中考第一轮复习第5讲一次方程(组)

第二单元 方程(组)与不等式(组)第5讲 一次方程(组),知识清单梳理)一元一次方程的概念、解法1．一元一次方程：只含有__一个__未知数，并且未知数的最高次数是__1__，系数不等于0的__整式__方程叫做一元一次方程，其标准形式为__ax ＋b ＝0(a≠0)__，其解为x ＝__－ba__．2．解方程的一般步骤及每步的理论根据和注意点 去分母――→根据等式性质2――→注意点⎩⎪⎨⎪⎧勿漏乘不含分母的项，分子是两项以上的代数式须加上括号去括号――→根据⎩⎪⎨⎪⎧去括号法则分配律――→注意点⎩⎪⎨⎪⎧勿漏乘括号内每一项；括号前是“－”，括号内 各项都要变号移项――→根据移项法则（等式性质1）――→注意点⎩⎪⎨⎪⎧移项要变号，勿漏项合并同类项――→根据合并同类项法则――→注意点⎩⎪⎨⎪⎧系数相加，字母及它的指数不变二元一次方程(组)的相关概念、解法1．二元一次方程：含有__两个__未知数，并且未知数的项的次数都是__1__，这样的整式方程叫做二元一次方程．一般形式：ax ＋by ＝c(a≠0，b ≠0)．2．二元一次方程组：具有相同未知数的__两个__二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．3．解二元一次方程组的基本思想是__消元__，即化二元一次方程组为一元一次方程，主要方法有__代入__消元法和__加减__消元法．列方程(组)解应用题的一般步骤1．__审题__； 2．__设元__；3．找出能够包含未知数的__等量关系__； 4．__列出方程(组)__； 5．__求出方程(组)的解__； 6．__验根并作答__．,云南省近五年高频考点题型示例)一次方程(组)的解【例1】(2019云南中考)已知关于x 的方程2x ＋a ＋5＝0的解是x ＝1，则a 的值为________． 【解析】x ＝1是关于x 的方程2x ＋a ＋5＝0的解，把它代入原方程即可．【答案】－7一次方程(组)的实际应用【例2】(2019曲靖中考)小明所在城市的“阶梯水价”收费办法是：每户用水不超过5 t 部分，每吨水费x 元；超过5 t 部分，每吨加收2元．小明家今年5月份用水9 t ，缴纳水费44元．根据题意列出关于x 的方程正确的是( )A ．5x ＋4(x ＋2)＝44B ．5x ＋4(x －2)＝44C ．9(x ＋2)＝44D ．9(x ＋2)－4×2＝44【解析】根据题意：水费＝单价×用水量；用水不超过5 t 部分，每吨水费x 元；超过5 t 部分，每吨加收2元；今年5月份用水9 t ，所以列得方程5x ＋4(x ＋2)＝44，选A.【答案】A1．(2019曲靖中考)某工厂加强节能措施，去年下半年与上半年相比，月平均用电量减少2 000度，全年用电15万度．如果设上半年每月平均用电x 度，则所列方程正确的是( A )A ．6x ＋6(x －2 000)＝150 000B ．6x ＋6(x ＋2 000)＝150 000C ．6x ＋6(x －2 000)＝15D ．6x ＋6(x ＋2 000)＝152．(2019红河中考)一件外衣的进价为200元，按标价的八折销售时，利润率为10%.这件外衣的标价为多少元？(注：利润率＝售价－进价进价×100%)解：根据题意：设外衣标价为x 元，则售价为0.8x 元． 由题意得0.8x －200200×100%＝10%，解得x ＝275.答：这件外衣的标价为275元．3．(2019昆明中考)某校运动会需购买A ，B 两种奖品．若购买A 种奖品3件和B 种奖品2件，共需60元；若购买A 种奖品5件和B 种奖品3件，共需95元．(1)A ，B 两种奖品单价各是多少元？(2)学校计划购买A ，B 两种奖品共100件，购买费用不超过1 150元，且A 种奖品的数量不大于B 种奖品数量的3倍．设购买A 种奖品m 件，购买费用为W 元，写出W(元)与m(件)之间的函数关系式，求出自变量m 的取值范围，并确定最少费用W 的值．解：(1)设A ，B 两种奖品单价分别为x 元，y 元．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝60，5x ＋3y ＝95，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝15. 答：A ，B 两种奖品单价分别为10元，15元； (2)由题意，得W ＝10m ＋15(100－m) ＝10m ＋1 500－15m ＝1 500－5m ，由⎩⎪⎨⎪⎧1 500－5m≤1 150，m ≤3（100－m ），解得70≤m≤75. 由一次函数W ＝1 500－5m 可知，W 随m 增大而减小，∴当m ＝75时，W 最小，最小为W ＝1 500－5×75＝1 125(元)．答：当购买A 种奖品75件，B 种奖品25件时，费用W 最小，最小为1 125元．4．(2019曲靖中考)某商场投入13 800元资金购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价和销售价如表所示：(1)该商场购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？(2)全部售完500箱矿泉水，该商场共获得利润多少元？ 解：(1)设该商场购进甲种矿泉水x 箱，乙种矿泉水y 箱．则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝500，24x ＋33y ＝13 800， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝300，y ＝200.答：该商场购进甲种矿泉水300箱，乙种矿泉水200箱； (2)由题意可知，每箱甲种矿泉水的利润为12元，每箱乙种矿泉水的利润为15元，则12×300＋15×200＝6 600(元)．答：该商场共获得利润6 600元．5．(2019云南中考)为有效开展阳光体育活动，云洱中学利用课外活动时间进行班级篮球比赛，每场比赛都要决出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．已知九年级(1)班在8场比赛中得到13分，则九年级(1)班胜、负场数分别是多少？解：设胜了x 场，负了y 场．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝8，2x ＋y ＝13.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3.答：九年级(1)班胜5场，负3场．6．(2019云南中考)食品安全是关乎民生的重要问题，在食品中添加过量的添加剂对人体健康有害，但适量的添加剂对人体无害而且有利于食品的储存和运输．为提高质量，做进一步研究，某饮料加工厂需生产A ，B 两种饮料共100瓶，需加入同种添加剂270 g ，其中A 饮料每瓶需加该添加剂2 g ，B 饮料每瓶需加该添加剂3 g ，饮料加工厂生产A ，B 两种饮料各多少瓶？解：设生产A 种饮料x 瓶，B 种饮料y 瓶．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝100，2x ＋3y ＝270，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝30，y ＝70.答：饮料加工厂生产A 种饮料30瓶，生产B 种饮料70瓶．7．(2019昆明中考)春节期间，某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品2件和乙商品3件共需270元；购进甲商品3件和乙商品2件共需230元．(1)甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？(2)商场决定甲商品以每件40元出售，乙商品以每件90元出售，为满足市场需求，需购进甲、乙两种商品共100件，且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润．解：(1)设甲种商品每件的进价为x 元，乙种商品每件的进价为y 元．依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝270，3x ＋2y ＝230，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝30，y ＝70.答：甲种商品每件的进价为30元，乙种商品每件的进价为70元； (2)设该商场购进甲种商品m 件，则购进乙种商品(100－m)件． 由已知得：m≥4(100－m)， 解得m≥80.设卖完A ，B 两种商品，商场的利润为w.则w ＝(40－30)m ＋(90－70)(100－m)＝－10m ＋2 000， ∴当m ＝80时，w 取最大值，最大利润为1 200元．故该商场获利最大的进货方案为甲商品购进80件，乙商品购进20件，最大利润为1 200元．,近五年遗漏考点及社会热点与创新题)1.遗漏考点等式的性质【例1】(2019杭州中考)设x ，y ，c 是实数( ) A ．若x ＝y ，则x ＋c ＝y －c B ．若x ＝y ，则xc ＝yc C ．若x ＝y ，则x c ＝y c D ．若x 2c ＝y3c，则2x ＝3y【解析】根据等式的性质，可得：A.两边加不同的数，故A 不符合题意；B.两边都乘以c ，故B 符合题意；C.c ＝0时，两边都除以c 无意义，故C 不符合题意；D.两边乘以不同的数，故D 不符合题意；故选B.【答案】B一次方程组的概念【例2】关于下列方程组，说法正确的是( )(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝6，y ＋z ＝2；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝6，x ＋1＝2；(3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋2y ＝4；(4)⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝4，x ＋2y ＝4，3x ＋6y ＝12.A ．只有(2)是二元一次方程组B ．只有(2)(3)是二元一次方程组C ．只有(3)是二元一次方程组D ．只有(1)不是二元一次方程组 【解析】二元一次方程组是方程组中含有两个未知数，未知数的项的次数都是1次，并且一共有两个；(1)中有3个未知数，(4)中有3个方程；所以选B.【答案】B一元一次方程的解法【例3】方程3x ＋2x －13＝9去分母正确的是( )A ．9x ＋(2x －1)＝9B ．3x ＋(2x －1)＝9C ．9x ＋(2x －1)＝27D ．3x ＋(2x －1)＝3【解析】去分母时要在方程两边都乘以各分母的最小公倍数，注意别漏项；所以选C. 【答案】C 2．创新题【例4】已知实数x ，y 满足|x －4|＋y －8＝0，则以x ，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是( ) A ．20或16 B ．20C ．16D ．以上答案均不对【解析】根据绝对值和二次根式的非负性列出关于x ，y 的方程并求出x ，y 的值，再根据x 是腰长和底边长两种情况讨论求解．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x －4＝0，①y －8＝0，②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝8.(1)若4是腰长，则三角形的三边长为：4，4，8，不能组成三角形；(2)若4是底边长，则三角形的三边长为：4，8，8，能组成三角形，周长为4＋8＋8＝20. 【答案】B【例5】已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2是方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝3，bx ＋ay ＝－7的解，则代数式(a ＋b)(a －b)的值为________． 【解析】首先根据解的定义把x ，y 的值代入方程组，得到关于a ，b 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧3a －2b ＝3，①3b －2a ＝－7，②可以考虑常规消元法，但是观察发现a ，b 的系数在两式中有一定的特征：①＋②得：a ＋b ＝－4；①－②得：5a －5b ＝5(a －b)＝10；与我们的目标很接近，从而整体代入．【答案】－8【例6】(江西中考)如图是一根可伸缩的鱼竿，鱼竿是用10节大小不同的空心套管连接而成．闲置时鱼竿可收缩，完全收缩后，鱼竿的长度即为第1节套管的长度(如图①所示)，使用时，可将鱼竿的每一节套管都完全拉伸(如图②所示)．图③是这根鱼竿所有套管都处于完全拉伸状态下的平面示意图．已知第1节套管长50 cm ，第2节套管长46 cm ，以此类推，每一节套管均比前一节套管少4 cm ，完全拉伸时，为了使相邻两节套管连接并固定，每相邻两节套管间均有相同长度的重叠，设其长度为x cm.(1)请直接写出第5节套管的长度；(2)当这根鱼竿完全拉伸时，其长度为311 cm ，求x 的值．【解析】(1)根据“第n 节套管的长度＝第1节套管的长度－4×(n－1)”，代入数据即可得出结论；(2)同(1)的方法求出第10节套管重叠的长度，设每相邻两节套管间的长度为x cm ，根据“鱼竿长度＝每节套管长度相加－(10－1)×相邻两节套管间重叠的长度”，得出关于x 的一元一次方程，解方程即可得出结论．【答案】解：(1)50－4×(5－1)＝34 cm ；(2)第10节套管的长度为：50－4×(10－1)＝14 cm ； 根据题意得：(50＋46＋42＋…＋14)－9x ＝311， 即：320－9x ＝311， 解得x ＝1.答：每相邻两节套管间重叠的长度为1 cm.,课内重难点真题精练及解题方法总结)1.若2(a ＋3)的值与4互为相反数，则a 的值为( C ) A ．1 B ．－72 C ．－5 D.122．若代数式x ＋2的值为1，则x 等于( B )A ．1B ．－1C ．3D ．－3【方法总结】此题考查了解一元一次方程，根据题意列出方程是解本题的关键．3．已知关于x ，y 的方程x 2m －n －2＋4y m ＋n ＋1＝6是二元一次方程，则m ，n 的值为( A ) A ．m ＝1，n ＝－1 B ．m ＝－1，n ＝1C ．m ＝13，n ＝－43D ．m ＝－13，n ＝434．如图，直线y ＝ax ＋b 过点A(0，2)和点B(－3，0)，则方程ax ＋b ＝0的解是( D )A ．x ＝2B ．x ＝0C ．x ＝－1D ．x ＝－35．超市店庆促销，某种书包原价每个x 元，第一次降价打“八折”，第二次降价每个又减10元，经两次降价后售价为90元，则得到方程( A )A ．0.8x －10＝90B ．0.08x －10＝90C ．90－0.8x ＝10D ．x －0.8x －10＝90 6．(2019乌鲁木齐中考)一件衣服售价为200元，六折销售，仍可获利20%，则这件衣服的进价是__100__元．7．(2019呼和浩特中考)某专卖店有A ，B 两种商品．已知在打折前，买60件A 商品和30件B 商品用了1 080元，买50件A 商品和10件B 商品用了840元；A ，B 两种商品打相同折以后，某人买500件A 商品和450件B 商品一共比不打折少花1 960元，计算打了多少折？解：设打折前A 商品的单价为x 元/件，B 商品的单价为y 元/件．根据题意得：⎩⎪⎨⎪⎧60x ＋30y ＝1 080，50x ＋10y ＝840，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16，y ＝4， 500×16＋450×4＝9 800(元)，9 800－1 9609 800＝0.8.答：打了八折．8．(2019百色中考)某校九年级10个班师生举行毕业文艺汇演，每班2个节目，有歌唱与舞蹈两类节目，年级统计后发现歌唱类节目数比舞蹈类节目数的2倍少4个．(1)九年级师生表演的歌唱与舞蹈类节目数各有多少个？(2)该校七、八年级师生有小品节目参与，在歌唱、舞蹈、小品三类节目中，每个节目的演出平均用时分别是5分钟、6分钟、8分钟，预计所有演出节目交接用时共花15分钟．若从20：00开始，22：30之前演出结束，则参与的小品类节目最多能有多少个？解：(1)设九年级师生表演的歌唱类节目有x 个，舞蹈类节目有y 个．根据题意，得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝10×2，x ＝2y －4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝8. 答：九年级师生表演的歌唱类节目有12个，舞蹈类节目有8个；(2)设参与的小品类节目有a 个，根据题意，得：12×5＋8×6＋8a ＋15＜150， 解得a ＜278， 由于a 为整数， ∴a ＝3.答：参与的小品类节目最多能有3个．【方法总结】根据题意列出方程组解答即可，涉及到实际问题要注意取值的合理性．9．(2019海南中考)在某市“棚户区改造”建设工程中，有甲、乙两种车辆参加运土，已知5辆甲种车和2辆乙种车一次共可运土64 m 3，3辆甲种车和1辆乙种车一次共可运土36 m 3，则甲、乙两种车每辆一次分别可运土多少立方米？解：设甲种车辆一次运土x m 3，乙种车辆一次运土y m 3.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋2y ＝64，3x ＋y ＝36，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝12. 答：甲种车辆一次运土8 m 3，乙种车辆一次运土12 m 3. 请完成精练本第5页作业2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，将边长为6cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，点C落在点Q处，折痕为FH，则线段AF的长为（）A．32B．3 C．94D．1542．已知抛物线y=ax2+bx+c中，4a-b=0，a-b+c>0，抛物线与x轴有两个不同的交点，且这两个交点之间的距离小于2，则下列判断错误的是（）A.abc > 0B.c < 3aC.4a > cD.a+b+c > 03．如图，▱ABCD中，∠B＝70°，BC＝6，以AD为直径的⊙O交CD于点E，则DE的长为（）A．13πB．23πC．76πD．43π4．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列4个结论：①abc＜0；②2a+b＝0；③4a+2b+c ＞0；④b2﹣4ac＞0；其中正确的结论的个数是（）A.1B.2C.3D.45．郑州某中学在备考2018河南中考体育的过程中抽取该校九年级20名男生进行立定跳远测试，以便知道下一阶段的体育训练，成绩如下所示：则下列叙述正确的是（）A．这些运动员成绩的众数是 5B．这些运动员成绩的中位数是 2.30C ．这些运动员的平均成绩是 2.25D ．这些运动员成绩的方差是 0.07256．2018年，淮南市经济运行总体保持平稳增长，全年GDP 约为1130亿元，GDP 在全省排名第十三.将1130亿用科学记数法表示为（ ） A ．11.3×1010B ．1.13×1010C ．1.13×1011D ．1.13×10127．下列关系式中，y 不是自变量x 的函数的是（ ） A ．y ＝xB ．y ＝x 2C ．y ＝|x|D ．y 2＝x8．如图，由矩形和三角形组合而成的广告牌紧贴在墙面上，重叠部分（阴影）的面积是4m 2，广告牌所占的面积是 30m 2（厚度忽略不计），除重叠部分外，矩形剩余部分的面积比三角形剩余部分的面积多2m 2，设矩形面积是xm 2，三角形面积是ym 2，则根据题意，可列出二元一次方程组为（ ）A ．430(4)(4)2x y x y +-=⎧⎨---=⎩B ．26(4)(4)2x y x y +=⎧⎨---=⎩C ．430(4)(4)2x y y x +-=⎧⎨---=⎩D ．4302x y x y -+=⎧⎨-=⎩9．下列说法中正确的是（ ） A ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形 B ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 C ．两条对角线相等的四边形是矩形D ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形10．某市从不同学校随机抽取100名初中生，对“学校统一使用数学教辅书的册数”进行调查，统计结果如下：关于这组数据，下列说法正确的是（ ） A.众数是2册B.中位数是2册C.极差是2册D.平均数是2册11．下列运算正确的是( ) A ．235a a a +=B ．235(2)2a a -=- C ．236a a a ⋅=D ．624a a a ÷=12．下列运算中，正确的是（ ） A ．a 6÷a 3＝a 2 B ．（﹣a+b ）（﹣a ﹣b ）＝b 2﹣a 2 C ．2a+3b ＝5ab D ．﹣a （2﹣a ）＝a 2﹣2a二、填空题13．把多项式3mx ﹣6my 分解因式的结果是_____．14．已知点M（x，y）与点N（﹣2，﹣3）关于x轴对称，则x+y＝_____．15．如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，G，H分别是AF和CD的中点，P是GH上的动点，连接AP，BP，则AP＋BP的值最小时，BP与HG的夹角(锐角)度数为________．16．如图，△AOB中，∠O=90°，AO=8cm，BO=6cm，点C从A点出发，在边AO上以2cm/s的速度向O点运动，与此同时，点D从点B出发，在边BO上以1.5cm/s的速度向O点运动，过OC的中点E作CD的垂线EF，则当点C运动了__s时，以C点为圆心，1.5cm为半径的圆与直线EF相切．17．已知174a2+10b2+19c2﹣4ab＝13a﹣2bc﹣19，则a﹣2b+c＝_____．18．关于x的函数y＝（k﹣1）x2﹣2x+1与x轴有两个不同的交点，则实数k的取值范围是_____．三、解答题19．国家“一带一路”倡议提出以后，得到全世界的广泛参与，助推我国界经济的发展，某校数学兴趣小组为了解所在城市市民对“一带一路”倡议的关注情况，在本市街头随机调查了部分市民，并根据调查结果制成了如下尚不完善的统计图表（1）填空：此次调查人数为，m＝，n＝（2）请补全条形统计图．（3）根据调查结果，可估计本市120万市民中，高度关注“一带一路”倡议的有多少人？20．如图，AC 为∠BAM 平分线，AB ＝10，以AB 的长为直径作⊙O 交AC 于点D ，过点D 作DE ⊥AM 于点E ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线．（2）若DE ＝4，求AD 的长．21．如图，AB 是⊙O 的直径，AE 交⊙O 于点F ，且与⊙O 的切线CD 互相垂直，垂足为D ．（1）求证：∠EAC ＝∠CAB ；（2）若CD ＝4，AD ＝8，求AB 的长和tan ∠BAE 的值．22．如图，已知OA 是⊙O 的半径，AB 为⊙O 的弦，过点O 作OP ⊥OA ，交AB 的延长线上一点P ，OP 交⊙O 于点D ，连接AD ，BD ，过点B 作⊙O 的切线BC 交OP 于点C(1)求证：∠CBP ＝∠ADB ；(2)若O4＝4，AB ＝2，求线段BP 的长．23．先化简2(1)(2)x x x x x--÷++，然后从－2，－1， 0， 1中选取一个你认为合适的数作为x 的值代入求值． 24．如图，已知⊙O 是以BC 为直径的△ABC 的外接圆，OP ∥AC ，且与BC 的垂线交于点P ，OP 交AB 于点D ，BC 、PA 的延长线交于点E ．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若sinE＝35，PA＝6，求AC的长．25．某市礼乐中学校团委开展“关爱残疾儿童”爱心捐书活动，全校师生踊跃捐赠各类书籍共3000本．为了解各类书籍的分布情况，从中随机抽取了部分书籍分四类进行统计：A．艺术类；B．文学类；C．科普类；D．其他，并将统计结果绘制成加图所示的两幅不完整的统计图．（1）这次统计共抽取了________本书籍，扇形统计图中的m=________，α∠的度数是________；（2）通过计算补全条形统计图；（3）请你估计全校师生共捐赠了多少本文学类书籍．【参考答案】***一、选择题二、填空题13．3m（x﹣2y）14．115．60°16．．17．-14.18．k＜2且k≠1三、解答题19．(1) 200，20，0.15；(2)见解析;(3) 12万人【解析】【分析】（1）由B种关注情况的频数及其频率可得样本容量，再根据频率=频数÷总人数可得m、n的值；（2）根据（1）中所求结果可补全条形图；（3）总人数乘以样本中A种关注情况的频率即可得．【详解】（1）此次调查的人数为100÷0.5＝200（人），m＝200×0.1＝20，n＝30÷200＝0.15，故答案为：200，20，0.15；（2）补全条形图如下：（3）可估计本市120万市民中，高度关注“一带一路”倡议的有120×0.1＝12（万人）．【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．20．（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）连接OD，欲证明DE是⊙O的切线，只要证明OD⊥DE即可．（2）过点D作DF⊥AB于点F，即可证得DE＝DF＝4，在RT△ADF中利用射影定理求得AF，然后利用勾股定理求出AD．【详解】解：（1）证明：连接OD，∵AC为∠BAM平分线，∴∠BAC＝∠MAC，∵OA＝OD，∴∠BAC＝∠ADO，∴∠MAC＝∠ADO∴AE∥OD，∵DE⊥AM，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O 的切线；（2）连接BD，过点D作DF⊥AB于点F，∵AC为∠BAM平分线，DE⊥AM，∴DF＝DE＝4，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴DF2＝AF•BF，即42＝AF（10﹣AF），∴AF＝8或AF＝2（舍去）∴AD==【点睛】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理、射影定理以及勾股定理等知识，解题的关键是记住切线的判定方法，学会添加常用辅助线，属于基础题，中考常考题型．21．(1)见解析（2）4 3【解析】【分析】（1）连接OC，在利用切线性质即可解答（2）连接BC在证明△ACD∽△ABC，再利用勾股定理进行解答【详解】（1）证明：连接OC．∵CD是⊙O的切线，∴CD⊥OC，又∵CD⊥AE，∴OC∥AE，∴∠1＝∠3，∵OC＝OA，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，即∠EAC＝∠CAB；（2）连接BC．∵AB是⊙O的直径，CD⊥AE于点D，∴∠ACB＝∠ADC＝90°，∵∠1＝∠2，∴△ACD∽△ABC，∴AD AC AC AB=，∵AC2＝AD2+CD2＝42+82＝80，∴AB＝2ACAD＝10，∴⊙O的半径为10÷2＝5．连接CF与BF．∵四边形ABCF是⊙O的内接四边形，∴∠ABC+∠AFC＝180°，∵∠DFC+∠AFC＝180°，∴∠DFC＝∠ABC，∵∠2+∠ABC＝90°，∠DFC+∠DCF＝90°，∴∠2＝∠DCF，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠DCF，∵∠CDF＝∠CDF，∴△DCF∽△DAC，∴CD DF AD CD=，∴DF＝2CDAD＝2，∴AF＝AD﹣DF＝8﹣2＝6，∵AB是⊙O的直径，∴∠BFA＝90°，∴BF＝8，∴tan∠BAD＝BFAF=43．【点睛】此题考查了切线的性质和勾股定理，要合理的作好辅助线，在利用三角形相似来解答22．(1)证明见解析；(2)BP的长为14．【解析】【分析】(1)连接OB，根据切线的性质得到OB⊥BC，根据等腰三角形的性质得到∠OAB＝∠ABO，得到2∠OAB+∠AOB ＝180°，于是得到结论；(2)延长AO交⊙O于E，连接BE．由圆周角定理得到∠ABE＝90°，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】(1)证明：连接OB，∵BC为⊙O的切线，∴OB⊥BC，∴∠ABO+∠CBP＝180°﹣∠CBO，＝180°﹣90°＝90°，∵OB＝OA，∴∠OAB＝∠ABO，∵∠OAB+∠ABO+∠AOB＝180°∴2∠OAB+∠AOB＝180°，∵∠AOB＝2∠ADB，∴∠ABO+∠ADB＝90°，∴∠CBP＝∠ADB；(2)解：延长AO交⊙O于E，连接BE．∵AE为直径，∴∠ABE＝90°，∵OP⊥AO，∴∠AOP＝90°在Rt△ABE和Rt△AOP中，∵∠EAB＝∠PAO，∴Rt△ABE∽Rt△AOP，∴OA AP AB AF=，∵AB＝2，AO＝4，AE＝8，∴428AP =，解得，AP＝16．∴BP＝AP﹣AB＝16﹣2＝14．所以BP的长为14．【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．23．－12．【解析】【分析】首先对括号内的分式的分母分解因式,把除法转化为乘法,然后进行分式的加法计算即可化简,然后代入使原式有意义的x 的值计算即可【详解】原式=11[(1)]12x x x -+⋅++ ＝21211()12x x x x ---⋅++ ＝(2)112x x x x -+⋅++ ＝1x x -+ 只能选x ＝1，当x ＝1时， 原式＝-11112=-+． 【点睛】此题考查分式的化简求值，掌握运算法则是解题关键24．（1）见解析；（2）AC =. 【解析】【分析】（1）先利用平行线的性质得到∠ACO=∠POB ，∠CAO=∠POA ，加上∠ACO=∠CAO ，则∠POA=∠POB ，于是可根据“SAS”判断△PAO ≌△PBO ，则∠PAO=∠PBO=90°，然后根据切线的判定定理即可得到PA 是⊙O 的切线；（2）先由△PAO ≌△PBO 得PB=PA=6，在Rt △PBE 中，利用正弦的定义可计算PE=10，则AE=PE-PA=4，再在Rt △AOE 中，由sinE=35OA OE =，可设OA=3t ，则OE=5t ，由勾股定理得到AE=4t ，则4t=4，解得t=1，所以OA=3；接着在Rt △PBO 中利用勾股定理计算出EAC ∽△EPO ，再利用相似比可计算出AC ．【详解】（1）证明：连接OA ，如图，∵AC ∥OP ，∴∠ACO ＝∠POB ，∠CAO ＝∠POA ，又∵OA ＝OC ，∴∠ACO ＝∠CAO ，∴∠POA ＝∠POB ，在△PAO 和△PBO 中，PO PO POA POB 0A 0B =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PAO ≌△PBO （SAS ），∴∠PAO ＝∠PBO ，又∵PB ⊥BC ，∴∠PBO ＝90°，∴∠PAO ＝90°，∴OA ⊥PE ，∴PA 是⊙O 的切线；（2）解：∵△PAO ≌△PBO ，∴PB ＝PA ＝6，在Rt △PBE 中，∵sinE ＝35PB PE = ∴635PE =，解得PE ＝10， ∴AE ＝PE ﹣PA ＝4， 在Rt △AOE 中，sinE ＝35OA OE =， 设OA ＝3t ，则OE ＝5t ，∴AE4t ，∴4t ＝4，解得t ＝1，∴OA ＝3，在Rt △PBO 中，∵OB ＝3，PB ＝6，∴OP=∵AC ∥OP ，∴△EAC ∽△EPO ， ∴AC EA PO EP=410=， ∴AC． 【点睛】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．也考查了全等三角形的判定与性质．25．（1）200,40，36︒；（2）见解析；（3）估计全校师生共捐赠了900本文学类书籍．【解析】【分析】（1）用A的本数÷A所占的百分比，即可得到抽取的本数；用C的本数÷总本数，即可求得m；计算出D 的百分比乘以360°，即可得到圆心角的度数；（2）计算出B的本数，即可补全条形统计图；（3）根据文学类书籍的百分比，即可解答.【详解】解：（1）40÷20%=200（本），80÷200×100%=40%，20÷200×360=36°故答案为：200,40，36°；（2）40÷20%=200（本），200-40-80-20=60（本）补全图形如图所示；（3）603000900200⨯=（本）．答：估计全校师生共捐赠了900本文学类书籍．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用.读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，在平面直角坐标系中，点A ，C 在x 轴上，点C 的坐标为（﹣1，0），AC=2．将Rt △ABC 先绕点C 顺时针旋转90°，再向右平移3个单位长度，则变换后点A 的对应点坐标是（ ）A.（2，2）B.（1，2）C.（﹣1，2）D.（2，﹣1）2．地球上的海洋面积约三亿六千一百万平方千米，用科学记数法表示为（ ）平方千米．A ．361×106B ．36.1×107C ．3.61×108D ．0.361×1093．如图，已知点A （-6，0），B （2，0），点C 在直线y x =+ABC 是直角三角形的点C 的个数为（ ）A.1B.2C.3D.44．如图，正方形ABCD 中，6AB =，G 是BC 的中点.将ABG ∆沿AG 对折至AFG ∆，延长GF 交DC 于点E ，连接AE 、CF ，则下列结论正确的有（ ）个.（1）2DE = （2）45EAG ∠=︒（3）EAG ∆的面积是18 （4）cos FCG ∠=A ．4B ．3C ．2D ．15．如图，正方形的边长为a ，以各边为直径在正方形内画半圆，所围成的图形(阴影部分)的面积为( )A ．22a a π-B ．222a a π-C ．2212a a π- D ．2214a a π-6．如图，AB 为O 的直径，P 为BA 延长线上的一点，D 在O 上（不与点A ，点B 重合），连结PD 交O 于点C ，且PC=OB ．设,P B αβ∠=∠=，下列说法正确的是（ ）A ．若30β︒=，则120D ︒∠=B ．若60β︒= ，则90D ︒∠=C ．若10α︒= ，则150AD ︒=D ．若15α︒= ，则90AD ︒=7．如图，点A （m ，1），B （2，n ）在双曲线ky x =（k≠0），连接OA ，OB ．若S △ABO ＝8，则k 的值是（）A ．﹣12B ．﹣8C ．﹣6D ．﹣48．如图，在圆O 中，点A 、B 、C 在圆上，∠OAB ＝50°，则∠C 的度数为( )A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°95的大小关系是( )A5 B 5C．5D．510．下列运算正确的是（ ）A ．2m×3m＝6mB ．（m 3）2＝m 6C ．（﹣2m ）3＝﹣2m 3D ．m 2+m 2＝m 411．如图，△ABE 、△ADC 和△ABC 分别是关于AB ，AC 边所在直线的轴对称图形，若∠1：∠2：∠3=7：2：1，则∠α的度数为（ ）．A.126°B.110°C.108°D.90°12．下列计算正确的是（ ）A ．2a 2+3a 2＝5a 4B ．3a ﹣2a ＝1C ．2a 2×a 3＝2a 6D ．（a 2）3＝a 6 二、填空题13．已知x 1，x 2是方程x 2﹣3x+1＝0的两个实数根，则1211+x x ＝_____． 14．等腰三角形一边长为8，另一边长为5，则此三角形的周长为_____．15．规定：[x]表示不大于x 的最大整数，（x ）表示不小于x 的最小整数，[x ）表示最接近x 的整数（x ≠n+0.5，n 为整数），例如：[2.3]=2，（2.3）=3，[2.3）=2．当﹣1＜x ＜1时，化简[x]+（x ）+[x ）的结果是_____．16．等腰三角形的两边长分别是3和7，则其周长为 ．17．如图，是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖，从里向外的第一层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，以此类推，第9层中含有正三角形个数是_____．18．已知一组数据1，2，2，0，﹣1，﹣2，0，﹣1，则这组数据的平均数为__，众数为___，中位数为__，方差为__．三、解答题19．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，EF ⊥AB 于点F ，交AC 于点E ，且AF ＝BF ，若AB ＝10，3sin 5A =．求线段EF 长．20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D为边AB的中点．点P从点A出发，沿AC方向以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，同时点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度先沿CB 方向运动到点B，再沿BA方向向终点A运动，以DP、DQ为邻边构造▱PEQD，设点P运动的时间为t秒．（1）设点Q到边AC的距离为h，直接用含t的代数式表示h；（2）当点E落在AC边上时，求t的值；（3）当点Q在边AB上时，设▱PEQD的面积为S（S＞0），求S与t之间的函数关系式；（4）连接CD，直接写出CD将▱PEQD分成的两部分图形面积相等时t的值．21．如图所示AB是⊙O的直径，圆心为点O，点C为⊙O上一点，OM⊥AB于点O交AC于点D，MC＝MD求证：MC为⊙O的切线．22．已知：在△ABC中，AB＝AC，点D是AB上一点，以BD为直径的⊙0与AC边相切于点E，交BC于点F，FG⊥AC于点G．（1）如图l，求证：GE＝GF；（2）如图2，连接DE，∠GFC＝2∠AED，求证：△ABC为等边三角形；（3）如图3，在（2）的条件下，点H、K、P分别在AB、BC、AC上，AK、BP分别交CH于点M、N，AH＝BK ，∠PNC ﹣12∠BAK ＝60°，CN ＝6，CM ＝BC 的长． 23．在阳光体育活动时间，小亮、小莹、小芳和小刚到学校乒乓球室打乒乓球，当时只有一副空球桌，他们只能选两人打第一场．（1）如果确定小亮打第一场，再从其余三人中随机选取一人打第一场，求恰好选中小刚的概率；（2）如果确定小亮做裁判，用“手心”“手背”的方法决定其余三人哪两人打第一场，游戏规则是：三人同时伸“手心、手背”的中的一种手势，如果恰好有两人伸出的手势相同，那么这两人上场，否则重新开始，这三人伸出“手心”或“手背”都是随机的，请用画树状图的方法求小莹和小芳打第一场的概率．24．如图，正方形ABCD 的边长为2，E 、F 分别是AD 、CD 上两动点，且满足AE DF =，BE 交AF 于点G 。