2工程力学课件-9月25日-第二章 汇交力系
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工程力学 第2章 汇交力系_2
P
A
a
B
a
C
工 件
解：这是多个物体所组成的系统平衡的问题。系统平衡时， 其中的每一部分也应该是平衡的 P （1）取B点为研究对象
a
a
FN 1
FN 2
第二章 汇交力系
P
A
P
a
B
a
C
工 件
a
FN 1
a
FN 2
Fx 0, FN1 cosa FN 2 cosa 0 FN1 FN 2
Fy 0, FN1 sin a FN 2 sin a P 0
第二章 汇交力系
解题技巧及说明： 1. 投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一 个未知数。 2. 解析法解题时，力的方向可以任意假设，如果求出负值， 说明力方向与假设相反。 3. 对于二力杆件， 一般先设为拉力，如果求出负值，说 明物体受压力。
第二章 汇交力系
例：图示连杆增力机构，P=1kN，α=80，求工件所 受压紧力。
第二章 汇交力系
§2 汇交力系的平衡条件
一、三力平衡汇交定理 定理：当刚体在同一平面内作用线互不平行的三个力作 用下平衡时，这三个力的作用线必汇交于一点。 B FB
FA
A
B FB
FA A
C
FC
C
FC FBC
FC D
FB
FB , FC 合成为力 FBC
因为 FB , FC 不平行，相交于D点
由二力平衡原理得：三力作用线必交于一点
FAC P
第二章 汇交力系
另一种列方程的方法
B
y
FBC
C
x
（坐标轴的方向变化
可以使计算变得简单）
A
a
B
a
C
工 件
解：这是多个物体所组成的系统平衡的问题。系统平衡时， 其中的每一部分也应该是平衡的 P （1）取B点为研究对象
a
a
FN 1
FN 2
第二章 汇交力系
P
A
P
a
B
a
C
工 件
a
FN 1
a
FN 2
Fx 0, FN1 cosa FN 2 cosa 0 FN1 FN 2
Fy 0, FN1 sin a FN 2 sin a P 0
第二章 汇交力系
解题技巧及说明： 1. 投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一 个未知数。 2. 解析法解题时，力的方向可以任意假设，如果求出负值， 说明力方向与假设相反。 3. 对于二力杆件， 一般先设为拉力，如果求出负值，说 明物体受压力。
第二章 汇交力系
例：图示连杆增力机构，P=1kN，α=80，求工件所 受压紧力。
第二章 汇交力系
§2 汇交力系的平衡条件
一、三力平衡汇交定理 定理：当刚体在同一平面内作用线互不平行的三个力作 用下平衡时，这三个力的作用线必汇交于一点。 B FB
FA
A
B FB
FA A
C
FC
C
FC FBC
FC D
FB
FB , FC 合成为力 FBC
因为 FB , FC 不平行，相交于D点
由二力平衡原理得：三力作用线必交于一点
FAC P
第二章 汇交力系
另一种列方程的方法
B
y
FBC
C
x
（坐标轴的方向变化
可以使计算变得简单）
第二章平面汇交力系ppt课件
⑴选箱盖为研究对象， 画它的受力图
⑵三个力必汇交于吊环 中心A。
⑶画力三角形
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
a TAC
30° W 45° c
b
TAB
如果力三角形的几何 关系不复杂，可以选 用数解法，运用三角 公式来计算:
O
F1
A
O
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
(2)平面汇交力系的合成:
应用力的多边形法则:
设刚体上受到F1、F2、F3及F4等许多力的作用， 它们的作用线在同一平面内，正汇交于O点。 (如图所示)
R RX 2 RY2 (417)20(275)20500N0
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
⑵合力的方向:
cos RX
R
4170
0.834
5000
Y RX O
Rα
X
RY
RX = ∑FX = - 4170N
⑴ 按比例先画出封闭的力多边形 ⑵ 用尺和量角器在图上直接量得所要求的
未知量
也可采用数解法，即根据图形的边角关系， 用三角公式计算出所要求的未知量。
例1 起重机吊起的减速箱盖重W＝900 N， 两根钢丝绳AB和AC与沿垂线的夹角分别为 α＝45°， β ＝30°试求箱盖匀速吊起时， 钢丝绳AB和AC的张力。
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
工程力学汇交力系课件
05
汇交力系的计算方法与技巧
力的矢量表示法
力的矢量表示法
在二维平面上，力可以用一个有向线段来表示，线段的长度表示力的大小，箭头的指向表 示力的方向。在三维空间中，力可以用一个矢量来表示，矢量的长度表示力的大小，矢量 的指向表示力的方向。
力的矢量加法
两个力的矢量加法是将两个力首尾相接，形成一个新的矢量。这个新的矢量的长度和方向 分别等于两个力的长度和方向的和。
详细描述
在建筑结构中，汇交力系通常出现在梁、柱、墙等结构部件的连接点或支撑点上。这些力可以是重力、风载、地 震作用等，它们在同一点上交汇，形成一个合力。汇交力系的分析对于建筑结构的稳定性、承载能力和抗震性能 至关重要。
机械系统中的汇交力系
总结词
机械系统中的汇交力系是指多个力在机械系统的同一点上交汇，形成一个合力。
汇交力系的平衡
01
02
03
平衡条件
汇交力系中所有力的合力 为零，即合力矩为零。
平衡方程
根据平衡条件建立平衡方 程，求解未知量。
平衡状态
当汇交力系中的所有力都 满足平衡条件时，系统处 于平衡状态。
03
实际工程中的汇交力系
建筑结构中的汇交力系
总结词
建筑结构中的汇交力系是指多个力在同一点上交汇，形成一个合力。
力矩的计算
在二维平面上，力矩的大小等于力和 力臂的乘积。在三维空间中，需要分 别计算x、y、z三个方向的力矩，然后 进行合成。
平衡方程的建立与求解
平衡方程的建立
平衡方程的求解
平衡方程的应用
在二维平面上，平衡方程是一 个关于力和力矩的线性方程组 。在三维空间中，平衡方程是 一个关于力和力矩的线性方程 组，需要分别建立x、y、z三个 方向的平衡方程。
工程力学(二)第2章 平面汇交力系
例 题 2- 3
重物质量m =10 kg,悬挂在支架铰接点B处，A、C 为固定铰支座，杆件位置如图示，略去支架杆件重 量，求重物处于平衡时，AB、BC杆所受的力。
C 。 B FCB 。 30 。 45 FAB y B x mg
60
45
。
A
解：取铰B为研究对象，其上作用有 三个力：重力mg；BC杆的约束力FCB（设为拉力） 及AB杆的约束力FAB（设为压力），列出平衡方程 ∑Fx= 0, -FCB cos30o + FABcos45o =0 ∑Fy= 0, -mg+FCB sin30o +FABsin45o =0
FCB 。 30 。 45 FAB y B x mg
例 题 2- 3
联立上述两方程，解得： FAB=88.0 N， FCB=71.8 N。
例题 2- 3
C 。 B FCB 。 30 。 45 FAB
y B x mg
60
45
。
A
由于求出的FAB和FCB 都是正值，所以原先假设 的方向是正确的，即BC 杆承受拉力，AB 杆承受压 力。若求出的结果为负值，则说明力的实际方向与 原假定的方向相反。
30o
并以铰链A，C与墙连接。如
P
两杆与滑轮的自重不计并忽 略摩擦和滑轮的大小，试求 平衡时杆AB和BC所受的力。
C
例 题 2-4
A
60o
D
B
解：取滑轮B为研究对象，忽 略滑轮的大小，设AB受拉，BC受 压，受力图及坐标如图。 列平衡方程
Fx = 0, − FAB + F1sin 30o − F2sin 60o = 0 ∑ Fy = 0, FBC − F1 cos 30o − F2 cos 60o = 0 ∑
工程力学第2章PPT课件
解 （1）取球O为研究对象，画分离体受力图，如图2-9b。 这是一平面汇交力系。
（2）建立坐标系Oxy轴如图2-9b。 （3）列平衡方程，并求解：
-
29
第2章 平面汇交力系
F ix 0 F T G c6 o 0 s 0
FT 0.5kN
F iy 0 F N G si6n 0 0
FN0.86k6N
由F iy0,得
F BC F T1co 3 s0 F T2 co 6s 0 0
3 1 31 F B C F T 12 F T 2 2 G 2 G 2 2.3 7 k 2N
-
35
第2章 平面汇交力系
例2-6 在图2-11a所示的机构中，杆AB和BC长度相等，A、 B、C处均为铰链连接。在B铰链处作用一竖直力FP=1kN，向 下推动B点而使压块C向右压紧工件，已知压紧工件时，，不 计零件自重及各处摩擦，求工件所受压紧力。
解 （1）由于滑轮B上作用着已知力和未知力，故取滑轮B 为研究对象，画其受力图。滑轮受钢丝绳拉力FT1与FT2作用， 且FT1=FT2=G。滑轮同时还受到二力杆AB与BC的约束反力FBA 和FBC作用，滑轮在四个力作用下处于平衡，由于滑轮尺寸不计， 这些力可看作平衡的平面汇交力系，滑轮B的受力图如图2-10d 所示。
-
19
第2章 平面汇交力系
图2-6
-
20
第2章 平面汇交力系
2.2 平面汇交力系的平衡
2.2.1平面汇交力系平衡的几何条件
设物体在A点受到五个力F1、F2、F3、F4、F5组成的平面汇 交力系作用而处于平衡状态，如图2-7（a）所示。我们可以用
力多边形法则求得其中任意四个力（如F1、F2、F3、F4）的合 力FR1，则原力系（F1、F2、F3、F4、F5）与力系（FR1，F5） 等效，如图2-7（b）所示。由于原力系是平衡力系，故力系
（2）建立坐标系Oxy轴如图2-9b。 （3）列平衡方程，并求解：
-
29
第2章 平面汇交力系
F ix 0 F T G c6 o 0 s 0
FT 0.5kN
F iy 0 F N G si6n 0 0
FN0.86k6N
由F iy0,得
F BC F T1co 3 s0 F T2 co 6s 0 0
3 1 31 F B C F T 12 F T 2 2 G 2 G 2 2.3 7 k 2N
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第2章 平面汇交力系
例2-6 在图2-11a所示的机构中，杆AB和BC长度相等，A、 B、C处均为铰链连接。在B铰链处作用一竖直力FP=1kN，向 下推动B点而使压块C向右压紧工件，已知压紧工件时，，不 计零件自重及各处摩擦，求工件所受压紧力。
解 （1）由于滑轮B上作用着已知力和未知力，故取滑轮B 为研究对象，画其受力图。滑轮受钢丝绳拉力FT1与FT2作用， 且FT1=FT2=G。滑轮同时还受到二力杆AB与BC的约束反力FBA 和FBC作用，滑轮在四个力作用下处于平衡，由于滑轮尺寸不计， 这些力可看作平衡的平面汇交力系，滑轮B的受力图如图2-10d 所示。
-
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第2章 平面汇交力系
图2-6
-
20
第2章 平面汇交力系
2.2 平面汇交力系的平衡
2.2.1平面汇交力系平衡的几何条件
设物体在A点受到五个力F1、F2、F3、F4、F5组成的平面汇 交力系作用而处于平衡状态，如图2-7（a）所示。我们可以用
力多边形法则求得其中任意四个力（如F1、F2、F3、F4）的合 力FR1，则原力系（F1、F2、F3、F4、F5）与力系（FR1，F5） 等效，如图2-7（b）所示。由于原力系是平衡力系，故力系
工程力学第2章(汇交力系)
2.力在平面上的投影
FM F cos
⑴ 力在平面上的投影是矢量。 ⑵ α：力与投影平面的夹角。
3. 力在直角坐标轴上的投影 · 一次投影法 Fx F cos
Fy F cos
Fz F cos
·二次投影法
Fx Fxy cos F cos cos Fy Fxy sin F cos sin
合力FR 的大小
FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
合力FR 的方向
R
F cos( F ，i )
x
cos( FR，j )
R
F Fy
F
z
F cos( F ，k ) F
二、汇交力系平衡的解析条件
汇交力系平衡的充分且必要条件是力系的合力等于零。
角为60o ，若接触面光滑，试分别求出圆柱给墙面和夹板的压 力。
解:
FA Gtan30o 500 tan30o 288.7N
G 500 FB 577.4N o o cos 30 cos 30
几何法求解汇交力系简化与平衡问题总结：
⑴ 选择研究对象，分析受力情况，画出全部的 已知力和未知力，利用二力平衡、三力平衡汇交等定 律确定某些力作用方向（必须明确力的方向，否则容 易出错）。
Fx 0 : Fy 0 : F
z
FA FC cos 30o sin 0
FB FC cos 30o cos 0 FC sin30o P 0
0:
由几何关系可得 cos 0.8 sin 0.6 解得： FA 10.39kN
FB 13.85kN FC 20kN
F2 = 4kN，F3 = 5kN，求三个力的合力。 解:
第二章 汇交力系
工程力学（静力学部分） 工程力学（静力学部分）
第 2 章
汇 交 力 系
第 2 章
汇 交 力 系
1.汇交力系的合成 1.汇交力系的合成 2. 汇交力系的平衡条件
1.汇交力系的合成 1.汇交力系的合成 基本概念 一 力的合成 1.汇交力系的合成 基本概念
力的可传性原理 加减平衡力原理 (principle of transmissibility of a force) 作用于刚体上的力可沿其作用线滑移至 刚体内任意点而不改变力对刚体的作用 F 效应。 效应。
1.汇交力系的合成 1.汇交力系的合成
汇交力的合成定理：汇交（共点）力系可以 汇交力的合成定理： 汇交（ 共点） 合成为一个合力，其作用点为公共作用点， 合成为一个合力 ， 其作用点为公共作用点 ， 合 力的力矢由力多边形封闭边表示。 力的力矢由力多边形封闭边表示。即
F R ＝F1 ＋F2 ＋F3 ＋ …＋Fn ＝ ∑Fi 即 F R ＝ ∑Fi
30º
W
FAC W
C
′ FAB
′ FAC
2. 汇交力系的平衡条件
下面的问题是如何确定 FAB 和
v y
FAC
个力构成平面汇交力系， 这3个力构成平面汇交力系，建立参 个力构成平面汇交力系 考坐标系 静力平衡方程为
FAB
A
v x
W
FAC
B
∑F
X
= 0 与∑F = 0 Y
FAB
A
FACsin30-FAB=0 FACcos30-W=0 解得： 解得：FAC＝W/cos30 FAB=Wtg30
FR = (∑Fx ) + (∑Fy ) + (∑Fz )
2 2 2
∑
第 2 章
汇 交 力 系
第 2 章
汇 交 力 系
1.汇交力系的合成 1.汇交力系的合成 2. 汇交力系的平衡条件
1.汇交力系的合成 1.汇交力系的合成 基本概念 一 力的合成 1.汇交力系的合成 基本概念
力的可传性原理 加减平衡力原理 (principle of transmissibility of a force) 作用于刚体上的力可沿其作用线滑移至 刚体内任意点而不改变力对刚体的作用 F 效应。 效应。
1.汇交力系的合成 1.汇交力系的合成
汇交力的合成定理：汇交（共点）力系可以 汇交力的合成定理： 汇交（ 共点） 合成为一个合力，其作用点为公共作用点， 合成为一个合力 ， 其作用点为公共作用点 ， 合 力的力矢由力多边形封闭边表示。 力的力矢由力多边形封闭边表示。即
F R ＝F1 ＋F2 ＋F3 ＋ …＋Fn ＝ ∑Fi 即 F R ＝ ∑Fi
30º
W
FAC W
C
′ FAB
′ FAC
2. 汇交力系的平衡条件
下面的问题是如何确定 FAB 和
v y
FAC
个力构成平面汇交力系， 这3个力构成平面汇交力系，建立参 个力构成平面汇交力系 考坐标系 静力平衡方程为
FAB
A
v x
W
FAC
B
∑F
X
= 0 与∑F = 0 Y
FAB
A
FACsin30-FAB=0 FACcos30-W=0 解得： 解得：FAC＝W/cos30 FAB=Wtg30
FR = (∑Fx ) + (∑Fy ) + (∑Fz )
2 2 2
∑
工程力学02 汇交力系
工程力学
第二章 汇交力系
FRx F1x F2 x F3 x F4 x F5 x 86.60 50 100 141.42 141.42 63.40kN
y F2
60
FRy F1 y F2 y F3 y F4 y F5 y
F1 O 30
50 86.60 0 141.42 141.42 F3 45 146.24kN F
F’BC
Fx 0, F 'BC cos F1 0
其中
D FD
F1
x
F 'BC FBC F 'BC FBC
最后求得
F F cos F1 F 'BC cos FBC cos cot 2 2 sin
工程力学
第二章 汇交力系
解题技巧及说明： 1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度
C
z O F x y
FC
O FA FT=F
B
FB
A
解:1） 取铰链 O为研究对象，受力图如图。
工程力学 2）列平衡方程，建立坐标系；
第二章 汇交力系
F 0, F 0, F 0,
x y z
FB sin FC sin 0 FA sin FB cos FC cos 0 FA cos FT 0
合力的表达式：
FR=FR2+F4=F1+F2+F3+F4
工程力学
第二章 汇交力系
1、力的多边形法则 把各力矢首尾相接，形成一条有向折线段（称为力链）。 得到一个开口的多边形，称为力多边形。 由开口的力多边形始点指向终点的封闭边为合力。合力的 作用点仍在力系的公共作用点上。此法称为力的多边形法则。 F3 d c F2 FR1 FR2 F4 b e F1 FR a F2 d
工程力学课件_02汇交力系教材
F1、F2、F3 如图。
F1 A
F2 F3
F1 A
B F2 C
R D F3
x
(a)
(b)
各力在x 轴上投影：
F1x ab F2x bc F3x dc
合力 R 在x 轴上投影：
Rx ad ab bc dc Rx F1x F2x F3x
F1 A
B F2 C
R D F3
x
a bdc
(b)
§2-2 汇交力系合成与平衡的解析法
y
1、力在坐标轴上的投影：
Fx F cos Fy F cos
b´Fy
a´
Oa
F
Fx
B
bx
结论：力在某轴上的投影，等于力的大小乘以力与投 影轴正向间夹角的余弦。
反之，当投影Fx 、Fy 已知时，则可求出 力 F 的大小和方向：
F
F2 x
F2 y
cos Fx cos Fy
拉力FT=10N，斜面对球的支持力FN =10.732 试求 该球所受的合外力的大小。
FRx FT cos 30 FN cos 60
FRy W FT sin 30 FN sin 60 FRx 0 FRy 0
FR FR2x FR2y 0
Y
Oxy
FT
W
O 30°
X
60°
FN
30°
FRx FT W sin 30 0
的边称为力多边形的封闭边。这种用力多边形求合 力矢的作图规则称为力多边形法则。
用力多边形法则求汇交力系合力的方法称为汇交 力系合成的几何法。合成中需要注意以下两点： • 合力的作用线必通过汇交点。 • 改变力系合成的顺序，只改变力多边形的形状，并 不影响最后的结果。即不论如何合成，合力是唯一 确定的。
工程力学第2章
2.3 汇交力系的平衡条件
汇交力系平衡的必要与充分条件是该力系的合力等于零,其矢量表 示为
FR Fi （0 2 10）
汇交力系的平衡条件也相应有几何平衡条件和解析平衡条件。
2.3.1 汇交力系平衡的几何条件 在求汇交力系合力的几何法中,合力的大小和方向由力多边形的封闭 边表示。因此,当力系的合力为零时,第一个分力矢的始端和最后一 个分力矢的末端重合。这种情形称为力多边形自行封闭。 五力汇交且平衡的力系,其力多边形如图2-4所示。因此,汇交力系平 衡的必要和充分的几何条件是力多边形自行封闭。
可得
FRx Fix , FRy Fiy , FRz F（iz 2 8）
式(2-8)表明:合力在任一坐标轴上的投影,等于各分力在同一轴上投影的 代数和。此结论称为合力投影定理(为便于书写,下标i可略去)。
由式(2-7)可得合力FR的大小和方向:
FR
(F2 F2 F2 )
第2章 汇 交 力 系
各力作用线相交于一点的力系称为汇交力系,也称共点力系。根据 力系中各力作用线是否在同一平面内,汇交力系又可分为平面汇交 力系和空间汇交力系。汇交力系是基本力系之一,它是研究复杂力 系的基础。
2.1 汇交力系合成的几何法
设有汇交力系(F1、F2、F3、F4)作用在刚体上,各力作用线汇交于点A,如图 2-1a所示。根据力的可传性原理,将力系各力的作用点分别沿其作用线滑 移至汇交点A;于是,力系成为共点力系(图2-1b)。
设刚体上作用一汇交力系(F1、F2、…、Fn)。现任取一直角坐标系Oxyz,
以FRx、FRy、FRz表示合力FR在各坐标轴上的投影,Fix、Fiy、Fiz表示力Fi
在各坐标轴上的投影(i=1、2、…、n)。考虑到
工程力学第二章 平面汇交力
FR 2 FR1 FR 3 Fi
. . . . . .
n
3
. . .
i 1
FR FRn1 Fn Fi Fi
i 1
力多边形
力多边形规则
三.平面汇交力系平衡的几何条件
平衡条件:
Fi 0
力多边形自行封闭
§2-2 汇交力系的平衡条件解析法 由力的分解得各分力矢量表达式
n n n n FR Fi Fix i Fiy j Fiz k i 1
n
i 1
i 1
i 1
n n X i i Yi j Z i k
i 1 i 1 i 1
合力矢：
n n i 1
FR FRx FRy FRz FRx i FRy j FRz k
例1: 一个梁结构如图，在F力作用下 处于平衡状态，求A，C支座反力。
F
A
l
F
B
30
0
几何法
F
30 0
FB FA
30 0
F 3 FA FB F 0 3 2 cos30
FA
A
l
B
30 0
三力汇交平衡条件： 一物体上作用三个力时平衡，三 力共面和汇交于一点。
FB
解析法
F
1）取梁为研究对象
2）受力分析
B
l
30 0
A
3）分析力系：平面汇交力系 4）列平衡方程解未知力
y
600
x
F
Y 0
x
B
3 F FB sin 60 F sin 30 0 FB 3
. . . . . .
n
3
. . .
i 1
FR FRn1 Fn Fi Fi
i 1
力多边形
力多边形规则
三.平面汇交力系平衡的几何条件
平衡条件:
Fi 0
力多边形自行封闭
§2-2 汇交力系的平衡条件解析法 由力的分解得各分力矢量表达式
n n n n FR Fi Fix i Fiy j Fiz k i 1
n
i 1
i 1
i 1
n n X i i Yi j Z i k
i 1 i 1 i 1
合力矢：
n n i 1
FR FRx FRy FRz FRx i FRy j FRz k
例1: 一个梁结构如图，在F力作用下 处于平衡状态，求A，C支座反力。
F
A
l
F
B
30
0
几何法
F
30 0
FB FA
30 0
F 3 FA FB F 0 3 2 cos30
FA
A
l
B
30 0
三力汇交平衡条件： 一物体上作用三个力时平衡，三 力共面和汇交于一点。
FB
解析法
F
1）取梁为研究对象
2）受力分析
B
l
30 0
A
3）分析力系：平面汇交力系 4）列平衡方程解未知力
y
600
x
F
Y 0
x
B
3 F FB sin 60 F sin 30 0 FB 3
工程力学ppt 2平面汇交力系和平面力偶系
FR F1 F2 Fn Fi
i 1
(2-1)
a
b 图2.1
c
● 2.1.2 平面汇交力系合成的几何法
由力多边形法则知，平面汇交力系的合成结果为一合力，显然， 平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力等于零。如 果用矢量形式表示，即
FR
F
i 1
n
i
0
（2-2）
由力的合成的几何法可知，平面汇交力系的合力是由力多边形 的封闭边来表示的。在平衡的情形下合力为零，也就是力多边形 中最后一力终点与第一个力的起点重合，此时的力多边形称为封 闭的力多边形。于是得到如下结论：平面汇交力系平衡的必要和 充分条件是力多边形自行封闭。这就是平面汇交力系平衡的几何 条件。 运用平面汇交力系平衡的几何条件求解问题时，需要首先按比 例画出封闭的力多边形，然后用尺和量角器在图上量得所要求的 未知量；也可根据图形的几何关系，用三角公式计算出所要求的 未知量，这种解题方法称为几何法。
FA 22.4kN，FC 28.3kN
根据作用力和反作用力的关系，作用于杆DC在端C的力FC与 FC 的大小相等，方向相反，由此可知杆DC是受压杆，如图2.3(b)所 示。
应该指出，封闭的力的多边形也可以根据三角几何关系，作成 如图2.3(d)所示的力三角形，同样可求得力 FA 和 FC ，且结果相 同。 通过以上例题，可知用几何法求解平衡问题的主要步骤如下： (1) 选取研究对象。根据题意，分析已知量与待求量，选取恰 当的平衡物体作为研究对象，并画出分离体简图。 (2) 分析研究对象的受力情况，正确地画出其相应的受力图。 在研究对象上，画出其所受的全部外力。若某个约束反力的作用 线不能根据约束特性直接确定，而物体又只受三个力作用时，则 可根据三力平衡汇交的条件来确定未知力的作用线方位。 (3) 作封闭的力多边形图，求解未知量。可以应用比例尺直接 量出待求的未知量，也可以根据几何三角关系计算出来。
i 1
(2-1)
a
b 图2.1
c
● 2.1.2 平面汇交力系合成的几何法
由力多边形法则知，平面汇交力系的合成结果为一合力，显然， 平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力等于零。如 果用矢量形式表示，即
FR
F
i 1
n
i
0
（2-2）
由力的合成的几何法可知，平面汇交力系的合力是由力多边形 的封闭边来表示的。在平衡的情形下合力为零，也就是力多边形 中最后一力终点与第一个力的起点重合，此时的力多边形称为封 闭的力多边形。于是得到如下结论：平面汇交力系平衡的必要和 充分条件是力多边形自行封闭。这就是平面汇交力系平衡的几何 条件。 运用平面汇交力系平衡的几何条件求解问题时，需要首先按比 例画出封闭的力多边形，然后用尺和量角器在图上量得所要求的 未知量；也可根据图形的几何关系，用三角公式计算出所要求的 未知量，这种解题方法称为几何法。
FA 22.4kN，FC 28.3kN
根据作用力和反作用力的关系，作用于杆DC在端C的力FC与 FC 的大小相等，方向相反，由此可知杆DC是受压杆，如图2.3(b)所 示。
应该指出，封闭的力的多边形也可以根据三角几何关系，作成 如图2.3(d)所示的力三角形，同样可求得力 FA 和 FC ，且结果相 同。 通过以上例题，可知用几何法求解平衡问题的主要步骤如下： (1) 选取研究对象。根据题意，分析已知量与待求量，选取恰 当的平衡物体作为研究对象，并画出分离体简图。 (2) 分析研究对象的受力情况，正确地画出其相应的受力图。 在研究对象上，画出其所受的全部外力。若某个约束反力的作用 线不能根据约束特性直接确定，而物体又只受三个力作用时，则 可根据三力平衡汇交的条件来确定未知力的作用线方位。 (3) 作封闭的力多边形图，求解未知量。可以应用比例尺直接 量出待求的未知量，也可以根据几何三角关系计算出来。
工程力学第二章 汇交力系
第二章 汇交力系
汇交力系包括：平面汇交力系和空间 汇交力系。 指力的作用线汇交于一点的力系。
§2-1 汇交的合成 §2-2 汇交力系的平衡条件
§2-1 汇交力系的合成
平面汇交力系是指各力的作用线 在同一平面内且汇交于一点的力系。
空间汇交力系是指各力的作用线 在空间汇交于一点的力系。
一、力的可传性：作用在刚体上的力可以沿着其作 用线移动。
F ix F iy
0
0
0
F iy 0
例2-1 已知： P=20kN，R=0.6m, h=0.08m: 求：
1.水平拉力F=5kN时，碾子对地面及障碍物的压力？
2.欲将碾子拉过障碍物，水平拉力F至少多大？
或
按比例量得 F 2.3 k 8,F N 2.4 2 kN
C
A
例2-3 已知：系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小，
P=20kN；
求：系统平衡时，杆AB、BC受力。 解：AB、BC 杆为二力杆，
取滑轮B（或点B），画受力图。 用解析法，建图示坐标系
Fx 0
F B A F 1co s6 0 F 2co s3 00
解：AB、BC杆为二力杆。
取销钉B。 用解析法
Fx 0
Fcθ o F scθ o 0 s
BA
BC
得 F F
BA
BC
Fy 0
F sθ i n F sθ i n F 0
BA
BC
解得 FF1.3 1k 5N BA BC
选压块C
Fx 0
Fco θsF0
CB
Cx
解得 FFco θ tF l1.1 2k 5N
汇交力系包括：平面汇交力系和空间 汇交力系。 指力的作用线汇交于一点的力系。
§2-1 汇交的合成 §2-2 汇交力系的平衡条件
§2-1 汇交力系的合成
平面汇交力系是指各力的作用线 在同一平面内且汇交于一点的力系。
空间汇交力系是指各力的作用线 在空间汇交于一点的力系。
一、力的可传性：作用在刚体上的力可以沿着其作 用线移动。
F ix F iy
0
0
0
F iy 0
例2-1 已知： P=20kN，R=0.6m, h=0.08m: 求：
1.水平拉力F=5kN时，碾子对地面及障碍物的压力？
2.欲将碾子拉过障碍物，水平拉力F至少多大？
或
按比例量得 F 2.3 k 8,F N 2.4 2 kN
C
A
例2-3 已知：系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小，
P=20kN；
求：系统平衡时，杆AB、BC受力。 解：AB、BC 杆为二力杆，
取滑轮B（或点B），画受力图。 用解析法，建图示坐标系
Fx 0
F B A F 1co s6 0 F 2co s3 00
解：AB、BC杆为二力杆。
取销钉B。 用解析法
Fx 0
Fcθ o F scθ o 0 s
BA
BC
得 F F
BA
BC
Fy 0
F sθ i n F sθ i n F 0
BA
BC
解得 FF1.3 1k 5N BA BC
选压块C
Fx 0
Fco θsF0
CB
Cx
解得 FFco θ tF l1.1 2k 5N
工程力学课件第2章 汇交力系 力偶系
FR Fx2 Fy2 + Fz2
2. 平衡条件： FR 0
3. 平衡方程： Fx 0 Fy 0 Fz 0
14
2.2 汇交力系的平衡
© 2020. WeiYuan, JLU. All rights reserved.
例2 己知：CE EB ED，物重 P 10kN。起重杆
重量不计，与z轴夹角为30, OEB 60, 求起重杆和
F4
FRz Fz1 Fz2 Fzn Fz
汇交力系的合力在某轴上的投影 各分力在同一轴上投影的代数和。
FR
x
F3
10
2.1 汇交力系的简化
© 2020. WeiYuan, JLU. All rights reserved.
(2)由合力投影定理求合力。 y
FR FRxi FRy j FRzk
2.空间力偶系的简化 实例
z
F1 F2
FAx
o
FAz
x
F1
FBx
y
FBz F2
18
2.3 力偶系的简化
© 2020. WeiYuan, JLU. All rights reserved.
2、空间力偶系的合成
空间力偶系合成的结果为一合力偶，其力偶 矩矢 M 等于各力偶矩矢的矢量和。
z
n
M M1 M 2 M n Mi
一、平面汇交力系的平衡条件及平衡方程
1. 简化 ： FR Fi
FRx Fx FRy Fy FR Fx2 Fy2
2. 平衡条件： FR 0
3. 平衡方程： Fx 0 Fy 0
12
2.2 汇交力系的平衡
© 2020. WeiYuan, JLU. All rights reserved.
《汇交力系》课件
二力杆的应用场景
在工程结构中，二力杆广泛应 用于桥梁、建筑和机械等领域
，用以支撑和传递载荷。
力的可传递性
力的可传递性定义
力的可传递性是指在刚体上作用三个或三个以上的共线平 行力，这些力可以沿其作用线任意移动而不改变其作用效 果。
力的可传递性原理
力的可传递性原理表明，对于共线平行的多力合成，不论 这些力在作用线上如何移动，只要不改变其作用点，它们 对刚体的作用效果总是一样的。
05
汇交力系中的特殊问 题
二力杆问题
01
02
03
04
二力杆的定义
二力杆指的是在力的作用下， 只承受两个力且处于平衡状态
的杆件。
二力杆的平衡条件
二力杆在平衡状态下，其两端 的力必须大小相等、方向相反
且作用在同一条直线上。
二力杆的分类
根据其形状和功能，可以将二 力杆分为固定二力杆、活动二
力杆和可变二力杆。
力的可传递性的应用
力的可传递性原理在工程实践中具有广泛的应用，如机械 传动、车辆悬挂系统和船舶推进系统等。
力线平移定理
01 02
力线平移定理的内容
力线平移定理是指如果作用在刚体上的力沿其作用线移动一段距离，而 不改变它对刚体的作用效果，则这个力的作用点沿其作用线所作的移动 距离等于该力的大小。
力线平移定理的证明
吊车吊重分析
总结词
通过汇交力系分析，确定吊车吊重的合理范围，确保安全作 业。
详细描述
在吊车吊重分析中，利用汇交力系的原理，可以确定吊车在 各种工况下的受力情况，从而计算出吊车的最大承载能力和 安全作业范围。这有助于确保吊车在作业过程中不会发生倾 覆或超载等危险情况。
杠杆平衡分析
工程力学2汇交力系
Rx
Rx
X
作用点：为该力系的汇交点
工程力学
例2-2 已知图示平面共点力系，求此 力系的合力。
解：用解析法
FRx
F ix
F1
cos 30o
F2
cos 60o
F3
cos
45o
F4
cos
45o
129.3N
FRy
F iy
F1 sin
30o
F2
sin
60o
F3
sin
45o
F4
sin
45o
112.3N
工程力学
3.增加平衡力系原理 在刚体上增加或减去一组平衡力系，不会改变原 力系对刚体的作用效应。 作用在刚体上的力是滑移矢量，力的三要素是大 小、方向、作用线。
工程力学
二、汇交力系合成的几何法（矢量法） 1.二力的合成 力三角形法则
c FR
F2 a F1 b
工程力学
2.汇交力系合成的几何法
设汇交于A点的力系由n个力Fi（i = 1、2、…、n）组成。
几何法解题不足： ①精度不够，误差大 ②作图要求精度高； ③不能表达各个量之间的函数关系。
工程力学
三、汇交力系合成的解析法（投影法）
பைடு நூலகம்
1.力在轴上的投影
Fx ab F cos
B A
B F
A
a
bx
b
ax
力在轴上投影是代数量
工程力学
2.力在平面上的投影
FM F cos
B F A
a FM b
M
工程力学
第二章 汇交力系
问题： 1、怎样对刚体上的汇交力系进行简化？ 2、汇交力系的平衡条件是什么？
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2 2
2
Fx cos( F , i ) F
cos( F , j )
Fy F
2
Fz cos( F , k ) F
5、汇交力系合成的解析法
F cos(F , i )
R
F ( Fx ) ( Fy )
2
x
平面汇交力系
FR
工程力学电子教案
第二章 汇交力系
§2-2
汇交力系的平衡条件
第二章 汇交力系
工程力学电子教案
第二章 汇交力系
2、汇交力系合成的几何法
为力多边形 结论：
R F1 F2 F3 F4
即：
R F
汇交力系可合成为一个作用于汇交点的合力，合力的力 矢由多边形的封闭边表示。即：平面汇交力系的合力等于各 分力的矢量和，合力的作用线通过各力的汇交点。
工程力学电子教案
3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有 一个未知数。
4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。 5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出负值， 说明力方向与假设相反。对于二力构件， 一般先设为拉力，
如果求出负值，说明物体受压力。
作业：
习题 2-2 2-6
2-7
2-9
工程力学电子教案
一、三力平衡汇交定理
当刚体在同一平面内作用线互不平行的三个力作用下平 衡时，这三个力的作用线必汇交于一点。
二、汇交力系平衡的几何条件
汇交力系平衡的充要条件是：
F 0
几何法求力系的合力中，合力为零意 味着力多边形自行封闭。故平面汇交力 系平衡的必要与充分的几何条件是： 力多边形自行封闭
或
力系中各力的矢量和等于零
工程力学电子教案
第二章 汇交力系
二、汇交力系合成的几何法（矢量法）
1、二力的合成 由力的平行四边形 法则作，也可用力
的三角形来作。
由余弦定理： cos(180 ) cos
R F1 F2 2 F1 F2 cos
2 2
F1 R 合力方向可应用正弦定理确定： sin sin(180 )
第二章 汇交力系
几何法解题步骤：①选研究对象；
②作出受力图；
③作力多边形，选择适当的比例尺； ④求出未知数 几何法解题不足： ①精度不够，误差大 ; ②作图要求精度高； ③不能表达各个量之间的函数关系。
工程力学电子教案
第二章 汇交力系
三、汇交力系合成的解析法（投影法）
1、力在轴上的投影
X=Fx=F· ; cos Y=Fy=F· = F · sin cos
Y F sing sin Fxy sin F cosq sin
Z F cosg F sinq
工程力学电子教案
第二章 汇交力系
4、力的解析表示式 如果已知力 F 在坐标轴上的三个投影，可以由 下述各式求得力 F 的大小和方向余弦。
F Fx Fy Fz
q
Y F cos , Z F cos g
Fxy
工程力学电子教案
第二章 汇交力系
B）二次投影法（间接投影法） 当力与各轴正向夹角不易
确定时，可先将 F 投影到xy
面上，然后再投影到x、y轴上， 即
X F sing cos Fxy cos F cosq cos
工程力学电子教案
工程力学
工程力学电子教案
第二章 汇交力系
第二章
汇交力系
汇交力系的合成
汇交力系的平衡条件
§2–1
§2–2
工程力学电子教案
第二章 汇交力系
§2-1 一、力的可传递性
汇交力系的合成
作用于刚体上某一点的力，可沿其作用线移至同一刚体 内的任一点，而不改变该力对刚体的作用效应。 平衡力系：作用于刚体而使其保持平衡的力系，其不 会改变刚体原有的状态。 增减平衡力系原理：在刚体上增加或者减去一组平衡 力系，不会改变原力系对刚体的作用效应。 滑移矢量：只需表示出作用线而无需表示出作用点的 矢量。作用于刚体上的力是滑移矢量。
工程力学电子教案
第二章 汇交力系
三、汇交力系平衡的解析条件
汇交力系平衡的必要充分条件是该力系合力的大小为零，即：
FR ( Fx ) 2 ( Fy ) 2 ( Fz ) 2 0
或：
F
x
0
F
y
0
F
z
0
那么，对于平面汇交力系：
Rx Fx X 0 Ry Fy Y 0
④解平衡方程：
tg
EB 0.4 1 AB 1.2 3
解得： F 4.24 kN CD
RA 3.16 kN
[例] 已知如图P、Q， 求平衡时 =？ 地面的反力ND=？
解：研究球受力如图， 选投影轴列方程为
工程力学电子教案
第二章 汇交力系
X 0 T2 cos T1 0
F Fx Fy
2
2
X Fx cos F F Y Fy cos F F
力在轴上的投影是代数量。
工程力学电子教案
第二章 汇交力系
2、力在平面上的投影
力在平面上的投影是矢量，又称投影矢量。
3、力在直角坐标轴上的投影
A）一次投影法（直接投影法）
X F cos ,
g
O
①
Y 0 T2 sin Q N D 0 ②
由①得
cos T P 1 1 T2 2P 2
60
由②得
N D Q - T2 sin Q-2 P sin 60 Q 3P
0
工程力学电子教案
第二章 汇交力系
解题技巧及说明：
1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度 特殊时 用几何法（解力三角形）比较简便。 2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或 特殊， 都用解析法。
为平衡的充要条件，也叫平衡方程。
工程力学电子教案
第二章 汇交力系
[例] 已知 P=2kN ，求FCD , RA 。 解：①研究AB杆； ②画出受力图；
③列平衡方程
X 0 Y 0
RA cos FCD cos 45 0 0 P RA sin FCD sin 45 0 0
2
Fx cos( F , i ) F
cos( F , j )
Fy F
2
Fz cos( F , k ) F
5、汇交力系合成的解析法
F cos(F , i )
R
F ( Fx ) ( Fy )
2
x
平面汇交力系
FR
工程力学电子教案
第二章 汇交力系
§2-2
汇交力系的平衡条件
第二章 汇交力系
工程力学电子教案
第二章 汇交力系
2、汇交力系合成的几何法
为力多边形 结论：
R F1 F2 F3 F4
即：
R F
汇交力系可合成为一个作用于汇交点的合力，合力的力 矢由多边形的封闭边表示。即：平面汇交力系的合力等于各 分力的矢量和，合力的作用线通过各力的汇交点。
工程力学电子教案
3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有 一个未知数。
4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。 5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出负值， 说明力方向与假设相反。对于二力构件， 一般先设为拉力，
如果求出负值，说明物体受压力。
作业：
习题 2-2 2-6
2-7
2-9
工程力学电子教案
一、三力平衡汇交定理
当刚体在同一平面内作用线互不平行的三个力作用下平 衡时，这三个力的作用线必汇交于一点。
二、汇交力系平衡的几何条件
汇交力系平衡的充要条件是：
F 0
几何法求力系的合力中，合力为零意 味着力多边形自行封闭。故平面汇交力 系平衡的必要与充分的几何条件是： 力多边形自行封闭
或
力系中各力的矢量和等于零
工程力学电子教案
第二章 汇交力系
二、汇交力系合成的几何法（矢量法）
1、二力的合成 由力的平行四边形 法则作，也可用力
的三角形来作。
由余弦定理： cos(180 ) cos
R F1 F2 2 F1 F2 cos
2 2
F1 R 合力方向可应用正弦定理确定： sin sin(180 )
第二章 汇交力系
几何法解题步骤：①选研究对象；
②作出受力图；
③作力多边形，选择适当的比例尺； ④求出未知数 几何法解题不足： ①精度不够，误差大 ; ②作图要求精度高； ③不能表达各个量之间的函数关系。
工程力学电子教案
第二章 汇交力系
三、汇交力系合成的解析法（投影法）
1、力在轴上的投影
X=Fx=F· ; cos Y=Fy=F· = F · sin cos
Y F sing sin Fxy sin F cosq sin
Z F cosg F sinq
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第二章 汇交力系
4、力的解析表示式 如果已知力 F 在坐标轴上的三个投影，可以由 下述各式求得力 F 的大小和方向余弦。
F Fx Fy Fz
q
Y F cos , Z F cos g
Fxy
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第二章 汇交力系
B）二次投影法（间接投影法） 当力与各轴正向夹角不易
确定时，可先将 F 投影到xy
面上，然后再投影到x、y轴上， 即
X F sing cos Fxy cos F cosq cos
工程力学电子教案
工程力学
工程力学电子教案
第二章 汇交力系
第二章
汇交力系
汇交力系的合成
汇交力系的平衡条件
§2–1
§2–2
工程力学电子教案
第二章 汇交力系
§2-1 一、力的可传递性
汇交力系的合成
作用于刚体上某一点的力，可沿其作用线移至同一刚体 内的任一点，而不改变该力对刚体的作用效应。 平衡力系：作用于刚体而使其保持平衡的力系，其不 会改变刚体原有的状态。 增减平衡力系原理：在刚体上增加或者减去一组平衡 力系，不会改变原力系对刚体的作用效应。 滑移矢量：只需表示出作用线而无需表示出作用点的 矢量。作用于刚体上的力是滑移矢量。
工程力学电子教案
第二章 汇交力系
三、汇交力系平衡的解析条件
汇交力系平衡的必要充分条件是该力系合力的大小为零，即：
FR ( Fx ) 2 ( Fy ) 2 ( Fz ) 2 0
或：
F
x
0
F
y
0
F
z
0
那么，对于平面汇交力系：
Rx Fx X 0 Ry Fy Y 0
④解平衡方程：
tg
EB 0.4 1 AB 1.2 3
解得： F 4.24 kN CD
RA 3.16 kN
[例] 已知如图P、Q， 求平衡时 =？ 地面的反力ND=？
解：研究球受力如图， 选投影轴列方程为
工程力学电子教案
第二章 汇交力系
X 0 T2 cos T1 0
F Fx Fy
2
2
X Fx cos F F Y Fy cos F F
力在轴上的投影是代数量。
工程力学电子教案
第二章 汇交力系
2、力在平面上的投影
力在平面上的投影是矢量，又称投影矢量。
3、力在直角坐标轴上的投影
A）一次投影法（直接投影法）
X F cos ,
g
O
①
Y 0 T2 sin Q N D 0 ②
由①得
cos T P 1 1 T2 2P 2
60
由②得
N D Q - T2 sin Q-2 P sin 60 Q 3P
0
工程力学电子教案
第二章 汇交力系
解题技巧及说明：
1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度 特殊时 用几何法（解力三角形）比较简便。 2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或 特殊， 都用解析法。
为平衡的充要条件，也叫平衡方程。
工程力学电子教案
第二章 汇交力系
[例] 已知 P=2kN ，求FCD , RA 。 解：①研究AB杆； ②画出受力图；
③列平衡方程
X 0 Y 0
RA cos FCD cos 45 0 0 P RA sin FCD sin 45 0 0