概率论与数理统计3-5

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（1）求S=X+Y的分布律； （2）求T=|X-Y|的分布律；
（3）求V=max（X，Y）的分布律；
（4）求U=min（X，Y）的分布律；
（5）求P{X=2|Y=1}.
步骤：
1.求出Z的分布函数；
2.对于连续型随机变量，再求其概率密度函数。
几何直观：
FZ ( z ) P{Z z} P{ ( X , Y ) z} P{( X , Y ) D} f ( x, y )dxdy
X z N z Y z
由于 X 和 Y 相互独立,于是得到 N = min(X,Y) 的分布 函数为:
FN(z) =1- P(X>z)P(Y>z)
即有
FN(z)= 1-[1-FX(z)][1-FY(z)]
设 X1,…,Xn 是 n 个相互独立的随机变量,它们的 分布函数分别为 FX i z (i = 1, …, n) 我们来求 M=max(X1,…,Xn) 和N=min(X1,…,Xn) 的分布函数. 用与二维时完全类似的方法，可得 M=max(X1,…,Xn)的分布函数为:
这个结论还能推广到n个独立正态随机变量之和
的情况.即若Xi~N(mi,si2)(i=1,2,...,n), 且它们相互独立,
则它们的和Z=X1+X2+...+Xn仍然服从正态分布,且有 Z~N(m1+m2+...+mn, s12+s22+...+sn2).
更一般地, 可以证明有限个相互独立的正态分 布随机变量的线性组合仍然服从正态分布.
例：设随机变量X与Y相互独立，其概率密度分 别为
e y , y 0 1, 0 x 1 fX x fY y 0, others 0, others
求Z=X+Y的概率密度.
例2 在一简单电路中, 两电阻R1和R2串联联接, 设 R1,R2相互独立, 它们的概率密度均为
1. M = max(X,Y) 的分布函数 FM(z)=P{M≤z} =P{X≤z,Y≤z}
X z M z Y z
由于 X 和 Y 相互独立,于是得到 M = max(X,Y) 的分布 函数为: FM(z) =P{X≤z}P{Y≤z} 即有 FM(z)= FX(z)FY(z)
2. N = min(X,Y) 的分布函数 FN(z)=P(N≤z) =1-P(N>z) =1-P(X>z,Y>z)
FM z FX1 z FX 2 z FX n z
N=min(X1,…,Xn)的分布函数是 FN z 1 [1 FX1 z ][1 FX 2 z ][1 FX n z ]
特别地，当X1,…,Xn相互独立且具有相同分 布函数F(x)时，有
' Z

特别地，当 X 和 Y 独立，设 (X,Y) 关于 X , Y 的边 缘密度分别为 fX(x) , fY(y) , 则上述两式化为:
f ( z) Z
卷积公式
f Z ( z ) f X ( z y) fY ( y)dy




f X ( x) fY ( z x)dx
X Y
X Y
X
Y
L1
L2 L2
L2
三、Z=X2+Y2的分布 例 设X和Y 是两个相互独立的随机变量 , 具有相同
的分布 N(0,1) , 求 Z=X2+Y2的概率密度.
D

( x , y ) z

f ( x, y )dxdy
其中D {( x, y ) | ( x, y ) z}.
一、Z X Y 的分布
若 X、Y 独立，P(X=k)=ak , P(Y=k)=bk , k=0 , 1 , 2 ,…, 求 Z=X+Y 的概率函数.
P( Z r ) P( X Y r )
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
10 x , 0 x 10, f ( x) 50 0, 其它.
求总电阻R=R1+R2的概率密度.
x x=10
x=z
x=z10
O
10
20
z
二、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布
设 X，Y 是两个相互独立的随机变量，它们的分 布函数分别为FX(x) 和 FY(y),考虑 M = max(X,Y) 及 N = min(X,Y) 的分布函数.
§５两个随机变量函数的分布 在第二章中，我们讨论了一维随机变量函 数的分布，现在我们进一步讨论: 当随机变量 X, Y 的联合分布已知时，如何 求出它们的函数 Z = g ( X, Y ) 的分布?
例：设随机变量（X，Y）的分布律为 X 0 0 0.2 1 0.2 0.1 2 0.3 0.2
Y 0
FM z [ F z ]n FN z 1 [1 F z ]
n
例 设系统 L 由两个相互独立的子系统 L1 , L2 连接而成,连接的方式分别为 (i) 串联, (ii) 并联, (iii) 备用 (当系统 L1 损坏时, 系统 L2 开始工作) , 如下图 所示.设 L1 , L2 的寿命分别为 X ,Y , 已知它们的概 率密度分别为 αe αx , x 0 , βe βy , y 0 , fX x fY y x0, y0, 0 , 0 , 其中 α 0, β 0且 α β .试分别就以上三种连接方 式写出 L的寿命 Z 的概率密度. L1 L1
设X和Y的联合密度为 f (x,y) , 求 Z=X+Y 的概率密度.
Z=X+Y的分布函数是:
FZ z P Z z P X Y z
y

x y z

f ( x, y )dxdy
0
x
x y z
这里积分区域 D={(x, y): x+y ≤z} 它是直线 x+y =z 及其左下方的半平面.
P ( X i, Y r i ) P( X i ) P(Y r i )
i 0 i 0 r r
由独立性
=a0br+a1br-1+…+arb0
r=0,1,2, …
例 若 X 和 Y 相互独立,它们分别服从参数为λ1 ,λ2 的泊松分布, 证明Z=X+Y服从参数为λ1 +λ2的泊松分布。
FZ ( z )
x y z

f ( x, y )dxdy
zx
[



f ( x, y )dy ]dx

f Z ( z ) F ( z ) f ( x, z x)dx
' Z
若先对x积分，且考虑x与y的对称性，则得
f Z ( z ) F ( z ) f ( z y, y)dy

记为f X * fY , 即f X * fY


f X ( x) fY ( z x)dx
f X ( z y ) fY ( y )dy。
例 若X和Y 是两个相互独立的随机变量 , 具有相同 的分布 N(0,1) , 求 Z=X+Y 的概率密度.
一般, 设X,Y相互独立,且X~N(m1,s12), Y~N(m2,s22). 由 (5.4)式经过计算知Z=X+Y仍然服从正态分布, 且有 Z~N(m1+m2,s12+s22).