2018年宁夏高考数学试卷(理科)(全国新课标Ⅱ) (1)
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三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根要求作答。（一)必考题：共60分。
17.记 为等差数列 的前 项和，已知 ， ．
求 的通项公式；
求 ，并求 的最小值．
18.如图是某地区 年至 年环境基础设施投资额 （单位：亿元）的折线图．
17.
【答案】
解： ∵等差数列 中， ， ，
∴ ， ，解得 ， ，
∴ ；
∵ ， ， ，
∴ ，
∴当 时，前 项的和 取得最小值为 ．
18.
【答案】
解： 根据模型①： ，
计算 时， ；
利用这个模型，求出该地区 年的环境基础设施投资额的预测值是 亿元，
根据模型②： ，
计算 时， ；
利用这个模型，求该地区 年的环境基础设施投资额的预测值是 亿元.
23.设函数 ＝ ．
（1）当 ＝ 时，求不等式 的解集；
（2）若 ，求 的取值范围．
参考答案与试题解析
2018年宁夏高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅱ）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.
【答案】
D
2.
【答案】
A
3.
【答案】
B
4.
A. B. C. D.
5.双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为( )
A. B. C. D.
6.在 中， ，则 （）
A. B. C. D.
7.为计算 ，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入
A. B. C. D.
8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于 的偶数可以表示为两个素数的和”，如 ．在不超过 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 的概率是（）
A. B. C. D.
9.在长方体 中， ， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（）
A. B. C. D.
10.若 在 是减函数，则 的最大值是（）
A. B. C. D.
11.已知 是定义域为 的奇函数，满足 ，若 ，则
A. B. C. D.
12.已知 ， 是椭圆 的左、右焦点， 是 的左顶点，点 在过 且斜率为 的直线上， 为等腰三角形， ，则 的离心率为（）
解得： ，
即：直线 的斜率为 ．
[选修4-5：不等式wk.baidu.com讲]
23.
【答案】
当 ＝ 时， ＝ ．
当 时， ＝ ，解得 ，
当 时， ＝ 恒成立，即 ，
当 时， ＝ ，解得 ，
综上所述不等式 的解集为 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ，
解得 或 ，
故 的取值范围 ．
2018年宁夏高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅱ）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.
A. B. C. D.
2.已知集合 ，则 中元素的个数为( )
A. B. C. D.
3.函数 的图像大致为( )
A. B.
C. D.
4.已知向量 ， 满足 ， ，则
证明：当 时，
等价于 ，
设函数 ，
则 ．
当 时， ，
所以 在 单调递减，
而 ，
故当 时， ，
即 ．
解：设函数 ．
在 只有一个零点
当且仅当 在 只有一个零点．
(i）当 时， ， 没有零点．
(ⅱ)当 时， ．
当 时， ；
当 时， ．
所以 在 单调递减，
在 单调递增．
故 是 在 的最小值．
①若 ，即 ，
在 没有零点；
∵ ，
∴ 平面 ；
建立以 为坐标原点， ， ， 分别为 ， ， 轴的空间直角坐标系如图：
， ， ， ，
，
设 ， ，
则
，
则平面 的法向量为 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，
则 ，
令 ，则 ， ，
即 ，
∵二面角 为 ，
∴ ，
即 ，
解得 或 （舍），
则平面 的法向量 ，
，
与平面 所成角的正弦值
，
．
21.
【答案】
【答案】
B
5.
【答案】
B
6.
【答案】
A
7.
【答案】
B
8.
【答案】
C
9.
【答案】
C
10.
【答案】
A
11.
【答案】
C
12.
【答案】
D
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.
【答案】
＝
14.
【答案】
15.
【答案】
16.
【答案】
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根要求作答。（一)必考题：共60分。
则
整理得： ，
则 ， ，
由 ，
解得： ，则 ， （舍去）.
∴直线 的方程 .
由 可得 的中点坐标为 ，
则直线 的垂直平分线方程为 ，即 ，
设所求圆的圆心坐标为 ，则
解得： 或
因此，所求圆的方程为 或 ．
20.
【答案】
解： 证明：连接 ，如图：
∵ ， 是 的中点，
∴ ，且 ，
又 ，
∴ ， ，
则 ，
则 ，
19.设抛物线 的焦点为 ，过 且斜率为 的直线 与 交于 ， 两点， ．
求 的方程；
求过点 ， 且与 的准线相切的圆的方程．
20.如图，在三棱锥 中， ， ， 为 的中点．
证明： 平面 ；
若点 在棱 上，且二面角 为 ，求 与平面 所成角的正弦值．
21.已知函数 ．
若 ，证明：当 时， ；
若 在 只有一个零点，求 ．
为了预测该地区 年的环境基础设施投资额，建立了 与时间变量 的两个线性回归模型．根据 年至 年的数据（时间变量 的值依次为 ， ， ， ）建立模型①： ；根据 年至 年的数据（时间变量 的值依次为 ， ， ， ）建立模型②： ．
分别利用这两个模型，求该地区 年的环境基础设施投资额的预测值．
你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]
22.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），直线 的参数方程为 （ 为参数）．
求 和 的直角坐标方程；
若曲线 截直线 所得线段的中点坐标为 ，求 的斜率．
[选修4-5：不等式选讲]
模型②得到的预测值更可靠；
因为从总体数据看，该地区从 年到 年的环境基础设施投资额是逐年上升的，
而从 年到 年间递增的幅度较小些，
从 年到 年间递增的幅度较大些，
所以利用模型②的预测值更可靠些．
19.
【答案】
解： 抛物线 的焦点为 ，
当直线的斜率不存在时， ，不满足；
设直线 的方程为： ，设 ， ，
②若 ，即 ，
在 只有一个零点；
③若 ，即 ，
由于 ，
所以 在 有一个零点，
由 知，
当 时， ，
所以 ，
故 在 有一个零点，
因此 在 有两个零点．
综上， 在 只有一个零点时， ．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.曲线 ＝ 在点 处的切线方程为________．
14.若 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为________．
15.已知 ， ，则 ________．
16.已知圆锥的顶点为 ，母线 ， 所成角的余弦值为 ， 与圆锥底面所成角为 ．若 的面积为 ，则该圆锥的侧面积为________．
22.
【答案】
解： 曲线 的参数方程为 （ 为参数）
转换为直角坐标方程为： ．
直线 的参数方程为 （ 为参数）
当 时， 的直角坐标方程为 ，
当 时， 的直角坐标方程为
把直线的参数方程代入椭圆的方程得到： ，
整理得： ，
则： ，
由于 为中点坐标，
①当直线的斜率不存时， ．
②当直线的斜率存在时， ，
则： ，
17.记 为等差数列 的前 项和，已知 ， ．
求 的通项公式；
求 ，并求 的最小值．
18.如图是某地区 年至 年环境基础设施投资额 （单位：亿元）的折线图．
17.
【答案】
解： ∵等差数列 中， ， ，
∴ ， ，解得 ， ，
∴ ；
∵ ， ， ，
∴ ，
∴当 时，前 项的和 取得最小值为 ．
18.
【答案】
解： 根据模型①： ，
计算 时， ；
利用这个模型，求出该地区 年的环境基础设施投资额的预测值是 亿元，
根据模型②： ，
计算 时， ；
利用这个模型，求该地区 年的环境基础设施投资额的预测值是 亿元.
23.设函数 ＝ ．
（1）当 ＝ 时，求不等式 的解集；
（2）若 ，求 的取值范围．
参考答案与试题解析
2018年宁夏高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅱ）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.
【答案】
D
2.
【答案】
A
3.
【答案】
B
4.
A. B. C. D.
5.双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为( )
A. B. C. D.
6.在 中， ，则 （）
A. B. C. D.
7.为计算 ，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入
A. B. C. D.
8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于 的偶数可以表示为两个素数的和”，如 ．在不超过 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 的概率是（）
A. B. C. D.
9.在长方体 中， ， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（）
A. B. C. D.
10.若 在 是减函数，则 的最大值是（）
A. B. C. D.
11.已知 是定义域为 的奇函数，满足 ，若 ，则
A. B. C. D.
12.已知 ， 是椭圆 的左、右焦点， 是 的左顶点，点 在过 且斜率为 的直线上， 为等腰三角形， ，则 的离心率为（）
解得： ，
即：直线 的斜率为 ．
[选修4-5：不等式wk.baidu.com讲]
23.
【答案】
当 ＝ 时， ＝ ．
当 时， ＝ ，解得 ，
当 时， ＝ 恒成立，即 ，
当 时， ＝ ，解得 ，
综上所述不等式 的解集为 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ，
解得 或 ，
故 的取值范围 ．
2018年宁夏高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅱ）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.
A. B. C. D.
2.已知集合 ，则 中元素的个数为( )
A. B. C. D.
3.函数 的图像大致为( )
A. B.
C. D.
4.已知向量 ， 满足 ， ，则
证明：当 时，
等价于 ，
设函数 ，
则 ．
当 时， ，
所以 在 单调递减，
而 ，
故当 时， ，
即 ．
解：设函数 ．
在 只有一个零点
当且仅当 在 只有一个零点．
(i）当 时， ， 没有零点．
(ⅱ)当 时， ．
当 时， ；
当 时， ．
所以 在 单调递减，
在 单调递增．
故 是 在 的最小值．
①若 ，即 ，
在 没有零点；
∵ ，
∴ 平面 ；
建立以 为坐标原点， ， ， 分别为 ， ， 轴的空间直角坐标系如图：
， ， ， ，
，
设 ， ，
则
，
则平面 的法向量为 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，
则 ，
令 ，则 ， ，
即 ，
∵二面角 为 ，
∴ ，
即 ，
解得 或 （舍），
则平面 的法向量 ，
，
与平面 所成角的正弦值
，
．
21.
【答案】
【答案】
B
5.
【答案】
B
6.
【答案】
A
7.
【答案】
B
8.
【答案】
C
9.
【答案】
C
10.
【答案】
A
11.
【答案】
C
12.
【答案】
D
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.
【答案】
＝
14.
【答案】
15.
【答案】
16.
【答案】
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根要求作答。（一)必考题：共60分。
则
整理得： ，
则 ， ，
由 ，
解得： ，则 ， （舍去）.
∴直线 的方程 .
由 可得 的中点坐标为 ，
则直线 的垂直平分线方程为 ，即 ，
设所求圆的圆心坐标为 ，则
解得： 或
因此，所求圆的方程为 或 ．
20.
【答案】
解： 证明：连接 ，如图：
∵ ， 是 的中点，
∴ ，且 ，
又 ，
∴ ， ，
则 ，
则 ，
19.设抛物线 的焦点为 ，过 且斜率为 的直线 与 交于 ， 两点， ．
求 的方程；
求过点 ， 且与 的准线相切的圆的方程．
20.如图，在三棱锥 中， ， ， 为 的中点．
证明： 平面 ；
若点 在棱 上，且二面角 为 ，求 与平面 所成角的正弦值．
21.已知函数 ．
若 ，证明：当 时， ；
若 在 只有一个零点，求 ．
为了预测该地区 年的环境基础设施投资额，建立了 与时间变量 的两个线性回归模型．根据 年至 年的数据（时间变量 的值依次为 ， ， ， ）建立模型①： ；根据 年至 年的数据（时间变量 的值依次为 ， ， ， ）建立模型②： ．
分别利用这两个模型，求该地区 年的环境基础设施投资额的预测值．
你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]
22.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），直线 的参数方程为 （ 为参数）．
求 和 的直角坐标方程；
若曲线 截直线 所得线段的中点坐标为 ，求 的斜率．
[选修4-5：不等式选讲]
模型②得到的预测值更可靠；
因为从总体数据看，该地区从 年到 年的环境基础设施投资额是逐年上升的，
而从 年到 年间递增的幅度较小些，
从 年到 年间递增的幅度较大些，
所以利用模型②的预测值更可靠些．
19.
【答案】
解： 抛物线 的焦点为 ，
当直线的斜率不存在时， ，不满足；
设直线 的方程为： ，设 ， ，
②若 ，即 ，
在 只有一个零点；
③若 ，即 ，
由于 ，
所以 在 有一个零点，
由 知，
当 时， ，
所以 ，
故 在 有一个零点，
因此 在 有两个零点．
综上， 在 只有一个零点时， ．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.曲线 ＝ 在点 处的切线方程为________．
14.若 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为________．
15.已知 ， ，则 ________．
16.已知圆锥的顶点为 ，母线 ， 所成角的余弦值为 ， 与圆锥底面所成角为 ．若 的面积为 ，则该圆锥的侧面积为________．
22.
【答案】
解： 曲线 的参数方程为 （ 为参数）
转换为直角坐标方程为： ．
直线 的参数方程为 （ 为参数）
当 时， 的直角坐标方程为 ，
当 时， 的直角坐标方程为
把直线的参数方程代入椭圆的方程得到： ，
整理得： ，
则： ，
由于 为中点坐标，
①当直线的斜率不存时， ．
②当直线的斜率存在时， ，
则： ，