2015年黑龙江省哈尔滨市风华中学九年级上学期数学期中试卷与解析

2014-2015学年黑龙江省哈尔滨市风华中学九年级（上）期中数学试卷一．选择题（1～10题，每题3分，共30分）1．（3分）下列汽车标志中，可以看作是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）如图，已知△AOB是正三角形，OC⊥OB，OC=OB，将△OAB绕点O 按逆时针方向旋转，使得OA与OC重合，得到△OCD，则旋转的角度是（）A．150°B．120°C．90°D．60°3．（3分）在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离OC为3cm，则⊙O的半径为（）cm．A．2 B．3 C．4 D．54．（3分）二次函数y=x2+2x﹣7的对称轴是（）A．x=1 B．x=﹣1 C．x=2 D．x=﹣25．（3分）在Rt△ABC中，∠C为直角，AC=6，BC=8，则sinA=（）A．B．C．D．6．（3分）把抛物线y=（x﹣1）2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得到的抛物线解析式是（）A．y=（x﹣3）2﹣1 B．y=（x﹣3）2+1 C．y=（x+1）2+1 D．y=（x+1）2﹣17．（3分）如图，利用标杆BC测量旗杆EF的高度，标杆BC长为1.2米，tanA=，BF=8.4米，则楼高EF是（）米．A．6.3 B．7.5 C．8 D．6.58．（3分）已知二次函数y=ax2+bx图象的开口向下，对称轴在y轴的右侧，则正确的是（）A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜09．（3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=3，点D、E分别在AB、AC上，将△ABC沿DE折叠，点A落在AC边的点F处．若F为CE的中点，则DF的长为（）A．1.5 B．C．2 D．310．（3分）下列命题中①平分弦的直径垂直于弦；②二次函数y=x2+bx﹣2 与x轴有两个交点；③如果两条弧相等那么它们所对的弦相等；④有一个角是80°的两个等腰三角形相似；真命题有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4二．填空题（每小题3分，共30分）11．（3分）函数中，自变量x的取值范围是．12．（3分）若sin（x﹣20°）=，则锐角x为度．13．（3分）点P（﹣2，1）关于原点对称的点P′的坐标是．14．（3分）若抛物线y=﹣x2+2x+k﹣1经过原点，则k=．15．（3分）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+1与x轴的交点的个数是个．16．（3分）由地面沿着坡度i=1：2的坡面AP向上前进了AB=m，此时距离地面的高度BC为m．17．（3分）若∠ADE=∠B，AD=6，AB=12，DE=5，则BC的长为．18．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E为AD的中点，BD=15，则BF=．19．（3分）半径为5cm的圆内两条平行弦分别长为8cm和6cm，则两弦之间的距离是．20．（3分）如图，在等腰△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，D为AB的中点，BE ⊥BC，BE=AD，AE分别交CD于F，交BC于K．若DF=1，则KC的长为．三、解答题：（21-24每题6分；25、26每题8分；27、28每题10分共60分）21．（6分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x=2sin60°+tan45°．22．（6分）如图，△ABC三个顶点均在格点上，根据要求画图．（1）在图1中△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A′B′C′；（2）在图2作△ABC关于点O的中心对称图形△A1B1C1．23．（6分）如图，AB是⊙O的一条弦，线段OC、OD交弦AB于点C、D，且AC=BD．求证：OC=OD．24．（6分）某学校农场要盖一间长方形牛棚，打算一面用一堵旧墙（墙长10米），其余各面用19米长木料围成栅栏，AD边留有1米宽的门．设与墙垂直的栅栏AD长x米，（1）设围成的牛棚的面积y米2，试求y与x的函数关系式并直接写出自变量x 的取值范围．（2）请计算，当x为多少时，牛棚的面积最大？并求出最大面积．25．（8分）在四边形ABCD中，AD⊥DC，∠DAC=∠DCA=∠DBC（1）求证：AE•EC=BE•ED；（2）若AC=8，AE=2，求BE的长．26．（8分）某批发商场用8800元同时购进A、B两种型号的水杯各400只，购进A型水杯30只比购进B型水杯15只多用120元．（1）求A、B两种水杯的进货单价各是多少元？（2）若商场把A、B两种水杯均按每只20元零售，同时为了扩大销售，拿出A 水杯的一部分按零售价的七折进行批发销售．商场在这批杯子全部售完后，总获利不低于6000元，则商场用于批发A水杯的数量最多为多少只？27．（10分）如图，△ABC是等边三角形，BE⊥AC于E，点F、G在BE上（BF ＜BG），连接AF，CG，CG2=GF•GB，（1）求证：∠AFE=∠BCG；（2）过点F作直线CG的垂线，垂足为H，M为AB的中点，连接MH，探究MH 与BF之间的数量关系，并证明你的结论．28．（10分）已知：如图直线y=﹣x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点．抛物线y=x2+bx+c过A、B两点，与x轴的另一个交点为C点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上的一动点，设点P的横坐标为m，△PAC的面积为S，求S 与m的函数关系式，直接写出m的取值范围；（3）在（2）的条件下，是否存在一点P，使得∠PCA=∠ABC？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由？2014-2015学年黑龙江省哈尔滨市风华中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（1～10题，每题3分，共30分）1．（3分）下列汽车标志中，可以看作是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A．旋转180°，与原图形能够完全重合是中心对称图形；故此选项正确；B．旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项错误；C．旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项错误；D．旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项错误；故选：A．2．（3分）如图，已知△AOB是正三角形，OC⊥OB，OC=OB，将△OAB绕点O 按逆时针方向旋转，使得OA与OC重合，得到△OCD，则旋转的角度是（）A．150°B．120°C．90°D．60°【解答】解：旋转角∠AOC=∠AOB+∠BOC=60°+90°=150°．故选：A．3．（3分）在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离OC为3cm，则⊙O的半径为（）cm．A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：连接AO，∵弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离OC为3cm，∴AC=BC=4cm，∠ACO=90°，由勾股定理得：OA===5（cm），故选：D．4．（3分）二次函数y=x2+2x﹣7的对称轴是（）A．x=1 B．x=﹣1 C．x=2 D．x=﹣2【解答】解：∵﹣=﹣=﹣1∴x=﹣1．故选：B．5．（3分）在Rt△ABC中，∠C为直角，AC=6，BC=8，则sinA=（）A．B．C．D．【解答】解：AB===10，则sinA===．故选：D．6．（3分）把抛物线y=（x﹣1）2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得到的抛物线解析式是（）A．y=（x﹣3）2﹣1 B．y=（x﹣3）2+1 C．y=（x+1）2+1 D．y=（x+1）2﹣1【解答】解：∵抛物线y=（x﹣1）2的顶点坐标为（1，0），∴向左平移2个单位，再向下平移1个单位后，顶点坐标为（﹣1，﹣1），∴平移后抛物线解析式为y=（x+1）2﹣1．故选：D．7．（3分）如图，利用标杆BC测量旗杆EF的高度，标杆BC长为1.2米，tanA=，BF=8.4米，则楼高EF是（）米．A．6.3 B．7.5 C．8 D．6.5【解答】解：如图，∵在△ACB中，∠ABC=90°，BC=1.2米，tanA=，∴AB===1.6（米）．又∵BF=8.4米，∴AF=AB+BF=10米．又∵在直角△AFE中，∠F=90°，tanA=，∴EF=AF•tanA=10×=7.5（米）故选：B．8．（3分）已知二次函数y=ax2+bx图象的开口向下，对称轴在y轴的右侧，则正确的是（）A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx图象的开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴的右侧，∴﹣＞0，∴b＞0．故选：C．9．（3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=3，点D、E分别在AB、AC上，将△ABC沿DE折叠，点A落在AC边的点F处．若F为CE的中点，则DF的长为（）A．1.5 B．C．2 D．3【解答】解：由题意得：△ADE≌△FDE，∴AE=FE，DF=AD，又∵F为CE的中点，∴CF=FE；∴CF=FE=AE；∵∠C=90°，∠A=30°，BC=3，∴tan30°=，∴AC=，∴∵cos30°=，∴AD=2，∴DF=AD=2．故选：C．10．（3分）下列命题中①平分弦的直径垂直于弦；②二次函数y=x2+bx﹣2 与x轴有两个交点；③如果两条弧相等那么它们所对的弦相等；④有一个角是80°的两个等腰三角形相似；真命题有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①平分弦的直径垂直于弦，错误，是假命题；②二次函数y=x2+bx﹣2 与x轴有两个交点，正确，是真命题；③如果两条弧相等那么它们所对的弦相等，正确，是真命题；④有一个角是80°的两个等腰三角形相似，错误，是假命题，故选：B．二．填空题（每小题3分，共30分）11．（3分）函数中，自变量x的取值范围是x≠1．【解答】解：根据题意可得x﹣1≠0；解得x≠1；故答案为：x≠1．12．（3分）若sin（x﹣20°）=，则锐角x为50度．【解答】解：∵sin（x﹣20°）=，∴x﹣20°=30°，解得x=50°．故答案为：50．13．（3分）点P（﹣2，1）关于原点对称的点P′的坐标是（2，﹣1）．【解答】解：点P（﹣2，1）关于原点对称的点的坐标是（2，﹣1），故答案为：（2，﹣1）．14．（3分）若抛物线y=﹣x2+2x+k﹣1经过原点，则k=1．【解答】解：把（0，0）代入y=﹣x2+2x+k﹣1得k﹣1=0，解得k=1．故答案为1．15．（3分）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+1与x轴的交点的个数是0个．【解答】解：令x2+1=0，∵△=﹣4＜0，∴抛物线y=x2+1与x轴没有交点．故答案为：0．16．（3分）由地面沿着坡度i=1：2的坡面AP向上前进了AB=m，此时距离地面的高度BC为1m．【解答】解：∵i=1：2，∴AC=2BC，直角三角形ABC中，AB2=BC2+AC2=5BC2，解得BC=1．故答案为1．17．（3分）若∠ADE=∠B，AD=6，AB=12，DE=5，则BC的长为10．【解答】解：∵∠A=∠A，∠ADE=∠B，∴△ABC∽△ADE，∴=，即=，解得：BC=10．故答案是：10．18．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E为AD的中点，BD=15，则BF=10．【解答】解：∵E为AD的中点，∴AD=2DE，∵四边形BACD是平行四边形，∴BC=AD=2DE，AD∥BC，∴△DEF∽△BCF，∴=，∵BD=15，BC=2DE，∴=，∴BF=10，故答案为：10．19．（3分）半径为5cm的圆内两条平行弦分别长为8cm和6cm，则两弦之间的距离是1cm或7cm．【解答】解：AB∥CD，AB=8cm，CD=6cm，连结OA、OC，作OE⊥CD于E，交AB于F，如图，∵OE⊥CD，CD∥AB，∴OF⊥AB，∴CE=DE=CD=3，AF=BF=AB=4，在Rt△OCE中，∵OC=5，CE=3，∴OE==4，在Rt△OAF中，∵OA=5，AF=4，∴OF==3，当圆心O在AB与CD之间时，EF=OE+OF=4+3=7，当圆心O不在AB与CD之间时，EF=OE﹣OF=4﹣3=1，∴两弦之间的距离为1cm或7cm．故答案为1cm或7cm．20．（3分）如图，在等腰△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，D为AB的中点，BE⊥BC，BE=AD，AE分别交CD于F，交BC于K．若DF=1，则KC的长为．【解答】解：作AM⊥BC于点M，连接DK，作BN∥DF，∵AM⊥BC，∠BAC=120°，AB=AC，∴∠AMB=90°，∠ABM=∠ACM=30°，点M为BC的中点，∴AM=，又∵D为AB的中点，BE⊥BC，BE=AD，∴∠EBK=90°，AD==BE，∴AM=BE，∵∠BKE=∠MKA，∴△BEK≌△MAK（AAS），∴BK=MK，∴BK=KC，点K为BM的中点，∴DK∥AM，∠DKB=∠AMB=90°，∵点D为AB的中点，DF∥BN，DF=1，∴BN=2DF=2，△CFK∽△BNK，∴，即，得CF=6，∵DF=1，∴DC=7，设BK=a，则KC=3a，∵∠DKB=90°，∠DBK=30°，BK=a，∴DK=BK•tan30°=，∵∠DKC=90°，∴CD2=DK2+KC2，即，解得，a=，∴3a=，即KC=，故答案为：．三、解答题：（21-24每题6分；25、26每题8分；27、28每题10分共60分）21．（6分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x=2sin60°+tan45°．【解答】解：原式=（﹣）•（x+1）=1﹣==，当x=2sin60°+tan45°=2×+1=+1，当x=+1时，原式==．22．（6分）如图，△ABC三个顶点均在格点上，根据要求画图．（1）在图1中△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A′B′C′；（2）在图2作△ABC关于点O的中心对称图形△A1B1C1．【解答】解：（1）如图所示：△A′B′C′即为所求；（2）如图所示：△A1B1C1即为所求．23．（6分）如图，AB是⊙O的一条弦，线段OC、OD交弦AB于点C、D，且AC=BD．求证：OC=OD．【解答】证明：过点O作OE⊥AB于点E，∵OE⊥AB，∴AE=BE．∵AC=BD，∴AE﹣AC=BE﹣BD，即CE=DE，在△OAE与△ODE中，∵，∴△OAE≌△ODE（SAS），∴OC=OD．24．（6分）某学校农场要盖一间长方形牛棚，打算一面用一堵旧墙（墙长10米），其余各面用19米长木料围成栅栏，AD边留有1米宽的门．设与墙垂直的栅栏AD长x米，（1）设围成的牛棚的面积y米2，试求y与x的函数关系式并直接写出自变量x 的取值范围．（2）请计算，当x为多少时，牛棚的面积最大？并求出最大面积．【解答】解：（1）设与墙垂直的栅栏AD的长为x米，AB=（20﹣2x）米，根据题意得：y=x（20﹣x）=﹣2x2+20x（5≤x＜10）；（2）y=﹣2x2+20x=﹣2（x﹣5）2+50，∴当x=5时，最大面积为50平方米．25．（8分）在四边形ABCD中，AD⊥DC，∠DAC=∠DCA=∠DBC（1）求证：AE•EC=BE•ED；（2）若AC=8，AE=2，求BE的长．【解答】（1）证明：∵∠DAC=∠DBC，∠AED=∠BEC，∴△AED∽△BEC，∴=，即AE•EC=BE•ED；（2）过点D作DF⊥AC于点F，∵AD⊥DC，∠DAC=∠DCA，∴△ACD是等腰直角三角形，∵AC=8，∴AF=DF=AC=4．∵AE=2，∴EF=AF﹣AE=4﹣2=2，CE=AC﹣AE=8﹣2=6，∴DE===2．∵由（1）知，=，∴=，解得BE=．26．（8分）某批发商场用8800元同时购进A、B两种型号的水杯各400只，购进A型水杯30只比购进B型水杯15只多用120元．（1）求A、B两种水杯的进货单价各是多少元？（2）若商场把A、B两种水杯均按每只20元零售，同时为了扩大销售，拿出A 水杯的一部分按零售价的七折进行批发销售．商场在这批杯子全部售完后，总获利不低于6000元，则商场用于批发A水杯的数量最多为多少只？【解答】解：（1）设A种水杯的进货单价为x元，B种水杯的进货价为y元，由题意得，，解得：．答：A种水杯的进货单价为10元，B种水杯的进货价为12元；（2）设商场用于批发的A水杯数量为a个，由题意得，20×（800﹣a）+20×0.7a﹣8800≥6000，解得：a≤200．答：商场用于批发A水杯的数量最多为200只．27．（10分）如图，△ABC是等边三角形，BE⊥AC于E，点F、G在BE上（BF ＜BG），连接AF，CG，CG2=GF•GB，（1）求证：∠AFE=∠BCG；（2）过点F作直线CG的垂线，垂足为H，M为AB的中点，连接MH，探究MH 与BF之间的数量关系，并证明你的结论．【解答】（1）证明：如图1，连结CF，∵CG2=GF•GB，即=，而∠CGF=∠BGC，∴△CGF∽△BGC，∴∠GFC=∠BCG，∵△ABC是等边三角形，BE⊥AC，∴AE=CE，∴FE平分∠AFC，∴∠AFE=∠GFC，∴∠AFE=∠BCG；（2）解：MH=BF．理由如下：连结ME，HE，CM，如图2，∵△ABC是等边三角形，M点为中点，BE⊥AC，∴∠2=∠EBC=∠BCM=30°，∵△CGF∽△BGC，∴∠GCF=∠GBC=30°，∴∠1=∠MCH，∵FH⊥CG，∴∠FGC=90°，而∠FEC=90°，∴H、E点在以FC为直径的圆上，∴∠3=∠HCF=30°，∴HE∥BC，∵ME为△ABC的中位线，∴ME∥BC，∴点H在ME上，∴MH∥BC，∴∠HMC=∠MCB=30°，∴∠2=∠HMC，∴△ABF∽△CMH，∴BF：MH=AB：CM，在Rt△BCM中，BM=BC，CM=BM=BC，∴CM=AB，∴MH=BF．28．（10分）已知：如图直线y=﹣x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点．抛物线y=x2+bx+c过A、B两点，与x轴的另一个交点为C点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上的一动点，设点P的横坐标为m，△PAC的面积为S，求S 与m的函数关系式，直接写出m的取值范围；（3）在（2）的条件下，是否存在一点P，使得∠PCA=∠ABC？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由？【解答】解：（1）∵直线y=﹣x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴A（6，0），B（0，6），∵抛物线y=x2+bx+c过A、B两点，∴，解得，∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x+6；（2）令y=0，则x2﹣4x+6=0，解得x1=2，x2=6，∴C（2，0），∴AC=6﹣2=4，∵点P是抛物线上的一动点，设点P的横坐标为m，∴点P的纵坐标为m2﹣4m+6，∴S=×4×|m2﹣4m+6|，∴当m≤2或m≥6时，S=2（m2﹣4m+6）=m2﹣8m+12，当2＜m＜6时，S=﹣2（m2﹣4m+6）=﹣m2+8m﹣12；（3）如图，作CD⊥AB于D，PE⊥x轴于E，∵OA=OB=6，∠AOB=90°，∴∠OAB=45°，∴∠DCA=45°，∴AD=CD=AC=×4=2，∵A（6，0），B（0，6），∴AB=6，∴BD=AB﹣AD=4，∵∠PCA=∠ABC，∠PEC=∠CDB=90°，∴△BCD∽△CPE，∴=，∵P（m，m2﹣4m+6），∴PE=|m2﹣4m+6|，CE=m﹣2，∴=，∴2|m2﹣4m+6|=m﹣2，当m＜2或m＞6时，2（m2﹣4m+6）=m﹣2，整理得，m2﹣9m+14=0解得m1=2（舍去），m2=7，此时，P（7，）；当2＜m＜6时，﹣2（m2﹣4m+6）=m﹣2，整理得，m2﹣7m+10=0，解得m1=5，m2=2（舍去），此时P（5，﹣）；综上，存在一点P，使得∠PCA=∠ABC，点P坐标为（7，）或（5，﹣）．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC.（1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。