高中必修一第二章练习2.2.1

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2020新版教材人教A版高中数学必修第一册第二章2.2.1基本不等式

a
b 2
ab
(a 0, b 0)
一、复习引入
重要不等式：如果a，b∈R，那么a2+b2≥2ab
（当且仅当a=b 时，取“=”）
注意：1．指出定理适用范围： a,b R
2．强调取“=”的条件： a b
如果a ＞ 0，b ＞ 0，我们用 a ，b 分别代替上式中的 a，b，可得：
a b 2 ab
x
因此f(x)≤ 1 2 6
当且仅当 2x 3 ，即 x2 3 时，式中等
x
2
号成立。
由于x>0，所以 x
6 2
，式中等号成立，
因此 f (x)max 1 2 6
，此时 x 6 。
2
重要不等式 a2 b2 2ab
基本不等式a b 2 ab (a、b∈R+) 结（1）两个正数积为定值，和有最小值。论（2）两个正数和为定值，积有最大值。
当且仅当x 4 ,即x 2时,等号成立. x
2.求以下问题中的最值 :
(1)若a 0,则当a (2)x, y都为正数,
且 _232_x__y时,42a, xy的9a 有最最大小值值是__11__2____;.
2
3.已知x>0, y>0, xy=24, 求4x+6y的最小值，并说明此时x,y的值．
AC=a，BC=b.过C点作垂直于AB的弦DE, 连
接AD,BD.你能利用这个图形，得出基本不等
式的几何解释吗？
D
A
a Cb B
E
证明：连接OD，OD a b .又 △ ACD ∽ △ DCB ，
则 CD ab
2
当a≠b时，OD>CD，即当a=b时，OD=CD，即

高中数学第二章不等式及其性质同步课时作业含解析新人教B版必修第一册

高中数学课时分层作业：2.2.1不等式及其性质1.(多选)设,a b 为正实数，则下列命题为真命题的是()A.若221a b -=,1a b -<B.若111b a -=,则1a b -<C.1=,则1a b -<D.若1,1a b ≤≤，则1a b ab -≤-2.已知,0x y z x y z >>++=,则下列不等式中一定成立的是（）A.xy yz >B. xz yz >C.xy xz >D. x y z y > 3.若,a b 均为不等于零的实数，条件甲：对任意的10,0x ax b -<<+>恒成立；条件乙：20b a -<,则甲是乙的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知()12,0,1a a ∈,记12M a a =, 121N a a =+-,则M 与N 的大小关系是( )A. M N <B. M N >C. M N =D.不确定5.已知R a ∈，2(1)(3),(2)p a a q a =--=-,则 p 与q 的大小关系为（ )A.p q >B.p q ≥C.p q < D . p q ≤6.若110a b<<,则下列结论中不正确的是( ) A. 22a b < B.2ab b < C. 0a b +< D. a b a b +>+7.已知2,3b a d c <<，则下列不等式一定成立的是( )A. 23a c b d ->-B.23ac bd >C. 23a c b d +>+D. 6ad bc >8.下列结论中正确的是（）A.若a b >，则ac bc >B.若a b >，则11a b< C.若22ac bc >，则 a b >D.若a b >，则22ac bc >9.若不等式组2123x a x b -<⎧⎨->⎩的解集是{|32}x x -<<，则a b += . 10.用”>”“<”或“=”填空:①已知0a b c <<<,则ac ________bc ;c a ________c b ②已知x R ∈,则22x +________2x11.给出四个条件:①0b a >>;②0a b >>;③0a b >>;④0a b >>. 其中能推出11a b<成立的是________. 12.已知三个不等式:①0ab >;②c d a b >;③bc ad >,以其中两个作条件余下一个作结论,则可组成________个真命题.13.已知a b >,则下列不等式:①22a b >; ②11a b <; ③11a b a<-; ④22a b >;⑤()0lg a b ->中,你认为正确的是________.(填序号)14.如果a b >,那么2c a -与2c b -中较大的是________15.已知()2f x ax bx c =++(1)当1,2,4a b c =-==时,求()1f x ≤的解集(2)当()()130f f ==,且当()1,3x ∈时,()1f x ≤恒成立,求实数a 的最小值答案以及解析1.答案：AD解析：对于A,由,a b 为正实数,221100a b a b a b a b a b-=⇒-=⇒->⇒>>+,故0a b a b +>->.若1a b -≥，则111a b a b≥⇒+≤+，这与0a b a b +>->矛盾，故1a b -<成立，所以A 为真命题;对于B ，取55,6a b ==,则111b a -=,但5516a b -=->,所以B 为假命题;对于C ，取4,1a b ==1=，但31a b -=<不成立，所以C 为假命题;对于 D ，22222222()(1)1(1)(1)0a b ab a b a b a b ---=+--=--≤，即1a b ab -≤-，所以D 为真命题.综上可知，真命题为A ，D.2.答案：C解析：因为x y z >>，0x y z ++=，所以30,30x x y z z x y z >++=<++=，所以0,0,x z ><又y z >，所以可得xy xz >.3.答案：A解析：当10x -<<时，恒有0ax b +>成立，∴当0a >时，0ax b b a +>->,当0a <时，0ax b b +>>，0,0,20,b a b b a ∴->>∴->∴甲⇒乙.当 3,02a b b =>时，1202b a b -=>，但当56x =-时,551()0644a b b b b ⋅-+=-+=-<，此时，乙⇒/甲，∴甲是乙的充分不必要条件. 4.答案：B解析：由题意得()()1212121110M N a a a a a a -=--+=-->,故M N >.5.答案：C解析：因为222(1)(3)(2)43(44)10p q a a a a a a a -=----=-+--+=-<,所以p q <,故选 C.6.答案：D 解析：222110,0,,,0,,,b a b a ab b a b A B C a b<<∴<<∴><+<∴中结论均正确，0,,b a a b a b D <<∴+=+∴中结论错误.故选D.7.答案：C解析：由2,3b a d c <<以及不等式的性质，得32b d a c +<+，故选C.8.答案：C解析：当0c ≤时,ac bc ≤,故选项A 不正确；取2,1a b ==-，11a b>，故选项B 不正确；由22ac bc >，知0c ≠,所以20c >,所以a b >,故选项C 正确；当0c =时,22ac bc =,故选项D 不正确.9.答案：0解析：解不等式组2123x a x b -<⎧⎨->⎩,得1223a x x b +⎧<⎪⎨⎪>+⎩,由已知条件，可知122233a b +⎧=⎪⎨⎪+=-⎩，解得33a b =⎧⎨=-⎩，所以0a b +=.10.答案：>；<；>；>解析：00a b c <<<，ac bc ∴> 又1100,0a b c a b<<⇒>>< c c a b ∴<再由00a b a b <<⇒->->⇒22(22110)x x x -=-++>222x x ∴+>11.答案：①②④解析：由①0a b <<，有110,0a b <>，所以11a b <；由②0a b >>，有10ab >，故有11a b <；由③0a b >>，有110a b >>；由④0a b >>，得11a b< 12.答案：3解析：由不等式性质,得0ab bc ad c d a b >⎫⎪⇒>⎬>⎪⎭；0ab c d bc ad a b >⎫⇒>⎬>⎭；0c d ab a b bc ad ⎫>⎪⇒>⎬⎪>⎭ 13.答案：④解析：当0,1a b ==-时，经验证①，②，③，⑤均不正确．结合指数函数2x y ＝是增函数可知当a b >时，有22a b >，因此④正确14.答案：2c b -解析：,(2)(2)2()0,22a b c a c b b a c a c b >∴---=-<∴-<-15.答案：(1)当1,2,4a b c =-==时，()2241f x x x ≤＝－＋＋，即2230x x ≥－－()(310)x x ∴≥－＋1x ∴≤－或3x ≥(2)方法一因为()()130f f ＝＝所以()()()()(131(1)3)f x a x x f x a x x ≤＝－－，＝－－在()1,3x ∈上恒成立即1(1)(3)a x x -≤--在()1,3x ∈上恒成立而2(1)(3)0(1)(3)12x x x x -+-⎡⎤<--≤=⎢⎥⎣⎦ 当且仅当13x x －＝－，即2x ＝时取到等号所以1a ≤－，即1a ≥－，所以a 的最小值是1－方法二 ()()(13)1f x a x x ≤＝－－在()1,3x ∈上恒成立即()130()1a x x ≤－－－在()1,3x ∈上恒成立令()22()13143(2)1)1(g x a x x ax ax a a x a -=-=+-=-----当0a ＝时，()10g x <＝－在()1,3x ∈上恒成立，符合当0a >时，易知()0g x <在()1,3x ∈上恒成立，符合当0a <时，则10a ≤－－，所以10a ≤<－综上所述，1a ≥－所以a 的最小值是1-。

高中化学人教版必修1练习：2.2.1酸、碱、盐在水溶液中的电离课下演练含解析

一、选择题(本题包括5小题，每小题4分，共20分)1．下列各组物质，前者属于电解质，后者属于非电解质的是()A．NaCl晶体、BaSO4B．铜、二氧化硫C．液态的醋酸、酒精D．熔融的KNO3、硫酸溶液解析：A项均为电解质；B项Cu既不是电解质也不是非电解质；C项CH3COOH为电解质，酒精为非电解质；D项前者为电解质，后者为混合物，既不是电解质也不是非电解质，故选C。

答案：C2．下列物质的电离方程式，不．正确的是()A．NaHCO3===H＋＋CO2－3＋Na＋B．HNO3===H＋＋NO－3C．NaHSO4===H＋＋SO2－4＋Na＋D．Ba(OH)2===Ba2＋＋2OH－解析：NaHCO3相应的酸为弱酸，其电离方程式是：NaHCO3===Na＋＋HCO－3。

答案：A3．下列叙述中正确的是()A．能电离出氢离子的化合物叫做酸B．能电离出氢氧根离子的化合物叫做碱C．能电离出酸根离子的化合物叫做盐D．由金属离子(或铵根离子)和酸根离子组成的化合物属于盐解析：对于酸、碱、盐的定义要把握得十分准确，特别突出的关键字词，如“全部”。

电离出的阳离子“全部”是H＋化合物才是酸。

电离出的阴离子“全部”是OH－的化合物才是碱。

盐则是由金属离子(或铵根离子)和酸根离子组成的化合物。

答案：D4．下列物质的导电性能最差的是()A．熔化的氢氧化钠B．0.1 mol/L盐酸C．0.1 mol/L醋酸D．氯化钾固体解析：氯化钾固体中不存在自由移动的离子，不能导电。

答案：D5．[双选题]下列说法正确的是()A．水导电性很差，所以水是非电解质B．电解质与非电解质的本质区别，是在一定条件下能否电离C．酸、碱和盐类都属于电解质，其他化合物不一定都是非电解质D．NaCl和HCl都是电解质，所以它们熔融状态下都能导电解析：A项，水能电离出OH－与H＋，所以水是电解质；C项，部分氧化物也属于电解质，如Na2O、CaO；D项，HCl在熔融状态下不导电。

人教版高中数学必修一2.2.1.3课时练习习题(含答案解析)

2.2.1.3一、选择题1．下列各式中不正确的是( )[答案] D[解析] 根据对数的运算性质可知：2．log 23·log 34·log 45·log 56·log 67·log 78＝( ) A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] C[解析] log 23·log 34·log 45·log 56·log 67·log 78＝lg3lg2×lg4lg3×lg5lg4×lg6lg5×lg7lg6×lg8lg7＝lg8lg2＝3，故选C.3．设lg2＝a ，lg3＝b ，则log 512等于( ) A.2a ＋b 1＋a B.a ＋2b 1＋a C.2a ＋b 1－aD.a ＋2b 1－a[答案] C[解析] log 512＝lg12lg5＝2lg2＋lg31－lg2＝2a ＋b1－a ，故选C.4．已知log 72＝p ，log 75＝q ，则lg2用p 、q 表示为( ) A ．pq B.q p ＋q C.pp ＋qD.pq 1＋pq[答案] B[解析] 由已知得：log 72log 75＝p q ，∴log 52＝pq变形为：lg2lg5＝lg21－lg2＝p q ，∴lg2＝pp ＋q，故选B.5．设x ＝，则x ∈( )A ．(－2，－1)B ．(1,2)C ．(－3，－2)D ．(2,3)[答案] D[解析] x ＝＝log 310∈(2,3)，故选D.6．设a 、b 、c ∈R ＋，且3a ＝4b ＝6c ，则以下四个式子中恒成立的是( )A.1c ＝1a ＋1b B.2c ＝2a ＋1b C.1c ＝2a ＋2bD.2c ＝1a ＋2b[答案] B[解析] 设3a ＝4b ＝6c ＝m ， ∴a ＝log m 3，b ＝log m 4，c ＝log m 6， ∴1a ＝log m 3，1b ＝log m 4，1c ＝log m 6，又∵log m 6＝log m 3＋log m 2，1c ＝1a ＋12b ，即2c ＝2a ＋1b，故选B. 7．设方程(lg x )2－lg x 2－3＝0的两实根是a 和b ，则log a b ＋log b a 等于( ) A ．1 B ．－2 C ．－103D ．－4[答案] C[解析] 由已知得：lg a ＋lg b ＝2，lg a lg b ＝－3那么log a b ＋log b a ＝lg b lg a ＋lg a lg b ＝lg 2b ＋lg 2alg a lg b＝(lg a ＋lg b )2－2lg a lg b lg a lg b ＝4＋6－3＝－103，故选C.8．已知函数f (x )＝2x 2＋lg(x ＋x 2＋1)，且f (－1)≈1.62，则f (1)≈( )A ．2.62B ．2.38C ．1.62D ．0.38[答案] B[解析] f (－1)＝2＋lg(2－1)，f (1)＝2＋lg(2＋1) 因此f (－1)＋f (1)＝4＋lg[(2－1)(2＋1)]＝4， ∴f (1)＝4－f (－1)≈2.38，故选B. 二、填空题9．设log 89＝a ，log 35＝b ，则lg2＝________. [答案]22＋3ab[解析] 由log 89＝a 得log 23＝32a ，∴lg3lg2＝3a2，又∵log 35＝lg5lg3＝b ，∴lg3lg2×lg5lg3＝32ab ， ∴1－lg2lg2＝32ab ， ∴lg2＝22＋3ab.10．已知log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6，那么式子log abc x ＝________. [答案] 1[解析] log x (abc )＝log x a ＋log x b ＋log x c ＝12＋13＋16＝1，∴log abc x ＝1.11．若log a c ＋log b c ＝0(c ≠1)，则ab ＋c －abc ＝______. [答案] 1[解析] 由log a c ＋log b c ＝0得：lg(ab )lg a lg b·lg c ＝0，∵c ≠1，∴lg c ≠0∴ab ＝1， ∴ab ＋c －abc ＝1＋c －c ＝1.12．光线每透过一块玻璃板，其强度要减弱110，要使光线减弱到原来的13以下，至少要这样的玻璃板______块(lg3＝0.4771)．[答案] 11[解析] 设光线原来的强度为1，透过第n 块玻璃板后的强度为(1－110)n .由题意(1－110)n <13，两边同时取对数得n lg(1－110)<lg 13，所以n >－lg32lg3－1＝0.47710.0458≈10.42故至少需要11块玻璃板．三、解答题13．已知log 34·log 48·log 8m ＝log 416，求m 的值． [解析] log 416＝2，log 34·log 48·log 8m ＝log 3m ＝2， ∴m ＝9.14．计算(lg 12＋lg1＋lg2＋lg4＋lg8＋……＋lg1024)·log 210.[解析] (lg 12＋lg1＋lg2＋lg4＋…＋lg1024)·log 210＝(－1＋0＋1＋2＋…＋10)lg2·log 210＝－1＋102×12＝54. 15．若25a ＝53b ＝102c ，试求a 、b 、c 之间的关系． [解析] 设25a ＝53b ＝102c ＝k ，则a ＝15log 2k ，b ＝13log 5k ，c ＝12lg k .∴log k 2＝15a ，log k 5＝13b ，log k 10＝12c ，又log k 2＋log k 5＝log k 10，∴15a ＋13b ＝12c. 16．设4a ＝5b ＝m ，且1a ＋2b ＝1，求m 的值．[解析] a ＝log 4m ，b ＝log 5m .∴1a ＋2b＝log m 4＋2log m 5＝log m 100＝1，∴m ＝100. 17．已知二次函数f (x )＝(lg a )x 2＋2x ＋4lg a 的最大值是3，求a 的值． [解析] ∵f (x )的最大值等于3∴⎩⎪⎨⎪⎧lg a <016lg 2a －44lg a＝3，∴(4lg a ＋1)(lg a －1)＝0∵lg a <0，∴lg a ＝－14，∴a ＝10－14.。

2.2.1 氧化还原反应(分层练习)(解析版)高一化学同步课件沪教版2020必修一

第二章海洋中的卤素资源2.2氧化还原反应和离子反应第1课时氧化还原反应1．下列有关氧化还原反应的理解不正确的是（）A ．氧化还原反应的本质是元素化合价的变化B ．氧化还原反应中一定存在着电子的转移C ．一个氧化还原反应中一定既存在氧化反应，又存在还原反应D ．氧化还原反应中，元素化合价的变化是电子转移的外在表现【答案】A【解析】A ．氧化还原反应的本质是电子的转移，故A 错误；B ．根据A 项分析，氧化还原反应的本质是电子的转移，则氧化还原反应中一定存在着电子的转移，故B 正确；C ．在一个氧化还原反应中，还原剂失电子发生氧化反应，氧化剂得电子发生还原反应，即一定既存在氧化反应，也存在还原反应，故C 正确；D ．元素化合价的变化是氧化还原反应中电子转移的外观表现，故D 正确；答案选A 。

2．下列不属于．．．氧化还原反应的是A ．22Zn+2HCl=ZnCl +H ↑B ．322高温WO +3H W+3H OC ．32Δ2KClO 2KCl+3O ↑D ．3232ΔF 2Fe(OH)e O +3H O【答案】D【解析】A ．该反应中Zn 和H 元素化合价发生变化，属于氧化还原反应，故A 不选；B ．该反应中W 和H 元素化合价发生变化，属于氧化还原反应，故B 不选；C ．该反应中O 和Cl 元素化合价发生变化，属于氧化还原反应，故C 不选；D ．该反应中没有元素化合价发生变化，属于氧化还原反应，故D 选；故选D 。

3．下列反应中，氯元素被氧化的是()A ．2KClO 32MnO Δ2KCl ＋3O 2↑B ．2P ＋5Cl 2=2PCl 5C ．MnO 2＋4HCl(浓)ΔMnCl 2＋2H 2O ＋Cl 2↑D ．H 2＋Cl 2=2HCl 【答案】C4．下列说法中正确的是A ．化合反应一定氧化还原反应B ．置换反应一定氧化还原反应C ．分解反应一定氧化还原反应D ．复分解反应一定氧化还原反应【答案】B【解析】A ．化合反应不一定氧化还原反应，有单质参与的化合反应才是氧化还原反应，故A 错误；B ．置换反应反应有单质的反应和l 另一种单质的生成，一定有元素化合价发生变化，一定是氧化还原反应，故B 正确；C ．分解反应不一定氧化还原反应，有单质生成的分解反应才是氧化还原反应，故C 错误；D ．复分解反应中没有元素化合价发生变化，一定不是氧化还原反应，故D 错误；故选B 。

高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2.1.1对数练习(含解析)新人教A版必修1

课时21 对数对数的意义①若M ＝N ，则log a M ＝log a N ； ②若log a M ＝log a N ，则M ＝N ； ③若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N ； ④若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2. A ．①与② B ．②与④ C ．② D ．①②③④ 答案 C解析对于①，当M ＝N ≤0时，log a M 与log a N 无意义，因此①不正确；对于②，对数值相等，底数相同，因此，真数相等，所以②正确；对于③，有M 2＝N 2，即|M |＝|N |，但不一定有M ＝N ，③错误；对于④，当M ＝N ＝0时，log a M 2与log a N 2无意义，所以④错误，由以上可知，只有②正确．2．求下列各式中x 的取值范围： (1)lg (x －10)； (2)log (x －1)(x ＋2)； (3)log (x ＋1)(x －1)2.解 (1)由题意有x －10>0，即x >10，即为所求； (2)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2>0，x －1>0且x －1≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－2，x >1且x ≠2，∴x >1且x ≠2；(3)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，x ＋1>0且x ＋1≠1，解得x >－1且x ≠0，x ≠1.3答案507解析因为m ＝log 37，所以3m ＝7，则3m ＋3－m ＝7＋7－1＝507.4．将下列指数式化成对数式，对数式化成指数式： (1)35＝243；(2)2－5＝132；(3)log 1381＝－4；(4)log 2128＝7.解 (1)log 3243＝5；(2)log 2132＝－5；(3)13－4＝81；(4)27＝128.对数性质的应用(1)log 8x ＝－23；(2)log x 27＝34；(3)log 3(2x ＋2)＝1.解 (1)由log 8x ＝－23，得x ＝8－23＝(23)－23＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝2－2＝14；(2)由log x 27＝34，得x 34＝27.∴x ＝2743＝(33)43＝34＝81；(3)由log 3(2x ＋2)＝1，得2x ＋2＝3，所以x ＝12.对数恒等式的应用(2)计算23＋log23＋35－log39.解(1)令t＝10x，则x＝lg t，∴f(t)＝lg t，即f(x)＝lg x，∴f(3)＝lg 3；(2)23＋log23＋35－log39＝23·2log23＋353log39＝23×3＋359＝24＋27＝51.一、选择题1．下列四个命题，其中正确的是( )①对数的真数是非负数；②若a>0且a≠1，则log a1＝0；③若a>0且a≠1，则log a a＝1；④若a>0且a≠1，则a log a2＝2.A．①②③ B．②③④C．①③ D．①②③④答案 B解析①对数的真数为正数，①错误；②∵a0＝1，∴log a1＝0，②正确；③∵a1＝a，∴log a a＝1，③正确；④由对数恒等式a log a N＝N，得a log a2＝2，④正确．2．2x＝3化为对数式是( )A．x＝log32 B．x＝log23C．2＝log3x D．2＝log x3答案 B解析由2x＝3得x＝log23，选B.3．化简：0.7log 0.78等于( ) A ．2 2 B ．8 C.18 D ．2答案 B解析由对数恒等式a log aN ＝N ，得0.7log 0.78＝8.∴选B. 4．若log 2(log x 9)＝1，则x ＝( ) A ．3 B ．±3 C．9 D ．2 答案 A解析 ∵log 2(log x 9)＝1，∴log x 9＝2，即x 2＝9，又∵x >0，∴x ＝3.5．若log a 3＝m ，log a 2＝n ，则a m ＋2n的值是( )A ．15B ．75C ．12D ．18 答案 C解析由log a 3＝m ，得a m＝3，由log a 2＝n ，得a n＝2， ∴am ＋2n＝a m ·(a n )2＝3×22＝12.二、填空题6．已知log 2x ＝2，则x －12＝________.答案 12解析 ∵log 2x ＝2，∴x ＝22＝4， 4－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1412＝12.7．若lg (ln x )＝0，则x ＝________. 答案 e解析 ∵lg (ln x )＝0，∴ln x ＝1，∴x ＝e.8．若集合{x ，xy ，lg xy }＝{0，|x |，y }，则log 8(x 2＋y 2)＝________. 答案 13解析 ∵x ≠0，y ≠0，∴lg xy ＝0，∴xy ＝1，则{x,1,0}＝{0，|x |，y }，∴x ＝y ＝－1， log 8 (x 2＋y 2)＝log 82＝log 8813＝13.三、解答题9．(1)已知log 189＝a ，log 1854＝b ，求182a －b的值；(2)已知log x 27＝31＋log 32，求x 的值．解 (1)18a ＝9,18b＝54，182a －b＝a218b＝9254＝8154＝32； (2)∵log x 27＝31×3log 32＝31×2＝6， ∴x 6＝27，∴x ＝2716＝(33)16＝ 3.10．求下列各式中x 的值：(1)log 4(log 3x )＝0；(2)lg (log 2x )＝1； (3)log 2[log 12(log 2x )]＝0.解 (1)∵log 4(log 3x )＝0，∴log 3x ＝40＝1， ∴x ＝31＝3；(2)∵lg (log 2x )＝1，∴log 2x ＝10，∴x ＝210＝1024；(3)由log 2[log 12(log 2x )]＝0，得log 12(log 2x )＝1，log 2x ＝12，x ＝ 2.。

人教A版高中数学必修1第二章 2.2 2.2.1 第2课时对数的运算

第2课时对数的运算课时过关·能力提升基础巩固1.若a>0,且a≠1,x>y>0,则下列式子正确的个数是 ()①log a x·log a y=log a(x+y);②log a x-log a y=log a(x-y);③log a xy=log a x÷log a y;④log a(xy)=log a x·log a y.A.0B.1C.2D.3答案:A2.2log510+log50.25等于()A.0B.1C.2D.4解析:原式=log5100+log50.25=log525=log552=2.答案:C3.计算log225·log32√2·log59的结果为()A.3B.4C.5D.6解析:原式=lg25lg2×lg2√2lg3×lg9lg5=2lg5lg2×32lg2lg3×2lg3lg5=6.答案:D4.计算823+log32−log36的结果是()A.16√2−1B.4C.3D.1解析:原式=(23)23+log 326=4+log 313=4−1=3.答案:C5.已知log 23=a ,log 37=b ,则log 27等于( ) A.a+bB.a-bC.abD .ab解析:log 27=log 23·log 37=ab. 答案:C6.若lg x-lg y=t ,则l g (x 2)3−lg (y 2)3=( )A.3tB .32tC.tD.t2解析:l g (x 2)3−lg (y 2)3=3lg x2−3lg y2=3lg xy =3(lg x-lg y )=3t.答案:A7.若lg x=lg m-2lg n ,则x= . 解析:∵lg m-2lg n=lg m-lg n 2=lg mn 2,∴x =mn 2. 答案:mn 28.已知3a =2,用a 表示log 34-log 36= . 解析:∵3a =2,∴a=log 32,∴log 34-log 36=log 322-log 3(2×3)=2log 32-log 32-log 33=a-1.答案:a-19.若2.5x =1 000,0.25y =1 000,则1x−1y=______________________.解析:∵x=log 2.51 000,y=log 0.251 000, ∴1x =1log 2.51 000=log 1 0002.5,同理1y=log 1 0000.25,∴1x−1y=log 1 0002.5-log 1 0000.25=log 1 00010=lg10lg1 000=13.答案:1310.计算:(1)(lg 5)2+3lg 2+2lg 5+lg 2×lg 5; (2lg √10×lg0.1(3)(log 62)2+(log 63)2+3log 62×(log 6√183-13log 62). 解:(1)(lg 5)2+3lg 2+2lg 5+lg 2×lg 5 =lg 5(lg 5+lg 2)+2(lg 2+lg 5)+lg 2 =lg 5×lg 10+2lg 10+lg 2 =2+(lg 5+lg 2) =3.(2lg √10×lg0.1=lg8×1252×5lg1012×lg10-1=lg10212×(-1)=−4.(3)(log 62)2+(log 63)2+3log 62×(log 6√183−13log 62) =(log 62)2+(log 63)2+3log 62×log √183√23=(log62)2+(log63)2+3log62×log6√93=(log62)2+(log63)2+2log62×log63=(log62+log63)2=1.能力提升1.若lg a+lg b=0(其中a>0,b>0,a≠1,b≠1),则函数f(x)=a x与g(x)=b x的图象关于()A.直线y=x对称B.x轴对称C.y轴对称D.原点对称解析:∵lg a+lg b=lg(ab)=0,∴ab=1,∴b=1a.∴g(x)=(1a )x,故函数f(x)与g(x)的图象关于y轴对称.答案:C2.若实数a,b,c满足25a=403b=2 015c=2 018,则下列式子正确的是()A.1a +2b=2cB.2a+2b=1cC.1a +1b=2cD.2a+1b=2c解析:由已知,得52a=403b=2 015c=2 018,得2a=log52 018,b=log4032 018,c=log2 0152 018,所以12a=log2 0185,1b =log2 018403,1c=log2 0182 015,而5×403=2 015,所以12a+1b=1c,即1a+2b=2c,故选A.答案:A3.★某种食品因存放不当受到细菌的侵害.据观察,此食品中细菌的个数y与经过的时间t(单位:min)满足关系y=2t.若细菌繁殖到3个、6个、18个所经过的时间分别是t1,t2,t3,则有() A.t1·t2=t3 B.t1+t2>t3C.t1+t2=t3D.t1+t2<t3解析:由题意,得2t1=3,2t2=6,2t3=18,则t1=log23,t2=log26,t3=log218,所以t1+t2=log23+log26=log218=t3.答案:C4.计算lg25+lg 2+lg 2·lg 5=.解析:原式=lg 5(lg 5+lg 2)+lg 2=lg 5+lg 2=1.答案:15.已知函数f(x)=x+1,g(x)=−1x,则f(log2 3)+g(log6 2)=_____________.解析:f(log23)+g(log62)=log23+1−1log62=log2 3−log2 6+1=log2 36+1=log2 12+1=log2 2−1+1=−1+1=0.答案:06.若关于lg x的方程lg2x+(lg 7+lg 5)lg x+lg 7·lg 5=0 的两个根是lg α,lg β,则αβ的值是.解析:由题意,得lg α+lg β=-(lg 7+lg 5)=l g135,故lg(αβ)=lg135,即αβ=135.答案:1357.已知x,y,z为正数,3x=4y=6z,且2x=py.(1)求p;(2)求证:1z −1x=12y.(1)解设3x=4y=6z=k(显然k>0,且k≠1), 则x=log3k,y=log4k,z=log6k.由2x=py,得2log3k=p log4k=p·log3klog34.∵log3k≠0,∴p=2log34.(2)证明1z −1x=1log6k−1log3k=log k 6−log k 3=log k 2.∵12y=12log k 4=log k 2,∴1z−1x=12y.8.★甲、乙两人在解关于x的方程log2x+b+c·log x2=0时,甲写错了常数b得两根为14,1 8 ,乙写错了常数c得两根为12,64.求原方程的根.分析:将方程化为关于log2x的一元二次方程的形式.先利用一元二次方程的根与系数的关系求出b和c,再求出原方程的根.解:由原方程可知x>0,且x≠1.原方程可化为log2x+b+c·1log2x=0,即(log2x)2+b log2x+c=0.因为甲写错了常数b得两根为14,18,所以c=log2 14·log2 18=6.因为乙写错了常数c得两根为12,64,所以b=−(log212+log264)=−5.故原方程为log2x-5+6log x2=0,可化为(log2x)2-5log2x+6=0.解得log2x=2或log2x=3.所以x=4或x=8,故原方程的根为x=4或x=8.。

2019-2020学年高中数学北师大版必修1练习：2.2.1函数概念-附答案

2.1函数概念课后篇巩固提升A组基础巩固1.对于函数y=f(x),下列命题正确的个数为()①y是x的函数;②对于不同的x值,y值也不同;③f(a)表示当x=a时函数f(x)的值,是一个常量;④f(x)一定可以用一个具体的式子表示.A.1B.2C.3D.4解析:①③正确.对于②,不同的x值可对应同一个y值,如y=x2;f(x)不一定是函数关系式,也可以用图像或表格等形式来体现.答案:B2.函数f(x)=--的定义域是()A.[2,3)B.(3,+∞)C.[2,3)∪(3,+∞)D.(2,3)∪(3,+∞)解析:由--解得x≥2,且x≠3.故函数f(x)的定义域为[2,3)∪(3,+∞).答案:C3.下列各组函数中表示同一函数的是()A.f(x)=,g(x)=()2B.f(x)=--,g(x)=x+1C.f(x)=|x|,g(x)=D.f(x)=-,g(x)=-解析:对于A选项,f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为[0,+∞),∴不是同一函数.对于B选项,f(x)的定义域为{x|x≠1},g(x)的定义域为R,∴不是同一函数.对于C选项,f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为R,且两函数解析式化简后为同一解析式,∴是同一函数.对于D选项,f(x)的定义域为[1,+∞),g(x)的定义域为(-∞,-1]∪[1,+∞),∴不是同一函数.故选C.答案:C4.下列式子不能表示函数y=f(x)的是()A.x=y2+1B.y=2x2+1C.x-2y=6D.x=解析:B中,y=2x2+1是二次函数;C中,y=x-3;D中,y=x2,x≥0;A中,y=±-,y不是x的函数.答案:A5.已知f(x)=x2-3x,且f(a)=4,则实数a等于()A.4B.-1C.4或-1D.-4或1解析:由已知可得a2-3a=4,即a2-3a-4=0,解得a=4或a=-1.答案:C6.下表表示y是x解析:∵5<6≤10,∴6对应的函数值是3.答案:37.函数f(x)=x2-2x,x∈{-2,-1,0,1}的值域为.解析:因为f(-2)=(-2)2-(-2)=6,f(-1)=(-1)2-2×(-1)=3,f(0)=02-2×0=0,f(1)=12-2×1=-1,所以f(x)的值域为{6,3,0,-1}.答案:{6,3,0,-1}8.已知函数f(x)=.(1)求f(2);(2)若f(m)=2,求m的值.解:(1)f(2)=.(2)∵f(m)==2,∴m=-3.9.求下列函数的定义域:(1)f(x)=-;(2)f(x)=--+2;(3)f(x)=-.解:(1)当x-|x|≠0,即|x|≠x,也即x<0时,f(x)有意义,故函数f(x)的定义域为(-∞,0).(2)要使函数有意义,应满足--解得1≤x≤4.故函数f(x)的定义域为[1,4].(3)要使函数f(x)有意义,应满足-解得x≤1,且x≠-1.故函数f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(-1,1].10.求下列函数的值域:(1)y=1-;(2)y=;(3)f(x)=3-2x,x∈[0,2].解:(1)∵函数的定义域为{x|x≥0},∴≥0.∴1-≤1.∴函数y=1-的值域为(-∞,1].(2)∵y==2-,且其定义域为{x|x≠-1},∴≠0,即y≠2.∴函数y=的值域为{y|y∈R,且y≠2}.(3)∵0≤x≤2,∴0≤2x≤4.∴-1≤3-2x≤3,即-1≤f(x)≤3,故函数f(x)的值域是[-1,3].B组能力提升1.如图所示,可表示函数y=f(x)的图像的是()解析:由函数定义可知D正确.答案:D2.已知g(x)=1-2x,f(g(x))=-(x≠0),则f等于()A.1B.3C.15D.30解析:由已知1-2x=,∴x=,∴f -=15,故选C.答案:C3.若函数y=f(x+2)的定义域为[0,1],则函数y=f(x)的定义域为()A.[2,3]B.[0,1]C.[-2,-1]D.[0,-1]解析:解决此类问题的关键要弄清函数定义域是指x的变化范围,而借助的理论依据是y=f(x)中对应关系f所施加的对象取值是一致的.对于本题函数y=f(x)的定义域其实为函数y=f(x+2)中“x+2”的整体范围,因此可得y=f(x)的定义域为[2,3].答案:A4.导学号85104026(信息题)若一系列函数的关系式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“孪生函数”,那么函数关系式为y=2x2-1,值域为{1,7}的“孪生函数”共有()A.10个B.9个C.8个D.4个解析:由2x2-1=1,得x=±1;由2x2-1=7,得x=±2.因此当y=2x2-1的定义域为{-2,-1},{-1,2},{-2,1},{1,2},{-2,2,1},{-2,2,-1},{2,-1,1},{-2,-1,1},{-1,1,2,-2}时,函数值域均为{1,7}.答案:B5.函数f(x)=--的值域为.解析:由--解得x=2 018.所以函数的定义域为{2 018}.显然f(2 018)=0+0=0.所以函数的值域为{0}.答案:{0}6.有下列三个命题:①y=|x|,x∈{-2,-1,0,1,2,3},则它的值域是{0,1,4,9};②y=--,则它的值域为R;③y=-,则它的值域为{y|y≥0}.其中正确命题的序号是.解析:对于①,当x=-2,-1,0,1,2,3时,|x|=2,1,0,1,2,3.因此函数的值域为{0,1,2,3}.故①不正确.对于②,∵y=--=x+1(x≠1),∴x=y-1≠1,∴y≠2.即值域为(-∞,2)∪(2,+∞).故②不正确.对于③,∵y=-≥0,∴其值域为[0,+∞),故③正确.答案:③7.已知函数f(x)=x2+x-1.(1)求f(2),f;(2)若f(x)=5,求x的值.解:(1)f(2)=22+2-1=5,f-1=-.(2)∵f(x)=x2+x-1=5,∴x2+x-6=0,∴x=2或x=-3.8.已知函数f(x)=.(1)求f(1),f(2)+f的值;(2)证明:f(x)+f等于定值;(3)求f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 018)+f+f+…+f的值.(1)解:f(1)=;f(2)=,f,所以f(2)+f=1.(2)证明:f,所以f(x)+f=1,为定值.(3)解:由(2)知,f(x)+f=1.所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 018)+f+f+…+f=f(1)+f(2)+f+f(3)+f+…+f(2 018)+f=….。

新版高一数学必修第一册第二章全部配套练习题(含答案和解析)

新版高一数学必修第一册第二章全部配套练习题（含答案和解析）2.1 等式性质与不等式性质基础练巩固新知夯实基础1．若1a <1b <0，则下列结论中不正确的是( )A ．a 2|a ＋b |2．已知a >b >0，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a ＋1b >b ＋1aB ．a ＋1a ≥b ＋1bC ．b a >b ＋1a ＋1D ．b －1b >a －1a3．下列说法正确的是( )A ．若a >b ，c >d ，则ac >bdB ．若1a >1b，则a <bC ．若b >c ，则|a |b ≥|a |cD ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －d 4．若y 1＝3x 2－x ＋1，y 2＝2x 2＋x －1，则y 1与y 2的大小关系是( ) A ．y 1<y 2 B ．y 1＝y 2C ．y 1>y 2D ．随x 值变化而变化 5．一辆汽车原来每天行驶x km ，如果这辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km ，那么在8天内它的行程就超过2 200 km ，写成不等式为________；如果它每天行驶的路程比原来少12 km ，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为________．6．已知三个不等式①ab >0；①c a >db ；①bc >ad .若以其中的两个作为条件，余下的一个作为结论，则可以组成________个正确命题．7．若x ①R ，则x 1＋x2与12的大小关系为________． 8．已知1<α<3，－4< β <2，若z ＝12α－β，则z 的取值范围是________．9.已知a >b ，1a <1b ，求证：ab >0.10．已知－2<a ≤3，1≤b <2，试求下列代数式的取值范围．(1)|a |； (2)a ＋b ； (3)a －b ； (4)2a －3b .能力练综合应用核心素养11．设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式恒成立的是( ) A ．ab >bc B ．ac >bc C ．ab >acD ．a |b |>c |b |12．若abcd ＜0，且a ＞0，b ＞c ，d ＜0，则( ) A ．b ＜0，c ＜0 B ．b ＞0，c ＞0 C ．b ＞0，c ＜0D ．0＜c ＜b 或c ＜b ＜013．实数a ，b ，c ，d 满足下列三个条件：①d >c ；①a ＋b ＝c ＋d ；①a ＋d 0，试比较a 3＋b 3与ab 2＋a 2b 的大小．16．已知0<a <b 且a ＋b ＝1，试比较： (1)a 2＋b 2与b 的大小； (2)2ab 与12的大小．17．已知1≤a －b ≤2,2≤a ＋b ≤4，求4a －2b 的取值范围．18．建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积．但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的采光条件就越好，试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由．【参考答案】1. D 解析： ①1a <1b <0，①b <a <0，①b 2>a 2，ab b >0，所以1b >1a >0，所以a ＋1b >b ＋1a，故选A.3. C 解析 A 项：a ，b ，c ，d 的符号不确定，故无法判断；B 项：不知道ab 的符号，无法确定a ，b 的大小；C 项：|a |≥0，所以|a |b ≥|a |c 成立；D 项：同向不等式不能相减．4. C 解析y 1－y 2＝(3x 2－x ＋1)－(2x 2＋x －1)＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1>0，所以y 1>y 2.故选C.5. 8(x ＋19)>2 200 8x >9(x －12) 解析：①原来每天行驶x km ，现在每天行驶(x ＋19)km.则不等关系“在8天内的行程超过2 200 km”，写成不等式为8(x ＋19)>2 200.①若每天行驶(x －12)km ，则不等关系“原来行驶8天的路程现在花9天多时间”，写成不等式为8x >9(x －12)． 6. 3 解析：①①①①，①①①①.(证明略)由①得bc －ad ab >0，又由①得bc －ad >0.所以ab >0①①.所以可以组成3个正确命题．7. x 1＋x 2≤12 解析：①x 1＋x 2－12＝2x －1－x 22(1＋x 2)＝－(x －1)22(1＋x 2)≤0，①x 1＋x 2≤12. 8. ⎩⎨⎧⎭⎬⎫z ⎪⎪－32<z <112 解析：①1<α<3，①12<12α<32，又－4<β<2，①－2<－β<4.①－32<12α－β<112，即－32<z <112. 9.证明：①1a <1b ，①1a －1b <0，即b －a ab<0，而a >b ，①b －a <0，①ab >0. 10. 解：(1)|a |①[0，3]．(2)－1<a ＋b <5.(3)依题意得－2<a ≤3，－2<－b ≤－1，相加得－4<a －b ≤2；(4)由－2<a ≤3得－4<2a ≤6，①由1≤b <2得－6<－3b ≤－3，①由①＋①得，－10<2a －3b ≤3. 11. C 解析：选C.因为a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，所以a >0，c <0，b 可正、可负、可为零．由b >c ，a >0知，ab >ac .12. D 解析：由a ＞0，d ＜0，且abcd ＜0，知bc ＞0，又①b ＞c ，①0＜c ＜b 或c ＜b ＜0. 13. a <c <d 0,1－a >0.即11＋a 1－a ＝11－a 2①0<1－a 2≤1，①11－a 2≥1，①11＋a≥1－a . 15.解：因为a ＋b >0，(a －b )2≥0，所以a 3＋b 3－ab 2－a 2b ＝a 3－a 2b ＋b 3－ab 2＝a 2(a －b )＋b 2(b －a )＝(a －b )(a 2－b 2)＝(a －b )(a －b )(a ＋b )＝(a －b )2(a ＋b )≥0，所以a 3＋b 3≥ab 2＋a 2b .16.解：(1)因为0<a <b 且a ＋b ＝1，所以0<a <12<b ，则a 2＋b 2－b ＝a 2＋b (b －1)＝a 2－ab ＝a (a －b )<0，所以a 2＋b 2<b .(2)因为2ab －12＝2a (1－a )－12＝－2a 2＋2a －12＝－2⎝⎛⎭⎫a 2－a ＋14＝－2⎝⎛⎭⎫a －122<0，所以2ab <12.17.解：令4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )，①⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，－m ＋n ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.又①1≤a －b ≤2，①3≤3(a －b )≤6，又①2≤a ＋b ≤4，①5≤3(a －b )＋(a ＋b )≤10，即5≤4a －2b ≤10. 故4a －2b 的取值范围为5≤4a －2b ≤10.18.解：设住宅窗户面积、地板面积分别为a ，b ，同时增加的面积为m ，根据问题的要求a 0，于是a ＋m b ＋m >a b .又a b ≥10%，因此a ＋m b ＋m >ab≥10%.所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了．2.2 第1课时基本不等式的证明基础练巩固新知夯实基础1．已知a ，b ①R ，且ab >0，则下列结论恒成立的是( )A ．a 2＋b 2>2abB ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2ab D.b a ＋a b ≥2 2．不等式a 2＋1≥2a 中等号成立的条件是( )A ．a ＝±1B ．a ＝1C ．a ＝－1D ．a ＝03．对x ①R 且x ≠0都成立的不等式是( )A ．x ＋1x ≥2B ．x ＋1x ≤－2C.|x |x 2＋1≥12D.⎪⎪⎪⎪x ＋1x ≥2 4．已知x >0，y >0，x ≠y ，则下列四个式子中值最小的是( )A.1x ＋yB.14⎝⎛⎭⎫1x ＋1yC. 12(x 2＋y 2)D.12xy5．给出下列不等式：①x ＋1x ≥2； ①⎪⎪⎪⎪x ＋1x ≥2； ①x 2＋y 2xy ≥2； ①x 2＋y 22>xy ； ①|x ＋y |2≥|xy |.其中正确的是________(写出序号即可)．6．若a >0，b >0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是________(填序号)．①ab ≤1； ①a ＋b ≤2； ①a 2＋b 2≥2； ①a 3＋b 3≥3； ①1a ＋1b≥2.7．设a ，b ，c 都是正数，求证：bc a ＋ac b ＋abc≥a ＋b ＋c .能力练综合应用核心素养8．若0<a 0，b >0，则a ＋b2，ab ，a 2＋b 22，2aba ＋b中最小的是( ) A.a ＋b 2B.abC.a 2＋b 22D.2aba ＋b10．设a >0，b >0，则下列不等式中不一定成立的是( )A ．a ＋b ＋1ab≥22 B.2ab a ＋b ≥abC.a 2＋b 2ab ≥a ＋b D ．(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4 11．已知a ，b ①(0，＋∞)，且a ＋b ＝1，则下列各式恒成立的是( )A.1ab≥8 B.1a ＋1b≥4C.ab ≥12D.1a 2＋b2≤12 12．若a ＜1，则a ＋1a －1与－1的大小关系是________．13．给出下列结论：①若a >0，则a 2＋1>a .①若a >0，b >0，则⎝⎛⎭⎫1a ＋a ⎝⎛⎭⎫b ＋1b ≥4. ①若a >0，b >0，则(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4. ①若a ①R 且a ≠0，则9a ＋a ≥6.其中恒成立的是________．14．已知x ＞0，y ＞0，z ＞0.求证：⎝⎛⎭⎫y x ＋z x ⎝⎛⎭⎫x y ＋z y ⎝⎛⎭⎫x z ＋y z ≥8.15．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9.【参考答案】1. D 解析：选D.对于A ，当a ＝b 时，a 2＋b 2＝2ab ，所以A 错误；对于B ，C ，虽然ab >0，只能说明a ，b 同号，当a ，b 都小于0时，B ，C 错误；对于D ，因为ab >0，所以b a >0，a b >0，所以b a ＋ab ≥2b a ·a b ，即b a ＋a b≥2成立．2. B [解析] a 2＋1－2a ＝(a －1)2≥0，①a ＝1时，等号成立．3. D [解析] 因为x ①R 且x ≠0，所以当x >0时，x ＋1x ≥2；当x <0时，－x >0，所以x ＋1x ＝－⎝⎛⎭⎫－x ＋1－x ≤－2，所以A 、B 都错误；又因为x 2＋1≥2|x |，所以|x |x 2＋1≤12，所以C 错误，故选D. 4. C [解析] 解法一：①x ＋y >2xy ，①1x ＋y <12xy，排除D ；①14⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ＝x ＋y 4xy ＝14xy x ＋y >1(x ＋y )2x ＋y ＝1x ＋y ，①排除B ；①(x ＋y )2＝x 2＋y 2＋2xy <2(x 2＋y 2)，①1x ＋y>12(x 2＋y 2)，排除A.解法二：取x ＝1，y ＝2.则1x ＋y ＝13；14⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ＝38；12(x 2＋y 2)＝110；12xy ＝122＝18.其中110最小． 5. ① 解析：当x >0时，x ＋1x ≥2；当x <0时，x ＋1x≤－2，①不正确；因为x 与1x 同号，所以⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝|x |＋1|x |≥2，①正确；当x ，y 异号时，①不正确；当x ＝y 时，x 2＋y 22＝xy ，①不正确；当x ＝1，y ＝－1时，①不正确．6. ①①① [解析] 令a ＝b ＝1，排除①①；由2＝a ＋b ≥2ab ①ab ≤1，①正确；a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝4－2ab ≥2，①正确；1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝2ab≥2，①正确．7.[证明] 因为a ，b ，c 都是正数，所以bc a ，ac b ，ab c 也都是正数．所以bc a ＋ac b ≥2c ，ac b ＋ab c ≥2a ，bc a ＋abc≥2b ，三式相加得2⎝⎛⎭⎫bc a ＋ac b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )，即bc a ＋ac b ＋abc ≥a ＋b ＋c ，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号． 8. C 解析：选C.因为0<a 0，b >0，所以2ab a ＋b ≤2ab2ab ＝ab ，a ＋b 2≥ab ，a 2＋b 22＝2(a 2＋b 2)4≥(a ＋b )24＝a ＋b2(当且仅当a ＝b >0时，等号成立)．所以a ＋b2，ab ，a 2＋b 22，2ab a ＋b 中最小的是2aba ＋b，故选D. 10. B 解析：选B.因为a >0，b >0，所以a ＋b ＋1ab ≥2ab ＋1ab ≥22，当且仅当a ＝b 且2ab ＝1ab即a ＝b ＝22时取等号，故A 一定成立．因为a ＋b ≥2ab >0，所以2ab a ＋b ≤2ab2ab ＝ab ，当且仅当a ＝b 时取等号，所以2ab a ＋b ≥ab 不一定成立，故B 不成立．因为2ab a ＋b ≤2ab 2ab＝ab ，当且仅当a ＝b 时取等号，所以a 2＋b 2a ＋b ＝（a ＋b ）2－2ab a ＋b ＝a ＋b －2ab a ＋b ≥2ab －ab ，当且仅当a ＝b 时取等号，所以a 2＋b 2a ＋b ≥ab ，所以a 2＋b 2ab≥a ＋b ，故C 一定成立．因为(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab≥4，当且仅当a ＝b 时取等号，故D 一定成立，故选B. 11. B [解析] ①当a ，b ①(0，＋∞)时，a ＋b ≥2ab ，又a ＋b ＝1，①2ab ≤1，即ab ≤12.①ab ≤14.①1ab ≥4.故选项A 不正确，选项C 也不正确．对于选项D ，①a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ，当a ，b ①(0，＋∞)时，由ab ≤14可得a 2＋b 2＝1－2ab ≥12.所以1a 2＋b 2≤2，故选项D 不正确．对于选项B ，①a >0，b >0，a ＋b ＝1，①1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝1＋b a ＋ab＋1≥4，当且仅当a ＝b 时，等号成立．故选B.12. a ＋1a －1≤－1 解析:因为a ＜1，即1－a >0,所以－⎝⎛⎭⎫a －1＋1a －1＝(1－a )＋11－a≥2（1－a ）·11－a＝2.即a ＋1a －1≤－1.13.①①① [解析] 因为(a 2＋1)－a ＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34>0，所以a 2＋1>a ，故①恒成立．因为a >0，所以a ＋1a ≥2，因为b >0，所以b ＋1b ≥2，所以当a >0，b >0时，⎝⎛⎭⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎫b ＋1b ≥4，故①恒成立．因为(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ，又因为a ，b ①(0，＋∞)，所以b a ＋ab ≥2，所以(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4，故①恒成立．因为a ①R 且a ≠0，不符合基本不等式的条件，故9a＋a ≥6是错误的．14.证明：因为x ＞0，y ＞0，z ＞0，所以y x ＋z x ≥2yz x ＞0，x y ＋z y ≥2xz y ＞0，x z ＋y z ≥2xyz ＞0，所以⎝⎛⎭⎫y x ＋z x ⎝⎛⎭⎫x y ＋z y ⎝⎛⎭⎫x z ＋y z ≥8yz ·xz ·xyxyz＝8，当且仅当x ＝y ＝z 时等号成立． 15.[证明] 证法一：因为a >0，b >0，a ＋b ＝1，所以1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a ，同理1＋1b ＝2＋a b，故⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2＋b a ⎝⎛⎭⎫2＋a b ＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9.所以⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9(当且仅当a ＝b ＝12时取等号)．证法二：因为a ，b 为正数，a ＋b ＝1.所以⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ＝1＋a ＋b ab ＋1ab ＝1＋2ab ， ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝14，于是1ab ≥4，2ab ≥8，因此⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥1＋8＝9⎝⎛⎭⎫当且仅当a ＝b ＝12时等号成立.2.2 第2课时基本不等式的综合应用基础练巩固新知夯实基础1.（3－a ）（a ＋6）(－6≤a ≤3)的最大值为( )A ．9 B.92 C ．3 D.3222．设x >0，则y ＝3－3x －1x的最大值是( )A ．3B ．3－22C ．3－2 3D ．－1 3．若0＜x ＜12，则函数y ＝x 1－4x 2的最大值为( )A ．1 B.12 C.14D.184．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件5．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则m 的最大值为( )A ．8B ．7C ．6D ．56．已知y ＝4x ＋ax (x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________．7．已知y ＝x ＋1x.(1)已知x ＞0，求y 的最小值；(2)已知x ＜0，求y 的最大值．8．已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝ab .(1)求ab 的最小值； (2)求a ＋2b 的最小值．能力练综合应用核心素养9．已知a 0，y >0，且2x ＋1y＝1，则x ＋2y 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．811．设x ＞0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为( ) A ．0 B.12C ．1D.3212．已知x ≥52，则y ＝x 2－4x ＋52x －4有( )A ．最大值54B ．最小值54za C ．最大值1D ．最小值113．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．814．已知x ＞0，y ＞0，2x ＋3y ＝6，则xy 的最大值为________．15．若点A (－2，－1)在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋2n的最小值为________．16．设a>b>c，且1a－b＋1b－c≥ma－c恒成立，求m的取值范围．17．(1)若x＜3，求y＝2x＋1＋1x－3的最大值；(2)已知x＞0，求y＝2xx2＋1的最大值．【参考答案】1. B 解析：选B.因为－6≤a ≤3，所以3－a ≥0，a ＋6≥0，所以（3－a ）（a ＋6）≤（3－a ）＋（a ＋6）2＝92.即（3－a ）（a ＋6）(－6≤a ≤3)的最大值为92.2. C 解析：y ＝3－3x －1x＝3－⎝⎛⎭⎫3x ＋1x ≤3－2 3x ·1x ＝3－23，当且仅当3x ＝1x ，即x ＝33时取等号． 3. C 解析：因为0＜x ＜12，所以1－4x 2＞0，所以x 1－4x 2＝12×2x 1－4x 2≤12×4x 2＋1－4x 22＝14，当且仅当2x＝1－4x 2，即x ＝24时等号成立，故选C. 4. B 解析：设每件产品的平均费用为y 元，由题意得y ＝800x ＋x 8≥2800x ·x8＝20. 当且仅当800x ＝x8(x >0)，即x ＝80时“＝”成立，故选B.5. C 解析：可得6⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ＝1，所以2a ＋b ＝6⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝6⎝⎛⎭⎫5＋2a b ＋2b a ≥6×(5＋4)＝54，当且仅当2ab ＝2ba时等号成立，所以9m ≤54，即m ≤6，故选C. 6. 36 解析：y ＝4x ＋ax≥24x ·a x ＝4a (x >0，a >0)，当且仅当4x ＝a x ，即x ＝a2时等号成立，此时y 取得最小值4a . 又由已知x ＝3时，y 的最小值为4a ，所以a2＝3，即a ＝36. 7. 解：(1)因为x ＞0，所以x ＋1x≥2x ·1x ＝2，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时等号成立．所以y 的最小值为2. (2)因为x ＜0，所以－x ＞0.所以f (x )＝－⎣⎡⎦⎤（－x ）＋1－x ≤－2（－x ）·1－x ＝－2，当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时等号成立．所以y 的最大值为－2. 8. 解：因为2a ＋b ＝ab ，所以1a ＋2b＝1；(1)因为a >0，b >0，所以1＝1a ＋2b≥22ab ，当且仅当1a ＝2b ＝12，即a ＝2，b ＝4时取等号，所以ab ≥8，即ab 的最小值为8；(2)a ＋2b ＝(a ＋2b )⎝⎛⎭⎫1a ＋2b ＝5＋2b a ＋2ab ≥5＋22b a ·2ab＝9，当且仅当2b a ＝2ab ，即a ＝b ＝3时取等号，所以a ＋2b 的最小值为9.9. A 解析：因为a 0，由基本不等式可得b －a ＋1b －a ＋b －a ＝1＋1b －a＋(b －a )≥1＋21b －a·（b －a ）＝3，当且仅当1b －a ＝b －a (b >a )，即当b －a ＝1时，等号成立，因此，b －a ＋1b －a ＋b －a 的最小值为3,故选A.10. D 解析：因为x >0，y >0，且2x ＋1y ＝1，所以x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝⎛⎭⎫2x ＋1y ＝4＋4y x ＋xy≥4＋24y x ·xy＝8，当且仅当4y x ＝xy时等号成立．故选D.11. A 解析：选A.因为x ＞0，所以x ＋12＞0，所以y ＝x ＋22x ＋1－32＝⎝⎛⎭⎫x ＋12＋1x ＋12－2≥2⎝⎛⎭⎫x ＋12·1x ＋12－2＝0，当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立，所以函数的最小值为0. 12. D 解析：y ＝x 2－4x ＋52x －4＝（x －2）2＋12（x －2）＝12⎣⎡⎦⎤（x －2）＋1x －2，因为x ≥52，所以x －2＞0，所以12⎣⎡⎦⎤（x －2）＋1x －2≥12·2（x －2）·1x －2＝1，当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时取等号．故y 的最小值为1.13. B 解析 (x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋ax y ＋y x ≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2⎝⎛⎭⎫当且仅当y x ＝a 时取等号 .①(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，①(a ＋1)2≥9.①a ≥4.14. 32 解析：因为x ＞0，y ＞0，2x ＋3y ＝6，所以xy ＝16(2x ·3y )≤16·⎝⎛⎭⎫2x ＋3y 22＝16·⎝⎛⎭⎫622＝32.当且仅当2x ＝3y ，即x ＝32，y ＝1时，xy 取到最大值32.15. 8 解析：因为点A (－2，－1)在直线mx ＋ny ＋1＝0上，所以2m ＋n ＝1，所以1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋2（2m ＋n ）n＝4＋⎝⎛⎭⎫n m ＋4m n ≥8. 16.解由a >b >c ，知a －b >0，b －c >0，a －c >0.因此，原不等式等价于a －c a －b ＋a －c b －c≥m .要使原不等式恒成立，只需a －c a －b ＋a －cb －c的最小值不小于m 即可．因为a －c a －b ＋a －c b －c ＝(a －b )＋(b －c )a －b ＋(a －b )＋(b －c )b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c≥2＋2b －c a －b ×a －bb －c＝4，当且仅当b －c a －b ＝a －b b －c，即2b ＝a ＋c 时，等号成立．所以m ≤4，即m ①{m |m ≤4}.17.解：(1)因为x ＜3，所以3－x ＞0.又因为y ＝2(x －3)＋1x －3＋7＝－⎣⎡⎦⎤2（3－x ）＋13－x ＋7，由基本不等式可得2(3－x )＋13－x≥22（3－x ）·13－x ＝22，当且仅当2(3－x )＝13－x，即x ＝3－22时，等号成立，于是－⎣⎡⎦⎤2（3－x ）＋13－x ≤－22，－⎣⎡⎦⎤2（3－x ）＋13－x ＋7≤7－22，故y 的最大值是7－2 2.(2)y ＝2x x 2＋1＝2x ＋1x .因为x ＞0，所以x ＋1x ≥2x ·1x ＝2，所以0＜y ≤22＝1，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时，等号成立．故y 的最大值为1.2.3 第1课时二次函数与一元二次方程、不等式基础练巩固新知夯实基础1．已知集合M＝{x|x2－3x－28≤0}，N＝{x|x2－x－6>0}，则M∩N为()A．{x|－4≤x<－2或3<x≤7} B．{x|－4<x≤－2或3≤x<7}C．{x|x≤－2或x>3} D．{x|x<－2或x≥3}2．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根为2，－1，则当a<0时，不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为() A．{x|x<－1或x>2} B．{x|x≤－1或x≥2}C．{x|－1<x<2} D．{x|－1≤x≤2}3．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根为2，－1，则当a<0时，不等式ax2＋bx＋c≥0的解() A．{x|x<－1或x>2} B．{x|x≤－1或x≥2}C．{x|－1<x<2} D．{x|－1≤x≤2}4．关于x的不等式ax－b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是() x|x<－1或x>3B．{x|－1<x<3}A.{}C．{x|1<x<3} D．{x|x<1或x>3}5．若不等式ax2－x－c>0的解集为{x|－2<x<1}，则函数y＝ax2－x－c的图象为()6．设集合A＝{x|(x－1)2<3x＋7，x①R}，则集合A∩Z中有________个元素．7．不等式－1<x2＋2x－1≤2的解集是________．8．解关于x的不等式：x2＋(1－a)x－a<0.9．解不等式：x 2－3|x |＋2≤0.能力练综合应用核心素养10．若0<t <1，则关于x 的不等式(t －x )(x －1t)>0的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1t <x <tB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >1t 或x <tC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <1t 或x >tD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |t <x <1t11．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6， x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)①(3，＋∞)B ．(－3,1)①(2，＋∞)C ．(－1,1)①(3，＋∞)D ．(－∞，－3)①(1,3)12．不等式x 2－px －q <0的解集是{x |2<x <3}，则不等式qx 2－px －1>0的解是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <－12或x >－13 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x <－13 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13<x <12 D.{}x | x <2或x >3 13．已知x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解，则k 的取值范围是______________．14．方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0的两根都是负数，则m 的取值范围为________．15．若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2>0的解集为{x |1<x <m }，则a ＝________，m ＝________. 16．若不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－13≤x ≤2，求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a <0的解集．17．解关于x 的不等式ax 2－2(a ＋1)x ＋4>0.【参考答案】1. A 解析 ①M ＝{x |x 2－3x －28≤0}＝{x |－4≤x ≤7}，N ＝{x |x 2－x －6>0}＝{x |x <－2或x >3}，①M ∩N ＝{x |－4≤x <－2或3<x ≤7}．2. D 解析由题意知，－b a ＝1，ca ＝－2，①b ＝－a ，c ＝－2a ，又①a <0，①x 2－x －2≤0，①－1≤x ≤2.3. D 解析由方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为2，－1，知函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的零点为2，－1，又①a <0，①函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象是开口向下的抛物线，①不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为{x |－1≤x ≤2}．4. A 解析由题意，知a >0，且1是ax －b ＝0的根，所以a ＝b >0，所以(ax ＋b )(x －3)＝a (x ＋1)(x －3)>0，所以x <－1或x >3，因此原不等式的解集为{x |x <－1或x >3}．5. B 解析因为不等式的解集为{x |－2<x <1}，所以a <0，排除C 、D ；又与坐标轴交点的横坐标为－2,1，故选B.6. 6 解析由(x －1)2<3x ＋7，解得－1<x <6，即A ＝{x |－1<x <6}，则A ∩Z ＝{0,1,2,3,4,5}，故A ∩Z 共有6个元素．7. {x |－3≤x <－2或0<x ≤1} 解析 ①⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3≤0，x 2＋2x >0，①－3≤x <－2或0<x ≤1.8. 解方程x 2＋(1－a )x －a ＝0的解为x 1＝－1，x 2＝a .函数y ＝x 2＋(1－a )x －a 的图象开口向上，所以(1)当a <－1时，原不等式解集为{x |a <x <－1}； (2)当a ＝－1时，原不等式解集为①； (3)当a >－1时，原不等式解集为{x |－1<x <a }． 9. 解原不等式等价于|x |2－3|x |＋2≤0，即1≤|x |≤2.当x ≥0时，1≤x ≤2；当x <0时，－2≤x ≤－1. ①原不等式的解集为{x |－2≤x ≤－1或1≤x ≤2}．10. D 解析 ①0<t <1，①1t >1，①1t >t .①(t －x )(x －1t )>0①(x －t )(x －1t )<0①t <x <1t .11. A 解析 f (1)＝12－4×1＋6＝3，当x ≥0时，x 2－4x ＋6>3，解得x >3或0≤x <1；当x <0时，x ＋6>3，解得－3<x <0. 所以f (x )>f (1)的解集是(－3,1)①(3，＋∞)．12. B [解析] 易知方程x 2－px －q ＝0的两个根是2,3.由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋3＝p ，2×3＝－q ，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝5，q ＝－6，不等式qx 2－px －1>0为－6x 2－5x －1>0，解得－12<x <－13.13. k ≤2或k ≥4 解析 x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解，把x ＝1代入不等式得k 2－6k ＋8≥0，解得k ≥4或k ≤2.14. {m |m ≥9} 解析 ①⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(m －3)2－4m ≥0，x 1＋x 2＝3－m <0，x 1x 2＝m >0，①m ≥9.15. －3 －3 解析可知1，m 是方程ax 2－6x ＋a 2＝0的两个根，且a <0， ①⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＝6a 1×m ＝a解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3m ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2m ＝2(舍去)． 16.解由ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－13≤x ≤2，知a <0，且关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根分别为－13，2，①⎩⎨⎧－13＋2＝－b a－13×2＝c a，①b ＝－53a ，c ＝－23a .所以不等式cx 2－bx ＋a <0可变形为⎝⎛⎭⎫－23a x 2－⎝⎛⎭⎫－53a x ＋a <0，即2ax 2－5ax －3a >0. 又因为a <0，所以2x 2－5x －3<0，所以所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x <3.17.解 (1)当a ＝0时，原不等式可化为－2x ＋4>0，解得x <2，所以原不等式的解集为{x |x <2}．(2)当a >0时，原不等式可化为(ax －2)(x －2)>0，对应方程的两个根为x 1＝2a，x 2＝2.①当0<a <1时，2a >2，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >2a ，或x <2；①当a ＝1时，2a＝2，所以原不等式的解集为{x |x ≠2}；①当a >1时，2a <2，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >2，或x <2a . (3)当a <0时，原不等式可化为(－ax ＋2)(x －2)<0，对应方程的两个根为x 1＝2a ，x 2＝2，则2a<2，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2a<x <2. 综上，a <0时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2a<x <2； a ＝0时，原不等式的解集为{x |x <2}；0<a ≤1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >2a，或x <2；当a >1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >2，或x <2a2.3 第2课时一元二次不等式的应用基础练巩固新知夯实基础1．不等式x ＋5(x －1)2≥2的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －3≤x ≤12 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12≤x ≤3C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 12≤x <1或1<x ≤3 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12≤x ≤3且x ≠1 2．不等式4x ＋23x －1>0的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x >13或x <－12 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | －12<x <13C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x >13 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x <－123．不等式2－xx ＋1<1的解集是( )A ．{x |x >1}B ．{x |－1<x <2} C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x <－1或x >12 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | －1<x <124．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝①，则实数a 的值的集合是( )A ．{a |0<a <4}B ．{a |0≤a <4}C ．{a |0<a ≤4}D ．{a |0≤a ≤4}5．若关于x 的不等式x 2－4x －m ≥0对任意x ①(0,1]恒成立，则m 的最大值为 ( )A ．1B ．－1C ．－3D ．36．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m)的取值范围是( )A ．15≤x ≤30B ．12≤x ≤25C ．10≤x ≤30D ．20≤x ≤307．若关于x 的不等式x －a x ＋1>0的解集为(－∞，－1)①(4，＋∞)，则实数a ＝________.8.若不等式x 2＋mx ＋1>0的解集为R ，则m 的取值范围是__________．9．解下列分式不等式：(1)x ＋12x －3≤1； (2)2x ＋11－x <0.10. 当a 为何值时，不等式(a 2－1)x 2－(a －1)x －1<0的解集为R?能力练综合应用核心素养11．不等式x 2－2x －2x 2＋x ＋1<2的解集为( )A ．{x |x ≠－2}B ．RC ．①D ．{x |x <－2或x >2}12．若不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x的解集为R，则实数m的取值范围是()A．(－2,2) B．(－2,2]C．(－∞，－2)①[2，＋∞) D．(－∞，2)13．对任意a①[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是() A．1<x<3 B．x<1或x>3C．1<x<2 D．x<1或x>214．在R上定义运算①：x①y＝x(1－y)．若不等式(x－a)①(x＋a)<1对任意的实数x都成立，则a的取值范围是________.15．已知2≤x≤3时，不等式2x2－9x＋a<0恒成立，则a的取值范围为________．16．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两个正实根，则m的取值范围是________．17．已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的取值范围．18．某地区上年度电价为0.8元/kW·h，年用电量为a kW·h，本年度计划将电价降低到0.55元/kW·h至0.75元/kW·h之间，而用户期望电价为0.4元/kW·h.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k)．该地区电力的成本价为0.3元/kW·h.(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；(2)设k＝0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%?注：收益＝实际用电量×(实际电价－成本价)．【参考答案】1. D 解析①原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋5≥2(x －1)2，x ≠1，①⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－5x －3≤0，x ≠1，①⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤3，x ≠1，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12≤x ≤3且x ≠1. 2. A 解析4x ＋23x －1>0①(4x ＋2)(3x －1)>0①x >13或x <－12，此不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x >13或x <－12.3. C 解析原不等式等价于2－x x ＋1－1<0①1－2x x ＋1<0①(x ＋1)·(1－2x )<0①(2x －1)(x ＋1)>0，解得x <－1或x >12.4. D 解析 a ＝0时符合题意，a >0时，相应二次方程中的Δ＝a 2－4a ≤0，得{a |0<a ≤4}，综上得{a |0≤a ≤4}.5. C 解析由已知可得m ≤x 2－4x 对一切x ①(0,1]恒成立，又f (x )＝x 2－4x 在(0,1]上为减函数，①f (x )min ＝f (1)＝－3，①m ≤－3.6. C 解析设矩形的另一边长为y m ，则由三角形相似知，x 40＝40－y40，①y ＝40－x ，①xy ≥300，①x (40－x )≥300，①x 2－40x ＋300≤0，①10≤x ≤30. 7. 4 解析x －ax ＋1>0①(x ＋1)(x －a )>0 ①(x ＋1)(x －4)>0，①a ＝4. 8. －2<m <2 解析由题意知，不等式x 2＋mx ＋1>0对应的函数的图象在x 轴的上方，所以Δ＝(m )2－4×1×1<0，所以－2<m <2.9. 解 (1)①x ＋12x －3≤1，①x ＋12x －3－1≤0，①－x ＋42x －3≤0，即x －4x －32≥0.此不等式等价于(x －4)⎝⎛⎭⎫x －32≥0且x －32≠0，解得x <32或x ≥4.①原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <32或x ≥4. (2)由2x ＋11－x <0得x ＋12x －1>0，此不等式等价于⎝⎛⎭⎫x ＋12(x －1)>0，解得x <－12或x >1， ①原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－12或x >1.10.解 ①当a 2－1＝0时，a ＝1或－1.若a ＝1，则原不等式为－1<0，恒成立．若a ＝－1，则原不等式为2x －1<0即x <12，不合题意，舍去．①当a 2－1≠0时，即a ≠±1时，原不等式的解集为R 的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1<0，Δ＝[－a －1]2＋4a 2－1<0.解得－35<a <1.综上a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－35，1. 11. A 解析①x 2＋x ＋1>0恒成立，①原不等式①x 2－2x －2<2x 2＋2x ＋2①x 2＋4x ＋4>0①(x ＋2)2>0，①x ≠－2. ①不等式的解集为{x |x ≠－2}．12. B 解析 ①mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x ， ①(2－m )x 2＋(4－2m )x ＋4>0.当m ＝2时，4>0，x ①R ；当m <2时，Δ＝(4－2m )2－16(2－m )<0，解得－2<m <2.此时，x ①R . 综上所述，－2<m ≤2.13. B 解析设g (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)，g (a )>0恒成立且a ①[－1,1]①⎩⎪⎨⎪⎧ g1＝x 2－3x ＋2>0g－1＝x 2－5x ＋6>0①⎩⎪⎨⎪⎧x <1或x >2x <2或x >3①x <1或x >3. 14. －12 <a <32 解析根据定义得(x －a )①(x ＋a )＝(x －a )[1－(x ＋a )]＝－x 2＋x ＋a 2－a ，又(x －a )①(x ＋a )<1对任意的实数x 都成立，所以x 2－x ＋a ＋1－a 2>0对任意的实数x 都成立，所以Δ<0，即1－4(a ＋1－a 2)<0，解得－12<a <32.15. a <9 解析 ①当2≤x ≤3时，2x 2－9x ＋a <0恒成立，①当2≤x ≤3时，a <－2x 2＋9x 恒成立．令y ＝－2x 2＋9x .①2≤x ≤3，且对称轴方程为x ＝94，①y min ＝9，①a <9.①a 的取值范围为a <9.16. (0,1] 解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m －32－4m ≥0x 1＋x 2＝3－m ＞0x 1x 2＝m ＞0，解得0＜m ≤1.17. 解设f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1，根据题意，画出示意图由图分析可得，m 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ f 0＝2m ＋1<0f －1＝2>0f 1＝4m ＋2<0f 2＝6m ＋5>0解得－56<m <－12. 18. 解(1)设下调后的电价为x 元/kW·h ，依题意知，用电量增至k x －0.4＋a ，电力部门的收益为y ＝⎝⎛⎭⎫k x －0.4＋a (x －0.3)(0.55≤x ≤0.75)．(2)依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫0.2ax －0.4＋a (x －0.3)≥[a ×(0.8－0.3)](1＋20%)，0.55≤x ≤0.75.整理，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－1.1x ＋0.3≥0，0.55≤x ≤0.75.解此不等式，得0.60≤x ≤0.75.①当电价最低定为0.60元/kW·h 时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%.。

高中物理必修一第二章习题（含答案）

⾼中物理必修⼀第⼆章习题（含答案）练习2.1-1 ⼀、选择题1．质量都是m 的物体在⽔平⾯上运动，则在下图所⽰的运动图像中表明物体做匀速直线运动的图像的是（）2．⼀枚⾃制的⼩⽕箭由地⾯竖直向上发射时的v-t 图象如图所⽰，、则⽕箭上升到最⾼点的位置对应图中的 A ．O 点 B ．A 点 C ．B 点 D.C 点 3．甲⼄两车从平直公路上的同⼀处向同⼀⽅向运动，其速度图像如图所⽰，则：A.开始阶段甲车在⼄车的前⾯，20秒后⼄车⽐甲车的速度⼤B.开始阶段⼄车在甲车的前⾯，20秒后⼄车⽐甲车的速度⼤C.20秒末⼄车追上甲车D.在某⼀时刻⼄车会追上甲车4．有⼀物体作直线运动，其速度图线如图所⽰。

那么，物体的加速度和速度⽅向相同的时间间隔t 为A ．只有0B ．只有2sC ．0D ．05．在同⼀直线上运动的物体A 和B 的v-t 图如下图所⽰，则由图可得A.A 和B 的运动⽅向相反B.A 和B 的加速度⽅向相同C.A 的加速度⽐B 的加速度⼩D.A 的初速度⽐B 的初速度⼩6．某物体运动的v-t 图像如图所⽰，下列说法中正确的是A ．物体在1s 末和3s 末时运动⽅向发⽣变化B ．物体在2s 末回到出发点C ．物体在2s 末和4s 末时速度为零D ．物体始终向前运7．如右图所⽰，横坐标是时间，下⾯说法正确的是A.若纵坐标表⽰位移，图像中物体⼀定做匀速直线运动B.若纵坐标表⽰速度，图像中物体⼀定做匀速直线运动C.若纵坐标表⽰位移，图像中直线的斜率就是物体的运动速度D.若纵坐标表⽰速度，图像中直线的斜率就是物体的运动加速度⼆、填空题8．电磁或电⽕花打点计时器是⼀种使⽤______（填交流电或直流电）电的计时仪器，当电源频率是50Hz时，它每隔 _____时间打⼀次点。

9．如图所⽰甲、⼄两物体运动的速度图象，由图可知⼄物体运动的初速度是 m/s,加速度是m/s2,经s钟的时间，它们的速度⼤⼩相同。

10．汽车运动的速度-时间图像如下图所⽰，则汽车在50s末的加速度是_________m/s2，在20s末的加速度是_________m/s2，200s内的平均速度是_______m/s。

高中数学第二章2.2对数函数2.2.1对数与对数运算第1课时对数练习(含解析)新人教版必修1

2.2.1 对数与对数运算第一课时对数1.有下列说法:①零和负数没有对数;②任何一个指数式都可以化成对数式;③以10为底的对数叫做常用对数;④=-5成立.其中正确命题的个数为( B )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:②错误,如(-1)2=1,不能写成对数式;④错误,log3(-5)没有意义.2.有以下四个结论:①lg(lg 10)=0;②ln(ln e)=0;③若10=lg x,则x=100;④若e=ln x,则x=e2.其中正确的是( C )(A)①③ (B)②④ (C)①② (D)③④解析:lg(lg 10)=lg 1=0,①正确;ln(ln e)=ln 1=0,②正确;10=lg x得x=1010,③错误;e=ln x,x=e e,④错误.故选C.3.已知log x9=2,则x的值为( B )(A)-3 (B)3 (C)±3 (D)解析:由log x9=2得x2=9,又因为x>0且x≠1,所以x=3.故选B.4.若log a=c,则下列各式正确的是( A )(A)b=a5c (B)b=c5a (C)b=5a c(D)b5=a c解析:由log a=c得a c=,所以b=a5c.故选A.5.已知log a=m,log a3=n,则a m+2n等于( D )(A)3 (B)(C)9 (D)解析:由已知得a m=,a n=3.所以a m+2n=a m×a2n=a m×(a n)2=×32=.故选D.6.已知log7[log3(log2x)]=0,那么等于( D )(A)(B)(C)(D)解析:由题知log3(log2x)=1,则log2x=3,解得x=8,所以===.故选D.7.已知f(2x+1)=,则f(4)等于( B )(A)log25 (B)log23(C)(D)解析:令2x+1=4,得x=log23,所以f(4)=log23,选B.8.已知x2+y2-4x-2y+5=0,则log x(y x)的值是( B )(A)1 (B)0 (C)x (D)y解析:x2+y2-4x-2y+5=0,则(x-2)2+(y-1)2=0,所以x=2,y=1.log x(y x)=log212=0.故选B.9.已知对数式log(a-2)(10-2a)(a∈N)有意义,则a= .解析:由对数定义知得2<a<5且a≠3,又因为a∈N,所以a=4.答案:410.方程log2(1-2x)=1的解x= .解析:因为log2(1-2x)=1=log22,所以1-2x=2,所以x=-.经检验满足1-2x>0. 答案:-11.已知=,则x= .解析:由已知得log2x=log9=log9=-,所以x==.答案:12.若f(10x)=x,则f(3)= .解析:令10x=3,则x=lg 3,所以f(3)=lg 3.答案:lg 313.计算下列各式:(1)10lg 3-(+e ln 6;(2)+.解:(1)原式=3-()0+6=3-1+6=8.(2)原式=22÷+3-2·=4÷3+×6=+=2.14.(1)已知10a=2,10b=3,求1002a-b的值; (2)已知log4(log5a)=log3(log5b)=1,求的值.解:(1)1002a-b=104a-2b===.(2)由题得log5a=4,log5b=3,则a=54,b=53,所以==5.15.(1)求值:0.1-2 0150+1+; (2)解关于x的方程(log2x)2-2log2x-3=0.解:(1)原式=0.-1++=()-1-1+23+=-1+8+=10.(2)设t=log2x,则原方程可化为t2-2t-3=0,(t-3)(t+1)=0,解得t=3或t=-1,所以log2x=3或log2x=-1,所以x=8或x=.16.()的值为( C )(A)6 (B)(C)8 (D)解析:()=()-1·()=2×4=8.故选C.17.若a>0,=,则lo a等于( B )(A)2 (B)3 (C)4 (D)5解析:因为=,a>0,所以a=()=()3,则lo a=lo()3=3.故选B.18.计算:lo(+)= .解析:因为(-)·(+)=n+1-n=1,所以+=(-)-1,所以原式=-1.答案:-119.已知log x27=,则x的值为.解析:log x27==3·=3×2=6,所以x6=27,所以x6=33,又x>0,所以x=. 答案:20.设x=,y=(a>0且a≠1),求证:z=.证明:由已知得log a x=,①log a y=, ②将②式代入①式,得log a z=, 所以z=.。

高中化学同步练习必修1：2.2.1氯气的性质作业

氯气的性质(40分钟70分)一、选择题(本题包括12小题,每小题3分,共36分)1.烟是由固体小颗粒分散到空气中形成的分散系。

下列反应中,能产生白烟的是( )A.铜在氯气中燃烧B.钠在氯气中燃烧C.氢气在氯气中燃烧D.氢气在氧气中燃烧【解析】选B。

化学反应中能产生白烟的现象说明有白色固体生成,A项虽有固体产生但不是白色;C项无固体生成,生成的氯化氢在瓶口有白雾现象。

2.生活中难免会遇到一些突发事件,我们要善于利用学过的知识,采取科学、有效的方法保护自己。

如果发生了氯气泄漏,以下自救得当的是( )A.用湿毛巾或蘸有肥皂水的毛巾捂住口鼻撤退B.向地势低的地方撤离C.观察风向,顺风撤离D.在室内放一盆水【解析】选A。

因肥皂水显弱碱性,可以吸收氯气,A正确;氯气的密度大于空气,故应向地势高的地方跑,B错误;逆风跑,才可以脱离氯气的笼罩,C错误;氯气与水反应,其速度慢且反应不充分,D错误。

3.下列现象不属于H2在Cl2中燃烧现象的是( )A.苍白色火焰B.瓶口有白雾C.集气瓶内气体颜色变浅D.爆炸【解析】选D。

H2在Cl2中燃烧,发出苍白色火焰,瓶口因生成的HCl吸收空气中的H2O形成盐酸小液滴而形成白雾,瓶内气体颜色因Cl2的消耗而变浅,但不发生爆炸。

4.下列氯化物既能由金属和氯气直接化合制得,又能由金属和盐酸反应制得的是( )A.CuCl2B.FeCl2C.NaClD.FeCl3【解析】选C。

A项,铜与盐酸不反应,错误;B项,铁与氯气反应生成氯化铁,与盐酸反应生成氯化亚铁,错误;C项,钠与氯气或盐酸反应均生成氯化钠,正确;D项,根据B中分析可知D错误。

5.下列物质中,同时含有氯气分子和氯离子的是( )A.氯水B.液态氯化氢C.液氯D.氯酸钾溶液【解析】选A。

氯气能与水反应生成盐酸和次氯酸,氯水中含有氯气分子、次氯酸分子、氢离子、氯离子、次氯酸根离子等微粒;液态氯化氢由氯化氢分子构成,不含氯分子、氯离子;液氯是液态氯分子,不含氯离子;氯酸钾能电离出钾离子和氯酸根离子(Cl),不存在氯分子、氯离子。

人教版高一数学上册必修一第二章同步练习题课后练习题含答案解析及章知识点总结

2.1 等式性质与不等式性质第1课时不等关系与不等式基础练巩固新知夯实基础 1.若某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120 km/h ，行驶过程中，同一车道上的车间距d 不得小于10 m ，则用不等式表示为( ) A ．v ≤120 km/h 或d ≥10 mB ．⎩⎪⎨⎪⎧v ≤120 km/h ，d ≥10 mC ．v ≤120 km/hD ．d ≥10 m2.若x <y <0，设M ＝(x 2＋y 2)(x －y )，N ＝(x 2－y 2)(x ＋y )，则( ) A ．M >N B ．M <N C ．M ≤ND ．M ≥N3.若y 1＝3x 2－x ＋1，y 2＝2x 2＋x －1，则y 1与y 2的大小关系是( ) A ．y 1<y 2 B ．y 1＝y 2C ．y 1>y 2D ．随x 值变化而变化4.(多选题)下列不等式恒成立的是( ) A ．a 2＋2>2a B ．a 2＋1>2a C ．a 2＋b 2≥2(a －b －1)D ．a 2＋b 2>ab 5.完成一项装修工程，请木工需付工资每人400元，请瓦工需付工资每人500元，现有工人工资预算不超过20 000元．设木工x 人，瓦工y 人，则工人满足的关系式是( )A ．4x ＋5y ≤200B ．4x ＋5y <200C ．5x ＋4y ≤200D ．5x ＋4y <2006.已知两实数a ＝－2x 2＋2x －10，b ＝－x 2＋3x －9，a ，b 分别对应数轴上两点A ，B ，则点A 在点B 的 (填“左边”或“右边”)．7.比较2x 2＋5x ＋3与x 2＋4x ＋2的大小．8.已知a >b >c >0，试比较a －c b 与b －c a 的大小；能力练综合应用核心素养9.已知三角形的任意两边之和大于第三边，设△ABC 的三边长为a ，b ，c ，将上述文字语言用不等式(组)可表示为( ) A ．a ＋b >cB ．⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b >c a ＋c >bC ．⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ≥bb ＋c ≥aD ．⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b >c a ＋c >bb ＋c >a10.不等式a 2+1≥2a 中等号成立的条件是( )A.a=±1B.a=1C.a=-1D.a=011.下列不等式:△a 2+3>2a ;△a 2+b 2>2(a -b -1);△x 2+y 2>xy.其中恒成立的不等式的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 12.(多选题)若x <a <0，则下列不等式不一定成立的是( ) A ．x 2<ax <a 2 B ．x 2>ax >a 2 C ．x 2<a 2<axD ．x 2>a 2>ax13.已知b 克糖水中有a 克糖(b >a >0)，若再添上m 克糖(m >0)，则糖水就变甜了，试根据此事实提炼一个不等式，当b >a >0且m >0时， .14.已知|a |<1，则11＋a与1－a 的大小关系为 .15.用一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长为18 m,靠墙的一边长为x m . (1)若要求菜园的面积不小于110 m 2,试用不等式组表示其中的不等关系; (2)若矩形的长、宽都不能超过11 m,试求x 满足的不等关系.16.已知x <1，比较x 3－1与2x 2－2x 的大小．【参考答案】1.B 解析：考虑实际意义，知v ≤120 km/h ，且d ≥10 m.2.A 解析：M －N ＝(x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y )＝(x －y )[x 2＋y 2－(x ＋y )2]＝－2xy (x －y )，又△x <y <0，△xy >0，x －y <0，△－2xy (x －y )>0，△M >N .3. C 解析：y 1－y 2＝(3x 2－x ＋1)－(2x 2＋x －1)＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1>0，所以y 1>y 2.故选C.4.AC 解析：对于A ，a 2＋2－2a ＝(a －1)2＋1>0，故A 成立；对于B ，因a 2＋1－2a ＝(a －1)2≥0，故B 不成立；对于C ，a 2＋b 2－2a ＋2b ＋2＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0，故C 成立；对于D ，a 2＋b 2－ab ＝(a －b 2)2＋34b 2≥0，故D 不成立，故选AC ．5.A 解析：由题意，可得400x ＋500y ≤20 000，化简得4x ＋5y ≤200，故选A ．6.左边解析：△a －b ＝－2x 2＋2x －10－(－x 2＋3x －9)＝－2x 2＋2x －10＋x 2－3x ＋9 ＝－x 2－x －1＝－(x ＋12)2－34<0，△a 0，所以(2x 2＋5x ＋3)－(x 2＋4x ＋2)>0，所以2x 2＋5x ＋3>x 2＋4x ＋2. 8.解：a －c b －b －c a＝aa －c －b b －cab＝a 2－ac －b 2＋bc ab ＝a 2－b 2－a －bc ab＝a －ba ＋b －cab.因为a >b >c >0，所以a －b >0，ab >0，a ＋b －c >0.所以a －ba ＋b －c ab >0，即a －c b >b －ca.9.D 解析：由三角形三边关系及题意易知选D ． 10.B11.B 解析：∵a 2+3-2a=(a -1)2+2>0,∵a 2+3>2a ,即△正确; ∵a 2+b 2-2(a -b -1)=(a -1)2+(b+1)2≥0,∵△错误; ∵x 2+y 2-xy=(x -y 2)2+34y 2≥0,∵△错误,选B .12.ACD 解析：△x 2－ax ＝x (x －a )>0，△x 2>ax .又ax －a 2＝a (x －a )>0，△ax >a 2，△x 2>ax >a 2，故选项B 一定成立，故选ACD ．13.a ＋m b ＋m >a b 解析：变甜了，意味着含糖量大了，即浓度高了，所以当b >a >0且m >0时，a ＋m b ＋m >a b . 14. 11＋a ≥1－a 解析：由|a |<1，得－1<a <1.△1＋a >0,1－a >0.△11＋a 1－a ＝11－a 2.15.(1)因为矩形菜园靠墙的一边长为x m,而墙长为18m,所以0<x ≤18,这时菜园的另一边长为30-x2=(15-x2)(m).所以菜园的面积S=x ·(15-x2),依题意有S ≥110,即x (15-x2)≥110,故该题中的不等关系可用不等式组表示为{0<x ≤18,x (15-x 2)≥110.(2)因为矩形的另一边长15-x2≤11,所以x ≥8,又0<x ≤18,且x ≤11,所以8≤x ≤11. 16.解析：x 3－1－(2x 2－2x )＝x 3－2x 2＋2x －1 ＝(x 3－x 2)－(x 2－2x ＋1)＝x 2(x －1)－(x －1)2 ＝(x －1)(x 2－x ＋1)＝(x －1)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －122＋34. △x <1，△x －1<0.又⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0， △(x －1)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －122＋34<0， △x 3－1<2x 2－2x .2.1 第2课时等式性质与不等式性质基础练巩固新知夯实基础1.下列运用等式的性质，变形不正确的是( )A ．若x ＝y ，则x ＋5＝y ＋5B ．若a ＝b ，则ac ＝bcC ．若a c ＝bc，则a ＝bD ．若x ＝y ，则x a ＝ya2.若1a <1b<0，则下列结论中不正确的是( )A ．a 2|a ＋b | 3.已知a >b >0，则下列不等式一定成立的是( )A ．a ＋1b >b ＋1aB ．a ＋1a ≥b ＋1bC ．b a >b ＋1a ＋1D ．b －1b >a －1a4.(多选题)下列说法中正确的是( )A ．若a >b ，则a c 2＋1>bc 2＋1B ．若－2<a <3,1b >0，m >0，则m a <mbD ．若a >b ，c >d ，则ac >bd5.已知三个不等式△ab >0；△c a >db；△bc >ad .若以其中的两个作为条件，余下的一个作为结论，则可以组成________个正确命题．6.已知1<α<3，－4< β <2，若z ＝12α－β，则z 的取值范围是________．7.已知a >b ，1a <1b，求证：ab >0.8.已知－2<a ≤3，1≤b <2，试求下列代数式的取值范围． (1)|a |； (2)a ＋b ； (3)a －b ； (4)2a －3b .能力练综合应用核心素养9.设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式恒成立的是( ) A ．ab >bc B ．ac >bc C ．ab >ac D ．a |b |>c |b | 10.(多选题)设0bc －3，则a >b ； ③若a >b 且k ∈N ＋，则a k >b k ； ④若c >a >b >0，则a c －a >bc －b .其中正确命题的序号是____.13.实数a ，b ，c ，d 满足下列三个条件：△d >c ；△a ＋b ＝c ＋d ；△a ＋d b >0，c <d <0，比较b a －c 与ab －d 的大小．16.已知1≤a －b ≤2,2≤a ＋b ≤4，求4a －2b 的取值范围．【参考答案】1.D 解析：对于选项A ，由等式的性质3知，若x ＝y ，则x ＋5＝y ＋5，正确；对于选项B ，由等式的性质4知，若a ＝b ，则ac ＝bc ，正确；对于选项C ，由等式的性质4知，若a c ＝bc ，则a ＝b ，正确；对于选项D ，若x ＝y ，则x a ＝ya的前提条件为a ≠0，故此选项错误．2.D 解析：△1a <1b <0，△b <a <0，△b 2>a 2，ab b >0，所以1b >1a >0，所以a ＋1b >b ＋1a，故选A.4.AC 解析：对于A ，∵c 2＋1>0，∴1c 2＋1>0，∵a >b ，∴a c 2＋1>bc 2＋1，故A 正确；对于B ，因为1b >0，所以1a <1b ，又因为m >0，所以m a <mb ，故C 中说法正确；对于D ，只有当a >b >0，c >d >0时，才有ac >bd ，故D 中说法错误，故选AC ．5. 3 解析：△△△△，△△△△.(证明略)由△得bc －ad ab>0，又由△得bc －ad >0.所以ab >0△△.所以可以组成3个正确命题．6. ⎩⎨⎧⎭⎬⎫z ⎪⎪－32<z <112 解析：△1<α<3，△12<12α<32，又－4<β<2，△－2<－β<4.△－32<12α－β<112，即－32<z <112. 7.证明：△1a <1b ，△1a －1b <0，即b －a ab <0，而a >b ，△b －a <0，△ab >0. 8. 解：(1)|a |△[0，3]．(2)－1<a ＋b <5.(3)依题意得－2<a ≤3，－2<－b ≤－1，相加得－4<a －b ≤2；(4)由－2<a ≤3得－4<2a ≤6，△由1≤b <2得－6<－3b ≤－3，△由△＋△得，－10<2a －3b ≤3. 9. C 解析：选C.因为a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，所以a >0，c <0，b 可正、可负、可为零．由b >c ，a >0知，ab >ac .10.ABD 解析：取a ＝12，b ＝13验证可得A ，B ，D 不正确．11. D 解析：由a ＞0，d ＜0，且abcd ＜0，知bc ＞0，又△b ＞c ，△0＜c ＜b 或c ＜b ＜0. 12.④ 解析：①当ab <0时，c a <cb 不成立，故①不正确；②当c <0时，a b >0⇒－a <－b <0⇒0<c －a <c －b ，两边同乘以1(c －a )(c －b )，得0<1c －b <1c －a，又a >b >0，∴a c －a >bc －b，故④正确．13. a <c <d －d >0. 又a >b >0， ∴a －c >b －d >0， ∴1b －d >1a －c>0，又a >b >0，∴a b －d >ba －c.16.解：令4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )，△⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，－m ＋n ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.又△1≤a －b ≤2，△3≤3(a －b )≤6，又△2≤a ＋b ≤4，△5≤3(a －b )＋(a ＋b )≤10，即5≤4a －2b ≤10. 故4a －2b 的取值范围为5≤4a －2b ≤10.2.2 基本不等式1．已知0a ≥，0b ≥，且2a b +=，则（）A ．12ab ≤B ．12ab ≥C ．222a b +≥D ．223a b +≤2．设0a >，0b >，若3是3a 与3b 的等比中项，则11a b+的最小值为（） A ．8 B ．4 C ．1 D ．143．已知()110m a a a=++>，()31x n x =<，则m ，n 之间的大小关系是（） A ．m n > B ．m n < C ．m n = D ．m n ≤ 4．已知0a >，0b >，则112ab a b++的最小值为（） A ．2 B ．22C ．4D ．55．已知0a >，0b >，2a b +=，则14y a b=+的最小值是（） A ．72B ．4C ．92D ．56．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为8x天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（）A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件7．已知54x <，则函数1445y x x =+-的最大值为___________．8．设点(),P x y 在直线1x y +=位于第一象限内的图象上运动，则22log log x y +的最大值是________． 9．设0a >，0b >，且不等式110k a b a b++≥+恒成立，则实数k 的最小值为___________． 10．函数()log 31a y x =+-（0a >，1a ≠）的图象恒过定点A ，若点A 在直线+1=0mx ny +上，其中0mn >，则12m n+的最小值为___________． 11．求()()2252log 01log f x x x x=++<<的最小值．12．住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EF GH构成的面积为2200m的十字形区域．现计划在正方形MNPQ上建一花坛，造价为4200元/2m，在四个相同的矩形上（如图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为210元/2m．m，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/2⑴设总造价为S元，AD的边长为xm，试建立S关于x的函数关系式；⑵计划至少要投入多少元，才能建造这个休闲小区？答案与解析1． C 解析：由2a b +=，得212a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，排除选项A ，B ．由22222a b a b ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，得222a b +≥． 2． B 解析：由题意，知333a b ⋅=，即33a b +=，故1a b +=．因为0a >，0b >，所以()1111a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭2224b a b aa b a b=++≥+⋅=，当且仅当a b =时，等号成立． 3． A 解析：因为0a >，所以111213m a a a a=++≥⋅+=，当且仅当1a =时，等号成立．又因为1x <，所以1333x n =<=，所以m n >．4． C 解析：1122a bab ab a b ab+++=+，因为0a >，0b >，所以2a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立．所以21222224a b ab ab ab ab ab ab ab +⎛⎫+≥+=+≥⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当1ab ab =时，等号成立．综上所述，1a b ==时，取等号． 5． C 解析：因为2a b +=，所以12a b+=，又因为0a >，0b >，所以14142a b y a b a b +⎛⎫=+=+⋅⎪⎝⎭52529222222a b a b b a b a ⎛⎫=++≥+= ⎪⎝⎭（当且仅当22a b b a =，即2b a =时，等号成立），故14a b+的最小值为92． 6． B 解析：设每件产品的平均费用为y 元，由题意，得80080022088x xy x x =+≥⋅=．当且仅当()80008xx x =>，即80x =时，等号成立．故选B ． 7． 3 解析：因为54x <，所以450x -<，所以540x ->．所以()1144554545y x x x x =+=-++--()()11545254535454x x x x⎡⎤=--++≤--⋅+=⎢⎥--⎣⎦当且仅当15454x x-=-，即1x =时，等号成立．故当1x =时，y 取最大值，即max 3y =． 8． 2- 解析：要求22log log x y +的最大值，即求()2log xy 的最大值，应先求xy 的最大值．显然当12x y ==时，xy 的最大值为14，故22log log x y +的最大值为2-． 9． 4- 解析：由0a >，0b >，110ka b a b++≥+，得()2a b k ab +≥-．又因为()224a b b a ab a b +=++≥（a b =时，取等号），所以()24a b ab+-≤-．因此要使()2a b k ab+≥-恒成立，应有4k ≥-，即实数k 的最小值为4-．10．8 解析：因为()log 31a y x =+-恒过点()2,1--，所以()2,1A --．因为A 在直线上，所以210m n --+=，即21m n +=．又因为0mn >，所以0m >，0n >．又因为122m n m n m ++=42m nn++4224248n m m n =+++≥+=，当12n =，14m =时，等号成立，所以12m n +的最小值为8． 11．解：因为01x <<，所以2log 0x <，所以2log 0x ->，250log x->．所以()()222255log 2log log log x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-≥--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭25=，即225log 25log x x ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭．所以225log 25log x x +≤-．所以()2252log 225log f x x x =++≤-，当且仅当225log log x x =，即512x =时，等号成立．所以()max 225f x =-．12．解：⑴设DQ y =，则24200x xy +=，22004x y x -=．221420021048042S x xy y =+⨯+⨯⨯()224000003800040000102x x x=++<< ． ⑵2824000003800040003800021610118000S x x =++≥+⨯=，当且仅当224000004000x x =，即10x =时，min 118000S =，即计划至少要投入11.8万元才能建造2.3 第2课时一元二次不等式的应用基础练巩固新知夯实基础1.不等式4x ＋23x －1>0的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x >13或x <－12 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | －12<x <13C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x >13D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x <－12 2.若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的值的集合是 ( ) A ．{a |0<a <4} B ．{a |0≤a <4} C ．{a |0<a ≤4}D ．{a |0≤a ≤4}3.若关于x 的不等式x 2－4x －m ≥0对任意x △(0,1]恒成立，则m 的最大值为 ( )A ．1B ．－1C ．－3D ．34.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m)的取值范围是( ) A ．15≤x ≤30 B ．12≤x ≤25 C ．10≤x ≤30 D ．20≤x ≤305.若关于x 的不等式x －a x ＋1>0的解集为(－∞，－1)△(4，＋∞)，则实数a ＝________.6.若不等式x 2＋mx ＋1>0的解集为R ，则m 的取值范围是__________．7.解下列分式不等式： (1)x ＋12x －3≤1； (2)2x ＋11－x<0.8.当a 为何值时，不等式(a 2－1)x 2－(a －1)x －1<0的解集为R?能力练综合应用核心素养9.不等式x 2－2x －2x 2＋x ＋1<2的解集为( )A ．{x |x ≠－2}B ．RC ．△D ．{x |x <－2或x >2}10.若不等式mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x 的解集为R ，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－2,2)B ．(－2,2]C ．(－∞，－2)△[2，＋∞)D ．(－∞，2)11.下列结论错误的是 ( )A.若方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2+bx +c >0的解集为RB.不等式ax 2+bx +c =0≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ=b 2-4ac ≤0C.若关于x 的不等式ax 2+x -1≤0的解集为R ，则a ≤-D.不等式>1的解集为x <112.对任意a △[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是( ) A ．1<x <3B ．x <1或x >3C ．1<x <2D ．x <1或x >2 13.在R 上定义运算△：x △y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )△(x ＋a )<1对任意的实数x 都成立，则a 的取值范围是________.14.已知2≤x ≤3时，不等式2x 2－9x ＋a <0恒成立，则a 的取值范围为________．15.已知关于x 的一元二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的取值范围．16.某地区上年度电价为0.8元/kW·h ，年用电量为a kW·h ，本年度计划将电价降低到0.55元/kW·h 至0.75元/kW·h 之间，而用户期望电价为0.4元/kW·h.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k )．该地区电力的成本价为0.3元/kW·h.(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y 与实际电价x 的函数关系式；(2)设k ＝0.2a ，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%? 注：收益＝实际用电量×(实际电价－成本价)．【参考答案】1. A 解析：4x ＋23x －1>0△(4x ＋2)(3x －1)>0△x >13或x <－12，此不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x >13或x <－12.2.D 解析：a ＝0时符合题意，a >0时，相应二次方程中的Δ＝a 2－4a ≤0，得{a |0<a ≤4}，综上得{a |0≤a ≤4}.3.C 解析：由已知可得m ≤x 2－4x 对一切x △(0,1]恒成立，又f (x )＝x 2－4x 在(0,1]上为减函数，△f (x )min ＝f (1)＝－3，△m ≤－3.4.C 解析：设矩形的另一边长为y m ，则由三角形相似知，x 40＝40－y40，△y ＝40－x ，△xy ≥300，△x (40－x )≥300，△x 2－40x ＋300≤0，△10≤x ≤30.5. 4解析：x －ax ＋1>0△(x ＋1)(x －a )>0 △(x ＋1)(x －4)>0，△a ＝4.6.－2<m <2 解析：由题意知，不等式x 2＋mx ＋1>0对应的函数的图象在x 轴的上方，所以Δ＝(m )2－4×1×1<0，所以－2<m <2.7. 解 (1)△x ＋12x －3≤1，△x ＋12x －3－1≤0，△－x ＋42x －3≤0，即x －4x －32≥0.此不等式等价于(x －4)⎝⎛⎭⎫x －32≥0且x －32≠0，解得x <32或x ≥4.△原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <32或x ≥4. (2)由2x ＋11－x <0得x ＋12x －1>0，此不等式等价于⎝⎛⎭⎫x ＋12(x －1)>0，解得x <－12或x >1， △原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－12或x >1. 8.解 △当a 2－1＝0时，a ＝1或－1.若a ＝1，则原不等式为－1<0，恒成立．若a ＝－1，则原不等式为2x －1<0即x <12，不合题意，舍去．△当a 2－1≠0时，即a ≠±1时，原不等式的解集为R 的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1<0，Δ＝[－a －1]2＋4a 2－1<0.解得－35<a <1.综上a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－35，1. 9.A 解析：△x 2＋x ＋1>0恒成立，△原不等式△x 2－2x －2<2x 2＋2x ＋2△x 2＋4x ＋4>0△(x ＋2)2>0，△x ≠－2. △不等式的解集为{x |x ≠－2}．10.B 解析：△mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x ， △(2－m )x 2＋(4－2m )x ＋4>0.当m ＝2时，4>0，x △R ；当m <2时，Δ＝(4－2m )2－16(2－m )<0，解得－2<m <2.此时，x △R . 综上所述，－2<m ≤2.11.ABD 解析：A 选项中，只有a>0时才成立；B 选项当a=b=0，c≤0时也成立；D 选项x 是大于0的.12.B 解析：设g (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)，g (a )>0恒成立且a △[－1,1]△⎩⎪⎨⎪⎧g 1＝x 2－3x ＋2>0g －1＝x 2－5x ＋6>0△⎩⎪⎨⎪⎧x <1或x >2x <2或x >3△x <1或x >3. 13. －12<a <32 解析：根据定义得(x －a )△(x ＋a )＝(x －a )[1－(x ＋a )]＝－x 2＋x ＋a 2－a ，又(x －a )△(x ＋a )<1对任意的实数x 都成立，所以x 2－x ＋a ＋1－a 2>0对任意的实数x 都成立，所以Δ<0，即1－4(a ＋1－a 2)<0，解得－12<a <32.14. a <9 解析：△当2≤x ≤3时，2x 2－9x ＋a <0恒成立，△当2≤x ≤3时，a <－2x 2＋9x 恒成立．令y ＝－2x 2＋9x .△2≤x ≤3，且对称轴方程为x ＝94，△y min ＝9，△a <9.△a 的取值范围为a <9.15.解设f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1，根据题意，画出示意图由图分析可得， m 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧f 0＝2m ＋1<0f－1＝2>0f1＝4m ＋2<0f2＝6m ＋5>0解得－56<m <－12.16.解(1)设下调后的电价为x 元/kW·h ，依题意知，用电量增至kx －0.4＋a ，电力部门的收益为y ＝⎝⎛⎭⎫k x －0.4＋a(x －0.3)(0.55≤x ≤0.75)．(2)依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫0.2a x －0.4＋a (x －0.3)≥[a ×(0.8－0.3)](1＋20%)，0.55≤x ≤0.75.整理，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1.1x ＋0.3≥0，0.55≤x ≤0.75.解此不等式，得0.60≤x ≤0.75.△当电价最低定为0.60元/kW·h 时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%.2.3 第1课时二次函数与一元二次方程、不等式基础练巩固新知夯实基础1.（多选）下面所给关于x的不等式，其中一定为一元二次不等式的是( )A.3x+4<0B.x2+m x-1>0C.a x2+4x-7>0D.x2<02.已知集合M＝{x|x2－3x－28≤0}，N＝{x|x2－x－6>0}，则M∩N为()A．{x|－4≤x<－2或3<x≤7} B．{x|－4<x≤－2或3≤x<7}C．{x|x≤－2或x>3} D．{x|x<－2或x≥3}3．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根为2，－1，则当a<0时，不等式ax2＋bx＋c≥0的解()A．{x|x<－1或x>2} B．{x|x≤－1或x≥2}C．{x|－1<x<2} D．{x|－1≤x≤2}4．关于x的不等式ax－b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是() x|x<－1或x>3B．{x|－1<x<3}A.{}C．{x|1<x<3} D．{x|x<1或x>3}5．若不等式ax2－x－c>0的解集为{x|－2<x<1}，则函数y＝ax2－x－c的图象为()6. 不等式－1<x2＋2x－1≤2的解集是________．7.方程x2＋(m－3)x＋m＝0的两根都是负数，则m的取值范围为________．8. 解关于x的不等式：x2＋(1－a)x－a<0.能力练综合应用核心素养9.若0<t <1，则关于x 的不等式(t －x )(x －1t)>0的解集是 ( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1t <x <t B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >1t 或x <tC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <1t 或x >tD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |t <x <1t10.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6， x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是 ( )A ．(－3,1)△(3，＋∞)B ．(－3,1)△(2，＋∞)C ．(－1,1)△(3，＋∞)D ．(－∞，－3)△(1,3)11.不等式x 2－px －q <0的解集是{x |2<x <3}，则不等式qx 2－px －1>0的解是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <－12或x >－13 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x <－13 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13<x <12 D.{}x | x <2或x >3 12. (多选题)已知关于x 的方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0，下列结论正确的是( ) A ．方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有实数根的充要条件是m ∈{m |m <1或m >9} B ．方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有一正一负根的充要条件是m ∈{m |m <0} C ．方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有两正实数根的充要条件是m ∈{m |0<m ≤1} D ．方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0无实数根的必要条件是m ∈{m |m >1}13.已知x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解，则k 的取值范围是______________． 14.若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2>0的解集为{x |1<x <m }，则a ＝________，m ＝________. 15.若不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－13≤x ≤2，求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a <0的解集．16.解关于x 的不等式ax 2－2(a ＋1)x ＋4>0.【参考答案】1.BD 解析：根据一元二次不等式的定义以及特征可判定A 一定不是，C 不一定是，B ，D 一定是.2.A 解析：△M ＝{x |x 2－3x －28≤0}＝{x |－4≤x ≤7}，N ＝{x |x 2－x －6>0}＝{x |x <－2或x >3}， △M ∩N ＝{x |－4≤x <－2或3<x ≤7}．3. D 解析：由方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为2，－1，知函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的零点为2，－1，又△a <0，△函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象是开口向下的抛物线，△不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为{x |－1≤x ≤2}．4. A 解析：由题意，知a >0，且1是ax －b ＝0的根，所以a ＝b >0，所以(ax ＋b )(x －3)＝a (x ＋1)(x －3)>0，所以x <－1或x >3，因此原不等式的解集为{x |x <－1或x >3}．5. B 解析：因为不等式的解集为{x |－2<x <1}，所以a <0，排除C 、D ；又与坐标轴交点的横坐标为－2,1，故选B.6. {x |－3≤x <－2或0<x ≤1} 解析： △⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3≤0，x 2＋2x >0，△－3≤x <－2或0<x ≤1.7.{m |m ≥9} 解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(m －3)2－4m ≥0，x 1＋x 2＝3－m <0，x 1x 2＝m >0，∴m ≥9.8. 解：方程x 2＋(1－a )x －a ＝0的解为x 1＝－1，x 2＝a .函数y ＝x 2＋(1－a )x －a 的图象开口向上，所以 (1)当a <－1时，原不等式解集为{x |a <x <－1}； (2)当a ＝－1时，原不等式解集为△； (3)当a >－1时，原不等式解集为{x |－1<x <a }．9.D 解析：△0<t <1，△1t >1，△1t >t .△(t －x )(x －1t )>0△(x －t )(x －1t )<0△t <x <1t .10.A 解析：f (1)＝12－4×1＋6＝3，当x ≥0时，x 2－4x ＋6>3，解得x >3或0≤x <1；当x <0时，x ＋6>3，解得－3<x <0.所以f (x )>f (1)的解集是(－3,1)△(3，＋∞)．11. B 解析：易知方程x 2－px －q ＝0的两个根是2,3.由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋3＝p ，2×3＝－q ，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝5，q ＝－6，不等式qx 2－px －1>0为－6x 2－5x －1>0，解得－12<x <－13.12. BCD 解析：在A 中，由Δ＝(m －3)2－4m ≥0得m ≤1或m ≥9，故A 错误；在B 中，当x ＝0时，函数y ＝x 2＋(m －3)x ＋m 的值为m ，由二次函数的图象知，方程有一正一负根的充要条件是m ∈{m |m <0}，故B 正确；在C 中，由题意得m>0，3－m>0，解得0<m ≤1，故C 正确；在D 中，由Δ＝(m －3)2－4m <0得1<m <9，又{m |1<m <9}⊆{m |m >1}，故D 正确，故选BCD ．13.k ≤2或k ≥4解析：x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解，把x ＝1代入不等式得k 2－6k ＋8≥0，解得k ≥4或k ≤2. 14. －3 －3 解析：在A 中，由Δ＝(m －3)2－4m ≥0得m ≤1或m ≥9，故A 错误；在B 中，当x ＝0时，函数y ＝x 2＋(m －3)x ＋m 的值为m ，由二次函数的图象知，方程有一正一负根的充要条件是m ∈{m |m <0}，故B 正确；在C 中，由题意得m>0，3－m>0，解得0<m ≤1，故C 正确；在D 中，由Δ＝(m －3)2－4m <0得1<m <9，又{m |1<m <9}⊆{m |m >1}，故D 正确，故选BCD ．可知1，m 是方程ax 2－6x ＋a 2＝0的两个根，且a <0， △⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＝6a 1×m ＝a解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3m ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2m ＝2(舍去)． 15.解由ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－13≤x ≤2，知a <0，且关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根分别为－13，2，△⎩⎨⎧－13＋2＝－ba－13×2＝ca，△b ＝－53a ，c ＝－23a .所以不等式cx 2－bx ＋a <0可变形为⎝⎛⎭⎫－23a x 2－⎝⎛⎭⎫－53a x ＋a <0，即2ax 2－5ax －3a >0. 又因为a <0，所以2x 2－5x －3<0，所以所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x <3.16.解 (1)当a ＝0时，原不等式可化为－2x ＋4>0，解得x <2，所以原不等式的解集为{x |x <2}． (2)当a >0时，原不等式可化为(ax －2)(x －2)>0，对应方程的两个根为x 1＝2a，x 2＝2.△当0<a <1时，2a >2，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >2a ，或x <2； △当a ＝1时，2a＝2，所以原不等式的解集为{x |x ≠2}；△当a >1时，2a <2，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >2，或x <2a . (3)当a <0时，原不等式可化为(－ax ＋2)(x －2)<0，对应方程的两个根为x 1＝2a ，x 2＝2，则2a<2，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2a<x <2. 综上，a <0时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2a<x <2； a ＝0时，原不等式的解集为{x |x <2}；0<a ≤1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x >2a，或x <2；当a >1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x >2，或x <2a .2.3二次函数与一元二次方程、不等式一、选择题1．不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是( ) A.1|3x x ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭B.11|33x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭C ．∅D.1|3x x ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭2．下列不等式中，解集是R 的是( ) A ．x 2＋4x ＋4>0B.20x >C.1102x⎛⎫+> ⎪⎝⎭D ．－x 2＋2x －1>03．不等式ax 2+5x+c ＞0的解集为11{|}32x x <<，则a ，c 的值为（） A ．a=6，c=1 B ．a=－6，c=－1 C ．a=1，c=1 D ．a=－1，c=－6 4．若0＜t ＜1，则不等式1()()0x t x t--<的解集为( ) A.1|x x t t⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B.1|x x x t t ⎧⎫><⎨⎬⎩⎭或 C.1|x x x t t⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或D.1|x t x t ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭5．不等式x 2－ax －b ＜0的解集是{x|2＜x ＜3}，则bx 2－ax －1＞0的解集是（） A ．{|23}x x << B ．11{|}32x x << C ．11{|}23x x -<<- D ．{|32}x x -<<- 6. 关于x 的不等式(1＋m )x 2＋mx ＋m ＜x 2＋1对x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，0)∪3,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．(－∞，0]D ．(－∞，0]∪4,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭二、填空题7．如果A ＝{x |ax 2－ax ＋1＜0}＝∅，则实数a 的取值范围是________．8．如果关于x 的方程x 2－(m －1)x+2－m=0的两根为正实数，则m 的取值范围是________. 9. 函数21()31f x ax ax =++的定义域是R ，则实数a 的取值范围为________．10.若关于x 的不等式2260ax x a -+<的解集为(1,)m ，则实数m 等于 . 三、解答题 11.解下列不等式(1)2x 2＋7x ＋3＞0； (2)－x 2＋8x －3＞0；12. 不等式mx 2+1＞mx 的解集为实数集R ，求实数m 的取值范围．13. 解关于x 的不等式m 2x 2＋2mx －3＜0(其中m ∈R )．14．已知2()2(2)4f x x a x =+-+，(1)如果对一切x ∈R ，f(x)>0恒成立，求实数a 的取值范围； (2)如果对x ∈[-3，1]，f(x)>0恒成立，求实数a 的取值范围. 15.解下列关于x 的不等式 0)1)(1(>+-x ax ；答案与解析1．【答案】 D【解析】 9x 2＋6x ＋1＝(3x ＋1)2≤0 ∴13x =-，故选D.2．【答案】 C【解析】 ∵x 2＋4x ＋4＝(x ＋2)2≥0， ∴A 不正确；∵2||0x x =≥，∴B 不正确；∵102x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，∴11102x⎛⎫+>> ⎪⎝⎭(x ∈R )，故C 正确；∵－x 2＋2x －1>0 ∴x 2－2x ＋1＝(x －1)2<0， ∴D 不正确．3.【答案】B【解析】由题意可知方程250ax x c ++>的两根为12x =和13x =，由韦达定理得： 11115,2323c a a⨯=+=-，求得a=－6，c=－14．【答案】 D【解析】 ∵0＜t ＜1，∴11t >，∴1t t< ∴11()()0x t x t x t t--<⇔<<.5.【答案】C【解析】由题意得，方程x 2－ax －b=0的两根为x=2,x=3,由韦达定理得23a +=，23b ⨯=-，求得5 a =，b=-6，从而解得bx 2－ax －1＞0的解集为11{|}23x x -<<-6. 【答案】C【解析】原不等式等价于mx 2＋mx＋m －1＜0对x ∈R恒成立，当m ＝0时，0·x 2＋0·x －1＜0对x ∈R恒成立．当m ≠0时，由题意，得220000404103403m m m m m m m mm m m <⎧<<⎧⎧⎪⇔⇔⇔<⎨⎨⎨<>∆=--<->⎩⎩⎪⎩或. 综上，m 的取值范围为(－∞，0]．7．【答案】 [0,4)【解析】由题意知2040a a a >⎧⎨∆=--<⎩，∴0＜a ＜4. 当a ＝0时，A ＝{x |1＜0}＝∅，符合题意．8．【答案】{|1222}m m -+<< 【解析】由题意得：1212000x x x x ∆>⎧⎪+>⎨⎪>⎩，解得1222m -+<<9. 【答案】 40,9⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】由已知f (x )的定义域是R . 所以不等式ax 2＋3ax ＋1＞0恒成立．(1)当a ＝0时，不等式等价于1＞0，显然恒成立； (2)当a ≠0时，则有2000400(94)09(3)40a a a a a a a a >>>⎧⎧⎧⎧⇔⇔⇔<<⎨⎨⎨⎨∆<-<-<⎩⎩⎩⎩. 由(1)(2)知，409a ≤<. 即所求a 的取值范围是40,9⎡⎫⎪⎢⎣⎭.10.【答案】2【解析】由题意，得1，m 是关于x 的方程2260ax x a -+=的两根，则2611m a ama ⎧+=⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩解得 23m m ==-或（舍去）11．【解析】(1)因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，所以方程2x 2＋7x ＋3＝0有两个不等实根x 1＝－3，212x =-. 又二次函数y ＝2x 2＋7x ＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为1|32x x x ⎧⎫>-<-⎨⎬⎩⎭或. (2)因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52＞0，所以方程－x 2＋8x －3＝0有两个不等实根1413x =-，2413x =+.又二次函数y ＝－x 2＋8x －3的图象开口向下，所以原不等式的解集为{}|413413x x -<<+．12.【解析】当m ＝0时，不等式即为1＞0，满足条件．当m≠0时，若不等式的解集为R ，则应有⎪⎩⎪⎨⎧<--=∆>0m 4)m (0m 2，解得0＜m ＜4．综上，m 的取值范围是{m|0≤m<4}.13.【解析】当m ＝0时，原不等式可化为－3＜0，其对一切x ∈R 都成立，所以原不等式的解集为R . 当m ≠0时，m 2＞0，由m 2x 2＋2mx －3＜0，得(mx －1)(mx ＋3)＜0，即130x x m m ⎛⎫⎛⎫-+< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，若m ＞0，则13m m>-，所以原不等式的解集为31,m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭；若m ＜0，则13m m<-，所以原不等式的解集为13,m m ⎛⎫-⎪⎝⎭.综上所述，当m ＝0时，原不等式的解集为R ；当m＞0时，原不等式的解集为31,m m⎛⎫-⎪⎝⎭；当m＜0时，原不等式的解集为13,m m⎛⎫-⎪⎝⎭.14．【解析】(1)由题意得：△=2[2(2)]160a--<，即0<a<4；(2)由x∈[－3，1]，f(x)>0得，有如下两种情况：2[3,1](3)0(1)0aff-∉-⎧⎪->⎨⎪>⎩或2[3,1](2)0af a-∈-⎧⎨->⎩综上所述：1,42a⎛⎫∈-⎪⎝⎭.15.【解析】当a=0时，原不等式即为-(x+1)>0，解得x<-1；当a≠0时，原不等式为关于x的一元二次不等式，方程(ax-1)(x+1)=0有两个实数根ax11=和12-=x.(Ⅰ)当21xx<，即11-<a，01<<-a时，函数)1)(1()(+-=xaxxf的图象开口向下，与x轴有两个交点，其简图如下：故不等式0)1)(1(>+-xax的解集为⎪⎭⎫⎝⎛-1,1a；(Ⅱ)当，即1,11-=-=aa时，函数)1)(1()(+-=xaxxf的图象开口向下，与x轴有一个交点，其简图如下：21xx=故不等式0)1)(1(>+-xax的解集为空集；(Ⅲ)当21xx>，即11->a，1-<a或0>a，①若1-<a，函数)1)(1()(+-=xaxxf的图象开口向下，与x轴有两个交点，其简图如下：故不等式0)1)(1(>+-xax的解集为11,a⎛⎫-⎪⎝⎭；②若a>0，数()(1)(1)f x ax x=-+的图象开口向上，与x轴有两个交点，其简图如下：故不等0)1)(1(>+-xax的解集为1(,1),a⎛⎫-∞-+∞⎪⎝⎭；综上所述，当a<-1时，不等式的解集为⎪⎭⎫⎝⎛-a1,1；当a=-1时，不等式的解集为空集；当-1<a<0时，不等式的解集为⎪⎭⎫⎝⎛-1,1a；当a=0时，不等式的解集为)1,(--∞；当a>0时，不等式的解集为⎪⎭⎫⎝⎛+∞--∞,1)1,(a.必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质1.比较大小的基本事实：比较两实数大小的方法——求差比较法 0a b a b >⇔->； 0a b a b =⇔-=； 0a b a b <⇔-<。

人教版高中数学必修一第二章教案和练习

高中数学必修一第二章教案和练习§2.1.1 指数与指数幂的运算（1）学习目标1. 了解指数函数模型背景及实用性、必要性；2. 了解根式的概念及表示方法；3. 理解根式的运算性质.学习过程一、课前准备（预习教材P 48~ P 50，找出疑惑之处）复习1：正方形面积公式为；正方体的体积公式为 .复习2：（初中根式的概念）如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的，记作；如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的，记作 .二、新课导学※ 学习探究探究任务一：指数函数模型应用背景探究下面实例及问题，了解指数指数概念提出的背景，体会引入指数函数的必要性.实例1. 某市人口平均年增长率为1.25℅，1990年人口数为a 万，则x 年后人口数为多少万？实例2. 给一张报纸，先实验最多可折多少次？你能超过8次吗？计算：若报纸长50cm ，宽34cm ，厚0.01mm ，进行对折x 次后，求对折后的面积与厚度？问题1：国务院发展研究中心在2000年分析，我国未来20年GDP （国内生产总值）年平均增长率达7.3℅，则x 年后GDP 为2000年的多少倍？问题2：生物死亡后，体内碳14每过5730年衰减一半（半衰期），则死亡t 年后体内碳14的含量P 与死亡时碳14关系为57301()2t P . 探究该式意义？小结：实践中存在着许多指数函数的应用模型，如人口问题、银行存款、生物变化、自然科学.探究任务二：根式的概念及运算考察： 2(2)4±=，那么2±就叫4的；3327=，那么3就叫27的；4(3)81±=，那么3±就叫做81的 .依此类推，若n x a =,，那么x 叫做a 的 .新知：一般地，若n x a =,那么x 叫做a 的n 次方根 ( n th root )，其中1n >,n *∈N .例如：328=2=.反思：当n 为奇数时, n 次方根情况如何？33=-, 记：x =当n 为偶数时，正数的n 次方根情况？例如：81的4次方根就是，记：.强调：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是00=.试试：4b a =，则a 的4次方根为；3b a =，则a 的3次方根为 .新知：根式（radical ），这里n 叫做根指数（radical exponent ），a 叫做被开方数（radicand ）.试试：计算2.反思：从特殊到一般，n结论：n a =. 当n a =；当n (0)||(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩.※ 典型例题例1求下类各式的值：（1）；（2）；（3；（4）a b <）.变式：计算或化简下列各式.（1 （2推广：=（a ≥0）.※ 动手试试练1.练2. 化简三、总结提升※ 学习小结1. n 次方根，根式的概念；2. 根式运算性质.※ 知识拓展1. 整数指数幂满足不等性质：若0a >，则0n a >.2. 正整数指数幂满足不等性质：① 若1a >，则；② 若01a <<，则01n a <<. 其中n ∈N *.1. ）.A. 3B. －3C. ±3D. 812. 625的4次方根是（）.A. 5B. －5C. ±5D. 253. 化简2是（）.A. b -B. bC. b ±D. 1b4. = .5. 计算：31. 计算：（1（2）2. 计算34a a-⨯和3(8)a+-，它们之间有什么关系？你能得到什么结论？3. 对比()n n nab a b=与()n nna ab b=，你能把后者归入前者吗？§2.1.1 指数与指数幂的运算（2）1. 理解分数指数幂的概念；2. 掌握根式与分数指数幂的互化；3. 掌握有理数指数幂的运算.一、课前准备（预习教材P50~ P53，找出疑惑之处）复习1：一般地，若n x a=，则x叫做a的，其中1n>,n*∈N. 简记为：.像的式子就叫做，具有如下运算性质：n= ；= ；= .（1）m n a a = ；（2）()m n a = ；（3）()n ab = .二、新课导学※ 学习探究探究任务：分数指数幂引例：a >01025a a ==，则类似可得= ；23a = = .新知：规定分数指数幂如下*(0,,,1)mna a m n N n =>∈>； *1(0,,,1)mnmn a a m n N n a -==>∈>.试试：（1）将下列根式写成分数指数幂形式：= ； = ；= (0,)a m N *>∈.（2）求值：238； 255； 436-； 52a -.反思：① 0的正分数指数幂为；0的负分数指数幂为 .② 分数指数幂有什么运算性质？小结：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．指数幂的运算性质：（0,0,,a b r s Q >>∈）r a ·r r s a a +=； ()r s rs a a =； ()r r s ab a a =．※ 典型例题例1 求值：2327；4316-； 33()5-；2325()49-.变式：化为根式.例2 用分数指数幂的形式表示下列各式(0)b >：（1）2b b ；（2）533b b ；（3例3 计算（式中字母均正）：（1）211511336622(3)(8)(6)a b a b a b -÷-；（2）311684()m n .小结：例2，运算性质的运用；例3，单项式运算.例4 计算：（1334a a(0)a >；（2）312103652(2)()m n m n --÷- (,)m n N *∈；（3）÷小结：在进行指数幂的运算时，一般地，化指数为正指数，化根式为分数指数幂，对含有指数式或根式的乘除运算，还要善于利用幂的运算法则.反思：①② 无理数指数幂(0,)a a αα>是无理数是一个确定的实数．实数指数幂的运算性质如何？练1. 把851323x --⎫⎪⎪⎝⎭化成分数指数幂.练2. 计算：（1443327；（2三、总结提升学习小结①分数指数幂的意义；②分数指数幂与根式的互化；③有理指数幂的运算性质.知识拓展放射性元素衰变的数学模型为：0t m m e λ-=，其中t 表示经过的时间，0m 表示初始质量，衰减后的质量为m ，λ为正的常数.1. 若0a >，且,m n 为整数，则下列各式中正确的是（）.A. m m n na a a ÷= B. m n mn a a a ⋅= C. ()nm m n a a += D. 01n n a a -÷= 2. 化简3225的结果是（）.A. 5B. 15C. 25D. 1253. 计算(122--⎡⎤⎢⎥⎣⎦的结果是（）.A B ．Ｃ．2 D ．2- 4. 化简2327-= .5. 若102,104m n ==，则3210m n -= .1. 化简下列各式：（1）3236()49；（2.2.1⎛-⎝.§2.1.1 指数与指数幂的运算（练习）1. 掌握n次方根的求解；2. 会用分数指数幂表示根式；3. 掌握根式与分数指数幂的运算.一、课前准备（复习教材P48~ P53，找出疑惑之处）复习1：什么叫做根式? 运算性质？像的式子就叫做，具有性质：n=；=；= .复习2：分数指数幂如何定义？运算性质？①mna=；mna-=. 其中*0,,,1a m n N n>∈>②r sa a =；()r sa=；()sab=.复习3：填空.①n为时，(0)||...........(0)xxx≥⎧==⎨<⎩.②求下列各式的值：= ；=；= ；= ；= ；=；= .二、新课导学典型例题例1 已知1122a a-+=3，求下列各式的值：（1）1a a-+；（2）22a a-+；（3）33221122a aa a----．小结：①平方法；②乘法公式；③根式的基本性质=（a≥0）等.注意，a≥0十分重要，无此条件则公式不成立. .变式：已知11223a a--=，求：（1）1122a a-+；（2）3322a a--.例2从盛满1升纯酒精的容器中倒出13升，然后用水填满，再倒出13升，又用水填满，这样进行5次，则容器中剩下的纯酒精的升数为多少？变式：n次后？小结：① 方法：摘要→审题；探究 → 结论； ② 解应用问题四步曲：审题→建模→解答→作答. ※ 动手试试练1. 化简：11112244()()x y x y -÷-.练2. 已知x +x -1=3，求下列各式的值.（1）1122x x -+；（2）3322x x -+.练3. 已知12(),0x f x x x π=⋅>.三、总结提升学习小结1. 根式与分数指数幂的运算；2. 乘法公式的运用.知识拓展1. 立方和差公式：3322()()a b a b a ab b +=+-+；3322()()a b a b a ab b -=-++.2. 完全立方公式：33223()33a b a a b ab b +=+++；33223()33a b a a b ab b -=-+-.1.）.A. B. C. 3 D. 729 2. 354a a (a >0)的值是（）.A. 1B. aC. 15a D. 1710a3. 下列各式中成立的是（）.A ．1777()n n m m= B ．C 34()x y =+D ．4. 化简3225()4-= . 5. 化简2115113366221()(3)()3a b a b a b -÷= .课后作业1. 已知32x a b --=+, .2. 2n a =时, 实数a 和整数n 所应满足的条件.§2.1.2 指数函数及其性质（1）学习目标1. 了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；3. 能画出具体指数函数的图象，掌握指数函数的性质（单调性、特殊点）.学习过程一、课前准备（预习教材P 54~ P 57，找出疑惑之处）复习1：零指数、负指数、分数指数幂怎样定义的？（1）0a = ；（2）n a -= ；（3）m n a = ；m na -= .其中*0,,,1a m n N n >∈>复习2：有理指数幂的运算性质.（1）m n a a = ；（2）()m n a = ；（3）()n ab = .二、新课导学学习探究探究任务一：指数函数模型思想及指数函数概念实例：A ．细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x 次分裂得到y 个细胞，那么细胞个数y 与次数x 的函数关系式是什么？B ．一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84％，那么以时间x 年为自变量，残留量y 的函数关系式是什么？讨论：上面的两个函数有什么共同特征？底数是什么？指数是什么？新知：一般地，函数(0,1)x y a a a =>≠且叫做指数函数（exponential function ），其中x 是自变量，函数的定义域为R .反思：为什么规定a ＞0且a ≠1呢？否则会出现什么情况呢？试试：举出几个生活中有关指数模型的例子？探究任务二：指数函数的图象和性质引言：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？回顾：研究方法：画出函数图象，结合图象研究函数性质．研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．作图：在同一坐标系中画出下列函数图象： 1()2x y =， 2x y =讨论：（1）函数2x y =与1()2x y =的图象有什么关系？如何由2x y =的图象画出1()2x y =的图象？（2）根据两个函数的图象的特征，归纳出这两个指数函数的性质. 变底数为3或13后呢？a >1 0<a <1图象性质 (1)定义域：R(2)值域：（0，+∞）(3)过点（0，1），即x =0时，y =1(4)在 R 上是增函数 (4)在R 上是减函数典型例题例1函数()x f x a =（0,1a a >≠且）的图象过点(2,)π，求(0)f ,(1)f -,(1)f 的值.小结：①确定指数函数重要要素是；② 待定系数法.例2比较下列各组中两个值的大小：（1）0.60.52,2；（2）2 1.50.9,0.9-- ；（3）0.5 2.12.1,0.5 ；（4）231-与.小结：利用单调性比大小；或间接利用中间数.练1. 已知下列不等式，试比较m 、n 的大小：（1）22()()33m n >；（2） 1.1 1.1m n <.练2. 比较大小：（1）0.70.90.80.8,0.8, 1.2a b c ===；（2）01, 2.50.4,-0.22-, 1.62.5.三、总结提升学习小结①指数函数模型应用思想；②指数函数概念；③指数函数的图象与性质；③单调法.知识拓展因为(01)x y a a a =>≠，且的定义域是R ，所以()(01)f x y a a a =>≠，且的定义域与()f x 的定义域相同. 而()(01)x y a a a ϕ=>≠，且的定义域，由()y t ϕ=的定义域确定.学习评价自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 函数2(33)x y a a a =-+是指数函数，则a 的值为（）.A. 1B. 2C. 1或2D. 任意值2. 函数f (x )=21x a -+ (a >0,a ≠1)的图象恒过定点（）.A. (0,1)B. (0,2)C. (2,1)D. (2,2)3. 指数函数①()x f x m =，②()x g x n =满足不等式 01m n <<<，则它们的图象是（）.4. 比较大小：23( 2.5)- 45( 2.5)-.5. 函数1()19x y =-的定义域为 . 课后作业1. 求函数y =1151x x --的定义域.2. 探究：在[m ，n ]上，()(01)x f x a a a =>≠且值域？§2.1.2 指数函数及其性质（2）学习目标1. 熟练掌握指数函数概念、图象、性质；2. 掌握指数型函数的定义域、值域，会判断其单调性；3. 培养数学应用意识.学习过程一、课前准备（预习教材P 57~ P 60，找出疑惑之处）复习1：指数函数的形式是，复习2：在同一坐标系中，作出函数图象的草图：2x y =,1()2x y =,5x y =,1()5x y =, 10x y =,1()10x y =.思考：指数函数的图象具有怎样的分布规律？二、新课导学典型例题例1我国人口问题非常突出，在耕地面积只占世界7%的国土上，却养育着22%的世界人口．因此，中国的人口问题是公认的社会问题．2000年第五次人口普查，中国人口已达到13亿，年增长率约为1%．为了有效地控制人口过快增长，实行计划生育成为我国一项基本国策．（1）按照上述材料中的1%的增长率，从2000年起，x 年后我国的人口将达到2000年的多少倍？（2）从2000年起到2020年我国人口将达到多少？小结：学会读题摘要；掌握从特殊到一般的归纳法.试试：2007年某镇工业总产值为100亿，计划今后每年平均增长率为8%, 经过x 年后的总产值为原来的多少倍？多少年后产值能达到120亿？小结：指数函数增长模型.设原有量N ，每次的增长率为p ，则经过x 次增长后的总量y = . 我们把形如x y ka = (,0,1)k R a a ∈>≠且的函数称为指数型函数.例2 求下列函数的定义域、值域：（1）21x y =+; （2）y = （3）110.4x y -=.变式：单调性如何？小结：单调法、基本函数法、图象法、观察法.试试：求函数y =.练1. 求指数函数212x y +=的定义域和值域，并讨论其单调性.练2. 已知下列不等式，比较,m n 的大小.（1）33m n <；（2）0.60.6m n >；（3）(1)m n a a a >> ；（4） (01)m n a a a <<<.练3. 一片树林中现有木材30000 m 3，如果每年增长5%，经过x 年树林中有木材y m 3，写出x ，y 间的函数关系式，并利用图象求约经过多少年，木材可以增加到40000m 3.三、总结提升学习小结1. 指数函数应用模型(,01)x y ka k R a a =∈>≠且；2. 定义域与值域；知识拓展形如()(01)f x y a a a =>≠，且的函数值域的研究，先求得()f x 的值域，再根据t a 的单调性，列出简单的指数不等式，得出所求值域，注意不能忽视()0f x y a =>. 而形如()(01)x y a a a ϕ=>≠，且的函数值域的研究，易知0x a >，再结合函数()t ϕ进行研究. 在求值域的过程中，配合一些常用求值域的方法，例如观察法、单调性法、图象法等.1. 如果函数y =a x (a >0,a ≠1)的图象与函数y =b x (b >0,b ≠1)的图象关于y 轴对称，则有（）.A. a >bB. a <bC. ab =1D. a 与b 无确定关系2. 函数f (x )=3－x －1的定义域、值域分别是（）.A. R ， RB. R ， (0,)+∞C. R ，(1,)-+∞D.以上都不对3. 设a 、b 均为大于零且不等于1的常数，则下列说法错误的是（）.A. y =a x 的图象与y =a －x 的图象关于y 轴对称B. 函数f (x )=a 1－x (a >1)在R 上递减C. 若a 2>a 21-，则a >1D. 若2x >1，则1x >4. 比较下列各组数的大小：122()5- 320.4-（）； 0.763（） 0.753-（）. 5. 在同一坐标系下，函数y =a x ,y =b x , y =c x , y =d x 的图象如右图，则a 、b 、c 、d 、1之间从小到大的顺序是 .课后作业1. 已知函数f (x )=a －221x +(a ∈R )，求证：对任何a R ∈， f (x )为增函数.2. 求函数2121x x y -=+的定义域和值域，并讨论函数的单调性、奇偶性.§2.2.1 对数与对数运算（1）学习目标1. 理解对数的概念；3. 掌握对数式与指数式的相互转化.学习过程一、课前准备（预习教材P 62~ P 64，找出疑惑之处）复习1：庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭.（1）取4次，还有多长？（2）取多少次，还有0.125尺？复习2：假设2002年我国国民生产总值为a 亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产是2002年的2倍？（只列式）二、新课导学学习探究探究任务：对数的概念问题：截止到1999年底，我国人口约13亿. 如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么多少年后人口数可达到18亿，20亿，30亿？讨论：（1）问题具有怎样的共性？（2）已知底数和幂的值，求指数怎样求呢？例如：由1.01x m =，求x .新知：一般地，如果x a N =(0,1)a a >≠，那么数 x 叫做以a 为底 N 的对数（logarithm ）.记作 log a x N =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数试试：将复习2及问题中的指数式化为对数式.新知：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm ），并把常用对数log N 简记为lg Nlog e N 简记作ln N试试：分别说说lg5 、lg3.5、ln10、ln3的意义.反思：（1）指数与对数间的关系？0,1a a >≠时，x a N =⇔ .（2）负数与零是否有对数？为什么？（3）log 1a = ， log a a = .典型例题例1下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.（1）35125= ；（2）712128-=；（3）327a =；（4） 2100.01-=；（5）12log 325=-；（6）lg0.001=3-；（7）ln100=4.606.变式：12log 32?= lg0.001=？小结：注意对数符号的书写，与真数才能构成整体. 例2求下列各式中x 的值：（1）642log 3x =；（2）log 86x =-；（3）lg 4x =；（4）3ln e x =.练1. 求下列各式的值.（1）5log 25 ；（2）21log 16；（3）lg 10000.练2. 探究log ?n a a = log ?a N a =三、总结提升①对数概念；②lg N 与ln N ；③指对互化；④如何求对数值知识拓展对数是中学初等数学中的重要内容，那么当初是谁首创“对数”这种高级运算的呢？在数学史上，一般认为对数的发明者是十六世纪末到十七世纪初的苏格兰数学家——纳皮尔（Napier ，1550-1617年）男爵. 在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科. 可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间. 纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于独立发明了对数.：1. 若2log 3x =，则x =（）.A. 4B. 6C. 8D. 92.log = （）.A. 1B. －1C. 2D. －23. 对数式2log (5)a a b --=中，实数a 的取值范围是（）.A ．(,5)-∞B ．(2,5)C ．(2,)+∞D ． (2,3)(3,5)4. 计算：1(3+= .5. 若log 1)1x =-，则x =________，若y =，则y =___________.课后作业1. 将下列指数式化成对数式，对数式化成指数式.（1）53243=；（2）51232-=；（3）430a = （4）1() 1.032m =；（5）12log 164=-；（6）2log 1287=；（7）3log 27a =.2. 计算：（1）9log 27；（2）3log 243；（3）；（3）(2log (2；（4）.§§2.2.1 对数与对数运算（2）学习目标1. 掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的依据和过程；2. 能较熟练地运用对数运算法则解决问题..学习过程一、课前准备（预习教材P 64~ P 66，找出疑惑之处）复习1：（1）对数定义：如果x a N =(0,1)a a >≠，那么数 x 叫做，记作 .（2）指数式与对数式的互化：x a N =⇔ .复习2：幂的运算性质.（1）m n a a = ；（2）()m n a = ；（3）()n ab = .复习3：根据对数的定义及对数与指数的关系解答：（1）设log 2a m =，log 3a n =，求m n a +；（2）设log a M m =，log a N n =，试利用m 、n 表示log (a M ·)N ．二、新课导学学习探究探究任务：对数运算性质及推导问题：由p q p q a a a +=，如何探讨log a MN 和log a M 、log a N 之间的关系？问题：设log a M p =, log a N q =，由对数的定义可得：M =p a ，N =a∴MN =p a q a =p q a +，∴log a MN =p +q ，即得log a MN =log a M + log a N根据上面的证明，能否得出以下式子？如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 ，则（1）log ()log log a a a MN M N =+；（2）log log log a a a M M N N=-；（3） log log ()n a a M n M n R =∈.反思：自然语言如何叙述三条性质？性质的证明思路？（运用转化思想，先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂运算性质进行恒等变形；然后再根据对数定义将指数式化成对数式）典型例题例1用log a x , log a y , log a z 表示下列各式：（1）2log a xy z ；（2） log a .例2计算：（1）5log 25；（2）0.4log 1；（3）852log (42)⨯；（4）探究：根据对数的定义推导换底公式log log log c a c b b a=（0a >，且1a ≠；0c >，且1c ≠；0b >）．试试：2000年人口数13亿，年平均增长率1℅，多少年后可以达到18亿？动手试试练1. 设lg2a =,lg3b =，试用a 、b 表示5log 12.变式：已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，求lg6、.练2. 运用换底公式推导下列结论.（1）log log m n a a n b b m=；（2）1log log a b b a =.练3. 计算：（1）7lg142lg lg7lg183-+-；（2）lg 243lg9.三、总结提升学习小结①对数运算性质及推导；②运用对数运算性质；③换底公式.※ 知识拓展① 对数的换底公式log log log b a b N N a=； ② 对数的倒数公式1log log a b b a=. ③ 对数恒等式：log log n n a a N N =，log log m n a a n N N=，log log log 1a b c b c a =. ※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 下列等式成立的是（） A ．222log (35)log 3log 5÷=-B ．222log (10)2log (10)-=-C ．222log (35)log 3log 5+=D ．3322log (5)log 5-=-2. 如果lgx =lga +3lgb －5lgc ，那么（）.A ．x =a +3b －cB ．35ab x c= C ．35ab x c= D ．x =a +b 3－c 3 3. 若()2lg 2lg lg y x x y -=+，那么（）.A ．y x =B ．2y x =C ．3y x =D ．4y x =4. 计算：（1）99log 3log 27+=；（2）2121log log 22+= . 5. 计算：15lg 23=.1. 计算：（1；（2）2lg 2lg 2lg5lg5+⋅+.2. 设a 、b 、c 为正数，且346a b c ==，求证：1112c a b-=.§2.2.1 对数与对数运算（3）1. 能较熟练地运用对数运算性质解决实践问题；2. 加强数学应用意识的训练，提高解决应用问题的能力.一、课前准备（预习教材P 66~ P 69，找出疑惑之处）复习1：对数的运算性质及换底公式.如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 ，则（1）log ()a MN = ；（2）log a M N= ；（3） log n a M = .换底公式log a b = .复习2：已知 2log 3 = a ， 3log 7 = b ，用 a ，b 表示42log 56.复习3：1995年我国人口总数是12亿，如果人口的年自然增长率控制在1.25℅，问哪一年我国人口总数将超过14亿？（用式子表示）二、新课导学※ 典型例题例1 20世纪30年代，查尔斯.里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大. 这就是我们常说的里氏震级M ，其计算公式为：0lg lg M A A =-，其中A 是被测地震的最大振幅，0A 是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中距离造成的偏差）.（1）假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001, 计算这次地震的震级（精确到0.1）；（2）5级地震给人的振感已比较明显，计算7.6级地震最大振幅是5级地震最大振幅的多少倍？（精确到1）小结：读题摘要→寻找数量关系→利用对数计算.例2当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．根据些规律，人们获得了生物体碳14含量P 与生物死亡年数t 之间的关系．回答下列问题：（1）求生物死亡t 年后它机体内的碳14的含量P ，并用函数的观点来解释P 和t 之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？（2）已知一生物体内碳14的残留量为P ，试求该生物死亡的年数t ，并用函数的观点来解释P 和t 之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？（3）长沙马王墓女尸出土时碳14的余含量约占原始量的76.7%，试推算古墓的年代？反思：① P 和t 之间的对应关系是一一对应；② P 关于t 的指数函数(x P =，则t 关于P 的函数为 . ※ 动手试试练1. 计算：（1）0.21log 35-；（2）4912log 3log 2log ⋅-练2. 我国的GDP 年平均增长率保持为7.3%，约多少年后我国的GDP 在2007年的基础上翻两番？三、总结提升※ 学习小结1. 应用建模思想（审题→设未知数→建立x 与y 之间的关系→求解→验证）；2. 用数学结果解释现象.※ 知识拓展在给定区间内，若函数()f x 的图象向上凸出，则函数()f x 在该区间上为凸函数，结合图象易得到1212()()()22x x f x f x f ++≥；在给定区间内，若函数()f x 的图象向下凹进，则函数()f x 在该区间上为凹函数，结合图象易得到1212()()()x x f x f x f ++≤.※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 25()a -（a ≠0）化简得结果是（）.A ．－aB ．a 2C ．｜a ｜D ．a2. 若 log 7［log 3（log 2x ）］＝0，则12x =（）.A. 3B.C.D.3. 已知35a b m ==，且112a b+=，则m 之值为（）.A ．15BC ．D ．2254. 若3a ＝2，则log 38－2log 36用a 表示为 .5. 已知lg20.3010=，lg1.07180.0301=，则lg2.5= ；1102= ．1. 化简：（1）222lg5lg8lg5lg20(lg2)3+++；（2）()()24525log 5+log 0.2log 2+log 0.5.2. 若()()lg lg 2lg 2lg lg x y x y x y -++=++，求x y的值．§2.2.2 对数函数及其性质（1）1. 通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；2. 能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；3. 通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养数形结合的思想方法，学会研究函数性质的方法.一、课前准备（预习教材P 70~ P 72，找出疑惑之处）复习1：画出2x y =、1 ()2x y =的图象，并以这两个函数为例，说说指数函数的性质.复习2：生物机体内碳14的“半衰期”为5730年，湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时，碳14的残余量约占原始含量的76.7%，试推算马王堆古墓的年代.（列式）二、新课导学※ 学习探究探究任务一：对数函数的概念讨论：t 与P 的关系？（对每一个碳14的含量P 的取值，通过对应关系logt P =，生物死亡年数t 都有唯一的值与之对应，从而t 是P 的函数）新知：一般地，当a ＞0且a ≠1时，函数log a y x =叫做对数函数(logarithmic function)，自变量是x ；函数的定义域是（0，+∞）.反思：对数函数定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别，如：22log y x =，5log (5)y x = 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数；对数函数对底数的限制 (0a >，且1)a ≠．探究任务二：对数函数的图象和性质问题：你能类比前面讨论指数函数性质的思路，提出研究对数函数性质的内容和方法吗？研究方法：画出函数图象，结合图象研究函数性质．研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．试试：同一坐标系中画出下列对数函数的图象.2log y x =；0.5log y x =.反思：（（2）图象具有怎样的分布规律？※ 典型例题例1求下列函数的定义域：（1）2log a y x =；（2）log (3)a yx =-；变式：求函数y =的定义域.例2比较大小：（1）ln3.4,ln8.5；（2）0.30.3log 2.8,log 2.7；（3）log 5.1,log 5.9a a .小结：利用单调性比大小；注意格式规范.※ 动手试试练1. 求下列函数的定义域.（1）0.2log (6)y x =--；（2）y .练2. 比较下列各题中两个数值的大小.（1）22log 3log 3.5和；（2）0.30.2log 4log 0.7和；（3）0.70.7log 1.6log 1.8和；（4）23log 3log 2和．三、总结提升※ 学习小结1. 对数函数的概念、图象和性质；2. 求定义域；3. 利用单调性比大小.※ 知识拓展对数函数凹凸性：函数()log ,(0,1)a f x x a a =>≠，12,x x 是任意两个正实数.当1a >时，1212()()()22f x f x x xf ++≤；当01a <<时，1212()()()22f x f x x xf ++≥.学习评价※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 当a >1时，在同一坐标系中，函数x y a -=与log a y x =的图象是（）.2. 函数22log (1)y x x =+≥的值域为（）. A. (2,)+∞ B. (,2)-∞ C. [)2,+∞ D. [)3,+∞3. 不等式的41log 2x >解集是（）. A. (2,)+∞ B. (0,2)B. 1(,)2+∞ D. 1(0,)24. 比大小：（1）log 67 log 7 6 ；（2）log 31.5 log 2 0.8. 5. 函数(-1)log (3-)x y x =的定义域是 .1. 已知下列不等式，比较正数m 、n 的大小：（1）3log m ＜3log n ；（2）0.3log m ＞0.3log n ；（3）log a m ＞log a n (a ＞1)2. 求下列函数的定义域：（1）y =（2）y =§2.2.2 对数函数及其性质（2）1. 解对数函数在生产实际中的简单应用；2. 进一步理解对数函数的图象和性质；3. 学习反函数的概念,理解对数函数和指数函数互为反函数,能够在同一坐标上看出互为反函数的两个函数的图象性质.一、课前准备（预习教材P 72~ P 73，找出疑惑之处）复习1：对数函数log (0,1)a y x a a =>≠且图象和性质.复习2：比较两个对数的大小.（1）10log 7与10log 12 ；（2）0.5log 0.7与0.5log 0.8.复习3：求函数的定义域.（1）311log 2y x=- ；（2）log (28)a y x =+.二、新课导学※ 学习探究探究任务：反函数问题：如何由2x y =求出x ？反思：函数2log x y =由2x y =解出，是把指数函数2x y =中的自变量与因变量对调位置而得出的. 习惯上我们通常用x 表示自变量，y 表示函数，即写为2log y x =.新知：当一个函数是一一映射时, 可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量, 而把这个函数的自变量新的函数的因变量. 我们称这两个函数为反函数（inverse function ）例如：指数函数2x y =与对数函数2log y x =互为反函数.试试：在同一平面直角坐标系中，画出指数函数2x y =及其反函数2log y x =图象，发现什么性质？反思：（1）如果000(,)P x y 在函数2x y =的图象上，那么P 0关于直线y x =的对称点在函数2log y x =的图象上吗？为什么？（2）由上述过程可以得到结论：互为反函数的两个函数的图象关于对称.※ 典型例题例1求下列函数的反函数：（1） 3x y =；（2）log (1)a y x =-.小结：求反函数的步骤（解x →习惯表示→定义域）变式：点(2,3)在函数log (1)a y x =-的反函数图象上，求实数a 的值.例2溶液酸碱度的测量问题：溶液酸碱度pH 的计算公式lg[]pH H +=-，其中[]H +表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.（1）分析溶液酸碱度与溶液中氢离子浓度之间的变化关系？（2）纯净水7[]10H +-=摩尔/升，计算其酸碱度.小结：抽象出对数函数模型，然后应用对数函数模型解决问题，这就是数学应用建模思想.※ 动手试试练1. 己知函数()x f x a k =-的图象过点（1，3）其反函数的图象过点（2，0），求()f x 的表达式.练2. 求下列函数的反函数.（1） y =x (x ∈R )；（2）y =log a 2x(a ＞0,a ≠1,x ＞0)三、总结提升※ 学习小结① 函数模型应用思想；② 反函数概念.※ 知识拓展函数的概念重在对于某个范围（定义域）内的任意一个自变量x 的值，y 都有唯一的值和它对应. 对于一个单调函数，反之对应任意y 值，x 也都有惟一的值和它对应，从而单调函数才具有反函数. 反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域，即互为反函数的两个函数，定义域与值域学习评价※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分： 1. 函数0.5log y x =的反函数是（）. A. 0.5log y x =- B. 2log y x =C. 2x y =D. 1()2x y =2. 函数2xy =的反函数的单调性是（）. A. 在R 上单调递增 B. 在R 上单调递减C. 在(0,)+∞上单调递增D. 在(0,)+∞上单调递减3. 函数2(0)y x x =<的反函数是（）. A. (0)y x x =±> B. (0)y x x => C. (0)y x x =-> D. y x =±4. 函数x y a =的反函数的图象过点(9,2)，则a 的值为 .5. 右图是函数1log a y x =，2log a y x =3log a y x =， 4log a y x =的图象，则底数之间的关系为 .课后作业有占总数12的细胞每小时分裂一次，即由1个细1. 现有某种细胞100个，其中胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？（参考数据：lg30.477,lg20.301==）.。

2023版新教材高中数学第二章等式与不等式-不等式及其性质课时作业新人教B版必修第一册

2．2.1　不等式及其性质必备知识基础练1．完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x人，瓦工y人，则工人满足的关系式是( ) A．5x＋4y<200 B．5x＋4y≥200C．5x＋4y＝200 D．5x＋4y≤2002．下列结论中正确的是( )A．若ac＞bc，则a＞b B．若a2＞b2，则a＞bC．若>，则a＞b D．若<，则a＞b3．设M＝3x2－x＋1，N＝x2＋x－1，则( )A．M>NB．M<NC．M＝ND．M与N的大小关系与x有关4．已知c＞a＞b＞0，则________.(填“>”“<”或“＝”)5．若1<a<3，－4<b<2，那么a－|b|的取值范围是( )A．(－3，3] B．(－3，5)C．(－3，3) D．(1，4)6．(1)比较x2＋3与2x的大小；(2)已知a，b为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小．关键能力综合练7．下列不等式中，正确的是( )A．若a－c>b－d且c>d，则a>bB．若a>b且k∈N＋，则a k>b kC．若a>b>0，c>d，则ac>bdD．若a>b，则ac2>bc28．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①A＋B＋C＝90°＋90°＋C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，A＝B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角A，B，C中有两个直角，不妨设A＝B＝90°，正确顺序的序号为( )A.①②③ B．①③②C．②③① D．③①②9．要证明＋<2 可选择的方法有以下几种，其中最合理的为( )A．综合法 B．分析法C．反证法 D．归纳法10．已知α∈(0，)，β∈[0，]，则2α－的取值范围是( )A．(0，) B．(－，)C．(0，1) D．(－，1)11．(多选)已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是( )A．若ab<0，bc－ad>0，则－>0B．若ab>0，－>0，则bc－ad>0C．若bc－ad>0，－>0，则ab>0D．若<<0，则<12．已知1<a<6，3<b<4，求a－b，的取值范围．核心素养升级练13．某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：①男学生人数多于女学生人数；②女学生人数多于教师人数；③教师人数的两倍多于男学生人数．(1)若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________；(2)该小组人数的最小值为________．14．已知a>0，b>0，试比较＋与＋的大小．2．2.1　不等式及其性质必备知识基础练1．解析：由题意可得，总的工资为50x＋40y，又因为现有工人工资预算2 000元，故50x＋40y≤2 000，化简可得5x＋4y≤200.答案：D2．解析：对于A，c＞0时，结论成立，故A不正确；对于B，a＝－2，b＝－1，满足a2＞b2，但a＜b，故B不正确；对于C，利用不等式的性质，可得结论成立；对于D，a＝－1，b＝2，满足<，但a＜b，故D不正确．答案：C3．解析：因为M－N＝3x2－x＋1－(x2＋x－1)＝2x2－2x＋2＝2(x－)2＋>0，所以M>N.答案：A4．解析：因为c＞a，所以c－a＞0，又因为a＞b，所以＞.答案：>5．解析：∵－4<b<2，∴0≤|b|<4，∴－4<－|b|≤0.又∵1<a<3，∴－3<a－|b|<3.答案：C6．解析：(1)(x2＋3)－2x＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2>0，所以x2＋3>2x.(2)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)，因为a>0，b>0，且a≠b，所以(a－b)2>0，a＋b>0.所以(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，即a3＋b3>a2b＋ab2.关键能力综合练7．解析：若a－c>b－d且c>d，则a>b，故A正确；当a＝1，b＝－2，k＝2时，命题不成立，故B错误；令a＝2，b＝1，c＝－2，d＝－3，满足a>b>0，c>d，但推不出ac>bd，故C错误；令c＝0可知D错误．答案：A8．解析：根据反证法的步骤，应该是先提出假设，再推出矛盾，最后否定假设，从而肯定结论．答案：D9．解析：要证明＋<2最合理的方法是分析法．答案：B10．解析：因为α∈(0，)，β∈[0，]，所以2α∈(0，1)，∈[0，]，则－∈[－，0]，所以2α－∈(－，1).答案：D11．解析：对于A，若ab<0，bc－ad>0，不等式两边同时除以ab得－<0，所以A不正确；对于B，若ab>0，－>0，不等式两边同时乘以ab得bc－ad>0，所以B正确；对于C，若－>0，当两边同时乘以ab时可得bc－ad>0，所以ab>0，所以C正确；对于D，由<<0，可知b<a<0，所以a＋b<0，ab>0，所以<成立，所以D正确．答案：BCD12．解析：∵3<b<4，∴－4<－b<－3.∴1－4<a－b<6－3，即－3<a－b<3.又<<，∴<<，即<<2.综上，a－b的取值范围为(－3，3)，的取值范围为(，2).核心素养升级练13．解析：设男学生、女学生、教师人数分别为x，y，z，则x>y>z.(1)若教师人数为4，则4<y<x<8，当x＝7时，y取得最大值6.(2)当z＝1时，1＝z<y<x<2，不满足条件；当z＝2时，2＝z<y<x<4，不满足条件；当z＝3时，3＝z<y<x<6，y＝4，x＝5，满足条件．所以该小组人数的最小值为3＋4＋5＝12.答案：(1)6　(2)1214．解析：方法一　作差法(＋)－(＋)＝(－)＋(－)＝＋＝＝.∵a>0，b>0，∴＋>0，>0，(－)2≥0，∴≥0，∴＋≥＋.方法二　作商法＝＝＝＝＝1＋≥1.∵a>0，b>0，∴＋>0，＋>0，∴＋≥＋.方法三　平方法∵(＋)2＝＋＋2，(＋)2＝a＋b＋2，∴(＋)2－(＋)2＝.∵a>0，b>0，∴≥0，∵＋＞0，＋＞0，∴＋≥＋.。

第2章2.2.1对数的概念

必修一：第二章→对数函数（Ⅰ）
课后检测
2．求下列各式中 x 的值． (1)若
( 1 2x ) log3 9 ＝1，则求
x 的值；
(2)若 log2 015(x2－1)＝0，则求 x 的值．
【解析】
(1) －13；
(2) ± 2 .
必修一：第二章→对数函数（Ⅰ）
课后检测
11 3. lg 4 1000 3 100 _________ 12
a
9 9 【解析】 (1) ；(2) 5 ；(3) 9；(4)125；(5) 2 2
必修一：第二章→对数函数（Ⅰ）
题型探究
【感悟提高】（1）对数的运算是一个难点，关键是要根据要计算的式子的特点联想相应的公式，再进行变形；（2）运算时要注意：loga1=0；logaa=1的运用；
（3）将真数分解为底数的乘积，这是很重要的
①log2[(－3)·(－5)]＝log2(－3)＋log2(－5)；
②log2(M±N)＝logaM±logaN； 1 b ③loga ＝ a . logb 【解析】: ①②
必修一：第二章→对数函数（Ⅰ）
知识导学
4．如何用lg2表示lg5?
【解析】: lg5=1-lg2
必修一：第二章→对数函数（Ⅰ）
题型探究
题型一
对数的概念
【典例 1】(1)底数是 9 时，求 27 的对数． (2)底数是多少时，64 的对数为 3? 2 (3)当底数是 64 时，什么数的对数是－？ 3
3 (1) . 2 1 . 16
【解析】
(2)
4.
(3)
必修一：第二章→对数函数（Ⅰ）
题型探究
【感悟提高】（1）对数是由指数定义的，对数的问题要注意联

22人教版高中数学新教材选择性必修第一册--2.2.1 直线的点斜式方程

[答案] 因为直线平行于轴，所以直线的斜率 = 0 ，所以所求直线的方
程为 − 3 = 0 .
探究点二求直线的斜截式方程
例求下列直线的斜截式方程.
[解析] 思路分析找出斜率和截距，直接代入斜截式方程，即可求解.
（1）斜率为-4，在轴上的截距为7；
[答案] 由题意及直线的斜截式方程知，所求直线的斜截式方程为 =
（2）当为何值时，直线 1 ： = (2 − 1) + 3 与直线 2 ： = 4 −
3 垂直？
[答案] 由题意可知， 1 = 2 − 1, 2 = 4 ， ∵ 1 ⊥ 2 ， ∴ 4(2 − 1) =
− 1 ，解得 =
3
8
3
.
8
故当 = 时，直线 1 ： = (2 − 1) + 3 与直线 2 ： = 4 − 3 垂直.
2.特殊的直线方程：
直线过定点 0 (0 , 0 ) ，
（1）当直线的倾斜角为 0∘ 时， tan 0∘ = 0 ，即 = 0 ，这时直线与
= 0
轴平行或重合，直线的方程是 − 0 = 0 ，即②_______________.
（2）当直线的倾斜角为 90∘ 时，由于 tan 90∘ 无意义，直线没有斜率，这
3.截距一定是正数吗?
提示不一定，因为纵坐标可正、可负、可为0，所以截距可正、可负、
可为0.
4.直线 1 ： = + 2 ，直线 2 ： = 2 + + 1 ，若 1 ∥ 2 ，，则的值
是多少?
2 = 1,
提示若 1 ∥ 2 ，则 ቊ
解得 = −1 .

2019_2020学年新教材高中数学第二章等式与不等式2.2.1不等式及其性质练习新人教B版必修第一册

2.2.1 不等式及其性质一、选择题1．若0a b <<，那么下列不等式中正确的是（）A ．2ab b C ．11a b <D ．11a b> 【答案】D【解析】若0a b <<，则20ab b >>，故A 错， 20a ab >>，故B 错，110b a a b ab--=>，故选D.2．已知实数,,a b c 满足c b a <<且0ac <，则下列选项中不．一定成立的是（） A ．ab ac >B ．()0c b a ->C ．()0ac a c -<D ．22cb ab <【答案】D【解析】因为c b a <<且0ac <，故0,0c a <>，所以ab ac >，故A 正确；又0b a -<，故()0c b a ->，故B 正确；而0,0a c ac -><，故()0ac a c -<，故C 正确；当0b =时，22cb ab =，当0b ≠时，有22cb ab <，故22cb ab <不一定成立，综上，选D.3．已知，则“”是“”的（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【答案】A【解析】a ∈R ，则“a＞1”⇒“”，“”⇒“a＞1或a ＜0”， ∴“a＞1”是“”的充分非必要条件．故选：A ．4．若a ＞b ，c ＞d ，下列不等式正确的是（）A ．c b d a ->-B ．ac bd >C ．a c b d ->-D ．a b d c> 【答案】A【解析】由题意，因为a b >，所以a b -<-，即b a ->-，又因为c d >，所以c b d a ->-，故选：A ．5．已知a ，b ，c ，d R ∈，则下列不等式中恒成立的是( )．A ．若a b >，c d >，则ac bd >B ．若a b >，则22ac bc >C ．若0a b >>，则()0a b c ->D ．若a b >，则a c b c ->- 【答案】D【解析】 A 选项：若1a =，0b =，1c =-，2d =-，则1-=ac ，0bd =；此时ac bd <，可知A 错误；B 选项：若0c =，则220ac bc ==，可知B 错误；C 选项：a b >，则0a b ->；若0c ≤，则()0a b c -≤，可知C 错误；D 选项：若a b >，根据不等式性质可知a c b c ->-，D 正确.本题正确选项：D6．（2019年天津文)设x R ∈，则“05x <<”是“11x -<”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B11x -<等价于02x <<，故05x <<推不出11x -<；由11x -<能推出05x <<。

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1.若直线m 不平行于平面α,且m ⊂α,则下列结论成立的是 ( ) A.α内的所有直线与m 异面 B.α内不存在与m 平行的直线 C.α内存在唯一的直线与m 平行 D.α内的直线与m 都相交
2.若a b b a ,、是异面直线过且与平行的平面 A.不存在
B.存在且只有一个
C.存在无数个
D.只存在两个
3.给出下列四个命题:
①若平面α∥平面β,直线a α⊂,直线b β⊂,则a ∥b; ②直线a ∥直线b a ,⊂平面b α,⊂平面β,则α∥β; ③若平面α∥平面β,直线a α⊂,则a ∥β; ④若直线 a ∥平面a α,∥平面β,则α∥β.
其中正确的命题是( )
A.①②
B.③④
C.④
D.③
4.在空间四边形ABCD 中,E 、F 分别为AB 和BC 上的点,且AE ∶EB=CF ∶FB=1∶3,则对角线AC 和平面DEF 的位置关系是 .
5.如图所示,在棱长为a 的正方体ABCD 1111A B C D 中,E F P Q BC 、、、分别是、C 11D 、AD 1
BD .、的中点
(1)求证:PQ ∥平面11D C C D . (2)求PQ 的长.
(3)求证:EF ∥平面11BB D D .
6.a b c 、、为三条不重合的直线,αβγ、、为三个不重合的平面,现给出六个命题: ① a c b c ⎫⎬⎭ a ⇒∥b;② a b γγ⎫
⎬⎭
a ⇒∥b; ③
c c αβ⎫⎬⎭ α⇒∥β;④ αγβγ⎫
⎬⎭ α⇒∥β; ⑤ c a c α⎫⎬⎭ α⇒∥a;⑥ a γαγ⎫⎬⎭ α⇒∥a.
其中正确的命题是( ) A.①②③ B.①④⑤ C.①④ D.①④⑤⑥
7.在正方体ABCD 1111A B C D 中,M 是棱11A D 上的动点,则直线MD 与平面11A AC C 的位置关系
是… ( ) A.平行 B.相交 C.在平面内 D.相交或平行
8.如图所示,在长方体ABCD 1111A B C D 中112AB AD AA ,==,=,点P 为1DD 的中点.求证:1BD ∥平面PAC.
9.如图所示,在正方体ABCD 1111A B C D 中,S 是11B D 的中点,E 、F 、G 分别是BC 、DC 和SC 的中点.求证:平面EFG ∥平面11BD D B .
10.已知在正方体ABCDA′B′C′D′中,M
N A D A B AMN ''''、分别是、的中点，在该正方体中作出与平面平行的平面，并证明你的结论。