2020届浙江省温州市高三11月适应性测试一模数学试题

2020届浙江省温州市高三11月适应性测试一模数学试题一、单选题1．已知全集{1,2,3,4}U =，{1,3}A =，{,3}C 2U B =，则A B =I （ ） A ．{1} B ．{3}C ．{4}D ．{1,3,4}【答案】A【解析】根据补集的定义与运算,可求得集合B.结合交集运算即可求得A B I . 【详解】因为{1,2,3,4}U =,{,3}C 2U B = 所以由补集定义与运算可得{1,4}B = 又因为{1,3}A =根据交集运算可得{1,3}14{}}{1,A B ==I I 故选:A 【点睛】本题考查了补集的定义与运算,交集的简单运算,属于基础题.2．设实数x ，y 满足不等式组0034120x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．0B ．2C ．4D ．6【答案】D【解析】根据不等式组画出可行域,将目标函数平移后,即可求得最大值. 【详解】实数x ,y 满足不等式组0034120x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩,其表示出平面区域如下图所示:将函数12y x =-平移,可知当经过点()0,3A 时, 122zy x =-+的截距最大此时0236z =+⨯= 所以2z x y =+的最大值为6 故选:D 【点睛】本题考查了线性规划的简单应用,在可行域内求线性目标函数的最大值,属于基础题. 3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积等于（ ）A ．316cm B ．313cmC ．312cm D ．323cm 【答案】B【解析】根据三视图,还原空间几何体,即可由题中给出的线段长求得体积. 【详解】由三视图,还原空间几何体如下图所示:根据题中线段长度可知,1AE EC AE PE ====,2AB BC ==且,AB BC PE AC ⊥⊥ 则13P ABC ABC V S PE -∆=⋅ 111221323=⨯=2cm 故答案为:B 【点睛】本题考查了三视图的简单应用,根据三视图还原空间几何体,三棱锥的体积求法,属于基础题.4．已知双曲线22x a -22y b=1(a>0,b>0)3,则双曲线的渐近线方程为( )A ．y=2B ．y=2xC ．y=±2xD ．y=±12x 【答案】A【解析】由e=ca得e 2=22c a =222a b a +=1+22b a =3, ∴22b a =2,∴b a 2,双曲线渐近线方程为y=±abx,即y=2x.故选A.5．已知a ，b 是实数，则“1a >且1b >”是“1ab a b +>+”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据充分必要条件的关系,结合不等式性质即可判断. 【详解】 当1a >且1b >时,()()()1110ab a b a b +-+=-->,即1a >且1b >时1ab a b +>+成立.当1ab a b +>+时,即()()()1110ab a b a b +-+=-->解得1a >且1b >,或1a <且1b <综上可知, “1a >且1b >”是“1ab a b +>+”的充分不必要条件 故选:A 【点睛】本题考查了不等式比较大小,充分必要条件的关系及判断,属于基础题. 6．函数()1211f x x x =-+-的图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】求出函数的定义域，取特殊值，排除法得到答案。

【详解】先求定义域：1x ≠且1x ≠-，取特殊值，当2x =-，13y =-，排除C ，D. 由函数()12113(1)(1)f x x x x x x --==-+--+，知当3x =-时0y =。

故排除A 故选：B 【点睛】本题考查已知函数解析式求函数图象问题，利用特殊值法比较简单可行，属于基础题。

7．在四面体ABCD 中，BCD ∆为等边三角形，2ADB π∠=，二面角B AD C --的大小为α，则α的取值范围是（ ）A ．0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C【解析】以B 为原点建立空间直角坐标系,根据关系写出各个点的坐标,利用平面BAD 和平面ADC 的法向量,表示出二面角α的余弦值,即可求得α的取值范围. 【详解】以B 为原点建立如图所示的空间直角坐标系:因为BCD ∆为等边三角形，不妨设1BC CD BD ===,由于2ADB π∠=,所以(),1,A m n因为当0n =时A B C D 、、、四点共面,不能构成空间四边形,所以0n ≠则()0,0,0B,1,022C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,()0,1,0D由空间向量的坐标运算可得()()10,1,0,,0,,,022BD DA m n DC ⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r设平面BAD 的法向量为()111,,m x y z =u r则00m DA m BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 代入可得11100y mx nz =⎧⎨+=⎩令11x =,则10,y =1mz n =-,所以1,0,m m n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u r设平面ADC 的法向量为()222,,n x y z =r则00n DC n DA ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ,代入可得22221020x y mx nz -=⎪+=⎩ 令21x =,则22my z n ==-,所以m n n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭r二面角B AD C --的大小为α 则由图可知,二面角α为锐二面角所以cos m n m nαu r ru r r ×==×==因为220m n³所以112?即1cos 12α?所以0,3⎛⎤∈ ⎥⎝⎦πα故选:C 【点睛】根据直线与平面夹角的特征及取值范围,即可求解,对空间想象能力要求较高,属于中档题.8．已知随机变量ξ满足(0)1P p ξ==-，(1)P p ξ==，其中01p <<.令随机变量|()|E ηξξ=-，则（ ）A ．()()E E ηξ>B ．()()E E ηξ<C ．()()D D ηξ> D ．()()D D ηξ<【答案】D【解析】根据题意,列表求得随机变量ξ及η的分布列,可知均为两点分布.由两点分布的均值及方差表示出()(),E D ξξ和()E η()D η,根据01p <<比较大小即可得解. 【详解】随机变量ξ满足(0)1P p ξ==-,(1)P p ξ==,其中01p <<. 则随机变量ξ的分布列为:所以()()(),1E p D p p ξξ==- 随机变量|()|E ηξξ=-, 所以当0ξ=时,()E p ηξξ=-=,当1ξ=时,()1E p ηξξ=-=-所以随机变量|()|E ηξξ=-的分布列如下表所示(当0.5p =时,η只有一个情况,概率为1):ηp 1p -P1p -p则()()()()1121E p p p p p p η=-+-=-()()()()22211121D p p p p p p p p η=--⋅-+---⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()2121p p p =--当()()E E ξη=即()21p p p =-,解得12p =.所以A 、B 错误. ()()D D ξξ-()()()21121p p p p p =----()22410p p =->恒成立.所以C 错误,D 正确 故选:D 【点睛】本题考查了随机变量的分布列,两点分布的特征及均值和方差求法,属于中档题.9．如图，P 为椭圆22122:1(0)x y E a b a b+=>>上的一动点，过点P 作椭圆22222:(01)x y E a bλλ+=<<的两条切线PA ，PB ，斜率分别为1k ，2k .若12k k ⋅为定值，则λ=（ ）A ．14B．4C ．12D．2【答案】C【解析】设出直线方程,根据直线与椭圆2E 相切,联立化简后由判别式0∆=即可得关于k 的方程.利用韦达定理表示出12k k ⋅.将点P 带代入椭圆1E ,联立两个式子化简即可求得λ的值. 【详解】 设()00,P x y则过P 的直线方程为()00y y k x x -=-将直线方程与椭圆2E 联立可得()002222y y k x x x y ab λ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩化简可得()()()222222222000020b a k x a k y kx x a y kx a b λ++-+--=因为相切,所以判别式()()()2222222220000240a k y kx b a k a y kx a b λ⎡⎤⎡⎤∆=--+--=⎢⎥⎣⎦⎣⎦展开得()()()2242222220000440a k y kx a b a k y kx b λ⎡⎤--+--=⎢⎥⎣⎦同时除以24a 可得()()()()2222222222200000a k y kx b a k y kx b b a k λ--+-++=合并可得()()222222000by kx b b a k λ--++=同除以2b -,得()2222000y kx b a k λλ---=展开化简成关于k 的方程可得()22222000020x a k x y k y b λλ--+-=因为有两条直线,所以有两个不等的实数根. 因为12k k ⋅为定值,可设12k k t ⋅=由韦达定理,22012220y b k k t x aλλ-==-化简得222200y b tx t a λλ-=-又因为()00,P x y 在椭圆上,代入可得2200221(0)x y a b a b+=>>化简可得22222200b x a y a b +=则2222002222220y b tx t a b x a y a b λλ⎧-=-⎨+=⎩,化简可得1λλ-=- 解得12λ= 故选:C 【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系,根据直线与椭圆的位置关系研究定值问题,计算量较大,变形化简过程较为复杂,需要耐心计算,属于中档题. 10．已知数列{}n x 满足12x =，)*1n x n N +=∈.给出以下两个命题：命题:p 对任意*n N ∈，都有11n n x x +<<；命题:q 存在(0,1)r ∈，使得对任意*n N ∈，都有11n n x r -≤+.则（ ）A ．p 真，q 真B ．p 真，q 假C ．p 假，q 真D ．p 假，q 假【答案】B【解析】利用作差法,可证明数列{}n x 的单调性,结合极值特征即可判断命题p ;将11n x +-变形,结合不等式的放缩法,可得1121n n x r n --<≤+.进而利用对数的运算变形化简,求得21n r=-,从而得知命题q 的真假. 【详解】由题意可知0n x ≥则1210n n n x x x x +--=-<=数列{}n x 单调递减,所以1n n x x +< 而当1n x →时, 11n x +→且11n x +>则11n n x x +<<,所以命题p 为真命题而12111n x x +-=-=所以11121n n n x x x +=->-+ 所以211n n x >+-,2n ≥ 即1121n n x r n --<≤+ 所以121n r n -<+ 可得1112n n r -⎛⎫+> ⎪⎝⎭,2n ≥即存在(0,1)r ∈,对任意*n N ∈,都有()()()ln 1ln 21ln 0f n n n r =+-+->成立 又()()()()ln 1ln 21ln ln 1ln 02rf n n n r n =+-+-<++= 所以()211,n r=-∈+∞,即小于0有解,所以命题q 为假命题 综上可知, 命题p 为真命题, 命题q 为假命题 故选:B 【点睛】本题考查了数列的综合应用,根据递推公式证明数列的单调性,通过构造函数法比较大小,运算过程较为复杂,属于难题.二、填空题11．若复数z 满足()()2212z -=+i i ，其中i 为虚数单位，则z =___________，z =___________．【答案】12i -+【解析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【详解】由题意得：()()2212z -=+i i ，()()()()()21234234105222225i i i iz i i i i +-++-+-+=====-+---+i i∴z =故答案为：12i -+ 【点睛】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 12．直线142x y+=与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，则AB =______；以线段AB 为直径的圆的方程为_________．【答案】 22420x y x y +--=【解析】先求出,A B 的坐标,再由两点之间的距离公式求出||AB ,利用中点公式求出圆心坐标,再求出半径,写出圆的方程即可. 【详解】令0x =得2y =,令0y =得4x =,所以(4,0),(0,2)A B ,所以AB ==所以AB 中点坐标为()2,1所以圆的方程：()222(1)5x y -+-=.故答案为:22420x y x y +--=【点睛】本题考查了两点之间的距离公式和利用圆心坐标和半径求圆的方程,属于基础题. 13．若对x ∈R ，恒有()7560156(1)x a x a a x a x a x+=+++++L ，其中a ，0a ，1a ，…，5a ，6a R ∈，则a =________，5a =________.【答案】1 -1【解析】利用赋值法,令1x =-,代入即可求得a 的值. 【详解】对x ∈R ,恒有()7560156(1)x a x a a x a x a x+=+++++L令1x =-,代入可得10a -+= 解得1a =因为()7560156(1)x a x a a x a x a x+=+++++L展开可得75620156760156x a a a x a x a x a a x a x x a x ++=++++++++L L()()60015676a a a x a a x a x =++++++L所以65610a a a =⎧⎨+=⎩解得51a =- 故答案为: 1;1- 【点睛】本题考查了二项式定理展开式的应用,指定项系数的求法.利用赋值法求参数是二项式定理中常用方法,属于中档题.14．如图所示，四边形ABCD 中，7AC AD CD ===，120ABC ︒∠=，53sin BAC ∠=，则ABC ∆的面积为________，BD =________.【答案】348 【解析】先根据正弦定理,求得BC ,再由余弦定理求得AB ,进而利用三角形面积公式求得ABC S ∆;在DBC ∆中,应用余弦和角公式求得cos DCB ∠,即可由余弦定理求得BD 的值. 【详解】在ABC ∆中, 7AC =,120ABC ︒∠=,sin BAC ∠=由正弦定理sin sin AC BCABC BAC=∠∠,代入得7sin120=o解得75BC ==,而1cos cos1202ABC ∠==-o由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠ 代入可得214925102AB AB ⎛⎫=+-⋅⨯- ⎪⎝⎭解方程可求得3AB =则11sin 3722ABC S AB AC BAC ∆=⨯⨯⨯∠=⨯⨯=因为60DCA ∠=o,11cos 14BAC ∠== 且()sin sin BCA BAC ABC ∠=∠+∠sin cos sin cos BAC ABC ABC BAC =∠⋅∠+∠⋅∠111214⎛⎫=- ⎪⎝⎭14=所以13cos 14BCA ∠== 则()cos cos DCB DCA BAC ∠=∠+∠cos cos sin sin DCA BCA DCA BCA =∠⋅∠-∠⋅∠11312142147=⨯-⨯=由余弦定理可知2222cos BD DC CB DC CB DCB =+-⋅⋅∠代入可得214925275647BD =+-⨯⨯⨯= 所以8BD =故答案为: ;8 【点睛】本题考查了正弦定理与余弦定理在解三角形中的综合应用,三角形面积公式及同角三角函数关系式的应用,正弦与余弦和角公式的用法,综合性强,属于难题.15．学校水果店里有苹果、香蕉、石榴、橘子、葡萄、西梅6种水果，西梅数量不多，只够一人购买.甲、乙、丙、丁4位同学前去购买，每人只选择其中一种，这4位同学购买后，恰好买了其中3种水果，则他们购买水果的可能情况有________种. 【答案】600【解析】讨论所买的3种水果中是否含有西梅.即可根据组合数的应用求解. 【详解】当买的3种水果中没有西梅时,则从剩余5种水果中选择3种,共有35C ;从四个人中选两个人买相同水果,有24C ,再将3组人全排列33A ,所以共有3235431066360C C A =⨯⨯=种当买的3种水果中有西梅时,从剩余5种水果中选择2种,共有25C ,从4人中选择1个人购买西梅14C ,剩余三人安排购买剩下2种水果2232C A ,所以共有2122543210432240C C C A =⨯⨯⨯=综上可知,购买水果的可能情况有360240600+=种 故答案为:600 【点睛】本题考查了排列组合在实际问题中的应用,根据分类与分步计数原理分析即可,属于中档题.16．已知平面向量a r ，b r ，c r满足1a =r ，b =r ，0a b ⋅=r r ，-r r c a 与-r r c b 的夹角为6π，则()c b a ⋅-r r r 的最大值为___________． 【答案】5【解析】先建立平面直角坐标系，记OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，OC c =u u u r r，由题意，得到(1,0)a =r ，(=r b ，设(,)c x y =r ，根据-r r c a 与-r r c b 的夹角为6π，得到6ACB π∠=，设AC与x 轴正半轴夹角为θ，由正弦定理，得到sin sin =∠∠AC ABABC ACB，求出c r 的坐标，根据向量数量积的坐标表示，即可得出结果. 【详解】建立平面直角坐标系，记OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，OC c =u u u r r，根据题意，(1,0)a =r，(=r b ，设(,)c x y =r ，因为-r r c a 与-r r c b 的夹角为6π，则AC u u u r 与BC uuu r 的夹角为6π，即6ACB π∠=，设AC 与x 轴正半轴夹角为θ， 易知：3π∠=OAB ，6π∠=OBA ，2AB = 则33πθθπ2π∠=--=-BAC ，所以366πθθ2πππ⎛⎫∠=---=+⎪⎝⎭ABC ，由正弦定理可得：sin sin =∠∠AC AB ABC ACB，即4sin 2cos 6θθθπ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭AC ，则2cos 12coscos 2cos22θθθθθθ=+=++=+x OA AC ，2sin 2sin cos sin 2θθθθθθ==+=y AC ，即(2cos 22,sin 22)θθθθ=++rc ，又(-=-r rb a ，所以()2cos22233cos24cos21θθθθθ-+-==+⋅---r r rc b a ，因此，当2θπ=，即2πθ=时，()c b a ⋅-r r r 取得最大值5.故答案为：5【点睛】本题主要考查向量数量积的最值，熟记向量数量积的坐标运算，通过坐标系的方法求解即可，属于常考题型.17．设函数3()||3f x x x a =-++.若()f x 在[1,1]-上的最大值为2，则实数a 所有可能的取值组成的集合是________.【答案】23233,599⎧⎪--+⎨⎪⎪⎩⎭【解析】根据函数的最大值,依据()02f ≤可求出a 的两种情况.讨论a 的不同取值,去掉内层的绝对值,利用导数分析三次函数的极值点,进而求得最大值与最小值.通过函数的上下平移,结合最值即可求得a 的所有取值. 【详解】因为函数3()||3f x x x a =-++.若()f x 在[1,1]-上的最大值为2所以()02f ≤,即3||2a -≤当0a ≥时,不等式化为32a -≤,解得15a ≤≤ 当0a <时,不等式化为32a +≤,解得51a -≤≤- 由以上可知:(1) 当15a ≤≤时,函数解析式可化为3()3f x x x a =--+令3()g x x x =-,则2'()31g x x =- 当2'()310g x x =-=时解得123333x x =-=当13x -<<-时, 2'()310g x x =->,即()g x 在1,3⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增当x <<时, 2'()310g x x =-<,即()g x 在⎛ ⎝⎭上单调递减1x <<时, 2'()310g x x =->,即()g x 在⎫⎪⎪⎝⎭上单调递增.所以33339g ⎛⎛⎛-=---= ⎝⎭⎝⎭⎝⎭极大值,3g ==⎝⎭⎝⎭极小值 ()()10,10g g -==当35a ≤≤时, 3()g x x x =-向下平移3a -个单位可得3()3h x x x a =--+的图像因为3()3f x x x a =--+在[1,1]-上的最大值为2所以只需满足()323g a ⎫--=⎪⎪⎝⎭极小值即可,即()32a -=±,解得59a =-,或19a =-(舍) 当13a ≤<时, 3()g x x x =-向上平移3a -个单位可得到3()3h x x x a =--+的图像由3()3f x x x a =--+在[1,1]-上的最大值为2可知只需满足32g a ⎛+-= ⎝⎭极大值即可.32a +-=,解得1a =+符合题意(2) 当51a -≤≤-,函数解析式可化为3()3f x x x a =+++令3()=+g x x x ,则2'()310g x x =+> 所以3()=+g x x x 在[1,1]-上单调递增 则()()3min ()(1)112g x g =-=--=-+max ()(1)112g x g ===+当53a -≤≤-时,3()=+g x x x 向下平移()3a -+个单位可得3()3h x x x a +=++由3()3f x x x a =+++在[1,1]-上的最大值为2只需(1)32g a -++=,即232a -++=±解得3a =-或1a =(舍)当31a -<≤-时, 3()=+g x x x 向上平移3a +个单位可得3()3h x x x a +=++由3()3f x x x a =+++在[1,1]-上的最大值为2只需(1)32g a ++=,即232a ++=±解得3a =-或7a =-(舍)综上可知,满足条件的所有可能的a 为5,9-19+和3-故答案为: 3,599⎧⎪--+⎨⎪⎪⎩⎭【点睛】本题考查了绝对值函数与最值的综合应用,分类讨论思想的应用,函数图像的上下平移,综合性较强,对分析问题解决问题的能力要求较高,属于难题.三、解答题18．在锐角．．ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知3b =，sin sin A a B +=（1）求角A 的值；（2）求函数()()22cos cos f x x A x =--（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的值域．【答案】（1）3A π=（2）3,42⎡-⎢⎣⎦【解析】(1)利用正弦定理sin sin a b A B =代入sin sin A a B +=sin 2A =,再利用锐角三角形求解A 即可.(2)利用降幂公式化简()()22cos cos 23f x x A x x π⎛⎫=--- ⎝=⎪⎭,再利用0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦代入求值域即可. 【详解】 (1)由正弦定理sin sin a b A B= ,可得sin sin 3sin a B b A A ==,则sin sin 4sin 23A a B A +==,得3sin 2A =, 又A 为锐角,故3A π=；(2)22()cos cos 3f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭21cos 21cos 2322x x π⎛⎫+- ⎪+⎝⎭=-133sin 2cos 222x x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦3sin 23x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,因02x π≤≤,故22333x πππ-≤-≤, 于是3sin 2123x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭,因此()334f x -≤≤,即()f x 的值域为33,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题主要考查了正弦定理的运用,同时也考查了三角恒等变换中的降幂公式与根据定义域求三角函数的值域问题等,属于中等题型.19．如图，已知四棱锥P ABCD -，//BC AD ，平面PAD ⊥平面PBA ，且DP DB =，2AB BP PA AD BC ====．（1）证明：AD ⊥平面PBA ；（2）求直线AB 与平面CDP 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）24. 【解析】（1）分别取PA ，PB 的中点M ，N ，连结AN ，DN ，BM ，要证AD ⊥平面PBA ，需证明PB AD ⊥，BM AD ⊥，其中可通过证明PB ⊥平面DNA 来证明PB AD ⊥，通过证明BM ⊥平面PAD 来证明BM AD ⊥；（2）以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出面PCD 的一个法向量以及直线AB 的方向向量，求出两向量的夹角的余弦值即为直线AB 与平面CDP 所成角的正弦值. 【详解】（1）证明：分别取PA ，PB 的中点M ，N ，连结AN ，DN ，BM .因DP DB =，N 为PB 的中点， 故PB DN ⊥.同理，PB AN ⊥，BM PA ⊥. 故PB ⊥平面DNA . 故PB AD ⊥.因平面PAD ⊥平面PBA ，平面PAD I 平面PBA PA =，BM ⊂平面PBA ，BM PA ⊥，故BM ⊥平面PAD . 则BM AD ⊥.又PB ，BM 是平面PBA 中的相交直线，故AD ⊥平面PBA .（2）由（1）知，AD ⊥面ABP ，又BC ∥AD ， BC ⊥面PAB .如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，不妨设2AB =，则(0,0,0)A ，3,0)B ，3,1)C ，(0,0,2)D ，(2,0,0)P ，则3,0)AB =u u u v ，(1,3,1)CD =-u u u v ，(2,0,2)PD =-u u u v. 设(,,)n x y z =r是面PCD 的一个法向量，则00n CD n PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，，即30220x y z x z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，，取=1x ，则(1,0,1)n =r.设直线AB 与平面PCD 所成的角为θ，则2sin |cos ,|1311AB n AB n AB nθ⋅====++⋅u u u v r r r u u u v u u u v所以直线AB 与平面PCD 所成角的正弦值为24. 【点睛】本题考查线面垂直的证明以及向量法求线面角，考查学生计算能力以及空间想象能力，是中档题20．已知等差数列{}n a 的首项11a =，数列{}2na 的前n 项和为nS，且12S +，22S +，32S +成等比数列．（1）求通项公式n a ；（2）求证：11n <+L *n N ∈）； 【答案】（1）n a n =；（2）见解析 【解析】（1）首先证出{}2na 为等比数列，再由12S+，22S +，32S +成等比数列求出2q =，1d =.根据等差数列的通项公式即可求解. （2）利用数学归纳法即可证明. 【详解】（1）记d 为{}n a 的公差，则对任意n *∈N ，112222n n n na a ad a ++-==，即{}2na 为等比数列，公比20dq =>.由12S +，22S +，32S +成等比数列，得2213(2)(2)(2)S S S +=++，即22[2(1)2](22)[2(1)2]q q q ++=++++，解得2q =，即1d =.所以1(1)n a a n d n =+-=，即()n a n n N *=∈；（2）由（1）)n N *<+∈L .下面用数学归纳法证明上述不等式. ①当1n =时，不等式显然成立；②假设当()n k k N *=∈<L ，则当1n k =++<+L .因0+=<，故1(1)1(1)121k k k k k k k +++<+++++. 于是11(1)(1)1121k k k k k +++++<+++++L ，即当1n k =+时，不等式仍成立. 综合①②，得(1)()112nn n N n n*+++<+∈+L .所以121()1()1n n n n a a a nn N n a a a n *+++<+∈+L 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式以及等比中项、数学归纳法在数列中的运用，属于中档题.21．如图，F 是抛物线()220y px p =>的焦点，过F 的直线交抛物线于()11,A x y ，()22,B x y 两点，其中10y >，124y y =-．过点A 作y 轴的垂线交抛物线的准线于点H ，直线HF 交抛物线于点P ，Q ．（1）求p 的值；（2）求四边形APBQ 的面积S 的最小值． 【答案】（1）2p =（22515【解析】(1) 设直线:2AB pl x ty =+与抛物线方程联立,利用韦达定理与124y y =-求解即可.(2) 设点221212(,)(,)44y y A y B y ，表达出直线1:(1)2y PQ y x =--,再联立抛物线得出PQ 的长度,再分别表示,A B 到直线PQ 的距离进而求得四边形APBQ 的面积S 的表达式,再构造函数求导进行最值分析即可. 【详解】(1)设直线:2AB p l x ty =+,联立2222202y pxy pty p p x ty ⎧=⎪⇒--=⎨=+⎪⎩,故212y y p =-,又124y y =-,故2p =.(2)点221212(,)(,)44y y A y B y ，,则1(1,)H y -,直线1:(1)2y PQ y x =--,代入24y x =,得2222111(216)0y x y x y -++=.设3344(,)(,)P x y Q x y ，,则2134214(4)2y PQ x x y +=++=.设A B ，到PQ 的距离分别为12d d ，,由11:20PQ y x y y +-=,得12d d +===22==,因此1211||()2APBQS PQ d d =⋅+=设函数256(4)()x f x x+=(0)x >,则24274(4)(6)'()x x f x x +-=, 可得,当x ∈时,()f x单调递减；当)x ∈+∞时,()f x 单调递增,从而当1y =时,S=． 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系,同时也考查了抛物线中四边形面积的问题与构造函数求解函数最值的问题,属于难题.22．已知实数0a ≠，设函数()e axf x ax =-．（1）求函数()f x 的单调区间； （2）当12a >时，若对任意的[)1,x ∈-+∞，均有()()212a f x x ≥+，求a 的取值范围．注：e 2.71828=L 为自然对数的底数．【答案】（1）()f x 在(,0)-∞内单调递减，在(0,)+∞内单调递增；（2）122a <≤ 【解析】(1)求导后取出极值点,再分0a >,0a <两种情况进行讨论即可.(2)当0x =时得出a 的一个取值范围,再讨论1x =-时的情况,再对(1,)x ∈-+∞时构造函数两边取对数进行分析论证122a <≤时()()212af x x ≥+恒成立.【详解】(1)由()(1)=0ax axf x a e a a e =-'=⋅-,解得0x =．①若0a >,则当(0,)x ∈+∞时,()0f x '>,故()f x 在(0,)+∞内单调递增； 当(,0)x ∈-∞时,()0f x '<,故()f x 在(,0)-∞内单调递减．②若0a <,则当(0,)x ∈+∞时,()0f x '>,故()f x 在(0,)+∞内单调递增； 当(,0)x ∈-∞时,()0f x '<,故()f x 在(,0)-∞内单调递减． 综上所述,()f x 在(,0)-∞内单调递减,在(0,)+∞内单调递增．(2)2()(1)2a f x x ≥+,即2(1)2ax ae x ≥+． 令0x =,得12a≥,则122a <≤．当1x =-时,不等式2(1)2ax a e x ≥+显然成立,当(1,)x ∈-+∞时,两边取对数,即2ln(1)ln 2aax x ≥++恒成立． 令函数()2ln(1)ln2aF x x ax =+-+,即()0F x ≤在(1,)-+∞内恒成立． 由22(1)()=011a x F x a x x -+'=-=++,得211x a =->-． 故当2(1,1)x a ∈--时,()0F x '>,()F x 单调递增；当2(1+)x a∈-∞，时,()0F x '<,()F x 单调递减.因此22()(1)2ln2ln 2ln 22a a F x F a a aa ≤-=-++=--． 令函数()2ln 2ag a a =--,其中122a <≤,则11()10a g a a a='-=-=,得1a =, 故当1(,1)2a ∈时,()0g a '<,()g a 单调递减；当(1,2]a ∈时,()0g a '>,()g a 单调递增．又13()ln 4022g =-<,(2)0=g ,故当122a <≤时,()0g a ≤恒成立,因此()0F x ≤恒成立,即当122a <≤时,对任意的[1,)x ∈-+∞,均有2()(1)2a f x x ≥+成立．【点睛】本题主要考查了利用求导解决含参的函数的单调性问题以及在区间上恒成立求参数的范围的问题,需要构造函数讨论函数的单调性进行求解,属于难题.。