矩形．师生活动：教师出示题目，学生思考，教师请有思路的学生讲述解题思路，然后订正，最后教师写出解题过程．证明：如图，连接OE．∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD．∵∠AEC=∠BED=90°，∴OE=AC=BD．∴AC=BD．∴□ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）．设计意图：通过本环节的学习，让学生巩固所学知识，进一步加深对所学知识的理解．六、课堂小结请同学们回顾一下，我们学过的矩形的判定方法有哪些？答：我们学过的矩形的判定方法有：（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形；（3）判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形．师生活动：教师出示问题，引导学生归纳、总结本节课所学内容．设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容．七、板书设计1.2 矩形的性质与判定（2）1．矩形的判定方法：（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形（3）判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形。
初中数学北师大版九年级上册《第一章特殊平行四边形2矩形的性质与判定第二课时》教材教案
北师大数学九年级上册第一章第二节矩形的判定答：随着/ 的增大，两条对角线的长度将慢慢的变成相等的；(2)当两条对角线的长度相等时，平行四边形又什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？点名学生回答，引出第二个证明方法。
猜想：“如果一个平行四边形的两条对角线相等，那么这个平行四边形是一个矩形。
”已知:如图，在口ABCD中,AC、BD是它的两条对角线，AC=BD 。
求证：口ABCD是矩形.A DB C证明：二.四边形ABCD是平行四边形.AB=CD,AB // CD.又「AC=DB,BC=CB.AABC DCB./ ABC= / DCB又「AB // CD.・ ./ ABC+ / DCB=180 ° .1 ，/ABC=/DCB =2 X 180° =90£7A BCD是矩形.（矩形的定义）猜想结论：学生尝试解题，并论证猜想几何语言：在二ABCD中］ <二〉四边形ABCD是矩形AC=BD教师：同学们，对角线相等的前提是要在平行四边形的基础上验证的，如果只是说两条对角线相等，那么这个图形就有可能不是矩形了。
接下来，我们来学习最后一种证明方法。
矩形的判定3:有三个角是直角的四边形是矩形小明同学用“边一一直角、边一一直角、边——直角、边”这样四步，画出了一个四边形，她说这就是一个矩形，她的判断对吗？为什么？猜想：有三个角是直角的四边形是矩形？已知：如图，在四边形ABCD中,/A=/B=/C=90° .求证：四边形ABCD是矩形.思考问题，小组展开讨论并动手作图学生听讲，记笔记A D证明：/A=/B=/C=90° ,. •/A+/ B=180°，/B+/C=180° .••.AD // BC,AB // CD. ••・四边形ABCD是平行四边形.••・四边形ABCD是矩形.矩形的判定3:三个角是直角的四边形是矩形.几何语言在二AB8中zA=zB=zC-90教师：学到这里，我们已经学完了矩形的证明方法了。
第1章-1.2-第2课时 矩形的判定
课堂小结 矩形的判定方法 方法 1：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 方法 2：对角线相等的平行四边形是矩形．(对角线相等
且互相平分的四边形是矩形) 方法 3：有三个角是直角的四边形是矩形．
3. 如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠D＝90°， 若再添加一个条件，就能推出四边形 ABCD 是矩形，你所添 加的条件是 ∠∠AA＝＝9900°°或或∠∠BB＝＝9900°°或或 AADD＝＝BBCC或或ABA∥B∥ CD( 写出一个即可 ) ．(写出一种情况即可)
4. 如图，将▱ABCD 的边 AB 延长到点 E，使 BE＝AB，
【归纳总结】对角线相等的平行四边形是矩形．当涉及 对角线相等时，可选择这一判定方法．
知识点 3 有三个角是直角的四边形是矩形 例3 已知：如图，Rt△ ABC≌Rt△ CDA，其中点 A，D 的对应点分别是 C，B，∠B＝∠D＝90°.求证：四边形 ABCD 是矩形．
【思路点拨】由 Rt△ ABC≌Rt△ CDA，根据全等三角形 的对应角相等，可得∠BAC＝∠ACD，由∠B＝∠D＝90°， 即可证得∠BCD＝90°，由有三个角是直角的四边形是矩形 证得结论．
知识点 2 对角线相等的平行四边形是矩形 例2 (教材 P16T2)如图，点 B 在 MN 上，过 AB 的中点 O 作 MN 的平行线，分别交∠ABM 的平分线和∠ABN 的平分线 于点 C，D.试判断四边形 ACBD 的形状，并证明你的结论．
【思路点拨】根据角平分线的定义和平行线推出∠OCB ＝∠OBC，推出 OC＝OB，同理 OD＝OB.说明四边形 ACBD 是对角线互相平分且相等的平行四边形．
证明：∵Rt△ ABC≌Rt△ CDA，∴∠BAC＝∠ACD. ∵∠B＝∠D＝90°， ∴∠BAC＋∠ACB＝90°， ∴∠ACB＋∠ACD＝90°，即∠BCD＝90°， ∴四边形 ABCD 是矩形．
2022年九年级数学上册第一章特殊平行四边形1.2矩形的性质与判定第2课时矩形的判定教案新版北师大版
1.2矩形的性质与判定第2课时矩形的判定教学目标【知识与能力】熟练运用矩形的定义和判定定理判定四边形是矩形．【过程与方法】经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力．【情感态度价值观】通过学生独立完成证明的过程，体会数学是严谨的科学，增强学生严谨的治学态度，从而养成良好的习惯．教学重难点【教学重点】能够用综合法证明矩形的判定定理并利用定义和定理进行证明.【教学难点】灵活运用矩形的性质和判定定理及其相关结论解决问题．课前准备多媒体课件、三角板.教学过程学生：定义，符合定义就是，不符合就不是．教师：说得非常好，我们来看一看下面的四边形是否符合矩形的定义．(课件展示)图1－2－441.已知：如图1－2－44，在ABCD中，AC＝BD.求证：四边形ABCD是矩形，注意：学生思考、交流后，教师可以适当地引导：给出的条件与矩形的定义相比，少了哪个条件？怎么办？教师：分析后课件展示过程．证明：∵AB＝DC，CA＝BD，BC＝CB，∴△ABC≌△DCB(SSS)，∴∠ABC＝∠DCB.在ABCD中，∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠DCB＝180°，∴2∠ABC＝180°，即∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形．教师：在菱形中，对角线互相垂直，而对角线互相垂直的平行四边形是菱形．类似地，在矩形中，对角线相等，反过来，对角线相等的平行四边形是矩形．我们判定的着手点就是看看图形“特殊”的地方，比如菱形的边也比较特殊，四条边都相等，所以四条边都相等的四边形是菱形．那么矩形有没有比较特殊的地方呢？学生：矩形的角特殊，四个角都是直角.教师：如果一个四边形的四个角都是直角，那么这个四边形是不是矩形呢？我们来试一试(课件展示)：2. 如图1－2－45，已知∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，则四边形ABCD是矩形吗？图1－2－45学生：思考、交流后尝试给出证明过程.教师：学生展示过程后点评、规范相应的步骤.证明：在四边形ABCD中，∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°，∴AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形.又∵∠A＝90°，∴四边形ABCD是矩形.教师：我怎么感觉有一个条件没有用到呢？学生：∠D＝90°.。
北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形1.2矩形的性质与判定(教案)
一、教学内容
北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形1.2矩形的性质与判定：
1.矩形的定义及特征
-矩形的概念：有一个角是直角的平行四边形
-矩形的性质：对边平行且相等，对角相等且都是直角，对角线互相平分且相等
2.矩形的判定方法
-有一个角是直角的平行四边形是矩形
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解矩形的基本概念。矩形是有一个角是直角的平行四边形，它在生活中有广泛的应用，比如建筑、设计等领域。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析一个矩形的实物模型，展示矩形在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调矩形的性质和判定方法这两个重点。对于难点部分，比如矩形判定方法的选择，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
课堂上，我尝试通过引入日常生活中的例子来激发学生的兴趣，效果还不错。大多数学生能够积极参与讨论，提出自己的看法。但在讲授矩形判定方法时，我发现部分学生对于何时使用哪种方法还不够明确。这可能是因为我在讲解时没有提供足够的具体案例，导致学生难以将理论知识与实际应用结合起来。
在实践活动环节，学生们分组讨论和实验操作的表现让我感到欣慰。他们能够相互协作，共同解决问题。但在小组讨论中，我也注意到个别学生参与度不高，可能是因为他们对主题不够感兴趣，或者是对矩形知识掌握不够扎实。为此，我计划在接下来的课程中，针对这部分学生提供更多的支持和鼓励，帮助他们更好地融入课堂。
-难点解析：通过对比不同判定方法的使用场景，提供多种图形案例，指导学生如何选择合适的判定方法。
-实际问题的解决：将矩形知识应用于解决实际问题时，学生可能会感到困惑。
九年级数学上册 第一章 特殊平行四边形 1.2 矩形的性质与判定
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第十五页，共十八页。
课堂总结
平行四边形
矩形
有一个角是 直角
性质
1.矩形是轴对称图形(túxíng)和中心对称图
形(túxíng)
2.矩形(jǔxíng)的四个角都是直角
转换
3.矩形的对角线相等且相互(xiānghù) 平分 直角三角形
等腰三角形
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O
B
C
定理：1.矩形的四个角都是直角(zhíjiǎo).
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2.矩形的对角线相等.
第九页，共十八页。
总结归纳
矩形是特殊的平行四边形,它除具有(jùyǒu)平行四边形的所有性质 外,还有平行四边形所没有的特殊性质.
矩形的特殊性质
平行四边形的性质
对称性：是轴对称图形 (túxíng). 角：四个角都是90°. 对角线：相等.
2条
.
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练一练
矩形的特殊性质，并把结果(jiē guǒ)填在下面横线上.
角： 四个角为9. 0°
A
B
对角线： 相等(xiāngdě. ng)
O
D
C
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证明猜想
求证:矩形(jǔxíng)的四个角都是直角，且对角线相等. 已知：如图,四边形ABCD是矩形,∠ABC=90°,对角线AC与DB相交
(xiāngjiāo)于点O.
求证：（1）∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°;
（2）AC=DB.
证明：（1）∵四边形ABCD是矩形.
∴∠ABC=∠CDA,∠BCD=∠DAB(矩形的对角相等(xiāngděng))
矩形的性质与判定的综合运用-课件
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14、意志坚强的人能把世界放在手中 像泥块 一样任 意揉捏 。2021年3月4日星期 四2021/3/42021/3/42021/3/4
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15、最具挑战性的挑战莫过于提升自 我。。2021年3月2021/3/42021/3/42021/3/43/4/2021
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16、业余生活要有意义，不要越轨。2021/3/42021/3/4Marc h 4, 2021
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11、越是没有本领的就越加自命不凡 。2021/3/42021/3/42021/3/4M ar-214- Mar-21
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12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人 的错儿 。2021/3/42021/3/42021/3/4T hursday, March 04, 2021
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13、知人者智，自知者明。胜人者有 力，自 胜者强 。2021/3/42021/3/42021/3/42021/3/43/4/2021
MK2＋NK2＝ （2x）2＋8x2＝2 3x，∴MDNN＝2 x3x＝2 3
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9、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。2021/3/42021/3/4T hursday, March 04, 2021
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10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。2021/3/42021/3/42021/3/43/4/2021 9:54:09 PM
13．如图，矩形 ABCD 中，AC，BD 相交于点 O，点 E 为矩 形 ABCD 外一点，若 AE⊥CE，求证：BE⊥DE.
解：连接 OE，∵四边形 ABCD 是矩形，∴OA＝OC，OB ＝OD，AC＝BD，∵AE⊥CE，∴OE＝21AC，∴OE＝12BD，∴ OE＝OB＝OD，可证∠BED＝90°，∴BE⊥DE
九年级数学上册 第一章 特殊平行四边形 2 矩形的性质与判定—如何判定一个四边形是矩形素材 (新版)
如何判定一个四边形是矩形矩形是一种特殊的平行四边形，如何判定一个四边形是矩形呢？同学们可以从以下几个方面进行思考.一、有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．例1、已知：如图1，在□ABCD 中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG ∥DB交CB的延长线于G．若DE=BE，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并说明理由．分析：本题是一道结论探索题，根据已知条件可以得到AD//BG，根据已知AG//BD，可知四边形AGBD是平行四边形，然后根据DE=BE，可以得∠ADB=90°，这样可判断四边形AGBD 是矩形.解：当DE=BE时，四边形 AGBD是矩形．理由：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC ．因为AG∥BD ，所以四边形 AGBD 是平行四边形．因为DE=BE，AE=BE ，所以AE=BE=DE ，所以∠1=∠2，∠3=∠4．因为∠1＋∠2＋∠3＋∠4=180°，所以2∠2＋2∠3=180°．所以∠2＋∠3=90°．即∠ADB=90°．所以四边形AGBD是矩形（有一个角是直角的平行四边形叫做矩形）．二、对角线相等的平行四边形是矩形．例2、已知：如图2，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A 作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连结AE、CF，若AC=EF，试判断四边形AFCE 是什么样的四边形，并说明理由.分析：由题设条件，易说明△DAF≌△DCE，进而得AF=CE，由AF∥CE，AF=CE，可得四边形AFCE是平行四边形，又AC=EF，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”可说明四边形AFCE是矩形.解：因为D是AC的中点，所以DA=DC，因为AF∥CE，所以∠AFD=∠CED。
在△DAF和△DCE中，图2BC图1∠AFD=∠CED ，∠CDE=∠FDE ，DA=DC ，所以△DAF ≌△DCE ，所以AF=CE ，所以四边形AFCE 是平行四边形，因为AC=EF ，所以四边形AFCE 是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。
九年级数学上册第一章特殊平行四边形2矩形的性质与判定教学
（2）矩形只比平行四边形多一个条件：“一个角是直角”，
不能用“四个角都是直角的平行四边形是矩形”来定义矩 形． 定12/义11/2：021有一个角是直角的平行四边形是矩形．
第五页，共二十四页。
矩形(jǔxíng)与平行四边形之间的关系
平行四边形 矩形
（3）矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切 性质（共性(gòngxìng)），还具有它自己特殊的性质（个 性）．
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第六页，共二十四页。
A
D
O
B
C
（4）从边、角、对角线方面，观察或度量猜想矩形的
特殊性质．
①边：对边平行且相等(xiāngděng)（与平行四边形相同），邻
边互相垂直；
②角：四个角是直角（性质1）；
③对角线：相等且互相平分．
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第七页，共二十四页。
定理(dìnglǐ):矩形的四个角都是直角. 已知:如图,四边形ABCD是矩形(jǔxíng).
（2）对角线相等的平行四边形是矩形；
（3）有三个角是直角的四边形是矩形. 3、1直2/1角1/20三21 角形斜边上的中线等于斜边上的一半.
第二十二页，共二十四页。
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第二十三页，共二十四页。
内容(nèiróng)总结
教学课件。1、能用综合法证明(zhèngmíng)矩形的性质定理、判定定理以及相关结论。请 从边、角、对角线三个方面说一说平行四边形有哪些性质。对角线：对角线互相平分．。（4）
∴△ABC是直角三角形.
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第十六页，共二十四页。
随堂练 习
1．如图所示，已知□ABCD，下列条件：①AC=BD，②
九年级数学上册 第一章 特殊平行四边形 2 矩形的性质与判定 第2课时 正方形的判定教学
∵BE平分∠ABC, CE平分∠ DCB,
∴∠EBC = 45°, ∠ECB = 45°, A
∴ ∠ EBC =∠ ECB .
∴ EB=EC,∴□ BECF是菱形 .
B
在△EBC中
∵ ∠EBC = 45°,∠ECB = 45°,
∴∠BEC = 90°,
∴菱形BECF是正方形.
第十四页，共三十页。
E D
解：①∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF为平行四边形. ②∵四边形AEDF为菱形(línɡ ， xínɡ)
∴AD平分∠BAC， 则AD平分∠BAC时，四边形AEDF为菱形.
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第二十六页，共三十页。
③在②的条件下，当△ABC满足(mǎnzú)什么条件时，四边
形AEDF为正方形，不说明理由．
叠部分得到一个(yī ɡè)正方形，可量一量验证验证.
正方形
猜想 满足怎样(zěnyàng)条件的矩形是正方形？
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矩形
一组邻边相等
正方
对角线互相垂直
形
第五页，共三十页。
证一证
对角线互相垂直(chuízhí)的矩形是正方形.
已知：如图,在矩形(jǔxíng)ABCD中,AC , DB是它的两条对角线,
(1) 求证：ADB=CDB;
(2) 若ADC=90,求证：四边形MPND是正方形.
证明(zhèngmíng)：（1）∵AB = BC,BD平分
∠ABC.
1
B2
∴∠1=∠2.
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∴△ABD≌△CBD (SAS).
A M
P D
N C
CDB. ∴∠ADB=∠ 第二十四页，共三十页。
九年级数学上册第一章特殊平行四边形1.2矩形的性质与判定第二课时
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第七页，共二十一页。
判定定理1 对角线相等(xiāngděng)的平行四边形是矩形.
已知：平行四边形ABCD，AC=BD.
求证(qiúzhèng)：四边形ABCD是矩形.
A
D
证明(zh∵èng在mín□g):ABCD中 ∴AB=CD
∵BC=CB,AC=DB
∴ △ABC≌ △DCB（SSS）
Image
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第二十一页，共二十一页。
∴∴A四D边∥形BCA，BCADB是∥平DC行四∴边□形ABCD是矩形
∵ ∠A=90°
12/11/2021 ∴四边形ABCD是矩形
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学以致用(xué
yǐ zhì yòng)
生活 中的 (shēnghuó) 数学
给你一根足够长的绳子，你能检查教室的 门窗或你的桌子是不是矩形吗？你怎样(zěnyàng)检
D
A
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C O
B
第十五页，共二十一页。
例2：如图在□ABCD中，对角线AC和BD相交
(xiāngjiāo)于点O，△ABO是等边三角形，AB=4. 求证：（1）四边形ABCD是矩形；
（2）求□ABCD的面积.
要判定一个四边形是矩形，通常先判定它是平行四边 形，再根据(gēnjù)平行四边形构成矩形的条件，判定有一个
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矩形的性质：
A
D
边 矩形(jǔxíng)对边平行且相等；
O
B
C
角
矩形(jǔxíng)的四个角都是直角；
对角线 矩形的对角线相等(xiāngděng)且平分
直角三角形的性质定理：