点集拓扑学练习题第7章(简)
(完整word版)点集拓扑学试题(含答案)
点集拓扑学练习题一、单项选择题(每题1分)1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T ② {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T③ {,,{},{,}}X a a b φ=T ④ {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T 答案:③2、设{,,}X a b c =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{}}X a a b c φ=T ② {,,{},{,},{,}}X a a b a c φ=T③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T答案:② 3、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c d φ=T ② {,,{,,},{,,}}X a b c a b d φ=T③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{}}X a b φ=T答案:① 4、设{,,}X a b c =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{},{},{,}}X b c a b φ=T ② {,,{},{},{,},{,}}X a b a b a c φ=T③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T答案:② 5、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ② {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{},{,}}X a c a c φ=T答案:④ 6、设{,,}X a b c =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{},{},{,}}X a b b c φ=T ② {,,{,},{,}}X a b b c φ=T③ {,,{},{,}}X a a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T答案:③ 7、已知{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则}{b =( )①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d答案:④8、 已知{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{,,}b c d =( )①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d 答案:④9、 已知{,}X a b =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =( )①φ ② X ③ {}a ④ {}b 答案:②10、已知{,}X a b =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}b =( )①φ ② X ③ {}a ④ {}b 答案:④11、已知{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =( )①φ ② X ③ {,}a b ④ {,,}b c d 答案:②12、已知{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}c =( )①φ ② X ③ {,}a c ④ {,,}b c d 答案:④13、设{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{},{,,}}X a b c d φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集个数( ) ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案:②14、设{,,}X a b c =,拓扑{,,{},{,}}X a b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为( ) ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案:②15、设{,,}X a b c =,拓扑{,,{},{,}}X b b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为( ) ① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 答案:①16、设{,}X a b =,拓扑{,,{}}X b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为( )① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 答案:③17、设{,}X a b =,拓扑{,,{},{}}X a b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为( ) ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案:④18、设{,,}X abc =,拓扑{,,{},{},{,},{,}}X a b a b b c φ=T ,X 的既开又闭的非空真子集个数( )① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案:②19、在实数空间中,有理数集Q 的内部Q 是( )① φ ② Q ③ R -Q ④ R 答案:①20、在实数空间中,有理数集Q 的边界()Q ∂是( )① φ ② Q ③ R -Q ④ R 答案:④21、在实数空间中,整数集Z 的内部Z 是( )① φ ② Z ③ R -Z ④ R 答案:①22、在实数空间中,整数集Z 的边界()Z ∂是( )① φ ② Z ③ R -Z ④ R 答案:②23、在实数空间中,区间[0,1)的边界是( )① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1) 答案:③24、在实数空间中,区间[2,3)的边界是( )① φ ② [2,3] ③ {2,3} ④ (2,3) 答案:③25、在实数空间中,区间[0,1)的内部是( )① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1) 答案:④26、设X 是一个拓扑空间,A ,B 是X 的子集,则下列关系中错误的是( )① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B ⋃=⋃③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A = 答案: ③27、设X 是一个拓扑空间,A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是( )① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B -=-③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A = 答案: ①28、设X 是一个拓扑空间,A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是( )① ()d A B A B ⋃=⋃ ② A B A B -=-③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ (())()d d A A d A ⊂⋃ 答案: ④29、已知X 是一个离散拓扑空间,A 是X 的子集,则下列结论中正确的是() ① ()d A φ= ② ()d A X A =-③ ()d A A = ④ ()d A X = 答案:①30、已知X 是一个平庸拓扑空间,A 是X 的子集,则下列结论中不正确的是()① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X A =-③ 若A={12,x x },则()d A X = ④ 若A X ≠, 则()d A X ≠ 答案:④31、已知X 是一个平庸拓扑空间,A 是X 的子集,则下列结论中正确的是( )① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X =③ 若A={12,x x },则()d A X A =- ④ 若12{,}A x x =,则()d A A = 答案:①32、设{,,,}X a b c d =,令{{,,},{},{}}a b c c d =B ,则由B 产生的X 上的拓扑是( ) ① { X ,φ,{c },{d },{c ,d },{a ,b ,c }} ② {X ,φ,{c },{d },{c ,d }}③ { X ,φ,{c },{a ,b ,c }} ④ { X ,φ,{d },{b ,c },{b ,d },{b ,c ,d }} 答案:①33、设X 是至少含有两个元素的集合,p X ∈,{|}{}G X p G φ=⊂∈⋃T 是X 的拓扑,则( )是T 的基.① {{,}|{}}B p x x X p =∈- ② {{}|}B x x X =∈③ {{,}|}B p x x X =∈ ④ {{}|{}}B x x X p =∈- 答案:③34、 设{,,}X a b c =,则下列X 的拓扑中( )以{,,{}}S X a φ=为子基.① { X , φ,{a },{a ,c }} ② {X , φ,{a }}③ { X , φ,{a },{b },{a ,b }} ④ {X ,φ }答案:②35、离散空间的任一子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案:③36、平庸空间的任一非空真子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案:④37、实数空间R 中的任一单点集是 ( )① 开集 ② 闭集 ③ 既开又闭 ④ 非开非闭 答案:②38、实数空间R 的子集A ={1,21,31 ,41,……},则A =( )①φ ② R ③ A ∪{0} ④ A 答案:③39、在实数空间R 中,下列集合是闭集的是( )① 整数集 ② [)b a , ③ 有理数集 ④ 无理数集 答案:①40、在实数空间R 中,下列集合是开集的是( )① 整数集Z ② 有理数集③ 无理数集 ④ 整数集Z 的补集Z '答案:④41、已知{1,2,3}X =上的拓扑{,,{1}}T X φ=,则点1的邻域个数是( )① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案:④42、已知{,}X a b =,则X 上的所有可能的拓扑有( )① 1个 ② 2个 ③ 3个 ④ 4个 答案:④43、已知X ={a ,b ,c },则X 上的含有4个元素的拓扑有( )个① 3 ② 5 ③ 7 ④ 9 答案:④44、设(,)T X 为拓扑空间,则下列叙述正确的为 ( )①T , T X φ∈∉ ② T ,T X φ∉∈③当T T '⊂时,T T U U '∈∈ ④ 当T T '⊂时,T T U U '∈∈ 答案:③45、在实数下限拓扑空间R 中,区间[,)a b 是( )① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭 答案:③46、设X 是一个拓扑空间,,A B X ⊂,且满足()d A B A ⊂⊂,则B 是( )① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭 答案:②47、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{1,2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{2},{1,2}}φ=T ② {,,{1},{2},{1,2}}T X φ=③ {,,{1},{2}}T A φ= ④ {,,{1},{2}}T X φ= 答案:③48、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{1,3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{1},{3},{1,3}}T φ= ② {,,{1}}T A φ=③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ= 答案:②49、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{2,3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{3},{2,3}}φ=T ② {,,{2},{3}}T A φ=③ {,,{2},{3},{2,3}}T X φ= ④ {,,{3}}T X φ= 答案:②50、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{1}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{1}}T φ= ② {,,{1,2}}T A φ=③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ= 答案:①51、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,}T A φ=③ {,,{2}}T X φ= ④ {,,{1,2}}T X φ= 答案:②52、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,{},{1,3}}T X φ=③ {,,{3}}T X φ= ④ {,{3}}T φ= 答案:④53、设R 是实数空间,Z 是整数集,则R 的子空间Z 的拓扑为( )① {,}T Z φ= ② ()T P Z = ③ T Z = ④ {}T Z = 答案:②54、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.1P 是X 到1X 的投射,则1P 是( )① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案:④55、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.2P 是X 到2X 的投射,则2P 是( ) ① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案:④56、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.3P 是X 到3X 的投射,则3P 是( )① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案:④57、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.4P 是X 到4X 的投射,则4P 是( ) ① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案:④58、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.5P 是X 到5X 的投射,则5P 是( )① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案:④59、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.6P 是X 到6X 的投射,则6P 是( )① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案:④60、设1X 和2X 是两个拓扑空间,12X X ⨯是它们的积空间,1A X ⊂,2B X ⊂,则有( ) ① A B A B ⨯≠⨯ ② A B A B ⨯=⨯ ③()A B A B ⨯≠⨯ ④ ()()()A B A B ∂⨯=∂⨯∂答案:②61、有理数集Q 是实数空间R 的一个( )① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对 答案:①62、整数集Z 是实数空间R 的一个( )① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对答案:①63、无理数集是实数空间R 的一个( )① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对答案:①64、设Y 为拓扑空间X 的连通子集,Z 为X 的子集,若Y Z Y ⊂⊂, 则Z 为( )①不连通子集 ② 连通子集 ③ 闭集 ④ 开集答案:②65、设12,X X 是平庸空间,则积空间12X X ⨯是( )① 离散空间 ② 不一定是平庸空间③ 平庸空间 ④ 不连通空间答案:③66、设12,X X 是离散空间,则积空间12X X ⨯是( )① 离散空间 ② 不一定是离散空间③ 平庸空间 ④ 连通空间答案:①67、设12,X X 是连通空间,则积空间12X X ⨯是( )① 离散空间 ② 不一定是连通空间③ 平庸空间 ④ 连通空间答案:④68、实数空间R 中的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③区间 ④ 以上都不对答案:④69、实数空间R 中的不少于两点的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③ 区间 ④ 以上都不对答案:③70、实数空间R 中的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③ 区间 ④ 区间或一点答案:④71、下列叙述中正确的个数为( )(Ⅰ)单位圆周1S 是连通的; (Ⅱ){0}R -是连通的(Ⅲ)2{(0,0)}R -是连通的 (Ⅳ)2R 和R 同胚① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4答案:②二、填空题(每题1分)1、设{,}X a b =,则X 的平庸拓扑为 ;答案:{,}T X φ=2、设{,}X a b =,则X 的离散拓扑为 ;答案:{,,{},{}}T X a b φ= 3、同胚的拓扑空间所共有的性质叫 ; 答案:拓扑不变性质4、在实数空间R 中,有理数集Q 的导集是___________. 答案: R5、)(A d x ∈当且仅当对于x 的每一邻域U 有 答案: ({})U A x φ⋂-≠6、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集,则()d A = ;答案:X7、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集,则A = ;答案:X8、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集,则()d A = ;答案:X9、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集,则A = ;答案:X10、设{1,2,3X =,X 的拓扑{,,{2},{2,T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为 ;答案:{2}11、设{1,2,3X =,X 的拓扑{,,{1},{2T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的内部为 ;答案:{1}12、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{2,T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为 答案:{1}13、设{1,2,3X =,X 的拓扑{,,{2},{2,T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的内部为 ;答案:φ14、设{,,}X a b c =,则X 的平庸拓扑为 ;答案:{,}T X φ=15、设{,,}X a b c =,则X 的离散拓扑为 答案:{,,{},{},{},{,},{,},{,}}T X a b c a b a c b c φ=16、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{3},{2T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的内部为 ;答案:{3}17、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{3},{1T X φ=,则X 的子集{1,2}A =的内部为 ;答案:{1}18、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射,若它是一个单射,并且是从X 到它的象集()f X 的一个同胚,则称映射f 是一个 .答案:嵌入19、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射,如果它是一个满射,并且Y 的拓扑是对于映射f 而言的商拓扑,则称f 是一个 ;答案:商映射20、设,X Y 是两个拓扑空间,:f X Y →是一个映射,若X 中任何一个开集U 的象集()f U 是Y 中的一个开集,则称映射f 是一个 答案:开映射21、设,X Y 是两个拓扑空间,:f X Y →是一个映射,若X 中任何一个闭集U 的象集()f U 是Y 中的一个闭集,则称映射f 是一个 答案:闭映射22、若拓扑空间X 存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 是一个 ;答案:不连通空间23、若拓扑空间X 存在两个非空的开子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 是一个 ;答案:不连通空间24、若拓扑空间X 存在着一个既开又闭的非空真子集,则X 是一个 答案:不连通空间25、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集,Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂,则Z 也是X 的一个 ; 答案:连通子集26、拓扑空间的某种性质,如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有,则称这个性质是一个 ;答案:在连续映射下保持不变的性质27、拓扑空间的某种性质,如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有,则称这个性质是一个 ;答案:可商性质28、若任意1n ≥个拓扑空间12,,,n X X X ,都具有性质P ,则积空间12n X X X ⨯⨯⨯也具有性质P ,则性质P 称为 ;答案:有限可积性质29、设X 是一个拓扑空间,如果X 中有两个非空的隔离子集,A B ,使得A B X ⋃=,则称X 是一个 ;答案:不连通空间.三.判断(每题4分,判断1分,理由3分)1、.从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( ) 答案:√理由:设X 是离散空间,Y 是拓扑空间,:f X Y →是连续映射,因为对任意A Y ⊂,都有1)f A X -⊂(,由于X 中的任何一个子集都是开集,从而1()f A -是X 中的开集,所以:f X Y →是连续的.2、设12, T T 是集合X 的两个拓扑,则12 T T ⋂不一定是集合X 的拓扑( )答案:× 理由:因为(1)12, T T 是X 的拓扑,故∈φ,X T 1,∈φ,X T 2,从而∈φ,X 12 T T ⋂; (2)对任意的∈B A ,T 1⋂T 2,则有∈B A ,T 1且∈B A ,T 2,由于T 1, T 2是X 的拓扑,故∈⋂B A T 1且∈⋂B A T 2,从而∈⋂B A T 1⋂T 2;(3)对任意的21T T T ⋂⊂',则21,T T T T ⊂'⊂',由于T 1, T 2是X 的拓扑,从而 U ∈T ’U ∈T 1, U ∈T ’U ∈T 2,故 U ∈T ’U ∈ T 1⋂T 2;综上有T 1⋂T 2也是X 的拓扑.3、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射( )答案:√ 理由:设:f X Y →是任一满足条件的映射,由于Y 是平庸空间,它中的开集只有,Y φ,易知它们在f 下的原象分别是,X φ,均为X 中的开集,从而:f X Y →连续.4、设A 为离散拓扑空间X 的任意子集,则()d A φ= ( )答案:√ 理由:设p 为X 中的任何一点,因为离散空间中每个子集都是开集, 所以{}p 是X 的开子集,且有{}{}()p A p φ-=,即()p d A ∉,从而 ()d A φ=.5、设A 为平庸空间X (X 多于一点)的一个单点集,则()d A φ= ( )答案:× 理由:设{}A y =,则对于任意,x X x y ∈≠,x 有唯一的一个邻域X ,且有()y X A x ∈⋂-,从而()X A x φ⋂-≠,因此x 是A 的一个凝聚点,但对于y 的唯一的邻域X ,有()X A y φ⋂-=,所以有()d A X A φ=-≠.6、设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集,则()d A X = ( )答案:√ 理由:对于任意,x X ∈因为A 包含多于一点,从而对于x 的唯一的邻域X ,且有()X A x φ⋂-≠,因此x 是A 的一个凝聚点,即()x d A ∈,所以有()d A X =.7、设X 是一个不连通空间,则X 中存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=( )答案:√理由:设X 是一个不连通空间,设,A B 是X 的两个非空的隔离子集使得A B X ⋃=,显然A B φ=,并且这时有:()()B B X B A B B B =⋂=⋂⋃⋂=从而B 是X 的一个闭子集,同理可证A 是X 的一个闭子集,这就证明了,A B 满足,A B A B Xφ⋂=⋃=. 8、若拓扑空间X 中存在一个既开又闭的非空真子集,则X 是一个不连通空间( )√ 理由:这是因为若设A 是X 中的一个既开又闭的非空真子集,令B A '=,则,A B 都是X 中的非空闭子集,它们满足A B X ⋃=,易见,A B 是隔离子集,所以拓扑空间X 是一个不连通空.五.简答题(每题4分)1、设X 是一个拓扑空间,,A B 是X 的子集,且A B ⊂.试说明()()d A d B ⊂. 答案:对于任意()x d A ∈,设U 是x 的任何一个邻域,则有({})U A x φ⋂-≠,由于A B ⊂,从而({})({})U B x U A x φ⋂-⊃⋂-≠,因此()x d B ∈,故()()d A d B ⊂.2、设,,X Y Z 都是拓扑空间.:f X Y →, :g Y Z →都是连续映射,试说明:g f X Z →也是连续映射.答案:设W 是Z 的任意一个开集,由于:g Y Z →是一个连续映射,从而1()g W -是Y 的一个开集,由:f X Y →是连续映射,故11(())f g W --是X 的一开集,因此 111()()(())g f W f g W ---=是X 的开集,所以:g f X Z →是连续映射.3、设X 是一个拓扑空间,A X ⊂.试说明:若A 是一个闭集,则A 的补集A '是一个开集. 答案:对于x A '∀∈,则x A ∉,由于A 是一个闭集,从而x 有一个邻域U 使得({})U A x φ⋂-=,因此U A φ⋂=,即U A '⊂,所以对任何x A '∈,A '是x 的一个邻域,这说明A '是一个开集.4、设X 是一个拓扑空间,A X ⊂.试说明:若A 的补集A '是一个开集,则A 是一个闭集. 答案:设x A ∉,则x A '∈,由于A '是一个开集,所以A '是x 的一个邻域,且满足A A φ'⋂=,因此x A ∉,从而A A ⊃,即有A A =,这说明A 是一个闭集.5、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集]}2[],1[],0{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T .答案:]}}1[],0{[]},0{[,,{Y φ= T6、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集]}3[],2[],1{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T . 答案:{,,{[3]},{[2],[3]}}T Y φ=7、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[1],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T . 答案:{,,{[1]},{[1],[1]}}T Y φ=--8、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[2],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T . 答案:{,,{[2]},{[2],[1]}}T Y φ=--9、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[3]}Y =,试写出Y 的商拓扑T . 答案:{,,{[3]},{[2],[3]}}T Y φ=10、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[4]}Y =,试写出Y 的商拓扑T . 答案:{,,{[4]},{[2],[4]}}T Y φ=11、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[1],[2],[4]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T . 答案:{,,{[4]},{[2],[4]}}T Y φ=六、证明题(每题8分)1、设:f X Y →是从连通空间X 到拓扑空间Y 的一个连续映射.则()f X 是Y 的一个连通子集. 证明:如果()f X 是Y 的一个不连通子集,则存在Y 的非空隔离子集,A B 使得()f X A B =⋃ …………………………………………… 3分于是11(),()f A f B --是X 的非空子集,并且:111111111(()())(()())(()())(()())(()())f A f B f B f A f A f B f B f A f A B A B φ---------⋂⋃⋂⊂⋂⋃⋂=⋂⋃⋂=所以11(),()f A f B --是X 的非空隔离子集 此外,1111()()()(())f A f B f A B f f X X ----⋃=⋃==,这说明X 不连通,矛盾.从而()f X 是Y 的一个连通子集. ………………………… 8分2、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的开集使得B A Y ⋃⊂,则或者A Y ⊂,或者B Y ⊂.证明:因为B A ,是X 的开集,从而Y B Y A ⋂⋂,是子空间Y 的开集.又因B A Y ⋃⊂中,故)()(Y B Y A Y ⋂⋃⋂= ………………… 4分由于Y 是X 的连通子集,则Y B Y A ⋂⋂,中必有一个是空集. 若Φ=⋂Y B ,则A Y ⊂;若Φ=⋂Y A ,则B Y ⊂………………… 8分3、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的闭集使得B A Y ⋃⊂,则或者A Y ⊂,或者B Y ⊂.证明:因为B A ,是X 的闭集,从而Y B Y A ⋂⋂,是子空间Y 的闭集.又因B A Y ⋃⊂中,故)()(Y B Y A Y ⋂⋃⋂= ………………… 4分由于Y 是X 的连通子集,则Y B Y A ⋂⋂,中必有一个是空集. 若Φ=⋂Y B ,则A Y ⊂;若Φ=⋂Y A ,则B Y ⊂………………… 8分4、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集,Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂,则Z 也是X 的一个连通子集. 证明:若Z 是X 的一个不连通子集,则在X 中有非空的隔离子集,A B 使得Z A B =⋃.因此Y A B ⊂⋃ ………………………………… 3分由于Y 是连通的,所以Y A ⊂或者Y B ⊂,如果Y A ⊂,由于Z Y A ⊂⊂,所以Z B A B φ⋂⊂⋂=,因此 B Z B φ=⋂=,同理可证如果Y B ⊂,则A φ=,均与假设矛盾.故Z 也 是X 的一个连通子集. …………………………………………………………………… 8分5、设{}Y γγ∈Γ是拓扑空间X 的连通子集构成的一个子集族.如果Y γγφ∈Γ≠,则Y γγ∈Γ是X 的一个连通子集.证明:若Y γγ∈Γ是X 的一个不连通子集.则X 有非空的隔离子集,A B 使得Y A B γγ∈Γ=⋃………………………………………… 4分任意选取x Y γγ∈Γ∈,不失一般性,设x A ∈,对于每一个γ∈Γ,由于Y γ连通,从而Y Aγγ∈Γ⊂及B φ=,矛盾,所以Y γγ∈Γ是连通的. ………………………………………… 8分6、设A 是拓扑空间X 的一个连通子集,B 是X 的一个既开又闭的集合.证明:如果A B φ⋂≠,则A B ⊂.证明:若B X =,则结论显然成立.下设B X ≠,由于B 是X 的一个既开又闭的集合,从而A B ⋂是X 的子空间A 的一个既开又闭的子集………………………………… 4分由于A B φ⋂≠及A 连通,所以A B A ⋂=,故A B ⊂.………… 8分7、设A 是连通空间X 的非空真子集. 证明:A 的边界()A φ∂≠.证明:若()A φ∂=,由于()A A A --'∂=⋂,从而()()()()A A A A A A A A A A φ------'''''=⋂=⋂⋂⋃=⋂⋃⋂,故, A A '是X 的隔离子集 ………………………………………… 4分 因为A 是X 的非空真子集,所以A 和A '均非空,于是X 不连通,与题设矛盾.所以()A φ∂≠. ……………………………………………… 8分。
点集拓扑学期末考试练习题(含答案)
点集拓扑学期末考试一、单项选择题(每题1分)1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T ② {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T③ {,,{},{,}}X a a b φ=T ④ {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T 答案:③2、设{,,}X a b c =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{}}X a a b c φ=T ② {,,{},{,},{,}}X a a b a c φ=T③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T答案:② 3、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c d φ=T ② {,,{,,},{,,}}X a b c a b d φ=T③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{}}X a b φ=T答案:① 4、设{,,}X a b c =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{},{},{,}}X b c a b φ=T ② {,,{},{},{,},{,}}X a b a b a c φ=T③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T答案:② 5、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ② {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{},{,}}X a c a c φ=T答案:④ 6、设{,,}X a b c =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{},{},{,}}X a b b c φ=T ② {,,{,},{,}}X a b b c φ=T③ {,,{},{,}}X a a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T答案:③ 7、已知{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则}{b =( )①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d答案:④8、 已知{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{,,}b c d =( )①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d 答案:④9、 已知{,}X a b =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =( )①φ ② X ③ {}a ④ {}b 答案:②10、已知{,}X a b =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}b =( )①φ ② X ③ {}a ④ {}b 答案:④11、已知{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =( )①φ ② X ③ {,}a b ④ {,,}b c d 答案:②12、已知{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}c =( )①φ ② X ③ {,}a c ④ {,,}b c d 答案:④13、设{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{},{,,}}X a b c d φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集个数( ) ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案:②14、设{,,}X a b c =,拓扑{,,{},{,}}X a b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为( ) ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案:②15、设{,,}X a b c =,拓扑{,,{},{,}}X b b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为( ) ① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 答案:①16、设{,}X a b =,拓扑{,,{}}X b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为( )① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 答案:③17、设{,}X a b =,拓扑{,,{},{}}X a b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为( ) ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案:④18、设{,,}X a b c =,拓扑{,,{},{},{,},{,}}X a b a b b c φ=T ,X 的既开又闭的非空真子集个数( ) ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案:②19、在实数空间中,有理数集Q 的内部Q 是( )① φ ② Q ③ R -Q ④ R 答案:①20、在实数空间中,有理数集Q 的边界()Q ∂是( )① φ ② Q ③ R -Q ④ R 答案:④. 21、在实数空间中,整数集Z 的内部Z 是( )① φ ② Z ③ R -Z ④ R 答案:①22、在实数空间中,整数集Z 的边界()Z ∂是( )① φ ② Z ③ R -Z ④ R 答案:②23、在实数空间中,区间[0,1)的边界是( )① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1) 答案:③24、在实数空间中,区间[2,3)的边界是( )① φ ② [2,3] ③ {2,3} ④ (2,3) 答案:③25、在实数空间中,区间[0,1)的内部是( )① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1) 答案:④26、设X 是一个拓扑空间,A ,B 是X 的子集,则下列关系中错误的是( )① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B ⋃=⋃③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A = 答案: ③27、设X 是一个拓扑空间,A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是( )① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B -=-③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A = 答案: ①28、设X 是一个拓扑空间,A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是( )① ()d A B A B ⋃=⋃ ② A B A B -=-③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ (())()d d A A d A ⊂⋃ 答案: ④29、已知X 是一个离散拓扑空间,A 是X 的子集,则下列结论中正确的是()① ()d A φ= ② ()d A X A =-③ ()d A A = ④ ()d A X = 答案:①30、已知X 是一个平庸拓扑空间,A 是X 的子集,则下列结论中不正确的是( ) ① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X A =-③ 若A={12,x x },则()d A X = ④ 若A X ≠, 则()d A X ≠ 答案:④. 31、已知X 是一个平庸拓扑空间,A 是X 的子集,则下列结论中正确的是( ) ① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X =③ 若A={12,x x },则()d A X A =- ④ 若12{,}A x x =,则()d A A = 答案:①32、设{,,,}X a b c d =,令{{,,},{},{}}a b c c d =B ,则由B 产生的X 上的拓扑是( ) ① { X ,φ,{c },{d },{c ,d },{a ,b ,c }} ② {X ,φ,{c },{d },{c ,d }}③ { X ,φ,{c },{a ,b ,c }} ④ { X ,φ,{d },{b ,c },{b ,d },{b ,c ,d }} 答案:①33、设X 是至少含有两个元素的集合,p X ∈,{|}{}G X p G φ=⊂∈⋃T 是X 的拓扑,则( )是T 的基.① {{,}|{}}B p x x X p =∈- ② {{}|}B x x X =∈③ {{,}|}B p x x X =∈ ④ {{}|{}}B x x X p =∈- 答案:③34、 设{,,}X a b c =,则下列X 的拓扑中( )以{,,{}}S X a φ=为子基.① { X , φ,{a },{a ,c }} ② {X , φ,{a }}③ { X , φ,{a },{b },{a ,b }} ④ {X ,φ }答案:②35、离散空间的任一子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案:③36、平庸空间的任一非空真子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案:④37、实数空间R 中的任一单点集是 ( )① 开集 ② 闭集 ③ 既开又闭 ④ 非开非闭 答案:②38、实数空间R 的子集A ={1,21,31 ,41,……},则A =( )①φ ② R ③ A ∪{0} ④ A 答案:③39、在实数空间R 中,下列集合是闭集的是( )① 整数集 ② [)b a , ③ 有理数集 ④ 无理数集 答案:①40、在实数空间R 中,下列集合是开集的是( )① 整数集Z ② 有理数集③ 无理数集 ④ 整数集Z 的补集Z '答案:④41、已知{1,2,3}X =上的拓扑{,,{1}}T X φ=,则点1的邻域个数是( )① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案:④42、已知{,}X a b =,则X 上的所有可能的拓扑有( )① 1个 ② 2个 ③ 3个 ④ 4个 答案:④43、已知X ={a ,b ,c },则X 上的含有4个元素的拓扑有( )个① 3 ② 5 ③ 7 ④ 9 答案:④44、设(,)T X 为拓扑空间,则下列叙述正确的为 ( )①T , T X φ∈∉ ② T ,T X φ∉∈③当T T '⊂时,T T U U '∈∈ ④ 当T T '⊂时,T T U U '∈∈ 答案:③45、在实数下限拓扑空间R 中,区间[,)a b 是( )① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭 答案:③46、设X 是一个拓扑空间,,A B X ⊂,且满足()d A B A ⊂⊂,则B 是( )① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭 答案:②47、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{1,2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{2},{1,2}}φ=T ② {,,{1},{2},{1,2}}T X φ=③ {,,{1},{2}}T A φ= ④ {,,{1},{2}}T X φ= 答案:③48、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{1,3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{1},{3},{1,3}}T φ= ② {,,{1}}T A φ=③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ= 答案:②49、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{2,3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{3},{2,3}}φ=T ② {,,{2},{3}}T A φ=③ {,,{2},{3},{2,3}}T X φ= ④ {,,{3}}T X φ= 答案:②50、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{1}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{1}}T φ= ② {,,{1,2}}T A φ=③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ= 答案:①51、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,}T A φ=③ {,,{2}}T X φ= ④ {,,{1,2}}T X φ= 答案:②52、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,{},{1,3}}T X φ=③ {,,{3}}T X φ= ④ {,{3}}T φ= 答案:④53、设R 是实数空间,Z 是整数集,则R 的子空间Z 的拓扑为( )① {,}T Z φ= ② ()T P Z = ③ T Z = ④ {}T Z = 答案:②54、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.1P 是X 到1X 的投射,则1P 是( )① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案:④55、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.2P 是X 到2X 的投射,则2P 是( ) ① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案:④56、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.3P 是X 到3X 的投射,则3P 是( )① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案:④57、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.4P 是X 到4X 的投射,则4P 是( ) ① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案:④58、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.5P 是X 到5X 的投射,则5P 是( )① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案:④59、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.6P 是X 到6X 的投射,则6P 是( )① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案:④60、设1X 和2X 是两个拓扑空间,12X X ⨯是它们的积空间,1A X ⊂,2B X ⊂,则有( ) ① A B A B ⨯≠⨯ ② A B A B ⨯=⨯ ③()A B A B ⨯≠⨯ ④ ()()()A B A B ∂⨯=∂⨯∂答案:②61、有理数集Q 是实数空间R 的一个( )① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对 答案:①62、整数集Z 是实数空间R 的一个( )① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对答案:①63、无理数集是实数空间R 的一个( )① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对答案:①64、设Y 为拓扑空间X 的连通子集,Z 为X 的子集,若Y Z Y ⊂⊂, 则Z 为( )①不连通子集 ② 连通子集 ③ 闭集 ④ 开集答案:②65、设12,X X 是平庸空间,则积空间12X X ⨯是( )① 离散空间 ② 不一定是平庸空间③ 平庸空间 ④ 不连通空间答案:③66、设12,X X 是离散空间,则积空间12X X ⨯是( )① 离散空间 ② 不一定是离散空间③ 平庸空间 ④ 连通空间答案:①67、设12,X X 是连通空间,则积空间12X X ⨯是( )① 离散空间 ② 不一定是连通空间③ 平庸空间 ④ 连通空间答案:④68、实数空间R 中的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③区间 ④ 以上都不对答案:④69、实数空间R 中的不少于两点的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③ 区间 ④ 以上都不对答案:③70、实数空间R 中的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③ 区间 ④ 区间或一点答案:④71、下列叙述中正确的个数为( )(Ⅰ)单位圆周1S 是连通的; (Ⅱ){0}R -是连通的(Ⅲ)2{(0,0)}R -是连通的 (Ⅳ)2R 和R 同胚① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4答案:②二、填空题(每题1分)1、设{,}X a b =,则X 的平庸拓扑为 ;答案:{,}T X φ=2、设{,}X a b =,则X 的离散拓扑为 ;答案:{,,{},{}}T X a b φ= 3、同胚的拓扑空间所共有的性质叫 ; 答案:拓扑不变性质4、在实数空间R 中,有理数集Q 的导集是___________. 答案: R5、)(A d x ∈当且仅当对于x 的每一邻域U 有 答案: ({})U A x φ⋂-≠6、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集,则()d A = ;答案:X7、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集,则A = ;答案:X8、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集,则()d A = ;答案:X9、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集,则A = ;答案:X10、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为 ;答案:{2}11、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的内部为 ;答案:{1}12、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为 答案:{1}13、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的内部为 ;答案:φ14、设{,,}X a b c =,则X 的平庸拓扑为 ;答案:{,}T X φ=15、设{,,}X a b c =,则X 的离散拓扑为 答案:{,,{},{},{},{,},{,},{,}}T X a b c a b a c b c φ=16、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{3},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的内部为 ;答案:{3}17、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{3},{1,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为 ;答案:{1}18、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射,若它是一个单射,并且是从X 到它的象集()f X 的一个同胚,则称映射f 是一个 .答案:嵌入19、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射,如果它是一个满射,并且Y 的拓扑是对于映射f 而言的商拓扑,则称f 是一个 ;答案:商映射20、设,X Y 是两个拓扑空间,:f X Y →是一个映射,若X 中任何一个开集U 的象集()f U 是Y 中的一个开集,则称映射f 是一个 答案:开映射21、设,X Y 是两个拓扑空间,:f X Y →是一个映射,若X 中任何一个闭集U 的象集()f U 是Y 中的一个闭集,则称映射f 是一个 答案:闭映射22、若拓扑空间X 存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 是一个 ;答案:不连通空间23、若拓扑空间X 存在两个非空的开子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 是一个 ;答案:不连通空间24、若拓扑空间X 存在着一个既开又闭的非空真子集,则X 是一个 答案:不连通空间25、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集,Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂,则Z 也是X 的一个 ; 答案:连通子集26、拓扑空间的某种性质,如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有,则称这个性质是一个 ;答案:在连续映射下保持不变的性质27、拓扑空间的某种性质,如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有,则称这个性质是一个 ;答案:可商性质28、若任意1n ≥个拓扑空间12,,,n X X X ,都具有性质P ,则积空间12n X X X ⨯⨯⨯也具有性质P ,则性质P 称为 ;答案:有限可积性质29、设X 是一个拓扑空间,如果X 中有两个非空的隔离子集,A B ,使得A B X ⋃=,则称X 是一个 ;答案:不连通空间.三.判断(每题4分,判断1分,理由3分)1、.从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( ) 答案:√理由:设X 是离散空间,Y 是拓扑空间,:f X Y →是连续映射,因为对任意A Y ⊂,都有1)f A X -⊂(,由于X 中的任何一个子集都是开集,从而1()f A -是X 中的开集,所以:f X Y →是连续的.2、设12, T T 是集合X 的两个拓扑,则12 T T ⋂不一定是集合X 的拓扑( )答案:× 理由:因为(1)12, T T 是X 的拓扑,故∈φ,X T 1,∈φ,X T 2,从而∈φ,X 12 T T ⋂; (2)对任意的∈B A ,T 1⋂T 2,则有∈B A ,T 1且∈B A ,T 2,由于T 1, T 2是X 的拓扑,故∈⋂B A T 1且∈⋂B A T 2,从而∈⋂B A T 1⋂T 2;(3)对任意的21T T T ⋂⊂',则21,T T T T ⊂'⊂',由于T 1, T 2是X 的拓扑,从而 U ∈T ’U ∈T 1, U ∈T ’U ∈T 2,故 U ∈T ’U ∈ T 1⋂T 2;综上有T 1⋂T 2也是X 的拓扑.3、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射( )答案:√ 理由:设:f X Y →是任一满足条件的映射,由于Y 是平庸空间,它中的开集只有,Y φ,易知它们在f 下的原象分别是,X φ,均为X 中的开集,从而:f X Y →连续.4、设A 为离散拓扑空间X 的任意子集,则()d A φ= ( )答案:√ 理由:设p 为X 中的任何一点,因为离散空间中每个子集都是开集, 所以{}p 是X 的开子集,且有{}{}()p A p φ-=,即()p d A ∉,从而 ()d A φ=.5、设A 为平庸空间X (X 多于一点)的一个单点集,则()d A φ= ( )答案:× 理由:设{}A y =,则对于任意,x X x y ∈≠,x 有唯一的一个邻域X ,且有()y X A x ∈⋂-,从而()X A x φ⋂-≠,因此x 是A 的一个凝聚点,但对于y 的唯一的邻域X ,有()X A y φ⋂-=,所以有()d A X A φ=-≠.6、设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集,则()d A X = ( )答案:√ 理由:对于任意,x X ∈因为A 包含多于一点,从而对于x 的唯一的邻域X ,且有()X A x φ⋂-≠,因此x 是A 的一个凝聚点,即()x d A ∈,所以有()d A X =.7、设X 是一个不连通空间,则X 中存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=( )答案:√理由:设X 是一个不连通空间,设,A B 是X 的两个非空的隔离子集使得A B X ⋃=,显然A B φ=,并且这时有:()()B B X B A B B B =⋂=⋂⋃⋂=从而B 是X 的一个闭子集,同理可证A 是X 的一个闭子集,这就证明了,A B 满足,A B A B X φ⋂=⋃=.8、若拓扑空间X 中存在一个既开又闭的非空真子集,则X 是一个不连通空间( )√ 理由:这是因为若设A 是X 中的一个既开又闭的非空真子集,令B A '=,则,A B 都是X 中的非空闭子集,它们满足A B X ⋃=,易见,A B 是隔离子集,所以拓扑空间X 是一个不连通空.五.简答题(每题4分)1、设X 是一个拓扑空间,,A B 是X 的子集,且A B ⊂.试说明()()d A d B ⊂. 答案:对于任意()x d A ∈,设U 是x 的任何一个邻域,则有({})U A x φ⋂-≠,由于A B ⊂,从而({})({})U B x U A x φ⋂-⊃⋂-≠,因此()x d B ∈,故()()d A d B ⊂.2、设,,X Y Z 都是拓扑空间.:f X Y →, :g Y Z →都是连续映射,试说明:g f X Z →也是连续映射.答案:设W 是Z 的任意一个开集,由于:g Y Z →是一个连续映射,从而1()g W -是Y 的一个开集,由:f X Y →是连续映射,故11(())f g W --是X 的一开集,因此 111()()(())g f W f g W ---=是X 的开集,所以:g f X Z →是连续映射.3、设X 是一个拓扑空间,A X ⊂.试说明:若A 是一个闭集,则A 的补集A '是一个开集. 答案:对于x A '∀∈,则x A ∉,由于A 是一个闭集,从而x 有一个邻域U 使得({})U A x φ⋂-=,因此U A φ⋂=,即U A '⊂,所以对任何x A '∈,A '是x 的一个邻域,这说明A '是一个开集.4、设X 是一个拓扑空间,A X ⊂.试说明:若A 的补集A '是一个开集,则A 是一个闭集. 答案:设x A ∉,则x A '∈,由于A '是一个开集,所以A '是x 的一个邻域,且满足A A φ'⋂=,因此x A ∉,从而A A ⊃,即有A A =,这说明A 是一个闭集.5、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集]}2[],1[],0{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T .答案:]}}1[],0{[]},0{[,,{Y φ= T6、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集]}3[],2[],1{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T . 答案:{,,{[3]},{[2],[3]}}T Y φ=7、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[1],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T . 答案:{,,{[1]},{[1],[1]}}T Y φ=--8、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[2],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T . 答案:{,,{[2]},{[2],[1]}}T Y φ=--9、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[3]}Y =,试写出Y 的商拓扑T . 答案:{,,{[3]},{[2],[3]}}T Y φ=10、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[4]}Y =,试写出Y 的商拓扑T . 答案:{,,{[4]},{[2],[4]}}T Y φ=11、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[1],[2],[4]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T . 答案:{,,{[4]},{[2],[4]}}T Y φ=六、证明题(每题8分)1、设:f X Y →是从连通空间X 到拓扑空间Y 的一个连续映射.则()f X 是Y 的一个连通子集. 证明:如果()f X 是Y 的一个不连通子集,则存在Y 的非空隔离子集,A B 使得()f X A B =⋃ …………………………………………… 3分于是11(),()f A f B --是X 的非空子集,并且:111111111(()())(()())(()())(()())(()())f A f B f B f A f A f B f B f A f A B A B φ---------⋂⋃⋂⊂⋂⋃⋂=⋂⋃⋂=所以11(),()f A f B --是X 的非空隔离子集 此外,1111()()()(())f A f B f A B f f X X ----⋃=⋃==,这说明X 不连通,矛盾.从而()f X 是Y 的一个连通子集. ………………………… 8分2、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的开集使得B A Y ⋃⊂,则或者A Y ⊂,或者B Y ⊂.证明:因为B A ,是X 的开集,从而Y B Y A ⋂⋂,是子空间Y 的开集.又因B A Y ⋃⊂中,故)()(Y B Y A Y ⋂⋃⋂= ………………… 4分由于Y 是X 的连通子集,则Y B Y A ⋂⋂,中必有一个是空集. 若Φ=⋂Y B ,则A Y ⊂;若Φ=⋂Y A ,则B Y ⊂………………… 8分3、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的闭集使得B A Y ⋃⊂,则或者A Y ⊂,或者B Y ⊂.证明:因为B A ,是X 的闭集,从而Y B Y A ⋂⋂,是子空间Y 的闭集.又因B A Y ⋃⊂中,故)()(Y B Y A Y ⋂⋃⋂= ………………… 4分由于Y 是X 的连通子集,则Y B Y A ⋂⋂,中必有一个是空集. 若Φ=⋂Y B ,则A Y ⊂;若Φ=⋂Y A ,则B Y ⊂………………… 8分4、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集,Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂,则Z 也是X 的一个连通子集. 证明:若Z 是X 的一个不连通子集,则在X 中有非空的隔离子集,A B 使得Z A B =⋃.因此Y A B ⊂⋃ ………………………………… 3分由于Y 是连通的,所以Y A ⊂或者Y B ⊂,如果Y A ⊂,由于Z Y A ⊂⊂,所以Z B A B φ⋂⊂⋂=,因此 B Z B φ=⋂=,同理可证如果Y B ⊂,则A φ=,均与假设矛盾.故Z 也 是X 的一个连通子集. …………………………………………………………………… 8分5、设{}Y γγ∈Γ是拓扑空间X 的连通子集构成的一个子集族.如果Y γγφ∈Γ≠,则Y γγ∈Γ是X 的一个连通子集.证明:若Y γγ∈Γ是X 的一个不连通子集.则X 有非空的隔离子集,A B 使得Y A B γγ∈Γ=⋃………………………………………… 4分任意选取x Y γγ∈Γ∈,不失一般性,设x A ∈,对于每一个γ∈Γ,由于Y γ连通,从而Y Aγγ∈Γ⊂及B φ=,矛盾,所以Y γγ∈Γ是连通的. ………………………………………… 8分6、设A 是拓扑空间X 的一个连通子集,B 是X 的一个既开又闭的集合.证明:如果A B φ⋂≠,则A B ⊂.证明:若B X =,则结论显然成立.下设B X ≠,由于B 是X 的一个既开又闭的集合,从而A B ⋂是X 的子空间A 的一个既开又闭的子集………………………………… 4分由于A B φ⋂≠及A 连通,所以A B A ⋂=,故A B ⊂.………… 8分7、设A 是连通空间X 的非空真子集. 证明:A 的边界()A φ∂≠.证明:若()A φ∂=,由于()A A A --'∂=⋂,从而()()()()A A A A A A A A A A φ------'''''=⋂=⋂⋂⋃=⋂⋃⋂,故, A A '是X 的隔离子集 ………………………………………… 4分 因为A 是X 的非空真子集,所以A 和A '均非空,于是X 不连通,与题设矛盾.所以()A φ∂≠. ……………………………………………… 8分。
点集拓扑学期末考试练习题
点集拓扑学期末考试一、单项选择题(每题1分)1、已知X {a,b,c,d,e},下列集族中,()是X上的拓扑•①T {X, ,{a},{ a,b},{ a,c,e}} ② T {X, ,{a,b, c},{ a,b,d},{ a,b, c,e}}③ T {X, ,{a},{a,b}} ④ T {X, ,{a},{ b},{ c},{ d},{ e}} 答案:③2、设X {a,b,c},下列集族中,()是X上的拓扑•①T{X,,{a},{ a,b},{ c}} ②T{X,,{a},{ a, b},{ a,c}}③T{X,,{a},{ b},{ a,c}} ④T{X,,{a},{ b},{ c}}答案:②3、已知X{a,b,c,d},下列集族中,' ()是X上的拓扑•①T{X,,{a},{ a, b},{ a,c,d}}②T{X, ,{a,b,c},{ a, b, d}}③T{X,,{a},{ b},{ a,c,d}}④T{X, ,{a},{b}}答案:①4、设X {a, b, c},下列集族中,()是X上的拓扑.①T{X,,{b},{ c},{ a,b}}②T{X,,{a},{ b},{ a,b},{ a,c}}③T{X,,{a},{ b},{ a,c}}④T{X,,{a},{ b},{ c}}答案:②5、已知汨X{a,b,c,d},下列集:族中,(()是X上的拓扑•①T{X,,{a,b},{ a,c,d}}②T{X, ,{a,b},{ a,c, d}}③T{X,,{a},{ b},{ a,c,d}}④T{X, ,{a},{ c},{ a,c}}答案:④6、设X{a, b, c},下列集族中,( )是:X上的拓扑•①T{X,,{a},{ b},{ b,c}}②T{X,,{a,b},{ b, c}}③T{X,,{a},{ a, c}}④T{X,,{a},{ b},{ c}}答案:③7、已知X{a,b,c,d},拓扌卜T{X,,{a}},则{b}=()①©②X ③{b}④{b, c, d}答案:8、已知X {a,b,c,d},拓扑T {X, ,{a}},则{b,c,d}=()①© ②X ③{b} 9、 已知X {a,b},拓扑T ①©②X③{a}10、 已知X {a,b},拓扑T ①©②X③{a}④{b, c, d}{X, ,{a}},则面=()④{b}{X, ,{a}},则{b}=()④{b}{X, ,{a}},则面=()④{b, c,d} 答案:②{X, ,{a}},则® =()④{b,c, d} 答案:④13、设X {a,b,c,d},拓扑T {X, ,{a},{ b,c,d}},则X 的既开又闭的非空真子集个数( )①1 ②2 ③3 ④4 答案:② 14、设 X {a,b,c} ,拓扑T {X, ,{a},{ b,c}},则X 的既开又闭的非空真子集的个数为( )①1 ②2 ③3 ④4 答案:②15、设 X {a,b,c} ,拓扑T {X, ,{b},{ b, c}},则X 的既开又闭的非空真子集的个数为 ( )①0 ②1③2④3答案:①16、设 X {a,b}, 拓扑T {X, ,{b}},则X 的既开又闭的子集的个数为( )①0 ②1③2④3答案:③17、设 X {a,b}, 拓扑T {X,,{a},{ b}},则X 的既开又闭的子集的个数为()①1 ②2 ③3 ④4 答案:④18、 设X {a,b,c},拓扑T {X, ,{a},{ b},{ a,b},{ b,c}} , X 的既开又闭的非空真子集个数() ①1②2③3④4答案:②19、 在实数空间中,有理数集Q 的内部Q 。
拓扑学练习题
点集拓扑学练习题一、单项选择题(每题1分)1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T② {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T③ {,,{},{,}}X a a b φ=T④ {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T答案:③2、设{,,}X a b c =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{}}X a a b c φ=T ② {,,{},{,},{,}}X a a b a c φ=T③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T答案:②3、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c d φ=T ② {,,{,,},{,,}}X a b c a b d φ=T③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{}}X a b φ=T答案:①4、设{,,}X a b c =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{},{},{,}}X b c a b φ=T ② {,,{},{},{,},{,}}X a b a b a c φ=T③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T答案:②5、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ② {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{},{,}}X a c a c φ=T答案:④6、设{,,}X a b c =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{},{},{,}}X a b b c φ=T ② {,,{,},{,}}X a b b c φ=T③ {,,{},{,}}X a a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T答案:③7、已知{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则}{b =( )①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d答案:④8、 已知{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{,,}b c d =( )①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d答案:④9、 已知{,}X a b =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =( )①φ ② X ③ {}a ④ {}b答案:②10、已知{,}X a b =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}b =( )①φ ② X ③ {}a ④ {}b答案:④11、已知{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =( )①φ ② X ③ {,}a b ④ {,,}b c d答案:②12、已知{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}c =( )①φ ② X ③ {,}a c ④ {,,}b c d答案:④13、设{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{},{,,}}X a b c d φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为( )① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4答案:②14、设{,,}X a b c =,拓扑{,,{},{,}}X a b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为( )① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4答案:②15、设{,,}X a b c =,拓扑{,,{},{,}}X b b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为( )① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3答案:①16、设{,}X a b =,拓扑{,,{}}X b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为( )① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3答案:③17、设{,}X a b =,拓扑{,,{},{}}X a b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为( )① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4答案:④18、设{,,}X a b c =,拓扑{,,{},{},{,},{,}}X a b a b b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为( )① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4答案:②19、在实数空间中,有理数集Q 的内部Q 是( )① φ ② Q ③ R -Q ④ R答案:①20、在实数空间中,有理数集Q 的边界()Q ∂是( )① φ ② Q ③ R -Q ④ R答案:④21、在实数空间中,整数集Z 的内部Z 是( )① φ ② Z ③ R -Z ④ R答案:①22、在实数空间中,整数集Z 的边界()Z ∂是( )① φ ② Z ③ R -Z ④ R答案:②23、在实数空间中,区间[0,1)的边界是( )① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1)答案:③24、在实数空间中,区间[2,3)的边界是( )① φ ② [2,3] ③ {2,3} ④ (2,3)答案:③25、在实数空间中,区间[0,1)的内部是( )① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1)答案:④26、设X 是一个拓扑空间,A ,B 是X 的子集,则下列关系中错误的是() ① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B ⋃=⋃③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A =答案: ③27、设X 是一个拓扑空间,A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是() ① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B -=-③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A =答案: ①28、设X 是一个拓扑空间,A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是( )① ()d A B A B ⋃=⋃ ② A B A B -=-③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ (())()d d A A d A ⊂⋃答案: ④29、已知X 是一个离散拓扑空间,A 是X 的子集,则下列结论中正确的是( )① ()d A φ= ② ()d A X A =-③ ()d A A = ④ ()d A X =答案:①30、已知X 是一个平庸拓扑空间,A 是X 的子集,则下列结论中不正确的是( )① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X A =-③ 若A={12,x x },则()d A X = ④ 若A X ≠, 则()d A X ≠答案:④31、已知X 是一个平庸拓扑空间,A 是X 的子集,则下列结论中正确的是( )① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X =③ 若A={12,x x },则()d A X A =- ④ 若12{,}A x x =,则()d A A =答案:①32、设{,,,}X a b c d =,令{{,,},{},{}}a b c c d =B ,则由B 产生的X 上的拓扑是( )① { X ,φ,{c },{d },{c ,d },{a ,b ,c }}② {X ,φ,{c },{d },{c ,d }}③ { X ,φ,{c },{a ,b ,c }}④ { X ,φ,{d },{b ,c },{b ,d },{b ,c ,d }}答案:①33、设X 是至少含有两个元素的集合,p X ∈,{|}{}G X p G φ=⊂∈⋃T 是X 的拓扑,则( )是T 的基.① {{,}|{}}B p x x X p =∈- ② {{}|}B x x X =∈③ {{,}|}B p x x X =∈ ④ {{}|{}}B x x X p =∈-答案:③34、 设{,,}X a b c =,则下列X 的拓扑中( )以{,,{}}S X a φ=为子基.① { X , φ,{a },{a ,c }} ② {X , φ,{a }}③ { X , φ,{a },{b },{a ,b }} ④ {X ,φ }答案:②35、离散空间的任一子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭答案:③36、平庸空间的任一非空真子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭答案:④37、实数空间R 中的任一单点集是 ( )① 开集 ② 闭集 ③ 既开又闭 ④ 非开非闭答案:②38、实数空间R 的子集A ={1,21,31 ,41,……},则A =( )①φ ② R ③ A ∪{0} ④ A答案:③39、在实数空间R 中,下列集合是闭集的是( )① 整数集 ② [)b a , ③ 有理数集 ④ 无理数集答案:①40、在实数空间R 中,下列集合是开集的是( )① 整数集Z ② 有理数集③ 无理数集 ④ 整数集Z 的补集Z '答案:④41、已知{1,2,3}X =上的拓扑{,,{1}}T X φ=,则点1的邻域个数是()① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4答案:④42、已知{,}X a b =,则X 上的所有可能的拓扑有( )① 1个 ② 2个 ③ 3个 ④ 4个答案:④43、已知X ={a ,b ,c },则X 上的含有4个元素的拓扑有( )个① 3 ② 5 ③ 7 ④ 9答案:④44、设(,)T X 为拓扑空间,则下列叙述正确的为 ( )①T , T X φ∈∉ ② T ,T X φ∉∈③当T T '⊂时,T T U U '∈∈ ④ 当T T '⊂时,T T U U '∈∈答案:③45、在实数下限拓扑空间R 中,区间[,)a b 是( )① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭答案:③46、设X 是一个拓扑空间,,A B X ⊂,且满足()d A B A ⊂⊂,则B 是( )① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭答案:②47、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{1,2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{2},{1,2}}φ=T ② {,,{1},{2},{1,2}}T X φ=③ {,,{1},{2}}T A φ= ④ {,,{1},{2}}T X φ=答案:③48、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{1,3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{1},{3},{1,3}}T φ= ② {,,{1}}T A φ=③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ=答案:②49、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{2,3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{3},{2,3}}φ=T ② {,,{2},{3}}T A φ=③ {,,{2},{3},{2,3}}T X φ= ④ {,,{3}}T X φ=答案:②50、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{1}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{1}}T φ= ② {,,{1,2}}T A φ=③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ=答案:①51、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,}T A φ=③ {,,{2}}T X φ= ④ {,,{1,2}}T X φ=答案:②52、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,{},{1,3}}T X φ=③ {,,{3}}T X φ= ④ {,{3}}T φ=答案:④53、设R 是实数空间,Z 是整数集,则R 的子空间Z 的拓扑为( )① {,}T Z φ= ② ()T P Z =③ T Z = ④ {}T Z =答案:②54、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.1P 是X 到1X 的投射,则1P 是( )① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射答案:④55、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.2P 是X 到2X 的投射,则2P 是( )① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射答案:④56、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.3P 是X 到3X 的投射,则3P 是( )① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射答案:④57、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.4P 是X 到4X 的投射,则4P 是( )① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射答案:④58、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.5P 是X 到5X 的投射,则5P 是( )① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射答案:④59、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.6P 是X 到6X 的投射,则6P 是( )① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射答案:④60、设1X 和2X 是两个拓扑空间,12X X ⨯是它们的积空间,1A X ⊂,2B X ⊂,则有( )① A B A B ⨯≠⨯ ② A B A B ⨯=⨯③()A B A B ⨯≠⨯ ④ ()()()A B A B ∂⨯=∂⨯∂答案:②61、有理数集Q 是实数空间R 的一个( )① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对答案:①62、整数集Z 是实数空间R 的一个( )① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对答案:①63、无理数集是实数空间R 的一个( )① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对答案:①64、设Y 为拓扑空间X 的连通子集,Z 为X 的子集,若Y Z Y ⊂⊂, 则Z 为()①不连通子集 ② 连通子集 ③ 闭集 ④ 开集答案:②65、设12,X X 是平庸空间,则积空间12X X ⨯是( )① 离散空间 ② 不一定是平庸空间③ 平庸空间 ④ 不连通空间答案:③66、设12,X X 是离散空间,则积空间12X X ⨯是( )① 离散空间 ② 不一定是离散空间③ 平庸空间 ④ 连通空间答案:①67、设12,X X 是连通空间,则积空间12X X ⨯是( )① 离散空间 ② 不一定是连通空间③ 平庸空间 ④ 连通空间答案:④68、实数空间R 中的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③区间 ④ 以上都不对答案:④69、实数空间R 中的不少于两点的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③ 区间 ④ 以上都不对 答案:③70、实数空间R 中的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③ 区间 ④ 区间或一点 答案:④71、下列叙述中正确的个数为( )(Ⅰ)单位圆周1S 是连通的; (Ⅱ){0}R -是连通的 (Ⅲ)2{(0,0)}R -是连通的 (Ⅳ)2R 和R 同胚① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4答案:②72、实数空间R ( )① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理 ③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对答案:③73、整数集Z作为实数空间R的子空间()①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案:③74、有理数集Q作为实数空间R的子空间()①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案:③75、无理数集作为实数空间R的子空间()①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案:③作为实数空间R的子空间()76、正整数集Z+①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案:③作为实数空间R的子空间()77、负整数集Z-①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案:③78、2维欧氏间空间2R()①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案:③79、3维欧氏间空间3R()①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案:③80、下列拓扑学的性质中,不具有可遗传性的是()①平庸性②连通性③离散性④第一可数性公理答案:②81、下列拓扑学的性质中,不具有可遗传性的是()①第一可数性公理②连通性③第二可数性公理④平庸性答案:②82、下列拓扑学的性质中,不具有可遗传性的是()①第一可数性公理②可分性③ 第二可数性公理 ④ 离散性答案:②83、下列拓扑学的性质中,不具有可遗传性的是( )① 平庸性 ② 可分性③ 离散性 ④ 第二可数性公理答案:②84、设X 是一个拓扑空间,若对于,,x y X x y ∀∈≠,均有{}{}x y ≠,则X 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对答案:①85、设{1,2}X =,{,,{1}}X φ=T ,则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对答案:①86、设{1,2}X =,{,,{2}}X φ=T ,则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 道路连通空间答案:①87、设{1,2,3}X =,{,,{1}}X φ=T ,则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对答案:④88、设{1,2,3}X =,{,,{23}}X φ=,T ,则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对答案:④89、设{1,2,3}X =,{,,{13}}X φ=,T ,则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对答案:④90、设{1,2,3}X =,{,,{12}}X φ=,T ,则(,)X T 是( ) ① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对答案:④91、设{1,2,3}X =,{,,{1},{2},{1,2}}X φ=T ,则(,)X T 是( )①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对答案:①92、设X 是一个拓扑空间,若X 的每一个单点集都是闭集,则X 是( )①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间答案:③93、设X 是一个拓扑空间,若X 的每一个有限子集都是闭集,则X 是( )①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间答案:③94、设X 是一个拓扑空间,若对x X ∀∈及x 的每一个开邻域U ,都存在x 的一个开邻域V ,使得V U ⊂,则X 是( )①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间答案:①95、设X 是一个拓扑空间,若对X 的任何一个闭集A 及A 的每一个开邻域U ,都存在A 的一个开邻域V ,使得V U ⊂,则X 是( )①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间答案:②96、设{1,23}X =,,{,,{1},{23}}X φ=,T ,则(,)X T 是( )①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 正规空间答案:④97、设{1,23}X =,,{,,{2},{13}}X φ=,T ,则(,)X T 是( )①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 正规空间答案:④98、设{1,23}X =,,{,,{3},{12}}X φ=,T ,则(,)X T 是( ) ①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 正则空间答案:④99、设{1,23}X =,,{,,{1},{2},{1,2}}X φ=T ,则(,)X T 是( ) ①2T 空间 ② 正则空间 ③ 4T 空间 ④ 正规空间答案:④100、设{1,23}X =,,{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ,则(,)X T 是( )①2T 空间 ② 正则空间 ③ 4T 空间 ④ 正规空间答案:④101、设{1,23}X =,,{,,{2},{3},{2,3}}X φ=T ,则(,)X T 是( )①2T 空间 ② 正则空间 ③ 4T 空间 ④ 正规空间答案:④102、若拓扑空间X 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖,则称拓扑空间X 是一个( )① 连通空间 ② 道路连通空间 ③ 紧致空间 ④ 可分空间答案:③103、紧致空间中的每一个闭子集都是( )① 连通子集 ② 道路连通子集 ③ 紧致子集 ④ 以上都不对答案:③104、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是( )① 连通子集 ② 开集 ③ 闭集 ④ 以上都不对答案:③105、紧致的Hausdorff 空间中的紧致子集是( )① 连通子集 ② 开集 ③ 闭集 ④ 以上都不对答案:③106、拓扑空间X 的任何一个有限子集都是( )① 连通子集 ② 紧致子集 ③ 非紧致子集 ④ 开集答案:②107、实数空间R 的子集{1,2,3}A =是( )① 连通子集 ② 紧致子集 ③开集 ④ 非紧致子集答案:②108、实数空间R 的子集{1,2,3,4}A =是( )① 连通子集 ② 紧致子集 ③开集 ④ 非紧致子集答案:②109、如果拓扑空间X 的每个紧致子集都是闭集,则X 是( )① 1T 空间 ② 紧致空间 ③ 可数补空间 ④ 非紧致空间答案:①二、填空题(每题1分)1、设{,}X a b =,则X 的平庸拓扑为 ;答案:{,}T X φ=2、设{,}X a b =,则X 的离散拓扑为 ;答案:{,,{},{}}T X a b φ=3、同胚的拓扑空间所共有的性质叫 ;答案:拓扑不变性质4、在实数空间R 中,有理数集Q 的导集是___________.答案: R5、)(A d x ∈当且仅当对于x 的每一邻域U 有 ;答案: ({})U A x φ⋂-≠6、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集,则()d A = ;答案:X7、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集,则A = ;答案:X8、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集,则()d A = ;答案:X9、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集,则A = ;答案:X10、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为 ;答案:{2}11、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的内部为 ;答案:{1}12、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为 ;答案:{1}13、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的内部为 ;答案:φ14、设{,,}X a b c =,则X 的平庸拓扑为 ;答案:{,}T X φ=15、设{,,}X a b c =,则X 的离散拓扑为 ;答案:{,,{},{},{},{,},{,},{,}}T X a b c a b a c b c φ=16、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{3},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的内部为 ;答案:{3}17、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{3},{1,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为 ;答案:{1}18、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射,若它是一个单射,并且是从X 到它的象集()f X 的一个同胚,则称映射f 是一个 .答案:嵌入19、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射,如果它是一个满射,并且Y 的拓扑是对于映射f 而言的商拓扑,则称f 是一个 ;答案:商映射20、设,X Y 是两个拓扑空间,:f X Y →是一个映射,若X 中任何一个开集U 的象集()f U 是Y 中的一个开集,则称映射f 是一个 ;答案:开映射21、设,X Y 是两个拓扑空间,:f X Y →是一个映射,若X 中任何一个闭集U 的象集()f U 是Y 中的一个闭集,则称映射f 是一个 ;答案:闭映射22、若拓扑空间X 存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X是一个 ;答案:不连通空间23、若拓扑空间X 存在两个非空的开子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X是一个 ;答案:不连通空间24、若拓扑空间X 存在着一个既开又闭的非空真子集,则X 是一个 ;答案:不连通空间25、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集,Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂,则Z 也是X 的一个 ;答案:连通子集26、拓扑空间的某种性质,如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有,则称这个性质是一个 ;答案:在连续映射下保持不变的性质27、拓扑空间的某种性质,如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有,则称这个性质是一个 ;答案:可商性质28、若任意1n ≥个拓扑空间12,,,n X X X ,都具有性质P ,则积空间12n X X X ⨯⨯⨯也具有性质P ,则性质P 称为 ;答案:有限可积性质29、设X 是一个拓扑空间,如果X 中有两个非空的隔离子集,A B ,使得A B X ⋃=,则称X 是一个 ;答案:不连通空间.30、若12,X X 满足第一可数性公理,则积空间12X X ⨯满足 ; 答案:第一可数性公理31、若12,X X 满足第二可数性公理,则积空间12X X ⨯也满足 ; 答案:第二可数性公理32、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个子空间也具有性质P ,则称性质P 为 ;答案:可遗传性质33、设D 是拓扑空间X 的一个子集,且D X =,则称D 是X 的一个 ;答案:稠密子集34、若拓扑空间X 有一个可数稠密子集,则称X 是一个 ;答案:可分空间35、设X 是一个拓扑空间,如果它的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖,则称X是一个 ;答案:Lindel Öff 空间36、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个开子空间也具有性质P ,则称性质P 为 ;答案:对于开子空间可遗传性质37、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个闭子空间也具有性质P ,则称性质P 为 ;答案:对于闭子空间可遗传性质38、设X 是一个拓扑空间,如果则称X 是一个0T 空间;答案:X中任意两个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一点39、设X是一个拓扑空间,如果则称X是一个T空间;1答案:X中任意两个不相同的点中每一点都有一个开邻域不包含另一点40、设X是一个拓扑空间,如果则称X是一个T空间;2答案:X中任意两个不相同的点各自有一个开邻域使得这两个开邻域互不相交41、正则的T空间称为;1T空间答案:3T空间称为;42、正规的1T空间答案:4T空间称为;43、完全正则的1T空间或Tychonoff空间答案:3.544、设X是一个拓扑空间.如果X的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖,则称拓扑空间X是一个 .答案:紧致空间45、设X是一个拓扑空间,Y是X的一个子集.如果Y作为X的子空间是一个紧致空间,则称Y是拓扑空间X的一个 .答案:紧致子集46、设X是一个拓扑空间. 如果X的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖,则称拓扑空间X是一个 .答案:可数紧致空间47、设X是一个拓扑空间. 如果X的每一个无限子集都有凝聚点,则称拓扑空间X是一个 .答案:列紧空间48、设X是一个拓扑空间. 如果X中的每一个序列都有一个收敛的子序列,则称拓扑空间X是一个 .答案:序列紧致空间三.判断(每题4分,判断1分,理由3分)1、.从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( )答案:√理由:设X是离散空间,Y是拓扑空间,:f X Y是连续映射,因为对任意A Y ⊂,都有1)f A X -⊂(,由于X 中的任何一个子集都是开集,从而1()f A -是X 中的开集,所以:f X Y →是连续的.2、设12, T T 是集合X 的两个拓扑,则12 T T ⋂不一定是集合X 的拓扑( )答案:×理由:因为(1)12, T T 是X 的拓扑,故∈φ,X T 1,∈φ,X T 2,从而∈φ,X 12 T T ⋂;(2)对任意的∈B A ,T 1⋂T 2,则有∈B A ,T 1且∈B A ,T 2,由于T 1, T 2是X 的拓扑,故∈⋂B A T 1且∈⋂B A T 2,从而∈⋂B A T 1⋂T 2; (3)对任意的21T T T ⋂⊂',则21,T T T T ⊂'⊂',由于T 1, T 2是X 的拓扑,从而 U ∈T ’U ∈T 1, U ∈T ’U ∈T 2,故 U ∈T ’U ∈ T 1⋂T 2;综上有T 1⋂T 2也是X 的拓扑.3、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射( )答案:√理由:设:f X Y →是任一满足条件的映射,由于Y 是平庸空间,它中的开集只有,Y φ,易知它们在f 下的原象分别是,X φ,均为X 中的开集,从而:f X Y →连续.4、设A 为离散拓扑空间X 的任意子集,则()d A φ= ( )答案:√理由:设p 为X 中的任何一点,因为离散空间中每个子集都是开集, 所以{}p 是X 的开子集,且有{}{}()p A p φ-=,即()p d A ∉,从而()d A φ=. 5、设A 为平庸空间X (X 多于一点)的一个单点集,则()d A φ= ( ) 答案:×理由:设{}A y =,则对于任意,x X x y ∈≠,x 有唯一的一个邻域X ,且有()y X A x ∈⋂-,从而()X A x φ⋂-≠,因此x 是A 的一个凝聚点,但对于y 的唯一的邻域X ,有()X A y φ⋂-=,所以有()d A X A φ=-≠.6、设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集,则()d A X = ( ) 答案:√理由:对于任意,x X ∈因为A 包含多于一点,从而对于x 的唯一的邻域X ,且有()X A x φ⋂-≠,因此x 是A 的一个凝聚点,即()x d A ∈,所以有()d A X =.7、设X 是一个不连通空间,则X 中存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=( )答案:√理由:设X 是一个不连通空间,设,A B 是X 的两个非空的隔离子集使得A B X ⋃=,显然A B φ=,并且这时有:()()B B X B A B B B =⋂=⋂⋃⋂=从而B 是X 的一个闭子集,同理可证A 是X 的一个闭子集,这就证明了,A B 满足,A B A B X φ⋂=⋃=.8、若拓扑空间X 中存在一个既开又闭的非空真子集,则X 是一个不连通空间( )答案:√理由:这是因为若设A 是X 中的一个既开又闭的非空真子集,令B A '=,则,A B 都是X 中的非空闭子集,它们满足A B X ⋃=,易见,A B 是隔离子集,所以拓扑空间X 是一个不连通空.9、设拓扑空间X 满足第二可数性公理,则X 满足第一可数性公理( ) 答案:√理由:设拓扑空间X 满足第二可数性公理,B 是它的一个可数基,对于每一个x X ∈,易知{} B B|x B x B =∈∈是点x 处的一个邻域基,它是B 的一个子族所以是可数族,从而X 在点x 处有可数邻域基,故X 满 足第一可数性公理.10、若拓扑空间X 满足第二可数性公理,则X 的子空间Y 也满足第二可数性公理( )答案:√理由:由于X 满足第二可数性公理,所以它有一个可数基B ,因为Y 是X 的子空间,则{|}B| B Y B Y B =⋂∈是Y 的一个可数基,从而X 的 子空间Y 也满足第二可数性公理.11、若拓扑空间X 满足第一可数性公理,则X 的子空间Y 也满足第一可数性公理( )答案:√理由:由于X 满足第一可数性公理,所以对x Y ∀∈,X 在点x 处有一个可数邻域基V x ,因为Y 是X 的子空间,则{|}V | V x Y x V Y V =⋂∈是Y 在点x 的一个可数邻域基,从而X 的子空间Y 也满足第一可数性公理.12、设{1,2,3}X =,{,,{2},{3},{2,3}}X φ=T ,则(,)X T 是3T 空间.( )答案:×理由:因为{1,3}是X 的一个闭集,对于点2和{1,3}没有各自的开邻域互不相交,所以X 不是正则空间,从而不是3T 空间.注:也可以说明X 不是1T 空间.13、设{1,2,3}X =,{,,{1},{2},{1,2}}T X φ=,则(,)X T 是3T 空间.( )答案:×理由:因为{2,3}是X 的一个闭集,对于点1和{2,3}没有各自的开邻域互不相交,所以X 不是正则空间,从而不是3T 空间.注:也可以说明X 不是1T 空间.14、设{1,23}X =,,{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ,则(,)X T 是1T 空间.( )答案:×理由:因为对于点1和点2,2没有开邻域不包含1,从而X 不是1T 空间. 注:也可以考虑点2和点3.15、设{1,23}X =,,{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ,则(,)X T 是4T 空间.( )答案:×理由:因为对于点1和点2,2没有开邻域不包含1,从而X 不是1T 空间.故(,)X T 是4T 空间.注:也可以考虑点2和点3.16、3T 空间一定是2T 空间.( )答案:√理由:因为3T 空间是正则的1T 空间,所以对于3T 空间X 中的任意不同的两点,x y X ∈,{}y 是X 中的闭集,由于X 是正则空间,从而对于,{}x y 它们有各自的开邻域,U V 使得U V φ⋂=,所以X 是2T 空间.17、4T 空间一定是3T 空间.( )答案:√理由:因为4T 空间是正规的1T 空间,所以对于4T 空间X 中的任意点x 和不包含x 的闭集A ,由于{}x 也是一个闭集及X 是正规空间,故存在{},x A 的开邻域,U V 使得U V φ⋂=,这说明X 是正则空间,因此X 是3T 空间.18、设,A B 是拓扑空间X 的两个紧致子集,则A B ⋃是一个紧致子集.( )答案:√理由:设A 是一个由X 中的开集构成的A B ⋃的覆盖,由于A 和B 都是X的紧致子集,从而存在 A 的有限子族 A 1 A 2 分别是A 和B 的覆盖,故12⋃A A 是A 的有限子族且覆盖A B ⋃,所以A B ⋃是紧致子集.19、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是闭集.( )答案:√理由:设A 是Hausdorff 空间X 的一个紧致子集,则对于任何x X ∈,若x A ∉,则易知x 不是A 的凝聚点,因此A A =,从而A 是一个闭集.四.名词解释(每题2分)1.同胚映射答案:设X 和Y 是两个拓扑空间.如果:f X Y →是一个一一映射,并且f 和1:f Y X -→ 都是连续映射,则称f 是一个同胚映射或同胚.2、集合A 的内点答案:设X 是一个拓扑空间,A X ⊂.如果A 是点x X ∈的一个邻域,则称点x 是集合A 的一个内点.3、集合A 的内部答案:设X 是一个拓扑空间,A X ⊂.则集合A 的所有内点构成的集合称为集合A 的内部.4.拓扑空间(,)T X 的基答案:设(,)T X 是一个拓扑空间,B 是T 的一个子族.如果T 中的每一个元素是B中的某些元素的并,则称B是拓扑T的一个基.5.闭包答案:设X是一个拓扑空间,A Xd A的并⊂.集合A与集合A的导集()⋃称为集合A的闭包.()A d A6、序列答案:设X是一个拓扑空间,每一个映射:S Z X→叫做X中的一个序列.+7、导集答案:设X是一个拓扑空间,集合A的所有凝聚点构成的集合称为A的导集.8、不连通空间答案:设X是一个拓扑空间,如果X中有两个非空的隔离子集,A B,使得⋃=,则称X是一个不连通空间.A B X9、连通子集答案:设Y是拓扑空间X的一个子集.如果Y作为X的子空间是一个连通空间,则称Y是X的一个连通子集.10、不连通子集答案:设Y是拓扑空间X的一个子集.如果Y作为X的子空间是一个不连通空间,则称Y是X的一个不连通子集.A空间11、1答案:一个拓扑空间如果在它的每一点处有一个可数邻域基,则称这个拓A空间.扑空间是一个满足第一可数性公理的空间,简称为1A空间12、2答案:一个拓扑空间如果有一个可数基,则称这个拓扑空间是一个满足第A空间.二可数性公理的空间,简称为213、可分空间答案:如果拓扑空间X有一个可数稠密子集,则称X是一个可分空间.T空间:14、答案:设X是一个拓扑空间,如果X中的任意两个不相同的点中必有一个T空间.点有一个开邻域不包含另一点,则称拓扑空间X是T空间:15、1答案:设X是一个拓扑空间,如果X中的任意两个不相同的点中每一个点T空间.都有一个开邻域不包含另一点,则称拓扑空间X是116、2T 空间:答案:设X 是一个拓扑空间,如果X 中的任意两个不相同的点各自有一个开邻域使得这两个开邻域互不相交,则称拓扑空间X 是2T 空间.17、正则空间:答案:设X 是一个拓扑空间,如果X 中的任何一个点和任何一个不包含这个点的闭集都各自有一个开邻域,它们互不相交,则称X 是正则空间.18、正规空间:答案:设X 是一个拓扑空间,如果X 中的任何两个无交的闭集都各自有一个开邻域,它们互不相交,则称X 是正规空间.19、完全正则空间:答案:设X 是一个拓扑空间,如果对于x X ∀∈和X 中任何一个不包含点x 的闭集B 存在一个连续映射:[0,1]f X →使得()0f x =以及对于任何y B ∈有()1f y =,则称拓扑空间X 是一个完全正则空间.20、紧致空间答案:设X 是一个拓扑空间.如果X 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖,则称拓扑空间X 是一个紧致空间.21、紧致子集答案:设X 是一个拓扑空间,Y 是X 的一个子集.如果Y 作为X 的子空间是一个紧致空间,则称Y 是拓扑空间X 的一个紧致子集.22、可数紧致空间答案:设X 是一个拓扑空间. 如果X 的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖,则称拓扑空间X 是一个可数紧致空间.23、列紧空间答案:设X 是一个拓扑空间. 如果X 的每一个无限子集都有凝聚点,则称拓扑空间X 是一个列紧空间.24、序列紧致空间答案:设X 是一个拓扑空间. 如果X 中的每一个序列都有一个收敛的子序列,则称拓扑空间X 是一个序列紧致空间.五.简答题(每题4分)1、设X 是一个拓扑空间,,A B 是X 的子集,且A B ⊂.试说明()()d A d B ⊂.答案:对于任意()x d A ∈,设U 是x 的任何一个邻域,则有({})U A x φ⋂-≠,由于A B ⊂,从而({})({})U B x U A x φ⋂-⊃⋂-≠,因此()x d B ∈,故()()d A d B ⊂.2、设,,X Y Z 都是拓扑空间.:f X Y →, :g Y Z →都是连续映射,试说明:g f X Z →也是连续映射.答案:设W 是Z 的任意一个开集,由于:g Y Z →是一个连续映射,从而1()g W -是Y 的一个开集,由:f X Y →是连续映射,故11(())f g W --是X 的一开集,因此 111()()(())g f W f g W ---=是X 的开集,所以:g f X Z →是连续映射.3、设X 是一个拓扑空间,A X ⊂.试说明:若A 是一个闭集,则A 的补集A '是一个开集.答案:对于x A '∀∈,则x A ∉,由于A 是一个闭集,从而x 有一个邻域U 使得({})U A x φ⋂-=,因此U A φ⋂=,即U A '⊂,所以对任何x A '∈,A '是x 的一个邻域,这说明A '是一个开集.4、设X 是一个拓扑空间,A X ⊂.试说明:若A 的补集A '是一个开集,则A 是一个闭集.答案:设x A ∉,则x A '∈,由于A '是一个开集,所以A '是x 的一个邻域,且满足A A φ'⋂=,因此x A ∉,从而A A ⊃,即有A A =,这说明A 是一个闭集.5、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集]}2[],1[],0{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T .答案:]}}1[],0{[]},0{[,,{Y φ= T6、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集]}3[],2[],1{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T .答案:{,,{[3]},{[2],[3]}}T Y φ=7、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[1],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T .答案:{,,{[1]},{[1],[1]}}T Y φ=--8、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x。
《点集拓扑学》第7章-§7.6-局部紧致空间-仿紧致空间资料讲解
§7.6局部紧致空间,仿紧致空间本节重点:掌握局部紧致空间、仿紧致空间的定义.性质;掌握局部紧致空间、仿紧致空间中各分离性公理空间之间的关系;掌握局部紧致空间、仿紧致空间与紧致空间之间的关系.定义7.6.1 设X是一个拓扑空间,如果X中的每一个点都有一个紧致的邻域,则称拓扑空间X是一个局部紧致空间.由定义立即可见,每一个紧致空间都是局部紧致空间,因为紧致空间本身便是它的每一个点的紧致邻域.n维欧氏空间也是局部紧致空间,因为其中的任何一个球形邻域的闭包都是紧致的.定理7.6.1 每一个局部紧致的空间都是正则空间.证明设X是一个局部紧致的Hausdorff空间,设x∈X,U是x的一个开邻域.令D是x 的一个紧致邻域,作为Hausdorff空间X的紧致子集,D是X中的闭集.由推论7.2.4,D作为子空间是一个紧致的Hausdorff空间,所以是一个正则空间.是x在子空间D 中的一个开邻域,其中是集合D在拓扑空间X中的内部.从而x在子空间D中有一个开邻域V使得它在子空间D中的闭包包含于W.一方面V是子空间D中的一个开集,并且又包含于W,因此V是子空间W中的一个开集,而W是X中的一个开集,所以V也是X中的开集.另一方面,由于D是X的闭集,所以V在D中的闭包便是V在X中的闭包因此点x在X中的开邻域V使得.因此X是一个正则空间.定理7.6.2 设X是一个局部紧致的正则空间,x∈X,则点x的所有紧致邻域构成的集族是拓扑空间X在点x处的一个邻域基.证明设U是x∈X的一个开邻域.令D为x的一个紧致邻域,则是x的一个开邻域.因为X是正则空间,所以存在x的开邻域V使得.闭集是x的一个闭邻域,并且作为紧致空间D中的闭子集,它是紧致的.以上证明了在x的任何开邻域U中包含着某一个紧致邻域.从前面两个定理立即可以推出:推论7.6.3 设X是一个局部紧致的Hausdorff空间,x∈X.则点x的所有紧致邻域构成的集族是拓扑空间X在点x处的一个邻域基.定理7.6.4 每一个局部紧致的正则空间都是完全正则空间.证明设X是一个局部紧致的正则空间.我们验证X是一个完全正则空间如下:设x∈X和B是X中的一个闭集,使得是x的一个开邻域.由定理7.6.2,存在x的一个紧致闭邻域V,使得.V作为X的一个子空间是紧致的正则空间(正则是可遗传的),因此是完全正则的.因而存在连续映射g:V→[0,1],使得g(x)=0,和对于任何有g(y)=1.定义映射h:使得.显然h是一个连续映射定义映射f:X→[0,1],使得对于任何z∈X首先,映射f的定义是确切的,因为如果,则有g(z)=1=h(z).其次,都是X中的闭集,从而根据黏结引理,f是连续的.最后,显然有f(x)=0及对于根据定理7.6.1,定理7.6.4及图表6.1,立即可得图表7.4定义7.6.2 设集族A和B都是集合X的覆盖,如果A中的每一个元素包含于B中的某一个元素之中,则称A是B的一个加细.显然,如果A是B的一个子覆盖,则A是B的一个加细定义7.6.3 设X是一个拓扑空间,A是X的子集A的一个覆盖.如果对于每一个x∈A,点x有一个邻域U仅与A中有限个元素有非空的交,即:{A∈A|A∩U≠}是一个有限集,则称A是集合A的一个局部有限覆盖.有限覆盖当然是局部有限覆盖.定义7.6.4 设X是一个拓扑空间,如果X的每一个开覆盖都有一个局部有限的开覆盖是它的加细,则称X是一个仿紧致空间.紧致空间自然是仿紧致的.离散空间也是仿紧致的,因为所有单点集构成的集族是离散空间的一个开覆盖并且是它的任何一个开覆盖的局部有限的加细.定理7.6.5 每一个仿紧致的正则空间都是正规空间.证明:设X是一个仿紧致的正则空间,A是X中的一个闭集,U是A的一个开邻域.对于每一个a∈A,点a有一个开邻域,使得.从而集族是X 的一个开覆盖,它有一个局部有限的加细,设为,令.则是A 的一个局部有限的开覆盖.于是是A的一个开邻域.以下证明.如果,由于是局部有限的,所以x有一个邻域W只与中有限个元素有非空的交,于是这证明了定理7.6.6 每一个仿紧致的Hausdorff空间都是正则空间,因而也是正规空间.证明:设X是一个仿紧致的Hausdorff空间,兹验证X是一个正则空间如下:设x∈X,B是X中的一个不包含点x的闭集,对于每一个b∈B,存在x的一个开邻域和b的一个开邻域,使得.特别,.集族是X的一个开覆盖,它有一个局部有限的加细,设为.令.集族是B的一个局部有限的开覆盖.令.V是闭集B的一个开邻域.我们有.(x有一个邻域W只与中有限个元素有非空的交,因此W也只与中有限个元素,设为有非空的交.如果则因此存在某一个.然而易见于是得到矛盾).因此是x的一个开邻域.此外显然根据定理7.6.5,定理7.6.6及图表6.1我们有图表7.5:引理7.6.7 设X是一个满足第二可数性公理的局部紧致的Hausdorff空间.则X 有一个开覆盖满足条件:对于每一个,闭包是一个包含于的紧致子集.证明(略)定理7.6.8 每一个满足第二可数性公理的局部紧致的Hausdorff空间都是仿紧致空间.证明(略)推论:是一个仿紧致空间.根据定理7.6.8,可得图表7.6作业:P212 1.2.。
河南工业大学理学院谢萍丽老师点集拓扑学试题(含答案)
点集拓扑学练习题一、单项选择题1、设{,,}X a b c =,下列集族中,( ② )是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{}}X a a b c φ=T ② {,,{},{,},{,}}X a a b a c φ=T③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T2、设{,,}X a b c =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{},{},{,}}X b c a b φ=T ② {,,{},{},{,},{,}}X a b a b a c φ=T③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T 答案:②3、设{,,}X a b c =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{},{},{,}}X a b b c φ=T ② {,,{,},{,}}X a b b c φ=T③ {,,{},{,}}X a a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T 答案:③4、设{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{},{,,}}X a b c d φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集个数( ) ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案:②5、设{,,}X a b c =,拓扑{,,{},{,}}X a b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为( ) ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案:②6、设{,}X a b =,拓扑{,,{}}X b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为( )① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 答案:③7、设{,,}X a b c =,拓扑{,,{},{},{,},{,}}X a b a b b c φ=T ,X 的既开又闭的非空真子集个数( )① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案:②8、在实数空间中,有理数集Q 的边界()Q ∂是( )① φ ② Q ③ R -Q ④ R 答案:④9、在实数空间中,区间[0,1)的部是( )① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1) 答案:④10、设X 是一个拓扑空间,A ,B 是X 的子集,则下列关系中错误的是( )① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B ⋃=⋃③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A = 答案: ③11、设X 是一个拓扑空间,A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是( )① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B -=-③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A = 答案: ①12、设X 是一个拓扑空间,A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是( )① ()d A B A B ⋃=⋃ ② A B A B -=-③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ (())()d d A A d A ⊂⋃ 答案: ④13、已知X 是一个离散拓扑空间,A 是X 的子集,则下列结论中正确的是() ① ()d A φ= ② ()d A X A =-③ ()d A A = ④ ()d A X = 答案:①14、已知X 是一个平庸拓扑空间,A 是X 的子集,则下列结论中不正确的是() ① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X A =-③ 若A={12,x x },则()d A X = ④ 若A X ≠, 则()d A X ≠ 答案:④15、已知X 是一个平庸拓扑空间,A 是X 的子集,则下列结论中正确的是() ① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X =③ 若A={12,x x },则()d A X A =- ④ 若12{,}A x x =,则()d A A = 答案:①16、设{,,,}X a b c d =,令{{,,},{},{}}a b c c d =B ,则由B 产生的X 上的拓扑是()① { X ,φ,{c },{d },{c ,d },{a ,b ,c }} ② {X ,φ,{c },{d },{c ,d }}③ { X ,φ,{c },{a ,b ,c }} ④ { X ,φ,{d },{b ,c },{b ,d },{b ,c ,d }} 答案:①17、设X 是至少含有两个元素的集合,p X ∈,{|}{}G X p G φ=⊂∈⋃T 是X 的拓扑,则( )是T 的基.① {{,}|{}}B p x x X p =∈- ② {{}|}B x x X =∈③ {{,}|}B p x x X =∈ ④ {{}|{}}B x x X p =∈- 答案:③18、 设{,,}X a b c =,则下列X 的拓扑中( )以{,,{}}S X a φ=为子基.① { X , φ,{a },{a ,c }} ② {X , φ,{a }}③ { X , φ,{a },{b },{a ,b }} ④ {X ,φ }答案:②19、离散空间的任一子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案:③20、平庸空间的任一非空真子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案:④21、实数空间R 的子集A ={1,21,31 ,41,……},则A =( ) ①φ ② R ③ A ∪{0} ④ A 答案:③22、已知{1,2,3}X =上的拓扑{,,{1}}T X φ=,则点1的邻域个数是( )① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案:④23、已知{,}X a b =,则X 上的所有可能的拓扑有( )① 1个 ② 2个 ③ 3个 ④ 4个 答案:④24、已知X ={a ,b ,c },则X 上的含有4个元素的拓扑有( )个① 3 ② 5 ③ 7 ④ 9 答案:④25、设(,)T X 为拓扑空间,则下列叙述正确的为 ( )①T , T X φ∈∉ ② T ,T X φ∉∈③当T T '⊂时,T T U U '∈∈U ④ 当T T '⊂时,T T U U '∈∈I 答案:③ 26、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{1,2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{2},{1,2}}φ=T ② {,,{1},{2},{1,2}}T X φ=③ {,,{1},{2}}T A φ= ④ {,,{1},{2}}T X φ= 答案:③27、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{1}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{1}}T φ= ② {,,{1,2}}T A φ=③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ= 答案:①28、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,{},{1,3}}T X φ=③ {,,{3}}T X φ= ④ {,{3}}T φ= 答案:④29、有理数集Q 是实数空间R 的一个( )① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对 答案:①30、设Y 为拓扑空间X 的连通子集,Z 为X 的子集,若Y Z Y ⊂⊂, 则Z 为( )①不连通子集 ② 连通子集 ③ 闭集 ④ 开集答案:②二、填空题1、设{,}X a b =,则X 的平庸拓扑为 ;答案:{,}T X φ=2、设{,}X a b =,则X 的离散拓扑为 ;答案:{,,{},{}}T X a b φ=3、同胚的拓扑空间所共有的性质叫 ; 答案:拓扑不变性质4、在实数空间R 中,有理数集Q 的导集是___________. 答案: R5、)(A d x ∈当且仅当对于x 的每一邻域U 有 答案: ({})U A x φ⋂-≠6、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集,则()d A = ;答案:X7、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集,则A = ;答案:X8、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集,则()d A = ;答案:X9、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集,则A = ;答案:X10、设{,,}X a b c =,则X 的平庸拓扑为 ;答案:{,}T X φ=11、设{,,}X a b c =,则X 的离散拓扑为 答案:{,,{},{},{},{,},{,},{,}}T X a b c a b a c b c φ=12、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{3},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的部为 ;答案:{3}13、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射,若它是一个单射,并且是从X 到它的象集()f X 的一个同胚,则称映射f 是一个 .答案:嵌入14、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射,如果它是一个满射,并且Y 的拓扑是对于映射f 而言的商拓扑,则称f 是一个 ;答案:商映射15、设,X Y 是两个拓扑空间,:f X Y →是一个映射,若X 中任何一个开集U 的象集()f U 是Y 中的一个开集,则称映射f 是一个 答案:开映射16、设,X Y 是两个拓扑空间,:f X Y →是一个映射,若X 中任何一个闭集U 的象集()f U 是Y 中的一个闭集,则称映射f 是一个 答案:闭映射17、若拓扑空间X 存在两个非空的开子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 是一个 ;答案:不连通空间18、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集,Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂,则Z 也是X 的一个 ; 答案:连通子集19、设X 是一个拓扑空间,如果X 中有两个非空的隔离子集,A B ,使得A B X ⋃=,则称X 是一个 ;答案:不连通空间.三.判断1、.从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( ) 答案:√理由:设X 是离散空间,Y 是拓扑空间,:f X Y →是连续映射,因为对任意A Y ⊂,都有1)f A X -⊂(,由于X 中的任何一个子集都是开集,从而1()f A -是X 中的开集,所以:f X Y →是连续的.2、设12, T T 是集合X 的两个拓扑,则12 T T ⋂不一定是集合X 的拓扑( )答案:×理由:因为(1)12, T T 是X 的拓扑,故∈φ,X T 1,∈φ,X T 2,从而∈φ,X 12 T T ⋂;(2)对任意的∈B A ,T 1⋂T 2,则有∈B A ,T 1且∈B A ,T 2,由于T 1, T 2是X 的拓扑,故∈⋂B A T 1且∈⋂B A T 2,从而∈⋂B A T 1⋂T 2;(3)对任意的21T T T ⋂⊂',则21,T T T T ⊂'⊂',由于T 1, T 2是X 的拓扑,从而Y U ∈T ’U ∈T 1, Y U ∈T ’U ∈T 2,故Y U ∈T ’U ∈ T 1⋂T 2;综上有T 1⋂T 2也是X 的拓扑.3、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射( )答案:√理由:设:f X Y →是任一满足条件的映射,由于Y 是平庸空间,它中的开集只有,Y φ,易知它们在f 下的原象分别是,X φ,均为X 中的开集,从而:f X Y →连续.4、设A 为离散拓扑空间X 的任意子集,则()d A φ= ( )答案:√理由:设p 为X 中的任何一点,因为离散空间中每个子集都是开集,所以{}p 是X 的开子集,且有{}{}()p A p φ-=I ,即()p d A ∉,从而 ()d A φ=.5、设A 为平庸空间X (X 多于一点)的一个单点集,则()d A φ= ( )答案:× 理由:设{}A y =,则对于任意,x X x y ∈≠,x 有唯一的一个邻域X ,且有()y X A x ∈⋂-,从而()X A x φ⋂-≠,因此x 是A 的一个凝聚点,但对于y 的唯一的邻域X ,有()X A y φ⋂-=,所以有()d A X A φ=-≠.6、设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集,则()d A X = ( )答案:√ 理由:对于任意,x X ∈因为A 包含多于一点,从而对于x 的唯一的邻域X ,且有()X A x φ⋂-≠,因此x 是A 的一个凝聚点,即()x d A ∈,所以有()d A X =.四. 名词解释1.同胚映射 答案:设X 和Y 是两个拓扑空间.如果:f X Y →是一个一一映射,并且f 和1:f Y X -→ 都是连续映射,则称f 是一个同胚映射或同胚.2、集合A 的聚点 答案:设A 是拓扑空间X 的一个子集,如果x X ∈的每一个邻域U 中都有A 中异于x 的点,即({})U A x -≠ΦI ,则称点x 是集合A 的一个凝聚点。
点集拓扑学试题(含答案)
点集拓扑学试题(含答案)三.判断(每题4分,判断1分,理由3分)1、.从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( ) 答案:√理由:设X 是离散空间,Y 是拓扑空间,:f X Y →是连续映射,因为对任意A Y ?,都有1)f A X -?(,由于X 中的任何一个子集都是开集,从而1()f A -是X 中的开集,所以:f X Y →是连续的.2、设12, T T 是集合X 的两个拓扑,则12 T T ?不一定是集合X 的拓扑( )答案:× 理由:因为(1)12, T T 是X 的拓扑,故∈φ,X T 1,∈φ,X T 2,从而∈φ,X 12 T T ?;(2)对任意的∈B A ,T 1?T 2,则有∈B A ,T 1且∈B A ,T 2,由于T 1, T 2是X 的拓扑,故∈?B A T 1且∈?B A T 2,从而∈?B A T 1?T 2;(3)对任意的21T T T ??',则21,T T T T ?'?',由于T 1, T 2是X 的拓扑,从而U ∈T ’U ∈T 1, U ∈T ’U ∈T 2,故U ∈T ’U ∈ T 1?T 2;综上有T 1?T 2也是X 的拓扑.3、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射()答案:√理由:设:f X Y →是任一满足条件的映射,由于Y 是平庸空间,它中的开集只有,Y φ,易知它们在f 下的原象分别是,X φ,均为X 中的开集,从而:f X Y →连续.4、设A 为离散拓扑空间X 的任意子集,则()d A φ= ()答案:√理由:设p 为X 中的任何一点,因为离散空间中每个子集都是开集,所以{}p 是X 的开子集,且有{}{}()p A p φ-=,即()p d A ?,从而()d A φ=.5、设A 为平庸空间X (X 多于一点)的一个单点集,则()d A φ= ()答案:× 理由:设{}A y =,则对于任意,x X x y ∈≠,x 有唯一的一个邻域X ,且有()y X A x ∈?-,从而()X A x φ?-≠,因此x 是A 的一个凝聚点,但对于y 的唯一的邻域X ,有()X A y φ?-=,所以有()d A X A φ=-≠.6、设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集,则()d A X = ()答案:√ 理由:对于任意,x X ∈因为A 包含多于一点,从而对于x 的唯一的邻域X ,且有()X A x φ?-≠,因此x 是A 的一个凝聚点,即()x d A ∈,所以有()d A X =.7、设X 是一个不连通空间,则X 中存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ?=?=()答案:√理由:设X 是一个不连通空间,设,A B 是X 的两个非空的隔离子集使得A B X ?=,显然A B φ=,并且这时有:()()B B X B A B B B =?==从而B 是X 的一个闭子集,同理可证A 是X 的一个闭子集,这就证明了,A B 满足,A B A B X φ?=?=.8、若拓扑空间X 中存在一个既开又闭的非空真子集,则X 是一个不连通空间( )√ 理由:这是因为若设A 是X 中的一个既开又闭的非空真子集,令B A '=,则,A B 都是X 中的非空闭子集,它们满足A B X ?=,易见,A B 是隔离子集,所以拓扑空间X 是一个不连通空.五.简答题(每题4分)1、设X 是一个拓扑空间,,A B 是X 的子集,且A B ?.试说明()()dA dB ?.答案:对于任意()x d A ∈,设U 是x 的任何一个邻域,则有({})U A x φ?-≠,由于A B ?,从而({})({})U B x U A x φ?-??-≠,因此()x d B ∈,故()()d A d B ?.2、设,,X Y Z 都是拓扑空间.:f X Y →, :g Y Z →都是连续映射,试说明:g f X Z →也是连续映射.答案:设W 是Z 的任意一个开集,由于:g Y Z →是一个连续映射,从而1()g W -是Y 的一个开集,由:f X Y →是连续映射,故11(())f g W --是X 的一开集,因此 111()()(())g f W f g W ---=是X 的开集,所以:g f X Z →是连续映射.3、设X 是一个拓扑空间,A X ?.试说明:若A 是一个闭集,则A的补集A '是一个开集. 答案:对于x A '?∈,则x A ?,由于A 是一个闭集,从而x 有一个邻域U 使得({})U A x φ?-=,因此U A φ?=,即U A '?,所以对任何x A '∈,A '是x 的一个邻域,这说明A '是一个开集.4、设X 是一个拓扑空间,A X ?.试说明:若A 的补集A '是一个开集,则A 是一个闭集.答案:设x A ?,则x A '∈,由于A '是一个开集,所以A '是x 的一个邻域,且满足A A φ'?=,因此x A ?,从而A A ?,即有A A =,这说明A 是一个闭集.Authorware一、判断题1、Authorware中设计窗口描述2、移动图标制作动画3、擦出图标的内容4、几何画板中的动画5、关于交互结构的描述6、显示图标的工具面板的描述7、8、显示图标层的描述9、10、显示图标的描述11、关于标志旗的描述12、系统变量的描述(计算图标)13、声音图标的描述14、显示图标中的对象排列二、单项选择1、定义的简称(缩写)2、移动图标的使用3、图标功能的描述4、5.、10、图标的操作(创建,编辑)6、交互结构,交互分支7、文本输入交互8、几何画板常见菜单9、计算图标的使用11、群组图标的操作12、显示模式(模式工具)13、图标操作14、显示图标操作15、交互16、交互17、显示图标中工具箱的操作18、图标的操作三、多项原则移动图标、交互四、填空题1、图标的名称(7-8)2、几何画板(几何变换)(移动,旋转)3、显示图标工具箱中的名称4、移动图标5中类型5、计算图标中运算符的使用五、简答题1、关于移动2、交互结构3、集合画板4、编程一、判断题1、如果为视频文件额外配置声音,那么须用声音图标和电影图标。
拓扑学复习题与参考答案
点集拓扑学练习题一、单项选择题(每题2分)1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T② {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T③ {,,{},{,}}X a a b φ=T④ {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T2、设{,,}X a b c =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{}}X a a b c φ=T ② {,,{},{,},{,}}X a a b a c φ=T③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T3、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c d φ=T ② {,,{,,},{,,}}X a b c a b d φ=T③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{}}X a b φ=T4、设{,,}X a b c =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{},{},{,}}X b c a b φ=T ② {,,{},{},{,},{,}}X a b a b a c φ=T③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T5、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ② {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{},{,}}X a c a c φ=T6、设{,,}X a b c =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{},{},{,}}X a b b c φ=T ② {,,{,},{,}}X a b b c φ=T③ {,,{},{,}}X a a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T7、已知{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则}{b =( )①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d8、 已知{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{,,}b c d =( )①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d9、 已知{,}X a b =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =( )①φ ② X ③ {}a ④ {}b10、已知{,}X a b =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}b =( )①φ ② X ③ {}a ④ {}b11、已知{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =( )①φ ② X ③ {,}a b ④ {,,}b c d12、已知{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}c =( )①φ ② X ③ {,}a c ④ {,,}b c d13、设{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{},{,,}}X a b c d φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为( ) ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 414、设{,,}X a b c =,拓扑{,,{},{,}}X a b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为( )① 1 ② 2 ③ 3 ④ 415、设{,,}X a b c =,拓扑{,,{},{,}}X b b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为( )① 0 ② 1 ③ 2 ④ 316、设{,}X a b =,拓扑{,,{}}X b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为( )① 0 ② 1 ③ 2 ④ 317、设{,}X a b =,拓扑{,,{},{}}X a b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为( )① 1 ② 2 ③ 3 ④ 418、设{,,}X a b c =,拓扑{,,{},{},{,},{,}}X a b a b b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为( )① 1 ② 2 ③ 3 ④ 419、在实数空间中,有理数集Q 的内部Q 是( )① φ ② Q ③ R -Q ④ R20、在实数空间中,有理数集Q 的边界()Q ∂是( )① φ ② Q ③ R -Q ④ R21、在实数空间中,整数集Z 的内部Z 是( )① φ ② Z ③ R -Z ④ R22、在实数空间中,整数集Z 的边界()Z ∂是( )① φ ② Z ③ R -Z ④ R23、在实数空间中,区间[0,1)的边界是( )① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1)24、在实数空间中,区间[2,3)的边界是( )① φ ② [2,3] ③ {2,3} ④ (2,3)25、在实数空间中,区间[0,1)的内部是( )① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1)26、设X 是一个拓扑空间,A ,B 是X 的子集,则下列关系中错误的是() ① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B ⋃=⋃③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A =27、设X 是一个拓扑空间,A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是() ① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B -=-③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A =28、设X 是一个拓扑空间,A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是()① ()d A B A B ⋃=⋃ ② A B A B -=-③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ (())()d d A A d A ⊂⋃29、已知X 是一个离散拓扑空间,A 是X 的子集,则下列结论中正确的是( )① ()d A φ= ② ()d A X A =-③ ()d A A = ④ ()d A X =30、已知X 是一个平庸拓扑空间,A 是X 的子集,则下列结论中不正确的是( )① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X A =-③ 若A={12,x x },则()d A X = ④ 若A X ≠, 则()d A X ≠31、已知X 是一个平庸拓扑空间,A 是X 的子集,则下列结论中正确的是( )① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X =③ 若A={12,x x },则()d A X A =- ④ 若12{,}A x x =,则()d A A =32、设{,,,}X a b c d =,令{{,,},{},{}}a b c c d =B ,则由B 产生的X 上的拓扑是( )① { X ,φ,{c },{d },{c ,d },{a ,b ,c }}② {X ,φ,{c },{d },{c ,d }}③ { X ,φ,{c },{a ,b ,c }}④ { X ,φ,{d },{b ,c },{b ,d },{b ,c ,d }}33、设X 是至少含有两个元素的集合,p X ∈,{|}{}G X p G φ=⊂∈⋃T 是X 的拓扑,则( )是T 的基.① {{,}|{}}B p x x X p =∈- ② {{}|}B x x X =∈③ {{,}|}B p x x X =∈ ④ {{}|{}}B x x X p =∈-34、 设{,,}X a b c =,则下列X 的拓扑中( )以{,,{}}S X a φ=为子基.① { X , φ,{a },{a ,c }} ② {X , φ,{a }}③ { X , φ,{a },{b },{a ,b }} ④ {X ,φ }35、离散空间的任一子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭36、平庸空间的任一非空真子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭37、实数空间R 中的任一单点集是 ( )① 开集 ② 闭集 ③ 既开又闭 ④ 非开非闭38、实数空间R 的子集A ={1,21,31 ,41,……},则A =( ) ①φ ② R ③ A ∪{0} ④ A39、在实数空间R 中,下列集合是闭集的是( )① 整数集 ② [)b a , ③ 有理数集 ④ 无理数集40、在实数空间R 中,下列集合是开集的是( )① 整数集Z ② 有理数集③ 无理数集 ④ 整数集Z 的补集Z '41、已知{1,2,3}X =上的拓扑{,,{1}}T X φ=,则点1的邻域个数是( )① 1 ② 2 ③ 3 ④ 442、已知{,}X a b =,则X 上的所有可能的拓扑有( )① 1个 ② 2个 ③ 3个 ④ 4个43、已知X ={a ,b ,c },则X 上的含有4个元素的拓扑有( )个① 3 ② 5 ③ 7 ④ 944、设(,)T X 为拓扑空间,则下列叙述正确的为 ( )①T , T X φ∈∉ ② T ,T X φ∉∈③当T T '⊂时,T T U U '∈∈ ④ 当T T '⊂时,T T U U '∈∈45、在实数下限拓扑空间R 中,区间[,)a b 是( )① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭46、设X 是一个拓扑空间,,A B X ⊂,且满足()d A B A ⊂⊂,则B 是( )① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭47、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{1,2}A =,则X 的子空间A的拓扑为( )① {,{2},{1,2}}φ=T ② {,,{1},{2},{1,2}}T X φ=③ {,,{1},{2}}T A φ= ④ {,,{1},{2}}T X φ=48、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{1,3}A =,则X 的子空间A的拓扑为( )① {,{1},{3},{1,3}}T φ= ② {,,{1}}T A φ=③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ=49、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{2,3}A =,则X 的子空间A的拓扑为( )① {,{3},{2,3}}φ=T ② {,,{2},{3}}T A φ=③ {,,{2},{3},{2,3}}T X φ= ④ {,,{3}}T X φ=50、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{1}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{1}}T φ= ② {,,{1,2}}T A φ=③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ=51、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,}T A φ=③ {,,{2}}T X φ= ④ {,,{1,2}}T X φ=52、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,{},{1,3}}T X φ=③ {,,{3}}T X φ= ④ {,{3}}T φ=53、设R 是实数空间,Z 是整数集,则R 的子空间Z 的拓扑为( )① {,}T Z φ= ② ()T P Z =③ T Z = ④ {}T Z =54、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.1P 是X 到1X 的投射,则1P 是( )① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射55、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.2P 是X 到2X 的投射,则2P 是( )① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射56、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.3P 是X 到3X 的投射,则3P 是( )① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射57、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.4P 是X 到4X 的投射,则4P 是( )① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射58、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.5P 是X 到5X 的投射,则5P 是( )① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射59、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.6P 是X 到6X 的投射,则6P 是( )① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射60、设1X 和2X 是两个拓扑空间,12X X ⨯是它们的积空间,1A X ⊂,2B X ⊂,则有( ) ① A B A B ⨯≠⨯ ② A B A B ⨯=⨯③()A B A B ⨯≠⨯ ④ ()()()A B A B ∂⨯=∂⨯∂61、有理数集Q 是实数空间R 的一个( )① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对62、整数集Z 是实数空间R 的一个( )① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对63、无理数集是实数空间R 的一个( )① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对64、设Y 为拓扑空间X 的连通子集,Z 为X 的子集,若Y Z Y ⊂⊂, 则Z 为( )①不连通子集 ② 连通子集 ③ 闭集 ④ 开集65、设12,X X 是平庸空间,则积空间12X X ⨯是( )① 离散空间 ② 不一定是平庸空间③ 平庸空间 ④ 不连通空间66、设12,X X 是离散空间,则积空间12X X ⨯是( )① 离散空间 ② 不一定是离散空间③ 平庸空间 ④ 连通空间67、设12,X X 是连通空间,则积空间12X X ⨯是( )① 离散空间 ② 不一定是连通空间③ 平庸空间 ④ 连通空间68、实数空间R 中的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③区间 ④ 以上都不对69、实数空间R 中的不少于两点的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③ 区间 ④ 以上都不对70、实数空间R 中的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③ 区间 ④ 区间或一点71、下列叙述中正确的个数为( )(Ⅰ)单位圆周1S 是连通的; (Ⅱ){0}R -是连通的(Ⅲ)2{(0,0)}R -是连通的 (Ⅳ)2R 和R 同胚① 1 ② 2 ③ 3 ④ 472、实数空间R ( )① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对73、整数集Z 作为实数空间R 的子空间( )① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对74、有理数集Q 作为实数空间R 的子空间( )① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对75、无理数集作为实数空间R 的子空间( )① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对76、正整数集Z +作为实数空间R 的子空间( )① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对77、负整数集Z -作为实数空间R 的子空间( )① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对78、2维欧氏间空间2R ( )① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对79、3维欧氏间空间3R ( )① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对80、下列拓扑学的性质中,不具有可遗传性的是( )① 平庸性 ② 连通性③ 离散性 ④ 第一可数性公理81、下列拓扑学的性质中,不具有可遗传性的是( )① 第一可数性公理 ② 连通性③ 第二可数性公理 ④ 平庸性82、下列拓扑学的性质中,不具有可遗传性的是( )① 第一可数性公理 ② 可分性③ 第二可数性公理 ④ 离散性83、下列拓扑学的性质中,不具有可遗传性的是( )① 平庸性 ② 可分性③ 离散性 ④ 第二可数性公理84、设X 是一个拓扑空间,若对于,,x y X x y ∀∈≠,均有{}{}x y ≠,则X 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对85、设{1,2}X =,{,,{1}}X φ=T ,则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对86、设{1,2}X =,{,,{2}}X φ=T ,则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 道路连通空间87、设{1,2,3}X =,{,,{1}}X φ=T ,则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对88、设{1,2,3}X =,{,,{23}}X φ=,T ,则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对89、设{1,2,3}X =,{,,{13}}X φ=,T ,则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对90、设{1,2,3}X =,{,,{12}}X φ=,T ,则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对91、设{1,2,3}X =,{,,{1},{2},{1,2}}X φ=T ,则(,)X T 是( )①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对92、设X 是一个拓扑空间,若X 的每一个单点集都是闭集,则X 是( )①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间93、设X 是一个拓扑空间,若X 的每一个有限子集都是闭集,则X 是( )①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间94、设X 是一个拓扑空间,若对x X ∀∈及x 的每一个开邻域U ,都存在x 的一个开邻域V ,使得V U ⊂,则X 是( )①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间95、设X 是一个拓扑空间,若对X 的任何一个闭集A 及A 的每一个开邻域U ,都存在A的一个开邻域V ,使得V U ⊂,则X 是( )①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间96、设{1,23}X =,,{,,{1},{23}}X φ=,T ,则(,)X T 是( ) ①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 正规空间97、设{1,23}X =,,{,,{2},{13}}X φ=,T ,则(,)X T 是( ) ①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 正规空间98、设{1,23}X =,,{,,{3},{12}}X φ=,T ,则(,)X T 是( )①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 正则空间99、设{1,23}X =,,{,,{1},{2},{1,2}}X φ=T ,则(,)X T 是( )①2T 空间 ② 正则空间 ③ 4T 空间 ④ 正规空间100、设{1,23}X =,,{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ,则(,)X T 是( )①2T 空间 ② 正则空间 ③ 4T 空间 ④ 正规空间101、设{1,23}X =,,{,,{2},{3},{2,3}}X φ=T ,则(,)X T 是( )①2T 空间 ② 正则空间 ③ 4T 空间 ④ 正规空间102、若拓扑空间X 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖,则称拓扑空间X 是一个()① 连通空间 ② 道路连通空间 ③ 紧致空间 ④ 可分空间103、紧致空间中的每一个闭子集都是( )① 连通子集 ② 道路连通子集 ③ 紧致子集 ④ 以上都不对104、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是( )① 连通子集 ② 开集 ③ 闭集 ④ 以上都不对105、紧致的Hausdorff 空间中的紧致子集是( )① 连通子集 ② 开集 ③ 闭集 ④ 以上都不对106、拓扑空间X 的任何一个有限子集都是( )① 连通子集 ② 紧致子集 ③ 非紧致子集 ④ 开集107、实数空间R 的子集{1,2,3}A =是( )① 连通子集 ② 紧致子集 ③开集 ④ 非紧致子集108、实数空间R 的子集{1,2,3,4}A =是( )① 连通子集 ② 紧致子集 ③开集 ④ 非紧致子集109、如果拓扑空间X 的每个紧致子集都是闭集,则X 是( )① 1T 空间 ② 紧致空间 ③ 可数补空间 ④ 非紧致空间二、填空题(每题2分)1、设{,}X a b =,则X 的平庸拓扑为 ;2、设{,}X a b =,则X 的离散拓扑为 ;3、同胚的拓扑空间所共有的性质叫 ;4、在实数空间R 中,有理数集Q 的导集是___________.5、)(A d x ∈当且仅当对于x 的每一邻域U 有 ;6、设A是有限补空间X中的一个无限子集,则()d A= ;7、设A是有限补空间X中的一个无限子集,则A= ;8、设A是可数补空间X中的一个不可数子集,则()d A= ;9、设A是可数补空间X中的一个不可数子集,则A= ;10、设{1,2,3}X=,X的拓扑{,,{2},{2,3}}=,则X的子集{1,2}A=的内部T Xφ为 ;11、设{1,2,3}A=的内部=,则X的子集{1,3} X=,X的拓扑{,,{1},{2,3}}T Xφ为 ;12、设{1,2,3}A=的内部=,则X的子集{1,2}T XφX=,X的拓扑{,,{1},{2,3}}为 ;13、设{1,2,3}A=的内部=,则X的子集{1,3} X=,X的拓扑{,,{2},{2,3}}T Xφ为 ;14、设{,,}=,则X的平庸拓扑为 ;X a b c15、设{,,}=,则X的离散拓扑为 ;X a b c16、设{1,2,3}A=的内部=,则X的子集{1,3}T XφX=,X的拓扑{,,{2},{3},{2,3}}为 ;17、设{1,2,3}A=的内部=,则X的子集{1,2}T XφX=,X的拓扑{,,{1},{3},{1,3}}为 ;18、:f X Y→是拓扑空间X到Y的一个映射,若它是一个单射,并且是从X到它的象集()f X的一个同胚,则称映射f是一个 .19、:f X Y→是拓扑空间X到Y的一个映射,如果它是一个满射,并且Y的拓扑是对于映射f而言的商拓扑,则称f是一个 .20、设,→是一个映射,若X中任何一个开集U的象集X Y是两个拓扑空间,:f X Yf U是Y中的一个开集,则称映射f是一个;()21、设,→是一个映射,若X中任何一个闭集U的象集X Y是两个拓扑空间,:f X Y()f U 是Y 中的一个闭集,则称映射f 是一个 ;22、若拓扑空间X 存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 是一个 ;23、若拓扑空间X 存在两个非空的开子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 是一个 ;24、若拓扑空间X 存在着一个既开又闭的非空真子集,则X 是一个 ;25、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集,Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂,则Z 也是X 的一个 ;26、拓扑空间的某种性质,如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有,则称这个性质是一个 ;27、拓扑空间的某种性质,如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有,则称这个性质是一个 ;28、若任意1n ≥个拓扑空间12,,,n X X X ,都具有性质P ,则积空间12n X X X ⨯⨯⨯也具有性质P ,则性质P 称为 ;29、设X 是一个拓扑空间,如果X 中有两个非空的隔离子集,A B ,使得A B X ⋃=,则称X 是一个 ;30、若12,X X 满足第一可数性公理,则积空间12X X ⨯满足 ;31、若12,X X 满足第二可数性公理,则积空间12X X ⨯也满足 ;32、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个子空间也具有性质P ,则称性质P 为 ;33、设D 是拓扑空间X 的一个子集,且D X =,则称D 是X 的一个 ;34、若拓扑空间X 有一个可数稠密子集,则称X 是一个 ;35、设X 是一个拓扑空间,如果它的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖,则称X 是一个 ;36、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个开子空间也具有性质P ,则称性质P 为 ;37、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个闭子空间也具有性质P ,则称性质P 为 ;38、设X 是一个拓扑空间,如果则称X 是一个0T 空间;39、设X 是一个拓扑空间,如果则称X 是一个1T 空间;40、设X 是一个拓扑空间,如果则称X 是一个2T 空间;41、正则的1T 空间称为 ;42、正规的1T 空间称为 ;43、完全正则的1T 空间称为 ;44、设X 是一个拓扑空间.如果X 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖,则称拓扑空间X 是一个 .45、设X 是一个拓扑空间,Y 是X 的一个子集.如果Y 作为X 的子空间是一个紧致空间,则称Y 是拓扑空间X 的一个 .46、设X 是一个拓扑空间. 如果X 的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖,则称拓扑空间X 是一个 .47、设X 是一个拓扑空间. 如果X 的每一个无限子集都有凝聚点,则称拓扑空间X 是一个 .48、设X 是一个拓扑空间. 如果X 中的每一个序列都有一个收敛的子序列,则称拓扑空间X 是一个 .三.判断(每题3分,判断1分,理由2分)1、从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( )2、设12, T T 是集合X 的两个拓扑,则12 T T ⋂不一定是集合X 的拓扑( )3、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射( )4、设A 为离散拓扑空间X 的任意子集,则()d A φ= ( )5、设A 为平庸空间X (X 多于一点)的一个单点集,则()d A φ= ( )6、设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集,则()d A X = ( )7、设X 是一个不连通空间,则X 中存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=( )8、若拓扑空间X 中存在一个既开又闭的非空真子集,则X 是一个不连通空间( )9、设拓扑空间X 满足第二可数性公理,则X 满足第一可数性公理( )10、若拓扑空间X 满足第二可数性公理,则X 的子空间Y 也满足第二可数性公理( )11、若拓扑空间X 满足第一可数性公理,则X 的子空间Y 也满足第一可数性公理( )12、设{1,2,3}X =,{,,{2},{3},{2,3}}X φ=T ,则(,)X T 是3T 空间.( )13、设{1,2,3}X =,{,,{1},{2},{1,2}}T X φ=,则(,)X T 是3T 空间.( )14、设{1,23}X =,,{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ,则(,)X T 是1T 空间.( )15、设{1,23}X =,,{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ,则(,)X T 是4T 空间.( )16、3T 空间一定是2T 空间.( )17、4T 空间一定是3T 空间.( )18、设,A B 是拓扑空间X 的两个紧致子集,则A B ⋃是一个紧致子集.( )19、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是闭集.( )四.名词解释(每题2分)1.同胚映射2、集合A 的内点3、集合A 的内部4.拓扑空间(,)T X 的基5.闭包6、序列7、导集8、不连通空间9、连通子集10、不连通子集11、1 A 空间12、2 A 空间13、可分空间14、0T 空间:15、1T 空间:16、2T 空间:17、正则空间:18、正规空间:19、完全正则空间:20、紧致空间21、紧致子集22、可数紧致空间23、列紧空间24、序列紧致空间五.简答题(每题4分)1、设X 是一个拓扑空间,,A B 是X 的子集,且A B ⊂.试说明()()d A d B ⊂.2、设,,X Y Z 都是拓扑空间.:f X Y →, :g Y Z →都是连续映射,试说明:g f X Z →也是连续映射.3、设X 是一个拓扑空间,A X ⊂.试说明:若A 是一个闭集,则A 的补集A '是一个开集.4、设X 是一个拓扑空间,A X ⊂.试说明:若A 的补集A '是一个开集,则A 是一个闭集.5、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集]}2[],1[],0{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T .6、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集]}3[],2[],1{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T . 7、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[1],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T .8、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[2],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T .9、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[3]}Y =,试写出Y 的商拓扑T .10、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[4]}Y =,试写出Y 的商拓扑T .11、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[1],[2],[4]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T .12、离散空间是否为2A 空间?说出你的理由.13、试说明实数空间R 是可分空间.14、试说明每一个度量空间都满足第一可数性公理.15、设X 是一个1T 空间,试说明X 的每一个单点集是闭集.16、设X 是一个拓扑空间,若X 的每一个单点集都是闭集,试说明X 是一个1T 空间.17、设(,)X T 是一个1T 空间,∞是任何一个不属于X 的元素.令*{}X X =⋃∞和*X =⋃*T T {},试说明拓扑空间*(,)X *T 是一个0T 空间.18、若X 是一个正则空间,试说明:对x X ∀∈及x 的每一个开邻域U ,都存在x 的一个开邻域V ,使得V U ⊂.19、若X 是一个正规空间,试说明:对X 的任何一个闭集A 及A 的每一个开邻域U ,都存在A 的一个开邻域V ,使得V U ⊂.20、试说明1T 空间X 的任何一个子集的导集都是闭集.21、试说明紧致空间X 的无穷子集必有凝聚点.22、如果X Y ⨯是紧致空间,则X 是紧致空间.23、如果X Y ⨯是紧致空间,则Y 是紧致空间.24、试说明紧致空间X 的每一个闭子集Y 都是紧致子集.六、证明题(每题8分)1、设:f X Y →是从连通空间X 到拓扑空间Y 的一个连续映射.则()f X 是Y 的一个连通子集.2、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的开集使得B A Y ⋃⊂,则或者A Y ⊂,或者B Y ⊂.3、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的闭集使得B A Y ⋃⊂,则或者A Y ⊂,或者B Y ⊂.4、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集,Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂,则Z 也是X 的一个连通子集.5、设{}Y γγ∈Γ是拓扑空间X 的连通子集构成的一个子集族.如果Y γγφ∈Γ≠,则Y γγ∈Γ是X 的一个连通子集.6、设A 是拓扑空间X 的一个连通子集,B 是X 的一个既开又闭的集合.证明:如果A B φ⋂≠,则A B ⊂.7、设A 是连通空间X 的非空真子集. 证明:A 的边界()A φ∂≠.8、设X 是一个含有不可数多个点的可数补空间.证明X 不满足第一可数性公理.9、设X 是一个含有不可数多个点的有限补空间.证明:X 不满足第一可数性公理.10、设,X Y 是两个拓扑空间,:f X Y →是一个满的连续开映射.X 满足第二可数性公理,证明:Y 也满足第二可数性公理.11、设,X Y 是两个拓扑空间,:f X Y →是一个满的连续开映射.X 满足第一可数性公理,证明:Y 也满足第一可数性公理.12、A 是满足第二可数性公理空间X 的一个不可数集。
《点集拓扑学》第7章-§7.6-局部紧致空间-仿紧致空间
§7.6局部紧致空间,仿紧致空间本节重点:掌握局部紧致空间、仿紧致空间的定义.性质;掌握局部紧致空间、仿紧致空间中各分离性公理空间之间的关系;掌握局部紧致空间、仿紧致空间与紧致空间之间的关系.定义7.6.1 设X是一个拓扑空间,如果X中的每一个点都有一个紧致的邻域,则称拓扑空间X是一个局部紧致空间.由定义立即可见,每一个紧致空间都是局部紧致空间,因为紧致空间本身便是它的每一个点的紧致邻域.n维欧氏空间也是局部紧致空间,因为其中的任何一个球形邻域的闭包都是紧致的.定理7.6.1 每一个局部紧致的空间都是正则空间.证明设X是一个局部紧致的Hausdorff空间,设x∈X,U是x的一个开邻域.令D是x的一个紧致邻域,作为Hausdorff空间X的紧致子集,D是X中的闭集.由推论7.2.4,D作为子空间是一个紧致的Hausdorff空间,所以是一个正则空间.是x在子空间D中的一个开邻域,其中是集合D在拓扑空间X中的内部.从而x在子空间D中有一个开邻域V使得它在子空间D中的闭包包含于W.一方面V是子空间D中的一个开集,并且又包含于W,因此V是子空间W中的一个开集,而W是X中的一个开集,所以V也是X中的开集.另一方面,由于D是X的闭集,所以V在D中的闭包便是V在X中的闭包因此点x 在X中的开邻域V使得.因此X是一个正则空间.定理7.6.2 设X是一个局部紧致的正则空间,x∈X,则点x的所有紧致邻域构成的集族是拓扑空间X在点x处的一个邻域基.证明设U是x∈X的一个开邻域.令D为x的一个紧致邻域,则是x的一个开邻域.因为X是正则空间,所以存在x的开邻域V使得.闭集是x的一个闭邻域,并且作为紧致空间D中的闭子集,它是紧致的.以上证明了在x的任何开邻域U中包含着某一个紧致邻域.从前面两个定理立即可以推出:推论7.6.3 设X是一个局部紧致的Hausdorff空间,x∈X.则点x的所有紧致邻域构成的集族是拓扑空间X在点x处的一个邻域基.定理7.6.4 每一个局部紧致的正则空间都是完全正则空间.证明设X是一个局部紧致的正则空间.我们验证X是一个完全正则空间如下:设x∈X和B是X中的一个闭集,使得是x的一个开邻域.由定理7.6.2,存在x的一个紧致闭邻域V,使得.V作为X的一个子空间是紧致的正则空间(正则是可遗传的),因此是完全正则的.因而存在连续映射g:V→[0,1],使得g(x)=0,和对于任何有g(y)=1.定义映射h:使得.显然h是一个连续映射定义映射f:X→[0,1],使得对于任何z∈X首先,映射f的定义是确切的,因为如果,则有g(z)=1=h(z).其次,都是X中的闭集,从而根据黏结引理,f是连续的.最后,显然有f(x)=0及对于根据定理7.6.1,定理7.6.4及图表6.1,立即可得图表7.4定义7.6.2 设集族A和B都是集合X的覆盖,如果A中的每一个元素包含于B中的某一个元素之中,则称A是B的一个加细.显然,如果A是B的一个子覆盖,则A是B的一个加细定义7.6.3 设X是一个拓扑空间,A是X的子集A的一个覆盖.如果对于每一个x∈A,点x有一个邻域U仅与A中有限个元素有非空的交,即:{A∈A|A∩U≠}是一个有限集,则称A是集合A的一个局部有限覆盖.有限覆盖当然是局部有限覆盖.定义7.6.4 设X是一个拓扑空间,如果X的每一个开覆盖都有一个局部有限的开覆盖是它的加细,则称X是一个仿紧致空间.紧致空间自然是仿紧致的.离散空间也是仿紧致的,因为所有单点集构成的集族是离散空间的一个开覆盖并且是它的任何一个开覆盖的局部有限的加细.定理7.6.5 每一个仿紧致的正则空间都是正规空间.证明:设X是一个仿紧致的正则空间,A是X中的一个闭集,U是A的一个开邻域.对于每一个a∈A,点a有一个开邻域,使得.从而集族是X 的一个开覆盖,它有一个局部有限的加细,设为,令.则是A的一个局部有限的开覆盖.于是是A的一个开邻域.以下证明.如果,由于是局部有限的,所以x有一个邻域W只与中有限个元素有非空的交,于是这证明了定理7.6.6 每一个仿紧致的Hausdorff空间都是正则空间,因而也是正规空间.证明:设X是一个仿紧致的Hausdorff空间,兹验证X是一个正则空间如下:设x∈X,B是X中的一个不包含点x的闭集,对于每一个b∈B,存在x的一个开邻域和b的一个开邻域,使得.特别,.集族是X的一个开覆盖,它有一个局部有限的加细,设为.令.集族是B的一个局部有限的开覆盖.令.V是闭集B的一个开邻域.我们有.(x有一个邻域W只与中有限个元素有非空的交,因此W也只与中有限个元素,设为有非空的交.如果则因此存在某一个.然而易见于是得到矛盾).因此是x的一个开邻域.此外显然根据定理7.6.5,定理7.6.6及图表6.1我们有图表7.5:引理7.6.7 设X是一个满足第二可数性公理的局部紧致的Hausdorff空间.则X 有一个开覆盖满足条件:对于每一个,闭包是一个包含于的紧致子集.证明(略)定理7.6.8 每一个满足第二可数性公理的局部紧致的Hausdorff空间都是仿紧致空间.证明(略)推论:是一个仿紧致空间.根据定理7.6.8,可得图表7.6作业:P212 1.2.。
点集拓扑学试题(含答案)
三.判断(每题4分,判断1分,理由3分)1、.从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( ) 答案:√理由:设X 是离散空间,Y 是拓扑空间,:f X Y →是连续映射,因为对任意A Y ⊂,都有1)f A X -⊂(,由于X 中的任何一个子集都是开集,从而1()f A -是X 中的开集,所以:f X Y →是连续的.2、设12, T T 是集合X 的两个拓扑,则12 T T ⋂不一定是集合X 的拓扑( )答案:× 理由:因为(1)12, T T 是X 的拓扑,故∈φ,X T 1,∈φ,X T 2,从而∈φ,X 12 T T ⋂; (2)对任意的∈B A ,T 1⋂T 2,则有∈B A ,T 1且∈B A ,T 2,由于T 1, T 2是X 的拓扑,故∈⋂B A T 1且∈⋂B A T 2,从而∈⋂B A T 1⋂T 2;(3)对任意的21T T T ⋂⊂',则21,T T T T ⊂'⊂',由于T 1, T 2是X 的拓扑,从而 U ∈T ’U ∈T 1, U ∈T ’U ∈T 2,故 U ∈T ’U ∈ T 1⋂T 2;综上有T 1⋂T 2也是X 的拓扑.3、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射( )答案:√理由:设:f X Y →是任一满足条件的映射,由于Y 是平庸空间,它中的开集只有,Y φ,易知它们在f 下的原象分别是,X φ,均为X 中的开集,从而:f X Y →连续.4、设A 为离散拓扑空间X 的任意子集,则()d A φ= ( )答案:√理由:设p 为X 中的任何一点,因为离散空间中每个子集都是开集,所以{}p 是X 的开子集,且有{}{}()p A p φ-=,即()p d A ∉,从而 ()d A φ=.5、设A 为平庸空间X (X 多于一点)的一个单点集,则()d A φ= ( )答案:× 理由:设{}A y =,则对于任意,x X x y ∈≠,x 有唯一的一个邻域X ,且有()y X A x ∈⋂-,从而()X A x φ⋂-≠,因此x 是A 的一个凝聚点,但对于y 的唯一的邻域X ,有()X A y φ⋂-=,所以有()d A X A φ=-≠.6、设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集,则()d A X = ( )答案:√ 理由:对于任意,x X ∈因为A 包含多于一点,从而对于x 的唯一的邻域X ,且有()X A x φ⋂-≠,因此x 是A 的一个凝聚点,即()x d A ∈,所以有()d A X =.7、设X 是一个不连通空间,则X 中存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=( )答案:√理由:设X 是一个不连通空间,设,A B 是X 的两个非空的隔离子集使得A B X ⋃=,显然A B φ=,并且这时有:()()B B X B A B B B =⋂=⋂⋃⋂=从而B 是X 的一个闭子集,同理可证A 是X 的一个闭子集,这就证明了,A B 满足,A B A B X φ⋂=⋃=.8、若拓扑空间X 中存在一个既开又闭的非空真子集,则X 是一个不连通空间( )√ 理由:这是因为若设A 是X 中的一个既开又闭的非空真子集,令B A '=,则,A B 都是X 中的非空闭子集,它们满足A B X ⋃=,易见,A B 是隔离子集,所以拓扑空间X 是一个不连通空.五.简答题(每题4分)1、设X 是一个拓扑空间,,A B 是X 的子集,且A B ⊂.试说明()()d A d B ⊂.答案:对于任意()x d A ∈,设U 是x 的任何一个邻域,则有({})U A x φ⋂-≠,由于A B ⊂,从而({})({})U B x U A x φ⋂-⊃⋂-≠,因此()x d B ∈,故()()d A d B ⊂.2、设,,X Y Z 都是拓扑空间.:f X Y →, :g Y Z →都是连续映射,试说明:g f X Z →也是连续映射.答案:设W 是Z 的任意一个开集,由于:g Y Z →是一个连续映射,从而1()g W -是Y 的一个开集,由:f X Y →是连续映射,故11(())f g W --是X 的一开集,因此 111()()(())g f W f g W ---=是X 的开集,所以:g f X Z →是连续映射.3、设X 是一个拓扑空间,A X ⊂.试说明:若A 是一个闭集,则A 的补集A '是一个开集. 答案:对于x A '∀∈,则x A ∉,由于A 是一个闭集,从而x 有一个邻域U 使得({})U A x φ⋂-=,因此U A φ⋂=,即U A '⊂,所以对任何x A '∈,A '是x 的一个邻域,这说明A '是一个开集.4、设X 是一个拓扑空间,A X ⊂.试说明:若A 的补集A '是一个开集,则A 是一个闭集.答案:设x A ∉,则x A '∈,由于A '是一个开集,所以A '是x 的一个邻域,且满足A A φ'⋂=,因此x A ∉,从而A A ⊃,即有A A =,这说明A 是一个闭集.Authorware一、判断题1、Authorware中设计窗口描述2、移动图标制作动画3、擦出图标的内容4、几何画板中的动画5、关于交互结构的描述6、显示图标的工具面板的描述7、8、显示图标层的描述9、10、显示图标的描述11、关于标志旗的描述12、系统变量的描述(计算图标)13、声音图标的描述14、显示图标中的对象排列二、单项选择1、定义的简称(缩写)2、移动图标的使用3、图标功能的描述4、5.、10、图标的操作(创建,编辑)6、交互结构,交互分支7、文本输入交互8、几何画板常见菜单9、计算图标的使用11、群组图标的操作12、显示模式(模式工具)13、图标操作14、显示图标操作15、交互16、交互17、显示图标中工具箱的操作18、图标的操作三、多项原则移动图标、交互四、填空题1、图标的名称(7-8)2、几何画板(几何变换)(移动,旋转)3、显示图标工具箱中的名称4、移动图标5中类型5、计算图标中运算符的使用五、简答题1、关于移动2、交互结构3、集合画板4、编程一、判断题1、如果为视频文件额外配置声音,那么须用声音图标和电影图标。
点集拓扑学考试题及答案
点集拓扑学考试题及答案一、选择题(每题4分,共20分)1. 点集拓扑学中,以下哪个概念不是拓扑空间的基本元素?A. 开集B. 闭集C. 连续函数D. 集合答案:D2. 在拓扑空间中,若集合A的补集是开集,则称集合A为闭集。
以下哪个选项不是闭集的特征?A. 包含其所有极限点B. 其内部不一定为空C. 包含其边界点D. 其补集是开集答案:B3. 拓扑空间中的紧性是指什么?A. 每个开覆盖都有有限子覆盖B. 每个闭集都是紧致的C. 每个序列都有收敛子序列D. 每个开集都是连通的答案:A4. 在拓扑空间中,若对于任意两个不同的点x和y,都存在不相交的开集U和V,使得x∈U且y∈V,则称该空间为豪斯多夫空间。
以下哪个选项不是豪斯多夫空间的特征?A. 每个单点集都是闭集B. 任意两个不同的点都可被不相交的开集分开C. 任意两个不同的点都可被不相交的闭集分开D. 任意两个不同的点都可被不相交的邻域分开答案:C5. 拓扑空间中的连通性是指什么?A. 不存在非空的不相交开集的并集B. 空间中任意两点间都存在连续路径C. 空间中任意两点间都存在不相交的开集D. 空间中任意两点间都存在不相交的闭集答案:A二、填空题(每题3分,共15分)1. 拓扑空间中,若对于任意的开集U和V,它们的交集U∩V也是开集,则称该空间具有_________性质。
答案:交换2. 拓扑空间中的连续映射是指,对于任意的开集V,其原像f^(-1)(V)也是开集。
这种映射也被称为_________映射。
答案:同胚3. 在拓扑空间中,若存在一个点x,使得对于任意的开集U包含x,U中都包含不同于x的点,则称该空间为_________空间。
答案:Hausdorff4. 拓扑空间中的紧性等价于每个开覆盖都有_________子覆盖。
答案:有限5. 在拓扑空间中,若对于任意的开集U和V,它们的并集U∪V也是开集,则称该空间具有_________性质。
答案:结合三、简答题(每题10分,共30分)1. 简述拓扑空间中开集和闭集的定义。
点集拓扑学期末考试练习题(含答案)
点集拓扑学期末考试一、单项选择题(每题1分)1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T ② {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T③ {,,{},{,}}X a a b φ=T ④ {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T 答案:③2、设{,,}X a b c =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{}}X a a b c φ=T ② {,,{},{,},{,}}X a a b a c φ=T③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T答案:② 3、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c d φ=T ② {,,{,,},{,,}}X a b c a b d φ=T③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{}}X a b φ=T答案:① 4、设{,,}X a b c =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{},{},{,}}X b c a b φ=T ② {,,{},{},{,},{,}}X a b a b a c φ=T③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T答案:② 5、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ② {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{},{,}}X a c a c φ=T答案:④ 6、设{,,}X a b c =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{},{},{,}}X a b b c φ=T ② {,,{,},{,}}X a b b c φ=T③ {,,{},{,}}X a a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T答案:③ 7、已知{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则}{b =( )①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d答案:④8、 已知{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{,,}b c d =( )①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d 答案:④9、 已知{,}X a b =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =( )①φ ② X ③ {}a ④ {}b 答案:②10、已知{,}X a b =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}b =( )①φ ② X ③ {}a ④ {}b 答案:④11、已知{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =( )①φ ② X ③ {,}a b ④ {,,}b c d 答案:②12、已知{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}c =( )①φ ② X ③ {,}a c ④ {,,}b c d 答案:④13、设{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{},{,,}}X a b c d φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集个数( ) ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案:②14、设{,,}X a b c =,拓扑{,,{},{,}}X a b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为( ) ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案:②15、设{,,}X a b c =,拓扑{,,{},{,}}X b b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为( ) ① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 答案:①16、设{,}X a b =,拓扑{,,{}}X b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为( )① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 答案:③17、设{,}X a b =,拓扑{,,{},{}}X a b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为( ) ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案:④18、设{,,}X a b c =,拓扑{,,{},{},{,},{,}}X a b a b b c φ=T ,X 的既开又闭的非空真子集个数( ) ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案:②19、在实数空间中,有理数集Q 的内部Q 是( )① φ ② Q ③ R -Q ④ R 答案:①20、在实数空间中,有理数集Q 的边界()Q ∂是( )① φ ② Q ③ R -Q ④ R 答案:④21、在实数空间中,整数集Z 的内部Z 是( )① φ ② Z ③ R -Z ④ R 答案:①22、在实数空间中,整数集Z 的边界()Z ∂是( )① φ ② Z ③ R -Z ④ R 答案:②23、在实数空间中,区间[0,1)的边界是( )① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1) 答案:③24、在实数空间中,区间[2,3)的边界是( )① φ ② [2,3] ③ {2,3} ④ (2,3) 答案:③25、在实数空间中,区间[0,1)的内部是( )① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1) 答案:④26、设X 是一个拓扑空间,A ,B 是X 的子集,则下列关系中错误的是( )① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B ⋃=⋃③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A = 答案: ③27、设X 是一个拓扑空间,A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是( )① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B -=-③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A = 答案: ①28、设X 是一个拓扑空间,A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是( )① ()d A B A B ⋃=⋃ ② A B A B -=-③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ (())()d d A A d A ⊂⋃ 答案: ④29、已知X 是一个离散拓扑空间,A 是X 的子集,则下列结论中正确的是() ① ()d A φ= ② ()d A X A =-③ ()d A A = ④ ()d A X = 答案:①30、已知X 是一个平庸拓扑空间,A 是X 的子集,则下列结论中不正确的是()① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X A =-③ 若A={12,x x },则()d A X = ④ 若A X ≠, 则()d A X ≠ 答案:④31、已知X 是一个平庸拓扑空间,A 是X 的子集,则下列结论中正确的是( )① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X =③ 若A={12,x x },则()d A X A =- ④ 若12{,}A x x =,则()d A A = 答案:①32、设{,,,}X a b c d =,令{{,,},{},{}}a b c c d =B ,则由B 产生的X 上的拓扑是( ) ① { X ,φ,{c },{d },{c ,d },{a ,b ,c }} ② {X ,φ,{c },{d },{c ,d }}③ { X ,φ,{c },{a ,b ,c }} ④ { X ,φ,{d },{b ,c },{b ,d },{b ,c ,d }} 答案:①33、设X 是至少含有两个元素的集合,p X ∈,{|}{}G X p G φ=⊂∈⋃T 是X 的拓扑,则( )是T 的基.① {{,}|{}}B p x x X p =∈- ② {{}|}B x x X =∈③ {{,}|}B p x x X =∈ ④ {{}|{}}B x x X p =∈- 答案:③34、 设{,,}X a b c =,则下列X 的拓扑中( )以{,,{}}S X a φ=为子基.① { X , φ,{a },{a ,c }} ② {X , φ,{a }}③ { X , φ,{a },{b },{a ,b }} ④ {X ,φ }答案:②35、离散空间的任一子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案:③36、平庸空间的任一非空真子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案:④37、实数空间R 中的任一单点集是 ( )① 开集 ② 闭集 ③ 既开又闭 ④ 非开非闭 答案:②38、实数空间R 的子集A ={1,21,31 ,41,……},则A =( )①φ ② R ③ A ∪{0} ④ A 答案:③39、在实数空间R 中,下列集合是闭集的是( )① 整数集 ② [)b a , ③ 有理数集 ④ 无理数集 答案:①40、在实数空间R 中,下列集合是开集的是( )① 整数集Z ② 有理数集③ 无理数集 ④ 整数集Z 的补集Z '答案:④41、已知{1,2,3}X =上的拓扑{,,{1}}T X φ=,则点1的邻域个数是( )① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案:④42、已知{,}X a b =,则X 上的所有可能的拓扑有( )① 1个 ② 2个 ③ 3个 ④ 4个 答案:④43、已知X ={a ,b ,c },则X 上的含有4个元素的拓扑有( )个① 3 ② 5 ③ 7 ④ 9 答案:④44、设(,)T X 为拓扑空间,则下列叙述正确的为 ( )①T , T X φ∈∉ ② T ,T X φ∉∈③当T T '⊂时,T T U U '∈∈ ④ 当T T '⊂时,T T U U '∈∈ 答案:③45、在实数下限拓扑空间R 中,区间[,)a b 是( )① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭 答案:③46、设X 是一个拓扑空间,,A B X ⊂,且满足()d A B A ⊂⊂,则B 是( )① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭 答案:②47、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{1,2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{2},{1,2}}φ=T ② {,,{1},{2},{1,2}}T X φ=③ {,,{1},{2}}T A φ= ④ {,,{1},{2}}T X φ= 答案:③48、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{1,3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{1},{3},{1,3}}T φ= ② {,,{1}}T A φ=③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ= 答案:②49、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{2,3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{3},{2,3}}φ=T ② {,,{2},{3}}T A φ=③ {,,{2},{3},{2,3}}T X φ= ④ {,,{3}}T X φ= 答案:②50、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{1}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{1}}T φ= ② {,,{1,2}}T A φ=③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ= 答案:①51、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,}T A φ=③ {,,{2}}T X φ= ④ {,,{1,2}}T X φ= 答案:②52、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,{},{1,3}}T X φ=③ {,,{3}}T X φ= ④ {,{3}}T φ= 答案:④53、设R 是实数空间,Z 是整数集,则R 的子空间Z 的拓扑为( )① {,}T Z φ= ② ()T P Z = ③ T Z = ④ {}T Z = 答案:②54、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.1P 是X 到1X 的投射,则1P 是( )① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案:④55、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.2P 是X 到2X 的投射,则2P 是( ) ① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案:④56、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.3P 是X 到3X 的投射,则3P 是( )① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案:④57、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.4P 是X 到4X 的投射,则4P 是( ) ① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案:④58、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.5P 是X 到5X 的投射,则5P 是( )① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案:④59、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.6P 是X 到6X 的投射,则6P 是( )① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案:④60、设1X 和2X 是两个拓扑空间,12X X ⨯是它们的积空间,1A X ⊂,2B X ⊂,则有( ) ① A B A B ⨯≠⨯ ② A B A B ⨯=⨯ ③()A B A B ⨯≠⨯ ④ ()()()A B A B ∂⨯=∂⨯∂答案:②61、有理数集Q 是实数空间R 的一个( )① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对 答案:①62、整数集Z 是实数空间R 的一个( )① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对答案:①63、无理数集是实数空间R 的一个( )① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对答案:①64、设Y 为拓扑空间X 的连通子集,Z 为X 的子集,若Y Z Y ⊂⊂, 则Z 为( )①不连通子集 ② 连通子集 ③ 闭集 ④ 开集答案:②65、设12,X X 是平庸空间,则积空间12X X ⨯是( )① 离散空间 ② 不一定是平庸空间③ 平庸空间 ④ 不连通空间答案:③66、设12,X X 是离散空间,则积空间12X X ⨯是( )① 离散空间 ② 不一定是离散空间③ 平庸空间 ④ 连通空间答案:①67、设12,X X 是连通空间,则积空间12X X ⨯是( )① 离散空间 ② 不一定是连通空间③ 平庸空间 ④ 连通空间答案:④68、实数空间R 中的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③区间 ④ 以上都不对答案:④69、实数空间R 中的不少于两点的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③ 区间 ④ 以上都不对答案:③70、实数空间R 中的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③ 区间 ④ 区间或一点答案:④71、下列叙述中正确的个数为( )(Ⅰ)单位圆周1S 是连通的; (Ⅱ){0}R -是连通的(Ⅲ)2{(0,0)}R -是连通的 (Ⅳ)2R 和R 同胚① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4答案:②二、填空题(每题1分)1、设{,}X a b =,则X 的平庸拓扑为 ;答案:{,}T X φ=2、设{,}X a b =,则X 的离散拓扑为 ;答案:{,,{},{}}T X a b φ= 3、同胚的拓扑空间所共有的性质叫 ; 答案:拓扑不变性质4、在实数空间R 中,有理数集Q 的导集是___________. 答案: R5、)(A d x ∈当且仅当对于x 的每一邻域U 有 答案: ({})U A x φ⋂-≠6、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集,则()d A = ;答案:X7、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集,则A = ;答案:X8、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集,则()d A = ;答案:X9、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集,则A = ;答案:X10、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为 ;答案:{2}11、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的内部为 ;答案:{1}12、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为 答案:{1}13、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的内部为 ;答案:φ14、设{,,}X a b c =,则X 的平庸拓扑为 ;答案:{,}T X φ=15、设{,,}X a b c =,则X 的离散拓扑为 答案:{,,{},{},{},{,},{,},{,}}T X a b c a b a c b c φ=16、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{3},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的内部为 ;答案:{3}17、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{3},{1,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为 ;答案:{1}18、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射,若它是一个单射,并且是从X 到它的象集()f X 的一个同胚,则称映射f 是一个 .答案:嵌入19、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射,如果它是一个满射,并且Y 的拓扑是对于映射f 而言的商拓扑,则称f 是一个 ;答案:商映射20、设,X Y 是两个拓扑空间,:f X Y →是一个映射,若X 中任何一个开集U 的象集()f U 是Y 中的一个开集,则称映射f 是一个 答案:开映射21、设,X Y 是两个拓扑空间,:f X Y →是一个映射,若X 中任何一个闭集U 的象集()f U 是Y 中的一个闭集,则称映射f 是一个 答案:闭映射22、若拓扑空间X 存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 是一个 ;答案:不连通空间23、若拓扑空间X 存在两个非空的开子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 是一个 ;答案:不连通空间24、若拓扑空间X 存在着一个既开又闭的非空真子集,则X 是一个 答案:不连通空间25、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集,Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂,则Z 也是X 的一个 ; 答案:连通子集26、拓扑空间的某种性质,如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有,则称这个性质是一个 ;答案:在连续映射下保持不变的性质27、拓扑空间的某种性质,如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有,则称这个性质是一个 ;答案:可商性质28、若任意1n ≥个拓扑空间12,,,n X X X ,都具有性质P ,则积空间12n X X X ⨯⨯⨯也具有性质P ,则性质P 称为 ;答案:有限可积性质29、设X 是一个拓扑空间,如果X 中有两个非空的隔离子集,A B ,使得A B X ⋃=,则称X 是一个 ;答案:不连通空间.三.判断(每题4分,判断1分,理由3分)1、.从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( ) 答案:√理由:设X 是离散空间,Y 是拓扑空间,:f X Y →是连续映射,因为对任意A Y ⊂,都有1)f A X -⊂(,由于X 中的任何一个子集都是开集,从而1()f A -是X 中的开集,所以:f X Y →是连续的.2、设12, T T 是集合X 的两个拓扑,则12 T T ⋂不一定是集合X 的拓扑( )答案:× 理由:因为(1)12, T T 是X 的拓扑,故∈φ,X T 1,∈φ,X T 2,从而∈φ,X 12 T T ⋂; (2)对任意的∈B A ,T 1⋂T 2,则有∈B A ,T 1且∈B A ,T 2,由于T 1, T 2是X 的拓扑,故∈⋂B A T 1且∈⋂B A T 2,从而∈⋂B A T 1⋂T 2;(3)对任意的21T T T ⋂⊂',则21,T T T T ⊂'⊂',由于T 1, T 2是X 的拓扑,从而 U ∈T ’U ∈T 1, U ∈T ’U ∈T 2,故 U ∈T ’U ∈ T 1⋂T 2;综上有T 1⋂T 2也是X 的拓扑.3、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射( )答案:√ 理由:设:f X Y →是任一满足条件的映射,由于Y 是平庸空间,它中的开集只有,Y φ,易知它们在f 下的原象分别是,X φ,均为X 中的开集,从而:f X Y →连续.4、设A 为离散拓扑空间X 的任意子集,则()d A φ= ( )答案:√ 理由:设p 为X 中的任何一点,因为离散空间中每个子集都是开集, 所以{}p 是X 的开子集,且有{}{}()p A p φ-=,即()p d A ∉,从而 ()d A φ=.5、设A 为平庸空间X (X 多于一点)的一个单点集,则()d A φ= ( )答案:× 理由:设{}A y =,则对于任意,x X x y ∈≠,x 有唯一的一个邻域X ,且有()y X A x ∈⋂-,从而()X A x φ⋂-≠,因此x 是A 的一个凝聚点,但对于y 的唯一的邻域X ,有()X A y φ⋂-=,所以有()d A X A φ=-≠.6、设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集,则()d A X = ( )答案:√ 理由:对于任意,x X ∈因为A 包含多于一点,从而对于x 的唯一的邻域X ,且有()X A x φ⋂-≠,因此x 是A 的一个凝聚点,即()x d A ∈,所以有()d A X =.7、设X 是一个不连通空间,则X 中存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=( )答案:√理由:设X 是一个不连通空间,设,A B 是X 的两个非空的隔离子集使得A B X ⋃=,显然A B φ=,并且这时有:()()B B X B A B B B =⋂=⋂⋃⋂=从而B 是X 的一个闭子集,同理可证A 是X 的一个闭子集,这就证明了,A B 满足,A B A B X φ⋂=⋃=.8、若拓扑空间X 中存在一个既开又闭的非空真子集,则X 是一个不连通空间( )√ 理由:这是因为若设A 是X 中的一个既开又闭的非空真子集,令B A '=,则,A B 都是X 中的非空闭子集,它们满足A B X ⋃=,易见,A B 是隔离子集,所以拓扑空间X 是一个不连通空.五.简答题(每题4分)1、设X 是一个拓扑空间,,A B 是X 的子集,且A B ⊂.试说明()()d A d B ⊂. 答案:对于任意()x d A ∈,设U 是x 的任何一个邻域,则有({})U A x φ⋂-≠,由于A B ⊂,从而({})({})U B x U A x φ⋂-⊃⋂-≠,因此()x d B ∈,故()()d A d B ⊂.2、设,,X Y Z 都是拓扑空间.:f X Y →, :g Y Z →都是连续映射,试说明:g f X Z →也是连续映射.答案:设W 是Z 的任意一个开集,由于:g Y Z →是一个连续映射,从而1()g W -是Y 的一个开集,由:f X Y →是连续映射,故11(())f g W --是X 的一开集,因此 111()()(())g f W f g W ---=是X 的开集,所以:g f X Z →是连续映射.3、设X 是一个拓扑空间,A X ⊂.试说明:若A 是一个闭集,则A 的补集A '是一个开集. 答案:对于x A '∀∈,则x A ∉,由于A 是一个闭集,从而x 有一个邻域U 使得({})U A x φ⋂-=,因此U A φ⋂=,即U A '⊂,所以对任何x A '∈,A '是x 的一个邻域,这说明A '是一个开集.4、设X 是一个拓扑空间,A X ⊂.试说明:若A 的补集A '是一个开集,则A 是一个闭集. 答案:设x A ∉,则x A '∈,由于A '是一个开集,所以A '是x 的一个邻域,且满足A A φ'⋂=,因此x A ∉,从而A A ⊃,即有A A =,这说明A 是一个闭集.5、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集]}2[],1[],0{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T .答案:]}}1[],0{[]},0{[,,{Y φ= T6、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集]}3[],2[],1{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T . 答案:{,,{[3]},{[2],[3]}}T Y φ=7、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[1],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T . 答案:{,,{[1]},{[1],[1]}}T Y φ=--8、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[2],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T . 答案:{,,{[2]},{[2],[1]}}T Y φ=--9、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[3]}Y =,试写出Y 的商拓扑T . 答案:{,,{[3]},{[2],[3]}}T Y φ=10、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[4]}Y =,试写出Y 的商拓扑T . 答案:{,,{[4]},{[2],[4]}}T Y φ=11、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[1],[2],[4]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T . 答案:{,,{[4]},{[2],[4]}}T Y φ=六、证明题(每题8分)1、设:f X Y →是从连通空间X 到拓扑空间Y 的一个连续映射.则()f X 是Y 的一个连通子集. 证明:如果()f X 是Y 的一个不连通子集,则存在Y 的非空隔离子集,A B 使得()f X A B =⋃ …………………………………………… 3分于是11(),()f A f B --是X 的非空子集,并且:111111111(()())(()())(()())(()())(()())f A f B f B f A f A f B f B f A f A B A B φ---------⋂⋃⋂⊂⋂⋃⋂=⋂⋃⋂=所以11(),()f A f B --是X 的非空隔离子集 此外,1111()()()(())f A f B f A B f f X X ----⋃=⋃==,这说明X 不连通,矛盾.从而()f X 是Y 的一个连通子集. ………………………… 8分2、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的开集使得B A Y ⋃⊂,则或者A Y ⊂,或者B Y ⊂.证明:因为B A ,是X 的开集,从而Y B Y A ⋂⋂,是子空间Y 的开集.又因B A Y ⋃⊂中,故)()(Y B Y A Y ⋂⋃⋂= ………………… 4分由于Y 是X 的连通子集,则Y B Y A ⋂⋂,中必有一个是空集. 若Φ=⋂Y B ,则A Y ⊂;若Φ=⋂Y A ,则B Y ⊂………………… 8分3、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的闭集使得B A Y ⋃⊂,则或者A Y ⊂,或者B Y ⊂.证明:因为B A ,是X 的闭集,从而Y B Y A ⋂⋂,是子空间Y 的闭集.又因B A Y ⋃⊂中,故)()(Y B Y A Y ⋂⋃⋂= ………………… 4分由于Y 是X 的连通子集,则Y B Y A ⋂⋂,中必有一个是空集. 若Φ=⋂Y B ,则A Y ⊂;若Φ=⋂Y A ,则B Y ⊂………………… 8分4、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集,Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂,则Z 也是X 的一个连通子集. 证明:若Z 是X 的一个不连通子集,则在X 中有非空的隔离子集,A B 使得Z A B =⋃.因此Y A B ⊂⋃ ………………………………… 3分由于Y 是连通的,所以Y A ⊂或者Y B ⊂,如果Y A ⊂,由于Z Y A ⊂⊂,所以Z B A B φ⋂⊂⋂=,因此 B Z B φ=⋂=,同理可证如果Y B ⊂,则A φ=,均与假设矛盾.故Z 也 是X 的一个连通子集. …………………………………………………………………… 8分5、设{}Y γγ∈Γ是拓扑空间X 的连通子集构成的一个子集族.如果Y γγφ∈Γ≠,则Y γγ∈Γ是X 的一个连通子集.证明:若Y γγ∈Γ是X 的一个不连通子集.则X 有非空的隔离子集,A B 使得Y A B γγ∈Γ=⋃………………………………………… 4分任意选取x Y γγ∈Γ∈,不失一般性,设x A ∈,对于每一个γ∈Γ,由于Y γ连通,从而Y Aγγ∈Γ⊂及B φ=,矛盾,所以Y γγ∈Γ是连通的. ………………………………………… 8分6、设A 是拓扑空间X 的一个连通子集,B 是X 的一个既开又闭的集合.证明:如果A B φ⋂≠,则A B ⊂.证明:若B X =,则结论显然成立.下设B X ≠,由于B 是X 的一个既开又闭的集合,从而A B ⋂是X 的子空间A 的一个既开又闭的子集………………………………… 4分由于A B φ⋂≠及A 连通,所以A B A ⋂=,故A B ⊂.………… 8分7、设A 是连通空间X 的非空真子集. 证明:A 的边界()A φ∂≠.证明:若()A φ∂=,由于()A A A --'∂=⋂,从而()()()()A A A A A A A A A A φ------'''''=⋂=⋂⋂⋃=⋂⋃⋂,故, A A '是X 的隔离子集 ………………………………………… 4分 因为A 是X 的非空真子集,所以A 和A '均非空,于是X 不连通,与题设矛盾.所以()A φ∂≠. ……………………………………………… 8分。
点集拓扑讲义熊金城部分习题参考答案
点集拓扑讲义部分答案P73 第2.1节3.设(),X ρ是一个 的度量空间,证明: (1) X 的每一个子集都是开集;(2) 如果Y 也是一个度量空间,则任何映射:f X Y →都是连续的. 证 (1) 对任意的A X ⊂和任意顶的x A ∈,取14ε=,则(){},B x x A ε=⊂,所以A 是开集.(2) 设:f X Y →为任一映射,U ∈T Y,由(1)知,()1f U -∈TX,所以,f 是连续映射.6.从殴氏平面2到实数空间的映射2,:m s →定义为对任何()12,x x x =,(){}()1212max ,,m x x x s x x x ==+证明m 和s 都是连续函数。
(提示:分别用2的度量1ρ和2ρ(参见第5题).)证 先证m 是连续映射.设()212,x x x =∈是任意一点,对任意的0ε>,对任意()212,y y y =∈,因为(){}{}{}()()111221212,max ,max ,max ,x y x y x y x x y y m x m y ρ=--≥-=-(其中1ρ是习题5中定义的2的度量),故()()()(),,m B x B m x εε⊂,即m 在2x ∈对于2的度量1ρ而言是连续的,由于2x ∈是任意的,从而对于2的度量1ρ而言连续.由习题5的结论知,m 对于2的度量ρ而言是连续的.下面再证s 是连续映射.设()212,x x x =∈是任意一点,对任意的0ε>,对任意()212,y y y =∈,因为()()()()()211221212,x y x y x y x x y y s x s y ρ=-+-≥+-+=-(其中2ρ是习题5中定义的2的度量),故()()()(),,s B x B s x εε⊂,即s 在2x ∈对于2的度量2ρ而言是连续的,由于2x ∈是任意的,从而对于2的度量2ρ而言连续.由习题5的结论知,s 对于2的度量ρ而言是连续的.P73 第2.2节2. 对于每一个n +∈,令{}n A m m n +=∈≥,(1) 证明P ={}{}n A n +∈⋃∅是正整数集+的一个拓扑;(2) 写出1+∈的所有开邻域.(1) 证 显然1,A +∅=∈P .又n A ∅⋂=∅∈P ,1,2,n =.任意,n m A A ∈P ,{}max ,n m m n A A A ⋂=∈P ,对任意的P 1⊂P ,{}11min :n n n n A TB A TB A A ∈∈=∈P ,因此P 为+的拓扑.(2) 1+∈的唯一开邻域为1A +=.7. 设P 1和P 2是集合X 的两个拓扑,证明P1⋂P 2也是X 的一个拓扑.举例说明P1⋃P 2可以不是X 的拓扑.证 若P 1和P2都是X 的拓扑,,由于,X ∅∈P 1,P2,所以,X ∅∈P1⋂P 2;任意,A B ∈P 1,P 2,则A B ⋂∈P 1,P2,所以A B ⋂∈P1⋂P 2;对任意的P '⊂P 1⋂P2,即P '⊂P1,P2,则'A T A ∈∈P 1,P2,所以'A T A ∈∈P 1⋂P 2. 因此P 1⋂P 2是X 的拓扑.例,设{},,X a b c =, P {}{}{}{}1,,,,,,a b c a b c =∅, P{}{}{}{}2,,,,,,b a c a b c =∅,显然, P1,P2都是X 的拓扑,P1⋃P2{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,a b b c a c a b c =∅,因{}{},a b ∈P 1⋃P2,{}{}{},a b a b =⋃∉P1⋃P 2,因此P 1⋃P 2不是X 的拓扑.10. 证明:(1) 从拓扑空间到平庸空间的任何映射都是连续的; (2) 从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续的. 证 (1) 设(X ,P 1)是任意拓扑空间,( ,Y P 2)是平庸拓扑空间,:f X Y →,对任意的U ∈P2,,U Y =或∅,所以()1,fU X -=或∅,它们都属于P 1,所以f 连续.(2) 设(X ,P 1)是离散拓扑空间,( ,Y P2)是任意拓扑空间,:f X Y →,对任意的U ∈P 2 ,(){}()11x f U f U x --∈=∈P1,所以f 连续.(因为离散拓扑空间的单点集是开集).P73 第2.4节2. 设X 是一个拓扑空间,,A B X ⊂,证明:(1) x X ∈是集合A 的凝聚点当且仅当x 是集合{}A x -的凝聚点; (2) 如果()d A B A ⊂⊂,则B 是一个闭集.证 (1) 若x X ∈是集合A 的凝聚点, 当且仅当对任意的U ∈Ux,有{}()U A x ⋂-≠∅,由{}{}(){}A x A x x -=--,从而{}(){}{}U A x x ⋂--≠∅,即x 是集合{}A x -的凝聚点.(2) 因为()d A B A ⊂⊂,所以()()d B d A B ⊂⊂,即()d B B ⊂,故B 为闭集. 3. 证明:闭包运算定义中的Kuratovski 公理等价于条件:对任何,A B X ⊂,()()()()()*****A c A c c B c A B c ⋃⋃=⋃-∅.证 “必要性”若Kuratovski 公理成立,则对任意,A B X ⊂,()()()()()()()()********A c A c c B c A c B c A B c A B c ⋃=⋃=⋃=⋃-∅;“充分性”若对任意,A B X ⊂,有()()()()()*****A c A c c B c A B c ⋃⋃=⋃-∅,则令A B ==∅,有()()()()()()******c c c c c c ∅⋃∅⋃∅=∅-∅=∅⇒∅=∅;令A B =,有()()()()()()()()()()**********A c A c c A c A c c A A c A c A c c A ⋃⋃=-∅=⇒⊂⇒⊂,并且()()()***c c A c A ⊂,所以()()()***c c A c A =。
点集拓扑学期末考试练习题(含答案)
点集拓扑学期末考试练习题(含答案)一、单项选择题(每题1分)1、已知{,,,,}X a b c d e =;下列集族中;( )是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T ② {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T③ {,,{},{,}}X a a b φ=T ④ {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T 答案:③2、设{,,}X a b c =;下列集族中;( )是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{}}X a a b c φ=T ② {,,{},{,},{,}}X a a b a c φ=T③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T答案:② 3、已知{,,,}X a b c d =;下列集族中;( )是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c d φ=T ② {,,{,,},{,,}}X a b c a b d φ=T③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{}}X a b φ=T答案:① 4、设{,,}X a b c =;下列集族中;( )是X 上的拓扑.① {,,{},{},{,}}X b c a b φ=T ② {,,{},{},{,},{,}}X a b a b a c φ=T `③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T答案:② 5、已知{,,,}X a b c d =;下列集族中;( )是X 上的拓扑.① {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ② {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{},{,}}X a c a c φ=T答案:④ 6、设{,,}X a b c =;下列集族中;( )是X 上的拓扑.① {,,{},{},{,}}X a b b c φ=T ② {,,{,},{,}}X a b b c φ=T③ {,,{},{,}}X a a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T答案:③ 7、已知{,,,}X a b c d =;拓扑{,,{}}X a φ=T ;则}{b =( )①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d答案:④8、 已知{,,,}X a b c d =;拓扑{,,{}}X a φ=T ;则{,,}b c d =( )①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d 答案:④9、 已知{,}X a b =;拓扑{,,{}}X a φ=T ;则{}a =( )①φ ② X ③ {}a ④ {}b 答案:②10、已知{,}X a b =;拓扑{,,{}}X a φ=T ;则{}b =( )①φ ② X ③ {}a ④ {}b 答案:④11、已知{,,,}X a b c d =;拓扑{,,{}}X a φ=T ;则{}a =( )①φ ② X ③ {,}a b ④ {,,}b c d 答案:②12、已知{,,,}X a b c d =;拓扑{,,{}}X a φ=T ;则{}c =( )①φ ② X ③ {,}a c ④ {,,}b c d 答案:④13、设{,,,}X abcd =;拓扑{,,{},{,,}}X a b c d φ=T ;则X 的既开又闭的非空真子集个数( ) ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案:②14、设{,,}X abc =;拓扑{,,{},{,}}X a b c φ=T ;则X 的既开又闭的非空真子集的个数为( ) ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案:②15、设{,,}X abc =;拓扑{,,{},{,}}X b b c φ=T ;则X 的既开又闭的非空真子集的个数为( ) ① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 答案:①16、设{,}X a b =;拓扑{,,{}}X b φ=T ;则X 的既开又闭的子集的个数为( ) ① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 答案:③17、设{,}X a b =;拓扑{,,{},{}}X a b φ=T ;则X 的既开又闭的子集的个数为( ) ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案:④18、设{,,}X abc =;拓扑{,,{},{},{,},{,}}X a b a b b c φ=T ;X 的既开又闭的非空真子集个数( )① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案:②19、在实数空间中;有理数集Q 的内部Q 是( )① φ ② Q ③ R -Q ④ R 答案:①20、在实数空间中;有理数集Q 的边界()Q ∂是( )① φ ② Q ③ R -Q ④ R 答案:④21、在实数空间中;整数集Z 的内部Z 是( )① φ ② Z ③ R -Z ④ R 答案:①22、在实数空间中;整数集Z 的边界()Z ∂是( )① φ ② Z ③ R -Z ④ R 答案:②23、在实数空间中;区间[0,1)的边界是( )① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1) 答案:③24、在实数空间中;区间[2,3)的边界是( )① φ ② [2,3] ③ {2,3} ④ (2,3) 答案:③25、在实数空间中;区间[0,1)的内部是( )① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1) 答案:④26、设X 是一个拓扑空间;A ;B 是X 的子集;则下列关系中错误的是( )① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B ⋃=⋃③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A = 答案: ③27、设X 是一个拓扑空间;A ;B 是X 的子集;则下列关系中正确的是( )① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B -=-③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A = 答案: ①28、设X 是一个拓扑空间;A ;B 是X 的子集;则下列关系中正确的是( )① ()d A B A B ⋃=⋃ ② A B A B -=-③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ (())()d d A A d A ⊂⋃ 答案: ④29、已知X 是一个离散拓扑空间;A 是X 的子集;则下列结论中正确的是() ① ()d A φ= ② ()d A X A =-③ ()d A A = ④ ()d A X = 答案:①30、已知X 是一个平庸拓扑空间;A 是X 的子集;则下列结论中不正确的是( )① 若A φ=;则()d A φ= ② 若0{}A x =;则()d A X A =-③ 若A={12,x x };则()d A X = ④ 若A X ≠; 则()d A X ≠ 答案:④31、已知X 是一个平庸拓扑空间;A 是X 的子集;则下列结论中正确的是( ) ① 若A φ=;则()d A φ= ② 若0{}A x =;则()d A X =③ 若A={12,x x };则()d A X A =- ④ 若12{,}A x x =;则()d A A = 答案:①32、设{,,,}X a b c d =;令{{,,},{},{}}a b c c d =B ;则由B 产生的X 上的拓扑是( ) ① { X ;φ;{c };{d };{c ;d };{a ;b ;c }} ② {X ;φ;{c };{d };{c ;d }} ③ { X ;φ;{c };{a ;b ;c }} ④ { X ;φ;{d };{b ;c };{b ;d };{b ;c ;d }} 答案:①33、设X 是至少含有两个元素的集合;p X ∈;{|}{}G X p G φ=⊂∈⋃T 是X 的拓扑;则( )是T 的基.① {{,}|{}}B p x x X p =∈- ② {{}|}B x x X =∈③ {{,}|}B p x x X =∈ ④ {{}|{}}B x x X p =∈- 答案:③34、 设{,,}X a b c =;则下列X 的拓扑中( )以{,,{}}S X a φ=为子基.① { X ; φ;{a };{a ;c }} ② {X ; φ;{a }}③ { X ; φ;{a };{b };{a ;b }} ④ {X ;φ }答案:②35、离散空间的任一子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案:③36、平庸空间的任一非空真子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案:④37、实数空间R 中的任一单点集是 ( )① 开集 ② 闭集 ③ 既开又闭 ④ 非开非闭 答案:②38、实数空间R 的子集A ={1;21;31 ;41;……};则A =( )①φ ② R ③ A ∪{0} ④ A 答案:③39、在实数空间R 中;下列集合是闭集的是( )① 整数集 ② [)b a , ③ 有理数集 ④ 无理数集 答案:①40、在实数空间R 中;下列集合是开集的是( )① 整数集Z ② 有理数集③ 无理数集 ④ 整数集Z 的补集Z '答案:④41、已知{1,2,3}X =上的拓扑{,,{1}}T X φ=;则点1的邻域个数是( )① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案:④42、已知{,}X a b =;则X 上的所有可能的拓扑有( )① 1个 ② 2个 ③ 3个 ④ 4个 答案:④43、已知X ={a ;b ;c };则X 上的含有4个元素的拓扑有( )个① 3 ② 5 ③ 7 ④ 9 答案:④44、设(,)T X 为拓扑空间;则下列叙述正确的为 ( )①T , T X φ∈∉ ② T ,T X φ∉∈③当T T '⊂时;T T U U '∈∈ ④ 当T T '⊂时;T T U U '∈∈ 答案:③45、在实数下限拓扑空间R 中;区间[,)a b 是( )① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭 答案:③46、设X 是一个拓扑空间;,A B X ⊂;且满足()d A B A ⊂⊂;则B 是( )① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭 答案:②47、设{1,2,3}X =;{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑;{1,2}A =;则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{2},{1,2}}φ=T ② {,,{1},{2},{1,2}}T X φ=③ {,,{1},{2}}T A φ= ④ {,,{1},{2}}T X φ= 答案:③48、设{1,2,3}X =;{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑;{1,3}A =;则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{1},{3},{1,3}}T φ= ② {,,{1}}T A φ=③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ= 答案:②49、设{1,2,3}X =;{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑;{2,3}A =;则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{3},{2,3}}φ=T ② {,,{2},{3}}T A φ=③ {,,{2},{3},{2,3}}T X φ= ④ {,,{3}}T X φ= 答案:②50、设{1,2,3}X =;{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑;{1}A =;则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{1}}T φ= ② {,,{1,2}}T A φ=③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ= 答案:①51、设{1,2,3}X =;{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑;{2}A =;则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,}T A φ=③ {,,{2}}T X φ= ④ {,,{1,2}}T X φ= 答案:②52、设{1,2,3}X =;{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑;{3}A =;则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,{},{1,3}}T X φ=③ {,,{3}}T X φ= ④ {,{3}}T φ= 答案:④53、设R 是实数空间;Z 是整数集;则R 的子空间Z 的拓扑为( )① {,}T Z φ= ② ()T P Z = ③ T Z = ④ {}T Z = 答案:②54、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.1P 是X 到1X 的投射;则1P 是( )① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案:④55、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.2P 是X 到2X 的投射;则2P 是( ) ① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案:④56、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.3P 是X 到3X 的投射;则3P 是( )① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案:④57、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.4P 是X 到4X 的投射;则4P 是( ) ① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案:④58、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.5P 是X 到5X 的投射;则5P 是( )① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案:④59、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.6P 是X 到6X 的投射;则6P 是( )① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案:④60、设1X 和2X 是两个拓扑空间;12X X ⨯是它们的积空间;1A X ⊂;2B X ⊂;则有( ) ① A B A B ⨯≠⨯ ② A B A B ⨯=⨯ ③()A B A B ⨯≠⨯ ④ ()()()A B A B ∂⨯=∂⨯∂答案:②61、有理数集Q 是实数空间R 的一个( )① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对 答案:①62、整数集Z 是实数空间R 的一个( )① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对答案:①63、无理数集是实数空间R 的一个( )① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对答案:①64、设Y 为拓扑空间X 的连通子集;Z 为X 的子集;若Y Z Y ⊂⊂; 则Z 为( ) ①不连通子集 ② 连通子集 ③ 闭集 ④ 开集答案:②65、设12,X X 是平庸空间;则积空间12X X ⨯是( )① 离散空间 ② 不一定是平庸空间③ 平庸空间 ④ 不连通空间答案:③66、设12,X X 是离散空间;则积空间12X X ⨯是( )① 离散空间 ② 不一定是离散空间③ 平庸空间 ④ 连通空间答案:①67、设12,X X 是连通空间;则积空间12X X ⨯是( )① 离散空间 ② 不一定是连通空间③ 平庸空间 ④ 连通空间答案:④68、实数空间R 中的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③区间 ④ 以上都不对答案:④69、实数空间R 中的不少于两点的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③ 区间 ④ 以上都不对答案:③70、实数空间R 中的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③ 区间 ④ 区间或一点答案:④71、下列叙述中正确的个数为( )(Ⅰ)单位圆周1S 是连通的; (Ⅱ){0}R -是连通的(Ⅲ)2{(0,0)}R -是连通的 (Ⅳ)2R 和R 同胚① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4答案:②二、填空题(每题1分)1、设{,}X a b =;则X 的平庸拓扑为 ;答案:{,}T X φ=2、设{,}X ab =;则X 的离散拓扑为 ;答案:{,,{},{}}T X a b φ= 3、同胚的拓扑空间所共有的性质叫 ; 答案:拓扑不变性质4、在实数空间R 中;有理数集Q 的导集是___________. 答案: R5、)(A d x ∈当且仅当对于x 的每一邻域U 有 答案: ({})U A x φ⋂-≠6、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集;则()d A = ;答案:X7、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集;则A = ;答案:X8、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集;则()d A = ;答案:X9、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集;则A = ;答案:X10、设{1,2,3}X =;X 的拓扑{,,{2},{2,T X φ=;则X 的子集{1,2}A = 的内部为 ;答案:{2}11、设{1,2,3X =;X 的拓扑{,,{1},{2,T X φ=;则X 的子集{1,3}A = 的内部为 ;答案:{1}12、设{1,2,3}X =;X 的拓扑{,,{1},{2,3T X φ=;则X 的子集{1,2}A = 的内部为 答案:{1}13、设{1,2,3}X =;X 的拓扑{,,{2},{2,T X φ=;则X 的子集{1,3}A = 的内部为 ;答案:φ14、设{,,}X a b c =;则X 的平庸拓扑为 ;答案:{,}T X φ=15、设{,,}X abc =;则X 的离散拓扑为 答案:{,,{},{},{},{,},{,},{,}}T X a b c a b a c b c φ=16、设{1,2,3}X =;X 的拓扑{,,{2},{3},{2,T X φ=;则X 的子集{1,3}A = 的内部为 ;答案:{3}17、设{1,2,3}X =;X 的拓扑{,,{1},{3},{1,T X φ=;则X 的子集{1,2}A =的内部为 ;答案:{1}18、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射;若它是一个单射;并且是从X 到它的象集()f X 的一个同胚;则称映射f 是一个 .答案:嵌入19、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射;如果它是一个满射;并且Y 的拓扑是对于映射f 而言的商拓扑;则称f 是一个 ;答案:商映射20、设,X Y 是两个拓扑空间;:f X Y →是一个映射;若X 中任何一个开集U 的象集()f U 是Y 中的一个开集;则称映射f 是一个 答案:开映射21、设,X Y 是两个拓扑空间;:f X Y →是一个映射;若X 中任何一个闭集U 的象集()f U 是Y 中的一个闭集;则称映射f 是一个 答案:闭映射22、若拓扑空间X 存在两个非空的闭子集,A B ;使得,A B A B X φ⋂=⋃=;则X 是一个 ;答案:不连通空间23、若拓扑空间X 存在两个非空的开子集,A B ;使得,A B A B X φ⋂=⋃=;则X 是一个 ;答案:不连通空间24、若拓扑空间X 存在着一个既开又闭的非空真子集;则X 是一个 答案:不连通空间25、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集;Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂;则Z 也是X 的一个 ; 答案:连通子集26、拓扑空间的某种性质;如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有;则称这个性质是一个 ;答案:在连续映射下保持不变的性质27、拓扑空间的某种性质;如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有;则称这个性质是一个 ;答案:可商性质28、若任意1n ≥个拓扑空间12,,,n X X X ;都具有性质P ;则积空间12n X X X ⨯⨯⨯也具有性质P ;则性质P 称为 ;答案:有限可积性质29、设X 是一个拓扑空间;如果X 中有两个非空的隔离子集,A B ;使得A B X ⋃=;则称X 是一个 ;答案:不连通空间.三.判断(每题4分;判断1分;理由3分)1、.从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( ) 答案:√理由:设X 是离散空间;Y 是拓扑空间;:f X Y →是连续映射;因为对任意A Y ⊂;都有1)f A X -⊂(;由于X 中的任何一个子集都是开集;从而1()f A -是X 中的开集;所以:f X Y →是连续的.2、设12, T T 是集合X 的两个拓扑;则12 T T ⋂不一定是集合X 的拓扑( )答案:× 理由:因为(1)12, T T 是X 的拓扑;故∈φ,X T 1;∈φ,X T 2;从而∈φ,X 12 T T ⋂; (2)对任意的∈B A ,T 1⋂T 2;则有∈B A ,T 1且∈B A ,T 2;由于T 1; T 2是X 的拓扑;故∈⋂B A T 1且∈⋂B A T 2;从而∈⋂B A T 1⋂T 2;(3)对任意的21T T T ⋂⊂';则21,T T T T ⊂'⊂';由于T 1; T 2是X 的拓扑;从而 U ∈T ’U ∈T 1; U ∈T ’U ∈T 2;故 U ∈T ’U ∈ T 1⋂T 2;综上有T 1⋂T 2也是X 的拓扑.3、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射( )答案:√ 理由:设:f X Y →是任一满足条件的映射;由于Y 是平庸空间;它中的开集只有,Y φ;易知它们在f 下的原象分别是,X φ;均为X 中的开集;从而:f X Y →连续.4、设A 为离散拓扑空间X 的任意子集;则()d A φ= ( )答案:√ 理由:设p 为X 中的任何一点;因为离散空间中每个子集都是开集; 所以{}p 是X 的开子集;且有{}{}()p A p φ-=;即()p d A ∉;从而 ()d A φ=.5、设A 为平庸空间X (X 多于一点)的一个单点集;则()d A φ= ( )答案:× 理由:设{}A y =;则对于任意,x X x y ∈≠;x 有唯一的一个邻域X ;且有()y X A x ∈⋂-;从而()X A x φ⋂-≠;因此x 是A 的一个凝聚点;但对于y 的唯一的邻域X ;有()X A y φ⋂-=;所以有()d A X A φ=-≠.6、设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集;则()d A X = ( )答案:√ 理由:对于任意,x X ∈因为A 包含多于一点;从而对于x 的唯一的邻域X ;且有()X A x φ⋂-≠;因此x 是A 的一个凝聚点;即()x d A ∈;所以有()d A X =.7、设X 是一个不连通空间;则X 中存在两个非空的闭子集,A B ;使得,A B A B X φ⋂=⋃=( )答案:√理由:设X 是一个不连通空间;设,A B 是X 的两个非空的隔离子集使得A B X ⋃=;显然A B φ=;并且这时有:()()B B X B A B B B =⋂=⋂⋃⋂=从而B 是X 的一个闭子集;同理可证A 是X 的一个闭子集;这就证明了,A B 满足,A B A B Xφ⋂=⋃=. 8、若拓扑空间X 中存在一个既开又闭的非空真子集;则X 是一个不连通空间( )√ 理由:这是因为若设A 是X 中的一个既开又闭的非空真子集;令B A '=;则,A B 都是X 中的非空闭子集;它们满足A B X ⋃=;易见,A B 是隔离子集;所以拓扑空间X 是一个不连通空. 五.简答题(每题4分)1、设X 是一个拓扑空间;,A B 是X 的子集;且A B ⊂.试说明()()d A d B ⊂.答案:对于任意()x d A ∈;设U 是x 的任何一个邻域;则有({})U A x φ⋂-≠;由于A B ⊂;从而({})({})U B x U A x φ⋂-⊃⋂-≠;因此()x d B ∈;故()()d A d B ⊂.2、设,,X Y Z 都是拓扑空间.:f X Y →; :g Y Z →都是连续映射;试说明:g f X Z →也是连续映射.答案:设W 是Z 的任意一个开集;由于:g Y Z →是一个连续映射;从而1()g W -是Y 的一个开集;由:f X Y →是连续映射;故11(())f g W --是X 的一开集;因此 111()()(())g f W f g W ---=是X 的开集;所以:g f X Z →是连续映射.3、设X 是一个拓扑空间;A X ⊂.试说明:若A 是一个闭集;则A 的补集A '是一个开集. 答案:对于x A '∀∈;则x A ∉;由于A 是一个闭集;从而x 有一个邻域U 使得({})U A x φ⋂-=;因此U A φ⋂=;即U A '⊂;所以对任何x A '∈;A '是x 的一个邻域;这说明A '是一个开集.4、设X 是一个拓扑空间;A X ⊂.试说明:若A 的补集A '是一个开集;则A 是一个闭集. 答案:设x A ∉;则x A '∈;由于A '是一个开集;所以A '是x 的一个邻域;且满足A A φ'⋂=;因此x A ∉;从而A A ⊃;即有A A =;这说明A 是一个闭集.5、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集]}2[],1[],0{[=Y ;试写出Y 的商拓扑T .答案:]}}1[],0{[]},0{[,,{Y φ= T 6、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集]}3[],2[],1{[=Y ;试写出Y 的商拓扑T . 答案:{,,{[3]},{[2],[3]}}T Y φ= 7、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[1],[1],[2]}Y =-;试写出Y 的商拓扑T . 答案:{,,{[1]},{[1],[1]}}T Y φ=-- 8、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[2],[1],[2]}Y =-;试写出Y 的商拓扑T . 答案:{,,{[2]},{[2],[1]}}T Y φ=-- 9、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[3]}Y =;试写出Y 的商拓扑T . 答案:{,,{[3]},{[2],[3]}}T Y φ= 10、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[4]}Y =;试写出Y 的商拓扑T . 答案:{,,{[4]},{[2],[4]}}T Y φ= 11、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[1],[2],[4]}Y =-;试写出Y 的商拓扑T . 答案:{,,{[4]},{[2],[4]}}T Y φ= 六、证明题(每题8分)1、设:f X Y →是从连通空间X 到拓扑空间Y 的一个连续映射.则()f X 是Y 的一个连通子集. 证明:如果()f X 是Y 的一个不连通子集;则存在Y 的非空隔离子集,A B 使得()f X A B =⋃ …………………………………………… 3分于是11(),()f A f B --是X 的非空子集;并且:111111111(()())(()())(()())(()())(()())f A f B f B f A f A f B f B f A f A B A B φ---------⋂⋃⋂⊂⋂⋃⋂=⋂⋃⋂= 所以11(),()f A f B --是X 的非空隔离子集 此外;1111()()()(())f A f B f A B f f X X ----⋃=⋃==;这说明X 不连通;矛盾.从而()f X 是Y 的一个连通子集. ………………………… 8分2、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集; 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的开集使得B A Y ⋃⊂;则或者A Y ⊂;或者B Y ⊂.证明:因为B A ,是X 的开集;从而Y B Y A ⋂⋂,是子空间Y 的开集. 又因B A Y ⋃⊂中;故)()(Y B Y A Y ⋂⋃⋂= ………………… 4分由于Y 是X 的连通子集;则Y B Y A ⋂⋂,中必有一个是空集. 若Φ=⋂Y B ;则A Y ⊂;若Φ=⋂Y A ;则B Y ⊂………………… 8分3、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集; 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的闭集使得B A Y ⋃⊂;则或者A Y ⊂;或者B Y ⊂.证明:因为B A ,是X 的闭集;从而Y B Y A ⋂⋂,是子空间Y 的闭集. 又因B A Y ⋃⊂中;故)()(Y B Y A Y ⋂⋃⋂= ………………… 4分由于Y 是X 的连通子集;则Y B Y A ⋂⋂,中必有一个是空集. 若Φ=⋂Y B ;则A Y ⊂;若Φ=⋂Y A ;则B Y ⊂………………… 8分4、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集;Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂;则Z 也是X 的一个连通子集. 证明:若Z 是X 的一个不连通子集;则在X 中有非空的隔离子集,A B 使得Z A B =⋃.因此Y A B ⊂⋃ ………………………………… 3分由于Y 是连通的;所以Y A ⊂或者Y B ⊂;如果Y A ⊂;由于Z Y A ⊂⊂;所以Z B A B φ⋂⊂⋂=;因此 B Z B φ=⋂=;同理可证如果Y B ⊂;则A φ=;均与假设矛盾.故Z 也 是X 的一个连通子集. …………………………………………………………………… 8分 5、设{}Y γγ∈Γ是拓扑空间X 的连通子集构成的一个子集族.如果Y γγφ∈Γ≠;则Y γγ∈Γ是X 的一个连通子集. 证明:若Y γγ∈Γ是X 的一个不连通子集.则X 有非空的隔离子集,A B 使得Y A B γγ∈Γ=⋃………………………………………… 4分任意选取x Y γγ∈Γ∈;不失一般性;设x A ∈;对于每一个γ∈Γ;由于Y γ连通;从而Y Aγγ∈Γ⊂及B φ=;矛盾; 所以Y γγ∈Γ是连通的. ………………………………………… 8分6、设A 是拓扑空间X 的一个连通子集;B 是X 的一个既开又闭的集合.证明:如果A B φ⋂≠;则A B ⊂.证明:若B X =;则结论显然成立. 下设B X ≠;由于B 是X 的一个既开又闭的集合;从而A B ⋂是X 的子空间A 的一个既开又闭的子集………………………………… 4分由于A B φ⋂≠及A 连通;所以A B A ⋂=;故A B ⊂.………… 8分 7、设A 是连通空间X 的非空真子集. 证明:A 的边界()A φ∂≠. 证明:若()A φ∂=;由于()A A A --'∂=⋂;从而()()()()A A A A A A A A A A φ------'''''=⋂=⋂⋂⋃=⋂⋃⋂;故, A A '是X 的隔离子集 ………………………………………… 4分因为A 是X 的非空真子集;所以A 和A '均非空;于是X 不连通;与题设矛盾.所以()A φ∂≠. ……………………………………………… 8分下为点集拓扑学考试的辨析题和证明题;解答是本人自己写的;可能有错误或者不足;希望对大家的考试有帮助。
点集拓扑学练习题
点集拓扑学练习题一、单项选择题1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中,( )是X 上的拓扑. ① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T② {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T③ {,,{},{,}}X a a b φ=T④ {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T答案:③2、设{,,}X a b c =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{}}X a a b c φ=T ② {,,{},{,},{,}}X a a b a c φ=T③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T答案:②3、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中,( )是X 上的拓扑. ① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c d φ=T ② {,,{,,},{,,}}X a b c a b d φ=T ③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{}}X a b φ=T答案:① 4、设{,,}X a b c =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{},{},{,}}X b c a b φ=T ② {,,{},{},{,},{,}}X a b a b a c φ=T ③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T答案:②5、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中,( )是X 上的拓扑. ① {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ② {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{},{,}}X a c a c φ=T 答案:④ 6、设{,,}X a b c =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{},{},{,}}X a b b c φ=T ② {,,{,},{,}}X a b b c φ=T③ {,,{},{,}}X a a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T答案:③7、已知{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则}{b =( )①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d答案:④ 8、 已知{,,,}Xa b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{,,}b c d =( )①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d 答案:④9、 已知{,}X a b =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =( )①φ ② X ③ {}a ④ {}b答案:②10、已知{,}Xa b =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}b =( )①φ ②X ③ {}a ④ {}b 答案:④ 11、已知{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =( )①φ ② X ③ {,}a b ④ {,,}b c d答案:②12、已知{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}c =( )①φ ② X ③ {,}a c ④ {,,}b c d答案:④ 13、设{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{},{,,}}X a b c d φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为( )① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4答案:②14、设{,,}X a b c =,拓扑{,,{},{,}}X a b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为( )① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4答案:②15、设{,,}X a b c =,拓扑{,,{},{,}}X b b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为( )① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3答案:①16、设{,}X a b =,拓扑{,,{}}X b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为( )① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 答案:③ 17、设{,}Xa b =,拓扑{,,{},{}}X a b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为( ) ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4答案:④18、设{,,}X a b c =,拓扑{,,{},{},{,},{,}}X a b a b b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为( )① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4答案:②19、在实数空间中,有理数集Q 的内部Q 是( )① φ ② Q ③ R -Q ④ R答案:①20、在实数空间中,有理数集Q 的边界()Q ∂是( )① φ ② Q ③ R -Q ④ R答案:④21、在实数空间中,整数集Z 的内部Z 是( )① φ ② Z ③ R -Z ④ R答案:①22、在实数空间中,整数集Z 的边界()Z ∂是( )① φ ② Z ③ R -Z ④ R答案:②23、在实数空间中,区间[0,1)的边界是( )① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1)答案:③24、在实数空间中,区间[2,3)的边界是( )① φ ② [2,3] ③ {2,3} ④ (2,3)答案:③25、在实数空间中,区间[0,1)的内部是( )① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1)答案:④26、设X 是一个拓扑空间,A ,B 是X 的子集,则下列关系中错误的是( )① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B ⋃=⋃③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A =答案: ③27、设X 是一个拓扑空间,A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是( )① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B -=-③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A =答案: ①28、设X 是一个拓扑空间,A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是( )① ()d A B A B ⋃=⋃ ② A B A B -=-③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ (())()d d A A d A ⊂⋃答案: ④29、已知X 是一个离散拓扑空间,A 是X 的子集,则下列结论中正确的是( )① ()d A φ= ② ()d A X A =-③ ()d A A = ④ ()d A X =答案:①30、已知X 是一个平庸拓扑空间,A 是X 的子集,则下列结论中不正确的是( )① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X A =-③ 若A={12,x x },则()d A X = ④ 若A X ≠, 则()d A X ≠答案:④31、已知X 是一个平庸拓扑空间,A 是X 的子集,则下列结论中正确的是( )① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X =③ 若A={12,x x },则()d A X A =- ④ 若12{,}A x x =,则()d A A =答案:①32、设{,,,}X a b c d =,令{{,,},{},{}}a b c c d =B ,则由B 产生的X 上的拓扑是()① { X ,φ,{c },{d },{c ,d },{a ,b ,c }}② {X ,φ,{c },{d },{c ,d }}③ { X ,φ,{c },{a ,b ,c }}④ { X ,φ,{d },{b ,c },{b ,d },{b ,c ,d }}答案:①33、设X 是至少含有两个元素的集合,p X ∈,{|}{}G X p G φ=⊂∈⋃T 是X的拓扑,则( )是T 的基.① {{,}|{}}B p x x X p =∈- ② {{}|}B x x X =∈③ {{,}|}B p x x X =∈ ④ {{}|{}}B x x X p =∈- 答案:③34、 设{,,}X a b c =,则下列X 的拓扑中( )以{,,{}}S X a φ=为子基.① { X , φ,{a },{a ,c }} ② {X , φ,{a }}③ { X , φ,{a },{b },{a ,b }} ④ {X ,φ }答案:②35、离散空间的任一子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭答案:③36、平庸空间的任一非空真子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭答案:④37、实数空间R 中的任一单点集是 ( )① 开集 ② 闭集 ③ 既开又闭 ④ 非开非闭答案:②38、实数空间R 的子集A ={1,21,31 ,41,……},则A =( )①φ ② R ③ A ∪{0} ④ A答案:③39、在实数空间R 中,下列集合是闭集的是( )① 整数集 ② [)b a , ③ 有理数集 ④ 无理数集答案:①40、在实数空间R 中,下列集合是开集的是( )① 整数集Z ② 有理数集③ 无理数集 ④ 整数集Z 的补集Z '答案:④41、已知{1,2,3}X =上的拓扑{,,{1}}T X φ=,则点1的邻域个数是( )① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4答案:④42、已知{,}X a b =,则X 上的所有可能的拓扑有( )① 1个 ② 2个 ③ 3个 ④ 4个答案:④43、已知X ={a ,b ,c },则X 上的含有4个元素的拓扑有( )个① 3 ② 5 ③ 7 ④ 9答案:④44、设(,)T X 为拓扑空间,则下列叙述正确的为 ( )①T , T X φ∈∉ ② T ,T X φ∉∈③当T T '⊂时,T T U U '∈∈ ④ 当T T '⊂时,T TU U '∈∈答案:③45、在实数下限拓扑空间R 中,区间[,)a b 是( )① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭答案:③46、设X 是一个拓扑空间,,A B X ⊂,且满足()d A B A ⊂⊂,则B 是( )① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭 答案:② 47、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{1,2}A =,则X的子空间A 的拓扑为( )① {,{2},{1,2}}φ=T ② {,,{1},{2},{1,2}}T X φ=③ {,,{1},{2}}T A φ= ④ {,,{1},{2}}T X φ=答案:③48、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{1,3}A =,则X的子空间A 的拓扑为( )① {,{1},{3},{1,3}}T φ= ② {,,{1}}T A φ=③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ=答案:② 49、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{2,3}A =,则X的子空间A 的拓扑为( )① {,{3},{2,3}}φ=T ② {,,{2},{3}}T A φ=③ {,,{2},{3},{2,3}}T X φ= ④ {,,{3}}T X φ=答案:② 50、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{1}A =,则X的子空间A 的拓扑为( )① {,{1}}T φ= ② {,,{1,2}}T A φ= ③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ=答案:① 51、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{2}A =,则X的子空间A 的拓扑为( )① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,}T A φ=③ {,,{2}}T X φ= ④ {,,{1,2}}T X φ= 答案:② 52、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{3}A =,则X的子空间A 的拓扑为( )① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,{},{1,3}}T X φ= ③ {,,{3}}T X φ= ④ {,{3}}T φ=答案:④ 53、设R 是实数空间,Z 是整数集,则R 的子空间Z 的拓扑为( )① {,}TZ φ= ② ()T P Z =③ T Z = ④ {}T Z =答案:②54、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.1P 是X 到1X 的投射,则1P 是( )① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射答案:④55、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.2P 是X 到2X 的投射,则2P 是( )① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射答案:④56、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.3P 是X 到3X 的投射,则3P 是( )① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射答案:④57、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.4P 是X 到4X 的投射,则4P 是( )① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射答案:④58、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.5P 是X 到5X 的投射,则5P 是( )① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射答案:④59、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.6P 是X 到6X 的投射,则6P 是( )① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射答案:④60、设1X 和2X 是两个拓扑空间,12X X ⨯是它们的积空间,1A X ⊂,2B X ⊂,则有( ) ① A B A B ⨯≠⨯ ② A B A B ⨯=⨯③()A B A B ⨯≠⨯ ④ ()()()A B A B ∂⨯=∂⨯∂答案:②61、有理数集Q 是实数空间R 的一个( )① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对答案:①62、整数集Z 是实数空间R 的一个( )① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对答案:①63、无理数集是实数空间R 的一个( )① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对答案:①64、设Y 为拓扑空间X 的连通子集,Z 为X 的子集,若Y Z Y ⊂⊂, 则Z 为( )①不连通子集 ② 连通子集 ③ 闭集 ④ 开集答案:②65、设12,X X 是平庸空间,则积空间12X X ⨯是( )① 离散空间 ② 不一定是平庸空间③ 平庸空间 ④ 不连通空间答案:③66、设12,X X 是离散空间,则积空间12X X ⨯是( )① 离散空间 ② 不一定是离散空间③ 平庸空间 ④ 连通空间答案:①67、设12,X X 是连通空间,则积空间12X X ⨯是( )① 离散空间 ② 不一定是连通空间③ 平庸空间 ④ 连通空间答案:④68、实数空间R 中的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③区间 ④ 以上都不对答案:④69、实数空间R 中的不少于两点的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③ 区间 ④ 以上都不对答案:③70、实数空间R 中的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③ 区间 ④ 区间或一点答案:④71、下列叙述中正确的个数为( )(Ⅰ)单位圆周1S 是连通的; (Ⅱ){0}R -是连通的(Ⅲ)2{(0,0)}R -是连通的 (Ⅳ)2R 和R 同胚① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4答案:② 72、实数空间R ( )① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对答案:③73、整数集Z 作为实数空间R 的子空间( )① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对答案:③74、有理数集Q 作为实数空间R 的子空间( )① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对答案:③75、无理数集作为实数空间R 的子空间( )① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对答案:③76、正整数集Z +作为实数空间R 的子空间( )① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对答案:③77、负整数集Z -作为实数空间R 的子空间( )① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对答案:③78、2维欧氏间空间2R ( )① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对答案:③79、3维欧氏间空间3R ( )① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对答案:③80、下列拓扑学的性质中,不具有可遗传性的是( )① 平庸性 ② 连通性③ 离散性 ④ 第一可数性公理答案:②81、下列拓扑学的性质中,不具有可遗传性的是( )① 第一可数性公理 ② 连通性③ 第二可数性公理 ④ 平庸性答案:②82、下列拓扑学的性质中,不具有可遗传性的是( )① 第一可数性公理 ② 可分性③ 第二可数性公理 ④ 离散性答案:②83、下列拓扑学的性质中,不具有可遗传性的是( )① 平庸性 ② 可分性③ 离散性 ④ 第二可数性公理答案:②84、设X 是一个拓扑空间,若对于,,x y X xy ∀∈≠,均有{}{}x y ≠, 则X 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对答案:①85、设{1,2}X =,{,,{1}}X φ=T ,则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对答案:①86、设{1,2}X=,{,,{2}}X φ=T ,则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 道路连通空间答案:①87、设{1,2,3}X =,{,,{1}}X φ=T ,则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对答案:④ 88、设{1,2,3}X =,{,,{23}}X φ=,T ,则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对答案:④ 89、设{1,2,3}X=,{,,{13}}X φ=,T ,则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对 答案:④90、设{1,2,3}X =,{,,{12}}X φ=,T ,则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对答案:④ 91、设{1,2,3}X=,{,,{1},{2},{1,2}}X φ=T ,则(,)X T 是( )①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对 答案:①92、设X 是一个拓扑空间,若X 的每一个单点集都是闭集, 则X 是( )①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间答案:③93、设X 是一个拓扑空间,若X 的每一个有限子集都是闭集, 则X 是( )①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间答案:③94、设X 是一个拓扑空间,若对x X ∀∈及x 的每一个开邻域U ,都存在x 的一个开邻域V ,使得V U ⊂,则X 是( )①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间答案:①95、设X 是一个拓扑空间,若对X 的任何一个闭集A 及A 的每一个开邻域U ,都存在A 的一个开邻域V ,使得V U ⊂,则X 是( )①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间答案:②96、设{1,23}X =,,{,,{1},{23}}X φ=,T ,则(,)X T 是( )①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 正规空间答案:④97、设{1,23}X =,,{,,{2},{13}}X φ=,T ,则(,)X T 是( )①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 正规空间答案:④98、设{1,23}X =,,{,,{3},{12}}X φ=,T ,则(,)X T 是( )①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 正则空间答案:④99、设{1,23}X =,,{,,{1},{2},{1,2}}X φ=T ,则(,)X T 是( )①2T 空间 ② 正则空间 ③ 4T 空间 ④ 正规空间答案:④100、设{1,23}X =,,{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ,则(,)X T 是( )①2T 空间 ② 正则空间 ③ 4T 空间 ④ 正规空间答案:④ 101、设{1,23}X=,,{,,{2},{3},{2,3}}X φ=T ,则(,)X T 是( )①2T 空间 ② 正则空间 ③ 4T 空间 ④ 正规空间 答案:④102、若拓扑空间X 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖,则称拓扑空间X 是一个( ) ① 连通空间 ② 道路连通空间 ③ 紧致空间 ④ 可分空间答案:③103、紧致空间中的每一个闭子集都是( )① 连通子集 ② 道路连通子集 ③ 紧致子集 ④ 以上都不对答案:③104、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是( )① 连通子集 ② 开集 ③ 闭集 ④ 以上都不对答案:③105、紧致的Hausdorff 空间中的紧致子集是( )① 连通子集 ② 开集 ③ 闭集 ④ 以上都不对答案:③106、拓扑空间X 的任何一个有限子集都是( )① 连通子集 ② 紧致子集 ③ 非紧致子集 ④ 开集答案:②107、实数空间R 的子集{1,2,3}A =是( )① 连通子集 ② 紧致子集 ③开集 ④ 非紧致子集 答案:② 108、实数空间R 的子集{1,2,3,4}A =是( ) ① 连通子集 ② 紧致子集 ③开集 ④ 非紧致子集答案:②109、如果拓扑空间X 的每个紧致子集都是闭集,则X 是( )① 1T 空间 ② 紧致空间 ③ 可数补空间 ④ 非紧致空间答案:①二、证明题1、设:f X Y →是从连通空间X 到拓扑空间Y 的一个连续映射.则()f X 是Y 的一个连通子集.证明:如果()f X 是Y 的一个不连通子集,则存在Y 的非空隔离子集,A B 使得()f X A B =⋃ …………………………………………… 3分于是11(),()f A f B --是X 的非空子集,并且:111111111(()())(()())(()())(()())(()())f A f B f B f A f A f B f B f A f A B A B φ---------⋂⋃⋂⊂⋂⋃⋂=⋂⋃⋂= 所以11(),()f A f B --是X的非空隔离子集 此外,1111()()()(())f A f B f A B f f X X ----⋃=⋃==,这说明X 不连通,矛盾.从而()f X 是Y 的一个连通子集. ………………………… 8分2、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的开集使得B A Y ⋃⊂,则或者A Y ⊂,或者B Y ⊂.证明:因为B A ,是X 的开集,从而Y B Y A ⋂⋂,是子空间Y 的开集.又因B A Y ⋃⊂中,故)()(Y B Y A Y ⋂⋃⋂= ………………… 4分由于Y 是X 的连通子集,则Y B Y A ⋂⋂,中必有一个是空集. 若Φ=⋂Y B ,则A Y ⊂;若Φ=⋂Y A ,则B Y ⊂………………… 8分3、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的闭集使得B A Y ⋃⊂,则或者A Y ⊂,或者B Y ⊂.证明:因为B A ,是X 的闭集,从而Y B Y A ⋂⋂,是子空间Y 的闭集.又因B A Y ⋃⊂中,故)()(Y B Y A Y ⋂⋃⋂= ………………… 4分由于Y 是X 的连通子集,则Y B Y A ⋂⋂,中必有一个是空集. 若Φ=⋂Y B ,则A Y ⊂;若Φ=⋂Y A ,则B Y ⊂………………… 8分4、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集,Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂,则Z 也是X 的一个连通子集.证明:若Z 是X 的一个不连通子集,则在X 中有非空的隔离子集,A B 使得Z A B =⋃.因此Y A B ⊂⋃ ………………………………… 3分由于Y 是连通的,所以Y A ⊂或者Y B ⊂,如果Y A ⊂,由于Z Y A ⊂⊂,所以Z B A B φ⋂⊂⋂=,因此 B Z B φ=⋂=,同理可证如果Y B ⊂,则A φ=,均与假设矛盾.故Z 也 是X 的一个连通子集. …………………………………………………………………… 8分 5、设{}Y γγ∈Γ是拓扑空间X 的连通子集构成的一个子集族.如果Y γγφ∈Γ≠,则Y γγ∈Γ是X 的一个连通子集.证明:若Y γγ∈Γ是X 的一个不连通子集.则X有非空的隔离子集,A B使得Y A B γγ∈Γ=⋃………………………………………… 4分任意选取x Y γγ∈Γ∈,不失一般性,设x A ∈,对于每一个γ∈Γ,由于Y γ连通,从而Y A γγ∈Γ⊂及B φ=,矛盾,所以Y γγ∈Γ是连通的. ………………………………………… 8分 6、设A 是拓扑空间X 的一个连通子集,B 是X的一个既开又闭的集合.证明:如果A B φ⋂≠,则A B ⊂.证明:若B X =,则结论显然成立.下设B X ≠,由于B 是X 的一个既开又闭的集合,从而A B ⋂是X的子空间A 的一个既开又闭的子集………………………………… 4分 由于A B φ⋂≠及A 连通,所以A B A ⋂=,故A B ⊂.………… 8分7、设A 是连通空间X 的非空真子集. 证明:A 的边界()A φ∂≠.证明:若()A φ∂=,由于()A A A --'∂=⋂,从而()()()()A A A A A A A A A A φ------'''''=⋂=⋂⋂⋃=⋂⋃⋂, 故, A A '是X 的隔离子集 ………………………………………… 4分因为A 是X 的非空真子集,所以A 和A '均非空,于是X 不连通,与题设矛盾.所以()A φ∂≠. ……………………………………………… 8分8、设X 是一个含有不可数多个点的可数补空间.证明X 不满足第一可数性公理.证明:若X 满足第一可数公理,则在X x ∈处,有一个可数的邻域基,设为V x ,因为X 是可数补空间,因此对x y X y ≠∈∀,,}{y X -是x 的一个开邻域,从而x y V V ∈∃ ,使得}{y X V y -⊂.于是'⊂y V y }{, …………………………………………………4分由上面的讨论我们知道:}{}{}{}{y X y yx X y V y x X -∈-∈'⊂=-因为}{x X -是一个不可数集,而}{x X y uV -∈' 是一个可数集,矛盾.从而X 不满足第一可数性公理. ………………………………8分9、设X 是一个含有不可数多个点的有限补空间.证明:X 不满足第一可数性公理.证明:若X 满足第一可数公理,则在X x ∈处,有一个可数的邻域基,设为V x ,因为X 是有限补空间,因此对x y X y ≠∈∀,,}{y X -是x 的一个开邻域,从而xy V V ∈∃ ,使得}{y X V y -⊂.于是'⊂y Vy }{, …………………………………………………4分由上面的讨论我们知道:}{}{}{}{y X y yx X y V y x X -∈-∈'⊂=-因为}{x X -是一个不可数集,而}{x X y uV -∈' 是一个可数集,矛盾.从而X 不满足第一可数性公理. ………………………………8分 10、设,X Y 是两个拓扑空间,:f X Y →是一个满的连续开映射.X 满足第二可数性公理,证明:Y 也满足第二可数性公理.证明:设X 满足第二可数性公理,B 是它的一个可数基.由于:f X Y →是一个开映射,{()|}B B f B B =∈是由Y 中开集构成的一个可数族. …………………………………………………………3分 下面证明B 是Y 的一个基.设U 是Y 的任意开集,则1()f U -是X中的一个开集.因此存在1 B B⊂,使得11() B B f U B-∈=.由于f是一个满射,所以有11(())() B B U f f U f B -∈==,从而U 是B 中某些元素的并,故B 是Y 的一个基.这说明Y 也满足第二可数性公理. ……8分 11、设,X Y 是两个拓扑空间,:f X Y →是一个满的连续开映射.X 满足第一可数性公理,证明:Y 也满足第一可数性公理.证明:对y Y ∀∈,由于:f X Y →是一个满射,所以存在x X ∈,使得()f x y =,由于X 满足第一可数性公理,故在点x 处存在一个可数邻域基,设为 V x ,又由于:f X Y→是一个开映射,则{()|} VV y x f V V =∈是Y 中点y 的一个可数邻域族. …………3分 下面证明 V y 是Y 中点y 的一个邻域基.设U 是Y 中点y 的任意邻域,则1()f U -是X中点x 的一个邻域.因此存在 V x V∈,使得1()V f U -⊂.因此()f V U ⊂,从而 V y 是Y中点y的一个邻域基.这说明Y也满足第一可数性公理. ……………………………………………………8分12、A 是满足第二可数性公理空间X 的一个不可数集。
点集拓扑学练习题
点集拓扑学练习题一、单项选择题(每题1分)1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T ② {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T③ {,,{},{,}}X a a b φ=T ④ {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T 答案:③2、设{,,}X a b c =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{}}X a a b c φ=T ② {,,{},{,},{,}}X a a b a c φ=T③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T答案:② 3、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c d φ=T ② {,,{,,},{,,}}X a b c a b d φ=T③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{}}X a b φ=T答案:① 4、设{,,}X a b c =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{},{},{,}}X b c a b φ=T ② {,,{},{},{,},{,}}X a b a b a c φ=T③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T答案:② 5、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ② {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{},{,}}X a c a c φ=T答案:④ 6、设{,,}X a b c =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{},{},{,}}X a b b c φ=T ② {,,{,},{,}}X a b b c φ=T③ {,,{},{,}}X a a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T答案:③ 7、已知{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则}{b =( )①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d答案:④8、 已知{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{,,}b c d =( )①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d 答案:④9、 已知{,}X a b =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =( )①φ ② X ③ {}a ④ {}b 答案:②10、已知{,}X a b =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}b =( )①φ ② X ③ {}a ④ {}b 答案:④11、已知{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =( )①φ ② X ③ {,}a b ④ {,,}b c d 答案:②12、已知{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}c =( )①φ ② X ③ {,}a c ④ {,,}b c d 答案:④13、设{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{},{,,}}X a b c d φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集个数( ) ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案:②14、设{,,}X a b c =,拓扑{,,{},{,}}X a b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为( ) ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案:②15、设{,,}X a b c =,拓扑{,,{},{,}}X b b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为( ) ① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 答案:①16、设{,}X a b =,拓扑{,,{}}X b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为( ) ① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 答案:③17、设{,}X a b =,拓扑{,,{},{}}X a b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为( ) ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案:④18、设{,,}X a b c =,拓扑{,,{},{},{,},{,}}X a b a b b c φ=T ,X 的既开又闭的非空真子集个数( ) ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案:②19、在实数空间中,有理数集Q 的内部Q 是( )① φ ② Q ③ R -Q ④ R 答案:①20、在实数空间中,有理数集Q 的边界()Q ∂是( )① φ ② Q ③ R -Q ④ R 答案:④21、在实数空间中,整数集Z 的内部Z 是( )① φ ② Z ③ R -Z ④ R 答案:①22、在实数空间中,整数集Z 的边界()Z ∂是( )① φ ② Z ③ R -Z ④ R 答案:②23、在实数空间中,区间[0,1)的边界是( )① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1) 答案:③24、在实数空间中,区间[2,3)的边界是( )① φ ② [2,3] ③ {2,3} ④ (2,3) 答案:③25、在实数空间中,区间[0,1)的内部是( )① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1) 答案:④26、设X 是一个拓扑空间,A ,B 是X 的子集,则下列关系中错误的是( )① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B ⋃=⋃③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A = 答案: ③27、设X 是一个拓扑空间,A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是( )① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B -=-③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A = 答案: ①28、设X 是一个拓扑空间,A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是( )① ()d A B A B ⋃=⋃ ② A B A B -=-③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ (())()d d A A d A ⊂⋃ 答案: ④29、已知X 是一个离散拓扑空间,A 是X 的子集,则下列结论中正确的是() ① ()d A φ= ② ()d A X A =-③ ()d A A = ④ ()d A X = 答案:①30、已知X 是一个平庸拓扑空间,A 是X 的子集,则下列结论中不正确的是( )① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X A =-③ 若A={12,x x },则()d A X = ④ 若A X ≠, 则()d A X ≠ 答案:④31、已知X 是一个平庸拓扑空间,A 是X 的子集,则下列结论中正确的是( ) ① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X =③ 若A={12,x x },则()d A X A =- ④ 若12{,}A x x =,则()d A A = 答案:①32、设{,,,}X a b c d =,令{{,,},{},{}}a b c c d =B ,则由B 产生的X 上的拓扑是( ) ① { X ,φ,{c },{d },{c ,d },{a ,b ,c }} ② {X ,φ,{c },{d },{c ,d }}③ { X ,φ,{c },{a ,b ,c }} ④ { X ,φ,{d },{b ,c },{b ,d },{b ,c ,d }} 答案:①33、设X 是至少含有两个元素的集合,p X ∈,{|}{}G X p G φ=⊂∈⋃T 是X 的拓扑,则( )是T 的基.① {{,}|{}}B p x x X p =∈- ② {{}|}B x x X =∈③ {{,}|}B p x x X =∈ ④ {{}|{}}B x x X p =∈- 答案:③34、 设{,,}X a b c =,则下列X 的拓扑中( )以{,,{}}S X a φ=为子基.① { X , φ,{a },{a ,c }} ② {X , φ,{a }}③ { X , φ,{a },{b },{a ,b }} ④ {X ,φ }答案:②35、离散空间的任一子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案:③36、平庸空间的任一非空真子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案:④37、实数空间R 中的任一单点集是 ( )① 开集 ② 闭集 ③ 既开又闭 ④ 非开非闭 答案:②38、实数空间R 的子集A ={1,21,31 ,41,……},则A =( )①φ ② R ③ A ∪{0} ④ A 答案:③39、在实数空间R 中,下列集合是闭集的是( )① 整数集 ② [)b a , ③ 有理数集 ④ 无理数集 答案:①40、在实数空间R 中,下列集合是开集的是( )① 整数集Z ② 有理数集③ 无理数集 ④ 整数集Z 的补集Z '答案:④41、已知{1,2,3}X =上的拓扑{,,{1}}T X φ=,则点1的邻域个数是( )① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案:④42、已知{,}X a b =,则X 上的所有可能的拓扑有( )① 1个 ② 2个 ③ 3个 ④ 4个 答案:④43、已知X ={a ,b ,c },则X 上的含有4个元素的拓扑有( )个① 3 ② 5 ③ 7 ④ 9 答案:④44、设(,)T X 为拓扑空间,则下列叙述正确的为 ( )①T , T X φ∈∉ ② T ,T X φ∉∈③当T T '⊂时,T T U U '∈∈④ 当T T '⊂时,T T U U '∈∈ 答案:③45、在实数下限拓扑空间R 中,区间[,)a b 是( )① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭 答案:③46、设X 是一个拓扑空间,,A B X ⊂,且满足()d A B A ⊂⊂,则B 是( )① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭 答案:②47、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{1,2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{2},{1,2}}φ=T ② {,,{1},{2},{1,2}}T X φ=③ {,,{1},{2}}T A φ= ④ {,,{1},{2}}T X φ= 答案:③48、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{1,3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{1},{3},{1,3}}T φ= ② {,,{1}}T A φ=③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ= 答案:②49、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{2,3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{3},{2,3}}φ=T ② {,,{2},{3}}T A φ=③ {,,{2},{3},{2,3}}T X φ= ④ {,,{3}}T X φ= 答案:②50、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{1}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{1}}T φ= ② {,,{1,2}}T A φ=③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ= 答案:①51、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,}T A φ=③ {,,{2}}T X φ= ④ {,,{1,2}}T X φ= 答案:②52、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,{},{1,3}}T X φ=③ {,,{3}}T X φ= ④ {,{3}}T φ= 答案:④53、设R 是实数空间,Z 是整数集,则R 的子空间Z 的拓扑为( )① {,}T Z φ= ② ()T P Z = ③ T Z = ④ {}T Z = 答案:②54、设126X X X X =⨯⨯⨯ 是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.1P 是X 到1X 的投射,则1P 是( )① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案:④55、设126X X X X =⨯⨯⨯ 是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.2P 是X 到2X 的投射,则2P 是( ) ① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案:④56、设126X X X X =⨯⨯⨯ 是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.3P 是X 到3X 的投射,则3P 是( )① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案:④57、设126X X X X =⨯⨯⨯ 是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.4P 是X 到4X 的投射,则4P 是( ) ① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案:④58、设126X X X X =⨯⨯⨯ 是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.5P 是X 到5X 的投射,则5P 是( )① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案:④59、设126X X X X =⨯⨯⨯ 是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.6P 是X 到6X 的投射,则6P 是( )① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案:④60、设1X 和2X 是两个拓扑空间,12X X ⨯是它们的积空间,1A X ⊂,2B X ⊂,则有( )① A B A B ⨯≠⨯ ② A B A B ⨯=⨯ ③()A B A B ⨯≠⨯ ④ ()()()A B A B ∂⨯=∂⨯∂答案:②61、有理数集Q 是实数空间R 的一个( )① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对 答案:①62、整数集Z 是实数空间R 的一个( )① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对答案:①63、无理数集是实数空间R 的一个( )① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对答案:①64、设Y 为拓扑空间X 的连通子集,Z 为X 的子集,若Y Z Y ⊂⊂, 则Z 为( )①不连通子集 ② 连通子集 ③ 闭集 ④ 开集答案:②65、设12,X X 是平庸空间,则积空间12X X ⨯是( )① 离散空间 ② 不一定是平庸空间③ 平庸空间 ④ 不连通空间答案:③66、设12,X X 是离散空间,则积空间12X X ⨯是( )① 离散空间 ② 不一定是离散空间③ 平庸空间 ④ 连通空间答案:①67、设12,X X 是连通空间,则积空间12X X ⨯是( )① 离散空间 ② 不一定是连通空间③ 平庸空间 ④ 连通空间答案:④68、实数空间R 中的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③区间 ④ 以上都不对答案:④69、实数空间R 中的不少于两点的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③ 区间 ④ 以上都不对答案:③70、实数空间R 中的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③ 区间 ④ 区间或一点答案:④71、下列叙述中正确的个数为( )(Ⅰ)单位圆周1S 是连通的; (Ⅱ){0}R -是连通的(Ⅲ)2{(0,0)}R -是连通的 (Ⅳ)2R 和R 同胚① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4答案:②二、填空题(每题1分)1、设{,}X a b =,则X 的平庸拓扑为 ;答案:{,}T X φ=2、设{,}X a b =,则X 的离散拓扑为 ;答案:{,,{},{}}T X a b φ= 3、同胚的拓扑空间所共有的性质叫 ; 答案:拓扑不变性质4、在实数空间R 中,有理数集Q 的导集是___________. 答案: R5、)(A d x ∈当且仅当对于x 的每一邻域U 有 答案: ({})U A x φ⋂-≠6、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集,则()d A = ;答案:X7、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集,则A = ;答案:X8、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集,则()d A = ;答案:X9、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集,则A = ;答案:X10、设{1,2,3X =,X 的拓扑{,,{2},{2T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为 ;答案:{2}11、设{1,2,3X =,X 的拓扑{,,{1},{2T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的内部为 ;答案:{1}12、设{1,2,3X =,X 的拓扑{,,{1},{2,T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为 答案:{1}13、设{1,2,3X =,X 的拓扑{,,{2},{2T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的内部为 ;答案:φ14、设{,,}X a b c =,则X 的平庸拓扑为 ;答案:{,}T X φ=15、设{,,}X a b c =,则X 的离散拓扑为 答案:{,,{},{},{},{,},{,},{,}}T X a b c a b a c b c φ=16、设{1,2,3X =,X 的拓扑{,,{2},{3},{2T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的内部为 ;答案:{3}17、设{1,2,3X =,X 的拓扑{,,{1},{3},{1T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为 ;答案:{1}18、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射,若它是一个单射,并且是从X 到它的象集()f X 的一个同胚,则称映射f 是一个 .答案:嵌入19、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射,如果它是一个满射,并且Y 的拓扑是对于映射f 而言的商拓扑,则称f 是一个 ;答案:商映射20、设,X Y 是两个拓扑空间,:f X Y →是一个映射,若X 中任何一个开集U 的象集()f U 是Y 中的一个开集,则称映射f 是一个 答案:开映射21、设,X Y 是两个拓扑空间,:f X Y →是一个映射,若X 中任何一个闭集U 的象集()f U 是Y 中的一个闭集,则称映射f 是一个 答案:闭映射22、若拓扑空间X 存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 是一个 ;答案:不连通空间23、若拓扑空间X 存在两个非空的开子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 是一个 ;答案:不连通空间24、若拓扑空间X 存在着一个既开又闭的非空真子集,则X 是一个 答案:不连通空间25、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集,Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂,则Z 也是X 的一个 ; 答案:连通子集26、拓扑空间的某种性质,如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有,则称这个性质是一个 ;答案:在连续映射下保持不变的性质27、拓扑空间的某种性质,如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有,则称这个性质是一个 ;答案:可商性质28、若任意1n ≥个拓扑空间12,,,n X X X ,都具有性质P ,则积空间12n X X X ⨯⨯⨯ 也具有性质P ,则性质P 称为 ;答案:有限可积性质29、设X 是一个拓扑空间,如果X 中有两个非空的隔离子集,A B ,使得A B X ⋃=,则称X 是一个 ;答案:不连通空间.三.判断(每题4分,判断1分,理由3分)1、.从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( ) 答案:√理由:设X 是离散空间,Y 是拓扑空间,:f X Y →是连续映射,因为对任意A Y ⊂,都有1)f A X -⊂(,由于X 中的任何一个子集都是开集,从而1()f A -是X 中的开集,所以:f X Y →是连续的.2、设12, T T 是集合X 的两个拓扑,则12 T T ⋂不一定是集合X 的拓扑( )答案:× 理由:因为(1)12, T T 是X 的拓扑,故∈φ,X T 1,∈φ,X T 2,从而∈φ,X 12 T T ⋂; (2)对任意的∈B A ,T 1⋂T 2,则有∈B A ,T 1且∈B A ,T 2,由于T 1, T 2是X 的拓扑,故∈⋂B A T 1且∈⋂B A T 2,从而∈⋂B A T 1⋂T 2;(3)对任意的21T T T ⋂⊂',则21,T T T T ⊂'⊂',由于T 1, T 2是X 的拓扑,从而 U ∈T ’U ∈T 1, U ∈T ’U ∈T 2,故 U ∈T ’U ∈ T 1⋂T 2;综上有T 1⋂T 2也是X 的拓扑.3、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射( )答案:√ 理由:设:f X Y →是任一满足条件的映射,由于Y 是平庸空间,它中的开集只有,Y φ,易知它们在f 下的原象分别是,X φ,均为X 中的开集,从而:f X Y →连续.4、设A 为离散拓扑空间X 的任意子集,则()d A φ= ( )答案:√ 理由:设p 为X 中的任何一点,因为离散空间中每个子集都是开集, 所以{}p 是X 的开子集,且有{}{}()p A p φ-= ,即()p d A ∉,从而 ()d A φ=.5、设A 为平庸空间X (X 多于一点)的一个单点集,则()d A φ= ( )答案:× 理由:设{}A y =,则对于任意,x X x y ∈≠,x 有唯一的一个邻域X ,且有()y X A x ∈⋂-,从而()X A x φ⋂-≠,因此x 是A 的一个凝聚点,但对于y 的唯一的邻域X ,有()X A y φ⋂-=,所以有()d A X A φ=-≠.6、设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集,则()d A X = ( )答案:√ 理由:对于任意,x X ∈因为A 包含多于一点,从而对于x 的唯一的邻域X ,且有()X A x φ⋂-≠,因此x 是A 的一个凝聚点,即()x d A ∈,所以有()d A X =.7、设X 是一个不连通空间,则X 中存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=( )答案:√理由:设X 是一个不连通空间,设,A B 是X 的两个非空的隔离子集使得A B X ⋃=,显然A B φ= ,并且这时有:()()B B X B A B B B =⋂=⋂⋃⋂=从而B 是X 的一个闭子集,同理可证A 是X 的一个闭子集,这就证明了,A B 满足,A B A B Xφ⋂=⋃=. 8、若拓扑空间X 中存在一个既开又闭的非空真子集,则X 是一个不连通空间( )√ 理由:这是因为若设A 是X 中的一个既开又闭的非空真子集,令B A '=,则,A B 都是X 中的非空闭子集,它们满足A B X ⋃=,易见,A B 是隔离子集,所以拓扑空间X 是一个不连通空.五.简答题(每题4分)1、设X 是一个拓扑空间,,A B 是X 的子集,且A B ⊂.试说明()()d A d B ⊂. 答案:对于任意()x d A ∈,设U 是x 的任何一个邻域,则有({})U A x φ⋂-≠,由于A B ⊂,从而({})({})U B x U A x φ⋂-⊃⋂-≠,因此()x d B ∈,故()()d A d B ⊂.2、设,,X Y Z 都是拓扑空间.:f X Y →, :g Y Z →都是连续映射,试说明:g f X Z → 也是连续映射.答案:设W 是Z 的任意一个开集,由于:g Y Z →是一个连续映射,从而1()g W -是Y 的一个开集,由:f X Y →是连续映射,故11(())f g W --是X 的一开集,因此 111()()(())g f W f g W ---= 是X 的开集,所以:g f X Z → 是连续映射.3、设X 是一个拓扑空间,A X ⊂.试说明:若A 是一个闭集,则A 的补集A '是一个开集. 答案:对于x A '∀∈,则x A ∉,由于A 是一个闭集,从而x 有一个邻域U 使得({})U A x φ⋂-=,因此U A φ⋂=,即U A '⊂,所以对任何x A '∈,A '是x 的一个邻域,这说明A '是一个开集.4、设X 是一个拓扑空间,A X ⊂.试说明:若A 的补集A '是一个开集,则A 是一个闭集. 答案:设x A ∉,则x A '∈,由于A '是一个开集,所以A '是x 的一个邻域,且满足A A φ'⋂=,因此x A ∉,从而A A ⊃,即有A A =,这说明A 是一个闭集.5、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集]}2[],1[],0{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T .答案:]}}1[],0{[]},0{[,,{Y φ= T6、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集]}3[],2[],1{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T . 答案:{,,{[3]},{[2],[3]}}T Y φ=7、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[1],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T . 答案:{,,{[1]},{[1],[1]}}T Y φ=--8、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[2],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T . 答案:{,,{[2]},{[2],[1]}}T Y φ=--9、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[3]}Y =,试写出Y 的商拓扑T . 答案:{,,{[3]},{[2],[3]}}T Y φ=10、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[4]}Y =,试写出Y 的商拓扑T . 答案:{,,{[4]},{[2],[4]}}T Y φ=11、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[1],[2],[4]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T . 答案:{,,{[4]},{[2],[4]}}T Y φ=六、证明题(每题8分)1、设:f X Y →是从连通空间X 到拓扑空间Y 的一个连续映射.则()f X 是Y 的一个连通子集. 证明:如果()f X 是Y 的一个不连通子集,则存在Y 的非空隔离子集,A B 使得()f X A B =⋃ …………………………………………… 3分于是11(),()f A f B --是X 的非空子集,并且:111111111(()())(()())(()())(()())(()())f A fB f B f A fA fB f B f A f A B A B φ---------⋂⋃⋂⊂⋂⋃⋂=⋂⋃⋂= 所以11(),()f A f B --是X 的非空隔离子集 此外,1111()()()(())f A f B f A B f f X X ----⋃=⋃==,这说明X 不连通,矛盾.从而()f X 是Y 的一个连通子集. ………………………… 8分2、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的开集使得B A Y ⋃⊂,则或者A Y ⊂,或者B Y ⊂.证明:因为B A ,是X 的开集,从而Y B Y A ⋂⋂,是子空间Y 的开集. 又因B A Y ⋃⊂中,故)()(Y B Y A Y ⋂⋃⋂= ………………… 4分 由于Y 是X 的连通子集,则Y B Y A ⋂⋂,中必有一个是空集. 若Φ=⋂Y B ,则A Y ⊂;若Φ=⋂Y A ,则B Y ⊂………………… 8分3、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的闭集使得B A Y ⋃⊂,则或者A Y ⊂,或者B Y ⊂. 证明:因为B A ,是X 的闭集,从而Y B Y A ⋂⋂,是子空间Y 的闭集. 又因B A Y ⋃⊂中,故)()(Y B Y A Y ⋂⋃⋂= ………………… 4分 由于Y 是X 的连通子集,则Y B Y A ⋂⋂,中必有一个是空集. 若Φ=⋂Y B ,则A Y ⊂;若Φ=⋂Y A ,则B Y ⊂………………… 8分4、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集,Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂,则Z 也是X 的一个连通子集. 证明:若Z 是X 的一个不连通子集,则在X 中有非空的隔离子集,A B 使得Z A B =⋃.因此Y A B ⊂⋃ ………………………………… 3分由于Y 是连通的,所以Y A ⊂或者Y B ⊂,如果Y A ⊂,由于Z Y A ⊂⊂,所以Z B A B φ⋂⊂⋂=,因此 B Z B φ=⋂=,同理可证如果Y B ⊂,则A φ=,均与假设矛盾.故Z 也 是X 的一个连通子集. …………………………………………………………………… 8分5、设{}Y γγ∈Γ是拓扑空间X 的连通子集构成的一个子集族.如果Y γγφ∈Γ≠ ,则Y γγ∈Γ 是X 的一个连通子集.证明:若Y γγ∈Γ 是X 的一个不连通子集.则X 有非空的隔离子集,A B 使得Y A B γγ∈Γ=⋃ ………………………………………… 4分任意选取x Y γγ∈Γ∈ ,不失一般性,设x A ∈,对于每一个γ∈Γ,由于Y γ连通,从而Y A γγ∈Γ⊂ 及B φ=,矛盾,所以Y γγ∈Γ 是连通的. ………………………………………… 8分6、设A 是拓扑空间X 的一个连通子集,B 是X 的一个既开又闭的集合.证明:如果A B φ⋂≠,则A B ⊂.证明:若B X =,则结论显然成立.下设B X ≠,由于B 是X 的一个既开又闭的集合,从而A B ⋂是X 的子空间A 的一个既开又闭的子集………………………………… 4分由于A B φ⋂≠及A 连通,所以A B A ⋂=,故A B ⊂.………… 8分7、设A 是连通空间X 的非空真子集. 证明:A 的边界()A φ∂≠.证明:若()A φ∂=,由于()A A A --'∂=⋂,从而()()()()A A A A A A A A A A φ------'''''=⋂=⋂⋂⋃=⋂⋃⋂, 故, A A '是X 的隔离子集 ………………………………………… 4分 因为A 是X 的非空真子集,所以A 和A '均非空,于是X 不连通,与题设矛盾.所以()A φ∂≠. ……………………………………………… 8分。
点集拓扑(答案).docx
%选择公理定义: 设 X 是一个集合。
记 X 为 X 中 的 所 有 非 空 子 集 构 成 的 集 族 , 即% (X ) { } 。
如 果 一 个 映 射:X %X 满足条件:对于任意 A %XX ,有( A) A ,则此映射 称为集合 X 的一个选择函数。
任何一个函数都有选择函数就是选择公理。
1.设 X 和 Y 是两个集合。
证明: cardY cardX当且仅当存在一个从 X 到 Y 的满射。
证:设 cardY cardX ,即存在一个 Y 到 X 的一 一 映 射 f , 定 义 g : X Y , 使g( x)f 1 (x) 当 x f (Y)y 0 当 x其中 y 0 为 Yf (Y)中一固定元,则 g 是从 X 到 Y 上的映射。
反之,若存在从X 到 Y 上的映射 g ,记{ A y : y Y, g 1( y) A y } 则 是 X 中非空族,并且 中成员两两无交, 由 Zermelo假 定 存 在 集 合 C X , 使 得 对 于 每 一A, A C 是单点集,所以存在C 到 Y上的一一映射,即 Cc Y ,又 Cc Y ,故Yc X 。
2.设 T 1 和 T 2 是集合X 的两个拓扑。
证明T 1 T 2 也是集合 X 的拓扑。
举例说明T 1T 2可以不是 X 的拓扑。
证 : 若 T 1 , T 2 都 是 X 的 拓 扑 , 由 于, X T 1 ,T 2 , 所以 , X T 1 I T 2 ; 任 意A, B T 1 I T 2 , 即 A, B T 1,T 2 , 所 以 A I B T 1 I T 2 , 任 意 TT 1 I T 2 , 即T T 1 ,T 2 , 即 , 则 U A T 1 ,T 2 , 所 以A TU A T 1 I T 2 ,因此 T 1I T 2 是 X 的拓扑。
A T例 : 设 X{ a,b, c} , T 1 ={{a} ,{b,c},{a,b,c}, } , T 2 ={{b} ,{a,c},{a,b,c}, } 易见 T 1 ,T 2都 是 X的 拓 扑 , 但T 1 U T 2 {{a} ,{a,c},{b,c},{a,b,c}, } ,而{ a},{ b}T 1 U T 2 , { a,b} { a} U { b}T 1UT 2 ,因此 T 1 U T 2 不是 X 的拓扑。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
点集拓扑学练习题(第7章)
一、单项选择题
1、若拓扑空间X的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖,则称拓扑空间X是一个()
① lindeloff空间②正则空间③紧致空间④可分空间
2、紧致空间中的每一个闭子集都是()
①非紧致子集②开集③紧致子集④以上都不对
3、Hausdorff空间中的每一个紧致子集都是()
①即开又闭子集②开集③闭集④以上都不对
4、拓扑空间X的任何一个有限子集都是()
①闭集②紧致子集③非紧致子集④开集
5、实数空间R的子集{1,2,3,4}
A=是()
①闭集②紧致子集③开集④非紧致子集
6、如果拓扑空间X的每个紧致子集都是闭集,则X是()
①
T空间②紧致空间③可数补空间④非紧致空间
2
二、填空题(每题1分)
1、设X是一个拓扑空间.如果X的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖,则称拓扑空间X 是一个 .
2、设X是一个拓扑空间,Y是X的一个子集.如果Y作为X的子空间是一个紧致空间,则称Y是拓扑空间X的一个 .
3. 当X为___________________________空间,则X的闭集是紧致子集;
X为___________________________空间,则X的紧致子集是闭集;
4. Y
f→
]1,0[:为连续的满射,则Y是。
(填Y具有哪些具体的紧致性、可数性、分离性等性质,写3个)
三.判断
1、设,A B是拓扑空间X的两个紧致子集,则A B
⋃是一个紧致子集.( )
2、Hausdorff空间中的每一个紧致子集都是闭集.( )
四.简答题
1、试说明紧致空间X的无穷子集必有凝聚点.
2、如果X Y
⨯是紧致空间,则X是紧致空间.
3、试说明紧致空间X的每一个闭子集Y都是紧致子集.
五、证明题
1、设,X Y是两个拓扑空间,:f X Y
→是一个连续映射.如果A是X的一个紧致子集,证明()
f A是Y的一个紧致子集.
2、设X是一个正则空间,A是X的一个紧致子集,X
Y⊂.证明:如果A
Y
A⊃
⊃,则Y也是X的一个紧致子集.
3、设X是一个正则空间,A是X的一个紧致子集.证明:A也是X的一个紧致子集.
4、设X是一个Hausdorff空间,A是它的一个非空集族,由X的紧致子集构成,
证明:
A
A ∈
A
是X的一个紧致子集.
5、设:f X Y
→是连续的一一映射,其中X是紧致空间,Y是一个Hausdorff空间,证明:f X Y
→是一个同胚映射.
6、证明Hausdorff空间中的每一个紧致子集都是闭子集.。