一道高考题的多解与多用
由一道高考试题的一题多解浅谈微专题教学设计
的重要指导作用ꎬ进而促使他们对此项内容产生深入了解的兴趣.２.从教学内容中挖掘数学思想方法在人们传统的认知观念中数学教材当中的内容仅仅为学生们提供了在当前阶段应掌握的知识点ꎬ是教师开展基础教学活动的依据ꎬ但是很多人忽略了其中在知识的产生㊁发展以及应用过程中暗涵的思想方法ꎬ这就使得教师的实际授课过程缺乏了数学学科应有的 灵魂 ꎬ而且学生掌握的知识更多的是流于形式ꎬ对他们思维能力以及相关素养的提升并没有什么有效的帮助.针对此种情况ꎬ笔者建议教师在数学教学过程中可以从课程内容当中挖掘思想和方法ꎬ这样一来ꎬ不但能够有效增强学生对基础知识的理解能力ꎬ而且也开阔了他们的数学思维.３.引导学生进行思想方法的强化练习数学思想方法是从课程基础知识的学习或者练习题的解答过程中提炼出的ꎬ因此ꎬ教师在进行这部分内容的教学活动时会有非常多的局限性.比如ꎬ在多种因素的影响下ꎬ某种方法在讲解之后学生很少有机会进行使用ꎬ随着时间的推移他们便会忘记ꎻ而当再次遇到后ꎬ教师仍旧需要重新介绍ꎬ这就降低了课堂教学的效率.依据于知识点的思想方法教学过于零散ꎬ缺乏系统性ꎬ往往容易让学生在实际学生过程中造成混淆ꎬ从而对教学质量的提高起到相反的作用.综上所述ꎬ高中数学教师在日常教学过程中渗透相关的思想方法ꎬ不仅可以增强学生对基础知识的理解能力ꎬ使他们的数学思维方式得到有效锻炼ꎬ而且能够有效提高学生分析以及解决各类问题的能力ꎬ并为他们处理相关的难题提供思路和技巧.除此之外ꎬ教师能够通过思想方法的教学提升课堂的质量和水平ꎬ让知识以条理化和系统化的形式展现出来ꎬ从而让学生的学习活动变得更加高效.㊀㊀参考文献:[１]熊永欣.提高高中数学函数学习效率和把握数学思想的探索[Ｊ].中国高新区ꎬ２０１８(０１):１３０.[２]陈瑞.高中数学函数教学中数学思想方法的应用[Ｊ].考试周刊ꎬ２０１８(０１):７６.[３]张益通.数学思想方法在高中数学中的应用研究[Ｊ].中华少年ꎬ２０１７(３４):１３４－１３５.[责任编辑:杨惠民]由一道高考试题的一题多解浅谈微专题教学设计孙宝金㊀李翠玲(辽宁省朝阳市喀左蒙高中㊀１２２３００)摘㊀要:高考复习常常需要在短时间内突破学生的疑难点和易错点.我们围绕复习的重点和关键点设计出 微专题 ꎬ利用具有紧密相关的知识方法形成专项研究.与大专题复习有机结合ꎬ使得专题复习活而不空ꎬ深而不偏ꎬ促进学生的深度学习.关键词:多种解法和变式教学ꎻ 微专题 复习ꎻ构建方式ꎻ深度学习中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０１８)１２－００１８－０２收稿日期:２０１８－０１－２０作者简介:孙宝金(１９７６.１２－)ꎬ男ꎬ辽宁省朝阳市人ꎬ本科ꎬ高中教师ꎬ从事高考备考及竞赛等数学解题研究.李翠玲(１９８４.７－)ꎬ女ꎬ辽宁省朝阳市人ꎬ硕士ꎬ高中教师ꎬ从事高考备考及竞赛等数学解题研究.㊀㊀一㊁问题的提出题目㊀已知抛物线Ｃ:ｙ２＝２ｘꎬ过点２ꎬ０()的直线ｌ交Ｃ于ＡꎬＢ两点ꎬ圆Ｍ是以线段ＡＢ为直径的圆(１)证明:坐标原点Ｏ在圆Ｍ上ꎻ(２)设圆Ｍ过点Ｐ－４ꎬ２()ꎬ求直线ｌ与圆Ｍ的方程.这是２０１７年全国统一考试 丙卷(全国卷Ⅲ)理科数学第２０题.本题直线与抛物线的位置关系㊁直线与方程㊁圆的方程ꎬ意在数形结合思想和化归与转化能力ꎬ难度适中ꎬ可以很好地考查学生的平面解析几何的基本素养.㊀㊀㊀二㊁问题的探究１.基本解法的探究笔者在审视这道高考试题时ꎬ发现可以从三个视角完美解决这道试题.８１Copyright©博看网 . All Rights Reserved.视角一: 斜率乘积为－１设出ｌ的方程ꎬ通过联立方程ꎬ证明直线ＯＡ与ＯＢ的斜率之积为－１.(１)设Ａｘ１ꎬｙ１()ꎬＢｘ２ꎬｙ２()ꎬｌ:ｘ＝ｍｙ＋２.由ｘ＝ｍｙ＋２ꎬｙ２＝２ｘꎬ{得ｙ２－２ｍｙ－４＝０ꎬ则ｙ１ｙ２＝－４.又ｘ１＝ｙ２１２ꎬｘ２＝ｙ２２２ꎬ故ｘ１ｘ２＝ｙ１ｙ２()２４＝４ꎬʑｋＯＡ ｋＯＢ＝ｙ１ｘ１ ｙ２ｘ２＝－４４＝－１.所以ＯＡʅＯＢꎬ故坐标原点Ｏ在圆Ｍ上.(２)略视角二:向量法:证明ＯＡң ＯＢң＝０解法同上:ｙ１＋ｙ２＝２ｍꎬｙ１ｙ２＝－４ꎬｘ１ｘ２＝ｍｙ１＋２()ｍｙ２＋２()＝ｍ２ｙ１ｙ２＋２ｍｙ１＋ｙ２()＋４＝－４ｍ２＋４ｍ２＋４＝４ꎬＯＡң ＯＢң＝ｘ１ｘ２＋ｙ１ｙ２＝４－４＝０ꎬʑＯＡңʅＯＢң即ＯＡʅＯＢ.所以坐标原点Ｏ在圆Ｍ上.(２)略视角三:点与圆的位置关系由已知可求圆的方程ꎬ再把Ｏ０ꎬ０()代入满足圆的方程ꎬ即得证.解法同上:可设ＡＢ中点为Ｎｘ０ꎬｙ０()ꎬｘ０＝ｘ１＋ｘ２２＝ｍ２＋２ꎬｙ０＝ｙ１＋ｙ２２＝ｍꎬＭ２＋ｍ２ꎬｍ()ꎬ圆Ｍ的半径ｒ＝ｍ２＋２()２＋ｍ２ꎬ所以☉Ｍ方程ｘ－ｍ２－２()２＋ｙ－ｍ()２＝ｍ２＋２()２＋ｍ２.把点Ｏ０ꎬ０()代入检验满足☉Ｍ方程ꎬ所以坐标原点Ｏ在圆Ｍ上.(２)略２.为了进一步让学生理解ꎬ可以对此题进行一些变式ꎬ以便学生对此类方法的理解更加深刻变式一:已知ＡꎬＢꎬＣ是椭圆Ｗ:ｘ２４＋ｙ２＝１上的三个点ꎬＯ是坐标原点ꎬ当点Ｂ不是Ｗ的顶点时ꎬ判断四边形ＯＡＢＣ是否可能为菱形?并说明理由.变式二:已知两点Ａｘ１ꎬｙ１()ꎬＢｘ２ꎬｙ２()(ｘ１ｘ２ʂ０)是抛物线ｙ２＝２ｐｘｐ>０()上的两个动点ꎬＯ是坐标原点ꎬ向量ＯＡңꎬＯＢң满足ＯＡң＋ＯＢң＝ＯＡң－ＯＢңꎬ设圆Ｃ的方程为ｘ２＋ｙ２－ｘ１＋ｘ２()ｘ－(ｙ１＋ｙ２)＝０ꎬ证明:线段ＡＢ是圆Ｃ上的直径.变式三:(人教Ｂ版ꎬ选修２－１ꎬＰ７１ꎬ习题２－５Ｂ第６题)已知椭圆的中心是坐标圆点Ｏꎬ它的短轴长为２２ꎬ一个焦点Ｆ的坐标为ｃꎬ０()ｃ>０()ꎬ一个定点Ａ的坐标为１０ｃ－ｃꎬ０æèçöø÷ꎬ且０Ｆң＝２ＦＡңꎬ过点Ａ的直线与椭圆相交于两点ＰꎬＱꎬ如果ＯＰʅＯＱꎬ求直线ＰＱ的方程.这样的 微专题 教学ꎬ培养了学生思维的广阔性ꎬ提高了学生的应变能力.关于目标意识ꎬ解题时ꎬ一要通过审体明确题目要求我们做什么ꎬ二要根据题干及结论的特点ꎬ弄清楚我们已知了什么.这样ꎬ当学生用常规思路解决问题而思维受阻时ꎬ就会尝试从结论出发或通过不同渠道去解决.３.微专题设计及教学中教师角色微专题设计以学生为中心ꎬ针对学生的知识漏洞设计成专题ꎬ学生在学习过程中具有更多的主动权ꎬ但这并不意味着学生可以完全离开教师的指导进行探究.事实上ꎬ在整合的过程中ꎬ教师要扮演内容呈现者㊁学习帮助者和课程设计者等多重角色ꎬ教师要在对学生的学习控制和学生的自主活动之间达到一种平衡状态.不断引导学生的思维ꎬ帮助学生顺利穿越 最近发展区 ꎬ获得进一步的发展ꎬ使得学生根据实际的需要寻找或构建支架支持思维能力的提高.４.微专题具有很强的实用性㊁可操作性从学生实际出发ꎬ针对学生的疑难点及解题方法的归纳ꎬ切实帮助其解决实际问题.此时教者对学情及例题难度的把握尤为重要ꎬ过难过易对学生的发展都是无益的.教师可以利用变式训练和问题引申设计来编制微专题ꎬ教学中ꎬ通过设置 典型例题 一题多解 变式训练 来完成微专题ꎬ这样可以达到 由点到面的爆炸式复习 .另外ꎬ微专题教学可以使学生ꎬ从各个不同的方面联系所学知识ꎬ形成横向㊁纵向的知识网.经过这样 深加工 ꎬ学生在解决问题时才能举一反三ꎬ游刃有余.㊀㊀三㊁微专题实践反思教学中的 微专题 复习与大专题复习不是相互对立㊁互不兼容的两种复习方式ꎬ二者是相互渗透ꎬ互为补充的关系.一方面 微专题 积少成多ꎬ能对大专题的自然生成起到一定的补充和完善作用ꎻ另一方面ꎬ大专题的落实需要更多有效的 微专题 进行渗透㊁强化.所以充分发挥微专题的问题集中㊁操作灵活㊁指向性强以及更容易解决具体问题等优势ꎬ将使得大专题复习实而不空ꎬ深而不偏.总之 微专题 复习能有效地帮助学生解决现实问题ꎻ同时教师在研究实践中不断学习㊁思考㊁分析ꎬ寻找出路ꎬ并能有所启发和创新ꎬ这对于教师自身的成长是有益的.㊀㊀参考文献:[１]李宽珍.基于目标意识解题的微专题教学 由一道模拟题谈开去[Ｊ].数学通讯ꎬ２０１７(４):２６－２８.[２]邱慎海.对一道全国高中数学联合竞赛题的探究[Ｊ].数学通讯ꎬ２０１７(４):５８－６１.[责任编辑:杨惠民]９１ Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
一道高考试题的多种解法
我们可 以走 极端 ，让 ｎ趋于 零 向量 ．这 时 ，
看 成
正确的不等式 最多取等 号 ，总不 会变成 反向 的不 等式 ．当 ｎ ０时 ，２ 一 ｎ＋ｂ ｂ — ，故 知 （ ）也 不 对 ．于 是 ，只有 剩 下 的 （ Ａ Ｃ）对 ，
故 应选 （ ） Ｃ．
变动 的 向量 ，不 管 ｎ怎 么 变化 ，只要 合 乎
Ｄ．
例 ２ （ ０ ６年 高 考 湖 南 卷 理 科 第 １ ２０ ４
周期 为 ７的偶 函数 ， １ 义由性 质 ２ 得
， （ ，＋ （ ∈ｚ ． ）
题 若 （） ａｎ ） ５Ｓ 等） ） ＝ ｓ（ ｉ 十 ＋ Ｃ（ Ｏ ＋
（ ｂ≠０ 是 偶 函数 ， 有 序 实 数 对 可 以是 ｎ ） 则 （ 出你认 为正确 的一组 数字 即可 ） 写 ． 解 ： 为 厂 ） Ｒ上 的可 导偶 函数 ， 因 （ 是 由
几何是 向量 的来 源之 一 ，事实 上 ，向量 的运算都 有几何 意 义，因此 ，一 时难 以捉摸
的向量算式 ，还原成 它 的几何 形象 ，就 容易
这是 ２０ ０ ７年普 通 高校 招 生 全 国统 一 考
试 （ 江 卷 ） 文 、理 皆 有 的 一 道 选 择 题 浙 （ ，第 ７题 ，文 ，第 ９ ） 理 题 ． 在 出版 的试题 和解法 汇集 中 ，介 绍 的唯
性质 ６知 （ ）＝０ 叉 ｆ （ ） ＣＳ ＋ ０ ， ＝ａ Ｏ （ ） ｓ （ ＋ ）所 以 ｎ 。 一ｂ ｉ ４： 一ｂｉ ， ｎ ｃｓ ｓ ｎ
例 ｌ （ ０ ７年 高 考 安 徽 卷 理 科 第 １ ２０ ｌ 题） 义在 Ｒ 』的 函数 厂 ） 定 二 （ 既是 奇 函数 ， 又 是周 期 数 ，７ 它 的 一 个周 期 ， 方 程 １是 若 ， ） ’ ：０存 阎 区间 ［ ７， 上 的 根 的 个 数 （ 一 １
高考数学重视“一题多解”“多题同解”
高考数学重视“一题多解”“多题同解”
重视”一题多解”多题同解学好数学要做大量的习题，但做了大量的题，数学都未必好，为何会出现这种反差呢？究其原因，是片面追求做题数量，而没有发挥做题的效果。
进入复习阶段后，大量的试题铺天盖地而来，这时我们一定要保持清醒的头脑，要有所为，有所不为。
学习数学不做题肯定不对，但不能陷入题海不能自拔，要充分发挥教材在知识形成过程中的作用，注意典型例题的示范价值，能够举一反三，重视”一题多解和”多题同解，做到以一题带一片。
要有针对性地做题，典型的题型，应该规范完成，同时还应了解自己，有选择地做一些课外的题；要循序渐进，由易到难，对做过的典型题型有一定的体会和变通，即按”学、练、思、结程序对待典型的问题，这样做才能起到事半功倍的效果。
另外，独立思考是数学的灵魂，遇到不懂或困难的问题时，要坚持独立思考，不要一遇到不会的习题就马上去问别人，自己不动脑子，而应该要自己先认真地思考一下，尽量依靠自己的努力克服其中的困难。
如经过努力仍不能解决的问题，再虚心请教别人，请教时，不要把问题问得太透。
应学会提出问题，提出问题往往比解决问题更难，而且也更重要。
一道高考题的多种解法
又 。 ｓｎ ｏ Ｃ一 ３ ｏ Ａ ｓｎ ， ． ｉ Ａｃ ｓ 。 ｃ ｓ ｉＣ
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入 ①并化 简 得 ｂ＝ ２ 以 一ｃ） ＝ （ 。 ． ＝
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论 展 开联想 ， 理转 化 ， 活运 用 数 学思 想 一 合 灵 题 多 解 ， 培 养 同学 们 的发 散 思 维 能 力 的关 是 键， 同时 注意 分析各 种 解 法 之 间 的差 异 ， 对 这 提 高 同学 们 分 析 问 题 、 决 问题 的能 力 也 是 解 大 有 帮助 的．
（ 责任 编辑 ： 金 铃）
－－
２ ９
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ｓｎ ｏ Ｃ＋ Ｃ Ａ ｓｎＣ一 ４ｃ Ａ ｓｎＣ． ｉ ｎｃ ｓ Ｏｓ ｉ ｏｓ ｉ
把 ④代 入 ⑤ 得 ４ ； ， ｂ ＝ 代 人 得 ｂ 一ｂ 把 ＝ ＝
ｂ 一 ４ （ ＝＝ ） 即 ６ ＝４ 。 ｂ ｂ／０ ， ＝ ． ＝
ｓｎ（ ＋ Ｃ） ４ ｏ Ａ ｓｎ ． ｉ Ａ 一 ｃ ｓ ｉＣ
例谈“一题多解”在高考数学复习中的作用共3页word资料
例谈“一题多解”在高考数学复习中的作用能力。
在高三数学复习过程中，教师感到内容多，负担重，有讲不完的题目，学生也经常对教师讲过的内容印象不够深刻，记不住。
要真正减轻学生的负担，必须从精讲精练开始。
每做一道题都要发挥这道题的最大作用，“一题多解”可以使解题收效更为明显。
解题后要认真总结，摸索规律，举一反三，通过这一教学模式，能对数学本质的了解、学习难点的突破、知识技能的巩固、思想方法的掌握、思维的拓展和迁移等教学目标的实现起到事半功倍的效果。
在我校高三年级的一次联考试卷中，一道数列题涉及对以下不等式的证明。
当k>7且k∈N*时，证明：对任意n∈N*都有下面提供证明这道不等式的四种解法和简要分析。
证法一：∵k>7= + +……+ + > ×（n+1）+ ×n+……+ ×n= + + + + + > + + + + + = >证法分析：利用放缩法证明不等式，需要做到“放缩有度”。
本题若直接将每一项放小至，得到的结果则是不等式的左边大于 > ，放缩过度，不能达到证明的目的，所以采用了“分组放缩法”，同时证明过程中也需考虑尽量使得计算简便。
证法二：记S= + +…… +则S= + +…… +∴2S=（ + ）+（ + ）+……+（ + ）∴2S> ×（nk-n）= > > >3∴S> 即证。
证法分析：证法二的过程中利用了以下基本不等式：若x>0，y>0则有+ ≥ （当且仅当x=y时等号成立）。
同时，关注到左边不等式中第k项的分母与倒数第k项的分母之和均为nk+n-1，所以类比等差数列求和中采用的“倒序求和法”进行证明，方法巧妙，过程简洁。
证法三：先证明不等式+ + +…… > + ……（*）下面采用数学归纳法证明此不等式。
（1）当n=1时，左边=1+ + + + + + >1+ > +1，不等式成立。
从一道高考题看一题多解
第四类
第五 类
１
１
２ ，４
２ ，４
３ ，５
３ ，６
６
５
要 合理且ห้องสมุดไป่ตู้严密 ；最后 ，乘法原 理和 加法原理 的运 用 ， 以及数值计算还得无误 ，方能得出正确 的答数 ．
６两个区域的一种情形 ，这时 ５区有 ２ 种栽法 （ 因为 ５
区的周边只有两色花 ） ． 综上 ，应用乘法原理与加法原理 ，得不 同栽种方 法 的种数为 ＾ Ａ；１ ｌ ｌ ｌ ｌ ｌ２ ＝ ２ ． （ｘ ＋ ｘ ＋ ｘ ＋ ） １０ 解法 ６ ：分两类情况考虑 ：
情形 １ ：栽 于 ４区 ，则 ６区只有一种颜色 的花可 栽 （ 因为必须不 同于 ４ 、２区的颜色 ） 、ｌ ，进而 ，５区
周 边三个区域已栽上 ３种不同颜色的花 ，故 ５区也 只
有一种颜色的花可栽 ；
第二类 ：在第 ４区域 中栽种与第 ２区域 不同颜色
的花 ，有 １ 种栽法 ；不过，与第一类不 同的是 ：至此 ， ４种不 同颜 色的花都被栽种 了． 往后 ，第 ５区域栽 花有
（ １ （ １ （ １ … … 一（） ｍ－ ）－ ） ｍ一 ） ＋
的花的颜 色 ：第 １区 ，可种 ４色花 中的任一种 ，有 ４
种不 同的栽种 法 ；接 着 ，第 ２区 ，因与第 １区相邻 ， 两区花色必须不 同 ，所 以，第 ２区只能从 ３色花 中任 选一 种栽种 ，有 ３ 不 同种法 ；跟着 ，第 ３区 ，因与 种 第 １ 、２区都有边界 ，所 以，只有 ２种不 同栽种法 ；随
有 １ 种栽法 ；至此 ，只栽种 了 ３种不 同颜色 的花 ，因
浅谈高考真题的解析与理解
浅谈高考真题的解析与理解众所周知，高考真题由命题专家反复揣摩、巧妙构思后精心命制，所以有明确的导向性、权威性、规范性和科学性，加之命题专家队伍有一定的稳定性，因而试题的考查内容、形式等具有一定的延续性和规律性，对高考备考有重要的指导意义和借鉴价值。
所以不管是教师还是学生，真题可谓是备战高考最常见，也是最宝贵的资料。
但真题又像是一个巨大的宝藏库，我们都想找到它的正确打开方式，12道选择题、5道主观题被进行了无数次、N多种的排列组合，但还有一个不容忽视的问题：真题，学生真的会用吗？教学过程中，我们经常会被问到这样的问题：“老师，我真题都做了6遍了，答案都会背了，可为什么一做文综题，历史选择题还是错很多？大题还是无从下手？”学生的疑问带给我的最大反思便是“教师不仅要会深度解读高考真题，还应该教会学生怎样去使用它。
”学生在利用真题的过程中普遍存在这些问题：一是仅把真题当作练习题使用，查漏补缺。
二是挑着做，以为高考不常考的知识点略略带过，高频考点反复做，会的就可以不做。
三是只做真题，脱离教材，这个问题在备考的冲刺阶段最为普遍。
其实这些问题归结起来就是学生不会解读和利用真题。
学生总是认为那是老师该做的事情，学生只需跟着老师走即可。
这样做带来的结果就是学生听得懂，但一旦让他自己来讲这道题，就无所适从了。
其实教师和学生的知识背景、思维方式是有很大不同的，老师总结的不一定就适合所有学生，甚至有的学生会对老师所讲的方法技巧进行生搬硬套，所以“授之以鱼不如授之以渔”，我们要让学生试着去找到打开真题的正确解锁方式。
那么学生如何利用高考真题呢？其一，懂得分阶段利用。
大多数高中的高三历史复习教学都是分阶段进行的，多是一轮、二轮或三轮，我校历史复习教学多是一轮小主题通史，二轮大主题通史，三轮热点主题史，那么每个阶段真题的使用情况是不同的。
一轮教学重在夯实主干知识，有效拓宽教材视野。
此阶段真题应按照知识点进行练习，重点放在主干知识的记忆和拓展上。
一道高考试题的多种解法
．பைடு நூலகம்
数， 且３ ． ２ ＞２ ． ５ ， 则 ３ ． ２ 言 ＞ ２ ． ５ 专 ．
（ ２ ）由于 函数 ３ ， 一 ＿ ” 在（ ０ ， ＋。 。 ） 上为 减 函数 ， 且
０ ． ３ １ ＞０ ． １ ８ ， 贝 ０ ０ ． ３ １ ＜ ： ０ ． １ ８ 一 ．
得 ２ ｚ． 一
， 于是 ２ ｚ， ｙ是 方 程 ｔ ２ 一 ｍｔ ＋
一０的 ２根 ， 因此 ｎ＝ｍ２ －４ ．
≥ｏ ，
（ 作 者 单 位 ： 江 苏 省 张 家 港 职 业 ￣ － ｇ ｑ － 心 校 ） 即 ｍ ｚ ≤ － 詈 ＿ ． 故 ２ ｚ ＋ 的 最 大 值 是 ．
链接练 习
１ ．判 断 下 列 函 数 是 否 为 幂 函 数 ： （ １ ） Ｙ— ｚ ÷； （ ２ ） 一
２ ｘ。 ； （ ３ ） — － ｔ － １ ．
２ ．设 ∈ ｛ 一１ ， １ ， １
，
一
因为该方 程有 实 数解 ， 所 以 △一（ 一３ ｔ ） 。 ～４ ×６ ×
Ｇ
～
Ｄ
分 析 利 用 函 数 图 象
的增 减 性 则 可 以 知 道 ａ 、
ａ 、 ａ 。
的范 围， 在 根 据 图 象
图 ２
◇
湖南
彭 芳 化
在 ｚ∈ （ １ ， ＋Ｃ ｘ ３ ） 上 的 高 低
位 置 则可 以找 出 ａ 、 ａ 、 ａ 。 的大 小．
在 高考 复 习过程 中 ， 正确 引 导 学 生 进行 一 题 多 解
思路 ２ 求 函数 值域 问题 ， 判 别式 法是 一 大利器 ． 解法 ２ 设 ２ ｚ＋ — ｔ ，则 —ｔ 一２ ｘ，将 其 代 入
一道高考试题的多种解法引起的教育思考
中学数学教学
即可。
２０ 年 第 １ ０２ 期
依题设得焦半径 ： 』 Ｆｆ Ａ ＝ｎ一“
ｌ Ｆｌ ２ Ｂ ＝ｔ一“ ２ ；
就告诉我们． 起到组 织作用的知识 即使不是 高考考 查 的重点， 在教学中应适当重视． 通过这些关键知识联 系 其它知识． 能起到触类旁通的效果。
５ 知识含量 最少的思路 数学一 向追求用较 少的知识 ， 筒捷 的手段解题， 下 面 的解法体现了这一传统 思路分 析 设点 Ｂ（ ． ） 由椭圆方程可得到 如 妇 ．
【 ＝ 』 ，－ ＋
：量 一１ ， （ ）
１ 最为。 准 标 的思路 所谓标准解法指的是命题 意图的体现 ， 也确实 是 实际教学 中教师最为津津 乐遭的解法 本题将韦达 定 理与一 “ 神秘式子 ” 联系起 来。 就是解题的关键所在。
思路分析
Ｅ 的 中 点． Ｆ
可得 Ａ、 Ｂ两点 的坐标
４２ ｋ ２ ２— １ （ ）
数学教学中对高考试题的研究基 本上处于技巧层 面， 往往忽略了考 生对 高考试题 的反 应。通过对考 生 答题反应出来 的问题 、 解答方法和错误 现象进行思考． 能够帮助我们以科学 的态度研究高考。我们 只有认真 地研 究学 生的学习活动才 能获得 对教育 的真正理解。
走上下面将要介 绍的繁复的“ 辛之路 艰 。 ２ 计算量最大的思路 思路分析 解方 程组
试题 已知椭圆鼍 ｙ＝１ ２ 的右准线 ｚ 与 轴相
交于点 Ｅ， 过椭 圆右焦点 Ｆ的直线 与椭 圆相交 于Ａ、 Ｂ 两点， Ｃ在右准线 ｚ 且 Ｂ ／ 轴． 点 上。 ｃ／ 求证直线 ＡＣ 经过线段 Ｅ Ｆ的中点。
进教学的思路。
，
ｉ ２ 面
一道高考模拟试题的多种解法
ａｌ一 等 等 于 ｘ ， 不 式价 ｛ ＋这
即Ｌ ｌ Ｏ （＋ ￣ ａ ｘ １ ＋ ）
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０刚 ｚ ０日 ｖ ０ ： ． ”
解 ： ： 如果 ＝。或 ＝ ｂ那 么 一 Ｐ “ ，
０ ”．
否 “ 差 且 ｙ Ｏ则 ≠ ’ ９ ＃ ， Ｑｏ ＇ 否命题：如果 ≠。 且 ≠ｂ那 ／ 一 ， ｚ ， ２ 例三 ‘ ４ ＂０ｘ ， ＜ ， （ ＋ ） ＂ ＜ ， ０ Ｊ ｙ ｙ 则 ０Ｙ ０…ｘ ｂ ｖｏ‘ … 一 … ＜ｏ ” 命题 。 解 评 。 则ｑ 式的 题的 非” 式 若 注： ‘ ‘ 砉 ” 形 命 “ 形 是“ ：命题： ＋ ≥ 或 ｘ￣ ， ＞ ， 否 “ 若 ｙ ０ ｙ Ｏ则 １ 或 ｐ则’ ， 禾蕃走其奸菇 ＜ ０ ， 二 茚集 ‘ 楚 蕃 越
一道高考压轴小题的多解探究与反思
一道高考压轴小题的多解探究与反思
本文将探究一道高考压轴小题的多解解法，并就其答题思路和考点进行反思和总结。
这道题为“有两个正整数，它们的和等于15，积等于26，求这
两个数”，是一道较为基础的代数题目，但其不同解法和思路却引起
了广泛讨论。
一种解法是通过列方程求解，设两个数分别为x和y，则有x+y=15，xy=26，进而解得x=2，y=13。
另一种解法是通过观察题目中给出的两个条件，可以发现15和26均为质数，因此只有1和15以及2和13两组数字相加等于15，
而只有2和13的积等于26，因此这组数字即为答案。
再一种解法是通过勾股定理，将26分解为2*13，设两个数分别为a和b，则有a+b=15，a^2+b^2=169，即a^2+(15-a)^2=169，解得a=4，b=11，进而得到另一组答案。
这三种解法均可得到正确答案，但考生在考场上应根据自己的能力和经验选择最适合自己的解法。
同时，这道题目也考察了考生的代数、数学推理和勾股定理等多个知识点，因此考生在备考过程中应加强对这些知识点的掌握和理解。
总之，这道高考压轴小题的多解探究和反思说明了数学题目的多样性和复杂性，考生需要在备考过程中不断提高自己的解题能力和思维水平，才能在考场上取得优异的成绩。
- 1 -。
基于两道高考试题的“一题多解”与“一题多变”
基于两道高考试题的“一题多解”与“一题多变”近年来，高考考题的设置越来越注重培养学生的创新思维和解决问题的能力。
高考试题中的“一题多解”和“一题多变”成为了备受关注的话题。
“一题多解”指的是一道题目有不同的解题思路和方法。
以数学题为例，考生可以通过代数、几何、概率等不同的数学方法来解答同一道题目。
这种题目设置，能够激发学生运用多种思维方式去解决问题，培养学生灵活运用知识的能力。
也能够让学生意识到问题的多元性和解决问题的灵活性，促使他们形成多角度思考问题的习惯。
以2019年高考数学试题为例，有一道题目要求考生计算某个复杂函数的导数。
这道题目存在多种解法，包括使用复合函数法、求导法则、泰勒级数等不同的方法。
这样的题目设置，鼓励学生运用多种数学方法去解题，培养他们的数学思维能力和解决问题的创新能力。
而“一题多变”则是指同一道题目在不同年份的高考试题中，可能会出现不同的考察要点和内容。
这种题目设置，能够考察学生对知识的掌握和灵活运用的能力，同时也能够鼓励学生广泛学习和积累知识，提高学习的深度和广度。
以语文试题为例，同一道文言文阅读题可能会在不同年份的高考试题中出现，但题目的难度、考察的重点和考点可能会有所变化。
这样的题目设置，要求学生对文言文的理解和运用能力有较高的要求，同时也促使学生全面了解文言文的知识和技巧。
通过“一题多解”和“一题多变”的设置，高考试题不再是一成不变的，而是多种思路和内容的集合。
这不仅考验了学生的学科能力，更体现了高考的公平性和科学性。
每个学生都有机会根据自己的知识掌握和思维方式来解答问题，从而展示个人的能力和潜力。
对于学生来说，面对“一题多解”和“一题多变”的考题，也存在一定的挑战和难度。
学生需要对知识有较深入的理解和掌握，才能够灵活运用不同的解题方法。
学生需要具备广泛的知识储备和丰富的经验积累，才能够应对不同年份的考察要点和内容变化。
这要求学生在学习过程中要注重知识的掌握和积累，提高自身的学科素养和应试能力。
一道高考题的多解与多变
感 应 定律 、 场对 电流 的作 用 、 磁 金属 杆 的 “ 动 、 运 受力 和平 衡” 电路 中的能量 转 化 等物理 知识 。 、 它 要求 学 生能根 据物体 的受 力情 况 ， 对物 体 的运动 性质 、 动速 度和加 速度 的变 化情 况作 出准 确 的 运 判 断 ， 电路 中 能 量转 化 情 况 作 出 分析 。 类 问 对 这 题综 合性 强 ， 及 的物 理 过 程 复 杂 多 变 ， 涉 因此 是 历 年来 高考 的热 点问题 。 解法 ｌ （ ）当两 金属 杆都 以速 度 匀速 滑 １ 动时， 每条 金属 杆 中产 生 的 感 应 电 动势 分 别 为 ：
小 都是 ＝ ５ ０ ｓ 如图 ． ｍ／ ， １所示 。 计 导轨 上 的摩 不 擦。
导 轨
由闭合 电路的欧 姆定 律 ， 回路 中 的电流 强度
为 Ｊ 一 ②
作 用于每 根金属 杆 的拉 力 的 大小 （ 等 ） 相 设 为 Ｆ， 因拉力 与安培 力平衡 ， 有 ： 则
Ｆ＝ Ｂｄ ｉ
一
￡ ｌ一 ￡ 一 Ｂ ｖ ２ ｄ
①
３ ２× ｌ × ０ ４ Ｊ— １ ２ ． Ｏ ．０ ． ８× ｌ Ｊ Ｏ
由闭合 电 路 的 欧 姆 定 律 ， 回路 中 的 电 流 强 度： Ｊ一 ②
上述 的解法 ｌ ２ 按 照常规 思路 ， 和 ， 分步 进行 解答 ， 目了然 。 法 ３ 从 能量 的角度 人手 ， 一 解 ， 别开
生面 ， 避繁就 简 ， 问题迅 速获 解 。 是一 种跨 跃 使 这
的创 新思维 。
因拉力 与 安培 力平衡 ， 用于 每根 金属 杆的 作
对一道高考题的多种解法及感悟
以６ ０ ｏ ＜ ａ ＜ ９ ０ ｏ ， 所以 ｎ ＜ ０ 目 ． ｙ ｏ ＜ ０ ．
高 中 版 十・ ？ 擞－ ？
教 参
解 法 探 究
２ ０ １ ３年 ３月
为几道２ ０ １ ２ 年高考选择题 “ 正身’ ’
⑧北京 市 丰台二 中 甘志 国 （ 特 级教师 ）
高考题 １（ ２ ０ １ ２ 年天津 理６ ） 设 ｍ， ｎ∈ Ｒ， 若 直线 （ ｍ＋
由①②③
一 ７
，
Ｙ
【 ＇ ， ＝ 一 、 ／ ．
解法３ （ 三 角与解析综 合 法） 如 图２ ， ／ ３ 为Ｄ Ｐ 倾斜角 ， 易见 ，
６ ０ 。 ＜ ／ ３ ＜ ９ ０ 。 ， ｔ ａ ｎ 卢 ＝ ８＝ 了 ４
Ｑ
．
一
０
互
采撷 一例来 和大家共同研 究．
…
｛ ７
【 ｙ ＝ － 、 ／ ２ ・
这是很有特色的一道题 ， 本题巧妙地把旋转概念与 向 量运算综合在一起 ，设计新颖 ，
，
解 法４ （ 三角直接计算 ） 如图３ ， 同解法３ ， 得到ｔ ａ ｎ ｏ ／ ＝
． ） ￣ ｃ ｏ ｓ ａ ＝ ７ ７ ｘ ／ ￣ 了 １ 所１ ７
Ｄ ． （ 一 ， ２ － ２ ］ ｕ［ ２ ＋ ２ ， ＋ ∞）
这就说 明了高考题 １ 有误 ，并且文献１ 还 得到 了高考 题１ 的正确答案是“ 不存 在” ．
（ 参考答 案 ： Ｄ ）
文献 １ 认为这是一道值得商榷 的高考试题 ：
命 题１ 若ｍ， ｎ ∈Ｒ， 则直 线 （ ｍ＋ ｌ ＋ （ 斛１ ） ｙ － ２ ＝ ０ 与
、 ／ ．
Ｑ 共 线 ．又 易 知 ＝ （ ８ ， 一 ６ ） ，所 以 ： （ ６ ， ８ ） ＋ （ ８ ， 一 ６ ） ：
浅析一题多解与一题多变在高中数学教学中的应用
２０２４年２月上半月㊀学习指导㊀㊀㊀㊀浅析一题多解与一题多变在高中数学教学中的应用◉江苏东海高级中学㊀冯月华㊀㊀在高中数学教学中,一题多解与一题多变教学是常用的方法,以期通过多角度分析达到夯实基础,培养学生创新能力和探究能力,提高学生发现㊁提出㊁分析和解决问题能力的目的[１]．下面笔者以两道典型的三角函数题为例,谈谈对一题多解与一题多变教学的一些粗浅认识,供参考!１一题多解,培养思维的发散性例１㊀已知t a n(α２＋π４)＝－３,求１＋s i nα的值．本题主要考查二倍角公式㊁和角的正切公式㊁ １ 的灵活转化等知识点,解题方法不唯一．根据预设可以看出,学生对 １ 的转化比较熟悉,例如１＋s i n x＝s i n x２＋c o s x２,１－s i n x＝s i n x２－c o s x２．教师先让学生独立解题,然后与学生共同交流．师:谁来说一说,你是如何求解例１的?生１:因为t a n(α２＋π４)＝－３,根据两角和的正切公式,易求出t a nα２＝２,所以α２的终边在第一或第三象限．由同角三角函数的基本关系式,进一步可求出s i nα２＝２５５,c o sα２＝５５,或s i nα２＝－２５５,c o sα２＝－５５,则都有１＋s i nα＝s i nα２＋c o sα２＝３５５,所以１＋s i nα＝３５５．师:很好!生１从已学习过的知识出发,利用１＋s i nα＝s i nα２＋c o sα２解决了问题．我们知道三角函数形式是灵活多变的,还有没有其他的方法呢?生２:我在此基础上做了改进．由t a n(α２＋π４)＝－３,可以得到s i n(α２＋π４)＝ʃ３１０１０,所以可得s i nα２＋c o sα２＝２s i n(α２＋π４)＝３５５,即１＋s i nα＝３５５．师:很好!生２从问题出发,灵活运用有关三角恒等变换公式,将已知和问题建立了联系,真正体现了知识的活学活用．学生给出预设的两种解法后,教师准备开始其他问题的探究,但生３又提出了新思路．生３:可从已知条件出发,因为t a n(α２＋π４)＝－３,利用二倍角公式得t a n(α＋π２)＝３４,所以t a nα＝－４３,则s i nα＝ʃ４５,解得１＋s i nα＝３５５或５５．我感觉自己的思路和过程没有问题,但是却和前面两位同学的结果不一致．生３给出的方法超出了教师的预设,教师一时不知如何回答．不过该方法是学生的真实想法,且具有一定的科学性和探究性,为此选择与学生共同探索,挖掘答案不一致的真正原因．师:生３的答案和之前两位同学的答案不一致,是前面两位同学的结果不够完善,还是生３的结果存在增根呢?这个确实是一个非常有价值的问题．问题到底出现在哪里呢?生４:我感觉生３的解题思路和计算过程没有问题,已知条件仅给出了t a n(α２＋π４)＝－３,没有给出α的范围,所以很难确定α的终边在哪一个象限．师:条件中确实没有给出α的范围,那么α的范围真的没有办法确定吗生５:可以将t a n(α２＋π４)与特殊角的三角函数比较,逐步缩小角的范围．由t a n(α２＋π４)＝－３＜－３,得kπ－π２＜α２＋π４＜kπ－π３,所以２kπ－３π２＜α＜２kπ－７π６(kɪZ),由此可知,α在第二象限．师:分析得非常有道理!那么是什么原因使生３解题时出现了增根呢９５学习指导２０２４年２月上半月㊀㊀㊀生６:问题应该出现在 由t a n(α２＋π４)＝－３,利用二倍角公式得t a n (α＋π２)＝３４这一步的变换上,变换时扩大了α的范围,从而出现了增根．对于同一题,思考的角度不同,其解决方法也会有所不同,不过最终的结果是一致的．在日常教学中,教师应鼓励学生尝试从不同角度探索解决问题的方法,这样可以有效激活学生的原认知,提高分析和解决问题的能力．２一题多变,培养思维的灵活性例２㊀已知α是三角形的内角,且s i n α＋c o s α＝１５,求t a n α的值．例２考查同角三角函数基本关系式及其应用,难度不大,教师先让学生独立求解,然后师生互动交流．师:对于例２,大家是怎么想的?生１:我是用方程的思想方法求解的,由s i n α＋c o s α＝１５和s i n ２α＋c o s ２α＝１,解得s i n α＝－３５,c o s α＝４５,或s i n α＝４５,c o s α＝－３５．又α是三角形的内角,所以s i n α＝４５,c o s α＝－３５．所以t a n α＝－４３．师:非常好!根据同角三角函数的基本关系式,运用方程的思想方法顺利解决了问题．对于该题,大家还有其他解题思路吗生２:由(s i n α＋c o s α)２＝１＋２s i n αc o s α＝１２５,得２s i n αc o s α＝－２４２５＜０．又α是三角形的内角,所以α为钝角,则s i n α＞０,c o s α＜０．又(s i n α－c o s α)２＝４９２５,所以s i n α－c o s α＝７５,将其与s i n α＋c o s α＝１５联立,求得s i n α＝４５,c o s α＝－３５,所以t a n α＝－４３．师:很好!根据角的范围判断三角函数的符号往往是解三角函数问题的关键,解题时切勿忘记．学生顺利完成例２的解答后,教师给出如下变式问题:变式㊀若t a n θ＝２,求s i n ２θ＋s i n θc o s θ－２c o s ２θ．此变式同样考查 s i n ２θ＋c o s ２θ＝１的灵活运用,将原式变为s i n ２θ＋s i n θc o s θ－２c o s ２θs i n ２θ＋c o s ２θ,将此式的分子分母同时除以c o s ２θ,转化为关于t a n θ的式子,进而将已知条件代入即可求得答案．例２及变式求解后,教师引导学生对以上解题方法进行归纳总结,从而提高学生解决一类问题的能力．在此基础上,教师继续提出新问题:(１)变式的条件还可以做怎样的变形?如果将t a n θ＝２变为t a nθ２＝２或３s i n θ＋c o s θ＝０或s i n (３π＋θ)＝２s i n (３π２＋θ),该如何求解?(２)变式的问题还可以做哪些变形?如果是２s i n θ－c o s θs i n θ＋２c o s θ,１c o s ２θ＋２s i n ２θ,s i n ２θ－c o s ２θ１＋c o s ２θ,又该如何求解?通过以上变式,引导学生体会该类题型考查的核心内容是s i n ２θ＋c o s ２θ＝１,t a n θ＝s i n θc o s θ与 １的灵活应用,题目虽然形式不同,但是所用的知识㊁思路与方法基本相同．这样通过一题多变既能加深对相关知识㊁方法的理解,又能增强学生解题信心,提高学生解决问题的能力．数学题目千变万化,更换一个条件或结论就会成为一道新题．为了帮助学生跳出 题海 ,教学中应注重对一些典型例题进行变式教学,这样既能加深相关知识的理解,又能激发学生的探究欲望,提高学生的思维能力和学习能力,从而让学生逐渐爱上数学学习[２]．３结束语在实际教学中,教师要通过一题多解与一题多变为学生提供更多的自主探究空间,以此帮助学生加深对所学知识的理解,培养良好的学习习惯和独立的个性．学生是课堂的主体．教学过程中,教师要尊重学生㊁相信学生,提供时间和空间让学生主动参与课堂,切实提高教学有效性和学生数学能力．在实际教学中,教师既要进行充分的预设,又要及时捕捉精彩的课堂生成,以平等对话的态度了解学生的真实想法,共同研究解决问题的策略,激发学生参与课堂的积极性,促成深度学习．总之,在解题教学中,教师切勿越俎代庖,应该充分发挥学生的主体价值,通过一题多解㊁一题多变教学提炼解题规律和解题方法,培养学生的创新㊁探究能力,提升教学有效性．参考文献:[１]郭靖．基于核心素养的引导探究教学模式的探索与实践 高中新教材不等式性质的教学案例[J ]．中文科技期刊数据库(全文版)教育科学,２０２１(６):１６８Ｇ１７０．[２]陈光建,郑日锋．一花一世界一题一天地 一节高考二轮复习的教学设计及反思[J ]．中小学数学(高中版)２０１３(４):２０Ｇ２２．Z０６。
一道高考数学题的一题多解
．
．
（ ， ｙ８ 斛， － ）
， ’ ） ｙ８计，－＝ ， ｊ２ ＿ （ ＋ （ ， ７ｏ ）
在直线的距离相等的点 （ Ａ． 有且 只有 １ 个 Ｃ 有且只有 ３ ． 个
力．
） Ｂ 有且只有 ２ ． 个 Ｄ 有无数个 ．
逻辑 思 维能 力． 此法 考生容 易由特殊性 认 为只有 Ｂ、 ｔ
Ｐ Ｄ三 点 或 Ｂ、 Ｄ两 点 符 合 条 件 ，从 而 错 选 Ｂ戒 ｃ 、
｛ 一＋ ｌ时是题目的解．
— 一
由图可知 直线 。 的任何一 点到 三条棱 Ａ Ｄ上 Ｂ、
Ｃ Ｄ。 Ｃ 、Ａ。 所在直线 的距离相等 ，故选 Ｄ ．
Ｄ Ｃ
当点的坐标为 （ ｙｚ满足条件 ： ，，）
１ 。 （ ， ｆ￣ ８ ｃ ，， ２ ：－ 。 争看 １ Ｘ－ ｌ ’ ， ） ２， 如
来 也 是 题 目的 解 ．
点评 ：此题 通过建 立空间直 角坐标 系， 建立方程
模 型， 利用方程 的思想解 决空间几何问题 ． 这种解决 空
间几 何 问题 的 方 法要 求 考 生 具备 较 强 的运 算 能 力和 一
定的数 学思维品质， 虽然运算量比较 大， 但直观清晰．
责任编校 徐 国坚
５ ２
蕊
２ｔ ０ ０筇 繁 ７ ８勰
Ｐ ２ Ｏ 垂直 于 ＢＤ，Ｂｃ 日 于 ０ ， ２０ ， Ｐ 】 Ｏ ，Ｐ ３ ｌ １， ｌ０ ， ３则 Ｏ 上
一道高考题的一题多解与推广
—
求
，
一
： ４
，
—Ｅ Ａ
＝
２
ｃ
， 一
一
Ｙ ｏ ） ， Ａ Ｆ ＝（ １一 ０ ， 一 Ｙ Ｏ ） 满足Ａ Ｅ ＝ＡＡ Ｆ（ Ａ≠０ ） ，
故Ａ 、 Ｅ 、 Ｆ三点共 线 ， 直线 Ａ Ｅ过定 点（ １ ， ０ ） ． 此 法主 要利用 导数 法结 合 已知条 件求 出所 需 的
２ ０ １ ４年 第 １ ０期
中学数 学研 究
・ ３ ７・
一
道 高 考 题 的 一 题 多 解 与 推 广
山东省聊城 大学数 学科 学学 院 （ ２ ５ ２ ０ ０ ０ ） 胡修欣 于兴 江
引 言 （ 山东省 ２ ０ １ ４年数 学 高考题 ）已知 抛 物 线 Ｃ： ｙ ＝２ ｐ ￣ （ ｐ ＞０ ）的 焦点为 Ｆ， Ａ为 Ｃ上异 于原
解法 １ ． ４： 如 图２ ，延 长 Ａ Ｆ交直 线 Ｚ 于 点 Ｅ ， 设直 线
ｌ Ｊ
．
程 ｙ ：一 Ｙ ０ ＋６
，
代 入 抛 物线
图 １
ｚ 交 轴于点 Ｇ ， 由于ｚ ， ∥ｚ 且
ｌ Ｆ Ａ Ｉ ＝ｌ Ｆ Ｄ ｌ ， 所 以ｌ Ｆ Ｇ Ｉ Ｉ Ｆ Ｅ １ ， 设 Ａ（ ‰， Ｙ ｏ ） （ ， Ｙ ｏ ≠ ０ ） ， Ｄ（ 。＋２ ， ０ ） ，焦 点
１ ． 第（ ２ ）问 （ ｉ ）的 一题 多解
解 法 Ｌ １ ：如 图 １ ，设
ｙ ＿
（ ４ ｘ ） ， 即２ ｙ ・ Ｙ ＝ ４ ， 故Ｙ ＝ ÷ ． 直线ｚ １ ／ ／ ２ ， 且ｚ ；
＝
ＹＥ
和 Ｃ有且 只有 一个 公共 点 Ｅ， 故Ｚ ，的斜 率 ｋ＝
基于两道高考试题的“一题多解”与“一题多变”
基于两道高考试题的“一题多解”与“一题多变”高考是中国教育系统中最为重要的一次考试，几乎决定了学生的未来走向。
为了选拔出最好的学生，高考试题往往是非常严谨和严密的。
在实际的考试过程中，有时会出现一题多解或一题多变的情况。
一题多解指的是一个问题有多种答案或多种解决方法。
高考试题通常设计成有唯一正确答案的形式，但由于问题的复杂性和广度，也有可能会有其他答案。
某道数学题要求求解一个方程，虽然通常只有一个解，但在某些特定条件下也可能有多个解。
这种情况下，如果考生能够给出其他解，并且解答过程正确，他们也可以得到分数。
一题多变指的是同一道题目在不同的考试中，可能会有不同的表述或要求。
高考试题是经过精心设计和审核的，但有时会有一些小的差异。
某个考试要求学生解答一道文学理解题，其中涉及到一个小说中的情节。
在不同的考试中，可能会有对情节的描述有细微差别，但要求学生进行相同的分析和理解。
这种情况下，考生需要根据实际题目做出相应的答案。
一题多解和一题多变可能是由于试题设计者的失误或主观性造成的，也可能是故意设置的。
试题设计者有时会故意设置一题多解或一题多变的情况，以考察学生的思维能力和灵活性。
这样的题目可以激发学生的创造力和思考能力，使他们更好地理解问题，发现不同的解决方法。
一题多解和一题多变也反映了学科知识的广度和复杂性。
一个问题可能涉及到多个知识点或技能，学生需要综合运用这些知识点和技能来解答问题。
这样的问题在一定程度上能够衡量学生的综合能力和深度理解能力。
一题多解和一题多变也存在一定的问题。
一些考生可能会误解题意，给出错误的答案。
而一些考生可能只掌握了解题的一种方法，导致无法应对不同的题目要求。
对于学生来说，重要的是要在高中阶段充分掌握各学科的知识和技能，提高解题的能力和思维的灵活性。
要注重对题目的理解和分析，切忌盲目套用模板答案。
对于教育机构和教师来说，应该注重培养学生的综合能力和创新能力，设计更有针对性的试题，对一题多解和一题多变进行更加科学和合理的评分。
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题 多 用的 习题教 学 。
又 错 。 以， 题的关键 是要 先求 出 的值 。 寸 所 本
解 法 １ 运 动 学 公 式 法 ．
例 １ （０ ７ ２ ０ 年全 国高考 理综 ・ 北京 卷第 ２ ０ 题 ）在真 空 中 的光 滑 水 平 绝 缘 面 上 有 一 带 电小 滑块 ， 始 时 块静 止 。 在 滑块 所 在 空 间加 一 开 若 水 平 匀强 电场 Ｅ ， 续 一 段 时 问后立 刻换 成 与 。持
、 － － － （工 工 工
一追 高 的 多解 与 多用 道 局 考题
一
缪 庚平
福 安 职 业 技 术学 校 ， 建 省 福安 市 ３ ５ １ 福 ５０ ７
摘 要 ： 考 题 是 习题 教 学 的 重要 资 源 ， 用 高考 题 进 行 一题 多解 和 一 题 多 用 的 习题 教 学 ， 以 培 养 学 生 的创 新 思 高 利 ’ 可
维能力。
关键词 ： 高考 题 ； 习题 教 学 ； 题 多解 ； 题 多用 一 一 中图分类号 ：６３７ Ｇ ３ ． 文 献标 识 码 ： Ａ 文 章 编 号 ：０ ３ ６ ４ （０ ８８ ｓ 一 ０ ４ — ３ １０ ～ １８ ２ ０ ）（ ） ０ ４
在 习题 教 学 中， 一类 与 思 维 多 向性 相 关 有 的教学方 式 ， 如 ： 例 一题 多解 、 题 多用 、 一 一题 多
Ａ
一
由 以上 三式 可得 ： 一 ２ 同理 可知 ， 确选 。 正
１
项 是 Ｃ。
解法 ３
—ｔ 图象 法
Ｖｏ． ６ ＮＯ ３ １ １２ ． ２ （ Ｓ） ８２０ ．０８ ． ５ ４．
Ｊｕｎ ｌ ｏ Ｐ ｙｉ Ｔ ａｈｎ ｏ ｒａ ｆ ｈ ｓ ｓ ｅｃｉｇ ｃ
滑块 在 Ｅ 作用 过程 的平 均速 度 。
一
４有 助于 训练这 两个 定理 在解 题 中的 应用 。
例 １ 物理情 景是 ： 体在 前一 段时 阀 内 做 的 物
初 速度 为零 的匀加 速直 线运 动 ， 接着 在后 一 段 时
由题设 易知 一一
间 内做匀 变 速 （ 匀 减 速 、 返 回 匀 加 速 ）直 线 先 后
运 动 ， 前 后 两段 运 动 的 加 速度 方 向相 反 、 间 且 时 相 等 、 移 大 小相 等 而 方 向相 反 。 种 情 景 的物 位 这
引导 学生从 众 多解 决 问题 的方 案 中找 出最 佳 方
自、 式 Ｗ 击 ③ 两 １ ④
⑦
案。 下面就 以 ２ ０ ０ ７年 全 国 高考 理 综 ・ 京 卷 第 北
２ ０题 为例 ， 谈 如 何 利 用 该 题 进行 一题 多解 和 谈
一
如果 的值 已知 ， 则根据 ⑥ 式 可判 断 Ａ、 Ｂ
Ｗ 一 删 ｊ ０ 一
厶
１ １
③
一
滑块在 Ｅｌ 用过程 的平均 速 度 作
‘
Ｗ。 告删 ； ｊ 一 一去
④
ｌ
一
维普资讯
第２ ６卷 总 第 ３ １期 ２
２０ ０ ８年 第 ８期 （ 半 月） 上
物
理
教
学
探
讨
Ｅ 相 反方 向的匀 强 电场 Ｅ 。 电场 Ｅ 与 电场 Ｅ 。 ２当 ２
持续 时 间相 同时 ， 块 恰 好 回到 初 始位 置 ， 具 滑 且
滑块在 Ｅ 作用 的 时间 ｔ ， 初速 度 为零 的 。 内 做 加速直线 运动 ， 其加 速 度 为 ｎ ， 移 为 ， 设 。位 则
有５ 一寺ｎ￡，１ １ １ ＝ｎ￡ 。
滑 块在 Ｅ 作 用 的时 问 ｔ ， ２ 内 做初 速度 为 、
有动 能 ＥＫ 在 上 述 过 程 中 ， 对 滑块 的 电场 力 。 Ｅ
做 功 为 ｗ 冲量 大 小 为 Ｊ ； ２ 滑 块 的 电场 力 ， Ｅ 对 做 功 为 ｗ。 冲量 大小 为 Ｊ， （ ） ， 。则
故 ＝
Ｃ． １ — ０． ５ Ｗ ２ ＥＫ， ２ — ０． ５ＥＫ Ｗ ７
Ｄ． １— ０ ２ Ｗ ． ０ＥＫ， ２ — ０． Ｏ Ｗ ８ ＥＫ
‘
分 析 设 Ｅ 作用 过程 的末 速度大小 为 ，
整 个过 程 的末速 度大小 为 Ｖ ， Ｅ 方 向为正 方 ２取 。 向， 由动 量定 理可 得
Ｊ １一 ｍｙ １— ０
一
Ｑ ）
将１２人 式 得鲁 号将１２ 代 ⑥ 可 ：一 ’ 一 ｌ ０ ； ２ 一
与 ⑤ 、 式联立 ， ⑦ 可得 知 ｃ选 项 正 确 ， 正 确 选 故
项 是 Ｃ。
Ｊ ２＝一 ｍｙ 一 ｍｙｌ ２
②
由动 能定理 可得
１
解 法 ２ 平 均 速 度 法
维普资讯
ＶｏＩ２ Ｎｏ ３ １ ．６ ． ２ （ Ｓ） ８ ２ ０ ． ４ ．０８ ４．
物 理 教 学 探
讨
第 ２ ６卷 总 第 ３ １期 ２ ２０ ０ ８年 第 ８期 （ 半 月） 上
，
广ｒ？ 丫 ｒ
｝考 试 ． ｜ ｛ ｝研 究 ． ． １
Ｗ１ ＋Ｗ２： ＥＫ～０
⑤
变 和多解 归 一 等方 式 。 中 ， 题 多解 要 求 教师 其 一
启 发学 生从 问题 的不 同角度进 行分 析 ， 让学 生 从
由 、两得 一 ① 式： ② 皂
⑥
单 一 的思维 模式 中解 放 出来 ， 进学 生对 物理 知 二 促
识 灵 活运用 ， 在 拓 宽学 生 解题 思路 的过 程 中 ， 并
Ａ ． ｌ— Ｊ Ｊ ２
Ｂ． ｌ— Ｊ ４Ｉ ２
位移 为 一ｓ的匀变 速 （ 匀减 速 、 先 后返 回匀 加速 ） 直线运 动 ， 其加 速度大小 为 ｎ ， 有 设 。则
一
５ １一告 ２ ￡ ｎ￡ 。
联立 上述 三式得 ： ： ３ 堕 又因 为 一 一 １ ２ 一ｎ ｔ