河南省顶级名校2015届高三上学期入学定位考试文科数学试卷 Word版

河南省顶级名校2015届高三上学期入学定位考试文科数学试卷（时间：120分钟 满分：150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1、已知集合{}{}Rx y y N x x x M x ∈==≥=,2,2，则MN =（ ）A ．(]0,1 B ． ()0,1 C ． [)0,1 D ．[]0,12、 已知复数123+=i i z ，则z 的虚部是（ ） A ． 51 B ． 51- C ． i 51- D ． 52-3、某学生在一门功课的22次考试中，所得分数如下茎叶图所示，则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为（ ） A ．117 B ．118 C ．118．5 D ．119．54、已知双曲线221()my x m R -=∈与椭圆2215y x +=有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A．y =B．y x = C ．13y x =± D ．3y x =±5、平面向量a 与b 的夹角为23π，(3,0)a =，2||=，则|2|a b +＝（ ）A ．13B ．37C ． 7D ． 36．下列有关命题的叙述， ①若q p ∨为真命题，则q p ∧为真命题；②“5>x ”是“0542>--x x ”的充分不必要条件；③命题R x p ∈∃:，使得012<-+x x ，则R x p ∈∀⌝:，使得012≥-+x x ；④命题“若0232=+-x x ，则1=x 或2=x ”的逆否命题为“若1≠x 或2≠x ，则0232≠+-x x ”。

其中错误的个数为（ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4 7、在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若112(2)m m m a a a m +-⋅=≥，数列{}n a 的前n 项积为n T ，若21512m T -=，则m 的值为（ ）A ．4B ．5C ． 6D ．78、设偶函数)sin()(ϕω+=x A x f （,0>A )0,0πϕω<<>的部分图象如图所示，KML ∆为等腰直角三角形，90KML ∠=，1KL =，则1()6f 的值为（ ）A ．43-B ．14-C ．12-D ． 439、执行如图中的程序框图，若输出的结果为21，则判断框中应填（ ） A ． 5i < B ． 6i < C ．7i < D ．8i < 10、如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ） A ．54 B ．27 C ．18 D ． 9（第9题图） （第10题图）11、抛物线24y x =的焦点为F ，点,A B 在抛物线上，且120AFB ∠=，弦AB 中点M 在其准线上的射影为N ，则MNAB的最大值为（ ）ABC ．D12.己知函数(1)f x +是偶函数，当(1,)x ∈+∞时，函数()f x 单调递减，设1(),(3),(0)2a f b f c f =-==，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．b a c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a b c << 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13、若点(,)P x y 满足线性约束条件20220,0x y x y y -<⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩则 z x y =-的取值范围是 ．141by +=（其中,a b 为非零实数）与圆221x y +=相交于,A B 两点，O 为坐标原点，且AOB ∆为直角三角形，则2212ab +的最小值为 。

15、设O 是ABC ∆的三边中垂线的交点,,,a bc 分别为角,,A B C 对应的边,已知2220b b c -+=,则BC AO ⋅uu u r uuu r的范围是___________．16、已知有限集{}()123,,,,2,n A a a a a n n N =⋅⋅⋅≥∈．如果A 中元素()1,2,3,,i a i n =⋅⋅⋅满足1212n n a a a a a a ⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅+，就称A 为“复活集”，给出下列结论：①集合是“复活集”；②{}1212,,,a a R a a ∈若且是“复活集”，则124a a >；③{}*1212,,,a a N a a ∈若则不可能是“复活集”；④若*i a N ∈，则“复活集”A 有且只有一个，且3n =．其中正确的结论是___________________．（填上你认为所有正确的结论序号）三、解答题：本大题共6小题，共70 分，解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤． 17、 (本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 对的边分别为,,a b c ，已知2a =．（Ⅰ）若3A π=，求b c +的取值范围；（Ⅱ）若1AB AC ⋅=，求ABC ∆面积的最大值． 18、（本小题满分12分）如图, 四棱柱ABCD －A1B1C1D1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中心, A1O ⊥平面ABCD, 1AB AA ==．(Ⅰ) 证明: A1BD // 平面CD1B1;(Ⅱ) 求三棱柱ABD －A1B1D1的体积．19、（本小题满分12分）某校从高一年级学生中随机抽取40名学生作为样本，将他们的B 1C 1D 1O BAC D A 1期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[)50,40，[)60,50，…，[]100,90后得到如图的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中实数a 的值；（Ⅱ）若该校高一年级共有学生500人，试估计该校高一年级在这次考试中成绩不低于60分的人数．(Ⅲ)若从样本中数学成绩在[)40,50与[]90,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生，试用列举法求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率。

20、(本小题满分12分）椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，离心率为12，左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线交椭圆于,A B 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当AB F 2∆的面积为7212时，求直线的方程．21、（本小题满分12分）已知函数2()(1)ln 1f x a x x =-++． （Ⅰ）当14a =-时，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）若函数()f x 在区间[2,4]上是减函数，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）当[1,)x ∈+∞时，函数()y f x =图象上的点都在1,0x y x ≥⎧⎨-≤⎩所表示的平面区域内，求实数a 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22、（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 已知，在ABC ∆中，D 是AB 上一点，ACD ∆的外接圆交BC 于E ， 2AB BE =． （Ⅰ）求证：2BC BD =；（Ⅱ）若CD 平分ACB ∠，且2,1AC EC ==，求BD 的长．23、（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线()2:sin 2cos 0C a a ρθθ=>，已知过点()2,4P --的直线的参数方程为：()24x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩是参数，直线与曲线C 分别交于,M N ．（Ⅰ）写出曲线C 和直线的普通方程； （Ⅱ）若,,PM MN PN成等比数列，求a 的值．24、(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 已知函数()|1|f x x =-．(Ⅰ)解不等式:()(1)2f x f x +-≤；(Ⅱ)当0a >时, 不等式23()()a f ax af x -≥-恒成立,求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题 1-5 ABBAA 6-12 BBDCC AA二、填空题13、 [)2,0- 14、 4 15、 1,24⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ 16、 ①③④三、解答题17、 解：（1）2,,23sin a a A R A π==∴== ………（ 2分）2sin 2sin )32cos 4sin()6b c R B R C B C B B B B B ππ∴+=+=+=++=+=+2250333666A B C B B ππππππ=∴+=∴<<∴<+<1sin()(,1]62B π∴+∈.(2,4]b c ∴+∈ ………（ 6分）（2）1cos 1cos 0sin AB AC bc A A A bc ⋅==∴=>∴=……… （8分）2222222222cos 426239a b c bc A b c b c bc bc b c =+-∴=+-∴=+≥∴≤∴≤ ………（ 10分）11sin 22ABCS bc A bc ∆∴===≤=当且仅当b c ==,ABC ∆. ……… （12分） 18、【答案】（I ）设11B D 线段的中点为1O19。

解：（I ）由0.050.10.2100.250.11a +++++=，可得0.03a =。

20、解：（1）因为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以221914a b +=①，又因为离心率为12，所以12c a =，所以2234b a =②，解①②得224, 3.a b == 所以椭圆的方程为：22143x y +=……… （4分）（2）①当直线的倾斜角为2π时，33(1,),(1,),22A B ---2121132322ABF S AB F F ∆=⨯=⨯⨯=≠……… （6分）②当直线的倾斜角不为2π时，设直线方程:(1)l y k x =+，代入22143x y +=得：2222(43)84120k x k x k +++-=……… （7分） 设1122(,)(,)A x y B x y ，则221212228412,,4343k k x x x x k k --+==++21211122ABF S AB F F y ∆∴=⨯==4221718011k k k k ∴+-=∴=∴=±，所以直线方程为：10x y -+=或10x y ++=……… （12分）21.（Ⅱ）1()2(1)f x a x x '=-+，∵函数()f x 在区间[2,4]上单调递减，∴1()2(1)0f x a x x '=-+≤在区间[2,4]上恒成立，即212a x x ≤-+在[2,4]上恒成立， 只需2a 不大于21x x -+在[2,4]上的最小值即可． 6分而221111()24x x x =-+--+(24)x ≤≤，则当24x ≤≤时，2111[,]212x x ∈---+， ∴122a ≤-，即14a ≤-，故实数a 的取值范围是1(,]4-∞-． 8分（Ⅲ）因()f x 图象上的点在1,0x y x ≥⎧⎨-≤⎩所表示的平面区域内，即当[1,)x ∈+∞时，不等式()f x x ≤恒成立，即2(1)ln 10a x x x -+-+≤恒成立，设2()(1)ln 1g x a x x x =-+-+（1x ≥），只需max ()0g x ≤即可．由1()2(1)1g x a x x '=-+-22(21)1ax a x x -++=， （ⅰ）当0a =时，1()xg x x -'=，当1x >时，()0g x '<，函数()g x 在(1,)+∞上单调递减，故()(1)0g x g ≤=成立．（ⅱ）当0a >时，由212(1)()2(21)12()a x x ax a x ag x xx---++'==，令()0g x '=，得11x =或212x a =，①若112a <，即12a >时，在区间(1,)+∞上，()0g x '>，函数()g x 在(1,)+∞上单调递增，函数()g x 在[1,)+∞上无最大值，不满足条件；②若112a ≥，即102a <≤时，函数()g x 在1(1,)2a 上单调递减，在区间1(,)2a +∞上单调递增，同样()g x 在[1,)+∞上无最大值，不满足条件．（ⅲ）当0a <时，由12(1)()2()a x x ag x x--'=，因(1,)x ∈+∞，故()0g x '<，则函数()g x 在(1,)+∞上单调递减，故()(1)0g x g ≤=成立．综上所述，实数a 的取值范围是(,0]-∞． 12分22、解：（Ⅰ）连接DE ，∵四边形ACED 是圆的内接四边形，∴BDE BCA ∠=∠，又DBE CBA ∠=∠，∴DBE ∆∽CBA ∆， ∴BE BDAB BC =，又2AB BE =，∴2BC BD = ………………………(5分) （Ⅱ）由（Ⅰ）DBE ∆∽CBA ∆，知BE EDAB AC =，又2AB BE =，∴2AC DE =， ∵2AC =，∴1DE =，而CD 是ACB ∠的平分线∴1DA =， 设BD x =，根据割线定理得BD BA BE BC ⋅=⋅即()()()11111122x x x x ⎡⎤+=+++⎢⎥⎣⎦，解得1x =，即1BD = …………(10分)23、解：（Ⅰ）2,22-==x y ax y …………………(4分) （Ⅱ）直线的参数方程为（t 为参数）,代入ax y 22=得到 0)4(8)4(222=+++-a t a t ,则有)4(8),4(222121a t t a t t +=⋅+=+， 因为2MN PM PN=，所以 ()21212t t t t -=， 即()212125t t t t += ，即()()284404a a +=+解得1=a …………………10分24、解:(Ⅰ)原不等式等价于:当1x ≤时,232x -+≤,即112x ≤≤；当12x <≤时,12≤,即12x <≤ ； 当2x >时,232x -≤,即522x <≤.综上所述,原不等式的解集为15{|}22x x ≤≤.…………（5分）(Ⅱ)当0a>时,()()|1||1|f ax af x ax a x-=---=|1|||ax a ax---≤|1||1|ax a ax a-+-=-所以23|1| a a-≥-2a∴≥……………（10分）。