《数理金融理论与模型》习题解答

《数理金融理论与模型》习题解答

第一章 金融市场

第一章 练习题 解答

1. 已知一家上市公司在下一年度分红为2元/股，该公司业绩年均增长率为5%，并且红利

分配以同样的增长率增加，并且假设每年的贴现率都为10%，那么这家上市公司现在的股票在价值是多少？ 解答：

()

()

11

1112401110%5%

1n n

n

n n d i d i d IV i r r i r -∞

∞==++⎛⎫===== ⎪++--⎝⎭+∑

∑

2. 下表给出了“2005年记账式(四期)国债”的基本信息，假设2010年3月19日观察到的到

期收益率曲线为水平直线4%，则问这一天“2005年记账式(四期)国债”的价值应该是多少？

()()()()()()140.07950.079515.07951140.07950.079515.079511100*1114.11% 4.11%104.11%100*106.251 3.8903%11n n n n c c c DirtyPrice r r r r r +=+=⎡⎤

+=++⎢⎥

+++⎢⎥⎣⎦

⎡⎤

=++=⎢⎥

+++⎢⎥⎣⎦

∑∑

100**(10.0795)106.25 3.78102.47CleanPrice DirtyPrice c =--=-=

3. 请简要叙述利用复制技术与无套利原理对金融衍生品定价的原理与步骤，认真体会为什

么由这个方法定出来的价格称为无套利价格。并仔细回顾本章中如何利用复制技术和无套利原理进行衍生品定价，以及推导期权的价格性质。 解答： 见第二节容

4. 请利用构造股票和储蓄存款组合复制远期合约的方式，以及无套利原理证明股票远期的

定价公式，请分别就股票不支付红利与支付红利的情形构造组合，并给出无套利定价公式。 解答：

Case 1：无红利支付情形： 组合一：一个远期合约多头；

组合二：一份不支付红利的标的股票多头和存款()·r T t K e ---（即借款()·r T t K e --）

； 记两个组合的价值函数分别为1t ∏和2t ∏，则显然两个组合在T 时刻的价值为T S K -，

即T 时刻的价值可以完全复制12T T ∏=∏。由无套利原理可知对任意t T ≤，都有12

t t ∏=∏，

即：

()·r T t t t f S K e --=-

由于签订远期合约不需要支付任何成本，当时也没有任何收入，所以这个合约在当时的

价值应该等于零，也就是说对于任意t T <，都有()·

0r T t t t f S K e --=-=，从而可以得到远期执行价格的定价公式为：

()·r T t t t K S e -=

Case 2：支付连续红利q 情形：

组合一：一个远期合约多头；

组合二：()q T t e --份支付红利的标的股票多头和存款()·r T t K e ---（即借款()·r T t K e --）

； 记两个组合的价值函数分别为1t ∏和2t ∏，则显然组合一在T 时刻的价值为T S K -。由

于股息连续累计，t 时刻的1份股票在T 时刻的价值为()q T t T e S -，从而组合二在T 时刻的价

值为[]()()*q T t q T t T T e e S K S K ----=-，即T 时刻的价值可以完全复制12

T T ∏=∏。由无套

利原理可知对任意t T ≤，都有12t t ∏=∏，即：

()()·q T t r T t t t f e S K e ----=-

由于签订远期合约不需要支付任何成本，当时也没有任何收入，所以这个合约在当时的

价值应该等于零，也就是说对于任意t T <，都有()()·

0q T t r T t t t f e S K e ----=-=，从而可以得到远期执行价格的定价公式为：

()()·r q T t t t K S e --=

5. 假设投资者在2010年3月12日签订一份股票远期合约，合约的到期日为2010年9月

12日，标的股票当日价格为5元每股，若一年期银行存款利率为单利3%，则这份合约的执行价格应该是多少？若到2010年7月12日股票价格涨到了6元，而一年期银行存款利率仍然为3%，那么在这一天该远期合约多头的价值是多少？

解答：

2010年3月12日： 对应 t=0，此时S0=5，r=3%，T=0.5，从而这份远期合约的执行价格应该是：

0.03*0.500·5 5.0756rT K S e e ==⨯=

2010年7月12日：对应 t=1/12，此时St=6，r=3%，T-t=5/12，从而次远期合约多头价

值为：

()0.035/12·6 5.07560.9875r T t t t f S K e e ---⨯=-=-⨯=

6. 假设2010年6月17日的半年期与一年期无风险利率分别为单利2.5%与3%，则这一天

确定的3×6远期单利是多少？ 解答：

以连续复利表示的两个即期利率为：

()

3

1213

12

ln 1 2.5% 2.4922%r +⨯=

≈

()

6

1226

12

ln 13% 2.9777%r +⨯=≈

则连续复利表示的3×6远期利率是：

63

1212

1263

1212

2.9777% 2.4922%

3.4632%r ⨯-⨯=≈- 则3×6远期单利是：

3

123.4632%123

12

1

3.4782%e R ⨯-=

=

7. 请利用复制技术和无套利原理证明欧式看涨期权与欧式看跌期权价格关于执行价格分

别呈现单调递减与单调递增的关系。 解答：

只证明看涨期权：不妨设12K K >

组合一：一个执行价格为1K 看涨期权多头()1t C K ； 组合二：一个执行价格为2K 看涨期权多头()2t C K ；

则()2

11T T S K ∏=-，()2

2

2T T S K ∏=-。

分一下三种情形：1T S K >，21T K S K ≤≤和2T S K <分别讨论，均可得：

12

T T ∏<∏

即 {}121T T ∏<∏=P ，从而 12t t ∏<∏，即()()12t t C K C K <