[配套K12]2016-2017学年高中数学 每日一题(3月20日-3月26日)文 新人教A版选修4

3月20日平面直角坐标系高考频度：★★☆☆☆难易程度：★★☆☆☆已知平行四边形ABCD，求证：AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)．【参考答案】见试题解析．【试题解析】如图所示，以点A为坐标原点，边AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系xAy，则A(0，0)．设B(a，0)，C(b，c)．由对称性知D(b－a，c)，所以AB2＝a2，AD2＝(b－a)2＋c2，AC2＝b2＋c2，BD2＝(b－2a)2＋c2．∵AC2＋BD2＝4a2＋2b2＋2c2－4ab＝2(2a2＋b2＋c2－2ab)，而AB2＋AD2＝2a2＋b2＋c2－2ab，所以AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)．1．点P (4，5)关于y 轴的对称点为 A ．(4，5)B ．(－4，5)C ．(4，－5)D ．(－5，－4)2．台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险区，城市B 在A 地正东40 km 处，则城市B 处于危险区内的时间为_____________h ．3．已知矩形ABCD ，对于矩形所在的平面内任意一点M ，试用坐标法证明：AM 2＋CM 2＝BM 2＋DM 2．1．B 【解析】点(x ，y )关于y 轴的对称点的坐标为(－x ，y )，所以点(4，5)关于y 轴的对称点的坐标为(－4，5)．故选B ．2．1 【解析】如图，以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则B (40，0)，以点B 为圆心，30为半径的圆的方程为(x －40)2＋y 2＝302，台风中心移动到圆B 内时，城市B 处于危险区，台风中心移动的轨迹为直线y ＝x ，与圆B 相交于点M ，N ，点B 到直线y ＝x 的距离d ==故||20MN ==，故城市B 处于危险区内的时间为20120= h ．3．【解析】以A 为坐标原点O ，AB 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，则A (0，0)．设B(a，0)，C(a，b)，D(0，b)，M(x，y)，则AM2＋CM2＝x2＋y2＋(x－a)2＋(y－b)2＝2(x2＋y2)＋(a2＋b2)－2(ax＋by)，BM2＋DM2＝(x－a)2＋y2＋x2＋(y－b)2＝2(x2＋y2)＋(a2＋b2)－2(ax＋by)，所以AM2＋CM2＝BM2＋DM2．3月21日 平面直角坐标系中的伸缩变换（1） 高考频度：★★★☆☆ 难易程度：★★☆☆☆将正弦曲线y ＝sin x 的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的13，所得曲线的方程为A ．y ＝sin 3xB ．y ＝3sin xC ．y ＝sin 13xD ．y ＝13sin x【参考答案】A【试题解析】伸缩变换为13x'xy'y⎧=⎪⎨⎪=⎩，变形得3x x'y y'=⎧⎨=⎩，代入y ＝sin x ，得y ′＝sin 3x ′，即所求曲线方程为y ＝sin 3x ．故选A ．1．为了得到函数sin(2)23y x =-的图象，只需将函数sin cos y x x =的图象 A ．向左平移π3个单位 B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π6个单位D ．向右平移π6个单位2．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换53x'x y'y=⎧⎨=⎩后，曲线C 变为曲线22281x y '+'=，则曲线C 的方程为A ．50x 2＋72y 2＝1B ．9x 2＋100y 2＝1C ．10x 2＋24y 2＝1D ．225x 2＋89y 2＝1 3．在伸缩变换φ：212x'xy'y =⎧⎪⎨=⎪⎩作用下，点P (1，－2)变换为点P ′，则点P ′的坐标为_____________．1．D 【解析】1sin cos sin 22y x x x ==，为了得到函数1π1πsin(2)sin2()2326y x x =-=-的图象，只需将函数sin cos y x x =的图象向右平移π6个单位，故选D ．2．A 【解析】将坐标直接代入新方程，即可得原来的曲线方程．将53x'x y'y=⎧⎨=⎩直接代入2x ′2＋8y ′2＝1，得2·(5x )2＋8(3y )2＝1，则50x 2＋72y 2＝1即所求曲线C 的方程．3．(2，－1) 【解析】根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式，∵x ＝1，y ＝－2，∴x ′＝2x ＝2，y ′＝12y＝－1，所以P ′(2，－1)．3月22日 平面直角坐标系中的伸缩变换（2） 高考频度：★★☆☆☆ 难易程度：★★☆☆☆在同一平面直角坐标系中，求一个伸缩变换，使曲线2sin 4xy =变换为正弦曲线sin y x =，并叙述变换的过程．【参考答案】见试题解析．【试题解析】待定系数法将变换后的曲线的方程sin y x =改写为s i n y 'x '=，设伸缩变换为(0)(0)x'x y'y λλμμ=>⎧⎨=>⎩，代入s i n y 'x '=得sin y x μλ=，即1s i n y x λμ=，故1412λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故所求变换为1412x'x y'y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 即先使曲线2sin4x y =上的点的纵坐标不变，将曲线上的点的横坐标缩短为原来的14，得到曲线12sin[(4)]2siny x x ==，再将其纵坐标缩短为原来的1，得到正弦曲线sin y x =．1．将曲线0()F x y =，上的点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的3，得到的曲线方程为 A ．,302()x F y =B ．3(2,0)y F x =C ．2(3,0)y F x =D ．,203()x F y =2．将对数函数3log y x =图象上的点的横坐标伸长为原来的2倍得到的曲线方程为______________．3．在同一平面直角坐标系中，求一个伸缩变换，使得圆221x y +=变换为椭圆22194x y +=．1．A 【解析】由横坐标伸长为原来的2倍，知2x x '=，纵坐标缩短为原来的13，知3y y ='，故变换后的曲线方程为,3)02(x'F y'=，即,302()xF y =，故选A ． 2．32log y x= 【解析】设P (x ，y )为3log y x =上任意一点，变换后的对应点为P ′(x ′，y ′)，由题意知伸缩变换为2x'x y'y =⎧⎨=⎩，所以12x x'y y'⎧=⎪⎨⎪=⎩，代入3log y x =，得3log 12'y'x =，即32log y x =．3．【解析】将变换后的椭圆的方程22194x y +=改写为22194x'y'+=，设伸缩变换为(0)(0)x'x y'y λλμμ=⋅>⎧⎨=⋅>⎩，代入上式得2222194x y λμ+=，即2222()()132x y λμ+=，与221x y +=比较系数，可得得2()13λ=且2()12μ=，故3λ=，2μ=，所以所求伸缩变换为32x'xy'y =⎧⎨=⎩． 即先使圆221x y +=上的点的纵坐标不变，将圆上的点的横坐标伸长为原来的3倍，得到椭圆2219x y +=，再将该椭圆的纵坐标伸长为原来的2倍，得到椭圆22194x y +=．3月23日 极坐标系的概念高考频度：★★★★☆ 难易程度：★★★☆☆若ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，则点M 1(ρ1，θ1)与点M 2(ρ2，θ2)的位置关系是 A ．关于极轴所在直线对称 B ．关于极点对称C ．关于过极点垂直于极轴的直线对称D ．两点重合 【参考答案】A【试题解析】因为点(ρ，θ)关于极轴所在直线对称的点为(－ρ，π－θ)．由此可知点(ρ1，θ1)和(ρ2，θ2)满足ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，关于极轴所在直线对称．故选A ．【解题必备】（1）如下图所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系．（2）设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ．有序数对(),ρθ叫做点M 的极坐标，记为,()M ρθ．一般地，不作特殊说明时，我们认为0ρ≥，θ可取任意实数．（3）一般地，极坐标(),ρθ与,2()()k k ρθ+π∈Z 表示同一个点．特别地，极点O 的坐标为(0，θ)(θ∈R )．和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示．如果规定0ρ>，02θ≤<π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(),ρθ表示；同时，极坐标(),ρθ表示的点也是唯一确定的． （4）由极坐标确定点的位置的步骤： ①取定极点O ；②作方向为水平向右的射线Ox 为极轴；③以极点O 为顶点，以极轴Ox 为始边，通常按逆时针方向旋转极轴Ox 确定出极角的终边； ④以极点O 为圆心，以极径为半径画弧，弧与极角终边的交点即是所求点的位置．1．点3(2,)P π关于极轴的对称点的极坐标为A ．(2,3)-πB ．(2,3)2π C ．(2,3)4πD ．(2,3)5π 2．将极轴Ox 绕极点顺时针方向旋转π6得到射线OP ，在OP 上取点M ，使|OM |＝4，则ρ>0，θ∈[0，2π)时点M 的极坐标是 A ．(4,)611πB ．(4,)6πC ．(4,6)5πD ．(4,6)7π 3．已知极坐标系中，极点为O ，02θ≤<π，3(3,)M π，在直线OM 上与点M 的距离为4的点的极坐标为_____________．1．D 【解析】如图，点P 关于极轴Ox 的对称点为(2,3)5π．故选D ．2．A 【解析】因为ρ＝|OM |＝4，与OP 终边相同角为－π6＋2k π，k ∈Z ，令k ＝1，θ＝11π6，所以6(4,)M 11π．故选A ． 3．(7,)3π或(1,3)4π【解析】如图所示，|OM |＝3，∠xOM ＝π3．在直线OM 上取点P ，Q ，使|OP |＝7，|OQ |＝1，显然有|PM |＝|OP |－|OM |＝7－3＝4，|QM |＝|OM |＋|OQ |＝3＋1＝4．点P ，Q 都满足条件，且∠xOP ＝π3，∠xOQ ＝4π3．故所求极坐标为(7,)3π或(1,3)4π．3月24日 极坐标和直角坐标的互化高考频度：★★☆☆☆ 难易程度：★☆☆☆☆如图所示，已知ABC △三个顶点的极坐标分别为(2,)2A π，(2,)6B 5π，)3C 5π，极点()0,0O ． （1）判断OAB △的形状； （2）求ABC △的面积．【参考答案】（1）△OAB 为等边三角形；（2）【试题解析】所给各点的直角坐标分别为(0,2)A ，(B ，3)2C -，()0,0O ，（1）∵2AB =，2OA OB ==， ∴OAB △为等边三角形．（2）∵AC =BC =＝，2AB =， ∴ABC △为等腰三角形．∵AB 的中点为3()22D -，CD =∴12122ABC S AB CD =⨯⨯==△在一般情况下，由tan θ确定角时，可根据点M 所在的象限取最小正角．1．限定0ρ>，02θ≤<π时，若点M 的极坐标与直角坐标相同，则点M 的直角坐标为_____________．2．已知点M 的极坐标为11(6,)6π，则点M 关于y 轴对称的点的直角坐标为_____________．3．在极坐标系中，已知两点(2,)3P π和)6Q 5π，则PQ 的中点M 的极坐标为_____________．1．(ρ，0) 【解析】点M 的极坐标为(ρ，θ)，设其直角坐标为(x ，y )，依题意得ρ＝x ，θ＝y ，即x 2＋y 2＝x 2，故y ＝θ＝0，ρ>0，所以M (ρ，0)．2．(3)-- 【解析】因为点M 的极坐标为11(6,)6π，所以116cos 6x π==，116sin 36y π==-，所以点M 的直角坐标为3)-，所以点M 关于y 轴对称的点的直角坐标为(3)--．3．(2,)32π 【解析】先化为直角坐标，再化为极坐标．∵(2,)3P π，∴2cos 13x π==，2sin y π==，∴P ．∵)6Q 5π，∴36x 5π==-，6y 5π==，∴(Q -，∴中点M 的直角坐标为(-，∴222(1)4ρ=-+=，∴2ρ=，∴tan θ==，∴23θπ=，∴中点M 的极坐标为(2,)32π．3月25日 周六培优特训高考频度：★★★★☆ 难易程度：★★☆☆☆已知边长为2的正方形ABCD 的中心在极点，且一组对边与极轴Ox 平行，求正方形的顶点的极坐标（限定0,02ρθ>≤<π）． 【参考答案】见试题解析． 【试题解析】如下图所示，由题意知OA OB OC OD ====4xOA π∠=，34xOB π∠=，54xOC π∠=，74xOD π∠=．故正方形的顶点的极坐标分别为4)A π，)4B 3π，)4C 5π，)4D 7π． 【解题必备】准确理解极坐标系的概念是解题的关键，由点的极坐标(ρ，θ)可以确定点的位置，同样地，由点的位置可以确定其极坐标．1．已知点M 的坐标为(5,)θ，且4tan 3θ=-，2θπ<<π，则点M 的直角坐标为_____________． 2．学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图所示，航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为22110025x y +=，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y 轴为对称轴，()640,7M 为顶点的抛物线的实线部分，降落点为()8,0D ．观测点为()4,0A ，()6,0B ． （1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（2）当航天器在x 轴上方时，试求航天器离观测点A ，B 分别为多远时，应向航天器发出变轨指令．3．如果对点的极坐标定义如下：当()),0,(M ρθρθ>∈R 时，点M 关于极点O 的对称点),(M ρθ'-，如图所示．例如，(3,)3M π关于极点O 的对称点(3,)3M'π-，也就是说(3,)3M π+π与(3,)3π-表示同一点．已知点A 的极坐标是(6,)35π，分别在下列给定条件下，写出点A 的极坐标． （1）0ρ>，θ-π<≤π； （2）0ρ<，02θ≤<π； （3）0ρ<，20θ-π<≤．1．()3,4- 【解析】∵4tan 3θ=-，2θπ<<π，∴3cos 5θ=-，4sin 5θ=，∴5cos 3x θ==-，5sin 4y θ==，∴点M 的直角坐标为()3,4-．2．（1）216477y x =-+；（2）离观测点A ，B的距离分别为4时，应向航天器发出变轨指令． 【解析】（1）设曲线方程为2647y ax =+， ∵点()8,0D 在抛物线上，∴17a =-，∴曲线方程为216477y x =-+． （2）设变轨点为,()C x y ，根据题意可知22211100256477y x x y ⎧+=⎪⎪⎨=-+⎪⎪⎩，消去x 可得247360y y --=，解得4y =或94y =-(舍去)． ∴4y =，此时6x =或6x =-(舍去)．∴点C 的坐标为(6,4)，AC =4BC =，∴当航天器离观测点A ，B的距离分别为4时，应向航天器发出变轨指令． 3．（1）(6,)3π-；（2）(6,)32π-；（3）(6,)34π--． 【解析】如下图所示，6OA OA ='=，23xOA π∠'=，53xOA π∠=，即A 与A '关于极点O 对称，由极坐标的定义知 （1）当0ρ>，θ-π<≤π时，(6,)3A π-； （2）当0ρ<，02θ≤<π时，(6,)3A 2π-； （3）当0ρ<，20θ-π<≤时，(6,)3A 4π--．3月26日 周日培优特训高考频度：★★★★☆ 难易程度：★★☆☆☆已知极坐标系的极点为O ，(2,)6M π，(2,)6N 11π，求MON △的重心G 的极坐标（限定0ρ>，02θ≤<π）．【参考答案】(3)． 【试题解析】如下图所示，2OM ON ==，6xOM π∠=，6xON 11π∠=， 所以点M 、N 关于极轴对称，3MON π∠=， 所以MON △等边三角形． 设MN 交极轴于点H ，则cos26OH OM π===)0H ，由于MON △的重心G 在中线OH 上，且23OG OH ==，所以MON △的重心G 的极坐标为(3)． 【解题必备】（1）把直角坐标化为极坐标，求极角θ时，应注意判断点P 所在的象限（即角θ的终边的位置），以便准确地求出角θ．利用两种坐标的互化可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题．（2）在极坐标系中，由点的位置求极坐标时，随着极角的范围的不同，点的极坐标的表示也会不同．只有在0ρ>，02θ≤<π的限定条件下，点的极坐标才是唯一的．1．两点A ，B 的极坐标分别为(2,)3π，(3,)2π，则A ，B 两点间的距离为ABCD2．已知点P的直角坐标按伸缩变换2x'xy'=⎧⎪⎨=⎪⎩变换为点)3(6,P '-，限定0ρ>，02θ≤<π时，点P 的极坐标为_____________．3．如果点M 的极坐标为(),ρθ，那么点M 关于极点O 的对称点M '可以表示为(),ρθ-． （1）试用点的极坐标化为直角坐标的公式验证上述表示的合理性； （2）已知点M 的极坐标为6)2,(5π--，若限定0ρ>，02θ≤<π，求点M 的极坐标； （3）试问：(),ρθ，(),ρθ-π+，(),2ρθπ+，(),ρθ-π+-是否都表示同一点的极坐标？1．D 【解析】点A ，B的直角坐标分别为，(0,3)，则AB ==故A ，BD ．2．1(1)6π【解析】设点P 的直角坐标为(),x y，由题意得623x =⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩P 的直角坐标为(3,，所以ρ==tan 3θ=-，因为02θ≤<π，点P 在第四象限，所以116θπ=，所以点P的极坐标为1(1)6π． 3．（1）见解析；（2）(2,)6π；（3）都表示同一点的极坐标． 【解析】（1）由于点,()M ρθ关于极点的对称点为,()M ρθ'+π， 根据上述表示，点(),ρθ-与(),ρθ+π应为同一点． 设点M '的直角坐标为(),x y ，由点,()M ρθ'+π得cos c s ()o x ρθρθ=+π=-，sin s n ()i y ρθρθ=+π=-， 由),(M ρθ'-，得cos x ρθ=-，sin y ρθ=-， 所以题干中的表示是合理的．（2）因为(),ρθ-与(),ρθ+π表示同一点， 所以6)2,(5π--与(2,)6π为同一点的极坐标， 故点M 的极坐标为(2,)6π．（3）由上述可知(),ρθ与(),ρθ-π+为同一点，又(),ρθ与(),2ρθπ+为同一点，(),ρθ-π+与(),ρθ-π+-为同一点， 所以(),ρθ，(),ρθ-π+，(),2ρθπ+，(),ρθ-π+-都表示同一点的极坐标．。