2018年宁夏数学(理科)高考试题
宁夏银川一中2018届高三第二次模拟考试数学(理)试题+Word版含答案【KS5U+高考】
绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理 科 数 学(银川一中第二次模拟考试)第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．复数2(1)i i-=A ．22i -+B ．2C ．2-D ．22i -2．设集合2{|0}M x x x =->，1|1N x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则A ．φ=⋂N MB ．φ=⋃N MC ．M N =D ．MN R =3．已知1tan 2α=-，且(0,)απ∈，则sin 2α= A ．45 B ．45-C ．35D ．35-4．若两个单位向量a ，b 的夹角为120，则2a b +=A ．2B ．3C 2D 35．从标有数字1、2、3、4、5的五张卡片中，依次抽出2张(取后不放回)，则在第一次抽到卡片是奇数的情况下，第二次抽到卡片是偶数的概率为 A ．14B ．12C ．13D ．236．已知233a -=，432b -=，ln3c =，则A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．b a c <<7．中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线的一条渐近线经过点()2,4-，则它的离心率为A 5B ．2C 3D 58．三棱锥P-ABC 中，PA ⊥面ABC ，PA=2，AB=AC=3，∠BAC=60°，则该棱锥的外接球的表面积是A ．π12B ．π8C ．π38D ．π349．20世纪70年代，流行一种游戏——角谷猜想，规则如下：任意写出一个自然数n ，按照以下的规律进行变换：如果n 是个奇数，则下一步变成31n +；如果n 是个偶数，则下一步变成2n，这种游戏的魅力在于无论你写出一个多么庞大的数字，最后必然会落在谷底，更准确地说是落入底部的4-2-1循环，而永远也跳不出这个圈子，下列程序框图就是根据这个游戏而设 计的，如果输出的i 值为6，则输入的n 值为 A ．5B ．16C ．5或32D ．4或5或32 10．已知P 是△ABC 所在平面外的一点，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，若MN ＝BC ＝4，PA ＝43， 则异面直线PA 与MN 所成角的大小是A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 11．若将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)＋3cos(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象向左平移π4个单位长度，平移后的图象关于点⎝⎛⎭⎫π2，0对称，则函数g (x )＝cos(x ＋φ)在⎣⎡⎦⎤－π2，π6上的最小值是A ．－12B ．－32C ．22D ．1212．已知函数f (x )＝(3x ＋1)e x ＋1＋mx (m ≥－4e)，若有且仅有两个整数使得f (x )≤0，则实数m 的取值范围是A ．⎥⎦⎤⎝⎛2,5e B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡--238,25e e C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡--238,21e D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡--ee 25,4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．已知函数f (x )＝log 21－x 1＋x ，若f (a )＝12，则f (－a )＝________．14．设221(32)a x x dx =⎰-，则二项式261()ax x-展开式中的第6项的系数为__________． 15．若目标函数2z kx y =+在约束条件2122x y x y y x -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩下当且仅当在点(1,1)处取得最小值，则实数k 的取值范围是__________．16．已知点A (0,1)，抛物线C ：y 2＝ax (a >0)的焦点为F ，连接FA ，与抛物线C 相交于点M ，延长FA ，与抛物线C 的准线相交于点N ，若|FM |∶|MN |＝1∶3，则实数a 的值为________． 三．解答题17．（本小题满分12分）123456月份代码x市场占有率y(%)2016年10月2016年11月2016年12月2017年1月2017年2月2017年3月20 155 10 25 {a n }的前n 项和S n 满足：a n +S n =1 (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若1+=n nn a a C ，数列{C n }的前n 项和为T n ，求证：T n <1． 18．（本小题满分12分）随着互联网的快速发展，基于互联网 的共享单车应运而生，某市场研究人 员为了了解共享单车运营公司M 的经营状况，对该公司最近六个月的市场占有 率进行了统计，并绘制了相应的折线图：（1）由折线图可以看出，可用线性回归 模型拟合月度市场占有率y 与月份代码x 之间 的关系，求y 关于x 的线性回归方程，并 预测M 公司2017年4月的市场占有率；（2）为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车，现有采购成本分别为1000元/辆和 1200元/辆的A 、B 两款车型可供选择，按规定每辆单车最 多使用4年，但由于多种原因(如骑行频率等)会导致单车使 用寿命各不相同，考虑到公司运营的经济效益，该公司决定 先对这两款车型的单车各100辆进行科学模拟测试，得到两 款单车使用寿命的频数表如右表：经测算，平均每辆单车每年可以带来收入500元，不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且以频率作为每辆单车使用寿命的概率，如果你是M 公司的负责人，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款车型？ 参考公式：回归直线方程为y bx a =+，其中2121121)())((ˆx n xyx n y xx xy y x xbn i ini i in i ii ni i--=---=∑∑∑∑====，a y bx =-．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，∠BCD =135°，侧面PAB ⊥底面ABCD ，∠BAP =90°，AB =AC =PA =2，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，点M 在线段PD 上．（1）求证：EF ⊥平面PAC ；（2）如果直线ME 与平面PBC 所成的角和直线ME 与平 面ABCD 所成的角相等，求PDPM的值．20．（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形(记为Q )(1)求椭圆C 的方程；(2)设点P 是直线x = －4与x 轴的交点，过点P 的直线l 与椭圆C 相交于M 、N 两点，当线段MN 的中点落在正方形Q 内（包括边界）时，求直线l 斜率的取值范围． 21．（本小题满分12分）已知函数()()()21,ln f x x ax g x x a a R =++=-∈．(1)当1a =时，求函数()()()h x f x g x =-的极值；(2)若存在与函数()(),f x g x 的图象都相切的直线，求实数a 的取值范围．请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．【选修4-4：坐标系与参数方程】(本小题满分10分)在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：2sin 2cos (0)a a ρθθ=>，过点(24)P --，的直线l的参数方程为：24x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ (t 为参数)，直线l 与曲线C 分别交于M 、N 两点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求a 的值 23选修4－5：不等式选讲(本小题满分10分)已知函数|1|||)(--=x x x f ．(1)若|1|)(-≥m x f 的解集非空，求实数m 的取值范围；(2)若正数y x ,满足M y x =+22，M 为（1）中m 可取到的最大值，求证：xy y x 2≥+．银川一中2018届高三第二次模拟理科数学试题参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CCBDBDABCADB二．填空题：13. —2114. —24; 15. 24<<-k ; 16. 212．已知函数f (x )＝(3x ＋1)e x ＋1＋mx (m ≥－4e)，若有且仅有两个整数使得f (x )≤0，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤5e ，2B.⎣⎡⎭⎫－52e ，－83e 2C.⎣⎡⎭⎫－12，－83e 2D.⎣⎡⎭⎫－4e ，－52e 答案 B解析 由f (x )≤0，得(3x ＋1)·e x ＋1＋mx ≤0，即 mx ≤－(3x ＋1)e x ＋1，设g(x )＝mx ，h(x )＝－(3x ＋1)e x ＋1， 则h′(x )＝－[3e x ＋1＋(3x ＋1)e x ＋1]＝－(3x ＋4)e x ＋1，由 h′(x )>0，得－(3x ＋4)>0，即x <－43，由h′(x )<0， 得－(3x ＋4)<0，即x >－43，故当x ＝－43时，函数h(x ) 取得极大值．在同一平面直角坐标系中作出y ＝h(x )， y ＝g(x )的大致图象如图所示，当m ≥0时，满足 g(x )≤h(x )的整数解超过两个，不满足条件；当m <0时， 要使g(x )≤h(x )的整数解只有两个，则需满足()()()()⎩⎨⎧-<--≥-,33,22g h g h即⎩⎪⎨⎪⎧5e －1≥－2m ，8e －2<－3m ，即⎩⎨⎧m ≥－52e ，m <－83e 2，即－52e ≤m <－83e 2，即实数m 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡--238,25ee ，故选B.16已知点A (0,1)，抛物线C ：y 2＝ax (a >0)的焦点为F ，连接FA ，与抛物线C 相交于点M ，延长FA ，与抛物线C 的准线相交于点N ，若|FM |∶|MN |＝1∶3，则实数a 的值为________．答案2解析 依题意得焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，设M 在抛物线的准线上的射影为K ，连接MK ，由抛物线的定义知|MF |＝|MK |，因为|FM |∶|MN |＝1∶3，所以|KN |∶|KM |＝22∶1，又k FN ＝0－1a 4－0＝－4a ，k FN ＝－|KN ||KM |＝－22，所以4a ＝22，解得a ＝ 2.三．解答题：17.解析：(1)由a n +S n =1得a n -1+S n -1=1(n ≥2) 两式相减可得：2a n =a n -1即211=-n n a a ，又211=a ∴{a n }为等比数列，∴a n =n )21( (2)n n n nn C 211211)21()21(<+=+= 故12112112112121212121321<-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛<++++=n n nn n C C C C T 18.解：(1)由题意： 3.5x =，16y =，()()6135i i i x x y y =--=∑，()62117.5i i x x=-=∑，35217.5b ==，162 3.59a y b x =-⋅=-⨯=，∴29y x =+， 7x =时，27923y =⨯+=.即预测M 公司2017年4月份(即7x =时)的市场占有率为23%.(2)由频率估计概率，每辆A 款车可使用1年，2年，3年，4年的概率分别为0.2、0.35、0.35、0.1， ∴每辆A 款车的利润数学期望为()()()()50010000.2100010000.35150010000.35200010000.1175-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=(元)每辆B 款车可使用1年，2年，3年，4年的概率分别为0.1，0.3，0.4，0.2， ∴每辆B 款车的利润数学利润为()()()()50012000.1100012000.3150012000.4200012000.2150-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=(元)∵175150>， ∴应该采购A 款车. 19.(1）证明：在平行四边形中，因为，， 所以．由分别为的中点，得， 所以．因为侧面底面，且，所以底面．又因为底面，所以．又因为，平面，平面，所以平面．（2）解：因为底面，，所以两两垂直，以分别为、、，建立空间直角坐标系，则，所以，，，设，则，所以，，易得平面的法向量．设平面的法向量为，由，，得令， 得．因为直线与平面所成的角和此直线与平面所成的角相等，所以，即，所以，解得，或（舍）． 综上所得：20.【解析】（1）依题意，设椭圆C 的方程为)0(12222>>=+b a by a x ，焦距为c 2。
2018年宁夏高考数学试卷(理科)(全国新课标Ⅱ) (1)
由于 ，
所以 在 有一个零点，
由 知，
当 时， ，
所以 ，
故 在 有一个零点，
因此 在 有两个零点．
综上， 在 只有一个零点时， ．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根要求作答。（一)必考题：共60分。
17.记 为等差数列 的前 项和，已知 ， ．
求 的通项公式；
求 ，并求 的最小值．
18.如图是某地区 年至 年环境基础设施投资额 （单位：亿元）的折线图．
17.
【答案】
解： ∵等差数列 中， ， ，
∴ ， ，解得 ， ，
∴ ；
∵ ， ， ，
∴ ，
∴当 时，前 项的和 取得最小值为 ．
18.
【答案】
解： 根据模型①： ，
计算 时， ；
利用这个模型，求出该地区 年的环境基础设施投资额的预测值是 亿元，
根据模型②： ，
计算 时， ；
利用这个模型，求该地区 年的环境基础设施投资额的预测值是 亿元.
A. B. C. D.
5.双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为( )
A. B. C. D.
6.在 中， ，则 （）
A. B. C. D.
7.为计算 ，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入
A. B. C. D.
8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于 的偶数可以表示为两个素数的和”，如 ．在不超过 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 的概率是（）
高考最新-2018年普通高等学校招生全国统一考试(宁夏卷)数学(理科)试卷 精品
2018年普通高等学校招生全国统一考试（宁夏卷）数学（理科）试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
第II 卷第22题为选考题，其他题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上。
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5．作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。
参考公式： 样本数据1x ，2x ，，n x 的标准差锥体体积公式s =13V S h= 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积、h 为高 柱体体积公式球的表面积、体积公式V=Sh24πS R =，34π3V R =其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知命题:p x ∀∈R ，sin x ≤1，则（ ）A ．:p x ⌝∃∈R ，sin x ≥1B ．:p x ⌝∀∈R ，sin x ≥1C ．:p x ⌝∃∈R ，sin x >1D ．:p x ⌝∀∈R ，sin x >12．已知平面向量a =（1，1），b （1，－1），则向量1322-=a b （ ）A ．（－2，－1）B ．（－2，1）C ．（－1，0）D ．（－1，2） 3．函数πs in 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的简图是（ ）4．已知{a n }是等差数列，a 10=10，其前10项和S 10=70，则其公差d =（ ）A ．23-B ．13-C ．13D ．235．如果执行右面的程序框图，那么输出的S=（ ）A ．2450B ．2500C ．2550D ．26526．已知抛物线22(0)y p x p =>的焦点为F ，点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），P 3（x 3，y 3）在抛物线上，且2x 2=x 1+x 3， 则有（ ）x--A ．B ．C ．D ．A ．123F P F P F P +=B ．222123F P F P F P +=C ．2132F P F P F P =+D ．2213F P F P F P =·7．已知x >0，y >0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则2()a b c d+的最小值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．48．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ）A ．34000c m 3B ．38000c m 3C ．2000cm 3D ．4000cm 39．若c o s 2π2s in 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，则co s sin αα+的值为（ ）A．2- B ．12-C ．12D．210．曲线12e xy =在点（4，e 2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）A ．29e 2B ．4e 2C ．2e 2D ．e 2s 1，s 2，s 3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ）A ．s 3>s 1>s 2B ．s 2>s 1>s 3C ．s 1>s 2>s 3D ．s 2>s 3>s 112．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等。
2018年全国新课标数学高考试卷及超详答案
2018年普通高等学校统一考试（宁夏卷）数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0)在区间[0，2π]的图像如下：那么ω=（ ） A. 1B. 2C. 1/2D. 1/32、已知复数1z i =-，则221z zz -=-（ ） A. 2i B. －2i C. 2 D. －23、如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（ ） A. 5/18B. 3/4C./2 D. 7/84、设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则42S a =（ ） A. 2 B. 4 C.152D.1725、右面的程序框图，如果输入三个实数a 、b 、c ，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（ ） A. c > xB. x > cC. c > bD. b > c6、已知1230a a a >>>，则使得2(1)1i a x -<(1,2,3)i =都成立的x 取值范围是（ ）A.（0，11a ）B. （0，12a ）C. （0，31a ） D. （0，32a ） 7、0203sin 702cos 10--=（ ）A. 12B. C. 2D. 8、平面向量a r ，b r共线的充要条件是（ ）A. a r ，b r 方向相同B. a r ，b r 两向量中至少有一个为零向量C. R λ∃∈， b a λ=r rD. 存在不全为零的实数1λ，2λ，120a b λλ+=r r r9、甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面。
不同的安排方法共有（ ） A. 20种B. 30种C. 40种D. 60种10、由直线21=x ，x=2，曲线xy 1=及x 轴所围图形的面积为（ ） A. 415 B. 417C. 2ln 21D. 2ln 211、已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ ） A. （41，－1） B. （41，1） C. （1，2） D. （1，－2）12、某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a + b 的最大值为（ ）A. 22B. 32C. 4D. 52二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。
2018年宁夏银川一中高考数学三模试卷(理科)
2018年宁夏银川一中高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(★)已知集合A={1，3}，，则A∩B=（）A．{1}B．{1，3}C．{1，2，3}D．{1，3，4}2．(★)已知复数，是z的共轭复数，则•z=（）A．B．-C．1D．-13．(★★★)已知向量=（3，-2），=（x，y-1）且∥，若x，y均为正数，则+ 的最小值是（）A．24B．8C．D．4．(★)甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m，n的比值=（）A．B．C．2D．35．(★)已知各项均不为0的等差数列{a n}满足a 3- +a 11=0，数列{b n}为等比数列，且b 7=a 7，则b 1•b 13=（）A．25B．16C．8D．46．(★)秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x的值为3，则输出v的值为（）A．311-1B．C．D．7．(★)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若，则角A等于（）A．B．C．D．8．(★★)给出下列四个命题：①若样本数据x 1，x 2，..x 10的方差为16，则数据2x 1-1，2x 2-1，…2x 10-1的方差为64；②“平面向量，夹角为锐角，则＞0”的逆命题为真命题；③命题“∀x∈（-∞，0），均有e x＞x+1”的否定是“∃x 0∈（-∞，0），使得≤x 0+1”；④a=-1是直线x-ay+1=0与直线x+a 2y-1=0平行的必要不充分条件．其中正确的命题个数是（）A．1B．2C．3D．49．(★★)函数f（x）= （其中e为自然对数的底数）的图象大致为（）A．B．C．D ．10．(★)一个几何体的三视图如图，其左视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．（4+π） 11．(★★)已知抛物线C ：y 2=2px （0＜p ＜4）的焦点为F ，点P 为C 上一动点，A （4，0），B （p ，p ），且|PA|的最小值为 ，则|BF|等于（ ）A ．4B ．C ．5D ．12．(★★)定义：如果函数f （x ）的导函数为f ′（x ），在区间[a ，b]上存在x 1，x 2（a ＜x 1＜x 2＜b ）使得f ′（x 1）= ，f ′（x 2）=，则称f （x ）为区间[a ，b]上的“双中值函数“．已知函数g （x ）=是[0，2]上的“双中值函数“，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[] B ．（-∞，+∞） C ．（） D ．（）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．(★★)已知sin2 ，则2cos 2（ ）= ．14．(★★★)若实数x，y满足，则z=|x-y|的最大值是．15．(★★)如图是3世纪我国汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形，在大正方形内随机取一点，这一点落在小正方形内的概率为，若直角三角形的两条直角边的长分别为a，b（a ＞b），则= ．16．(★★★)二项式的展开式中x 5的系数为，则= ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．(★★★)已知数列{a n}中，a 1=1，其前n项的和为S n，且满足．（1）求证：数列是等差数列；（2）证明：当n≥2时，．18．(★★)某食品集团生产的火腿按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1，2，3，…，8，其中X≥5为标准A，X≥3为标准B．已知甲车间执行标准A，乙执行标准B生产该产品，且两个车间的产品都符合相应的执行标准．（1）已知甲车间的等级系数X 1的概率分布列如下表：若X 1的数学期望E（X 1）=6.4，求a，b的值；（2）为了分析乙车间的等级系数X 2，从该车间生产的火腿中随机抽取30根，相应的等级系数组成一个样本如下：3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7．用该样本的频率分布估计总体，将频率视为概率，求等级系数X 2的概率分布列和均值；（3）从乙车间中随机抽取5根火腿，利用（2）的结果推断恰好有三根火腿能达到标准A的概率．19．(★★★★)如图，已知△DEF与△ABC分别是棱长为1与2的正三角形，AC∥DF，四边形BCDE为直角梯形，DE∥BC，BC⊥CD，点G为△ABC的重心，N为AB中点，AG⊥平面BCDE，M为线段AF上靠近点F的三等分点．（Ⅰ）求证：GM∥平面DFN；（Ⅱ）若二面角M-BC-D的余弦值为，试求异面直线MN与CD所成角的余弦值．20．(★★★)如图，N（1，0）是圆M：（x+1）2+y 2=16内一个定点，P是圆上任意一点．线段NP的垂直平分线和半径MP相交于点Q．（1）当点P在圆上运动时，点Q的轨迹E是什么曲线？并求出其轨迹方程；（2）过点G（0，1）作直线l与曲线E交于A、B两点，点A关于原点O的对称点D，求△ABD 的面积S的最大值．21．(★★★★★)已知函数f（x）=lnx- ax 2+x，a∈R．（1）令g（x）=f（x）-（ax-1），求函数g（x）的单调区间；（2）若a=-2，正实数x 1，x 2满足f（x 1）+f（x 2）+x 1x 2=0，证明：x 1+x 2≥．请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．(★★★★)在直角坐标系xOy中，圆C 1的参数方程为（t为参数），圆C 2与圆C 1外切于原点O，且两圆圆心的距离|C 1C 2|=3，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C 1和圆C 2的极坐标方程；（2）过点O的直线l 1、l 2与圆C 2异于点O的交点分别为点A和点D，与圆C 1异于点O的交点分别为C和B，且l 1⊥l 2，求四边形ABCD面积的最大值．[选修4-5；不等式选讲]23．(★★★★)已知函数f（x）=|x+3|+|x-1|的最小值为m．（Ⅰ）求m的值以及此时的x的取值范围；（Ⅱ）若实数p，q，r满足p 2+2q 2+r 2=m，证明：q（p+r）≤2．。
高考全国乙卷：《理科数学》2018年考试真题与答案解析
高考精品文档高考全国乙卷理科数学·2018年考试真题与答案解析同卷省份河南、山西、江西、安徽甘肃、青海、蒙古、山西吉林、宁夏、新疆、黑龙江高考全国乙卷：2018年《理科数学》考试真题与答案解析一、选择题本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设，则______。
A ．B ．C ．D[答案]C2．已知集合，则______。
A ．B ．C ．D ．[答案]B 3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如1i 2i 1iz -=++||z =0121{}220A x x x =-->A =R ð{}12x x -<<{}12x x -≤≤}{}{|1|2x x x x <-> }{}{|1|2x x x x ≤-≥则下面结论中不正确的是______。
A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半[答案]A4．记为等差数列的前项和.若，，则______。
A ．B ．C ．D ．[答案]B5．设函数.若为奇函数，则曲线在点处的切线方程n S {}n a n 3243S S S =+12a ==5a 12-10-101232()(1)f x x a x ax =+-+()f x ()y f x =(0,0)A ．B ．C ．D ．[答案]D6．在中，为边上的中线，为的中点，则______。
A ．B ．C ．D ．[答案]A7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为______。
银川市2018年高三高考模拟检测理科数学试卷(附答案解析)
机密★启用前银川市2018年普通高中教学质量检测数学(理科)考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 1．设集合{}{}20,2,,|15A m mB x Z x =-=∈<<，若{}4A B ⋂=，则实数m 构成的集合是A ．{}2,6B ．{}2,6-C ．{}2,2-D ．{}2,2,6- 2．已知复数z 满足2zi i =+，则复数z 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知双曲线()22221,0x y a b a b-=>的一条渐近线的方程是20x y -=，则该双曲线的离心率是A.4．若,x y 满足约束条件340380210x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，则2z x y =-+的最大值是A. 7-B.2-C.3D.45．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有北乡算八千七百五十八，西乡算七千二百三十六，南乡算八千三百五十六，凡三乡，发役三百七十八人，欲以算数多少衰出之，问各几何？”意思是:北乡有8758人，西乡有7236人，南乡有8356人，现要按人数多少从三乡共征集378人，问从各乡各征集多少人？在上述问题中,需从西乡征集的人数是 A. 102B. 112C. 130D. 1366．如图是由半个球体和正方体组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为A. 20π+B. 24π+C. 202π+D. 242π+7．在正方形ABCD 中，点E 为BC 的中点，若点F 满足AF AC λ=， 且=0AE BF ，则=λA ．23B ．34C ．45D ．788．阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序，输出的s 值等于 A ．38 B ．40C ．42D ．489．已知函数()sin f x x x ωω=的图像与直线2y =交于,A B 两点， 若AB 的最小值为π ，则函数()f x 的一条对称轴是 A ．3x π=B ．4x π=C ．6x π=D ． 12x π=10．,αβ 是两个平面， ,m n 是两条直线，则下列命题中错误．．的是 A ．如果,,m n m n αβ⊥⊥⊥，那么αβ⊥ B ．如果,m αα⊂∥β ，那么m ∥β C ．如果,l m αβ⋂=∥,m α∥β ，那么m ∥l D ．如果,,m n m n α⊥⊥∥β，那么αβ⊥ 11． 定义在R 上的偶函数)(x f 在[0,)+∞单调递增，且1)2(=-f ，则(2)1f x -≤的x 的取值范围是A ．]4,0[B ．),2[]2,(+∞--∞C ．),4[]0,(+∞-∞D ．]2,2[- 12．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知ABC ∆，且()cos cos 2A B cB a b+=+ ，则c 的最小值是A. 2B.C. D.4二、填空题:本大题共4小题，每小题5分13．周末，某高校一学生宿舍甲,乙,丙,丁四位同学正在做四件不同事情:看书,写信,听音乐,玩游戏,下面是关于他们各自所做事情的一些判断:①甲不在看书,也不在写信;②乙不在写信,也不在听音乐;③如果甲不在听音乐,那么丁也不在写信; ④丙不在看书,也不写信.已知这些判断都是正确的，依据以上判断, 请问乙同学正在做的事情是: .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 为公差不为零的等差数列，23a =且137,,a a a 成等比数列． （I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）若数列{}n b 满足11010+1n n n b a a += ，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：12n S <．18．（本小题满分12分）随着我国互联网信息技术的发展，网络购物已经成为许多人消费的一种重要方式．某市为了了解本市市民的网络购物情况，特委托一家网络公司进行了网络问卷调查，并从参与调查的10000名网民中随机抽取了200人进行抽样分析，得到了下表所示数据：性别有关？（II ）现从所抽取的女性网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，从这5人中随机选出3人赠送网购优惠券，求选出的3人中至少有两人是经常进行网络购物的概率；(III)将频率视为概率，从该市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品，记经常进行网络购物的人数为X ，求X 的期望和方差． 附：()()()()()22=n ad bc K a b c d a c b d -++++，其中n a b c d =+++19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，E 为PD 上一点.(I)若//PB 平面EAC ，试说明点E 的位置并证明你的结论；(II)若E 为PD 的中点，PA ⊥平面ABCD ，且=60PA AB ABC =∠，, 求二面角C AE D --的余弦值. 20．（本小题满分12分）已知椭圆()222210x y C a b a b+=>>：．(I)求椭圆C 的方程；(II)设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，坐标原点到直线l 的距离为2，求AOB ∆面积的最大值． 21．（本小题满分12分）已知函数()()1ln f x ax x a R =--∈．(I)讨论函数()f x 在定义域内的极值点的个数；(II)若函数()f x 在1x =处取得极值，()()0,,2x f x bx ∀∈+∞≥-恒成立，求实数b 的最大值．请考生在第22, 23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请在答题卡涂上题号.22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程为ρ2＝364cos 2θ＋9sin 2θ.(I)若以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线C 的直角坐标方程；(II) 若P (x ，y )是曲线C 上的一个动点，求3x ＋4y 的最大值． 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()212f x x x =++-，集合(){|3}A x f x =<. (I)求A ；(II) 若,s t A ∈，求证:11t t s s-<-.PABCDE2018年高三数学（理科）质量检测题答案二、填空题（每题5分，共20分）13．看书 14．40- 15.24y x =或216y x = 16．①④ 三、解答题：（70分） 17．(12分)解：（I ）由题意，2317a a a =，所以，()()()22225a d a d a d +=-+ 即()()()23+335d d d =-+ 即2660d d -=因为0d ≠，所以=1d ，所以12a = 故1n a n =+ （II ）由上知，()()()()()()101111=11012112121210n b n n n n n n n n ==<-++++++++++ 故121111111123341222n n S b b b n n n =+++<-+-++-=-+++所以，12n S <18．（12分）（I ）由列联表数据计算()2220050405060= 2.020 2.07211090100100K ⨯-⨯≈<⨯⨯⨯所以，不能再犯错误的概率不超过0.15的前提下认为该市市民网购情况与性别有关. （II ）由题意，抽取的5名女性网民中，经常进行网购的有605=3100⨯人，偶尔或从不进行网购的有405=2100⨯人，故从这5人中选出3人至少有2人经常进行网购的概率是2133233355710C C C C C += （III ）由列联表可知，经常进行网购的频率为11011=20020，由题意，从该市市民中任意抽取1人恰好是经常进行网购的概率是1120由于该市市民数量很大，故可以认为1110,20X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，()1110=5.520E X =⨯，()1199910202040D X =⨯⨯=19．（12分）解：（I ）当点E 为PD 中点时有//PB EAC 平面，证明如下：联结BD ，交AC 于点O ，联结EO .由菱形性质知点O 是BD 的中点， 所以，//PB EO ，又因为,EO ECO PB ECO ⊂⊄平面平面故//PB EAC 平面.（II ）由题意，以O 为坐标原点，分别以,OB OC 为x轴和y 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设=4PA AB = ，则由条件易知2,OA OC OB OD ====所以，()()()()()02,00,2,0,0,2,4,,1,2C A P D E ----，， 所以，()()0,2,0,3,1,2OC OE ==--,设平面ACE 的法向量为(),,m x y z =，则m OCm OE ⊥⊥且所以，00m OC m OE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即2020y y z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令x =3z =所以，()23,0,3m = 同理可求平面AED 的法向量()3,3,0n =所以，7cos ,m n m n m n⋅==由图可知，二面角C AE D -- 20．（12分）解：（I ）由题意，a =3c e a ==，所以 2=c ，1=b 所以椭圆C 的方程为：2213x y +=．（II ）设11()A x y ，，22()B x y ，．① 当AB x ⊥轴时，23:±=x l ,)23,23(A 、)23,23(-B 或)23,23(-A 、)23,23(--B 则：AB =② 当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx m =+．=，得223(1)4m k =+． 把y kx m =+代入椭圆方程，整理得222(31)6330k x kmx m +++-=， 0)19(3)1)(13(12)6(2222>+=-+-=∆k m k km122631kmx x k -+=+，21223(1)31m x x k -=+． ∴ 22221(1)()AB k x x =+-22222223612(1)(1)(31)31k m m k k k ⎡⎤-=+-⎢⎥++⎣⎦ 22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)k k m k k k k ++-++==++ 44)1132(22≤+-+-=k ． 当且仅当011322=-+k，即3k =±时等号成立． 由①、②可知：max 2AB =．∴ 当AB 最大时，AOB △面积取最大值max 1222S AB =⨯⨯=． 21．（12分）解：（I ）()f x 的定义域为()0+∞，，.()11ax f x a x x-'=-=当0a ≤时，()0f x '≤在 ()0+∞，上恒成立，函数f (x )在()0+∞，上单调递减.()f x 在(0，＋∞)上没有极值点.当0a >时，由()0f x '>得1x a>， 所以，()f x 在10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上递减，在1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上递增，即()f x 在1x a =处有极小值.综上，当0a ≤时，()f x 在()0+∞，上没有极值点； 当0a >时，()f x 在()0+∞，上有一个极值点. (Ⅱ) ∵函数()f x 在1x =处取得极值，()110f a '=-=，则1a =，从而()1ln f x x x =--因此()2f x bx ≥- 即1ln 1x b x x+-≥， 令()1ln 1x g x x x =+-，则()2ln 2x g x x -'=，由()0g x '≥得2x e ≥则()g x 在()20,e 上递减，在()2,e +∞上递增，()()22min 11g x g e e ==-，故实数b 的最大值是211e - 22.【解析】：(Ⅰ)由ρ2＝364cos 2θ＋9sin 2θ，得22224cos 9sin 36ρθρθ+=,即224936x y +=，故曲线C 的直角坐标方程22194x y += (Ⅱ) ∵P (x ，y )是曲线C 上的一个动点，∴可设(3cos ,2sin ),P R θθθ∈，则349cos 8sin )x y θθθϕ+=+=+，其中9tan 8ϕ=.∵R θ∈，∴当sin()=1θϕ+时，max (34)x y +=23.【解析】：(Ⅰ)函数()3212=3,31,x f x x x x x ⎧-+⎪⎪⎪=++-+⎨⎪-⎪⎪⎩首先画出()y f x =与3y =的图象， 可得不等式()3f x <解集为：2|03A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭(Ⅱ) ∵,s t A ∈，∴2,,03s t ⎛⎫∈-⎪⎝⎭. ∴2222221111+t t t t s s s s ⎛⎫⎛⎫---=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()2221110t s s=--< ∴2211t t s s ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故11t t s s -<-。
【高三数学试题精选】2018年高考理科数学一模考试题(宁夏银川附答案和解释)
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银川5不等式选讲
已知函数f（x）=lg2（|x+1|+|x﹣2|﹣）．
（1）当=7时，求函数f（x）的定义域；
（2）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求的取值范围．
答案
一、1—5 DBBcB 6—10 AAcBD 11-12 B B
二、13 14 15、[﹣2，] 16 0
不等式的解集是以下不等式组解集的并集，或，或，
解得函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣3）∪（4，+∞）．
（2）不等式f（x）≥2即|x+1|+|x﹣2|≥+4，
∵x∈R时，恒有|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，
不等式|x+1|+|x﹣2|≥+4解集是R，
∴+4≤3，的取值范围是（﹣∞，﹣1]．
从而2a≥= +4，∴a≥2
故a的取值范围为[2，+∞）．
22【解答】解（1）对于曲线c2有，即，
因此曲线c2的直角坐标方程为，其表示一个圆．
（2）联立曲线c1与曲线c2的方程可得，
∴t1+t2=2 sinα，t1t2=﹣13
，
因此sinα=0，|AB|的最小值为，sinα=±1，最大值为8．
23解（1）由题设知|x+1|+|x﹣2|＞7，
∵AD面AD，∴B⊥AD．
解（2）以A中点为原点，A为x轴，D为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（1，0，0），E（﹣，1，），=（，﹣1，﹣），=（﹣2，0，0），
平面AD的法向量=（0，1，0），
设平面EA的法向量=（x，，z），
2018年宁夏银川一中高考数学四模试卷(理科)
2018年宁夏银川一中高考数学四模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(★)已知m，n∈R，集合A={2，log 7m}，集合B={m，n}，若A∩B={0}，则m-n=（）A．1B．2C．4D．82．(★)若z 1=1+2i，z 2=1-i，则|z 1z 2|=（）A．6B．C．D．3．(★)已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则￢p为（）A．∃x∈R，sinx≥1B．∀x∈R，sinx≥1C．∃x∈R，sinx＞1D．∀x∈R，sinx＞14．(★)设a=0.5 0.4，b=log 0.40.3，c=log 80.4，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a5．(★★)已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若=a 2，且S 3，S 1，S 2成等差数列，则S 4=（）A．10B．12C．18D．306．(★)A地的天气预报显示，A地在今后的三天中，每一天有强浓雾的概率为30%，现用随机模拟的方法估计这三天中至少有两天有强浓雾的概率，先利用计算器产生0-9之间整数值的随机数，并用0，1，2，3，4，5，6表示没有强浓雾，用7，8，9表示有强浓雾，再以每3个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下20组随机数：402 978 191 925 273 842 812 479 569 683231 357 394 027 506 588 730 113 537 779则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为（）A．B．C．D．7．(★)（- ）n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（）A．28B．-28C．70D．-708．(★★)设圆心在x轴上的圆C与直线l 1：x- 相切，且与直线l 2：x- 相交于两点M，N，若|MN|= ，则圆C的半径为（）A．B．C．1D．9．(★★)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．1B．2C．3D．610．(★)五进制是以5为底的进位制，主因乃人类的一只手有五只手指．中国古代的五行学说也是采用的五进制，0代表土，1代表水，2代表火，3代表木，4代表金，依此类推，5又属土，6属水，……，减去5即得．如图，这是一个把k进制数a （共有N位）化为十进制数b的程序框图，执行该程序框图，若输入的k，a，n分别为5，324，3，则输出的b=（）A．45B．89C．113D．44511．(★)已知函数f（x）=sin 2ωx- （ω＞0）的周期为，若将其图象沿x轴向右平移a个单位（a＞0），所得图象关于原点对称，则实数a的最小值为（）A．B．C．D．12．(★★★)定义在R上的奇函数y=f（x）满足f（3）=0，且当x＞0时，不等式f（x）＞-xf′（x）恒成立，则函数g（x）=xf（x）+lg|x+1|的零点的个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．(★★)已知| |=1，| |= ，且⊥（），则向量在向量方向上的投影为．14．(★★★)已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c且a=1，∠B=45°，S △ABC=2，则b= ．15．(★★★)已知实数x，y满足，则的最小值为．16．(★★★)已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为点F 1（-c，0），F2（c，0）（c＞0），抛物线y 2=4cx与双曲线在第一象限内相交于点P，若|PF2|=|F 1F 2|，则双曲线的离心率为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．(★★★)已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且a n2+2a n=4S n．（Ⅰ）求S n；（Ⅱ）设，求数列的前n项和T n．18．(★★)第26届世界大学生夏季运动会将于2011年8月12日到23日在深圳举行，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者．将这30名志愿者的身高编成如右所示的茎叶图（单位：cm）：若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”．（1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中中提取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？（2）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．19．(★★★)如图，四棱锥P-ABCD，AD∥BC，AD=2BC=4，AB=2 ，∠BAD=90°，M，O分别为CD和AC的中点，PO⊥平面ABCD．（I）求证：平面PBM⊥平面PAC；（Ⅱ）是否存在线段PM上一点N，使得ON∥平面PAB，若存在，求的值，如果不存在，说明理由．20．(★★★★)设F 1，F 2分别是椭圆C：+y 2=1的左、右焦点，过F 1且斜率不为零的动直线l与椭圆C交于A，B两点．（Ⅰ）求△AF 1F 2的周长；（Ⅱ）若存在直线l，使得直线F 2A，AB，F 2B与直线x=- 分别交于P，Q，R三个不同的点，且满足P，Q，R到x轴的距离依次成等比数列，求该直线l的方程．21．(★★★)设函数f（x）=e x-ax 2-ex+b，其中e为自然对数的底数．（1）若曲线f（x）在y轴上的截距为-1，且在点x=1处的切线垂直于直线y= ，求实数a，b的值；（2）记f（x）的导函数为g（x），求g（x）在区间[0，1]上的最小值h（a）．请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．(★★★★)在平面直角坐标系中，以原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为：ρ=2cosθ．（I）若曲线C 2，参数方程为：（α为参数），求曲线C 1的直角坐标方程和曲线C 2的普通方程（Ⅱ）若曲线C 2，参数方程为（t为参数），A（0，1），且曲线C 1，与曲线C 2交点分别为P，Q，求的取值范围，[选修4-5；不等式选讲]．23．(★★★)已知函数f（x）=|2x+b|+|2x-b|．（I）若b=1．解不等式f（x）＞4．（Ⅱ）若不等式f（a）＞|b+1|对任意的实数a恒成立，求b的取值范围．。
2018年宁夏银川一中高考数学四模试卷(理科)(J)
2018年宁夏银川一中高考数学四模试卷（理科）(J)副标题一、选择题（本大题共12小题，共12.0分）1.已知m，n∈R，集合A={2,log7m}，集合B={m,n}，若A∩B={0}，则m−n=()A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】A【解析】解：∵m，n∈R，集合A={2,log7m}，集合B={m,n}，A∩B={0}，∴0∈A，且0∈B，∴log7m=0，n=0，∴m=1，n=0，∴m−n=1，故选：A．根据交集的定义和元素和集合的关系．本题考查了集合的运算，考查对数的运算，是一道基础题．2.若z1=1+2i，z2=1−i，则|z1z2|=()A. 6B. √10C. √6D. √2【答案】B【解析】解：∵z1=1+2i，z2=1−i，∴|z1z2|=|1+2i|⋅|1−i|=√5×√2=√10．故选：B．直接利用复数的模等于模的乘积求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．3.已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则￢p为()A. ∃x∈R，sinx≥1B. ∀x∈R，sinx≥1C. ∃x∈R，sinx>1D. ∀x∈R，sinx>1【答案】C【解析】解：根据全称命题的否定是特称命题可得，命题p：∀x∈R，sinx≤1，的否定是∃x∈R，使得sinx>1故选：C．根据全称命题的否定是特称命题可得命题的否定为∃x∈R，使得sinx>1本题主要考查了全称命题与特称命题的之间的关系的应用，属于基础试题4.设a=0.50.4，b=log0.40.3，c=log80.4，则a，b，c的大小关系是()A. a<b<cB. c<b<aC. c<a<bD. b<c<a【答案】C【解析】解：∵0<a=0.50.4<0.50=1，b=log0.40.3>log0.40.4=1，c=log80.4<log81=0，∴a，b，c的大小关系是c<a<b．利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．本题考查三个数的大小的比较，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 12=a 2，且S 3，S 1，S 2成等差数列，则S 4=( ) A. 10 B. 12 C. 18 D. 30 【答案】A【解析】解：在等比数列{a n }中，由a 12=a 2，得a 12=a 1q ，即a 1=q ，① 又S 3，S 1，S 2成等差数列，∴2S 1=S 3+S 2，即2a 1=2a 1+2a 1q +a 1q 2，② 联立①②得：q =0(舍)或q =−2． ∴a 1=q =−2． 则S 4=a 1(1−q 4)1−q=−2×(1−16)3=10．故选：A ．由已知可得关于首项与公比的方程组，联立求得首项与公比，然后代入等比数列的前n 项和公式计算．本题考查了等差数列的性质，考查了等比数列的前n 项和，是中档题．6. A 地的天气预报显示，A 地在今后的三天中，每一天有强浓雾的概率为30%，现用随机模拟的方法估计这三天中至少有两天有强浓雾的概率，先利用计算器产生0−9之间整数值的随机数，并用0，1，2，3，4，5，6表示没有强浓雾，用7，8，9表示有强浓雾，再以每3个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下20组随机数：402 978 191 925 273 842 812 479 569 683 231 357 394 027 506 588 730 113 537 779 则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为( )A. 14B. 25C. 710D. 15【答案】D【解析】解：由题意知模拟这三天中至少有两天有强浓雾的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天有强浓雾的有，可以通过列举得到共5组随机数：978，479、588、779，共4组随机数， 所求概率为420=15，故选：D ．由题意知模拟这三天中至少有两天有强浓雾的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天有强浓雾的有可以通过列举得到共54随机数，根据概率公式，得到结果．本题考查模拟方法估计概率，解题主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用．7. (√x 3−1x )n 的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( )A. 28B. −28C. 70D. −70【解析】解：(√x 3−1x )n 的展开式中只有第5项的二项式系数最大，故n 为偶数， 展开式共有9项，故n =8．(√x 3−1x )n 即(√x 3−1x )8，它的展开式的通项公式为T r+1=C 8r ⋅(−1)r ⋅x8−4r3，令8−4r 3=0，求得r =2，则展开式中的常数项是C 82=28，故选：A ．由题意求得n =8，在二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得展开式中的常数项的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．8. 设圆心在x 轴上的圆C 与直线l 1：x −√3y +1=0相切，且与直线l 2：x −√3y =0相交于两点M ，N ，若|MN|=√3，则圆C 的半径为( )A. 12B. √32C. 1D. √2【答案】C【解析】解：圆心在x 轴上的圆C 与直线l 1：x −√3y +1=0相切， 且与直线l 2：x −√3y =0相交于两点M ，N ， 两条直线平行，平行线之间的距离， 就是圆的圆心到直线的距离，d =1√1+3=12， 若|MN|=√3，可得r =(12)(√32)=1．圆C 的半径为：1．故选：C ．求出平行线的距离，结合半弦长与半径，列出方程求解即可．本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查平行线之间的距离的求法，是基本知识的考查．9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. 1B. 2C. 3D. 6【答案】B【解析】解：由题意可知几何体的形状如图：AC=1，CD=2，BC=3，AC⊥CD，BCDE是矩形，AC⊥BC，所以几何体的体积为：13×2×3×1=2．故选：B．画出几何体的图形，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．本题考查几何体的体积的求法，三视图与几何体的对应关系的判断是解题的关键．10.五进制是以5为底的进位制，主因乃人类的一只手有五只手指.中国古代的五行学说也是采用的五进制，0代表土，1代表水，2代表火，3代表木，4代表金，依此类推，5又属土，6属水，……，减去5即得.如图，这是一个把k进制数a(共有N位)化为十进制数b的程序框图，执行该程序框图，若输入的k，a，n分别为5，324，3，则输出的b=()A. 45B. 89C. 113D. 445【答案】B【解析】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出b=4×50+2×51+3×52=89．故选：B．模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出b=4×50+2×51+3×52= 89的值，从而得解．本题主要考查了循环结构的程序框图，模拟执行程序框图，正确写出每次循环得到的b，i的值，分析出程序框图的功能是解题的关键，属于基础题．11.已知函数f(x)=sin2ωx−12(ω>0)的周期为π2，若将其图象沿x轴向右平移a个单位(a>0)，所得图象关于原点对称，则实数a的最小值为()A. π4B. 3π4C. π2D. π8【答案】D【解析】解：∵f(x)=sin2(ωx)−12=1−cos2ωx2−12=−12cos2ωx，∴2π2ω=π2，解得：ω=2，∴f(x)=−12cos4x，∵将函数f(x)图象沿x轴向右平移a个单位(a>0)，得到的新函数为g(x)=−12cos(4x−4a)，∴cos4a=0，∴4a=kπ+π2，k∈Z，当k=0时，a的最小值为π8．故选：D．由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用余弦函数的周期性，求得ω的值，可得函数的解析式，利用函数y=Acos(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的奇偶性，求得a的最小值．本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的周期性，函数y=Acos(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的奇偶性，属于基础题．12.定义在R上的奇函数y=f(x)满足f(3)=0，且当x>0时，不等式f(x)>−xf′(x)恒成立，则函数g(x)=xf(x)+lg|x+1|的零点的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】解：定义在R的奇函数f(x)满足：f(0)=0=f(3)=f(−3)，且f(−x)=−f(x)，又x>0时，f(x)>−xf′(x)，即f(x)+xf′(x)>0，0'/>，函数ℎ(x)=xf(x)在x>0时是增函数，又ℎ(−x)=−xf(−x)=xf(x)，∴ℎ(x)=xf(x)是偶函数；∴x<0时，ℎ(x)是减函数，结合函数的定义域为R，且f(0)=f(3)=f(−3)=0，可得函数y1=xf(x)与y2=−lg|x+1|的大致图象如图所示，∴由图象知，函数g(x)=xf(x)+lg|x+1|的零点的个数为3个．故选：C．由不等式f(x)>−xf′(x)在(0,+∞)上恒成立，得到函数ℎ(x)=xf(x)在x>0时是增函数，再由函数y=f(x)是定义在R上的奇函数得到ℎ(x)=xf(x)为偶函数，结合f(0)=f(3)=f(−3)=0，作出两个函数y1=xf(x)与y2=−lg|x+1|的大致图象，即可得出答案．本题考查了函数的单调性与导数之间的应用问题，也考查了函数零点个数的判断问题，是中档题目．二、填空题（本大题共4小题，共4.0分）13.已知|a⃗|=1，|b⃗ |=√2，且a⃗⊥(a⃗−b⃗ )，则向量a⃗在向量b⃗ 方向上的投影为______．【答案】√22【解析】解：∵|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=√2，且a ⃗ ⊥(a ⃗ −b ⃗ )，∴a ⃗ ⋅(a ⃗ −b ⃗ )=a ⃗ 2−a ⃗ ⋅b ⃗=1−1×√2×cos <a ⃗ ,b ⃗ >=0，∴cos <a ⃗ ，b ⃗ >=√22，∴向量a ⃗ 在向量b ⃗ 方向上的投影为：|a⃗ |cos <a ⃗ ,b ⃗ >=√22． 故答案为：√22．推导出a ⃗ ⋅(a ⃗ −b ⃗ )=a ⃗ 2−a ⃗ ⋅b ⃗ =0，从而cos <a ⃗ ，b ⃗ >=√22，由此能求出向量a ⃗ 在向量b ⃗ 方向上的投影．本题考查向量的投影的求法，考查向量的数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．14. 已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 且a =1，∠B =45∘，S △ABC =2，则b =______． 【答案】5【解析】解：由三角形的面积公式得：S =12acsinB =2，由a =1，sinB =√22，所以c =4√2，又a =1，cosB =√22，根据余弦定理得：b 2=1+32−8=25，解得b =5． 故答案为：5由a ，sinB 和面积的值，利用三角形的面积公式求出c 的值，然后由a ，c 及cosB 的值，利用余弦定理即可求出b 的值．此题考查学生灵活运用三角形的面积公式及特殊角的三角函数值化简求值，灵活运用余弦定理化简求值，是一道中档题．15. 已知实数x ，y 满足{x −y ≤1x +y ≤1x ≥0，则2x+y+2x 的最小值为______．【答案】4【解析】解：由实数x ，y 满足{x −y ≤1x +y ≤1x ≥0，作出可行域如图，联立{x +y =1x−y=1，解得A(1,0)，2x+y+2x=2+y+2x ，其几何意义为可行域内的动点与定点P(0,−2)连线的斜率加2． ∵kPA =0+21=2，∴2x+y+2x的最小值为4．故答案为：4．由约束条件作出可行域，再由目标函数的几何意义，即可行域内的动点与定点P(0,−2)连线的斜率加2求得答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的数学思想方法和数学转化思想方法，是中档题．16. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为点F 1(−c,0)，F 2(c,0)(c >0)，抛物线y 2=4cx 与双曲线在第一象限内相交于点P ，若|PF 2|=|F 1F 2|，则双曲线的离心率为______． 【答案】1+√2【解析】解：抛物线y 2=4cx 与双曲线的右焦点F 2(c,0)相同，|PF 2|=|F 1F 2|，由抛物线定义可知，P(c,2c)，P 在双曲线上，所以：c 2a 2−4c 2b 2=1，e 2−e 2e 2−1=1，∴e 4−6e 2+1=0，∵e >1，∴e =1+√2．故答案为：1+√2． 画出图形，利用双曲线的右焦点与抛物线的焦点坐标相同，结合抛物线定义，求出P 的坐标，然后求解双曲线的离心率即可． 本题考查双曲线与抛物线的定义，考查双曲线的几何性质，解题的关键是确定关于几何量的等式．三、解答题（本大题共7小题，共7.0分）17. 已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n 2+2a n =4S n ．(Ⅰ)求S n ；(Ⅱ)设b n =(√n +1+√n)⋅√S n ，求数列{1b n}的前n 项和T n ．【答案】解：(Ⅰ)由题意得{a n 2+2a n =4S na n+12+2a n+1=4S n+1，两式作差得(a n+1+a n )(a n+1−a n −2)=0，又数列{a n }各项均为正数，所以a n+1−a n −2=0，即a n+1−a n =2-----------------------------(3分)当n =1时，有a 12+2a 1=4S 1=4a 1，得a 1(a 1−2)=0，则a 1=2， 故数列{a n }为首项为2公差为2的等差数列，所以S n =na 1+n(n−1)2d =n 2+n ---------(6分) (Ⅱ)1b n=1(√n+1+√n)⋅1√S =√n+1−√n√n(n+1)=1√n−1√n+1-----------------------------------(9分)所以T n =∑1b in i=1=∑(ni=1√i −√i+1)=1−1√n+1-------------------------------------------------------(12分)【解析】(Ⅰ)利用递推关系式推出数列是等差数列，求出首项与公差，然后求解求S n ； (Ⅱ)化简数列的通项公式，利用分母有理化，裂项相消法求解即可．本题考查数列的递推关系式以及数列求和的方法，考查转化首项以及计算能力．18. 第26届世界大学生夏季运动会将于2011年8月12日到23日在深圳举行，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者.将这30名志愿者的身高编成如右所示的茎叶图(单位：cm)：若身高在175cm 以上(包括175cm)定义为“高个子”，身高在175cm 以下(不包括175cm)定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”．(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中中提取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？(2)若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．【答案】解：(1)根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人， 用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是530=16，所以选中的“高个子”有12×16=2人，“非高个子”有18×16=3人.用事件A 表示“至少有一名“高个子”被选中”，则它的对立事件A 表示“没有一名“高个子”被选中”， 则P(A)=1−C 32C 52=1−310=710．因此，至少有一人是“高个子”的概率是710． (2)依题意，ξ的取值为0，1，2，3. P(ξ=0)=C 83C 123=1455，P(ξ=1)=C 41C 82C 123=2855，P(ξ=2)=C 42C 81C 123=1255，P(ξ=3)=C 43C 123=155．因此，ξ的分布列如下：ξ 01 23p145528551255155∴Eξ=0×1455+1×2855+2×1255+3×155=1．【解析】(1)由题意及茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，利用用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是530=16，利用对立事件即可；(2)由于从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，利用离散型随机变量的定义及题意可知ξ的取值为0，1，2，3在利用古典概型的概率公式求出每一个值对应事件的概率，有期望的公式求出即可．本题主要考查茎叶图、分层抽样、随机事件的概率、对立事件的概率、随机变量的分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的数据处理能力和应用意识．19.如图，四棱锥P−ABCD，AD//BC，AD=2BC=4，AB=2√3，∠BAD=90∘，M，O分别为CD和AC的中点，PO⊥平面ABCD．(I)求证：平面PBM⊥平面PAC；(Ⅱ)是否存在线段PM上一点N，使得ON//平面PAB，若存在，求PNPM的值，如果不存在，说明理由．【答案】解：(I)连结MO并延长交AB于E，设AC，BM的交点为F．∵M，O是CD，AC的中点，∴MO//AD//BC，MO=12AD=2，∴E是AB的中点，BE=12AB=√3．∴ME=12(AD+BC)=3．∴BM=√BE2+ME2=2√3．∵MO//BC，MO=BC，∴△BCF≌△MOF，∴BF=12BM=√3，CF=12OC=14AC．∵AC=√AB2+BC2=4，∴CF=1．∴BF2+CF2=BC2，∴BF⊥CF，即BM⊥AC．∵PO⊥平面ABCD，BM⊂平面ABCD，∴PO⊥BM，又PO⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，PO∩AC=O，∴BM⊥平面PAC，又BM⊂平面PBM，∴平面PBM⊥PAC．(II)当N为PM靠近P点的三等分点时，ON//平面PAB．证明：连结PE，由(I)可知MO=2，EM=3，∴MOME =MNPM=23，∴ON//PE，又ON⊄平面PAB，PE⊂平面PAB，∴ON//平面PAB．【解析】(I)连结MO并延长交AB于E，设AC，BM的交点为F.则OM−//BC，故△BCF≌△MOF，于是CF=14AC，BF=12BM，根据勾股定理求出AC，BM的值得出BF，CF，由勾股定理得逆定理得出BF⊥CF，又由PO⊥平面ABCD得PO⊥BF，故BF⊥平面PAC，于是平面PBM⊥平面PAC；(II)连结PE ，则当ON//平面PAB 时，ON//PE ，故当MN MP =MO ME =23时，结论成立． 本题考查了面面垂直的判定，线面平行的判定，属于中档题．20. 设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 22+y 2=1的左、右焦点，过F 1且斜率不为零的动直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点． (Ⅰ)求△AF 1F 2的周长；(Ⅱ)若存在直线l ，使得直线F 2A ，AB ，F 2B 与直线x =−12分别交于P ，Q ，R 三个不同的点，且满足P ，Q ，R 到x 轴的距离依次成等比数列，求该直线l 的方程．【答案】解：(Ⅰ)因为椭圆的长轴长2a =2√2，焦距2c =2． 又由椭圆的定义得|AF 1|+|AF 2|=2a所以△AF 1F 2的周长为|AF 1|+|AF 2|+|F 1F 2|=2√2+2(Ⅱ)由题意得l 不垂直两坐标轴，故设l 的方程为y =k(x +1)(k ≠0) 于是直线l 与直线x =−12交点Q 的纵坐标为y Q =k2 设 A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，显然x 1，x 2≠1， 所以直线F 2A 的方程为y =y 1x 1−1(x −1)故直线F 2A 与直线x =−12交点P 的纵坐标为y P =−3y 12(x 1−1)同理，点R 的纵坐标为y R =−3y 22(x2−1)因为P ，Q ，R 到x 轴的距离依次成等比数列，所以|y P |⋅|y R |=|y Q |2 即|−3y 12(x1−1)×−3y 22(x 2−1)|=k 24整理得9|x 1x 2+(x 1+x 2)+1|=|x 1x 2−(x 1+x 2)+1|.(∗)联立y =k(x +1)与椭圆方程，消去y 得(1+2k 2)x 2+4k 2x +2k 2−2=0 所以x 1+x 2=−4k 21+2k2，x 1x 2=2k 2−21+2k 2代入(∗)化简得|8k 2−1|=9 解得k =±√52经检验，直线l 的方程为y═±√52(x +1)．【解析】(Ⅰ)△AF 1F 2的周长为|AF 1|+|AF 2|+|F 1F 2|；(Ⅱ)由题意得l 不垂直两坐标轴，故设l 的方程为y =k(x +1)(k ≠0)，因为P ，Q ，R 到x 轴的距离依次成等比数列，所以|y P |⋅|y R |=|y Q |2，联立y =k(x +1)与椭圆方程，消去y ，利用韦达定理，即可得出结论．本题考查椭圆的定义，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．21. 设函数f(x)=e x −ax 2−ex +b ，其中e 为自然对数的底数．(1)若曲线f(x)在y 轴上的截距为−1，且在点x =1处的切线垂直于直线y =12x ，求实数a ，b 的值；(2)记f(x)的导函数为g(x)，求g(x)在区间[0,1]上的最小值ℎ(a)．【答案】(本小题满分12分)解：(Ⅰ)曲线f(x)在y 轴上的截距为−1，则过点(0,−1)，代入f(x)=e x −ax 2−ex +b ，则1+b =−1，则b =−2，求导f′(x)=e x −2ax −e ，由f′(1)=−2，即e −2a −e =−2，则a =1，∴实数a ，b 的值分别为1，−2；(Ⅱ)f(x)=e x −ax 2−ex +b ，g(x)=f′(x)=e x −2ax −e ，g′(x)=e x −2a ，(1)当a ≤12时，∵x ∈[0,1]，1≤e x ≤e ，∴2a ≤e x 恒成立，即g′(x)=e x −2a ≥0，g(x)在[0,1]上单调递增，∴g(x)≥g(0)=1−e ．(2)当a >e 2时，∵x ∈[0,1]，1≤e x ≤e ，∴2a >e x 恒成立，即g′(x)=e x −2a <0，g(x)在[0,1]上单调递减，∴g(x)≥g(1)=−2a(3)当12<a ≤e 2时，g′(x)=e x −2a =0，得x =ln(2a)，g(x)在[0,ln2a]上单调递减，在[ln2a,1]上单调递增，所以g(x)≥g(ln2a)=2a −2aln2a −e ，∴ℎ(a)={ 1−ea ≤122a −2aln2a −e 12<a ≤e 2−2aa >e 2【解析】(Ⅰ)将(0,−1)，代入f(x)，即可求得b 的值，求导，由f′(1)=−2，即可求得a 的值；(Ⅱ)求导，g′(x)=e x −2a ，分类分别取得g(x)在区间[0,1]上的最小值ℎ(a)解析式． 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程.考查发现问题解决问题的能力．22. 在平面直角坐标系中，以原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为：ρ=2cosθ．(I)若曲线C 2，参数方程为：{y =1+tsinαx=tcosα(α为参数)，求曲线C 1的直角坐标方程和曲线C 2的普通方程(Ⅱ)若曲线C 2，参数方程为 {y =1+tsinαx=tcosα(t 为参数)，A(0,1)，且曲线C 1，与曲线C 2交点分别为P ，Q ，求1|AP|+1|AQ|的取值范围，【答案】解：(I)∵曲线C 的极坐标方程为：ρ=2cosθ．∴ρ2=2ρcosθ，x 2+y 2=2x ．曲线C 2，参数方程为：{y =1+tsinαx=tcosα(α为参数)，∴曲线C 2的普通方程：x 2+(y −1)2=t 2．(II)将C 2的参数方程：{y =1+tsinαx=tcosα(α为参数)，代入C 1的方程得：t 2+(2sinα−2cosα)t +1=0，∵△=(2sinα−2cosα)2−4=8sin 2(α−π4)−4>0， ∴|sin(α−π4)|∈(√22,1], ∴sin(α−π4)∈[−1,−√22)∪(√22,1]， ∴t 1+t 2=−(2sinα−2cosα)，t 1t 2=1，∴t 1与t 2同号，∴|t 1|+|t 2|=|t 1+t 2|，由的几何意义可得：1|PA|+1|PB|=1|t 1|+1|t 2|=|t 1|+|t 2||t 1||t 2|=|t 1+t 2||t 1t 2|=2√2|sin(α−π4)|∈(2,2√2]， ∴1|PA|+1|PB|∈(2,2√2]. 【解析】(I)曲线C 的极坐标方程为：ρ=2cosθ.可得ρ2=2ρcosθ，利用极坐标与直角坐标的互化即可得出直角坐标方程.曲线C 2，参数方程为：{y =1+tsinαx=tcosα(α为参数)，利用cos 2α+sin 2α=1即可得出普通方程．(II)将C 2的参数方程：{y =1+tsinαx=tcosα(α为参数)，代入C 1的方程得：t 2+(2sinα−2cosα)t +1=0，△>0，|sin(α−π4)|∈(√22,1]，可得sin(α−π4)∈[−1,−√22)∪(√22,1]，由t 1+t 2=−(2sinα−2cosα)，t 1t 2=1，可得t 1与t 2同号，可得|t 1|+|t 2|=|t 1+t 2|，由的几何意义可得：1|PA|+1|PB|=1|t 1|+1|t 2|=|t 1+t 2||t 1t 2|即可得出．本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、一元二次方程的根与系数、参数的意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23. 已知函数f(x)=|2x +b|+|2x −b|．(I)若b =1.解不等式f(x)>4．(Ⅱ)若不等式f(a)>|b +1|对任意的实数a 恒成立，求b 的取值范围．【答案】解：(Ⅰ)函数f(x)=|2x +b|+|2x −b|，b =1时，不等式f(x)>4为|2x +b|+|2x −b|>4，它等价于{x ≥124x >4或{x ≤−12−4x >4或{−12<x <122>4， 解得x >1或x <−1或x ∈⌀；∴不等式f(x)>4的解集为(−∞,−1)∪(1,+∞)．(Ⅱ)f(a)=|2a +b|+|2a −b|=|2a +b|+|b −2a|≥|(2a +b)+(b −2a)|=|2b|，当且仅当(2a +b)(b −2a)≥0时f(a)取得最小值为|2b|；令|2b|>|b +1|，得(2b)2>(b +1)2，解得b <−13或b >1，∴b 的取值范围是(−∞,−13)∪(1,+∞)．【解析】(Ⅰ)利用分段讨论法去掉绝对值，求不等式f(x)>4的解集；(Ⅱ)利用绝对值不等式求出f(a)的最小值，再解对应的不等式．本题考查了含有绝对值不等式的解法与应用问题，是基础题．。
宁夏银川二中2018届高三下学期高考等值卷(二模)数学(理)试卷(含答案)
2018年银川二中高考等值试卷★模拟卷理科数学（全国Ⅱ卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。
注意事项：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。
3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设10i3iz =+，则z 的共轭复数为( )． A ．－1＋3i B ．－1－3i C ．1＋3i D ．1－3i 2．设集合M ＝{x |x 2－3x －4＜0}，N ＝{x |0≤x ≤5}，则M ∩N ＝( )．A ．(0,4]B ．[0,4)C ．[－1,0)D ．(－1,0]3．8⎛⎫的展开式中x 2y 2的系数为 ( ) A ．70 B ．80 C ．－1 D ．－80 4．直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的( )． A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件 5．将y =2cos (63π+x )的图象通过平移变换，得到一个奇函数的图像，则这个变换可以是( ).A ．左移3π个单位B ．右移3π个单位 C ．左移π个单位 D ．右移π个单位6. 在空间直角坐标系Oxyz 中，已知A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，D ．若S 1，S 2，S 3分别是三棱锥D －ABC 在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则( )．A ．S 1＝S 2＝S 3B ．S 2＝S 1且S 2≠S 3C ．S 3＝S 1且S 3≠S 2D ．S 3＝S 2且S 3≠S 17．设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥≥0321y x x x y 所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x －4y －9＝0对称．对于Ω1中的任意点A 与Ω2中的任意点B ，|AB |的最小值等于( )A.528 B ．4 C ．512D ．2 8．已知F 1、F 2分别为双曲线C ：22=1927x y -的左、右焦点，点A 为双曲线上一点，∠F 1AF 2的平分线交x 轴于点 (2，0)，则|AF 2|＝( )A ．3B ． 6C ．8D ．109．右图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P 表示估计结果，则图中空白框内应填入( )A ．1000N P =B ．41000N P =C ．1000M P =D ．41000MP = 10．设函数f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧><-0,log 0),(log 221x x x x 若f (a )＞f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(0，1)B ．(－∞，－1)∪(1，+∞)C ．(－1，0)∪(0，1)D ．(－1，0)∪(1，+∞)11．已知椭圆C ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1，F 2，左、右顶点为M ，N ，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点(异于M 、N )，△AF 1B的周长为AM与AN 的斜率之积为－23，则C 的方程为( )． A ．22=1128x y + B ．22=1124x y + C ．22=132x y + D ． 22=13x y + 12. 设f(x)=kx －|sin x | (x >0，k >0)，若f(x)恰有2个零点，记较大的零点为t ，则tt t 2sin )1(2+= ( )A ．0B ．1C ．2D ．4第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设D 为△ABC 的BC 边上一点，AD ⊥AB ，BC =3BD ，AD =1，则AD AC ⋅= .14．已知奇函数f (x )的定义域为R ，f (－1)=2，对任意x>0，f’(x)<2，则f(x)>2x －4的解集为 15． △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A －C ＝90°，2a c b +=，则C = (用弧度作答)16. 祖暅是我国古代的伟大科学家，他在5世纪末提出祖暅：“幂势即同，则积不容异”，意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等. 祖暅原理常用来由已知几何体的体积推导未知几何体的体积，例如由圆锥和圆柱的的体积推导半球体的体积，其示意图如图所示，其中图(1)是一个半径为R 的半球体，图(2)是从圆柱中挖去一个圆锥所得到的几何体. (圆柱和圆锥的底面半径和高均为R )利用类似的方法，可以计算抛物体的体积：在x-O-y 坐标系中，设抛物线C 的方程为y =1－x 2 (－1x1)，将曲线C 围绕y 轴旋转，得到的旋转体称为抛物体. 利用祖暅原理可计算得该抛物体的体积为 .三、解答题：共70分。
宁夏高考理科试题全套汇编含答案(2018年精校Word版)语文数学英语理综物理化学生物真题试卷
宁夏高考理科试题全套汇编2018年普通高等学校招生全国统一考试真题目录2018年普通高等学校招生全国统一考试宁夏语文试题................ 2018年普通高等学校招生全国统一考试宁夏语文试题答案............ 2018年普通高等学校招生全国统一考试宁夏理科数学................ 2018年普通高等学校招生全国统一考试宁夏理科数学答案............ 2018年普通高等学校招生全国统一考试宁夏英语试题................ 2018年普通高等学校招生全国统一考试宁夏英语试题答案............ 2018年普通高等学校招生全国统一考试宁夏理科综合试题............ 2018年普通高等学校招生全国统一考试宁夏理科综合试题答案........绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试（全国二卷）语文本试卷共22题，共150分，共10页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷阅读题一、现代文阅读（35分）（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）所谓“被遗忘权”，即数据主体有权要求数据控制者永久删除有关数据主体的个人数据，有权被互联网遗忘，除非数据的保留有合法的理由，在大数据时代，数字化，廉价的存储器，易于提取、全球覆盖作为数字化记忆发展的四大驱动力，改变了记忆的经济学，使得海量的数字化记忆不仅唾手可得，甚至比选择性删除所耗费的成本更低，记忆和遗忘的平衡反转，往事正像刺青一样刻在我们的数字肌肤上；遗忘变得困难，而记忆却成了常态，“被遗忘权”的出现，意在改变数据主体难以“被遗忘”的格局，对于数据主体对信息进行自决控制的权利，并且有着更深的调节、修复大数据时代数字化记忆伦理的意义。
2018年宁夏银川市三校联考高考数学三模试卷含参考答案（理科）
密……封……圈……内……不……能……答……题 密……封……圈……内……不……能……答……题 2018年宁夏银川市三校联考高考数学三模试卷（理科） 一、选择题：本大题共12小题, 每小题5分, 共60分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若集合M＝{x|y＝lg}, N＝{x|x＜1}, 则M∩N＝（ ） A．（0, 2） B．（0, 1） C．（1, 2） D．（﹣∞, 1） 2．（5分）在复平面内, 复数z＝的共轭复数的模为（ ）A． B． C． D．23．（5分）已知函数f（x）＝cos x+alnx在x＝处取得极值, 则a＝（ ） A． B． C． D．﹣4．（5分）已知{a n}为等差数列, 2a3+a9＝27, 则{a n}的前9项和S9＝（ ） A．9 B．17 C．72 D．815．（5分）设变量x, y满足约束条件, 则目标函数z＝x+6y的最大值为（ ）A．3 B．4 C．18 D．406．（5分）我国古代数学名著《九章算术》在“勾股”一章中有如下数学问题：“今有勾八步, 股十五步, 勾中容圆, 问径几何？”．意思是一个直角三角形的两条直角边的长度分别是8步和15步, 则其内切圆的直径是多少步？则此问题的答案是（ ）A．3步 B．6步 C．4步 D．8步7．（5分）下列判断错误的是（ ）A．若随机变量ξ服从正态分布N（1, σ2）, P（ξ≤3）＝0.72, 则P（ξ≤﹣1）＝0.28B．若n组数据（x1, y1）, （x2, y2）, …, （x n, y n）的散点都在y＝﹣x+1上, 则相关系数r＝﹣1C．若随机变量ξ服从二项分布：, 则E（ξ）＝1D．am＞bm是a＞b的充分不必要条件8．（5分）某几何体的三视图如图所示, 且该几何体的体积是3, 则正视图中的x的值（ ）A．2 B．3 C． D．9．（5分）如图所示, 为了测量A, B处岛屿的距离, 小明在D处观测, A, B分别在D 处的北偏西15°、北偏东45°方向, 再往正东方向行驶40海里至C处, 观测B在C 处的正北方向, A在C处的北偏西60°方向, 则A, B两处岛屿间的距离为（ ）A．海里 B．海里C．海里 D．40海里10．（5分）执行如图所示的程序框图, 如果输入的m＝168, n＝112, 则输出的k, m的值分别为（ ）A．4, 7 B．4, 56 C．3, 7 D．3, 5611．（5分）已知双曲线E：﹣＝1（a＞0, b＞0）, 点F为E的左焦点, 点P为E上位于第一象限内的点, P关于原点的对称点为Q, 且满足|PF|＝3|FQ|, 若|OP|＝b, 则E的离心率为（ ）A． B． C．2 D．12．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数, 当x＜0时, f（x）＝e x（x+1）, 给出下列命题：②函数f（x）有2个零点；①当x＞0时, f（x）＝﹣e﹣x（x﹣1）；③f（x）＜0的解集为（﹣∞, ﹣1）∪（0, 1）,④∀x1, x2∈R, 都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2．其中正确命题的个数是（ ）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题：（本大题共4小题, 每小题5分）13．（5分）若（1﹣3x）6＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a6x6, 则＝ ．14．（5分）设θ为第二象限角, 若tan（θ+）＝, 则2sinθ+cosθ＝ ． 15．（5分）欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地, 以钱覆其口, 徐以杓酌若卖油翁的技艺让人叹为观止．若油沥之, 自钱孔入, 而钱不湿．而钱不湿．可见可见“行行出状元”, 卖油翁的技艺让人叹为观止．铜钱是直径为b＝2sin xdxcm的圆面, 中间有边长为a＝dxcm的正方形孔, 若随机向铜钱上滴一滴油, 则油滴整体（油滴是直径为0.2cm的球）正好落入孔中的概率是 ．16．（5分）设抛物线y2＝2x的焦点为F, 过点的直线与抛物线相交于A, B 两点, 与抛物线的准线相交于C, |BF|＝2, 则△BCF与△ACF的面积之比＝ ．三、解答题（本大题共5小题, 共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（12分）在△ABC中, 角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 已知2cos C （a cos B+b cos A）＝c．（1）求角C；（2）若, △ABC的面积为, 求a+b．18．（12分）随着网络的发展, 网上购物越来越受到人们的喜爱, 各大购物网站为增加收入, 促销策略越来越多样化, 促销费用也不断增加, 如表是某购物网站2017年1﹣8月促销费用（万元）和产品销量（万件）的具体数据：月份 1 2 3 4 5 6 7 8促销费用x 2 3 6 10 13 21 15 18 产品销量y 1 1 2 3 3.5 5 4 4.5 （1）根据数据可知y与x具有线性相关关系, 请建立y关于x的回归方程＝x+（系数精确到0.01）；（2）已知6月份该购物网站为庆祝成立1周年, 特制定奖励制度：以z（单位：件）表示日销量, z∈[1800, 2000）, 则每位员工每日奖励100元；z＝[2000, 2100）, 则每位员工每日奖励150元；z＝[2100, +∞）, 则每位员工每日奖励200元．现已知该网站6月份日销量z服从正态分布N（0.2, 0.0001）, 请你计算某位员工当月奖励金额总数大约多少元．（当月奖励金额总数精确到百分位）．参考数据：x i y i＝338.5, x i2＝1308, 其中x i, y i分别为第i个月的促销费用和产品销量, i＝1, 2, 3, …, 8．参考公式：（1）对于一组数据（x1, y1）, （x2, y2）, …, （x n, y n）, 其回归方程＝x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝, ＝﹣x（2）若随机变量Z服从正态分布N（μ, σ2）, 则P（μ﹣σ, μ+σ）＝0.6827, P（μ﹣2σ, μ+2σ）＝0.9545．19．（12分）如图, 四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面为菱形, ∠BAD＝120°, AB＝2, E, F为CD, AA1中点．（1）求证：DF∥平面B1AE；（2）若AA1⊥底面ABCD, 且直线AD1与平面B1AE所成线面角的正弦值为, 求AA1的长．20．（12分）已知点C是圆F：（x﹣1）2+y2＝16上任意一点, 点F′与点F关于原点对称, 线段CF′的中垂线与CF交于P点．（1）求动点P的轨迹方程E；（2）设点A（4, 0）, 若直线PQ⊥x轴且与曲线E交于另一点Q, 直线AQ与直线PF交于点B．①证明：点B恒在曲线E上；②求△P AB面积的最大值．21．（12分）已知函数f（x）＝x﹣ax2﹣lnx（a＞0）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个极值点x1, x2, 证明：f（x1）+f（x2）＞3﹣2ln2．选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xoy中, 以O为极点, x轴非负半轴为极轴建立极坐标系, 已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝4cosθ, 直线l的参数方程为：（t为参数）, 两曲线相交于M, N两点．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若P（﹣2, ﹣4）, 求|PM|+|PN|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝k﹣|x﹣4|, x∈R, 且f（x+4）≥0的解集为[﹣1, 1]． （1）求k的值；（2）若a, b, c是正实数, 且, 求证：．2018年宁夏银川市三校联考高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题, 每小题5分, 共60分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：M＝{x|0＜x＜2}；∴M∩N＝{x|0＜x＜1}＝（0, 1）．故选：B．2．【解答】解：z＝＝＝＝﹣i,则＝+i,则||＝＝＝,故选：A．3．【解答】解：∵f（x）＝cos x+alnx,∴f′（x）＝﹣sin x+,∵f（x）在x＝处取得极值,∴f′（）＝﹣+＝0,解得：a＝, 经检验符合题意,故选：C．4．【解答】解：由2a3+a9＝27, 得2（a1+2d）+a1+8d＝27,即3a1+12d＝27,则a1+4d＝9, 即a5＝9,则{a n}的前9项和S9＝＝＝9a5＝81,故选：D．5．【解答】解：由变量x, y 满足约束条件作出可行域如图,A（0, 3）,化目标函数z＝x+6y为y＝﹣+,由图可知, 当直线y＝﹣+过A时, 直线在y轴上的截距最大, z有最大值为18． 故选：C．6．【解答】解：由于该直角三角形的两直角边长分别是8和15,则得其斜边长为17,设其内切圆半径为r,则有（等积法）,解得r＝3,故其直径为6（步）．故选：B．∴曲线关于ξ＝1对称,7．【解答】解：对于A, 随机变量ξ服从正态分布N（1, σ2）,∴P（ξ≤﹣1）＝P（ξ≥3）＝1﹣P（ξ≤3）＝1﹣0.72＝0.28, A正确；对于B, 若n组数据（x1, y1）, （x2, y2）, …, （x n, y n）的散点都在y＝﹣x+1上,则x, y成负相关, 且相关关系最强, 此时相关系数r＝﹣1, B正确；对于C, 若随机变量ξ服从二项分布：,则E（ξ）＝5×＝1, C正确；对于D, am＞bm时, a＞b不一定成立, 即充分性不成立,a＞b时, am＞bm不一定成立, 即必要性不成立,是既不充分也不必要条件, D错误．故选：D．8．【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以直角梯形为底面, 梯形上下边长为1和2, 高为2,如图：AD＝1, BC＝2, SB＝x, AD∥BC, SB⊥平面ABCD, AD⊥AB．∴底面的面积S＝×（1+2）×2＝3．该几何体为x,几何体的体积V＝＝1,可得x＝3．故选：B．9．【解答】解：连接AB,由题意可知CD＝40, ∠ADC＝105°, ∠BDC＝45°, ∠BCD＝90°, ∠ACD＝30°,∴∠CAD＝45°, ∠ADB＝60°,在△ACD中, 由正弦定理得, ∴AD＝20,在Rt△BCD中,∵∠BDC＝45°, ∠BCD＝90°,∴BD＝CD＝40．在△ABD中, 由余弦定理得AB＝＝20． 故选：A．10．【解答】解：执行如图所示的程序框图,输入m＝168, n＝112,满足m、n都是偶数, k＝1, m＝84, n＝56,满足m、n都是偶数, k＝2, m＝42, n＝28,满足m、n都是偶数, k＝3, m＝21, n＝14,不满足m、n都是偶数,满足m≠n, d＝|m﹣n|＝7, m＝14, n＝7,满足m≠n, d＝|m﹣n|＝7, m＝7, n＝7,不满足m≠n, 退出循环, 输出k＝3, m＝7．故选：C．11．【解答】解：由题意可知：双曲线的右焦点F1, 由P关于原点的对称点为Q, 则丨OP丨＝丨OQ丨,∴四边形PFQF1为平行四边,则丨PF1丨＝丨FQ丨, 丨PF丨＝丨QF1丨,由|PF|＝3|FQ|, 根据椭圆的定义丨PF丨﹣丨PF1丨＝2a,∴丨PF1丨＝a, |OP|＝b, 丨OF1丨＝c,∴∠OPF1＝90°,在△QPF1中, 丨PQ丨＝2b, 丨QF1丨＝3a, 丨PF1丨＝a,∴则（2b）2+a2＝（3a）2, 整理得：b2＝2a2,则双曲线的离心率e＝＝＝,故选：B．12．【解答】解：①f（x）为R上的奇函数, 设x＞0, ﹣x＜0, 则：f（﹣x）＝e﹣x（﹣x+1）＝﹣f（x）；∴故①错误,∴f（x）＝e﹣x（x﹣1）；②∵f（﹣1）＝0, f（1）＝0；又f（0）＝0；故②错误,∴f（x）有3个零点；③当x＜0时, 由f（x）＝e x（x+1）＜0, 得x+1＜0；即x＜﹣1,当x＞0时, 由f（x）＝e﹣x x（x﹣1）＜0, 得x﹣1＜0；得0＜x＜1,故③正确,∴f（x）＜0的解集为（0, 1）∪（﹣∞, ﹣1）；④当x＜0时, f′（x）＝e x（x+2）；∴x＜﹣2时, f′（x）＜0, ﹣2＜x＜0时, f′（x）＞0；∴f（x）在（﹣∞, 0）上单调递减, 在（﹣2, 0）上单调递增；∴x＝﹣2时, f（x）取最小值﹣e﹣2, 且x＜﹣2时, f（x）＜0；∴f（x）＜f（0）＝0；即﹣e﹣2≤f（x）＜0；当x＞0时, f′（x）＝e﹣x（2﹣x）；∴f （x ）在（0, 2）上单调递增, 在（2, +∞）上单调递减；x ＝2时, f （x ）取最大值e ﹣2, 且x ＞2时, f （x ）＞0； ∴f （x ）＞f （0）＝0；∴0＜f （x ）≤e ﹣2；又f （0）＝0,∴﹣e ﹣2≤f （x ）≤e ﹣2；∴f （x ）的值域为[﹣e ﹣2,e ﹣2]； ∴∀x 1, x 2∈R , 都有|f （x 1）﹣f （x 2）|＜2； 故④正确,∴正确的命题为③④． 故选：C ．二、填空题：（本大题共4小题, 每小题5分）13．【解答】解：若（1﹣3x ）6＝a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+…+a 6x 6, 则（1﹣3x ）6的通项公式为T r +1＝（﹣3x ）r, r ＝0, 1, 2, …, 6,可得a 2＝9＝135, a 3＝﹣27＝﹣540,可得＝﹣4．故答案为：﹣4． 14．【解答】解：∵tan（θ+）＝＝,∴tan θ＝﹣, 而cos 2θ＝,∵θ为第二象限角,∴cos θ＝﹣, sin θ＝,则2sin θ+cos θ＝．15．【解答】解：b＝2sin xdx＝﹣＝﹣2（cosπ﹣cos0）＝2, 故答案为：．∴圆的面积S圆＝π×22＝4π,∵dx表示以原点为圆心, 以1为半径的圆的面积的四分之一,∴a＝dx＝•＝1,能滴入油的边长为1﹣2×＝, 则其面积为,故正好落入孔中的概率P＝＝,故答案为：．16．【解答】解：∵抛物线方程为y2＝2x, ∴焦点F的坐标为（, 0）, 准线方程为x＝﹣如图, 设A（x1, y1）, B（x2, y2）, 过A, B分别向抛物线的准线作垂线, 垂足分别为E, N, 则, |BF|＝x2+＝x2+＝2, ∴x2＝把x2＝代入抛物线y2＝2x, 得, y2＝﹣,∴直线AB过点与（, ﹣）方程为x+（﹣）y﹣3＝0, 代入抛物线方程, 解得, x1＝2∴|AE|＝2+＝,∵在△AEC中, BN∥AE,∴, ＝＝故答案为三、解答题（本大题共5小题, 共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．【解答】解：（1）由已知2cos C（a cos B+b cos A）＝c．正弦定理得：2cos C（sin A cos B+cos A sin B）＝sin C即2cos C•sin C＝sin C∵0＜C＜π, sin C≠0∴cos C＝∴C＝．（2）由, △ABC的面积为, 即sin＝∴ab＝6由余弦定理得：c2＝b2+a2﹣2ab cos C,∴7＝b2+a2﹣2ab即（a+b）2＝7+3ab．∴a+b＝5．18．【解答】解：（1）由题可知：＝11, ＝3,将数据代入＝＝0.219, ＝﹣＝0.59所以y关于x的回归方程＝0.22x+0.59；（2）由题6月份日销量z服从正态分布N（0.2, 0.0001）,则P（1800≤z＜2000）＝＝0.47725,P（2000≤z＜2100）＝＝0.34135,P（x≥2100）＝0.5﹣0.34135＝0.15865,∴每位员工当月的奖励金额总数为0.47725×100+0.34135×150+0.15865×200≈130.66（元）．日销量[2100, +∞）的概率为＝0.15865,所以每位员工当月的奖励金额总数为（100×0.47725+150×0.34135+200×0.15865）×30＝3919.725≈3919.73元． 19．【解答】证明：（1）设G为AB1的中点, 连EG, GF,因为FG, 又DE, 所以FG DE,所以四边形DEGF是平行四边形,所以DF∥EG又DF⊄平面B1AE, EG⊂平面B1AE,所以DF∥平面B1AE．解：（2）因为ABCD是菱形, 且∠ABD＝60°,所以△ABC是等边三角形取BC中点G, 则AG⊥AD,因为AA1⊥平面ABCD,所以AA1⊥AG, AA1⊥AD建立如图的空间直角坐标系, 令AA1＝t（t＞0）,则A（0, 0, 0）, , , D1（0, 2, t）,, , , 设平面B1AE的一个法向量为,则且,取,设直线AD1与平面B1AE所成角为θ,则,解得t＝2, 故线段AA1的长为2．20．【解答】（1）解：由题意得, |PF′|＝|PC|, 又|PC|+|PF|＝4,∴|PF′|+|PF|＝4＞|F′F|＝2,由椭圆的定义知, 2a＝4, c＝1,∴b2＝a2﹣c2＝3．故动点P的轨迹E：；（2）①证明：设P（m, n）（n≠0）, 则Q（m, ﹣n）, 且3m2+4n2＝12．∴直线QA：, 即nx﹣（4﹣m）y﹣4n＝0,直线PF：, 即nx﹣（m﹣1）y﹣n＝0．联立, 解得．则＝＝．∴点B恒在曲线E上；②解：设直线PF：x＝ty+1, P（x1, y1）, B（x2, y2）,则由, 得（3t2+4）y2+6ty﹣9＝0．∴．∴＝．从而＝＝．令, 则函数g（μ）＝3在[1, +∞）上单调递增, 故g（μ）min＝g（1）＝4．∴．即当t＝0时, △P AB面积的最大值为．21．【解答】解：（1）∵f′（x）＝﹣, （x＞0, a＞0）,不妨设φ（x）＝2ax2﹣x+1（x＞0, a＞0）,﹣x+1＝0的判别式△＝1﹣8a,则关于x的方程2ax2当a≥时, △≤0, φ（x）≥0, 故f′（x）≤0,∴函数f（x）在（0, +∞）上单调递减,当0＜a＜时, △＞0, 方程f′（x）＝0有两个不相等的正根x1, x2,当x∈（0, x1）及x∈（x2, +∞）时f′（x）＜0,,当x∈（x1, x2）时, f′（x）＞0,∴f（x）在（0, x1）, （x2, +∞）递减, 在（x1, x2）递增；（2）证明：由（1）知当且仅当a∈（0, ）时f（x）有极小值x1 和极大值x2,且x1, x2是方程的两个正根, 则x1+x2＝, x1 x2＝,∴f（x1）+f（x2）＝（x1+x2）﹣a[（x1+x2）2﹣2x1 x2]﹣（lnx1+lnx2）＝ln（2a）++1＝lna++ln2+1（0＜a＜）,令g（a）＝lna++ln2+1,当a∈（0, ）时, g′（a）＝＜0,∴g（a）在（0, ）内单调递减,故g（a）＞g（）＝3﹣2ln2,∴f（x1）+f（x2）＞3﹣2ln2．选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（Ⅰ）根据x＝ρcosθ、y＝ρsinθ, 求得曲线C的直角坐标方程为y2＝4x, 用代入法消去参数求得直线l的普通方程x﹣y﹣2＝0．（Ⅱ）直线l的参数方程为：（t为参数）,代入y2＝4x, 得到, 设M, N对应的参数分别为t1, t2,则 t1+t2＝12, t1•t2＝48, ∴|PM|+|PN|＝|t1+t2|＝．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】（本小题满分10分）选修4﹣5：不等式选讲（1）解：因为f（x）＝k﹣|x﹣4|, 所以f（x+4）≥0等价于|x|≤k,由|x|≤k有解, 得k≥0, 且其解集为{x|﹣k≤x≤k}．又f（x+4）≥0的解集为[﹣1, 1], 故k＝1．…（5分）（2）证明：由（1）知＝1, 又a, b, c是正实数,由均值不等式得：a+2b+3c＝（a+2b+3c）（）＝3+≥3+2+2+2＝9,当且仅当a＝2b＝3c时取等号,所以≥1．…（10分）注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上。
宁夏银川2018届高考第二次模拟考试数学(理)试题含答案
宁夏银川2018届高考第二次模拟考试数学(理)试题含答案2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（___第二次模拟考试）共分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～23题为选考题，其余为必考题。
考生作答时，应将答案填写在答题卡上，本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1.答题前，考生需先将姓名、准考证号填写在答题卡上，并核对条形码上的姓名、准考证号，将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.考生必须按照题号在答题卡各题号相对应的答题区域内（黑色线框）作答，写在草稿纸上、超出答题区域或非题号对应的答题区域的答案一律无效。
4.保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5.做选考题时，考生应按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.复数$ \frac{(1-i)^2}{i} $=A。
$-2+2i$。
B。
$2$。
C。
$-2$。
D。
$2-2i$2.设集合$M=\{x|x^2-x>0\}$，$N=\{x|x<1\}$，则$M\capN=$A。
$\varnothing$。
B。
$M$。
C。
$N$。
D。
$MN=R_1$3.已知$\tan\alpha=-\frac{1}{\sqrt{3}}$，且$\alpha\in(0,\pi)$，则$\sin2\alpha=$A。
$\frac{4}{5}$。
B。
$-\frac{4}{5}$。
C。
$\frac{3}{5}$。
D。
$-\frac{3}{5}$4.若两个单位向量$a$，$b$的夹角为120，则$2a+b=$A。
$2$。
B。
$3$。
2018年宁夏石嘴山市高考一模数学试卷(理科)【解析版】
一、选择题： （本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1． （5 分）设全集为实数集 R，A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|x2﹣2x＞0}，则 A ∩（∁RB）为（ A．{3} 2． （5 分）若复数 z＝ A．8 B．2 ） B．{2，3} ，则|z|＝（ C．{﹣1，3} ） C．2 D． ）∥ ，则 λ＝（ D． ） D．{0，1，2}
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一般 28%
不满意 2%
数学 英语 理综 文综
80% 72% 65% 80%
15% 26% 32% 15%
5% 2% 3% 5%
（Ⅰ）估计这次讲座活动的总体满意率； （Ⅱ）求听数学讲座的甲某的调查问卷被选中的概率； （Ⅲ） 若想从调查问卷被选中且填写不满意的人中再随机选出 5 人进行家访，求 这 5 人中选择的是理综讲座的人数的分布列及数学期望． 19． （12 分）如图，在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，底面△ABC 是边长为 2 的等边 三角形，D 为 BC 的中点，侧棱 AA1＝3，点 E 在 BB1 上，点 F 在 CC1 上，且 BE＝1，CF＝2． （Ⅰ）证明：CE⊥平面 ADF； （Ⅱ）求二面角 F﹣AD﹣E 的余弦值．
C．
D．
12． （5 分）设函数 f′（x）是偶函数 f（x） （x∈R）的导函数，f（x）在区间（0， +∞）上的唯一零点为 2，并且当 x∈（﹣1，1）时，xf′（x）+f（x）＜0．则 使得 f（x）＜0 成立的 x 的取值范围是（ A． （﹣2，0）∪（0，2） C． （﹣1，1） ）
B． （﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D． （﹣2，2）
2018年宁夏银川一中高考数学一模试卷(理科)
2018年宁夏银川一中高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知复数z=103+i−2i（其中i为虚数单位），则|z|=()A.3√3B.3√2C.2√3D.2√2【答案】B【考点】复数的运算【解析】根据复数的运算法则和复数的模计算即可．【解答】z=103+i −2i=10(3−i)(3+i)(3−i)−2i=3−i−2i=3−3i，则|z|=3√2，2. 设集合A={(x, y)|x2+y2=1}，B={(x, y)|y=3x}，则A∩B的子集的个数是（）A.4B.3C.2D.1【答案】A【考点】交集及其运算【解析】由题意画出图形，数形结合得答案．【解答】∵A={(x, y)|x2+y2=1}，B={(x, y)|y=3x}，∴A∩B={(x, y)|{x2+y2=1y=3x}，如图：由图可知，A∩B的元素有2个，则A∩B的子集有22=4个．3. 古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第3天所织布的尺数为（）A.20 31B.35C.815D.23【答案】A【考点】等比数列的前n项和【解析】设这女子每天分别织布a n尺，则数列{a n}是等比数列，公比q＝2．利用等比数列的通项公式及其前n项公式即可得出．【解答】设这女子每天分别织布a n尺，则数列{a n}是等比数列，公比q＝2．则a1(25−1)2−1=5，解得a1=531．∴a3=531×22=2031．4. 已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为（）A.√34a2 B.√38a2 C.√68a2 D.√616a2【答案】D【考点】平面图形的直观图【解析】斜二测画法规则得：△ABC的平面直观图△A′B′C′的底边长不变，高变为√32a×12×√2 2=√68a，由此能求出△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积．【解答】由于斜二测画法规则是在已知图象中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，画出相应的x′轴和y′轴，两轴相交于O′，且使∠x′O′y′= 45∘或135∘，它们确定的平面表示水平面，已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画出平行于x′轴和y′轴的线段，已知图形中平行于x轴的线段在直观图中长度保持不变，平行于y轴的线段长度变成原来的一半，∴△ABC的平面直观图△A′B′C′的底边长不变，高变为√32a×12×√22=√68a，∴△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积S=12×a×√68a=√616a2．5. 阅读程序框图，如果输出的函数值在区间[14,12brack内，则输入的实数x的取值范围是（）A.(−∞, −2]B.[−2, −1]C.[−1, 2]D.[2, +∞)【答案】 B【考点】条件结构的应用 【解析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数f(x)={2x ,x ∈[−2,2brack2,x ∈(−∞,−2)∪(2,+∞) 的函数值．根据函数的解析式，结合输出的函数值在区间[14,12brack 内，即可得到答案． 【解答】分析程序中各变量、各语句的作用 再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数f(x)={2x ,x ∈[−2,2brack2,x ∈(−∞,−2)∪(2,+∞) 的函数值． 又∵ 输出的函数值在区间[14,12brack 内，∴ x ∈[−2, −1]6. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A.96B.80+4√2πC.96+4(√2−1)πD.96+4(2√2−1)π【答案】 C【考点】由三视图求表面积（切割型） 【解析】几何体为边长为4的正方体挖去一个圆锥得到的．【解答】解：由三视图可知几何体为边长为4的正方体挖去一个圆锥得到的，圆锥的底面半径为2，高为2，∴圆锥的母线长为2√2．∴几何体的平面部分面积为6×42−π×22=96−4π．圆锥的侧面积为π×2×2√2=4√2π．∴几何体的表面积为96−4π+4√2π．故选C.7. 上海某小学组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有（）A.A62×A54种B.A62×54种C.C62×A54种D.C62×54种【答案】D【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】根据题意，分2步进行分析：①，在6个年级中任选2个，去参观甲博物馆，②，对于剩下4个年级，利用分步计数原理计算其方案数目，进而由分步计数原理计算可得答案．【解答】根据题意，分2步进行分析：①，在6个年级中任选2个，去参观甲博物馆，有C62种选法，②，剩下4个年级中每个年级都可以在剩下的5个博物馆中任选1个参观，都有5种选法，则剩下4个年级有5×5×5×5＝54种选法，则一共有C62×54种方案；8. 某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是（）A.2日和5日B.5日和6日C.6日和11日D.2日和11日【答案】C【考点】进行简单的合情推理分析法的思考过程、特点及应用【解析】确定三人各自值班的日期之和为26，根据甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班，可得甲在1、3、10、12日值班，乙在8、9、2、7或8、9、4、5，即可确定丙必定值班的日期．【解答】由题意，1至12的和为78，因为三人各自值班的日期之和相等，所以三人各自值班的日期之和为26，根据甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班，可得甲在1、3、10、12日值班，乙在8、9、2、7或8、9、4、5，据此可判断丙必定值班的日期是6日和11日，9. 设x ，y 满足条件{x −y +2≥0,3x −y −6≤0,x ≥0,y ≥0,若目标函数z =ax +by(a >0, b >0)的最大值为12，则3a +2b 的最小值为（ ） A.256B.83C.113D.4【答案】 D【考点】基本不等式在最值问题中的应用 基本不等式求线性目标函数的最值 【解析】先根据条件画出可行域，设z =ax +by ，再利用几何意义求最值，将最大值转化为y 轴上的截距，只需求出直线z =ax +by ，过可行域内的点(4, 6)时取得最大值，从而得到一个关于a ，b 的等式，最后利用基本不等式求最小值即可． 【解答】解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax +by =z(a >0, b >0)过直线x −y +2=0与直线3x −y −6=0的交点(4, 6)时，目标函数z =ax +by(a >0, b >0)取得最大值12， ∴ 4a +6b =12，即2a +3b =6， ∴ 3a +2b =(3a +2b )×2a+3b 6=16(12+9b a+4a b)≥4.当且仅当9ba =4ab时，3a +2b 的最小值为4. 故选D ．10.设F 1，F 2是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使(OP →+OF 2→)⋅F 2P →=0（O 为坐标原点），且|PF 1|=√3|PF 2|，则双曲线的离心率为（ ） A.√2+12B.√2+1C.√3+12D.√3+1【答案】D【考点】平面向量数量积的性质及其运算律 双曲线的特性 【解析】 【解答】解：取PF 2的中点A ，则由(OP →+OF 2→)⋅F 2P →=0，得2OA →⋅F 2P →=0，即OA →⊥F 2P →．在△PF 1F 2中，OA 为△PF 1F 2的中位线，所以PF 1⊥PF 2，所以|PF 1|2+|PF 2|2=(2c)2．又由双曲线定义知|PF 1|−|PF 2|=2a ，而|PF 1|=√3|PF 2|，所以|PF 2|=c ，所以(√3−1)c =2a ，解得e =√3+1． 故选D ．11. 在△ABC 中，AB →∗BC →3=BC →∗CA →2=CA →∗AB →1，则sinA:sinB:sinC =( )A.5:3:4B.5:4:3C.√5:√3:2D.√5:2:√3 【答案】 C【考点】平面向量数量积的性质及其运算律 正弦定理 【解析】由条件利用两个向量的数量积的定义可得2a 2+2c 2−2b 2=3a 2+3b 2−3c 2=6b 2+6c 2−6a 2=k ，由此求得a 、b 、c 的值，利用正弦定理可得sinA:sinB:sinC 的值． 【解答】 △ABC 中，∵ AB →∗BC →3=BC →∗CA →2=CA →∗AB →1，∴ AB∗BC∗cos(π−B)3=BC∗CA∗cos(π−C)2=CA∗AB∗cos(π−A)1，即 ac∗cosB3=ab∗cosC2=bc∗cosA1， 即ac 3∗a 2+c 2−b 22ac=ab 2∗a 2+b 2−c 22ab=bc ⋅b 2+c 2−a 22bc，即 2a 2+2c 2−2b 2=3a 2+3b 2−3c 2=6b 2+6c 2−6a 2， 设2a 2+2c 2−2b 2=3a 2+3b 2−3c 2=6b 2+6c 2−6a 2=k ， 求得 a 2=5k ，b 2=3k ，c 2=4k ，∴ a =√5k ，b =√3k ，c =√4k =2√k ，∴ 由正弦定理可得a:b:c =sinA:sinB:sinC =√5:√3:2，12. 若函数f(x)=x 3−3x 在(a, 6−a 2)上有最小值，则实数a 的取值范围是( )A.(−√5, 1)B.[−√5, 1)C.[−2, 1)D.(−2, 1) 【答案】 C【考点】利用导数研究函数的最值 【解析】根据题意求出函数的导数，因为函数 f(x)在区间(a, 6−a 2)上有最小值，所以f′(x)先小于0然后再大于0，所以结合二次函数的性质可得：a<1<5−a2，进而求出正确的答案．【解答】解：由题意可得：函数f(x)=x3−3x，所以f′(x)=3x2−3．令f′(x)=3x2−3=0可得，x=±1；因为函数f(x)在区间(a, 6−a2)上有最小值，其最小值为f(1)，所以函数f(x)在区间(a, 6−a2)内先减再增，即f′(x)先小于0然后再大于0，所以结合二次函数的性质可得：a<1<6−a2，所以f(a)=a3−3a≥f(1)=−2，且6−a2−a>0，联立解得：−2≤a<1．故选C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.若a＝log43，则2a+2−a＝________．【答案】4√33【考点】对数的运算性质【解析】直接把a代入2a+2−a，然后利用对数的运算性质得答案．【解答】∵a＝log43，可知4a＝3，即2a=√3，所以2a+2−a=√3√3=4√33．函数f(x)=2sin2(π4+x)−√3cos2x(π4≤x≤π2)的值域为________．【答案】[2, 3]【考点】三角函数的最值【解析】利用二倍角公式化简已知条件，【解答】函数f(x)=2sin2(π4+x)−√3cos2x=−cos(π2+2x)−√3cos2x+1=sin2x−√3cos2x+1=2sin(2x−π3)+1，∵π4≤x≤π2，∴2x−π3∈[π6, 2π3]，当x=5π12时，函数取得最大值为：3．x=π4时，函数取得最小值为：2．所以函数的值域为：[2, 3]．已知圆x 2+y 2=4，B(1, 1)为圆内一点，P ，Q 为圆上动点，若∠PBQ =90∘，则线段PQ 中点的轨迹方程为________． 【答案】x 2+y 2−x −y −1=0 【考点】 轨迹方程 【解析】利用直角三角形的中线等于斜边长的一半得到|PN|=|BN|，利用圆心与弦中点连线垂直弦，利用勾股定理得到|OP|2=|ON|2+|PN|2，利用两点距离公式求出动点的轨迹方程． 【解答】设PQ 的中点为N(x, y)，在Rt △PBQ 中，|PN|=|BN|， 设O 为坐标原点，则ON ⊥PQ ，所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2， 所以x 2+y 2+(x −1)2+(y −1)2=4．故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2+y 2−x −y −1=0．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2=2px(p >0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM|=2|MF|，则直线OM 的斜率的最大值为________． 【答案】 √22【考点】抛物线的求解 【解析】根据体积，建立方程组，求出M 的坐标，可得直线OM 的斜率，利用基本不等式可得结论． 【解答】设P(2pt, 2pt)，M(x, y)，则{x −p2=2p 3t 2−p 6y =2pt3 ，∴ x =2p 3t 2+p 3，y =2pt 3，∴ k OM =2t2t 2+1=1t+12t≤2√12=√22，当且仅当t =12t 时取等号， ∴ 直线OM 的斜率的最大值为√22．三．解答S n 为数列{a n }前n 项和，已知a n >0，a n 2+2a n ＝4S n +3，（1）求{a n }的通项公式；（2）设b n=1a n a n+1，求数列{b n}的前n项和．【答案】a n>0，a n2+2a n＝4S n+3，n≥2时，a n−12+2a n−1＝4S n−1+3，相减可得：a n2+2a n−(a n−12+2a n−1)＝4a n，化为：(a n+a n−1)(a n−a n−1−2)＝0，∵a n>0，∴a n−a n−1−2＝0，即a n−a n−1＝2，又a12+2a1=4a1+3，a1>0，解得a1＝3．∴数列{a n}是等差数列，首项为3，公差为2．∴a n＝3+2(n−1)＝2n+1．b n=1a n a n+1=1(2n+1)(2n+3)=12(12n+1−12n+3)，∴数列{b n}的前n项和=12[(13−15)+(15−17)+⋯+(12n+1−12n+3)]=12(13−12n+3)=n6n+9．【考点】数列递推式数列的求和【解析】（1）a n>0，a n2+2a n＝4S n+3，n≥2时，a n−12+2a n−1＝4S n−1+3，a n>0，相减可得，a n−a n−1−2＝0，利用等差数列的通项公式可得a n．（2）b n=1a n a n+1=1(2n+1)(2n+3)=12(12n+1−12n+3)，利用裂项求和方法即可得出．【解答】a n>0，a n2+2a n＝4S n+3，n≥2时，a n−12+2a n−1＝4S n−1+3，相减可得：a n2+2a n−(a n−12+2a n−1)＝4a n，化为：(a n+a n−1)(a n−a n−1−2)＝0，∵a n>0，∴a n−a n−1−2＝0，即a n−a n−1＝2，又a12+2a1=4a1+3，a1>0，解得a1＝3．∴数列{a n}是等差数列，首项为3，公差为2．∴a n＝3+2(n−1)＝2n+1．b n=1a n a n+1=1(2n+1)(2n+3)=12(12n+1−12n+3)，∴数列{b n}的前n项和=12[(13−15)+(15−17)+⋯+(12n+1−12n+3)]=12(13−12n+3)=n6n+9．人们常说的“幸福感指数”就是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0, 10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高．为了解某地区居民的幸福感情况，随机对该地区的男、女居民各500人进行了调查，调查数据如表所示：（1）在图中绘出频率分布直方图，并估算该地区居民幸福感指数的平均值；（2）若居民幸福感指数不小于6，则认为其幸福．为了进一步了解居民的幸福满意度，调查组又在该地区随机抽取4对夫妻进行调查，用X表示他们之中幸福夫妻（夫妻二人都感到幸福）的对数，求X的分布列及期望（以样本的频率作为总体的概率）．【答案】频率分布直方图如右图．所求的平均值为0.01×2×1+0.015×2×3+0.2×2×5+0.15×2×7+0.125×2×9＝6.46，男居民幸福的概率为：125+125500＝0.5．=0.6，女居民幸福的概率为：175+125500故一对夫妻都幸福的概率为：0.5×0.6＝0.3，因此X的可能取值为0，1，2，3，4，且X∼B(4, 0.3)于是P(X＝k)=C4k3k(1−0.3)4−k(k＝0, 1, 2, 3, 4)，X的分布列为∴E(X)＝np＝4×0.3＝1.2．【考点】离散型随机变量及其分布列离散型随机变量的期望与方差【解析】（1）由调查数据能作出频率分布直方图，并能求出该地区居民幸福感指数的平均值．（2）由已知条件得到X的可能取值为0，1，2，3，4，且X∼B(4, 0.3)，由此能求出X 的分布列和期望．【解答】频率分布直方图如右图．所求的平均值为0.01×2×1+0.015×2×3+0.2×2×5+0.15×2×7+0.125×2×9＝6.46，男居民幸福的概率为：125+125500＝0.5．=0.6，女居民幸福的概率为：175+125500故一对夫妻都幸福的概率为：0.5×0.6＝0.3，因此X的可能取值为0，1，2，3，4，且X∼B(4, 0.3)于是P(X＝k)=C4k3k(1−0.3)4−k(k＝0, 1, 2, 3, 4)，X的分布列为∴E(X)＝np＝4×0.3＝1.2．如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥面ABCD，AD // BC，∠BAD=90∘，AC⊥BD，BC=1，AD=PA=2，E，F分别为PB，AD的中点．（1）证明：AC⊥EF；（2）求直线EF与平面PCD所成角的正弦值．【答案】易知AB，AD，A P两两垂直．如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x 轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设AB =t ，则相关各点的坐标为：A(0, 0, 0)，B(t, 0, 0)，C(t, 1, 0)，D(0, 2, 0)，P(0, 0, 2)，E(t2,0,1)F(0, 1, 0)．从而EF →=(−t2, 1, −1)，AC →=(t, 1, 0)，BD →=(−t, 2, 0)．因为AC ⊥BD ，所以AC →⋅BD →=−t 2+2+0=0． 解得t =√2或t =−√2（舍去）．于是EF →=(−√22, 1, −1)，AC →=(√2, 1, 0)．因为AC →⋅EF →=−1+1+0=0，所以AC →⊥EF →，即AC ⊥EF ． 由(1)知，PC →=(√2, 1, −2)，PD →=(0, 2, −2)．设n →=(x, y, z)是平面PCD 的一个法向量，则{√2x +y −2z =02y −2z =0令z =√2，则n →=(1, √2, √2)．设直线EF 与平面PCD 所成角为θ，则sinθ=|cos <n →，EF →>|=15．即直线EF 与平面PCD 所成角的正弦值为15．【考点】用空间向量求直线与平面的夹角 两条直线垂直的判定 【解析】(1)以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设AB =t ，可得相关各点的坐标，AC ⊥BD ，可得AC →⋅BD →=−t 2+2+0=0，求出t ，进而证明AC →⊥EF →，可得AC ⊥EF ；(2)求出平面PCD 的一个法向量，利用向量的夹角公式，可得直线EF 与平面PCD 所成角的正弦值． 【解答】易知AB ，AD ，A P 两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设AB =t ，则相关各点的坐标为：A(0, 0, 0)，B(t, 0, 0)，C(t, 1, 0)，D(0, 2, 0)，P(0, 0, 2)，E(t 2,0,1)F(0, 1, 0)．从而EF →=(−t2, 1, −1)，AC →=(t, 1, 0)，BD →=(−t, 2, 0)．因为AC ⊥BD ，所以AC →⋅BD →=−t 2+2+0=0． 解得t =√2或t =−√2（舍去）． 于是EF →=(−√22, 1, −1)，AC →=(√2, 1, 0)．因为AC →⋅EF →=−1+1+0=0，所以AC →⊥EF →，即AC ⊥EF ． 由(1)知，PC →=(√2, 1, −2)，PD →=(0, 2, −2)．设n →=(x, y, z)是平面PCD 的一个法向量，则{√2x +y −2z =02y −2z =0令z =√2，则n →=(1, √2, √2)．设直线EF 与平面PCD 所成角为θ，则sinθ=|cos <n →，EF →>|=15．即直线EF 与平面PCD 所成角的正弦值为15．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率e =√32，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．（1）求椭圆的方程．（2）设直线l 与椭圆相交于不同的两点A ，B ，已知点A 的坐标为(−a, 0)，点Q(0, y 0)在线段AB 的垂直平分线上，且QA →⋅QB →=4，求y 0的值． 【答案】 由e =ca=√32，得3a 2＝4c 2． 再由c 2＝a 2−b 2，解得a ＝2b ． 由题意可知 12×2a ×2b =4，即ab ＝2． 解方程组 {a =2bab =2 得a ＝2，b ＝1． 所以椭圆的方程为x 24+y 2=1．由(Ⅰ)可知点A 的坐标是(−2, 0)．设点B 的坐标为(x 1, y 1)，直线l 的斜率为k ． 则直线l 的方程为y ＝k(x +2)．于是A 、B 两点的坐标满足方程组 {y =k(x +2)x 24+y 2=1.消去y 并整理，得(1+4k 2)x 2+16k 2x +(16k 2−4)＝0． 由 −2x 1=16k 2−41+4k ，得 x 1=2−8k 21+4k ．从而 y 1=4k1+4k 2． 所以 |AB|=√(−2−2−8k 21+4k 2)2+(4k 1+4k 2)2=√1+k 21+4k 2．设线段AB 的中点为M ， 则M 的坐标为 (−8k 21+4k ,2k1+4k )． 以下分两种情况：①当k ＝0时，点B 的坐标是(2, 0)， 线段AB 的垂直平分线为y 轴， 于是 QA →=(−2,−y 0),QB →=(2,−y 0)． 由 QA →⋅QB →=4，得 y 0=±2√2．②当k ≠0时，线段AB 的垂直平分线方程为 y −2k 1+4k=−1k(x +8k 21+4k )．令x ＝0，解得 y 0=−6k1+4k 2．由 QA →=(−2,−y 0)，QB →=(x 1,y 1−y 0)， QA →⋅QB →=−2x 1−y 0(y 1−y 0)=−2(2−8k 2)1+4k 2+6k 1+4k 2(4k 1+4k 2+6k 1+4k 2)=4(16k 4+15k 2−1)(1+4k 2)2=4，整理得7k 2＝2．故 k =±√147．所以 y 0=±2√145．综上，y 0=±2√2或 y 0=±2√145． 【考点】直线与椭圆结合的最值问题 【解析】（1）由离心率求得a 和c 的关系，进而根据c 2＝a 2−b 2求得a 和b 的关系，进而根据 12×2a ×2b =4求得a 和b ，则椭圆的方程可得．（2）由（1）可求得A 点的坐标，设出点B 的坐标和直线l 的斜率，表示出直线l 的方程与椭圆方程联立，消去y ，由韦达定理求得点B 的横坐标的表达式，进而利用直线方程求得其纵坐标表达式，表示出|AB|进而求得k ，则直线的斜率可得．设线段AB 的中点为M ，当k ＝0时点B 的坐标是(2, 0)，线段AB 的垂直平分线为y 轴，进而根据 QA →⋅QB →=4求得y 0；当k ≠0时，可表示出线段AB 的垂直平分线方程，令x ＝0得到y 0的表达式根据 QA →⋅QB →=4求得y 0；综合答案可得． 【解答】 由e =c a=√32，得3a 2＝4c 2． 再由c 2＝a 2−b 2，解得a ＝2b ． 由题意可知 12×2a ×2b =4，即ab ＝2． 解方程组 {a =2bab =2 得a ＝2，b ＝1． 所以椭圆的方程为x 24+y 2=1．由(Ⅰ)可知点A 的坐标是(−2, 0)．设点B 的坐标为(x 1, y 1)，直线l 的斜率为k ． 则直线l 的方程为y ＝k(x +2)． 于是A 、B 两点的坐标满足方程组 {y =k(x +2)x 24+y 2=1.消去y 并整理，得(1+4k 2)x 2+16k 2x +(16k 2−4)＝0． 由 −2x 1=16k 2−41+4k 2，得 x 1=2−8k 21+4k 2．从而 y 1=4k1+4k 2． 所以 |AB|=√(−2−2−8k 21+4k 2)2+(4k 1+4k 2)2=√1+k 21+4k 2．设线段AB 的中点为M ， 则M 的坐标为 (−8k 21+4k 2,2k1+4k 2)．以下分两种情况：①当k ＝0时，点B 的坐标是(2, 0)， 线段AB 的垂直平分线为y 轴， 于是 QA →=(−2,−y 0),QB →=(2,−y 0)． 由 QA →⋅QB →=4，得 y 0=±2√2．②当k ≠0时，线段AB 的垂直平分线方程为 y −2k 1+4k 2=−1k(x +8k 21+4k 2)．令x ＝0，解得 y 0=−6k1+4k 2．由 QA →=(−2,−y 0)，QB →=(x 1,y 1−y 0)， QA →⋅QB →=−2x 1−y 0(y 1−y 0)=−2(2−8k 2)1+4k 2+6k 1+4k 2(4k 1+4k 2+6k 1+4k 2)=4(16k 4+15k 2−1)(1+4k 2)2=4，整理得7k 2＝2．故 k =±√147．所以 y 0=±2√145． 综上，y 0=±2√2或 y 0=±2√145．已知函数f(x)=lnx −ax 2+(a −2)x ． （1）若f(x)在x =1处取得极值，求a 的值；（2）求函数y =f(x)在[a 2, a]上的最大值． 【答案】∵ f(x)=lnx −ax 2+(a −2)x ，∴ 函数的定义域为(0, +∞)． ∴ f′(x)=1X −2ax +(a −2)=−(2x−1)(ax+1)x．∵ f(x)在x =1处取得极值， 即f′(1)=−(2−1)(a +1)=0， ∴ a =−1．当a =−1时，在(12, 1)内f′(x)<0，在(1, +∞)内f′(x)>0， ∴ x =1是函数y =f(x)的极小值点．∴ a =−1． ∵ a 2<a ，∴ 0<a <1． f′(x)=1X −2ax +(a −2)=−(2x−1)(ax+1)x．∵ x ∈(0, +∞)，∴ ax +1>0，∴ f(x)在(0, 12)上单调递增；在(12, +∞)上单调递减， ①当0<a ≤12时，f(x)在[a 2, a]单调递增， ∴ f max (x)=f(a)=lna −a 3+a 2−2a ；②当{a >12a 2<12 ，即12<a <√22时，f(x)在(a 2, 12)单调递增，在(12, a)单调递减， ∴ f max (x)=f(12)=−ln2−a4+a−22=a4−1−ln2；③当12≤a 2，即√22≤a <1时，f(x)在[a 2, a]单调递减，∴ f max (x)=f(a 2)=21na −a 5+a 3−2a 2．综上所述，当0<a ≤12时，函数y =f(x)在[a 2, a]上的最大值是lna −a 3+a 2−2a ； 当12<a <√22时，函数y =f(x)在[a 2, a]上的最大值是a4−1−ln2； 当a ≥√22时，函数y =f(x)在[a 2, a]上的最大值是21na −a 5+a 3−2a 2．【考点】利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的最值【解析】（1）先求函数的定义域，然后求出导函数，根据f(x)在x =1处取得极值，则f′(0)=0，求出a 的值，然后验证即可；（2）先求出a 的范围，然后利用导数研究函数的单调性，当12时，f(x)在[a 2, a]单调递增，则f max (x)=f(a)，当12<a <√22时，f(x)在(a 2, 12)单调递增，在(12, a)单调递减，f max (x)=f(12)， 当√22≤a <1时，f(x)在[a 2, a]单调递减，则f max (x)=f(a 2)，从而求出所求． 【解答】∵ f(x)=lnx −ax 2+(a −2)x ，∴ 函数的定义域为(0, +∞)． ∴ f′(x)=1X −2ax +(a −2)=−(2x−1)(ax+1)x．∵ f(x)在x =1处取得极值， 即f′(1)=−(2−1)(a +1)=0， ∴ a =−1．当a =−1时，在(12, 1)内f′(x)<0，在(1, +∞)内f′(x)>0， ∴ x =1是函数y =f(x)的极小值点．∴ a =−1． ∵ a 2<a ，∴ 0<a <1． f′(x)=1X −2ax +(a −2)=−(2x−1)(ax+1)x．∵ x ∈(0, +∞)，∴ ax +1>0，∴ f(x)在(0, 12)上单调递增；在(12, +∞)上单调递减， ①当0<a ≤12时，f(x)在[a 2, a]单调递增， ∴ f max (x)=f(a)=lna −a 3+a 2−2a ；②当{a >12a 2<12 ，即12<a <√22时，f(x)在(a 2, 12)单调递增，在(12, a)单调递减， ∴ f max (x)=f(12)=−ln2−a4+a−22=a4−1−ln2；③当12≤a 2，即√22≤a <1时，f(x)在[a 2, a]单调递减， ∴ f max (x)=f(a 2)=21na −a 5+a 3−2a 2．综上所述，当0<a ≤12时，函数y =f(x)在[a 2, a]上的最大值是lna −a 3+a 2−2a ； 当12<a <√22时，函数y =f(x)在[a 2, a]上的最大值是a4−1−ln2；当a ≥√22时，函数y =f(x)在[a 2, a]上的最大值是21na −a 5+a 3−2a 2．请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =2+2cosαy =2sinα（α为参数），曲线C 2的参数方程为{x =2cosβy =2+2sinβ （β为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C 1和曲线C 2的极坐标方程；（2）已知射线l 1:θ＝α(0<α<π2)，将射线l 1顺时针旋转π6得到射线l 2；θ＝α−π6，且射线l 1与曲线C 1交于O ，P 两点，射线l 2与曲线C 2交于O ，Q 两点，求|OP|⋅|OQ|的最大值． 【答案】曲线C 1的参数方程为{x =2+2cosαy =2sinα（α为参数），利用平方关系消去参数可得：曲线C 1的普通方程为(x −2)2+y 2＝4，展开可得：x 2+y 2−4x ＝0，利用互化公式可得：ρ2−4ρcosθ＝0， ∴ C 1极坐标方程为ρ＝4cosθ．曲线C 2的参数方程为{x =2cosβy =2+2sinβ （β为参数），消去参数可得：曲线C 2的普通方程为x 2+(y −2)2＝4，展开利用互化公式可得C 2极坐标方程为ρ＝4sinθ． 设点P 极点坐标(ρ1, 4cosα)，即ρ1＝4cosα． 点Q 极坐标为(ρ2,4sin(α−π6))，即ρ2=4sin(α−π6)．则|OP|⋅|OQ|=ρ1ρ2=4cosα⋅4sin(α−π6)=16cosα⋅(√32sinα−12cosα)=8sin(2α−π6)−4．∵ α∈(0,π2)， ∴ 2α−π6∈(−π6,5π6)，当2α−π6=π2，即α=π3时，|OP|⋅|OQ|取最大值4． 【考点】参数方程与普通方程的互化 【解析】（1）曲线C 1的参数方程为{x =2+2cosαy =2sinα （α为参数），利用平方关系消去参数可得曲线C 1的直角坐标方程，利用互化公式可得曲线C 1极坐标方程．曲线C 2的参数方程为{x =2cosβy =2+2sinβ （β为参数），消去参数可得：曲线C 2的普通方程，利用互化公式可得C 2极坐标方程．（2）设点P 极点坐标(ρ1, 4cosα)，即ρ1＝4cosα．点Q 极坐标为(ρ2,4sin(α−π6))，即ρ2=4sin(α−π6)．代入|OP|⋅|OQ|，利用和差公式、三角函数的单调性与值域即可得出． 【解答】曲线C 1的参数方程为{x =2+2cosαy =2sinα（α为参数），利用平方关系消去参数可得：曲线C 1的普通方程为(x −2)2+y 2＝4，展开可得：x 2+y 2−4x ＝0，利用互化公式可得：ρ2−4ρcosθ＝0， ∴ C 1极坐标方程为ρ＝4cosθ．曲线C 2的参数方程为{x =2cosβy =2+2sinβ （β为参数），消去参数可得：曲线C 2的普通方程为x 2+(y −2)2＝4，展开利用互化公式可得C 2极坐标方程为ρ＝4sinθ． 设点P 极点坐标(ρ1, 4cosα)，即ρ1＝4cosα． 点Q 极坐标为(ρ2,4sin(α−π6))，即ρ2=4sin(α−π6)．则|OP|⋅|OQ|=ρ1ρ2=4cosα⋅4sin(α−π6)=16cosα⋅(√32sinα−12cosα)=8sin(2α−π6)−4．∵ α∈(0,π2)， ∴ 2α−π6∈(−π6,5π6)，当2α−π6=π2，即α=π3时，|OP|⋅|OQ|取最大值4． 选修4-5；不等式选讲设不等式−2<|x −1|−|x +2|<0的解集为M ，且a ，b ∈M ． （1）证明：|13a +16b|<14；（2）比较|1−4ab|与2|a −b|的大小，并说明理由． 【答案】证明：−2<|x −1|−|x +2|<0，可得|x −1|<|x +2|，即有x 2−2x +1<x 2+4x +4， 解得x >−12，则x +2>0，可得−2<|x −1|−(x +2)， 即有x <|x −1|，可得x −1>x 或x −1<−x ， 解得−12<x <12， 则|a|<12，|b|<12，|13a +16b|≤13|a|+16|b|<(13+16)×12=14；|1−4ab|>2|a −b|．理由：|1−4ab|2−4|a −b|2=(1−4ab −2a +2b)(1−4ab +2a −2b) =(1−2a)(1+2b)(1+2a)(1−2b) =(1−4a 2)(1−4b 2)，由|a|<12，|b|<12，可得4a2<1，4b2<1，则(1−4a2)(1−4b2)>0，可得|1−4ab|>2|a−b|．【考点】绝对值不等式的解法与证明【解析】（1）由绝对值不等式的解法，运用绝对值的意义，可得−12<x<12，则|a|<12，|b|<12，再由绝对值不等式的性质，即可得证；（2）运用作差法，可得：|1−4ab|2−4|a−b|2，由平方差公式，分解因式，结合a，b的范围，即可得到所求大小关系．【解答】证明：−2<|x−1|−|x+2|<0，可得|x−1|<|x+2|，即有x2−2x+1<x2+4x+4，解得x>−12，则x+2>0，可得−2<|x−1|−(x+2)，即有x<|x−1|，可得x−1>x或x−1<−x，解得−12<x<12，则|a|<12，|b|<12，|1 3a+16b|≤13|a|+16|b|<(13+16)×12=14；|1−4ab|>2|a−b|．理由：|1−4ab|2−4|a−b|2=(1−4ab−2a+2b)(1−4ab+2a−2b) =(1−2a)(1+2b)(1+2a)(1−2b)=(1−4a2)(1−4b2)，由|a|<12，|b|<12，可得4a2<1，4b2<1，则(1−4a2)(1−4b2)>0，可得|1−4ab|>2|a−b|．。
2018年宁夏高考理科数学试题与答案
2018年宁夏高考理科数学试题与答案（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．12i12i+=- A ．43i 55--B ．43i 55-+C ．34i 55--D ．34i 55-+2．已知集合(){}223A x y xy x y =+∈∈Z Z ，≤，，，则A 中元素的个数为 A ．9B ．8C ．5D ．43．函数()2e e x xf x x --=的图像大致为4．已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b A ．4B ．3C ．2D ．05．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>3A ．2y x =±B ．3y x =C ．2y = D ．3y = 6．在ABC △中，5cos 2C =1BC =，5AC =，则AB = A ．42B 3029 D ．57．为计算11111123499100S =-+-++-…，设计了右侧的程序 框图，则在空白框中应填入 A ．1i i =+ B ．2i i =+ C ．3i i =+ D ．4i i =+开始0,0N T ==S N T =-S 输出1i =100i <1N N i =+11T T i =++结束是否8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不 同的数，其和等于30的概率是 A ．112B ．114C ．115D ．1189．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AA ，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为 A ．15BCD10．若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数，则a 的最大值是A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π11．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=…A ．50-B ．0C ．2D ．5012．已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为 A ． 23B ．12C ．13D ．14二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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（1）证明： 平面 ；
（2）若点 在棱 上，且二面角 为 ，求 与平面 所成角的正弦值．
21．（12分）
已知函数 ．
（1）若 ，证明：当 时， ；
（2）若 在 只有一个零点，求 ．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
1．
A． B． C． D．
2．已知集合 ，则 中元素的个数为
A．9B．8C．5D．4
3．函数 的图像大致为
4．已知向量 ， 满足 ， ，则
A．4B．3C．2D．0
5．双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为
A． B． C． D．
6．在 中， ， ， ，则
A． B． C． D．
7．为计算 ，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入
（2）若 ，求 的取值范围．
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
记 为等差数列 的前 项和，已知 ， ．
（1）求 的通项公式；（2）求 ，Fra bibliotek求 的最小值．
18．（12分）
下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额 （单位：亿元）的折线图．
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了 与时间变量 的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量 的值依次为 ）建立模型①： ；根据2010年至2016年的数据（时间变量 的值依次为 ）建立模型②： ．
22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），直线 的参数方程为
（ 为参数）．
（1）求 和 的直角坐标方程；
（2）若曲线 截直线 所得线段的中点坐标为 ，求 的斜率．
23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）
设函数 ．
（1）当 时，求不等式 的解集；
（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．学科*网
19．（12分）
设抛物线 的焦点为 ，过 且斜率为 的直线 与 交于 ， 两点， ．
（1）求 的方程；
（2）求过点 ， 且与 的准线相切的圆的方程．
20．（12分）
A．
B．
C．
D．
8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如 ．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是
A． B． C． D．
9．在长方体 中， ， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为
A． B． C． D．
绝密★启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
13．曲线 在点 处的切线方程为__________．
14．若 满足约束条件 则 的最大值为__________．
15．已知 ， ，则 __________．
16．已知圆锥的顶点为 ，母线 ， 所成角的余弦值为 ， 与圆锥底面所成角为45°，若 的面积为 ，则该圆锥的侧面积为__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题，考生根据要求作答。
10．若 在 是减函数，则 的最大值是
A． B． C． D．
11．已知 是定义域为 的奇函数，满足 ．若 ，则
A． B．0C．2D．50
12．已知 ， 是椭圆 的左，右焦点， 是 的左顶点，点 在过 且斜率
为 的直线上， 为等腰三角形， ，则 的离心率为
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。