2013年全国高考文科数学试题及答案-辽宁卷

2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）
数 学（供文科考生使用）
第I 卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）已知集合{}{}1,2,3,4,|2,A B x x A B ==<= 则
（A ）{}0 （B ）{}0,1 （C ）{}0,2 （D ）{}0,1,2 （2）复数的1
1
Z i =
-模为
（A ）
1
2
（B ）2 （C （D ）2
（3）已知点()()1,3,4,1,A B AB -
则与向量同方向的单位向量为
（A ）3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，- （B ）4355⎛⎫ ⎪⎝⎭
，-
（C ）3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， （D ）4355⎛⎫- ⎪⎝⎭
， （4）下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题：
{}1:n p a 数列是递增数列； {}2:n p na 数列是递增数列；
3:n a p n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
数列是递增数列； {}4:3n p a nd +数列是递增数列；
其中的真命题为
（A ）12,p p （B ）34,p p （C ）23,p p （D ）14,p p （5）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图， 数据的分组一次为[)[)[)[)20,40,40,60,60,80,820,100. 若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是
（A ）45 （B ）50
（C ）55 （D ）60
（6）在ABC ∆，内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1
sin cos sin cos ,2
a B C c B A
b +=
,a b B >∠=且则 A ．
6π B ．3
π
C ．23π
D ．56π
（7）已知函数())
()1ln
31,.lg 2lg 2f x x f f ⎛⎫
=++= ⎪⎝⎭
则
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2
（8）执行如图所示的程序框图，若输入8,n S ==则输出的
A ．
49 B ．67 C ．89 D ．1011
（9）已知点()()()
3
0,0,0,,,.ABC ,O A b B a a ∆若为直角三角形则必有
A ．3b a =
B ．31
b a a
=+
C ．()3310b a b a a ⎛
⎫---= ⎪⎝⎭ D ．3310b a b a a -+--=
（10）已知三棱柱1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若，，
,AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为
A B ． C ．13
2
D ．
（11）已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左焦点为,F C 与过原点的直线相交于
,A B 两点，连接AF,BF 若
，，则C 的离心率为
（A ）
35 （B ）57 （C ）45 （D ）67
（12）已知函数()()()()2
2
2
2
22,228.f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+设
()()(){}()()(){}{}()12max ,,min ,,max ,H x f x g x H x f x g x p q ==表示,p q 中的较
大值，{}min ,p q 表示,p q 中的较小值，记()1H x 得最小值为,A ()2H x 得最小值为B ,则
A B -=
（A ）2
216a a -- （B ）2
216a a +-
（C ）16- （D ）16
第II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题-第22题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22题-第24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
（13）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 .
（14）已知等比数列{}{}13n n n a S a n a a 是递增数列,是的前项和.若，是方程
26540x x S -+==的两个根，则 .
（15）已知F 为双曲线22
:
1,916x y C P Q C PQ -=的左焦点，为上的点，若的长等于 虚轴长的2倍，点A
在线段PQ 上，则∆PQF 的周长为 .
（16）为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的认为作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为 .
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
设向量)
(),sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤
=
=∈⎢⎥⎣⎦
（I ）若.a b x =求的值；
（II ）设函数()()f x a b f x =⋅，求的最大值 18．（本小题满分12分）
如图，.AB O PA O C O 是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的点
（I ）求证：BC PAC ⊥平面；
（II ）设//.Q PA G AOC QG PBC ∆为的中点，为的重心，求证：平面
19．（本小题满分12分）
现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取3道题解答.试求： （I ）所取的2道题都是甲类题的概率；
（II ）所取的2道题不是同一类题的概率. 20．（本小题满分12分）
如图，抛物线()()2
2
12002:4,:20.,C x y C x py p M x y C ==->点在抛物线上，
1M C 过作(
)0,,.1A B M O A B O x =的切线，切点为为原点时，重合于当1-.2
MA 切线的斜率为
x
（I ）P 求的值；
（II ）2M C AB N 当在上运动时，求线段中点的轨迹方程
(),,.A B O O 重合于时中点为
21．（本小题满分12分）
（I ）证明：当[]0,1sin ;2
x x x x ∈≤≤时，
（II ）若不等式()[]3
2
22cosx 40,12
x ax x x x a ++++≤∈对恒成立，求实数的取
值范围. 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，.AB O CD O E AD CD D 为直径，直线与相切于垂直于于，
BC 垂直于 ,.CD C EF F AE BE 于，垂直于，连接证明：
（I ）;FEB CEB ∠=∠ （II ）2
.EF AD BC =
23（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy 中以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆1C ，直线2C 的极
坐标方程分别为4sin ,cos 4πρθρθ⎛
⎫
==-
= ⎪⎝
⎭
. （I ）12C C 求与交点的极坐标；
（II ）112.P C Q C C PQ 设为的圆心，为与交点连线的中点已知直线
的参数方程为 ()33,,.12
x t a
t R a b b y t ⎧=+⎪∈⎨=+⎪⎩为参数求的值 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数(), 1.f x x a a =->其中
（I ）()=244;a f x x ≥=-当时，求不等式的解集
（II ）()(){}
{}222|12,x f x a f x x x +-≤≤≤已知关于的不等式的解集为
.a 求的值。