数学文、理科试卷难度调控策略

数学文、理科试卷难度调控策略
陈昂任子朝
一、引言
我国自1977年恢复高考制度后，为分类选拔人才，高中实施了文、理分科.数学作为一门基础学科和高中必修课程，文理两科在内容范围、知识结构和能力要求
都有很大的区别.这种差别反映在高考中就是，在文、理科数学试卷的基础部分有一
些试题是相同的，在能力要求方面有许多不同的试题，即使对相同知识点的考查，
也存在着要求程度的差异，体现着对文、理科考生的不同要求.
《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010-2020年）》中提出了“优先发展、育人为本、改革创新、促进公平、提高质量”的教育改革工作总方针.育人为
本，是要以人为基础来发展教育，体现文、理科差异，关注学生的个性发展.普通中
学将数学分成文、理科数学，并按照学生不同发展倾向为文、理科学生设置学习要
求和内容，不同发展倾向的学生选修不同系列的数学课程.高考数学分成文、理科考
试使不同能力性向的考生都可以发挥自己的水平，同时有利于高校不同专业选拔新
生.因此编拟不同水平的试题，合理调控试题难度，使试题适合不同层次的考生就是
值得认真研究的问题.
二、影响文、理科试题难度的因素
在命制文理科试卷时，除了文理科内容的不同，试卷的难度就是对考试要求的集中反映.对难度的调控就是正确实现考核要求的有效手段.试题难度是试卷参数中的
一个重要指标，代表了试题对学生知识和能力水平的适合程度.在对文理科考生进行
考查时，试题难度的不同体现着文理科的差异性.通过对试题的难度控制，试卷可以
对不同水平的考生具有良好的区分度.在文、理科试题中，对难度的影响主要体现在
以下几个方面：
1.试题的思维量
数学是高度抽象、概括的学科，数学思想和方法的考查必然要与数学知识的考查结合进行.因此一个数学问题的解决蕴含着大量的思维量.著名数学家波利亚在《数
学的发现》[1]中将问题理解为：有意识地寻求某一适当的行动，以便达到一个被清
楚地意识到、但又不能立即到达的目的.从这一意义上看，数学问题解决是一个复杂
的综合过程.一个具体问题的解决，既需要遵循一定的思维模式，又要有思维策略的
指导.正确理解和运用思维策略，可以使问题解决思维模式更加具体、合理和丰富，
增强其实用性及指导意义.因此试题的思维量的不同，试题的难度也不大相同.我们以下面的试题为例进行说明：
例1（2011年全国大纲卷理科第20题）：
例2（2011年全国大纲卷文第17题）：
从思维量的角度来看，理科的要求更高，不但要求考生要能正确地理解数列的形式，而且能正确求出前n项和；而文科考生只需正确得到数列后，求出
前n项和，通过简单计算，考生能较为容易的写出答案.因此试题中的思维量影响着试题的难度.
2.试题的设问方式
试题设问是试题的呈现形式，也是常常影响到试题难度的一个因素，在对数学内容知识进行考查时，对不同问题的设问方式常常也对试题难度有着影响.
在对相同的内容知识进行考查时，试题不同的设问设计、编排对试题难度的控制也起着非常重要的作用.我们以下面的例子[2]来进行说明：
例3（2010年全国课标卷理科第14题）：
正视图为一个三角形的几何体可以是________.（写出三种）
例4（2010年全国课标卷文科第15题）：
一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的
________.（填入所有可能的几何体前的编号）
①三棱锥②四棱锥③三棱柱
④四棱柱⑤圆锥⑥圆柱
从上面的例题中我们可以看出，文、理科试题的题干部分都是给出了一个几何体的正视图，同样是考查三视图的概念，考查考生的空间想象能力，但是问题给出的形式不一样.文科试题是要求从下列若干个几何体中进行选择；而理科试题为考生提供一个开放的问题情境、一个自主探究的问题平台，使考生在这个环境中自主设计，主动发挥，发展考生的创新意识.这两道试题在设计理念上都是相同的，但开放的程度有所区别，理科试题要求考生自主探究，自己想象符合要求的几何体；文科试题则设计了6种几何体供考生选择，给考生以提示，考生可利用柱、锥、台的结构特征，从中识别出正视图为一个三角形的几何体，降低了文科试题的难度.两种设问方式体现了文、理科要求的不同.
根据设问方式的不同我们能够命制不同的题型，不同的题型也能影响试题难度.目前高考数学中包括三种题型：选择题、填空题和解答题.选择题能够较好地实现对基础知识、基本技能和基本思想方法的考查，能够比较确切地测试考生对概念、原理、性质、定理和公式的理解和掌握程度，能在一定程度上，有效地考查数学能力；填空题和选择题都属于客观性试题，它们有许多共同的特点：内容一般较短、考查目标集中、答案简短、不必写解答过程等，不过由于填空题没有备选项，因此，解答时有不受诱误的干扰之好处，又有缺乏提示的帮助之不足，对考生独立思考和求解，在能力要求上会高一些，因此往往比选择题难度大.在高考数学的文、理科试题中，文科试卷中的选择题也有的是根据理科中的填空题改编的.解答题考生不
仅要求给出最后的结论，还要求写出解答过程，提供合理的说明.考生需要运用有关的数学知识和方法，进行推理、演绎或计算，试题难度比填空题高.
3.试题的信息量
菲尔兹奖获得者陶哲轩[3]说过：“问题的内容决定了解题的基本方法或方式，所以它至关重要.”不同试题中所给出内容的信息量也不一样，试题中的信息是需要考生去阅读、理解的，因此对考生来说，信息量的大小影响着试题的难度.试题内容所给的信息量较少，问法比较直接，试题就相对容易.例如：
例5（2011年全国大纲卷文科21题）：
（Ⅰ）证明：曲线y=f（x）在x=0处的切线过点（2，2）；
（Ⅱ）若f（x）在x=处取得极小值，∈（1，3），求a的取值范围.
例题涉及的知识内容是函数与导数的关系，考查了曲线在一点处切线、导数的几何意义、函数极值的概念和函数在一点取极值的必要条件和充分条件，综合考查考生的运算求解能力和推理论证能力.例题中的信息量较少，给出形式也比较直接.试题第（Ⅰ）问的设问比较直接，要求考生在对曲线在一点处切线概念和几何意义理解的基础上，能够准确应用导数公式和求导法则进行导数运算得出切线方程就可以解决问题.函数表达式中参数a的引入则预示着第（Ⅱ）问在解题过程中，需运用分类讨论思想方法.试题对考生分析运用知识、寻找合理的运算程序以及推理论证能力提出较高要求.例题中f（x）的解析式为多项式函数也使试题难度得到控制，试题分步设问，逐步推进，对能力的要求也是由浅入深，重点突出.试题难度适中.
考生在进行解答时，第（Ⅰ）问只需要正确写出f’（x）=3+6ax+3-6a，并通过细心计算便可得到解答；而第（Ⅱ）问则需要讨论f'（x）=0的解，使其符合要求.
试题内容中所给的信息量较多，注重不同知识内容间的联系，要求考生能够综合运用所学的知识分析问题并解决问题，对考生能力的要求更高，试题的难度也就相应较大.例如：
例6（2011年全国大纲卷理科22题）：
本题考查导数的运算和利用导数研究函数性质的方法，考查随机抽样方法的意义，随机事件的概率，对数据合理估计和近似计算，综合考查考生灵活应用导数方法分析、解决问题的能力.与例5相比，例6中的信息量明显较大，不仅函数的形式更加复杂，而且还与概率知识相结合，要求考生将不等式的问题转化成函数问题，并运用导数为工具加以解决，突出考查函数的思想、转化与化归的思想，考查考生综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力，试题的难度较大.
第（Ⅰ）问是利用导数方法研究函数性质比较常见的表达形式，函数f（x）的选取，可以使考生在解答过程中将基本初等函数的导数公式的掌握、导数的运算法则的运用以及函数和导数关系的理解充分展现，使考查更加全面，让不同能力的考生得以发挥.第（Ⅱ）问中概率p的计算对考生并不困难，关键是考生需要观察、分析所要证明不等式的结构，首先能够对p给出合理估计和近似运算，其次建立概率p和函数f（x）间的逻辑联系，找到问题解决的办法，将（Ⅰ）和（Ⅱ）看似不相关的两个问题有机结合，对考生的能力提出较高要求.
从上面两个例题可以看出，试题内容中的信息量对试题难度也有重要的影响.信息量较小的试题往往难度不大，而信息量比较大的试题，往往知识点的综合程度较高，对考生的能力要求也较高，因此试题难度较大.
三、试卷难度调控方法
调控文、理科试卷难度的主要方法有以下几种：
1.控制试题的思维量
数学是一门思维的科学，思维能力是数学能力的核心，试题中的思维量体现了对考生思维能力的考查要求，思维量少的试题要求考生对已知条件进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括；思维量中等的试题要求考生能用演绎，归纳和类比进行推理；思维量多的试题要求考生能够准确、清晰、有条理的进行表述.总体来说，理科试卷更加侧重于理性思维，命题设计时以抽象思维和逻辑思维为主；文科试卷更侧重于基础知识和基本方法的考查，命题设计时以具体计算、形象思维为主.
2.合理设计试题的设问
我们能够通过设计文、理科试题的设问来控制试题的难度.中学文、理科数学对知识的要求不同，因此能利用不同题型在考查能力上的优势，合理命制试题.例如对文科试题，可以给出等式，以要求考生证明等式的方式降低难度；对理科试题则可以采取求出相等关系的设问.再如曲线过定点的问题，文科试题可以给出具体的点的坐标，要求考生证明；理科试题可以不给出点的坐标，直接要求考生证明曲线过定点.除此之外，试题在试卷中的位置也能影响试卷难度，一般文、理科相同的题，文科试题在整卷中的位置一般比理科试题的靠后，以此来对试题难度进行调控.
3.调控试题的信息量
调控试题的信息量实际是调控试题知识点的综合程度，例如在理科试题，我们可以将椭圆的焦点与双曲线（或抛物线）的焦点相结合，这样使得两种圆锥曲线有机地结合在一起，文科试题则考查单一的圆锥曲线；再如文科试题可以直接考查三角函数的恒等变换或者解三角形，理科试题则是给出三角形的边角关系，要求考生利用三角形恒等变换的关系来解三角形.这样我们可以通过增减试题的信息量来调控试题的难度.
原文参考文献：
∙
[1]G.波利亚著，刘景麟等译.数学的发现[M].北京：科学
出版社，2006.
∙
∙
[2]教育部考试中心.高考理科试题分析(课程标准实
验·2010年版)[M].北京：高等教育出版社，2011.
∙
∙
[3](澳)陶哲轩著，(加)于青林译.解题·成长·快乐——陶哲轩教你学数学[M].北京：北京大学出版社，2009.
∙。