6.2有限时间状态调节器
LQR和PID控制器在飞行器高度控制中的应用讲解
2 S E C T I O N
PID控制器
PID控制器是根据PID控制原理对整个控制系统进行偏差调节， 从而使被控变量的实际值与工艺要求的预定值一致。不同的控制规 律适用于不同的生产过程，必须合理选择相应的控制规律，否则 PID控制器将达不到预期的控制效果。
PID控制器既有比例作用的及时迅速，又有积分作用的消除余 差能力，还有微分作用的超前控制功能。
即要求 t f
设线性时变系统状态方程为：
•
x(t) A(t)x(t) B(t)u(t), x(t0 ) x0
性能指标为：
J 1 [xT (t)Q(t)x(t) uT (t)R(t)u(t)]dt 20 式中，向量 x(t) Rn ,u(t) Rm ，矩阵
A(t)为n n维时变系统矩阵， B(t)为n m维增益矩阵
x(t)
R1(t)BT (t)
x(t) A(t)x(t) B(t)u(t)
(t )
P(t)
LQR即线性二次型调节器，其对象是现在控制理论中以状态空间形 式给出的线性系统，而目标函数为对象状态和控制输入的二次型函数， 在现代控制理论中占有非常重要的位置，受到控制界的普遍重视。LQR 控制方法的优势在于其控制方案简单，超调量小，且响应速度快。
8
6
4
x1 2
x3 0
x2
-2
0
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
时 间 /sec
Q=diag(1,100,0),R=2时 控 制 输 入 U的 响 应 曲 线 2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
0
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
LQR和PID控制器在飞行器高度控制中的应用讲解
3
仿真
Q=diag(1,0,0),R=2000时 控 制 输 入 U的 响 应 曲 线 0.1
响应 响应
x(t)
R1(t)BT (t)
x(t) A(t)x(t) B(t)u(t)
(t )
P(t)
LQR即线性二次型调节器，其对象是现在控制理论中以状态空间形 式给出的线性系统，而目标函数为对象状态和控制输入的二次型函数， 在现代控制理论中占有非常重要的位置，受到控制界的普遍重视。LQR 控制方法的优势在于其控制方案简单，超调量小，且响应速度快。
part
LQR控制器：
应用MATLAB进行仿真，通过lqr()函数来求解系统的反馈 矩阵K(t) , 进而求出控制律 。在仿真过程中通过改变Q阵和R 阵来观察系统特性的变化
所画的状态响应曲线及控制输入U的响应曲线如下图所示：
（1）Q=diag(1,0,0),R=2时，由MATLAB求得最优状态反馈
(t ) (t) (t )
U
T
RU
(t
)dt
初始状态为: [x1(t), x2 (t), x3 (t)]T [10,0,0]T
对如下给定的Q、R矩阵进行仿真和分析:
①
1 0 0 Q 0 0 0, R 2
0 0 0
②
1 0 0 Q 0 0 0, R 2000
0 0 0
10 0 0
即要求 t f
最优控制理论_第五章
(t ) [ A(t ) B(t ) R 1 (t ) BT (t ) K (t )]x(t ) x x(t0 ) x0
几点说明：
1) 最优控制规律是一个状态线性反馈规律，它能方便地实现闭环最优控制； 2) 由于K(t)是非线性微分方程的解，通常情况下难以求得解析解，需要由计算 机求出其数值解，又因为其边界条件在终端处，所以需要逆时间方向求解，因 此应在过程开始之前就将K(t)解出，存入计算机以供过程使用； 3) 只要控制时间[t0,tf]是有限的， 是有限的 K(t)就是时变的（即使状态方程和性能指标J是定 常的），因而最优反馈系统将成为线性时变系统； 4) ) 将最优控制u*(t)及最优状态轨线x*(t)代入性能指标函数，得性能指标得最小 值为：
2:无限时间状态调节器
设线性定常系统状态方程为
(t ) Ax (t ) Bu (t ), x
x (t 0 ) x 0
[A,B]能控，u(t)不受约束，二次型性能指标为
J
1 T T [ x ( t ) Qx ( t ) u (t ) Ru (t )]dt t 2 0
Q 0, Q Q T , R 0, R R T
其中Q，R为常数矩阵
要求确定最优控制u*(t)，使J为最小。 与有限时间状态调节器相比，有如下几点不同： 1)系统是时不变的，性能指标中的权矩阵为常值矩阵。 2）终端时刻 t f
当[t0，tf ]为有限时间时，最优控制系统是时变的；
u * (t ) R 1 (t ) B T (t ) K (t ) x(t )
其中对称矩阵K(t)是下列黎卡提方程的唯一解
(t ) K (t ) A(t ) AT (t ) K (t ) K (t ) B (t ) R 1 (t ) B T (t ) K (t ) Q (t ) K K (t f ) P
最优控制线性二次型问题
(5 18)
第6章 线性二次型最优控制问题
2.应用其性质求解p(t)
下面思路：
(t ) P(t ) x(t )
(5 17 )
x Ax BR 1 BT H Qx AT Qx AT Px x
最优轨为如下时变一阶微分方程的解(可得出解析解）
x(t ) ax(t ) u (t ) [a
1 p(t )] x(t ) r
x(0) x0
第6章 线性二次型最优控制问题
利用matlab求解黎卡提方程的解（数值解） 文件名：dfun1.mat
function dy = dfun1(t,y)
e(t ) yr (t ) y(t )
1) 2) 3) C (t ) I yr (t ) 0 yr (t ) 0 yr (t ) 0 y(t ) e(t ) y(t ) x(t ) e(t ) 输出调节器 跟踪问题 状态调节器
e(t ) yr (t ) y(t )
终端时间t , 无限时间问题
6.2.2 无限时间状态调节器问题 设线性定常系统的状态方程为
x(t ) Ax(t ) Bu(t )
(5 1)
初始条件x(t0 ) x0 , 终端时间t
假设控制向量 u(t ) 不受约束 ，求最优控制 u * (t ) ，使系统的二次型 性能指标取极小值。
dy = zeros(1,1); a=-1; % a column vector
q=1;
r=1; dy(1)= -2*a*y(1)+y(1)^2-q;
第6章 线性二次型最优控制问题
利用matlab求解黎卡提方程的解（数值解） 文件名：cal_p.mat(主程序） options = odeset('RelTol',1e-4,'AbsTol',1e-4);
(2021年整理)最优控制理论考试重点
（完整）最优控制理论考试重点编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（完整）最优控制理论考试重点）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（完整）最优控制理论考试重点的全部内容。
1．最优控制问题的性能指标(1)积分型性能指标(拉格朗日型）：⎰=ft t dt t t u t x L u J 0]),(),([)(反映控制过程偏差在某种意义下的平均或控制过程的快速性，同时能反映燃料或能量的消耗。
（2)末值型性能指标（梅耶型）：]),([)(f f t t x u J φ=,接近目标集程度,即末态控制精度的度量. (3)综合性能指标（鲍尔扎型）：⎰+=ft t f f dt t t u t x L t t x u J 0]),(),([]),([)(φ.2．最优控制问题的数学模型给定系统的状态方程：]),(),([)(t t u t x f t x =•;状态方程的边界条件:⎩⎨⎧∈===St x t t x t x t t f f )(,)(,000;给定性能指标：⎰+=f tt f f dt t t u t x L t t x u J 0]),(),([]),([)(φ；允许控制域u （t ）：U t u ∈)(。
3．最优控制应用的几种类型：最短时间控制，最小能量控制，线性调节器,最少燃料消耗控制，线性跟踪器。
4．选取性能指标注意：应能反映对系统的主要技术条件要求，便于对最优控制进行求解，所导出最优控制易于实现。
5．边界条件：指状态向量在起点或终点的所有容许值的集合。
6．横截条件:依据性能指标的要求，从容许值的集合中选择哪一点作为始态或终态的问题。
最 优 控 制 教 案第四章 线性二次型性能指标的最优控制问题
许多控制问题可以转化为线性二次型问题；其最优解可以写成统一的解析表达式，理论比较成熟第四章 线性二次型性能指标的最优控制问题4.1概述如果所研究的系统为线性，所取的性能指标为状态变量与控制变量的二次型函数，则这种动态系统的最优控制问题，称为线性二次型问题。
设线性时变系统的状态方程为()()()()(),()()()xt A t x t B t u t y t c t x t =+=在工程实际中，希望：系统输出y(t)尽量接近某一理想输出y r (t) 定义误差：e(t)= y r (t)- y(t)求最优控制u *(t)，使下列性能指标极小：11()()[()()()()()()]22ft T T T f f t J e t Fe t e t Q t e t u t R t u t dt =++∫F 为对称非负定常阵，Q(t)为对称非负定时变矩阵，R(t)为对称正定时变矩阵，t 0,t f 固定。
上式中系数21是为了简化计算。
指标的物理意义：使系统在控制过程中的动态误差与能量消耗，以及控制结束时的系统稳态误差综合最优。
(1) 状态调节器问题若c(t) = I, y r (t) = 0, 则有e(t)= - y(t)= - x(t)11()()[()()()()()()]22f t T TT f f t J x t Fx t x t Q t x t u t R t u t dt =++∫此时系统可归纳为：当系统受扰动偏离平衡零状态时，要求产生一控制向量，使系统状态x(t)保持在零状态附近。
(2) 输出调节器若 y r (t) = 0, 则有e(t)= - y(t)11()()[()()()()()()]22ft T T T f f t J y t Fy t y t Q t y t u t R t u t dt =++∫ 此时系统可归纳为：当系统受扰动偏离平衡零状态时，要求产生一控制向量，使系统输出y(t)保持在零状态附近。
最优化控制 线性二次型最优控制问题
用不大的控制能量，使系统状态X(t)保持在零值 附近——状态调节器问题。
7
线性二次型最优控制问题的几种特殊情况
若Yr(t)0，则 e(t) Yr (t) Y (t)
于是性能指标可写为
J
1 2
[Yr
(t
f
) Y (t f
)]T
S[Yr (t f
) Y (t f
)]
1 2
性能指标的物理意义
➢性能指标中的第一部分
1 2
eT
(t
f
)Se(t
f
)
称作终端代价，用它来限制终端误差e(tf) ，以保证
终端状态X(tf)具有适当的准确性。
➢性能指标中的第二部分
1 tf eT (t)Q(t)e(t)
2 t0
称作过程代价，用它来限制控制过程的误差e(t)，
以保证系统响应具有适当的快速性。 9
t
f
]
(t f ) P(t f )X (t f )
(t f ) SX (t f )
所以，
P(t f ) S
矩阵黎卡提(Riccati)微分方程 的边界条件
21
P(t)的3个重要性质:
由微分方程理论的存在与唯一性定理，可以证明P(t) 存在而且唯一。 对于任意的t[t0，tf]， P(t)均为对称阵，即P(t)＝PT(t)。
由(1)和(2)，得
[P&(t) P(t)B(t)R1(t)BT (t)P(t) P(t) A(t) AT (t)P(t) Q(t)]X (t) 0 20
由于X(t)是任意的，所以有
P&(t) P(t)B(t)R1(t)BT (t)P(t) P(t) A(t) AT (t)P(t) Q(t) 0
最优控制理论与系统胡寿松版课后习题答案
最优控制理论与系统胡寿松版课后习题答案(总32页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--2-5 求通过(0)1x =，(1)2x =，使下列性能泛函为极值的极值曲线*()x t ：2(1)ft t J x dt =+⎰解：由题可知，始端和终端均固定，被积函数21L x =+，0L x ∂=∂，2L x x ∂=∂， 2d L x dt x ∂⋅=∂ 代入欧拉方程0L d Lx dt x∂∂-⋅=∂∂，可得20x =，即0x =故1x c = 其通解为：12x c t c =+代入边界条件(0)1x =，(1)2x =，求出11c =，21c = 极值曲线为*()1x t t =+2-6 已知状态的初值和终值为(1)4x =，()4f x t =式中f t 自由且f t >1，试求使下列性能泛函达到极小值的极值轨线*()x t ：211[2()()]2ft J x t x t dt =+⎰ 解：由题可知，2122L x x =+，()4f t ψ=，()14x =，()4f x t = 欧拉方程：L 0d Lx dt x∂∂-=∂∂ 横截条件：()00t x =x ，()()f f x t t ψ=，()0fTt L L x x ψ∂⎛⎫+-= ⎪∂⎝⎭易得到2dxdt= 故12x t c =+ 其通解为：()212x t t c t c =++根据横截条件可得：()()()122121114424f f f f f x c c x t t c t c x t t c ⎧=++=⎪⎪=++=⎨⎪=+=⎪⎩解以上方程组得：12569f t c c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 还有一组解⎪⎩⎪⎨⎧===12121c c t f (舍去，不符合题意f t >1)将f t ，1c ，2c 代入J 可得3140)3(4)212(50250.2*=-=+=⎰⎰•t dt x x J . 极值轨线为()*269x t t t =-+2-7 设性能泛函为120(1)J x dt =+⎰求在边界条件(0)0x =，(1)x 自由情况下，使性能泛函取极值的极值轨线*()x t 。
现代控制理论论文
摘要最优控制，又称无穷维最优化或动态最优化，是现代控制理论的最基本，最核心的部分。
它所研究的中心问题是：如何根据受控系统的动态特性，去选择控制规律，才能使得系统按照一定的技术要求进行运转，并使得描述系统性能或品质的某个“指标”在一定的意义下达到最优值。
最优控制问题有四个关键点：受控对象为动态系统；初始与终端条件（时间和状态）；性能指标以及容许控制。
一个典型的最优控制问题描述如下：被控系统的状态方程和初始条件给定，同时给定目标函数。
然后寻找一个可行的控制方法使系统从输出状态过渡到目标状态，并达到最优的性能指标。
系统最优性能指标和品质在特定条件下的最优值是以泛函极值的形式来表示。
因此求解最优控制问题归结为求具有约束条件的泛函极值问题，属于变分学范畴。
变分法、最大值原理（最小值原理）和动态规划是最优控制理论的基本内容和常用方法。
庞特里亚金极大值原理、贝尔曼动态规划以及卡尔曼线性二次型最优控制是在约束条件下获得最优解的三个强有力的工具，应用于大部分最优控制问题。
尤其是线性二次型最优控制，因为其在数学上和工程上实现简单，故其有很大的工程实用价值。
关键词：最优控制；控制规律；最优性能指标；线性二次型AbstractThe optimal control, also called dynamic optimization or infinite dimension, optimization of modern control theory, the most basic part of the core. It is the center of the research question: how to control system based on the dynamic characteristics, to choose, can control system according to certain technical requirements, and makes the operation performance of the system or the quality of describing a "index" in certain significance to achieve optimal value. The optimal control problem has four points for dynamic systems, controlled, The initial and terminal conditions (state) and, Performance index and allow control.A typical of optimal control problem is described as follows: the state equation and initial conditions are given, and given the objective function. Then a feasible method for the control system of the output state transition to the target state and optimum performance. The optimal performance index and quality in the specific conditions of the optimal value is functional form. Therefore solution of optimal control problem is due to the constraint condition of functional, belongs to the category of variational learning. The variational method, the maximum principle (minimum principle) and dynamic planning is the optimal control theory, the basic contents and methods. The Pontryagin maximum principle, Behrman dynamic programming and Kaman linear quadratic optimal control is obtained in the constraint condition of the optimal solution of the three powerful tools, used in the most optimal control problem. Especially the linear quadratic optimal control, because its in mathematics and engineering implementation is simple, so it has great practical value.Key words: The optimal control, Control rule, optimal performance indicators, The linear quadratic一绪论1.1背景和意义要求将最优控制问题典型解决方法变分法、极值原理和动态规划及其在时间最短控制问题的应用和线性二次型最优控制问题（包括线性二次型实验及仿真结果）作为主要内容。
卡乐UAC控制器
选件： RS485串行板； 时钟/存储板，用于报警记录及时区管理； 风机控制模块； 程序转载器。
编程：
时钟功能中，表示一周内的日期序数。
显示时钟；时钟设定。
2.2 状态指示灯 右图是前面板的LED指示灯，反映控制器的主要状态：电源开启、报警发生、远控开关的输入状态等。
Line(电源，黄色)：控制器上电。 Alarm(报警，红色)：机组报警(仅当蜂鸣器被激活时显示屏上的喇叭标志才出现)。 On(运行，绿色)：机组经按键或上级监控系统(视乎EEPROM的变量)指令而开机。但有效的机组运行状态 取决于远控开关、有效的时区、以及来自主令机组的待命条件(如果一系列机组组成轮值系统)，一旦真正运 行，显示屏出现风机的标志。 显示屏上的ON-OFF标志仅表示远控开关触点的状态。 2.3按键
3.4 初步的启动过程 控制器的接线参看接线图，按下述进行。 1. 连接传感器和电源：传感器的位置最远可距控制器50米。导线截面最小1mm2 ；为提高抗干扰能力， 建议采用屏蔽电缆，屏蔽网只能有靠近控制器的一端接地。 2. 为控制器编程，详细描述见第5章。 3. 连接执行机构；建议仅当控制器编程完成后再连接插座1和3。 3.5I/O(输入输出)板 右图即是I/O板，可以看到： 下部的Molex插座1、2、3，用于主电路连接； 上部左数第二个插座，用于插入程序转载器， 可为μAC编程或下载现存数据； 时钟板(选件，MAC2CLK000)插座； RS485串行通讯板(选件，MAC2SER000)插座； I/O板中部的跳线用于选择传感器B3的信号 (4~20mA或0~1Vdc)，出厂默认为0~1Vdc。
线性调节器的分类及原理
线性调节器可以分为有限时间调节器和无限时间调节器两类。
有限时间调节器指控制过程结束时间τ为有限值时的线性调节器。
它的调节规律的表达式为 u*（t）＝-R-1BTP（t）x（t）
式中R-1为逆矩阵，而 P（t）可由求解如下形式的黎卡提矩阵微分方程来确定：
有限时间调节器作用相当于一个线性状态反馈。
其特点是不管被控对象是时变的还是定常的，调节器必定是时变的。
下图为有限时间线性调节器和整个最优调节系统的框图。
无限时间调节器控制作用结束时间τ为无穷大时的线性调节器。
只有在被控对象为完全能控（见能控性）的条件下，无限时间调节器才能使系统的偏离运动最终回复到原平衡状态。
这类调节器问题的性能指标中的第一项必定是零，因此常可将其删去。
无限时间调节器的调节规律的表达式是 u*（t）＝－
R-1BTPx（t）
式中P由求解下列黎卡提矩阵代数方程来定出： PA＋ATP－PBR-1BTP＋Q＝0
无限时间调节器也是由线性状态反馈构成的。
与有限时间调节器不同，无限时间调节器当被控对象为定常时也一定是定常的。
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最优控制和自适应控制及其智能控制
第四十一章最优控制和自适应控制及其智能控制第一节最优控制［!、"］一、基于变分法的最优控制问题求解最优控制是经典控制理论发展到现代控制理论的重要标志之一。
这里“最优”一词指的是相对于某一给定性能指标最优，如使控制过程的时间最短，燃料消耗最少，或者误差最小，而不是任何性能指标下都是最优的。
给定受控系统的状态方程!"##（"，$，%）寻求不受约束的控制向量$，使系统从初始状态"（%$）#"$在时间间隔［%$，%%］内转移到"（%%）且满足等式约束&［"（%%），%%］#$这里&为’维向量函数；并使指标&取极值(#)［"（%%），%%］’!%%%$*（"，$，%）(%利用变分法求解最优控制时，首先构造哈密尔顿函数+和增广泛函(,。
+#*（"，$，%）’!)#（"，$，%）#+（"，$，!，%）(,#)［"（%%），%%］’")&［"（%%），%%］’!%%%$［+（"，$，!，%）*!)!"］(%式中，"为-维、.为’维拉格郎日乘子向量。
由变分#(,#$导出的极值必要条件为：伴随方程!!#*"+"!状态方程!"##（"，$，%）#"+"!控制方程"+"$#$终端约束&［"（%%），%%］#$横截条件!（%%）#")""（%%）’"&)""（%%）.用计算机联立求解上面五个方程，可得到最优控制问题的数值解。
二、极小值原理与动态规划用变分法求解最优控制问题时，均假定控制!不受约束，并且存在惟一的偏导数!"#!!。
然而任何实际的控制量均限制在允许范围内变化，即!"!或!!$!#%&，$"#，…，’有些问题中!"#!!不存在，在这些情况下，可利用极小值原理求解。
AQ 3036-2010 危险化学品重大危险源 罐区现场安全监控装备设置规范
AQ 3036-2010前 言本标准第4章的4.2.1、4.2.5、4.2.6，第5章的5.2，第6章的6.1.1.3、6.2.4、6.2.12、6.2.13、6.3.1、6.3.7，第7章的7.1、7.2.1、7.3.2，第8章的8.3、8.4，第10章的10.1，第12章的12.2、12.3.4为强制性条款，其余为推荐性条款。
本标准是危险化学品重大危险源罐区监控装备设置规范。
本标准由国家安全生产监督管理总局提出。
本标准由全国安全生产标准化技术委员会化学品安全分技术委员会（TC 288/SC 3）归口。
本标准主要起草单位：中国安全生产科学研究院、华瑞科力恒（北京）科技有限公司、北京科学技术研究院安全工程技术研究中心。
本标准主要起草人：吴宗之、关磊、魏利军、刘骥、聂剑红、马瑞岭、孔祥霞。
本标准为首次发布。
危险化学品重大危险源 罐区 现场安全监控装备设置规范1 范围本标准规定了危险化学品重大危险源罐区现场安全监控装备的设置要求和管理。
本标准适用于化工（含石油化工）行业危险化学品重大危险源罐区现场安全监控设备的设置，其它行业可参照执行。
2 规范性引用文件下列文件对于本文件的应用是必不可少的。
凡是注日期的引用文件，仅注日期的版本适用于本文件。
凡是不注日期的引用文件，其最新版本（包括所有的修改单）适用于本文件。
GB 3836 爆炸性气体环境用电气设备GB 12158 防止静电事故通用导则GB 12358 作业环境气体监测报警仪通用技术要求GB 16808 可燃气体报警控制器技术要求和试验方法GB 17681 易燃易爆罐区安全监控系统验收技术要求GB 50058 爆炸和火灾危险环境电力装置设计规范GB 50074 石油库设计规范GB 50116 火灾自动报警系统设计规范GB 50160 石油化工企业设计防火规范GB 50257 电气装置安装工程爆炸和火灾危险环境电气装置施工及验收规范GB 50493 石油化工可燃气体和有毒气体检测报警设计规范AQ XXXX―XXXX 危险化学品重大危险源安全监控通用技术规范HG/T 20507 自动化仪表选型设计规定HG/T 21581 自控安装图册SH 3005 石油化工自动化仪表选型设计规范SH/T 3019 石油化工仪表管道线路设计规范SH 3097 石油化工静电接地设计规范SH/T 3104 石油化工仪表安装设计规范3 术语和定义本标准采用下列术语和定义。
第二章-线性系统理论-2.7最优控制
信息科学与技术学院自控教研室
二、研究最优控制的前提条件
在研究确定性系统的最优控制时，前提条件是： 1.给出受控系统的动态描述，即状态方程 对连续时问系统 对离散时间系统
2.7 最优控制
（6）
2.明确控制作用域 在工程实际问题中，控制矢量 意大。即 上式的点 往往不能在 空间中任意取值，
而必须受到某些物理限制，例如，系统中的控制电压，控制功率不能取得任 要满足某些约束条件，这时，在 的集合，记作： 空间中，把所有满足
信息科学与技术学院自控教研室
2.7 最优控制
3 无限时间状态调节器问题 对于无限时间状态调节器，这里要强调以下几点： 1)适用于线性定常系统，且要求系统完全能控，而在有限时间状态调节 器中则不强调这一点。 2)在性能泛函中，由于 去了意义，即 3)与有限时间状态调节器一样，最优控制也是全状态的线性反馈，结构 图也与前面的相同。但是，这里的P 是n×n 维的实对称常矩阵，是黎卡捉矩 阵代数方程的解。因此，构成的是一个线性定常闭环系统。 4)闭环系统是渐近稳定的，即系统矩阵 的特征值均具 信息科学与技术学院自控教研室 ，而使终端泛函 失
1
P(t ) 是下列黎卡提代数微分方程的解：
PA AT P PBQ2 BT P C T Q1C 0 g [ PBQ2 BT AT ]1 C T Q1 z
最优轨线满足： x (t ) [ A BQ 1BT P]x BQ 1BT g 2 2 信息科学与技术学院自控教研室
2.7 最优控制
相应的始端集为：
此时，
则称为可变始端。
和终端状态 都是给
4．明确终端条件 类似于始端条件，固定终端是指终端时刻 定的。 自由端则是在给定 则是指 情况下，
微小卫星三轴稳定磁控算法工程应用
微小卫星三轴稳定磁控算法工程应用袁勤;寇义民;季艳波;李春【摘要】为降低微小卫星的成本和提高卫星可靠性,研究采用磁力矩器作为唯一执行机构对卫星进行三轴姿态稳定的问题.利用线性二次型调节器(Linear Quadratic Regulator,LQR)最优控制理论分别设计无限时间状态调节器和定常增益状态调节器,实现纯磁控下的微小卫星对地三轴稳定控制.同时结合卫星实际工程应用,以在轨飞行的"开拓一号"卫星为研究对象,分析卫星惯量积、轨道倾角、剩磁干扰、气动干扰等因素对控制精度的影响.仿真结果表明LQR控制器具有稳定性和实用性,在小干扰情况下,控制精度较高.%To reduce the cost and improve the reliability of micro-satellites,a method which employing magnetic torques as the only actuators was developed to realize three axis stable control.Then by using linear quadratic regulator(LQR)optimal control theory,the infinite time state regulator and steady gain regulator were designed to stabilize micro-satellite to nadir pointing using fully magnetic torques.Meanwhile,taking KaiTuo-1 satellite in-orbit flight as the research object,the product of inertia,orbit inclination,residual magnetism and aerodynamic drag disturbance that brings different effects for the control precision were analyzed.Simulation results validate efficiency and practicability of LQR controller.It can achieve high control precision under little disturbance.【期刊名称】《中国空间科学技术》【年(卷),期】2017(037)004【总页数】6页(P28-33)【关键词】微小卫星;三轴姿态稳定;磁控;最优控制;控制精度【作者】袁勤;寇义民;季艳波;李春【作者单位】深圳东方红海特卫星有限公司,深圳 518054;深圳东方红海特卫星有限公司,深圳 518054;哈尔滨工业大学控制工程系,哈尔滨 150001;深圳东方红海特卫星有限公司,深圳 518054;深圳东方红海特卫星有限公司,深圳 518054【正文语种】中文【中图分类】V412.4Key words：micro－satellite；3－axis attitude stability；magnetic control；optimal control；control precision微小卫星具有设计集成度高、成本低、研制周期短、发射灵活等优点，在空间活动中发挥越来越重要的作用。
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若把 (t f , t )分成四个子矩阵 11 (t f , t ) 12 (t f , t ) (t f , t ) ( t , t ) ( t , t ) 22 f 21 f 则(2)式变为 x (t f ) 11 (t f , t ) x (t ) 12 (t f , t ) (t ) （3） （4）
1 11 f 0 f
(t ) 22 (t f , t ) F12 (t f , t )1 F11 (t f , t ) 21 (t f , t )x (t )
21
(t f , t )
则 (t ) P (t ) x (t )
4
P ( t )为n n维 时 变 矩 阵 ， 它 与 末 时 端 间t f 和 末 态加权矩阵 F有 关 ， 而 与 初 始 状 态 关 无， 可 表 示 为P ( t , F , t f )。 u* ( t ) R 1 ( t ) B T ( t ) ( t ) R 1 ( t ) B T ( t ) P ( t ) x ( t ) k ( t ) x( t ) 其 中k ( t ) R 1 ( t ) B T ( t ) P ( t )称 为 最 优 反 馈 增 益 矩 。 阵
*
及其边界条件 P ( t f ) F时 ，HJB方 程 及 其 边 界 条 件 均 立 成。 因此， (12)式 是 最 优 控 制 的 充 分 件 条， (11)式 制 的 充 要 条 件 定 理6.1 对 于 问 题 6.2， 最 优 控 制 的 充 要 条 为 件 u* ( t ) R 1 ( t ) B T ( t ) P ( t ) x * ( t ) 其 中x * ( t )是 相 应 于 u* ( t )的 最 优 轨 线 ， P ( t )是Riccati方 程 ( t ) P ( t ) A( t ) AT ( t ) P ( t ) P ( t ) B( t ) R 1 ( t ) B T ( t ) P ( t ) Q ( t ) P 满足边界条件 P (t f ) F 的解。
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比 较u* ( t ) R 1 ( t ) B T ( t ) P ( t ) x( t )， 应 取
将u* ( t ) R 1 ( t ) B T ( t ) P ( t ) x( t )和J * x( t ), t 代 入HJB方 程 ， 得
1 T x ( t ) P ( t ) x( t ) 2
代 入(5)式 ， 得 (t ) P ( t ) P ( t ) A( t ) P ( t ) B( t ) R 1 ( t ) B T ( t ) P ( t ) x( t ) ( t ) Q( t ) x( t ) AT ( t ) ( t ) 再由协态方程
J * x( t f ), t f 成立。
1 T x ( t f )Fx ( t f ) 2
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1 T 当 取J x( t ), t x ( t ) P ( t ) x( t ) (11) 2 u* ( t ) R 1 ( t ) B T ( t ) P ( t ) x ( t ) (12) 且P ( t )满 足Riccati方 程 ( t ) P ( t ) A( t ) AT ( t ) P ( t ) P ( t ) B( t ) R 1 ( t ) B T ( t ) P ( t ) Q( t ) P
1 T ( t ) x( t ) 1 x T ( t )Q( t ) x( t ) 1 x T ( t ) P T ( t ) B( t ) R 1 ( t ) B T ( t ) P ( t ) x( t ) x (t ) P 2 2 2 x T ( t ) P T ( t ) A( t ) x( t ) 0 ( 8) P (t ) P T (t ) 1 1 T T x ( t ) P ( t ) A( t ) x( t ) P ( t ) x( t ) A( t ) x( t ) A( t ) x( t ) P ( t ) x( t ) 2 2 1 T 1 T x ( t ) P ( t ) A( t ) x( t ) x ( t ) AT ( t ) P ( t ) x( t ) ( 9) 2 2 将(9)式 代 入 (8)式 ， 得
6
P ( t )与 初 态 无 关 上 式 对 任 意 状 态 都 成， 立 故P ( t )是 如 下 矩 阵 微 分 方 程 解 的： ( t ) P ( t ) A( t ) AT ( t ) P ( t ) P ( t ) B( t ) R 1 ( t ) B T ( t ) P ( t ) Q( t ) P 此 即Ricatti方 程 。 ( t f ) Fx ( t f ) 且 ( t f ) P ( t f ) x ( t f ) P (t f ) F 此 即Ricatti方 程 的 边 界 条 件 。
T T
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1 T ( t ) P ( t ) A( t ) AT ( t ) P ( t ) P ( t ) B( t ) R 1 ( t ) B T ( t ) P ( t ) Q( t ) x ( t ) 0 x (t ) P 2 (10) 当P ( t )满 足Riccati方 程 时 ， (10)式 中 括 号 内 矩 阵 为 零 则 ，方 程 (10)对 任 何 x( t ) 都成立，也即 HJB方 程 成 立 。 1 T * 当取性能指标 J x( t ), t x ( t ) P ( t ) x( t )时 ， 有 2 1 J * x( t f ), t f x T ( t f ) P ( t f ) x ( t f ) 2 可见当 P ( t f ) F时 ， 能 使 HJB方 程 的 边 界 条 件
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3. P ( t )的 性 质 1 ）Riccati方 程 的 解 P ( t )存 在 且 唯 一 2 ）P ( t )为 对 称 非 负 定 矩 阵
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4. 最 优 控 制 的 充 分 条 件 问 题6.2的HJB方 程 为 J * x ( t ), t 1 1 m in x T ( t )Q( t ) x( t ) uT ( t ) R( t )u( t ) u( t ) t 2 2 J x( t ), t J x ( t ), t A( t ) x ( t ) B( t )u( t ) 0 x ( t ) x ( t )
（ 6 ）
Q( t ) x( t ) AT ( t ) P ( t ) x( t ) （ 7 ） 比 较(6)、 (7)式 ， 得 ( t ) P ( t ) A( t ) AT ( t ) P ( t ) P ( t ) B( t ) R 1 ( t ) B T ( t ) P ( t ) Q( t ) x( t ) 0 P
6.2 有 限 时 间 状 态 调 节 器 题 问 问 题6.2 设 线 性 时 变 系 统 为 ( t ) A( t ) x( t ) B( t )u( t ) x x( t 0 )＝x0 其 中x( t )为n维 状 态 向 量 ， u( t )为m 维 控 制 向 量 A( t )、B( t )为 适 当 维 数 的时变矩阵， n m 0，u( t )不 受 约 束 ， 求 最 优 控 u 制 ( t )， 使 性 能 指 标 1 T 1 tf T J x ( t f )Fx ( t f ) x ( t )Q( t ) x( t ) uT ( t ) R( t )u( t ) dt 2 2 t0 为最小，其中 F是 n n 维 非 负 定 对 称 常 数 矩 ， 阵Q( t )是n n维 非 负 定 A( t )、B( t )、Q( t )、R( t )的 各 元 分 段 连 续 且 有 。 界
* T * T
u( t )不 受 约 束 由 0 得 u( t )
* 1 T
J * x ( t ), t u (t ) R (t )B (t ) x ( t ) J * x ( t ), t 1 T x ( t ) P ( t ) x( t ) 2
(t f ) 21 (t f , t ) x (t ) 22 (t f , t ) (t )
将 (t f ) Fx (t f )代入 (4)式，再整理 (3)、 (4)式，得
F (t , t ) 式中逆矩阵可证明对于 t t , t 都是存在的
设P (t ) 22 (t f , t ) F12 (t f , t )
2
正则方程可写为 ( t ) A( t ) B( t ) R 1 ( t ) B T ( t ) x ( t ) x （ 1 ） T ( t ) Q ( t ) A (t ) ( t ) 设方程 (1)的 转 移 矩 阵 为 ( t , t 0 )， 则 方 程 (1)的 解 为 x ( t 0 ) x ( t ) ( t ) ( t , t 0 ) ( t ) 0 当t t f 时 ， 有 x ( t f ) x ( t ) ( t ) ( t f , t ) ( t ) f （2 ）
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2. Riccati方 程 由 ( t ) P ( t ) x( t )得 (t ) P ( t ) x( t ) P ( t ) x (t )
（ 5 ） ( t ) A( t ) x( t ) B( t )u( t ) 将状态方程 x A( t ) x( t ) B( t ) R 1 ( t ) B T ( t ) P ( t ) x( t )