八年级数学矩形的性质
八年级数学《矩形》重点知识总结及经典例题
八年级数学《矩形》重点知识总结及经典例题学习目标1．了解矩形的概念及与平行四边形的关系．2．掌握矩形的性质及识别方法．3．能灵活地运用矩形的有关知识的计算和证明．学法指导矩形是特殊的平行四边形，平行四边形具有的性质矩形也具有，并且它还具有自己的特殊性．基础知识讲解1．矩形的概念有一个角为直角的平行四边形叫矩形．由概念可知，矩形首先是平行四边形，只是增加一个角是直角这个特殊条件．2．矩形的性质（1）具有平行四边形的一切性质．（2）矩形的四个内角是直角．（3）矩形的对角线相等且互相平分．（4）矩形即是中心对称图形又是轴对称图形．3．矩形的识别方法（1）有一个内角是直角的平行四边形是矩形．（2）对角线相等且互相平分的平行四边形为矩形．4．矩形的识别方法运用时应注意以下几点（1）用有一个内角是直角的平行四边形来判定一个四边形是否是矩形时须同时满足两个条件；一是有一个角是直角，二是平行四边形，也就是说有一个角是直角的四边形不一定是矩形，必须加上平行四边形这个条件才是矩形．（2）用“对角线相等的平行四边形是矩形”来判定一个四边形是否是矩形时也必须满足两个条件：一是对角线相等，二是平行四边形．重点难点重点：矩形的定义，性质及识别方法．难点：矩形的性质及识别方法的灵活运用．易错误区分析运用矩形的识别方法来判断四边形是否是矩形时易忽略满足的条件例1．对角线相等的四边形是矩形，这个结论正确吗？错解：这个结论正确正解：这个结论不正确分析：对角线相等的平行四边形才是矩形．典型例题例1．如图12-2-1所示：已知矩形ABCD的两条对角线AC，BD相交于O，∠AOD=120°，AB＝4cm，求矩形对角线长．分析：注意到矩形的对角线相等且平分这个特性，不难求解．解∵ABCD 为矩形∴AC ＝BD ，且OA=21AC ，OB=21BD ，∴OA=OB ， ∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60° ∴△AOB 为等边三角形∴OB ＝OA ＝AB ＝4，∴BD ＝2OB ＝2×4＝8cm ．例2．如图12-2-2所示：□ABCD 中AC ，BD 直交于O ，EF ⊥BD 垂足为O ，EF 分别交AD ，BC 于点E ，F ，且AE=EO=21DE.求证：□ABCD 为矩形分析：观察给出的已知图象的特征，要证□ABCD 为矩形，显然只要证AC ＝BD 即可，若Rt △DOE 的斜边上的中线OM ，易证△AOE ≌△DOM ，∴OA ＝OD 问题得证．证明：取DE 的中点M ，连结OM ，∴在Rt △DOE 中，OM=21DE=DM ， ∴OE=AE=21DE ，∠OME=∠OEA ∴OM ＝OE ，DM ＝AE ，∠OMD ＝∠OEM ，∴△OMD ≌△OEA ，∴OA=OD ，在□ABCD 中，∵OA=21AC ，OD=21BD ， ∴AC ＝BC ∴□ABCD 为矩形．例3．已知：如图所示，E 是已知矩形ABCD 的边CB 延长线上的一点，CE ＝CA ，F 是AE 的中点．求证：BF ⊥FD分析：由于CE ＝CA ，F 是AE 的中点，若连结CF ，则CF ⊥AE ．所示∠AFC ＝90°.所以要证BF ⊥FD ，只须再证∠CFB ＝∠AFD ．易知，只要证△AFD ≌△BCF ．证法一：连结CF ．因为CE ＝CA ，F 是AE 中点，所以CF ⊥AE ．所以∠AFD+∠DFC ＝90°，因为四边形ABCD 为矩形，所以AD ＝BC ，∠ABC ＝∠BAD ＝90°. 又∵F 是Rt △ABE 斜边BE 的中点，所以BF ＝AF ，所以∠FAB ＝∠FBA ，所以∠FAD=∠FBC ．所以△FAD ≌△FBC ．所以∠CFB=∠AFD ，所以∠CFB+∠DFC ＝90°，即BF ⊥FD ．证法二：如图所示：延长BF交DA延长线于点G，连结BD．因为四边形ABCD是矩形，所以AD BC，AC＝BD，所以∠AGF＝∠EBF，∠GAF=∠BEF．因为F是AE的中点，所以AF＝FE．所以△AGF≌△EBF所以GF＝BF，AG＝BE．所以GD＝EC．因为CA＝CE，CA＝BD，所以BF⊥DF.例4．已知如图：矩形ABCD中，E为CD的中点．求证：∠EAB＝∠EBA．分析：证角相等．若两角在同一个三角形中，可证三角形为等腰三角形．证明：∵四边形ABCD为矩形∴∠D＝∠C＝90°，AD＝BC∵E为DC的中点，∴△ADE≌△BCE ∴AE＝BE ∴∠EAB=∠EBA．例5．如图：已知矩形ABCD中，CF⊥BD于F，∠DAB的平分线AE与FC的延长线相交于点E，判断CA与CE的大小关系，并说明理由．分析：要判断CA与CE的大小关系，如果能证到∠EAO＝∠E即可得CA＝CE解：OA＝CO过点A作AM⊥DB，可得AM∥EF，∠MAE＝∠E∴∠DAM＝∠DBA＝∠OAB，∴∠MAE＝∠EAO∴∠EAO＝∠E ∴CE=CA创新思维例1．如图所示△ABC是直角三角形，∠C＝90°，现将△ABC补成矩形，使△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在这一边的对边上，那么符合要求的矩形可以画两个：矩形ACBD和矩形AEFB．解答问题（1）设图（2）中矩形ACBD和矩形AEFB的面积分别为S1，S2，则S1 S2.（填“＞”“＜”“＝”）（2）如图（3）中△ABC为钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，则符合要求的矩形可以画个，利用图（3）把它画出来．（3）过图（4）△ABC 是锐角三角形且三边满足BC ＞AC ＞AB ，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画 个，利用图（4）把它画出来． （4）在（3）中所画的矩形中，哪一个的周长最小？为什么？分析：本题主要考查矩形的性质和计算．解：（1）如图甲过点C 作CG ⊥AB 于G ，则CG=AE ．∵S 1=2S △ABC =2×21×AB ·CG=AB ·CG ，S 2=AE ·AB=CG ·AB ∴S 1=S 2 （2）有2个如图乙（3）有3个如图丙（4）设矩形BCED ，ACHQ ，ABGF 的周长分别为L 1，L 2，L 3，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ．易知，这些矩形的面积相等，令其面积为S ，则有L 1=a a s 22+，L 2=b s 2+2b ，L 3cs 2+2c ， ∵L 1-L 2=s a 2+2a-（b b s 22+）=2（a-b ）ab s ab -，而ab ﹥s ，a ﹥b ∴L 1-L 2﹥0，即L 1﹥L 2.同理L 2＞L 3．∴以AB 为边的矩形周长最小．例2．如图△ABC 中，点O 是AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角线于点F.（1）求证：EO ＝FO ；（2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？证明你的结论．分析：先证∠OCE ＝∠OEC 就有EO ＝CO ，同理有FO ＝CO ，即有EO ＝FO ．当0运动到AC 的中点时，四边形AECF 对角钱互相平分．∠EcF ＝90°.则四边形AECF 为矩形．证明：（l ）∵MN ∥BC ，∴∠1=∠3 又∵CE 为∠ACB 的角平分线，∴∠1＝∠2，∴∠2=∠3，∴OE ＝OC ，同理可证OF ＝OC ，∴OE=OF（2）当O 运动到AC 的中点时，四边形AECF 为矩形，因为AO ＝OC ，OE ＝OF.解：由矩形的特征，AC ＝EF ，由AE ∥CF ，CE ∥AF 知BECD 是平行四边形，故AE ＝CF ，从而AC ＝FE ．中考练兵1．如图所示，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在AB ，CD 上BF ∥DF ，若AD ＝12cm ，AB ＝7cm ，且AE ：EB=5：2，则阴影部分的面积为 .分析：由已知可判断四边形EBFD 是平行四边形．由平行线之间的距离处处相等，可知BE 边上的高与AD 的长相等．因此求BE 的长是关键．本题还可运用平移的方法，将△AED沿AB方向平移，使DE与BF重合，得空白部分所组成的图形是长12cm，宽5cm的矩形，可求其面积，然后将矩形ABCD的面积，减去空白部分的面积，即可得阴影部分的面积．也可通过矩形的面积减去二个全等三角形的面积，而得出阴影部分面积。
矩形的性质与计算方法
矩形的性质与计算方法矩形是一种具有特殊性质和计算方法的几何图形，拥有广泛的应用领域和实际价值。
本文将详细介绍矩形的性质和计算方法，并探讨其在数学和实际生活中的应用。
一、矩形的性质1. 边长性质：矩形的四条边长度相等，对应边两两平行。
2. 角性质：矩形的四个角都是直角。
3. 对角线性质：矩形的对角线相等，且相互平分。
二、矩形的计算方法1. 周长计算：矩形的周长等于两条相邻边的长度之和的两倍。
即，周长C = 2 × (a + b)，其中a和b分别表示相邻边的长度。
2. 面积计算：矩形的面积等于两条相邻边的长度相乘。
即，面积A = a × b，其中a和b分别表示相邻边的长度。
3. 对角线计算：矩形的对角线长度可以通过勾股定理计算。
即，对角线d = √(a² + b²)，其中a和b分别表示相邻边的长度。
三、矩形的应用1. 数学领域应用：矩形是数学中的基本几何图形，它在数学的各个分支中都有重要的应用，如代数、几何、概率等。
矩形的性质和计算方法是解决各类与矩形相关问题的基础。
2. 建筑领域应用：矩形是建筑设计和施工中常见的形状，比如房屋的平面图通常是矩形。
矩形的性质和计算方法可以帮助建筑师和工程师计算房屋的面积、周长，从而更好地规划和布置建筑空间。
3. 器物设计应用：矩形形状的器物在生活中随处可见，如桌子、书架、电视等。
矩形的性质和计算方法可以帮助设计师确定正确的比例，确保产品的美观和功能性。
4. 地理测量应用：矩形的性质和计算方法在地理测量中也有重要应用，如测算土地面积、建筑用地面积等。
通过测量边长和角度，可以精确计算各类地理空间和物体的尺寸和形状。
结语：矩形作为一种特殊的几何图形，具有独特的性质和重要的计算方法。
理解矩形的性质和熟悉计算方法对于数学学习和实际应用都很重要。
通过学习矩形的相关知识，我们可以更好地理解和应用几何学，同时也有助于我们更好地规划和设计生活、工作和学习中的各类场景。
初中数学矩形的性质及其判定
矩形中考要求知识点睛矩形的性质及判定1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．2．矩形的性质矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质：①边的性质：对边平行且相等．②角的性质：四个角都是直角．③对角线性质：对角线互相平分且相等．④对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．直角三角形中，30 角所对的边等于斜边的一半．点评：这两条直角三角形的性质在教材上是应用矩形的对角线推得，用三角形知识也可推得．3．矩形的判定判定①：有一个角是直角的平行四边形是矩形．判定②：对角线相等的平行四边形是矩形．判定③：有三个角是直角的四边形是矩形．例题精讲模块一矩形的概念【例1】矩形的定义：__________________的平行四边形叫做矩形．【答案】有一个角是直角；【例2】矩形的性质：矩形是一个特殊的平行四边形，它除了具有四边形和平行四边形所有的性质，还有：矩形的四个角______；矩形的对角线______；矩形是轴对称图形，它的对称轴是____________．【答案】都是直角，相等，经过对边中点的直线；【例3】矩形的判定：一个角是直角的______是矩形；对角线______的平行四边形是矩形；有______个角是直角的四边形是矩形．【答案】平行四边形；对角线相等；三个角【例4】矩形具有而平行四边形不具有的性质为（ ）A ．对角线相等B ．对角相等C ．对角线互相平分D ．对边相等【解析】省略 【答案】A【巩固】矩形ABCD 中，点H 为AD 的中点，P 为BC 上任意一点，PE HC ⊥交HC 于点E ，PF BH ⊥交BH 于点F ，当AB BC ，满足条件 时，四边形PEHF 是矩形 【解析】省略 【答案】2BC AB =模块二 矩形的性质【例5】如图，矩形ABCD 沿AE 折叠，使D 点落在BC 边上的F 点处，如果60BAF ∠=︒，则DAE ∠=FED CBA【解析】省略 【答案】15︒【例6】矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，∠AOB ＝60°，AC ＝10cm ，则BC ＝______cm ，周长为 ．【答案】，【例7】如图，在矩形ABCD 中，,E F 分别是,BC AD 上的点，且BE DF =. 求证：ABE ∆≌CDF ∆.D EFCAB【解析】省略【答案】∵四边形ABCD 是矩形∴90AB AD B D =∠=∠=，. 在ABE ∆和CDF ∆中， 又∵BE DF =， ∴ABE ∆≌CDF ∆.【例8】如图，在矩形ABCD 中，点E 是BC 上一点，AE AD =，DF AE ⊥，垂足为F .线段DF 与图中的哪一条线段相等？先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明。
人教版初中八年级下册数学课件 《矩形》平行四边形(第1课时矩形的性质)
A
D
O
B
C
基础训练 1. 下面性质中，矩形不一定具有的是（ D）
A．对角线相等
B．四个角都相等
C．是轴对称图形 D．对角线垂直
2. 过四边形的各个顶点分别作对角线的平行线，若这四条平行 线围成一个矩形，则原四边形一定是（ D ）
A．对角线相等的四边形 B．对角线互相平分且相等的四边形 C．对角线互垂直平分的四边形 D．对角线垂直的四边形
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°.点D是 AB的中点，点E为边AC上一点，连接CD，DE，以DE为边在 DE的左侧作等边△DEF，连接BF. 判断△BCD的形状；
温馨提示：矩形的定义有两个要素：
A
D
①四边形是平行四边形
②有一个角是直角，二者缺一不可。
B
C
矩形是特殊的平行四边形，因此它具有平行四边形的所有性质， 但它也有自己独特的性质。
2.矩形的性质（从边、角、对角线三个方面总结）
(1).边：①两组对边分别平行 ② 两组对边分别相等
A
D
几何语言：∵四边形ABCD是矩形
3. 已知矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对 角线所夹锐角的度数为（ ）D
A．50° B．60° C．70° D．80°
4. 矩形ABCD中，AB=2BC，E在CD上，AE=AB，则∠BAE等于
（）
A
A．30° B．45° C．60° D．120°
例2. 如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小 三角形的周长的和是86cm,对角线长是13cm，那么矩形的周长是多少？
B
C
∴AB//CD,AD//BC
AB=CD,AD=BC
初中数学矩形知识点总结
初中数学矩形知识点总结一、基本概念1. 矩形的定义矩形是一个有四个顶点的四边形，它的相对边相等且平行，且对角线相等的四边形称为矩形。
也可以说矩形是一种特殊的平行四边形。
2. 矩形的特点（1）矩形的四条边两两平行，相邻的两条边相等。
（2）对角线相等，且互相平分。
（3）矩形的内角为直角（90°）。
3. 矩形的符号表示用符号表示的矩形通常为ABCD，其中A、B、C、D分别为顶点，AB、BC、CD、DA分别为边，AD和BC为对角线。
常用的表示法有□ABCD、□A=□B=□C=□D等。
4. 矩形的四边和对角线矩形的周长P等于底和高的2倍，即P=2(A+B)，其中A、B分别为矩形的底和高。
矩形的面积S等于底乘高，即S=AB。
对角线AC等于√(A²+B²)，其中A、B分别为矩形的底和高。
二、矩形的性质1. 矩形内角性质矩形的内角为直角（90°），即∠A=∠B=∠C=∠D=90°。
2. 矩形的对角线性质任意两个对角相等，即AD=BC，AC=BD。
3. 矩形的边和角的关系矩形的相对边相等且平行，对角也相等。
4. 矩形的周长和面积矩形的周长等于底和高的2倍，即P=2(A+B)；面积等于底乘高，即S=AB。
其中A、B分别为矩形的底和高。
5. 矩形的对角线关系对角线相等，即AC=BD；对角线互相平分，即AC平分∠A和∠C，BD平分∠B和∠D。
6. 矩形的对角线和面积关系对角线的平方等于底和高的平方和，即AC²=AB²+BC²=AD²+DC²。
7. 矩形的高的性质一个矩形的高等于它的边长的最小值。
8. 矩形的对角线的性质对角线的相交点是矩形中点。
三、矩形的相关定理1. 矩形的对角线长度定理在一个矩形中，对角线的平方等于底边的平方加上高的平方，即AC²=AB²+BC²=AD²+DC²。
八年级数学矩形的性质
A
D
O
P
B
C
4.已知:如图,在矩形ABCD中, 对角线相交 于点O,∠AOB=60°,AE平分∠BAD,AE 交BC于E,求∠BOE的度数. 75°
A
D
O
B
E
C
根据矩形性质2：
A
D
矩形的对角线相等. O
∵四边形ABCD是矩形. B
C
∴AC=BD 又∵0A=0C=
1
AC,OB=OD=
1
BD.
2
A2
┏C
性质2：
矩形的对角线相等.
符号语言:
∵四边形ABCD是矩形. ∴AC=BD
根据矩形性质2：
A
D
矩形的对角线相等.
O
∵四边形ABCD是矩形. B
C
∴AC=BD
又∵0A=0C= 1 AC,OB=OD= 1 BD.
2
2
∴OA=OB=OC=OD.
注: 矩形被两条对角线分成的四个小三角形
都是等腰三角形,并且面积相等.
∴OA=OB=OC=OD.
O
结论:
B
C
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
归纳: 直角三角形的性质: (1)直角三角形的两个锐角互余. (2)直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的 平方. (3)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
例3 如图矩形ABCD的对角线AC、BD相交
于点O,E为矩形ABCD外一点，AE⊥CE,
那么BE⊥DE吗？
为什么？
解题思路：
E
由OE=OA=OC
A
D
得到OE=OB=OD 再得到∠BED=90°
O
B
C
矩形的性质和用途
矩形的性质和用途矩形是几何学中最基本的形状之一，具有许多独特的性质和广泛的应用。
本文将就矩形的性质和常见用途展开讨论。
一、性质1. 边长关系：矩形的两对相邻边长相等，对角线长度相等。
这个性质使得矩形有较好的对称性，可以方便地进行计算和推导。
2. 角度特性：矩形的四个角均为直角，即90度。
这使得矩形在建筑、绘图、设计等领域中应用广泛。
3. 面积计算：矩形的面积可以通过长度乘以宽度来计算，公式为A=长×宽。
这个简单的计算公式方便了矩形面积的求解，在测量、工程设计等方面具有重要作用。
4. 对角线性质：矩形的对角线相互垂直且相互平分。
这个性质使得矩形可以用于工程测量、图形构建以及装饰设计等方面。
二、用途1. 建筑和土木工程：矩形在建筑和土木工程中扮演重要角色。
例如，在房屋建设中，房间的墙壁往往是矩形的，矩形的角度特性使得房间更稳定和对称。
此外，建筑平面图中的墙壁、窗户、门等也常常利用矩形的性质来进行设计。
2. 绘图和设计：矩形在绘图和设计中常被使用。
绘制平面图、制作建筑物的模型、设计网页布局等都需要利用矩形的性质和对称性。
矩形还可以用于绘制地图、棋盘等。
3. 数学和几何学：矩形是几何学中最经典的形状之一，形成了许多数学定律和公式。
矩形的性质被广泛应用于数学问题的解决过程中，如计算面积、周长等。
4. 家居和室内设计：矩形的简单性质使得它在家居和室内设计领域中得到广泛运用。
例如，家具的设计往往以矩形为基础，包括桌子、座椅、柜子等。
墙壁、地板、天花板等室内元素也可以利用矩形的性质进行设计和布局。
5. 电子设备：矩形在电子设备中也有重要的应用。
例如，电视屏幕、电脑显示器、手机屏幕等都采用了矩形的形状。
此外，电子电路板的设计和制造也需要矩形的性质来进行布局和连接。
6. 艺术和装饰：矩形在艺术和装饰方面具有重要的地位。
矩形的简洁性和对称性使得它适合于许多装饰设计和艺术创作。
例如，画框、相框、墙画等的形状常常是矩形的。
矩形的性质和计算方法
矩形的性质和计算方法矩形，是数学中一种简单而重要的几何形状。
它具有一些独特的性质和计算方法，使得它在数学、几何学以及实际生活中都有着广泛的运用。
在本文中，我们将深入探讨矩形的性质和计算方法，帮助读者更好地理解和应用矩形。
一、矩形的定义和基本性质矩形是一个平面上的四边形，它的四个内角均为直角。
相较于其他四边形，矩形具有以下基本性质：1. 四个内角均为直角：在一个矩形中，每个内角都是90度，这使得矩形在建筑、绘画等领域有广泛应用。
2. 两对相对边相等：矩形的相对边长相等，即两条相对边的长度相同。
这个性质使得矩形在制作家具等方面有着重要作用。
3. 对角线相等且相互平分：矩形的对角线相等且相互平分，这使得对角线在计算和绘制矩形时有重要作用。
二、矩形的计算方法1. 矩形的周长计算：矩形的周长等于其各边长之和的两倍。
设矩形的长为L，宽为W，则矩形的周长C计算公式为C=2(L+W)。
2. 矩形的面积计算：矩形的面积等于其长乘以宽。
设矩形的长为L，宽为W，则矩形的面积S计算公式为S=L×W。
3. 矩形的对角线计算：矩形的对角线长度可以通过两条边长计算得到。
设矩形的长为L，宽为W，则矩形的对角线D计算公式为D=√(L²+W²)。
三、矩形的应用领域矩形作为一种常见的几何形状，在许多领域都有广泛的运用，下面列举了一些例子：1. 建筑设计：在建筑设计中，矩形被广泛应用于房屋的平面设计中。
例如，房间的墙壁、门窗等常常采用矩形形状，使得建筑结构更加稳定和美观。
2. 图形绘制：绘画和图形设计中经常使用矩形作为基本的几何形状。
矩形可以用于绘制桌子、窗户、书架等物品，使得画面更具立体感。
3. 计算机图形学：在计算机图形学中，矩形被广泛用于表示屏幕、视窗等显示区域。
矩形的性质和计算方法也为计算机图形学提供了基础。
4. 统计学和金融计算：在统计学和金融计算中，矩形被用作柱状图、条形图、表格等的基本形状，方便数据的展示和分析。
初中数学八年级下册《矩形的性质》教学设计及说课稿模板
初中数学《矩形的性质》教学设计及说课稿模板《矩形的性质》教学设计一、教学目标【知识与技能】学生掌握矩形的定义和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系，会初步运用矩形的定义和性质来解决有关问题。
【过程与方法】经历探索矩形的定义和性质的过程，通过演示、观察、动手操作、归纳总结等活动，增强动手操作能力，增强主动探究意识。
【情感态度价值观】在探究矩形的性质的活动中，培养严谨的推理能力以及合作探究的精神，体会逻辑推理的思维价值，感受数学活动的乐趣。
二、教学重难点【教学重点】矩形的性质。
【教学难点】矩形的性质的探究和灵活应用。
三、教学过程(一)引入新课演示改变平行四边形活动框架的形状，当有一个角是直角时引导学生观察图形特征，引出矩形的定义;通过提问并引导学生观察矩形还有哪些特殊的性质，从而导入新课《矩形的性质》(二)探索新知通过三个活动引导学生从角、对角线、对称性等几个方面去探究矩形的性质。
活动1：让学生观察、猜测、(一小组为单位)动手测量验证，然后老师多媒体演示动画，让学生总结矩形的性质;引导学生用几何语言证明矩形的性质。
活动2：学生拿出矩形纸跟着老师动手折叠探究矩形的对称性、然后多媒体动画演示，得到矩形既是轴对称图形又是中心对称图形。
活动3：老师引导学生观察矩形ABCD，用多媒体课件演示从矩形中抽象出直角三角形，学生归纳，教师补充得出矩形性质的推论，并引导学生证明。
(1)推论直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
(2)总结直角三角形的性质(三)课堂练习已知矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=4cm，求矩形对角线的长?(四)小结作业提问：今天有什么收获?引导学生回顾：矩形的性质。
课后作业：设计一个图表清楚的展示四边形、平行四边形、矩形之间的关系。
四、板书设计《矩形的性质》说课稿尊敬的各位考官大家好，我是今天的X号考生，今天我说课的题目是《矩形的性质》。
新课标指出：数学课程要面向全体学生，适应学生个性发展的需要，使得人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上都能得到不同的发展。
《矩形的性质》说课稿
《矩形的性质》说课稿（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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八年级数学复习考点知识与题型专题讲解09 矩形的性质
八年级数学复习考点知识与题型专题讲解专题09 矩形的性质【思维导图】【考查题型】考查题型一 利用矩形的性质求角度1．（2022·河北张家口市·八年级期中）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，若50COD =︒∠，那么CAD ∠的度数是( )A ．30°B ．20︒C ．40︒D ．25︒【答案】D【提示】根据题意只要证明OA=OD ，根据三角形的外角的性质即可解决问题；【详解】解：∵矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，∴DB ＝AC ，OD ＝OB ，OA ＝OC ，∴OA＝OD，∴∠CAD＝∠ADO，∵∠COD＝50°＝∠CAD+∠ADO，∴∠CAD＝25°，故选D．【名师点拨】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．（2022·河南许昌市·八年级期末）如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC=3:2，2．则∠BDE的度数为（）A．36°B．18°C．27°D．9°【答案】B【解析】试题解析：已知∠ADE：∠EDC=3：2⇒∠ADE=54°，∠EDC=36°，又因为DE⊥AC，所以∠DCE=90°-36°=54°，根据矩形的性质可得∠DOC=180°-2×54°=72°所以∠BDE=180°-∠DOC-∠DEO=18°故选B．3．（2022·河南新乡市·八年级期末）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连结AE，如果∠ABD=60°，那么∠BAE的度数是（）A ．40°B．55°C．75°D．80°【答案】C【提示】连接AC ，由矩形性质可得AD∥BE，AC=BD ，∠BAD=90°，∠ABD=∠BAC=60°，又可得∠E=∠DAE，可得∠E 度数，进而得出∠BAE 的度数．【详解】 解：连接AC ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD∥BE，AC=BD ，∠BAD=90°，∠ABD=∠BAC=60°，∴∠E=∠DAE，∠CAD=∠BAD -∠BAC=90°-60°=30°，又∵BD=CE，∴CE=CA，∴∠E=∠CAE，∵∠CAD=∠CAE+∠DAE，∴∠E+∠E=30°，即∠E=15°．∴∠BAE=90°-15°=75°，故选C ．【名师点拨】本题考查矩形性质，熟练掌握矩形对角线相等且互相平分、对边平行是解题关键．4．（2022·河北保定市·八年级期末）如图，矩形ABCD 中，连接AC ，延长BC 至点E ，使BE AC =，连接DE ，若40BAC ∠=︒，则∠E 的度数是（ ）A ．65°B．60°C．50°D．40°【答案】A【提示】连接BD ，与AC 相交于点O ，则BD=AC=BE ，得△BDE 是等腰三角形，由OB=OC ，得∠OBC=50°，即可求出∠E 的度数.【详解】解：如图，连接BD ，与AC 相交于点O ，∴BD=AC=BE，OB=OC ，∴△BDE 是等腰三角形，∠OBC=∠OCB，∵40BAC ∠=︒，∠ABC=90°，∴∠OBC=904050︒-︒=︒， ∴11(18050)1306522E ∠=⨯︒-︒=⨯︒=︒； 故选择：A.【名师点拨】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，以及直角三角形两个锐角互余，解题的关键是正确作出辅助线，构造等腰三角形进行解题.5．（2022·山东青岛市期末）如图，矩形ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，M ，N 分别为BC ，OC 的中点．若3MN =，6AB =，则ACB ∠的度数为（ ）A ．30°B ．35︒C ．45︒D ．60︒【答案】A【提示】根据矩形的性质和直角三角形的性质以及中位线的性质，即可得到答案．【详解】∵M，N分别为BC，OC的中点，∴MN是∆OBC的中位线，∴OB=2MN=2×3=6，∵四边形ABCD是矩形，∴OB=OD=OA=OC=6，即：AC=12，∵AB=6，∴AC=2AB，∵∠ABC=90°，∴ACB=30°．故选A．【名师点拨】本题主要考查矩形的性质和直角三角形的性质以及中位线的性质，掌握矩形的对角线互相平分且相等，是解题的关键．考查题型二利用矩形的性质求线段长度6．（2022·山东菏泽市·九年级期中）如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM//AB 交AD于点M，若OM=3，BC=10，则OB的长为（）A．5B．4C．2D【答案】D【详解】提示：在Rt△AOM中，用勾股定理求AO，根据BO是Rt△ABC斜边上的中线求解.详解：因为四边形ABCD是矩形，所以AD＝BC＝10，∠ABC＝∠D＝90°.因为OM∥AB，所以∠AMO＝∠D＝90°.因为OM＝3，AM＝12AD＝12×10＝5.Rt△AMO中，由勾股定理得AO因为O是矩形ABCD的对角线AC的中点，所以OB＝AO故选D.名师点拨：本题考查了勾股定理和矩形的性质及直角三角形斜边上的中线,矩形的对边相等，四个角都是直角，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.7．（2022·山东济南市·八年级期末）如图,P是矩形ABCD的对角线AC的中点,E是AD 的中点.若AB=6,AD=8,则四边形ABPE的周长为（）A．14B．16C．17D．18【答案】D【提示】由矩形的性质得出∠ABC=90°，CD=AB=6，BC=AD=8，由勾股定理求出AC，由直角三角形斜边上的中线性质得出BP，证明PE是△ACD的中位线，由三角形中位线定理得出PE=1 2CD=3，四边形ABPE的周长=AB+BP+PE+AE，即可得出结果．【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，CD=AB=6，BC=AD=8，，∴BP=12AC=5，∵P是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是AD的中点，∴AE=12AD=4，PE是△ACD的中位线，∴PE=12CD=3，∴四边形ABPE的周长=AB+BP+PE+AE=6+5+3+4=18；故选D．【名师点拨】本题考查了矩形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质、三角形中位线定理；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．8．（2022·福建省八年级期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知∠AOD=120°，AC=16，则图中长度为8的线段有（）A．2条B．4条C．5条D．6条【答案】D【提示】根据矩形性质得出DC=AB，BO=DO=12BD，AO=OC=12AC=8，BD=AC，推出BO=OD=AO=OC=8，再证得△ABO是等边三角形，推出AB=AO=8=DC，由此即可解答．【详解】∵AC=16，四边形ABCD是矩形，∴DC=AB，BO=DO=12BD，AO=OC=12AC=8，BD=AC，∴BO=OD=AO=OC=8，∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°，∴△ABO是等边三角形，∴AB=AO=8，∴DC=8，即图中长度为8的线段有AO、CO、BO、DO、AB、DC共6条，故选D．【名师点拨】本题考查了矩形性质和等边三角形的性质和判定的应用，矩形的对角线互相平分且相等，矩形的对边相等．9．（2022·湖北武汉市八年级期中）如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是CD边的中点．若AB=8，OM=3，则线段OB的长为（）A．5B．6C．8D．10【答案】A【提示】已知OM是△ADC的中位线，再结合已知条件则DC的长可求出，所以利用勾股定理可求出AC的长，由直角三角形斜边上中线的性质则BO的长即可求出．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=90°，∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB，∴OM是△ADC的中位线，∵OM=3，∴AD=6，∵CD=AB=8，，∴BO=12AC=5．故选A．【名师点拨】本题考查了矩形的性质，勾股定理的运用，直角三角形斜边上中线的性质以及三角形的中位线的应用，解此题的关键是求出AC的长．10．（2022·渠县土溪镇九年级期末）若矩形对角线相交所成钝角为120°，短边长3.6cm，则对角线的长为( )．A．3.6cm B．7.2cm C．1.8cm D．14.4cm【答案】B【提示】如图，根据矩形性质得出AC=BD，AO=OC=12AC，BO=OD=12BD，求出OA=OB，得出△AOB是等边三角形，求出AB=AO=OB，即可得出答案．【详解】如图，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，AO=OC=12AC，BO=OD=12BD，∴OA=OB，∵∠AOD=120°，∴∠AOB=180°-120°=60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB=AO=OB=3.6cm，∴BD=AC=2AO=7.2cm，故选B．【名师点拨】本题考查了矩形性质和等边三角形的性质和判定的应用，关键是求出等边三角形AOB和求出BD=AC=2AO．考查题型三利用矩形的性质求面积11．（2022·河南洛阳市·七年级期中）如图，周长为34的矩形ABCD被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD的面积为（）A．280B．140C．70D．196【答案】C【解析】解：设小长方形的长、宽分别为x、y，依题意得：，解得：，则矩形ABCD的面积为7×2×5=70．故选C．【点评】考查了二元一次方程组的应用，此题是一个信息题目，首先会根据图示找到所需要的数量关系，然后利用这些关系列出方程组解决问题．12．（2022·滕州市九年级期中）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE=2，PF=8．则图中阴影部分的面积为（ ）A ．10B ．12C ．16D ．18 【答案】C 【提示】首先根据矩形的特点，可以得到S △ADC =S △ABC ，S △AMP =S △AEP ，S △PFC =S △PCN，最终得到S 矩形EBNP = S 矩形MPFD,即可得S △PEB =S △PFD ，从而得到阴影的面积．【详解】作PM⊥AD 于M ，交BC 于N ．则有四边形AEPM ，四边形DFPM ，四边形CFPN ，四边形BEPN 都是矩形， ∴S △ADC =S △ABC ，S △AMP =S △AEP ，S △PFC =S △PCN ∴S 矩形EBNP = S 矩形MPFD ,又∵S △PBE =12S 矩形EBNP ，S △PFD =12S 矩形MPFD ， ∴S △DFP =S △PBE =12×2×8=8，∴S 阴=8+8=16， 故选C ． 【名师点拨】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明S △PEB =S △PFD ．13．（2022·酒泉市九年级期中）如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的( )A．15B．14C．13D．310【答案】B 【提示】根据矩形的性质，得△EBO≌△FDO，再由△AOB与△ABC同底且△AOB的高是△ABC高的1 2得出结论．【详解】解：∵四边形为矩形，∴OB＝OD＝OA＝OC，在△EBO与△FDO中，∵∠EOB＝∠DOF，OB＝OD，∠EBO＝∠FDO，∴△EBO≌△FDO（ASA），∴阴影部分的面积＝S△AEO＋S△EBO＝S△AOB，∵△AOB与△ABC同底且△AOB的高是△ABC高的12，∴S△AOB＝12S△ABC＝14S矩形ABCD．故选B．【名师点拨】本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质14．（2022·石阡县八年级期末）矩形的对角线长为20，两邻边之比为3：4，则矩形的面积为（）A．56B．192C．20D．以上答案都不对【答案】B【提示】首先设矩形的两邻边长分别为：3x，4x，可得（3x）2+（4x）2=202，继而求得矩形的两邻边长，则可求得答案．【详解】解：∵矩形的两邻边之比为3：4，∴设矩形的两邻边长分别为：3x，4x，∵对角线长为20，∴（3x）2+（4x）2=202，解得：x=4，∴矩形的两邻边长分别为：12，16；∴矩形的面积为：12×16=192．故选B．考查题型四求矩形的顶点在直角坐标系上的坐标15．（2022·南丹县八年级期中）如图将四个全等的矩形分别等分成四个全等的小矩形，其中阴影部分面积相等的是（）A．只有①和②相等B．只有③和④相等C．只有①和④相等D．①和②，③和④分别相等【答案】D【详解】试题提示：根据三角形的面积公式来计算即可．解：小矩形的长为a,宽为b,则①中的阴影部分为两个底边长为a,高为b的三角形，∴1·22S a b ab =⨯⨯=；②中的阴影部分为一个底边长为a，高为2b的三角形，∴1·22S a b ab =⨯⨯=；③中的阴影部分为一个底边长为a，高为b的三角形，∴11·22S a b ab =⨯=；④中的阴影部分为一个底边长为a，高为b的三角形，∴11·22S a b ab =⨯=．故选D.考点：三角形的面积．16．（2022·江苏苏州市·八年级期末）如图，平面直角坐标系中，长方形OABC，点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点B（6，3），现将△OAB沿OB翻折至△OA′B位置，OA′交BC于点P．则点P的坐标为（）A．（94，3）B．（32，3）C．（125，3）D．（5,32）【答案】A【提示】由折叠的性质和矩形的性质证出OP=BP，设OP=BP=x，则PC=6﹣x，再用勾股定理建立方程9+（6﹣x）2=x2，求出x即可．【详解】∵将△OAB沿OB翻折至△OA′B位置，OA′交BC于点P，∴∠A'OB=∠AOB，∵四边形OABC是矩形，∴BC∥OA，∴∠OBC=∠AOB，∴∠OBC=∠A'OB，∴OP=BP，∵点B的坐标为（6，3），∴AB=OC=3，OA=BC=6，设OP=BP=x，则PC=6﹣x，在Rt△OCP中，根据勾股定理得，OC2+PC2=OP2，∴32+（6﹣x）2=x2，解得：x =154， ∴PC =6﹣154=94，∴P （94，3），故选：A ．【名师点拨】此题主要考查折叠和矩形的性质以及利用勾股定理构建方程，熟练掌握，即可解题. 17．（2022·辽宁浑南区·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，点O 是坐标原点，点A 、C 的坐标分别是()6,0，()0,3，点B 在第一象限，则点B 的坐标是（ ）A ．()3,6B ．()6,3C ．()6,6D ．()3,3 【答案】B 【提示】根据矩形的性质得出点B 的坐标即可． 【详解】解：∵四边形OABC 是矩形， ∴OC=AB，CB=OA ，∵点A ，C 的坐标分别是（6，0），（0，3）， ∴AB=3，OA=6， ∴点B 坐标为（6，3），故选：B．【名师点拨】此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质得出点B的坐标．18．（2022·河北唐山市·八年级期末）如图，四边形 OABC 是矩形，A（2，1），B（0，5），点 C 在第二象限，则点 C 的坐标是（）A．（1，3）B．（﹣1，2）C．（﹣2，﹣3）D．（﹣2，4）【答案】D【提示】先分别过C和A作y轴的垂线，构造两组全等三角形，用矩形的相关性质即可证明，再利用两组三角形全等对应边相等CE=AF、BE=OF，结合已知坐标就能求得C点坐标．【详解】解：过C作CE⊥y轴与E，过A作A F⊥y轴于F．∴∠CEO=∠AFB=90° ∵四边形ABCO 为矩形 ∴AB=OC，AB //OC ∴∠ABF=∠COECEO AFB ABF COE AB OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△OCE≌△BAF（AAS ） 同理可得CEB AFO AOF CBE CB AO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BCE≌△OAF（AAS ） ∴CE=AF，OE=BF ，BE=OF ∵A（2，1），B （0，5） ∴AF=CE=2，BE=OF=1，OB=5 ∴OE=4,∴点C 的坐标为（-2，4） 故选：D ．【名师点拨】本题主要考察矩形性质的应用、三角形全等的判定与性质、坐标系与几何综合，易错点在于与坐标系综合中可能会出现的符号错误问题．19．（2022·河南周口市·七年级期中）一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标分别是（﹣1，﹣1）、（﹣1，2）、（3，2），则第四个顶点的坐标是（）A．（2，2）B．（2，3）C．（3，﹣1）D．（3，3）【答案】C【提示】过（-1，-1）、（3，2）两点分别作x轴、y轴的平行线，交点为第四个顶点．【详解】解：如图所示：过（﹣1，﹣1）、（3，2）两点分别作x轴、y轴的平行线，交点为（3，﹣1），即为第四个顶点坐标．故选：C．【名师点拨】本题考查了矩形的性质和坐标与图形性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．考查题型五直角三角形斜边中线20．（2022·江西吉安市·九年级期中）如图，矩形纸片ABCD中，已知AD =8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为( )A．3B．4C．5D．6【答案】D【解析】试题提示：先根据矩形的特点求出BC的长，再由翻折变换的性质得出△CEF是直角三角形，利用勾股定理即可求出CF的长，再在△ABC中利用勾股定理即可求出AB的长．解：∵四边形ABCD是矩形，AD=8，∴BC=8，∵△AEF是△AEB翻折而成，∴BE=EF=3，AB=AF，△CEF是直角三角形，∴CE=8﹣3=5，在Rt△CEF中，CF===4，设AB=x，在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即（x+4）2=x2+82，解得x=6，故选D．考点：翻折变换（折叠问题）；勾股定理．21．（2022·河北邯郸市·八年级期末）已知：如图，折叠矩形ABCD，使点B落在对角线AC上的点F处，若BC＝8，AB＝6，则线段CE的长度是（）A．3B．4C．5D．6【答案】C【提示】在Rt△ABC中利用勾股定理可求出AC＝10，设BE＝a，则CE＝8﹣a，根据折叠的性质可得出BE＝FE＝a，AF＝AB＝6，∠AFE＝∠B＝90°，进而可得出FC＝4，在Rt△CEF中，利用勾股定理可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出a值，将其代入8﹣a中即可得出线段CE的长度．【详解】解：在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，∴AC＝10．设BE＝a，则CE＝8﹣a，根据翻折的性质可知，BE＝FE＝a，AF＝AB＝6，∠AFE＝∠B＝90°，∴FC＝4．在Rt△CEF中，EF＝a，CE＝8﹣a，CF＝4，∴CE2＝EF2+CF2，即（8﹣a）2＝a2+42，解得：a＝3，∴8﹣a＝5．故选C．【名师点拨】本题考查了翻折变换、矩形的性质、勾股定理以及解一元二次方程，在Rt△CEF中，利用勾股定理找出关于a的一元二次方程是解题的关键．22．（2022·甘肃白银市·九年级期末）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，已知∠BDC=62°，则∠DFE的度数为（）A．31°B．28°C．62°D．56°【答案】D【提示】先利用互余计算出∠FDB=28°，再根据平行线的性质得∠CBD=∠FDB=28°，接着根据折叠的性质得∠FBD=∠CBD=28°，然后利用三角形外角性质计算∠DFE的度数．【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∠ADC=90°，∵∠FDB=90°-∠BDC=90°-62°=28°，∵AD∥BC，∴∠CBD=∠FDB=28°，∵矩形ABCD沿对角线BD折叠，∴∠FBD=∠CBD=28°，∴∠DFE=∠FBD+∠FDB=28°+28°=56°．故选D．【名师点拨】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．23．（2022·山东泰安市·九年级期中）如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E为BC的中点,将ABE沿AE折叠,使点B落在矩形内点F处,连接CF,则CF的长为（）A．95B．185C．165D．125【答案】B【提示】连接BF，由折叠可知AE垂直平分BF，根据勾股定理求得AE=5，利用直角三角形面积的两种表示法求得BH=125，即可得BF=245，再证明∠BFC=90°，最后利用勾股定理求得CF=185．【详解】连接BF，由折叠可知AE垂直平分BF，∵BC=6，点E为BC的中点，∴BE=3，又∵AB=4，=，∵1122AB BE AE BH⋅=⋅，∴1134522BH⨯⨯=⨯⨯，∴BH=125，则BF=245，∵FE=BE=EC，∴∠BFC=90°，=185．故选B．【名师点拨】本题考查的是翻折变换的性质、矩形的性质及勾股定理的应用，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．24．（2022·河南洛阳市·八年级期末）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点B落在点B′处，则重叠部分△AFC的面积为（）A．12B．10C．8D．6【答案】B【提示】已知AD 为CF 边上的高，要求AFC △的面积，求得FC 即可，求证AFD CFB '△≌△，得B F DF '=，设DF x =，则在Rt AFD △中，根据勾股定理求x ，于是得到CF CD DF =-，即可得到答案．【详解】解：由翻折变换的性质可知，AFD CFB '△≌△，'DF B F ∴=，设DF x =，则8AF CF x ==-，在Rt AFD △中，222AF DF AD =+，即222(8)4x x -=+，解得：3x =，835CF CD FD ∴=-=-=，1102AFC S AF BC ∴=⋅⋅=△． 故选：B ．【名师点拨】本题考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等内容，根据折叠的性质得到AFD CFB '△≌△是解题的关键．考查题型六 直角三角形中线25．（2022·山东枣庄市·九年级期末）如图，△ABC 中，AB=AC=10，BC=8，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，点E 为AC 的中点，连接DE ，则△CDE 的周长为（ ）A ．20B ．12C ．14D ．13【答案】C【详解】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，BC=8，∴AD⊥BC，CD=BD=12BC=4，∵点E为AC的中点，∴DE=CE=12AC=5，∴△CDE的周长=CD+DE+CE=4+5+5=14．故选C．【名师点拨】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．26．（2022·江苏省无锡市八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD=2，CE=5，则CD=（）A．2B．3C．4D．【答案】C【解析】提示：根据直角三角形的性质得出AE=CE=5，进而得出DE=3，利用勾股定理解答即可．详解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CE为AB边上的中线，CE=5，∴AE=CE=5，∴DE=3，∵CD为AB边上的高，∴在Rt△CDE中，，故选C．名师点拨：此题考查直角三角形的性质，关键是根据直角三角形的性质得出AE=CE=5．27．（2022·株洲市八年级期中）如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C 被湖隔开，若测得AM的长为1.2km，则M、C两点间的距离为（）A0.5kmA．0.6kmB．0.9kmC．1.2km【答案】D【详解】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得距离为1.2km.故选D28．（2022·黑龙江哈尔滨市·八年级期中）直角三角形中，两直角边分别是12和5，则斜边上的中线长是（）A．34B．26C．6.5D．8.5【答案】C【提示】利用勾股定理列式求出斜边，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．解：由勾股定理得，斜边＝2212513+=，所以，斜边上的中线长＝12×13＝6.5．故选C．【名师点拨】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，熟记性质是解题的关键．考查题型七利用矩形的性质证明29．（2022·金昌市八年级期中）如图，四边形ABCD是矩形，点E在CD边上，点F在DC 延长线上，AE＝BF．（1）求证：四边形ABFE是平行四边形；（2）若∠BEF＝∠DAE，AE＝3，BE＝4，求EF的长．【答案】（1）证明见解析；（2）EF＝5【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠D=∠BCD=90°．∴∠BCF=180°﹣∠BCD=180°﹣90°=90°．∴∠D=∠BCF．在Rt△ADE和Rt△BCF中AE BF AD BC ì=ïí=ïî，∴Rt△ADE≌Rt△BCF．∴∠1=∠F．∴AE∥BF．∵AE=BF，∴四边形ABFE是平行四边形．（2）解：∵∠D=90°，∴∠DAE+∠1=90°．∵∠BEF=∠DAE，∴∠BEF+∠1=90°．∵∠BEF+∠1+∠AEB=180°，∴∠AEB=90°．在Rt△ABE中，AE=3，BE=4，5==．∵四边形ABFE是平行四边形，∴EF=AB=5．【名师点拨】熟练运用矩形的性质，平行四边形的判定方法，勾股定理是解答本题的关键．30．（2022·山东菏泽市·九年级期中）已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：BF=CD．【答案】证明过程见解析【解析】试题提示：由四边形ABCD为矩形，得到四个角为直角，再由EF与FD垂直，利用平角定义得到一对角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用ASA得到三角形BEF与三角形CFD全等，利用全等三角形对应边相等即可得证．试题解析：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，∵EF⊥DF，∴∠EFD=90°，∴∠EFB+∠CFD=90°，∵∠EFB+∠BEF=90°，∴∠BEF=∠CFD，在△BEF和△CFD中，，∴△BEF≌△CFD（ASA），∴BF=CD．考点：（1）矩形的性质；（2）全等三角形的判定与性质31．（2022·广东揭阳市·九年级期末）已知，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．（1）如图（1），连接AF、CE．①四边形AFCE是什么特殊四边形？说明理由；②求AF的长；（2）如图（2），动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，已知点P 的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．【答案】（1）①菱形，理由见解析；②AF＝5；（2）43秒．【提示】（1）①先证明四边形ABCD为平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判定；②根据勾股定理即可求AF 的长；（2）分情况讨论可知，P 点在BF 上；Q 点在ED 上时；才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可．【详解】（1）①∵四边形ABCD 是矩形，∴AD∥BC，∴∠CAD＝∠ACB，∠AEF＝∠CFE．∵EF 垂直平分AC ，∴OA＝OC ．在△AOE 和△COF 中，CAD ACB AEF CFE A C O O ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOE≌△COF(AAS)，∴OE＝OF(AAS)．∵EF⊥AC，∴四边形AFCE 为菱形．②设菱形的边长AF ＝CF ＝xcm ，则BF ＝(8﹣x)cm ，在Rt△ABF 中，AB ＝4cm ，由勾股定理，得16+(8﹣x)2＝x 2，解得：x ＝5，∴AF＝5．（2）由作图可以知道，P点AF上时，Q点CD上，此时A，C，P，Q四点不可能构成平行四边形；同理P点AB上时，Q点DE或CE上，也不能构成平行四边形．∴只有当P点在BF上，Q点在ED上时，才能构成平行四边形，∴以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，∴PC＝QA，∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，∴PC＝5t，QA＝12﹣4t，∴5t＝12﹣4t，解得：t＝43．∴以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t＝43秒．【名师点拨】本题考查了矩形的性质的运用，菱形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，平行四边形的判定及性质的运用，解答时提示清楚动点在不同的位置所构成的图形的形状是解答本题的关键．。
八年级数学矩形的性质
矩形的两个相邻角互为补角，即它们 的角度和为180度。
对角相等
矩形的对角线将矩形分成四个相等的 直角三角形，因此矩形的对角相等。
角平分线性质
角平分线性质
矩形的四个角都是直角，因此其角平分线将相邻两边分别平分，形成两个相等 的直角三角形。
角平分线与对角线关系
矩形的角平分线与对角线互相垂直，形成一个“X”形，将矩形分成四个相等的 部分。
元件封装
电子元件的封装常常采用矩形 形状，如矩形扁平封装（QFP）、 矩形球栅阵列封装（BGA）等， 以提高元件的集成度和可靠性。
连接器设计
矩形在连接器设计中也常被采 用，如排针、排母等，以实现 电子设备之间的稳定连接。
04
矩形与其他几何形状的关系
与平行四边形的关系
矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有 性质。
TH方形是一种特殊的矩形，具 有矩形的所有性质。
正方形的所有边都相等，所有 角都是直角，而矩形只有所有 角是直角。
正方形的对角线相等且互相平 分，而矩形的对角线相等且互 相平分。
05
矩形性质的证明与推导
对角线的性质证明
证明矩形对角线相等
根据勾股定理，在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边 的平方。由于矩形的对角线互相平分且垂直，所以矩形对角 线相等。
八年级数学矩形的性质
目
CONTENCT
录
• 引言 • 矩形的性质 • 矩形在生活中的应用 • 矩形与其他几何形状的关系 • 矩形性质的证明与推导
01
引言
目的和背景
01
掌握矩形的性质是解决数学问题 的基础，特别是在几何学中。
02
通过了解矩形的性质，学生可以 更好地理解几何图形的特性和关 系，为进一步学习其他几何图形 打下基础。
八年级数学《矩形的性质》教学点评
八年级数学《矩形的性质》教学点评八年级数学《矩形的性质》教学点评一、从引入到研究。
从学生的认知的平行四边形的特点平滑过渡到矩形新知识上来，过渡自然，知识衔接很紧密，而且从中体现了矩形就是平行四边形的知识联系和关系。
展现给学生清晰的知识系统和结构。
然后紧扣矩形是平行四边形的特例，用研究平行四边形的方法来研究矩形的性质，引人入胜，提高了学生跃跃欲试的强烈愿望，达到了激趣导学的目的。
此时秦老师抓住了学生的心理进一步深入，顺便提出学习目标，给学生指明了研究的方向和任务，从而引导学生正确地探究。
不足的是引入和矩形定义的给定这两个过程学生没有充分的体验。
引入时应该给每个学生一个与老师展示的模型一样的模型，让学生直观地去探求平行四边形在各种情况下的情形，这正好给学生开放思维的机会，其实学生根据已有的小学的经验完全能知道某一特殊位置的矩形。
这样就进一步激发学生探求知识的热情和兴趣。
同时培养学生探索科学的至学精神，体验到了生活中有无穷的科学奥妙。
情感意识和价值观也得到了培养。
二、学生思维、操作与老师的引导容为一体。
秦老师设计了让学生先画一个矩形，然后让学生由自己的感知来认识矩形的特点。
这一点设计巧妙。
学生前面有探究的欲望，有了探究的方向，而现在又有了研究的方法了，并且还指导小组合作，分工明确，所以学生从此就切入到探究的活动之中。
这整个过程一环扣一环，环环相连，层层深入，步步为营。
学生有热情、有兴趣、有目标、有方向、有方法，所有的同学都参与其中了。
三、小组的评价，激励性很强。
小组的探研，组内的合作和组间的交流开展得有色有声，形式多样，内容丰富因陋就简就地取材，例如给小组打分，把小组的共同的结果贴在黑板上等等。
学生激情高涨，探索劲头十足，培养了学生不畏困难的毅力和勇气，提高了学生的交际交流能力和自我展示能力。
而老师也没有闲着，一直参与其中，并指导和引导他们，及时地评价学生。
秦老师的导演者、引导者、合作者的角色把握很准，完全没有主观的垄断和主导学生。
人教版八年级下册数学第18章18.2.1矩形的性质(教案)
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与矩形相关的实际问题，如矩形的对角线在生活中的应用。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如用直尺和量角器测量矩形的性质。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
人教版八年级下册数学第18章18.2.1矩形的性质（教案）
一、教学内容
人教版八年级下册数学第18章18.2.1《矩形的性质》：
1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2.矩形的性质：
（1）矩形的四个角都是直角；
（2）矩形的对边相等且平行；
（3）矩形的对角线相等；
（4）矩形是轴对称图形，对边中点连线所在的直线是它的对称轴；
在学生小组讨论环节，我发现学生们对于矩形在实际生活中的应用有很多有趣的想法，这说明他们能够将所学知识应用到实际问题中。但同时，我也注意到有些学生在讨论中偏离了主题，这可能是我引导不够到位，或者是对讨论主题的限定不够明确。
最后，我觉得在课程结束后，应该留出更多的时间让学生提问和解答疑惑。这样不仅能够及时解决他们在学习过程中遇到的问题，还能让我更好地了解学生的学习情况，为下一步的教学做好准备。通过这次教学反思，我会努力改进教学方法，希望在接下来的课程中，能够更好地帮助学生们掌握矩形的知识。
（4）矩形性质与平行四边形性质的联系与区别：学生可能会混淆矩形的性质与平行四边形的性质。
-难点解析：通过对比分析，让学生明确矩形是特殊的平行四边形，并掌握两者的联系与区别。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《矩形的性质》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过形状类似长方形或正方形的物体？”（举例说明，如桌面、书本等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索矩形的奥重心，该点在矩形内任意移动，矩形形状不变。
数学矩形知识点归纳
数学矩形知识点归纳矩形1、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2、矩形的性质：⑴ 矩形具有平行四边形的一切性质；⑵ 矩形的四个角都是直角；⑶ 矩形的对角线平分且相等；（AC=BD）⑷ 矩形是轴对称图形，它有2条对称轴。
提示：⑴ “矩形的四个角都是直角”这一性质可用来证两条线段互相垂直或角相等，“矩形的对角线相等”这一性质可用来证线段相等；⑵ 矩形的两条对角线分矩形为面积相等的四个等腰三角形。
3、矩形判定方法：⑴ 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
⑵ 方法1：对角线相等的平行四边形是矩形。
⑶ 方法2：有三个角是直角的四边形是矩形。
初中数学知识点总结：平面直角坐标系下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。
平面直角坐标系平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。
水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合三个规定：①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。
③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。
初中数学知识点：平面直角坐标系的构成对于平面直角坐标系的构成内容，下面我们一起来学习哦。
平面直角坐标系的构成在同一个平面上互相垂直且有公共原点的`两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。
通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。
水平的数轴叫做X轴或横轴，铅直的数轴叫做Y轴或纵轴，X轴或Y轴统称为坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点。
初中数学知识点：点的坐标的性质下面是对数学中点的坐标的性质知识学习，同学们认真看看哦。
点的坐标的性质建立了平面直角坐标系后，对于坐标系平面内的任何一点，我们可以确定它的坐标。
人教版八年级数学下册矩形的性质
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4.已知△ABC是Rt△，∠ABC=900， BD是斜边AC上的中线
(1)若BD=3㎝ 则AC＝ 6 ㎝
B A D
┓
C
(2) 若∠C=30°，AB＝5㎝，则AC＝ 10 BD＝ 5 ㎝.
㎝，
A
D
一、填空
1.矩形的四个角都是 直角 ，对角线 相等 且 互相平分 . B 2.直角三角形两直角边长分别为6cm、8cm,则斜边上的中线长为 A 5cm 3.如图,在矩形ABCD中对角线AC、BD相交于点O,若AB=6cm, ∠BOC= 120 ,则∠ACB= ,AC= 。 12cm 30 ° D 4.若矩形的两条对角线的一个夹角是60 °,且一条对角线与一条短边 的和是12cm ，则此矩形的对角线的长是 。 A 8cm 5.如右图,矩形ABCD沿AE折叠,使点D落在BC边上 15° 。 的F处,如果∠BAF=60 °,则∠DAE= 二、如图,在矩形ABCD中,两条对角线AC、BD相 交于O, ∠ACD=30 °, AB 4 3 ①判断△AOD形状; ②求对角线AC 、BD的长
的平行四边形是矩形 ＿＿＿＿＿＿。
A C E B D F
G
1
H
2 3 4
求证：矩形的四个角都是直角．
已知：如图，四边形ABCD是矩形
求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°
证明： ∵四边形ABCD是矩形 ∴ ∠A=90° 又 矩形ABCD是平行四边形 ∴ ∠A=∠C
BAΒιβλιοθήκη D∠B = ∠DC
∠A +∠B = 90° ∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90° 即矩形的四个角都是直角
方法小结: 如果矩形两对角 线的夹角是60° 或120°, 则其中必有等边三角形.
初中数学 什么是矩形 它有哪些特点和性质
初中数学什么是矩形它有哪些特点和性质矩形是一种特殊的四边形，具有一些独特的特点和性质。
在本篇文章中，我们将详细探讨矩形的定义、特点和性质。
矩形的定义：矩形是一种四边形，其四个内角都是直角（90度）。
矩形的对边是平行的且相等。
在矩形中，相邻的两条边也是相等的。
矩形的特点和性质：1. 直角特性：矩形的四个内角都是直角（90度）。
这意味着矩形的边与边之间相互垂直。
2. 对边特性：矩形的对边是平行的且相等。
这意味着矩形的相对边长相等，并且它们之间没有交叉。
3. 相邻边特性：矩形的相邻的两条边也是相等的。
这意味着矩形的宽度和长度相等。
4. 对角线性质：矩形的对角线相等且互相平分。
对角线是连接矩形的相对顶点的线段，它们相互垂直且相等长度。
5. 对角线的长度：矩形的对角线长度可以根据矩形的宽度和长度计算得出。
根据勾股定理，对角线的长度等于宽度的平方加上长度的平方的开平方。
6. 面积特性：矩形的面积可以通过宽度和长度的乘积计算得出。
矩形的面积等于宽度乘以长度。
7. 周长特性：矩形的周长可以通过将宽度和长度乘以2，然后相加计算得出。
矩形的周长等于宽度乘以2加上长度乘以2。
8. 对称性：矩形具有对称性。
矩形的中心是对称轴，如果将矩形绕着中心旋转180度，它仍然是自身。
9. 最大面积：对于固定的周长，矩形是能够得到最大面积的四边形。
这是因为矩形的对角线长度最大。
10. 矩形的判定：如果一个四边形的四个内角都是直角，并且相邻边相等，那么它就是矩形。
通过了解矩形的定义、特点和性质，我们可以更好地理解和应用矩形的概念。
矩形在几何学和实际生活中都有广泛的应用，例如建筑物的设计、家具的制作和地图的绘制等。
熟练掌握矩形的特点和性质，可以帮助我们解决与矩形相关的数学问题，并提升我们的几何思维能力。
矩形的性质与判定知识点
矩形的性质与判定知识点矩形是初中数学中非常重要的一个几何图形，具有独特的性质和判定方法。
下面我们就来详细了解一下矩形的性质与判定的相关知识点。
一、矩形的定义矩形是一种特殊的平行四边形，其中四个内角都是直角。
二、矩形的性质1、矩形的四个角都是直角因为矩形是平行四边形，平行四边形的对角相等且邻角互补。
而矩形的四个角都是直角，即 90 度。
2、矩形的对角线相等矩形的两条对角线将矩形分成了四个三角形。
通过全等三角形的证明可以得出矩形的对角线相等。
3、矩形的对边平行且相等这一性质继承自平行四边形。
矩形的对边相互平行，且长度相等。
4、矩形是轴对称图形矩形有两条对称轴，分别是通过对边中点的直线。
5、矩形的面积等于长乘以宽假设矩形的长为 a，宽为 b，那么其面积 S ＝ a×b。
6、矩形的周长等于 2×（长＋宽）即 C ＝ 2×（a ＋ b) 。
三、矩形的判定1、有一个角是直角的平行四边形是矩形这是矩形判定的最基本方法。
如果一个平行四边形中有一个角是直角，那么根据平行四边形的性质，它的对角相等，邻角互补，所以其他三个角也都是直角，从而该平行四边形就是矩形。
2、对角线相等的平行四边形是矩形在平行四边形中，如果对角线相等，通过全等三角形的证明可以得出相邻的两个角相等，而平行四边形的邻角互补，所以这两个角都是直角，从而该平行四边形为矩形。
3、有三个角是直角的四边形是矩形如果一个四边形中有三个角是直角，那么根据四边形的内角和为360 度，第四个角也必然是直角，所以该四边形是矩形。
四、矩形性质与判定的应用矩形的性质和判定在实际生活和数学解题中都有广泛的应用。
在实际生活中，比如建筑设计、家具制作等领域，都需要用到矩形的性质和判定。
例如，在建造房屋时，要确保房间的形状是矩形，就需要通过测量角度和对角线的长度来判断。
在数学解题中，矩形的性质和判定可以帮助我们解决与几何图形相关的问题。
比如，已知一个四边形是矩形，我们就可以利用其对角线相等、四个角都是直角等性质来求解相关的边长、角度或面积等问题。
矩形知识点总结
引言：矩形是一种常见的几何形状，具有四个直角和对边相等的特点。
在数学和工程领域中，矩形是研究和应用最广泛的形状之一。
本文将从矩形的性质、特点以及相关公式等方面进行详细的阐述和总结。
概述：正文：一、矩形的基本性质1.定义：矩形是一个具有四个直角和对边相等的四边形。
2.性质：对边相等且垂直、角度为90度，相邻边平行。
3.公式：矩形的周长=2(长边+短边)，矩形的面积=长边短边。
二、矩形的周长和面积1.周长：矩形的周长等于所有边的长度之和，即周长=2(长边+短边)。
2.面积：矩形的面积等于长乘以宽，即面积=长边短边。
3.面积与周长关系：在给定周长的情况下，面积最大的矩形是正方形，即长和宽相等。
三、矩形的对角线和对角线长度1.对角线定义：矩形的对角线是连接矩形两个对角的线段。
2.对角线性质：两条对角线长度相等，且平分矩形的内部角。
对角线相交于矩形的中心点。
3.对角线长度计算：对角线长度d=√(长边^2+短边^2)。
四、矩形的特殊性质1.正方形：是一种特殊的矩形，具有四个边相等的性质。
2.长方形：是一种特殊的矩形，具有两个对边相等的性质。
3.其他特殊性质：矩形的对角线长度大于任何一条边的长度。
五、矩形在实际生活中的应用1.建筑和工程：矩形是建筑和工程中常见的形状，比如矩形的水泥板、砖块等。
2.家居和室内设计：矩形的家具和装饰物在室内设计中起到重要作用。
3.计算和几何分析：矩形的周长和面积计算在数学和几何分析中广泛应用。
总结：矩形是一种重要的几何形状，具有四个直角和对边相等的特点。
本文从矩形的基本性质、周长和面积、对角线及其长度、特殊性质以及实际应用等方面进行了详细的阐述和总结。
矩形的特点使其在各个领域具有广泛的应用，深入了解和掌握矩形的知识对于理解和应用相关领域具有重要意义。
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